Modelo Matematico de Sistemas Dinamicos

CONTROL I ING. QUIRINO JIMENEZ D.

CAPITULO II MODELOS MATEMTICOS DINMICOS

Introduccin.

El primer paso para el diseo de un sistema de control consiste en obtener ecuaciones

diferenciales para todas aquellas partes del sistema que no varan. Comnmente, las componentes de un sistema de control incluyen elementos elctricos, electrnicos, mecnicos y electromecnicos. Este apartado intenta proporcionar una breve resea de las ecuaciones que caracterizan a algunos de los componentes comunes del sistema de control y sus conexiones. Muchos otros tipos de elementos menos comunes, hidrulicos, trmicos, neumticos, biolgicos y qumicos, pueden, en determinado momento, integrarse tambin en un sistema de control. 2.1. Sistemas Mecnicos.

Enseguida se estudiarn los modelados de sistemas mecnicos. Como puede resultar obvio, la ley que rige estos modelados es la Segunda ley de Newton, la cual es aplicable a cualquier sistema mecnico. Un mtodo sistemtico para obtener ecuaciones de arreglos como los presentes es el siguiente:

1. Se definen posiciones con sentidos direccionales para cada masa del sistema. 2. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada una de las masas, expresando las fuerzas

que actan sobre ellas en trminos de posiciones de masa A continuacin, mencionaremos algunos ejemplos importantes. Sistemas mecnicos traslacionales. Considrese un sistema de masa-resorte-amortiguador, montado en un carro como se muestra en la figura. Obtendremos su modelo matemtico suponiendo que el sistema est en reposo para un tiempo t < 0. En este sistema u(t) es el desplazamiento del carro y se considera como nuestra entrada. En t = 0, el carro se desplaza a velocidad constante y u es constante tambin. La salida es el desplazamiento de la masa m que est montada en el carro, y este desplazamiento se representa y(t), medido con respecto al suelo.

m

uy

k

b

1


Adems de la masa m, consideraremos otras constantes como k, que es la constante del

resorte; y B que es el coeficiente de viscosidad. Al suponer que el resorte es lineal, la fuerza del mismo es proporcional a y u.

La segunda ley de Newton establece que = Fma ma = Sum F, que aplicada al sistema presenta nos da

)(22

uykdtdu

dtdyb

dtydm

=

O bien kudtdubky

dtdyb

dtydm +=++2

2

Esta ultima ecuacin es el modelo matemtico buscado. Sin embargo, en control nos interesa representar nuestros modelados mediante una funcin de

transferencia. Si tomamos dtd como D en la ecuacin anterior, tenemos

mD2y +bD(y u) +(y u) = 0

En la ecuacin anterior, aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuacin nos queda

L (mD2y +bD(y u) +(y u) = 0 ) . De la definicin de funcin de transferencia, hemos eliminado las derivadas de las funciones en t = 0, puesto que son nulas. Finalmente se toma la relacin de Y(s) con respecto a U(s), para obtener

(ms2 + bs k)Y(s) = (bs + k)U(s)

Funcin de transferencia = G(s) = kbsms

kbssUsY

+++= 2)(

)(

El modelado anterior es uno de los ms frecuentes en el estudio de ingeniera de control,

por sus muchas aplicaciones. Sin embargo se debe hacer notar que los modelos en que se usa la funcin de transferencia tienen aplicacin nicamente en sistemas lineales invariantes en el tiempo, puesto que la funcin de transferencia slo est definida para dichos sistemas.

2


Un sismgrafo. Como segundo caso, consideremos un sistema detector de vibraciones del suelo, el cual se

representa a continuacin.

x

xo

m

k b

Como se puede observar, el arreglo de sus componentes es muy similar al anlisis

anterior. En la figura aparecen los siguientes parmetros: x = desplazamiento del gabinete con respecto a la masa. x0 = desplazamiento de la masa con respecto al espacio inercial. y = x0 x = desplazamiento de la masa con respecto al gabinete.

El resto son las constantes consideradas anteriormente (k, b, m), del resorte, el amortiguador y

la masa.

Ahora, tomando la notacin del operador D, del ejemplo antecedente, obtenemos el modelado del sistema; as tenemos:

0 = mD2x0 +bD(x0 x) + k(x0 x)

0 = mD2(y + x) +bD(y) + ky (usando la relacin y = x0 x)

Aplicando la transformada de Laplace y despejando Y(s) con respecto a X(s), nos queda finalmente:

L (0 = mD2(y + x) +bD(y) + ky)

3


kbsmsms

sXsY

++= 2

2

)()(

2.2. Sistemas elctricos. Anlisis de circuitos.

Tal vez ya se est familiarizado con el estudio de los componentes elctricos bsicos, como son la resistencia, el capacitor y el inductor; y tal vez en menor grado, con los amplificadores operacionales. Para el modelado de estos sistemas se debe echar mano del anlisis de circuitos, que se basa fundamentalmente en la aplicacin de las leyes de Kirchhoff. La primera de ellas se conoce como ley de corrientes (ley de nodos), establece que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es nula; la misma ley se puede enunciar de esta manera: La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo.

La segunda ley de Kirchhoff se conoce como ley de voltajes (ley de mallas o lazos), y nos

indica que la suma de los voltajes en una malla del circuito elctrico el cero; tambin es usual representar la segunda ley de este modo: La suma de las cadas de tensin a lo largo de una malla del circuito, es igual a la suma de las elevaciones de tensin en la misma malla. El sistema para encontrar las ecuaciones diferenciales es muy sencillo, pues basta con encontrar las ecuaciones de malla o de nodos, del circuito de que se trate. Las corrientes y voltajes de cada elemento se escriben segn su definicin en cada caso. Circuito simple LCR.

Considrese un circuito serie LCR, como el mostrado en la figura, en donde se indica una corriente de malla, y el voltaje de salida es el voltaje del capacitor

vi

vo

L

C

R

i

Las unidades de resistencia, capacitancia e inductancia estn dadas en Ohmios, henrys y faradios, respectivamente; la corriente y los voltajes, estn en amperios y voltios, respectivamente. Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) a la malla donde circula la corriente i, encontraremos las siguientes ecuaciones:

4


ivdtiCRi

dtdiL =++ 1

ovdtiC=1

De nuevo, nos interesa ms obtener la funcin de transferencia, y para ello aplicamos la

transformada de Laplace a la ecuacin anterior, sin olvidar que las derivadas obtenidas se eliminan por ser iguales a cero, esto tomado de la definicin de Funcin de Transferencia. Para ello tomamos como entrada el voltaje de la fuente vi y como salida el voltaje vo y despejamos las dos ecuaciones. De esta manera nos quedan las ecuaciones as

)()()()( sVCs

sIsRIsLsI i=++

)()( sVCs

sIo=

11

)()(

2 ++= RCsLCssVsV

i

o

Funcin de transferencia de elementos en cascada.

Al estudiar los sistemas retroalimentados, encontramos que hay componentes que se cargan unos a otros, dicho de otro modo, la entrada de un elemento del sistema es la salida de otro componente del sistema. Podemos representar un arreglo muy similar en el circuito elctrico que se muestra a continuacin, en el cual se ubican dos mallas RC, con sus corrientes indicadas. De nuevo, vi es la entrada y vo, el voltaje del capacitor 2, es la salida.

C1 C2

R2

i1 i2

R1

vi vo

En el presente caso, la carga la produce la seccin de C2R2 sobre la primera etapa del circuito R1C1. Aplicando LVK en las dos mallas del circuito, encontramos el modelado matemtico en las siguientes ecuaciones integro-diferenciales:

111211

)(1 viRdtiiC

=+

5


y ovdtiCiRdtii

C==+ 2

22212

1

1)(1

Tomando las transformadas de Laplace de estas dos ecuaciones, teniendo en cuenta que las condiciones iniciales son iguales a cero, se obtiene

[ ] )()()()(1 11211

sVsIRsIsIsC i

=+

[ ] )()(1)()()(1 22

22121

sVsIsC

sIRsIsIsC o

==+ Eliminando I1(s) e I2(s) de las ecuaciones anteriores encontramos finalmente nuestra funcin de transferencia entre Ei(s) y Eo(s), que resulta ser

1)(1

)1)(1(1

)()(

2122112

2211212211 ++++=+++= sCRCRCRsCRCRsCRsCRsCRsV

sV

i

o

El presente anlisis indica que si dos circuitos RC estn conectados en cascada, o sea, la salida de uno es la entrada del otro, la funcin de transferencia, no es, como pudiera pensarse, el producto de las funciones de transferencia que se obtendran al analizar cada porcin del circuito total en forma independiente. Esto se debe a que al hacer el modelado de forma independiente, se supone que no hay efectos de carga en la salida, que es lo mismo que decir que no se toma potencia alguna de la salida. 2.3. Sistemas anlogos. Definicin.

Dos sistemas fsicamente diferentes, pero que se comportan de manera semejante, y por ende sus modelados matemticos son semejantes, se dice que son sistemas anlogos. Esto implica que una misma ecuacin puede describir a ms de un sistema. Esta propiedad nos permite ciertas ventajas en el estudio de sistemas fsicos, entre las que podemos contar:

1. La solucin de la ecuacin o ecuaciones, que describe a un sistema se puede aplicar a otros sistemas de reas distintas, que estn descritos por la misma ecuacin o ecuaciones.

2. Esto nos permite manejar el estudio ms fcilmente, puesto que hay sistemas ms simples para implementar en el laboratorio (como el elctrico), que otros ms complicados y costosos (como puede ser un sistema mecnico o hidrulico).

6


Por ser los ms comunes en nuestro curso de control, presentaremos primordialmente las analogas entre sistemas mecnicos y elctricos, teniendo presente que las analogas no se aplican exclusivamente a estos dos sistemas. Se debe recalcar la importancia que tiene el anlisis de circuitos en el modelado de sistemas, y en la conversin de analogas entre un sistema y otro diferente fsicamente. Es por ello que se debe hacer un repaso de las tcnicas de anlisis de nodos y mallas, cuando se tienen elementos almacenadores de energa (capacitores y bobinas). Analoga mecnica elctrica.

Analicemos los dos pares de figuras representadas abajo y obtengamos las ecuaciones que los definen fsicamente.

e(t)

LR

iCm

k

bx

f(t)

Las ecuaciones del sistema mecnico son

)(2

2

tfkxdtdx

bdt

xdm =++ . (a)

Para la red elctrica RCL en serie de la derecha, al aplicar LVK obtenemos la ecuacin de malla escrita debajo:

)(1 teidtC

RidtdiL =++ .

Expresando esta ecuacin respecto de la carga elctrica q, tenemos finalmente

)(122

teqCdt

dqRdt

qdL =++ . (b) Se observar que las ecuaciones (a) y (b) tienen exactamente la misma forma, por lo que podemos concluir que son sistemas anlogos.

7


Ahora comparemos la misma masa del dibujo anterior con una red elctrica RCL en paralelo, como la que aparece en la figura mostrada enseguida. En esta ocasin aplicaremos la ley de corriente de Kirchhoff (LCK), lo que nos lleva a las siguientes expresiones

m

k

bx

f(t)

i(t) R L C

iR iL iC

iL + iR + iC = is . Cada corriente de la ecuacin de nodos anterior se expresa, segn el elemento elctrico de que se trate, de la siguiente forma

= edtLiL 1 , ReiR = , dtdeCiC = . Por lo que tenemos

stidtdeC

Reedt

L)(1 =++ .

El flujo magntico se relaciona con el voltaje mediante la expresin. Sustituyendo nos queda, nos queda finalmente la ecuacin siguiente.

)(1122

tiLdt

dRdt

dC =++ . (c) Esta nueva ecuacin (c) tambin es idntica en cuanto a la forma, a la ecuacin (a), por lo que concluimos nuevamente que el circuito paralelo RCL tambin es anlogo al sistema amortiguador masa resorte.

8


Haciendo anlisis similares a los anteriores nos queda que, excepto las variables usadas, los sistemas de ecuaciones son idnticos, lo que nos indica que estos cada uno de estos pares de ecuaciones es anlogos. Los trminos semejantes en cada ecuacin se denominan magnitudes anlogas. En la primera serie de ecuaciones la analoga indicada se denomina fuerza voltaje (o analoga masa - inductancia). En el segundo caso, la analoga se denomina fuerza corriente, o analoga masa capacitancia. Las relaciones ya encontradas se pueden resumir en la siguiente tabla.

Sistemas anlogos Mecnico Elctrico.

Fuerzas Voltajes Corrientes Masa m Inductancia L Capacitancia C Coeficiente de viscosidad b Resistencia R 1/R Constante de resorte k 1/C 1/L Desplazamiento x Q Flujo magntico Dx Corriente i Voltaje e Fuerza f(t) Voltaje e(t) Corriente i(t) Esta tabla de identidades nos permitir convertir un sistema de fuerzas en otro elctrico de voltajes o corrientes; o viceversa, un sistema elctrico en uno mecnico Para entender mejor cmo se usa esta tabla de conversiones, consideremos el siguiente arreglo de dos masas suspendidas y conectadas entre s por sistemas de resorte amortiguador.

m1

m2

k3

b1

b2

k1

k2

x2

x1

9


Primero, comenzaremos encontrando el modelado del sistema. De nueva cuenta usamos la notacin D para representar. Luego entonces, tenemos:

0 = m1D2x1 + b1Dx1 + k1x1 +b2D(x1 x2) + k2(x1 x2) (1) Tomando como referencia la masa 1. Para la masa 2, nuestro modelado es:

0 = m2D2x2 + k3x2 +b2D(x2 x1) + k2(x2 x1). (2)

Ahora procederemos a aplicar la analoga para convertir este sistema mecnico en uno elctrico, ms fcil de analizar. Primero usaremos la analoga fuerza voltaje; refirindonos a la primera y segunda columnas de la tabla anterior, tenemos las siguientes ecuaciones

)1()(1)(0 212

2121

11111 qqC

iiRCqiRDiL ++++=

)2()(1)(0 122

1223

222 qqC

iiRCqDiL +++=

Sin embargo, como nos indica el nombre de esta analoga, nos interesa indicar todos los

elementos de esta ecuacin en trminos de voltajes. Por lo que podemos tomar las relaciones elctricas entre capacitancia y carga elctrica para obtener:

)1()(1)(100 21

22120 1

11111 dtiiC

iiRdtiC

iRDiLtt ++++=

)2()(1)(100 12

21220 2

322 dtiiC

iiRdtiC

DiLtt +++=

Una vez que tenemos las ecuaciones del sistema, podemos representarla con su respectivo diagrama elctrico. Los siguientes son los diagramas de las ecuaciones de mallas encontradas anteriormente.

i1 i2

C1

C2

R2L1

R1

Ecuacin (1)

i1 i2

C2

C3

R2L2

Ecuacin (2)

10


i2i1

C1

C2

C3

R2

L1 L2

R1

Circuito resultante de dos mallas.

Ahora transformaremos el mismo circuito mecnico del ejemplo anterior en su equivalente circuito elctrico definido por corrientes (ecuaciones de nodos). Tomando las columnas 1 y 3 de la tabla de conversiones entre sistemas mecnicos y elctricos obtenemos

)(1)(10 212

2121

1

1

111 ++++= LeeRLR

eeDC

aplicando la misma relacin entre flujo y el voltaje ( edtd = ), nos queda la ecuacin

)1()(1)(1100 21

221

20 1

11

111 dteeL

eeR

dteLR

eeDCtt ++++= .

De la misma forma, la ecuacin (2) del sistema mecnico tiene como equivalente

)2()(1)(1100 12

212

20 2

322 +++= tt eeLeeRdteLDeC

sus diagramas elctricos son los que a continuacin se representan

11


R1C1

L2

R2

L1

e1 e2

GndEcuacin (1)

C2

R2

L2

L3

e1

GndEcuacin (2)

e2

R1C1 C2

R2

L1

L2

L3

e1 e2

GndCircuito resultante de dos nodos

2.4. Sistemas electromecnicos. Servomotor de cd.

Se conoce como servosistema (o servomecanismo) al grupo general de sistemas de control en los que se integran los elementos reguladores automticos y los servomecanismos. Un servomotor es por tanto, cualquier sistema fsico en el que una o ms magnitudes de entrada (mando) controlan, por medio de una funcin de transferencia determinada, una o ms magnitudes de salida, las cuales pueden poseer un nivel de potencia superior al de entrada.

Un servomotor es el rgano motor que acciona los elementos mecnicos en los servosistemas, en donde suele utilizarse como elemento de salida para controlar la potencia suministrada a la carga para controlar, en funcin de la seal elctrica recibid a la entrada. Los servomotores se pueden accionar por medio de la fuerza elctrica, hidrulica, neumtica, o una combinacin de las mismas. Nos centraremos en los motores elctricos controlador por electricidad de cd.

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En los servomotores de cd, los bobinados de campo se pueden conectar en serie con la

armadura, o separados (o sea, con el circuito magntico construido en forma independiente). En este ltimo caso, cuando el campo es excitado por separado, el flujo magntico es independiente de la corriente de la armadura. En algunos servomotores de cd, el campo magntico es producido por un imn permanente, y por lo tanto, el flujo magntico es constante; estos servomotores se denominan de imn permanente. Los servomotores de cd con campo magntico excitado de manera independiente, as como los de imn permanente, pueden ser controlados por la corriente de la armadura. Tal esquema de control de salida se llama control de armadura de los servomotores de cd.

ebea T J

b

RaLa

ia

If = constante

En el caso en que la corriente de la armadura se mantiene constante y la velocidad se controla mediante la tensin del campo, se dice que el motor de cd es controlado por campo. (Algunos sistemas de control de velocidad usan motores de cd controlador por campo). El requisito de mantener constante la corriente de la armadura es poco ventajoso, es mucho ms fcil producir voltaje constante. Las constantes de tiempo del motor de cd controlado por campo son generalmente grandes en relacin con las constantes de tiempo de motores controlador por armadura.

Un servomotor se puede controlar por medio de un controlador electrnico, frecuentemente denominado servopropulsor, combinacin de propulsor y motor. El servopropulsor controla el movimiento de un servomotor de cd y funciona de diversos modos. Algunas de sus caractersticas son el posicionado punto por punto, el seguimiento de un perfil de velocidad, y la aceleracin programable. En los sistemas de control de robot, en los sistemas de control numrico y otros sistemas de control de posicin y de velocidad, es muy frecuente emplear el controlador electrnico de movimiento que emplea u propulsor de modulacin de ancho de pulso para controlar un servomotor de cd.

Enseguida estudiaremos el control de la armadura de servomotores de cd y el control electrnico de movimiento de servomotores de cd. Control de la armadura de servomotores de cd. Analizaremos el siguiente esquema de un servomotor de cd controlado por armadura, como el que aparece en el dibujo anterior. En ese mismo esquema tenemos los siguientes parmetros:

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Ra = resistencia de la armadura, en ohmios () La = inductancia de la armadura, en henrios (H) ia = corriente de la armadura (amperios, A) if = corriente del campo (A) ea = tensin aplicada en la armadura, en voltios (V) eb= fuerza contra-electromotriz (V) = desplazamiento angular del eje del motor, en radianes (rad) T = par desarrollado por el motor, en Newton-metro (N-m) J = momento de inercia del motor y carga con referencia al eje del motor, en kg-m2B = coeficiente de viscosidad del motor, con carga referida al eje del motor, en N-m/rad/seg El par T desarrollado por el motor es proporcional a la corriente de la armadura, y al flujo magntico en el entrehierro, el que a su vez es proporcional a la corriente del campo. O bien donde Kf es una constante. El par T se puede escribir entonces como

T = KfifKlia Si la corriente del campo es constante , el flujo tambin es constante, y el par es directamente proporcional a la corriente de la armadura, de modo que

T = Kia Donde K es una constante del par motriz. Ntese que si el signo de la corriente se invierte , tambin se invierte el signo del par T, los que se manifiesta en la inversin del sentido rotacin del eje del motor. Cuando la armadura est girando, se induce en ella una tensin proporcional al producto del flujo por la velocidad angular. Para un flujo constante, la tensin inducida eb es directamente

proporcional a la velocidad angular dtd , o

dtdKe bb=

donde K es la constante de fuerza contraelectromotriz.

La velocidad de un servomotor de cd controlado por armadura, se controla mediante la tensin de la armadura. (la tensin de la armadura es la salida de un amplificador de potencia que no est dibujado en el diagrama). La ecuacin diferencial del circuito de armadura es entonces

abaaa

a eeiRdtdiL =++

La corriente de la armadura produce un torque que se aplica a la inercia y la friccin

aKiTdtd

dtdJ ==+ 2

2

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Ahora aplicaremos la transformada de Laplace a las tres ecuaciones anteriores y obtendremos

)()()()(

)()()()()()(

2 sKIsTsbsJssEsEsIRsL

sEssK

a

abaaa

bb

==+=++

=

Considerando al sistema Ea(s) como la entrada y a (s) como la salida, construimos un diagrama de bloques como el siguiente

Se notar que es un sistema retroalimentado . el efecto de la fuerza contraelectromotriz es una retroalimentacin proporcional a la velocidad del motor. Esta retroalimentacin incrementa el amortiguamiento efectivo del sistema. Despejando de las transformadas obtenidas, la funcin de transferencia es

sKKbRsJRbLJsLK

sEs

baaaaa )()()()(

22 ++++=

Si la inductancia del circuito de la armadura es pequea, generalmente se desprecia, por lo que nuestra funcin de transferencia queda de esta forma

)1()()(

+=

sTsK

sEs

m

m

b

=)1( +sTs

K

m

m

Donde Km = K/(Rab+KKa) = constante de ganancia del motor Tm = RaJ/(Rab+KKb) = constante de tiempo del motor Con estos resultados obtenidos, el diagrama de bloques del servomotor se reduce a

)1( +sTsKm

mE (s)a

)1( +sTsKm

m

(s)

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Control electrnico de movimiento de servomotores de cd. Hay muchos tipos diferentes de controladores de movimiento electrnicos, o

servopropulsores, para servomotores. La mayor parte de los servopropulsores se disean para controlar la velocidad del servomotor. Con ello se mejora la eficiencia de operacin. En la figura se presenta el esquema de un diagrama de bloques de un servoposicionador de alta precisin con control de velocidad que combina un servomotor y un servopropulsor. El servopropulsor est diseado para lograr una velocidad del servomotor proporcional al voltaje E1.

Sistema de control de posicin.

Analizaremos el sistema de control de posicin que aparece en el siguiente diagrama, en donde tenemos los mismos parmetros del servomotor analizado con anterioridad y otros nuevos, los cuales son R = desplazamiento angular del eje de entrada, en radianes C = desplazamiento del eje de salida, en radianes Ka = ganancia del potencimetro Kp = ganancia del amplificador N = relacin de engranes . Los elementos de los extremos son potencimetros conectados a fuentes de voltaje, y un enlace entre la salida del servomotor y la entrada al potencimetro c. Vamos a deducir su funcin de transferencia de la misma forma como se hizo con el servomotor..

16


Del anlisis del la figura tenemos las siguientes relaciones.

pKcre )( = pKsCsRsE ))()(()( =

aa eKe = aa KsEsE )()( = Los diagramas de bloques de estas relaciones son

E(s)R(s) kp

C(s)

E(s) V (s)aka

El modelado del motor encontrado en el servomotor lo utilizamos nuevamente, o sea

)()()()(

23baaaaa KKbRsJRbLJsL

KsEs

++++=

Y ahora utilizando una ltima que relaciona en nmero de engranes, que es

(s)n = C(s) Tenemos finalmente el diagrama de bloques que se muestra abajo, y la funcin de transferencia final del sistema, que se obtiene directamente al simplificar el diagrama mismo.

17


L Js + (L b R J)s (R +b +KK )sa a a a3 2

K KpKa nR(s)C(s

b

)=

2.5. Sistemas de nivel de lquido.

Para simplificar el anlisis de sistemas de nivel de lquido, haremos uso de los conceptos elctricos de resistencia y capacitancia obviamente con su respectiva analoga para poder describir las caractersticas dinmicas de esos sistemas en forma simple. Esto nos har ver otra similitud entre un sistema hidrulico y uno elctrico. Resistencia y capacitancia en sistemas de nivel de lquidos.

Supngase que se tienen dos tanques con determinados niveles de agua, y que dichos tanques estn conectados por una tubera corta. Se define resistencia como la relacin entre la diferencia de nivel de agua entre los tanques, necesaria para producir una variacin unitaria en el gasto; o sea R = (cambio en la diferencia de niveles, en metros, m)/(cambio en el gasto, en m3/s)

Si consideramos el siguiente dibujo de un tanque con dos vlvulas. Si tenemos un flujo laminar, la relacin entre el gasto en estado estacionario y la presin hidrosttica en el mismo estado estacionario al nivel de la restriccin laminar, es

Q = KH

Vlvula de control

Vlvula de carga

Q + qi

H +h

Q +qo

Capacitancia C Resistencia R Donde Q = gasto en el estado estacionario K = coeficiente, en m2/s

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H = presin hidrosttica, en estado estacionario.

Esta ley que rige el flujo laminar es anloga a la ley de Coulomb, que establece que la corriente es directamente proporcional a la diferencia de potencial, por lo que la resistencia se define tambin como sigue

QH

dQdHR ==1

La resistencia al flujo laminar es anloga a la resistencia elctrica. Si el flujo es turbulento, el gasto estacionario se da por

HKQ = Donde Q = gasto en el estado estacionario K = coeficiente, en m2/s H = presin hidrosttica, en estado estacionario. La resistencia Rt (resistencia de flujo turbulento), se obtiene de

dQdHRt =

como se hizo con anterioridad, tenemos

dHH

KdQ2

= y tambin

QH

QHH

KH

dQdH 222 ===

por lo que la resistencia de flujo turbulento queda finalmente

QHRt

2=

19


El valor de la resistencia de flujo turbulento depende del gasto y de la presin hidrosttica. Sin embargo, su valor se puede considerar constante si las variaciones de la presin y del gasto son pequeas, respecto al estado estacionario

Hay que hacer notar que en la prctica casi nunca se conoce el valor del coeficiente K, el cual depende del coeficiente del flujo y del rea de restriccin. En esos casos, la resistencia se obtiene trazando la representacin hidrosttica de la presin hidrosttica en funcin del gasto, basndose en valores experimentales, y midiendo la pendiente de la curva en la condicin de operacin.

La capacitancia se define como la variacin en la cantidad del lquido acumulado, necesaria para producir una variacin unitaria en el potencial (presin hidrosttica). El potencial es la magnitud que indica el nivel de energa del sistema. Esta relacin queda

mennivelelencambiomenacumuladolquidodelcantidadlaencambioC

2,= Se notar que la capacitancia (m2) es diferente a la capacidad (m3), ya que la primera representa el rea de la seccin de corte. Si sta es constante, la capacitancia es constante para cualquier carga hidrosttica. Funcin de transferencia en sistemas de nivel. De la misma figura usada para deducir la capacitancia y resistencia hidrostticas, consideraremos las otras magnitudes que aparecen all, a saber Q = gasto en el estado estacionario (antes de haber algn cambio), en m3/s qi = pequea desviacin en el gasto de entrada, respecto al valor del estado estacionario, en

m3/s qo = pequea desviacin en el gasto de salida, respecto al estado estacionario (m3/s) H = nivel de carga en el estado estacionario, en m H = pequea desviacin de la carga con respecto al nivel del estado estacionario.

Si el flujo se considera lineal, el sistema se considera lineal, de otro modo, tendra que linealizarse. Sin embargo, la ecuacin diferencial se puede obtener del siguiente modo. El gasto de entrada menos el gasto de salida durante el intervalo de tiempo dt es igual a la cantidad de liquido acumulada en el tanque, lo que nos produce que

)( oi qqdtdhC =

Por la definicin de resistencia, la relacin entre qo y h est dada por

Rhqo =

20


Y la ecuacin diferencial del sistema es, para un valor constante de R,

iRqhdtdhRC =+

donde RC es la constante del sistema. Tomando la transformada de Laplace de toda la ecuacin, con sus condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene

)()()1( 1 sRQsHRCs =+ . Si se toma a qi como entrada y a h como la salida, la funcin de transferencia queda como

1)()(

+= RCsR

sQsH

i

.

Por otro lado, si consideramos a qo como la salida, la funcin de transferencia queda as

11

)()(

+= RCssQsQ

i

o , tomando en cuenta que R

sHsQo)()( =

Con los resultados obtenidos del anlisis de un sistema de nivel de lquido de un solo tanque, obtendremos la funcin de transferencia de un sistema similar, con dos tanques con interaccin. O sea, la salida del primer tanque es la entrada del segundo. En todo el anlisis subsecuente se supondr que se tiene un flujo laminar en el sistema. Las ecuaciones para este sistema son, entonces las siguientes

Q +q

H +h1 1 H +h2 2

Q + q1Q + q2C1

R1 R2

Tanque 1Tanque 2

C2

Sistema de nivel de lquido con interaccin.

21


)()()()( 111111 sQsQssHCqqdtdhC ii ==

)(1 sQ

)(sQi )(1 sHsC1

1

)(1 sQ

)(sQi )(1 sHsC1

1

)()()()(

1

211

1

211 sQ

sHsHRq

hhR ==

)(1 sQ)(1 sH

)(2 sH

1

1R

)(1 sQ)(1 sH

)(2 sH

1

1R

Los grupos de ecuaciones anteriores nos dan la relacin de la capacitancia y la resistencia para el primer tanque, as como su interaccin con el tanque 2. en la extrema derecha se pueden apreciar sus respectivos diagramas de bloques.

)()()()( 21220122 sQsQssHCqqdhC ==dt

)(1 sQ )(2 sHsC2

1)(1 sQ

)(sQo

)(2 sHsC2

1

)(sQq oo

)(22

22

sHRhR == )(2 sH

2

1R

)(sQo)(2 sH2

1R

Las relaciones de resistencia y capacitancia para el segundo tanque se definieron en las ecuaciones de arriba. En cada una de las ecuaciones anteriores, las de la columna izquierda representan la ecuacin diferencial; en el centro estn indicadas las transformadas de Laplace para cada una de las ecuaciones, y, como se mencion ya, su respectivo diagrama de bloques a la extrema derecha. Al unir todos los diagramas de bloques de cada par de ecuaciones, obtenemos el siguiente diagrama de bloques del sistema, en donde se aprecian las relaciones descritas en la figura de los dos tanques.

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Al simplificar, por el lgebra de bloques, tenemos finalmente la funcin de transferencia, esta vez representada en un diagrama de bloques.

Advirtase la semejanza entre esta ltima funcin encontrada y la que se dedujo del anlisis de circuito elctricos en cascada. Comparando ambos arreglos, se ve que el presente sistema es anlogo al elctrico en cascada. En el sistema de nivel, la salida del tanque 1 a travs de la primera vlvula de carga (R1), es la entrada del segundo sistema del tanque 2. Bibliografa Brogan, W. L. , TEORA DE CONTROL MODERNO. Captulo 1. Editorial Prentice-Hall. Mxico 1985. Hostetter, G.; Savant C.; Stefani, R. SISTEMAS DE CONTROL. Captulo 1. Edit Mc Graw- Hill

Hispanoamericana de Mxico, S.A. de C. V. Mxico 1990 Johnson, D., Hilburn, J., Johnson, J., Scott, P., ANLISIS BSICO DE CIRCUITOS

ELCTRICOS. Quinta edicin. Captulos 4, 5 y 6. editorial Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. Mxico 1996.

Ogata Katsuhiko. INGENIERA DE CONTROL MODERNO. Segunda edicin. Captulo 2.

Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A. Mxico 1993.

23

Masa mInductancia LCapacitancia CDx

Q = KHBibliografa

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