Lógica I – modelo de examen (curso 2007-08)Ejemplo de respuestas

1. Definiciones:

- Grado de una fórmula es el número total de conectivas (iguales o distintas) que contiene.

- Función de verdad es una función cuyos argumentos y valores son valores de verdad.

- Un conjunto de fórmulas es insatisfacible sii no existe ninguna asignación en la que todaslas fórmulas del conjunto sean verdaderas.

(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: dos minutos)

2. La Conceptografía:

Su autor es Gottlob Frege. La obra es importante porque Frege es el primero queconstruye un lenguaje formal y un sistema formal para ser usados como herramienta parael análisis de los razonamientos matemáticos. Con ello, se convierte en uno de los“padres” de la lógica matemática moderna.

(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: tres minutos)

3. Explicar por qué para demostrar mediante tablas analíticas que el conjunto {A, B, C}implica a la fórmula D debe hacerse la tabla analítica del conjunto {A, B, C, ¬D}.

El método de las tablas analíticas es un método de decisión que no responde directamente acualquier pregunta, sino que solamente habla directamente acerca de la satisfacibilidad oinsatisfacibilidad del conjunto de fórmulas para el que se ha construido la tabla (si todas lasramas se cierran, el conjunto es insatisfacible; si alguna rama queda abierta, el conjunto essatisfacible). Pero, en virtud de la conexión entre las distintas nociones semánticas, elmétodo puede utilizarse para responder indirectamente a cualquier pregunta semántica:simplemente hay que saber de qué conjunto debe hacerse la tabla analítica. Hay que elegirun conjunto que sea insatisfacible si y sólo si se da la propiedad o relación semántica queinteresa.

En concreto, para demostrar la existencia de una relación de implicación entre el conjunto{A, B, C} y la fórmula D, hay que construir la tabla analítica del conjunto {A, B, C, ¬D},pues este es el conjunto que será insatisfacible si y sólo si existe aquella relación deimplicación.

a) Demostración de que si {A, B, C} implica D, entonces{A, B, C, ¬D} es insatisfacible:

Supongamos que {A, B, C} implica D. Por definición de relación de consecuencia, estoquiere decir que no existe ninguna interpretación tal que I(A)=V, I(B)=V, I(C)=V, I(D)=F.Pero, puesto que en cualquier interpretación en la que D es falsa, ¬D será verdadera, eso eslo mismo que decir que no existe ninguna interpretación tal que I(A)=V, I(B)=V, I(C)=V,I(¬D)=V. Ahora bien, si no existe ninguna interpretación en la que todas las fórmulas deun conjunto sean verdaderas, ese conjunto es insatisfacible: es decir, el conjunto{A, B, C,¬D} será insatisfacible en el caso supuesto. Queda así demostrado que si {A, B, C} implicaD, entonces{A, B, C, ¬D} es insatisfacible.

b) Demostración de que si {A, B, C, ¬D} es insatisfacible, entonces {A, B, C} implica D:

Supongamos que {A, B, C, ¬D} es insatisfacible. Por definición, esto quiere decir que noexiste ninguna interpretación en la que todas sus fórmulas sean verdaderas. Pero, puestoque cuando ¬D es verdadera D es falsa, esto quiere decir que no existe ningunainterpretación tal que I(A)=V, I(B)=V, I(C)=V, I(D)=F. Pero, si no existe ninguna

2asignación en la que todas las fórmulas del conjunto {A, B, C} sean verdaderas y D seafalsa, por definición de implicación, es que {A, B, C} implica D. Queda así demostradoque si {A, B, C, ¬D} es insatisfacible, entonces {A, B, C} implica D.

Queda entonces demostrado que {A, B, C, ¬D} es insatisfacible sii {A, B, C} implica D.Por eso, la pregunta por la relación de implicación entre {A, B, C} y D puede traducirse enuna pregunta por la insatisfacibilidad del conjunto {A, B, C, ¬D}, y es posible, por tanto,responderla mediante la tabla analítica que demuestra la insatisfacibilidad de ese conjunto.

(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: quince minutos)

4. Inventar fórmula, hacer árbol de formación, buscar asignación:

Fórmula: ¬(((pp)∨(p↓p))→(s∧p))

Árbol de formación:

¬(((pp)∨(p↓p))→(s∧p))

(((pp)∨(p↓p))→(s∧p))

((pp)∨(p↓p)) (s∧p)

(pp) (p↓p) s p

p p p p

Asignación: ν(p)=F ν(s)=V

(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: siete minutos)

5. Formalizar:

Enunciados simples:Existe un cuerpo imposible de destruir: pDios puede crear un cuerpo imposible de destruir: qDios quiere crear un cuerpo imposible de destruir: rDios es todopoderoso: s

Argumento:

((q∧r)←p), (s→¬p), (s∧(r→q)) ∴ ¬r

(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: cinco minutos)

6. Construir la tabla de verdad y encontrar fórmula equivalente:

a) p q (((p↓p) ↓ q) ↓ ((p↓p) ↓ q))V V VFV F V V VFV F VV F VFV V F F VFV V FF V FVF F V V FVF F VF F FVF F F V FVF F F

La tabla de verdad es la correspondiente a la conectiva flecha. Por tanto, la fórmulaequivalente es (p→q).

3b) p q ((p q) (p q))

V V VFV V VFVV F VVF F VVFF V FVV F FVVF F ...FVF.. F..FVF

La tabla de verdad es la correspondiente a la conectiva conjuntor. Por tanto, la fórmulaequivalente es (p∧q).

(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: siete minutos)

7. Reducción al absurdo:

- Primero: suponemos que la fórmula no es una contradicción.

- Segundo: esto quiere decir que existe alguna asignación en la que la fórmula es verdadera.Intentemos encontrar esa asignación mediante un árbol de valuación:

¬(((p∨q)∧(p→r))→((q→r)→r))=V

(((p∨q)∧(p→r))→((q→r)→r))=F

((p∨q)∧(p→r))=V ((q→r)→r)=F

(p∨q)=V (p→r)=V (q→r)=V r=F

sust r=F(q→F)=V

q=F

sust q=F(p∨F)=V

p=V

sust r=F(p→F)=V

p=F

- Tercero: la hipótesis inicial nos ha llevado a una contradicción: la asignación quesupuestamente haría verdadera a la fórmula debería ser una asignación en la que lavariable p fuera a la vez verdadera y falsa. Como esto no puede ocurrir en nuestra lógica:

- Cuarto: negamos la hipótesis que nos ha llevado a ese resultado absurdo: la fórmula sí esuna contradicción.

(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: seis minutos)

4

8. Tablas analíticas:

Para demostrar tautología mediante tablas analíticas se hace la tabla de la negación de lafórmula:

1. ¬(p→(((p∨q)→r)→((¬s→¬r)→s)))2. p de 1

3. ¬(((p∨q)→r)→((¬s→¬r)→s)) de 1

4. ((p∨q)→r) de 3

5. ¬((¬s→¬r)→s) de 3

6. (¬s→¬r) de 5

7. ¬s de 5

8.1. ¬¬s 8.2. ¬r de 6

rama cerrada 9.2.1. ¬(p∨q) 9.2.2. r de 4

rama cerrada

10.2.1. ¬p de 9.1.

11.2.1. ¬q de 9.1.

rama cerrada

Todas las ramas se cierran (cada rama contiene a la negación de una de sus fórmulas: la rama1 contiene a ¬s y a ¬¬s; la rama 2.1 contiene a p y a ¬p; la rama 2.2 contiene a r y a ¬r).Entonces, el conjunto cuyo único elemento es la negación de la fórmula dada es insatisfacible,y por tanto la fórmula dada es una tautología.

(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: seis minutos)

9. Deducción natural:

La deducción que demuestra la validez del argumento es la siguiente:

1. p premisa

2. ((p∨q)→r) supuesto para TD

3. (¬s→¬r) supuesto para TD

4. ¬s supuesto para RA

5. ¬r MP 3,4

6. (p∨q) ID 1

7. r MP 2, 6

8. (r∧¬r) IC 7, 5

9. ¬¬s RA 4-8

10. s DN 9

11. ((¬s→¬r)→s) TD 3-10

12. (((p∨q)→r)→((¬s→¬r)→s)) TD 2-11

(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: cuatro minutos)

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10. Responder a las preguntas sobre el texto:

a) Definir el lenguaje formal:

Símbolos primitivos:

- Símbolos temporales: a, b, c...

- Símbolos permanentes: +, ×, :, ’.

- (más paréntesis como símbolos auxiliares)

Reglas de formación:

- Si A es un símbolo temporal, entonces A es una fbf.

- Si A es una fbf, entonces A’ es una fbf.

- Si A y B son fbfs y * es uno de los tres primeros símbolos permanentes, entonces A*B esuna fbf.

b) Lógica proposicional:

Cuando dice que los símbolos permanentes (y sus combinaciones) denotan enunciados, yque los permanentes denotan relaciones entre enunciados. Además, dice que esta es una delas principales características de su sistema lógico.

c) “Símbolos temporales” y “símbolos permanentes”:

Los temporales son las variables proposicionales. Los permanentes son las conectivas.

d) Sintaxis o semántica:

De las dos cosas: nos muestra cuáles son los símbolos de su lenguaje y cómo se combinan(sintaxis), pero también nos habla de lo que “denotan” sus símbolos, de lo que “afirman”sus fórmulas, y de la verdad y falsedad de los distintos enunciados (semántica).

e) Disyuntor:

Es inclusivo, pues el enunciado disyuntivo dice que lo que afirma una de las partes tendrálugar, pero no dice nada (y por tanto, no lo excluye) acerca de si también tendrá lugar loque afirman las demás.

f) Condicional:

No es funcional-veritativo: se ve cuando introduce una noción modal en la descripción delo que afirma el enunciado condicional (el enunciado que le sigue ha de ser verdaderosiempre que el enunciado que le antecede lo sea), y en el párrafo final, donde muestra queel condicional no es equivalente a la disyunción a’+b (donde vuelve a introducir nocionesmodales para explicar el contenido de la negación del condicional: él puede persistir en suextravagancia...). El uso de estas nociones modales indica que no basta con conocer laverdad o falsedad de las partes para determinar la verdad o falsedad del enunciadocompuesto: la verdad no viene dada por las circunstancias que se dan o no se dan de hecho,sino por las que pueden darse. En las funciones de verdad, en cambio, la verdad o falsedaddel compuesto queda determinada por los valores de verdad que tienen de hecho las partes,no por los que podrían o no tener.

(tiempo utilizado para leer el texto, responder y sevisar esta pregunta: diecisiete minutos)

tiempo total: 2+3+15+7+5+7+6+6+4+17=72 minutos (una hora y doce minutos)