MODELO DE REEMPLAZO DE EQUIPO

Mientras más tiempo esté en servicio una máquina, su costo de mantenimiento es mayor y su productividad menor. Cuando la máquina llega a cierta antigüedad será más económico reemplazarla.

Es así que entonces el problema se reduce a determinación de la antigüedad más económica de una máquina.

Suponga que se estudia el problema de reposición de la máquina durante un lapso de n años. Al inicio de cada año, se debe decidir si mantener la máquina en servicio por un año más o reemplazarla por una nueva.

Notación:

Los elementos del modelo de programación dinámica son:

1. La etapa i se representa por el año i, i= 1, 2,…, n. 2. Las alternativas en la etapa (el año) i son de conservar o reemplazar la

máquina al comenzar el año i. 3. El estado en la etapa i es la antigüedad de la máquina al comienzo del año

i.

r(t)=ingresos ($) c(t)=costo de operación anual ($)

s(t)=valor de recuperación de una máquina ($)

t= tiempo (años de antigüedad)

I=costo de adquisición de una máquina nueva en

cualquier año

Se deduce la siguiente ecuación recursiva:

r(t) - c(t) + fi+1(t+1) si se CONSERVA

fi(t)=máx

r(0) + s(t) – I - c(0) + fi+1 (1) si se

REEMPLAZA

Problema :

Una empresa debe determinar la política óptima, durante los próximos 4 años (n=4), de reemplazo de una máquina, que en la actualidad tiene 3 años. La siguiente tabla muestra los datos del problema. La empresa establece que toda máquina que tenga 6 años de edad debe reemplazarse. El costo de una máquina nueva es $100,000.

En la figura 1 se resume la red que representa el problema. Al iniciar el año 1 se tiene una maquina de 3 años de antigüedad. Se puede reemplazarla (R) o conservarla (K) durante otro año. Al iniciar el año 2, si hay reemplazo la maquina nueva tendrá un año de edad en caso contrario, la maquina actual tendrá 4 años de antigüedad. Los mismos razonamientos se aplican al inicial los 2.

La red indica que al comenzar el año 2 las edades posibles de la maquina son 1 y 4 años. Para el comienzo del año 3, las antigüedades posibles son 1, 2, y 5 años, y para el comienzo del año 4, las antigüedades posibles son 1, 2 3 y 6.

La solución de la red equivale a determinar la ruta más larga, del inicio del año 1 al final del año 4. A continuación se resolverá el problema utilizando la forma tabular. Todos los valores son en miles de $. Nótese que si se reemplaza una maquina en el año 4 (es decir al final del horizonte de planeación) los ingresos incluirán el valor de recuperación, s (t), de la maquina reemplazada y el valor de recuperación, s (1) de la máquina de repuesto.

Procedimiento de la solución:

Solución óptima:

La figura siguiente resume la solución óptima. Al iniciar el año 1, la decisión optima para t=3 es remplazar la maquina. Así la maquina nueva tendrá 1 año al iniciar el año 2, y t=1al iniciar el año 2 determina conservarla o reemplazarla. Si se reemplaza la nueva máquina tendrá 1 año al iniciar el año 3; en caso contrario, la maquina conservada tendrá 2 años. El proceso se continúa de esta forma hasta llegar al año 4.Las políticas alternativas óptimas comenzando el año 1 son (R, K, K, R) y (R, R, K, K). El costo total es de $55,300.

Bibliografía:

TAHA, HAMDY A. Investigación de Operaciones Séptima edición

ProbleProblemasmas

ResueltResueltos os

En cada uno de los casos que siguen, forme la red y determine la solución optima.

1. Circle Farms posee un tractor de 2 años de antigüedad, y desea establecer una política de reemplazo para sus tractores durante los 5 años siguientes. Se debe tener en servicio durante un mínimo de 3 años, pero después de un máximo de 5 años se debe desechar. El precio actual de un tractor es de $40,000, y aumenta 10% por año. El valor de recuperación de un tractor con 1 año de uso es de $30,000 y disminuye 10% por año. El costo anual de operación del tractor es de $1,300, y se espera que aumente 10% por año.

Solución:

Tiempo (años) Ingreso r(t) ($) Costo de operación c(t) ($)

Valor de recuperación s(t)

($)0 $40,000 $1,300

1 44,000 1,430 $30,0002 48,000 1,560 27,0003 52,000 1,690 24,0004 56,000 1,820 21,0005 60,000 1,950 18,0006 64,000 2,080 15,000

Representación de la red:

Etapa 5.

K R Sol óptima

t r(t) + s (t+1) – c(t) r(0) + s(t) + s(1) – c(0) - I F5 (t) Decisión

1 44000+27000-1430=69570 40000+30000+30000-1300- 40000=58700 69570 K2 48000+24000-1560=70440 40000+27000+30000-1300-40000=55700 70440 K3 52000+21000-1690=71310 40000+24000+30000-1300-40000=52700 71310 K4 56000+18000-1820=72180 40000+21000+30000-1300-40000=49700 72180 K6 Se debe reemplazar 40000+15000+30000-1300-40000=43700 43700 R

Etapa 4.

K R Sol óptima

t r(t) – c(t)+f5(t+1) r(0) + s(t)– c(0) – I+f5(1) f4 (t) Decisión

1 44000-1430+70440=113010 40000+30000-1300 40000+69570=98270 113010 K2 48000-1560+71310=117750 40000+27000-1300-40000+69570=95270 117750 K3 52000-1690+72180=122490 40000+24000-1300-40000+69570=92270 122490 K5 60000-1950+43700=101750 40000+18000-1300-40000+69570=86270 101750 K

Etapa 3.

K R Sol óptima

t r(t) – c(t)+f4(t+1) r(0) + s(t)– c(0) – I+f4(1) F3 (t) Decisión

1 44000-1430+117750=160320 40000+30000-1300- 40000+113010=141710 160320 K2 48000-1560+122490=168930 40000+27000-1300-40000+113010=138710 168930 K4 56000-1820+101750=155930 40000+21000-1300-40000+113010=132710 155930 K

Etapa 2.

t r(t) – c(t)+f3(t+1) r(0) + s(t)– c(0) – I+f3(1) F2 (t) Decisión

1 44000-1430+168930=211500 40000+30000-1300- 40000+160320=189020 211500 K3 52000-1690+155930=206240 40000+24000-1300-40000+160320=183020 206240 K

Etapa 1.

t r(t) – c(t)+f2(t+1) r(0) + s(t)– c(0) – I+f2(1) F1 (t) Decisión

2 48000-1560+206240=252680 40000+27000-1300- 40000+211500=237200 252680 K

El costo total es de $252,680.

2. La compañía ABC posee una máquina de coser con 4 años de antigüedad y desea establecer una política de reemplazo para sus máquinas durante los 5 años siguientes. La empresa establece que toda maquina de coser que tenga 8 años de edad debe reemplazarse. El precio actual de una máquina es de $2,500 y aumenta el 15% por año. El valor de recuperación

de la maquina con un año de uso es de $5,000 y disminuye el 12% por año. El costo anual de operación es de $900 y se espera que aumente 10% por año.

Solución:

Tiempo (años) Ingreso r(t) ($) Costo de operación c(t) ($)

Valor de recuperación s(t)

($)0 $25,000 $9001 2,875 990 $5,0002 3,250 1,080 4,4003 3,625 1,170 3,8004 4,000 1,260 3,2005 4,375 1,350 2,6006 4,750 1,440 2,0007 5,125 1,530 1,4008 5,500 1,620 800

Representación de la red:

Etapa 5.

K R Sol óptima

t r(t) + s (t+1) – c(t) r(0) + s(t) + s(1) – c(0) - I F5 (t) Decisión

1 2875+ 4400-990 =6285 2500+5000+5000-900-2500=9100 9100 K2 3250+3800-1080=5970 2500+4400+5000-900-2500=8500 8500 K3 3625+3200-1170=5655 2500+3800+5000-900-2500=7900 7900 K4 4000+2600-1260=5340 2500+3200+5000-900-2500=7300 7300 R8 Se debe reemplazar 2500+800+5000-900-2500=4900 4900 R

Etapa 4.

t r(t) – c(t)+f5(t+1) r(0) + s(t)– c(0) – I+f5(1) F4 (t) Decisión

1 2875-990+8500 =10385 2500+5000-900-2500+9100=13200 13200 R2 3250-1080+7900=10070 2500+4400-900-2500+9100=12600 12600 R3 3625-1170+7300 =9755 2500+3800-900-2500+9100=12000 12000 R7 5125-1530+4900=8495 2500+1400-900-2500+9100=9600 9600 R

Etapa 3.

t r(t) – c(t)+f4(t+1) r(0) + s(t)– c(0) – I+f4(1) F43(t) Decisión

1 2875-990+12600=14485 2500+5000-900-2500+13200=17300 17300 R2 3250-1080+12000=14170 2500+4400-900-2500+13200=16700 16700 R6 4750-1440+9600=12910 2500+2000-900-2500+13200=14300 14300 R

Etapa 2.

t r(t) – c(t)+f3(t+1) r(0) + s(t)– c(0) – I+f3(1) F2 (t) Decisió

n1 2875-990+16700=18585 2500+5000-900-2500+17300=21400 21400 R5 4375-1350+14300=17325 2500+2600-900-2500+17300=19000 19000 R

Etapa 1.

t r(t) – c(t)+f2(t+1) r(0) + s(t)– c(0) – I+f2(1) F1 (t) Decisión

4 4000-1260+19000=21740 2500+3200-900-2500+21400=23700 23700 R

El costo total es de $23,700.

3. Una empresa debe determinar la política óptima, durante los próximos 5 años, de reemplazo de una máquina, que en la actualidad tiene 2 años. La siguiente tabla muestra los datos del problema. La empresa establece que toda máquina que tenga 6 años de edad debe reemplazarse. El costo de una máquina nueva es $80,000.

Tiempo (años) Ingreso r(t) ($) Costo de operación c(t) ($)

Valor de recuperación s(t)

($)0 30,000 3001 25,000 700 60,0002 20,000 1,300 40,0003 18,000 1,500 20,0004 17,500 1,700 15,0005 16,200 1,800 10,0006 15,000 2,000 10,5007 14,200 2,100 6,000

Representación de la red:

Solución:

Etapa 5.

K R Sol óptima

t r(t) + s (t+1) – c(t) r(0) + s(t) + s(1) – c(0) - I F5 (t) Decisión

1 25000+40000-700=64300 30000+60000+60000-300-80000=69700 69700 R2 20000+20000-1300=38700 30000+40000+60000-300-80000=49700 49700 R3 18000+15000-1500=31500 30000+20000+60000-300-80000=31500 31500 K4 17500+10000-1700=25800 30000+15000+60000-300-80000=25800 25800 K6 Se debe reemplazar 30000+10500+60000-300-80000=20200 20200 R

Etapa 4.

t r(t) – c(t)+f5(t+1) r(0) + s(t)– c(0) – I+f5(1) F4 (t) Decisión

1 25000-700+49700=74000 30000+60000-300-80000+69700=79400 79400 R2 20000-1300+31500=50200 30000+40000-300-80000+69700=59400 59400 R3 18000-1500+25800=42300 30000+20000-300-80000+69700=39400 42300 K

5 16200-1800+20200=34600 30000+10000-300-80000+69700=29400 34600 K

Etapa 3.

t r(t) – c(t)+f4(t+1) r(0) + s(t)– c(0) – I+f4(1) F3 (t) Decisión

1 25000-700+59400=83700 30000+60000-300-80000+79400=89100 89100 R2 20000-1300+42300=61000 30000+40000-300-80000+79400=69100 69100 R4 17500-1700+34600= 50400 30000+15000-300-80000+79400=44100 50400 K

Etapa 2.

t r(t) – c(t)+f3(t+1) r(0) + s(t)– c(0) – I+f3(1) F2 (t) Decisión

1 25000-700+69100=93400 30000+60000-300-80000+89100=98800 98800 R3 18000-1500+50400=66900 30000+20000-300-80000+89100=58800 66900 K

Etapa 1.

t r(t) – c(t)+f2(t+1) r(0) + s(t)– c(0) – I+f2(1) F1 (t) Decisión

2 20000-1300+66900=85600 30000+40000-300-80000+98800=88500 88500 R

El costo total es de $88,500.