Modelo de redes y redes petri

65
Modelo de Redes y Redes de Petri MCC Zuriel Dathan Mora Félix

Transcript of Modelo de redes y redes petri

Page 1: Modelo de redes y redes petri

Modelo de Redes y Redes de Petri

MCC Zuriel Dathan Mora Félix

Page 2: Modelo de redes y redes petri

Modelo de Redes

• El siguiente grafo representa una red de tuberías de petróleo, el petróleo proviene del muelle a, y se descarga en la refinería z.

• Los vértices b,c,d,e representan estaciones de bombeo.

• Las aristas dirigidas representan subtuberias del sistema, muestran la dirección en la que puede fluir el petróleo.

• Las etiquetas sobre las aristas muestran las capacidades de las tuberías.

Page 3: Modelo de redes y redes petri
Page 4: Modelo de redes y redes petri

• Una red es un grafo, dirigido, simple con pesosque satisface:

• Un vértice fijo, la fuente no tiene arista deentrada.

• Un vértice fijo, el sumidero (destino) no tienearista de salida.

• El peso Cij de la arista dirigida ij llamado lacapacidad es un numero no negativo

Page 5: Modelo de redes y redes petri

• Un flujo en una red, asigna un flujo en cada arista dirigida, que no excede la capacidad de dicha arista.

• El flujo de entrada debe ser igual al flujo de salida, sin ser la fuente o el sumidero.

Page 6: Modelo de redes y redes petri

• En el siguiente grafo, la entrada al la bombaintermedia b es 2 y su salida tambien es 2.

• Respecto a la salida de la fuente es a,b + a,d =5 en el sumidero se recibe c,z+ e,z= 5.

Page 7: Modelo de redes y redes petri

• El problema de una red de transporte sepuede establecer así, determinar un flujomáximo en G, es decir entre todos los flujosposibles en G, determinar un flujo F, tal que elvalor de F sea máximo.

Page 8: Modelo de redes y redes petri

Una red de bombeo

• La siguiente figura representa una red de bombeo por medio del cual seenvía agua a 2 ciudades A,B, desde 3 pozos w1,w2 y w3.

• Las capacidades de los sistemas intermedios representan las aristas.

• Los vértices b,c,d representan estaciones de bombeo intermedias.

Page 9: Modelo de redes y redes petri

• Para obtener una fuente y un sumidero fijos, podemosobtener una red de transporte equivalente, uniendo la fuenteen una súper fuente y el sumidero en un súper sumidero.

Page 10: Modelo de redes y redes petri

Red de flujo de tráfico

• Es posible ir de la ciudad A a la ciudad C directamente o pasar por laciudad B.

• Durante el periodo de 6:00- 7:00 pm, los tiempos promedio de viaje son:– A-B (15 minutos)– B-C (30 minutos)– A-C (30 minutos)

• Las capacidades de las carreteras son:– A-B (3,000 vehículos)– B-C(2,000 vehículos)– A-C(4,000 vehículos)

• Un vértice representa una ciudad en un instante dado, una arista conectaX,t1 con y, t2, si podemos salir de la ciudad X en el instante t1 pm.

• La capacidad de una arista es la capacidad de la ruta.• Se introduce una fuente y un super sumidero.

Page 11: Modelo de redes y redes petri
Page 12: Modelo de redes y redes petri

ejercicios

• Escribe los flujos faltantes sobre las aristas.

Page 13: Modelo de redes y redes petri

• El sig. grafo representa una red de bombeo, en la que el petróleo de 3pozos w1,w2,w3, se entrega a 3 refinerías A,B y C.

• Las capacidades de los sistemas intermedios están sobre las aristas.

• Las aristas b,c,d,e,f representan estaciones intermedias de bombeo.

• Modela el sistema como una red.

• Modela el sistema como una red, suponiendo que el pozo w1, bombea alo mas 2 unidades, el pozo w2 a lo mas 4 unidades y el pozo w3 a lo mas 7unidades.

Page 14: Modelo de redes y redes petri
Page 15: Modelo de redes y redes petri

• Existen 2 rutas de la ciudad A a la ciudad B, una ruta pasa por la ciudad B y la otra por la ciudad C, durante el periodo de 7 a 8:00 am.

• Los tiempos son los sig.:– A-B 30 min– A-C 15 min– B-D 15 min– C-D 15 min

• Las capacidades máximas son las rutas:– A-B (1000 vehículos)– A-C (3000 vehículos)– B-D (4000 vehículos)– C-D (2000 vehículos)

• Represente como una red de flujo de trafico de A a D durante el periodo de 7 a 8:00 am.

Page 16: Modelo de redes y redes petri

Un algoritmo de flujo máximo

• Sea G una red de transporte, un flujo máximo en G esun flujo con valor máximo.

• Comenzar con cierto flujo inicial e incrementar demanera iterativa el valor del flujo hasta que no puedamejorarse más.

• El flujo resultante será el flujo máximo.

• Podemos considerar como flujo inicial aquel en el queflujo en cada arista es igual a 0.

• Para incrementar el valor de un flujo dado, debemosdeterminar un camino de la fuente al sumidero eincrementar el flujo a lo largo de ese camino.

Page 17: Modelo de redes y redes petri

• Un camino de a a z en este grafo no dirigido.

• Si una arista e en P esta dirigida, decimos que e estaorientada en forma propia (con respecto de P).

• En caso contrario decimos que e esta orientada en formaimpropia (con respecto de P)

Page 18: Modelo de redes y redes petri

• Si podemos determinar un camino P de la fuente al sumidero en dondecada arista de P esté orientada en forma propia y el flujo en cada arista esmenor que la capacidad de la arista, es posible aumentar el valor de flujo.

• Consideremos el camino de a a z de la sig. figura. Todas las aristas de Pestán orientadas en forma propia.

• El valor del flujo en esta red se puede incrementar en 1

Page 19: Modelo de redes y redes petri

• También es posible incrementar el flujo en ciertos caminos de la fuente al sumidero que tengan aristas orientadas en forma propia e impropia.

• Sea P un camino de a a z y sea x un vértice en P, que no sea a ni z.

• Existen 4 posibilidades

Page 20: Modelo de redes y redes petri
Page 21: Modelo de redes y redes petri
Page 22: Modelo de redes y redes petri
Page 23: Modelo de redes y redes petri

• Teorema.• Sea P un camino de a a z en una red G

– Para cada arista (i,j) de P, orientada en forma propia, tal que el flujo de laarista sea menor que la capacidad.

– Para cada arista orientada en forma impropia el flujo de la arista debe sermayor a 0.

• Sea entonces ∆=min X

• Donde X consta de la suma de los flujos orientado en forma propia o impropia. Esdecir C-F, para todas las aristas orientadas en forma propia e impropia.

• Entonces F* es un flujo cuyo valor es ∆ unidades mayor que el valor de F

Page 24: Modelo de redes y redes petri

Idea principal del algoritmo de flujo máximo.

1. Iniciar con un flujo (ejemplo, un flujo tal queel flujo en cada arista sea 0)

2. Buscar un camino que satisfaga lascondiciones del teorema anterior, si no existetal camino se termina y el flujo es máximo.

3. Se incrementa el flujo del camino en ∆,donde ∆ se define como el teorema y seregresa al punto 2.

Page 25: Modelo de redes y redes petri

Algoritmo para determinar el flujo máximo en una red. (Algoritmo Ford-Fulkerson)

• En algunas redes circula por los arcos un flujo (envío ocirculación de unidades homogéneas de algún producto:automóviles en una red de carreteras, litros de petróleo enun oleoducto, bits por un cable de fibra óptica) desde elorigen o fuente al destino, también denominado sumidero

• Los arcos tienen una capacidad máxima de flujo, y se tratade enviar desde la fuente al sumidero la mayor cantidadposible de flujo, de tal manera que:El flujo es siempre positivo y con unidades enteras.

• El flujo a través de un arco es menor o igual que lacapacidad.

• El flujo que entra en un nodo es igual al que sale de él.

Page 26: Modelo de redes y redes petri

• En el caso de que el origen o el destino no existan en el problema, seañaden ficticiamente utilizando arcos unidireccionales de capacidadinfinita, como en grafo mostrado a continuación:

Page 27: Modelo de redes y redes petri

• Corte: Un corte define una serie de arcos cuyasupresión de la red causa una interrupcióncompleta del flujo entre el origen y el destino.

• La capacidad de corte es igual a la suma de lascapacidades de los arcos asociados.

• Entre todos los cortes posibles en la red , el cortecon la menor capacidad proporciona el flujomáximo en la red.

• El siguiente grafo ilustra 3 cortes: el Corte 1 concapacidad 60, el Corte 2 con capacidad 110 y elCorte 3 con capacidad 70.

Page 28: Modelo de redes y redes petri

• Todo lo que podemos obtener de los 3 cortes es que el flujo máximo en la red noexcede de 60 unidades.

• No podemos saber cual es el flujo máximo hasta que se hayan enumerado todoslos cortes en la red:

• Las capacidades se identifican como sigue: por ejemplo, para el arco (3,4), el límitede flujo es de 10 unidades de 3 a 4 y de 5unidades de 4 a 3.

Page 29: Modelo de redes y redes petri

• Algoritmo F-F

• El algoritmo de Ford-Fulkerson proponebuscar caminos en los que se pueda aumentarel flujo, hasta que se alcance el flujo máximo.

• La idea es encontrar una ruta de penetracióncon un flujo positivo neto que una los nodosorigen y destino.

Page 30: Modelo de redes y redes petri

• Consideraremos las capacidades iniciales del arco que une el nodo i y el nodo j como Cij y Cji.

• Estas capacidades iniciales irán variando a medida que avanza el algoritmo, denominaremos capacidades residuales a las capacidades restantes del arco una vez pasa algún flujo por él, las representaremos como cij y cji.Para un nodo j que recibe el flujo del nodo i, definimos una clasificación [aj,i] donde aj es el flujo del nodo i al nodo j.Los pasos del algoritmo se definen como sigue:

Page 31: Modelo de redes y redes petri

• Paso 1: Inicializamos las capacidadesresiduales a las capacidades iniciales, hacemos(cij,cji)=(Cij,Cji) para todo arco de la red.Suponiendo el nodo 1 como el nodo origen,hacemos a1=∞ y clasificamos el nodo origencon *∞,-]. Tomamos i=1 y vamos al paso 2.

Page 32: Modelo de redes y redes petri

• Paso 2: Determinamos Si como un conjunto que contendrá los nodos a los que podemos acceder directamente desde i por medio de un arco con capacidad positiva

• Si Si contiene algún nodo vamos al paso 3, en el caso de que el conjunto sea vacío saltamos al paso 4.

Page 33: Modelo de redes y redes petri

• Paso 3: Obtenemos kЄSi como el nodo destino del arco de mayor capacidad que salga de i hacia un nodo perteneciente a Si.

• Es decir, cik = max{cij} con jЄSi.• Hacemos ak=cik y clasificamos el nodo k con

[ak,i]. • Si k es igual al nodo destino o sumidero, entonces

hemos encontrado una ruta de penetración, vamos al paso 5.

• En caso contrario continuamos con el camino, hacemos i=k y volvemos al paso 2.

Page 34: Modelo de redes y redes petri

• Paso 4 (retroceso): Si i=1, estamos en el nodo origen, y como Si es vacío, entonces no podemos acceder a ningún nodo, ni encontrar algún nuevo camino, hemos terminado, vamos al paso 6.En caso contrario, i≠1, le damos al valor i el del nodo que se ha clasificado inmediatamente antes, eliminamos i del conjunto Si actual y volvemos al paso 2.

Page 35: Modelo de redes y redes petri

• Paso 5: Llegados a este paso tenemos un nuevo camino: Np={1,k1,k2,...,n}, esta será la p-ésima ruta de penetración desde el nodo origen al nodo destino.

• El flujo máximo a lo largo de esta ruta será la capacidad mínima de las capacidades residuales de los arcos que forman el camino, es decir: fp=min{a1,ak1,ak2,...,an}.

Page 36: Modelo de redes y redes petri

• La capacidad residual de cada arco a lo largo de la ruta de penetración se disminuye por fpen dirección del flujo y se incrementa por fpen dirección inversa, es decir, para los nodos iy j en la ruta, el flujo residual se cambia de la (cij,cji) actual a (cij-fp,cji+fp)si el flujo es de i a j, o (cij+fp,cji-fp) si el flujo es de j a iInicializamos i=1 y volvemos al paso 2 para intentar una nueva ruta de penetración.

Page 37: Modelo de redes y redes petri

• Paso 6 (solución): Una vez aquí, hemos determinado m rutas de penetración. El flujo máximo en la red será la suma de los flujos máximos en cada ruta obtenida, es decir: F=f1+f2+...+fm.

Page 38: Modelo de redes y redes petri

• Teniendo en cuenta que las capacidadesresiduales inicial y final del arco (i, j) las dan(Cij,Cji) y (cij,cji) respectivamente, el flujomáximo para cada arco se calcula como sigue:sea (α, β)=(Cij-cij, Cji-cji), si α>0, el flujoóptimo de i a j es α, de lo contrario, si β>0, elflujo óptimo de j a i es β.

• Es imposible lograr que tanto αcomo β seanpositivas.

Page 39: Modelo de redes y redes petri

Ejemplo

Page 40: Modelo de redes y redes petri

• Iteración 1• Determinamos las residuales iniciales (cij,cji) iguales a

las capacidades iniciales (Cij,Cji).

• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.

• Paso 2: S1={2,3,4} (no vacío).

• Paso 3: k=3 ya que c13=max{c12,c13,c14}={20,30,10}=30.

• Hacemos a3=c13=30 y clasificamos el nodo 3 con [30,1]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.

• Paso 2: S3={4,5}

Page 41: Modelo de redes y redes petri

• Paso 3: k=5 y a5=c35=max{10,20}=20. Clasificamos elnodo 5 con [20,3]. Logramos la penetración, vamos alpaso 5.

• Paso 5: La ruta de la penetración se determina de lasclasificaciones empezando en el nodo 5 y terminando enel nodo 1, es decir, 5→[20,3]→3→[30,1]→1.Entonces laruta es N1={1,3,5} y f1=min{a1,a3,a5}={∞,30,20}=20.

• Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:

• (c13,c31)=(30-20, 0+20)=(10,20)

• (c35,c53)=(20-20, 0+20)=(0,20)

Page 42: Modelo de redes y redes petri

Iteración 2

• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. Paso 2: S1={2,3,4}. Paso 3: k=2 y a2=c12=max{20,10,10}=20.

• Clasificamos el nodo 2 con [20,1]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2. Paso 2: S2={3,5} Paso 3: k=3 y a3=c23=max{30,40}=40. Clasificamos el nodo 3 con [40,2]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.

Page 43: Modelo de redes y redes petri

• Paso 2: S3={4} (c35=0, el nodo 1 ya ha sido clasificado y el nodo 2 cumple ambas condiciones, por tanto los nodos 1, 2 y 5 no pueden ser incluidos en S3).

• Paso 3: k=4 y a4=c34=10. Clasificamos el nodo 4 con [10,3]. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2.

• Paso 2: S4={5}• Paso 3: k=5 y a5=c45=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,4]. • Logramos la penetración, vamos al paso 5.• Paso 5: La ruta de la penetración es:

5→[20,4]→4→[10,3]→3→[40,2]→2→[20,1]→1.• Entonces la ruta es N2={1,2,3,4,5} y f2=min{∞,20,40,10,20}=10.• Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son: • (c12,c21)=(20-10, 0+10)=(10,10)• (c23,c32)=(40-10, 0+10)=(30,10)• (c34,c43)=(10-10, 5+10)=(0,15)• (c45,c54)=(20-10, 0+10)=(10,10)

Page 44: Modelo de redes y redes petri

Iteración 3

• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. • Paso 2: S1={2,3,4}. • Paso 3: k=2 y a2=c12=max{10,10,10}=10, rompemos el empate arbitrariamente.

Clasificamos el nodo 2 con [10,1]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2. • Paso 2: S2={3,5}• Paso 3: k=3 y a3=c23=max{30,30}=30. Clasificamos el nodo 3 con [30,2]. Tomamos

i=3 y repetimos el paso 2. • Paso 2: S3 vacío ya que c34=c35=0. Vamos al paso 4 para retroceder.

Page 45: Modelo de redes y redes petri

• Paso 4: La clasificación [30,2] nos dice que el nodo inmediatamente precedente es el 2. Eliminamos el nodo 3 de una consideración posterior en esta iteración.

• Tomamos i=2 y repetimos el paso 2. • Paso 2: S2={5}• Paso 3: k=5 y a5=c25=30. Clasificamos el nodo 5 con [30,2].

Logramos la penetración, vamos al paso 5. • Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[30,2]→2→[10,1]→1.• Entonces la ruta es N2={1,2,5} y f3=min{∞,10,30}=10. • Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son: • (c12,c21)=(10-10, 10+10)=(0,20)• (c25,c52)=(30-10, 0+10)=(20,10)

Page 46: Modelo de redes y redes petri

Iteración 4

• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. • Paso 2: S1={3,4}. • Paso 3: k=3 y a3=c13=max{10,10}=10. Clasificamos el nodo 3 con [10,1].

Tomamos i=3 y repetimos el paso 2. • Paso 2: S3={2}• Paso 3: k=2 y a2=c32=10. Clasificamos el nodo 2 con [10,3]. Tomamos i=2

y repetimos el paso 2.

Page 47: Modelo de redes y redes petri

• Paso 2: S2={5}• Paso 3: k=5 y a5=c25=20. Clasificamos el nodo 5 con

[20,2]. Logramos la penetración, vamos al paso 5. • Paso 5: La ruta de la penetración es:

5→[20,2]→2→[10,3]→3→[10,1]→1.Entonces la ruta es N4={1,3,2,5} y f4=min{∞,10,10,20}=10.

• Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son: • (c13,c31)=(10-10, 20+10)=(0,30)• (c32,c23)=(10-10, 30+10)=(0,40)• (c25,c52)=(20-10, 10+10)=(10,20)

Page 48: Modelo de redes y redes petri

Iteración 5

• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. • Paso 2: S1={4}. • Paso 3: k=4 y a4=c14=10. Clasificamos el nodo 4 con [10,1]. Tomamos i=4 y

repetimos el paso 2. • Paso 2: S4={3,5}• Paso 3: k=3 y a3=c23=max{15,10}=15. Clasificamos el nodo 3 con [15,4]. Tomamos

i=3 y repetimos el paso 2. • Paso 2: S3 vacío ya que c32=c34=c35=0. Vamos al paso 4 para retroceder.

Page 49: Modelo de redes y redes petri

• Paso 4: La clasificación [15,4] nos dice que el nodo inmediatamente precedente es el 4. Eliminamos el nodo 3 de una consideración posterior en esta iteración. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2.

• Paso 2: S4={5}• Paso 3: k=5 y a5=c45=10. • Clasificamos el nodo 5 con [10,4]. Logramos la penetración, vamos

al paso 5. • Paso 5: La ruta de la penetración es:

5→[10,4]→4→[10,1]→1.Entonces la ruta es N2={1,4,5} y f3=min{∞,10,10}=10.

• Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son: • (c14,c41)=(10-10, 0+10)=(0,10)• (c45,c54)=(10-10, 10+10)=(0,20)

Page 50: Modelo de redes y redes petri

Iteración 6

• No son posibles más penetraciones, debido a que todos los arcos fuera del nodo 1 tienen residuales cero. Vayamos al paso 6 para determinar la solución.

• Paso 6: El flujo máximo en la red es F=f1+f2+...+f5=60 unidades.

• El flujo en los diferentes arcos se calcula restando las últimas residuales obtenidas en la última iteración de las capacidades iniciales:

Page 51: Modelo de redes y redes petri

Teorema del corte mínimo y flujo máximo.

• El teorema del corte mínimo y flujo máximose utiliza para encontrar ahorros en las rutasque se determinan.

• Estudiar el acoplamiento así como algunostipos de acoplamientos que pueden existir enuna red, así como también la forma deexpresarlos.

Page 52: Modelo de redes y redes petri

Corte mínimo

• En lo que respecta a las redes, un corte es unconjunto en el cual quedan dos partes disjuntasdel conjunto de vértices, V1 y V2 que, situados enla red, dejan la fuente en una de ellas y alsumidero en la otra

• Definición de capacidad de un corte• Se llama capacidad de un corte a la suma:• Capacidad (v,w) ; v Є V1 , w ЄV2

• V1 es la parte que contiene a la fuente• V2 es la parte que contiene al sumidero

Page 53: Modelo de redes y redes petri

• Sea F un flujo en G y sea (P, P) un corte en G. Entonces la capacidad de (p, p) es mayor o igual que el valor de F; es decir:

• i ЄP JЄPCij i F

ai

• La notación i : Significa la suma sobre todos los vértices i• Demostración: observe j ЄP iЄP

Cji = j ЄP iЄPF

ij

• Pues cada lado de la ecuación es simplemente la suma de Fij sobre todas las de i, j Є P

• El corte minimal nos da la mínima capacidad del corte efectuado en el grafo.

Page 54: Modelo de redes y redes petri

FLUJO MÁXIMO Y EL CORTE MÍNIMO

• Sea F un flujo en G y sea (P, P) un corte en G si laigualdad se cumple entonces el flujo es máximo y elcorte es mínimo si y solo si:

• 1) FI J = CI J para i ЄP, J Є P

• 2) Fij =0 para i Є P, J Є P

• El valor del flujo maximal de una red es igual a lacapacidad del corte minimal que se puede aplicar a lared.

• Se puede obtener, por tanto el corte minimal de unared, conociendo el flujo maximal de la red obtenidomediante la aplicación del algoritmo anteriormentedefinido.

Page 55: Modelo de redes y redes petri

• Metodología

• En el último grafo del algoritmo de flujo maximal, de todos los cortesposibles, serán cortes minimales aquellos que estén formados por aristasen las que el valor de la capacidad coincida con el valor del flujo. Paramejor comprensión ver ejemplo:

• La sig. figura, si hacemos P={a,b,d} entonces K={c,e,f,z} y (P,K) es un corteen G.

Page 56: Modelo de redes y redes petri

Acoplamientos

• A=J2 Y J5•

• B=J2 Y J5•

• C=J1, J3, J4 Y J5•

• D=J2 Y J5•

• Supóngase que 4 personas A, B, C, y D llenan solicitudes para cinco trabajos j1,j2, j3, j4 y j5. • Considérese que el solicitante A está calificado para j2 y j5, el solicitante B esta calificado

para j2 y j5, el solicitante C j1, j3, j4 , j5 y D= j2 y j5

Page 57: Modelo de redes y redes petri

• La situación puede ser modelada por el grafo de lafigura anterior donde los vértices representan a lossolicitantes y a los trabajos.

• Un lado une a un solicitante con el trabajo para el cualesta calificado.

• Es posible demostrar que no se puede acoplar untrabajo con cada solicitante; basta considerar que A, By D están calificados solo para los trabajo J2 y J5.

• Si A y B se les asigna un trabajo, no queda trabajoalguno para D.

• Por lo tanto no existe asignación de trabajo para A, B, Cy D.

Page 58: Modelo de redes y redes petri

• En el ejemplo anterior consiste en hallartrabajos para las personas calificadas.

• Un acoplamiento maximal determina trabajospara el máximo numero de personas y seindican con líneas gruesas.

• Un acoplamiento completo halla trabajo paratodos los solicitantes.

• Se prueba que el grafo anterior no es un pareocompleto.

Page 59: Modelo de redes y redes petri

• La definición formal es: sea G un grafo dirigidobipartito con conjuntos disjuntos de vértices V y W,en el cual los lados están dirigidos desde los vérticesde V a W (cualquier vértice de G esta en V o en W,pero no en ambos) un acoplamiento para G es unconjunto de lados E los cuales no tienen vérticescomunes.

• Un acoplamiento maximal para G es un acoplamientoE que contiene el máximo numero de lados completos.Un acoplamiento completo para G es un acoplamientoE que tiene la siguiente propiedad:

Page 60: Modelo de redes y redes petri

• Si v V, entonces (v,w) E, para algún wW.

• Ejemplo:

• En la siguiente figura el acoplamiento con líneas gruesas que aparece en maximal y completo. Este ejemplo también puede modelarse como un problema de redes.

Page 61: Modelo de redes y redes petri

• Modele el problema de esta figura como un problema de redes:

Page 62: Modelo de redes y redes petri

• En primer lugar se asigna la capacidad 1 acada lado del grafo.

• A continuación se agrega una superfuente a ylados con capacidad 1 que van desde a a cadalado uno de A,B,C y D.

• finalmente, se introduce un superdeposito z ylados de capacidad 1 en cada lado que van deJ1,J2, J3, J4 Y J5 a z .

Page 63: Modelo de redes y redes petri

• El teorema siguiente relaciona las redes acopladas y losflujos.

• Sea G un grafo dirigido bipartito con conjuntos disjuntos devértices V y W, en el cual los lados están dirigidos de losvértices de V a los vértices de W (cualquier vértice de Gestá en V o en W, pero no en ambos).

• Un flujo en la red de acoplamiento proporciona un pareoen G.

• El vértice v V es pareado con el vértice w W si y solo siel flujo en el lado (v, w) es 1.

• Un flujo maximal corresponde a un acoplamiento maximal.• Un flujo de valor V corresponde a un acoplamiento

completo.

Page 64: Modelo de redes y redes petri
Page 65: Modelo de redes y redes petri