Modelo de Payne

El modelo de Lighthill y Whitham asume que el flujo de tráfico obedece la relación de equilibrio (1), lo cual es una limitante de este modelo.

V ( x , t )=Ve [ p( x , t)] (1)

En 1971, Payne sugiere reemplazar la relación (1) por una ecuación dinámica para la velocidad media V (x, t), que deriva a partir del modelo microscópico de Newell, por medio de un desarrollo en serie de Taylor. El identifica las velocidades microscópicas y macroscópicas de la siguiente manera:

vα ( t+∆ t )=V ( x+V ∆ t , t+∆ t )≈ ¿, (2)

Y reemplaza el inverso de la distancia al carro de enfrente d®, por la densidad en el

punto x+dα (t)/2, es decir en el medio del vehículo líder y el que lo sigue:

1dα (t)

=p(x+dα (t )2, t)

¿ p(x+ 12 p,t ) (3)

≈ [ p ( x , t )+1/(2 p) ∂ p (x ,t)∂ x

]

Lo que conduce a:

ve (dα (t ) )=Ve ( 1dα (t ) )≈[Ve ( p ( x , t ) )+ 1

2 p ( x , t ) ] [ dVe (p )dp ( x ,t ) ] ∂ p(x ,t )∂ x

(4)

Y de lo anterior, finalmente obtiene la siguiente ecuación para la velocidad.

∂V∂ t

+V ∂V∂ x

=−D ( p )p

∂ p∂x

+ 1∆ t

[Ve (p )−V ] (5)

Dónde:

D (p )= −12∆ t

∂Ve∂ p

= 12∆ t [ ∂Ve∂ p ]

(6)

Al término V ∂V /∂ x, se le llama término de convección y describe los cambios de la velocidad en la posición x producidos por el movimiento promedio de los vehículos. El

termino de anticipación −D( p)∂ p /∂x , toma en cuenta la anticipación de los vehículos

a las condiciones de tráfico a su alrededor. Finalmente el término de relajación

( 1∆ t )[Ve ( p )−V ], delinea una adaptación exponencial de la velocidad promedio V a la

velocidad Ve (p) con un tiempo de relajación ∆ t . El modelo de Payne coincide

perfectamente con el modelo de Newell si se considera τ=∆ t . Cuando ∆ t →0 en este modelo recuperamos el modelo de Lighthill y Whitham con un coeficiente de difusión dependiente de la densidad. Numéricamente hablando, el modelo de Payne no es muy robusto y la solución del mismo requiere modificar el modelo original con un término de viscosidad numérica.

Modelo de Phillips

En este modelo Phillips considera la ecuación de continuidad ∂ p ( x , t )∂ t

+∂J ( x ,t )∂ x

=0 y

la siguiente ecuación para la velocidad.

∂V∂ t

+V ∂V∂ x

=−∂ Pp∂ x

+ 1τ (p )

[Ve ( p )−V ] (7)

La cantidad P ( x , t )=p(x ,t )θ (x , t) es conocida como presión de tráfico y θ(x , t) es la

varianza de la velocidad. Para poder tener un modelo cerrado y resolver necesitamos

tener una relación entre la varianza θ(x , t) y las cantidades p(x , t) y V (x , t) que son

las variables dinámicas de este modelo. Phillips propone la relación

θ ( x ,t )=θ0[1−p ( x ,t )po

]. De acuerdo con esta propuesta, la varianza decrece conforme

se incrementa la densidad y se hacen cero junto con Ve (p) cuando p=po. En cierto

intervalo de densidad este modelo produce tráfico inestable, pero al igual que el modelo de Payne tampoco es muy robusto. Otra cosa importante de recalcar, con respecto a este modelo, es que la derivada de la presión con respecto a la densidad

puede tomar valores negativos para el intervalo po2

< p< po, indicando que los

vehículos aceleran hacia el embotellamiento, lo cual no es realista.