Modelo de Bandas Parte 1:

Método de Krönig-Penney para

potenciales periódicos

Melissa Yaqueno - Andrés Escárraga

Física del Estado Sólido Dr Héctor Sanchez Escuela de Ingeniería de Materiales Universidad del Valle

Electrones libres en gas de Fermi Los núcleos están ionizados en el metal porque los electrones exteriores (valencia) están “ desligados” y fluyen en una nube electrónica entre si.

+ + + + +

Esquema de cristal monovalente. Nube electrónica.

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

Donde , para condiciones de limite periódico de un cubo de lado L

)rk()r( ie

Modelo de electrones Libres

El principio de Exclusión de Pauli, prohíbe ocupar un nivel de energía, por más de dos electrones con diferente Spin. El nivel máximo de energía es llamado Energía de Fermi. Estas son las energías permitidas.

El comportamiento libres de los electrones se describen por:

Origen del Band Gap

Band Gap o Brecha de energía

)rk()r( ie

Cada punto representan las Energías permitidas para k , depende de la densidad electrónica

E versus vector de onda k para un electrón en una red de parámetro a. Valor positivo de k indica que electrón se mueve en dirección positiva de x y viceversa. Los estados de energía del electrón libre se ven perturbados por la influencia de los iones, se convierte en un electrón casi libre entre dos puntos de la red.

El comportamiento de los electrones YA NO es el mismo.

???)r(

Funciones de onda de un electrón en un potencial

periódico

Longitud de ondas de electrones es mucho mayor que el parámetro a, así que

las funciones de onda y las bandas de energía son similares a cuando U=0.

01 U)( tkxiAe

m

kE

2

22

ak

U

01

Funciones de onda son ondas planas y

bandas de energía son parabólicas

ak

U

01 Las ondas de los electrones son retrodispersados así que se forman ondas

estacionarias: tiikxikxtkxitkxi eeeAeeC

2

1)()(

ak

U

01 Longitudes de onda de electrones se aproximan al parámetro “a”, así que

las ondas se empiezan a retrodispersar. )()( tkxitkxi BeAe

AB

Origen del Band Gap

axiikx

axiikx

ee

ee

/2

/1

a

xee axiaxi cos2//

21

/ /

1 2 2 sini x a i x a xe e i

a

Las funciones de onda del electrón en k=±𝑛π/𝑎, no son ondas viajera tipo exp(iπx/a) de

electrones libres, donde hay igual número de ondas que viajan a la derecha e izquierda.

Debido al efecto de la reflexión de Bragg, las ondas que viajan a la derecha son

reflejadas a la izquierda y viceversa.

Entonces la onda no viaja ni a la derecha ni a la izquierda sino que se mantiene

estacionaria.

Ondas viajeras electrón libre

Origen del Band gap

Sinusoidal

Cosenoidal Primer zona de Brillouin

/ /

1 2 2 sini x a i x a xe e i

a

a

xee axiaxi cos2//

21

Un gap de energía Eg ocurre cuando el vector de onda es k=±π/a (primer zona de Brilliouin), y en adelante otros Eg ocurren para k=±𝑛π/a, donde las ondas son reflejadas. Donde G es un vector de la red reciproca.

Ley de Bragg

Es decir con k=±𝒏π/a se satisface la ley de Bragg.

Zonas de Brillouin y las bandas de energía

LAS CURVAS SON LA ENERGÍA SEGÚN COULOMB Y LAS RECTAS SON LA ENERGÍA SEGÚN BOHR

Consideraciones

El potencial de interacción con los iones es periódico

La energía potencial del cristal es periódica

La interacción con los núcleos atómicos es de corto alcance. Está decae muy rápidamente al alejarse

Energía potencial del electrón

REPRESENTACION DEL CAMPO DE ENERGÍA POTENCIAL DEL

CRISTAL UNIDIMENSIONAL

Densidad electrónica en una red periódica Para una onda viajera tenemos que la densidad de probabilidad es p= exp(-ikx) *exp(ikx) = 1, es decir constante. En un potencial periódico la densidad de probabilidad de carga electrónica no es constante para la combinación de sus dos ondas planas.

)rk()r( ie

La función de onda ψ(+) agrupa la carga electrónica (negativa) bajo la influencia de los núcleos de iones positivos, donde la energía potencial del electrón es el menor. ψ(-) agrupa la carga electrónica lejos de la influencia de los iones, donde la E potencial del electrón es mayor. Esta diferencia de energía entre estos dos estados se conoce como Eg, gap de energía.

Teorema de Bloch y funciones de ondas

En 1928 Bloch demostró que la solución de la ecuación

de Schrödinger para electrones en un potencial

periódico es el producto de una onda plana por una

función que represente la periodicidad de la red.

ErUm

)(

2

22

)()( rUTrU

Donde la energía potencial es

invariante baja un vector de

traslación de red T

rki

kkerur

)()(

“Función de onda de Bloch”

)()( ruTrukk

donde

cwbvauT

y

Felix Bloch

1905-1983

Heisenberg and Bloch

Who says physicists don’t have any fun?

El Modelo Krönig-Penney En 1931 Krönig y Penney aproximaron el potencial experimentado por los electrones en una red unidimensional como una sucesión de pozos de potencial finitos. Tamaño del pozo se debe al espaciamiento de los átomos en la red. Entre ellos se encuentran barreras de potencial, que representan la energía potencial V0 que un electrón debe ganar para salir de la influencia del átomo o ion positivo.

De esta manera, encontraron posible realizar un modelo matemático del comportamiento de los electrones (movimiento) dentro de un cristal aproximado pero útil para describir las características físicas del comportamiento cuántico de los electrones en redes periódicas.

Desarrollo del modelo matemático

Bandas permitidas y prohibidas

Referencias

• Introduction to Solid State Physics. Charles Kittel

• Física Cuantica. Eisberg-Resnick

• Clases de State Solid Chemistry. MIT Opencourse ware