Modelo de Dispersión

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Análisis estadístico de un modelo de dispersión. La evaluación estadística de un modelo se realiza por comparación de los datos entregados por el modelo (concentraciones modeladas o predichas) con los datos monitoreados (u observados) en el lugar de estudio. Por lo general se pueden considerar todas las concentraciones, o agrupar las más altas o aquellas que sobrepasen la norma de calidad de aire. Se obtienen datos de concentración en promedios horarios, diarios, etc. simulados por el modelo y se comparan con datos monitoreados en las estaciones de monitoreo que estén disponibles en el área de estudio. Los datos de concentraciones obtenidos se pueden comparar realizando estadísticas de todas las concentraciones observadas y predichas respetando la hora en que éstas ocurren, es decir se comparan ambas series de tiempo. Por otro lado se eligen las concentraciones más altas, que sobrepasen la norma de calidad del aire, tanto predichas como observadas y se realiza un ranking de éstas de mayor a menor sin importar la hora en que ocurren, de esta manera se generan dos conjuntos de valores decrecientes de concentraciones, uno proveniente del monitoreo y el otro de la simulación, así se pueden comparar las distribuciones de concentraciones observadas y modeladas. Siendo “n” el número de datos de concentración (µg/m3) calculados y monitoreados, Oi (µg/m3) la concentración promedio horaria observada, Pi (µg/m3) la concentración promedio horaria simulada por el modelo, los siguientes parámetros para la evaluación de modelos de dispersión han sido recomendados por la EPA de EEUU en el documento “Guideline on Air Quality Models” (1986): - Concentracion media observada (O)

On

O ii

n

==∑

1

1

Ecuación 1

- Concentración media modelada (P)

Pn

Pii

n

==∑

1

1

Ecuación 2

- Desviaciones estándar de lo observado (σo), de lo modelado (σp)

σo ii

n

nO O=

−−

=∑

1

12

1

0 5

( )

.

Ecuación 3

σp ii

n

nP P=

−−

=∑

1

12

1

0 5

( )

.

Ecuación 4


- Concentración media del residual (SESGO)

SESGO O P= − Ecuación 5

- Diferencia media normalizada (NMD) o SESGO/Media Observada

NMDO P

O=

− Ecuación 6

- Error de la raíz cuadrada media (RMSE)

RMSEn

O Pi ii

n

= −

=∑

1 2

1

1 2

( )

/

Ecuación 7

La evidencia empírica indica el comportamiento esperado de estas variables, donde se espera fundamentalmente que el valor medio observado de concentraciones debe ser lo más parecido posible al valor medio modelado. Las desviaciones estándar de las concentraciones observadas y modeladas no deben diferir mucho tampoco. El valor medio residual y el error de la raíz cuadrada media deben ser lo más pequeños posibles. - Error de la raíz cuadrada media sistemático (RMSEs) y no-sistemático (RMSEns)

RMSEn

O Ps i ii

n

= −

=∑

1 2

1

1 2

( ɵ )

/

Ecuación 8

2/1

1

2)ˆ(1

−= ∑

=

n

i

iins PPn

RMSE Ecuación 9

donde,

ɵP a bOi i= + Ecuación 10

Siendo a, el intercepto y b la pendiente de una regresión lineal de mínimos cuadrados entre la variable predicha, Pi, y la variable observada Oi:

a P bO= − Ecuación 11

b

O O P P

O O

i ii

n

ii

n=

− −

−

=

=

∑

∑

( )( )

( )

1

2

1

Ecuación 12

Además se cumple que:

2 2 2s nsRMSE RMSE RMSE= + Ecuación 13


Según Willmott (1982) tanto el error cuadrático medio sistemático como el no-sistemático entregan valiosa información en cuanto a la potencialidad de mejorar los resultados del modelo. Para un buen modelo la porción no-sistemática del error cuadrático medio es ampliamente superior a la porción sistemática de RMSE. Una mayor porción sistemática de RMSE indica un modelo pobre, difícil de mejorar. Se definen dos parámetros que especifican la concordancia horaria de los datos: - Coeficiente de correlación (Corr)

Corrn

O O P Pi ii

n

o p

=

− −=∑

1 1

( )( )

σ σ Ecuación 14

- Índice de evaluación (IA)

( )IA

O P

P O

ii

ni

i ii

n= −

−

+

=

=

∑∑

1 12

2

1

( )

' ' Ecuación 15

Donde,

P P Oi i' = − Ecuación 16

O i' = −O Oi Ecuación 17

El índice de evaluación (o de concordancia) siendo adimensional, debe ser visto como una medida estandarizada del error cuadrático medio, teniendo un valor entre 0 y 1. Cuando su valor es 1, aquello indica una perfecta concordancia de las concentraciones observadas (Oi) y de las concentraciones entregadas por el modelo (Pi), si su valor es 0, aquello indica una concordancia deficiente entre los datos observados y predichos (Robeson, 1990). Como resultado de las desviaciones entre las concentraciones observadas y las predichas por los modelos en general, de acuerdo a las indicaciones de la EPA (EPA, 1986) para la evaluación de modelos de dispersión, un rango típico de variación de las concentraciones horarias o diarias es del orden de un 50%. Este rango de variación tolerado se debe a la incertidumbre propia de todo modelo de dispersión (Zanetti, 1990). Cada situación simulada por un modelo está caracterizada por condiciones “conocidas” para cada evento que corresponden a las variables medidas ingresadas al modelo como, por ejemplo, las características de la emisión y de la meteorología. Pero adicionalmente en todo modelo existen variables “desconocidas” en cada evento, como por ejemplo el nivel de turbulencia atmosférica. Aun cuando se tenga un modelo perfecto siempre existirán desviaciones de las concentraciones observadas. Un modelo se considera deficiente si la diferencia media normalizada (SESGO/Media observada) es superior a un 50 por ciento (US EPA, 1986):

O - P

O modelo deficiente> ⇒50%


El resultado de un gran número de estudios es que los modelos (EPA, 1986) presentan mejores resultados para predecir concentraciones promedio en el largo plazo que para estimar concentraciones de corto plazo en lugares específicos. Adicionalmente a estas estadísticas en el caso de comparar todas las concentraciones, es muy común realizar gráficos de frecuencia acumulada de la distribución de concentraciones tanto observadas como predichas y comparar la frecuencia acumulada de las salidas del modelo con la frecuencia acumulada de los datos monitoreados. La tabla siguiente resume los parámetros estadísticos que se pueden emplear para evaluar modelos de dispersión.

Tabla 1 Parámetros estadísticos analizados en la evaluación del modelo

Set de datos Parámetros analizados

Todas las concentraciones Sesgo/Media Observada (NMD) Raíz del error cuadrático medio (RMSE) Índice de evaluación (IA) Frecuencias acumuladas Coeficiente de correlación (Corr)

Concentraciones mas altas Sesgo/Media Observada (NMD) Número de sobrepasos a la norma de calidad del aire

Referencias.

1) Grønskei, K.E., S.E. Walker, y F. Gram. 1993. Evaluation of a model for hourly spatial

concentration distributions. Atmospheric Environment. 1:105-120.

2) Robeson, S.M., y D.G. Steyn. 1990. Evaluation and comparison of statistical forecast

models for daily maximum ozone concentrations. Atmospheric Environment. 2:303-312.

3) U.S. Environmental Protection Agency (EPA). 1986. Guideline on Air Quality Models

(Revised). EPA-450/2-78-027R, Office of Air Quality Planning and Standards, Research

Triangle Park, North Carolina, USA.

4) U.S. Environmental Protection Agency (EPA). 1984. Interim procedures for evaluating air

quality models (revised). EPA-450/4-84-023, Office of Air Quality Planning and Standards,

Research Triangle Park, North Carolina, USA.

5) Willmott, C.J. 1982. Some comments on the evaluation of model performance. Am. Met.

Soc. Bull. 63:1309-1313.

6) Zanetti, P. 1990. Air Pollution Modeling: Theories, Computational Methods and Available

Software. Van Nostrand Reinhold., New York, USA.

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