TEORIA DE REDES

Investigacin Operativa

MODELO DE ASIGNACIONDefinicin:Los problemas de asignacin aparecen en varios contextos de la ingeniera econmica, en donde se requiere asignar de manera ptima objetos o personas indivisibles a ciertas tareas, por ejemplo: Especializados en cada tipo de soldadura existentes (mig, tig, bajo el agua, elctrica, oxiacetilnica, etc.). Si no se cuenta con personal especializado representa un costo extra en gasto de material. Por lo tanto, se debe asignar a la persona ptima en cada puesto de trabajo para minimizar costos. En cada mquina (recta, zigzag, ojales, etc.) para minimizar tiempos de produccin. Grupo, pensando en optimizar los espacios disponibles.

El modelo de asignacin clsico se ocupa de compaginar a los trabajadores (con diversas habilidades) con los trabajos. Presumiblemente, la variacin de la habilidad afecta el costo de completar un trabajo. La meta es determinar la asignacin de costo mnimo de los trabajadores a los trabajos. El modelo de asignacin general con n trabajadores y n trabajos est representado en la tabla 5.31. El elemento cij representa el costo de asignar el trabajador i al trabajo j (i,j 5 1, 2,,n). No se pierde la generalidad al suponer que la cantidad de trabajadores y la de los trabajos son iguales, porque siempre podemos agregar trabajadores o trabajos ficticios para satisfacer esta suposicin.

El modelo de asignacin es un caso especial del modelo de transporte, donde los trabajadores representan los orgenes y los trabajos representan los destinos. La oferta (demanda) en cada origen (destino) es igual a 1. El costo de transportar al trabajador i al trabajo j es cij. De hecho, el modelo de asignacin puede resolverse de forma directa como un modelo de transporte (o como una PL regular). Sin embargo, el hecho de que la oferta y la demanda sean iguales a 1 conduce al desarrollo de un algoritmo de solucin simple llamado mtodo hngaro. Aunque el nuevo mtodo de solucin parece totalmente ajeno al modelo de transporte, en realidad el algoritmo tiene su origen en el mtodo simplex, al igual que el modelo de transporte.

Construccin del Modelo de AsignacinLas variables que se utilizan en el modelo de asignacin son variables binarias, es decir, variables que slo pueden tomar los valores 0 o 1. Matemticamente se escribe:

El costo total de la asignacin es igual a la suma de los productos de cada variable Xij por el costo asignado Cij

En las restricciones se asigna una persona a cada una de las tareas y cada tarea debe ser realizada por una persona, esto lo representamos como:

El modelo completo de asignacin se obtiene al aadir la restriccin de no negatividad y la de variables binarias:

Ejemplo 1Una empresa contrata a cuatro personas para cubrir los siguientes puestos: supervisor de acabado, supervisor de empaque, supervisor de produccin, supervisor de materia prima.A cada uno se aplica un examen de aptitudes para determinar sus habilidades. A partir del resultado delos exmenes se determina el costo que tiene su capacitacin para cada uno de los puestos. Los costos se presentan en la siguiente tabla.

Ejemplo 2Una empresa dedicada a la compra y venta de equipo de cmputo adquiri seis mquinas para ser vendidas, sin embargo, el cliente pide una prrroga de un mes para que le entreguen las mquinas. La empresa tiene que almacenar las seis mquinas durante este tiempo, se cotizan los precios de seis bodegas que pueden almacenar las mquinas, los costos se muestran en la siguiente tabla.

Mtodo hngaro Una vez que obtenemos el modelo de un problema de asignacin, es conveniente desarrollar un procedimiento que nos permita hallar la solucin ptima del mismo. Dos matemticos hngaros desarrollaron un algoritmo eficiente para el problema de asignacin llamado mtodo de matriz reducida o mtodo hngaro, en honor a sus creadores. Este algoritmo se usa para resolver problemas de minimizacin, ya que es ms eficaz que el empleado para resolver el problema del transporte por el alto grado de degeneracin que pueden presentar los problemas de asignacin. Utilizaremos dos ejemplos para presentar la mecnica del nuevo algoritmo. La siguiente seccin proporciona una explicacin del procedimiento basada en simplex.EjemploLos tres hijos de Joe Klyne, John, Karen y Terri, desean ganar algn dinero para sus gastos personales. El seor Klyne eligi tres tareas para sus hijos: podar el csped, pintar la puerta de la cochera y lavar los automviles de la familia. Para evitar la competencia anticipada entre los hermanos, les pide que presenten licitaciones individuales (secretas) por lo que consideren un pago justo por cada una de las tres tareas. La tabla 5.32 resume las licitaciones recibidas. Los nios respetarn la decisin de su padre con respecto a la asignacin de las tareas. El problema de asignacin se resolver por el mtodo hngaro.

Paso 1. Determine pi, el elemento de costo mnimo en la fila i de la matriz de costos original, y rstelo de todos los elementos de la fila i, i 5 1, 2, 3.Paso 2. Para la matriz creada en el paso 1, determine qj, el elemento de costo mnimo de la columna j, y rstelo de todos los elementos de la columna j, j 5 1, 2, 3.Paso 3. A partir de la matriz del paso 2, intente determinar una asignacin factible entre todas las entradas cero resultantes.3a. Si puede hallarse esa asignacin, es ptima.3b. De lo contrario, se requieren ms clculos (como se explicar en el ejemplo 5.4-2).

La tabla 5.33 demuestra la aplicacin de los dos pasos al problema actual.Las celdas con entradas cero subrayadas en el paso 3 dan la solucin ptima (factible): John obtiene el trabajo de pintar, Karen el de podar el csped, y Terri obtiene el de lavar los automviles de la familia. El costo total para el seor Klyne es 9 + 8 + 8 = $27. Esta cantidad siempre ser igual (p1 + p2 + p3) + (q1 + q2 + q3) = (9 + 9 + 8) + (0 + 1 + 0) = $27.

Como se indica en el paso 3 del mtodo hngaro, los ceros creados por los pasos 1 y 2 pueden no dar una solucin factible de forma directa. En este caso, se necesitan ms pasos para determinar la asignacin ptima (factible). El siguiente ejemplo demuestra esta situacin.Ejemplo 5.4-2Suponga que la situacin analizada en el ejemplo 5.4-1 se ampla a cuatro nios y cuatro tareas.La tabla 5.34 resume los elementos de costo del problema.

La aplicacin de los pasos 1 y 2 a la matriz de la tabla 5.34 (con p1 = 1, p2 = 7, p3 = 4, p4 = 5, q1 = 0, q2 = 0, q3 = 3 y q4 = 0) da por resultado la matriz reducida de la tabla 5.35 (comprubelo!). Las ubicaciones de las entradas cero no permiten asignar tareas nicas a todos los nios. Por ejemplo, si asignamos al nio 1 la tarea 1, entonces se eliminar la columna 1, y el nio tres no tendr una entrada cero en las tres columnas restantes. Este obstculo puede superarse agregando el siguiente paso al procedimiento dado en el ejemplo 5.4-1:Paso 3b. Si no pueden encontrarse asignaciones de elemento cero factibles, (i) Trace el mnimo de lneas horizontales y verticales en la ltima matriz reducida para cubrir todas las entradas cero.(ii) Seleccione la entrada mnima no cubierta y rstela de cada entrada no cubierta, y luego smela a cada entrada en la interseccin de dos lneas.(iii) Si no puede determinar una asignacin factible entre las entradas cero resultantes, repita el paso 3a.La aplicacin del paso 3b a la ltima matriz produce las celdas sombreadas en la tabla 5.36.La entrada mnima no sombreada (que se muestra subrayada) es igual a 1. Esta entrada se suma a la celda de interseccin y se resta de las celdas sombreadas restantes para producir la matriz de la tabla 5.37, y la solucin ptima indicada por los ceros subrayados.

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