Modelo Cobb Douglas Del Consumidor

EL MODELO COBB-DOUGLAS DEL CONSUMIDOR

ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA

Instituto de FilosofíaFacultad de Economía

Universidad [email protected]

1. El modelo Cobb-Douglas

Si adoptamos la función de utilidad Cobb-Douglas sobre el ortante de un es-pacio específico obtenemos un modelo específico de la TCD. Aquí desarrolla-remos el modelo para L = 2. Es interesante observar que la función Cobb-Douglas representa una relación de preferencia clásica. En la construcción decualquier modelo se requiere obtener las siguientes funciones:

(1) La función � de demanda walrasiana, la cual asigna a cada sistema deprecios-riqueza (p1; p2;w) el menú de consumo ( x1; x2) = �(p1; p2;w)que maximiza la utilidad del agente bajo ese sistema. Esta función seobtiene resolviendo el PMU.

(2) La función indirecta de utilidad v, la cual asigna a cada (p1; p2;w) lautilidad máxima que el consumidor puede alcanzar en esa situación;es decir, la utilidad que le brinda su consumo óptimo: v(p1; p2;w) =u[�(p1; p2;w) ℄.

(3) La función de demanda hicksiana h, la cual asigna a cada vector(p1; p2; u) , donde u es un nivel de utilidad determinado, el menú deconsumo ( x1; x2) que minimiza el costo de alcanzar el nivel de utilidadu: h(p1; p2; u) = ( x ; y) . Esta función se obtiene resolviendo el PMG.

(4) La función de gasto e, la cual asigna a cada (p1; p2; u) , donde u es unnivel de utilidad determinado, el costo mínimo de alcanzar el nivel deutilidad u: e(p1; p2; u) = p1x1 + p2x2 = ph(p1; p2; u) . Debe verificarseque e(p1; p2; �(p1; p2;w)) = w.

1

2 GARCÍA DE LA SIENRA

Así, para un consumidor con una función Cobb-Douglas se requiere resol-ver el PMU, el PMG y determinar las funciones siguientes:

(1) La función de demanda walrasiana �(p1; p2;w) ;

(2) la función de utilidad indirecta v(p1; p2;w) ;

(3) la función de demanda hicksiana h(p1; p2; u) ;

(4) la función de gasto e(p1; p2; u)

Una vez hecho esto, hay que hacer lo siguiente:

(5) Demostrar que

e(p1; p2; v(p1; p2;w)) = w y v(p1; p2; e(p1; p2; u)) = u:(6) Demostrar quer(p1;p2) e(p1; p2; u) = h(p1; p2; u) :(7) Demostrar que las funciones satisfacen la Ecuación de Slutsky:

Dph(p;u) = Dp�(p;w) + [�1(p;w)Dw�(p;w) � � � �L(p;w)Dw�(p;w) ℄ :(8) Demostrar que satisfacen la Identidad de Roy:�(p;w) = � 1rwv(p;w)

rpv(p;w) :Se procede primero a resolver el PMU:

Maximizar x�1 x1��2

sujeto a p1x1 + p2x2 = w

Para ello, comenzamos por formular el lagrangiano:

L(x1; x2; �) = x�1 x1��2 + �[w � p1x1 � p2x2℄:

MODELO COBB-DOUGLAS 3

Derivando L con respecto a x1, x2 y �, e igualando las derivadas a cero, obte-nemos las condiciones de primer orden:�x��1

1 x1��2 � �p1 = 0 (1)

(1� �)x�1 x��2 � �p2 = 0 (2)

w � p1x1 � p2x2 = 0: (3)

Despejando � en (1) y (2), obtenemos� = p�11 �x��1

1 x1��2 (4)

y � = p�12 (1� �)x�1 x��

2 (5)

Así,

p�11 �x��1

1 x1��2 = p�1

2 (1� �)x�1 x��2 : (6)

Para separar variables, multiplicamos ambos lados de (6) por x�2 y obtene-mos

p�11 �x��1

1 x2 = p�12 (1� �)x�1 : (7)

Multiplicando ahora ambos lados de (7) por x1��1 ,

p�11 �x2 = p�1

2 (1� �)x1: (8)

Despejando x2, obtenemos

x2 = p1��1p�12 (1� �)x1: (9)

Al sustituir la parte derecha de (9) por x2 en la tercera condición, obtenemos:

w = p1x1 + p2p1��1p�12 (1� �)x1= p1x1 + p1��1(1� �)x1= p1

�x1 + ��1(1� �)x1

�= p1�1 + ��1(1� �)

�x1= p1��1x1:


Luego, x1 = �p�11 w y, sustituyendo x con x en la ecuación (9), obtenemos

x2 = p1��1p�12 (1� �)�p�1

1 w= (1� �)p�12 w:

Por lo tanto, la función de demanda walrasiana es�(p1; p2;w) = " �p�11 w

(1� �)p�12 w

#(10)

La función de utilidad indirecta se calcula así:

v(p1; p2;w) = u [�(p1; p2;w) ℄= ��p�11 w

�� (1� �)p�1

2 w�1��= ��p��

1 w�(1� �)1��p��12 w1��= ��(1� �)1��p��

1 p��12 w

Procedemos ahora a resolver el PMG para determinar la función de deman-da hicksiana. El problema es

Minimizar(x1;x2)≧0 p1x1 + p2x2

sujeto a x�1 x1��2 = u

Nuevamente, procedemos a través de la introducción de un lagrangiano.

L(x1; x2; �) = �p1x1 � p2x2 + �[u � x�1 x1��2 ℄

con condiciones de primer orden�L�x1= �p1 � ��x��1

1 x1��2 = 0 (11)�L�x2

= �p2 � �(1� �)x�1 x��2 = 0 (12)�L�� = u � x�1 x1��

2 = 0: (13)


Despejando � dos veces e igualando,�p1��1x1��1 x��1

2 = �p2(1� �)�1x��1 x�2 :

Multiplicando por �x�1 x1��2

p1��1x1��1 x�1 x��1

2 x1��2 = p2(1� �)�1x��

1 x�1 x�2 x1��2

p1��1x1 = p2(1� �)�1x2

Despejando x2,

x2 = ��1(1� �)p1p�12 x1:

Sustituyendo en la condición 3,

x�1 [��1(1� �)p1p�12 x1℄1�� = u;

de donde

x1[��1(1� �)p1p�12 ℄1�� = u

y así,

x1 = [p1p�12 (1� �) ℄��1�1��u:

Sustituyendo en (2), y haciendo algunas transformaciones algebraicas,

x2 = [p1p�12 (1� �) ℄��u:

La resolución del PMG establece que la función de demanda hicksiana es

h(p1; p2; u) = "�1��(1� �)��1p��11 p1��

2 u��(1� �)�p�1 p��2 u

#(14)

La función de gasto es

e(p1; p2; u) = ��(1� �)��1p�1 p1��2 u; (15)


pues �1��(1� �)��1 + ��(1� �)� = �1��(1� �)�(1� �)�1+ ��(1� �)�= ��1��(1� �)�1 + �� (1� �)�= �� (1� �)�1 + 1�

(1� �)�= �� (1� �)�1 + (1� �)(1� �)�1�

(1� �)�= �� [�+ (1� �) ℄ (1� �)�1(1� �)�= �� [�+ (1� �) ℄ (1� �)��1= ��(1� �)��1

Por lo tanto,�e�p1= �1��(1� �)��1p��1

1 p1��2 u (16)�e�p2

= ��(1� �)�p�1 p��2 u: (17)

Las ecuaciones (13) y (14) implican quer(p1;p2) e(p1; p2; u) = h(p1; p2; u) (18)

Para demostrar que la función Cobb-Douglas satisface la Ecuación deSlutsky, observemos que

D(p;q) h(p; q; u) = "��1��(1� �)�p��2q1��u �1��(1� �)�p��1q��u�1��(1� �)�p��1q��u ��1��(1� �)�p�q�(�+1) u

#Ahora bien,��1��(1� �)�p��2q1��u = ��1��(1� �)�p��2q1�� (1� �)1��p��q��1w= �(� � 1)p�2w�1��(1� �)�p��1q��u = �1��(1� �)�p��1q��(1� �)1��p��q��1w= �(1� �)p�1

1 p�12 w

MODELO COBB-DOUGLAS 7�1��(1� �)�p��1q��u = �1��(1� �)�p��1q��(1� �)1��p��q��1w= �(1� �)p�11 p�1

2 w��1��(1� �)�p�q�(�+1) u = ��1��(1� �)�p�q�(�+1) �� (1� �)1��p��q��1w= �(� � 1)q�2w

De manera que

D(p;q) h(p; q; u) = " �(� � 1)p�2w �(1� �)p�11 p�1

2 w�(1� �)p�11 p�1

2 w �(� � 1)q�2w

# :Por otra parte,

D(p;q)�(p; q;w) = "��p�2w 00 (�� 1)q�2w

# :Además,

Dw�(p; q;w) = " �p�11

(1� �)p�12

# :Así,

Dp�(p;w) + [�1(p;w)Dw�(p;w) �2(p;w)Dw�(p;w) ℄ == "��p�2w 00 (�� 1)q�2w

#+ " �2p�2w �(1� �)p�11 p�1

2 w�(1� �)p�11 p�1

2 w (1� �)2q�2w

# == " �(� � 1)p�2w �(1� �)p�11 p�1

2 w�(1� �)p�11 p�1

2 w �(� � 1)q�2w

# == D(p;q)h(p; q; u)

Finalmente, para verificar que la función satisface la Identidad de Roy, no-temos que

1rwv(p; q;w)= ��(1� �)��1p�q1��


Además,rpv(p; q;w) = "��+1(1� �)1��p�(�+1) q��1w��(1� �)2��p��q��2w

#Una par de sencillas multiplicaciones muestra que�(p; q;w) = � 1rwv(p; q;w)

r(p;q) v(p; q;w) :DEFINICIÓN 1 Sea � : Æ � R+ ! una función de demanda walrasiana.Entonces(1) Si bp es un vector de precios fijo, la función Ebp:R+ ! , que asigna a

cada cantidad de dinero w el menú �(bp;w) , es llamada la función de

Engel o trayectoria de expansión de la riqueza.

(2) El efecto riqueza para el bien l en el punto (p;w) es��l�w(p;w) :

(3) Se dice que l es un bien normal en (p;w) syss [��l=�w℄(p;w) � 0; esdecir, si el efecto riqueza para l es no negativo en (p;w) .

(4) Se dice que l es inferior en (p;w) syss no es normal en (p;w) .

(5) Se dice que la (función de) demanda � es normal syss todo bien esnormal en todo (p;w) .

(6) El efecto precio sobre la demanda de l del precio pk del bien k en elpunto (p;w) es��l�pk

(p;w) :(7) Se dice que l es un bien de Giffen syss [��l=�pk℄(p;w) > 0; es decir, si

su efecto precio es positivo en todo (p;w) .

El efecto riqueza para el bien l en el punto (p;w) es la tasa de cambio de lademanda de ese bien con respecto a la riqueza en el punto y expresa cuántasunidades del bien l estaría dispuesto a adquirir el consumidor en la situación


(p;w) si aumentase su riqueza en una unidad. Análogamente, el efecto delprecio de k sobre l en (p;w) es la tasa de cambio de la demanda del bien l

con respecto al precio del bien k y expresa cuántas unidades del bien l estaríadispuesto a adquirir el consumidor si aumentase el precio de k en una uni-dad. Los efectos riqueza y precio pueden ser recogidos convenientemente ensendas matrices, la matriz de efectos riqueza

Dw(p;w) � 266664��1�w(p;w)...��L�w(p;w)

377775y la matriz de efectos precio

Dp(p;w) � 2666664 ��1�p1(p;w) � � � ��1�pL

(p;w)

.... . .

...��L�p1(p;w) � � � ��L�pL

(p;w)

3777775Las expresiones��l�w

(p;w)� � w ��l�pk

(p;w)� � pk

expresan, respectivamente, la cantidad de bien l que el agente estaría dispues-to a consumir si aplicara toda su riqueza ese bien, y la cantidad de bien l queestaría dispuesto a consumir si el precio del bien l aumentara pk unidades. Porejemplo, considérese la función de demanda26664p1

p2

p3

w

37775 7�! 266666666664p1

p1 + p2 + p3� w

p1

p3

p1 + p2 + p3� w

p2

p1

p1 + p2 + p3� w

p3

377777777775 (19)


donde los bienes 1, 2 y 3 son, respectivamente, frijoles, tortilla y chile. Si elsalario del agente es de $800 mensuales, los precios unitarios de los bienes sonde $3, $4 y $3 respectivamente, y (p;w) = (3; 4; 3; 800), obtenemos��2�w

(p;w) = 340

(20)

(21)��2�p1(p;w) = �6 (22)

(23)��2�p2(p;w) = �21 (24)

(25)��2�p3(p;w) = 14 (26)

Esto significa que el agente está dispuesto a consumir 0.075 tortillas adicio-nales por cada peso que aumente su riqueza. Si su riqueza aumentara hastaduplicar la que tiene en esa situación, es decir, w unidades adicionales, en-tonces el agente consumiría 60 tortillas adicionales. Asimismo, cada peso queaumente el precio del chile le predispone a consumir 14 tortillas adicionales,de modo que si duplicara su precio actual, aumentando p3 pesos su precio,el agente consumiría 42 tortillas adicionales. Afortunadamente para su esta-do de salud, si los precios de las mismas tortillas y los frijoles aumentaran enla misma proporción, el agente consumiría 102 tortillas menos, por lo que elaumento neto en el consumo de tortillas ¡terminaría siendo nulo! En efecto,��2�w

(p;w)� � w = 60��2�p1

(p;w)� � p1 = �18��2�p2

(p;w)� � p2 = �84��2�p3

(p;w)� � p3 = 42

Esta curiosa anulación mutua de los cambios en los precios y la riqueza es unsobresaliente resultado que constituye nuestro primer teorema.


TEOREMA 1 8(p;w) 2 Æ � R+:

LXk=1

��l�pk

pk + ��l�ww = 0:

De manera compacta,

Dp(p;w) � x(p;w) � p+ Dw(p;w)x � (p;w)w = [0 � � � 0℄t :Otros teoremas interesantes que involucran los efectos riqueza y precio son

los dos siguientes.

TEOREMA 2 (AGREGACIÓN DE COURNOT) El gasto total no puede cambiar en res-

puesta a un cambio de precios; e.e. para todo bien k y todo (p;w) 2 Æ � R+:

LXl=1

pl

��l�pk

(p;w) + �k(p;w) = 0:De manera compacta,

pDpx(p;w) + x(p;w) = [0 � � � 0℄t :TEOREMA 3 (AGREGACIÓN DE ENGEL) El gasto total debe cambiar en una canti-

dad igual a cualquier cambio de la riqueza; e.e. para todo (p;w) 2 Æ � R+:

LXl=1

pl

��l�w(p;w) = 1:

De manera compacta,

pDwx(p;w) = [1 � � � 1℄t :Consideremos nuevamente, para fijar ideas, el efecto riqueza sobre las torti-

llas, el cual vimos que era de 60. Si lo dividimos por la cantidad total de tortillasdemandadas en (3; 4; 3; 800), a saber �2(3; 4; 3; 800) = 60, obtenemos la cifrade 1, debido a que el agente aumenta en 1 % el consumo de tortillas cuan-do aumenta su riqueza; se dice que la demanda de tortillas tiene elasticidadunitaria. En general, las elasticidades de demanda nos dan una medida de lareactividad de la demanda ante cambios en la riqueza o los precios; signifi-can el porcentaje en que cambia la demanda por cada punto porcentual quecambia la riqueza o el precio. Se definen en general como sigue.


DEFINICIÓN 2 La elasticidad de la demanda del bien l con respecto a la riqueza es"lw(p;w) = ��l�w(p;w) � w�l (p;w)

:La elasticidad de la demanda del bien l con respecto al precio del bien k es"lk(p;w) = ��l�pk

(p;w) � pk�l (p;w):

Si "lw(p;w) � 1, se dice que la demanda del bien l es elástica con respecto a lariqueza; en caso distinto se dice que es inelástica. La definición de demandaelástica respecto del precio es análoga.

Como corolario del Teorema 1 se obtiene que un cambio porcentual entodos los precios y la riqueza deja la demanda invariante.

TEOREMA 4 Para todo bien l y todo (p;w) 2 Æ � R+:

LXk=1

"lk(p;w) + "lw(p;w) = 0:Como veremos adelante, es útil para efectos metodológicos caracterizar las

elasticidades mediante logaritmos.

TEOREMA 5 Para las elasticidades tenemos:"lw(p;w) = � log�l� log w(p;w)

y "lk(p;w) = � log�l� log pk

(p;w) :


Demostración: Sea y = log w, de donde podemos escribir w = ey. Luego,� log�l� log w= � log�l�y

(p; ey)= 1�l

� ��l�y= 1�l

� ��l�w� �ey�y= 1�l

� ��l�w� ey= 1�l

� ��l�w� w= ��l�w

� w�l= "lw:La otra identidad se demuestra de manera completamente análoga, si hace-mos y = log pk. �

Hasta aquí hemos desarrollado la teoría de la elección del consumidor apartir exclusivamente de los axiomas que la definen, los de la Definición 2. Lapregunta metodológica fundamental que surge ahora es la relativa al proble-ma de la inducción de funciones de demanda a partir de datos empíricos. Acontinuación procederemos a analizar este problema.

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