1

Modelo 2014. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dadas las matrices

=k34211111

A ,

=001010100

B

se pide: a) (0,5 puntos) Hallar los valores de k para los que existe la matriz inversa A−1. b) (1 punto) Hallar la matriz A−1 para k = 6. c) (1,5 puntos) Resolver la ecuación matricial AX − A = B para k = 6.

Solución. a. La condición necesaria y suficiente para que una matriz enga inversa es que su determinante sea distinto de cero.

( ) ℜ∈∀≠=++−++== k 016k438kk34211111

Adet

La matriz A tiene inversa para cualquier valor que tome el parámetro k.

b. Para k = 6:

=634211111

A ; 1A = , el determinante no depende del parámetro.

( )t1 adjAA1A =−

−−

−=

+−+

−+−

+−+

=011123120

1111

2111

2111

3411

6411

6311

3411

6421

6321

adjA ; ( )

−−

−=

011122

130adjA t

−−

−=

−−

−=−

011122

130

011122

130

11A 1

c. Para despejar una matriz en una ecuación, hay que tener en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo, por lo tanto para obtener una ecuación equivalente multiplicando una ecuación por una matriz, habrá que multiplicar por la misma matriz y en el mismo orden en los dos miembros, también hay que tener en cuenta que el producto de una matriz por su inversa es la matriz unidad (I) y por último que la matriz unidad es el elemento neutro de la multiplicación de matrices.

BAXA =−⋅ ABXA +=⋅ ( )ABAXAA 11 +⋅=⋅⋅ −−

AABAXI 11 ⋅+⋅=⋅ −− IBAX 1 +⋅= −

=

+

++−++++++++−++++−++

=

+

⋅

−−

−=+⋅= −

100010001

001010000002020100000030100

100010001

001010100

011122

130IBAX 1

−−

=

+

−−

−=

010231032

100010001

110221031

2

Septiembre 2013. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Dadas las matrices:

=

1aaa11aaa11aaa11

A ,

=

wzyx

X ,

=

0000

O

se pide: a) (1,5 puntos) Calcular el determinante de A. Determinar el rango de A según los valores de a. b) (0,5 puntos) Resolver el sistema homogéneo AX = O en el caso a = 1. c) (1 punto) Resolver el sistema homogéneo AX = O cuando a = ‒1.

Solución. a. Para calcular el determinante de la matriz A, se hacen ceros en una línea(fila o columna), utilizando las propiedades de los determinantes y se reduce a uno de orden tres.

( ) =−−−−−−−

⋅−⋅=

−−−−−−−

== +⋅−=⋅−=⋅−=

22

22

22

11

22

22

22FaFFFaFFFaFF

a1aa0a1a10a1a1a1

11

a1aa00a1a100aaa1a10

aa11

1aaa11aaa11aaa11

Adet144

133

122

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅−−⋅

⋅−⋅−=−−−−−⋅−= +

a1a1a1a11

a1a1a1aaa1a11a1 2

22

2211

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a1a1aa1a1a1a1a

11a1a1a1 3222 +⋅−=−−⋅−⋅−=

+⋅−⋅−⋅−=

Rango de A:

i. Si a ≠ ± 1, 0A ≠ ⇒ rg A = 4

ii. Si a = 1, 0A = ⇒ rg A < 4.

=

1111111111111111

A , en la matriz A solo hay menores de orden

uno distintos de cero, rg A = 1

iii. Si a = ‒1, 0A = ⇒ rg A < 4.

−−−−−

−−−−

=

1111111111111111

A 04111

111111

≠−=−−−

−−−

⇒ rg A = 3.

Junio 2013. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos Dadas las matrices:

−−=

1102110λ1

A ,

−=012101

110B

Se pide: a) (1 punto) Hallar el valor de λ para el cual la ecuación matricial X·A = B tiene solución única. b) (1 punto) Calcular la matriz X para λ = 4. c) (1 punto) Calcular el determinante de la matriz BA 2 en función de λ.

Solución. a. La ecuación tendrá solución única cuando exista la inversa de A, siendo:

1ABX −⋅= Para que exista A‒1, 0A ≠

3

( ) 01λλ20001110

2110λ1

Adet =+=−−−++−=−−

= λ = ‒1

∀ 1A 0A:1λ −∃⇒≠−≠∀ La ecuación tiene solución única. b. BAX =⋅ 11 ABAAX −− ⋅=⋅⋅ 1ABIX −⋅=⋅ 1ABX −⋅=

−−=

110211041

A 514A =+=

−−−

−=

+−+

−−

−+

−−−

−+

−−

−−+

=328

114111

1141

2101

2104

1041

1001

1104

1011

1021

1121

A adj ( )

−−−−=

311211

841A adj t

( )

−−−−==−

311211

841

51A adj

A1A t1

−=

−−−−⋅

−=⋅= −

14731132

500

51

311211

841

51

012101

110ABX 1

c. Aplicando las propiedades de los determinantes:

( ) ( ) ( ) ( )222222 1λ11λ

012101

1101λBABABA +−=−⋅+=−⋅+=⋅=⋅=⋅

Modelo 2013. Ejercicio 3B. Calificación máxima 2 puntos

a) (1 punto) Dada la matriz

=

1221

A y la matriz

=

tzyx

X obtener las relaciones que deben

cumplir x, y , z, t para que la matriz X verifique A XXA = . b) (0,5 puntos) Dar un ejemplo de la matriz X distinta de la matriz nula y de la matriz identidad que

cumpla la igualdad anterior. c) (0,5 puntos) Calcular la inversa de la matriz A.

Solución.

a.

⋅

=

⋅

1221

tzyx

tzyx

1221

++++

=

++++

tz2t2zyx2y2x

ty2zx2t2yz2x

Igualando término a término:

=−=−

→

=−=−=−=−

→

+=++=++=+

+=+

==

0tx0zy

0zy0tx0tx0zy

tz2ty2:2.2t2zzx2:1.2yx2t2y:2.1y2xz2x:1.1

32

41EEEE

Sistema compatible indeterminado. Grado de indeterminación = nº incógnitas ‒ nº ecuaciones = 4 ‒ 2 = 2 El sistema se resuelve usando dos parámetros.

4

==

→

=−=− ==

µxλy

0tx0zy µtλz

Rµ ,λ µλ

λµX ∈∀

=

b. 1λ = , 1µ −= ⇒

−−

=11

11X

c. Si X es la inversa de A, se debe cumplir: IAX =⋅

=

⋅

1001

1221

µλ

λµ

=

++++

1001

µλ2µ2λ

λµ2λ2µ

Igualando:

=−=

=+=+

32λ

31µ:

0µ2λ

1λ2µ ⇒

−

−=−

31

32

32

31

A 1

Modelo 2013. Ejercicio 4B. Calificación máxima 2 puntos De las matrices cuadradas A y B se sabe que:

−=+

201002012

BA

−

−=−+−

012020002

BBAABA 22

a) (1 punto) Calcular la matriz A ‒ B b) (1 punto) Calcular las matrices A y B

Solución.

a. ( )( )

−

−=−+=−+−

012020002

BABABBAABA 22

Sustituyendo A + B por su valor se puede despejar A ‒ B

( )

−

−=−⋅

− 012020002

BA201002012

; ( )

−

−⋅

−=−

−

012020002

201002012

BA

1

t1

201002012

adj

201002012

1

201002012

−

−

=

−

−

; ( ) 40212

12201002012

33 −=−⋅=−

+

−−−

−=

+−+

−−

−+−

−+

−−+

=

− 200142

040

0212

0202

0001

0112

2102

2001

0102

2102

2000

201002012

adj

−−−

−=

− 210044020

201002012

adj

t

;

−=

−−−

−

−=

−

−

214100110210

210044020

41

201002012 1

5

( )

−−=

−

−⋅

−=

−

−⋅

−=−

−

001022010

012020002

214100110210

012020002

201002012

BA

1

b. Conocidas las matrices A + B y A ‒ B, se plantea un sistema que permite calcular las matrices A

y B.

−−=−

−=+

001022010

BA

201002012

BA

Sumando las ecuaciones se calcula la matriz A

−=

−−+

−=

200020022

001022010

201002012

A2 ⇒

−=

−=100010011

200020022

21A

Restando las ecuaciones se calcula la matriz B.

−=

−−−

−=

202024002

001022010

201002012

B2 ⇒

−=

−=

101012001

202024002

21B

Junio 2012. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 2 puntos. Dadas las matrices

−−=1a1012210

A

+−−−−−−−

=3a3a2387322114

B

Se pide a) (1 punto) Estudiar el rango de la matriz B en función de a. b) (1 punto) Para a = 0, calcular la matriz X que verifique AX = B.

Solución. a. El rango de la matriz se estudia por menores.

- 0143214

≠−=−−−

⇒ rg B ≥ 2 ∀ a ∈ R

- Se estudian el rango de la matriz para los valores del parámetro a que anulan

simultaneamente los menores orlados a 3214

−−−

:

( ) 1a ; 0a140a3a23

732114

==−⋅=+−

−−−−

( ) 1a ; 0a1363a23832214

==−⋅=−

−−−−−

Discusión: i. Si a ≠ 1, existen menores de orden tres distintos de cero en la matriz B.

rg B = 3 ii. Si a = 1, no existen menores de orden tres distintos de cero en la matriz B.

6

rg B = 2 b. BAX = ; BAAXA 11 −− =⋅ ; BAXI 1−=⋅ ; BAX 1−=

( )t1 A adjA1A =−

4101012210

A =−−=

( )

−−−−

=

−−−

−=

−−+

−−

−+

−+−

−−+

−−

−+

=

−−=211422

211

242121121

1210

0220

0121

0110

1120

1021

0112

1102

1001

101012210

adjA adj

t

t

t

t

−−=

−−=

−−−−−−

⋅

−−−−

=1002

01104321

40080440

161284

41

332387322114

211422

211

41X

Septiembre 2011. Ejercicio 3A. Calificación máxima: 2 puntos. Calcular el rango de la matriz

+−

−−

a02aa02

a11231

según los valores del parámetro a Solución. El rango de una matriz es el orden del mayor menor distinto de cero que exista en la matriz. Se parte de un menor de orden dos distinto de cero que no depende del parámetro.

( ) 04311131

≠=−−=−

⇒ rg A ≥ 2

Sus menores orlados son: ( )2a2a02

a11231

+=−

−−

; 4a12a3a02aa11231

2 ++=+−

−

Dado que no tienen soluciones comunes, rg A = 3 para cualquier valor que tome el parámetro a. Septiembre 2011. Ejercicio 4A. Calificación máxima: 2 puntos. Dada la matriz

−=1000sen xxcos0xcossen x

M

Se pide: a) (0,5 puntos) Calcular el determinante de la matriz M. b) (1 punto) Hallar la matriz M2. c) (0,5 puntos) Hallar la matriz M25.

Solución.

7

a. ( ) 1xcosxsensen xxcos

xcossen x11

1000sen xxcos0xcossen x

Mdet 2233 −=−−=−

⋅−⋅=−= +

b. =

−⋅

−=⋅=1000sen xxcos0xcossen x

1000sen xxcos0xcossen x

MMM 2

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )=

⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅−+⋅⋅+−⋅−+⋅⋅+⋅−+⋅

⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+⋅=

11000001senx0xcos001xcos0senx0100senx0xcos00senxsenxxcosxcos00xcossenxsenxxcos

100xcos0senx00senxxcosxcossenx00xcosxcossenxsenx

I100010001

1000xsenxcosxcos x senx sen xcos0x sen xcosxcos x senxcosxsen

22

22

=

=

+−−+

=

La matriz M es periódica. c. Teniendo en cuenta que la matriz M es periódica, y que su período es dos:

=par esn siI

impar es nsiMM n

MM 25 =

Modelo 2011. Ejercicio 1B. Calificación máxima: 3 puntos. Dadas las matrices:

−−−−

=322101112

A ,

=100010001

I

Se pide: a) (1 punto). Calcular I3A4A 2 +−

b) (1 punto). Demostrar que la matriz A−1 de A es ( )AI431 − .

c) (1 punto). Hallar la matriz inversa de A − 2I Solución.

a. =

⋅+

−−−−

⋅−

−−−−

=+−100010001

3322101112

4322101112

I3A4A

2

2

=

+

−−−−

−

−−−−

⋅

−−−−

=300030003

644202228

322101112

322101112

=

+

−−−−

−

−−−−−

=000000000

300030003

644202228

988434445

b. Teniendo en cuenta que el producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad

(A · A−1 = I), para demostrar que ( )AI431 − es la inversa de A habrá que hacerlo a partir de la

8

igualdad obtenida en el apartado a ( )0I3A4A 2 =+− , transformando la igualdad en un producto de matrices igualado a la matriz unidad, siendo uno de los factores del producto la matriz A.

0I3A4A 2 =+− : I3AA4 2 =− Del miembro de la derecha de la igualdad hay que sacar factor común de A, para ello es conveniente expresar la igualdad de la siguiente forma:

I3AAAI4 =⋅−⋅ Sacando factor común de A por la derecha:

( ) I3AAI4 =⋅− : ( ) IAAI431 =⋅−

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por la inversa de A por la derecha, se llega a la igualdad propuesta.

( ) 11 AIAAAI431 −− ⋅=⋅⋅−

( ) 1AIAI431 −=⋅− : ( )AI4

31A 1 −=−

c. El apartado se puede hacer de dos formas diferentes: - Partiendo de la relación del apartado a

- Por la expresión de la inversa ( )

=− t1 A adj

A1A

En nuestra opinión, y viendo el ejercicio de una forma global, creemos que es la primera forma la correcta, aunque en el enunciado no haya nada que lo indique y por tanto deberían también admitir la segunda, si solo admitiesen la primera deberían hacer alguna referencia a la forma de resolverlo. Partiendo de la relación del apartado a:

0I3A4A 2 =+− Se necesita obtener el factor A − 2I, para ello se puede descomponer el primer miembro de

la siguiente forma: 0I3A2A2A 2 =+−−

De los dos primeros términos se puede sacar factor común A y obtener el factor común 2A − I, en los dos últimos términos, falta una I para poder sacar factor común −2 y obtener también el factor 2A − I, se soluciona sumando una I a cada miembro de la igualdad y de esta forma, no solo conseguimos el factor buscado en el primer miembro si no que conseguimos en el segundo miembro la matriz unidad.

( ) II4A2I2AA =+−−

( ) ( ) II2A2I2AA =−−− Sacando factor común 2A − I:

( ) ( ) II2AI2A =−⋅− Multiplicando ambos miembros de la igualdad por la inversa de 2A − I

( ) ( ) ( ) ( ) 11 I2AII2AI2AI2A −− −⋅=−⋅−⋅− Simplificando

( ) ( ) 1I2AII2A −−=⋅− Obteniendo por último que la inversa es la propia matriz

( )

−−−−−

=

−

−−−−

=−=− −

122121110

100010001

2322101112

I2AI2A 1

9

Otra forma: ( ) ( )( )t

t1

122121110

adj

122121110

12I-A adjI2A

1I2A

−−−−−

−−−−−

=−

=− −

• 1122121110

=−

−−−−

• =

−−

+−−

−−−−−

+

−−

−−

−+

−−−

−−

+−

−−

−−+

=

−−−−−

t

t

2110

1110

1211

2210

1210

1211

2221

1211

1212

122121110

adj

−−−−−

=

−−−−

−=

122121110

111221210 t

Sustituyendo en la expresión de la inversa:

( ) ( )( )

−−−−−

=

−−−−−

⋅=−

=− −

122121110

122121110

112I-A adj

I2A1I2A t1

Septiembre 2010 F.G. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la matriz:

−−

−=

1m2111m1m11m11m

A

se pide: a) (2 puntos) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro m. b) (1 punto) En el caso de m = 0, resolver el sistema

=

⋅000

tzyx

A

Solución. a. Por dimensiones de la matriz, rg A ≤ 3. Como la matriz tiene términos numéricos distintos de cero, rg A ≥ 1. Si se toma el término a3.1 como menor de orden 1 distinto de cero y se orla, todos sus menores orlados son función del parámetro. Tomando uno cualquiera (a2.1, a2.2, a3.1, a3.2):

m211

1m1 −=

−

Si m ≠ 2: el menor de orden dos será distinto de cero y por tanto rg A ≥ 2.

Si m = 2:

=121112111211

A no existen menores de orden dos distintos de cero y por tanto rg A

=1. Si orlamos el menor de orden dos anterior, aparecen dos menores de orden tres.

10

( )( )

−+=+−=−

−−

=−−

−

223 2m1m4m3m1m11

11m1111m

0211m1m1m11m

:11

1m1

Discusión: i. Sí m ≠ −1, 2: Existen menores de orden tres distintos de cero. rg A = 3.

ii. Sí m = −1:

−−−−−

=2211

11211112

A Todos los menores de orden tres son nulos, rg A < 3.

0321

12≠=

−−

rg A = 2

iii. Sí m = 2. Como se vio inicialmente, rg A = 1.

b.

=

⋅

−−

−

000

tzyx

121110111011

:

=−++=+−=++−

0tz2yx0tyx0tyx

Sumando las dos primeras ecuaciones: 2t = 0: t = 0

Sustituyendo el valor de t obtenido:

=++=−=+−

0z2yx0yx0yx

Como las dos primeras

ecuaciones son proporcionales, los criterios de equivalencia permiten eliminar una de ellas.

=++=−

0z2yx0yx

Para resolver el sistema se transforma una cualquiera de las variables en parámetro (x = λ).

λ−=+λ=

z2yy

: { λ−=+λ z2 : λ−=z

Solución: ( ) R 0 , , , ∈λ∀λ−λλ Septiembre 2010. F.G. Ejercicio 4A. Calificación máxima: 2 puntos. Dada la matriz:

+−

−=

2aa001aaa0a

A

se pide: a) (1 punto) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a. b) (1 punto) ¿Para qué valores de a existe la matriz inversa A−1? Calcular A−1 para a = 1.

Solución. a. Para discutir el rango de una matriz cuadrad en función de un parámetro, se calculan los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz.

( ) ( ) ( )a2aa2a000a02a1aa2aa0

01aaa0a

Adet 23 −=+−=−−−+++⋅−⋅−=+

−−

=

( )

==−=

=−=2a0a2

0a:0a2a:0A

Discusión. i. Si a ≠ 0, −2. 3A rg .0A =≠

11

ii. Si a = 0: 2A rg .022001

:0A:200010000

A =≠−=−

=

−=

iii. Si a = 2: 2A rg .021202

:0A:420012202

A =≠−=−

=

−=

b. La condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero. Teniendo en cuenta el apartado anterior, si a ≠ 0, 2, el |A| ≠ 0 y por tanto existe A−1.

Si a = 1:

−=

310001101

A : ( )t1 A adjA1

A =− : ( ) ( ) 1121a2aA1a

=−⋅=−==

−=

−−

=

−+

−−+

−−

−+−

+−+

=−

011133010

010131130

0111

0111

0010

1001

3011

3110

1001

3001

3100

adj11A

t

t

1

Junio 2010 FM. Ejercicio 4B. Calificación máxima: 2 puntos.

Dada la matriz

=a100101a1

A estudiar para que valores de a tiene inversa y calcularla siempre que sea

posible. Solución. Para que una matriz tenga inversa su determinante debe ser distinto de cero.

a00000aa100101a1

A =−−−++==

∃ A−1 ∀ a ≠ 0 Calculo de la inversa:

=

+−+

−+−

+−+

⋅=

=

==−

1a01

1a01

1100

0101

a101

a000

011a

a11a

a011

a1

a0111a001

adja1

a100101a1

adja1A adj

A1A

t

t1

( )

−

−−

=

−

−−−⋅=

a1

a10

010a1

aa11

1100a011aa

a1

22

12

Junio 2010. FG. Ejercicio 4A. Calificación máxima: 2 puntos. Dadas las matrices:

−=

2111

A ;

=

1001

I

se pide: a) (1 punto) Hallar las constantes a, b, tales A2 = aA + bI.

b) (1 punto) Sin calcular explícitamente A3 y A4, y utilizando solo la expresión anterior, obtener la

matriz A5. Solución. a. Por identificación:

⋅+

−⋅=

− 1001

b21

11a

2111 2

;

+

−=

−⋅

− b00b

a2aaa

2111

2111

+−+

=⋅

+−−+

ba2aaba

41212111

;

+−+

=⋅

−−

ba2aaba

5112

=−=

+−==−=−+=

3b1a

:

ba25:2.2a1:1.2a1:2.1ba2:1.1

AI3I3AA:3b1a 2 −=+−=

=−=

b. Se pide expresar A5 en función de A e I teniendo en cuenta la igualdad obtenida en a (A2 = 3I−A), y una vez obtenida la expresión sustituir por las matrices numéricas.

( ) ( ) ( ) ( ) =⋅+−=⋅+−=⋅−=⋅=⋅= AAA6I9AAIA6I9AAI3AAAAA 222*22245

( )( ) ( ) ( ) =−=−−=−=⋅−=⋅−+−= I21A19AI37A12A7A12AA7I12AAI3A6I9 2

−−

=

−

−=

5919192

1001

2121

11 19

Modelo 2010. Ejercicio 3A. Calificación máxima: 2 puntos. Obtener, para todo número natural n, el valor de:

nn

1111

1111

−−

+

Solución. Lo primero será obtener la potencia enésima de cada matriz.

Si denominamos por

=

1111

A y por

−−

=1111

B , sus potencias enésimas serán:

A21111

22222

1111

1111

AAA 2 =

⋅=

=

⋅

=⋅=

A2A22A2AA2AAA 2223 =⋅==⋅⋅=⋅= A2A22A2AA2AAA 3222234 =⋅==⋅⋅=⋅=

………………………………………………………. A2A 1nn ⋅= −

B21111

22222

1111

1111

BBB2 =

−−

⋅=

−−

=

−−

⋅

−−

=⋅=

B2B22B2BB2BBB 2223 =⋅==⋅⋅=⋅=

13

B2B22B2BB2BBB 3222234 =⋅==⋅⋅=⋅= ……………………………………………………….

B2B 1nn ⋅= − Sustituyendo en la expresión que se pide:

=

−−

+

=

−−

+

=

−−

+

−−−1111

1111

21111

21111

21111

1111 1n1n1n

nn

( )( ) I2

1001

21001

222002

211111111

2 nn1n1n1n ⋅=

=

⋅⋅=

=

+−+−++

= −−−

Donde I es la matriz Unidad o identidad. Septiembre 2009. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la matriz:

=11021mm21m

M

se pide: a) (1,25 puntos). Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M es

invertible. b) (0,5 puntos). Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M25 es

invertible. c) (1,25 puntos). Para m = −1 calcular, si es posible, la matriz inversa M−1 de M.

Solución. a. La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero.

( ) ( )1mm2m2m2m2m0m20m11021mm21m

Mdet 22 −⋅=−=++−++==

( )

==−==

=−⋅=1m:01m0m:0m2

:01mm2:0M

∀ m ≠ 0, 1, |M| ≠ 0 ⇒ ∃ M−1

b. M25 es otra matriz, y por tanto la condición para que tenga inversa sigue siendo la misma, que su determinante sea distinto de cero.

0M 25 ≠

Teniendo en cuenta la propiedad de los determinantes: nn AA =

0MM 2525 ≠=

0M0M 25 ≠⇔≠ Teniendo en cuenta los resultados del apartado a, ∀ m ≠ 0, 1, |M25| ≠ 0 ⇒ ∃ (M25)−1.

c. ( ) ( ) ( ) 41112M : 110211211

1mM =−−⋅−⋅=

−−−

=−=

14

( )[ ] t1 M adjM1M =− : ( )

−−−−

=

−−

+−

−−−

−+

−−

−−+

−−

−+

−−+

=044113111

1111

2121

2121

1011

1021

1121

1011

1021

1121

M adj

( )[ ]

−−−−

=

−−−−

=011411431

044113111

M adj

t

t

( )[ ]

−

−

−−

=

−−−−

==−

041

41

141

41

143

41

011411431

41 M adj

M1M t1

Septiembre 2009. Ejercicio 4B. Calificación máxima: 2 puntos. Dadas las matrices:

−=

1124

A ,

−−

=1324

B

obtener una matriz cuadrada X de orden 2 que verifique la ecuación matricial A·X·B = A + B Solución. Teniendo en cuenta:

i. Para obtener una ecuación matricial equivalente, se deben multiplicar los dos miembros de la igualdad por la misma matriz y en el mismo orden.

ii. El producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad o unidad (I). iii. La matriz identidad o unidad es el elemento neutro de la multiplicación de matrices.

Se despeja la matriz X.

A·X·B = A + B Se multiplica los dos miembros por la inversa de A por la izquierda y por la inversa de B por la derecha

A−1·A·X·B·B−1 = A−1·(A + B) ·B−1 Se opera:

I·X·I =A−1·A·B−1 + A−1·B·B−1 : X = I·B−1 + A−1· I : X = B−1 + A−1 Cálculo de las inversas:

( )[ ] t1 A adjA1A =−

61124

A =−

= : ( )

−=

+−−−+

=4211

4211

A adj : ( )[ ]

−=

−=

4121

4211

A adjt

t

−=

−=−

32

61

31

61

4121

61A 1

21324

B −=−

−= : ( )

=

+−−−−+

=4231

4231

B adj : ( )[ ]

=

=

4321

4231

B adjt

t

−−

−−=

−=−

223

121

4321

21B 1

−−

−−=

−+

−−

−−=+= −−

34

35

32

31

32

61

31

61

223

121

ABX 11

15

Junio 2009. Ejercicio 4B. Calificación máxima: 2 puntos Dada la matriz

=a111a111a

A

a) (1 punto).Estudiar el rango de la matriz A según los valores del parámetro a. b) (1 punto). Obtener la matriz inversa de A para a = −1.

Solución. a. Por tratarse de una matriz cuadrada, si el determinante es distinto de cero el rango de la matriz es 3, por lo tanto se estudia el rango de la matriz para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz.

( ) ( )23 1a2a2a3aa111a111a

A −⋅+=+−==

( ) ( ) ( )

==−=−−==+

=−⋅+=1a:01a:01a

2a:02a:01a2a:0A 2

2

Discusión:

i. Si a ≠ −2, 1. |A| ≠ 0. rg A = 3

ii. Si a = 1.

=111111111

A La matriz solo tiene menores de orden uno distintos cero. rg A = 1.

iii. Si a = −2.

−−

−=

211121112

A . La matriz tiene menores de orden dos distintos de cero,

0321

12≠=

−−

. rg A = 2

b. Para a = −1:

−−

−=

111111111

A ( ) ( ) { } ( ) ( ) 411211a1a2aA 22 =−−⋅+−=−==−⋅+=

=

=

−−

+−

−−

+

−−

−−

+−

−

−+

−−

−−

+

=

−−

−=−

t

t

t

1

022202220

41

1111

1111

1111

1111

1111

1111

1111

1111

1111

41

111111111

AdjA1A

=

=

021

21

2102

12

12

10

022202220

41

16

Septiembre 2008. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Dada la matriz:

+

+=

1a0210a211a2

A

a) (1,5 puntos). Determinar el rango de a según los valores del parámetro a. b) (1,5 puntos). Decir cuando la matriz A es invertible. Calcular la inversa para a = 1.

Solución. a. Por ser A una matriz cuadrada de orden tres, si su determinante es distinto de cero, su rango será tres, por lo tanto se estudia el rango para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz. Para simplificar el cálculo del determinante se aplican sus propiedades y se desarrolla por los elementos de la segunda columna, quedando reducido a un determinante de orden dos.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1aa1a221aa21a1a2

1a211a

1a0210a211a2

Adet 221 −+⋅+−=−+⋅⋅+−=+

⋅−⋅+=+

+= +

( ) ( )

−−=

+−==−+

−==+

=−+⋅+−=

251a

251a

:01aa

1a:01a

:01aa1a2 :0Adet 22

Discusión.

i. Si 2

51 ,1a

±−−≠ . |A| ≠ 0 ⇒ rg A = 3.

ii. Si a = −1.

−=002102102

A |A| = 0 ⇒ rg A < 3. Para saber si tiene rango dos, se busca un

menor de orden dos distinto de cero. 020212

≠−=−

⇒ rg A = 2.

iii. Si 2

51a

±−= .

±±−

±

=

25102

1051

12

512

A |A| = 0 ⇒ rg A < 3. Para saber si tiene

rango dos, se busca un menor de orden dos distinto de cero. 02

51

10

12

51≠±=

± ⇒

rg A = 2. b. La condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea

distinto de cero, por lo tanto la matriz A tendrá inversa para cualquier valor de 2

51 ,1a

±−−≠

Para a = 1:

=202102122

A ; |A| = −2·(1 +1)·(12 +1 −1) = −4.

17

( )=

−−

−

−=

+−+

−+−

+−+

−=

−==−

t

t

tt

1

402424020

41

0222

1212

1012

0222

2212

2012

0202

2212

2010

41

202102122

adj4

1AA adj

A

−

−

−

=

−−

−

−=

11002

12

12

110

440022240

41

Modelo 2008. 3B. (3 puntos). Sean las matrices:

=

1011

A

−−

=3837

B

a) (1 punto). Hallar una matriz X tal que A·X·A−1 = B. b) (1 punto). Calcular A10. c) (1 punto). Hallar todas las matrices M que satisfacen

(A − M)·(A + M) =A2 − M2. Solución. a. Se pide despejar una matriz X en una ecuación matricial, para ello habrá que tener en cuenta tres propiedades del producto de matices:

1. El producto de matrices no es conmutativo. Para obtener una ecuación equivalente habrá que multiplicar por la misma matriz los dos miembros y en el mismo orden.

2. El producto de una matriz por su inversa en cualquier orden, es la matriz identidad (A−1 · A = I). 3. La matriz identidad (I), es el elemento neutro de la multiplicación de matrices.

A·X·A−1 = B

Para despejar la matriz X, multiplicamos los dos miembros por la matriz A por la derecha y por la inversa de A por la izquierda.

A−1·A·X·A−1·A = A−1·B·A I·X·I = A−1·B·A

X = A−1·B·A

Inversa de A: ( )

−=

−−

=

==−1011

11101

1011

1011

adj

AA adj

A

tt

t1

−−=

⋅

−−

=

⋅

−−

⋅

−=

5811

1011

3801

1011

3837

1011

X

b. Se calculan las primeras potencias y se observa si existe una ley de recurrencia entre ellas.

=

1011

A

=

⋅

=⋅=

1021

1011

1011

AAA 2

=

⋅

=⋅=

1031

1011

1021

AAA 23

Con las tres primeras potencias se ve fácilmente la ley de recurrencia.

18

Nn 10n1

A n ∈∀

=

c. Si multiplicamos el primer miembro de la igualdad, se observa la condición que ha de cumplir M para cumplir la expresión notable.

(A − M)(A + M) =A2 − M2 A·A + A·M − M·A − M·M = A2 − M2

A2 + A·M − M·A − M2 = A2 − M2 ⇔ A·M − M·A = 0 A·M − M·A = 0, es equivalente a A·M = M·A

Tomando M como una matriz genérica del tipo

=

tzyx

M , sustituyendo, operando e

igualando, se llega aun sistema de ecuaciones que nos permitirá calcular los términos de la matriz M.

⋅

=

⋅

1011

tzyx

tzyx

1011

++

=

++tzzyxx

tztyzx

==

====

+==

+=+=+

xt0z

:

z0zzxt0z

:

tzt:2.2zz:1.2

yxty:2.1xzx:1.1

Al simplificar las igualdades desaparece una variable (y), eso implica que dicha variable puede tomar cualquier valor (y = µ). Para resolver la única ecuación que nos queda se transforma una de la variable en parámetro (x = λ).

R , 0

A

t0z

yx

∈µλ∀

λµλ

=⇒

λ==

µ=λ=

λ

Septiembre 2007. Ejercicio 1B. (2 puntos) Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica

22 ABAXA =+

siendo

−−

−=

001010100

A y

−−

−=

002020200

B .

Solución. Se despeja la matriz X de la ecuación teniendo en cuenta:

• el producto de matrices no es conmutativo. • El producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad (I). • La matriz identidad es el elemento neutro del producto de matrices.

22 ABAXA =+ ; BAAXA 22 −= ; ( )ABAXA 2 −= ; ( ) 11 AABAAAXA −− ⋅−=⋅⋅

( ) IBAIXA ⋅−=⋅ ; ( )BAXA −= ; ( ) 11 ABAAXA −− ⋅−=⋅ ; 11 BAAAIX −− −=⋅ 1BAIX −−=

19

( )=

−−

−=

−+

−−

−−

+

−−

−−

+−

−

−−

+−

−−

+

=

−−

−

−−

−

==−

t

t

t

t1

001010100

1

1000

0010

0110

0100

0110

0010

0110

0100

0001

001010100

001010100

adj

AA adj

A

−−

−=

001010100

−−

−=

−

=

−−

−⋅

−−

−−

=−= −

100010001

200020002

100010001

001010100

002020200

100010001

BAIX 1

Junio 2007. 1A. (2 puntos) Estudiar el rango de la matriz: ( )

−

−−=

1m1mm1m

1mm1mmA

según los valores del parámetro m. Solución. Si el |A| ≠ 0 el rango de la matriz sería 3, por lo tanto se discute el rango de A en función de los valores del parámetro que anulan su determinante.

( ) ( )=

−

−−⋅=

−

−−=

1m11m11

1mm1m1m

1m1mm1m

1mm1mmAdet

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]=−+−+−−+−+−⋅= 1mm1mm1mm1mm1mm 2

( )[ ] ( )2mmmm1m2mmmmmm1mm 2222 −⋅=−++−+−−+−+−⋅=

( )

==

=−=2m0m

:02mm:0A

Discusión:

i. Si m ≠ 0, 2 el |A| ≠ 0 y por tanto rg A = 3.

ii. Si m = 0, el |A| = 0 y por tanto rg A < 3. 2A rg 01 1-101

: 110

010010

A =⇒≠−=

−

−=

iii. Si m = 2, el |A| = 0 y por tanto rg A < 3. 2A rg 01 1121

: 112212212

A =⇒≠−=

=

Junio 2007. 2A. (2 puntos) Sean las matrices:

−=

1002

A

−−

=7698

B

Hallar una matriz X tal que BXAX 1 =− . Solución.

20

Para trabajar es más fácil quitar la inversa de A del primer miembro, para lo cual multiplicamos los dos miembros de la igualdad por la matriz X y por la derecha (el producto de matrices no es conmutativo).

{ XBAXXBIAXXBXXAXAI

1 ⋅=⋅⇒⋅=⋅⋅⇒⋅=⋅⋅⋅ −321

Tomando como matriz

=

tzyx

X y sustituyendo en la igualdad:

⋅

−−

=

−⋅

tzyx

7698

1002

tzyx

−−−−

=

−−

t7y6z7x6t9y8z9x8

tz2yx2

Igualando término a término:

=−=−

→

=−=−=−=−

→

−=−−=−=−−=

.I.C.S:0ty0z3x2

0t6y60z9x60t9y90z9x6

t7y6t:2.2z7x6z2:1.2t9y8y:2.1z9x8x2:1.1

NDOSIMPLIFICAORDENENDO

Dos ecuaciones y cuatro incógnitas, la solución se obtiene transformando dos variables en parámetros y resolviendo en función de estos.

µ=

λ=

→=−

=− µ=λ=

y23

x0ty

0z3x2 tz

⇒

µλ

µλ= 23

X

Como solo se pide una matriz, particularizamos para λ = µ = 1 quedando:

=

1112

3X

Junio 2007. 3B. (3 puntos). Dadas las matrices

=100052025

A

=1000cc0ba

B

se pide:

a) (1,5 puntos). Encontrar las condiciones que deben cumplir a, b, c para que se verifique

AB = BA.

b) (1,5 puntos). Para a = b = c = 1, calcular B10. Solución. a) Multiplicando las matrices e igualando termino a termino, se obtiene un sistema de ecuaciones que permite resolver el valor de a, b y c.

++++

=

⋅

=⋅1000c5b2c5a20c2b5c2a5

1000cc0ba

100052025

BA

++=

⋅

=⋅1000c7c70b5a2b2a5

100052025

1000cc0ba

AB

21

=+=+

+=++=+

⇔

++=

++++

⇒⋅=⋅

c7c5b2:2.2 c7c5a2:1.2

b5a2c2b5:2.1b2a5c2a5:1.1

1000c7c70b5a2b2a5

1000c5b2c5a20c2b5c2a5

ABBA

Simplificando ecuaciones y ordenando:

==

cacb

Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, tomando c como parámetro se resuelve el sistema.

λ=λ=

→ λ=

==

abc

cacb

⇒ a = b = c = λ:

λλλλ

=10000

B

b)

=100011011

B

=

⋅

=100022022

100011011

100011011

B2

=

⋅

=⋅=100044044

100011011

100022022

BBB 23

=

⋅

=⋅=100088088

100011011

100044044

BBB 34

Por inferencia:

= −−

−−

100022022

B 1n1n

1n1n

n

Modelo 2007. 4B. (3 puntos). Dada la matriz:

−λλ−

λ−=

11212

12M

a) (1,5 puntos). Determinar el rango de M según los valores del parámetro λ. Solución. El rango de una matriz (número de vectores fila o columna linealmente independientes), es el orden del mayor menor distinto de cero que exista en la matriz, teniendo en cuenta esto, la discusión del rango de una matriz cuadrada en función de un parámetro se hace en función de los valores del parámetro que anulen el determinante de la matriz, para los demás valores que no lo anulen se generarán matrices de de rango el orden del determinante.

( ) ( ) ( )21246222222211212

12Mdet 233 +λ−λ=+λ−λ=−−λ−−λ−λ−λ−=

−λλ−

λ−=

( ) ( )

−=λ=λ

=+λ−λ⇒=2

1:02120M 2

Discusión:

22

1. Si λ ≠ 1, −2. 0M ≠ , rg M = 3

2. Sí λ = 1. 3M rg0M : 112112112

M <⇒=

−−−

= . Buscamos un menor de orden 2 no nulo, en este

caso no existen, por lo tanto rg M < 2. Buscamos menores de oren 1 no nulos, en este caso cualquier término de la matriz no nulo, como por ejemplo el 1.1. 1M rg02 =⇒≠

3. Si λ = −2. 3M rg0M : 114122212

M <⇒=

−−

−−= . Buscamos un menor de orden 2 no nulo,

por ejemplo el formado por las filas 1ª y 2ª y las columnas 1ª y 2ª. 2M rg062212

=⇒≠=−

b) (1,5 puntos). Determinar para qué valores de λ existe la matriz inversa de M. Calcular dicha

inversa para λ = 0. Solución.

La condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero. A las matrices que tienen inversa y por tanto su determinante es distinto de cero se las denominan regular. Teniendo en cuenta el apartado a, la matriz M tendrá inversa para cualquier valor de λ distinto de 1 ó −2.

Inversa para λ = 0. ( ) ( ) 420102M:110102012

M 2 =+−=

−

−=

( )=

−+−

−+

−−

−+−−

−

−+−

−+

=

−

−

==−4

0212

1012

1001

1012

1002

1101

1002

1012

1110

4

110102012

adj

MM adj

M

t

t

t1

−

−−

−

=

−−−−

=

−−

−−

=

21

21

21

21

21

21

41

41

41

4222222111

4221221221 t

Septiembre 2006. Ejercicio 2B. (2 puntos)

a) (1 punto). Hallar todas las matrices

=

b0aa

A distintas de la matriz

0000

tales A2 = A.

Solución.

+=

⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

=

⋅

=⋅= 2

222

b0abaa

bba00ba0baaa0aaa

b0aa

b0aa

AAA

Igualando:

=

+b0aa

b0abaa

2

22

23

Identificando término a término

( )( )

( )

=−=−+

=−→

=−=−+

=−→

==

=+=

01bb01baa

01aa

0bb0aaba

0aa

bb:2.2 00:1.2

aaba:2.1 aa:1.1

2

2

2

2

2

2

Las soluciones se obtienen de la 1ª y de la 3ª ecuación y son:

==

1 ,0b1 ,0a

Descartando la solución trivial (a = b = 0), las posibles serán:

• Si a = 1 ⇒ b = 0.

=

0011

A

• Si a = 0 ⇒ b = 1.

=

1000

A

b) (1 punto). Para cualquiera de las matrices A obtenidas en el apartado a), calcular

M = A + A2 + … + A10

Solución. La matriz A es una matriz involutiva por cumplir (A2 = A). A3 = A2· A = A · A = A2 = A A4 = A3· A = A · A = A2 = A ……………………………. An = A Teniendo en cuenta esto:

M = A + A2 + … + A10 = A + A +….+ A = 10 A Dos opciones:

• Si

=⇒

=

001010

M0011

A

• Si

=⇒

=

10000

M1000

A

Junio 2006. 2A. (2 puntos) Dada la matriz A =

1021

encontrar todas las matrices

=

dcba

P

tales que AP = PA. Solución.

⋅

=

⋅

1021

dcba

dcba

1021

++

=

++ddc2cba2a

dcd2bc2a

identificando término a término:

µ==

λ=µ=

→

==−λ=

→

+==

+=+=+

µ=λ=

d0c

ba

0c0da

b:

dc2d:2.2cc:1.2

ba2d2b:2.1ac2a:1.1

ab

R , 0

P ∈µλ∀

µλµ

=

24

Junio 2006. 3B. (3 puntos). Dada la matriz:

−−

=1a211a2a12

M

a) (1,5 puntos). Determinar el rango de M según los valores del parámetro a. Solución. Se define el rango de una matriz como el número de vectores fila ó columna linealmente independientes. El rango coincide con el orden del mayor menor distinto de cero que exista en la matriz. Teniendo en cuenta lo anterior, se discute el rango de A para los valores del parámetro a que anulen el determinante de la matriz.

( )2a1a21a211a2a12

Mdet −⋅=−−

=

( )

±==−==

=−⋅=1a:0a1

0a:0a2:0a1a2:0M 2

2

Discusión:

i. Sí a ≠ 0, ±1. |M| ≠ 0 ⇒ rg M = 3

ii. Sí a = 0:

−=102110

012M . |M| = 0 ⇒ rg M < 3. 02

1012

≠= ⇒ rg M = 2.

iii. Sí a = −1:

−−−=112112

112M . |M| = 0 ⇒ rg M < 3. 04

1212

≠=−

⇒ rg M = 2.

iv. Sí a = 1:

−−

=112112112

M . |M| = 0 ⇒ rg M < 3. 021111

≠=−

⇒ rg M = 2.

b) (1,5 puntos). Determinar para qué valores de a existe la matriz inversa de M..Calcular dicha

matriz inversa para a = 2. Solución. La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero. Existe inversa de M para todo a ≠ 0, ±1.

Para a = 2.

−−

=122114212

M . ( ) 1221 22Mdet 2 −=−⋅⋅=

( )=

−−−−

−−

+−−

−−−

+

−−

+−

−

+−

−−

+

−=−

−−

==−

t

tt

t1

261265

663

121

1412

1422

1121

2212

1222

1221

2214

1214

1211

121

12

122114212

adj

MM adj

M

25

−

−

−−

=

−−

−−

−

−−

−−−

−−−

−=

−−−−

−−=

61

61

21

21

21

21

121

125

41

122

122

126

126

126

126

121

125

123

226666

153

121

Modelo 2006. Ejercicio 4B. (3 puntos). Se consideran las matrices:

=

−−−−

−=

100010001

I 221111122

A

Se pide: a) (1,5 puntos). Hallar ( ) .IA 2−

Solución.

( ) =

−−−−

−=

−

−−−−

−=−

22

2

121121121

100010001

221111122

IA

0000000000

121121121

121121121

=

=

−−−−

−⋅

−−−−

−=

b) (1,5 puntos). Calcular A4 haciendo uso del apartado anterior.

Solución. ( ) 0IA 2 =−

Teniendo en cuenta que la matriz a conmuta con la matriz I, se puede aplicar el desarrollo de Newton al binomio.

( ) 0IIA2AIA 222 =+⋅−=− Operando y simplificando (2A·I = 2A; I2 = I).

0IA2A 2 =+− De la expresión anterior se puede obtener A2.

IA2A 2 −= A4 se puede expresar en función de A2.

( ) ( )2224 IA2AA −== Binomio que se puede desarrollar por Newton por ser conmutables las matrices que lo forman

( ) IA4A4IA2A 224 +−=−= Sustituyendo A2 por su expresión en función de A y operando se llega a una expresión para A4

en función de A.

( )

−−−−

−=

⋅−

−−−−

−⋅=−=+−−=

584474485

100010001

3221111122

4I3A4IA4IA24A 4

Septiembre 2005. Ejercicio 3A. (3 puntos) Dadas las matrices:

=

=

1001

I 1021

A

a) (1 punto). Hallar dos constantes α y β tales que .IAA 2 β+α=

Solución.

=

⋅

=

1041

1021

1021

A 2

26

Para calcular los parámetros α y β se sustituyen en la igualdad

.IAA 2 β+α= :

⋅β+

⋅α=

1001

1021

1041

:

β+ααβ+α

=

02

1041

igualando término a término

β+α==α=β+α=

1:2.200:1.224:2.11:1.1

se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

12

421

−=β=α

⇒

=α=β+α

sustituyendo en la expresión .IA2A 2 −=

b) (1 punto). Calcular A5 utilizando la expresión obtenida en el apartado anterior.

Solución. AAA 45 ⋅=

( ) ( )2224 IA2AA −== Teniendo en cuenta que las matrices A e I conmutan, se puede se puede desarrollar el binomio

por el método de Newton ( ) ( ) ( ) I3A4IA4IA24IA4A4IIA22A2IA2A 22224 −=+−−=+−=+⋅⋅−=−=

sustituyendo en la expresión de A5. ( ) ( ) I4A5A3IA24A3A4AI3A4AAA 245 −=−−=−=⋅−=⋅=

c) (1 punto). Hallar todas las matrices X que satisfacen: (A − X)·(A + X) = A2 – X2.

Solución. Operando con el primer miembro de la igualdad se obtiene la condición que deben cumplir las matrices A y X para satisfacer la igualdad.

( ) ( ) XAAX:0XAAXXAXXAAXAXAXA 2222 ==−⇔−=−−+=+⋅−

Para una matriz genérica

=

tzyx

X , la igualdad se puede convertir en un sistema.

⋅

=

⋅

1021

tzyx

tzyx

1021

==−

+==

+=+=+

++

=

++0z

0tx:ndosimplifica

tz2t:2.2 zz:1.2

yx2t2y:2.1 xz2x:1.1

:igualando:tz2zyx2x

tzt2yz2x

El sistema no depende de y, por lo esta variable puede tomar cualquier valor (y = µ). Queda por resolver la ecuación:

x − t = 0 ecuación que tiene solución indeterminada, necesitando un parámetro para resolverla.

x = z = λ quedando la matriz pedida de la forma:

R , 0

X ∈µλ∀

λµλ

=

27

Septiembre 2005. Ejercicio 4B. (3 puntos) Dadas las matrices:

=

=100k10tk1

B 000k00tk0

A

a) (1 punto). Hallar A10.

Solución. Se calculan las sucesivas potencias de A para ver si existe alguna ley de recurrencia entre ellas.

=

⋅

=⋅=000000

k00

000k00tk0

000k00tk0

AAA

2

2

=

⋅

=⋅=000000000

000k00tk0

000000

k00AAA

2

23

A partir de A3, todas las potencias son la matriz nula, por lo tanto

=000000000

A10

b) (1 punto). Hallar la matriz inversa de B.

Solución. La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada tenga inversa, es que su determinante sea distinto de cero.

1100k10tk1

B ==

( )BB adj

Bt

1 =−

−−−=

+−+

−+−

+−+

=1ktk01k001

10k1

k0t1

k1tk

00k1

10t1

10tk

0010

10k0

10k1

B adj2

( )

−−−

=

−−−=

100k10

tkk1

1ktk01k001

B adj

2t

2

t

( )

−−−

=

−−−

==−

100k10

tkk1

1

100k10

tkk1

BB adj

B

2

2

t1

28

c) (1 punto). En el caso particular k = 0, hallar B10. Solución. Para k = 0

=100010t01

B

Se calculan las sucesivas potencias de A para ver si existe alguna ley de recurrencia entre ellas.

=

⋅

=⋅=1000102t01

100010t01

100010t01

BBB2

=

⋅

=⋅=1000103t01

100010t01

1000102t01

BBB 23

siguiendo la secuencia, se puede inferir B10.

=100010

10t01B10

Junio 2005. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 2 puntos Hallar una matriz X tal que

A−1 X A = B

siendo

−−=

1213

A ,

−=

1211

B .

Solución. Puesto que la matriz A admite inversa, la ecuación matricial se puede despejar con la técnica de la inversa. Para ello, habrá que tener en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo y que por tanto, se deberá multiplicar los dos miembros por la misma matriz y en el mismo orden.

A−1 X A = B A · A−1 X A · A−1 = A · B · A−1

Teniendo en cuenta que el producto de una matriz por su inversa el la matriz unidad (I)

I · X · I = A · B · A−1 y que la matriz identidad es el elemento neutro de la multiplicación de matrices

X = A · B · A−1 Inversa de A:

( )

−−=

−

−−

=

−−

−−==−

3211

13121

1213

1213

adj

AA adj

A

tt

t1

Sustituyendo en la expresión

−−=

−−⋅

−−

=

−−⋅

−⋅

−−=

76119

3211

1425

3211

1211

1213

X

29

Modelo 2005. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 2 puntos. Sea la matriz

−−−

=222222222

A

a) (1 punto) Comprobar que

0A2A 23 =− Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A2222222222

·2444444444

2·2·22·22·22·22·22·22·22·22·2·22·22·22·22·22·22·22·22·2·22·22·22·22·22·22·22·2

222222222

·222222222

A : 222222222

A 2

=

−−−

=

−−−

=

=

−−+−−++−++−−+−−++−++−−+−−++−++

=

−−−

−−−

=

−−−

=

A·2A·2·2A2A·A2A·AA

A2A 2223

2

=====

=

Sustituyendo en la expresión se demuestra lo que se pide.

0A4A4A2·2A·2A2A 223 =−=−=−

b) (1 punto) Hallar An. Solución.

A·2A

A2AA2A

:Si

1nn

23

2

=

==

−M

Septiembre 2004. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 2 puntos Dadas la matrices

=320210021

A ,

−=310111

211B

a. (1 punto) Determinar la matriz inversa de B. Solución. La condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero.

( ) 1B 03310203310111

211B −∃⇒≠=+−−++=−=

Calculo de la inversa de B:

30

( )=

−−−

−

=

+−

−−

+

−+−

+−

−−

+

=

−

==−3

033131

134

3

1111

1121

1121

1011

3021

3121

1011

3011

3111

3

310111

211 adj

BB adj

B

t

t

t

t1

−−

−−=

−−

−−

=03

13

111113

13

4

3011333314

b. (1 punto) Determinar una matriz X tal que A = B · X

Solución. Para despejar la matriz X, se multiplican los dos miembros de la igualdad por la inversa de la matriz B y en el mismo orden( por la izquierda), debido a la no-conmutabilidad del producto de matrices.

A = B · X ABXXBBAB 1

I

11 ⋅=⇒⋅⋅=⋅ −−−321

−−

−=

⋅

−−

−−=⋅= −

32

31

31

5113

113

13

4

320210021

031

31

11113

13

4

ABX 1

Junio 2004. Ejercicio 1B. Calificación máxima: 2 puntos Dadas las matrices:

−=

−−−=

000010001

B y 215113

001A

se pide a) ( 1 punto ) Hallar A−1.

Solución. La condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero.

( ) 12111

11215113

001Adet 11 =

−−

−⋅=−

−−= +

( )=

−

−=

−+

−−−

−+

−−+

−−

−−

+−−

−−

−+

=

−−−

==−

t

tt

t1

112120211

1301

1301

1100

1501

2501

2100

1513

2513

2111

1

215113

001adj

AA adj

A

−=

112121001

31

b) ( 1 punto ) Hallar la matriz X, tal que: BAXA T =⋅⋅

( donde AT significa la matriz traspuesta de A). Solución. Se despeja la matriz X multiplicando los dos miembros de la ecuación por la inversa de A por la izquierda, y por la inversa de la traspuesta por la derecha, debido a la no conmutabilidad del producto de matrices.

( ) ( ) 1T11TT1T ABAAAXAA : BAXA−−−− ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅

Teniendo en cuenta que el producto de una por su inversa es la matriz unidad, y que esta es el elemento neutro de la multiplicación de matrices:

( ) 1T1 ABAX−− ⋅=

Aplicando las propiedades de la transposición de matrices:

( ) ( )T11T AA −−=

sustituyendo en la expresión de la matriz X

( ) =

−⋅

−⋅

−=

−⋅

−⋅

−=⋅= −−

110120211

000010001

112121001

112121001

000010001

112121001

ABAX

T

T11

−−−−−

=

−⋅

−−−=

342431211

110120211

012021001

Septiembre 2003. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 2 puntos

a. (1 punto) Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad A + B = A·B. Comprobar que entonces se tiene la fórmula:

( ) ABBI 11 −− −=− b. (1 punto) Dada la matriz

−−

=12

11A

hallar la matriz B para la cual se verifica A + B = A·B Solución. a. Partiendo de la ecuación que se propone se intenta obtener la igual que se sabe que verifica.

( ) ABBI 11 −− −=− multiplicando los dos miembros de la igualdad por la derecha por la matriz (I − B)

( ) ( ) ( )BIABBIBI 11 −⋅−=−⋅− −− teniendo en cuenta que el producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad, y quitando paréntesis del 2º miembro

BABABI 11 ⋅+−= −− multiplicando los dos miembros de la igualdad por la derecha por la matriz B

( ) BABBABBIB 11 ⋅⋅+−⋅=⋅ −− teniendo en cuenta también que la matriz I es el elemento neutro de la multiplicación de matrices

BAAB ⋅+−= ordenando

A + B = A · B como se pretende comprobar.

32

b. Tomando la matriz B como

tzyx

, se obtiene:

⋅

−−

=

+

−−

tzyx

1211

tzyx

1211

operando

−−+−+−

=

+−+++−

ty2zx2tyzx

t1z2y1x1

igualando término a término

=−=

−=−−=−

−==

=−=−

−=+−−=++−=++−=+−

0t2

1y:1t2y21ty2

1z0x

:2z2x21zx2

ordenando:

ty2t1:2.2zx2z2:1.2tyy1:2.1zxz1:1.1

−−=

012

10B

Junio 2003. 2B. Calificación máxima: 2 puntos Encontrar un número real ,0≠λ y todas las matrices B de dimensiones 2x2 (distintas de la matriz nula), tales que.

=

λ3903

·B130

·B

Solución.

Sea

=

tzyx

B una matriz genérica de 2×2:

⋅

=

λ⋅

3903

tzyx

130

tzyx

multiplicando cada miembro por separado

++

=

+λ+λ

t3t9z3y3y9x3

tt3zyy3x

igualando las matrices término a término

( )

( )

==−λ

==−λ

=+=+λ

=+=+λ

0t0x·3

0y0x·3

:ordenando

t3t:2.2t9z3t3z:1.2

y3y:2.1y9x3y3x:1.1

para que el sistema tenga solución distinta de la trivial:

λ − 3 = 0 : λ = 3 para λ = 3 la solución del sistema es:

β=α=

zx

quedando la matriz B de la forma:

ℜ∈βα∀

βα

= , 00

B

33

Septiembre 2002. Ejercicio 3B. Puntuación máxima: 3 puntos. Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A2 = I, la matriz identidad de orden n. Se pide:

a) ( 1 punto ) Expresar A−1 en términos de A b) (1 punto ) Expresar An en términos de A e I , para cualquier número natural n. c) (1 punto ) Calcular a para que A2 = I, siendo A la matriz:

=

a011

A

Solución: a) Se pide calcular la inversa de la matriz A en función de A, para ello se da una igualdad que cumple la matriz

A2 = I Partiendo de está igualdad i multiplicando los dos miembros por la izquierda por la inversa de A

A−1 A2 = A−1 I I·AA·II·AA·A·A 11

I

1 −−− =⇒=321

teniendo en cuenta que la matriz identidad (I) es el elemento neutro del producto de matrices, se obtiene la expresión pedida

A−1 = A b) AA·IA·AA IA 232 ==== las potencias de la matriz se alternan entre I y A

=impar esn siA

par esn si IA n

c)

=

+=

==

1001

a0a11

a011

·a011

A·AA 22

identificando

±=⇒==

−=⇒=+=

1a1a:2.200:1.2

1a0a1:2.111:1.1

2

el único valor de a que lo cumple es a = −1, por lo que la matriz queda

−=

1011

A

Junio 2002. Ejercicio 2A. (Puntuación máxima: 2 puntos). Calcular el rango de la matriz A según los diferentes valores del parámetro real a:

−−+−−=

344a531012a02

A

Solución Rango de una matriz es el número de vectores fila ó vectores columna linealmente independientes. Se calcula como el orden del mayor Menor distinto de cero que exista en la matriz, y como máximo puede valer la menor de las dimensiones de la matriz Para calcular el rango de la matriz A, se busca el mayor Menor distinto de cero que no dependa del parámetro y a partir de este se estudian sus menores orlados. En la matriz A, el menor formado por la 1ª y 2ª fila y la 1ª y 4ª columna, no depende del parámetro y es distinto de cero.

34

083122

≠=−

sus menores orlados son:

( ) ( ) ( )4a·83122

14a34a5

301202

23 +−=−

−⋅+=−+

− +

( )4a1248a12345

3112a2

+=+=−−

−−

El rango de la matriz se discute únicamente para las raíces comunes de los dos menores.

i. Si a ≠ −4, existen menores de orden 3 distintos de cero, rg A = 3. ii. Si a = 4, no existe ningún menor de orden 3 distinto de cero, rg A = 2

Septiembre 2001. Ejercicio 4B. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Dada la matriz

−−−=431541

430A se pide:

(a) (1 punto) Comprobar que se verifica la igualdad A3 + I = O, siendo I la matriz identidad y O la matriz nula.

(b) (1 punto) Justificar que A tiene inversa y obtener A-1. (c) (1 punto) Calcular A100

Solución: a) Se pide comprobar que la matriz A cumple una igualdad, para ello se empieza calculando la matriz A2, para a continuación calcular A3 = A2·A

I100

010001

431531

430

331441101

AAA

331441101

431531

430

431531

430A

23

2

−=

−−

−=

−−−⋅

−−−

−=⋅=

−−−

−=

−−−⋅

−−−=

Demostrado0IIIA 3 =+−=+ b) A partir de la igualdad que cumple A, se puede demostrar que A tiene inversa e incluso dar una expresión de A−1 en función de A. Basta para ello recordar que el producto de una matriz por su inversa es la matriz unidad, a partir de la igualdad que cumple A, se puede llegar a expresar está igualdad como el producto de dos matrices igualado a la matriz unidad.

A3 + I = 0; −A3 = I Teniendo en cuenta que la matriz A3 se puede expresar como

−A3 = −A2 · A sustituyendo en la 2ª expresión

−A2 · A = I; multiplicando los dos miembros por A−1 por la derecha:

−A2 · A · A−1 = I · A –1 Teniendo en cuenta que el producto de una matriz por su inversa es la matriz unidad y que I es el elemento neutro de la multiplicación de matrices:

12 AA −=− Luego la matriz A tiene inversa, y es igual a la matriz opuesta de su cuadrado.

−−−−

=

−−−

−−=−=−

331441101

331441101

AA 21

35

La justificación de que A tiene inversa también se puede hacer calculando el determinante de A: Si 1A0A −∃⇒≠

Si 1Ano0A −∃⇒=

1A01431531

430A −∃⇒≠−=

−−−=

c) La matriz A100, se puede expresar como

A100 = A99 · A = (A3)33 · A Teniendo en cuenta A3 + I = 0 ⇒ A3 = −I, sustituyendo en la 1ª igualdad:

A100 = (−I)33 · A = (−1 · I)33 · A = (−1)33 · I33 · A

AAI1AII

1)1( 10033

33

−=⋅⋅−=⇒

=

−=−

−−−

−−=

431531430

A100

Junio 2000. 3A. Calificación máxima: 3 puntos

Para una matriz cuadrada, se define su traza como la suma de los elementos de la diagonal principal. En lo que sigue A y B son matrices cuadradas 2 x 2.

(a) (0,5 puntos) Comprobar que se verifica Traza ( A + B ) = Traza ( A ) + Traza ( B ). (b) (1 punto ) Comprobar que Traza ( AB ) = Traza ( BA ). (c) (1 punto) Utilizando los resultados anteriores, demostrar que es imposible tener AB – BA= I, donde

I denota la matriz identidad. (d) (0,5 puntos) Encontrar dos matrices A y B para las que Traza ( AB ) ≠ Traza (A) Traza (B ). Solución.

(a) Se definen:

=

2221

1211

aaaa

A

=

2221

1211

bbbb

B

++++

=+22222121

12121111

babababa

BA

Traza A = a11+ a22

Traza B = b11+ b22

Traza ( A + B ) = a11 + b11 + a22 + b22

Sumando: Traza A + Traza B = (a11+ a22) + (b11+ b22)

Ordenando de otra forma (a11+ a22) + (b11+ b22) = (a11 + a22) + (b11 + b22) = Traza A + Traza B

(b)

++++

=

=

2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

2221

1211

b·ab·abab·ab·ab·ab·ab·a

bbbb

·aaaa

B·A

Traza AB = a11 b11 + a12 b21 + a21 b12 + a22 b22

++++

=

=

2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

2221

1211

a·ba·ba·baba·ba·ba·ba·b

aaaa

·bbbb

A·B

Traza BA = b11 a11 + b12 a21 + b21 a12 + b22 a22

a11 b11 + a12 b21 + a21 b12 + a22 b22 = b11 a11 + b12 a21 + b21 a12 + b22 a22

36

por lo tanto

Traza AB = Traza BA como se quiere demostrar. (c) Si A·B – B·A= I ⇒ Traza (A·B − B·A) = Traza I Teniendo en cuenta que Traza (A+B) = Traza A + Traza de B

Traza (A·B − B·A) = Traza AB − Traza BA

y como Traza AB = Traza BA

entonces Traza (AB − BA) = Traza AB − Traza BA = 0 ≠ Traza I = 2

d) Sean las matrices:

=

2002

A

=

3003

B

=

6006

B·A

4222002

Traza =+=

: 633

3003

Traza =+=

: 1266

6006

Traza =+=

Traza A · Traza B = 4·6 = 24 ≠ Traza (AB) = 12.