D I NVESTIGACIÓN y T ECNOLOGÍA /

Modelamiento por elementos finitos de los

esfuerzos en un premolar •• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Ingeniero Mecánico Universidad Nocional. · Msc. Materiales y Procesos de Manufactura, Universidad Nacional. Msc. Métodos Numéricos para Diseño en Ingeniería, Universidad Politecnico Cataluña. Director Ingeniería Mecánico Universidad Libre.

1 Carlos Arturo Bohórquez Ávilo

Resumen

Los d ientes están sometidos o grandes cargos cuando realizan lo función de

masticar, lo variedad de estructuras que lo conforman: esma lte, dentina y lo

pulpo; hocen que seo uno estructuro único, conocer su comportamiento bajo lo

acción de estos cargos permitiría desarrollar nuevos materiales .

Después de uno reseño de lo composición y microestructuro de lo dentina, se

hará un modelomiento y simulación por elementos finitos del comportamiento

idealizado de cómo soporto lo dentina los esfuerzos, poro luego terminar con

un modelo en 2D de lo composición interno del diente que permite observar

como actúo lo dentina en lo distribución de esfuerzos y cuales serían los

perspectivos de investigación en este campo.

Introducción

Lo Dentina es lo estructuro más abundante en el diente humano. Por lo tonto, el

conocimiento de sus propiedades mecánicos es esencial poro analizar los efectos

de los cargos producidos cuando se mastico sobre el diente y poro entender los

efectos de lo gran variedad de los procedimientos dentales reconstituyentes.

A pesar de esto importancia, más de medio siglo de investigación no ha podi­

do proporcionar los valores coherentes de propiedades mecánicos de lo denti­

na. El módulo de Young (E) es desconocido; su variación porcentual es de más

del 30%, el módulo de Cortante ó de rigidez (G) por igual porcentaje, los

estudios de tenacidad de fracturo y resistencia o lo fatigo son mucho menores,

y los otros constantes elásticos se han med ido con a lgún grado de precisión; y

con mayor rozón.

Esto es un panorama crítico de lo investigación en los propiedades mecánicos de

lo dentina .

Figura 7. Estructura esquemática de un molar, S: esmalte, D: dentina, SD: unión amelo-dentina/. P: pulpa, Z: gingiva.

Figura. 2. Fotografío de micros­copio electrónico de barrido que

muestra lo estructura del esmalte, se pueden apreciar los bastonci-

llos cortados oblicuamente.

Anisotropío se define como lo variación de los propiedades mecánicos dependien­do de lo dirección de lo aplicación de los cargos.

Estructura de los dientes

La capa más exterior del diente expuesto se compone de esmalte que es tam­

bién el componente más duro. Lo maso del diente es lo dentina, que es más

blondo y tiene menos minerales que el esmalte. En el centro está lo pulpo, un

tejido vivo como lo muestro lo f iguro 1 .

Esmalte

El esmalte es extremadamente duro y se compone de un 96% en. peso de hi­

droxiopotito y de un 4% en peso de material orgánico y agua. Ese esmalte está

constituido de prismas en forma de bastoncillos con un diámetro de aproxima­

damente 5 mm (Figura. 2) Dentro de los prismas, los cristales de hidroxiapatita

se encuentran ordenados en paralelo a los lados longitudinales de los baston­

cillos. Los bastoncillos de esmalte están ordenados más o menos en ángulo

recto a lo zona de unión amelo-dentinal (figuro.l ). Las únicos zonas donde los

bastonci llos adamantinos están ordenados verticalmente a la superficie dental

son en los extremos de las cúspides y los bordes proximales. Los prismas de

esmalte no hacen un recorrido recto desde la unión amelo-dentina! hasta la

superficie externo. Grupos de prismas hocen uno serie de dobleces o lo largo

del recorrido.

Dentina

Lo maso del diente humano es lo dentina. Lo dentina se compone de un 45% en

volumen de minerales y hasta un 30% en volumen de material orgánico. El

agua constituye aproximadamente un 25% en volumen de lo dentina. Los com­

ponentes inorgánicos son principalmente hidroxiapotita y el material orgánico

que predomino es el colágeno. Uno propiedad característico de lo dentina es

lo denso disposición de los túbulos dentinorios que atraviesan su grosor total

(Fig. 3). En lo proximidad de la pulpo, se puede observar uno densidad de

59.000 o 76.000 túbulos por mm2. El diámetro de los túbulos dentinarios es de

aproximadamente 2.5 11m cerco de la pulpo y 0.9 11m en lo unión omelo­

dentinol.

Lo dentina es uno estructuro a nisotrópica 1 que presenta uno diferencia entre la

densidad de los túbulos así como su diámetro, lo influencio de estos variaciones

en los propiedades biomecánicos de lo dentina es importante tenerlos en cuen­

to al momento de realizar los análisis.

Microestructuro de lo Dentina

El estudio de lo microestructuro de lo dentina sugiere comenzar desde los micro­

constituyentes poro lo comprensión de sus propiedades mecánicos. En los escalos

más pequeños lo materia se compone de: APATITA, (Lo Apetito es realmente un

compuesto formado por tres minerales diferentes que dependiendo del predomi­

nio de flúor, el cloro o el grupo de hidroxilo tomo su nombre) esto es lo fase

mineral que constituye aproximadamente 50% del volumen de la dentina .

Las fibri llos del colágeno, cerca de 30% del volumen, tienen aproximadamente

50- 1 00 11m de diámetro; el los están orientados aleatoriamente en un plano

- INVESTIGACIÓN Y TECNOLOGÍA /

Figura 3. Imagen de un micros­copio electrónico de barrido en el

que se muestran los tú bulos dentinorios, 1 OOOX2

The mechanical properties of human den­tin: a critica! review and re-evaluation of the dentalliterature, J. H. Kinney, S.J. Mar­shall, G.W. Marshall. Oivision of Bioma­terials and Bioengineering, Department of Preventive and Restorative Dental Sciences.

perpendicular o la dirección de la formación de dentina. El mineral ocupa

dos sitios dentro de esta est ructuro de colágeno: intrafibrillor (espaciado pe­

riódicamente en las zonas de la fibrillo de colágeno) y extrafibrillar (en los

interst icios entre los fibrillos). La distribución entre estos dos sitios es incierto,

aunque se cree que entre 70 y 75% del mineral puede ser extrofibrillor. Los

cristales de mineral son parecidos o uno aguja cerco de lo pulpo; y cambian

de formo a la de lamin illas al acercarse al esmalte. El espesor de los cristales

es de S T)m, es invariable con la ubicación.

En un nivel más alto se puede considerar como un materia l compuesto f ibrilar

reforzado, con lo dentina de intertubulor que formo lo motriz y los ojugeros de

los túbulos de dentina de peritubulor que forman el refuerzo cilíndrico de lo

fibra (ver Figuro. 3).

Los túbulos recorren continuamente lo dentina desde e l empalme de lo denti­

na y el esmalte; unión omelo-dentinal, o lo pulpo en lo dentina de la corono

del diente, y del empalme del cemento y lo dentina al canal de lo pulpo en la

raíz. Lo regular, casi unioxio l, alineación de los túbulos ha dirigido o algunos

autores o sugerir que ellos juegan uno función importante en lo dependencia

de lo orientación de los propiedades mecánicos de lo dentina (onisotropio) .

En uno escalo más grande los propiedades microestructuroles de lo dentina

describen la respuesta del diente a las cargas aplicadas, y tienen en cuenta

las predicciones de los esfuerzos del diente y los propiedades de tenacidad

de fractura.

Propiedades elásticas de la dentina

Las propiedades elásticos de lo dentina son de suprema importancia en todas

las discusiones sobre los esfuerzos en los dientes. Las constantes elásticas, gene­

ralmente definidas en términos de una matriz de rigidez (Cii), incluyen el módu­

lo de Young, el módulo de Rigidez, y la relación de Poisson. Dependiendo de la

simetría de la microestructuro, las constantes elásticas tienen diferentes grados

de libertad . Por ejemplo, uno estructuro isotrópico tiene sólo dos constantes

elásticos independientes, mientras una estructura ortotrópica tiene nueve cons­

tantes elásticas independientes. Por lo tanto, cualquier estudio de las propieda­

des elásticas de dentina debe considerar su simetría.

El módulo de Young

Lo pendiente de lo curvo en zona elástico del diagrama esfuerzo deformación

proporciona el módulo de Young, mientras que el esfuerzo de fluencia y el

esfuerzo último se pueden obtener de la parte no lineal o plástico del diagra­

ma. Modelo aplicable a todos los materiales de ingeniería. Sin embargo sor­

prende que hayo tonta incertidumbre en el módulo de Young paro la dentina

obtenido por este método. Lo dispersión en los resultados es notoria en

cualquiera de los métodos experimentales de medida (tensión, flexión, indenta­

ción o ultrasonido), lo desviación típico de estos valores está entre 13,2 GPo y

4,0 GPo, respectivamente.

Modelos para Materiales Compuestos

Un modelo aproximado para representar el módulo de elasticidad de mate­

riales compuestos se puede emplear para el caso de la dentina, que se consi­

dera una mezcla de dos materia les: la apatita y el colágeno. La ecuación l

muestra la forma de calcular el módulo de elasticidad equivalente para mate­

riales compuestos:

2

Donde: E. es el módu lo de elasticidad equivalente

EA es el módulo de elasticidad de la apatita

Ec es el módulo de elasticidad del colágeno

VA es el porcentaje en volumen de la apatita (35%- 45%)

V e es el porcentaje en volumen del colágeno

Las propiedades elásticas de los materiales por separado son

de la apatita

y del colágeno

EA= llO GPa

Ec=O,OOl GPa.

Sin embargo, estos va lores teóricos difieren bastante de los encontrados en for­

ma experimental, la gráfica l muestra como sería el comportamiento del módu­

lo de elasticidad equivalente aplicando las ecuaciones 1 y 2 al variar el porcen­

taje de apatita y de colágeno.

Existen otros métodos para calcular el módulo de elasticidad equivalente en la

dentina como el microestructural que podía aplicarse a este caso pero que

tampoco han mostrado semejanza con los datos experimentales y que no son

pertinentes para este estudio.

G ráfica 1. Variación Teórica del Módulo de Young para la dentina

135

.. 115 Q. (!) ..,

95 .. :!2 ~ 75 "' ~ UJ

55 .. .., .2 35 :l .., <> ::;: 15

~ ~ 1

~ 1

~ 1 ~ 1

~ r * r * l * r * r * r * "T 1

·5 % 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

Porcentaje de Apatita

Grófica 7. Variación del Módulo de elasticidad poro la dentina dependiendo del porcentaje de Apatita presente, estos valores no muestran similitud con los obtenidos experimentalmente en prome­dio 9 GPo.

·- INVESTIGACIÓN Y T ECNOLOGÍA /

~

~ c.. o L;:í

. 3

40

35

30

25

20

E p

~ ~

00 O O o 1

o o o o o o o o

r-

V

/

'--- V

Ep

Lees and Rollins ( 1972)

Et

~(2002)

o 30 60 90 ()( Grados

G ráfico 2. Comporto ­miento del módulo de

elasticidad de acuerdo con el ángulo de incidencia

para los valores experimen­tales por tensión (superior) y por ultrasonido (inferior)3

Et

Kinney JH, Balaoch M, Marshall GW, Marshall SJ (1999). A micromechanics model al the elastic properties al hu­man dentine. Arch Oro/ Bio/44:813-22

Para la determinación del módulo de Young para la dentina mediante ensayos

de tensión y compresión ha habido numerosas tentativas. La mayoría de estas

medidas se han real izado en Tensión o Compresión. El énfasis primario de los

estudios de tensión debía establecer el Esfuerzo último de tensión de la dentina;

la determinación del módulo de Young es secundaria a la medida de este

esfuerzo. La medida "moderna" más aproximada de módulo de Young de

tensión se publicó en 1982 . En ese estudio, las probetas de denti na tenían un

comportamiento lineal hasta la ruptura y presentaban un módulo de elasticidad

en promedio de 19,3 GPa con una variación de 28%.

Para la determinación del módu lo de rigidez o cortante fue necesario establecer

cuál era la relación de Poisson para la dentina, luego de varios ensayos se

obtuvo un valor promedio de 0,25, este número representa una relación entre

la deformación axial y la deformación longitudinal de la dentina al realizar el

ensayo. Entonces se puede aplicar la aproximación:

Donde:

E G = 2(1+v) 3

G es el módu lo de Rigidez a l corte

E es el módulo de Elasticidad

v es la re lación de Poisson

El valor promedio de esta medida es 7,7 GPa.

Las últimas técnicas empleadas para lo medición de los módu los de elasticidad

en materiales, obtienen la medida de la velocidad de propagación del sonido

en la estructura analizada (2002), estos valores muestran que la dentina tiene

un módulo de elasticidad de 24,4 GPa y un módulo de rigidez de 8,6 GPa,

valores que son los más aceptados. Sin embargo, las medidas varían de acuer­

do con el ángulo de incidencia lo cual confirma que la dentina es un material

Anisotrópico. Los valores cambian aunque no en forma tan apreciable como

los primeros resultados, la gráfica 2 muestra este comportamiento.

Algunos autores sugieren que la variación de los va lores se debe a la orientación

de las fibras del colágeno componente estructural de la dentina, surge aquí un

interrogante y es si la dentina pudiera tener un comportamiento viscoelástico.

Se asume que la dentina es perfectamente elástica con cargas pequeñas, y que

las constantes elásticas no dependen de la variación del esfuerzo. En la mayo­

ría de los te jidos biológicos, éste no es el caso. A una carga constante, estos

materiales continúan deformándose con el tiempo (Creep). Por lo tanto, si un

esfuerzo constante se mantiene, la deformación debe reducirse continuamente

con el tiempo (relajación de la deformació n). Los materia les que exh ibeÁ una

respuesta tiempo-dependiente se llaman viscoelásticos. Si la dependencia del

tiempo de relajación no depende de la magnitud del esfuerzo aplicado, la

materia exh ibe viscoelasticidad lineal. Por otro lado, si la respuesta cambia

con el esfuerzo aplicado, lo materia exhibe viscoelasticidad no lineal. En el

análisis planteado, los valores de los módulos de elasticidad se tomaron cons­

tantes con el tiempo.

Tabla 1. Propiedades de la dentina y el esmalte utilizadas en el estudio

M 'd 1 d M 'd 1 d D .d d Coeficiente Relación P . d d o u o e o u o e ens1 a d E . , d p .

rop1e o El .. d d GP R" .d GP / 3 e xpons1on e 01sson ostiCI o o l9l ez o 9 mm Térmico 1 re odimencionol

Dentina Peritubulor

Dentina lntertubulor

Esmalte

Fuente: el autor

24

18

84,3

8,5

6,7

29,2

0.25

0.23

0,31

Propiedades de las estructuras que conforman el diente

Luego de estudiar las diferentes teorías sobre las propiedades elásticas de la dentina se establecen los valores con los que se hacen los análisis.

Análisis por elementos finitos

El modelo utilizado para hacer el análisis partió de lo estructura de la dentina

en su porte primaria; es decir mirar los túbulos de 4 ¡1.m de diámetro, con la dentina Peritubulor e lntertubular y el líquido que esta dentro de ella que posee

propiedades parecidas a las del aguo. Luego se ensamblaron varios de estos

modelos para crear uno y por último se analizó el diente tomando el promedio

de las propiedades mostradas en la tabla 1 .

Las cargas que se aplicaron fueron las tomadas en varios ensayos de la mordi­

da normal que están en el orden de 630 N en total, esta carga se aplicó en varios puntos del diente. El análisis se realizó en El software ALGOR®.

Modelamiento inicial

Figuro 4. Modelo inicio/ de lo dentina; 7 fluido entinorió, 2 Dentina Peritubular, 3 Dentina lntertubular. Fuente: el autor

Figura 5. Ensamble donde se muestro un modelo muy idealizado de la dentina, ordenados simétrica­

mente. Fuente: al autor.

Luego de aplicar las cargos, el modelo arrojó los resultados mostrados en lo

figura 6, se noto lo simetría de los esfuerzos y cómo es un modelo ideal presen­

to resultados ideales. Sin embargo, se observa como el fluido dentinorio se

deformo para soportar mejor los esfuerzos.

0,31

0,25

0.33

- INVESTIGACIÓN Y T ECNOLOGÍA /

Figura 6. Resultados de los análisis de Esfuerzos en un

modelo ideal de la dentina . A esfuerzos de Von mises, 8, C y D

esfuerzos cortantes en los direcciones perpendiculares.

Figura 7. Modelamiento del premolar utilizando el software So/id Edge®. Fuente: el Autor

1 ~

¡ g~~ d

r...,.

Estos imágenes muestran como la dentina soporta los esfuerzos; no obstante, el

análisis debe realizarse con un modelo que permito observar el conjunto del

diente soportondolos. Es por esto que el siguiente poso fue el de hacer un

modelo del diente en dos dimensiones, el modelo partió de las medidas rea les

de un diente premolar donde se caracterizó su perfil y se dibujó punto a punto,

en total fueron 65 puntos los que sirvieron para construir el modelo. Primero se

construyeron modelos tridimensionales para luego obtener el modelo bidimen­

sional.

Lo figura 7 muestra el proceso de generación del sólido utilizando el software

Solid Edge®

De nuevo se aplicaron las cargas de 630 N, aplicados en 5 puntos. Se supuso

que el d iente estaba completamente restringido en donde se une con el hueso

de la mandíbula.

Luego de tener el diente en tres dimensiones se pasó a lo modeloción en dos

dimensiones, se le aplicaron las cargas y se hizo el análisis .

Los resultados se muestran en los figuro 9 .

Figura 8. Modelo del diente donde se muestra la aplicación de las cargas; 1 Esmalte, 2 Dentina. Fuente: el Autor

' .J'

l t. ... •' "

l "'' ;;¡ 8 Zs /;. 7,$ fr1

Conclusiones

A

e

E

T..,;o-

61.'53 61.516 55.61 'f.l.163 mr 32.CM3 26.133 21123 1~.323 8.'1166 2.509'3 -3.3961 -Hl33 -15.21 -21.111 -21.023 -32.93 -:13.833 -'ti. m

Tonsrr

0.00219 0.002 0.00181 0.00161

8:~~ B.'il!-~ 6.50!-~ ~-S..-[}l 2.6e-[}l 5.6e-05 -le-CM -~-[}l -S..-~ -0,-~ ·9e·O~ -0.001 -0.0012 -0.001~

YO"IIAises

0.00529 0.00501 o.~~ O.OO'ti6 0.00'118 0.0039 0.00362 o.0033'i 0.00315 0.00219 0.00251 o.~

8:EE16l 0.00139 0.00111 B. Y!!-~ S.6e-[}l 2.EJe-[}l s.r-09

Muchos de los conceptos de las propiedades biomecánicas de la dentina

han cambiado en los últimos años, y talvez la comprensión de cómo sopor­

tan los esfuerzos las estructuras dentinarias se hace más fácil.

Las características propias de los dientes con una parte exterior muy dura como

lo es el esmalte, que está soportada sobre una más blanda la dentina, le da al

diente una buena combinación de propiedades que hace que soporte mejor

los esfuerzos y que la distribución de los mismos se haga más uniformemente.

No se tuvieron en cuenta algunas teorías sobre la viscoelastcidad de la den­

tina, ni sobre los mecanismos de falla de esta estructura.

Para comprender mejor el compor-tamiento del d iente se debe generar un

modelo tridimensional como posible campo de investigación.

B

D

F

T.,.,.,.

31.611 21.[68 10.519 -0.1E91 -10.518 -21.121 -31.616 -'E225 -52.1~ -63.322 -13.811 -~-~2 -94.969 -105.52 -116.01 -126.61 -131.16 -1'11.11 -158.26 -168.81

\4in Prirl:'paJ

o ·8.92'ti -ll.EHJ -26.!13 ·35.698

=~~~ -62.Yl1 ·11.395 -80.32 -8'3.2-f-l 98.169

-101.09 115.1E

-1¡>-j.S'i -133.81 -1'i'.19 -15' ."2 -150.6'1 -159.55

Figura 9. Resultados de los

análisis; A Cortantes en XY,

B Cortantes XZ, C Cortante YZ,

D Esfuerzos Máximos Principales,

E Esfuerzos de Von mises,

F Esfuerzos Mínimos Principa les.

Fuente: el Autor

- f NVESTIGACIÓN

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