MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA PLATAFORMA OSCILANTE, …

MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA PLATAFORMA OSCILANTE,

COM EXCITAÇÃO HARMÔNICA EM SUA BASE, PARA COLHEITA DE

ENERGIA PELAS ONDAS DO MAR

Carlos Eduardo Marques, [email protected]

José Manoel Balthazar, [email protected]

Ângelo Marcelo Tusset, [email protected]

Marcos Silveira, [email protected]

Bento Rodrigues Pontes Jr, [email protected]

Jorge Luiz Palácios Felix, [email protected]

Atila Madureira Bueno, [email protected]

1UNESP – Bauru – Departamento de Engenharia Mecânica, Avenida Engenheiro Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01,

CEP:17033-360 – Vargem Limpa – Bauru – SP, Brasil. 2UNESP – Rio Claro – Departamento de Estatística, Matemática Aplicada e Computacional, Avenida 24A, 1515,

CEP:13.506-900, Caixa Postal 178 – Bairro Bela Vista – Bairro Bela Vista – Rio Claro – SP, Brasil. 3UTFPR – Ponta Grossa – Departamento de Engenharias, Avenida Monteiro Lobato, s/n, km 04, CEP: 84.016-210 –

Ponta Grossa – PR, Brasil. 4UNIPAMPA – Bagé – Departamento de Matemática, Travessa 45, 1650, Bairro Malafaia - CEP: 96.413–170 – Bagé –

RS, Brasil. 5UNESP – Sorocaba – Departamento de Engenharia de Controle e Automação, Avenida Três de Março, 511,

CEP:18087-180 – Alto da Boa Vista – Sorocaba – SP, Brasil.

Resumo: Tendo em vista sua massiva utilização de tecnologia, a sociedade humana moderna possui uma enorme e

constante necessidade de energia. A idéia de se possuir uma fonte de energia abundante e renovável, tem motivado a

humanidade a pesquisar e a explorar novas idéias e conceitos. A utilização de sistemas de captação de energia, hoje em

dia, está amplamente explorada e a energia vibracional de sistemas pendulares pode ser uma boa aplicação em pesquisa

de energia proveniente das ondas do mar. Motivados por essas idéias, desenvolvemos um modelo matemático que pode

ser usado para coletar a energia das ondas do mar. O objetivo deste estudo é analisar a contribuição do acoplamento

não-linear do transdutor Piezoelétrico (PZT) na colheita de energia. O problema foi modelado com o uso de equações

de Lagrange e as simulações numéricas foram realizadas utilizando-se um integrador Runge- Kutta de quarta ordem. O

modelo de trabalho é descrito como um pêndulo, estabilizado por uma mola de torção de rigidez linear, fixado a uma

plataforma suspensa que oscila no eixo vertical e horizontal. Uma mola e um amortecedor estabilizam o Plataforma

Pendular Suspensa (PPS) em ambos os eixos. Um transdutor PZT não linear é acoplado ao eixo vertical do sistema para

a captação de energia, e a base da PPS é excitada por uma força harmônica que é traduzida por um deslocamento

cinemático de sua base.

Palavras-chave: Energy Harvesting, Energy Scavenging, Sistemas Pendulares, Dinâmica Não-Linear.

1. INTRODUÇÃO

Em tempos de escassez energética, atrelada ao massivo consumo e exploração exacerbada do petróleo e seus

derivados, uma solução à atual crise energética mundial, seria a identificação/exploração/utilização de novas fontes de

energia. Fontes essas que, se provenientes de recursos renováveis, seriam ideais. Sendo assim, houve vasto estudo sobre

a possível exploração de outros tipos de energia que não à originada em combustíveis fósseis. A utilização, então, de

sistemas de captura de energia foi amplamente desenvolvida e está presente em vasta literatura, como em Falnes, J. (2002);

Triplett et al. (2011); Triplett e Quinn (2009); Iliuk et al. (2011); Stephen, N. G. (2006a); Stephen, N. G. (2006b); Assis,

L.E.(2010) e Proença et al. (2007), sem detrimento a outros autores.

A utilização da energia vibracional provida por sistemas pendulares pode ser uma boa aplicação em pesquisa de

energia capturada pelo movimento das ondas do mar. Apesar de não possuírem a mesma motivação de pesquisa, autores

como Xu et al. (2005); De Paula, A. S. (2007) e Kecik e Borowiec (2013) entre outros, pesquisaram a fundo as

características e peculiaridades de modelos matemáticos que se baseiam em sistemas pendulares.

VERSÃO PRELIMIN

AR. OS ANAIS D

EFINITIVOS

SERÃO PUBLICADOS APÓS O

EVENTO.

V I I I C o n gr es s o N a c i o n a l d e E n g e n h ar i a M e c â ni c a , 1 0 a 1 5 d e a g o s t o d e 2 0 1 4 , U b er lâ n d i a - M i na s G er a i s

Motivados por essa ideia, desenvolvemos um modelo matemático que poderia ser utilizado na captura de energia das

ondas do mar.

O início do estudo sobre a parte mecânica do modelo matemático que será apresentado a seguir, se deu em Marques

et al. (2012a), Marques et al. (2012b), Tusset et al. (2013) e Balthazar et al. (2013), porém a inserção do movimento

horizontal da plataforma pendular e o transdutor piezoelétrico, para que haja a colheita de energia propriamente dita, são

novidades.

O modelo estudado no presente trabalho, ilustrado pela figura 1, consiste em um pêndulo fixado a uma plataforma

suspensa de massa M, que oscila vertical e horizontalmente. O pêndulo tem uma massa m, conectada à plataforma, que

será tratada a partir de agora por Plataforma Pendular Suspensa (PPS), por uma haste de comprimento l, onde

representa o deslocamento angular, que é estabilizado por uma mola de torção cuja rigidez é representada por k1.

A PPS é estabilizada horizontalmente por uma mola linear de rigidez k2 e um amortecedor c1. A mola que faz a

ligação entre a PPS e a fonte de excitação do sistema, um deslocamento cinemático da base na forma de uma força

harmônica F (𝐹 = 𝐴 ∙ sin(𝜔 ∙ 𝑡)), tem rigidez definida por k3 e o amortecedor que também tem esse papel de ligação entre

a PPS e a fonte de excitação é representado por c2. Os deslocamentos horizontais e verticais, serão representados por qx

e qy, respectivamente e o deslocamento da base será representado por qb.

Inicialmente, foram constatados dois tipos de comportamento do sistema quanto ao seu modo de vibrar, harmônico e

caótico. A escolha da fonte de excitação do sistema ter sido de origem harmônica se deu por conta do caráter inicial da

pesquisa, ou seja, simplificou-se ao máximo para que se possa fazer uma análise evolutiva do sistema ao introduzir-se

posteriormente uma excitação via “Shaker” de potência limitada ou então uma função que descrevesse o perfil de onda,

de maneira a aproximarmos significativamente o modelo teórico do real.

O transdutor piezoelétrico adotado no modelo em estudo foi o mesmo trabalhado por Triplett e Quinn (2009). Sendo

assim, o termo 𝑑(𝑞𝑦)

𝐶𝑝∙ 𝑄, representa o acoplamento piezoelétrico para o componente mecânico, de forma que Q representa

a carga desenvolvida através do circuito acoplado; d(qy) é o coeficiente de acoplamento dependente da tensão (esforço

mecânico) aplicada; V é a tensão elétrica através do material piezoelétrico e tem a forma 𝑉 = −𝑑(𝑞𝑦)

𝐶𝑝+

𝑄

𝐶𝑝, onde Cp

representa a capacitância piezoelétrica. Podemos assim, reescrever a tensão elétrica como 𝑉 = −𝑅 ∙ ��, onde R é a

resistência elétrica e 𝑖 = ��, é a intensidade de corrente elétrica.

O coeficiente de acoplamento piezoelétrico foi aproximado por Triplett e Quinn (2009) como sendo uma função não

linear, descrita como 𝑑(𝑞𝑦) = 𝑑𝑙𝑖𝑛 ∙ (1 + 𝑑𝑛𝑙𝑖𝑛|𝑞𝑦|), onde 𝑑𝑙𝑖𝑛 , representa a parte linear do acoplamento piezoelétrico e

𝑑𝑛𝑙𝑖𝑛 , representa a parte não linear do acoplamento piezoelétrico.

A potência capturada através do componente mecânico é dada por 𝑉2

𝑅⁄ .

2. MODELAGEM MATEMÁTICA

Para que se possa estudar a dinâmica envolvida num sistema através de um modelo matemático que fora adotado,

tem-se a necessidade de se obter as equações do movimento. Dessa forma, determinam-se as coordenadas generalizadas

e o referencial inercial para cada caso. Em seguida, calcula-se a posição e a velocidade dos corpos envolvidos e na

Figura 1. Modelo Simplificado de Plataforma Pendular Suspensa (PPS), associada a Transdutor

Piezelétrico e excitada por um Vibrador Eletrodinâmico (VED), na forma de uma força harmônica.

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EVENTO.


sequência obtêm-se as equações de energia e suas derivadas, construindo assim as equações do movimento por meio da

metodologia proposta por Lagrange em Mecânica Analítica. Determina-se as coordenadas generalizadas deste sistema, da seguinte forma:

Para a PPS tem-se:

{X1 = q𝑥 ⇒ X1 = q𝑥

Y1 = qy − qb ⇒ Y1 = qy − qb

(1)

Onde qb é denominado o deslocamento da base do suporte da PPS e qb = A ∙ sin(ω ∙ t) e qb = A ∙ ω ∙ cos(ω ∙ t).

E para o pêndulo tem-se:

{X2 = q𝑥 + lsinθ ⇒ X2 = q𝑥 + θlcosθ

Y2 = (qy − qb) + l(1 − cosθ) ⇒ Y2 = (qy − qb) + θlsinθ (2)

Para o circuito elétrico do transdutor piezelétrico, faz-se uma analogia força-voltagem, com base na Lei das Malhas

de Kirchhoff, Dorf e Bishop (2001), dado que os elementos do circuito se apresentam conectados em série.

Determinados o referencial e as coordenadas generalizadas, busca-se calcular as energias cinética (T) e potencial (V)

do sistema. Dessa forma, tem-se:

Energia Cinética (T)

𝑇 =1

2[𝑀(��1

2 + ��12) + 𝑚(��2

2 + ��22)] (3)

onde 1

2[M(X1

2 + Y12)] representam as energias cinéticas da PPS, referentes ao deslocamento linear no eixo horizontal

dado pela coordenada generalizada X1 e no eixo vertical dado pela coordenada generalizada Y1, e 1

2[m(X2

2 + Y22)] são as

energias cinéticas referentes ao deslocamento angular do pêndulo nos dois eixos de orientação horizontal dado pela

coordenada generalizada 𝑋2 e vertical dado pela coordenada generalizada 𝑌2.

Substituindo as coordenadas generalizadas, (1) e (2), na expressão (3) e desenvolvendo a mesma, tem-se:

𝑇 =1

2∙ (𝑀 + 𝑚) ∙ (q𝑥

2 + qy2 + qb

2) − (𝑀 + 𝑚) ∙ (qy ∙ qb) + 𝑚 ∙ θ ∙ l ∙ (q𝑥 ∙ cosθ + qy ∙ sinθ − qb ∙ sinθ) +1

2∙ 𝑚

∙ θ2 ∙ l2

(4)

Energia Potencial (V)

𝑉 = 𝑀𝑔𝑌1 + 𝑚𝑔𝑌2 +1

2𝑘2𝑋1

2 +1

2𝑘3𝑌1

2 +1

2𝑘1𝜃2 +

1

2∙

𝑄2

𝐶𝑝

−𝑑(qy)

𝐶𝑝

∙ 𝑄 ∙ (qy − qb)

(5)

onde 1

2∙

𝑄2

𝐶𝑝−

𝑑(qy)

𝐶𝑝∙ 𝑄 ∙ (qy − qb) é a contribuição do transdutor piezoelétrico e 𝑀𝑔𝑌1 +

1

2𝑘3𝑌1

2 representam as

energias potenciais gravitacional e elástica da PPS e da mola de ligação com a fonte de excitação k3, respectivamente,

que estão vinculadas ao bloco. E 𝑚𝑔𝑌2 +1

2𝑘1𝜃2 representam as energias, potencial gravitacional da massa do pêndulo e

a potencial elástica da mola torcional do pêndulo, respectivamente.

Substituindo as coordenadas generalizadas, (1) e (2), na expressão (5) e desenvolvendo a mesma, tem-se:

𝑉 = (𝑀𝑔 + 𝑚𝑔)𝑞𝑦 − (𝑀𝑔 + 𝑚𝑔)(𝐴 ∙ sin(𝜔𝑡)) + 𝑚𝑔𝑙 − 𝑚𝑔𝑙 cos(𝜃) +1

2𝑘2𝑞x

2 +1

2𝑘3𝑞𝑦

2 +1

2𝑘3(𝐴2 ∙ sin2(𝜔𝑡))

+1

2𝑘1𝜃2 − 𝑘3𝑞𝑦(𝐴 ∙ sin(𝜔𝑡)) +

1

2∙

𝑄2

𝐶𝑝

−𝑑(qy)

𝐶𝑝

∙ 𝑄 ∙ (qy − qb)

(6)

A partir das energias do sistema, constrói-se a função Lagrangiana, L, que é definida pela diferença entre as energias

cinética (T) e potencial (V) e as equações do movimento do sistema são as derivadas da função Lagrangiana em função

das coordenadas generalizadas e do tempo, Kibble (1970).

𝑑

𝑑𝑡(

𝜕(𝑇 − 𝑉)

𝜕��𝑖

) −𝜕(𝑇 − 𝑉)

𝜕𝑞𝑖

+𝜕𝐷

𝜕��𝑖

= 0, 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛

(7)

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EVENTO.


onde, ��𝑖 =𝜕𝑞𝑖

𝜕𝑡 é a velocidade generalizada, n é o número de coordenadas generalizadas e D simboliza a função de

energia de dissipação de Rayleigh.

Daí, tem-se:

L = T − V =1

2∙ (𝑀 + 𝑚) ∙ (q𝑥

2 + qy2 + qb

2) − (𝑀 + 𝑚) ∙ (qy ∙ qb) + 𝑚 ∙ θ ∙ l ∙ (q𝑥 ∙ cosθ + qy ∙ sinθ − qb ∙ sinθ)

+1

2∙ 𝑚 ∙ θ2 ∙ l2 − (𝑀𝑔 + 𝑚𝑔)𝑞𝑦 + (𝑀𝑔 + 𝑚𝑔)(𝐴 ∙ sin(𝜔𝑡)) − 𝑚𝑔𝑙 + 𝑚𝑔𝑙 cos(𝜃) −

1

2𝑘2𝑞x

2

−1

2𝑘3𝑞𝑦

2 −1

2𝑘3(𝐴2 ∙ sin2(𝜔𝑡)) −

1

2𝑘1𝜃2 + 𝑘3𝑞𝑦(𝐴 ∙ sin(𝜔𝑡)) −

1

2∙

𝑄2

𝐶𝑝

+𝑑(𝑞𝑦)

𝐶𝑝

∙ 𝑄 ∙ (qy − qb)

(8)

Para que seja possível a análise das forças não conservativas desse sistema, define-se a função de dissipação de

energia de Rayleigh.

𝐷 =1

2∙ 𝑐𝜃 ∙ (𝑙 ∙ ��)

2+

1

2∙ 𝑐1 ∙ ��𝑥

2 +1

2∙ 𝑐2 ∙ ��𝑦

2 +1

2∙ 𝑅 ∙ ��2

(9)

Onde cθ é o amortecimento do pêndulo, c é o amortecimento do bloco de massa M e R é o resistor associado ao

transdutor piezoelétrico.

Substituindo (8) e (9) em (7), e variando-se as coordenadas generalizadas do sistema, obtêm-se as equações do

movimento.

(𝑀 + 𝑚) ∙ ��𝑥 + 𝑚 ∙ θ ∙ l ∙ cos(𝜃) − 𝑚 ∙ θ2 ∙ l ∙ sin(𝜃) + 𝑘2 ∙ 𝑞𝑥 + 𝑐1 ∙ ��𝑥 = 0

(10)

(𝑀 + 𝑚) ∙ ��𝑦 + (𝑀 + 𝑚) ∙ A ∙ ω2 ∙ sin(ω ∙ t) + 𝑚 ∙ θ2 ∙ l ∙ cos(𝜃) + 𝑚 ∙ �� ∙ 𝑙 ∙ sin(𝜃) + (𝑀𝑔 + 𝑚𝑔) + 𝑘3 ∙ 𝑞𝑦 − 𝑘3

∙ (𝐴 ∙ sin(𝜔𝑡)) −𝑑(𝑞𝑦)

𝐶𝑝

∙ 𝑄 + c2 ∙ ��𝑦 = 0

(11)

𝑚 ∙ l ∙ ��𝑥 ∙ cosθ − 𝑚 ∙ l ∙ q𝑥 ∙ �� ∙ sinθ + 𝑚 ∙ l ∙ ��y ∙ sinθ + 𝑚 ∙ l ∙ qy ∙ �� ∙ cosθ − 𝑚 ∙ l ∙ A ∙ ω2 ∙ sin(ω ∙ t) ∙ sinθ − 𝑚 ∙ l ∙ A

∙ ω ∙ cos(ω ∙ t) ∙ �� ∙ cosθ + 𝑚 ∙ l2 ∙ �� + 𝑚 ∙ θ ∙ l ∙ q𝑥 ∙ sin(θ) − 𝑚 ∙ θ ∙ l ∙ qy ∙ cos(θ) + 𝑚 ∙ θ ∙ l ∙ qb

∙ cos(θ) + 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑙 ∙ sin(θ) + 𝑐𝜃 ∙ 𝑙 ∙ �� = 0

(12)

𝑄

𝐶𝑝

−𝑑(𝑞𝑦)

𝐶𝑝

∙ (qy − A ∙ sin(𝜔 ∙ 𝑡)) + 𝑅 ∙ �� = 0

(14)

3. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS – Modelo com Acoplamento PZT linear

Os parâmetros utilizados nas simulações serão identificados a seguir, Tabela 1, e estão de acordo com Triplett e Quinn

(2009), Balthazar et al. (2013).

Tabela 1 – Parâmetros do Sistema utilizados para as simulações numéricas.

Parâmetros Descrição Grandezas Valores

M Massa da PPS [kg] 0,0125

m Massa do pêndulo [kg] 0,0025

L Comprimento da haste pendular [m] 0.3200

k1 Rigidez da mola torcional [N/rad] 0.7430

k2 Rigidez da mola horizontal [N/m] 0,0500

k3 Rigidez da mola vertical [k.N/m] 4,5900

c1 Amortecimento vertical da PPS [N.s/m] 0,3218

c2 Amortecimento horizontal [N.s/m] 0,2170

ctetha Amortecimento do pêndulo [N.s/m] 0,0020

A Amplitude da Força de Excitação [N] 13,000

W Frequência da Força de Excitação [Hz] 36,710

G Aceleração da Gravidade [m/s2] 9,8100

Dlin Acoplamento PZT linear [N/V] 4,57 . 10-3

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EVENTO.


Dnlin Acoplamento PZT não-linear [N/V] 0

R Resistor do transdutor PZT [Ω] 105 . 103

Cp Capacitor do transdutor PZT [F] 8,6 . 10-6

Inicialmente faz-se uma análise considerando apenas o acoplamento linear e posteriormente procura-se

um valor ótimo para o acoplamento não-linear.

3.1. Retratos de Fase

Segundo Koçak e Hale (1991) e Thompson e Stewart (1991), plotando-se um ponto a cada instante de tempo em um

sistema de coordenadas ortogonais, onde cada coordenada dependente representa uma das variáveis que compõem o

sistema, origina-se o retrato de fase do sistema, ou seja, o conjunto destes pontos origina uma órbita ou trajetória de fase.

Pode-se verificar que o comportamento da PPS na vertical tende a ser periódico, Figura 2. [B], porém o

comportamento horizontal explicitado pela Figura 2. [A], mostra um comportamento onde há acentuada irregularidade, o

que se confirma na Figura 2. [C], que apresenta o comportamento do pêndulo que tem por finalidade transferir o

movimento vertical para o horizontal.

3.2. Históricos do Deslocamento

A seguir apresenta-se a posição horizontal da PPS no decorrer do tempo, Figura 3. [A], a posição vertical da PPS no

decorrer do tempo, Figura 3. [B] e por fim, a posição do pêndulo no decorrer do tempo, Figura 3. [C].

Ao analisarmos o histórico apresentado pela Figura 3. [B], é possível verificar que o sistema possui um regime

transiente longo em relação ao deslocamento vertical e que a partir de aproximadamente 800 s o sistema entra em regime

permanente, mas não explicita a periodicidade do deslocamento vertical, ao passo que a Figura 3. [A] e [C], confirmam

seu comportamento de acentuada irregularidade.

Em seguida, apresenta-se o comportamento da carga elétrica no transdutor piezoelétrico, Figura 4. [A], bem como a

corrente, Figura 4. [B] e a potência capturada pelo sistema, Figura 4. [C].

A B C Figura 2. Retrato de Fase do Deslocamento Horizontal da PPS [A], Retrato de Fase do Deslocamento

Vertical [B] e Retrato de Fase do Deslocamento Angular[C], todos em regime permanente e sem os

transientes.

A B C

Figura 3. Histórico do Deslocamento Horizontal da PPS [A], Histórico do Deslocamento Vertical da PPS

[B] e Histórico do Deslocamento Angular [C].

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EVENTO.


Pode-se dizer que na Fig. 4. [A], presenciamos um comportamento harmônico em relação à carga capturada e quanto

sua respectiva corrente de circuito, Fig. 4. [B], percebemos um pequeno comportamento irregular, mesmo o sistema

estando em regime permanente. A Figura 4. [C] nos mostra que a potência média capturada pelo sistema, em 2500 s, foi

de aproximadamente 4,824 W.

3.3. Espectros de Frequência

Um dos motivos de o sistema poder capturar em média 4,824 W de potência, se deve à frequência da fonte de

excitação do sistema. Através das FFT, usamos a frequência de excitação idêntica à frequência de máxima amplitude do

movimento horizontal, apresentada na Figura 5, a seguir.

3.4. Mapas de Poincaré

O mapa de Poincaré é uma sequência de pontos nos quais o fluxo intercepta uma seção planar transversal ao mesmo,

de forma a mostrar a periodicidade do sistema.

A Figuras 6. [A], [B] e [C] apresentam o mapa de Poincaré para o deslocamento horizontal, vertical e angular,

respectivamente.

A B

C

Figura 4. Histórico carga elétrica do Transdutor PZT [A], Histórico da Corrente no Transdutor PZT [B]

e Histórico da Potência Capturada no Transdutor PZT [C].

Figura 5. FFT do Movimento Horizontal da PPS.

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EVENTO.


A Figura 6. [B], mostra uma curva tendendo a se fechar (em verde), o que nos remete a uma confirmação do

comportamento quasi-periódico do sistema para o deslocamento vertical, Parker e Chua (1989). Ao analisarmos as figuras

6. [A] e 6. [C], confirma-se a acentuada irregularidade nos movimentos horizontais e angulares (pêndulo),

respectivamente.

3.5. Variação de Parâmetros (Acoplamento não-linear do PZT)

Com o intuito de encontrarmos um valor ótimo para o acoplamento não-linear do transdutor piezoelétrico em

função da melhor captura de energia do sistema, fez-se uma análise variacional do acoplamento não linear em função da

potência máxima colhida, Figura 7.

A partir daí, utilizou-se o valor ótimo encontrado na curva de maior amplitude e efetuou-se uma nova análise

numérica do sistema.

4. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS – Modelo com Acoplamento PZT linear e Não-Linear ótimo.

A seguir apresenta-se o comportamento do sistema, no que se refere à captura de energia, utilizando-se o acoplamento

linear e não-linear do transdutor piezoelétrico.

4.1. Retratos de Fase

A B C

Figura 6. Mapa de Poincaré (verde) para o Deslocamento Horizontal [A], Mapa de Poincaré (verde) para

o Deslocamento Vertical [B] e Mapa de Poincaré (verde) para o Deslocamento Angular [C].

Figura 7. Análise Variacional do Acoplamento Não-Linear do Transdutor Piezoelétrico em Função da

Máxima captura de Energia do Sistema.

A B C

Figura 8. Retrato de Fase do Deslocamento Horizontal da PPS [A], Retrato de Fase do Deslocamento

Vertical [B] e Retrato de Fase do Deslocamento Angular[C], todos em regime permanente, sem os

transientes e com Dnlin = 4,15.

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EVENTO.


Ao analisarmos as figuras 8. [A], [B] e [C], podemos perceber que o acoplamento não linear do transdutor

piezoelétrico permitiu um ganho mecânico traduzido em uma diminuição da amplitude de deslocamento horizontal do

sistema, vide 8.[A] e 2.[A], porém não houveram mudanças significativas no movimento vertical da PPS e no movimento

angular descrito pelo pêndulo.

4.2. Históricos do Deslocamento

Em comparação com os históricos representados pelas Figuras 3. [A], [B] e [C], fornecidos pelo sistema antes do

acoplamento não linear do transdutor PZT, percebe-se que houve uma diminuição da amplitude de deslocamento angular,

Figura 9. [C], além de uma mudança na faixa de deslocamento horizontal, ou seja, o sistema transladou horizontalmente

de maneira a predominar suas oscilações na região de 0.05 m até aproximadamente 0.27 m. Percebe-se também que há

uma diminuição da região transiente, Figura 9.[B], ou seja, o sistema alcança o regime permanente de oscilações em

menos tempo, por volta de 300 s, porém sua amplitude de deslocamento vertical permanece praticamente inalterada.

Ao analisarmos as figuras 10. [A], [B] e [C] em comparação com o sistema sem o acoplamento não linear, ilustrados

pelas Figuras 4. [A], [B] e [C], podemos constatar ganhos bastante consideráveis, da ordem de 101, na carga elétrica

gerada, na corrente do transdutor e principalmente na potência colhida que de uma média de 4,824 W, após o acoplamento

não linear, o sistema passou a colher em média 80,9 W de energia.

5. CONCLUSÕES

Após a análise das equações do movimento do sistema, mediante as Figuras 2. [A], [B], [C]; 3. [A], [B], [C]; 4. [A],

[B], [C]; 5.; 6. [A], [B] e [C], podemos verificar que o sistema apresenta um comportamento quasi-periódico em relação

ao movimento vertical da PPS, porém apresenta irregularidades acentuadas, tanto no movimento horizontal da PPS quanto

no movimento angular do pêndulo. Essas irregularidades se devem, em parte, à frequência da fonte de excitação que,

propositalmente, é a mesma frequência natural do movimento horizontal da PPS, visando a ressonância e o maior ganho

de energia pelo sistema. Nessas condições, a captura de energia do sistema foi da magnitude de 4,824 W de potência

média.

Após uma análise variacional do acoplamento não-linear do transdutor PZT, em função da potência máxima colhida

pelo sistema, Figura 7, inseriu-se um valor ótimo para o parâmetro da função de acoplamento não-linear, de maneira que

pôde-se verificar ganhos mecânicos no sistema, diminuindo a amplitude de deslocamento do pêndulo, e ganhos em

colheita de energia, proporcionando uma captura de uma magnitude de 80,9 W em potência média. Sendo assim, podemos

A B C

Figura 9. Histórico do Deslocamento Horizontal da PPS [A], Histórico do Deslocamento Vertical da PPS

[B] e Histórico do Deslocamento Angular [C], com Dnlin = 4,15.

A B C

Figura 10. Histórico carga elétrica do Transdutor PZT [A], Histórico da Corrente no Transdutor PZT [B]

e Histórico da Potência Capturada no Transdutor PZT [C], com Dnlin = 4,15.

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EVENTO.


dizer que o sistema de colheita de energia passou a ser mais eficiente com o acoplamento não-linear ótimo proposto.

Porém, é necessário uma análise mais aprofundada, pois esse acoplamento pode ser um fator negativo na contribuição da

colheita de energia.

6. AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o suporte pela CNPq, CAPES e FAPESP e todas as agências brasileiras de pesquisa.

7. REFERÊNCIAS

Assis, L.E., “Avaliação e Aproveitamento da Energia de Ondas Oceânicas no Litoral do Rio Grande do Sul”, Porto Alegre:

IPH/UFRGS – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2010, 82f., Dissertação de Mestrado.

Balthazar, José M., Tusset, Angelo M., Marques, Carlos E., Pontes Jr., Bento R., Silveira, Marcos, Felix, Jorge L. P. In:

On the Nonlinear Dynamical Behavior of an Electro-Pendulum Suspended Platform taking into account the

Uncertainties on the Modeling of a Simplified Oil Drillship. XXXIV Iberian Latin-American Congress on

Computational Methods in Engineering, Z.J.G.N Del Prado (Editor), ABMEC, Pirenópolis, GO, Brazil. 2013.

De Paula, A. S., “Controle de Caos Multiparâmetros a partir do Método OGY: Aplicação em um Pêndulo Não-Linear”,

Rio de Janeiro: COOPE/UFRJ – Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2007, 103 f., Dissertação de Mestrado.

Dorf, R. C.; Bishop, R. H., Sistemas de Controle Modernos, 8a. ed., LTC Editora, Rio de Janeiro, 2001.

Falnes, J., Ocean Waves and Oscillating Systems: Linear Interactions Including Wave-Energy Extraction, Cambridge

University Press, 1st Ed., ISBN: 0-521-78211-2, 2002.

Iliuk, I., Balthazar, J. M., Tusset, A. M., Pontes Jr, B. R., Felix, J. L. P., “On a Vibrating Model of Energy Harvester, with

Nonlinear Piezoelectric Coupling and Excited by a Non-ideal Motor”, Proceedings of 11th Conference on Dynamical

Systems Theory and Applications, December 5-8, 2011, Lodz, Poland, p.391-396, ISBN: 978-83-7283-448.

Kessik, K. and Borowiec, M., “An Autoparametric Energy Harvester”, Eur. Phys. J. Special Topics 222, 1597-1605,

Springer-Verlag, 2013.

Koçak H., Hale J., “Dynamics and Bifurcations”, Springer Verlag, 1991, 566 p.

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8. RESPONSABILIDADE AUTORAL

“Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo deste trabalho”.

VERSÃO PRELIMIN

AR. OS ANAIS D

EFINITIVOS


EVENTO.


MATHEMATICAL MODELING OF AN OSCILLATING PLATFORM FOR

ENERGY HARVESTING FROM THE WAVES OF THE SEA

Carlos Eduardo Marques, [email protected]

José Manoel Balthazar, [email protected]

Ângelo Marcelo Tusset, [email protected]

Marcos Silveira, [email protected]

Bento Rodrigues Pontes Jr, [email protected]

Jorge Luiz Palácios Felix, [email protected]

Atila Madureira Bueno, [email protected]

1UNESP – Bauru – Departamento de Engenharia Mecânica, Avenida Engenheiro Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01,

CEP:17033-360 – Vargem Limpa – Bauru – SP, Brasil. 2UNESP – Rio Claro – Departamento de Estatística, Matemática Aplicada e Computacional, Avenida 24A, 1515,

CEP:13.506-900, Caixa Postal 178 – Bairro Bela Vista – Bairro Bela Vista – Rio Claro – SP, Brasil. 3UTFPR – Ponta Grossa – Departamento de Engenharias, Avenida Monteiro Lobato, s/n, km 04, CEP: 84.016-210 –

Ponta Grossa – PR, Brasil. 4UNIPAMPA – Bagé – Departamento de Matemática, Travessa 45, 1650, Bairro Malafaia - CEP: 96.413–170 – Bagé –

RS, Brasil. 5UNESP – Sorocaba – Departamento de Engenharia de Controle e Automação, Avenida Três de Março, 511,

CEP:18087-180 – Alto da Boa Vista – Sorocaba – SP, Brasil.

Resumo: The modern human society has been searching and researching constantly for an abundant and renewable

energy source, to supply its massive use of technology. The use of energy harvesting systems, is curremtly widely

explored and vibrational energy of pendulum systems may be a good application in tidal energy research. Motivated by

these ideas we develop a mathematical model that can be used to harvest energy from sea waves. The objective of this

study is to analyze the contribution of the nonlinear coupling of Piezoelectric transducer ( PZT ) at harvest. The problem

was modeled using Lagrange equations and numerical simulations were performed using a 4th order Runge-Kutta

integrator. The working model is described as a pendulum stabilized by a torsional spring, fixed to a suspended platform

which oscillates in the vertical and horizontal axis. A spring and a damper stabilizes the pendulum suspended platform

(PSP) in both axes. A nonlinear PZT transducer is coupled to the vertical axis of the system for energy harvesting, and

the base of PSP is excited by a power supply with limited energy in the form of a harmonic force that is translated by a

kinematic shift of its base.

Palavras-chave: Energy Harvesting, Energy Scavenging, Pendulum Systems, Nonlinear Dynamics.

VERSÃO PRELIMIN

AR. OS ANAIS D

EFINITIVOS


EVENTO.

MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA PLATAFORMA OSCILANTE, …

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