MODELADO Y SIMULACIÓN DEL MOTOR DE...

MODELADO Y SIMULACIÓN DEL MOTOR DE INDUCCIÓN INCLUYENDO LA SATURACIÓN. 2. Motor de inducción.

Beatriz Páramo Balsa 5

Capítulo 2

Máquinas eléctricas

2.1. Breve historia de las máquinas eléctricas

Los orígenes de las máquinas eléctricas se remontan al siglo XIX, cuando

Oersted, Faraday, Henry, Lenz, Barlow y Maxwell comenzaron a aplicar y

desarrollar los principios básicos del electromagnetismo. En concreto puede

considerarse como origen de los estudios sobre máquinas eléctricas el principio de

inducción electromagnética, descubierto por Faraday en 1831. Sus trabajos

posteriores demostraron el principio de conversión de la energía eléctrica en

mecánica (y viceversa), y fue el detonador para que se iniciase una búsqueda de una

máquina eléctrica que generase electricidad de un modo diferente al que se conocía

en aquellos tiempos como era la pila de Volta. Se puede decir que de éste modo

nació la ingeniería eléctrica.

Durante los comienzos de esta nueva rama, las máquinas eléctricas tuvieron un

papel fundamental en diversos campos como generación, transformación y

utilización de la energía eléctrica. Éstas aparecieron por primera vez con el nombre

de máquinas dinamoeléctricas, este término se debe a Charles Brooke y apareció en

un artículo suyo sobre conversión de energía en 1867.

En general, este término incluye todos los tipos de máquinas eléctricas en los

que el funcionamiento depende del principio de inducción de Faraday. Por lo tanto

las máquinas eléctricas se definían como convertidores de energía mecánica a

eléctrica (generadores) o como convertidores de energía eléctrica a mecánica

(motores). Posteriormente, con la aparición del transformador, se amplió la



definición, considerando que una máquina eléctrica es un convertidor de energía de

una forma a otra, siendo al menos una de ellas eléctrica.

2.2. Máquinas eléctricas

Son dispositivos que convierten la energía mecánica en energía eléctrica o

viceversa utilizando el campo electromagnético como soporte para la conversión.

Se caracterizan por tener circuitos eléctricos y magnéticos entrelazados, sin

embargo, la mayor parte de la energía se transforma utilizando como medio de

acoplamiento el campo magnético debido a que tienen una densidad de energía

superior a la del campo eléctrico.

Se pueden clasificar las máquinas eléctricas en tres tipos diferentes que

describimos de forma muy breve a continuación:

Generadores: transforman la energía mecánica en eléctrica. La

acción se desarrolla por el movimiento de una bobina en un

campo magnético, resultando una f.e.m. inducida que al aplicarla

a un circuito externo produce una corriente que interacciona con

el campo y desarrolla una fuerza mecánica que se opone al

movimiento. Por lo tanto el generador necesita una energía

mecánica de entrada para producir la energía eléctrica de salida.

Motores: transforman la energía eléctrica en mecánica. La acción

se desarrolla introduciendo una corriente en la máquina por medio

de una fuente de alimentación externa, ésta corriente interacciona

con un campo magnético inductor, produciendo un par que

provoca el movimiento de la máquina. Por lo tanto el motor

necesita una energía eléctrica para producir la correspondiente

energía mecánica.

Transformadores: transforman una energía eléctrica de entrada

(corriente alterna) con determinada tensión e intensidad, en una

de salida (corriente alterna) con unas magnitudes de tensión e

intensidad diferentes.



Hay que destacar que cada máquina es reversible, es decir, puede funcionar

como generador o como motor.

Los generadores y motores son máquinas dotadas de movimiento

(generalmente de rotación), por el contrario, los transformadores son máquinas

estáticas. Por lo tanto no son realmente convertidores electromecánicos, pero su

comportamiento y métodos de análisis son prácticamente iguales a los del resto

de máquinas eléctricas, lo que provoca, en muchos casos que sirva como base

para el estudio de otras máquinas eléctricas.

2.3. Materiales ferromagnéticos

Como ya se ha comentado las máquinas eléctricas hacen uso

fundamentalmente del campo magnético como medio de acoplamiento para la

conversión de energía. Por lo tanto nos interesará tener campos magnéticos

elevados, y ello se consigue utilizando materiales de alta permeabilidad magnética.

Esta es la razón por la que se utilizan materiales ferromagnéticos en las máquinas

eléctricas. Además estos materiales poseen unas propiedades mecánicas muy

buenas y se utilizan también como soporte de los conductores y sus aislamientos.

Si tenemos en cuenta la relación entre la densidad de flujo de inducción B [T] y

la intensidad del campo magnético H

:

Donde:

representa la permeabilidad magnética del medio.

es la permeabilidad relativa.

, es la permeabilidad del vacío (4 ).



La característica importante que tienen los materiales ferromagnéticos es que

poseen una permeabilidad relativa muy grande y esto provoca que

tengamos flujos mayores que los que obtendríamos con el aire.

Podemos estudiar el comportamiento de estos materiales mediante la curva de

magnetización del material que se muestra en la figura 2.1.:

Figura 2.1. Curva de magnetización.

En primer lugar es necesario conocer el concepto de dominio magnético. La

facilidad de imanación que poseen estas sustancias proviene de las fuerzas

mecánico-cuánticas, que tienden a alinear paralelamente entre sí a los espines

atómicos próximos, esta alineación no se produce en todo el volumen del material,

sino que se encuentra por zonas, y estas zonas son las denominadas dominios

magnéticos.

Cuando una muestra de material ferromagnético se coloca dentro de un campo

magnético, los dominios tienden a alinearse, de forma que sus campos magnéticos

se suman al campo externo resultando uno más fuerte.



Inicialmente los dominios están orientados al azar y la muestra se encuentra en

un estado magnético neutro. Al aplicar una intensidad de campo magnético de

pequeño valor , se produce un desplazamiento de las paredes que separan los

dominios, de forma que los que están orientados más desfavorablemente se

contraen. Este crecimiento es reversible, si se elimina el campo exterior, la

densidad de flujo también desaparecerá. Si aumentamos el valor de H, los dominios

también continúan aumentando y a la vez van produciéndose rotaciones bruscas

para que los momentos magnéticos sigan la dirección más próxima a H. Este

movimiento ya es irreversible, aunque dejemos de aplicar el campo externo los

dominios que han rotado permanecerán con esa alineación.

Finalmente cuando los dominios están alineados totalmente, se dice que el

material se ha saturado, resultando una permeabilidad relativa unidad.

Realmente, el valor de la densidad de flujo de inducción B debida a una

excitación magnética H no es una función uniforme como se índica en la figura de

arriba, sino que depende de la historia del material. Con esto nos referimos a la

histéresis que se produce en estos materiales, sin embargo, este tema no está dentro

del alcance del proyecto, por lo tanto se supondrá que no existe histéresis a lo largo

del mismo.

Si se observa la curva de magnetización se pueden distinguir dos zonas, una

lineal y otra saturada. El paso de una a otra se denomina rodilla o codo de

saturación, y la mayoría de las máquinas eléctricas operan cerca de este punto para

producir el máximo flujo posible.

Los modelos de las máquinas de inducción incorporan casi todos la hipótesis

de linealidad, es decir suponen una curva de magnetización como la de la figura

2.2. aunque como se ha dicho antes normalmente las máquinas eléctricas se diseñen

de forma que el punto nominal se encuentre ya en la zona de saturación:



Figura 2.2. Curva de magnetización lineal y saturada.

Generalmente esta hipótesis da buenos resultados, pero también puede dar

lugar a efectos no deseables como elevadas intensidades (superiores a las

previstas con el modelo lineal) o problemas en el arranque al detectar las

protecciones intensidades superiores a las que estaban previstas con la hipótesis

de linealidad.

Otro efecto indeseable son los armónicos, si el flujo magnético está por

encima del codo de la curva de magnetización y se analiza la intensidad de

magnetización, se puede comprobar cómo existen armónicos. En general, los

armónicos son producidos por cargas no lineales, lo que significa que su

impedancia no es constante, en el caso los motores de inducción esto se traduce

en que la inductancia de magnetización no es constante. Por lo tanto aunque

estas máquinas sean alimentadas con un flujo o tensión senoidal, su intensidad

no lo será, debido a esta falta de proporcionalidad entre B y H provocada por la

saturación.

2.4. Motor de inducción

2.4.1. Introducción

El descubrimiento original de los motores de inducción fue publicado en

1888 por el profesor Galileo Ferraris en Italia y por Nikola Tesla en los Estados

Unidos. Ambos diseños de motores asíncronos se basaban en la producción de

campos magnéticos giratorios con sistemas bifásicos, es decir utilizando dos

bobinas a 90º alimentadas con corrientes en cuadratura. Sin embargo, Tesla, que



dio a conocer dos meses más tarde logró un motor más práctico y de ahí que se

considere a éste último como el inventor de este tipo de máquina eléctrica.

En 1890 Dolivo Dobrowolsky inventó el motor asíncrono trifásico,

empleando un rotor en forma de jaula de ardilla y utilizando un devanado

distribuido en el estator. Finalmente a principios del siglo XX se impuso el

sistema trifásico europeo, frente al bifásico americano, por lo que las máquinas

asíncronas trifásicas comenzaron a adquirir cada vez más importancia.

La máquina asíncrona trifásica es el motor industrial por excelencia, por sus

características de fiabilidad, robustez y elevada relación potencia/peso y

constituye la inmensa mayoría de la potencia instalada en accionamientos

industriales.

2.4.2 Aspectos constructivos

Las máquinas de inducción constan de una parte fija o estátor, y de una parte

móvil o rotor, separadas por un pequeño espacio de aire denominado entrehierro.

Estas tres partes, estator, rotor y entrehierro forman parte del circuito magnético

de la máquina.

El estátor es normalmente el inductor y está alimentado por una red

monofásica o trifásica (para la realización de este proyecto se ha considerado

solamente el caso del motor de inducción trifásico) y está formado por un

apilamiento de chapas magnéticas. Dispone de unas ranuras uniformemente

distribuidas en su periferia interior en las que se sitúa un devanado trifásico de

forma que la distribución de conductores sea idéntica para las tres fases del

estator, con la única diferencia de que los conductores que ocupen posiciones

homologas en cada fase estén desplazados 120º.

El rotor es el inducido, y las corrientes que circulan por él aparecen como

consecuencia de la interacción con el flujo del estátor. Está formado también a

base de chapas magnéticas, tiene forma de cilindro y las ranuras dónde se sitúa el

devanado se encuentran situadas su superficie exterior distribuidas al igual que

antes uniformemente. Dependiendo de los devanados del rotor podemos encontrar

dos tipos distintos: rotor de jaula de ardilla o en cortocircuito y rotor bobinado o

de anillos.



En el primer caso los huecos de las ranuras se rellenan de barras de aluminio

fundido (u otro material conductor) que se unen en ambos extremos del rotor

mediante unos anillos de cortocircuito conductores que da la forma de jaula por la

que estos tipos de rotor reciben su nombre como podemos observar en la figura

2.3.

Figura 2.3. Estructura del devanado de jaula de ardilla.

En el segundo caso se tiene un arrollamiento trifásico similar al del

estátor, en el que las tres fases se conectan en estrella por un lado, y por el otro

se conectan a unos anillos conductores, aislados entre sí y respecto del eje, sobre

los que hacen contacto unas escobillas. En funcionamiento normal las tres fases

del rotor estarán cortocircuitadas, aunque esta disposición hace posible la

introducción de resistencias externas por los anillos para limitar las corrientes de

arranque, mejorar las características de par o controlar la velocidad. Este tipo de

motores es más caro y requiere un mantenimiento mayor. A continuación

mostramos un ejemplo de rotor bobinado en la figura 2.4:



Figura 2.4. Rotor bobinado o de anillos.

Hay que comentar antes de continuar, que a partir de aquí

consideraremos para el desarrollo del proyecto que el rotor es de jaula de ardilla.

2.4.3. Principio de funcionamiento

Al introducir una corriente trifásica de frecuencia f1, se produce un campo

magnético giratorio prácticamente senoidal y cuya velocidad viene expresada

por:

Donde:

o es la velocidad de sincronismo (dependiendo de las

unidades).

es el número de pares de polos de la máquina.

Este campo magnético giratorio inducirá una fuerza electromotriz (a la que se

denominará f.e.m., y que es de la misma pulsación ) que al estar el

devanado rotórico en cortocircuito, produce la circulación de corriente por sus



conductores. La interacción del campo del estator con las corrientes del rotor

produce un par de giro que trata de oponerse a la causa que lo produce que es el

desplazamiento de las líneas de campo respecto de los conductores del rotor. Si en

estas circunstancias se deja que el motor gire libremente, el motor se pondrá a

seguir el campo magnético en su giro, acelerándose progresivamente.

Una vez que comienza este movimiento, la carga conectada al eje comienza a

ofrecer un par resistente que normalmente dependerá de la velocidad. Incluso con

el motor en vacio, existirá un pequeño par resistente debido a los rozamientos en

los cojinetes, la fricción con el aire, etc.

La velocidad del motor nunca puede alcanzar a la del campo, ya que si esto

ocurriese dejaría de inducirse f.e.m. en los conductores del rotor, dejaría de

circular corriente a través de los mismos, y el par se haría nulo. Por lo tanto en

motores con diseños normales la velocidad es siempre próxima a la de

sincronismo pero sin llegar a ella.

Una forma usual de referirse a la diferencia de velocidades entre la de

sincronismo y la del rotor, es mediante el deslizamiento definido como:

Donde s que representa al deslizamiento, es una magnitud sin

dimensiones, y n o representan la velocidad del rotor en r.p.m. o rad/s

respectivamente.

Al circular corriente por los devanados polifásicos del rotor se crea otro

campo magnético que girará respecto al rotor con una velocidad proporcional a

ωs=s ω1 (rad/s). La velocidad de giro respecto al estator del campo creado por el

rotor será la suma de la velocidad respecto del rotor más la de arrastre del rotor

respecto del estator:

+



Lo que quiere decir que ambas fuerzas magnetomotrices giran en

sincronismo, y se pueden componer en todo momento para dar lugar a una única

onda de fuerza magnetomotriz ( a la que se designa f.m.m) resultante:

Esta suma vectorial de los fasores, representa la suma en cada punto de la

periferia del entrehierro de las correspondientes ondas de f.m.m, pero esto sólo

puede hacerse si estátor y rotor giran a la misma velocidad.

2.5. Modelo del motor de inducción.

A continuación se va a definir el modelo de una máquina de inducción, en la

que se supondrá que existe linealidad del circuito magnético.

2.5.1 Motor de inducción real.

Se va a partir para explicar el modelo de la máquina de inducción de la fuerza

magnetomotriz resultante del apartado anterior. Ésta crea una onda de inducción

que gira a velocidad constante y es común al estátor y al rotor.

El efecto de ésta sobre el estator es que induce una f.e.m. de pulsación , y

sobre el rotor también crea una f.e.m. cuya frecuencia será fs=sf1 (Hz).

Por otro lado, fijándose en la diferencia entre la f.e.m. del estator y la tensión

aplicada se comprueba que existe una caída de tensión que se corresponde con la

caída de tensión en la resistencia de los devanados y en las reactancias de

dispersión, éstas se modelan como una resistencia y una bobina . En el

caso del rotor, también se va a encontrar una caída de tensión en la resistencia de

los devanados y la reactancia de dispersión, pero la frecuencia de las intensidades

ahora es fs, y la reactancia de dispersión del rotor será:

=



Donde con el subíndice (s) se indica que se trata de magnitudes medidas

sobre el rotor que giran con un deslizamiento s.

También se consideran las pérdidas en el hierro (RFe), así como la

permeabilidad finita del material (Xm).

Con esto, se plantea el circuito equivalente del estator y del rotor en la figura

2.5, así como sus respectivas ecuaciones en términos de fasores:

Figura 2.5.Circuito equivalente del estator y del rotor.

El circuito equivalente anterior recuerda al de un transformador, con la

diferencia de que el circuito rotórico trabaja a fs. Para facilitar la utilización de

dicho circuito se pondrá a la misma frecuencia que el estator. Para ello se tendrá

en cuenta que la f.e.m. es función de la frecuencia y que por lo tanto ésta será:

=



Si se divide por el deslizamiento, se obtiene el circuito rotórico a la misma

frecuencia del estator quedando cómo a continuación se muestra:

Añadiendo estos términos y refiriendo las magnitudes del rotor al estator

cómo se verá de forma más detallada más adelante, se obtiene el circuito

equivalente del motor de inducción que se puede observar en la figura 2.6, dónde

se ha despreciado la resistencia de pérdidas en el hierro ya que se va a considerar

que la intensidad que circula por ésta es mucho menor que la que circula por la

reactancia de magnetización de forma que éste término no afecta

considerablemente a los resultados.

Figura 2.6. Circuito equivalente del motor de inducción.

2.5.2. Modelo dinámico del motor de inducción.

Conocidos los parámetros que afectan al circuito del motor y su

procedencia, a continuación se van a desarrollar las ecuaciones que modelan el

comportamiento dinámico del motor de inducción. Al igual que antes se hará

despreciando la saturación.

2.5.2.1. Esquema de una máquina de inducción trifásica y simétrica.



A continuación en la figura 2.7 se presenta el esquema de una máquina de

inducción trifásica y simétrica:

Figura 2.7. Esquema de una máquina de inducción trifásica y simétrica.

2.5.2.2. Flujo magnético concatenado.

Se van a establecer cuáles son los flujos concatenados que se tienen

mediante las correspondientes ecuaciones para cada una de las fases y teniendo

en cuenta el acoplamiento magnético entre cada fase, rotor y estator, así como la

dispersión.



En concreto los flujos concatenados son:

Escribiéndolo de forma matricial se tiene:

A continuación se explica cada submatriz L:

Submatriz :

Esta submatriz tiene en cuenta los acoplamientos entre fases del estator

(inductancias mutuas), así como los acoplamientos de una fase consigo misma

dónde además se tiene que añadir la dispersión (inductancias propias).

Teniendo en cuenta el esquema de una máquina de inducción estos términos

son:



La matriz completa queda:

Submatriz

Procediendo del mismo modo:



Submatriz :

Al girar las inductancias del rotor respecto a las del estator a una

velocidad determinada, estas se encuentran desplazadas un ángulo que

depende del instante de tiempo en que se encuentre.

Quedando los demás términos:



Finalmente:

Cada uno de los términos de las submatrices anteriores se explica a

continuación:

Siendo:

la inductancia de dispersión de los devanados del estator. Con

ella se refiere al flujo inducido por cada fase del estator con ella

misma y que no concatena con el resto [H].

la inductancia de magnetización referida al estator. Con ella se

refiere al flujo que se inducen mutuamente las fases del estator [H].

la inductancia de dispersión de los devanados del rotor. Con ella

se refiere al flujo inducido por cada fase del rotor con ella misma y

que no concatena con el resto [H].



la inductancia de magnetización referida al rotor. Con ella se

refiere al flujo que se inducen mutuamente las fases del rotor [H].

la inductancia mutua entre los devanados estatóricos y rotóricos

[H].

es el número de espiras del estator.

es el número de espiras del rotor.

A continuación se establece una serie de relaciones entre estas inductancias

que se usarán más adelante:

2.5.2.3. Ecuaciones de tensión.

Aplicando la segunda ley de Kirchoff a cada arrollamiento por separado y

distinguiendo entre estator y rotor se obtienen las ecuaciones de tensión.

Ecuación de tensión del estator:

Ecuación de tensión del rotor:



2.5.2.4. Reducción del devanado rotórico al estatórico.

Para facilitar el cálculo se va a referir todas las magnitudes del rotor al

estator. Para ello es necesario multiplicar la ecuación de tensión rotórica por la

relación de espiras . Para aclarar que se trata con magnitudes del rotor

referidas al estator se referirá a estas añadiendo una coma como superíndice.

Donde:

Quedando las ecuaciones de tensión como:

Los flujos concatenados referidos al primario son:



Que de forma matricial quedarán cómo:

A continuación se desarrolla cómo quedarían las nuevas submatrices, para

ello se va a utilizar las relaciones de las que se habló en el punto 2.5.2.2:

Submatriz :

Submatriz

Se sabe que la submatriz está formada por inductancias y de

forma que al multiplicar por

estas inductancias quedarán

multiplicadas por este mismo último término de forma que:



Finalmente la submatriz queda:

2.5.2.5. Ecuación del par.

La energía almacenada en el campo electromagnético de acoplamiento de

una máquina de inducción puede expresarse en función de los coeficientes de

autoinducción y de las corrientes como:

En los casos en los que se considere la máquina como lineal, la energía

almacenada en el campo y la coenergía son iguales ( . Y el par

electromagnético puede expresarse como:

Donde p es el número total de polos de la máquina, y en dónde además se ha

tenido en cuenta la relación entre ángulo eléctrico y ángulo mecánico o

geométrico



Como y no son funciones de , derivando la expresión de la energía

almacenada se obtiene el par electromagnético en N :

Por último planteamos la ecuación de equilibrio de pares en el eje de la

máquina:

Donde cada término corresponde a:

, es la velocidad eléctrica del rotor [rad/s].

es el momento de inercia [kg ].

es el par de carga en [N .

B, es un término que representa la fricción [kg ].

Hay que destacar que depende de la velocidad, y por lo tanto antes de

insertarlo en la ecuación hay que ponerlo en función de la velocidad eléctrica.

Además este término será positivo cuando se trate de un par de carga (motor) y

negativo cuando se trate de un par generador (funcionamiento como generador).



2.6 Transformación de circuitos a una referencia arbitraria.

Como se ha podido comprobar, las ecuaciones que definen el modelo de un

motor de inducción poseen unas inductancias que dependen del tiempo, y que por

lo tanto dificultan el análisis de este tipo de máquinas eléctricas. Para solucionar

este problema, es interesante realizar un cambio de variables que elimine esta

dependencia.

Existen un gran número de transformaciones, pero todas son casos particulares

de una transformación general en las que las variables reales se sustituyen por

variables asociadas a devanados ficticios que giran a una velocidad determinada.

Esta es la transformación a una referencia arbitraria, y con ella se va a pasar de

tener las magnitudes y variables en unos ejes abc a tenerlas en otros dq0.

2.6.1 Transformación de circuitos estacionarios a una referencia arbitraria.

El cambio de variables que define el paso a unos ejes definidos en una

referencia arbitraria es el siguiente:

=

Dónde cada término se corresponde con:

=

=



Donde w es la velocidad de giro del sistema de referencia [rad/s]. Está

velocidad no se especifica ya que el sistema de referencia es arbitrario y por lo

tanto esta velocidad se puede seleccionar como una velocidad fija, o variable

dependiendo del fin que se busque.

El cambio de variables se puede interpretar como la figura 2.8 que se muestra

a continuación:

Figura 2.8. Cambio de variables estatóricas.

Las variables 0s no se representan en el gráfico, esto es debido a que en

realidad no están asociadas al sistema de referencia arbitrario, sino que

únicamente mantienen una relación aritmética con las variables abc, y no

mantienen relación alguna con .

También conviene realizar una nota aclaratoria sobre el esquema. En él no se

está representando fasores, sino los valores instantáneos de .



La transformada inversa es:

La potencia instantánea total se puede expresar mediante la siguiente

expresión en ejes abc:

En ejes qd0 la potencia total debe ser igual a la expresada en ejes abc:

El factor 3/2 que se observa viene de la elección de la constante usada en la

transformación.

2.6.1.1 Circuito resistivo.

En un circuito trifásico únicamente resistivo se tiene lo siguiente:

Aplicando la transformación, es decir, multiplicando a ambos lados por

se obtiene:



Teniendo en cuenta que los devanados de todas las fases son iguales, y por

lo tanto que es una matriz diagonal con los elementos no nulos iguales:

=

Por lo tanto la matriz de resistencias del sistema arbitrario y del real

coincide, quedando finalmente:

Si se tuviera una máquina asimétrica, es decir, una máquina con resistencias

distintas en cada fase la nueva matriz sería muy grande ya que tendría funciones

senoidales de , a no ser que tomáramos una referencia estacionaria donde w 0 y

por lo tanto toma valores constantes.

2.6.1.2. Circuito inductivo.

En un circuito trifásico de tipo únicamente inductivo se cumple:

Para facilitar la notación a lo largo de la explicación se denominará:

Operando de forma similar al caso del circuito resistivo se tiene:



Donde:

=

Y por lo tanto:

Con:

=

Para un circuito magnético lineal:

Por lo tanto el flujo en la referencia arbitraria queda:



Como la matriz de inductancias del estator tiene esta forma:

En la referencia arbitraria se tendrá:

Se puede comprobar cómo ésta matriz de inductancias es diagonal, por lo

tanto los circuitos qd0 están desacoplados.

2.6.2. Transformación de circuitos rotóricos a una referencia arbitraria.

De forma similar al apartado anterior, el cambio de variables que define el

paso de los circuitos rotóricos a una referencia arbitraria es:



=

Donde cada término se corresponde con:

=

=

Siendo:

Con:

Donde es la velocidad angular del rotor y la posición angular del

mismo.

La transformación inversa queda:



Al igual que antes se puede realizar una representación gráfica del cambio de

variables como podemos ver en la figura 2.9:

Figura 2.9. Cambio de variables rotóricas.

Como se puede observar la transformación de los circuitos rotóricos es la

misma que la de los circuitos estacionarios cambiando por . Por lo tanto no es

necesario comentar el cambio para circuitos resistivos o inductivos.

2.6.3. Ecuaciones de tensión en una referencia arbitraria.

Las ecuaciones de tensión con las variables referidas al estator son:

Aplicando las transformaciones anteriormente explicadas multiplicando

por y se obtienen las nuevas ecuaciones de tensión en la referencia

arbitraria:



Donde

= ;

=

Si se considera la hipótesis de circuito magnético lineal, los flujos

concatenados en la nueva referencia son:

Donde en cada submatriz es, considerando M=3/2

De esta forma se completan las ecuaciones de tensión, que de forma

desarrollada se pueden escribir como:



Siendo las expresiones en forma desarrollada de los flujos concatenados las

siguientes:

Basándose en las ecuaciones anteriores se pueden crear tres circuitos

equivalentes, circuito q, d y 0 como se puede observar en las figuras 2.10, 11,y

12.:

- Circuito q:

Figura 2.10. Circuito q.



- Circuito d:

Figura 2.11. Circuito d.

- Circuito 0:

Figura 2.12. Circuito 0.

Por último en cuanto a la transformación realizada habría que hacer unos

comentarios. Esta transformación consigue que los nuevos coeficientes de

inducción resulten constantes (independientes de la posición del rotor) con lo cual

los nuevos circuitos son estacionarios. Pero también ésta transformación hace que

las nuevas variables (circuitos) qs-qr, ds-dr, y 0s estén magnéticamente

desacoplados. Y además provoca que en las ecuaciones de tensión aparezcan las

f.e.m. de rotación y .

2.6.4. Ecuación de par en una referencia arbitraria.

Partiendo de la expresión obtenida anteriormente del par:



Y realizando las transformaciones necesarias, se puede calcular la expresión

del par en la nueva referencia:

Operando se obtiene finalmente:

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