Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez


Modelos de caja gris Calibración de modelos Estimación de parámetros Análisis de la estimación Regresión no lineal

ÍNDICE


1. Modelos de caja gris

Son modelos de un sistema (o proceso), donde:

• Desarrollados a partir de ecuaciones basadas en principios fundamentales (modelos de caja blanca)

• Existe una parte del mismo del cual se desconocen sus parámetros y/o estructura.


2. Calibración de modelos

Dados:

1. Modelo de caja gris

2. Conjunto de mediciones (datos de calibrado)

3. Una medida del ajuste (función de pérdida)

Estimar:

• El valor de los parámetros o la estructura que no esté determinada.


Pasos en la calibración de un modelo

1. Análisis de la especificación del modelo

2. Análisis de los datos y preprocesamiento

3. Estimación de parámetros y/o estructura

4. Análisis de la calidad de la estimación

Posteriormente realizar una validación del modelo obtenido.


Análisis de las especificaciones del modelo

• Analizar el modelo de ecuaciones obtenido

• Seleccionar qué parámetros y/o elementos de la estructura se quieren estimar

• Ver de qué conjunto de datos de medida se puede disponer

Análisis de los datos y preprocesamiento Los datos obtenidos deben de ser analizados en busca de:

• Existencia de bias

• Existencia de valores atípicos

• Existencia de errores de medida (debido a la instrumentación o grandes perturbaciones)

Los errores de medida deberían de estar normalmente distribuidos y tener una media CERO. (es difícil de detectar a priori)


3. Estimación de parámetros Dado:

Modelo del sistema (caja gris) Conjunto de datos (preprocesados)

Una función de pérdida (medida del ajuste)

Calcular:

Estimación de los parámetros


Regresión lineal

Variablidad de los datos

Media

Desviación estándar

Varianza

Coeficiente de variación


Dados unos datos

Encontrar unos valores para β1 y β0 tal que hagan el error de la predicción mínimo.

y modelo lineal en los parámetros

El modelo en este caso es:

¿Qué significa que sea regresión lineal? ¿Cómo son los siguientes casos?


Queremos minimizar el error, es decir, la diferencia entre el valor real y el modelo

Suma de errores

Suma del valor absoluto del error

Suma de los cuadrados de los errores

Posibles criterios para obtener los parámetros.


En el caso general de n variables

El modelo es:

Encontrar unos valores para todos los β tal que hagan el error de la predicción mínimo.

Regresión lineal múltiple


Ajuste por el método de Mínimos cuadrados

Minimizar la suma de los cuadrados de los errores.

Derivamos respecto de cada parámetro:

Poco robusto numéricamente

Formulación para resolución numérica


Estimación de la estructura

Dado: Modelo del sistema (caja gris)

Conjunto de datos (preprocesados)

Una función de pérdida (medida del ajuste)

Calcular:

Estimación de la estructura del modelo (en un dominio de modelos)

Realizar una estimación de parámetros para todo el dominio de modelos


4. Análisis de la estimación

1. Análisis de los residuos

2. Análisis de la calidad de la estimación

1. Suma del cuadrado de los errores (o desviación típica residual)

2. Desviación típica del parámetro(s) (comparación con su valor)

3. En caso de varios parámetros, correlación entre ellos.


Análisis de los residuos

• Media CERO

• Distribución aleatoria (residuos independientes)


Suma de cuadrado de errores

Desviacion típica residual

Desviacion típica de los datos y

Coeficiente de correlación

Propiedades del estimador β1

Análisis de la estimación caso una variable


Propiedades de los estimadores βi

Análisis de la estimación caso multivariable

Suma de cuadrado de errores


Matriz de varianzas y covarianzas parámetros

Coeficiente de determinación corregido

Desviacion típica

Correlación entre parámetros

Matriz de varianzas y covarianzas de datos



Desviacion típica parámetro

Ejemplo: Análisis de los resultados

Media de los errores

-4.4409e-016

Distribución de los errores

Valor estimado parámetro


Se transforma en

Se transforma en

Se transforma en

Modelo exponencial

Ecuación en potencias

Fracciones

5. Regresión no lineal

Transformar el problema a uno de regresión lineal

Modelo NO lineal


Regresión con Aspen Plus

1. Construir el modelo


2. Introducir datos experimentales


3. Indicar los parámetros de regresión


4. Examinar los resultados

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