Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

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Modelado y An·alisis de la Localizaci· on de Deformaciones Pl· asticas en S· olidos Matias Gabriel Zielonka Tesis de Ingenier· ıa Mec· anica Facultad de Ingenier· ıa Universidad de Buenos Aires Septiembre de 1997

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1 Introducci´ on 3 1.1 Notaci´ on utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 son muy comunes en todas las aplicaciones del calculo vectorial y tensorial (en particular en el estudio del movimiento de los medios deformables) y pueden ser representadas con ventaja si se simpliÞca la notaci´ on dejando impl´ õcita la sumatoria P y el valor de n. Se adopta entonces los s´ õmbolos La convenci´ on de supresi´ on del s´ õmbolo P se aplica tambi´ en en el siguiente caso:

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Modelado y Analisis de la Localizacionde Deformaciones Plasticas en Solidos

Matias Gabriel Zielonka

Tesis de Ingenierõa MecanicaFacultad de Ingenierõa

Universidad de Buenos Aires

Septiembre de 1997

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Tema: Modelado y analisis de la localizacion de deformacionesplasticas en solidos

Alumno: Matias G. Zielonka

Padron: 69.650

Director del trabajo: Dr. Ing. Eduardo N. Dvorkin

Fecha de iniciacion: Agosto de 1996

Fecha de Finalizacion: Septiembre de 1997

Informe Þnal aprobado por:

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Resumen

Al deformarse plasticamente una piezas metalica frecuentemente se observaque la deformacion no se distribuye uniformemente dentro de la pieza sino quese concentra en bandas angostas (zonas pequenas de deformacion muy intensa)mientras el resto del material practicamente no experimenta deformacion alguna.Este fenomeno se conoce como localizacion de las deformaciones plasticas. Eneste trabajo se estudia un modelo matematico y numerico capaz de reproducireste fenomeno y de identiÞcar los factores que inßuyen en la maniÞestacion delmismo. El enfoque de analisis utilizado para ello es el denominado formulacion deßujo que se caracteriza por suponer despreciable la parte elastica de las deforma-ciones y describir el comportamiento inelastico en terminos de la viscoplasticidad,lo que permite estudiar la deformacion del solido como si fuera el ßujo de unßuido viscoso incompresible no newtoniano, es decir, utilizando el punto de vistaeuleriano (de relativamente facil implementacion numerica). Para resolver lasecuaciones que se derivan de este modelo matematico (ecuaciones de Stokes) seutiliza el metodo de los elementos Þnitos. Como la formulacion estandard de estemetodo (la formulacion basada en interpolacion exclusiva del campo de veloci-dades) es ineÞcaz para representar ßujos incompresibles, es necesario recurrir aformulaciones alternativas capaces de aproximar adecuadamente esta condicion.En este trabajo se exploran algunas de estas alternativas (el metodo de los mul-tiplicadores de lagrange, el metodo de penalizacion y el metodo de los elementosÞnitos) y se analizan sus alcances y limitaciones y las formas de superarlas.

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Agradecimientos

Quiero agradecerles al Dr. Eduardo Dvorkin, a mis companeros de trabajo (An-drea, Marcela, Pablo, Rita, Miguel, Silvina, Marisol, Victor y Javier), a mis padresEleonora y Salvatore, a mis hermanos Liliana y Ezequiel y a mi novia Alejandrapor la conÞanza, el aliento y la ayuda que me brindaron y la paciencia que metuvieron desde que empece este trabajo y sin la que me hubiese sido diÞcil termi-narlo. A todos ellos les dedico esta y todas sus paginas.

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Contenido

1 Introduccion 31.1 Notacion utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Ecuaciones del movimiento 102.1 Condicion de incompresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Conservacion de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Ecuacion del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Ecuacion del movimiento para ßujos incompresibles . . . . 142.2.3 Principio de las Potencias Virtuales . . . . . . . . . . . . . 15

3 Relaciones constitutivas para metales 193.1 Plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1 Condicion de ßuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.2 Ley de endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.3 Ley de ßujo Asociada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.4 Tension equivalente y Deformacion plastica equivalente . . 393.1.5 Relaciones Tension-Deformacion completas para la plasticidad 42

3.2 Viscoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.1 Relacion constitutiva para la viscoplasticidad . . . . . . . 473.2.2 Relacion constitutiva para la viscoplasticidad asociada con

la ley de ßuencia de Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Formulacion de ßujo 534.1 Ecuacion del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Relacion constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Planteo diferencial del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Modelado de ßujos incompresibles bidimensionales con el metodode los elementos Þnitos 595.1 Principio de los potencias virtuales para un estado plano de

velocidades de deformacion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2 Discretizacion con el metodo de los elementos Þnitos: sus limitaciones 64

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5.2.1 Imposicion de la condicion de incompresibilidad: el prob-lema del bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3 Metodo de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 815.3.1 Interpretacion geometrica del metodo de los multiplicadores

de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3.2 Eleccion del espacio Qh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3.3 Forma matricial de la formulacion con multiplicadores de

Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3.4 Existencia de la solucion: modos de presion . . . . . . . . 955.3.5 PreÞltrado de los modos de presion . . . . . . . . . . . . . 100

5.4 Metodo de penalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.4.1 Forma matricial del metodo de penalizacion . . . . . . . . 1095.4.2 Metodo de penalizacion formulado en terminos exclusivos

de las velocidades: integracion reducida . . . . . . . . . . . 1105.4.3 Convergencia de la solucion para κ →∞ . . . . . . . . . . 111

5.5 Procedimientos iterativos para mejorar la solucion: Metodo dellagrangeano aumentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.5.1 Lagrangeano aumentado con preÞltrado o rigidizacion de

los modos de presion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.6 Conclusiones acerca del comportamiento de las tecnicas numericas

utilizadas para imponer la condicion de incompresibilidad uti-lizando el elemento mixto Q1-P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6 Analisis de la localizacion de la deformacion plastica 1316.1 Formulacion de ßujo para un estado plano de deformacion . . . . 1316.2 Existencia de soluciones discontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.3 Ejemplo: Localizacion de la deformacion plastica en una probeta

compacta sometida a una traccion pura . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3.1 Solucion analõtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.3.2 Solucion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7 Conclusiones 167

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1. Introduccion

El proceso de conformado de piezas por deformacion plastica es una delas herramientas mas utilizadas en la fabricacion de productos metalicos debidoa su gran versatilidad y menor costo que otros procesos alternativos. Sinembargo presenta algunas limitaciones que diÞcultan su utilizacion. Una deellas es el fenomeno de localizacion de las deformaciones plasticas que aparecemuy frecuentemente durante el proceso de conformado de metales muy ductiles.Este fenomeno consiste en lo siguiente: cuando se deforma un metal ductil,primero las deformaciones se distribuyen en forma aproximadamente homogenea,es decir, resulta un estado de deformacion continuo que varõa suavemente dentrodel material. Sin embargo cuando se alcanza un determinado nivel de carga,este patron de deformacion continuo cambia en forma mas o menos abrupta aun patron localizado en el que las deformaciones se concentran en ciertas zonas(en general bandas angostas) mientras el resto del material practicamente nocontinua deformandose (ver Þgura (1.1)); dentro de estas bandas se producendeformaciones intensas, predominantemente de corte tangenciales a la interfaceque separa a la banda del material adyacente (ver Þgura (1.2)), mientras que fuerade ellas las deformaciones son pequenas, es decir, aparece una discontinuidad delestado de deformacion a traves de ciertas superÞces (las interfaces banda-materialadyacente). Cuando se produce este cambio repentino del patron de deformacionse dice que la deformacion se ha localizado en bandas de corte (shear band).La localizacion de la deformacion plastica cambia totalmente el compor-

tamiento macroscopico del material. Una vez que se inicia se convierte en elmecanismo predominante en toda la deformacion plastica subsecuente y si per-siste puede precipitar una fractura por corte. En circunstancia menos extremas,representa un factor perjudicial en la respuesta en servicio y la vida util de laspiezas metalicas conformadas por deformacion plastica; cuando se maniÞesta, laspropiedades mecanicas del material resultan mucho mas pobres que las esperadas.Es importante entonces evitar que este mecanismo de deformacion se maniÞestey conocer cuales son los factores que favorecen o perjudican su manifestacion.El estudio de la deformacion de solidos que experimentan grandes deforma-

ciones inelasticas (y en particular el estudio del mecanismo de localizacion) sepuede abordar mediante dos formulaciones alternativas: la primera, denominada

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Figura 1.1: Banda de corte obtenida en el ensayo de traccion de una probetaplana (sacado de la referencia [16])

Figura 1.2: Banda de corte (sacado de la referencia [7]).

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Formulacion de Deformacion se caracteriza por utilizar el enfoque lagrangeanopara la descripcion del movimiento del solido y relaciones constitutivas elasto-plasticas para la caracterizacion del comportamiento del material. El segundo,denominado Formulacion de Flujo, propone describir el comportamiento del ma-terial mediante una relacion constitutiva rõgido-viscoplastica, y en consecuencia,estudiar su movimiento utilizando el punto de vista euleriano. Es decir, con-sidera despreciable la parte elastica de las deformaciones frente a las inelasticas(hipotesis abalada por el hecho que en los procesos de conformado de metalesintervienen deformaciones plasticas mucho mayores a las elasticas) y describe elcomportamiento inelastico en terminos de la viscoplasticidad con lo que resulta unmaterial que se puede considerar esencialmente un ßuido, y como tal, estudiarse sumovimiento desde el punto de vista euleriano. Debido a esta ultima caracterõsticala formulacion de ßujo resulta mucho mas facil de implementar numericamente.La formulacion utilizada en todas las publicaciones consultadas para el analisis

del fenomeno de localizacion es la formulacion de deformacion (ver referencias[11], [21], [30], [31], [33], [32]). El proposito de este trabajo es estudiar si con laformulacion de ßujo (que resulta muy conveniente debido a su mayor simplicidadnumerica) tambien se puede describir (al menos cualitativamente) el mecanismode localizacion. Se analiza entonces si es posible la existencia de estados dedeformacion discontinuos (patrones localizados) en materiales caracterizados poruna relacion constitutiva rõgido-viscoplastica y cuyo movimiento se describemediante el enfoque euleriano.Para modelar numericamente la deformacion (plastica) del material se utiliza

el metodo de los elementos Þnitos. Como una de las hipotesis con las quese caracterizan al metal asume que el ßujo plastico es incompresible (es decir,cada porcion del material se deforma sin cambiar su volumen) y como laformulacion estandard del metodo de los elementos Þnitos (la formulacionbasada en interpolacion exclusiva de velocidades) es ineÞcaz para modelarßujos incompresibles, se estudian tecnicas alternativas capaces de superar losinconvenientes relacionados con la condicion de incompresibilidad que se presentancon la formulacion estandard.El texto se organiza de la siguiente forma: en el segundo capõtulo se plantean

las ecuaciones que caracterizan el movimiento de un medio continuo incompresibledesde el punto de vista euleriano. Tambien se plantea el principio de las potenciasvirtuales que es una forma equivalente de expresar dichas ecuaciones y que serautilizado mas adelante para formular el metodo de los elementos Þnitos. Enel tercer capõtulo se presentan las relaciones constitutivas para la plasticidad yviscoplasticidad y se estudian las caracterõsticas mas importantes de estos dosmecanismos de deformacion (inelastica). Un denominador comun en casi todala bibliografõa consultada relacionada con este tema (ver referencias [7], [10],

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[14], [18], [19] o [25]) es el fuerte contenido fenomenologico en la formulacion deestas relaciones constitutivas. En este trabajo, a diferencia de los mencionados,se intenta un planteo axiomatico de dichas relaciones: se busca traducir enhipotesis matematicas las observaciones empõricas que fundamentan a los modelosconstitutivos y deducir con la mayor generalidad posible (y a partir de dichashipotesis) las ecuaciones de cada modelo. En el cuarto capõtulo se presentala formulacion de ßujo, es decir, el conjunto de simpliÞcaciones que permiteestudiar la deformacion del solido como si fuera el ßujo de un ßuido viscosoincompresible de viscosidad no constante (ßuido no newtoniano). En el quintocapõtulo se estudian las herramientas numericas (el metodo de los elementosÞnitos adaptado para el analisis de ßujos incompresibles) que se utilizaran paramodelar la localizacion. La principal diÞcultad que presenta el metodo de loselementos Þnitos basado en la interpolacion exclusiva del campo de velocidades(que es la formulacion utilizada en problemas de elasticidad (compresible)) esla imposibilidad de aproximar simultaneamente (para un determinado orden deinterpolacion) la condicion de incompresibilidad (exactamente) y las condicionesde borde cinematicas (exactamente) (esta diÞcultad se conoce como problema delbloqueo) (ver referencias [5], [3], [12], [20], [28]). Para superar este problemaes necesario imponer la condicion de incompresibilidad en forma no exacta (odebil) y en este trabajo se investigan tres formas de hacerlo (el metodo de losmultiplicadores de lagrange, el metodo de penalizacion y el metodo del lagrangeanoaumentado) con sus respectivos alcances y limitaciones (el segundo metodo surgea partir de las limitaciones del primero y el tercero a su vez, a partir de las delsegundo). Estos tres metodos, si bien solucionan el problema del bloqueo y puedenentonces proporcionar soluciones aceptables para las velocidades, presentan elinconveniente que la solucion para las presiones en cambio puede resultar muypobre (esta solucion se caracteriza por la presencia de modos espureos (no fõsicos)que tienden a contaminarla completamente). Para solucionar esta diÞcultad seutiliza un metodo de eliminacion o preÞltrado de estas componentes espureas(propuesto en la referencia [6] para el metodo de los multiplicadores de Lagrangey adaptado en este trabajo para que pueda ser utilizado con el metodo dellagrangeano aumentado). En la bibliografõa consultada la presentacion de estostemas no es en todos los casos lo suÞcientemente ordenada (en general se abordanen el marco del estudio de la existencia, estabilidad, convergencia y estimaciondel error de la solucion numerica obtenida con estos metodos (ver referencias [2],[3], [4], [5], [12], [22], [23], [24])). En este trabajo se intenta hacer una sõntesismas ordenada e intuitiva de los mismos, utilizando para ello (cuendo esto esposible) argumentos, ejemplos y demostraciones simples. En el sexto capõtulo sepresenta el modelado y analisis propiamente dicho del fenomeno de localizacionutilizando la formulacion de ßujo y las tecnicas numericas estudiadas. Se estudia

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si con este modelo es posible obtener, tanto desde el punto de vista analiticocomo numerico, soluciones discontinuas para las escuaciones que describen ladeformacion del metal. El desarrollo de los programas con los que han sido hechastodas las simulaciones numericas que se presentan en este capõtulo (al igual quelas correspondientes al capõtulo anterior) forma tambien parte de este trabajo.1

1.1. Notacion utilizada

Notacion de õndicesLas componentes de las magnitudes tensoriales y vectoriales que aparecen a

lo largo de este trabajo se simbolizan de la siguiente forma: v1, v2 y v3 para lascomponentes de un vector (el vector velocidad por ejemplo) y σ11, σ22, σ33, σ12, σ23,σ31, σ21, σ32 y σ13 para las componentes de un tensor de segundo orden (como eltensor de tensiones por ejemplo). Una componente generica se simbolizara comovj o σij con i y j õndices enteros que pueden valer 1 2 o 3. Las coordenadascartesianas del espacio se simbolizan como x1, x2 y x3. El sistema de coordenadaselegido es el cartesiano ortogonal.

Convencion de supresion del sõmbolo de sumatoriaP

Las sumas del tipo

nXi=1

σii

nXi=1

σij ni

nXi=1

nXj=1

σij σij

son muy comunes en todas las aplicaciones del calculo vectorial y tensorial (enparticular en el estudio del movimiento de los medios deformables) y puedenser representadas con ventaja si se simpliÞca la notacion dejando implõcita lasumatoria

Py el valor de n. Se adopta entonces los sõmbolos

σii

σij ni

σij σij

para representar respectivamente a las sumas dadas como ejemplo. Los õndicesde sumacion (õndices mudos) son los õndices repetidos dos veces (y solo dos veces)

1El lenguaje de programacion utilizado es el Mathematica.

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y el resto de los õndices no participan en la suma y se denomina õndices libres.Como el õndice mudo solo sirve para expresar la sumatoria, puede ser cambiadopor otro sin que se altere el signiÞcado

σii = σkk

σij ni = σkj nk

σij σij = σkl σkl

La convencion de supresion del sõmboloPse aplica tambien en el siguiente caso:

∂vi∂xi

que representara a3Xi=1

∂vi∂xi

=∂v1∂x1

+∂v2∂x2

+∂v3∂x3

o en el siguientecijkl εkl

que estara representando a3Xk=1

3Xl=1

cijkl εkl

Sõmbolo δ de KroneckerA lo largo del texto tambien se usa en forma reiterada el sõmbolo δ de Kronecker

que se deÞne como

δij =

(1 si i = j0 si i 6= j

Por ejemplo un estado hidrostatico de tension puede ser escrito en terminos deestos sõmbolos como:

σij = p δij =

p 0 00 p 00 0 p

Explicitacion de la dependencia de las variables del instante tTodas las magnitudes fõsicas que se utilizaran en la descripcion de la deformacion

de los metales, tales como velocidad vj tensiones σij velocidades de deformacionúεij, densidad ρ, etc., son magnitudes que en general dependen de la posicion(x1, x2, x3) y del tiempo t. Para explicitar la dependencia de estas funcionesdel tiempo y especiÞcar el instante que esta siendo considerado se utilizara la

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convencion de escribir a dicho instante t como supraõndice a la izquierda de lavariable en estudio, por ejemplo:

tvj para las velocidades en el instante ttσij para las tensiones en el instante tt úεij para las velocidades de deformacion en el instante ttρ para la densidad en el instante t

(Esto se lee de la siguiente forma: tvj como vj en t, tσij como σij en t etc.).En el caso estacionario (donde todas estas variables no varõan en el tiempo) estaexplicitacion se omitira.

Representacion de matricesLas matrices se simbolizaran con letras subrayadas. Por ejemplo σ para la matriz

que agrupa a las componentes del tensor de tensiones (σ11, σ22, σ33, σ12, σ23, σ31),V para la matriz (columna) que agrupa a las velocidades nodales, P para lacorrespondiente a las presiones nodales, K para la matriz (cuadrada) de rigidez,etc.

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2. Ecuaciones del movimiento

En este capõtulo se plantean las ecuaciones diferenciales que se utilizaran paradescribir la deformacion plastica de los metales: la condicion de incompresibilidady la ecuacion del movimiento. Tambien se formula el principio de las potenciasvirtuales (que es el punto de partida del metodo de los elementos Þnitos) y sedemuestra su equivalencia con la ecuacion del movimiento. Referencias para estecapõtulo son [1] o [17].

2.1. Condicion de incompresibilidad

Una de las hipotesis que se hacen para describir el ßujo plastico de los metales esla hipotesis de incompresibilidad segun la cual el material se mueve manteniendoconstante su volumen. Esta condicion se expresa matematicamente (si la densidadρ es constante) como

∂tvi∂xi

= 0 (2.1)

o bien∂tv1∂x1

+∂tv2∂x2

+∂tv3∂x3

= 0

Se puede demostrar por que esta igualdad implica la incompresibilidad observandola Þgura (2.1) en la que se muestra una porcion arbitraria de un material que seesta deformando. En un instante t esta porcion ocupa la region tP del espacio yen un instante posterior t + ∆t ocupa la region t+∆tP . Los volumenes de estasregiones son Z

tPdV

y Zt+∆tP

dV

y el cambio de volumen en el intervalo de tiempo ∆t es entoncesZt+∆tP

dV −ZtPdV

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Esta diferencia es igual a la diferencia entre los volumenes de las zonas sombreadasde la Þgura (2.1) que son respectivamente las regiones ocupadas por el materialque sale de la region tP y la ocupada por el que entra. Para calcular los volumenesde estas zonas se observa que el material que ßuye a traves de un elemento desuperÞcie dS durante el intervalo de tiempo ∆t ocupara un volumen tv ∆t · tn dS(volumen del cilindro dibujado en la Þgura). Entonces el volumen de la regionque ocupara el material que sale de tP sera

∆tZ(∂tP )out

tv · tn dS

y el correspondiente al material que entra

∆tZ(∂tP )in

tv · tn dS

donde (∂tP )in y (∂tP )out son respectivamente las partes de la frontera de

tP porlas que entra y sale material (estas dos partes esta limitadas por la curva a lolargo de la cual tv · tn = 0). Restando las dos integrales anteriores se obtiene

∆tZ∂tP

tv · tn dS

(tn es la normal saliente y entonces el signo de la integral sobre (∂tP )in se invierte).La variacion del volumen ocupado por la porcion del material sera entonces:Z

t+∆tPdV −

ZtPdV = ∆t

Z∂tP

tv · tn dS

Dividiendo por ∆t y haciendo tender ∆t a cero se obtiene

d

dt

ZtPdV =

Z∂tP

tv · tn dS

y aplicando el teorema de la divergencia de Gauss,

d

dt

ZtPdV =

ZtP

∂tvi∂txi

dV

Para un material incompresible el volumen tP de la region ocupada por cualquierporcion del material debe permanecer constante en el tiempo. Entonces elmiembro izquierdo de la igualdad anterior debe ser cero por lo queZ

tP

∂tvi∂xi

dV = 0

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Figura 2.1: Evolucion de una porcion de un material que se deforma.

para toda porcion del material. Esto se cumplira para cualquier region tP si elintegrando es cero en todo punto del espacio por donde se extiende el material esdecir

∂tvi∂xi

= 0

La condicion de incompresibilidad implica entonces la ecuacion (2.1).En terminos del tensor velocidad de deformacion t úεij que se deÞne segun

t úεij =1

2

Ã∂tvj∂xi

+∂tvi∂xj

!

la condicion de incompresibilidad (2.1) se expresara como

t úεii =t úε11 +

t úε22 +t úε33 = 0

2.2. Conservacion de la cantidad de movimiento

2.2.1. Ecuacion del movimiento

La segunda ecuacion que se utilizara para describir la deformacion plastica es laecuacion del movimiento que expresa que la suma de las fuerzas que actuan sobre

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cada partõcula del medio es igual a la masa de esa partõcula multiplicada por suaceleracion. Para formularla se considera un medio continuo (ya sea un solidoo una porcion de un ßuido) como el que se muestra en la Þgura (2.2) que enun instante t se encuentra ocupando una region del espacio tV . Se supone quesobre una parte de la frontera tS de la region tV (la parte tSf ) actuan fuerzaspor unidad de superÞcie conocidas de componentes tfj y que sobre la otra parte(la parte tSv) se encuentran especiÞcadas las velocidades (de componentes) tvj;se supone ademas que sobre el medio se aplican fuerzas por unidad de volumenconocidas de componentes tbj. La resultante de todas las fuerzas que actuan sobrecualquier subconjunto tP de la region tV sera:Z

tP

tbj dV +Z∂tP

tσijtnidS

donde ∂tP es la frontera del subconjunto tP y tσij es el tensor de tensiones deCauchy . La ley de Newton establece que esta resultante debe ser igual aZ

tP

tρ taj dV

que es la derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de la porciontP (tρ es la densidad de masa y taj son las componentes de la aceleracion), esdecir, Z

tP

tbj dV +Z∂tP

tσijtnidS =

ZtP

tρ taj dV

o bien, aplicando el teorema de la divergencia de Gauss,

ZtP

Ãtbj +

∂tσij∂xi

− tρ taj

!dV = 0

Como esta integral debe ser nula para toda porcion tP de la region tV y comoel medio es continuo (lo que implica que la densidad tρ, las tensiones tσij, lasaceleraciones taj y las fuerzas tbj son funciones continuas en tV ), se deduce queel integrando debe anularse en todo punto de tV :

tbj +∂tσij∂xi

− tρ taj = 0 en tV (2.2)

A esta igualdad se la llama ecuacion del movimiento. La aceleracion de unapartõcula del medio que se en el instante t se posiciona en el punto del espacio decoordenadas txi es:

taj =∂tvj∂t

+ tvi∂tvj∂xi

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es decir, la derivada material de la velocidad. A la ecuacion (2.2) se la debecomplementar con la condicion de borde

tfj =tσij

tni (2.3)

(donde tfj es la componente j de la fuerza por unidad de superÞcie) que se debecumplir en todo punto de la parte de la frontera tSf .

Figura 2.2: Fuerzas que actuan sobre un medio continuo.

2.2.2. Ecuacion del movimiento para ßujos incompresibles

Para estudiar a los materiales que experimentan deformaciones incompresibles esconveniente descomponer al tensor de tensiones en dos partes, una llamada partevolumetrica y la otra parte desviadora. La parte volumetrica es la parte cuyascomponentes son tp δij donde tp es la tension media (o presion hidrostatica), esdecir

tp =1

3

³tσ11 +

tσ22 +tσ33

´Este tensor representa a un estado tensional para el cual la tension en cualquierdireccion tn es tp tn. La parte desviadora se deÞne como

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tsij =tσij − tp δij =

tσ11 − tp tσ12

tσ13tσ12

tσ22 − tp tσ23tσ13

tσ23tσ33 − tp

de manera que

tσij =tsij +

tp δij (2.4)

De la igualdad anterior surge que el tensor de tensiones desviador es untensor cuyas direcciones principales coinciden con las direcciones de tσij y cuyascomponentes principales diÞeren en el valor de la presion hidrostatica, es decir,tσi =

tsi − tp.En un material incompresible (en particular en un metal que ßuye plasticamente)

se observa (ver referencia [10]) que las deformaciones que experimenta el materialson independientes de la presion hidrostatica tp. Entonces es conveniente escribira la ecuacion del movimiento en terminos de esta descomposicion del tensor detensiones. De la ecuacion (2.4) se deduce que

∂tσij∂xi

=∂tsij∂xi

+∂tp

∂xiδij =

∂tsij∂xi

+∂tp

∂xj

por lo que la ecuacion del movimiento (2.2) sera

∂tsij∂xi

+∂tp

∂xj+ tbj − tρ taj = 0 (2.5)

Esta es la expresion de la ecuacion del movimiento que se utilizara en el analisisdel ßujo plastico de un metal que, como se dira mas adelante, es incompresible.

2.2.3. Principio de las Potencias Virtuales

El metodo de los elementos Þnitos utiliza como punto de partida el principio delas potencias virtuales que es una forma equivalente de plantear la ecuacion delmovimiento (2.2). Considerando de nuevo un medio continuo (ver Þgura (2.2))que ocupa una region tV del espacio, sobre el que actuan fuerzas exteriores devolumen tbj, fuerzas de inercia −tρ taj, fuerzas de superÞcie tfj (sobre la parte tSfde la frontera de tV ) y velocidades impuestas (sobre la parte tSv de la frontera detV ), se llama potencia virtual de las fuerzas exteriores aZ

tV

³tbj − tρ taj

´δvj dV +

ZtSf

tfjδvj dS

donde δvj es cualquier campo de velocidades (denominado velocidad virtual ovariacion de la velocidad) distinto al campo de velocidades real y que cumple

15

Page 20: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

las condicion de ser nulo sobre la parte de la frontera donde se encuentranespeciÞcadas las velocidades tSv (tambien debe ser continuo con derivadasparciales continuas). Se llama potencia virtual de las fuerzas interiores aZ

tVδ úεij

tσij dV

donde δ úεij es la variacion en la velocidad de deformacion que se deriva de lavariacion de la velocidad δvj, es decir,

δ úεij =1

2

Ã∂δvj∂xi

+∂δvi∂xj

!

El principio de las potencias virtuales establece que las tensiones tσij que seestablezcan en el cuerpo (es decir, las tensiones que son solucion de la ecuacion delmovimiento para determinadas fuerzas exteriores tbj, fuerzas de inercia −tρ taj,fuerzas de superÞcie tfj y velocidades impuestas) veriÞcan que la potencia virtualde las fuerzas exteriores es igual a la potencia virtual de las fuerzas interiores. Esdecir, tσij sera solucion de la ecuacion (2.2) con las condiciones de borde (2.3) siy solo siZ

tV

1

2

Ã∂δvj∂xi

+∂δvi∂xj

!tσij dV =

ZtV

³tbj − tρ taj

´δvj dV +

ZtSf

tfjδvj dS (2.6)

para toda variacion de la velocidad δvj nula sobre la partetSv de la frontera del

cuerpo.1 Para demostrar la equivalencia entre esta igualdad y la ecuacion (2.2) seobserva que

∂ (δvjtσij)

∂xi= δvj

∂tσij∂xi

+∂δvj∂xi

tσij

1Recordar que se esta utilizando la convencion de supresion del sõmbolo de sumaPpor lo

que

12

³∂δvj∂xi

+ ∂δvi∂xj

´tσij =

∂δv1∂x1

tσ11 +12

³∂δv2∂x1

+ ∂δv1∂x2

´tσ12 +

12

³∂δv3∂x1

+ ∂δv1∂x3

´tσ13

+12

³∂δv1∂x2

+ ∂δv2∂x1

´tσ21 +

∂δv2∂x2

tσ22 +12

³∂δv3∂x2

+ ∂δv2∂x3

´tσ23+

+12

³∂δv1∂x3

+ ∂δv3∂x1

´tσ31 +

12

³∂δv2∂x3

+ ∂δv3∂x2

´tσ32 +

∂δv3∂x3

tσ33

que por ser el tensor de tensiones un tensor simetrico (es decir, tσ12 = tσ21, tσ13 = tσ31 ytσ23 =

tσ32) se reduce a

12

³∂δvj∂xi

+ ∂δvi∂xj

´tσij =

∂δv1∂x1

tσ11 +∂δv2∂x2

tσ22 +∂δv3∂x3

tσ33+

+³∂δv2∂x1

+ ∂δv1∂x2

´tσ12 +

³∂δv3∂x1

+ ∂δv1∂x3

´tσ13 +

³∂δv3∂x2

+ ∂δv2∂x3

´tσ23

16

Page 21: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

por lo que el trabajo virtual de las fuerzas interiores seraZtV

∂ (δvjtσij)

∂xidV −

ZtV

∂tσij∂xi

δvj dV

o bien, aplicando el teorema de la divergencia de GaussZtSδvj

tσijtni dS −

ZtV

∂tσij∂xi

δvj dV

Recordando que la variacion de velocidad en la parte de la frontera tSv es nula porlo que

RtS δvj

tσijtni dS =

RtSfδvj

tσijtni dS, entonces el principio de las potencias

virtuales (2.6) queda

ZtSf

δvjtσij

tni dS −ZtV

∂tσij∂xi

δvj dV =ZtV

³tbj − tρ taj

´δvj dV +

ZtSf

tfjδvj dS

o bien ZtV

Ã∂tσij∂xi

+ tbj − tρ taj

!δvj dV +

ZtSf

³tfj − tσij

tni´δvj dS = 0

Estas integrales seran nulas para toda variacion de velocidades δvj si y solo si∂tσij∂xi

+ tbj − tρ taj = 0 entV y tfj − tσij

tni = 0 entSf es decir, si se cumple la

ecuacion (2.2) con las condiciones de borde (2.3).

Principio de las potencias virtuales en terminos de los tensores desvia-dor y volumetrico de las tensiones.

Utilizando la descomposicion (2.4) en la expresion del principio de las potenciasvirtuales (2.6) se obtiene:

RtV

1

2

Ã∂δvj∂xi

+∂δvi∂xj

!sij dV +

RtV

1

2

Ã∂δvj∂xi

+∂δvi∂xj

!tp δij dV =

=RtV (

tbj − tρ taj) δvj dV +RtSf

tfj δvj dS ∀ δvj

En el segundo sumando del miembro izquierdo se observa que 12

³∂δvj∂txi

+ ∂δvi∂txj

´δij =

∂δvi∂txi

por lo que este sumando se reduce a

ZtV

∂δvi∂xi

tp dV

17

Page 22: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

El primer sumando, si se hace con la velocidad de deformacion virtual 12

³∂δvj∂xi

+ ∂δvi∂xj

´una descomposicion analoga a la hecha con las tensiones, es decir

12

Ã∂δvj∂xi

+∂δvi∂txj

!=

Ã12

Ã∂δvj∂xi

+∂δvi∂xj

!− 1

3

∂δvk∂xk

δij

!| z

Parte desviadora

+ 13

∂δvk∂xk

δij| z Parte volumetrica

se reduce a

RtV

Ã12

Ã∂δvj∂xi

+∂δvi∂xj

!− 1

3

∂δvk∂xk

δij

!tsij dV +

R 13

∂δvk∂xk

δijtsij dV =

RtV

Ã12

Ã∂δvj∂xi

+∂δvi∂xj

!− 1

3

∂δvk∂xk

δij

!tsij dV

dado que δijtsij = 0. Entonces el principio de las potencias virtuales sera

RtV

Ã12

Ã∂δvj∂xi

+∂δvi∂txj

!− 1

3

∂δvk∂xk

δij

!tsij dV +

RtV

∂δvi∂xi

tp dV =

=RtV (

tbj − tρ taj) δvj dV +RtSf

tfj δvj dS ∀ δvj(2.7)

Al primer termino del miembro izquierdo se lo denomina potencia virtual desvi-adora y al segundo, potencia virtual volumetrica.

Se han presentado las ecuaciones diferenciales que se utilizaran para describirel movimiento del material (desde el punto de vista Euleriano): La condicionde incompresibilidad (2.1) (o ecuacion de continuidad cuando la densidad ρ esconstante) y la ecuacion del movimiento (para ßujos incompresibles) (2.5). Pararesolverlas numericamente mediante el metodo de los elementos Þnitos es necesarioreexpresarlas en forma debil o integral. Para ello se ha planteado el principio delas potencias virtuales (2.7) (que es la forma debil de la ecuacion del movimiento(2.5)). Con respecto a la condicion de incompresibilidad (2.1), las distintasalternativas de expresarla en forma debil seran discutidas en el capõtulo 5.

18

Page 23: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

3. Relaciones constitutivas parametales

Cuando a un cuerpo metalico se aplican cargas suÞcientemente grandes,se observa que una parte (pequena) de la deformacion total resulante puederecuperarse si se remueven las cargas mientras que la parte restante (la masgrande) es acumulada en forma permanente. La parte recuperable o elasticaesta relacionada con las tensiones mediante la ley de Hooke de la teorõa de laelasticidad. En este capõtulo se construyen un conjunto de ecuaciones analogas adichas relaciones tension-deformacion de la teorõa de la elasticidad pero para laparte inelastica (o permanente) de las deformaciones del metal. En particular seformulan las ecuaciones para dos tipos de comportamiento inelastico: Plasticidadinvõscida y Viscoplasticidad. Ambos comportamientos se diferencian del elasticoen que las deformaciones no se encuentran unõvocamente determinadas por lastensiones como en el caso elastico sino que dependen de toda la historia de cargaprevia, es decir, de como fue alcanzado el estado de tensiones y deformaciones, yse diferencian entre sõ en que en la plasticidad invõscida se desprecia la inßuenciadel tiempo (de la duracion del proceso de deformacion, y por lo tanto de lavelocidad de deformacion) en la respuesta del material, mientras que en el casode la viscoplasticidad los efectos dinamicos no se desprecian y la inßuencia de lavelocidad de deformacion sõ se tiene en cuenta.Cuando las fuerzas aplicadas sobre el material no son suÞcientemente grandes,

la deformacion que se produce es totalmente recuperable o elastica. Las defor-maciones permanentes comienzan a manifestarse solo cuando las fuerzas apli-cadas superan cierto valor crõtico. Existen entonces dos rangos de deformacion:el rango elastico y el rango inelastico y se utilizan los terminos elasto/plasticoo elasto/viscoplastico para describir a los materiales que presentan esta carac-terõstica. Pero frecuentemente las deformaciones inelasticas son tan grandes que,para este rango de cargas, las deformaciones elasticas resultan despreciables.Cuando esto ocurre, es posible considerarlas nulas tambien para cargas pequenasy asumir que en ese caso, el material es rõgido. Para describir los materiales en losque es posible hacer esta simpliÞcacion, se utilizaran los terminos Rõgido/Plasticoo Rõgido/Viscoplastico. Referencias para este capõtulo son [8], [10], [14], [17], [18],[19], [25] y [27].

19

Page 24: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

3.1. Plasticidad

Como se menciono antes, la deformacion inelastica de un metal empieza solocuando las tensiones alcanzan cierto valor crõtico. Para tensiones menores a estevalor la deformacion es de naturaleza elastica, y cuando las tensiones igualaneste valor comienzan las deformaciones permanentes. Una vez que este estadotensional crõtico es alcanzado (y las deformacion plasticas estan por manifestarse)se observan los siguientes fenomenos:

La deformacion plastica (o permanente) no se incrementa a menos quelas tensiones se incrementen continuamente; es decir, si se mantienen lascargas constantes, la deformacion plastica no crece; solo crece cuando seincrementan las tensiones a valores mayores a la tension crõtica a la cual seinicio la ßuencia. Este fenomeno se conoce con el nombre de endurecimientopor deformacion.

Si, alcanzado cierto nivel de tensiones, se suprimen las cargas que le dabanorõgen, durante la descarga, el material se comporta elasticamente.

Si, despues de la descarga, se vuelve a tensionar al material la ßuencia novolvera a comenzar sino cuando el ultimo nivel de tensiones al que se habõallegado antes de iniciarse la descarga vuelva a ser alcanzado; es decir, elestado tensional crõtico que es necesario aplicar para producir en el materialmas deformacion permanente de la que ya fue impuesta cambia a medidaque se acumula deformacion plastica.

Se pueden entender mejor estos aspectos de la deformacion plastica de unmetal recordando los resultados del ensayo de traccion uniaxial que se ilustran enla curva Tension-Deformacion de la Þgura (3.1). Se observan:

El rango elastico inicial (Segmento O-A), seguido por La tension crõtica inicial 0σY (Punto A) (o tension de ßuencia inicial) quesenala el comienzo de la deformacion plastica, y

El rango plastico (con endurecimiento por deformacion) (Curva A-B-D) enel que:

son necesarias tensiones cada vez mayores para que crezca la defor-macion plastica,

si, alcanzado cierto nivel de tensiones tσY (Punto B), se suprimen lascargas, las deformaciones vuelven a ser de naturaleza elastica (CurvaB-C).

20

Page 25: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Para producir mayor cantidad de deformacion plastica es necesario quelas tensiones vuelvan a igualar al ultimo nivel de tensiones tσY (PuntoB) que se habõa alcanzado antes de comenzar la descarga.

Figura 3.1: Curva Tension-Deformacion para un material con endurecimiento pordeformacion

En algunos metales el fenomeno de endurecimiento por deformacion practica-mente no se maniÞesta. Si se lo desprecia completamente la curva tension defor-macion pasa a tener la forma mostrada en la Þgura (3.2). Los materiales para loscuales se hace esta idealizacion se denominan perfectamente plasticos. Se observaque estos materiales, a diferencia de aquellos en los que sõ existe endurecimiento,ßuyen plasticamente a tension constante e igual a la tension crõtica inicial 0σY ,y que si en un instante cualquiera se suprimen las cargas (punto B), para que elmaterial vuelva a ßuir plasticamente alcanza con aumentar las tensiones nueva-mente hasta 0σY (y no hasta un valor mayor

tσY como antes), es decir, la tensionde ßuencia σY para estos materiales no depende de la cantidad de deformacionplastica que se acumula.

En sõntesis, existen ciertos estados tensionales crõticos que marcan el comienzode las deformaciones plasticas y que pueden variar a medida que dichas deforma-ciones plasticas progresan. Se pretende ahora caracterizar a estos estados crõticos

21

Page 26: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Figura 3.2: Curva Tension-Deformacion para un material perfectamente plastico

(condicion de ßuencia), precisar para aquellos materiales que experimentan en-durecimiento por deformacion, la forma en que varõan (condicion de endurec-imiento) y describir de que manera se incrementan las deformaciones plasticascuando alguno de estos estados es alcanzado (ley de ßujo).

3.1.1. Condicion de ßuencia

Para determinar los estados tensionales crõticos que es necesario alcanzar paraque las deformaciones plasticas empiecen a manifestarse, se hacen las siguienteshipotesis denominadas condicion de ßuencia o ley de ßuencia. Para los materialesque experimentan endurecimiento por deformacion esta ley se puede enunciar dela siguiente manera (ver referencias [17] y [18]):

1. Los estados tensionales crõticos son aquellos que veriÞcan

F (tσij,tKα) = 0 i, j = 1, 2, 3 α = 1, 2, · · · (3.1)

donde F es la denominada funcion de ßuencia y tKα es un conjunto deparametros que dependen exclusivamente de la cantidad de deformacionplastica acumulada hasta el instante t.

22

Page 27: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

2. Para un dado estado de tensiones tσij y determinados valores de losparametros tKα (Þjados estos ultimos por una dada cantidad de deformacionplastica), el material estara en regimen elastico si

F (tσij,tKα) < 0

o si

F (tσij,tKα) = 0 y

∂F

∂tσij· t úσij < 0 (Condicion de descarga)

y se produciran deformaciones plasticas si

F (tσij,tKα) = 0 y

∂F

∂tσij· t úσij ≥ 0 (Condicion de Carga)

La primera condicion establece que la deformacion plastica comenzara cuandolas tensiones veriÞquen F (tσij, tKα) = 0; mientras F (tσij, tKα) sea menor que0, las deformaciones seran puramente elasticas. A medida que las deformacionesplasticas aumentan los parametros tKα crecen continuamente de manera que, si laßuencia se inicio en el instante t = 0 cuando los parametros tenõan ciertos valores0Kα y si en un instante posterior t = τ , el material es descargado y despues cargadonuevamente, las deformaciones plasticas no volveran a manifestarse sino cuandolas tensiones vuelvan a veriÞcar F (tσij,

τKα) = 0 siendoτKα distintos y mayores a

los valores iniciales 0Kα. La segunda condicion senala que el rango elastico estaraformado por todos aquellos estados de tension tσij para los cuales se cumplaque F (tσij, tKα) < 0. A la condicion

∂F∂tσij

· t úσij < 0 se la denomina condicion dedescarga debido a que, si las tensiones que se desarrollan en un instante t, cumplenF (tσij, tKα) = 0 y se produce un incremento de tensiones t úσij ·∆t que descarga almaterial, entonces (por la primera de las condiciones 2) las tensiones en el instantet+∆t (que son iguales a las tensiones que existõan en el istante t, mas el incrementode tension, es decir, t+∆tσij =

tσij+t úσij ·∆t) deberan cumplir F (t+∆tσij , tKα) < 0

(Recordar que los parametros tKα varõan solo cuando se produce un incrementode deformacion plastica por lo que permanecen constantes durante una descarga);luego como F (t+∆tσij , tKα) ' F (tσij , tKα) +

∂F∂tσij

· t úσij ·∆t = 0 + ∂F∂tσij

· t úσij ·∆tdebera ser ∂F

∂tσij· t úσij < 0 para que F (t+∆tσij, tKα) sea menor que 0.

Para materiales perfectamente plasticos los estados tensionales crõticos quesenalan el comienzo de la ßuencia no se modiÞcan a medida que progresa ladeformacion plastica. La condicion de ßuencia se reescribe entonces para dichosmetales en la siguiente forma:

1. Los estados tensionales crõticos son aquellos que cumplen

F (tσij, Kα) = 0 i, j = 1, 2, 3 α = 1, 2, · · ·siendo F la funcion de ßuencia y Kα un conjunto de constantes

23

Page 28: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

2. Para un dado estado de tensiones tσij, el material estara en regimen elasticosi

F (tσij , Kα) < 0

y se produciran deformaciones plasticas si

F (tσij , Kα) = 0

En otras palabras, para materiales perfectamente plasticos los parametros Kα

no aumentan con la deformacion sino que permanecen constantes por lo que laßuencia se produce a tension constante o cuando las tensiones evolucionen demanera que F = 0 (para estos materiales no existe la posibilidad de que seproduzca una carga, es decir, de que ∂F

∂tσij· t úσij > 0 porque como los parametros

son constantes si se produce un incremento de tensiones t úσij ∆t para el que secumple ∂F

∂tσij· t úσij > 0, las tensiones que se alcanzan despues del incremento de

carga cumpliran F > 0 y esto constradice la segunda condicion).

Representacion geometrica de la Ley de Fluencia

La igualdad F (tσij, tKα) = 0 se puede interpretar geometricamente como unahipersuperÞcie en el espacio euclõdeo 6-dimensional de coordenadas cartesianasdadas por las 6 componentes diferentes del tensor de tensiones (en realidad,una familia de superÞcies de parametros tKα), denominada superÞcie de ßuencia(ver referencias [17] y [18]). Los puntos de esta superÞcie representaran estadostensionales que deÞnen el comienzo de las deformaciones plasticas y el interiorF (tσij,

tKα) < 0 representara el rango elastico. Como los parametros tKα

dependen de la cantidad de deformacion plastica que se acumula (cuando existeendurecimiento), la superÞcie de ßuencia cambiara continuamente durante laßuencia. La condicion de carga ∂F

∂tσijt úσij > 0 admite la siguiente interpretacion

en terminos de esta representacion geometrica (ver Þgura (3.3)): Como ∂F∂tσij

sera

un vector normal saliente a la superÞcie de ßuencia y t úσij ∆t un incremento detensiones, ∂F

∂tσijt úσij > 0 representara a un incremento de tensiones t úσij ∆t que

apunta hacia el exterior de la superÞcie y ∂F∂tσij

t úσij < 0, a un incremento que

apunta hacia el interior (rango elastico). Cuando ∂F∂tσij

t úσij = 0 el incremento de

tensiones sera tangente. La condicion de carga implica que existira ßuencia solocuando el incremento de tensiones t úσij ∆t apunte hacia el exterior o sea tangente.Para los materiales perfectamente plasticos, la superÞcie de ßuencia no cambiacon la deformacion y en este caso se producira incremento de deformacion plasticacuando la tension se mantenga constante o cuando el incremento de tensionest úσij ∆t sea tangente a la superÞcie.

24

Page 29: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Figura 3.3: Representacion geometrica de los rangos elasticos e inelasticos decarga.

La ecuacion (3.1) que deÞne a la superÞcie de ßuencia toma una forma massimple si se hace uso de las siguientes hipotesis (ver referencia [17]):

1. La ßuencia es independiente de la presion hidrostatica.

2. El material es isotropo.

La primera condicion surge de observaciones experimentales (ver referencias[10] o [18]) que demostraron que las presiones hidrostaticas producen una cantidaddespreciable de deformacion plastica tanto cuando son las unicas tensionesaplicadas como cuando actuan superpuestas a algun estado tensional combinado.Esta hipotesis implica que la funcion de carga F depende solamente de la partedesviadora tsij del tensor de tensiones ya que esta parte no es afectada por cambiosen la presion hidrostatica. Por lo tanto la ley de ßuencia (3.1) se expresara como

F (tsij,tKα) = 0

La segunda condicion (condicion de isotropõa) implica que no existen direc-ciones preferenciales para las tensiones que favorezcan el comienzo de la ßuen-cia y que por lo tanto F puede depender solo de las componentes principales

25

Page 30: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

(ts1, ts2, ts3) del tensor de tensiones desviador pero no de las direcciones princi-pales (tn1, tn2, tn3); Ademas F debe ser una funcion simetrica de (ts1, ts2, ts3)porque todas las tensiones principales deben cumplir el mismo rol en la ßuencia.En otras palabras, la funcion de ßuencia F debe ser una funcion isotropa deltensor desviador de tensiones y la ley de ßuencia se expresara segun:(

F (ts1,ts2,

ts3,tKα) = 0

F (ts1, ts2, ts3, tKα) = F (ts3, ts1, ts2, tKα) , etc. (F es simetrica)

Como las componentes principales del tensor desviador de tensiones son lassoluciones de la ecuacion caracterõstica

−s3 + tJ2 · s+ tJ3 = 0

donde:

tJ2 =12tsij

tsij =ts211 +

ts222 +ts233 + 2 (

ts213 +ts223 +

ts212)tJ3 =

13tsij

tsjktski = |tsij| = ts11

ts22ts33 − (ts213ts22 + ts223

ts11 +ts212

ts33) + 2ts12

ts23ts31

(3.2)son los invariantes principales del tensor desviador de tensiones,1 entonces dichastensiones desviadoras principales seran funciones algebraicas de los invariantesescalares tJ2 y tJ3. Luego la ley de ßuencia se podra expresar como

F³tJ2,

tJ3,tKα

´= 0 (3.3)

3.1.2. Ley de endurecimiento

Como se dijo antes, en aquellos metales que experimentan endurecimiento pordeformacion, la superÞcie de ßuencia cambia a medida que las deformacionesplasticas progresan. La ecuacion (3.1) permite conocer para que estados detensiones comienzan las deformaciones plasticas pero no dice nada respecto acomo varõa la superÞcie de ßuencia, es decir, como varõan los parametros tKα.Al conjunto de hipotesis que se hacen para determinar dicha variacion se lodenomina ley de endurecimiento. La mas simple de estas leyes es la llamada leyde endurecimiento isotropo segun la cual se supone que las sucesivas superÞciesde ßuencia no cambian de forma, sino solo de tamano, medido este ultimo con ununico parametro. En otras palabras se supone que todas las superÞcies de ßuenciason geometricamente semejantes entre sõ, y todas ellas se reducen a la mismamediante un cambio de escala. Es decir que si se mide la escala (o tamano) de lasuperÞcie con un unico parametro tK y si, como consecuencia de la deformacion,

1El primer invariante tJ1 =ts11+

ts22+ts33 es nulo porque se trata de un tensor desviador

(tsij =tσij − 1

3tσkk δij ⇒ tskk =

tσkk − 13tσkk 3 = 0)

26

Page 31: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

este parametro aumenta por ejemplo al doble, se deberan aumentar las tensionestambien al doble para comenzar de nuevo la ßuencia. Esta ley postula ademasque el mecanismo que produce el endurecimiento actua igualmente en tension queen compresion cualquiera sea la cantidad de deformacion que haya acumulado elmaterial (cualquiera sea tK), es decir, si la ßuencia comienza cuando las tensionesalcanzan cierto valor tσij (traccion) entonces tambien debe comenzar cuando elestado tensional sea (−tσij). Matematicamente esta ley se expresa de la siguientemanera:

1. La condicion de ßuencia depende de un unico parametro tK, es decir:

F³tJ2,

tJ3,tK´= 0 (3.4)

2. La funcion de ßuencia F es una funcion homogenea de grado cero de tσij yde tK,2 es decir:

F (α tσij,αtK) = F (tσij,

tK) ∀ α

3. La funcion de ßuencia F es una funcion par de tσij para cualquiertK, es

decir,F (tσij,

tK) = F (−tσij, tK) ∀ tK

Combinando la hipotesis de homogeneidad de la funcion de ßuencia con lascondiciones de isotropõa e independencia de la presion hidrostatica discutidas en laseccion anterior, es posible expresar a la condicion de ßuencia con endurecimientoisotropo en una forma mas conveniente que la de la ecuacion (3.4): Observando

que por la condicion de homogeneidad resulta F ( 1tKtσij,

1tK

tK) = F (tσijtK, 1) y

llamando f (x) a F (x, 1) se puede reescribir a la condicion de ßuencia como:

f (tσijtK) = 0

2Se denomina funcion homogenea de grado n a aquella funcion f(x) que veriÞca

f(α x) = αn f(x) ∀ αEn particular, una funcion sera homogenea de grado 0 si cumple f(α x) = f(x) cualquiera seala constante α. Las funciones homogeneas de grado n veriÞcan la siguiente identidad (conocidacomo teorema de Euler de las funciones homogeneas).

∇f(x) · x = n f(x)

27

Page 32: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

(donde f debe ser una funcion par detσijtK

para que el inicio de la ßuencia sea elmismo en traccion y en compresion) o bien, agregando las hipotesis simpliÞcativasde la seccion anterior, como:

f(tJ2tK2

,tJ3tK3

) = 0

donde la funcion de ßuencia f es ahora adimensional dado que se supone queel parametro tK tiene unidades de tension (y par porque el mecanismo de en-durecimiento es el mismo en traccion y en compresion).3 Observando ahora que

f(tJ2tK2 ,

tJ3tK3 ) = f(

³√tJ2tK

´2,³√

tJ2tK

´3 · ³ 3√tJ3√tJ2

´) y que entonces la igualdad

f(³√

tJ2tK

´2,³√

tJ2tK

´3 · ³ 3√tJ3√tJ2

´) = 0 deÞne implõcitamente a

√tJ2tK

como funcion de3√tJ3√tJ2, es decir,

√tJ2tK

= M(3√tJ3√tJ2), entonces la condicion de ßuencia (con endurec-

imiento isotropo) resulta:

√tJ2tK

−M(3√tJ3√tJ2) = 0

o bien, √tJ2

tK M(3√tJ3√tJ2)− 1 = 0 (3.5)

siendo M(x) una funcion adimensional (y par, es decir, M(x) =M(−x) para queel inicio de la ßuencia sea el mismo en traccion o compresion).La ecuacion (3.5) es la expresion mas conveniente para la condicion de ßuencia

con edurecimiento isotropo. Todas las hipotesis hechas hasta ahora, es decir,independecia de las presiones hidrostaticas, isotropõa, igualdad ante traccion ocompresion, dependencia de un unico parametro y homogeneidad de grado cero,se encuentran condensadas en la misma. Ademas esta forma de expresar a lacondicion de ßuencia, es la que permitira mas adelante deÞnir a la denominadadeformacion plastica equivalente, que es la magnitud que mide la cantidad dedeformacion plastica que se acumula en el material.

3En realidad f debe ser funcion par solo detJ3tK3 dado que observando las deÞnciones de

tJ2y tJ3 (ecuaciones (3.2)) se deduce que

tJ2(tsij) = tJ2(− tsij)

tJ3(tsij) = −tJ3(− tsij)

es decir, que tJ2 es una funcion par detsij y

tJ3 es una funcion impar, por lo que para que fsea funcion par de tsij alcanza con que sea funcion par solo de tJ3.

28

Page 33: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Representacion geometrica de la condicion de ßuencia con endurec-imiento isotropo

En la seccion anterior se dijo que la condicion de ßuencia puede asociarse conuna hipersuperÞcie en el espacio 6-dimensional de coordenadas tσij. Como lahipotesis de isotropõa implica que para deÞnir a un estado tensional cualquieratσij alcanza con especiÞcar solo sus tres componentes principales (tσ1, tσ2, tσ3),entonces para representar geometricamente a la condicion de ßuencia (3.5) deun material isotropo se podra utilizar el espacio 3-dimensional con coordenadascartesianas dadas por las tres componentes principales (tσ1,

tσ2,tσ3).

Para ver que forma tiene en este espacio la superÞcie de ßuencia dada porla igualdad (3.5) se observa primero que (ver Þgura (3.4)) la direccion (1, 1, 1)representa a los estados tensionales puramente hidrostaticos (ya que para dichosestados, tσ1 =

tσ2 =tσ3) y que el plano perpendicular a la direccion hidrostatica

y pasante por el orõgen, es decir, el plano tσ1 +tσ2 +

tσ3 = 0, representa estadostensionales puramente desviadores. Por lo tanto la proyeccion ortogonal de unestado tensional cualquiera (tσ1, tσ2, tσ3) sobre la direccion hidrostatica (1, 1, 1)representara su parte volumetrica,4 y la proyeccion sobre el plano desviador, suparte desviadora (ts1, ts2, ts3). Como la condicion de ßuencia es independiente dela presion hidrostatica, la superÞcie de ßuencia debera ser paralela a la direccion(1, 1, 1), es decir, las intersecciones de la superÞcie con planos paralelos al planodesviador (que es un plano perpendicular a la direccion hidrostatica), deberanser todas identicas. En la Þgura (3.5) se dibuja una de estas curvas: la curvainterseccion con el plano desviador tσ1 + tσ2 + tσ3 = 0. Debido a las condicionesde istoropõa y de paridad de la condicion de ßuencia, esta curva resultara simetricarespecto las proyecciones de los ejes coordenados (que estan separadas entre sõ porun angulo de 120) y respecto a los tres ejes perpendiculares a estos (ver referencia[18]). Se puede demostrar (ver referencia [7]) que si r y θ son las coordenadaspolares de cualquier punto P ubicado sobre esta curva, (θ medido a partir del ejetσ3 proyectado) entonces:

r =q2 tJ2

cos2 (3 θ) =27

4·Ã

3√tJ3√tJ2

!6

es decir, r y θ estan relacionados respectivamente con los invariante√tJ2 y

3√tJ3√tJ2

que aparecen en la condicion de ßuencia (3.5). Por lo tanto la igualdad (3.5)

4La proyeccion ortogonal de (tσ1,t σ2,t σ3) sobre la direccion (1, 1, 1) esta dada por el vector·(tσ1,tσ2,tσ3)·(1,1,1)

(1,1,1)·(1,1,1)

¸· (1, 1, 1) = (tσ1+ tσ2+

tσ3)3

(1, 1, 1)

29

Page 34: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

puede ser reinterpretada como:

r√2 tK m (θ)

− 1 = 0

o bien,r =

√2 tK m (θ) (3.6)

es decir la ecuacion polar de dicha curva.

Figura 3.4: SuperÞcie de Fluencia

Con la ecuacion (3.6) se puede entender mejor la semejanza geometrica entrelas sucesivas superÞcies de ßuencia que caracteriza a la ley de endurecimientoisotropo. Se observa que todas las superÞcies de ßuencia crecen en cada direccionradial (Þjada por el angulo θ) proporcionalmente al parametro tK. (Figura 3.6)

Ley de ßuencia de Von-Mises

De todas las posibles leyes de ßuencia con endurecimiento isotropo (expresadasmatematicamente por la ecuacion (3.5)) la mas simple es la denominada ley deßuencia de Von Mises en la que se adoptaM = cte. Es decir, se hace la suposicionque la superÞcie de ßuencia no depende del angulo θ por lo que las intersecciones

30

Page 35: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Plano Desviador

σ1

σ1

σ2

P

θ

r

Figura 3.5: Interseccion de la superÞcie de ßuencia con el plano desviador

con los planos paralelos al plano hidrostatico son cõrculos de radio proporcionala tK.5 En otras palabras, la superÞcie de ßuencia de Von Mises es un cilindrocircular de radio proporcional a tK (cuyo eje es el vector (1, 1, 1)) (Figura (3.7)).Usualmente se la expresa como:

√tJ2tK

− 1 = 0 (3.7)

o, teniendo en cuenta la ecuacion (3.2) como:q12tsijtsijtK

− 1 = 0

3.1.3. Ley de ßujo Asociada

Hasta ahora se ha hecho una caracterizacion de los estados tensionales lõmiteque dan lugar al inicio de la ßuencia (Ley de ßuencia) y de la forma en que

5Si se utiliza en la ecuacion (3.6) m(θ) = cte., la superÞcie de ßuencia resulta r =√2 K cte

o bien, r = cte2tK.

31

Page 36: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

σ2

σ3

σ2

θ

r0

Superficie de fluencia inicial

Superficies de fluencia sucesivas

r1r2

Figura 3.6: Crecimiento de la superÞcie de ßuencia segun el modelo de endurec-imiento isotropo.

σ2

σ1

σ3

Figura 3.7: SuperÞcie de ßuencia de Von Mises

32

Page 37: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

estos estados van variando a medida que las deformaciones plasticas progresan(Ley de endurecimiento). Ahora se pretende describir como se incrementara ladeformacion plastica cuando alguno de dichos estados sea alcanzado, es decir,como seran las componentes del tensor velocidad de deformacion plastica cuando

las tensiones veriÞquen f(tσijtK) = 0, siendo f la funcion de ßuencia redeÞnida

como:

f(tσijtK) =

√tJ2

tK M(3√tJ3√tJ2)− 1 (3.8)

Para esto se hacen las siguientes hipotesis:

1. El ßujo plastico en metales es incompresible.

2. Las direcciones principales del tensor desviador de tensiones tsij y lasdirecciones principales del tensor desviador de velocidad de deformacionplastica t úεPij en metales coinciden.

La primera condicion surge de observaciones experimentales. Si se supone quela velocidad de deformacion t úεij puede descomponerse en la forma

t úεij =t úεEij +

t úεPij

donde t úεEij yt úεPij son respectivamente las contribuciones puramente elastica y

puramente plastica a la velocidad de deformacion total entonces la condicion deincompresibilidad del ßujo plastico se puede expresar como (ver referencias [10],[17] y [18])

t úεPkk =t úεP11 +

t úεP22 +t úεP33 = 0

por lo que el tensor velocidad de deformacion plastica t úεPij sera identico a su partedesviadora.6 La segunda hipotesis es consecuencia de la hipotesis de isotropõa delmaterial.Las dos condiciones pueden satisfacerse con suÞciente generalidad si se supone

que la deformacion plastica y las tensiones se relacionan segun:

t úεPij =tλ

ÃtK

∂f

∂tσij

!(3.9)

6Analogamente al tensor de tensiones tσij , el tensor velocidad de deformaciont úεij (o su parte

plastica) tambien se puede descomponer en una parte desviadora y otra volumetrica:

t úεij =¡t úεij − 1

3t úεPkk δij

¢| z Parte desviadora

+ 13t úεPkk δij| z

Parte volumetrica

Entonces, si t úεkk = 0, el tensort úεij resultara igual a su parte desviadora.

33

Page 38: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

donde tλ es un factor de proporcionalidad que depende de la posicion txi y deltiempo t y ∂f

∂tσijes el gradiente de la funcion de ßuencia (3.8) evaluado en un

punto de la superÞcie de ßuencia, es decir, en tσij tal que f (tσijtK) = 0.7 A

esta igualdad se la llama ley de ßujo asociada con la funcion de ßuencia f.8

Geometricamente signiÞca que el tensor velocidad de deformacion plastica t úεPijdebe ser perpendicular a la superÞcie de ßuencia.9 Las razones por las cualeslas hipotesis mencionadas al principio surgen necesariamente de la misma son lassiguientes: como la funcion de ßuencia no depende de la presion hidrostatica, esdecir, depende exclusivamente de las tensiones desviadoras tsij, entonces resulta∂f∂tσij

= ∂f∂tskl

· ∂tskl∂tσij

. Luego, como tskl = tσkl− 13(tσ11 + tσ22 + tσ33)·δij , las derivadas

∂tskl∂tσij

cumpliran ∂tskl∂tσ11

+ ∂tskl∂tσ22

+ ∂tskl∂tσ33

= 0 por lo que

t úεP11+t úεP22+

t úεP33 =tλ

̶f

∂tσ11+

∂f

∂tσ22+

∂f

∂tσ33

!= tλ

∂f

∂tskl

Ã∂tskl∂tσ11

+∂tskl∂tσ22

+∂tskl∂tσ33

!= 0

Esto demuestra por que (3.9) implica la condicion de incompresibilidad. Paraver por que esta ecuacion implica la condicion de igualdad entre las direcciones

7El factor tK se introduce en la ecucacion (3.9) para que el parametro tλ tenga unidades develocidad de deformacion (tK ∂f

∂tσijes adimensional).

8La ley de ßujo se puede formular en forma mas general como

t úεPij =tλ

µtK

∂P

∂tσij

¶donde P (

tσijtK ) es una funcion isotropa adimensional llamada Potencial Plastico. Si se elige

como potencial plastico P a la misma funcion de ßuencia f , entonces se obtiene la igualdad(3.9) y se dice que se ha adoptado una ley de ßujo asociada con el criterio de ßuencia o masbrevemente que la ley de ßujo es Asociada. Se puede demostrar (ver referencia [10]) que detodos los estados tensionales tσij que se pueden establecer dentro del solido cuando se producela deformacion plastica t úεPij, el estado que veriÞca la igualdad (3.9) es decir, la ley de ßujoasociada, es aquel para el cual la potencia necesaria para producir dicha deformacion plasticadada por t úWP = tσij

t úεPij (llamada tambien Disipasion Plastica por su naturaleza irreversible)es maxima. Se dice entonces que la ley de ßujo asociada es aquella para la cual se maximiza ladisipasion plastica.

9De la misma manera que cada estado tensional tσij puede ser representado por un vector decomponentes (tσ1,

tσ2,tσ3) del espacio 3-dimensional, cada tensor de velocidad de deformacion

plastica t úεPij puede ser representado por el vector de componentes (t úεP1 ,

t úεP2 ,t úεP3 ) del mismo

espacio. Cuando se dice que el tensor t úεPij tiene direccion perpendicular a la superÞcie deßuencia, lo que se quiere expresar es que el vector representativo de este tensor, es decir, elvector (t úεP1 ,

t úεP2 ,t úεP3 ), tiene dicha direccion.

34

Page 39: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

principales de tσij y t úεPij se desarrollan las derivadas∂f∂tσij

:

tK∂f

∂tσij=1

2

1

M

tsij√tJ2

−ÃM 0

M

! µ23

³ tsik tskjtJ2

− 23δij´−³

3√tJ3√tJ2

´3 tsij√tJ2

¶³

3√tJ3√tJ2

´2 (3.10)

donde M 0 es la derivada de la funcion M respecto a su argumento y evaluada

en3√tJ3√tJ2. Como tK ∂f

∂tσijresulta un polinomio tensorial de grado 2 en tsij cuyos

coeÞcientes son funciones invariantes de tsij, es decir:

tK∂f

∂tσij= Pδij +Q

tsij +Rtsik

tskj

con P , Q, y R, funciones de los invariantes√tJ2 y

3√tJ3√tJ2, entonces, si nj es una di-

reccion principal de tsij , es decir,tsij nj =

ts ni (siendots alguna de las tensiones

principales ts1,ts2 o

ts3), entonces tambien lo sera detK ∂f

∂tσij.10 Esto demuestra

entonces que las direcciones principales de t úεpij ytσij seran coincidentes si ambos

tensores se relacionan a traves de la ley de ßujo (3.9).

Es importante aclarar que la igualdad (3.9) no determina completamente a lavelocidad de deformacion plastica t úεpij (cuando las tensiones

tσij son conocidas),sino que solo establece condiciones sobre su direccion, es decir, solo permite

conocer las relacionest úεp11t úεp22,t úεp11t úεp33,t úεp11t úεp12,t úεp11t úεp23, etc. entre sus componentes.

En la seccion anterior se dijo que el invariante3√tJ3√tJ2

esta relacionado con la

direccion del vector de componentes (ts1, ts2, ts3) que representa a las tensionesdesviadoras tsij (angulo θ de la Þgura (3.5)). Una interpretacion analoga se puedehacer para la velocidad de deformacion plastica t úεpij : Llamando

tdP2 ytdP3 a los

invariantes principales de este tensor, es decir,

tdP2 =1

2t úεpij

t úεpij (3.11)

tdP3 =1

3t úεpik

t úεpkjt úεpji

se puede demostrar (ver referencia [7] y [18]) que el invariante3√

tdP3√tdP2

esta

relacionado con la direccion del vector de componentes (t úε1,t úε2,

t úε3) que representa

10La direccion nj es tambien direccion principal de tK ∂f∂tσij

porque: tK ∂f∂tσij

nj =

(P δij +Qtsij +R

tsiktskj)nj =

³P +Q ts+R (ts)

2´ni , es decir,

tK ∂f∂tσij

nj = αni.

35

Page 40: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

a la velocidad de deformacion t úεpij. Como la ley de ßujo establece que la direcciondel tensor t úεpij es la direccion normal a la supeÞcie de ßuencia, y como segunla ecuacion (3.5) los puntos de la superÞcie de ßuencia estan determinadosexclusivamente por la direccion de la parte desviadora tsij del tensor de tensiones(por lo que la normal a la superÞce tambien estara determinada exclusivamentepor la direccion del tensor de tensiones desviador) entonces la ley de ßujo implicara

necesariamente cierta relacion entre los invariantes3√

tdP3√tdP2

y3√tJ3√J2dado que estos

invariantes representan respectivamente a las direcciones de t úεpij y detsij. Para

encontrar esta relacion se hace lo siguiente: elevando al cuadrado cada miembrode la ecuacion (3.9) y sumando las nueve componentes se obtiene:

t úεpijt úεpij =

tλ2 ·ÃtK

∂f

∂tσij

!ÃtK

∂f

∂tσij

!

y elevando al cubo cada miembro y sumando se obtiene:

t úεpikt úεpkj

t úεpji =tλ3 ·

ÃtK

∂f

∂tσij

!ÃtK

∂f

∂tσjk

!ÃtK

∂f

∂tσkl

!

por lo que, teniendo en cuenta las (3.11) resulta:

qtdP2 =

tλr12

³tK ∂f

∂tσij

´ ³tK ∂f

∂tσij

´3qtdP3 =

tλ 3

r13

³tK ∂f

∂tσik

´ ³tK ∂f

∂tσkj

´ ³tK ∂f

∂tσji

´ (3.12)

Adoptando la notacion

µ =3√tJ3√J2

ν =3qtdP3qtdP2

y utilizando la expresion (3.10) del gradiente de la funcion de ßuencia paradesarrollar los miembros derechos de la ecuacion anterior, se puede demostrar11

11Las ecuaciones (3.13) se pueden deducir utilizando las identidades:

12

³tK ∂f

∂tσij

´³tK ∂f

∂tσij

´= Traza

½htK ∂f

∂tσij

i2¾13

³tK ∂f

∂tσik

´³tK ∂f

∂tσkj

´³tK ∂f

∂tσji

´= Traza

½htK ∂f

∂tσij

i3¾

36

Page 41: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

que las igualdades (??) y (3.12) adquieren la siguiente forma:

qtdP2 =

tλ 12

1M(µ)

s·1 +

³M 0(µ)M(µ)

´2 ( 427−µ6)µ4

¸3

qtdP3 =

tλ 12

1M (µ)

µ 3

vuut"1− 3 ³M 0(µ)M(µ)

´ ( 427−µ6)µ5

− 3³M 0(µ)M(µ)

´2 ( 427−µ6)µ4

+³M 0(µ)M (µ)

´3 ( 427−µ6)2µ9

#(3.13)

Las relaciones buscadas entre ν y µ (es decir entre3√

tdP3√tdP2

y3√tJ3√tJ2) seran entonces

(dividiendo las ecuaciones anteriores):

ν = µ

3

vuut"1− 3 ³M 0(µ)M(µ)

´ ( 427−µ6)µ5

− 3³M 0(µ)M(µ)

´2 ( 427−µ6)µ4

+³M 0(µ)M(µ)

´3 ( 427−µ6)2µ9

#s·1 +

³M 0(µ)M(µ)

´2 ( 427−µ6)µ4

¸ (3.14)

Resumiendo, la ley de ßujo (3.9) determina que el tensor velocidad dedeformacion plastica t úεpik tiene direccion normal a la superÞcie de ßuencia; comoesta ultima direccion depende de la direccion del tensor desviador de tensionestsij, entonces la ley de ßujo implica cierta relacion entre las direcciones de lostensores t úεpik y

tsij. Esta relacion se expresa en terminos de los invariantes ν y µ(que estan relacionados con dichas direcciones) en la forma dada por la ecuacion(3.14), o en forma mas compacta, como:

ν = φ(µ)

donde el corchetehtK ∂f

∂tσij

irepresenta a la matriz con las componentes del tensor

tK ∂f∂tσij

. ComohtK ∂f

∂tσik

ies un polinomio de grado 2 en [tsij], entonces

htK ∂f

∂tσik

i2yh

tK ∂f∂tσik

i3resultaran ser polinomios de grado 4 y 6 en [tsij] respectivamente por lo que los

miembros derechos de estas igualdades resultaran ser sumas de los invariantes Traza [tsij ],Traza

n[tsij]

2o, Traza

n[tsij ]

3o, Traza

n[tsij ]

4o, Traza

n[tsij]

5oy Traza

n[tsij]

6o. La de-

duccion de las ecuaciones se completa utilizando las igualdades:

Traza [tsij ] = 0Traza

n[tsij ]

2o= 2tJ2

Trazan[tsij ]

3o= 3tJ3

Trazan[tsij ]

4o= 2(tJ2)

2

Traza [tsij ]5= 5tJ2tJ3

Trazan[tsij ]

6o= 2(tJ2)

3+ 3 (tJ3)

2

37

Page 42: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

o bien:3qtdP3qtdP2

= φ(3√tJ3√tJ2) (3.15)

donde φ(µ) es la funcion dada por el miembro derecho de la igualdad (3.14), esdecir:

φ(µ) = µ

3

vuut"1− 3 ³M 0(µ)M (µ)

´ ( 427−µ6)µ5

− 3³M 0(µ)M (µ)

´2 ( 427−µ6)µ4

+³M 0(µ)M(µ)

´2 ( 427−µ6)2µ9

#s·1 +

³M 0(µ)M(µ)

´2 ( 427−µ6)µ4

¸(3.16)

Eliminacion del parametro tλ

Utilizando las ecuaciones (3.13) y (3.15) se puede expresar al factor de propor-cionalidad tλ que aparece en la ley de ßujo (3.9) como funcion invariante exclusivade t úεpij : asumiendo que la funcion φ(µ) es inversible por lo que la (3.15) implicaque

3√tJ3√tJ2

= φ−1(3

qtdP3qtdP2) (3.17)

y despejando al parametro tλ de la ecuacion (3.13) resulta:

tλ =2 M(φ−1(ν))

qtdP2s·

1 +³M 0(φ−1(ν))M(φ−1(ν))

´2 ( 427−(φ−1(ν))6)(φ−1(ν))4

¸ (3.18)

donde ν =3√

tdP3√tdP2

y φ−1 (ν) es la inversa de la funcion φ.

Ley de ßujo asociada con la ley de ßuencia de Von Mises

Cuando se utliliza la ley de ßuencia de Von Mises (3.7) en la que se asumeM = cte(por lo que M 0 = 0), la igualdad (3.10) se reduce a:

tK∂f

∂tσij=1

2

tsij√tJ2

por lo que la ley de ßujo resulta:

t úεPij =tλ1

2

tsij√tJ2

(3.19)

38

Page 43: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

y las igualdades (3.13) se reducen aqtdP2 =

tλ 12

3qtdP3 =

tλ 12

3√tJ3√tJ2

por lo que3

qtdP3qtdP2

=3√tJ3√tJ2

(3.20)

(es decir φ(µ) = µ) y el parametro tλ resulta:

tλ = 2qtdP2 (3.21)

Combinando las ecuaciones (3.19) y (3.21) se obiene:

t úεPijqtdP2

=tsij√tJ2

o bien, utilizando la ley de ßuencia (3.7),

tKt úεPijqtdP2

= tsij

3.1.4. Tension equivalente y Deformacion plastica equivalente

La condicion de ßuencia (3.5) deÞne a todos los estados de tension que dan lugaral comienzo de las deformaciones plasticas. En particular, el estado tensional quese produce en un ensayo de traccion uniaxial cuando la tension en la direccionaxial iguala a la tension de ßuencia del material tσY debera estar determinadotambien por dicha condicion. Los valores que alcanzan las tensiones principalesen el ensayo de traccion cuando se inicia la ßuencia son tσ1 =

tσY ,tσ2 = 0 y

tσ3 = 0. Reemplazando estos valores en la condicion de ßuencia (3.5) se obtiene:

tσY√3 tK M(

√3 3

q227)− 1 = 0

o bien:tK =

1√3M(

√3 3

q227)

tσY

39

Page 44: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

(es decir, tK y tσY son proporcionales)12 y combinando la igualdad anterior conla ley de ßuencia (3.5) se obtiene:13

√3M(

√3 3

s2

27)

√tJ2

M(3√tJ3√tJ2)= tσY (3.22)

A la magnitud deÞnida por el miembro izquierdo de esta ecuacion se la llamatension equivalente (y se la simboliza como tσ). Es una funcion escalar quedepende exclusivamente de las tensiones y que puede ser comparada con la tensionde ßuencia tσY del ensayo de traccion uniaxial para deÞnir el comienzo de laßuencia.Cuando se enuncio la ley de ßuencia (3.5) se dijo que el parametro tK

que deÞne el tamano de la superÞcie de ßuencia depende de la cantidad dedeformacion plastica que se acumula en en material. Para poder determinar laevolucion del parametro tK (y de la superÞcie de ßuencia) es necesario entoncescuantiÞcar primero dicha cantidad de deformacion plastica que se acumula.Para ello se utiliza la denominada deformacion plastica equivalente tεP . Estamagnitud es una cantidad escalar que depende exclusivamente de las velocidadesde deformacion plastica t úεPij (de la misma forma que la tension equivalente

tσdepende exclusivamente de las tensiones tσij) y se deÞne de acuerdo a:

t úW P = tσijt úεPij =

tσ t úεP (3.23)

donde t úW P es el trabajo por unidad de tiempo y por unidad de volumen que esnecesario realizar para producir un incremento deformacion plastica y tσ es la

12Estas relaciones se pueden deducir teniendo en cuenta que cuando las tensiones principalesson (tσ1, tσ2, tσ3) = (tσY , 0, 0) las tensiones desviadoras principales valen:

ts1 = tσY − 13tσY =

23tσY

ts2 = 0− 13tσY = − 1

3tσY

ts3 = 0− 13tσY = − 1

3tσY

entonces los invariantes√tJ2 y

3√tJ3 que aparecen el la ley de ßuencia (3.5) resultan:

ptJ2 =

r1

2(ts21 +

ts22 +ts23) =

1√3tσY

3ptJ3 =

r1

3(ts31 +

ts32 +ts33) =

3

r2

27tσY

13Recordar que la funcion M(µ) es una funcion adimensional por lo que M(√3 3

q227) es un

numero.

40

Page 45: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

tension equivalente deÞnida por el miembro izquierdo de la ecuacion (3.22), esdecir,

tσ =√3M(

√3 3

s2

27)

√tJ2

M(3√tJ3√tJ2)

(3.24)

La igualdad (3.23) deÞne a la derivada respecto al tiempo de la deformacionplastica equivalente tεP denominada velocidad de deformacion plastica equivalentet úεP . La deformacion equivalente se obtiene a partir de la velocidad equivalente porintegracion sobre el intervalo de tiempo durante el cual se desarrolla la ßuenciade esta velocidad, es decir:

tεP =

tZ0

τ úεP dτ (3.25)

Para obtener la expresion explõcita de la deformacion plastica equivalente comofuncion de las velocidades de deformacion t úεPij (exclusivamente) se hace losiguiente: teniendo en cuenta la ley de ßujo (3.9), el trabajo por unidad de tiempot úW P se puede expresar como:

t úW P = tσijt úεPij =

tσijtλ tK

∂f

∂tσij

Como la funcion de ßuencia (3.5) es una funcion homogenea de grado cero paralas variables tσij y

tK,14 entonces, por el teorema de Euler para las funcioneshomogeneas 15 se obtiene:

tσij∂f

∂tσij= −tK ∂f

∂tK=

√tJ2

tK M(3√tJ3√tJ2)

por lo que t úW P sera:

t úW P = tλ

√tJ2

M(3√tJ3√tJ2)

Combinando esta ecuacion con la (3.23) se llega a

tσ t úεP = tλ

√tJ2

M(3√tJ3√tJ2)

14Recordar las hipotesis que deÞnen al endurecimiento isotropo15Esto es si f(tσij ,

tK) es una funcion homogenea de grado n (es decir f(α tσij,αtK) =

f(tσij,tK)) entonces tσij

∂f∂tσij

+ tK ∂f∂tK

= nf(tσij ,tK)). En particular, si n es cero, resulta

tσij∂f∂tσij

+ tK ∂f∂tK = 0.

41

Page 46: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

o bien, utilizando la ecuacion (3.24) que deÞne a la tension equivalente tσ:

√3M(

√3 3

s2

27)

√tJ2

M(3√tJ3√tJ2)

t úεP = tλ

√tJ2

M(3√tJ3√tJ2)

Teniendo en cuenta Þnalmente que tanto tλ como3√tJ3√tJ2

pueden ser expresadas

como funciones que dependen exclusivamente de t úεPij (ecuaciones (3.17) y (3.18)de la seccion anterior) entonces la expresion explõcita para t úεP buscada sera:

t úεP =2√

3M(√3 3

q227)

M(φ−1(ν))qtdP2s·

1 +³M 0(φ−1(ν))M (φ−1(ν))

´2 ( 427−(φ−1(ν))6)(φ−1(ν))4

¸ (3.26)

donde ν =3√td3√td2y φ−1(ν) es la inversa de la funcion φ(µ) (deÞnida en la (3.16)).

Tension equivalente y Deformacion equivalente asociada con la ley deßuencia de Von Mises

Utilizando la ley de ßuencia de Von Mises, para la cual M(µ) = 1 por lo queM 0(µ) = 0 y φ(µ) = µ por lo que φ−1(ν) = ν, la tension equivalente deÞnida porla ecuacion (3.24) toma la forma

tσ =√3qtJ2

y la velocidad de deformacion plastica equivalente deÞnida por la ecuacion (3.26)se reduce a:

t úεP =2√3

qtdP2

3.1.5. Relaciones Tension-Deformacion completas para la plasticidad

Como se dijo antes, la ley de ßujo (3.9) no determina completamente a la velocidadde deformacion plastica t úεPij conocidas las tensiones

tσij sino que especiÞcasolamente a sus direcciones principales (tn1, tn2, tn3) (que son iguales a las

direcciones principales de tsij) y al invariante3√td3√td2(que es funcion del invariante

3√tJ3√tJ2

de tsij). Entonces, para conocer completamente at úεPij, lo unico que falta

es conocer el valor de alguno de los invariantes td2 o td3.16 Para encontraruna relacion que permita conocer a alguno de estos invariantes (conocidas las

16Recordar que para especiÞcar completamente a un tensor t úεPij , es necesario conocer sus

direcciones principales (tn1,tn2,

tn3) y sus componentes principales¡t úεP1 ,

t úεP2 ,t úεP3¢. Como

42

Page 47: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

tensiones) se observa que debido a la condicion de ßuencia, la funcion de ßuenciaf debe permanecer igual a 0 en todo instante durante el cual tenga lugar laßuencia, entonces:

úf =∂f

∂tσijt úσij +

∂f

∂tKt úK = 0

o bien, teniendo en cuenta que tK ∂f∂tK

= −√tJ2

tK M(3√

tJ3√tJ2

)

= −1:

tK∂f

∂tσijt úσij − t úK = 0 (3.27)

Como el parametro de endurecimiento tK es funcion de la cantidad de deformacionplastica que se acumula en el material y que se mide con la deformacion plasticaequivalente tεP deÞnida en la seccion anterior (ecuaciones (3.25) y (3.26)), es decir

tK = K(tεP )

entonces, la derivada t úK sera:

t úK = K 0(tεP ) t úεP

o bien, utilizando la (3.26),

t úK = K 0(tεP )2√

3M(√3 3

q227)

M(φ−1(ν))qtdP2s·

1 +³M 0(φ−1(ν))M (φ−1(ν))

´2 ( 427−(φ−1(ν))6)(φ−1(ν))4

¸ (3.28)

donde K 0(tεP ) es la derivada de la funcion K(tεP ) que, como se dijo en la seccionanterior, es proporcional a la tension de ßuencia del ensayo de traccion σY (tεP )(que es una funcion conocida). Sustituyendo la (3.28) en la (3.27) y teniendo encuenta que por la ley de ßujo, φ−1(ν) = µ o bien, ν = φ(µ) (siendo como siempre

µ =3√tJ3√tJ2, ν =

3√

tdP3√tdP2

y φ(µ) la funcion dada por la (3.16)) se obtiene la relacion

buscada que permite conocer al invarianteqtdP2 :

qtdP2 =

√3M(

√3 3

q227)

2

s·1 +

³M 0(µ)M(µ)

´2 ( 427−µ6)µ4

¸M(µ) K 0(tεP )

tK∂f

∂tσij

t úσij (3.29)

estas ultimas son las soluciones de la ecuacion caracterõstica¡t úεP¢3 − tdP2

¡t úεP¢ − tdP3 = 0

entonces bastara conocer ademas de las direcciones principales solo a los invariantes principales

tdP2 ytdP3 . En este caso se conocen las direcciones (

tn1, tn2, tn3) y el cosiente3√

tdP3√tdP2; solo falta

conocer a alguno de los invariantes tdP2 otdP3 .

43

Page 48: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Resumiendo, conocidas las tensiones tσij y la velocidad de cambio de lastensiones t úσij, la velocidad de deformacion plastica t úεPij queda completamentedeterminada: sus direcciones principales son iguales a las direcciones principalesdel tensor de tensiones desviador tsij (ley de ßujo), y sus componentes principalesson funciones escalares de los invariantes principales tdP2 y tdP3 que estandeterminados segun las ecuaciones (3.14) (que se deriva de la ley de ßujo) y (3.29)(que se deriva de la ley de ßuencia y la ley de endurecimiento).Combinando la ley de ßujo (3.9) y las ecuaciones (3.18) y (3.29) obtiene:

t úεPij =

√3M(

√3 3

q227)

M(µ) K 0(tεP )

ÃtK

∂f

∂tσij

!ÃtK

∂f

∂tσkl

!t úσkl (3.30)

que es otra forma de expresar las relaciones entre t úεPij ytσkl y

t úσkl mencionadas.

Particularizacion para el caso de la ley de ßuencia de Von Mises

Utilizando la ley de ßuencia de Von Mises (donde M(µ) = 1 y M 0(µ) = 0) lasecuaciones (3.29) y (3.30) se reducen respectivamente a

qtdP2 =

√3

2

1

K 0(tεP )

tsij√tJ2

t úsij (3.31)

y

t úεPij =

√3

K 0(tεP )

tsij√tJ2

tskl√tJ2

t úskl =

√3

K 0(tεP )

tsijtskl

tJ2t úskl (3.32)

La ecuaciones constitutivas para la plasticidad para materiales isotropos queexperimentan endurecimiento isotropo estan dadas entonces por las ecuaciones(3.30), que se pueden expresar a su vez en forma invariante mediante las ecuaciones(3.14) y (3.29). Si en particular se adopta la ley de ßuencia de Von Mises(3.7) estas ecuaciones se reducen respectivamente a las (3.32), (3.20) y (3.31).Para formularlas fue necesario especiÞcar en primer lugar cuales son los estadostensionales a partir de los cuales comienzan a manifestarse las deformacionesinelasticas (dichos estado son los que veriÞcan la ley de ßuencia (3.1) que paramateriales isotropos y cuya ßuencia es independiente de la presion hidrostatica,se reduce a (3.3)), en segundo lugar decir como van variando dichos estadostensionales a medida que las deformaciones plasticas se acumulan (esta variacionesta dada por la ley de endurecimiento isotropo como consecuencia de la cualla funcion de ßuencia se reduce a la forma (3.5)) y en tercer lugar describircomo se incrementa la deformacion plastica cuando alguno de estos estados es

44

Page 49: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

alcanzado (ley de ßujo (3.9)) y como se cuantiÞca la deformacion plastica quese va acumulando dentro del material a medida que las deformaciones plasticasprogresan (esto se hace a traves de la deformacion plastica equivalente obtenidacomo integracion de la velocidad de deformacion equivalente (3.26)).

3.2. Viscoplasticidad

La relacion tension-deformacion para la plasticidad descripta en las seccionesanteriores se puede escribir en forma compacta (ver ecuacion (3.30)) como:

t úεPij = cijklt úσkl

siendo cijkl funciones de las tensiones tσij. Esta relacion se caracteriza porser independiente del tiempo, es decir, prevee que existiran incrementos dedeformacion plastica en la medida que se impongan simultaneamente incrementosde tension o bien, que la deformacion plastica que se produce como respuesta a unincremento de tension es instantanea. Sin embargo, se observa experimentalmenteque la ßuencia de un metal sõ depende del tiempo. Por ejemplo, si se realiza unensayo de traccion uniaxial a diferentes velocidades de deformacion (es decir,con procesos de carga de diferentes duraciones de tiempo), se observa que (verÞgura (3.8)) el lõmite de ßuencia tσY para procesos de cargas dinamicos (es decir,velocidades de deformacion altas) es mayor que el correspondiente a un ensayoestatico (es decir, aquel que se desarrolla a velocidades de deformacion muy bajas,casi nulas) y que el endurecimiento por deformacion (pendiente de la curva σ-ε)se reduce a medida que la velocidad de deformacion aumenta (ver referencia [14]).Es decir, la tension de ßuencia tσY depende no solo de la cantidad de deformacionplastica acumulada en el material tεP , sino tambien de la velocidad de deformacionplastica t úεP :

tσY = σY (tεP , t úεP )

Para tener en cuenta esta dependencia de la tension de ßuencia de la velocidadde deformacion (y por lo tanto del tiempo) se utiliza el modelo viscoplastico. Unaforma particular de este modelo es la propuesta por Perzyna (ver referencia [25])segun la cual se supone que la velocidad con que aumentara la deformacion plasticat úεP cuando se aplique un determinado nivel de tension tσ depende de la diferenciatσ−σY (tεP ) entre la tension que esta siendo efectivamente aplicada tσ y la tensionde ßuencia estatica σY (

tεP ), es decir, la tension que deberõa ser aplicada paraque el material ßuya a velocidades de deformacion pequenas (casi nulas)), demanera que la velocidad de deformacion plastica t úεP crece a medida que aumentaesta diferencia, (y cuando esta diferencia es negativa, la velocidad de deformacion

45

Page 50: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

σ

εO

A

C

tσY

tεP

Curva EstáticaB D

tεE

0σY

ε creciente

Figura 3.8: Ensayo de traccion para distintas velocidades de deformacion.

plastica debe ser nula porque en dicho caso no hay ßuencia). Matematicamenteesto se expresa como:

t úεP =

(0 si tσ < σY (

tεP )

η Φ(tσ

σY (tεP )− 1) si tσ ≥ σY (tεP )

donde η es una constante que depende del material y Φ es una funcionadimensional creciente que depende tambien del material, y que se elige para queel modelo pueda reproducir datos experimentales (por ejemplo, se pueden elegirfunciones del tipo exponencialΦ(f) = exp(α f)−1, polinomica Φ(f) = PN

I=1 βI fI

(N ∈ N) o potencial Φ(f) = f δ (δ ∈ Q), donde las constantes α, βI y δ sedeterminan experimentalmente). Generalmente se escribe a esta expresion enforma mas compacta como:

t úεP = η

*Φ(

σY (tεP )− 1)

+(3.33)

dondetσ

σY (tεP )−1 es la diferencia relativa entre la tension instantanea tσ y la tension

de ßuencia estatica σY (tεP ) (la correspondiente a velocidades de deformacion

46

Page 51: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

pequenas), y donde el sõmbolo hΦ(f)i se deÞne segun:

hΦ(f)i =(0 si f < 0Φ(f ) si f ≥ 0 (3.34)

Despejando tσ de la ecuacion (3.33) (teniendo en cuenta para ello que la funcionΦ(f) es una funcion creciente y por lo tanto inversible), se obtiene:

tσ = σY (tεP )

Ã1 + Φ−1(

t úεP

η)

!(3.35)

Esta ecuacion deÞne a la relacion tension-deformacion dinamica que resulta delmodelo de viscoplasticidad de Perzyna. Se observa que la tension tσ que esnecesario aplicar para que el material ßuya plasticamente a velocidades grandes(t úεP > 0) (o tension de ßuencia dinamica) resulta proporcional a la tension quedeberõa aplicarse para que se produzca ßuencia plastica a velocidades pequenas(o tension de ßuencia estatica), con un coeÞciente de proporcionalidad que esfuncion exclusiva de la velocidad de deformacion t úεP . Se puede interpretarentonces que el modelo de Perzyna propone describir el comportamiento dinamicodel material a partir de su respuesta estatica.La incorporacion de la variable tiempo (o velocidad de deformacion) en el

modelo constitutivo del material (variable no tenida en cuenta ni en el modeloelastico ni el de plasticidad inviscida presentado en la seccion anterior) tiene lasiguiente consecuencia: si se considera a las deformaciones elasticas despreciablesfrente a las inelasticas, (y teniendo en cuenta que la deformacion total estacompuesta por una parte elastica y una parte inelastica, es decir t úε = t úεE + t úεP )entonces resulta un material caracterizado por una ley constitutiva del tipo

t úε = f(tσ)

, es decir un material que se comporta practicamente como un ßuido, en el sentidoque es incapaz de resistir tension sin moverse.

3.2.1. Relacion constitutiva para la viscoplasticidad

Para generalizar este modelo al caso tridimensional, es decir, al caso en quese someta al cuerpo a un estado multiaxial de tensiones y este experimentedeformaciones plasticas arbitrarias se propone lo siguiente (ver referencia [25]y [29]):

Se deÞne una funcion de ßuencia estatica F (es decir, una funcion de ßuenciaque senalara el comienzo de la ßuencia para velocidades de deformacion muy

47

Page 52: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

bajas), que depende de las tensiones tσij , y de una familia de parametrostKα, tal que cuando F (tσij, tKα) < 0, las deformaciones seran puramenteelasticas (es decir, t úεPij = 0) y comenzaran las deformaciones viscoplasticascuando F (tσij,

tKα) = 0.

Se propone la siguiente relacion constitutiva para describir el compor-tamiento plastico dependiente del tiempo en terminos de la viscoplasticidad:

t úεPij = η hΦ(F )i∂F

∂tσij(3.36)

donde F es la funcion de ßuencia estatica, y, al igual que en el casounidimensional, η es una constante que depende del material, Φ es unafuncion adimensional (tambien dependiente del material) y el sõmbolohΦ(F )i se deÞne por la ecuacion (3.34).

La primera condicion establece para que estados de tensiones comienza laßuencia para velocidades de deformacion muy bajas (casi nulas). La igualdadF (tσij,

tKα) = 0 deÞne a la superÞcie de ßuencia estatica en el espacio de lastensiones. Si, como en el caso de la plasticidad, se asume 1) que el material esisotropo y 2) que las ßuencia no depende de la presion hidrostatica, la condicionde ßuencia estatica se expresara como

F³tJ2,

tJ3,tKα

´= 0

(con F funcion par de tJ3), y si ademas se utiliza el modelo de endurecimientoisotropo (ver seccion 3.1.4.), entonces la funcion de ßuencia estatica estara dadapor

f(tσijtK) =

√tJ2

tK M(3√tJ3√tJ2)− 1 (3.37)

(siendo M , una funcion par de su argumento3√tJ3√tJ2

para que el comienzo de la

ßuencia sea el mismo para traccion y para compresion) y la superÞcie de ßuenciaestatica sera: √

tJ2tK M(

3√tJ3√tJ2)− 1 = 0

La segunda hipotesis es una ley analoga a la ley de ßujo asociada formuladapara la plasticidad.17 Esta condicion establece lo siguiente: Como la superÞcie de

17Al igual que en el caso de la ley de ßujo asociada para la plasticidad, la relacion constitutivapara la viscoplasticidad se puede formular con mayor generalidad en la forma

t úεPij = η hΦ(F )i∂P

∂tσij

48

Page 53: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

ßuencia estatica, esta dada por la igualdad F = 0 y como un estado de tensionestσij que cumple F (tσij , tK) > 0 esta representado por un punto en el espacio delas tensiones que se encuentra afuera de la superÞcie de ßuencia F = 0, (y lafuncion F toma valores cada vez mayores a medida que este punto se aleja dela superÞcie) entonces la relacion (3.36) prevee que para determinadas tensionestσij , la velocidad de deformacion plastica dependera de la distancia entre dichastensiones y la superÞcie de ßuencia estatica F = 0. Esto es analogo al casounidimensional en el que la deformacion plastica es funcion de la diferencia entrelas tensiones instantanea tσ y las tension de ßuencia del ensayo de traccion estaticotσY .Si se utiliza la funcion de ßuencia (3.37) la relacion constitutiva (3.36) queda:

t úεPij = η

*Φ(

√tJ2

tK M(3√tJ3√tJ2)− 1)

+tK

∂f

∂tσij(3.38)

con tK ∂f∂tσij

dada por la ecuacion (3.10). Elevando al cuadrado cada miembro de

la ecuacion anterior y sumando todas las componentes se obtiene (ver ecuacion3.13):

qtdP2 = η

*Φ(

√tJ2

tK M(3√tJ3√tJ2)− 1)

+1

2

1

M(µ)

vuuut1 + ÃM 0(µ)M(µ)

!2 ³ 427− µ6

´µ4

(con tdP2 =

12t úεpij

t úεpij y µ =3√tJ3√J2) e invirtiendo esta ultima ecuacion se obiene:

√tJ2

M(3√tJ3√tJ2)= tK

1 + Φ−1(qtdP2η

2M(µ)s·1 +

³M 0(µ)M(µ)

´2 ( 427−µ6)µ4

¸) (3.39)

Esta ecuacion representa a las superÞcies de ßuencia dinamicas. La Þgura(3.9) muestra las intersecciones de dichas superÞcies con el plano desviador.

Recordando que los invariantes√tJ2 y

3√tJ3√tJ2estan relacionados con el radiovector

r y el angulo θ de cada punto P de estas curvas y llamando K(tdP2 ) al miembroderecho de la igualdad (3.39), esta igualdad se puede interpretar como

r

m(θ)= K(tdP2 )

donde la funcion P (tσij , tK) es el denominado potencial viscoplastico. Cuando se adopta comopotencial viscoplastico a la funcion de ßuencia F , la ley constitutiva adquiere la forma (3.36). Sedice entonces que se trata de una ley asociada con la condicion de ßuencia y se puede demostrarque dicha ley asociada es aquella para la cual se maximiza la disipasion.

49

Page 54: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Plano Desviador σ2

σ1

σ3

P

θ

r

tεijtsij

Superficie de fluencia Estática

Superficie de fluencia Dinámica

Figura 3.9: SuperÞcies de ßuencia estatica y dinamõca

o bien,r = K(tdP2 ) m(θ)

se puede observar que las superÞcies de ßuencia dinamicas son todas geometricamentesemejantes a la superÞcie estatica y que crecen a mayor velocidad de deformacionplastica.La ecuacion (3.38), expresa tambien que el tensor velocidad de deformacion

(considerado como vector en el espacio tridimensional de las tensiones) es normala la superÞcie de ßuencia dinamica (ver Þgura (3.9)). Como existe una analogõaformal entre la ley constitutiva (3.38) y la ley de ßujo para la plasticidad (3.9), lasdeÞniciones de tension equivalente y deformacion equivalente dadas en la seccionanterior (ecuaciones (3.24) y (3.26) respectivamente), siguen siendo validas. Enterminos de estas medidas de la tension y la deformacion acumulada, la ecuacion(3.39) se expresa como:

tσ = tσY

Ã1 + Φ−1(

t úεP

η∗)

!

donde η∗ = η√3M (

√3 3√

227)que es la relacion tension deformacion dinamica que se

obtiene con el ensayo de traccion uniaxial (tσY es la tension de ßuencia estatica

50

Page 55: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

de este ensayo18), por lo que la tension equivalente tσ y la deformacion plasticaequivalente tεP podran ser utilizadas para comparar un estado triaxial arbitrariode tension tσij y deformacion tεpij con el estado uniaxial que se produce en elensayo de traccion.

3.2.2. Relacion constitutiva para la viscoplasticidad asociada con la leyde ßuencia de Von Mises

Utilizando la funcion de ßuencia de Von Mises:

f =

√tJ2tK

− 1 =√3√tJ2

tσY− 1

la relacion constitutiva para la viscoplasticidad (3.38) y la ecuacion que deÞne ala superÞcie de ßuencia dinamica (3.39) se reducen a

t úεPij = η

*Φ(

√3√tJ2

tσY− 1)

+1

2

tsij√tJ2

(3.40)

y

√3qtJ2 =

tσY

1 + Φ−1(2qtdP2η

)

(3.41)

Al igual que en la plasticidad inviscida asociada a la ley de ßuencia de Von

Mises, en la que la supeÞcie de ßuencia es un cilindro de radio r =√2 tK =

q23tK

(de eje (1,1,1)) (ver Þgura (3.7)), en la viscoplasticidad asociada a la ley deßuencia de Von Mises, las supeÞcies de ßuencia dinamicas son cilindros de radiosdependientes de la velocidad de deformacion (ver referencia [25]).Si se compara la ecuacion (3.40) con la relacion constitutiva que deÞne a un

ßuido viscoso (ßuido newtoniano)

t úεij =1

2µtsij

donde µ es la viscosidad, se observa que el modelo de viscoplasticidad asociadoa la ley de ßuencia de Von Mises prevee la misma relacion entre la velocidad dedeformacion plastica t úεPij y la tension

tsij que la que existe entre la velocidad dedeformacion total y la tension en un ßuido newtoniano de viscosidad no constantey dada por:

1

2µ=ηDΦ(

√3√tJ2

tσY− 1)

E2√tJ2

18Recordar que el parametro de endurecimiento tK y la tension de ßuencia del ensayo detraccion uniaxial tσY son proporcionales, es decir,

tK = 1√3 M(

√3 3√

227 )

tσY .

51

Page 56: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Para poner en evidencia esta analogõa, la relacion constitutiva viscoplasticaasociada con la ley de ßuencia de Von Mises (ecuacion (3.40)) se escribe como

t úεPij =12µ

tsij

12µ=ηDΦ(

√3√tJ2

tσY− 1)

E2√tJ2

(3.42)

o bien, utilizando la ecuacion (3.41) para escribir a la viscosidad como funcionexclusiva de la velocidad de deformacion, como:

tsij = 2µ t úεPij

2µ =tσY

³1 + Φ−1(2

√td2η)´

√3√td2

(3.43)

A diferencia de la plasticidad inviscida presentada en la seccion anterior, elmodelo viscoplastico incorpora entonces la inßuencia de la duracion del proceso dedeformacion (de la velocidad de deformacion) en el comportamiento del material.Como consecuencia de esta caracterõstica resulta un material, que si no fuerapor la existencia de deformaciones elasticas que se superponen a las inelasticas,se comportarõa practicamente como un ßuido, en el sentido que la velocidad dedeformacion t úεij resultarõa ser funcion exclusiva de las tensiones tσij (y no de lavelocidad con la que aumentan las tensiones t úσij como ocurre en la plasticidadinviscida) y por lo tanto el material no resistirõa tensiones sin moverse. Enparticular si se adopta el modelo viscoplastico de Perzyna asociado a la ley deßuencia de Von Mises (ecuaciones (3.42) y (3.43)) resulta un material que secomportarõa (si las deformaciones elasticas fueran despreciables) como un ßuidoviscoso incompresible de viscosidad no constante (no newtoniano) y como tal,su movimiento podra ser estudiado utilizando el enfoque euleriano. Como sedijo en la introduccion, esto representa una ventaja numerica muy importante yaque el dominio donde hay que hallar las incognitas (en este caso, las velocidadesvj) estara Þjo en el espacio en todo instante y no debera ser actualizado paradeterminar las sucesivas conÞguraciones que va adoptando el material a medidaque las deformaciones plasticas progresan. Esta ventaja es la que hace atractivala utilizacion de modelos viscoplasticos para la descripcion del comportamientoinelastico de metales ductiles. En la referencia [25] se pueden encontrar diversascomparaciones de datos experimentales obtenidos para algunos aceros con laspredicciones de este modelo con funciones Φ(f) de tipo exponencial, potencial ylineal.

52

Page 57: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

4. Formulacion de flujo

Hasta ahora se han planteado las ecuaciones que describen el movimiento deun cuerpo incompresible y las relaciones constitutivas que caracterizan a un metalque experimenta deformaciones plasticas. En este capõtulo se presentan algunassimpliÞcaciones a estas ecuaciones que se hacen para estudiar el movimiento demetales en los que se producen deformaciones plasticas muy grandes. Comoresultado de estas simpliÞcaciones se obtendra un sistema de ecuaciones identicoal que describe el movimiento de un ßuido no newtoniano (ecuaciones de Stokes).Esta analogõa permitira estudiar la ßuencia del solido utilizando las herramientascon las que se analiza el ßujo de ßuidos, es decir adoptar el enfoque euleriano parala descripcion del movimiento (cuyas ecuaciones fueron presentadas en el primercapõtuo) y elegir al campo de velocidades (en lugar del campo de desplazamientosque es el que se utiliza en los problemas de solidos) como incognita primariaa determinar. Como se dijo en la introduccion, debido a dicha analogia, estametodologõa de analisis recibe el nombre de formulacion de ßujo (ver referencias[28] o [29]).

4.1. Ecuacion del movimiento

La ecuacion del movimiento establece que

∂tσij∂xi

+ tbj =tρ

Ã∂tvj∂t

+∂tvj∂xi

tvi

!

o bien, utilizando la descomposicion del tensor de tensiones en su parte desviadoratsij y su parte volumetrica

tp δij ,

∂tsij∂xi

+∂tp

∂xj+ tbj =

Ã∂tvj∂t

+∂tvj∂xi

tvi

!

donde bj son las fuerzas por unidad de volumen que actuan instantaneamentesobre cada partõcula.En este trabajo se supone que el ßujo del metal es un ßujo cuyo numero

de Reynolds es muy bajo (ßujo de Stokes). Es decir, se supone que el termino

53

Page 58: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

tρ³∂tvj∂t+ ∂tvj

∂xitvi´que representa a las fuerzas de inercia que actuan sobre la

partõcula del medio que esta ocupando la posicion xi (la fuerza con la que lapartõcula se resiste al cambio de su velocidad) es despreciable frente a las fuerzas

que ejercen todas las partõculas vecinas dadas por el termino ∂tσij∂xi.1 La ecuacion

del movimiento que se considerara entonces es

∂tsij∂xi

+∂tp

∂xj+ tbj = 0

4.2. Relacion constitutiva

En el capõtulo anterior se dijo que las deformaciones que se producen en unmetal se pueden descomponer en dos partes: la parte recuperable o elastica yuna componente permanente o plastica. Llamandolas t úεEij y

t úεPij respectivamente,se puede escribir entonces (ver referencias [10], [17] y [18]):

t úεij =t úεEij +

t úεPij (4.1)

donde úεij es la velocidad de deformacion total que (como se vio en el primercapõtulo) se relaciona con las velocidades vj segun

t úεij =1

2

Ã∂tvj∂xi

+∂tvi∂xj

!

La componente elastica úεEij debe satisfacer las relaciones tension deformacion dela teoria de la elasticidad, es decir,

t úεEij =1 + ν

Et úσij − ν

Et úσkk δij = (4.2)

=1 + ν

Et úsij +

1− 2νE

1

3t úσkk δij

donde E es el modulo de Young, ν el modulo de Poisson y t úσij =t úsij +

13t úσkk δij.

La componente inelastica t úεPij esta caracterizada por alguna de las relacionesconstitutivas discutidas en el capõtulo anterior (ver ecuaciones (3.30) o (3.38).En este trabajo se utiliza el modelo viscoplastico de Perzyna asociado a la funcionde ßuencia de Von Mises (ecuacion (3.40)), segun el cual, la componente inelasticade las deformaciones debe satisfacer la relacion

t úεPij =1

2µtsij (4.3)

1El numeo de Reynolds mide la importancia relativa de las fuerzas de inercia frente a lasfuerzas de naturaleza viscosa. Por lo tanto las fuerzas de inercia seran despreciables frente a lasviscosas cuando el numero de Reynolds es muy chico.

54

Page 59: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

con

1

2µ=ηDΦ(

√3√tJ2

σY (tεP )− 1)

E2√J2

=

√3qtdP2

σY (tεP )µ1 + Φ−1(

2√

tdP2η)¶ (4.4)

donde η y Φ(f ) son funciones que se eligen para reproducir datos experimentales,σY (ε

P ) es la tension de ßuencia estatica que se obtiene en el ensayo de traccion ytdP2 =

12t úεPij

t úεPij. Se elige como funcion Φ(f) a una funcion de tipo potencial, esdecir,

Φ(f ) = f δ

donde δ es un parametro que se determina experimentalmente.2

Para simpliÞcar la relaciones constitutivas dadas por las ecuaciones (4.1), (4.2),(4.3) y (4.4) se supone que las deformaciones elasticas son despreciables. Laecuacion (4.1) se reduce entonces a

t úεij ' t úεPij

y la relacion constitutiva que resulta es

t úεij =1

2µtsij

con

1

2µ=ηDΦ(

√3√tJ2

σY (tε)− 1)

E2√tJ2

=

√3√td2

σY (tε)³1 + Φ−1(2

√td2η)´

(o bien, utilizando Φ(f) = f δ y llamando η∗ = η2)

1

2µ=η∗

D(√3√tJ2

σY (tε)− 1)δ

E√tJ2

=

√3√td2

σY (tε)µ1 +

³√td2η∗

´ 1δ

¶Estas ecuaciones constitutivas son formalmente identicas a las que caracterizan

a un ßuido viscoso no newtoniano. Se observa entonces que, si la parte elasticade las deformaciones se puede despreciar y si las deformaciones inelasticas sedescriben mediante el modelo rõgido-viscoplastico asociado a la ley de ßuencia deVon Mises, el metal quedara caracterizado por una ley constitutiva analoga a laque describe el ßujo de un ßuido viscoso (de viscosidad no constante). Como sedijo antes, este enfoque de analisis recibe el nombre de formulacion de ßujo (verreferencia [29]).

2No confundir con el sõmbolo δ de Kronecker deÞnido en la introduccion.

55

Page 60: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

4.3. Planteo diferencial del problema

Si se hacen las simpliÞcaciones discutidas hasta ahora, el problema del ßujoestacionario de un metal que experimenta grandes deformaciones plastica quedaformulado mediante las siguientes ecuaciones:

Condicion de incompresibilidad:∂tvk∂xk

= 0 (4.5)

Ecuacion del movimiento para ßujo de Stokes (Reynolds bajo):∂tsij∂xi

+∂tp

∂xj+ tbj = 0 j = 1, 2, 3 (4.6)

Relacion constitutiva:tsij = 2µ

t úεij i, j = 1, 2, 3

2µ =σY (tε)

µ1 +

³√td2η∗

´1δ

¶√3√td2

(4.7)

donde td2 =12t úεij

t úεij, σY (tε) es la curva tension deformacion del ensayode traccion uniaxial y las velocidad de deformacion úεij se relaciona con lasvelocidades segun

t úεij =1

2

Ã∂tvj∂xi

+∂tvj∂xj

!i, j = 1, 2, 3 (4.8)

Para materiales que no experimentan endurecimiento por deformacion es decirσY (tε) = cte las ecuaciones (4.5) y (4.6) con tsij dado por las (4.7) y t úεij dadopor las (4.8) constituyen un sistema de 4 ecuaciones diferenciales para cuatroincognitas que son las 3 componentes de la velocidad tvj y la presion

tp.Cuando σY no es constante y depende de las deformacion equivalente

tε, (esdecir, en aquellos materiales en los que existe endurecimiento por deformacion) aeste sistema de ecuaciones se le debe agregar la ecuacion que relaciona a la nuevaincognita tε con la velocidad de deformacion, es decir (ver ecuaciones (3.23) y(3.25))

t úε =2√3

qtd2

56

Page 61: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

donde t úε es la derivada material de tε que esta dada por

t úε =∂tε

∂t+∂tε

∂xivi

Entonces, para el caso en que exista endurecimiento por deformacion, se debeincorporar la ecuacion

∂tε

∂t+∂tε

∂xivi =

2√3

qtd2 (4.9)

que junto con las cuatro ecuaciones anteriores constituiran un sistema de 5ecuaciones diferenciales para las cinco incognitas tvj, tp y tε.Estas ecuaciones diferenciales deberan satisfacerse para todo punto de coorde-

nadas xj perteneciente a la region del espacio V a traves de la cual ßuye el metal(ver Þgura (4.1)) y para resolverlas se debera tener en cuenta las condiciones deborde

tσij ni =µtsij +

1

3tσkk δij

¶ni =

tfj

sobre la parte Sf de la frontera de V donde se encuentran impuestas las traccionestfj (llamada condicion de borde estatica o natural) y

tvj = dato

sobre la otra parte de la frontera (la parte Sv) en donde se encuentran preÞjadaslas velocidades (llamada condicion de borde cinematica o artiÞcial).

La adopcion de el modelo constitutivo viscoplastico de Perzyna asociado ala ley de ßuencia de Von Mises (ecuacion (4.7)) para la descripcion del compor-tamiento inelastico del material y el hecho que las deformaciones elasticas seandesrpeciables frente a las inelasticas, permite entonces considerar la deformacionplastica del solido como si fuera el ßujo de un ßuido incompresible viscoso (nonewtoniano). Esto posiblita a su vez la utilizacion del enfoque euleriano para ladescripcion del movimiento del material y la eleccion de las velocidades tvj comoincognitas primarias a determinar (hecho que, como se dijo en la introduccion, rep-resenta una gran ventaja desde el punto de vista numerico dado que el dominiode calculo no debe ser actualizado instante a instante como sucede al estudiar ladeformacion del solido desde el punto de vista lagrangeano). Las ecuaciones conlas que se describira el movimiento del material son entonces las presentadas enprimer capõtulo (ecuaciones de continuidad y de conservacion de la cantidad demovimiento para el enfoque euleriano) que, teniendo en cuenta que las fuerzas denaturaleza viscosa que intervienen son mucho mas importante que las fuerzas deinercia (ßujo de Reynolds bajo o ßujo de Stokes) se reducen a las (4.5) y (4.6).

57

Page 62: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1 x2

x3

Figura 4.1: Flujo de un metal a traves de una region del espacio.

58

Page 63: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

5. Modelado de flujos incompresiblesbidimensionales con el metodo de loselementos finitos

En el capõtulo anterior se plantearon las ecuaciones diferenciales quedescriben el ßujo de un metal caracterizado por la ley constitutiva rõgido-viscoplastica de Perzyna asociada a la ley de ßuencia de Von Mises (ecuaciones(4.5), (4.6), (4.7), (4.8) y (4.9)). Como se dijo antes, estas ecuaciones son analogasa las correspondientes al ßujo de un ßuido incompresible viscoso no newtoniano (esdecir, de viscosidad dependiente de la velocidad). En este capõtulo se estudiaracomo se resulven numericamente dichas ecuaciones utilizando el Metodo de losElementos Finitos. Se vera que la condicion de incompresibilidad no puedeimponerse en forma exacta con este metodo y que entonces es necesario buscarformas alternativas de aproximar dicha condicion.Si bien la relacion constitutiva elegida para el metal es semejante a la

correspondiente a un ßuido viscoso cuya viscosidad es funcion de las velocidades(ßuido no newtoniano), para estudiar los problemas relacionados con la condicionde incompresibilidad que se presentan con el metodo de los elementos Þnitos seconsiderara un ßuido de viscosidad constante (ßuido newtoniano), dado que todosestos problemas se maniÞestan en igual medida en los dos tipos de ßuidos. Laadaptacion de estas ideas al caso del ßujo de un metal (que es no newtoniano) seexplicara en el sexto capõtulo.En particular se describiran dos formas alternativas de imponer la condicion

de incompresibilidad: el metodo de los multiplicadores de Lagrange (con interpo-lacion bilineal continua para las velocidades e interpolacion constante y discon-tinua para las presiones) y el metodo de penalizacion y se estudiaran sus alcances,sus limitaciones como asõ tambien las formas de superarlas. Las referencias paraeste capõtulo son [2], [3], [4], [5], [6], [12], [13], [15], [16], [22], [23], [24], [26], [28]y [29].

59

Page 64: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

5.1. Principio de los potencias virtuales para un estadoplano de velocidades de deformacion:

El punto de partida del metodo de elementos Þnitos (y de sus formulacionesalternativas) es el principio de las potencias virtuales formulado en el segundocapõtulo (ecuaciones (2.6) y (2.7)). Cuando las deformaciones son planas, variosde los terminos que aparecen en este principio se anulan, y su expresion toma unaforma mas simple que la correspondiente a deformaciones tridimensionales.Se deÞne como deformacion plana a aquella para la cual una de las compo-

nentes de la velocidad, (por ejemplo v3) es nula, y las otras dos componentes dela velocidad (v1 y v2) y la presion p no dependen de la coordenada x3 que es ladireccion perpendicular a la velocidad.1 Es decir,

v1 = v1(x1, x2)v2 = v2(x1, x2)v3 = 0

yp = p(x1, x2)

Si se supone que las deformaciones son planas, las componentes del tensorvelocidad de deformacion (relacionadas con las velocidades segun las ecuaciones(4.8)) se reducen a :

úε11 =∂v1∂x1

úε22 =∂v2∂x2

úε12 =12

³∂v1∂x2+ ∂v2

∂x1

´úε13 = úε23 = úε33 = 0

(5.1)

y las tensiones desviadoras, (relacionadas con la velocidad de deformacion segunlas ecuacion constitutiva de un ßuido viscoso (4.7)) quedan

s11 = 2µ³∂v1∂x1− 1

3

³∂v1∂x1+ ∂v2

∂x2

´´s22 = 2µ

³∂v2∂x2− 1

3

³∂v1∂x1+ ∂v2

∂x2

´´s33 = 2µ

³0− 1

3

³∂v1∂x1+ ∂v2

∂x2

´´s12 = 2µ

12

³∂v1∂x2+ ∂v2

∂x1

´s13 = s23 = 0

(5.2)

1Mas adelante se supondra que el ßujo es estacionario, es decir, que todas las variables quedescriben el movimiento del material (velocidades tvj, tensiones tσij, velocidades de deformaciont úεij y densidad tρ) no varõan en el tiempo (en cada posicion Þja en el espacio). Por lo tanto, deahora en adelante se omitira el supraõndice t al escribir a dichas variables.

60

Page 65: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

donde 2µ es la viscosidad, que en adelante se supondra constante.2 Las ecuacionesdel movimiento para un ßujo estacionario (4.6) adquiriran entonces la siguienteforma:

∂s11∂x1

+∂s12∂x2

+∂p

∂x1+ b1 = 0

∂s12∂x1

+∂s22∂x2

+∂p

∂x2+ b2 = 0 (5.3)

y la condicion de incompresibilidad (4.5) se reduciran a

∂v1∂x1

+∂v2∂x2

= 0 (5.4)

Las ecuaciones (5.3) con las tensiones dadas por la relacion constitutiva (5.2)y la ecuacion de incompresibilidad (5.4), constituyen (cuando la viscosidad 2µ esconstante) un sistema de tres ecuaciones diferenciales para las tres incognitas v1,v2 y p que caracterizan el ßujo de un medio viscoso incompresible (de viscosidadconstante) que experimenta deformaciones planas.Teniendo en cuenta esta particularizacion de las condiciones cinematicas (4.8),

de las ecuaciones del movimiento (4.6), de la relacion constitutiva (4.7) y de lacondicion de incompresibilidad (4.5) al caso de deformaciones planas, cada uno delos sumandos que aparecen en el principio de las potencias virtuales (2.7) tomanrespectivamente la siguiente forma:3

2Si bien cuando el material es exactamente incompresible, ∂v1∂x1

+ ∂v2∂x2

= 0 y la relacionconstitutiva se reduce a:

s11 = 2µ∂v1∂x1

s22 = 2µ∂v2∂x2

s12 = 2µ12

³∂v1∂x2

+ ∂v2∂x1

´s13 = s23 = s33 = 0

es conveniente mantener el termino ∂v1∂x1+ ∂v2∂x2

en todas las expresiones dado que, como se vera masadelante, una de las formulaciones alternativas del metodo de los elementos Þnitos supone queel material admite un cierto grado de compresibilidad, y es necesario entonces que la expresiondel principio de los trabajos virtuales que se pretende deducir, sea tambien aplicable en estoscasos.

3En el seguno capõtulo se utilizo la notacion V y Sv y Sf para respresentar a las region delespacio ocupada por el cuerpo en un instante dado y a su frontera. En este capõtulo se utilizaranlos sõmbolos Ω y Γv y Γf para representar respectivamente a dichos conjuntos y la integral

RV

que es una integral triple sobre una region tridimensional V y la integralRSfque es una integral

de superÞcie, se reduciran respectivamente en el caso plano, a una integral doble sobre la regionplana Ω y a una integral curvilinea sobre la curva Γ que es la frontera de Ω.

61

Page 66: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Potencia virtual desviadoraRV

³12

³∂δvi∂xj

+ ∂δvj∂xi

´− 1

3∂δvk∂xkδij´sij dV =

=RΩ

h³∂δv1∂x1

− 13

³∂δv1∂x1

+ ∂δv2∂x2

´´s11 +

³∂δv2∂x2

− 13

³∂δv1∂x1

+ ∂δv2∂x2

´´s22+

+³0− 1

3

³∂δv1∂x1

+ ∂δv2∂x2

´´s33 +

³∂δv1∂x2

+ ∂δv2∂x1

´s12idΩ

Potencia virtual volumetricaRV∂δvk∂xkp dV =

³∂δv1∂x1

+ ∂δv2∂x2

´p dΩ

Potencia virtual de las fuerzas exteriores:RV bjδvj dΩ +

RSffjδvj dS =R

Ω (b1δv1 + b2δv2) dΩ+RΓf(f1δv1 + f2δv2) dΓ

El principio de las potencias virtuales cuando las deformaciones son planas sepuede expresar entonces como:

δ úε− 1

3

Ã∂δv1∂x1

+∂δv2∂x2

! 110

T

· s+"0− 1

3

Ã∂δv1∂x1

+∂δv2∂x2

!#s33

dΩ+

+ZΩ

Ã∂δv1∂x1

+∂δv2∂x2

!p dΩ =

ZΩδvT · b dΩ +

ZΓf

δvT · f dΓ ∀ δv

donde δv, δ úε, s, b y f son matrices (columna) que agrupan respectivamente a lascomponentes no nulas de las variaciones de la velocidad δv1 y δv2, de la velocidadde deformacion δ úε11, δ úε22 y δ úε12, y a las componentes de las tensiones desviadorass1, s2 y s12, las fuerzas volumetricas exteriores b1 y b2 y las fuerzas de superÞcief1 y f2, es decir,

δv =

Ãδv1δv2

!

δ úε =

δ úε1δ úε22δ úε12

=

∂δv1∂x1∂δv2∂x2

∂δv1∂x2

+ ∂δv2∂x1

s =

s1s2s12

b =

Ãb1b2

!

f =

Ãf1f2

!

62

Page 67: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

(y el supraindice T indica traspuesta). Teniendo en cuenta en primer lugar que

∂δv1∂x1

+∂δv2∂x2

=³1 1 0

´· δ úε

y que entonces

δ úε− 13

³∂δv1∂x1

+ ∂δv2∂x2

´ 110

= δ úε− 13

110

· ³ 1 1 0´· δ úε =

23

−130

−13

23

0

0 0 1

· δ úεpor lo que la relacion constitutiva para un material viscoso que experimentadeformaciones plasticas (las ecuaciones (5.2)) se podra expresar como

s = 2µ

1 0 00 1 00 0 1

2

· úε− 1

3

³∂v1∂x1+ ∂v2

∂x2

´ 110

=

= 2µ

1 0 00 1 00 0 1

2

·

23

−130

−13

23

0

0 0 1

· úεs33 = 2µ

³0− 1

3

³∂v1∂x1+ ∂v2

∂x2

´´=

= −2µ 13

³1 1 0

´· δ úε

donde úε es la matriz que agrupa a las componentes no nulas de la velocidad dedeformacion, es decir,

úε =

úε1úε22 úε12

=

∂v1∂x1∂v2∂x2

∂v1∂x2+ ∂v2

∂x1

el principio de las potencias virtuales para deformaciones planas y para un medioviscoso quedaZ

Ω

"δ úεT · IdT · 2µ D · Id · úε+ δ úεT ·

µ−13M¶2µ

µ−13M¶T· úε#dΩ+

+ZΩδ úεT ·M p dΩ =

ZΩδvT · b dΩ +

ZΓfδvT · f dΓ ∀ δv

donde

Id =

23

−130

−13

23

0

0 0 1

63

Page 68: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

D =

1 0 00 1 00 0 1

2

M =

110

Y teniendo en cuenta en segundo lugar que4

IdT ·D · Id+µ−13M¶µ−13M¶T= D · Id

y agrupando terminos, el principio de las potencias virtuales para un materialviscoso que experimenta deformaciones planas se expresara Þnalmente como:ZΩδ úεT · 2µ D · Id · úε dΩ+

ZΩδ úεT ·M p dΩ =

ZΩδvT · b dΩ+

ZΓfδvT · f dΓ ∀ δv

(5.5)El primer termino del miembro izquierdo es la potencia virtual desviadora, yel segundo, la potencia virtual volumetrica. El miembro derecho representala potencia virtual de las fuerzas exteriores. Cuando las fuerzas exterioresvolumetricas b sean nulas, y las condiciones de borde sean exclusivamentecinematicas, es decir, sobre toda la frontera Γ del dominio Ω , las velocidadesesten impuestas (y por lo tanto Γv = Γ y Γf = ∅), el principio de las potenciasvirtuales se reducira a:Z

Ωδ úεT · 2µ D · Id · úε dΩ+

ZΩδ úεT ·M p dΩ = 0 ∀ δv (5.6)

5.2. Discretizacion con el metodo de los elementos Þnitos:sus limitaciones

Como se dijo en el segundo capõtulo, el principio de las potencias virtuales es unaexpresion equivalente a las ecuaciones del movimiento de un cuerpo, en el sentidoque los campos de presiones p y de velocidades (v1, v2) que satisfacen la igualdad(5.5) (y las condiciones de borde cinematicas, es decir, (v1, v2) = dato sobre Γv)para toda variacion (δv1, δv2) (nula en Γv), veriÞcara la ecuacion del movimiento

4Esta identidad se puede demostrar observando que la matriz Id esta dada por

Id = I − 13M ·MT

donde I es la matriz identidad de 3× 3.

64

Page 69: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

(5.3) (con las condiciones de borde estaticas) y la relacion constitutiva (5.2).5

Es decir, el principio de las potencias virtuales representa una forma alternativade plantear estas ecuaciones. El metodo de elementos Þnitos se apoya en esteresultado y busca una solucion aproximada de dichas ecuaciones partiendo delprincipio de las potencias virtuales (5.5). Para formularlo, se necesita introducirprimero la siguiente notacion: dado un conjunto plano Ω incluido en <2, Se denomina L2(Ω) al conjunto de las funciones v(x1, x2) deÞnidas en Ω paralas cuales las integral

RΩ v

2dΩ existe y es Þnita, es decir,

L2(Ω) =½v : Ω ⊂ <2 → < tal que

ZΩv2dΩ <∞

¾(< ∞ quiere decir que existe y es 6= ∞). Este conjunto incluye a unagran cantidad de funciones, en particular, a las funciones continuas en Ωa las funciones continuas por partes (es decir, las funciones continuas ensubdominios Ωe y que pegan saltos a traves de la frontera que separacada subdominio Ωe de los vecinos), etc.

Se denomina H1(Ω) al conjunto de las funciones v(x1, x2) deÞnidas en Ωque pertenecen a L2(Ω) y cuyas derivadas parciales tambien pertenecen aL2(Ω), es decir, aquellas funciones para las cuales las integrales

RΩ v

2dΩ yRΩ

³∂v∂xj

´2dΩ existen y son Þnitas:

H1(Ω) =

(v : Ω ⊂ <2 → < tal que v ∈ L2(Ω) y ∂v

∂xj∈ L2(Ω)

)

Este conjunto (incluido obviamente en L2(Ω)) tambien es un conjunto muygrande que incluye en particular, a las funciones continuas de derivadasparciales continuas en Ω, a las funciones continuas por partes y/o dederivadas parciales continuas por partes (es decir, las funciones continuasy de derivadas continuas en subdominios Ωe que pegan saltos (ellas y/osus derivadas) entre subdominios Ωe), etc. (Las componentes del campo develocidades v1 y v2 pertenecen a este conjunto).

Se observa que el conjunto L2(Ω) constituye un espacio vectorial de funciones6

y H1(Ω) un subespacio vectorial de el. 7

5La condicion de incompresibilidad (5.4) no esta implicada por el principio de las potenciasvirtuales. Entonces, ademas de cumplir el principio de las potencias virtuales, el campo develocidades debera ser exactamente incompresible.

6Es decir, si v y w pertenecen a L2(Ω), entonces cualquier combinacion lineal de ellas αv+βwtambien pertenecera a L2(Ω).

7La notacion elegida es la utilizada convencionalmente en el analisis funcional (ver referencias[34] y [35]).

65

Page 70: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

En relacion a un cuerpo cuya seccion trasversal ocupa en un instante tcualquiera, cierta region del espacio Ω ⊂ <2 (ver Þgura (5.1)) y que se encuentrasometido a la accion de fuerzas de volumen (b1, b2), fuerzas de superÞcie (f1, f2)sobre la parte Γf de la frontera de Ω y a velocidades impuestas sobre la otraparte de la frontera Γv (es decir (v1, v2) = (g1, g2) = dato sobre Γv), es necesariointroducir tambien la siguiente notacion:

Se denomina U al conjunto de las funciones (v1, v2) deÞnidas en Ω,

pertenecientes a H1(Ω) (es decir,RΩ (vi)

2 dΩ yRΩ

³∂vi∂xj

´2dΩ existen y son

Þnitas) y que satisfacen exactamente las condiciones de borde cinematicas,(es decir, cumplen que (v1, v2) = dato = (g1, g2) sobre Γv). Es decir:

U =n(v1, v2) tal que vi ∈ H1(Ω) y (v1, v2) = (g1, g2) sobre Γv

odonde (g1, g2) son las velocidades impuestas sobre la frontera Γv. La funcion(v1, v2) que satisface la igualdad (5.5) (y por lo tanto, es solucion de lasecuaciones del movimiento) pertenecera a este conjunto.

Se denomina V al conjunto de las funciones (w1, w2) deÞnidas en Ω(pertenecientes a H1(Ω)) que son nulas sobre la frontera Γv donde seprescriben las velocidades, es decir

V =n(w1, w2) tal que wi ∈ H1(Ω) y (w1, w2) = (0, 0) sobre Γv

oLas variaciones de la velocidad (o velocidades virtuales) (δv1, δv2) pertenecena este espacio.

Se denominaK al conjunto de funciones (v1, v2) deÞnidas en Ω (pertenecientesa H1(Ω)) que son exactamente incompresibles, es decir,

K =

((v1, v2) tal que vi ∈ H1(Ω) y

∂v1∂x1

+∂v2∂x2

= 0 en Ω

)

(en Ω quiere decir ∀ (x1, x2) ∈ Ω).

Se observa que, (llamando H1(Ω) al conjunto de pares ordenados de funcionesde H1(Ω), es decir, H1(Ω) = H1(Ω) ×H1(Ω) = (H1(Ω))2), los conjuntos U, Vy K son subespacios vectoriales de funciones de H1(Ω). Se observa tambien queel campo de presiones p, (sobre el que no hay especiÞcada ninguna condicion decontorno) pertenecera al espacio L2(Ω).Utilizando esta notacion se puede reexpresar en la siguiente forma la equiva-

lencia entre las ecuaciones (5.2) y (5.3) y el principio de las potencias virtuales

66

Page 71: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Γv

Γ f

b

Ω

f

(v1,v2)=(g1,g2)

x1

x2

Figura 5.1: Dominio ocupado por un medio viscoso y condiciones de borde a lasque esta sometido.

(5.5): el campo de velocidades (v1, v2) y el de presiones p que satisfacen la ecuaciondel movimiento (5.3) con las tensiones sij dadas por la relacion constitutiva (5.2)(y las condiciones de borde cinematicas y estaticas) son aquellas funciones p y(v1, v2) pertenecientes respectivamente a L2(Ω) y a U tal que para toda funcion(δv1, δv2) perteneciente a V veriÞca la igualdad (5.2), es decir, aquellos campos py (v1, v2) tales que

p ∈ L2(Ω), (v1, v2) ∈ U y ∀ (δv1, δv2) ∈ V se veriÞca que:ZΩδ úεT · 2µ D · Id · úε dΩ+

ZΩδ úεT ·M p dΩ =

ZΩδvT · b dΩ+

ZΓf

δvT · f dΓ(5.7)

donde δ úεT =³

∂δv1∂x1

∂δv2∂x2

∂δv1∂x2

+ ∂δv2∂x1

´y úεT =

³∂v1∂x1

∂v2∂x2

∂v1∂x2+ ∂v2

∂x1

´.

Asi planteado, el principio de las potencias virtuales representa una formaalternativa de formular las ecuaciones (5.2) y (5.3). Sin embargo no asegura quese satisfacera tambien la condicion de incompresibilidad (5.4). Para que dichacondicion tambien se cumpla, y obtener asõ una formulacion equivalente a lasecuaciones completas del ßujo de un medio viscoso incompresible viscoso (es decir,una formulacion que implique no solo a las ecuaciones (5.3), (5.2) sino tambien la(5.4)) se puede reescribir al principio de las potencias virtuales de la siguienteforma: el campo de velocidades (v1, v2) y el de presiones p que satisfacen laecuacion del movimiento (5.3), la relacion constitutiva (5.2) (con las condiciones de

67

Page 72: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

borde cinematicas y estaticas) y la condicion de incompresibilidad (5.4), es aquellafuncion perteneciente a U ∩K (es decir, se exige ahora a la funcion (v1, v2) quepertenezca no solo a U como antes, sino tambien a K) que veriÞca la igualdad(5.5) para toda funcion (δv1, δv2) perteneciente a V, es decir, es un campo develocidades (v1, v2) tal que

(v1, v2) ∈ U ∩K y ∀ (δv1, δv2) ∈ V se veriÞca que:ZΩδ úεT · 2µ D · Id · úε dΩ+

ZΩδ úεT ·M p dΩ =

ZΩδvT · b dΩ+

ZΓfδvT · f dΓ

(5.8)Para completar la formulacion del metodo de los elementos Þnitos es necesario

introducir ademas de los espacios H1(Ω), U, V y K los siguientes espacios defunciones de dimension Þnita:

Se denomina Hh a un espacio de dimension Þnita de funciones queaproximaran (o interpolaran) a las funciones de H1(Ω). En el metodo delos elementos Þnitos este espacio se construye de la siguiente forma:

Se divide el dominio Ω en subdominios Ωe (ver Þgura (5.2)) (Estossubdominios son los llamados elementos Þnitos). En este trabajose utilizaran elementos de cuatro nodos y cuatro lados rectos. Eltamano de cada elemento Ωe se mide con un parametro he, queen el caso de los elementos de cuatro nodos, puede tomarse como lamayor de las distancias entre lados opuestos (ver Þgura (5.3)). Comoestos elementos tienen lados rectos, y el dominio Ω tiene en generaluna frontera Γ curva, entonces la union de todos estos elementos nocoincidira exactamente con Ω (ver Þgura (5.2)) pero tienden a coincidircuando el tamano de todos los elementos es chico, es decir, llamandoΩh a la union de todos los dominios elementales (Ωh =∪

eΩe) Ωh no

coincide con Ω pero tiende a ser casi igual cuando he → 0 ∀e. Sobre cada elemento se deÞne un sistema de coordenadas curvilõneolocal (r, s) (ver Þgura (5.3)) ademas del sistema de coordenadas global(x1, x2) tal que las coordenadas locales (r, s) correspondientes a cadanodo sean las que se muestran en la siguiente tabla

Nodo Coordenada (r, s)

1 (1, 1)2 (−1, 1)3 (−1,−1)4 (1,−1)

68

Page 73: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

y las correspondientes a cada lado sean

Lado Coordenada (r, s)

1− 2 (r, 1) con −1 ≤ r ≤ 12− 3 (−1, s) con −1 ≤ s ≤ 13− 4 (r,−1) con −1 ≤ r ≤ 14− 1 (1, s) con −1 ≤ s ≤ 1

Se puede demostrar que las funciones que deÞnen el cambio decoordenadas locales (r, s) a coordenadas globales (x1, x2) y que veriÞcalas anteriores correspondencias se puede expresar como (ver referencias[2], [12] y [13])(

x1(r, s) = h1(r, s) x(1)1 + h2(r, s) x

(2)1 + h3(r, s) x

(3)1 + h4(r, s) x

(3)1

x2(r, s) = h1(r, s) x(1)2 + h2(r, s) x

(2)2 + h3(r, s) x

(3)2 + h4(r, s) x

(3)2

donde (x(1)1 , x

(1)2 ), (x

(2)1 , x

(2)2 ), (x

(3)1 , x

(3)2 ) y (x

(4)1 , x

(4)2 ), son respectiva-

mente las coordenadas globales de los nodos 1, 2, 3 y 4 y las funcioneshj(r, s) son las denominadas funciones de forma (para el elemento bidi-mensional de cuatro nodos) deÞnidas como:

h1(r, s) =1

4(1 + r)(1 + s)

h2(r, s) =1

4(1− r)(1 + s)

h3(r, s) =1

4(1− r)(1− s)

h4(r, s) =1

4(1 + r)(1− s) (5.9)

Se observa que todas estas funciones son funciones polinomicas con-struidas combinando linealmente los polinomios 1, r, s y rs, y quecada funcion hj(r, s) vale 1 en el nodo j y 0 en los tres restantes, esdecir, hj(ri, si) = δij .

El espacio Hh de funciones que aproximaran a las funciones de H1(Ω)

se deÞne de la siguiente forma:

Hh =

(vh tal que vh es continua en Ωh y es un polinomio dentrode cada elemento Ωe

)

donde Ωh es la union de todos los elementos Ωe en que se particionoal dominio Ω, (es decir, Ωh =∪

eΩe) que, como se dijo antes, no

69

Page 74: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

coincide exactamente con Ω. En la Þgura (5.4) se muestra una de estasfunciones. Como dentro de cada elemento la funcion es polinomica,entonces tambien sera continua (adentro del elemento). El unico lugardonde puede ser no continua es en los bordes de cada elemento. Sededuce entonces que la funcion sera continua en todo el dominio Ωh sies continua en dichos bordes.

Se elige como base de los polinomios que se utilizaran dentro de cadaelemento a las funciones de forma h1(r, s), h2(r, s), h3(r, s) y h4(r, s)(que como se dijo antes son combinaciones lineales de los polinomios 1,r, s y rs). Es decir, cada funcion vh sera igual, dentro de cada elemento,a uno de los polinomios que se generan combinando linealmente dichasfunciones. Recordando que cada funcion de forma hj(r, s) vale 1 en elnodo j y 0 en los restantes, se deduce que los parametros que deÞnena cada funcion vh seran los valores de dicha funcion vh en los nodos(ver referencias [2], [12] y [13]). Dentro de cada elemento la funcion vhestara dada entonces por:

vh(r, s) = h1(r, s) v(1)h +h2(r, s) v

(2)h +h3(r, s) v

(3)h +h4(r, s) v

(3)h (5.10)

donde v(1)h , v(2)h , v

(3)h y v(4)h son respectivamente los valores que toma la

funcion vh en los nodos 1, 2, 3 y 4. Se puede demostrar que las funcionesvh, deÞnidas dentro de cada elemento de esta forma, son continuas enlos bordes de los elementos y por lo tanto, continuas en todo el dominioΩh.

Se observa que este espacio Hh es un espacio vectorial de funciones dedimension Þnita (y que si los dominios Ω y Ωh coinciden, Hh sera un subespaciovectorial de H1(Ω)). La dimension estara dada por la cantidad total de nodospresentes en la malla ya que Þjados los valores de vh en todos los nodos, quedaraespeciÞcado un unico polinomio en cada elemento Ωe y entonces una unica funcionvh de Hh. Se observa tambien que cuanto mayor cantidad de elementos (y por lotanto de nodos) se utilicen para discretizar al dominio Ω, mejor sera la calidaddel espacioHh como espacio de funciones aproximantes de las funciones deH1(Ω).8

Si se deÞne como h al supremo de los tamanos de los elementos he (es decirh =sup

ehe) entonces, cuando mas chico es h, menor sera el tamano de todos los

8Esto quiere decir que, dada cualquier funcion v ∈ H1(Ω) entonces la distancia d(v,Hh)entre esta funcion y el espacio Hh (entendiendose por distancia entre v y Hh a la mõnima de lasdistancias entre v y los elementos vh de Hh, es decir, d(v,Hh) = inf

vh∈Hh

d(v, vh) donde d(v, vh)es cierta medida del error que se comete al aproximar a la funcion v con la funcion interpolantevh) disminuye a medida que aumenta la dimension del espacio Hh.

70

Page 75: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

elementos, mayor sera la cantidad de elementos y de nodos, mayor la dimensionde Hh y mejor la aproximacion que se puede hacer de las funciones v ∈ H1(Ω)con las funciones vh ∈ Hh. El parametro h, esta relacionado entonces con ladimension del espacio Hh.

9 Teniendo en cuenta que la base de cada uno de lospolinomios elementales son las funciones de forma (5.9) y como las funciones deHh son continuas entre elementos se deduce que la base del espacio Hh estaraformada por las funciones nJ(x1, x2) que valen 1 en el nodo J y 0 en los restantes(ver Þgura 5.5) y que los parametros que deÞnen a cada una de las funcionesvh ∈ Hh seran los valores que toman dichas funciones en los nodos. Es decir, cadafuncion vh ∈ Hh se puede escribir como:

vh(x1, x2) =NXJ=1

nJ(x1, x2) v(J)h (5.11)

donde v(J)h es el valor que toma la funcion vh en el nodo J, nJ(x1, x2) es la base

de Hh y N es la cantidad total de nodos que como se dijo antes, es la dimensionde Hh.

Γv

Γ f

f

(v1,v2)=(g1,g2)

Ωe

Ωx1

x2

Figura 5.2: Discretizacion del dominio Ω en elementos Þnitos Ωe

9El subõndice h en el sõmboloHh indica precisamente que el espacio de funciones interpolantesdepende de este parametro.

71

Page 76: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

s

r

Figura 5.3: Sistema de coordenadas local utilizado en cada elemento

Para formular el metodo de los elementos Þnitos ademas de este espacio Hh,es necesario deÞnir los siguientes espacios de funciones de dimension Þnita queaproximaran a las funciones de U, V y H:

Se denomina Uh al espacio de dimension Þnita de funciones (v1h, v2h) quepertenecen al espacio de funciones aproximantes Hh y que veriÞcan enlos nodos de la periferia las condiciones de borde cinematicas que debesatisfacer la solucion continua (v1, v2). Es decir, si el campo de velocidadesdebe cumplir que (v1, v2) = dato = (g1, g2) sobre la parte de la fronteraΓv y si se numera con en õndice I a los nodos que se ubican sobredicha frontera Γv entonces las funciones (v1h, v2h) de Uh deben cumplir(v1h, v2h)|I = (g1, g2)|I , (v|I quiere decir, v evaluada en el nodo I) paratodo los nodos I. Simbolicamente:

Uh = (v1h, v2h) tal que v1h y v2h ∈ Hh y (v1h, v2h)|I = (g1, g2)|I ∀ I

donde (g1, g2) son las velocidades impuestas sobre la frontera Γv.

Se denominaVh al espacio de funciones (w1h, w2h) que pertenecen al espaciode funciones aproximantes Hh y que valen (0, 0) sobre los nodos de laperiferia. Es decir,

Vh = (w1h, w2h) tal que w1h y w2h ∈ Hh y (v1h, v2h)|I = (0, 0)|I ∀ I

72

Page 77: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1

x2vh

Figura 5.4: Funcion vh representativa del espacio Hh

Se denominaKh al espacio de funciones (v1h, v2h) que pertenecen al conjuntode funciones aproximantes Hh y que son exactamente incompresibles, esdecir,

Kh =

((v1h, v2h) tal que v1h y v2h ∈ Hh y ∂v1h

∂x1+∂v2h∂x2

= 0 en Ωh

)

Como Ωh es la union de los dominios elementales Ωe, para que v1h y v2hveriÞquen la condicion de incompresibilidad en todo el dominio Ωh se deberacumplir ∂v1h

∂x1+ ∂v2h

∂x2= 0 en cada uno de dichos dominios elementales (es decir

∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

= 0 en Ωe para todo elemento e).

Se observa que estos tres espacios de funciones son subespacios vectoriales delespacio de los pares ordenados de funciones aproximantes de Hh, es decir, Uh, Vh

yKh estan incluidos en Hh (siendoHh = Hh×Hh = (Hh)2) y que entonces, a me-dida que aumenta la cantidad de elementos (y disminuye el parametro h) mejorala aproximacion que se puede hacer de las funciones de U con las funciones deUh, de las funciones de V con las de Vh y de las de K con las de Kh.

Hasta ahora solo se ha hablado de los espacios que aproximaran a la velocidad(v1, v2). Para aproximar a las presiones p (que es una funcion pertenecienteal espacio L2(Ω)) es necesario construir un nuevo espacio de dimension Þnita

73

Page 78: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1

x2nJ

1J

Figura 5.5: Funcion base del espacio Hh

de funciones interpolantes. Como no existen condiciones de borde impuestassobre las presiones y como en el principio de las potencias virtuales (5.5) noaparece involucrada ninguna derivada de p, alcanzara con un espacio de funcionescontinuas dentro de cada elemento y discontinua entre elementos (ver referencia[2]). A este espacio se lo simbolizara como Qh y a las funciones que pertenecen ael se las representara con el sõmbolo qh. Al igual que el espacio de las funcionesaproximantes de las componentes de la velocidad Hh este espacio estara formadopor funciones polinomicas dentro de cada elemento pero en este caso dichasfunciones pueden ser discontinuas entre elementos. Como se vera mas adelante elgrado de dichos polinomios no puede elegirse arbitrariamente y esta relacionadocon el grado de los polinomios con los que se aproxima a las velocidades. Paraconstuir a este espacio se puede hacer algo analogo a lo hecho en el caso de lasvelocidades: elegir como base de cada polinomio elemental a ciertas funciones deforma nE (que seran a su vez polinomios) que valen 1 en ciertos nodos para lapresion y cero en los restantes por lo que cada funcion qh ∈ Qh se podra escribircomo

qh(x1, x2) =NPXE=1

nE(x1, x2) q(E)h

donde NP es el numero total de nodos de presion y q(E)h es el valor que toma qh

en el nodo numerado con el õndice E. Por ejemplo, en este trabajo se usara comoespacio de presiones aproximantes al formado por funciones que son constantesdentro de cada elemento (es decir, polinomios de grado 0) y discontinuas entre

74

Page 79: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

elementos. En este caso los nodos de presion estan ubicados en el centro decada elemento (coordenadas (r, s) = (0, 0)) y cada funcion base nE valdra 1 endicho nodo de presion E (y en todo el elemento E) y cero en los restantes (verÞgura (5.6)).

E

x1

x2ñE

1

Figura 5.6: Funcion base del espacio Qh

Utilizando estos espacios, y apoyandose en el hecho las funciones p ∈ L2(Ω) y(v1, v2) ∈ U que veriÞcan el principio de las potencias virtuales (5.5) (para todavariacion de velocidades perteneciente al espacioV) satisfaceran las ecuaciones delmovimiento (5.3) (con las condiciones de borde estaticas), la relacion constitutiva(5.2) y las condiciones de borde cinematicas (pero no de la condicion deincompresibilidad), el metodo de los elementos Þnitos propone como solucionaproximada de dichas ecuaciones (de las ecuaciones del movimiento y la relacionconstitutiva) a las funciones ph y (v1h, v2h) que pertenecen respectivamente a losespacios aproximantes de las presiones Qh y de las velociades Uh y que satisfacenel principio de los trabajos virtuales para toda variacion (δv1h, δv2h) de Vh, esdecir

ph ∈ Qh y (v1h, v2h) ∈ Uh tal que ∀ (δv1h, δv2h) ∈ Vh se veriÞca que:ZΩδ úεh

T · 2µ D · Id · úεh dΩ +ZΩδ úεh

T ·M ph dΩ =ZΩδvh

T · b dΩ+ZΓf

δvhT · f dΓ(5.12)

75

Page 80: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

donde:

úεh =

∂v1h∂x1∂v2h∂x2

∂v1h∂x2

+ ∂v2h∂x1

δ úεh =

∂δv1h∂x1∂δv2h∂x2

∂δv1h∂x2

+ ∂δv2h∂x1

son las velocidades de deformacion que se derivan de las velocidades aproximadas(v1h, v2h).

5.2.1. Imposicion de la condicion de incompresibilidad: el problema delbloqueo

Las velocidades (v1h, v2h) ∈ Uh y presiones ph ∈ Qh que veriÞcan la igualdad (5.12)seran entonces soluciones aproximadas de las ecuaciones del movimiento (5.3) y lasrelaciones constitutivas (5.2). Sin embargo las velocidades aproximadas (v1h, v2h)no satisfacen todavõa la condicion de incompresibilidad debido a que, como se dijoantes, esta condicion no esta implicada por el principio de las potencias virtuales.Si se pretende ahora exigirle a la velocidad (v1h, v2h) aproximada que cumpla

tambien la condicion de incompresibilidad, es decir, que ademas de veriÞcar(5.12) pertenezca tambien a Kh se presenta la siguiente diÞcultad: especiÞcadaslas condiciones cinematicas de borde (g1, g2) y la malla de elementos Þnitos, seencuentra que no existe casi ninguna funcion (v1h, v2h) que satisfaga a la vez dichascondiciones de borde y la condicion de incompresibilidad exactamente, es decir,que pertenezca simultaneamente a Uh y a Kh y tampoco es posible encontrar unafuncion que cumpla ambas condiciones aÞnando la malla de elementos Þnitos (esdecir achicando el tamano h de los elementos y aumentando entonces el numerototal de elementos). En otras palabras, la interseccionUh∩Kh es practicamentevacõa cualquiera sea h. Este problema se conoce con el nombre de bloqueo (verreferencias [2], [12] y [28]).Para ilustrar este problema se considera como ejemplo el ßujo de un medio

viscoso dentro de una cavidad Ω cuadrada (ver Þgura (5.7)) cuyo borde superiorse encuentra moviendose con una velocidad arbitraria (y arrastra entonces al ßuidocontenido) mientras que el ßuido adyacente a los otros dos bordes permaneceen reposo. Para discretizar el dominio se utiliza una malla formada por unacantidad arbitraria de elementos Þnitos cuadrados cuyos lados miden una longitudh (ver Þgura (5.7)). Las condiciones de borde que debera cumplir la solucion

76

Page 81: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

aproximada son:

(v1, v2) = (g1, g2) = (dato, 0) en los nodos ubicados sobre el borde superior(v1, v2) = (g1, g2) = (0, 0) en los nodos ubicados sobre los otros tres bordes

(5.13)donde (g1, g2) son las componentes de las velocidades impuestas en el sistema decoordenadas (x1, x2) mostrado tambien en la Þgura (5.7). Este problema es unejemplo muy estudiado y usado en el analisis de la condicion de incompresibilidady se conoce como problema de la cavidad conducida (ver referencia [12]).

(v1,v2)=(g1,g2)=(dato,0)

(v1,v2)=(g1,g2)=(0,0)

(v1,v2)=(g1,g2)=(0,0)

(v1,v2)=(g1,g2)=(0,0)

A B

C12

3 4

5

6

h

h

Ω

x1

x2

Figura 5.7: Problema de la cavidad conducida. Condiciones de borde y mallautilizada.

Se demostrara que en este ejemplo, el conjuntoUh∩Kh, es decir, el espacio for-mado por todas aquellas velocidades aproximadas que satisfacen simultaneamentelas condiciones de borde cinematicas y la condicion de incompresibilidad (exac-tamente) esta formado por una unica funcion y dicha funcion es un aproximantemuy pobre de la solucion buscada. En otras palabras, no se puede encontrarninguna velocidad que aproxime a las ecuaciones del movimiento (y relacionesconstitutivas) y a la condicion de incompresibilidad a la vez.Para ver que Uh∩Kh es muy chico (existe solo una funcion contenida en el), se

observa primero que, si las velocidades de cada elemento se interpolan en la forma

77

Page 82: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

(5.10), entonces, para un elemento cuadrado (cuyos lados miden una longitud h)las velocidades seran combinaciones lineales de los polinomios 1, x1, x2 y x1x2(ver referencia [2]), es decir,

v1h(x1, x2) = α1 + β1 x1 + γ1 x2 + δ1 x1x2 (5.14)

v2h(x1, x2) = α2 + β2 x1 + γ2 x2 + δ2 x1x2

donde α1, β1, γ1, δ1, α2, β2, γ2 y δ2 son parametros que dependen de lasvelocidadades en cada nodo (y de h), es decir, α1, β1, γ1 y δ1 son funciones

de v(1)1h , v(2)1h , v

(3)1h y v

(4)1h y α2, β2, γ2 y δ2 son funciones de v

(1)2h , v

(2)2h , v

(3)2h y v

(4)2h . Para

que este elemento se deforme incompresiblemente, se debera cumplir que:

∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

= (β1 + γ2) + δ1 x2 + δ2 x1 = 0

en todos los puntos (x1, x2) del elemento. Esto implica que las velocidades dentrode cada elemento cuadrado estaran dadas por (5.14) con

β1 + γ2 = 0

δ1 = 0

δ2 = 0

es decir

v1h(x1, x2) = α1 + β1 x1 + γ1 x2

v2h(x1, x2) = α2 + β2 x1 − β1 x2Estas igualdades se pueden reescribir utilizando notacion matricial de la siguienteforma:Ãv1h(x1, x2)v2h(x1, x2)

!=

Ãα1α2

!+ β2

Ã01

!x1 + γ1

Ã10

!x2 + β1

"1 00 −1

# Ãx1x2

!(5.15)

Se observa entonces que un elemento cuadrado cuyas velocidades estan dadaspor (5.10) se puede deformar incompresiblemente solo de cuatro formas (omodos) distintas (en realidad son cinco porque el primer modo, que es unmovimiento rõgido, es combinacion lineal de dos movimientos rõgidos en lasdirecciones perpendiculares x1 y x2). Estos modos incompresibles de velocidadesse dibujan esquematicamente en la Þgura (5.8). En la Þgura (5.9) se muestraesquematicamente un elemento representativo del espacio Kh, es decir, un campode velocidades que es exactamente incompresible en todos los puntos del dominioΩh (pero que no satisface todavõa las condiciones de borde preÞjadas), es decir,

78

Page 83: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1

x2

x1 x1 x1

x2 x2 x2

Figura 5.8: Modos incompresibles de un elemento de cuatro nodos cuadrado

cada elemento se mueve con alguno de los patrones de velocidad mostrados en laÞgura (5.8) (o combinaciones lineales de ellos).Teniendo en cuenta que las unicas formas en que se puede mover cada elemento

cuadrado son las dibujadas en la Þgura (5.8), se puede determinar como seran loscampos de velocidades que perteneceran a Uh ∩Kh: considerando por ejemploun elemento como el ubicado en el angulo inferior izquierdo (elemento A de laÞgura (5.7)) se observa que por estar Þjados los nodos 2 y 3 (ver Þgura (5.10))el nodo 1 solo podra moverse en la direccion vertical, mientras que por estarÞjados los nodos 3 y 4, el nodo 1 solo podra hacerlo en la direccion horizontal.Tomando estas dos condiciones simultaneamente se deduce que la velocidad delnodo 1 debera ser nula. Repitiendo este razonamiento para los elementos vecinosB y C se deduce la misma conclusion para los nodos 5 y 6, y asõ para todos loselementos de la malla salvo los que son adyacentes al borde superior, es decir,las velocidades de todos los nodos interiores a la malla debera ser nula si sepretende que la malla se deforme satisfaciendo la condicion de incompresibilidadexactamente y las condiciones de borde (g1, g2) impuesta sobre los bordes inferior,izquierdo y derecho. Considerando ahora a alguno de los elementos adyacentesal borde superior, se observa que por estar bloqueados los nodos inferiores, ypor estar especiÞcada la velocidad de los nodos superiores, dichos elementos sedeberan deformar en la forma mostrada en la Þgura (5.10) para que la velocidadadentro de la misma sea exactamente incompresible. Por lo tanto, el unicoelemento perteneciente aUh∩Kh, es decir, el unico campo de velocidades (v1h, v2h)que satisface simultaneamente las condiciones de borde cinematicas (5.15) y lascondicion de incompresibilidad exactamente, es aquel para el cual, las velocidadesen todos los nodos interiores a la malla es nula (ver Þgura (5.11)). Se observaque esta situacion no mejora si se aÞna la malla de elementos Þnitos utilizada

79

Page 84: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Figura 5.9: Campo de velocides aproximado (v1h, v2h)que veriÞca exactamente laincompresibilidad ((v1h, v2h) ∈ Kh)

para discretizar al dominio, es decir si se aumenta la cantidad de elementos (y sedisminuye la longitud h de cada lado de los cuadrados); la interseccion Uh ∩Kh

seguira estando formada por una unica funcion (v1h, v2h) y dicha funcion seraidentica a la esquematizada en la Þgura (5.11), es decir, (v1h, v2h) es nula en cadauno de los nodos interiores a la cavidad.Si en vez de discretizar la cavidad con elementos cuadrados, se hubiesen elegido

elementos cuadrilateros de lados opuestos no paralelos, la situacion hubiese sidotodavõa peor en el sentido que el espacio Kh resulta todavõa mas chico que elcorrespondiente a elementos cuadrados y de las pocas velocidades exactamenteincompresibles generalmente ninguna satisface tambien las condiciones de bordecinematicas, es decir el espacio Uh ∩Kh resulta vacõo (ver referencia [20]).

Resumiendo entonces, no es posible exigir que la solucion aproximada para lasvelocidadades de las ecuaciones del movimiento (5.3) y las relaciones constitutivas(con las condiciones de borde cinematicas), es decir, las funciones (v1h, v2h) que(junto con la presiones aproximadas ph) veriÞcan la igualdad (5.12) cumplantambien la condicion de incompresibilidad exactamente ya que esta condicionrestringe muchõsimo la familia de posibles formas (o modos) en que se puedenmover los elementos y la malla (es decir, el espacio Uh∩Kh resulta practicamentevacõo).Es necesario entonces pedir que las velocidades aproximadas (v1h, v2h) en

80

Page 85: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

A

12

3 4

1

A

12

3 4

1

x2

x2

x1

x1

A B

C12

3 4

5

6

h

h

Ω

x1

x2

x2

x2

x1

g1 g1

Figura 5.10: Bloqueo de un elemento de la malla utilizada en la discretizacion delproblema de la cavidad conducida

vez de ser exactamente incompresibles (es decir, que pertenezcan a Kh), seanincompresibles en una forma mas debil (es decir, que pertenezcan a ciertoespacio Kh mas grande que Kh). En las proximas secciones se estudiaran enparticular dos formas de debilitar la condicion de incompresibilidad: el metodode los multiplicadores de Lagrange, y el metodo de penalizacion.

5.3. Metodo de los multiplicadores de Lagrange

El metodo de los multiplicadores de Lagrange propone la siguiente formade aproximar la condicion de incompresibilidad: se pide que las velocidadesaproximadas (v1h, v2h) cumplan la siguiente igualdad:Z

Ω

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!qh dΩ = 0 (5.16)

81

Page 86: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1

x2

h

h

Ω

Figura 5.11: Reprentacion esquematica de la unica funcion aproximante (v1h, v2h)contenida en Uh ∩Kh

para toda funcion qh ∈ Qh. Cuando una funcion (v1h, v2h) veriÞca esta condicionse dice que dicha funcion es debilmente incompresible con respecto al espacio Qh.Al conjunto de velocidades aproximantes (v1h, v2h) que son debilmente incom-

presibles se lo simbolizara como Kh ,es decir,

Kh =

((v1h, v2h) ∈ Hh tales que

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!qh dΩ = 0 ∀ qh ∈ Qh

)

El metodo de los multiplicadores de Lagrange propone entonces como solucionaproximada de las ecuaciones completas del ßujo estacionario de un medioviscoso incompresible (que experimenta deformaciones planas) a las velocidades(v1h, v2h) ∈ Uh ∩Kh que junto con las presiones aproximadas ph ∈ Qh veriÞcanla igualdad (5.12), es decir, las funciones (v1h, v2h) ∈ Uh ∩ Kh y ph ∈ Qh que

82

Page 87: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

cumplen10 ZΩδ úεh

T · 2µ D · Id · úεh dΩ+ZΩδ úεh

T ·M ph dΩ =ZΩδvh

T · b dΩ +ZΓfδvh

T · f dΓ ∀ (δv1h, δv2h) ∈ Vh

o bien, las funciones (v1h, v2h) ∈ Uh y ph ∈ Qh que veriÞcan simultaneamenteZΩδ úεh

T · 2µ D · Id · úεh dΩ +ZΩδ úεh

T ·M ph dΩ =ZΩδvh

T · b dΩ+ZΓf

δvhT · f dΓ ∀ (δv1h, δv2h) ∈ VhZ

Ωqh M

T · úεh dΩ = 0 ∀ qh ∈ Qh(5.17)

donde

δ úεh =

∂δv1h∂x1∂δv2h∂x2

∂δv1h∂x2

+ ∂δv2h∂x1

úεh =

∂v1h∂x1∂v2h∂x2

∂v1h∂x2

+ ∂v2h∂x1

δ úεh

T ·M =∂δv1h∂x1

+∂δv2h∂x2

MT · úεh =∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

5.3.1. Interpretacion geometrica del metodo de los multiplicadores deLagrange

La igualdad (5.16) admite la siguiente interpretacion geometrica: el espacio Qh esun subespacio vectorial de L2(Ω) que es el conjunto al que pertenecen las presionesp.11 Por otra parte, siendo las velocidades aproximantes (v1h, v2h) funciones

10Recordar que las velocidades (v1h, v2h) y presiones ph aproximadas deben cumplir laigualdad (5.12) para que resulten soluciones aproximadas de la ecuacion del movimiento y larelacion constitutiva.11En realidad, Qh no es un subespacio de L2(Ω) sino un subespacio de L2(Ωh), donde Ωh

es la union de todos los elementos Ωe y L2(Ωh) es el conjunto de las funciones v deÞnidas enΩh y de cuadrado integrable, es decir,

RΩhv2 dΩ < ∞. Si estos dos dominios coinciden (es

decir, si Ω = Ωh), entonces dichos espacios L2(Ω) y L2(Ωh) tambien coincidiran. En adelantese considerara que Ω y Ωh son efectivamente iguales y se utilizaran indistintamente a ambossõmbolos para representarlos.

83

Page 88: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

continuas y polinomicas dentro de cada elemento, entonces sus divergencias³∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

´tambien seran funciones de L2(Ω), es decir, el conjunto de las

divergencias de funciones (v1h, v2h) de Hh tambien sera un subespacio de L2(Ω)

(ver referencias [3] y [5]). Llamando Dh a dicho subespacio, es decir

Dh =

(q ∈ L2(Ω) tales que q = ∂v1h

∂x1+∂v2h∂x2

para alguna (v1h, v2h) ∈ Hh

)entonces se deduce que existen dos subespacios de L2(Ω) en juego, el espaciode las presiones aproximadas Qh y el de las divergencias de las velocidadesaproximadas Dh.Por otra parte, a la integral

RΩ p q dΩ se la puede interpretar como un producto

interno deÞnido para cada par de elementos p y q pertenecientes al espacio L2(Ω).12

Esto se expresa representando a dicha integral con el sõmbolo hp, qi, es decir,13

hp, qi =ZΩp q dΩ

Teniendo en cuenta esto, la idea de velocidad (v1h, v2h) debilmente incompresi-ble se puede reinterpretar de la siguiente forma: una funcion (v1h, v2h) ∈ Hh seradebilmente incompresible si su divergencia es ortogonal a todo el espacio Qh, esdecir, si *Ã

∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!, qh

+= 0 ∀ qh ∈ Qh (5.18)

o en otras palabras, si la proyeccion ortogonal de su divergencia ∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

sobreQh es 0.Al conjunto Kh de velocidades aproximadas (v1h, v2h) debilmente incompresi-

bles, se lo puede reexpresar entonces como

Kh =

((v1h, v2h) ∈ Hh tales que

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!⊥ Qh

)12El producto interno es una funcion que a cada par de elementos de un espacio vectorial (en

este caso L2(Ω)) le hace corresponder un numero real, es decir, h·, ·i : L2(Ω)×L2(Ω)→ < y queveriÞca las siguientes axiomas:½ hp, pi > 0 ∀ p ∈ L2(Ω) y p 6= 0

hp, pi = 0⇔ p = 0(deÞnida positiva)½ hp+ r, qi = hp, qi+ hr, qi

hα p, qi = α hp, qi ∀ p, q ∈ L2(Ω) y ∀ α ∈ < (linealidad)

hp, qi = hq, pi ∀ p, q ∈ L2(Ω) (simetrõa)Al estar dotado el espacio L2(Ω) de un producto interno, tendra sentido hablar de ortogonalidady de proyecciones ortogonales.13No confundir con el sõmbolo hΦ(f)i utilizado para escribir en forma mas compacta la relacion

constitutiva para la viscoplasticidad en el tercer capõtulo (ecuacion 3.34).

84

Page 89: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

(ortogonal a Qh quiere decir ortogonal a qh ∀ qh ∈ Qh).De la deÞnicion de producto interno, surge en primer lugar que si Dh ⊂ Qh

entonces toda funcion (v1h, v2h) que veriÞque (5.18) sera exactamente incompre-sible, es decir, cumplira ∂v1h

∂x1+ ∂v2h

∂x2= 0 ya que como ∂v1h

∂x1+ ∂v2h

∂x2∈ Dh, si Dh ⊂ Qh

entonces ∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

pertenecera a Qh y la unica funcion perteneciente a Qh que

es ortogonal a todo el espacio Qh es la funcion nula, es decir,∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

= 0.

5.3.2. Eleccion del espacio Qh

Observando las igualdades (5.17) se deduce que el metodo de multiplicadores deLagrange superara las diÞcultades discutidas en la seccion anterior (el problemadel bloqueo) si el espacio de las funciones debilmente incompresibles Kh esmas grande que el de las funciones exactamente incompresibles Kh de manerala interseccion Uh ∩ Kh contenga muchas funciones y no una sola (o a vecesninguna) como sucede en el conjunto Uh ∩ Kh. Como Kh se puede interpretarcomo el subconjunto de funciones (v1h, v2h) ∈ Hh cuyas divergencias

∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

son ortogonales a Qh se deduce que la riqueza de dicho espacio Kh dependerade cual es el espacio de funciones aproximantes de las presiones Qh que se elige: siel espacio Qh es muy grande (en comparacion a L

2(Ω)), entonces Kh sera muychico (porque si Qh es muy grande, muy pocas funciones q seran ortogonalesy de las pocas, seran muchõsimo menos las que ademas sean divergencias defunciones de Hh), y si el espacio Qh es chico, Kh resultara grande (porquehabra muchas funciones q perpendiculares a el y sera mas facil encontrar algunasque ademas sean divergencias de funciones (v1h, v2h) ∈ Hh) (ver referencia [3]).Por ejemplo, si se elige como espacio de las presiones aproximantes Qh a las

funciones que son discontinuas entre elementos y dentro de cada elemento sonpolinomios bilineales, es decir, polinomios construidos como combinacion linealde la base 1, r, s y rs, entonces se puede demostrar que tanto si los elementos soncuadrados (o rectangulares) como si son cuadrilateros de lados no paralelos, losespacios Kh y Kh resultan identicos, y por lo tanto una interpolacion de este tipopara las presiones no soluciona el problema del bloqueo. Para demostrar que esteespacio Qh no sirve, se observa en primer lugar que si los elementos son cuadradoso rectangulares, las velocidades aproximantes (v1h, v2h) dentro de cada elementoseran polinomios bilineales, es decir, estaran dadas por

v1h(x1, x2) = α1 + β1 x1 + γ1 x2 + δ1 x1x2

v2h(x1, x2) = α2 + β2 x1 + γ2 x2 + δ2 x1x2

y la divergencia de (v1h, v2h) dentro de cada elemento sera entonces un polinomiolineal:

∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

= (β1 + γ2) + +δ1 x2 + δ2 x1

85

Page 90: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Por otra parte si las presiones se interpolan dentro de cada elemento conpolinomios bilineales, (y si los elementos son cuadrados o rectangulares) entonces,estaran dadas por:

qh(x1, x2) = a+ b x1 + c x2 + c x1x2

Por lo tanto el espacio Dh (es decir, el espacio de funciones q ∈ L2(Ω) queson divergencias de funciones (v1h, v2h) aproximantes de las velocidades) estaraformado por funciones lineales en cada elemento y el espacio Qh estara formadopor funciones bilineales. Claramente resulta Dh ⊂ Qh y como se dijo enla seccion anterior, esto implica que las unicas funciones (v1h, v2h) que sondebilmente incompresibles respecto a este espacio Qh son las que son exactamenteincompresible, es decir, es decir Kh = Kh.En segundo lugar, si los elementos son cuadrilateros no cuadrados (ni

rectangulares), entonces, se puede demostrar que la divergencia de cada funcion(v1h, v2h) aproximante de la velocidad dentro de cada elemento esta dada por unaexpresion del tipo

∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

=A+B r + C s

|J | (5.19)

donde A, B y C son parametros que dependen de las coordenadas de los nodosy de las velocidades nodales, y |J | el jacobiano del sistema (x1(r, s), x2(r, s)).1414Esto se demuestra de la siguiente forma: las velocidades aproximantes estaran dadas dentro

de cada elemento por:

v1h(r, s) = α1 + β1 r + γ1 s+ δ1 rs

v2h(r, s) = α2 + β2 r + γ2 s+ δ2 rs

con αj , βj, γj y δj parametros que dependen de las velocidades en los nodos del elemento. Ladivergencia de (v1h, v2h) sera entonces:

∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

= ∂v1h∂r

∂r∂x1

+ ∂v1h∂s

∂s∂x1

+ ∂v2h∂r

∂r∂x2

+ ∂v2h∂s

∂s∂x2

=

= (β1 + δ1 s)∂r∂x1

+ (γ1 + δ1 r)∂s∂x1

+ (β2 + δ2 s)∂r∂x2

+ (γ2 + δ2 r)∂s∂x2

(5.20)

Por otra parte las coordenadas locales (r, s) se relacionaran con las globales (x1, x2) por:

x1(r, s) = a1 + b1 r + c1 s+ d1 rs

x2(r, s) = a2 + b2 r + c2 s+ d2 rs

con aj , bj, cj y dj constantes que dependen de las coordenadas de los nodos. Entonces lasderivadas ∂r

∂x1, ∂s∂x1, ∂r∂x2, ∂s∂x2

seran· ∂r∂x1

∂s∂x1

∂r∂x2

∂s∂x2

¸=

·∂x1∂r

∂x2∂r

∂x1∂s

∂x2∂s

¸−1= 1

|J|

·∂x2∂s − ∂x2

∂r

−∂x1∂s

∂x1∂r

¸=

= 1|J |

·(c2 + d2 r) − (b2 + d2 s)− (c1 + d1 r) (b1 + d1 s)

¸

86

Page 91: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Como el espacio de presiones aproximantes Qh consiste en funciones qh que sonpolinomios bilineales en r y s dentro de cada elemento es decir cada qh ∈ Qh estadado por

qh(r, s) = a+ b r + c s+ d rs

entonces15ZΩ

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!qh dΩ =

XE

ZΩE

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!qh dΩ =

=XE

1Z−1

1Z−1

1|J | (A+B r + C s) (a+ b r + c s+ d rs) |J| dr ds =

donde

|J | =∂x1∂r

∂x2∂s

− ∂x2∂r

∂x1∂s

=

= (b1 + d1 s) (c2 + d2 r)− (b2 + d2 s) (c1 + d1 r) == D +E r + F s

con

D = b1c2 − b2c1E = b1d2 − b2d1F = d1c2 − d2c1

Sustituyendo estas derivadas en la expresion de la divergencia (5.20) se obtiene

∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

= 1|J| (β1 + δ1 s) (c2 + d2 r)− 1

|J | (γ1 + δ1 r) (b2 + d2 s)++ 1|J | (γ2 + δ2 r) (b1 + d1 s)− 1

|J| (β2 + δ2 s) (c1 + d1 r) == 1

|J| (A+B r + C s)

con

A = β1c2 − γ1b2 + γ2b1 − β2c1B = β1d2 − δ1b2 + δ2b1 − β2d1C = δ1c2 − γ1d2 + γ2d1 − δ2c1

que es lo que se querõa demostrar.15Recordar que las funciones (x1(r, s), x2(r, s)) deÞnen el cambio de coordenadas locales (r, s)

(con −1 ≤ r ≤ 1 y −1 ≤ s ≤ 1) a coordenadas globales (x1, x2) (con (x1, x2) ∈ ΩE) y que por lotanto, la integral de una funcion cualquiera f(x1, x2) sobre la region ΩE se podra calcular como

ZΩE

f(x1, x2) dΩ =

1Z−1

1Z−1f(x1(r, s), x2(r, s)) dr ds

87

Page 92: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

=XE

4³Aa+ 1

3B b+ 1

3C c

´Esto sera cero para toda funcion qh ∈ Qh, es decir, para cualquier combinacionde valores a, b, c y d si y solo si A = B = C = 0, es decir si y solo si∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

= A+B r+C s|J | = 0. Es decir, tambien para elementos distorsionados, las

unicas funciones (v1h, v2h) debilmente incompresibles respecto a este espacio Qhseran las de divergencia exactamente nula, y entonces, cuando Qh esta dado porpolinomios bilineales adentro de elementos distorsionados (es decir, ni cuadradosni rectangulares) tambien se obtiene Kh = Kh.

Un razonamiento identico se puede hacer para el caso en que el espacio Qh esteformado por funciones discontinuas entre elementos y que son polinomios linealesdentro de cada elemento, es decir, cuando cada qh ∈ Qh tiene la forma

qh(r, s) = a+ b r + c s

En este caso resulta tambien Kh = Kh y una interpolacion lineal, tampoco sirvepara solucionar el problema del bloqueo.

Habiendose descartado a los espacios Qh de funciones bilineales y al de laslineales, se considera ahora el caso de las funciones qh que son discontinuasentre elementos y constantes (es decir, polinomios de grado 0) dentro de cadaelemento. Se demostrara que si se elige a este conjunto como espacio de presionesaproximantes Qh, entonces el espacio Kh de funciones debilmente incompresiblescon respecto a dicho espacio Qh resuta mucho mas grande que Kh y por lo tanto,esta resulta ser la unica eleccion posible de Qh (cuando el espacio Hh es el quecorresponde a elementos de cuatro nodos) que supera el problema del bloqueo.Para demostrar esto se observa que si cada funcion qh es constante dentro de

cada elemento, es decir,qh = q

(E)

dentro del elemento E, donde q(E) = cte, entonces una funcion (v1h, v2h) ∈ Hh

sera debilmente incompresible respecto a dichas funciones qh cuandoZΩ

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!qh dΩ =

XE

ZΩE

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!q(E) dΩ =

=XE

q(E)ZΩE

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!dΩ = 0 ∀ q(E)

donde como q(E) es constante (dentro de cada dominio elemental ΩE), entonces selo puede sacar afuera de cada integral. La igualdad anterior se cumplira para

88

Page 93: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

cualquier funcion q ∈ Qh, es decir, para cualquier combinacion de valores q(E),si y solo sõ cada una de las integrales de

³∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

´sobre cada elemento E es

nula, es decir si ZΩE

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!dΩ = 0 ∀ E (5.21)

Esto signiÞca que (v1h, v2h) sera debilmente incompresible respecto al espacioQh de funciones constantes en cada elemento, si es incompresible en sentidomedio, o bien (teniendo en cuenta el teorema de la divergencia) siZ

ΓE

(v1h, v2h) · n dΓ = 0 ∀ E (5.22)

(siendo ΓE la frontera de cada elemento y n su normal saliente), es decir, si elßujo neto o caudal que pasa a traves de cada elemento es cero (la cantidad deßuido que entra por unidad de tiempo al elemento es igual a la que sale).Por otra parte, utilizando la igualdad (5.19) y cambiando las variables (x1, x2)

por las (r, s) en la integral (5.21) se obtiene

ZΩE

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!dΩ =

1Z−1

1Z−1

1

|J | (A+B r + C s) |J| dr ds = 4 A

donde |J| es el jacobiano del cambio de coordenadas (x1(r, s), x2(r, s)), y teniendoen cuenta que

³∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

´= 1

|J| (A+B r + C s) por lo queÃ∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!¯¯(r,s)=(0,0)

=A

(|J |)|(r,s)=(0,0)(es decir, la constante A es igual al jacobiano evaluado en (r, s) = (0, 0)multiplicado por la divergencia evaludada en (r, s) = (0, 0)) se deduce queZ

ΩE

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!dΩ = 4

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!¯¯(r,s)=(0,0)

(|J |)|(r,s)=(0,0)

Entonces, una funcion (v1h, v2h) cumplira las igualdades (5.21) si y solo si ladevergencia de (v1h, v2h) en el centro (coordenada (r, s) = (0, 0)) de cadaelemento E es nula, es decir, siÃ

∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!¯¯(r,s)=(0,0)

∀ E (5.23)

De las igualdad (5.21) (que se cumple si y solo si se cumple la (5.22) o la (5.23))se deduce que el espacio Kh de funciones debilmente incompresible respecto al

89

Page 94: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

espacio Qh formado por funciones qh que son constantes dentro de cada elementoy discontinuas entre elementos, estara dado por todas aquellas funciones (v1h, v2h)para las cuales se cumple (5.21) o (5.22) o (5.23), es decir,

Kh =

((v1h, v2h) ∈ Hh tales que

ZΩE

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!dΩ = 0 ∀ E

)=

=½(v1h, v2h) ∈ Hh tales que

ZΓE

(v1h, v2h) · n dΓ = 0 ∀ E¾=

=

(v1h, v2h) ∈ Hh tales que

Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!¯¯(r,s)=(0,0)

= 0 ∀ E

Claramente este espacio Kh sera mucho mas grande que el conjunto de fun-ciones exactamente incompresibles Kh porque es mucho mas exigente pedir que³∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

´sea nula en todo el elemento E (es decir, en todo (r, s) perteneciente

a ΩE) que pedir solamente que sea nula en (r, s) = (0, 0).Se puede entender mejor por que este espacio Kh es bastante mas grande

que Kh y entonces se evita el problema del bloqueo, considerando nuevamente elproblema de la cavidad conducida visto en la seccion anterior: al analizar comoera el espacio Kh ∩Uh en este ejemplo, se observo que en un elemento como elA de la Þgura (5.10), el nodo 1 resulta bloqueado (es decir, no puede moverseen ninguna direccion) si se exige que la velocidad aproximante (v1h, v2h) en dichoelemento sea exactamente incompresible. En cambio, si se pide que esta velocidadsea incompresible en valor medio, es decir, que

RΩE

³∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

´dΩ = 0 (lo

que implica que el ßujo neto que atravieza al elemento es nulo), entonces dichonodo podra moverse en la direccion mostrada en la Þgura (5.12) porque cuandola velocidad del nodo 1 tiene dicha direccion, la cantidad de ßuido que ingresaraal elemento a traves de la cara 4 − 1 se compensa con la que sale por la cara1− 2 de manera que el ßujo neto es cero. Es decir, al debilitarse la condicion deincompresibilidad, el nodo 1 gana un grado de libertad. Lo mismo ocurre conlos nodos vecinos y en general con todos los nodos de la malla y entonces existiranmuchas funciones en Kh ∩Uh y no una sola como ocurrõa en Kh ∩Uh.

5.3.3. Forma matricial de la formulacion con multiplicadores de La-grange

Como se dijo antes, cada una de las componentes v1h y v2h, de las velocidadesaproximadas, son funciones pertenecientes al espacio Hh (el conjunto de funcionescontinuas y que son polinomios dentro de cada elemento). Como la base de esteespacio son las funciones nJ ∈ Hh que valen 1 en el nodo J y 0 en los restantes,entonces dichas componentes se pueden expresar en la forma (5.11), es decir, como

90

Page 95: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

A

12

3 4

x2

x1A

12

3 4h

h

Ω

x1

x2

45o

B

C

Figura 5.12: Ejemplo de la cavidad conducida: desbloqueo de la malla aldebilitarse la condicion de incompresibilidad.

combinacion lineal de dicha base, donde los parametros que acompanan a la baseson los valores que toman dichas componentes en los nodos, es decir,

v1h =NXJ=1

nJ v(J)1h

v2h =NXJ=1

nJ v(J)2h

Si se numeran con el õndice I a los nodos que se ubican sobre la parte Γv dela frontera de Ω que es donde las velocidades estan especiÞcadas y deben valer(g1, g2), y con el õndice J a los nodos que se encuentran en el interior del dominioΩh entonces las funciones (v1h, v2h) que pertenecen al espacio Uh, (que estaformado por las funciones (v1h, v2h) pertenecientes a Hh que ademas cumplen(v1h, v2h) = (g1, g2) en los nodos de la periferia) se podran escribir en la forma:

v1h =NvXJ=1

nJ v(J)1h +

NgXI=1

nI g(I)1

v2h =NvXJ=1

nJ v(J)2h +

NgXI=1

nI g(I)2 (5.24)

donde (v(J)1h , v(J)2h ) son los valores de (v1h, v2h) en cada nodo J, (g

(I)1 , g

(I)2 ) los valores

que toman las velocidades (g1, g2) sobre los nodos I de la frontera Γv y Nv y Ng son

91

Page 96: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

respectivamente, la cantidad de nodos interiories a Ωh y los ubicados sobre la parteΓv de la frontera de Ω (que es la parte donde estan preÞjadas las velocidades).Como las velocidades aproximantes se pueden escribir en la forma (5.24),

las velocidades de deformacion úεh que se derivaran de de dichas velocidadesaproximantes estaran dadas por:

úεh =

∂v1h∂x1∂v2h∂x2

∂v1h∂x2

+ ∂v2h∂x1

=

NvXJ=1

∂nJ∂x1

v(J)1h +NgXI=1

∂nI∂x1

g(I)1

NvXJ=1

∂nJ∂x2

v(J)2h +

NgXI=1

∂nI∂x2

g(I)2

NvXJ=1

n∂nJ∂x2

v(J)1h +∂nJ∂x1

v(J)2h

o+

NgXI=1

n∂nI∂x2

g(I)1 + ∂nI∂x1

g(I)2o

(5.25)

Estas identidades se pueden reescribir en una forma mucho mas compacta si seorganiza a los parametros v

(J)1h y v

(J)2h , a los numeros g

(I)1 y g

(I)2 y a las derivadas

∂nJ∂x1, ∂nJ∂x2, ∂nI∂x1

y ∂nI∂x2

en matrices: llamando V a la matriz (columna) que agrupa

a los valores nodales de las velocidades aproximantes v(J)1h y v(J)2h , y G a la

correspondiente a las velocidades impuestas g(I)1 y g(I)2 en los nodos de la frontera,es decir,

V T =³v(1)1h v(1)2h v(2)1h v(2)2h · · · v(J)1h v(J)2h · · · v(NV )1h v(NV )2h

´GT =

³g(1)1 g(1)2 g(2)1 g(2)2 · · · g(I)1 g(I)2 · · · g(NG)1 g(NG)2

´(donde V es una matriz de (NV × 1) y G una de (NG × 1) con NV = 2Nv yNG = 2Ng),16 la igualdad (5.25) se podra reescribir como:

úεh =

∂v1h∂x1∂v2h∂x2

∂v1h∂x2

+ ∂v2h∂x1

= Bv · V +Bg ·G (5.26)

donde:

Bv =

∂n1∂x1

0 ∂n2∂x1

0 · · · ∂nJ∂x1

0 · · ·0 ∂n1

∂x20 ∂n2

∂x2· · · 0 ∂nJ

∂x2· · ·

∂n1∂x2

∂n1∂x1

∂n2∂x2

∂n1∂x1

· · · ∂nJ∂x2

∂nJ∂x1

· · ·

Bg =

∂n1∂x1

0 ∂n2∂x1

0 · · · ∂nI∂x1

0 · · ·0 ∂n1

∂x20 ∂n2

∂x2· · · 0 ∂nJ

∂x2· · ·

∂n1∂x2

∂n1∂x1

∂n2∂x2

∂n1∂x1

· · · ∂nI∂x2

∂nJ∂x1

· · ·

(5.27)

16Recordar que Nv es la cantidad total de nodos interiores a Ω y Ng es la cantidad totalde nodos ubicados sobre la frontera Γv. Como hay dos componentes de velocidad por nodo,entonces el numero total de parametros nodales seran 2Nv y 2Ng.

92

Page 97: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

son las matrices que agrupan a las derivadas de las funciones base nJ correspon-dientes respectivamente a los nodos interiores a Ω y a los ubicados sobre Γv cuyasdimensiones son (3×NV ) y (3×NG).El mismo razonamiento es aplicable al caso de las funciones (δv1h, δv2h) que

pertenecen al espacioVh (las velocidades virtuales). Recordando que las funciones(δv1h, δv2h) ∈ Vh deben valer (0, 0) en los nodos de la frontera Γv, se deduce quecualquiera de ellas se podra escribir como

δv1h =NvXJ=1

nJ δv(J)1h

δv2h =NvXJ=1

nJ δv(J)2h

y la velocidades de deformacion virtual δ úεh que se derivan de ellas como

δ úεh =

∂δv1h∂x1∂δv2h∂x2

∂δv1h∂x2

+ ∂δv2h∂x1

= Bv · δV (5.28)

donde δV es la matriz (columna) que agrupa a los valores nodales de lasvelocidades virtuales (δv1h, δv2h), es decir,

δV T =³δv(1)1h δv(1)2h δv(2)1h δv(2)2h · · · δv(J)1h δv(J)2h · · · δv(Nv)1h δv(Nv)2h

´cuya dimension es (NV × 1).17Con respecto al espacio Qh de presiones aproximantes, tambien se dijo antes

que, como se trata de un espacio vectorial de dimension Þnita, la presionaproximada ph (o cualquier otra funcion qh) se podra escribir como:

ph =NPXE=1

nE p(E)h (5.29)

donde nE son las funciones base de este espacio, que valen 1 en el nodo de presionE y cero en los restantes, y p

(E)h es el valor que toma la presion aproximada ph en

el nodo de presion E. Organizando a los parametros p(E)h y a las funciones nE en

matrices (columna) esta igualdad se puede reescribir como

ph = NT · P (5.30)

17Recordar que NV = 2Nv, es decir, la dimension del vector de velocidades nodales es dosveces la cantidad total de nodos interiores a Ω porque existen dos grados de libertad por nodo.

93

Page 98: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

donde

NT=

³n1 n2 · · · nE · · · nNP

´P T =

³p(1)h p(2)h · · · p(E)h · · · p(NP )h

´( N y P son matrices de dimension (NP ×1) siendo NP el numero total de nodosde presion que, como se dijo antes, deÞne la dimension del espacio Qh) y engeneral, cualquier funcion del espacio Qh se podra expresar como

qh = NT ·Q (5.31)

(siendo Q la matriz que agrupa a los valores de qh en los nodos de presion, es decir

a los parametros q(E)h ).

Sustituyendo ahora las expresiones (5.26), (5.28), (5.30) y (5.31) en lasigualdades (5.17) se obtiene lo siguiente:

δV T ·³Kd · V + CT · P + Fv + Fb + Ff

´= 0 ∀ δV

QT · (C · V +H) = 0 ∀ Q (5.32)

donde:

Kd =ZΩBv

T · 2µ D · Id ·Bv dΩ (NV ×NV )C =

N ·MT ·Bv dΩ (NP ×NV )Fv =

ZΩBv

T · 2µ D · Id ·Bg ·G dΩ (NV × 1)Fb =

ZΩBv

T · b dΩ (NV × 1)Ff =

ZΓf

BvT · f dΩ (NV × 1)

H =ZΩ

N ·MT ·Bg ·G dΩ (NP × 1)

(5.33)

Para que las igualdades (5.32) se cumplan para cualquier vector δV y Q, losterminos que se agrupan dentro del parentesis deberan ser iguales al vector nulo0. Por lo tanto, las presiones ph y velocidades (v1h, v2h) que veriÞquen la igualdad(5.17) seran aquellas cuyos valores nodales P y V veriÞquen:

Kd · V + CT · P = −FC · V = −H (5.34)

donde F = Fv + Fb + Ff .El sistema de ecuaciones (5.34) con las matrices Kd, C, Fv, Fb, Ff y H dadas

por las relaciones (5.33) constituye un sistema de ecuaciones lineales para las

94

Page 99: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

incognitas P y V que son las presiones y velocidades nodales. Resolviendo estesistema y utilizando las expresiones (5.24) y (5.29) se obtienen las funciones(v1h, v2h) y ph que satisfacen las igualdades (5.17) propuestas en el metodo delos multiplicadores de Lagrange.

5.3.4. Existencia de la solucion: modos de presion

Habiendose elegido las bases nj de Hh y nj de Qh, cada funcion (v1h, v2h) ∈ Uh

y ph ∈ Qh queda unõvocamente determinada por los valores que tienen dichasfunciones en los respectivos nodos. Como dichos valores nodales se agrupan enmatrices V y P , entonces cada funcion (v1h, v2h) del espacio Uh se identiÞcaracon un vector V (de dimension NV ) y cada elemento ph del espacio Qh secorrespondera con un vector P (de dimension NP ). Por lo tanto el problemade encontrar a las funciones (v1h, v2h) ∈ Uh y ph ∈ Qh que satisfacen la igualdad(5.17) se reducira al de hallar los vectores V ∈ <NV y P ∈ <NP que son soluciondel sistema de ecuaciones algebraicas (5.34).Para resolver este sistema de ecuaciones lineales se observa primero que las

matrices que intervienen en el mismo tienen las siguientes caracterõsticas:

1. La matriz Kd es una matriz cuadrada de NV × NV . Se puede demostrar(ver referencia [2]) que esta matriz resulta simetrica (Kd

T = Kd) y deÞnidapositiva (es decir, V T ·Kd · V > 0 para todo V ∈ <NV y V 6= 0) por lo quesera entonces inversible.

2. La matriz C es una matriz no cuadrada de NP × NV con NP menor queNV . Esto es asõ porque segun se explico antes, para que no exista bloqueoes necesario que el espacio Kh ∩Uh contenga muchas funciones y no unasola y como este espacio esta generado por todos aquellos vectores V queveriÞquen18

C · V = −H (5.35)

entonces para que Kh ∩Uh sea grande es necesario que este sistema notenga solucion unica sino muchas soluciones. Esto sucedera solamentesi NP es menor que NV porque si fuera mayor, entonces el sistema (5.35)estara formado por mayor cantidad de ecuaciones que incognitas y de existirsolucion V , dicha solucion sera unica y en cambio si NP es menor que NVentonces el numero de ecuaciones sera menor que el de incognitas V y (sino existe incompatibilidad) dicho sistema tendra inÞnitas soluciones que eslo que se necesita.

18Recordar que la segunda de las ecuaciones (5.34) se obtiene imponiendo la condicion deincompresibilidad en forma debil (la condicion (5.16)) a una funcion (v1h, v2h) perteneciente alespacio Uh (y expresada en terminos de la base nJ).

95

Page 100: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

3. Se puede demostrar (ver referencias [12] y [26]) que frecuentemente (enparticular cuando se utilizan elementos cuadrados y cuando Ff = 0) estamatriz C no es de rango competo, es decir, la imagen de C, que es elconjunto de todos los vectores de <NP que se obtienen haciendo C · V paratodo V ∈ <NV , es decir,

Im(C) =nH ∈ <NP tal que H = C · V para cierto V ∈ <NV

ono es todo <NP sino un subespacio de el. En otras palabras, el sistemaC · V = −H no tiene solucion para ciertos vectores H ∈ <NP , que son losque estan afuera de su imagen.

4. Observando que la Im(C) es ortogonal al nucleo de CT , deÞnido como elconjunto de todos los vectores Q ∈ <NP que veriÞcan CT ·Q = 0, es decir,19

Ker(CT ) =nQ ∈ <NP tal que CT ·Q = 0

oy teniendo en cuenta que Im(C) no es todo el espacio <NP sino unsubconjunto de el, entonces dicho nucleo de CT sera no vacõo, es decir,existiran ciertos vectores Q ∈ <NP distintos del vector nulo tales que

CT ·Q = 0.20

Teniendo en cuenta estas caracterõsticas de las matrices Kd, C y CT , se puede

demostrar (ver referencia [12]) que existira una solucion del sistema (5.34) si ysolo sõ el vector H ∈ <NP que aparece como termino independiente de la segundade dichas ecuaciones, pertenece a la imagen de C, o bien, teniendo en cuenta queIm(C) es ortogonal al nucleo de CT , si dicho vector H es ortogonal a Ker(CT ). A

19Esto es asõ porque si Q pertence a Ker(CT ) entonces CT · Q = 0 lo que implica que

V T ·CT ·Q = 0 para cualquier vector V ∈ <NV . Esto es lo mismo que decir que QT ·C ·V = 0para todo V ∈ <NV lo que a su vez quiere decir que QT es ortogonal a Im(C). Lo mismo

ocurrira con cualquier otro Q ∈ Ker(CT ). Luego Ker(CT ) es ortogonal a Im(C).20Para demostrar esto se observa que la ecuacion C · V = −H, se puede reescribir de la

siguiente forma:NVXJ=1

C(J) VJ = −H

donde C(J) son las columnas de C (de dimension NP ) y VJ las componentes de V por lo que la

imagen de C sera el subespacio que se obtiene combinando linealmente a dichas columnas C(J)

es decir, dichas columnas seran una base de Im(C). Si este espacio no es todo <NP entoncesexistiran ciertos vectores Q distintos del vector nulo que son ortogonales a toda la base C(J) de

Im(C), es decir, que cumplan QT ·C(J) para todo J lo que implica que C ·Q = 0 y que Ker(C)contiene vectores Q no nulos.

96

Page 101: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

los vectores Q ∈ <NP distintos del vector nulo, que cumplen CT ·Q = 0 (es decir,a los elementos de Ker(CT )) se los llama modos de presion. La condicion para queexista solucion de las ecuaciones (5.34) es entonces que H sea ortogonal a todoslos modos de presion. Se puede demostrar tambien que cuando dicha condicionse satisface, la solucion V para las velocidades es unica y la correspondiente alas presiones P esta formada por una parte P ∗ ortogonal a todos los modos depresion y unica, mas un modo de presion Q arbitrario, es decir

P = P ∗ +Q con P ∗ ⊥ Ker(CT ) (unica) y Q ∈ Ker(CT ) (arbitraria)es decir, la solucion para las presiones no es unica pero las inÞnitas solucionesesta compuesta por una parte unica P ∗ mas cualquier elemento Q del Ker(CT )(cualquier modo de presion).La existencia de modos de presion tiene entonces como consecuencia que para

ciertos terminos independientes H existira solucion y para otros no. Como estevector H proviene de las condiciones de borde cinematicas (g1, g2), (ver ecuacion(5.33)) entonces la existencia de solucion del sistema (5.34) esta condicionada acuales seran dichas condiciones de borde.Para ilustrar este problema se considera nuevamente el problema de la cavidad

conducida (ver Þgura (5.7)). Se puede demostrar (ver referencias [12] y [26]) que,para este ejemplo, existen dos modos de presion linealmente independientes, esdecir, dos vectores Q ∈ <NP distintos del vector nulo (y distintos entre sõ) queveriÞcan

CT ·Q = 0Uno es el modo hidrostatico QH deÞnido como

QHT =

³1 1 1 · · · 1 1 1

´es decir, constante en todo el dominio Ω y el otro es el denominado modo dedamero QC (o modo checkerboard) que tiene la siguiente expresion:

QCT =

³−1 1 −1 · · · −1 1 · · ·

´es decir, los valores de QC

T alternan entre un numero positivo y uno negativo deelemento en elemento. En la Þgura (5.13) se muestra esquematicamente a esteultimo modo de presion. Existira solucion si las condiciones de borde cinematicas(g1, g2) que se imponen dan lugar a un vectorH (ver igualdades (5.33)) ortogonal aambos modos de presion. En la Þgura (5.14) se muestran dos tipos de condicionesde borde (g1, g2) parecidas: en el primer caso, se impone una velocidad tangencial(g1, g2) = (cte, 0) en todos los nodos del borde superior y un velocidad nula(g1, g2) = (0, 0) en el resto de los nodos del borde, y en el otro, se impone una

97

Page 102: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

velocidad tangencial en todos los nodos del borde superior salvo el nodo 1 y el N(ver Þgura (5.14)) en los que, al igual que el resto de los nodos de la frontera, seexige que la velocidad sea nula. Si bien ambas condiciones de borde son parecidas,se puede demostrar (ver referencia [12]) que en el primer caso se cumple queH = 0por lo que

QHT ·H = 0

QCT ·H = 0

es decir, se satisfacen las condiciones de exisitencia de solucion, mientras que enel segundo, el vector H proveniente de dichas condiciones cumple:

QHT ·H = 0

QCT ·H = −h

2

³1 + (−1)M

´donde h es la longitud de los lados de cada elemento, y M es la cantidad deelementos que se ubican en el borde superior de la cavidad por lo que, si M espar, el vector H no sera ortogonal a uno de los modos de presion, (el modo QC

T )y por lo tanto no existe solucion.

x1

x2

h

h

Ω

1

1

1

1

1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

1 1-1 -1

1

1

1

1

1

1

-1

-1

-1

-1

Figura 5.13: Modo de presion tipo damero o checkerboard

Se ve entonces que, cuando hay modos de presion, la existencia de solucionesdel sistema (5.34) resulta inßuenciada por las condiciones de borde cinematicasimpuestas. Se puede demostrar que la presencia de estos modos depende de la

98

Page 103: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1 x1

x2 x2

h h

h h

Ω Ω

(g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(cte,0) (g1,g2)=(cte,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

11 MM

Figura 5.14: Condiciones de borde utilizadas en el problema de la cavidadconducida

geometrõa de los elementos, y que en general existen dos modos independientesasociados al elemento elegido (4 nodos para la velocidad y 1 nodo para la presion):

el modo hidrostatico QHT =

³1 1 1 · · · 1 1 1

´y el modo checkerboard

cuya expresion para mallas cuadradas es la presentada en el ejemplo de la cavidad,y la correspondiente a mallas mas generales tiene la forma

QCT =

³1α1

− 1α2

1α3

· · · 1αE

− 1αE+1

· · ·´

donde las constantes αE son positivas y dependen de la geometrõa de cada ele-mento E (ver referencia [26]).

La presencia de modos de presion, ademas de condicionar la existencia de unasolucion del sistema (5.34) tiene otra consecuencia: si bien existira solucion de estesistema cuando H sea ortogonal a los modos de presion dicha solucion no se puedehallar con los metodos habituales de resolucion de sistemas de ecuaciones linealesdado que, por ser el nucleo de CT no vacõo (y la matriz C de rango incompleto)la matriz de este sistema, resultara no inversible. Es decir, despejando V dela primera de la ecuaciones (5.34) y reemplazando en la segunda para obtener lasiguiente ecuacion para las presiones³

C ·K−1d · CT

´· P = −C ·K−1

d · F +H (5.36)

se encuentra que, por ser el nucleo de CT no vacõo, el determinante de la matriz³C ·Kd

−1CT´sera nulo y entonces la solucion para P (y por lo tanto la de V ), si

99

Page 104: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

bien existen, no pueden encontrarse directamente.

Resumiendo entonces, cuando hay modos de presion (que son los vectoresQ ∈ <NP distintos del vector nulo que veriÞcan CT · Q = 0) la solucion de lasecuaciones (5.34) (y la correspondiente a las presiones (5.36) que se deriva deella) puede no existir. La condicion necesaria y suÞciente para que dicha solucionsõ exista es que el vector H ∈ <NP que es uno de los terminos independientesde estas ecuaciones y que se deriva de las condiciones de borde impuestas paralas velocidades, este contenido en la imagen de C, es decir, sea orotogonal a losmodos de presion. Cuando existe, la solucion se caracteriza por ser unica para lasvelocidades y unica para las presiones salvo combinaciones lineales arbitrarias dedichos modos de presion y no puede ser hallada directamente dado que la matrizdel sistema resulta no inversible.

5.3.5. PreÞltrado de los modos de presion

Como se dijo antes, la solucion del sistema (5.36) (que es la ecuacion para laspresiones que se deriva de las (5.34)) se puede escribir (cuando existe) como

P = P ∗ +Q

donde P ∗ es perpendicular a los modos de presion, (y esta componente es unica)y Q es un modo de presion (arbitrario). Como en general existen dos posiblesmodos independientes, el modo hidrostatico QH y el modo checkerboard QCcualquier modo de presion arbitrario Q se podra escribir como combinacion deestos y la solucion mas general para las presiones es (cuando existe),

P = P ∗ + βH QH + βC QC (5.37)

donde βH y βC son constantes arbitrarias. La parte P∗ de esta solucion no puede

encontrarse directamente, ya que la matriz del sistema (5.36) no es inversible.Una de las formas de solucionar esta diÞcultad numerica es el preÞltrado o

rigidizacion de los modos de presion (ver referencia [6]). Este metodo proponemodiÞcar a la ecuacion de las presiones (5.36) de la siguiente manera:³C ·K−1

d · CT + ηH A · φH · φHT · A+ ηC A · φC · φCT · A´·P = −C ·K−1

d ·F +H(5.38)

donde ηH y ηC son dos constantes no nulas, φH y φC son los modos de presion

100

Page 105: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

QH y QC normalizados,21 es decir,

φH =QH

kQHk =QH√

QHT ·A·QH

φC =QC

kQCk =QC√

QCT ·A·QC

(5.39)

y A es la matriz del producto interno.22 Se puede demostrar que, a diferencia de lamatriz

³C ·K−1

d · CT´(la matriz del sistema (5.36)), la matriz de este sistema de

ecuaciones modiÞcado sõ es inversible y que su solucion es P ∗, es decir, esta librede modos de presion. Tambien se puede demostrar, que eligiendo a las constantesηH y ηC suÞcientemente grandes, el problema de la inexistencia de solucionescuando el vector H no es ortogonal a los modos de presion no se presenta, esdecir, la solucion para las presiones y velocidades existe tambien en dicho caso.Para demostrar esto se observa en primer lugar que los modos de presion QH

21Si bienQH yQC son linealmente independientes, en general no son mutuamente ortogonalesdado que son autovectores asociados a un mismo autovalor (el autovalor nulo). Como masadelante se necesita una base ortonormal de autovectores, φH y φC no se interpretaran entonces

como los modos QH y QC normalizados, sino como la base de Ker(CT ) ortonormalizadaconstruida con estos modos. Es decir, φH y φC son los versores construidos como combinacionlineal de QH y QC que son ortogonales entre sõ.22Como se explico antes, el producto interno entre dos vectores p y q de L2(Ω) esta dado por

hp, qi =ZΩ

p · q dΩ

En particular para dos vectores ph y qh pertenecientes a Qh que es un subespacio de L2(Ω) el

producto interno sera

hph, qhi =ZΩ

ph · qh dΩ

Expresando a ph y a qh en terminos de la base nE de Qh elegida, es decir,

ph = NT · P

qh = NT ·Q

donde NTes la matriz (columna) que agrupa a las funciones base nE (ver ecuaciones (5.29) y

(5.30)), el producto interno entre dos elementos de Qh se puede escribir como

hph, qhi = P T ·A ·Q (5.40)

donde

A =

N · NTdΩ

101

Page 106: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

y QC, por ser vectores del nucleo de CT , cumpliran³

C ·K−1d · CT

´·QH = 0 = 0 QH³

C ·K−1d · CT

´·QC = 0 = 0 QC

(5.41)

por lo que seran autovectores asociados a autovalores nulos de la matriz³C ·K−1

d · CT´. En segundo lugar se observa que, como esta matriz es simetrica,

el resto de sus autovectores (en total NP−2) seran todos ortogonales a los modosde presion QH y QC (y ortogonales entre sõ) por lo que formaran una base del

complemento ortogonal de Ker(CT ). Entonces, P ∗ que es la parte de P quepertenece a este ultimo conjunto (es decir, es ortogonal a los modos de presion)podra ser expresado como combinacion lineal de dicha base de autovectores, esdecir, llamando φE (con 1 ≤ E ≤ NP − 2) a los autovectores de

³C ·K−1

d · CT´

ortogonales a los modos de presion φH y φC (normalizados), que son los vectoresque cumplen ³

C ·K−1d · CT

´· φE = λE · A · φE (5.42)

φET · A · φE = 1 (5.43)

(donde A es la matriz del producto interno y λE es el autovalor correspondienteal autovector φE), P

∗ podra escribirse como

P ∗ =NP−2XE=1

xE φE (5.44)

donde xE son parametros que dependeran de la participacion que tenga cadaautovector φE en P ∗. Sustituyendo las igualdades (5.37) y (5.44) en las ecuaciones(5.36) y teniendo en cuenta que los autovectores φE veriÞcan la igualdad (5.42) y

A esta matriz se la denomina matriz del producto interno. Recordando que cadaelemento nE de la base de Qh vale 1 en el elemento E y cero en los restantes y queNT=¡n1 n2 · · · nE · · · ¢, se deduce que esta matriz sera una matriz diagonal con

AEE = Area(ΩE). En particular si los elementos son cuadrados o tienen todos el mismo area,entonces la matriz A sera multiplo de la matriz identidad.De la igualdad (5.40) se deduce que la norma de una funcion ph estara dada por

kphk2 = hph, phi = PT ·A · P

por lo que kphk = 1 implica que PT · A · P = 1 y que dos vectores ph y qh seran ortogonalescuando

hph, qhi = P T ·A ·Q = 0

102

Page 107: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

que los modos de presion cumplen (5.41) se obtiene

NP−2XE=1

λE xE A · φE = −C ·K−1d · F +H

y premultiplicando por cualquier autovector φJT (1 ≤ J ≤ NP −2) se obtendra23

λJ xJ = φJT ·

³−C ·K−1

d · F +H´

1 ≤ J ≤ NP − 2Se deduce entonces que la solucion P del sistema (5.36) estara dada por

P =

ÃNP−2XE=1

xE φE

!| z

P ∗

+xH φH + xC φC (5.45)

conxH = xC = arbitrario

xE =φE

T ·³−C ·K−1

d · F +H´

λE1 ≤ E ≤ NP − 2

(5.46)

Si, en cambio, se sustituyen las igualdades (5.37) y (5.44) en el sistema deecuaciones modiÞcado (5.38), se obtieneÃ

NP−2XE=1

λE xE A · φE!+ ηH xH A · φH + ηC xC A · φC = −C ·K−1

d · F +H

donde xH y xC son constantes (multiplos de las constantes βH yβC que aparecenen la (5.37)) y premultiplicando por cualquier autovector φJ , se obtendra ahora

24,

λJ xJ = φJT ·

³−C ·K−1

d · F +H´

1 ≤ J ≤ NP − 2ηH xH = φH

T ·HηC xC = φC

T ·H23Recordar que los autovectores φE son todos ortogonales entre sõ (porque provienen de una

matriz simetrica) y estan normalizados, es decir, verÞcan

φJ ·A · φE = 0 si J 6= EφJ ·A · φE = 1 si J = E

por lo que φJ ·µNP−2PE=1

λE xE A · φE¶=

NP−2PE=1

λE xE¡φJ ·A · φE

¢= λJ xJ .

24Recordar que los modos de presion φH y φC cumplen CT ·φH = 0 y CT ·φC = 0 por lo que

φHT ·³−C ·K−1

d · F +H´= φH

T ·HφC

T ·³−C ·K−1

d · F +H´= φC

T ·H

103

Page 108: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

La solucion del sistema modiÞcado (5.38) estara dada entonces por

P =

ÃNP−2XE=1

xE φE

!| z

P ∗

+xH φH + xC φC (5.47)

con

xH =φH

T ·HηH

xC =φC

T ·HηC

xE =φE

T ·³−C ·K−1

d · F +H´

λE1 ≤ E ≤ NP − 2

(5.48)

Comparando la solucion del sistema (5.36) (ecuaciones (5.45) y (5.46)) con lacorrespondiente al sistema modiÞcado (5.38) (ecuaciones (5.47) y (5.48)), sededuce que, si H es perpendicular a los modos de presion, es decir, si φH

T ·H =

φCT ·H = 0, entonces la solucion del sistema modiÞcado (5.38) sera P ∗ y que si H

no es perpendicular a los modos de presion y si ηH y ηC se eligen suÞcientementegrandes, entonces la solucion de las ecuaciones (5.38) estara dada por (5.47) conxH y xC muy chicas, es decir, es practicamente igual a P

∗.Se observa entonces, que con este metodo de preÞltrado, se puede hallar la

solucion para las presiones (la parte P ∗) libre de modos de presion a pesar quela matriz

³C ·K−1

d · CT´es singular. Una vez obtenida P , la solucion para las

velocidades se obtiene resolviendo la primera de las ecuaciones (5.34), es decir,

V = −K−1d ·

³F + CT · P

´Ejemplo numerico

En la Þgura (5.15) y (5.16) se muestran las presiones y velocidades obtenidasal resolver con el metodo de multiplicadores de Lagrange con preÞltrado origidizacion de los modos de presion el problema de la cavidad conducida paralos dos tipos de condiciones de borde mostrados en la Þgura (5.14) y para dostipos de mallas: una formada por M ×M elementos con M par, y otra formadapor M ×M elementos con M impar. Se observa que para el segundo tipo decondicion de borde impuesta, si bien se pudo obtener una solucion, esta solucionno es satisfactoria dado que los elementos debieron distorsionarse demasiado parapoder cumplir simultaneamente las condiciones de borde cinematicas (g1, g2) y lacondicion de incompresibilidad (impuesta en forma debil) hecho que da lugar auna aproximacion de las presiones pobre. Esto implica que en este caso, el espacio

104

Page 109: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Kh ∩Uh (con Qh formado por funciones constantes dentro de cada elemento ydiscontinuas entre elementos) no resulta lo suÞcientemente rico como para que sepuedan encontrar dentro de el buenas aproximaciones para las velocidades.

5.4. Metodo de penalizacion

Como se dijo antes, el metodo de multiplicadores de lagrange (con Þltradode los modos de presion) es una de las formas de debilitar la condicionde incompresibilidad y evitar el problema del bloqueo. Sin embargo presentala desventaja que para hallar la solucion para las velocidades, que son lasincognitas primarias del problema, es necesario resolver primero las ecuacionespara las presiones (5.36).25 Una forma alternativa de debilitar la condicion deincompresibilidad y que tiene la ventaja que sõ se puede formular en terminosexclusivos de las velocidades, es el metodo de penalizacion.Este metodo propone la siguiente forma de aproximar la condicion de

incompresibilidad: se modiÞca la ecuacion de incompresibilidad (5.4) segunÃ∂v1∂x1

+∂v1∂x2

!− 1

κp = 0

donde κ es una constante (grande) llamada coeÞciente de penalizacion y p esla presion, y se pide a las velocidades aproximadas (v1h, v2h) y a la presionaproximada ph que cumplanZ

Ω

"Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!− 1

κph

#qh dΩ = 0 (5.49)

para toda funcion qh ∈ Qh.El metodo de penalizacion propone entonces como solucion aproximada de las

ecuaciones completas del ßujo de un medio viscoso incompresible (plano) a lasfunciones (v1h, v2h) ∈ Uh y ph ∈ Qh que veriÞcan:Z

Ωδ úεh

T · 2µ D · Id · úεh dΩ +ZΩδ úεh

T ·M ph dΩ =ZΩδvh

T · b dΩ+ZΓf

δvhT · f dΓ ∀ (δv1h, δv2h) ∈ VhZ

Ωqh

·MT · úεh − 1

κph

¸dΩ = 0 ∀ qh ∈ Qh

(5.50)

25Recordar que en las ecuaciones (5.32) se pudo despejar V de la primera de ellas y reemplazaren la segunda para obtener el sistema(5.36) que involucra exclusivamente a las presiones peroes imposible encontrar una ecuacion en la que aparezcan solamente las velocidades porque laspresiones V no se pueden despejar de la segunda de las ecuaciones (5.32).

105

Page 110: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Condición de borde tipo (a) Condición de borde tipo (b)

Condición de borde tipo (b)Condición de borde tipo (a)

14 x 14 elementos (Numero par) 14 x 14 elementos (Numero par)

13 x 13 elementos (Numero impar)13 x 13 elementos (Numero impar)

Condiciones de borde utilizadas:Tipo (a) (Velocidades impuestas enlos nodos 1 a M inclusive)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en losnodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos)

x1 x1

x2 x2

h h

h h

Ω Ω

(g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(cte,0) (g1,g2)=(cte,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

11 MM

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

Figura 5.15: Velocidades obtenidas para el problema de la cavidad conducida paradistintas mallas y condiciones de borde (Metodo de multiplicadores de Lagrangecon preÞltrado de los modos de presion).

106

Page 111: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Condición de borde tipo (a) Condición de borde tipo (b)

Condición de borde tipo (b)Condición de borde tipo (a)

14 x 14 elementos (Numero par) 14 x 14 elementos (Numero par)

13 x 13 elementos (Numero impar)13 x 13 elementos (Numero impar)

Condiciones de borde utilizadas:Tipo (a) (Velocidades impuestas enlos nodos 1 a M inclusive)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en losnodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos)

x1 x1

x2 x2

h h

h h

Ω Ω

(g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(cte,0) (g1,g2)=(cte,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

11 MM

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

x2

x2

x2

x2

x1

x1

x1

x1

p

p

p

p

5

10

5

10

-1

0

1

5

10

-1

0

1

2.5

5

7.5

10

12.5 2.5

5

7.5

10

12.5

-0.2

0

0.2

2.5

5

7.5

10

12.5

-0.2

0

0.2

5

10

5

10

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

5

10

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

2.5

5

7.5

10

12.5 2.5

5

7.5

10

12.5

-0.5

0

0.5

2.5

5

7.5

10

12.5

-0.5

0

0.5

Figura 5.16: Presiones obtenidas para el problema de la cavidad conducida paradistintas mallas y condiciones de borde (Metodo de multiplicadores de Lagrangecon preÞltrado de los modos de presion).

107

Page 112: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

donde

δ úεhT =

³∂δv1h∂x1

∂δv2h∂x2

∂δv1h∂x2

+ ∂δv2h∂x1

´úεhT =

³∂v1h∂x1

∂v2h∂x2

∂v1h∂x2

+ ∂v2h∂x1

´δ úεh

T ·M =∂δv1h∂x1

+∂δv2h∂x2

MT · úεh =∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

La velocidad (v1h, v2h) (junto con la presion ph) debera cumplir la primera de lasigualdades (5.50) (el principio de las potencias virtuales), para que resulte unasolucion aproximada de las ecuaciones del movimiento (5.3) y la relacion constitu-tiva para un medio viscoso (5.2), y deberan satisfacer la segunda igualdad (5.50)(con κ grande) para aproximar la condicion de incompresibilidad.

La igualdad (5.49) admite una interpretacion geometrica analoga a la corre-spondiente al metodo de los multiplicadores de Lagrange: recordando que la inte-gral

RΩ p q dΩ es un producto interno hp, qi, la igualdad (5.49) se puede reescribir

como *Ã∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!− 1

κph, qh

+= 0 ∀ qh ∈ Qh

por lo que dicha igualdad expresa que 1κ ph es la proyeccion ortogonal sobre el

espacio Qh de la divergencia de (v1h, v2h). Entonces, sõ κ es grande, las velocidades(v1h, v2h) tendran una proyeccion ortogonal sobre Qh que no es nula como en elmetodo de los multiplicadores de Lagrange, pero es casi nula.Teniendo en cuenta esto se observa que, cuando κ → ∞ la proyeccion

ortogonal de³∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

´sobre Qh tendera a cero por lo que las velocidades

(v1h, v2h) tenderan a pertenecer a Kh (ver referencias [3] y [5]) que es el conjunto

de funciones (v1h, v2h) cuya divergencia³∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

´tiene proyeccion sobre Qh

exactamente cero. Esto implica que con el metodo de penalizacion se obtienenvelocidades aproximadas (v1h, v2h) que se encuentran tan cerca de Kh como sequiera con tal que κ sea suÞcientemente grande. Recordando que para que noexista bloqueo, el espacio Kh debe ser mucho mas grande que Kh (el conjuntode las funciones exactamente incompresibles) de manera que Kh ∩Uh contengamuchas funciones y no una sola o ninguna como Kh ∩ Uh, se deduce que,al igual que en el metodo de los multiplicadores de Lagrange, se debe elegircomo espacio de presiones aproximantes Qh al formado por las funciones queson constantes dentro de cada elemento y discontinuas entre elementos, dadoque, como se demostro antes, esta es la unica eleccion de Qh que proporciona

108

Page 113: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

un espacio Kh mas grande que Kh (para polinomios de mayor orden resultabaKh = Kh).

5.4.1. Forma matricial del metodo de penalizacion

Expresando a las velocidades (v1h, v2h) ∈ Uh y a las velocidades virtuales(δv1h, δv2h) ∈ Vh como combinacion lineal de la base nJ de Hh (las funcionesde Hh que valen 1 en el nodo J y cero en los restantes) y a las presiones ph comocombinacion lineal de la base nE de Qh (las funciones de Qh que valen 1 en elnodo de presion E y cero en los restantes) (ver ecucaciones (5.26), (5.28), (5.30)y (5.31)) y reemplazando dichas expresiones en las igualdades (5.50) se obtiene

δV T ·³Kd · V + CT · P + Fv + Fb + Ff

´= 0 ∀ δV

QT ·³C · V − 1

κ A · P +H´= 0 ∀ Q (5.51)

donde, al igual que en el metodo de los multiplicadores de Lagrange, V y Pson las matrices (columna) de NV × 1 y NP × 1 que agrupan a las velocidadesy presiones nodales, Kd, C, Fv, Fb, Ff y H son las mismas matrices que seobtuvieron al deducir la forma matricial del metodo de los multiplicadores deLagrange, deÞnidas en las ecuaciones (5.33), y A es la matriz del producto interno,deÞnida como

A =ZΩ

N · NTdΩ

(siendo N la matriz que agrupa a las funciones base nE de Qh). Las igualdades(5.51) se veriÞcaran para todo δV ∈ <NV y para todo Q ∈ <NP si y solo sõ V yP cumplen

Kd · V + CT · P = −FC · V − 1

κA · P = −H(5.52)

donde F = Fv + Fb + Ff . Estas ecuaciones constituyen un sistema de ecuacioneslineales para las incognitas V y P . Resolviendo este sistema se determinan losvalores nodales de las velocidad (v1h, v2h) ∈ Uh y presion ph ∈ Qh que veriÞcalas igualdades (5.50). A diferencia del sistema obtenido con el metodo de losmultiplicadores de Lagrange (5.34), el sistema (5.52) puede ser escrito en terminosexclusivos de las velocidades V : despejando P de la segunda de las ecuaciones(5.52) y reemplazando en la primera se obtiene la ecuacion para las velocidadesµ

Kd + CT ·

³1κA

´−1 · C¶ · V = −F − CT · ³ 1κA´−1 ·H (5.53)

Resolviendo esta ecuacion se podran hallar las velocidades V sin necesidad deconocer primero las presiones. Estas ultimas se obtendran, una vez que se conocen

109

Page 114: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

las velocidades, con la segunda de las ecuaciones (5.52), es decir, con

P =³1κA

´−1 · (C · V +H) (5.54)

5.4.2. Metodo de penalizacion formulado en terminos exclusivos de lasvelocidades: integracion reducida

El sistema de ecuaciones (5.53), que involucra exclusivamente a las velocidadespuede ser obtenido sin utilizar explõcitamente la discretizacion para las presiones

ph = NT ·P : teniendo en cuenta la deÞnicion de las matrices C A y H (ecuaciones

(5.33)) y que NT=³n1 n2 · · · nNP

´siendo nE las funciones base del espacio

Qh que valen 1 en el elemento E y cero en los restantes, se puede demostrar (verreferencias [12] o [16]) que

δV · CT ·³1κA

´−1 · (C · V +H) ==

NPXE

δV T · BvT¯(r,s)=(0,0)

·MκMT ·µBv¯(r,s)=(0,0)

· V + Bg¯(r,s)=(0,0)

·G¶4 (|J|)|(r,s)=(0,0)(5.55)

donde Bv¯(r,s)=(0,0)

y Bg¯(r,s)=(0,0)

son las matrices Bv y Bg deÞnidas en (5.27)

evaluadas en el punto del elemento E de coordenadas locales (r, s) = (0, 0),(|J|)|(r,s)=(0,0) es el jacobiano del cambio de coordenadas locales (r, s) a coorde-nadas globales (x1, x2) del elemento E (el jacobiano del sistema (x1(r, s), x2(r, s)))evaluado en el punto del elemento E de coordenadas locales (r, s) = (0, 0),MT = ( 1 1 0 ) y V y G son las matrices que agrupan a los valores nodalesde las velocidades en los nodos interiores y en los de la frontera respectivamente.Recordando que (ver ecuaciones (5.26) y (5.28))

MT ·³Bv · V +Bg ·G

´=

∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

δV T ·BvT ·M =∂δv1h∂x1

+∂δv2h∂x2

y teniendo en cuenta que la integral de cualquier funcion f (x1, x2) se puede estimarutilizando el metodo de cuadratura de Gauss con un unico punto de integracion26

26Una integral cualquiera1R−1f(r) dr se puede calcular numericamente como

NXi=1

wi f(ξi)

110

Page 115: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

comoZΩEf(x1, x2) dΩ =

1Z−1

1Z−1f (x1(r, s), x2(r, s)) |J | dr ds ' 4 f(x1, x2)|(r,s)=(0,0) (|J |)|(r,s)=(0,0)

se deduce que la sumatoria del miembro derecho de la igualdad (5.55) se puedeinterpretar como la integralZ

Ω

Ã∂δv1h∂x1

+∂δv2h∂x2

!κÃ∂v1h∂x1

+∂v2h∂x2

!dΩ

hecha con el metodo de cuadratura de Gauss con un unico punto de integracion(o integracion reducida). Entonces resulta

δV · CT ·³1κA

´−1 · (C · V +H) ' RΩ

³∂δv1h∂x1

+ ∂δv2h∂x2

´κ³∂v1h∂x1

+ ∂v2h∂x2

´dΩ

y la ecuacion (5.53) se podra obtener entonces a partir de la igualdadZΩδ úεh

T · 2µ D · Id · úεh dΩ+ZΩδ úεh

T ·M κ MT · δ úεh dΩ =ZΩδvh

T · b dΩ +ZΓfδvh

T · f dΓ ∀ (δv1h, δv2h) ∈ Vh

(haciendo la segunda integral del miembro derecho con integracion reducida). Estaultima igualdad es otro punto de partida con el que se puede obtener la ecuacion(5.53) sin necesidad de interpolar a las presiones (siempre que la segunda integralse resuelva con integracion reducida).

5.4.3. Convergencia de la solucion para κ →∞Cuando se planteo el metodo de los multiplicadores de Lagrange, se vio que lasolucion para las presiones (cuando existe) se puede expresar como

P = P ∗ + βH QH + βC QC

donde βH y βC son constantes arbitrarias, QH y QC son los modos de presion, es

decir, la base del nucleo de CT y P ∗ es la parte de P ortogonal a dichos modos

donde ξi son los llamados puntos de integracion, wi son constantes positivas y N es la cantidadde puntos de integracion utilizados. A este metodo se lo llama metodo de cuadratura de Gauss.Se puede demostrar que utilizando N puntos de integracion se puede integrar exactamente unpolinomio de grado menor o igual que 2N−1. Si para integrar un polinomio de grado 2N−1 seutiliza una cantidad de puntos menor que N (por lo que la integracion no sera exacta) se diceque la integral ha sido calculada con integracion de Gauss reducida. Los puntos de integraciony las constantes wi se encuentran tabulados en funcion de N (ver por ejemplo referencia [2]).Para N = 1, corresponde w1 = 4 y ξ1 = 0.

111

Page 116: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

de presion. Tambien se vio que la solucion para las velocidades V y para laspresiones P solo existe cuando el vector H es ortogonal a los modos de presion, yque cuando esta condicion se cumple, la parte P ∗ no puede hallarse directamentey es necesario modiÞcar la ecuacion para las presiones en la forma (5.38) poderencontrarla.Con respecto al metodo de penalizacion, se puede demostrar que la solucion

para las velocidades y para la presion existe independientemente de cual seanH y κ y que cuando κ → ∞ las velocidades V convergen a las obtenidas conel metodo de los multiplicadores de Lagrange independientemente del valor de Hmientras que las presiones P convergen a la parte P ∗ de la solucion correspondienteal metodo de los multiplicadores de Lagrange (es decir, a la parte libre demodos de presion) si H es ortogonal a los modos de presion y convergen aP ∗ + βH QH + βC QC con βH y βC tendiendo a inÞnito (es decir, a una soluciontotalmente contaminada por modos de presion) si H no es ortogonal a dichosmodos. Es decir, llamando Vκ y Pκ a las velocidades y presiones que se obtienencon el metodo de penalizacion, entonces

Vκ −→κ→∞ V ∀ H ∈ <NPPκ −→κ→∞ P

∗ si QHT ·H = 0 y QC

T ·H = 0

Pκ −→κ→∞ P∗ + βH QH + βC QC con βH y βC →∞ si QH

T ·H 6= 0 o QCT ·H 6= 0

donde V es la solucion para las velocidades que se obtiene con el metodo demultiplicadores de Lagrange. Entonces, si bien con este metodo la solucion existeindependientemente de cual sea H, para obtener una solucion para las presionesque tenga sentido fõsico, es necesario que el vector H ∈ <NP que aparece en lasegunda de las ecuaciones (5.52) sea perpendicular a QH y a QC. Si esto nopasa, se obtendran presiones formadas exclusivamente por modos de presion yuna solucion de este tipo no tiene ninguna utilidad.Para demostrar esto, se observa que de las ecuaciones (5.52) se obtiene la

siguiente ecuacion para las presiones³C ·K−1

d · CT + 1κA

´· P = −C ·K−1

d · F +H (5.56)

Suponiendo que la solucion Pκ de este sistema (al igual que la solucion Pcorrespondiente al metodo de multiplicadores de Lagrange) se puede escribir como

Pκ =

ÃNP−2XE=1

xE φE

!+ xH φH + xC φC

donde xE , xH y xC son constantes ,φH y φC son los modos de presion

normalizados (ver ecuaciones (5.37)) y φE son los autovectores de C ·K−1d · CT

112

Page 117: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

(correspondientes a autovalores λE no nulos) que son identicos a los de C ·K−1d ·

CT + 1κA (porque si φE cumple

³C ·K−1

d ·CT´· φE = λE A · φE entonces³

C ·K−1d · CT + 1

κA´· φE =

³λE +

´A · φE) y reemplazando en la ecuacion

(5.56) se obtiene27

NP−2XE=1

xE³λE +

´A · φE + xH 1

κA · φH + xC 1κA · φC = −C ·K−1

d · F +H

Premultiplicando ahora por φJT y recordando que los autovectores φE , φH y φC

son todos ortogonales entre sõ, se obtendra³λJ +

´xJ = −φJT ·

³C ·K−1

d · F −H´

1 ≤ J ≤ NP − 21κ xH = φH

T ·H1κ xC = φC

T ·H

Por lo tanto, la solucion Pκ del sistema (5.56) esta dada por

Pκ =

ÃNP−2XE=1

xE φE

!+ xH φH + xC φC (5.57)

con

xE =φE

T ·³C ·K−1

d · F −H´

³λE +

´ 1 ≤ E ≤ NP − 2

xH = κ³φH

T ·H´

xC = κ³φC

T ·H´ (5.58)

Comparando las igualdades (5.57) y (5.58) con las ecuaciones (5.45) y (5.46) sededuce que si H es ortogonal a φH y φC entonces Pκ convergera a la solulcionP ∗ del metodo de multiplicadores de Lagrange cuando κ → ∞, y si H no esortogonal a φH y φC , entonces los factores xH y xC tienden a ser muy grandes ylos modos de presion φH y φC tienden a ser las componentes mas importantes enla solucion Pκ.

Ejemplo numerico

En las Þguras (5.17) y (5.18) se muestran respectivamente las soluciones para laspresiones y velocidades que se obtuvieron al resolver el problema de la cavidad

27Recordar que³C ·K−1

d · CT´· φE = λE A · φE y que

³C ·K−1

d · CT´· φH = 0 y³

C ·K−1d · CT

´·φC = 0 porque φH y φC son modos de presion (ver igualdades (5.41) y (5.42)).

113

Page 118: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

conducida para distintas mallas y distintas condiciones de borde cone el metodode penalizacion. Se observa que en el caso de condiciones de borde tipo b) (verÞgura (5.14)) y malla formada por un numero par de elementos en cada lado (casopara el cual el vector H no es ortogonal a los modos de presion hidrostatico ychekerboard φH y φC), se obtiene una solucion para la presiones que se encuentracompletamente contaminada por dichos modos, tal como se prevee teoricamente.

5.5. Procedimientos iterativos para mejorar la solucion:Metodo del lagrangeano aumentado

Si bien el metodo de penalizacion permite obtener soluciones para las velocidadesV sin necesidad de hallar primero la solucion para las presiones P (como ocurrõaen el metodo de multiplicadores de Lagrange) presenta la siguiente limitacion:el sistema de ecuaciones para las velocidades que se obtiene con este metodo(ecuacion (5.53)) se puede reescribir como³

Kd + κ CT · A−1 · C´· V = −F − κ CT ·A−1 ·H (5.59)

donde el coeÞciente de penalizacion κ debe elegirse suÞcientemente grande paraque la solucion Vκ obtenida con este metodo sea parecida a la correspondienteal metodo de los multiplicadores de Lagrange, que es la solucion buscada. Sinembargo, cuando κ es muy grande, la matriz

³Kd + κ CT ·A−1 · C

´queda

numericamente mal condicionada porque estara formada por sumandos de ordenesde magnitud muy distintos por lo que el error numerico que se obtendra al resolverel sistema (5.59) sera muy grande. Se observa entonces que, por un lado κ debeser grande para Vκ aproxime mejor a la solucion buscada, pero por otro lado nopuede ser muy grande porque el sistema de ecuaciones a resolver se vuelve cadavez peor condicionado y la exactitud de Vκ es muy baja.Para superar esta limitacion se puede utilizar el procedimiento iterativo,

denominado metodo del lagrangeano aumentado (ver referencias [15] y [28]) quese resume en los siguientes pasos:

1. Conocidas las presiones P (k) correspondientes a la iteracion k se calculan lasvelocidades V (k+1) correspondientes a la iteracion k+1 mediante el sistemade ecuacionesµKd + C

T ·³1κA

´−1 · C¶ ·V (k+1)+CT ·P (k) = −F −CT ·³ 1κA´−1 ·H (5.60)

utilizando ahora un parametro κ chico para que este sistema no quedemal condicionado.

114

Page 119: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

2. Con las velocidades V (k+1) se actualizan las presiones segun:

P (k+1) = P (k) +³1κA

´−1 · ³C · V (k+1) +H´ (5.61)

Este algoritmo iterativo se inicia con P (0) = 0, por lo que las ecuaciones(5.60) y (5.61) quedan identicas para la primera iteracion a las correspondientesal metodo de penalizacion (ecuaciones (5.53) y (5.54)) y entonces V (1) y P (1) seranidenticos a la solucion Vκ y Pκ que se obtienen con el metodo de penalizacion con

κ chico, y se Þnaliza cuando cierta medida del error de V (k) y P (k) es chica.Las ecuaciones (5.60) y (5.61) se pueden reescribir en forma mas compacta

comoKd · V (k+1) + CT · P (k+1) = −FC · V (k+1) − 1

κA · P (k+1) = −H − 1κA · P (k)

(5.62)

(comparar con las (5.52)). Con este procedimiento se evitan los problemas del malcondicionamiento de la matriz del sistema (5.59) que se presentaban con el metodode penalizacion porque se utiliza un coeÞciente de penalizacion κ chico (y entoncesla matriz del sistema (5.60) estara formada por sumandos de ordenes de magnitudparecidos) y se puede demostrar que la solucion V (k) y P (k) que se alcanza despuesde k iteraciones converge cuando el numero de interaciones es grande (cuandok → ∞) a la misma solucion que se obtenõa con el metodo de penalizacion paraκ → ∞: las velocidades V (k) tienden a las velocidades V correspondientes almetodo de multiplicadores de Lagrange (con rigidizacion) independientementede H y la solucion para las presiones P (k) converge a la la parte P ∗ de laspresiones correspondientes a este ultimo metodo (la parte ortogonal a los modosde presion QH y QC) si H es ortogonal a QH y QC mientras que converge aP ∗ + βH QH + βC QC con βH y βC muy grandes (tendiendo a inÞnito) en casocontrario, es decir,

V (k) −→k→∞

V ∀ H ∈ <NPP (k) −→

k→∞P ∗ si QH

T ·H = 0 y QCT ·H = 0

P (k) −→k→∞

P ∗ + βH QH + βC QC con βH y βC →∞ si QHT ·H 6= 0 o QCT ·H 6= 0

La demostracion de esta aÞrmacion es analoga a la hecha al estudiar laconvergencia de la solucion del metodo de penalizacion Vκ y Pκ para κ → ∞:despejando V (k+1) de la primera de las ecuaciones (5.62) y reemplazando en lasegunda se obtiene la siguiente ecuacion recursiva para las presiones³

C ·K−1d · CT + 1

κA´· P (k+1) = −C ·K−1

d · F +H + 1κA · P (k) (5.63)

115

Page 120: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Si se supone que las solucion P (k) y P (k+1) correspondientes a las iteraciones k yk + 1 pueden escribirse como

P (k) =

ÃNP−2XE=1

x(k)E φE

!+ x(k)H φH + x

(k)C φC

P (k+1) =

ÃNP−2XE=1

x(k+1)E φE

!+ x

(k+1)H φH + x

(k+1)C φC

es decir, como combinacion lineal de una base comun (la base de autovectores φE ,

φH y φC de C ·K−1d ·CT + 1

κA (que son identicos a los de C ·K−1d ·CT )) pero con

constantes distintas para cada iteracion (x(k)E x(k)H y x(k)C para P (k) y x(k+1)E , x(k+1)H

y x(k+1)C para P (k+1)) entonces reemplazando en la ecuacion (5.56) se obtiene"NP−2XE=1

x(k+1)E

³λE +

´A · φE

#+ x

(k+1)H

1κA · φH + x(k+1)C

1κA · φC =

= −C ·K−1d · F +H +

"NP−2XE=1

x(k)E1κA · φE

#+ x(k)H

1κA · φH + x(k)C 1

κA · φC

y premultiplicando por φJT , φH

T y por φCT se obtendra (recordando que los

autovectores φE , φH y φC son todos ortogonales entre sõ)³λJ +

´x(k+1)J = −φJT ·

³C ·K−1

d · F −H´+ 1

κ x(k)J 1 ≤ J ≤ NP − 2

1κ x

(k+1)H = φH

T ·H + 1κ x

(k)H

1κ x

(k+1)C = φC

T ·H + 1κ x

(k)C

Las igualdades anteriores permiten calcular en forma recurrente a las constantesx(k)J , x

(k)H y x

(k)C correspondientes a cada iteracion k. Reescribiendolas en la forma

x(k+1)J =

−φJT ·³C ·K−1

d · F −H´

λJ− 1

κ λJ

³x(k+1)J − x(k)J

´1 ≤ J ≤ NP − 2

x(k+1)H = κ φHT ·H + x(k)Hx(k+1)C = κ φCT ·H + x(k)Cse deduce en primer lugar que cuando el numero de iteraciones k tiende a inÞnito,

x(k)J tendera a−φJT ·

³C·K−1

d·F−H

´λJ

para 1 ≤ J ≤ NP − 2 porque la diferencia³x(k+1)J − x(k)J

´tiende a cero cuando x

(k)J converje. En segundo lugar se observa

que si φHT ·H = φC

T ·H = 0 y si, como se dijo antes, se comienza a iterar con

P (0) = 0 con lo que x(0)H x(0)C seran nulas, entonces resultara x(k)H = x(k)C = 0 para

116

Page 121: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

todo k. Por ultimo se observa que si φHT ·H 6= 0 o φCT ·H 6= 0 entonces para

cualquier par de valores iniciales x(0)H y x(0)C se obtendra(x(k)H = k (κ φHT ·H) + x(0)Hx(k)C = k (κ φCT ·H) + x(0)C

que tiende a inÞnito cuando el numero de iteraciones k tiende a inÞnito. Por lotanto, la sucesion P (k) de presiones que veriÞcan el sistema (5.63) para todo kesta dada por

P (k) =

ÃNP−2XE=1

x(k)E φE

!+ x

(k)H φH + x

(k)C φC (5.64)

con

x(k)E −→

k→∞

−φET ·³C ·K−1

d · F −H´

λEpara 1 ≤ E ≤ NP − 2

x(k)H −→

k→∞0 y x

(k)C −→

k→∞0 si QH

T ·H = 0 y QCT ·H = 0

x(k)H −→k→∞

∞ o x(k)C −→k→∞

∞ si QHT ·H 6= 0 y QCT ·H 6= 0 respectivamente

(5.65)Comparando las igualdades (5.57) y (5.58) con las ecuaciones (5.45) y (5.46) sededuce que si H es ortogonal a φH y φC, entonces P

(k) se acerca a la solucionP ∗ del metodo de multiplicadores de Lagrange cuando el numero de interacioneses grande mientras que si H no es ortogonal a φH y φC entonces P

(k) tiendea P ∗ + xH φH + xC φC con factores xH y xC muy grandes y los modos depresion tienden a contaminar cada vez mas la solucion a medida que el numerode iteraciones k aumenta.

Ejemplo numerico

Para complementar el analisis se resolvio tambien con el metodo del lagrangeanoaumentado el problema de la cavidad conducida para las distintas condicionesde borde mostradas en la Þgura (5.14) y para mallas de distinta cantidad deelementos. Las soluciones obtenidas se muestran en las Þguras (5.19) y (5.20). Seobserva que para el caso de condiciones de borde tipo b) (ver Þgura (5.14)) y paramalla formada por un numero par de elementos en cada lado (caso para el cual elvector H no es ortogonal a los modos de presion φH y φC) se obtiene una solucionpara las presiones con una participacion de los modos espureos importante.

117

Page 122: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

5.5.1. Lagrangeano aumentado con preÞltrado o rigidizacion de losmodos de presion.

El metodo del lagrangeano aumentado es una alternativa para superar el problemadel mal condicionamiento de la matriz del sistema (5.56) para coeÞcientes depenalizacion grandes κ. Sin embargo, cuando H no es ortogonal a φH y φC nopermite encontrar solucion para las presiones. Una alternativa para solucionareste inconveniente es modiÞcar a la ecuacion recurrente de las presiones (5.63) enuna forma analoga a la utilizada en el metodo de multiplicadores de Lagrangecon preÞltrado o rigidizacionde los modos de presion, es decir, sumando a lamatriz de dicho sistema de ecuaciones el termino ηH A·φH ·φHT ·A+ηC A·φC ·φCT ·Adonde ηH y ηC son constantes positivas (y grandes). La ecuacion para laspresiones propuesta es entonces³

C ·K−1d · CT + 1

κA+ ηH A · φH · φHT · A+ ηC A · φC · φCT · A´· P (k+1) =

= −C ·K−1d · F +H + 1

κA · P (k)(5.66)

Se puede demostrar (usando el mismo razonando que se utilizo para deducir lasigualdades (5.57) y (5.58)) que las presiones P (k) que se obtienen con este nuevoalgoritmo estran dadas por

P (k) =

ÃNP−2XE=1

x(k)E φE

!+ x

(k)H φH + x

(k)C φC (5.67)

con

x(k)E −→

k→∞

−φET ·³C ·K−1

d · F −H´

λEpara 1 ≤ E ≤ NP − 2

x(k)H −→k→∞

φHT ·HηH

x(k)C −→k→∞

φCT ·HηC

(5.68)

Se observa que se obtiene la misma solucion que con el metodo del lagrangeanoaumentado cuando φH

T ·H = φCT ·H = 0 (es decir, P (k) tiende a P ∗ cuando k

tiende a inÞnito) pero con este nuevo metodo tambien se obtiene la solucion P ∗

del metodo de multiplicadores de Lagrange (es decir, una solucion libre de modosde presion) cuando φH

T ·H 6= 0 o φCT · H 6= 0 siempre que se elija ηH y ηC losuÞcientemente grandes como para que

φHT ·HηH

yφC

T ·HηC

sean despreciables. Por lotanto este algorõtmo iterativo es efectivo incluso en este ultimo caso.El algorõtmo iterativo del lagrangeano aumentado con rigidizacion o pre-

Þltrado de los modos de presion φH y φC se completa con una ecuacion recursiva

118

Page 123: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

para las velocidades igual a la correspondiente al metodo del lagrangeano aumen-tado sin rigidizacion, es decir

Kd · V (k+1) + CT · P (k+1) = −F (5.69)

Combinando las ecuaciones (5.66) y (5.69) este nuevo procedimiento iterativo sepuede reescribir como

Kd · V (k+1) + CT · P (k+1) = −FC · V (k+1) −

³1κA

´· J · P (k+1) = −H − 1

κA · P (k)(5.70)

dondeJ = I + κ ηH φH · φHT · A+ κ ηC φC · φCT · A (5.71)

o bien, despejando P (k+1) de la segunda y reemplazando en la primera, comoµKd + C

T · J−1 ·³1κA

´−1 · C¶ · V (k+1) + CT · P (k) = −F − CT · J−1 · ³ 1κA´−1 ·HP (k+1) = P (k) + J−1 ·

³1κA

´−1 · ³C · V (k+1) +H´(5.72)

donde J−1 es la inversa de J (deÞnida en (5.71)) cuya expresion explõcita es

J−1 =³I + κ ηH φH · φHT · A+ κ ηC φC · φCT · A

´−1=

= I − κ ηH1+κ ηH

φH · φHT · A− κ ηC1+κ ηC

φC · φCT · A(5.73)

(es decir, no es necesario invertirla numericamente porque su expresion explõcitaes conocida y se puede calcular directamente).El algorõtmo del lagrangeano aumentado con preÞltrado o rigidizacion

permite entonces obtener la solucion para las velocidades V y la de las presionesP ∗ libre de modos de presion independientemente de cuales sean las condicionesde borde cinematicas (g1, g2), es decir, de cual sea el vector H y sin que existanproblemas de mal condicionamiento de la matriz del sistema, ya que la solucionP (k) converge a P ∗ cualquiera sea el coeÞciente κ por lo que se puede utilizar unκ chico. La nueva matriz

µKd + C

T · J−1 ·³1κA

´−1 · C¶ tampoco queda malcondicionada cuando ηH y ηC son muy grandes porque los factores

κ ηH1+κ ηH

y κ ηC1+κ ηC

que aparecen en la expresion que deÞne a J−1 (igualdad (5.73)) son de orden demagnitud 1 cuando ηH y ηC son grandes.

Ejemplo numerico

Uno de los problemas mas utilizados para evaluar y comparar distintos metodosnumericos de resolucion de ßujos incompresibles (ademas del de la cavidad con-ducida) es el del ßujo a lo largo de un canal que presenta un ensanchamiento

119

Page 124: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

brusco de la seccion transversal (ver Þgura (5.21)) (en la referencia [26] este ejem-plo es utilizado conjuntamente con el de la cavidad conducida para ejempliÞcar elproblema de la existencia de modos espureos de presion). En la Þgura (5.23) semuestran los resultados obtenidos al resolver este problema con dos condicionesde borde distintas (las dos condiciones utilizadas tambien se muestran en la Þgura(5.23)). Se utilizo una malla de elementos rectangulares para discretizar el canal(malla que presenta un modo espureo tipo checkerboard) y se resolvio este prob-lema primero mediante el metodo del lagrangeano aumentado (sin rigidizacion) ydespues incorporando el preÞltrado o rigidizacion de los modos de presion. Sepuede demostrar que para las condiciones de borde tipo (a) se obtiene un vectorH perpendicular al modo chekerboard pero que para las condiciones de borde tipo(b) se obtiene

HT ·QC = h³−1 + (−1)(M−1)

´dondeM es el numero de elementos que se ubican a la entrada del canal (ver Þgura(5.23)) y h la longitud del lado vertical de cada elemento, por lo que, si M es par,se obtendra HT · QC 6= 0. Ambos metodos proporcionaron soluciones identicascuando H · QC = 0 (es decir, con condiciones de borde tipo (a)) mientras quecuando H ·QC 6= 0 (condiciones de borde tipo (b)) se obtiene una solucion paralas presiones contaminada de modos de presion cuando no se hace el preÞltradode modos, pero practicamente libre de modos cuando sõ se hace el preÞltrado origidizacion de los modos. Es decir, la tecnica del lagrangeano aumentado conrigidizacion permite obtener soluciones aceptables aun en el segundo caso, en elque el metodo del lagrangeano aumentado sin preÞltrado fracasa (por no ser Hperpendicular a QC) (y en el que tambien fracasan las tecnicas de multiplicadoresde Lagrange y de penalizacion) y sin problemas de mal condicionamiento de lamatriz (como ocurre con el metodo de penalizacion con κ grande).

5.6. Conclusiones acerca del comportamiento de las tecnicasnumericas utilizadas para imponer la condicion de in-compresibilidad utilizando el elemento mixto Q1-P0

En este capõtulo se han presentado distintas alternativas para superar losproblemas derivados de la condicion de incompresibilidad que se presentan enel modelado numerico del ßujo plastico de metales utilizando elementos Þnitosmixtos del tipo Q1-P0 (cuadrilateros con interpolacion bilineal de velocidades(orden1) y constante para las presiones (orden 0)). Las tecnicas utilizadas parala imposicion de la incompresibilidad han sido:

Multiplicadores de Lagrange

120

Page 125: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Multiplicadores de Lagrange con rigidizacion de los modos de presion Penalizacion Lagrangeano aumentado Lagrangeano aumentado con rigidizacion de los modos de presion

Las principales conclusiones que se pueden deducir acerca del comportamientode las tecnicas numericas implementadas son las siguientes:

1. Tecnica de los multiplicadores de Lagrange

Solucion para las velocidades: Existe y es unica solo cuando H ·QH = 0 y H ·QC = 0. No es posible encontrarla si H ·QH 6= 0 o H ·QC 6= 0.

Solucion para las presiones: Existe solo cuando H · QH = 0 y H ·QC = 0. Sin embargo, dichasolucion no puede hallarse debido a que la matriz del sistema deecuaciones resulta no inversible.

Cuando H ·QH 6= 0 o H ·QC 6= 0 la solucion para las presiones noexiste.

2. Tecnica de los multiplicadores de Lagrange con rigidizacion de los modos depresion (Þguras 5.15 y 5.16)

Solucion para las velocidades Existe y puede ser hallada independientemente del valor de H.Sin embargo esta solucion resulta poco satisfactoria en ciertosproblemas debido a la pobreza de la interpolacion utilizada (esdecir, debido a las limitaciones inherentes al elemento Q1-P0).

Este metodo no puede ser formulado en terminos exclusivos de lasvelocidades. Para hallar la solucion de las velocidades es necesarioencontrar primero la solucion para las presiones.

Solucion para las presiones Cuando H ·QH = 0 y H ·QC = 0 se obtiene una solucion libre demodos de presion.

Cuando H · QH 6= 0 o H · QC 6= 0 se obtiene una solucion conparticipaciones bajas de los modos de presion.

121

Page 126: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

3. Tecnica de penalizacion (Þguras 5.17 y 5.18):

Solucion para las velocidades Cuando κ → ∞ tiende a la solucion para las velocidades queprovee el metodo de multiplicadores de Lagrange con rigidizacionde los modos de presion.

Puede ser obtenida sin encontrar antes las solucion para las pre-siones. Estas ultimas se pueden hallar a partir de las velocidadescon poco esfuerzo de calculo.

Cuando el coeÞciente de penalizacion κ es muy grande, la matrizdel sistema resulta muy mal condicionada. Esto hace que, enproblemas de muchos grados de libertad, la exactitud de la solucionnumerica obtenida sea limitada.

Solucion para las presiones Cuando H · QH = 0 y H · QC = 0, la solucion para las presionesno incorpora a los modos de presion y tiende cuando κ → ∞ ala solucion que se obtiene con la tecnica de los multiplicadores deLagrange depurada de los modos de presion QH y QC.

Cuando H · QH 6= 0 y H · QC 6= 0 se obtiene una solucion conparticipaciones muy altas de los modos de presion cuando κ →∞(los factores de peso de los modos de presion QH y QC en lasolucion resultan proporcionales a κ).

4. Tecnica del Lagrangeano aumentado (Þguras 5.19 y 5.20)

Solucion para las velocidades Cuando el numero de interaciones k tiende a inÞnito, la solucionpara las velocidades que provee esta tecnica tiende a coincidir conla correspondiente al metodo de penalizacion con κ →∞.

Debido a que se trata de un metodo iterativo, el esfuerzo de calculoes mayor que el correspondiente a la tecnica de penalizacion.

Sin embargo, una importante ventaja de esta tecnica respecto almetodo de penalizacion y que justiÞca el mayor costo de calculo, esque la matriz del sistema de ecuaciones no resulta mal condicionaday la solucion para las velocidades que se obtiene resulta entoncesde una exactitud mucho mayor.

Solucion para las presiones

122

Page 127: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Se obtienen soluciones libres de modos de presion cuando el numerode interaciones k tiende a inÞnito y cuandoH ·QH = 0 yH ·QC = 0.

Cuando H · QH 6= 0 y H · QC 6= 0 se obtiene, cuando el numerode interaciones tiende a inÞnito, soluciones para las presionestotalmente contaminadas con modos de presion (los factores depeso de los modos de presion QH y QC en la solucion resultaproporcional al numero de interaciones k).

5. Tecnica del Lagraneano aumentado con rigidizacion de los modos de presion(Þguras 5.22 y 5.23)

Solucion para las velocidades El compotamiento de la solucion para las velocidades cuando elnumero de interaciones k tiende a inÞnito es identico al correspon-diente a la tecnica del lagrangeano aumentado sin rigidizacion.

Solucion para las presiones Cuando H ·QH = 0 y H ·QC = 0 se obtiene la misma solucion queen el caso del metodo del lagrangeano aumentado sin rigidizacion,es decir, una solucion libre de modos de presion.

Cuando H · QH 6= 0 y H · QC 6= 0 se obitiene una solucion conun aporte mõnimo de los modos de presion y sin introducir malcondicionamiento en las matrices resultantes.

Es importante destacar que la tecnica del Lagrangeano aumentado suple-mentada con la rigidizacion de los modos de presion parece ser la tecnicaoptima (dentro de las limitaciones inherentes a la interpolacion utilizada(elemento Q1-P0)): porporciona soluciones tanto para las velocidades comopara las presiones independientemente del valor de H y sin problemas demal condicionamiento de la matriz del sistema. Sin embargo, cuando seutilizan mallas que tienen geometrõas mas generales que las utilizadas enlos ejemplos presentados en este capõtulo (es decir, mallas con elementosdistorsionados (ni cuadrados ni rectangulares)) y para las que no es posibleconocer a priori la expresion formal del modo de presion espureo QC, esta

tecnica requiere un calculo de los autovectores de la matriz CT ·K−1d ·C (por

lo menos de los autovectores asociados a los autovalores nulos) que encareceexageradamente el costo de la solucion numerica del problema.

123

Page 128: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Condición de borde tipo (a) Condición de borde tipo (b)

Condición de borde tipo (b)Condición de borde tipo (a)

10 x 10 elementos (Numero par) 10 x 10 elementos (Numero par)

9 x 9 elementos (Numero impar)9 x 9 elementos (Numero impar)

Condiciones de borde utilizadas:Tipo (a) (Velocidades impuestas enlos nodos 1 a M inclusive)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en losnodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos)

x1 x1

x2 x2

h h

h h

Ω Ω

(g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(cte,0) (g1,g2)=(cte,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

11 MM

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

Figura 5.17: Velocidades obtenidas para el problema de la cavidad conducida paradistintas mallas y condiciones de borde y con el metodo de Penalizacion.

124

Page 129: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Condición de borde tipo (a) Condición de borde tipo (b)

Condición de borde tipo (b)Condición de borde tipo (a)

10 x 10 elementos (Numero par) 10 x 10 elementos (Numero par)

9 x 9 elementos (Numero impar)9 x 9 elementos (Numero impar)

Condiciones de borde utilizadas:Tipo (a) (Velocidades impuestas enlos nodos 1 a M inclusive)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en losnodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos)

x1 x1

x2 x2

h h

h h

Ω Ω

(g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(cte,0) (g1,g2)=(cte,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

11 MM

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

x1

p

x1

p

x1

p

x1

p

2

4

6

8 2

4

6

8

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

2

4

6

8

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10-0.2

0

0.2

2

4

6

8

10

-0.2

0

0.2

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10-2000

-1000

0

1000

2000

2

4

6

8

10

-2000

-1000

0

1000

2000

2

4

6

8 2

4

6

8

-0.5

0

0.5

2

4

6

8

-0.5

0

0.5

Figura 5.18: Presiones obtenidas para el problema de la cavidad conducida paradistintas mallas y condiciones de borde y con el metodo de Penalizacion

125

Page 130: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Condición de borde tipo (a) Condición de borde tipo (b)

Condición de borde tipo (b)Condición de borde tipo (a)

10 x 10 elementos (Numero par) 10 x 10 elementos (Numero par)

9 x 9 elementos (Numero impar)9 x 9 elementos (Numero impar)

Condiciones de borde utilizadas:Tipo (a) (Velocidades impuestas enlos nodos 1 a M inclusive)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en losnodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos)

x1 x1

x2 x2

h h

h h

Ω Ω

(g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(cte,0) (g1,g2)=(cte,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

11 MM

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

Numéro de iteraciones: k = 30

Figura 5.19: Velocidades obtenidas para el problema de la cavidad conducidapara distintas mallas y condiciones de borde y con el metodo del lagrangeanoaumentado

126

Page 131: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Condición de borde tipo (a) Condición de borde tipo (b)

Condición de borde tipo (b)Condición de borde tipo (a)

10 x 10 elementos (Numero par) 10 x 10 elementos (Numero par)

9 x 9 elementos (Numero impar)9 x 9 elementos (Numero impar)

Condiciones de borde utilizadas:Tipo (a) (Velocidades impuestas enlos nodos 1 a M inclusive)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en losnodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos)

x1 x1

x2 x2

h h

h h

Ω Ω

(g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(cte,0) (g1,g2)=(cte,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) (g1,g2)=(0,0)

11 MM

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

x1

p

x1

p

x1

p

x1

p

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10-0.2

0

0.2

2

4

6

8

10

-0.2

0

0.2

2

4

6

8 2

4

6

8

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

2

4

6

8

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10-4

-2

0

2

4

2

4

6

8

10

-4

-2

0

2

4

2

4

6

8 2

4

6

8

-0.5

0

0.5

2

4

6

8

-0.5

0

0.5

Numero de iteraciones: k = 30

Figura 5.20: Presiones obtenidas para el problema de la cavidad conducidapara distintas mallas y condiciones de borde y con el metodo del lagrangeanoaumentado

127

Page 132: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Figura 5.21: Problema del canal con un ensanchamiento brusco: Malla ycondiciones de borde utilizadas

128

Page 133: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Velocidades (con condiciones de borde tipo (a))

Presiones (con condiciones de borde tipo (a)) Presiones (con condiciones de borde tipo (b))

Velocidades (con condiciones de borde tipo (b))

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

x1x1

x2x2

pp

0

2.5

5

7.5

10

0

2

4

6

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0

2.5

5

7.5

10

0

2

4

6

0

2.5

5

7.5

10

0

2

4

6

-6

-4

-2

0

2

0

2.5

5

7.5

10

0

2

4

6

No de iteraciones: k=60

Figura 5.22: Problema del canal con un ensanchamiento brusco: velocidades ypresiones obtenidas con el metodo del lagrangeano aumentado sin rigidizacion delos modos de presion.

129

Page 134: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

0

2.5

5

7.5

10

0

2

4

6

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0

2.5

5

7.5

10

0

2

4

6

0

2.5

5

7.5

10

0

2

4

6

-3

-2

-1

0

0

2.5

5

7.5

10

0

2

4

6

Velocidades (con condiciones de borde tipo (a))

Presiones (con condiciones de borde tipo (a)) Presiones (con condiciones de borde tipo (b))

Velocidades (con condiciones de borde tipo (b))

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

x1x1

x2x2pp

Cantidad de iteraciones utilizadas: k=30

Figura 5.23: Problema del canal con un ensanchamiento brusco: velocidades ypresiones obtenidas con el metodo del lagrangeano aumentado con rigidizacion delos modos de presion.

130

Page 135: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

6. Analisis de la localizacion de ladeformacion plastica

Como se dijo en la introduccion, la deformacion plastica de un metal ductilinicialmente se produce de forma que las velocidades varõan suavemente dentro delmetal y el estado de deformacion (o mas precisamente, el estado de velocidadesde deformacion úεij) es continuo. Sin embargo, cuando las tensiones alcanzanun determinado valor crõtico, este patron de deformacion continuo cambiarepentõnamente a un modo de deformacion localizado donde toda la deformacionse concentra en una banda angosta fuera de la cual el material permanecepracticamente sin deformarse. Las velocidades de deformacion úεij (o lo que eslo mismo, el gradiente de velocidad) pasan a ser entonces discontinuas a travesde la superÞcie que separa a la banda del material adyacente. Como dentro de labanda predominan deformaciones cortantes tangenciales a la interface que separaa la banda del resto del material, cuando se produce este cambio abrupto delpatron de deformacion, se dice que la deformacion plastica se ha localizado enuna banda de corte (shear band). Este modo de deformacion localizado cambiatotalmente el comportamiento mecanico macroscopico del metal, y si persiste,puede ser precursor de fractura.En este capõtulo se estudia la localizacion de la deformacion plastica en bandas

de corte cuando las deformaciones son planas. Se analiza para este caso, bajoque condiciones es posible obtener como solucion de las ecuaciones diferencialesque gobiernan el ßujo del metal (ecuaciones que fueron introducidas en el cuartocapõtulo), los dos modos de deformacion que se preveen experimentalmente, esdecir, el modo de deformacion suave y el modo de deformacion discontinuo y si esposible representar ambos modos de deformacion con las herramientas numericasestudiadas en el capõtulo anterior.

6.1. Formulacion de ßujo para un estado plano de defor-macion

Para simpliÞcar el estudio de la localizacion se considerara exclusivamente el casode deformaciones planas. Como se dijo en el capõtulo anterior, se deÞne como

131

Page 136: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

deformacion plana a aquella para la cual una de las componentes de la velocidad(por ejemplo v3) es nula mientras que las otras dos componentes (v1 y v2) y lapresion p no dependen de la direccion x3 (que es la direccion sobre la cual el vectorvelocidad tiene proyeccion nula). Es decir:

v1 = v1(x1, x2)v2 = v2(x1, x2)v3 = 0

p = p(x1, x2)

El modelo de material elegido para analizar la localizacion es el modelo rõgido-viscoplastico de Perzyna asociado a la ley de ßuencia de Von Mises (ecuacion(4.7)) que esta caracterizado por una ley constitutiva analoga a la correspondientea un ßuido viscoso no newtoniano (ecuacion (4.7)). En el cuarto capõtulo seformularon las ecuaciones que rigen la deformacion de un metal caracterizadopor esta relacion constitutiva (ecuaciones (4.5), (4.6), (4.7), (4.8) y (4.9)) para elcaso de deformaciones tridimiensionales. Si se supone que las deformaciones sonplanas, entonces dichas ecuaciones adquiriran la siguiente forma:

Condicion de incompresibilidad:∂v1∂x1

+∂v2∂x2

= 0 (6.1)

Relaciones cinematicas:

úε11 =∂v1∂x1

(6.2)

úε22 =∂v2∂x2

úε12 =1

2

Ã∂v1∂x2

+∂v2∂x1

!úε13 = úε23 = úε33 = 0

Relacion constitutiva:

s11 = 2µ úε11 (6.3)

s22 = 2µ úε22

s12 = 2µ úε22

s13 = s23 = s33 = 0

132

Page 137: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

donde la viscosidad 2µ esta dada por

2µ =σY (ε)√3

(1 +³√

d2η∗

´ 1δ )√

d2

siendo σY (ε) la curva tension deformacion del ensayo de traccion estatico, η∗

y δ parametros que diÞnen al material y d2 el segundo invariante principaldel tensor velocidad de deformacion úεij que en este caso esta dado por:

d2 =1

2

³úε211 + úε222 + 2 úε

212

´ Ecuaciones del movimiento para un regimen estacionario:

∂s11∂x1

+∂s12∂x2

+∂p

∂x1= 0 (6.4)

∂s21∂x1

+∂s22∂x2

+∂p

∂x2= 0

Relacion entre deformacion equivalente ε y la velocidad de deformacion úεij(cuando el movimiento es estacionario):

∂ε

∂x1v1 +

∂ε

∂x2v2 =

2√3

qd2 (6.5)

Las dos ecuaciones (6.4) con las tensiones dadas por las (6.3) y las velocidadesde deformacion dadas por las (6.2) junto con la condicion de incompresibilidad(6.1) y la relacion deformacion equivalante-velocidad de deformacion equivalente(6.5) constituyen un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales para las cuatroincognitas v1 ,v2, p y ε y son las ecuaciones que describen la deformacion plasticade un metal (caracterizado por la ley constitutiva rõgido/viscoplastica de Perzynaasociada a la ley de ßuencia de Von Mises) cuando las deformaciones son planas.Al igual que en el caso tridimensional, si se supone que σY (ε) = cte, es decir, que elmaterial no experimenta endurecimiento por deformacion, entonces la viscosidad2µ resulta independiente de la deformacion equivalente ε y la cuarta ecuacion (laecuacion (6.5)) queda desacoplada de las tres anteriores que constituiran entoncesun sistema de tres ecuaciones para las tres incognitas v1 ,v2, p.

6.2. Existencia de soluciones discontinuas

Como se dijo antes, la localizacion de la deformacion plastica es un cambiorepentino de un patron de deformacion suave (donde la velocidad de deformacion

133

Page 138: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

es continua) a un patron caracterizado por la presencia de una discontinuidaden la velocidad de deformacion (y por lo tanto en el gradiente de velocidades) atraves de ciertas curvas. Se estudia entonces si es posible obtener una soluciondiscontinua de las ecuaciones formuladas en la seccion anterior. Se entiende porsolucion discontinua del sistema de ecuaciones (6.1), (6.2), (6.3), (6.4) y (6.5) atraves de una curva Γ a aquella que cumple las siguientes dos condiciones (verreferencia [8]):

1. A ambos lados de la curva Γ se satisfacen todas las ecuaciones diferenciales.

2. Al menos una de las derivadas ∂vi∂xj

es discontinua (es decir, pega un salto) a

traves de Γ.

Para ver si es posible la existencia de soluciones discontinuas de las ecuacionesdiferenciales de la deformacion plana, se hace lo siguiente: sustituyendo la relacionconstitutiva (6.3) en la ecuacion del movimiento (6.4) para eliminar las tensionessij de dichas ecuaciones se obtiene:

∂x1(2µ úε11) +

∂x2(2µ úε12) +

∂p

∂x1= 0

∂x1(2µ úε12) +

∂x2(2µ úε22) +

∂p

∂x2= 0

o bien,

2µ∂ úε11∂x1

+∂(2µ)

∂x1úε11 + 2µ

∂ úε12∂x2

+∂(2µ)

∂x2úε12 +

∂p

∂x1= 0 (6.6)

2µ∂ úε12∂x1

+∂(2µ)

∂x1úε12 + 2µ

∂ úε22∂x2

+∂(2µ)

∂x2úε22 +

∂p

∂x2= 0

Si se supone que el material no experimenta endurecimiento por deformacion,es decir, que σY (ε) = cte, entonces la viscosidad 2µ estara dada por

2µ =σY√3

µ1 +

³√d2η∗

´ 1δ

¶√d2

y la derivada ∂(2µ)∂xk

sera

∂(2µ)

∂xk=

∂(2µ)

∂d2

∂d2∂xk

=σY√3

³1δ− 1

´ ³√d2η∗

´ 1δ − 1√

d2

1

2 d2

∂d2∂xk

=

=

µ1δ − 1¶σY√3

µ1 +

³√d2η∗

´ 1δ

¶√d2

− 1δ

σY√3

1√d2

1

2 d2

∂d2∂xk

134

Page 139: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

o bien, llamando 2µ∞ al termino σY√3

1√d2(que es la viscosidad que corre-

sponde a η∗ → ∞) y recordando que d2 = 12( úε211 + úε222 + 2 úε

212), por lo que

∂d2∂xk

= úε11∂ úε11∂xk

+ úε22∂ úε22∂xk

+ 2 úε12∂ úε12∂xk,

∂(2µ)

∂xk= −

·µ1− 1

δ

¶2µ +

1

δ2µ∞

¸1

2 d2

Ãúε11∂ úε11∂xk

+ úε22∂ úε22∂xk

+ 2 úε12∂ úε12∂xk

!

Para simpliÞcar el analisis se considera el caso de un material para el cualη∗ →∞, es decir, un material cuya tension de ßuencia no depende de la velocidadde deformacion. En este caso, la viscosidad 2µ esta dada por

2µ = 2µ∞ =σY√3

1√d2

y la derivada∂(2µ)∂xk

se reduce a:

∂(2µ)

∂xk= −2µ∞ 1

2 d2

Ãúε11∂ úε11∂xk

+ úε22∂ úε22∂xk

+ 2 úε12∂ úε12∂xk

!

Sustituyendo la expresion anterior de la derivada ∂(2µ)∂xk

en las ecuaciones (6.6) yagrupando terminos se obtiene:

∂ úε11∂x1

+∂ úε12∂x2

− úε112 d2

Ãúε11∂ úε11∂x1

+ úε22∂ úε22∂x1

+ 2 úε12∂ úε12∂x1

!−

− úε122 d2

Ãúε11∂ úε11∂x2

+ úε22∂ úε22∂x2

+ 2 úε12∂ úε12∂x2

!+

1

2µ∞

∂p

∂x1= 0

∂ úε12∂x1

+∂ úε22∂x2

− úε122 d2

Ãúε11∂ úε11∂x1

+ úε22∂ úε22∂x1

+ 2 úε12∂ úε12∂x1

!−

− úε222 d2

Ãúε11∂ úε11∂x2

+ úε22∂ úε22∂x2

+ 2 úε12∂ úε12∂x2

!+

1

2µ∞

∂p

∂x2= 0

y utilizando las relaciones cinematicas (6.2) para expresar a estas ecuaciones enterminos de las derivadas de las componentes de la velocidad se llega aÃ

1− úε211d2

!∂2v1∂x21

− 2 úε11 úε12d2

∂2v1∂x1 ∂x2

+

Ã1− úε212

d2

!∂2v1∂x22

− úε11 úε12d2

∂2v2∂x21

− úε11 úε22 + úε212d2

∂2v2∂x1 ∂x2

− úε12 úε22d2

∂2v2∂x22

+2

2µ∞

∂p

∂x1= 0

(6.7)

− úε12 úε11d2

∂2v1∂x21

− úε212 + úε11 úε22d2

∂2v1∂x1 ∂x2

− úε22 úε12d2

∂2v1∂x22

+

+

Ã1− úε212

d2

!∂2v2∂x21

− 2 úε22 úε12d2

∂2v2∂x1 ∂x2

+

Ã1− úε222

d2

!∂2v2∂x22

+2

2µ∞

∂p

∂x2= 0

135

Page 140: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Estas ecuaciones (junto con la ecuacion de incompresibilidad (6.1)) son lasecuaciones que describen la deformacion de un metal caracterizado por la leyconstitutiva rõgido/viscoplastica de Perzyna con σY (ε) = cte (es decir, materialsin endurecimiento por deformacion) y η∗ →∞ (es decir, material para el cual laßuencia no depende de las variaciones de la velocidad de deformacion), expresadasen terminos de las componentes de la velocidad (v1, v2) y de la presion p (verreferencia [8]).Si se supone ahora que en todos los puntos de cierta curva Γ son conocidas

ambas componentes de la velocidad, la presion y la derivada de ambas compo-nentes de la velocidad en la direccion normal a la curva Γ, es decir (llamando x1y x2 a las direcciones tangencial y normal a la curva y (v1, v2) a las componentesde la velocidad en dichas direcciones (ver Þgura (6.1))), si se supone que en todoslos puntos de la curva Γ son conocidas v1, v2, p,

∂v1∂x2

y ∂v2∂x2

,entonces tambien seranconocidas las derivadas de todas estas magnitudes respecto a la direccion tangentea la curva Γ (la direccion x1), es decir, tambien seran conocidas

∂v1∂x1, ∂

2v1∂x21, ∂

3v1∂x31, · · ·

∂v2∂x1, ∂

2v2∂x21, ∂

3v2∂x31, · · ·

∂p∂x1, ∂

2p∂x21, ∂

3p∂x31, · · ·

∂2v1∂x1∂x2

, ∂2v1∂x21∂x2

, ∂3v1∂x31∂x2

, · · ·∂2v2∂x1∂x2

, ∂2v2∂x21∂x2

, ∂3v2∂x31∂x2

, · · ·

Se pretende ahora establecer que condiciones se deben cumplir para que,conociendo v1, v2, p,

∂v1∂x2

y ∂v2∂x2

(y todas sus derivadas respecto a x1) sobre lacurva Γ y sabiendo que v1, v2 y p deben cumplir las ecuaciones diferenciales(6.1) y (6.7),1 se puedan determinar v1, v2 y p afuera de la curva Γ, (es decir,que condiciones se deben cumplir para que se pueda propagar la informacionconocida sobre la curva Γ afuera de la misma).Para que las velocidades v1 y v2 y la presion p afuera de la curva Γ puedan

ser determinadas hace falta conocer ademas de v1, v2, p,∂v1∂x2, ∂v2∂x2

y todas susderivadas respecto a x1, los valores de las derivadas de v1, v2, p en la direccionnormal a la curva (la direccion x2) es decir

∂2v1∂x22, ∂

3v1∂x32, · · ·

∂2v2∂x22, ∂

3v2∂x32, · · ·

∂p∂x2, ∂

2p∂x22, ∂

3p∂x32, · · ·

1Las ecuaciones (6.1) y (6.7) son validas para cualquier sistema de coordenadas cartesianoortogonal y en particular para el sistema cartesiano ortogonal dado por las direcciones tangentey normal a la curva.

136

Page 141: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

PQ

x2 x1

∆x2

1

2

Γ

Figura 6.1: Curva caracterõstica

dado que si P es un punto de la curva Γ, (ver Þgura (6.1)), y Q es otro punto quese encuentra a una distancia ∆x2 (en la direccion normal a la curva Γ, es decir,la direccion x2) del punto P , entonces (utilizando los desarrollos de Taylor)

v1(Q) = v1(P ) +∂v1∂x2(P ) ∆x2 +

12!∂2v1∂x22(P ) (∆x2)

2 + 13!∂3v1∂x32(P ) (∆x2)

3 + · · ·v2(Q) = v2(P ) +

∂v2∂x2(P ) ∆x2 +

12!∂2v2∂x22(P ) (∆x2)

2 + 13!∂3v2∂x32(P ) (∆x2)

3 + · · ·p(Q) = p(P ) + ∂p

∂x2(P ) ∆x2 +

12!∂2p∂x22(P ) (∆x2)

2 + 13!∂3p∂x32(P ) (∆x2)

3 + · · ·(6.8)

Luego, para conocer los valores de v1(Q) v2(Q) y p(Q) hace falta conocer solamenteel valor de las derivadas de respecto a la direccion normal x2 (de todos los ordenes).Para conocer las derivadas segundas de la velocidad ∂2v1

∂x22,∂

2v2∂x22

y la derivada

primera de la presion ∂p∂x2

en la direccion x2 se observa que como∂2v1∂x21, ∂2v1∂x1 ∂x2

,∂2v2∂x21, ∂2v2∂x1 ∂x2

y ∂p∂x1

son conocidas sobre Γ, entonces las ecuaciones (6.7) se pueden

reescribir (poniendo los terminos desconocidos en el miembro izquierdo y losconocidos en el miembro derecho) como2Ã

1− úε212d2

!∂2v1∂x22

− úε12 úε22d2

∂2v2∂x22

= terminos conocidos

− úε22 úε12d2

∂2v1∂x22

+

Ã1− úε222

d2

!∂2v2∂x22

+2

2µ∞

∂p

∂x2= terminos conocidos

(6.9)

2Recordar que los terminos que se supusieron conocidos son todos aquellos donde aparecenv1, v2, p,

∂v1∂x2, ∂v2∂x2

o cualquiera de sus derivadas respecto a x1.

137

Page 142: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Derivando la condicion de incompresibilidad (6.1) respecto a x2 se obtiene larelacion

∂2v2∂x22

= − ∂2v1∂x1 ∂x2

(6.10)

donde nuevamente se escribe en el miembro izquierdo el termino desconocido yen el derecho el conocido. Estas tres ecuaciones alcanzaran para determinar losvalores de ∂2v1

∂x22, ∂2v2∂x22

y ∂p∂x2

conociendo los valores del resto de las derivadas de

orden 2, siempre que el determinante de los coeÞcientes que acompanan a dichosterminos sea distinto de cero. Es decir,¯

¯³1− úε212

d2

´− úε12 úε22

d20

− úε22 úε12d2

³1− úε222

d2

´2

2µ∞0 1 0

¯¯ 6= 0

o bien,

22µ∞

Ã1− úε212

d2

!6= 0

Entonces, la condicion para que, conocidos los valores de v1, v2, p,∂v1∂x2, ∂v2∂x2

sobre la curva Γ (y por lo tanto los valores de ∂2v1∂x21, ∂2v1∂x1 ∂x2

, ∂2v2∂x21, ∂2v2∂x1 ∂x2

y ∂p∂x1), se

puedan determinar los valores de ∂2v1∂x22, ∂

2v2∂x22

y ∂p∂x2, es que la componente tangencial

a la curva Γ de la velocidad de deformacion úε12 veriÞque en cada punto de la curvaÃ1− úε212

d2

!6= 0 (6.11)

Para determinar las derivadas de la velocidad respecto a la direccion normalx2 de orden mayor a 2 y las de la presion de orden mayor a 1, se puede derivarrespecto a x2 las ecuaciones (6.9) y (6.10) y aplicar el mismo razonamiento quese utilizo para obtener las derivadas ∂2v1

∂x22, ∂

2v2∂x22

y ∂p∂x2. Se puede demostrar (ver

referencias [8] y [27]) que los datos conocidos sobre la curva Γ alcanzan paradeterminar dichas derivadas (las de mayor orden) solo si se cumple una condicionidentica a la (6.11).Resumiendo entonces, si sobre cierta curva Γ se conoce v1, v2, p,

∂v1∂x2, ∂v2∂x2, (lo

que implica que tambien seran conocidas las derivadas respecto a la direcciontangente x1 de todas estas magnitudes), entonces se podra conocer tambien,(sabiendo que la velocidad y la presion deben cumplir las ecuaciones diferenciales(6.9) y (6.10)) los valores de las derivadas respecto a la direccion normal x2 de v1,v2 y p siempre que sobre la curva Γ se veriÞque la condicion (6.11). Una vez que seconocen dichas derivadas en la direccion normal a Γ, se podra generar una unica

138

Page 143: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

solucion de las ecuaciones para cualquier punto ubicado en una region adyacentea la curva Γ (a traves de las expansiones de Taylor (6.8)). Recõprocamente, sisobre cierta curva Γ la condicion (6.11) no se cumple, es decir, si en todo puntode la curva se veriÞca que Ã

1− úε212d2

!= 0 (6.12)

entonces los valores preÞjados de v1, v2, p,∂v1∂x2

y ∂v2∂x2

sobre dicha curva no seransuÞcientes para determinar la solucion de las ecuaciones en una region adyacentea la curva. Las curvas a lo largo de las cuales se veriÞca la condicion (6.12) sedenominan curvas caracterõsticas. La informacion conocida sobre estas curvas noinßuye en los puntos adyacentes a las mismas.Teniendo en cuenta este analisis, se deduce la siguiente conclusion respecto

a si es posible o no la existencia de una solucion discontinua en alguna de lasderivadas ∂vi

∂xjde las ecuaciones planteadas en la seccion anterior: una solucion

discontinua puede existir solo si la curva Γ a lo largo de la cual alguna de lasderivadas ∂vi

∂xjes discontinua, es una curva caracterõstica. Esto es asõ porque

una solucion discontinua es una solucion cuyas derivadas ∂vi∂xj

(o al menos una

de ellas) tienen un valor dado de un lado de la curva, y otro valor del otrolado y como las curvas caracteristicas tienen la propiedad que la informaciondada sobre ellas no inßuye en los puntos adyacentes a la misma, entonces unasolucion de este tipo solo es posible si la curva a lo largo de la cual el gradientede velocidad es discontinuo es una curva caracterõstica. Si la curva no fuera unacurva caracterõstica, entonces existe una unica solucion en la region adyacente ala curva, y ninguna de las derivadas ∂vi

∂xjpuede pegar un salto a traves de misma

(ver referencia [8]).Para un material rõgido/viscoplastico que no tiene endurecimiento por defor-

macion (es decir σY (ε) = cte) y para el cual la ßuencia no depende de las varia-ciones de la velocidad de deformacion, (es decir η∗ → ∞), la condicion para quecierta curva Γ sea una curva caracterõsticas (y por lo tanto la curva a traves de lacual puede existir una solucion discontinua) esta dada por la igualdad (6.12), esdecir Ã

1− úε212d2

!= 0

donde úε12 =12

³∂v1∂x2+ ∂v2

∂x1

´y x1 y x2 son las direcciones tangente y normal a la

curva Γ (ver Þgura (6.1)). Llamando 1 y 2 a las direcciones principales, úε1 y úε2a las componentes principales del tensor velocidad de deformacion, y (n1, n2) alas componentes del vector normal n a la curva caracterõstica Γ en las direcciones

139

Page 144: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

principales, entonces la componente úε12 estara dada por:

úε12 =³−n2 n1

´ " úε1 00 úε2

#Ãn1n2

!= ( úε2 − úε1) n1 n2

y el invariante d2 sera

d2 =1

2( úε21 + úε22)

La condicion para que la curva Γ sea una curva caracterõstica es entonces

1− ( úε2 − úε1)2 n21 n

22

d2= 0

que, observando que por la condicion de incompresibilidad, úε1+ úε2 = 0 por lo quese veriÞca la siguiente identidad

( úε2 − úε1)2 = úε21 − 2 úε1 úε2 + úε22 = 2 ( úε

21 + úε22)− ( úε1 + úε2)

2 = 4 d2

se reduce a:1− 4 n21 n22 = 0

Teniendo en cuenta que ademas n21 + n22 = 1 se deduce entonces que la condicion

anterior se satisface para aquella curva Γ cuya normal tiene las direccionesÃ1√2,1√2

!o

Ã− 1√

2,1√2

!

referidas a las direcciones principales 1 y 2.Por lo tanto, para un material caracterizado por la ley constitutiva vis-

coplastica (6.3) con σY (ε) = cte (es decir, sin endurecimiento por deformacion)y para el cual la ßuencia no depende de las variaciones de la velocidad de defor-macion, (es decir η∗ →∞), existen dos familias de curvas caracterõsticas. Dichascurvas forman en cada punto un angulo de ±45 con las direcciones principalesde las velocidades de deformacion úεij (y con las de la tension σij). Para este tipode material, puede existir entonces un patron de deformacion localizado a lo largode curvas orientadas a ±45 de las direcciones principales de úεij y σij.Para un material para el cual σY (ε) = cte pero η

∗ es Þnito, es decir, un materialcuya ßuencia sõ depende de la velocidad de deformacion y cuya viscosidad estadada entonces por

2µ =σY√3

µ1 +

³√d2η∗

´ 1δ

¶√d2

se puede demostrar, (haciendo un razonamiento identico al hecho hasta ahora paralos materiales para los cuales η∗ → ∞ y 2µ = 2µ∞ = σY√

31√d2) que la condicion

140

Page 145: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

para que cierta curva Γ cuya normal respecto a las direcciones principales es(n1, n2), sea una curva caracterõstica es

1− 4 n21 n22h³

1− 1δ

´+ 1

δ2µ∞2µ

i = 0o bien, (recordando que n21 + n

22 = 1),

n21 =1±

q1δ

q1− 2µ∞

2

n22 =1∓

q1δ

q1− 2µ∞

2

6.3. Ejemplo: Localizacion de la deformacion plastica enuna probeta compacta sometida a una traccion pura

Para completar el analisis hecho en la seccion anterior, se considera como ejemploel caso de la deformacion de una probeta plana compacta sometida a una traccionpura como la que se muestra en la Þgura (6.2). Se supone que la deformacion esplana, es decir, que v3 = 0, y que la maquina de ensayo impone una velocidad v0pequena sobre el borde superior e inferior de la probeta, es decir, se supone queel ensayo se realiza controlando la velocidad de las mordazas de la maquina deensayo. Experimentalmente se observa que inicialmente el patron de deformaciones homogeneo, pero que, alcanzado cierto nivel de carga, la deformacion plasticase localiza en una banda de corte que se orienta a 45 respecto a la direccionen la que se tracciona a la probeta (ver Þgura (6.2)) (ver referencia [19]). Comose explico en la seccion anterior si se supone que el material esta caracterizadopor la ley constitutiva rõgido/viscoplastica (6.3) con σY (ε) = cte y η∗ → ∞,entonces es posible obtener como solucion del sistema de ecuaciones que describeel ßujo plastico del metal (las ecuaciones (6.1), (6.2), (6.3) y (6.4)) los dosmodos de deformacion que se preveen experimentalmente, es decir, el modode deformacion homogenea y el modo de deformacion localizado. Como lasdirecciones principales son respectivamente la direccion en la que se traccionaa la probeta y la direccion perpedicular a esta ultima, entonces, teniendo encuenta los resultados de la seccion anterior, se prevee una solucion localizada a lolargo de una banda orientada a 45 respecto a la direccion en la que se traccionaa la probeta. Se demotrara a continuacion que dicha solucion (al igual que lasolucion homogenea) puede ser determinada analõticamente y reproducida con lasherramientas numericas estudiadas en el capõtulo anterior.

141

Page 146: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1

x2

y1y2

Figura 6.2: Ensayo de traccion de una probeta en estado plano de velocidad dedeformacion.

6.3.1. Solucion analõtica

a) Patron de deformacion homogeneo (Velocidad de deformacioncontinua)

En una traccion pura como la que se produce en el ensayo de traccion, ladeformacion homogenea esta dada por un alargamiento uniforme en la direccionen la que se tracciona a la probeta (la direccion principal x2) y un acortamientouniforme (para que se conserve el volumen) en la direccion perpendicular, (ladireccion principal x1). Se propone entonces como solucion para las velocidadesa:

v1 = −a x1v2 = a x2

donde a es una constante y (v1, v2) son las componentes del vector velocidad enlas direcciones principales x1 y x2. Las velocidades de deformacion seran entonces

úε11 =∂v1∂x1

= −a = úε1

142

Page 147: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

úε22 =∂v2∂x2

= a = úε2

úε12 =1

2

Ã∂v1∂x2

+∂v2∂x1

!= 0

(es decir, el campo de velocidades de deformacion es uniforme), y las tensionesdesviadoras que se estableceran como consecuencia de estas velocidades dedeformacion seran, teniendo en cuenta la relacion constitutiva (6.3) con σY (ε) =cte y η∗ →∞:

s11 = σY√3

q12( úε211+ úε222+2 úε212)

úε11 =σY√3√a2(−a) = −σY√

3= s1

s22 = σY√3

q12( úε211+ úε222+2 úε212)

úε22 =σY√3√a2a = σY√

3= s2

s12 = σY√3

q12( úε211+ úε222+2 úε212)

úε11 = 0

Para ver que el campo de velocidades propuesto es efectivamente una de lassoluciones de las ecuaciones se observa en primer lugar que, independientementedel valor de la constante a, el campo de velocidades propuesto satisface lacondicion de incompresibilidad:

∂v1∂x1

+∂v2∂x2

= úε11 + úε22 = −a+ a = 0

En segundo lugar se observa que las tensiones que se derivan del campo develocidadees propuesto veriÞcaran la ecuacion del movimiento si:

∂s11∂x1

+∂s12∂x2

+∂p

∂x1= 0 + 0 +

∂p

∂x1= 0

∂s12∂x1

+∂s22∂x2

+∂p

∂x2= 0 + 0 +

∂p

∂x2= 0

es decir, si ∂p∂x1

= ∂p∂x2

= 0. Esto implica que la presion p debe ser tambien uniformedentro de la probeta para que el campo de velocidades propuesto veriÞque laecuacion del movimiento. Falta entonces determinar el valor de esta presionconstante p. Este valor se determina teniendo en cuenta que, como la probetaesta sometida a una traccion en la direccion x2, la tension en la direccion x1 debeser nula, es decir

σ11 = s11 + p = −σY√3+ p = 0

La presion uniforme p sera entonces

p = σY√3

143

Page 148: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

y las tensiones que se establecen en la probeta seran entonces:σ11 = −σY√

3+ p = 0

σ22 =σY√3+ p = 2√

3σY

σ12 = s12 = 0

o bien, siendo x1 y x2 las direcciones principales(σ1 = 0σ2 =

2√3σY

b) Patron de deformacion localizado en una banda a 45 (Velocidad dedeformacion discontinua)

El patron de deformacion localizado consiste en una deformacion plasticapuramente tangencial localizada en una banda plana inclinada un angulo de 45

respecto al eje x2 (ver Þgura (6.2)) y una deformacion nula fuera de dicha banda(es decir, el material es plastico adentro de la banda y rõgido fuera de ella) (verreferencia [12]). Para formular a esta segunda solucion se utilizara un nuevo parde ejes coordenados y1 e y2 de direcciones paralela y perpendicular a la bandadonde se concentra la deformacion plastica (es decir inclinados un angulo 45

respecto a los ejes x1 y x2) y se adoptaran los supraõndices in y out para referirsea las velocidades, tensiones y deformaciones de adentro y afuera de la banda. Sepropone entonces como segunda solucion a(

vin1 = a y2vin2 = 0

(6.13) vout1 =

(a h2

si y2 ≥ h2−a h

2si y2 ≤ −h

2

vout2 = 0

donde a es una constante, h es el espesor de la banda y (v1, v2) son las componentesde la velocidad respecto a los ejes inclinados y1 e y2 (ver Þgura (6.3)).3 Las

3Si bien el patron de deformacion discontinuo propuesto es efectivamente una solucionde las ecuaciones que describen el ßujo plastico del metal (las ecuaciones (6.1), (6.2), (6.3)y (6.4)), tanto el espesor h como el parametro a quedan indeterminados. Sin embargo,experimentalmente se observa que las bandas de corte tienen espesores Þnitos que dependende la estructura microscopica del material (no tenida encuenta en el modelo). Esta es una delas principales diÞcultades que presentan la mayorõa de los modelos macroscopicos de estudiodel fenomeno de localizacion y los metodos numericos de simulacion de este fenomeno basadosen dichos modelos macroscopicos. Estos metodos predicen espesores de banda que dependenfuertemente del tamano de los elementos utilizados (ya que las interpolaciones usadas son

144

Page 149: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Figura 6.3: Detalle del modo de deformacion localizado

velocidades de deformacion seranúεin11 =

∂vin1∂y1

= 0

úεin22 =∂vin2∂y2

= 0

úεin12 =12

µ∂vin1∂y2

+∂vin2∂y1

¶= a

2úεout11 =

∂vout1

∂y1= 0

úεout22 =∂vout2

∂y2= 0

úεout12 =12

³∂vout1

∂y2+ ∂vout2

∂y1

´= 0

y las tensiones desviadoras que se estableceran dentro de la banda seran(utilizando la relacion constitutiva (6.3) con σY (ε) = cte y η∗ → ∞, validacontinuas dentro de cada elemento, y por lo tanto es imposible describir con este tipo deinterpolacion discontinuidades dentro de los mismos), que es la unica escala de longitud queesta puesta en juego en el modelo.

145

Page 150: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

unicamente dentro de la banda):

sin11 =σY

√3

r12

³( úεin11)

2+( úεin11)

2+2 ( úεin12)

2´ úεin11 = 0

sin22 =σY

√3

r12

³( úεin11)

2+( úεin11)

2+2 ( úεin12)

2´ úεin11 = 0

sin12 =σY

√3

r12

³( úεin11)

2+( úεin11)

2+2 ( úεin12)

2´ úεin11 = σY

√3

q(a2 )

2

a2= σY√

3

(6.14)

Entonces, si se propone como solucion el campo de velocidades (6.13) seobtendran dentro de la banda deformaciones exclusivamente de corte úεin12 =

a2

uniformes, y fuera de ella, deformaciones nulas, por lo que la velocidad dedeformacion resulta discontinua a traves de la curva que separa a la banda delmaterial adyacente.Para ver que la solucion propuesta es efectivamente una solucion de las

ecuaciones del ßujo plastico plano, se observa en primer lugar que la condicion deincompresibilidad se cumple para todo valor de la constante a:

∂vin1∂x1

+∂vin2∂x2

= úεin11 + úεin22 = 0 + 0 = 0

∂vout1

∂x1+∂vout2

∂x2= úεout11 + úεout22 = 0 + 0 = 0

En segundo lugar se observa que sustituyendo las tensiones (6.14) en la ecuaciondel movimiento (6.4) y teniendo en cuenta que dichas tensiones son uniformes, seobtiene

∂sin11∂y1

+∂sin12∂y2

+∂pin

∂y1= 0 + 0 +

∂pin

∂y1= 0

∂sin12∂y1

+∂sin22∂y2

+∂pin

∂y2= 0 + 0 +

∂pin

∂y2= 0

Estas ecuaciones se veriÞcaran si ∂pin

∂y1= ∂pin

∂y2= 0 es decir, si la presion p es tambien

uniforme dentro de la banda de corte.Para completar la solucion solo falta determinar los valores de esta presion

pin y de las tensiones afuera de la banda σoutij . Para encontrar estos valores, seobserva que las componentes normal y tangencial a la interface que separa a labanda del material adyacente de las tensiones σ deben ser continuas a traves dedicha interface. Es decir, (

σout12 = σin12

σout22 = σin22

146

Page 151: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Del lado de la banda, dichas componentes valen (ver expresiones (6.14)):(σin12 = s

in12 =

σY√3

σin22 = sin22 + p

in = pin

Fuera de la banda las componentes del tensor de tensiones expresadas en el sistemade ejes y1 e y2 valen (recordando que dichas ejes forman un angulo de 45 = π

4

con las direcciones principales (ver Þgura (6.3))):"σout11 σout12

σout12 σout22

#=

"cos(π

4) − sin(π

4)

sin(π4) cos(π

4)

#T·"σout1 00 σout2

#·"cos(π

4) − sin(π

4)

sin(π4) cos(π

4)

#=

=√22

"1 1−1 1

#·"σout1 00 σout2

#·√22

"1 1−1 1

#=

= 12

"σout1 + σout2 σout2 − σout1

σout2 − σout1 σout1 + σout2

#(6.15)

donde σout1 y σout2 son las tensiones principales (es decir, las componentes del tensorde tensiones en la base (x1, x2)) afuera de la banda. Las componentes normal ytangencial a la interface son entonces(

σout12 =12(σout2 − σout1 )

σout22 =12(σout1 + σout2 )

o bien, recordando que (al igual que en el caso del patron de deformacionhomogeneo) σout1 debe ser nulo porque fuera de la banda la probeta esta sometidaa una traccion pura en la direccion x2(

σout12 =12σout2

σout22 =12σout2

Igualando entonces los valores que tienen estas componentes afuera y adentro dela banda, se obtiene (

12σout2 = σY√

312σout2 = pin

es decir, la presion dentro de la banda debe valer:

pin =σY√3

y la tension principal en la direccion de la traccion x2 debe ser:

σout2 =2√3σY

147

Page 152: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Las tensiones dentro de la banda de corte son entonces:σin11 = s

in11 + p

in = 0 + σY√3= σY√

3

σin22 = sin22 + p

in = 0 + σY√3= σY√

3

σin12 = sin12 =

σY√3

y fuera de la banda de corte: (σout1 = 0σout2 = 2√

3σY

σout11 =

12(σout1 + σout2 ) = σY√

3

σout22 =12(σout1 + σout2 ) = σY√

3

σout12 =12(σout2 − σout1 ) = σY√

3

c) Comparacion entre las dos soluciones

Se observa entonces que las ecuaciones que desciben el ßujo plastico de una probetacompacta sometida a una traccion pura admiten dos soluciones: una solucioncontinua (patron de deformacion homogeneo) y una solucion discontinua (patronde deformacion localizado). En el primer caso la deformacion es uniforme en todala probeta (alargamiento en la direccion x2 y acortamiento en la direccion x1),y en el segundo caso la deformacion es cortante dentro de una banda orientada45 de la direccion en que se tracciona a la probeta, mientras que el resto de laprobeta se mueve rõgidamente (sin deformarse). En ambos casos se prevee que lamaquina de ensayo debera imponer una tension igual a 2√

3σY para hacer ßuir al

material.

6.3.2. Solucion numerica

Como se vio hasta ahora, tanto experimental como analõticamente se preveeque existiran dos patrones de deformacion, uno homogeneo y otro localizado enuna banda a 45. Es deseable entonces que, si se resuelve numericamente esteproblema, ambos modos de deformacion puedan ser tambien previstos.

Descripcion del modelo numerico utilizado

Para resolver numericamente este problema se utilizaron las herramientas numericasdiscutidas en el capõtulo anterior, es decir, el metodo de elementos Þnitos parael modelado de ßujos incompresibles planos. La condicion de incompresibilidad

148

Page 153: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

fue impuesta mediante el metodo de penalizacion.4 Como se vio en el capõtuloanterior, al discretizar las ecuaciones diferenciales del ßujo de un medio viscosoincompresible bidimensional con este metodo se obtiene el siguiente sistema deecuaciones algebraicasÃ

Kd + CT ·

µA

κ

¶−1· C!· V = −

ÃFv +

µA

κ

¶−1·H

!(6.16)

donde:

Kd =ZΩBTv · 2µ D · Id ·Bv dΩ (6.17)

C =ZΩ

N ·MT ·Bv dΩ (6.18)

A =ZΩ

N · NTdΩ (6.19)

Fv =ZΩBv

T · 2µ D · Id ·Bg ·G dΩ (6.20)

H =ZΩ

N ·MT ·Bg ·G dΩ (6.21)

y donde

D =

1 0 00 1 00 0 1

2

Id =

23

−130

−13

23

00 0 1

M =

110

y Bv, Bg y N , estan dadas respectivamente por las igualdades (5.27) y (5.30).En este caso, a diferencia del problema estudiado en el capõtulo anterior, la

viscosidad no es constante en el dominio Ω, sino que depende de la velocidad dedeformacion d2 que a su vez es funcion de las velocidades V :

2µ = 2µ∞ =σY√3√d2

4Si bien el metodo de penalizacion presenta el inconveniente de que la matriz del sistemaqueda mal condicionada cuando el coeÞciente de penalizacion κ es grande, en este caso dichoinconveniente no se maniÞesta dado que se utilizaron muy pocos elementos (y por lo tanto muypocas incognitas).

149

Page 154: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

donde

d2 =1

2

³úε211 + úε222 + 2 úε

212

´=

=1

2

húε11 úε22 2 úε12

i· 1 0 00 1 00 0 1

2

· úε11úε222 úε12

=

=1

2

húε11 úε22 2 úε12

i·D ·

úε11úε222 úε12

y úε11

úε222 úε12

= Bv · V +Bg ·Ges decir,

2µ =σY√3

1r12

³Bv · V +Bg ·G

´T ·D · ³Bv · V +Bg ·G´ (6.22)

En la Þgura (6.4) se graÞca a la viscosidad 2µ en funcion de la velocidad dedeformacion equivalente d2. Como 2µ → ∞ cuando d2 → 0, fue necesarioaproximar a las viscosidades correspondientes a velocidades de deformacion d2chicas (menores de un cierto valor dcutoff2 ) con un valor constante y grande (eneste problema se utilizo dcutoff2 = 0.001).Como las viscosidades dependen de las velocidades V (la forma explõcita de

esta dependencia la da la ecuacion (6.22)), la rõgidez desviadoraKd (que es funcionde las viscosidades) termina siendo funcion de las velocidades V , es decir,

Kd = Kd(V )

y el sistema de ecuaciones algebraicas que se obtiene al discretizar las ecuacionesdiferenciales del ßujo del metal con el metodo de penalizacion (el sistema deecuaciones (6.16)) se convierte en:Ã

Kd(V ) + CT ·

µA

κ

¶−1· C

!· V = −

ÃFv +

µA

κ

¶−1·H

!(6.23)

es decir, resulta un sistema de ecuaciones no lineales donde la matriz del sistemaes funcion de las incognitas V . Para resolver este sistema de ecuaciones no linealesse utilizo un algorõtmo iterativo cuyos pasos son los siguientes:

150

Page 155: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

dcutoffd2

Figura 6.4: Viscosidad para un metal rõgido/perfectamente plastico

1. Conocidas las velocidades V (n) correspondientes a la iteracion n, se calculanlas viscosidades que se derivan de dichas velocidades (utilizando para ello laecuacion (6.22)).

2. Con estas viscosidades se computa la matriz de rigidez desviadora Kd(V(n))

(evaluando la integral (6.17)).

3. Con la matriz de rigidez desviadora Kd(V(n)) (que se calculo con las viscosi-

dades de la iteracion n) y las matrices C, A, Fv y H se resuelve el sistema

de ecuaciones (6.23 para obtener las velocidades V (n+1) correspondientes ala iteracion n+ 1:

V (n+1) = −ÃKd(V ) + C

T ·µA

κ

¶−1· C!−1

·ÃFv +

µA

κ

¶−1·H

!

4. Se repiten los pasos 1 a 3 hasta que se alcance la convergencia.

Este algorõtmo se inicia con una distribucion de velocidades arbitraria V (1) (eneste problema se utilizo V (1) = 0) y se termina cuando alguna medida del error dela solucion numerica obtenida con este algorõtmo sea menor que cierta tolerancia.La medida del error que se utilizo fue la norma inÞnito de la diferencia entre lasvelocidad obtenidas en la iteracion n + 1 y la correspondiente a la iteracion n.Entonces el algorõtmo se termina cuando°°°V (n+1) − V (n)°°°∞ = max∀i

¯V (n+1)i − V (n)i

¯ ≤ tol.

151

Page 156: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Para minimizar el numero de incognitas del problema se aprovecho el hechoque la deformacion es simetrica respecto a los ejes x1 y x2 (ver Þgura (6.2)). Estacondicion de simetrõa implica que alcanza con considerar solamente la deformacionde un cuarto de probeta (el pimer cuadrante) y que sobre los planos de simetrõase deben cumplir las condiciones de borde

v2(x1, 0) = 0

v1(0, x2) = 0

Ademas, como la maquina de ensayo impone sobre el borde superior una velocidadconstante en el tiempo, sobre dicho borde se debera satisfacer la condicion

v2(x1,b

2) = v0

donde v0 es la velocidad de separacion de las mordazas de la maquõna de ensayoy b la altura de la probeta. Para que la solucion numerica satisfaga estascondiciones de borde, se restringieron respectivamente los grados de libertadvertical y horizontal sobre los bordes inferior e izquierdo y se impuso una velocidadvertical v0 sobre todos los nodos del borde superior. Las dimensiones de la probetay condiciones de borde utilizadas se muestran en la Þgura (6.5).Se utilizaron para discretizar el problema dos mallas de elementos Þnitos

isoparametricos de cuatro nodos: Una con elementos cuya diagonal coincide con ladireccion en la que se espera que se forme la banda de corte (elementos cuadrados),y otra cuya diagonal no coincide con dicha direccion (elementos rectangulares) (verÞgura (6.6)). Esto se hizo para ver si el metodo numerico era capaz de captar elmodo localizado independientemente de la malla utilizada.Los resultados obtenidos se resumen a continuacion:

a) Patron de deformacion homogeneo

La Þgura (6.7) muestra la conÞguracion de la probeta unos instantes despues delcomienzo de la ßuencia. Se observa que el patron de deformacion homogeneoobtenido es identico al que se determino analõticamente, es decir, se prevee quela probeta experimenta un alargamiento uniforme en la direccion en que se latracciona y un acortamiento (tambien uniforme) en la direccion perpendicular.La viscosidades y presiones obtenidas fueron tambien identicas (salvo error de

redondeo) a las obtenidas analõticamente.

b) Patron de deformacion localizado

Para que el modelo numerico reproduzca la deformacion localizada, fue necesariointroducir cierta perturbacion que genere una concentracion de tensiones en algun

152

Page 157: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

v0

b

a

x1

x2Velocidadesimpuestas

Sim

Sim

Ω

Figura 6.5: Modelado de la traccion de una probeta plana

punto de la probeta que sea precursora de la formacion de la banda de corte. Laperturbacion introducida fue una inhomogeneidad en las propiedades del materialque fue incorporada sobre los cuatro elementos adyacentes al vertice iquierdoinferior donde se utilizo una tension de ßuencia σY 10% menor a la existente enel resto de la probeta.La Þgura (6.8) muestra la probeta unos instantes despues de comenzar a ßuir.

Tanto con los elementos cuadrados como con los rectangulares se puede ver quela deformacion se localiza en una banda orientada a 45 mientras el resto dela probeta se desplaza practicamente sin deformarse. Se observa tambien quela banda prevista con los elementos rectangulares esta mas difundida que lacorrespondiente a los elementos cuadrados.La Þguras (6.9) y (6.10) muestran la distribuciones de viscosidades 2µ

(adimensionalizada con la tension de ßuencia σY ) y velocidades de deformacionequivalente d2 obtenidas con ambas mallas. Tambien en estas Þguras se puedeapreciar que la banda obtenida para elementos rectangulares se presenta masdifundida que la correspondiente a elementos cuadrados.En la Þgura (6.11) se muestran las presiones (tambien adimensionalizadas con

la tension de ßuencia σY ) obtenidas. Se observa que en las zonas que se de-

153

Page 158: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1 x1

x2 x2

Malla 1: 10 x 15elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15elementos rectangulares

Figura 6.6: Mallas de elementos Þnitos utilizadas.

splazan rõgidamente, la presion alcanza un valor que oscila alrededor de 0.57.Este valor es aproximadamente igual a la presion prevista analõticamente que era2µσY= 1√

3' 0.57735.

En la Þgura (6.13) se muestran las velocidades, viscosidades y velocidades dedeformacion obtenidas al introducir una perturbacion (tambien una inhomogenei-dad en las propiedades mecanicas del material) en un punto distinto al utilizado enel caso anterior (en este caso el punto elegido esta ubicado sobre la mitad del ladoizquierdo). Se observa que en este caso, tambien se obtiene un patron de defor-macion localizado, pero esta vez en dos bandas inclinadas respectivamente a +45

y −45 (que, como se prevee analõticamente, son las direcciones caracterõsticas).

Localizacion de la deformacion para probetas de otros materiales

Los resultados discutidos hasta ahora corresponden a un material caracterizadopor la ley constitutiva rõgido/viscoplasica (6.3) con σY (ε) = cte (es decir, unmaterial que no presenta endurecimiento por deformacion) y η∗ → ∞ (es decir,un material cuya ßuencia es independiente de la velocidad de deformacion).Para complementar este analisis, se estudio tambien los patrones de deformacionobtenidos en probetas de materiales para los cuales σY (ε) = cte pero η∗ no es

154

Page 159: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1 x1

x2 x2

Malla 1: 10 x 15elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15elementos rectangulares

Figura 6.7: Patron de deformacion homogeneo

inÞnito sino que tiene valores acotados, es decir, aquellos materiales cuya ßuenciasõ depende de la velocidad de deformacion y en los que la viscosidad esta dadapor:

2µ =σY√3

µ1 +

³√d2η∗

´ 1δ

¶√d2

Los casos analizados se resumen en la siguiente tabla:

Malla η∗ δ

Caso 1 10× 15 1. 2.Caso 2 10× 15 0.01 2.Caso 3 10× 15 1. 10.Caso 4 10× 15 1. 0.5

y las viscosidades (adimensionalizadas) en funcion de la velocidad de deformacionequivalente d2 que corresponden a cada uno de estos casos se muestran en la Þgura(6.12).En la Þgura (6.14), se graÞco la conÞguracion alcanzada unos segundos despues

de comenzar la ßuencia para los cuatro casos. Se observa que en los cuatro casos,la banda se presenta mucho mas difundida que la obtenida para un material de

155

Page 160: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

viscosidad 2µ = 2µ∞ = σY√3

1√d2, (en los dos primeros mas que en el tercero y el

cuarto). Esta mayor difusion de la banda de corte puede apreciarse tambien enlas Þguras (6.15) y (6.16) donde se muestran respectivamente la distribucion deviscosidades y de velocidades de deformacion equivalente obtenidas. Se puede vertambien que en el tercer caso, donde δ es mucho mayor que en los otros tres casos,la banda se encuentra mucho mas deÞnida (menos difundida), mientras que en elsegundo caso, donde η∗ es mucho menor que en los dos casos, la banda se presentamenos deÞnida (mucho mas difundida). En el cuarto caso, donde δ es menor que1 los resultados son muy parecidos a los obtenidos en un material de viscosidad2µ = 2µ∞. Se concluye entonces que, utilizando para el modelado numerico lasherramientas descriptas, la formacion de la banda de corte se ve favorecida enaquellos materiales para los cuales δ y de η∗ tienen valores relativamente grandes.Teniendo en cuenta que el parametro η∗ esta relacionado con la sensibilidaddel material a la velocidad de deformacion o ßuidez, se concluye que cuantomenor sea esta sensibilidad (es decir, cuanto mas parecidas sean las respuestasdel material a velocidades de deformacion altas y bajas) mayor sera la tendenciaa que se desarrollen patrones de deformacion localizados. Esto concuerda con lasobservaciones experimentales.Las presiones obtenidas se muestran en la Þgura (6.19).

A traves de este ejemplo se observa entonces que la formulacion de ßujoes capaz de representar patrones de deformacion localizado aunque para quedicho patron de deformacion pueda ser reproducido, es necesario introducir antescierta perturbacion exterior, por ejemplo, una inhomogeneidad en las propiedadesmecanicas del material. Si esta perturbacion no es incorporada, la solucion que seprevee es una solucion uniforme (no localizada). Esto implica que la formulacionde ßujo no proporciona informacion respecto a cual es el nivel crõtico de tensionesque senala el cambio del patron de deformacion uniforme al patron localizado.

156

Page 161: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1

x1

x2

x2

Malla 1: 10 x 15elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15elementos rectangulares

Figura 6.8: Patron de deformacion localizado

157

Page 162: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1 x1

x2 x2

Malla 1: 10 x 15elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15elementos rectangulares

2µ 2µ

Figura 6.9: Distribucion de viscosidades.

x1 x1

x2 x2

Malla 1: 10 x 15elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15elementos rectangulares

d2 d2

Figura 6.10: Distribucion de velocidades de deformacion equivalente

158

Page 163: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Malla 1: 10 x 15elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15elementos rectangulares

2

4

6

8

10

5

10

15

0.525

0.55

0.575

0.6

0.625

0.525

0.55

0.575

0.6

0.625

1

2

3

4

5

6

5

10

150.54

0.56

0.58

0.6

0.62

1

2

3

4

5

6

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62x1x1

x2

x2

p

p

Figura 6.11: Presiones adimensionalizadas

0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

10

20

30

40

50

Caso 3Caso 1

d2

Caso 2

Caso 4

Figura 6.12: Viscosidades en funcion de la velocidad de deformacion equivalentepara los distintos casos estudiados

159

Page 164: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

2µ d2

x1x1

x2 x2

x2

x1

Figura 6.13: Patron de deformacion localizado obtenido a partir de una inhomo-geneidad en una zona distina al vertice inferior izquierdo.

160

Page 165: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1 x1

x2 x2

x1 x1

x2 x2

Caso 1: Caso 2:

Caso 3: Caso 4:

Figura 6.14: ConÞguraciones alcanzadas por las distintas probetas.

161

Page 166: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1 x1

x2 x2

x1 x1

x2

7.29893

7.71008

8.12123

8.53238

8.94353

9.35467

9.76582

10.177

10.5881

10.9993

11.4104

11.8216

25.507626.0674

26.6271

27.1869

27.7467

28.3065

28.866229.426

29.9858

30.5456

31.1053

31.6651

8.08169

9.04934

10.017

10.9847

11.9523

12.92

13.8876

14.8553

15.8229

16.7906

17.7582

18.7259

Caso 1:

Caso 3: Caso 4:

Caso 2:

2µ 2µ

3.17759

4.38289

5.58819

6.79349

7.99879

9.20408

10.4094

11.6147

12.82

14.0253

15.2306

16.4359

Figura 6.15: Distribucion de viscosidades para los distintos casos analizados

162

Page 167: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1 x1

x2 x2

x1 x1

x2x2

0.003707610.004154930.004602250.005049570.005496890.00594420.006391520.006838840.007286160.007733480.00818080.00862812

0.004168130.004325960.004483790.004641620.004799450.004957270.00511510.005272930.005430760.005588590.005746420.00590425

0.00290007

0.003862590.0048251

0.00578762

0.00675013

0.007712650.00867517

0.009637680.0106002

0.0115627

0.0125252

0.0134877

Caso 1: Caso 2:

Caso 4:Caso 3:

d2

d2 d2

d2

0.001236990.003694890.006152780.00861067

0.01106860.01352650.01598440.01844220.02090010.0233580.02581590.0282738

Figura 6.16: Distribucion de velocidades de deformacion equivalentes para losdistintos casos analizados

163

Page 168: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1 x1

x2 x2

x1 x1

x2 x2

Caso 1:

Caso 3: Caso 4:

Caso 2:

Figura 6.17: Distribucion de viscosidades para los distintos casos analizados(Escalas uniformizadas)

164

Page 169: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

x1 x1

x2 x2

x1 x1

x2 x2

Caso 1: Caso 2:

Caso 4:Caso 3:

d2

d2 d2

d2

Figura 6.18: Distribucion de velocidades de deformacion para los distintos casosanalizados (Escalas uniformizadas)

165

Page 170: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

10

2

4

6

8

5

10

15

2

.1

.2

2

.1

.2

Caso 1: Caso 2:

Caso 4:

x1

x1

x1

x1

x2

x2

2

4

6

8

10

5

10

15

0.7

0.75

0.7

0.752

2

2

2

x2

2

4

6

8

10

5

10

15

0.95

1

1.05

1.1

0.95

1

1.05

1.1

x2

p

p

p

2

4

6

8

10

5

10

15

0.56

0.57

0.58

0.59

0.6

0.56

0.57

0.58

0.59

0.6

p

Figura 6.19: Presiones correspondientes a los distintos casos analizados.

166

Page 171: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

7. Conclusiones

Se ha hecho el analisis del fenomeno de localizacion de deformaciones plasticas uti-lizando la denominada formulacion de ßujo para la descripcion del movimiento yde las caracterõsticas macroscopicas del material, y se ha modelado numericamenteeste mecanismo de deformacion mediante el metodo de los elementos Þnitos(adaptado para que pueda aproximar la condicion de incompresibilidad del ßujoplastico). Las conclusiones mas importantes son las siguientes:

La formulacion tradicional del metodo de los elementos Þnitos (la utilizadaen el modelado de la deformacion de materiales elasticos compresibles) nose puede extender inmediatamente al caso de materiales que experimentandeformaciones plasticas (incompresibles) dado que al imponer la condicionde incompresibilidad sobre la solucion numerica obtenida con dicho metodose presenta el denominado problema del bloqueo, como consecuencia delcual se obtienen aproximaciones muy pobres.

Para superar este problema es necesario recurrir a formulaciones alternativas(como el metodo de los mutliplicadores de Lagrange o el metodo depenalizacion) basadas en la interpolacion simultanea de velocidades ypresiones (elementos mixtos). En este trabajo se utilizo el elemento mixtoQ1-P0 (interpolacion bilineal para las velocidades y constante para la presiondentro del elemento). Este elemento presenta las siguientes caracterõsticas:

No bloquea (en el sentido que el espacio Kh ∩ Uh correspondiente aeste elemento no es vacõo o casi vacõo (como ocurre con otros elementosmixtos). Para la mayorõa de las condiciones de borde este espacioKh ∩ Uh resulta lo suÞcientemente grande como para proporcionarsoluciones aceptables, pero para ciertas condiciones (en particularcuando se imponen velocidades tangenciales al borde)) Kh ∩ Uh estodavõa pobre.

Presenta modos de presion espureos (principalemente en las mallas deelementos no distorsionados que son las mas usadas). Esto hace quepara determinadas condiciones de borde y determinadas mallas, resultaimposible obtener solucion (tanto para las velocidades como para laspresiones).

167

Page 172: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Si bien converge cuando el tamano de los elementos h tiende a cero, suorden de convergencia no es optimo, y depende fuertemente de lascondiciones de borde y la mallas utilizadas en la discretizacion.

Ademas de estas limitaciones que son inherentes al elemento mixto utilizado(el elemento Q1-P0) las formulaciones alternativas utilizadas para aproximarla condicion de incompresibilidad (el metodo de los multiplicadores de La-grange y el metodo de penalizacion) presentan las siguientes inconvenientes:

La presencia de modos de presion condiciona la existencia de solucioncuando se utiliza el metodo de multiplicadores de Lagrange (es decir,hace que la existencia de solucion dependa de las condiciones de borde yla malla utilizada) y trae como consecuencia la obtencion de solucionespara las presiones muy pobres (contaminadas completamente pormodos de presion) cuando se utiliza el metodo de penalizacion.

Por otra parte, el metodo de los mutiplicadores de Lagrange no puedeser formulado en terminos exclusivos de las velocidades (que son lasvariables primarias del problema) mientras que el metodo de penal-izacion, que no presenta esta desventaja (es decir, se puede formularen terminos exclusivos de las velocidades y obtener las presiones a par-tir de las velocidades con poco esfuerzo computacional), proporcionafrecuentemente soluciones pobres debido al mal condicionamiento de lamatriz del sistema de ecuaciones resultante.

El procedimiento iterativo del lagrangeano aumentado con rigidizacion delmodo espureo es una alternativa posible de superar todas estas diÞcultades.Este metodo, (que por ser iterativo es mas costoso desde el punto de vistacomputacional) es capaz de proporcionar soluciones aceptables (dentro delas limitaciones inherentes al elemento) tanto para las velocidades como paralas presiones (la solucion para las presiones que se obtiene resulta libre demodos de presion) independientemente de las condiciones de borde y de lamalla utilizada.

La formulacion de ßujo, que es un enfoque de analisis muy atractivo desde elpunto de vista computacional porque permite estudiar la deformacion de unmetal (que experimenta grandes deformaciones plasticas) con herramientasnumericas muy parecidas a las utilizadas para resolver problemas de elas-ticidad lineal (y con pequenas deformaciones y desplazamientos), es capaztambien de reproducir patrones de deformacion localizados que se desarrol-lan cuando cierta concentracion de deformaciones (cuyo orõgen puede ser unainhomogeneidad en el material) se propaga a traves del material. Ademas

168

Page 173: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

permite establecer cuales son las propiedades macroscopicas del materialque favorecen o perjudican el desarrollo de dichos patrones de deformacionlocalizados. Sin embargo, no proporciona informacion respecto a espesoresde banda (que resultan dependientes del tamano de los elementos utilizados)y otros aspectos del fenomeno de localizacion, principalmente los inßuenci-ados por la microestructura del material, que no es tenida en cuenta en losmodelos macroscopicos (como el de la formulacion de ßujo).

Utilizando esta formulacion (y las herramientas numericas descriptas) sepuede reproducir el hecho experimental que la localizacion se ve favorecidaen aquellos materiales que presentan menor endurecimiento y menor sensi-bilidad a las variaciones de la velocidad de deformacion (es decir, menoresvalores de η∗ y δ).

169

Page 174: Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

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