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PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE INGENIERO CATASTRAL Y GEODESTA:

MODELADO ESTADÍSTICO ESPACIAL DE LOS EVENTOS SÍSMICOS OCURRIDOS EN COLOMBIA ENTRE 2005 Y 2015 USANDO COVARIABLES

DESCRIPTIVAS DE LA DINÁMICA LITOSFÉRICA TERRESTRE

Presentado por:

Miguel A. Izquierdo. Diana A. Rodríguez M.

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA CATASTRAL Y GEODESIA Bogotá D.C.

2016.

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MODELADO ESTADÍSTICO ESPACIAL DE LOS EVENTOS

SÍSMICOS OCURRIDOS EN COLOMBIA ENTRE 2005 Y 2015

USANDO COVARIABLES DESCRIPTIVAS DE LA DINÁMICA

LITOSFÉRICA TERRESTRE

Miguel Ángel Izquierdo Pérez

Diana Alexandra Rodríguez Miranda

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA CATASTRAL Y GEODESIA Bogotá D.C.

2016.

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MODELADO ESTADÍSTICO ESPACIAL DE LOS EVENTOS

SÍSMICOS OCURRIDOS EN COLOMBIA ENTRE 2005 Y 2015

USANDO COVARIABLES DESCRIPTIVAS DE LA DINÁMICA

LITOSFÉRICA TERRESTRE

AUTORES:

Miguel Ángel Izquierdo Pérez

Diana Alexandra Rodríguez Miranda

PROYECTO DIRIGIDO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE INGENIERO

CATASTRAL Y GEODESTA

Director: Carlos Eduardo Melo Martínez

Ingeniero Catastral y Geodesta

PhD. Estadística

Co-director: Andrés Cárdenas Contreras

Ingeniero Catastral y Geodesta

Msc. Geofísica

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA CATASTRAL Y GEODESIA Bogotá D.C.

2016.

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Nota de aceptación:

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Firma del director

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Firma del co-director

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Firma del jurado

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Firma del jurado

Bogotá D.C.

Octubre de 2016

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DEDICATORIA

"A mis padres Luis y Lucero, a mis hermanos Juan y

Catherin y a mi abuelita Natividad que con su apoyo

incondicional desde la infancia me han motivado a

superar mis miedos y debilidades, y a llegar más allá

de lo que alguna vez llegué a imaginar.

Al Ángel que me acompañó incondicionalmente en

este camino a pesar de nuestras diferencias.

A Javier Andrés Báez y Laura Cumbe por estar

siempre apoyándome en el desarrollo de este

proyecto y animarme a hacer realidad el sueño de ser

Ingeniera Catastral y Geodesta.

A todos aquellos profesores de quienes aprendí tanto,

aun cuando se hayan propuesto enseñar tan poco.”

- Diana A. Rodríguez M.

“A mi padre William por todo el apoyo y confianza

que siempre depositó en mí, a mi hermano William a

quien espero que todo esto sirva de inspiración para

ser cada vez mejor, a mi abuelita Anita por

acompañarme y animarme todos los días y mi tía

Martha por estar siempre pendiente de mí.

A mi Dianita Alí quien me inspira y ayuda cada día a

ser mejor persona.

A la memoria del maestro Rafael D’Luyz Ojeda.”

- Miguel A. Izquierdo

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AGRADECIMIENTOS

Queremos agradecer en primer lugar a nuestro docente director Carlos Eduardo Melo Martínez por

acompañarnos, poner a nuestra disposición sus conocimientos y apoyarnos durante el desarrollo de

este trabajo. Adicionalmente queremos brindarle un reconocimiento por la importante labor que

desarrolla como parte del proyecto curricular transmitiendo sus conocimientos e inspirando a los

estudiantes, incluidos nosotros, a comprender la importancia de la estadística en general y su

aplicación en el contexto de la Ingeniería Catastral y Geodesia.

En segundo lugar, agradecemos a nuestro codirector, el profesor Andrés Cárdenas Contreras, por

habernos motivado desde sus clases y charlas al estudio de las geociencias y por sus valiosos

aportes y sugerencias para el proyecto, además de haber inspirado una idea inicial que fue

germinando hasta convertirse en todo lo que este trabajo es ahora.

Asimismo queremos agradecer al profesor Luis Fernando Santa Guzmán por habernos introducido

al interesante mundo de la estadística espacial y habernos apoyado al inicio de este proyecto, no

sólo compartiendo con nosotros sus conocimientos sino además proporcionándonos material

bibliográfico que hizo posible este proyecto.

Adicionalmente, deseamos hacer una mención especial en agradecimiento al doctor, amigo y

hermano Juan Carlos Rodríguez Miranda quien dedicó parte de su escaso tiempo para ayudarnos en

la optimización de uno de los algoritmos más importantes para la incorporación de la covariable de

anomalías isostáticas de gravedad en los modelos estimados.

Del mismo modo, agradecemos a nuestros compañeros y amigos Laura, Catalina, Javier Andrés y

Giovanni quienes nos acompañaron y nos brindaron sus palabras de apoyo para no desistir en este

proceso.

Por último, pero no menos importante, agradecemos de manera muy especial a nuestros padres,

hermanos, abuelitas y en general a todos aquellos que en casa nos acompañaron y apoyaron durante

todo el desarrollo de este proyecto, animándonos y ayudándonos en todo momento, incluso en

aquellos días y noches en que todo parecía tornarse imposible.

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TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN ______________________________________________________________________ 13

2. ANTECEDENTES ______________________________________________________________________ 14

3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ____________________________________________________ 15

4. JUSTIFICACIÓN_______________________________________________________________________ 16

5. OBJETIVOS ___________________________________________________________________________ 17

6. MARCO TEÓRICO _____________________________________________________________________ 18

6.1. Sismos y sismicidad____________________________________________________________________ 18

6.1.1. Desagrupación de sismos. _______________________________________________________ 18

6.2. Gravimetría __________________________________________________________________________ 19

6.2.1. Reducción Normal. _____________________________________________________________ 19

6.2.2. Reducción de Aire Libre. ________________________________________________________ 20

6.2.3. Reducción por placa de Bouguer. _________________________________________________ 20

6.2.4. Reducción por Topografía. ______________________________________________________ 21

6.2.5. Isostasia y reducción isostática. ___________________________________________________ 22

6.2.6. Interpretación de anomalías de gravedad. __________________________________________ 24

6.3. Geomagnetismo _______________________________________________________________________ 25

6.3.1. Campo magnético principal. _____________________________________________________ 25

6.3.2. Campo magnético externo. ______________________________________________________ 26

6.3.3. Anomalías Magnéticas Locales. __________________________________________________ 26

6.3.4. Reducción de mediciones del campo magnético. _____________________________________ 27

6.3.5. Interpretación de Anomalías Magnéticas. __________________________________________ 28

6.4. Patrón puntual espacial ________________________________________________________________ 29

6.5. Estacionariedad ______________________________________________________________________ 29

6.6. Isotropía y ergodicidad _________________________________________________________________ 30

6.7. Intensidad o densidad puntual ___________________________________________________________ 30

6.8. Aleatoriedad Espacial Completa – CSR ___________________________________________________ 31

6.8.1. Test de bondad del ajuste 𝛘𝟐. ____________________________________________________ 32

6.8.2. Función 𝐆(𝐫). _________________________________________________________________ 32

6.8.3. Función 𝐅(𝐫). _________________________________________________________________ 33

6.8.4. Función K de Ripley. ___________________________________________________________ 34

6.8.5. Función 𝐋(𝐫). _________________________________________________________________ 34

6.9. Proceso de Poisson no homogéneo. _______________________________________________________ 35

6.10. Estimación de parámetros por máxima verosimilitud ________________________________________ 35

7. DESARROLLO DEL PROYECTO ________________________________________________________ 37

7.1. Definición del área de estudio ___________________________________________________________ 37

7.2. Selección y justificación de covariables del modelo __________________________________________ 37

7.3. Adquisición de datos ___________________________________________________________________ 40

7.4. Preparación de insumos para el modelo ___________________________________________________ 40

7.4.1. Procesamiento inicial del catálogo de sismos. _______________________________________ 40

7.4.2. Procesamiento inicial de los datos de las covariables del modelo. _______________________ 41

7.5. Análisis descriptivo estadístico y visual de variables _________________________________________ 42

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7.6. Análisis de Aleatoriedad Espacial Completa – CSR _________________________________________ 50

7.7. Estimación de la intensidad del patrón de sismos por Kernel __________________________________ 51

7.8. Estimación paramétrica de la intensidad del patrón de sismos ________________________________ 53

7.9. Evaluación del modelo paramétrico ______________________________________________________ 57

7.10. Análisis de correlación entre la intensidad del patrón sísmico y las covariables ___________________ 59

7.11. Estimación de un mejor modelo paramétrico _______________________________________________ 63

7.11.1. Transformación de covariables. __________________________________________________ 64

7.11.2. Estimación del modelo final para el patrón de sismos en la zona continental. _____________ 68

7.11.3. Estimación del modelo final para el patrón de sismos en la zona oceánica. _______________ 73

7.12. Evaluación de la capacidad explicativa de los modelos estimados ______________________________ 77

8. CONCLUSIONES ______________________________________________________________________ 81

9. BIBLIOGRAFÍA _______________________________________________________________________ 83

10. ANEXOS ______________________________________________________________________________ 86

10.1. Glosario de términos de geología _________________________________________________________ 86

10.2. Información complementaria ___________________________________________________________ 90

10.3. Código compilado en Matlab ____________________________________________________________ 91

10.4. Código compilado en R_________________________________________________________________ 95

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Representación de los vectores gravedad observado g y normal γ sobre el geoide y el elipsoide. __________ 19 Figura 2. Representación gráfica de la reducción de gravedad por efecto de placa de Bouguer. __________________ 20 Figura 3. Influencia de la topografía alrededor del punto P. ______________________________________________ 21 Figura 4. Atracción ejercida por un cilindro homogéneo sobre un punto P. __________________________________ 21 Figura 5. Representación de la división de las secciones cilíndricas. ________________________________________ 21 Figura 6. Secciones de la reducción Topográfica con defecto y exceso de masa. _______________________________ 22 Figura 7. Principio de equilibrio hidrostático de Arquímedes. _____________________________________________ 23 Figura 8. Equilibrio isostático por el sistema de Airy-Heiskanen. __________________________________________ 23 Figura 9. Estados de sumersión de la corteza en el manto y sus respectivas anomalías isostáticas. ________________ 24 Figura 10. Componentes del vector del campo magnético terrestre. ________________________________________ 25 Figura 11. Materiales magnéticos de la Tierra. ________________________________________________________ 27 Figura 12. Generalidades de las anomalías magnéticas y su interpretación. __________________________________ 28 Figura 13. Tipos de patrones puntuales espaciales. _____________________________________________________ 31 Figura 14. Ventana de estudio del proyecto. ___________________________________________________________ 37 Figura 15. Diagrama de barras del número de sismos por año. ____________________________________________ 42 Figura 16. Mapa de la distribución espacial de los sismos principales (periodo 2005-2015). _____________________ 43 Figura 17. Diagrama de caja de las magnitudes de los sismos principales (periodo 2005-2015). __________________ 44 Figura 18. Diagrama de caja de los valores de profundidad de los sismos principales (periodo 2005-2015). ________ 44 Figura 19. Mapa de tipos de fallas geológicas y bordes de placa en Colombia. ________________________________ 45 Figura 20. Histograma de valores de altitud. __________________________________________________________ 45 Figura 21. Mapa de la topografía de Colombia. ________________________________________________________ 46 Figura 22. Mapa de volcanes en Colombia. ___________________________________________________________ 47 Figura 23. Histograma de los valores de anomalías isostáticas en el territorio colombiano. _____________________ 47 Figura 24. Mapa de anomalías isostáticas en Colombia. _________________________________________________ 48 Figura 25. Mapa de anomalías magnéticas en Colombia. ________________________________________________ 49 Figura 26. Histograma de los valores de anomalías magnéticas en el territorio colombiano. _____________________ 49 Figura 27. Valores resultantes del test de bondad del ajuste 𝜒2. ___________________________________________ 50 Figura 28. Contraste entre valores observados y esperados en el test de bondad del ajuste 𝜒2. ___________________ 50 Figura 29. Funciones para evaluar la distribución espacial del patrón de sismos. Función F (superior izquierda), función

G (superior derecha), función K de Ripley (inferior izquierda) y función L (inferior derecha). ____________________ 51 Figura 30. Estimación por medio de validación cruzada para el ancho de banda óptimo.________________________ 52 Figura 31. Intensidad estimada mediante Kernel del patrón de sismos. ______________________________________ 53 Figura 32. Intensidad del patrón de sismos estimada a partir de covariables. _________________________________ 53 Figura 33. Patrones de sismos original (izquierda) y simulado (derecha). ____________________________________ 57 Figura 34. Test de conteo por cuadrantes para el modelo 1. ______________________________________________ 58 Figura 35. Residuales del modelo paramétrico. ________________________________________________________ 59 Figura 36. Función de intensidad según la covariable distancia al borde de placa convergente más cercano. ________ 60 Figura 37. Función de intensidad según la covariable distancia al borde de placa divergente más cercano. _________ 60 Figura 38. Función de intensidad según la covariable distancia al borde de placa de desgarre más cercano. ________ 60 Figura 39. Función de intensidad según la covariable distancia a la falla sinistral más cercana. __________________ 61 Figura 40. Función de intensidad según la covariable distancia a la falla dextral más cercana.___________________ 61 Figura 41. Función de intensidad según la covariable distancia a la falla normal más cercana. __________________ 61 Figura 42. Función de intensidad según la covariable distancia a la falla inversa más cercana. __________________ 61 Figura 43. Función de intensidad según la covariable distancia al volcán más cercano. ________________________ 62 Figura 44. Función de intensidad según la covariable A.S.N.M. ___________________________________________ 62 Figura 45. Función de intensidad según la covariable anomalías magnéticas. ________________________________ 63 Figura 46. Función de intensidad según la covariable anomalías isostáticas. _________________________________ 63 Figura 47. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable distancia a la falla

sinistral más cercana. ____________________________________________________________________________ 64 Figura 48. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable distancia a la falla

dextral más cercana. _____________________________________________________________________________ 64 Figura 49. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable distancia a la falla

normal más cercana. _____________________________________________________________________________ 64 Figura 50. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable distancia a la falla

inversa más cercana. _____________________________________________________________________________ 64 Figura 51. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable distancia al volcán más

cercano. _______________________________________________________________________________________ 65 Figura 52. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable M.S.N.M. __________ 65 Figura 53. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable anomalías isostáticas. 65 Figura 54. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable anomalías magnéticas. 66

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Figura 55. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona oceánica según la covariable distancia a la falla normal

más cercana. ___________________________________________________________________________________ 66 Figura 56. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona oceánica según la covariable distancia al borde de placa

de desgarre más cercano. _________________________________________________________________________ 66 Figura 57. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona oceánica según la covariable distancia al borde de placa

divergente más cercano.___________________________________________________________________________ 66 Figura 58. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona oceánica según la covariable distancia al borde de placa

convergente más cercano. _________________________________________________________________________ 66 Figura 59. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona oceánica según la covariable A.S.N.M. ____________ 67 Figura 60. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona oceánica según la covariable anomalías isostáticas. __ 67 Figura 61. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona oceánica según la covariable anomalías magnéticas. _ 67 Figura 62. Intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable transformada aig. ____________ 70 Figura 63. Intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable transformada am. _____________ 70 Figura 64. Intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable transformada A.S.N.M. ________ 71 Figura 65. Intensidad del patrón sísmico de la zona continental estimada a partir de covariables. _________________ 71 Figura 66. Comparación entre el patrón de sismos original (izquierda) y el patrón de sismos de la parte continental

simulado (derecha). ______________________________________________________________________________ 72 Figura 67. Test de conteo por cuadrantes para el modelo de sismos ocurridos en la parte continental. _____________ 72 Figura 68. Residuales del modelo para el patrón sísmico de la parte continental. ______________________________ 73 Figura 69. Intensidad del patrón sísmico de la zona oceánica según la covariable transformada am. ______________ 75 Figura 70. Intensidad del patrón sísmico de la zona oceánica estimada a partir de covariables. __________________ 75 Figura 71. Comparación entre el patrón de sismos original (izquierda) y el patrón de sismos de la parte oceánica

simulado (derecha). ______________________________________________________________________________ 76 Figura 72. Test de conteo por cuadrantes para el modelo de sismos ocurridos en la parte oceánica. _______________ 76 Figura 73. Residuales del modelo para el patrón sísmico de la parte oceánica. _______________________________ 77 Figura 74. Test de cuadrantes para la evaluación del modelo con base en los departamentos de Colombia. _________ 78

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LISTA DE TABLAS

Tabla 1. Tabla Hayford de zonas y compartimentos para el cálculo de la reducción por topografía. ______ 22 Tabla 2. Justificación de variables escogidas para el modelo. ____________________________________ 39 Tabla 3. Número de sismos por año. ________________________________________________________ 42 Tabla 4. Número de sismos por magnitud (periodo 2005-2015). __________________________________ 44 Tabla 5. Número de sismos por profundidad (periodo 2005-2015). ________________________________ 44 Tabla 6. Número de volcanes por departamento. ______________________________________________ 46 Tabla 7. Volcanes de Colombia. ___________________________________________________________ 47 Tabla 8. Valores de los parámetros del primero modelo estimado. ________________________________ 54 Tabla 9. Interpretación de parámetros estimados de las covariables del modelo. _____________________ 55 Tabla 10. Test LRT para el primer modelo estimado. __________________________________________ 56 Tabla 11. Valores AIC obtenidos por cada modelo estimado según su covariable excluida. _____________ 57 Tabla 12. Variables de los nuevos modelos estimados. _________________________________________ 63 Tabla 13. Parámetros y cifras del modelo para el patrón sísmico de la zona continental. ______________ 68 Tabla 14. Parámetros y cifras del modelo final para el patrón sísmico de la zona continental. __________ 68 Tabla 15. Valores AIC según covariables del modelo para los sismos ocurridos en la zona continental. ___ 69 Tabla 16. Parámetros y cifras del modelo para el patrón sísmico de la zona oceánica. ________________ 73 Tabla 17. Parámetros y cifras del modelo final para el patrón sísmico de la zona oceánica. ____________ 74 Tabla 18. Valores AIC según covariables del modelo para los sismos ocurridos en la zona oceánica. _____ 74 Tabla 19. Evaluación del modelo final por zonas marítimas. _____________________________________ 79 Tabla 20. Evaluación del modelo final por departamentos. ______________________________________ 80

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Resumen

Con el propósito de profundizar en el estudio de la distribución espacial de los sismos ocurridos en

Colombia a partir modelos estadísticos para patrones puntuales espaciales, el presente proyecto

llevó a cabo la estimación de modelos del proceso de Poisson no homogéneo asociado a dicho

patrón utilizando covariables descriptivas de la litosfera terrestre tales como altura sobre el nivel del

mar, anomalías magnéticas e isostáticas, y mediciones de distancia a estructuras geológicas como

fallas, bordes de placa y volcanes. En este caso, estimando tanto un modelo para el patrón sísmico

de la totalidad del territorio colombiano como otros dos para los patrones de las plataformas

continental y oceánica de manera independiente, se encontró que sí es posible calcular la intensidad

o densidad puntual de un patrón sísmico con el apoyo de información externa, diferente a las

características propias de los eventos sísmicos.

Concretamente, a partir de las herramientas que ofrece la estadística espacial se confirmó la

tendencia que tienen los sismos a ocurrir en determinados lugares tales como las cercanías a

estructuras geológicas, zonas con importantes anomalías gravimétricas, tanto positivas como

negativas, y en zonas con ciertos valores de anomalías magnéticas y altitud sobre el geoide.

Además, se encontró que aun cuando los modelos estimados no se ajustan en su totalidad al patrón

de sismos, al llevarse a cabo la simulación del proceso puntual estudiado, se obtienen resultados

acordes con lo observado en la realidad en términos de los lugares en donde se presentan mayores

concentraciones de eventos sísmicos, en cuyo caso corresponden a los departamentos de Santander

y Antioquia, el océano Pacífico, y en general en las zonas de cordilleras del territorio colombiano.

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1. INTRODUCCIÓN

El ser humano, en su afán por entender y poder describir los fenómenos naturales que ocurren

dentro de su entorno, ha propiciado que desde la antigüedad hasta nuestros días se haya mantenido

ese interés por las geociencias y sus aplicaciones en la caracterización de los territorios, la

protección y el racionamiento de los recursos naturales, la mitigación de los impactos derivados de

la dinámica terrestre y la salvaguardia de la vida en todas sus expresiones. Desde entonces, ante la

imprevisibilidad y las graves consecuencias resultantes de fenómenos tales como los eventos

sísmicos, se ha propuesto continuar con el estudio de la estructura de la Tierra de manera que la

información obtenida permita discriminar sobre mapas y sistemas de información geográfica las

zonas de amenaza teniendo en consideración su posición geográfica y su posible grado de

afectación.

Específicamente, en lo que respecta a la amenaza sísmica en la actualidad, esta ha sido investigada

en mayor proporción a través de información geológica y su respectiva cartografía, constituyéndose

así en un tema de alto interés geocientífico. Sin embargo, tras la creación de diversos software

estadísticos y la implementación de algoritmos en los mismos que facilitan la realización de

investigaciones estadístico-espaciales de mayor complejidad, se han podido apreciar las numerosas

ventajas que implica la sistematización de algunos procesos así como también la extracción y

procesamiento de nueva información a través del uso de dichos software, en especial, en áreas del

conocimiento como la ecología, la criminología, y por supuesto, en ciencias de la Tierra.

En este sentido, conociendo las bondades del uso de la estadística espacial en sismología y contando

con el catálogo de sismos de la Red Sismológica Nacional de Colombia – RSNC, creado y

actualizado de manera constante por el Servicio Geológico Colombiano – SGC desde el año 1993

con el apoyo de 53 estaciones sismológicas y 103 estaciones de la red de acelerógrafos nacional, se

han desarrollado diversos proyectos con los cuales se ha podido confirmar que los patrones de

sismos hacen parte de un proceso puntual de Poisson no homogéneo en el espacio. Estos proyectos,

encaminados al análisis y modelado sísmico estadístico-espacial, han dejado al descubierto la

posibilidad de realizar aún más estudios sobre la distribución de terremotos a lo largo y ancho del

país dado el amplio abanico de insumos y herramientas con los que se cuenta en la actualidad para

el monitoreo de los mismos y el refinamiento de la cartografía de la amenaza sísmica, entre los

cuales se encuentran datos complementarios a los tradicionalmente utilizados para tal fin al igual

que nuevos paquetes y bibliografía sobre estadística.

Es por este motivo que el presente trabajo se propone mostrar un modelo más completo al que

comúnmente se ha recurrido para el análisis del patrón puntual espacial de eventos telúricos en

Colombia, en cuyo caso, además de incorporar datos asociados a elementos y características

geológicas tales como bordes de placas tectónicas, fallas geológicas, volcanes y la altitud del

terreno, incluye información aún no utilizada de manera explícita en Colombia para este fin, como

las anomalías gravimétricas y magnéticas, variables utilizadas en mayor medida en proyectos de

exploración de hidrocarburos en las escalas regional y nacional. De ésta manera, el modelo a

estimarse dentro de este proyecto de investigación se consolida como una forma semidetallada pero

diferente para analizar del número de sismos ocurridos por unidad de área dándole un uso más

computarizado a datos de gran relevancia en áreas como geología y geofísica, y en especial,

dándole un procesamiento alternativo a los datos de ésta última área con el apoyo de software de

estadística espacial.

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2. ANTECEDENTES

Como lo explica Lomnitz (1994), aunque es factible utilizar diversas técnicas de análisis estadístico

para estudiar la ocurrencia de sismos con resultados altamente confiables, no es posible realizar aún

pronósticos sobre el momento y el lugar en los que ocurrirían estos eventos. No obstante, estudios

han revelado la existencia de correlaciones directas entre la ocurrencia de éstos fenómenos y

características de la corteza terrestre; Tal es el caso del estudio de Yoshida y Kobayashi (1999)

quienes encontraron que las variaciones del campo de gravedad terrestre tienen alguna conexión

con el aumento de la actividad sísmica y los cambios de densidad de masas subterráneas.

Otra investigación que confirma la correlación de sismos con otras características de la dinámica

terrestre fue llevada a cabo por Honda y Hiramatsu (2008), en la cual se concluyó que el terremoto

ocurrido la península japonesa de Noto en el año 2007 fue producto de la erupción submarina del

volcán Higashi-Izu. Esto apoyado por análisis comparativos de la estructura geológico-morfológica

de la península con cartografía de anomalías de gravedad de Bouguer, y de los cuales quedó en

evidencia la relación entre estas anomalías y la presencia de placas de subducción, ondulaciones del

Moho, afloramientos de rocas de basamento y la heterogeneidad de densidad sub-superficial.

Anwar (2009) desarrolló un modelo estadístico espacial de tipo Strauss para explicar las variaciones

espaciales de la densidad puntual de los sismos ocurridos entre 1973 y 2008 en una región de

Pakistán. Sus análisis sobre las tendencias de repulsión y atracción entre sismos de acuerdo a su

magnitud, al igual que la inclusión de covariables en el modelo tales como la distancia hasta el

borde de placa y la falla geológica más cercana, permitieron obtener el mejor modelo posible, y

entender las ventajas y limitaciones de éste en la caracterización de patrones agregados.

Ruiz y Nacif (2011) cuantificaron la tasa de deformación permanente de la corteza, el ascenso

altimétrico y el ritmo de variación de la gravedad en términos anuales, mediante la estimación de

modelos estadísticos y el uso de mapas de anomalías gravimétricas residuales y aero-magnéticas. A

causa de esto, los autores resaltaron la importancia de este tipo de datos para identificar e interpretar

la geometría de estructuras sismogénicas, de zonas de deformación cortical (levantamientos o

hundimientos), y de cambios de flujos de masas en el interior de la Tierra.

Mandea y Korte (2011) sugirieron que el magnetismo de las partes del manto superior cercanas a

zonas de subducción puede deberse a la introducción de agua que ocurre dentro de las mismas como

consecuencia de los cambios metamórficos que allí se desarrollan; Proceso del cual se produce una

roca de baja densidad altamente magnética denominada Serpentinita, la cual a su vez se suele

asociar espacialmente con la ocurrencia de sismos dado que la deshidratación de las losas en dichas

zonas reactiva fallas geológicas preexistentes y otras estructuras.

En Colombia, se cuenta con el estudio de sismicidad de Cárdenas y Garzón (2010), en el cual se

afirma que la ocurrencia de sismos se encuentra ligado a un proceso no homogéneo de Poisson

donde la cantidad de eventos varía en función de la posición geográfica dada la alta influencia del

sistema de fallas sobre la cordillera de los Andes, al norte y noroeste del país. Dentro de los

resultados, no se evidenciaron cambios significativos en el comportamiento espacial de los sismos

con el paso del tiempo, es decir que el análisis temporal no es primordial en este contexto.

Por último, el estudio realizado por Buriticá (2014) usando el análisis de patrones puntuales

marcados dejó al descubierto la existencia de una tendencia de los sismos entre magnitudes 1 y 3 a

agruparse en la cordillera oriental, y a su vez, una tendencia de aquellos movimientos telúricos de

magnitudes entre 3 y 6 a ubicarse principalmente en el Golfo de Urabá y la Sierra Nevada de Santa

Marta. Más aún, se concluyó que la mayor probabilidad de ocurrencia se presenta entre el

departamento de Chocó y el Golfo de Urabá, explicado esto por la cercanía de esta zona al sistema

de fallas geológicas del cinturón de fuego y la convergencia entre las placas Nazca y Sudamericana.

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3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El problema por el cual se decide plantear y desarrollar este proyecto es el hecho de que no existe

en Colombia un modelo que permita analizar la distribución espacial de los sismos con base en el

comportamiento espacial de variables adicionales que caractericen las propiedades físicas del

territorio. Por esta razón, en este proyecto se busca dar respuesta a la siguiente pregunta de

investigación:

¿Es posible explicar el comportamiento espacial de los sismos a partir del uso de covariables que

describen la geodinámica interna de la litosfera medidas a lo largo del territorio colombiano?

Ante esto, se plantea la siguiente hipótesis:

Es posible analizar la distribución espacial de los sismos en el territorio colombiano a partir de un

modelo estadístico espacial que incorpore variables tales como anomalías isostáticas, anomalías

magnéticas, distancia desde cada punto en el espacio hasta la falla geológica más cercana,

distancia desde cada punto en el espacio hasta el borde de placa más cercano, distancia desde

cada punto en el espacio hasta el volcán más cercano y la altitud del terreno.

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4. JUSTIFICACIÓN

El territorio colombiano, al contar con un complejo sistema de accidentes geográficos, se consolida

como un área ideal para efectuar una gran variedad de estudios de sismicidad en donde el programa

de Ingeniería Catastral y Geodesia no puede ser ajeno dados los instrumentos con los que cuenta

para este fin, y dada la necesidad de comprender el comportamiento espacial del patrón de sismos

nacional con miras a evitar catástrofes, y con ellas, pérdidas humanas y materiales.

En este contexto, debido a que el análisis de la distribución de sismos en Colombia se encuentra

sujeto en mayor cuantía a información geológica, se cree que puede ser una falencia no innovar

constantemente en lo que respecta a la incorporación de información de fuentes alternativas para

refinar la respectiva cartografía conforme al paso de los años, en especial, por la relación existente

entre la ocurrencia de terremotos en algunas zonas del territorio colombiano y las estructuras

geológicas aún no descubiertas a través del uso de métodos convencionales de detección de las

mismas. Un ejemplo claro que dejó al descubierto ésta situación fue el descubrimiento de la falla

geológica Caldas Tear en el año 2011 el cual, además de indicar que ciudades como Tunja,

Manizales y Quibdó se encuentran sometidas a una amenaza sísmica mayor a la que se tenía

prevista antes de dicho hallazgo, permitió concluir que es necesario reestimar los niveles de dicha

amenaza dadas las repercusiones que esto representa dentro del marco de la planificación territorial

(Salgado et al., 2010).

Por esta razón, con el fin de analizar la conexión existente entre la ocurrencia de eventos sísmicos y

las dinámicas propias de la litosfera terrestre desde un enfoque diferente, en el presente proyecto de

grado se propone hacer uso de diferentes herramientas que brinda la estadística espacial así como

también, de información en forma de covariables que hacen alusión a características y mediciones,

que en la teoría o en la práctica se han relacionado con la ocurrencia de sismos, tales como las

anomalías isostáticas y magnéticas, la altitud del terreno, y la distancia a determinadas estructuras

de la corteza del planeta Tierra.

17

5. OBJETIVOS

Objetivo general: Realizar un modelo estadístico espacial para analizar el número de sismos por

unidad de superficie y su relación con medidas tales como anomalías isostáticas y magnéticas,

altitud del terreno y distancia a elementos de la corteza donde generalmente ocurren sismos.

Objetivos Específicos:

Calcular las anomalías isostáticas en Colombia por medio de la aplicación de correcciones a las

mediciones de gravedad.

Realizar un análisis exploratorio del patrón de sismos en conjunto con los datos de las

covariables propuestas para el modelado del proceso puntual, con base en la teoría de patrones

puntuales espaciales.

Estimar el mejor modelo posible con base en el análisis del nivel de significancia de cada una

de las variables consideradas.

Cuantificar en qué porcentaje el modelo final logra explicar la distribución espacial de los

sismos en el territorio colombiano a través del uso de un estadístico de medición de bondad del

ajuste.

18

6. MARCO TEÓRICO

A continuación, se exponen brevemente los conceptos, asociados a las áreas de Geofísica y

Estadística Espacial, que constituyen la base teórica para el entendimiento del presente proyecto.

6.1. Sismos y sismicidad

Se define como sismo a aquella vibración de la corteza terrestre producida por la rápida liberación

de energía proveniente del interior de la Tierra como consecuencia del desplazamiento de los

diferentes bloques geológicos que constituyen su superficie (Tarbuck & Lutgens, 2005).

Por su parte, el término sismicidad se refiere a una rama de la geofísica cuyo objeto de estudio es la

distribución espacio-temporal de sismos con base en la recopilación de datos de los mismos tales

como fecha y hora de ocurrencia, posición geográfica1, magnitud e intensidad. Básicamente, la

importancia de este estudio radica en la determinación de las condiciones geodinámicas de un lugar

en específico y el conocimiento de las áreas sísmicamente más activas (Udias & Mézcua, 1986).

Desde el punto de vista estadístico, la distribución de los sismos en el tiempo se puede abordar

como un proceso de sucesos puntuales en donde el modelo más sencillo para analizar este

comportamiento es la distribución de Poisson. Según esta, para determinar el tamaño de los sismos

se utiliza la escala de magnitud de Richter que viene expresada matemáticamente de la forma

log10 𝑁(𝑀) = 𝑎 − 𝑏𝑀 (1)

Donde 𝑁 es el número de terremotos con magnitud mayor que 𝑀, a es una constante que representa

el logaritmo del número de terremotos de magnitud mayor que cero, y b que oscila entre 0,6 y 1,5,

es la proporción de terremotos de una cierta magnitud (Udias & Mézcua, 1986).

6.1.1. Desagrupación de sismos.

Parte del análisis de sismicidad consiste en identificar qué sismos corresponden a enjambres

sísmicos, definidos como conjuntos de sismos en los cuales es difícil distinguir cuál es principal, así

como también cuáles son sismos premonitores y réplicas, los cuales se refieren respectivamente a

los sismos previos y posteriores a la ocurrencia de un sismo principal (Udias & Mézcua, 1986).

Para este fin, una de las técnicas más aplicadas es el algoritmo de Reasenberg, el cual establece una

zona espacio-temporal de interacción para un determinado sismo con el objeto de contar y eliminar

los sismos que al estar dentro de dicha zona y ocurrir posteriormente al sismo objeto de análisis, son

considerados como réplicas. Durante este procedimiento que se repite para cada evento sísmico, se

dice que si un sismo no es catalogado como una réplica de algún otro, entonces se procede con el

trazo de una zona de interacción para él de manera que se pueda evaluar si a éste se encuentran

asociadas réplicas o no (Talbi, Nanjo, Satake, Zhuang, & Hamdache, 2013).

Dichas zonas de interacción que encierran las réplicas se modelan a partir de los parámetros 𝑅𝑓𝑎𝑐𝑡 y

𝜏𝑀𝑎𝑥, donde el primero establece la escala espacial con base en la dimensión de la fuente, y el

segundo representa la escala temporal determinada con base en un proceso heterogéneo de Poisson

para réplicas con densidad 𝜆(𝑡) de eventos por unidad de tiempo (Talbi, Nanjo, Satake, Zhuang, &

Hamdache, 2013). Así, teniendo un valor de tiempo 𝑡 > 0, la probabilidad de observar n terremotos

en el intervalo de tiempo [𝑡 , 𝑡 + 𝜏] para cualquier 𝜏, viene dada por

𝑃(𝑁([𝑡 , 𝑡 + 𝜏]) = 𝑛) =1

𝑛!𝑒−𝜆(𝑡)𝜏[𝜆(𝑡)𝜏]𝑛 , 𝜆(𝑡) = 𝑘(𝑡 + 𝑐)−𝑝 (2)

1 En sismicidad, la posición en la que ocurre un sismo bajo la superficie es conocida como hipocentro y a su proyección

sobre la superficie se le conoce como epicentro.

19

Donde 𝑁 es el proceso que indica el número de réplicas ocurridas en el intervalo [𝑡 , 𝑡 + 𝜏], 𝜆(𝑡)

representa la cantidad de sismos en el tiempo 𝑡 (Talbi, Nanjo, Satake, Zhuang, & Hamdache, 2013)

y 𝑝 es una tasa de decaimiento que oscila entre 0,5 y 2,5, tendiendo en la mayoría de los casos a 1

(Dimri, 2005). También se tiene que 𝑘 es una constante proporcional a la magnitud del evento y que

𝑐 es una variable que regula el comportamiento de la función cuando 𝑡 tiende a cero (Kositsky &

Sammis, 2008).

Por otra parte, el tiempo de espera 𝜏𝑊 en el que se espera que pueda ocurrir una réplica, teniendo en

cuenta la probabilidad 𝑃, viene dado por

𝜏𝑊 =−𝑡 log(1 − 𝑃)

1023

(𝑀𝑚𝑎𝑥−𝑚𝑐−1) (3)

Donde 𝑀𝑚𝑎𝑥 y 𝑚𝑐 son respectivamente las magnitudes máxima y mínima a las cuales se pueden

registrar sismos, y donde el tiempo de espera ésta en el intervalo 𝜏𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜏𝑊 ≤ 𝜏𝑚𝑎𝑥 (Talbi, Nanjo,

Satake, Zhuang, & Hamdache, 2013).

6.2. Gravimetría

Se conoce como gravimetría a aquella rama de la geofísica encargada de identificar estructuras

geológicas y localizar minerales de valor a través de la toma e interpretación de mediciones del

campo de gravedad (Minorov, 1977), las cuales requieren correcciones o reducciones adicionales

para poderse interpretar dado que, en la mayoría de los casos, resulta imposible su captura en alturas

cercanas al geoide2 (Jacoby & Smilde, 2009). Estas correcciones se describen a continuación.

6.2.1. Reducción Normal.

Teniendo que la gravedad normal es aquella función que considera que la Tierra tiene una

distribución homogénea de masas en su interior, una forma igual al elipsoide de referencia3

WGS84, y que su magnitud 𝛾 viene dada de la forma

𝛾 = 𝑓(𝜑) = 𝛾𝑒𝑞(1 + 𝐶2𝑆𝑒𝑛2𝜙 − 𝐶4𝑆𝑒𝑛22𝜙) (4)

Donde 𝐶2 = 0,0053024 , 𝐶4 = 0,0000058 y la gravedad ecuatorial es 𝛾𝑒𝑞 = 9,78 𝑚/𝑠2 (Jacoby &

Smilde, 2009).

Se define como reducción normal al cálculo de la diferencia existente entre la magnitud 𝑔 de la

gravedad medida en un punto 𝑃 sobre el geoide y el valor de gravedad normal 𝛾 en el punto 𝑄, que

corresponde a la proyección del punto 𝑃 sobre el elipsoide, es decir alrededor

∆𝑔 = 𝑔𝑃 − 𝛾𝑄 (5)

Donde ∆𝑔 se conoce con el nombre de anomalía de gravedad (Heiskanen & Moritz, 1993).

Figura 1. Representación de los vectores gravedad observado g y normal γ sobre el geoide y el elipsoide.

2 Geoide: Superficie equipotencial del campo gravitatorio de la Tierra que coincide con la superficie del agua de los

océanos en reposo y que se extiende bajo los continentes (Cardenas et al., 2009). 3 Elipsoide de referencia: Modelo matemático obtenido de la rotación de una elipse en torno al eje Z, que se achata en

los polos, ensancha en el Ecuador, y que se ajusta a la forma y dimensiones terrestres (Cardenas et al., 2009).

20

6.2.2. Reducción de Aire Libre.

Debido a que la medición de la magnitud de la gravedad se efectúa en un punto 𝑃′ ubicado en la

superficie terrestre, que representa al punto 𝑃 del geoide proyectado sobre la topografía, es

necesario realizar una corrección gravimétrica que elimine el efecto de la altura entre 𝑃’ y la

superficie del geoide. Esta corrección, que asume una variación constante vertical de

−0,3086 𝑚𝐺𝑎𝑙/𝑚 por encima y por debajo del nivel medio del mar, da lugar a la anomalía

∆𝑔𝐴𝐿 = 𝑔𝑃 − 𝛾𝑄 + 0,3086ℎ (6)

Donde ℎ es la altura en metros sobre el nivel medio del mar, y ∆𝑔𝐴𝐿se conoce como anomalía de

aire libre. Cabe resaltar que ésta reducción es igual a cero en el océano y que, en geofísica,

usualmente ésta reducción es suficiente siempre y cuando se aplique para terrenos no montañosos

con variaciones altitudinales menores a 1 km (Jacoby & Smilde, 2009).

6.2.3. Reducción por placa de Bouguer.

Otra manera de ajustar el valor de gravedad es de acuerdo al efecto generado por las masas

existentes entre el punto 𝑃’ de la medición sobre la topografía y el punto 𝑃 sobre el geoide, lo cual

se realiza mediante la sustracción de dicho efecto del valor de gravedad para terrenos por encima

del nivel del mar, y la adición de mismo para mediciones en el océano.

En la reducción por placa de Bouguer, para simplificar los cálculos, se considera una placa infinita

plana de espesor h y de densidad 𝜌𝐵 (Udias & Mézcua, 1986), donde ésta densidad tiene un valor de

𝜌𝐵 = 2670 𝑘𝑔/𝑚3 cuando representa el valor promedio ponderado de la superficie rocosa (Jacoby &

Smilde, 2009), y corresponde a 𝜌𝑤 = 1024,5 𝑘𝑔/𝑚3 cuando se refiere a la densidad del agua de mar

(Holzbecher, 1998). En este caso, la atracción ejercida por dicha placa sobre un punto 𝑃’ en la

superficie se expresa como 𝐶𝐵 = 2𝜋𝐺𝜌𝐵ℎ (7)

Donde al reemplazar la constante de atracción gravitacional 𝐺 = 6,6742 ∗ 10−11𝑁 𝑚2/𝑘𝑔2 y la

densidad, la corrección es aproximadamente igual a 0,1119 𝑚𝐺𝑎𝑙/𝑚 , que comúnmente es una

representación precisa de la masa topográfica, exceptuando montañas de gran altura (Jacoby &

Smilde, 2009).

Siendo esto así, la reducción por encima del geoide queda de la forma

∆𝑔𝑃𝐵 = 𝑔 − 𝛾 + 0,3086ℎ − 0,1119ℎ (8-1)

∆𝑔𝑃𝐵 = 𝑔 − 𝛾 + 0,1967ℎ (8-2)

Figura 2. Representación gráfica de la reducción de gravedad por efecto de placa de Bouguer.

Para el caso de mediciones sobre el océano, se tiene en cuenta la ausencia de rocas entre la

superficie y el lecho marino (Kearey, Brooks, & Hill, 2002), de modo que la atracción ejercida por

la placa ahora es 𝐶𝐵 = 2𝜋𝐺(𝜌𝐵 − 𝜌𝑤)ℎ (9)

21

Donde 𝜌𝑤 representa la densidad media del agua de mar. Al reemplazar estos valores, se obtiene un

valor de corrección 𝐶𝐵 igual a 0,0690 𝑚𝐺𝑎𝑙/𝑚. De esta manera, la reducción queda expresada como

∆𝑔𝑃𝐵 = 𝑔 − 𝛾 − 0,0690ℎ (10)

Donde h adquiere valores negativos (metros bajo el nivel del mar).

6.2.4. Reducción por Topografía.

Dado que la corrección por placa de Bouguer no incorpora los efectos gravitacionales generados por

las masas que se encuentran alrededor del punto en el que se toma la medición, se debe aplicar una

reducción por topografía que consiste en adicionar a la gravedad observada el efecto de atracción

que ejercen las masas que se encuentran por encima de la placa de Bouguer y/o adicionar el efecto

de atracción de las masas que no existen bajo el límite superior de dicha placa, donde cabe aclarar

que éste último efecto fue restado anteriormente en el momento en que se llevó a cabo la aplicación

de la reducción por la placa de Bouguer (Udias & Mézcua, 1986).

En la práctica, para la aplicación de esta reducción, se considera el efecto causado por un cilindro

homogéneo ubicado sobre el plano XY, con radio a y altura b, sobre un punto 𝑃 situado a una altura

c sobre el plano (Heiskanen & Moritz, 1993), como se muestra en la Figura 4. De ésta manera, la

atracción gravitacional 𝐴 ejercida por el cilindro sobre el punto 𝑃, viene dada por

𝐴 = 2𝜋𝑘𝜌 [𝑏 + √𝑎2 + (𝑐 − 𝑏)2 − √𝑎2 + 𝑐2] (11)

En donde, para éste caso, la densidad 𝜌 asumida es la misma que se utiliza para la reducción por

placa de Bouguer, es decir 𝜌 = 2670𝑘𝑔/𝑚3 (Jacoby & Smilde, 2009).

Figura 3. Influencia de la topografía alrededor del punto P.

Figura 4. Atracción ejercida por un

cilindro homogéneo sobre un punto P.

Sin embargo, dado que el terreno no se comporta como un cilindro sino que tiene cotas mayores y

menores que el punto de interés, se divide en secciones cilíndricas de la siguiente forma

Figura 5. Representación de la división de las secciones cilíndricas.

De modo que la atracción que ejerce cada sección o compartimento sobre el punto 𝑃 se describe por

Δ𝐴𝑖 =2𝜋

𝑛𝑘𝜌 [√𝑎2

2 + (𝑐 − 𝑏)2 − √𝑎12 + (𝑐 − 𝑏)2 − √𝑎2

2 + 𝑐2 + √𝑎12 + 𝑐2] (12)

Donde 𝑎1 es el radio interior, 𝑎2 el radio exterior y 𝑛 = 2𝜋/𝛼, es decir, el número de veces que se

divide el cilindro de acuerdo con el ángulo 𝛼 de cada sección (Heiskanen & Moritz, 1993).

22

Figura 6. Secciones de la reducción Topográfica con defecto y exceso de masa.

Dado que para el cálculo de la reducción por topografía deben sumarse los efectos de las secciones

alrededor del punto P, la reducción por topografía viene dada por

𝐴𝑡 = ∑ Δ𝐴𝑖 (13)

Aquí cuando la sección corresponde a un exceso de masa Δ𝑚(+), las constantes de la fórmula 12

toman los valores 𝑏 = ℎ − ℎ𝑃 , 𝑐 = 0, mientras que cuando se presenta un defecto de masa Δ𝑚(−), las

constantes adoptan los valores 𝑏 = 𝑐 = ℎ𝑃 − ℎ (Heiskanen & Moritz, 1993). De aquí, cabe decir que

la reducción por topografía es igual a cero en el océano.

Además, para saber la longitud del radio de cada zona (disco) y el número de compartimentos en

que cada una debe ser dividida, se utiliza la tabla Hayford, la cual considera como punto central a

aquel en que la medición de gravedad fue tomada.

Tabla 1. Tabla Hayford de zonas y compartimentos para el cálculo de la reducción por topografía.

Dentro de cada uno de estos compartimentos se calcula el valor de altitud promedio para luego

poder aplicar la fórmula 13 y obtener así la corrección por topografía. Cabe aclarar que el radio

interior de la zona A es igual a cero mientras que para las demás zonas el radio interior es igual al

radio exterior de la zona inmediatamente anterior (Heiskanen & Moritz, 1993).

6.2.5. Isostasia y reducción isostática.

El término isostasia (que en griego traduce igual presión) se refiere a la disciplina que se propone

explicar la estructura y el comportamiento de las cortezas continental y oceánica en términos de su

densidad, altura y otros factores ligados a la formación de relieve. Esta disciplina se fundamenta en

la idea de que existen excesos y defectos de masa en la corteza con respecto al geoide,

representados por bloques que, debido a las diferencias existentes en cuanto a su composición

rocosa, se comportan como cuerpos rígidos que flotan sobre el manto terrestre (Minorov, 1977).

Zona Radio Externo (m) # compartimentos

A 2 1

B 68 4

C 230 4

D 590 6

E 1.280 8

F 2.290 10

G 3.520 12

H 5.240 16

I 8.440 20

J 12.400 16

K 18.800 20

L 28.800 24

M 58.800 14

N 99.000 16

O 166.700 28

23

En este contexto, para entender el origen de las tantas formas de relieve de la superficie terrestre, se

han formulado diversas hipótesis cuyo punto de partida es el principio de equilibrio hidrostático (o

el principio de Arquímedes), el cual sostiene que un cuerpo flotante desaloja un volumen de agua

equivalente a su peso. Por esta razón, se cree que las deficiencias de masa por debajo de las cadenas

montañosas (con una masa equivalente a la de las mismas) flotan sobre un medio menos rígido con

un mecanismo de flotación simular al que tiene un iceberg en el agua (Tarbuck & Lutgens, 2005).

Figura 7. Principio de equilibrio

hidrostático de Arquímedes.

Figura 8. Equilibrio isostático por el sistema de Airy-Heiskanen.

Una de las hipótesis de isostasia más aceptadas en la comunidad científica es la conocida como

sistema de Airy-Heiskanen, la cual se basa en la premisa de que la corteza está conformada por

rocas ligeras que flotan sobre una capa de mayor densidad llamada astenosfera. Concretamente, esta

teoría supone que las zonas montañosas, debido a la flotabilidad del substrato que las soporta,

tienen bajo sí mismas una masa proporcional denominada raíz, que brinda el equilibrio suficiente

para que dichas elevaciones mantengan su estructura. Asimismo, de manera análoga, afirma que los

lugares con depresiones presentan anti-raíces y que por tanto, éstas zonas cuentan con una corteza

más delgada en comparación con la que predomina en sus alrededores (Tarbuck & Lutgens, 2005).

Del mismo modo, Airy argumentó que el efecto percibido en una medición de gravedad por excesos

de masa sobre el nivel del mar se compone de dos partes, teniendo en primer lugar la influencia de

la baja densidad de la montaña y por otro lado, la alta densidad de la capa inmediatamente inferior,

de manera que la variación de la gravedad resulta ser en realidad mínima (Watts, 2001). En

consecuencia, la condición de equilibrio de flote se expresa como

𝑟Δ𝜌 = ℎ𝜌𝐶 (14-1)

En donde Δ𝜌 = 𝜌𝑀 − 𝜌𝐶 = 600𝑘𝑔/𝑚3 es la diferencia entre las densidades de la corteza y el manto, ℎ

es la altura de la topografía y 𝑟 es el grosor de la correspondiente raíz (Heiskanen & Moritz, 1993),

la cual queda de la forma 𝑟 = 4,45ℎ (14-2)

De otro lado, para el caso de los océanos se cumple que

𝑟′Δ𝜌 = ℎ′(𝜌𝑜 − 𝜌𝜔) (15-1)

En donde ℎ’ es la profundidad del océano, se asume 𝜌𝜔 = 1027𝑘𝑔/𝑚3, y 𝑟’ es el grosor de la anti-

raíz que se puede expresar como: 𝑟′ = 2,73ℎ′ (15-2)

No obstante, dado que esta hipótesis no se cumple de forma rigurosa en la práctica, es decir, la

corteza terrestre en realidad no está en equilibrio ni es homogénea, es necesario aplicar una

reducción adicional a la corrección de Bouguer total denominada reducción isostática (Heiskanen &

Moritz, 1993), de la cual resulta la anomalía isostática de gravedad que viene de la forma

∆𝑔𝐼 = ∆𝑔𝐵 + 𝐴𝐶 (16-1)

∆𝑔𝐼 = 𝑔 + 𝐹 − 𝐴𝑡 − 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 − 𝛾 (16-2)

24

Donde ∆𝑔𝐵 es la anomalía de Bouguer total calculada a partir de la reducción por topografía 𝐴𝑡, 𝐴𝐵

es la atracción ejercida por la placa de Bouguer, 𝐹 es la reducción de aire libre, y 𝐴𝐶 representa la

atracción de la compensación o atracción de las masas compensadas (reducción isostática), la cual

es realmente negativa de modo que su eliminación es igual al término +𝐴𝑐 (Heiskanen & Moritz,

1993).

En este caso, se utiliza nuevamente la fórmula 12 para encontrar los valores 𝐴𝑖 al igual que como se

hizo para determinar la reducción por topografía, de donde se obtiene la reducción isostática

𝐴𝐶 = ∑ Δ𝐴𝑖 (17)

Aquí cabe hacer la claridad de que, teniendo como base de los cálculos el sistema Airy-Heiskanen,

las constantes para cada sección (compartimento) Δ𝐴𝑖 toman los valores diferentes a los

anteriormente utilizados como constante en la fórmula 12, en cuyo caso se tiene que 𝑏 = 𝑟 , 𝑐 =

ℎ𝑃 + 𝑡 + 𝑟 (Heiskanen & Moritz, 1993); donde 𝑟 es el grosor de la raíz de la sección cilíndrica, y

donde 𝜌 se reemplaza por Δ𝜌 = 600 𝑘𝑔/𝑚3 en la ecuación 12.

Al mismo tiempo, para el caso de las mediciones en el océano, la reducción isostática toma la forma

𝐴𝐶 = −𝐴1 + 𝐴2 (18)

Donde 𝐴1 y 𝐴2 son de la forma Δ𝐴𝑖 teniendo que para 𝐴1 las constantes toman los valores de

𝑏 = 𝑟′ , 𝑐 = 𝑇; y para A2 los valores de 𝑏 = 𝑐 = ℎ′ (Heiskanen & Moritz, 1993).

6.2.6. Interpretación de anomalías de gravedad.

En los que respecta a la interpretación, se define en una primera instancia como anomalía

gravimétrica a aquella ligera variación de un valor de gravedad medido en la superficie terrestre,

considerada anormal o anómala cuando está considerablemente por debajo o por arriba del valor

promedio observado en puntos aledaños. Estas variaciones que tienen como unidad de medida el

mGal4 son producto de los cambios de densidad por deformación elástica, los levantamientos o

hundimientos corticales y la adición de masas en las profundidades de la Tierra (Alva, 2005).

Figura 9. Estados de sumersión de la corteza en el manto y sus respectivas anomalías isostáticas.

En cuanto a su interpretación, cuando bajo la superficie se tienen rocas de densidad relativamente

baja, las anomalías de gravedad muestran una respuesta negativa. En estos casos, la baja densidad

bajo la superficie puede deberse a raíces profundas (generalmente compuestas por roca félsica) o

por el hecho de que la litosfera se encuentre subducida y rodeada por rocas (más densas) del manto.

Además, las anomalías negativas pueden presentarse en la corteza oceánica posiblemente por la

existencia de fosas oceánicas en las que se acumulan agua y sedimentos de baja densidad, lo que

genera una atracción gravitacional menor que la corteza más gruesa adyacente (Alva, 2005).

4 Un mGal (miliGal) es la unidad de medida para la magnitud de la gravedad y corresponde a la milésima parte de un Gal,

siendo este último equivalente a 1𝑐𝑚/𝑠2.

25

Por el contrario, anomalías gravimétricas positivas se asocian a casos en los que la densidad de las

rocas presentes bajo la superficie es mayor que la de las rocas circundantes, lo cual suele ser

consecuencia del adelgazamiento de la corteza continental, probablemente generado por la

separación o ruptura de placas. Cuando se trata de la corteza oceánica, las anomalías positivas

comúnmente se deben a la presencia de cuencas oceánicas donde las rocas del manto se encuentran

más cercanas a la superficie submarina, aunque otra causa puede ser el encapsulamiento de rocas

pertenecientes al manto, en medio de placas en colisión, lo cual generalmente da origen a montañas

continentales. También, es oportuno agregar que las anomalías gravimétricas pueden ser generadas

por la presencia de minerales metálicos, los cuales son más densos (Alva, 2005).

6.3. Geomagnetismo

El campo magnético de la Tierra está conformado por tres componentes denominados campo

magnético principal, campo magnético externo y sistema de anomalías magnéticas locales, los

cuales se describen de manera breve a continuación.

6.3.1. Campo magnético principal.

El campo magnético principal es aquel conjunto de corrientes de convección que impulsa la

circulación de materiales de alto grado de conductividad eléctrica en el núcleo externo de la Tierra

tales como hierro y níquel, generando de este modo el campo magnético de la misma casi en su

totalidad. Este campo actúa como una dínamo auto-inducida5 gracias a los complejos flujos de

materiales del interior del planeta, variando de forma relativamente lenta (Telford et al., 1990).

Gráficamente, este campo magnético se representa por medio de un vector cuya magnitud (o

intensidad) 𝐹 se expresa en Teslas6, alcanzando sus mayores valores en los polos magnéticos con

aproximadamente 6 ∗ 10−5𝑇. Al mismo tiempo, las componentes de tal vector se expresan en un

espacio cartesiano de forma paralela a las componentes geográficas norte y este, mientras que una

tercera componente vertical se traza ortogonalmente a éstas últimas dos, tal y como se puede notar

en la Figura 10. Además, la dirección del vector magnético se descompone en dos ángulos

denominados declinación 𝐷 , que corresponde al ángulo entre los meridianos magnético y

geográfico, e la inclinación 𝐼, el cual se refiere al ángulo comprendido entre el plano horizontal y la

dirección del vector por debajo de dicho plano (Lowrie, 2007).

Figura 10. Componentes del vector del campo magnético terrestre.

5 La hipótesis de la dínamo auto-inducida asegura que el núcleo terrestre actúa como un generador eléctrico natural que

transforma la energía cinética en energía electromagnética, dado el movimiento del hierro genera corrientes eléctricas que

se retroalimentan por la generación de su propio campo magnético (USGS, 2016). 6 Un Tesla, denotado como T, es la unidad del Sistema Internacional que denota densidad del flujo magnético y se define

como 𝐾𝑔

𝐴 𝑠2. En la práctica, la geofísica hace uso del nano-tesla (10−9𝑇), denotado como nT.

26

Ahora, teniendo en cuenta un sistema cartesiano con ejes XYZ, el vector magnético puede

expresarse matemáticamente a través de las ecuaciones

𝐷 = tan−1 (𝑌

𝑋) , 𝐼 = tan−1 (

𝑍

√𝑋2 + 𝑌2) , 𝐹2 = 𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2 (19)

Del mismo modo, los valores correspondientes a cada eje pueden ser calculados a partir de las

componentes del vector, por medio de las ecuaciones

𝑋 = 𝐹 cos 𝐼 cos 𝐷 , 𝑌 = cos 𝐼 sin 𝐷 , 𝑍 = 𝐹 sin 𝐼 (20)

Cabe resaltar que la dirección del vector por debajo del plano XY, apunta al polo norte (positivo)

magnético en el hemisferio norte y al polo sur (negativo) en el hemisferio sur. Además, como dato

adicional, se tiene que el campo magnético guarda una estrecha relación con el eje de rotación

terrestre, evidenciándose así un acoplamiento entre el movimiento convectivo del núcleo exterior y

la rotación de la Tierra. Sin embargo, la dirección del campo magnético no se rige completamente

por dicho acoplamiento, pues se presentan pequeñas alteraciones en los ángulos de inclinación y

declinación, conocidas como variaciones seculares, que tienen lugar a lo largo de varios años y se

explican como posibles cambios en las corrientes de convección del núcleo (Telford et al., 1990).

6.3.2. Campo magnético externo.

En segundo lugar se tiene un campo comparativamente menor, caracterizado por variaciones más

rápidas y proveniente de fuentes externas al planeta Tierra tales como la Luna, el Sol y demás astros

en menor medida, y cuyo nombre es campo magnético externo. Este campo se encuentra asociado a

corrientes provenientes de las capas ionizadas en la atmósfera superior, donde las variaciones

temporales ocurren de forma más frecuente en comparación con las que respectan al campo

magnético principal (Telford et al., 1990). Dichas variaciones se deben a las siguientes causales:

La actividad de las manchas solares en ciclos de 11 años.

Variaciones solares con períodos de 24 horas. Estas surgen por la interacción entre los

vientos solares y la Ionosfera, y pueden variar de acuerdo a la latitud y temporada del año con

un rango medio de afectación del campo magnético de 30 nT.

Variaciones lunares con períodos de 25 horas, con amplitudes cercanas a los 2 nT, y

variaciones cíclicas mensuales asociadas a interacciones con la ionosfera lunar.

Tormentas magnéticas con amplitudes cercanas a los 1.000 nT e incluso mayores en las

regiones polares, asociadas a las auroras. Se estima que se presentan con una frecuencia

aproximada de 27 días y se relacionan con la actividad de las manchas solares.

Es importante subrayar que, a excepción de las tormentas magnéticas, los efectos sobre las

observaciones generados por dichas fuentes de variación pueden ser corregidas de forma sistemática

para fines de prospección geofísica (Telford et al., 1990).

6.3.3. Anomalías Magnéticas Locales.

Por último, se tienen las variaciones espaciales del campo magnético principal, las cuales tienen un

comportamiento casi constante en el tiempo, son a su vez menores al campo principal, y están

directamente relacionadas con la presencia de minerales magnéticos bajo la superficie,

específicamente a una profundidad igual o menor a los 40 km, limite a partir del cual la temperatura

de la Tierra aumenta a tal grado de ocasionar la perdida de las propiedades magnéticas de cualquier

mineral y por tanto, del nombre de fuente generadora de anomalías como tal (Telford et al., 1990).

Los materiales magnéticos presentes en la corteza terrestre se clasifican de la siguiente manera:

27

Figura 11. Materiales magnéticos de la Tierra.

Cabe añadir que, en menor grado, la magnetización de una zona puede verse afectada en magnitud y

dirección por la magnetización natural remanente relacionada con la historia de las rocas, y por la

magnetización termorremanente, la cual es el principal mecanismo de enfriamiento de materiales en

presencia de un campo magnético externo. También, puede ser perturbada por sedimentación de

partículas (magnetización detrítica), impactos de rayos (magnetización remanente isotérmica),

reacciones químicas en rocas sedimentarias y metamórficas (magnetización remanente química) y

la exposición de granos finos al campo externo (magnetización remanente viscosa) (Telford et al.,

1990).

6.3.4. Reducción de mediciones del campo magnético.

Dado que las mediciones referentes al campo magnético terrestre se ven afectadas por la altitud y la

latitud, es necesario aplicar algunas correcciones a las mismas para su ajuste y facilitar su

interpretación. En este caso, contando con las componentes radial 𝐵𝑟 y tangencial 𝐵𝜃 puede

calcularse la intensidad total 𝐵𝑡 del campo, mediante la formula

𝐵𝑡 = √𝐵𝑟2 + 𝐵𝜃

2 =𝜇0𝑚

4𝜋

√1 − 3 cos2 𝜃

𝑟3 (21)

Valor a partir del cual, junto con el gradiente vertical del campo magnético, es decir, la derivada de

𝐵𝑡 con respecto al radio terrestre 𝑟, se determina la corrección por altitud.

𝜕𝐵𝑡

𝜕𝑟= −3

𝜇0𝑚

4𝜋 √1 − 3 𝑐𝑜𝑠2 𝜃

𝑟4= −

3

𝑟𝐵𝑡 (22)

Donde 𝜇0 = 4𝜋 ∗ 10−7𝑁𝐴−2 es la constante de permeabilidad, 𝑚 es el momento magnético del

dipolo terrestre y 𝜃 es el ángulo complementario a la latitud de la observación, es decir, 𝜃 = 90° − 𝜙

para cualquier latitud 𝜙. De este modo, el valor de corrección por altura se obtiene de sustituir el

radio 𝑟 = 𝑅 = 6371 𝐾𝑚 y el valor que corresponda de 𝐵𝑡 de acuerdo a la latitud de la medición. En

este caso, si la corrección se realiza para puntos en el Ecuador y en los polos, los valores de

28

intensidad total del campo que deben tomarse son 𝐵𝑡 ≈ 30.000 𝑛𝑇 y 𝐵𝑡 ≈ 60.000 𝑛𝑇 ,

respectivamente; lo que quiere decir que la corrección por altura toma los valores de 0,0015 𝑛𝑇/𝑚 y

0,030 𝑛𝑇/𝑚, también de manera respectiva. Ya para latitudes intermedias, para calcular la misma

corrección, el valor de 𝐵𝑡 se obtiene como una función lineal de la latitud entre los valores ya

mencionados (Lowrie, 2007).

De otro lado, la corrección por latitud se consigue a partir del gradiente horizontal norte-sur del

campo magnético, es decir, mediante la derivación de 𝐵𝑡 con respecto al ángulo polar 𝜃, así

−1

𝑟

𝜕𝐵𝑡

𝜕𝜃=

𝜇0𝑚

4𝜋

1

𝑟4

𝜕

𝜕𝜃 √1 − 3 cos2 𝜃 =

3𝐵𝑡 sin 𝜃 cos 𝜃

𝑟(1 + 3 cos2 𝜃) (23)

Esta corrección vale cero en los polos magnéticos y en el Ecuador, alcanzando un valor máximo de

0,005𝑛𝑇/𝑚 en latitudes intermedias, y puede ignorarse en estudios a pequeña escala (Lowrie, 2007).

Cabe decir que en el caso de terrenos altamente magnéticos (zonas con intrusiones minerales o

flujos de lava), puede ser necesario realizar correcciones topográficas adicionales (Lowrie, 2007).

6.3.5. Interpretación de Anomalías Magnéticas.

La interpretación de este tipo de anomalías es de gran utilidad para identificar rocas con notables

variaciones de magnetización sin importar su masa. Otras de sus utilidades se muestran en seguida:

Figura 12. Generalidades de las anomalías magnéticas y su interpretación.

Fuentes: (Thébault, 2011); (Hinze, Frese, & Saad, 2013); (Estrada, 2009).

29

Cabe decir que los análisis de anomalías magnéticas deben realizarse luego de la corrección de los

errores generados por el magnetismo proveniente del núcleo y campos externos (Thébault, 2011).

6.4. Patrón puntual espacial

Teniendo que la palabra patrón se refiere a “la característica de un grupo de puntos que describe la

ubicación de dichos puntos en términos de distancias relativas de un punto a otro” (Hudson &

Fowler, 1966), se define en estadística espacial al patrón puntual como un conjunto de puntos

(eventos) distribuido irregularmente dentro de una región específica en el espacio, el cual ha sido

generado por algún proceso de tipo puntual espacial (Diggle, 2014), es decir, por un mecanismo

estocástico (aleatorio) (Uria, 2011).

Los patrones puntuales espaciales se definen a su vez mediante las siguientes propiedades:

Propiedad de primer orden: Corresponde a la intensidad o densidad media del patrón, la cual

se define como el número de eventos contenidos en una unidad de área, y puede ser uniforme

o heterogénea en el espacio.

Propiedad de segundo orden: Se refiere a las relaciones entre eventos, es decir, a la tendencia

de éstos a agruparse, o a distribuirse regular o aleatoriamente en el espacio.

En este contexto, otro concepto relevante es el de patrón puntual marcado, el cual se refiere a aquel

patrón constituido por eventos de los cuales se tienen mediciones adicionales a su posición,

conocidas como marcas, que se asocian a alguna variable de interés ya sea de tipo cualitativo o

cuantitativo (Weigand & Moloney, 2014). Un ejemplo clásico de un análisis cualitativo de patrones

puntuales es el tipo especie de árbol en un estudio forestal y ejemplos comunes de marcas

cuantitativas son la magnitud y profundidad de los sismos ocurridos en una región de interés.

6.5. Estacionariedad

El concepto de estacionariedad hace referencia a la homogeneidad en las condiciones del entorno en

el cual se desarrolla un determinado proceso puntual, lo que se traduce en que dichas condiciones se

preservan de la misma manera en todos los lugares del espacio. La falta de estacionariedad en un

proceso se detecta cuando se evidencia alguna de las siguientes situaciones según (Illian, Penttinen,

Stoyan, & Stoyan, 2008):

i. Variación sistemática de la intensidad o densidad puntual del patrón a lo largo del espacio.

ii. Presencia de arreglos locales de eventos que dependen de la ubicación.

iii. Dependencia espacial entre marcas.

En términos matemáticos, se dice que un proceso puntual N es estacionario si tanto éste como su

traslación 𝑁𝑥 se distribuyen de igual manera en el espacio para todas las traslaciones x, lo cual se

denota como 𝑁 =𝑑 𝑁𝑥 donde 𝑁𝑥 = {𝑥1 + 𝑥, 𝑥2 + 𝑥, … es el proceso puntual resultante del

desplazamiento de todos los puntos de 𝑁 = {𝑥1, 𝑥2, … } por la adición del vector 𝑥 (Illian et al., 2008).

En la práctica, es difícil asegurar que un patrón puntual específico es una muestra de un proceso

puntual estacionario dado que la gran mayoría de las pruebas estadísticas existentes difieren en la

manera en como evalúan la presencia de estacionariedad. Sumado a esto, algunas veces,

principalmente cuando la ventana de observación es pequeña, el estudio de estacionariedad de un

patrón puntual resulta ser complejo ya que éste puede llegar a aparentar ser no estacionario aun

cuando es una muestra de algún proceso del que se sabe con certeza que es estacionario o viceversa,

30

razón por la cual, para evitar contradicciones, se hace necesario justificar la presencia de

estacionariedad dándole mayor prelación a los argumentos científicos vinculados al criterio del

intérprete según su conocimiento del proceso en la realidad que a la evidencia estadística misma

(Illian et al., 2008).

En otras situaciones, se observa también que es imperativa la eliminación de observaciones situadas

en zonas en las que se sabe que existen heterogeneidades que no son de interés en un estudio.

6.6. Isotropía y ergodicidad

Otro término de interés dentro del análisis de patrones puntuales espaciales es el de isotropía, el

cual contempla la rotación del sistema de coordenadas alrededor del origen, en lugar de su

desplazamiento (Weigand & Moloney, 2014). En términos prácticos, la isotropía es aquella

propiedad de los procesos puntuales espaciales que representa la no agrupación, o inhibición, de los

eventos en términos de la dirección en la que se observen dentro de la ventana de estudio.

En contraste, se conoce como anisotropía a la característica de un proceso puntual que indica la

existencia de una tendencia de los eventos a ocurrir hacia una dirección específica de acuerdo a las

condiciones del entorno, la cual condiciona su comportamiento en el espacio (Weigand & Moloney,

2014). En otros términos, si 𝑥 = (𝜉, 𝜂) es un punto en ℝ2 y si 𝑅𝛼𝑥 es un punto rotado con

coordenadas

𝜉𝛼 = 𝜉𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝜂𝑠𝑒𝑛𝛼 , 𝜂𝛼 = −𝜉𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝜂𝑐𝑜𝑠𝛼 (24)

Se dice que un proceso es isotrópico si cumple que el proceso inicial 𝑁 = {𝑥1, 𝑥2, … } y el proceso

rotado denotado como 𝑅𝛼𝑁 = {𝑅𝛼𝑥1, 𝑅𝛼𝑥2, … } tienen la misma distribución para cualquier ángulo de

rotación 𝛼 (Illian et al., 2008).

Para finalizar, un concepto adicional frecuentemente utilizado en estadística espacial es el de

ergodicidad, la cual es una propiedad cuyo cumplimiento indica que es suficiente analizar una única

muestra (patrón puntual) de tamaño apropiado para obtener resultados estadísticamente

significativos acerca de todo el proceso al que se encuentra representando (Illian et al., 2008). Esto

quiere decir que, bajo ergodicidad, con tan solo analizar muestras de eventos comprendidas en

regiones relativamente pequeñas, es suficiente para obtener resultados similares a los que se podrían

obtener al considerar una ventana de observación mayor.

6.7. Intensidad o densidad puntual

La intensidad, denotada como 𝜆(𝑠), donde s se refiere a una determinada localización en el espacio,

se define como el número promedio de eventos registrados por unidad de área, el cual en la práctica

es calculado por medio de métodos paramétricos, métodos no paramétricos o métodos de

suavizamiento de cuadrantes (Baddeley, Rubak, & Turner, 2016). Este valor de vital importancia

para analizar la uniformidad de un proceso puntual espacial, viene dado por la función de intensidad

𝜆(𝑠) = lim|𝑑𝑠|→0

𝐸(𝑁(𝑑𝑠))

|𝑑𝑠| (25)

Donde |𝑑𝑠| es una región infinitesimal que contiene a 𝑠. Esta función es dependiente de la ubicación

en el espacio, no negativa, está acotada y describe cómo es la variación de la intensidad o densidad

puntual en el espacio. Aquí, si la intensidad no depende de la ubicación espacial al proceso en

cuestión se le denomina proceso es homogéneo, mientras que en el caso contrario, se le conoce

como proceso puntual espacial no homogéneo (Illian et al., 2008).

31

6.8. Aleatoriedad Espacial Completa – CSR

Dentro del estudio de la intensidad, se suele analizar la aleatoriedad espacial completa (CSR por sus

siglas en Inglés), la cual se define como una propiedad que implica que los eventos de un

determinado proceso puntual espacial son independientes entre sí y se encuentran uniformemente

distribuidos en el espacio o, lo que es lo mismo, la intensidad es constante a través de toda la región

de estudio (Diggle, 2014). Aquí, las hipótesis a evaluar son:

H0: El proceso es un proceso de Poisson homogéneo.

H1: El proceso no es un proceso de Poisson homogéneo.

Donde un proceso de Poisson homogéneo es aquel proceso generado por un mecanismo estocástico

que representa al modelo ideal de aleatoriedad espacial completa. Con respecto a este tipo de

proceso, se afirma que éste se basa en una región de área A, la cual al ser dividida en 𝑁 subregiones

con 𝑁 → ∞ no es posible encontrar más de un evento en cada subregión y que en cada una de estas

se tiene la misma probabilidad 𝜆𝐴/𝑁 de contener un evento (Upton & Fingleton, 1985). De esta

forma, la probabilidad de encontrar exactamente r eventos en una unidad de área arbitraria dentro

de la región de estudio, viene dada por la distribución de Poisson:

𝑃(𝑟) =𝜆𝑟𝑒−𝑟

𝑟! , 𝑟 = 0,1,2, … (26)

Siendo la media y varianza de esta distribución iguales a la intensidad 𝜆 (Upton & Fingleton, 1985).

En resumen, con el no rechazo de la hipótesis nula de CSR se afirma intrínsecamente que:

i. La intensidad del proceso 𝜆 sigue una distribución de Poisson con media 𝜆|𝐴| donde |𝐴| es el

área de la región de estudio.

ii. Dicha intensidad o densidad puntual es constante en toda la región de estudio A.

iii. Los n eventos distribuidos en la región 𝐴 están distribuidos de forma independiente, es decir,

no existe ningún tipo de interacción en ningún evento 𝑥𝑖 que favorezca o inhiba la ocurrencia

de otros eventos dentro de la región.

En contraste, con el hecho de rechazar la hipótesis de CSR para un proceso de interés se da por

hecho que éste es heterogéneo y que por lo tanto es necesario analizar la correlación dentro del

mismo (Illian et al., 2008), así como también, distinguir si de éste se desprende alguno de los

siguientes tipos de patrones:

Patrón puntual agregado: Es aquel patrón en que los eventos tienden a encontrarse más

cercanos uno del otro, formando clústeres o aglomeraciones (Weigand & Moloney, 2014).

Patrón puntual regular: Es aquel patrón conformado por eventos que tienden a encontrarse

más alejados entre sí en comparación con lo que se observa en un patrón distribuido

aleatoriamente, es decir, en un patrón asociado a la hipótesis nula de CSR (Weigand &

Moloney, 2014).

Figura 13. Tipos de patrones puntuales espaciales.

32

Ahora, para identificar si un patrón específico tiene un comportamiento espacial similar a alguno de

los tipos de patrones ya mencionados, se acostumbra utilizar distintos tests de hipótesis de CSR, los

cuales se consolidan como el punto de partida para la estimación de un modelo que ajuste dicho

patrón. Estas pruebas se basan en el conteo de eventos por cuadrantes cuando se desea analizar la

propiedad de primer orden del patrón, es decir la intensidad puntual, o en su defecto, en la medición

de distancias evento-evento y/o punto-evento para analizar la propiedad de segundo orden que se

refiere a las tendencias de agrupación, aleatoriedad o uniformidad del conjunto de eventos (Uria,

2011). A continuación se muestra en qué consiste cada uno de estos métodos.

6.8.1. Test de bondad del ajuste 𝛘𝟐.

El método basado en cuadrantes conocido como test de bondad del ajuste 𝜒2 consiste en la división

de la región objeto de estudio en 𝑚 subregiones no traslapadas, denotadas como 𝐵1, 𝐵2 , … , 𝐵𝑚, las

cuales se establecen aleatoriamente en el espacio, casi siempre de forma cuadrada o circular, o bien

de forma triangular, hexagonal o de cualquier forma deseada (Giraldo, 2011). Esto se realiza con el

propósito de realizar el conteo de los eventos del patrón de interés que ocurren dentro de cada uno

de estos cuadrantes y comparar dicho valor con el que se obtiene al realizar el mismo procedimiento

considerando un proceso de Poisson homogéneo. Aquí, para tal comparación se utiliza el test 𝜒2 de

Pearson, el cual cuenta con el estadístico definido como

𝜒2 = ∑(𝑛ú𝑚. 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜 − 𝑛ú𝑚. 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜)2

𝑛ú𝑚. 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑗

(27-1)

𝜒2 = ∑(𝑛𝑗 − 𝑒𝑗)

2

𝑒𝑗𝑗

(27-2)

Donde 𝑛𝑗 es una variable independiente distribuida 𝑛𝑗 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠(𝜆|𝐵|) en la cual |𝐵| es el área de cada

cuadrante y el parámetro 𝜆 es la intensidad del proceso sabiendo que 𝑗 = 1, … 𝑚. Igualmente, 𝑒𝑗 es el

número de eventos esperado en el cuadrante 𝐵𝑗 si la intensidad es homogénea, en cuyo caso

𝑒𝑗 = 𝜆̅|𝐵| donde la intensidad estimada es 𝜆̅ = 𝑛/𝑎 teniendo que cuenta que n es el número total de

puntos del patrón y 𝑎 es el área de la ventana de observación (Baddeley et al., 2016).

En este punto, el estadístico de este test se distribuye aproximadamente 𝜒2 con 𝑚 − 1 grados de

libertad cuando se trata de un proceso en el que se no se rechaza la hipótesis nula de CSR (Baddeley

et al., 2016). En otros términos, valores grandes de 𝜒2 indican una distribución agregada y valores

pequeños del mismo estadístico se asocian a distribuciones regulares (Uria, 2011). Esta hipótesis

puede ser también evaluada comparando un nivel de significancia del 5% con el p-valor obtenido

tras la realización de los cálculos inherentes al test.

Cabe resaltar que aunque éste método es relativamente sencillo de emplear, la subjetividad en la

elección del tamaño, la forma y la cantidad de cuadrantes al igual que el hecho de que el inventario

de las observaciones dentro de los mismos no sea muy preciso, genera diferentes resultados cada

vez (Baddeley et al., 2016), ocasionando que se prefiera analizar la CSR a partir de distancias entre

eventos y, entre puntos y eventos, por encima de este método. No obstante, el efecto de borde en los

métodos basados en distancias es considerado un problema mayor en comparación con los métodos

de cuadrantes en donde este efecto es menor (Giraldo, 2011). En seguida se describen los métodos

basados en distancias que se utilizaran en el presente trabajo.

6.8.2. Función 𝐆(𝐫).

Una de las funciones básicas para indagar sobre la distribución espacial de puntos es la función de

33

distribución acumulada de distancia al vecino más cercano 𝐺(𝑟), la cual se encarga de examinar la

distancia euclidiana más corta entre un evento 𝑥𝑖 del patrón a analizarse y cada uno de sus eventos

vecinos más cercanos, ubicados estos a una distancia menor a cierta distancia predeterminada

(Baddeley et al., 2016). De este modo, la función empírica de G(r) viene dada por

𝐺(𝑟) =𝑁°{𝑟𝑖 ≤ 𝑟}

𝑛 (28-1)

�̂�(𝑟) =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟𝑖 ≤ 𝑟

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜 (28-2)

Donde 𝑟𝑖 es la distancia entre un evento y cada uno de sus vecinos, y 𝑟 es una variable aleatoria

diferente de cero que representa la distancia al sitio del evento más cercano (Giraldo, 2011).

Ahora, según un patrón completamente aleatorio, la respectiva función de distribución teórica es

𝐺𝑡(𝑟) = 1 − 𝑒−𝜆𝜋𝑟2 (29)

Donde λ es el número promedio de eventos por unidad de área. Aquí, dado que a veces la

interpretación gráfica de esta función se dificulta, se procede a simular, mediante el método de

Monte Carlo con un 5% de significancia, 𝑀 − 1 realizaciones de un proceso puntual bajo CSR para

calcular 𝐺(𝑟) un total de M veces a partir del patrón original y los simulados, procedimiento del cual

se obtienen contornos de confianza que facilitan el análisis gráfico del patrón y entre los cuales ha

de encontrarse la función empírica del proceso puntual de interés en caso de que éste corresponda a

un proceso homogéneo de Poisson (Cabrero & García, 2015). Es aconsejable ejecutar como mínimo

99 simulaciones aunque en diversos textos sobre estadística espacial se recomienda realizar al

menos 999 simulaciones para encontrar dicho intervalo de confianza, donde los límites superior e

inferior son denotados como 𝑈(𝑟) y 𝐿(𝑟), respectivamente (Rozas & Camarero, 2005).

En otras palabras, si al graficar las funciones ya descritas se observa que �̂�(𝑟) > 𝐺𝑡(𝑟), esto significa

que las distancias al vecino más cercano que se observaron en el patrón de interés son más cortas

que aquellas esperadas de un patrón puntual completamente aleatorio, lo que quiere decir que el

patrón en cuestión presenta sitios de clustering o agregación de eventos. En contraste, si se observa

que �̂�(𝑟) < 𝐺𝑡(𝑟) se da por hecho que el patrón analizado muestra signos de inhibición entre eventos

ya que las distancias observadas son más grandes que aquellas típicas de un proceso de Poisson

homogéneo (Baddeley et al., 2016).

6.8.3. Función 𝐅(𝐫).

Otra función que aporta información valiosa sobre el arreglo espacial de puntos es la función 𝐹(𝑟),

la cual incorpora en su cálculo la distancia euclidiana medida desde un conjunto arbitrario de m

puntos denotados como 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑚 hasta cada evento 𝑥𝑖 que conforma el patrón estudiado, en

donde dichos puntos son distribuidos a lo largo de la región de estudio, sin ninguna medida de una

característica particular asociada (Giraldo, 2011). De acuerdo a esto, si r es una variable aleatoria

que representa el radio dentro del cual han de contarse las distancias entre los puntos y sus eventos

vecinos 𝑥𝑖, y si 𝑟𝑖 es la distancia más corta entre un punto cualquiera y tales eventos, entonces la

función empírica de 𝐹(𝑟) es:

�̂�(𝑑) =𝑁°{𝑟𝑖 ≤ 𝑟}

𝑚 (30-1)

�̂�(𝑟) =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟𝑖 ≤ 𝑟

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 (30-2)

De la misma manera, se define la función teórica 𝐹𝑡(𝑟) como

34

𝐹𝑡(𝑟) = 1 − 𝑒−𝜆𝜋𝑟2 (31)

De la cual se puede notar que es exactamente igual a la función empírica de la función 𝐺(𝑟). Aquí,

al igual que como se mostró anteriormente, las gráficas de las funciones teórica y empírica revelan

que si �̂�(𝑟) > 𝐹𝑡(𝑟) el patrón objeto de análisis es regular dada una distancia 𝑟 y las distancias

punto-evento encontradas son más cortas que las que se esperarían si el patrón en cuestión fuera un

patrón homogéneo de Poisson. Por el contrario, cuando �̂�(𝑟) < 𝐹𝑡(𝑟) se trata de un patrón con

aglomeraciones de eventos ya que las distancias punto-evento son mayores en comparación con las

que se observarían si el patrón fuera completamente aleatorio (Baddeley et al., 2016).

6.8.4. Función K de Ripley.

Al igual que las funciones anteriores, la función K de Ripley es una función utilizada para procesos

estacionarios e isotrópicos que permite cuantificar la desviación respecto a la aleatoriedad con base

en distancias entre eventos (Rozas & Camarero, 2005), aunque con la diferencia de que ésta función

utiliza el número medio de individuos (eventos) en un radio 𝑟 cambiante alrededor de cualquier

evento (Giraldo, 2011). Para su cálculo, se utilizan los valores de distancia en la función empírica

�̂�(𝑟) =1

𝑛2𝑎 ∑ ∑ 𝐼ℎ(𝑑𝑖𝑗)

𝑗≠𝑖

𝑁

𝑖=1

𝑤𝑖𝑗−1 (32)

Donde 𝐼ℎ(𝑑𝑖𝑗) es una función dummy que adopta el valor de 1 si la distancia entre los puntos

𝑑𝑖𝑗 ≤ 𝑟, y el valor 0 en otro caso. Asimismo, 𝑎 se refiere al área de la región, 𝑛 al número de

eventos del patrón (Cruz, 2006), y 𝑤𝑖𝑗 al factor de corrección del efecto de borde (Rozas &

Camarero, 2005). De este último factor, cabe decir que para no tener estimaciones sesgadas como

consecuencia de éste efecto, se aconseja no calcular la función 𝐾 para distancias mayores a 1/3 de la

longitud del lado más corto del área de estudio (Baddeley & Turner, 2005).

Por su parte, función K de Ripley teórica viene dada de la forma

𝐾𝑡(𝑟) = 𝜋𝑟2 (33)

La cual, al ser graficada junto con su función empírica, permite concluir que un patrón es agregado

cuando 𝐾(𝑟) > 𝐾𝑡(𝑟), y es uniforme cuando 𝐾(𝑟) < 𝐾𝑡(𝑟) (Baddeley et al., 2016).

Igualmente, con el objeto de comprobar la aleatoriedad espacial y saber si la diferencia entre las

funciones empírica y teórica de un determinado patrón es realmente significativa, pueden llevarse a

cabo 𝑀 − 1 simulaciones de Monte Carlo de varios patrones puntuales espaciales totalmente

aleatorios con una significancia del 5%, las cuales son utilizadas para calcular y graficar las curvas

que representan los límites superior e inferior entre las cuales ha de encontrarse la curva de la

función empírica 𝐾(𝑟) del patrón estudiado en caso de encontrarse bajo CSR (Baddeley et al., 2016).

6.8.5. Función 𝐋(𝐫).

Otra función que se propone estudiar la dependencia en patrones puntuales y que en la práctica

suele utilizarse más frecuentemente es la función 𝐿(𝑟), la cual es considerada como una versión

estandarizada o una transformación de la función teórica 𝐾(𝑟) que tiene como objeto linealizar

dicha función y estabilizar la varianza (Besag, 1977), además de facilitar la interpretación y

clasificación del patrón observado mediante gráficas (Baddeley et al., 2016). Aquí, la versión

estimada o empírica de esta función viene dada por

�̂�(𝑟) = √�̂�(𝑟)

𝜋 (34)

35

Del mismo modo, aplicando la misma transformación a la función teórica 𝐾𝑡(𝑟), se obtiene una

función teórica 𝐿𝑡(𝑟) que tiene la forma

𝐿𝑡(𝑟) = √𝐾𝑡(𝑟)

𝜋 = 𝑟 (35)

En donde �̂�(𝑟) > 𝐿𝑡(𝑟) indica agregación y �̂�(𝑟) < 𝐿𝑡(𝑟) indica regularidad (Baddeley et al., 2016).

Usualmente, la interpretación de este estadístico se realiza con una pequeña modificación que

consiste en analizar gráficamente el resultado de restar �̂�(𝑟) − 𝑟 en donde la función de referencia es

�̂�(𝑟) = 0, es decir, el eje 𝑟 horizontal de la gráfica, lo cual es de gran utilidad espacialmente cuando

las dos funciones se encuentran muy cercanas entre sí. Aquí, cuando la curva de la función empírica

se ubica por dentro del espacio delimitado por los límites teóricos de la misma función obtenidos

mediante simulación, se puede afirmar que el patrón puntual en cuestión es aleatorio, y si, por el

contrario, la función empírica se encuentra fuera del intervalo de confianza, ya sea por encima o por

debajo, se dice respectivamente que el patrón es agregado o uniforme (Cruz, 2006).

6.9. Proceso de Poisson no homogéneo.

Una vez se ha rechazado la hipótesis nula de CSR, puede procederse con el ajuste de un modelo al

patrón estudiado con el propósito de interpretar y entender el proceso del cual se ha derivado (Uria,

2011). Aquí, es posible asociar el patrón a uno de muchos modelos de procesos puntuales entre los

cuales se encuentran los de Poisson, Cluster, Cox y Gibbs, entre otros, en cuyo caso, el más común

y útil de todos en términos del estudio de aglomeraciones es el proceso de Poisson inhomogéneo

dado que permite la introducción de covariables para estimar la función de intensidad de una

manera más precisa (Diggle, 2014).

En lo que respecta a los procesos de Poisson heterogéneos, estos son los procesos que se detectan

más frecuentemente en estudios sobre patrones no estacionarios y básicamente su diferencia con

respecto al proceso de Poisson homogéneo radica en que la densidad puntual o intensidad deja de

ser constante para convertirse en una función de la posición sobre la región de estudio. En otros

términos, este proceso cumple las siguientes características fundamentales según (Weigand &

Moloney, 2014):

i. La densidad puntual del proceso depende de la ubicación x. Esto quiere decir que la

probabilidad de que se encuentre un evento dentro de una circunferencia de tamaño

infinitesimal con centro en x y área dx es 𝜆(𝑥)𝑑𝑥 .

ii. Los eventos se encuentran esparcidos de manera aleatoria, lo que significa que no hay

interacción entre los eventos del patrón.

Cabe resaltar que uno de los principales objetivos que se plantean al estimar este tipo de modelos es

el de separar los efectos de dependencia de factores subyacentes y la interacción entre eventos. No

obstante, pueden existir zonas en las que la estimación de la presencia de eventos no es confiable y

coherente como consecuencia de la comisión u omisión de los mismos, lo cual representa una gran

desventaja para el estudio y limita el análisis de interacciones a pequeña escala (Weigand &

Moloney, 2014). Pese a esto, este método resulta ser útil ya que permite cuantificar la contribución

de las variables del entorno en el cual se desarrolla el patrón.

6.10. Estimación de parámetros por máxima verosimilitud

Para la estimación de los parámetros de un proceso inhomogéneo de Poisson es necesario

determinar la función de verosimilitud, la cual viene dada por

36

𝐿(𝜃; 𝑢) = ∏ 𝑓(𝑢𝑖)

𝑛

𝑖=1

(36)

Donde 𝑓( ) es la función de densidad de probabilidad para el proceso puntual. Ahora, si la función

de intensidad 𝜆𝜃(𝑢) para un proceso inhomogéneo de Poisson viene de la forma

𝑓(𝑢) = 𝜆𝜃(𝑢) = 𝑔 {∑ 𝜃𝑘𝑄𝑘(𝑢)

𝑝

𝑘=1

} (37)

Donde 𝑔( ) es una función continua en el espacio, 𝜃𝑘 es el conjunto de parámetros que modelan la

intensidad y 𝑄𝑘(𝑢) es una serie de 𝑝 covariables cuyos valores son conocidos para todas las

posiciones 𝑢 en la ventana de estudio 𝐴. Con base en esto y asumiendo que 𝑔(𝑦) = exp (𝑦), la

función de máxima verosimilitud en su forma logarítmica es

log(𝐿(𝜃; 𝑥)) = ∑ log(𝜆𝜃(𝑥𝑖))

𝑛

𝑖=1

− ∫ 𝜆𝜃(𝑢) 𝑑𝑢

𝐴

(38)

En ésta fórmula, el Estimador por Máxima Verosimilitud (EMV) para 𝜃 sólo puede ser calculado

mediante el uso de algoritmos numéricos (Baddeley et al., 2016), como por ejemplo el algoritmo

computacional desarrollado por Berman y Turner (1992), el cual determina el EMV con base en la

semejanza existente entre la función de verosimilitud logarítmica de Poisson y la correspondiente a

una regresión log-lineal de Poisson (Berman & Turner, 1992), dando lugar a la igualdad

∫ 𝜆𝜃(𝑢) 𝑑𝑢

𝐴

= ∑ 𝑤𝑗𝜆𝜃(𝑥𝑗)

𝑀

𝑗=1

(39)

Donde 𝑤𝑗 es una ponderación no negativa obtenida a partir de algún método de teselación. En este

punto, al reemplazar dicha igualdad en la fórmula 38, se obtiene la función de verosimilitud

𝐿(𝜃; 𝑥) = ∑ 𝑤𝑗 {𝑁𝑗

𝑤𝑗log (𝜆𝜃(𝑥𝑗)) − 𝜆𝜃(𝑥𝑗)}

𝑀

𝑗=1

(40)

Donde 𝑁𝑗 es una variable dummy que depende de la posición con respecto a las diferentes teselas

establecidas para la estimación del modelo (Berman & Turner, 1992).

A partir de esta nueva función de verosimilitud, siempre y cuando el parámetro 𝜃 sea lineal, es

posible estimar la función de intensidad por medio de la maximización de dicha función de

verosimilitud (Berman & Turner, 1992), obteniendo así el modelo

log(𝜆𝜃(𝑢)) = 𝜃 ∙ 𝑄(𝑢) (41)

Siendo 𝑄(𝑢) una función vectorial de valores reales evaluada en la posición 𝑢 , la cual puede

contener las coordenadas espaciales de 𝑢, valores de covariables observadas o una combinación de

ambas (Baddeley et al., 2016), y 𝜃 el vector de parámetros, como se ve a continuación

𝜃 = (

𝛽0

𝛽1

⋮𝛽𝑝

) , 𝑄 = (

1𝑄1(𝑢)

⋮𝑄𝑝(𝑢)

) (42)

Finalmente, el modelo estimado de tipo Log-Lin se reexpresa como

𝜆𝜃(𝑢) = 𝑒 𝛽0+𝛽1𝑄1(𝑢)+⋯+𝛽𝑝𝑄𝑝(𝑢) (43)

37

7. DESARROLLO DEL PROYECTO

7.1. Definición del área de estudio

El área de estudio a utilizar dentro del presente proyecto tiene un área total de 2.021.054,76 km2, de

la cual 1.144.221,9 km2 corresponde al área continental de Colombia (incluyendo las áreas de las

islas de San Andrés, Providencia y Santa Catalina) y 876.832,6 km2 a su área marítima. Esta última

se encuentra constituida por 530.319,24 km2 de mar Caribe y 346.513,62 km

2 de océano Pacífico.

Figura 14. Ventana de estudio del proyecto.

En este proyecto se optó por incluir a la plataforma oceánica del país en el análisis de sismicidad

debido a que en estudios estadísticos anteriores toda esta zona ha sido ignorada junto con todos los

eventos sísmicos allí ocurridos. Esto de tal manera que se pudiera estudiar conjuntamente a los

eventos sísmicos y la relación que estos guardan con las diferentes estructuras geológicas que se

encuentran tanto en la corteza continental como oceánica.

De otro lado, se consideró pertinente estudiar los sismos en un intervalo de tiempo de solo 10 años,

dado que de haberse contemplado un intervalo mayor hubiera resultado inmanejable el conjunto de

datos en vista de las limitaciones de software y hardware con las que se cuenta para el proyecto. Es

necesario señalar también que no se tomaron en consideración sismos anteriores a 2005 debido a

que con el intervalo de tiempo seleccionado se garantiza la no existencia de variaciones

significativas en el comportamiento espacio-temporal de algunas de las covariables seleccionadas

para el modelo, especialmente las que respectan a las anomalías magnéticas y de gravedad cuyas

ligeras variaciones, al presentarse en intervalos amplios de tiempo, pueden ser despreciables a la

escala establecida para el proyecto.

7.2. Selección y justificación de covariables del modelo

Para el modelo de estimación de la intensidad o densidad puntual del patrón de sismos, se optó por

considerar aquellos rasgos de la litosfera terrestre a los que históricamente se les ha asociado con la

ocurrencia de sismos, así como también, información de gravimetría y magnetismo dado el valioso

aporte que esta representa en estudios de caracterización de las diferentes estructuras y materiales

ubicados bajo la superficie terrestre. En seguida se muestra una breve justificación del por qué se

escogió cada covariable o grupo de covariables para el modelo:

38

Covariable

general Justificación

Covariable

específica Evidencias específicas/Características

Bordes de placa

En estas zonas el

movimiento de placas

tectónicas es

considerable como

consecuencia de los

flujos convectivos7

térmicamente

impulsados que se

desarrollan en la

astenosfera (Tarbuck &

Lutgens, 2005).

Además, según Tarbuck

(2005), algunas

evidencias de las

variantes dinámicas que

se desarrollan en estos

bordes son:

Registros de

velocidades continuas

promedio de las placas

de hasta 5 cm/año.

Deformaciones de

grandes masas rocosas.

Eventos telúricos.

Bordes de placa

convergentes

Eventos telúricos cuya magnitud depende de los

ángulos formados entre placas. Para este efecto,

ángulos grandes se asocian a una menor interacción de

placas, y viceversa (Tarbuck & Lutgens, 2005).

A profundidades menores a 30 km la actividad sísmica

es baja mientras que a mayores profundidades los

movimientos telúricos presentan altas magnitudes

como consecuencia de la ausencia de agua y minerales

hidratados en las placas (Condie, 1997).

Por la subducción, algunas regiones se ven afectadas

por deslizamientos lentos en donde las velocidades de

ruptura son de pocos milímetros/día (McCaffrey,

2011).

Bordes de placa

divergentes

Estos bordes se relacionan con la ocurrencia de sismos

superficiales, los cuales son generalmente de baja

magnitud y se presentan como enjambres sísmicos

asociados a la intrusión o extrusión de magmas

basálticos en la mayoría de los casos (Condie, 1997).

Bordes de placa

tipo falla

transformante o

de desgarre

Allí ocurren sismos superficiales, usualmente a

profundidades menores a 50 km (Condie, 1997).

Los movimientos sísmicos de magnitudes mayores a 8

que se generan en estos bordes solo ocurren después de

largos periodos de inactividad, más que todo en

segmentos continentales (Condie, 1997).

Con respecto a los sismos de magnitudes medias, estos

son característicos de zonas de este tipo de borde en

que las tensiones son liberadas por el deslizamiento de

bloques (Condie, 1997).

Fallas

geológicas

En estas zonas es

bastante notable la

deformación rocosa

causada por la dinámica

propia de las placas

tectónicas, así como

también, el

desplazamiento del

terreno. Igualmente, se

presentan sismos de

diversa magnitud

(Tarbuck & Lutgens,

2005).

Fallas verticales

Se encuentran usualmente en zonas de divergencia

entre placas y se clasifican en fallas normales e

inversas (Tarbuck & Lutgens, 2005).

Las fallas normales aparecen en entornos tensionales,

mientras que las fallas inversas son resultado de fuertes

esfuerzos compresivos a partir de los cuales se generan

pliegues y se facilita el engrosamiento y acortamiento

del material implicado (Tarbuck & Lutgens, 2005).

Fallas

horizontales

Pueden atravesar la litosfera y generar movimientos

entre dos placas de corteza terrestre (Tarbuck &

Lutgens, 2005).

Se clasifican en fallas de tipo dextral y sinistral

(Tarbuck & Lutgens, 2005).

Altitud

Es natural que en estas

zonas sucedan

liberaciones bruscas de

energía en forma de

sismos, debidas a la

constante, aunque

paulatina, deformación

que sufre la litosfera por

la dinámica de las

placas tectónicas

(Searle, 2005).

A.S.N.M.

El relieve andino del territorio colombiano se originó

por la colisión entre la placa continental Suramericana

y las placas oceánicas de Nazca y Caribe, las cuales

ejercen compresión en sentido Este-Oeste y conforman

ángulos de subducción que oscilan entre 30° y 40° con

respecto a la litosfera continental, formando además

una fosa oceánica a aproximadamente 70 km en la

costa pacífica (Searle, 2005).

7 Un flujo convectivo consiste en el ascenso del material menos denso y el hundimiento del material más denso.

39

Covariable

general Justificación

Covariable

específica Evidencias específicas/Características

Volcanes

Existe evidencia

científica de que los

movimientos de magma

bajo la superficie y la

liberación de energía

durante las erupciones

volcánicas generan

sismos (Kramer, 1996).

Volcanes de

todo tipo

(activos e

inactivos)

Ejemplos de la relación volcanes-sismos son el sismo

del año 1975 con magnitud 7,2 asociado a la actividad

del volcán Kilauea en Hawái, y el sismo de magnitud

5,1 en el año 1980, producto de la erupción del volcán

Monte Santa Helena al sur de Washington (Kramer,

1996).

Los sismos volcánicos exhiben características similares

a las que se presentan en sismos asociados a la

dinámica de fallas o bordes de placa debido a que se

presenta como fallamiento de las rocas, pero teniendo

como principal diferencia la magnitud limitada del

sismo dada la relativamente pequeña superficie de falla

presente junto a los volcanes (McCaffrey, 2011).

Es posible encontrar perturbaciones asociadas a

movimientos de magma, agua o fluidos en general

cuya duración tiende a ser mayor pero su amplitud es

más baja y generan una deformación mínima de la

corteza (McCaffrey, 2011).

Anomalías

gravimétricas

Éstas permiten

identificar dónde se

producen cambios de

densidad por

deformación elástica,

levantamientos o

hundimientos corticales

y la adición de masas en

las profundidades de la

Tierra (Alva, 2005).

Anomalías

isostáticas

Se han detectado cambios en los valores de gravedad

observada como consecuencia de enjambres sísmicos

relacionados con la actividad volcánica, la intrusión de

magma en la superficie y cambios de profundidad en

fallas geológicas. Esto ha indicado que analizar

variaciones de gravedad constituye una fuente de

información útil para la identificación de zonas

sísmicamente activas, pues dichas variaciones guardan

una estrecha relación con movimientos subterráneos de

masa y variaciones en la densidad de materiales bajo la

superficie terrestre (Yoshida, Seta, Okubo, &

Kobayashi, 1999).

En el estudio del equilibro isostático en la corteza

terrestre se ha llegado a que anomalías positivas

corresponden a ambientes tectónicos tipo rift o de arco

magmático con de cuerpos ígneos máficos o a

basamentos cristalinos, mientras que anomalías

negativas se asocian a depósitos sedimentarios situados

en ambientes tectónico compresionales compuestos por

materiales félsicos (Alvarez, 2002).

Se ha descubierto que cuando las anomalías isostáticas

son máximas, éstas pueden asociarse a zonas de la

corteza en las que la velocidad media de las ondas

sísmicas es alta, y viceversa (Alvarez, 2002).

Mediciones de

intensidad del

campo

magnético

Estas permiten

identificar estructuras

geológicas y otros

cuerpos anómalos con

cantidades variables de

magnetización, bajo la

superficie (Thébault,

2011).

Anomalías

magnéticas

Se dice que anomalías de gran tamaño indican la

presencia de bordes de placas tectónicas y actividad

sismo-tectónica. Estas permiten caracterizar cinturones

móviles orogénicos y zonas de colisión, al igual que

obtener perfiles de variaciones en el grosor de la

corteza en los bordes de placas y en grandes zonas de

subducción (Thébault, 2011).

Gracias a este tipo de anomalías se ha podido analizar

más detalladamente la creación, destrucción y

dinámica general de los materiales magnéticos en la

litosfera y la modificación de las firmas magnéticas

preexistentes (Thébault, 2011).

Tabla 2. Justificación de variables escogidas para el modelo.

40

7.3. Adquisición de datos

En cuanto a los insumos necesarios para la estimación del modelo, en primera instancia se llevó a

cabo la adquisición de los datos correspondientes a todos los eventos sísmicos registrados en

Colombia por el Servicio Geológico Colombiano – SGC, desde el 1 de Junio de 1993 hasta el 18 de

Diciembre de 2015, procedimiento del cual se obtuvo una base de datos con 140.826 registros y

atributos tales como longitud, latitud, departamento, municipio, día y hora de ocurrencia, magnitud,

profundidad y errores asociados a estas últimas dos medidas.

Se procedió con la adquisición de los datos propios de las covariables a incorporarse en el modelo

estadístico - espacial, en cuyo caso se comenzó por la búsqueda de la información correspondiente a

las anomalías gravimétricas de aire libre y la topografía del país. Esta fue obtenida a través del

Instituto Scripps de Oceanografía de la Universidad de California San Diego8, el cual incluye en su

página web una sección destinada exclusivamente a la libre distribución de datos capturados por el

programa satelital TOPEX/Poseidón. Concretamente, estos valores, tomados cada minuto de arco

tanto en longitud como en latitud, fueron conseguidos con base en la ventana comprendida entre las

latitudes 18°42'10"N y 6°28'58"S, y las longitudes 88°37'31"W y 64°10'55"W, cuya área se procuró

que fuera un poco mayor a la de la ventana de estudio del proyecto con el fin de poder procesar la

información ya mencionada sin inconvenientes por carencia de datos suficientes.

En seguida, se obtuvieron los valores concernientes a las anomalías magnéticas presentes dentro de

la región comprendida entre las latitudes 16°31'53"N y 4°23'34"S, y las longitudes 86°20'22"W y

66°32'38"W, y de los cuales se sabe que éstos fueron tomados por la Comisión para el Mapa

Geológico del Mundo – CGMW en el año 2007 para la elaboración del Mapa Mundial Digital de

Anomalías Magnéticas – WDMAM9. Cabe decir aquí que a diferencia de los datos de anomalías

gravimétricas y de A.S.N.M., los valores de anomalías magnéticas se capturaron según una grilla de

puntos ubicados entre sí a una distancia de dos minutos de arco, en longitud y latitud.

Finalmente, por medio de la página web del Servicio Geológico Colombiano – SGC, más

específicamente a través de la base geográfica correspondiente al Mapa Geológico de Colombia

201510

, se consiguieron las capas de información relativas a bordes de placas tectónicas de tipo

convergente, divergente y falla transformante o de desgarre, volcanes y fallas geológicas

horizontales (dextrales y siniestrales) y verticales (normales e inversas) en las plataformas

continental y oceánicas colombianas.

7.4. Preparación de insumos para el modelo

El presente inciso consiste en la exposición semi-detallada de los procedimientos llevados a cabo

antes de la estimación de modelo estadístico-espacial propuesto para este trabajo, comenzando por

la descripción del procesamiento inicial realizado a los datos de la variable de interés y las

covariables explicativas, y siguiendo con un análisis de la ubicación de las mismas en el espacio así

como también, con un análisis estadístico básico de las mismas usando estadísticos muestrales

básicos. Finalmente, se mostrará la explicación de la metodología empleada para la obtención del

modelo.

7.4.1. Procesamiento inicial del catálogo de sismos.

En lo que respecta al procesamiento inicial del catálogo de sismos, con el propósito de eliminar la

dependencia espacio-temporal entre los mismos ocasionada por la presencia de réplicas y sismos

premonitores registrados en el periodo de tiempo ya mencionado, se prosiguió con la depuración del

8 http://topex.ucsd.edu/cgi-bin/get_data.cgi 9 http://ftp.gtk.fi/WDMAM2007/WDMAM_1.0_DVD_2007_Edition/ 10 http://www2.sgc.gov.co/Geologia/Mapa-geologico-de-Colombia.aspx

41

conjunto de datos en el software Matlab R2007b mediante la ejecución del algoritmo de Reasenberg

descrito previamente en el marco teórico, el cual fue incorporado por el Servicio Sismológico Suizo

dentro del paquete ZMAP 6.0. Tras el uso de este algoritmo se obtuvo una base de datos reducida

cuyos registros se referían únicamente a información sobre 80.465 sismos principales ocurridos

dentro de las plataformas continental y oceánica en el territorio colombiano. De esta, se extrajeron

52.460 registros asociados a los sismos principales ocurridos en el periodo de tiempo de interés para

el modelo a estimarse, es decir, del 1 de enero de 2005 hasta el 1 de octubre de 2015.

Posteriormente, para poder visualizar la información de forma cartográfica y facilitar una primera

interpretación visual de la misma, se importaron los datos al software ArcMap 10.3 y se les asignó

el sistema de coordenadas geográficas asociado al elipsoide de referencia WGS84. Asimismo, para

no tener inconvenientes en el procesamiento estadístico - espacial de los datos por las unidades de

medida, se realizó la transformación de las coordenadas geográficas de los mismos al sistema de

coordenadas planas MAGNA Colombia-Bogotá a través del software QGIS Desktop 2.12.3, lo que

quiere decir que las coordenadas de cada sismo pasaron de expresarse en grados, minutos y

segundos a expresarse en unidades métricas.

7.4.2. Procesamiento inicial de los datos de las covariables del modelo.

Ya con el catálogo de sismos depurado, fue necesario asegurarse de tener toda la información de las

covariables en un formato que permitiera realizar un primer análisis visual y estadístico de la misma

bajo un sistema plano de coordenadas. En este caso, dado que los datos de geología ya se

encontraban en capas de información geográfica listos para ser utilizados desde el software ArcMap

10.3, solo fue imperativo llevar a cabo la conversión de los listados de las coordenadas y valores de

topografía, magnetismo y gravedad al mismo formato de la información geológica para poder

visualizar estas covariables en un contexto espacial y, de la misma manera, transformar sus

respectivas coordenadas al sistema de coordenadas planas MAGNA Colombia-Bogotá con el

software QGIS Desktop 2.12.3.

Luego, se efectuó la respectiva interpolación de los valores de topografía y de anomalías

gravimétricas y magnéticas haciendo uso del software Surfer 10 y mediante el método de

interpolación kriging basado en un variograma tipo lineal, el cual garantiza que la pérdida de la

información es mínima y, con ello, que los resultados obtenidos a partir del procesamiento de los

datos sean confiables. Los productos resultantes de este procedimiento fueron exportados al formato

raster GeoTIFF haciendo uso de ArcMap 10.3, cada uno con una resolución espacial de 1km.

Cabe decir que a la información de topografía no se le realizaron correcciones adicionales puesto

que el instituto que proporcionó la información aclara que para la determinación de los valores de

altura sobre el nivel del mar se hace uso de una variedad de modelos gravimétricos, lo que indica

que estas alturas se midieron tomando como superficie de referencia el geoide y no el elipsoide, la

cual es una superficie matemática no física como si lo es el geoide11

.

En estas condiciones, haciendo uso del software Matlab R2013a, se calcularon las reducciones

necesarias para la obtención de las anomalías isostáticas a partir de las anomalías de aire libre ya

mencionadas, las mediciones de altitud y de la teoría expuesta previamente aunque con algunas

modificaciones realizadas de acuerdo a la cantidad de datos disponibles. Aquí, los resultados

obtenidos se almacenaron en formato GeoTIFF con la misma resolución espacial de la imagen de

anomalías de entrada, es decir 1 km, y con el sistema coordenado preestablecido para el desarrollo

del proyecto, es decir, MAGNA Colombia-Bogotá. Para mayores detalles acerca de este proceso, se

recomienda ver las líneas de código plasmadas en los anexos al final de este documento.

11 ftp://topex.ucsd.edu/pub/global_topo_1min/README_V18.1.txt

42

El siguiente paso fue importar la información de tipo puntual (volcanes y sismos), la de tipo lineal

(fallas geológicas y bordes de placa) y la de tipo continuo (topografía, anomalías isostáticas de

gravedad y anomalías magnéticas) al software estadístico R para luego transformarla en un formato

compatible con la librería estadística sptastat (Baddeley et al., 2016), la herramienta más importante

para la estimación de modelos. Después, se calculó la distancia desde cualquier punto dentro del

territorio colombiano hasta la estructura geológica más cercana, o lo que es lo mismo, se determinó

la distancia desde cada punto en el espacio hasta la falla geológica, el volcán y el borde de placa

más cercano. De este procedimiento, se obtuvo una serie de productos en un formato propio del

paquete estadístico utilizado, caracterizado por requerir un espacio de almacenamiento mucho

menor y brindar una mayor versatilidad para el tratamiento de la información.

7.5. Análisis descriptivo estadístico y visual de variables

Tras la depuración total de los datos del modelo, se realizó un análisis exploratorio de las variables

del mismo de cual se obtuvieron los siguientes resultados.

i. Análisis inicial de sismos

La base de datos depurada considerada para el modelo cuenta con 52.460 registros de sismos

ocurridos entre los años 2005 y 2015, en cuyo caso se tiene que el año con mayor cantidad de

eventos es 2014 con 7.264 sismos registrados. En contraste, los años con menor número de registros

son 2006 y 2005 con 2.052 y 2.313 sismos respectivamente, tal y como se puede notar en seguida.

Año No. Sismos %

2005 2.313 4,41%

2006 2.052 3,91%

2007 2.656 5,06%

2008 2.506 4,78%

2009 4.498 8,57%

2010 5.419 10,33%

2011 6.210 11,84%

2012 6.978 13,30%

2013 6.989 13,32%

2014 7.264 13,85%

2015 5.575 10,63%

Tabla 3. Número de sismos por año.

Figura 15. Diagrama de barras del número de sismos por año.

En este punto, en vista de la tendencia creciente de la cantidad de eventos sísmicos registrados por

año con el paso del tiempo, se acudió a la entidad que proporcionó la información con el fin de

comprobar si dicho comportamiento de los datos obedece a razones completamente naturales o si se

debe a causas externas, y así tomar una decisión menos subjetiva en lo que respecta a si abordar o

no el estudio de los sismos también desde una perspectiva temporal. De ésta solicitud de

información, fue posible concluir que la principal causa de dicha variación reside en los cambios en

cantidad y calidad de los equipos con los que la entidad ha contado a lo largo de los años, tal y

como lo afirma Juan Santiago Velázquez, sismólogo del SGC (2016):

“En 1993, cuando comenzó a funcionar la RSNC, se contaba con 13 estaciones sismológicas,

todas ellas con sensores de periodo corto (algo antiguos). Para el 2009 se contaba con 30

estaciones, las nuevas con sensores de tipo banda-ancha, más modernos y con capacidad de

detectar más sismos, lo cual llevó a un incremento en el número de eventos localizados. En la

actualidad contamos con un total de 54 estaciones, 42 de banda ancha y 12 de período corto.

En menor proporción, otra razón para que haya años con mayor sismicidad que otros se da

en los años en que ocurren terremotos importantes a los que les siguen un gran número de

réplicas, por lo que aumenta el número de sismos”.

43

Esto significa que sí existen ligeras variaciones en la cantidad de sismos por año como

consecuencia de dinámicas propias de la corteza. No obstante, se optó por omitir un análisis

temporal de la sismicidad en éste proyecto puesto que el interés de éste no radica en evaluar la

calidad de los equipos y las mediciones obtenidas por el SGC sino contrastar la ocurrencia de

sismos con características de la litosfera terrestre cuya variación temporal tiene poca trascendencia

en el corto plazo. Sin embargo, cabe señalar que esta omisión tiene como consecuencia la existencia

de un sesgo en la investigación dado que se desconoce en qué medida puede presentarse

autocorrelación temporal entre los eventos y si esta afecta de manera significativa a la cantidad de

eventos que ocurren por unidad de área.

De otro lado, en cuanto a la distribución espacial de los sismos se puede decir que estos se

encuentran mayoritariamente dispersos a lo largo de las regiones Caribe y Andina, y que existe una

cantidad considerable de sismos registrados por fuera de la parte continental de Colombia.

Puntualmente, entre los años 2005 y 2015 han ocurrido 49.657 sismos en la plataforma continental

colombiana y 2.466 sismos en el océano pacifico en las proximidades a los departamentos de

Nariño, Cauca, Valle del Cauca, Chocó y Antioquia, así como también al norte de la península de la

Guajira, y solamente 337 en el mar Caribe.

Además, se tiene que el departamento con mayor número de sismos en Colombia desde 2005 hasta

2015 es Santander con 19.171, seguido de Antioquia con 4.464 y Cundinamarca con 3.353. Por su

parte, Guainía y Vaupés son los departamentos en los cuales no ha ocurrido ningún sismo aunque se

destacan también Amazonas y Vichada que cuentan con 1 y 8 sismos, respectivamente.

Figura 16. Mapa de la distribución espacial de los sismos principales (periodo 2005-2015).

Con respecto a la magnitud sísmica puede decirse que de los 52.460 eventos telúricos al menos el

55% de los mismos tienen una magnitud que oscila entre 1 y 2, y que a su vez, un 36% tiene una

44

magnitud entre 2 y 3. De la misma forma, se cuenta con ocho sismos con una magnitud mayor a 6,

de los cuales siete poseen una magnitud entre 5,7 y 6,7, y solo uno tiene una magnitud mayor a 7,

según como lo que expresa el respectivo diagrama de caja de las magnitudes. Cabe resaltar que este

último sismo de gran magnitud ocurrió en el departamento de Santander el 6 de mayo de 2007.

Magnitud Conteo %

𝒎 < 1 698 1,33%

𝟏 ≤ 𝒎 < 2 29.079 55,43%

𝟐 ≤ 𝒎 < 3 19.376 36,93%

𝟑 ≤ 𝒎 < 4 2.952 5,63%

𝟒 ≤ 𝒎 < 5 320 0,61%

𝟓 ≤ 𝒎 < 6 27 0,05%

𝟔 ≤ 𝒎 8 0,01%

Tabla 4. Número de sismos por magnitud

(periodo 2005-2015).

Figura 17. Diagrama de caja de las magnitudes de los

sismos principales (periodo 2005-2015).

Respecto a la profundidad, se tiene que al menos la mitad de los sismos tienen una profundidad

inferior a los 100 km y que tan solo 16 de los 52.460 sismos ocurrieron a una profundidad mayor a

los 200 km entre los años 2005 y 2015, tal y como se puede observar en la tabla 5.

Profundidad Conteo %

𝒑 < 100 29.323 55,89%

𝟏𝟎𝟎 ≤ 𝒑 < 200 23.121 44,07%

𝟐𝟎𝟎 ≤ 𝒑 < 300 14 0,03%

𝟑𝟎𝟎 ≤ 𝒑 < 400 0 0%

𝟒𝟎𝟎 ≤ 𝒑 < 500 1 0,001%

𝟓𝟎𝟎 ≤ 𝒑 1 0,001%

Tabla 5. Número de sismos por profundidad

(periodo 2005-2015).

Figura 18. Diagrama de caja de los valores de profundidad

de los sismos principales (periodo 2005-2015).

De la misma forma, según el respectivo diagrama de caja se tiene que únicamente dos sismos se

originaron a una profundidad por encima de los 400 km. El más profundo de estos dos tuvo lugar el

29 de Enero de 2007 en el departamento de Casanare a una profundidad de 569,64 km mientras que

el segundo, se registró con una profundidad aproximada de 422 km en la frontera entre los

departamentos de Huila y Caquetá, el 18 de Abril del mismo año.

ii. Análisis inicial de bordes de placa y fallas geológicas.

Colombia cuenta con bordes de placa convergentes, divergentes y de tipo de falla transformante, los

cuales se encuentran conformados por un conjunto de tramos o segmentos de líneas que difieren

entre sí por su extensión y orientación. De manera específica, dentro del área de estudio se cuenta

con 1731,825 km de borde de placa convergente, 463,28 km de borde de placa divergente y

1581,034 km de borde de placa de falla transformante o de desgarre.

El primero de este tipo de bordes, corresponde a zonas en las que se observa el choque de las placas

oceánicas de Nazca y Caribe contra la placa continental Sudamericana mientras que el segundo, es

decir, el borde de tipo divergente, consiste en una serie de zanjas de diferentes longitudes al interior

de la placa de Nazca en las cuales se observa una separación dentro de la misma. Por su parte, los

bordes de placa de falla transformante o de desgarre, se presentan exclusivamente en la placa de

Nazca al occidente de la región Pacífica, también en diversas longitudes.

De otro lado, en lo que respecta a las fallas geológicas de tipo vertical, se puede decir que las fallas

inversas se concentran en mayor medida en las cordilleras central y oriental, mientras que las fallas

normales se encuentran distribuidas en medio de Mar Caribe, en los departamentos de la Guajira y

Valle del Cauca, y en los límites entre algunos departamentos.

45

Por último, en cuanto a las fallas horizontales tanto de tipo dextral como sinistral, se puede decir

que estas se hallan dispersas a lo largo de las regiones Caribe y Andina.

Figura 19. Mapa de tipos de fallas geológicas y bordes de placa en Colombia.

iii. Análisis inicial de altitud

De los datos de topografía se tiene que la altura promedio es de -853,261 m.s.n.m. y que los puntos

más altos del territorio colombiano corresponden a sus cordilleras y a la sierra nevada de Santa

Marta, la cual es el pico más alto del país con una altura aproximada de 5.200,7 m.s.n.m. Por su

parte, las zonas más bajas se sitúan en el mar Caribe, en el océano pacifico y por fuera de la región

andina. En estas, el punto de menor altura está a - 4.961,3 m.s.n.m.

De otro lado, en el histograma de los datos se puede notar que éstos no siguen una distribución

estadística en particular y que su moda se sitúa alrededor de los 111 m.s.n.m.

Figura 20. Histograma de valores de altitud.

46

Figura 21. Mapa de la topografía de Colombia.

iv. Análisis inicial de volcanes

Dentro de la zona de estudio, se cuenta con un total de 61 volcanes distribuidos principalmente a lo

largo de la cordillera central, lugar en donde se distinguen tres concentraciones o grupos de los

mismos; El primero de estos se ubica en los departamentos de Caldas, Tolima, Risaralda y Quindío,

el segundo en los departamentos de Cauca y Huila, y el tercero en los departamentos de Nariño,

Putumayo y parte del Cauca.

Por último, se tiene que el departamento con mayor cantidad de volcanes es Huila con 19 volcanes,

seguido del departamento de Nariño que contiene 14 volcanes, y los departamentos de Tolima y

Cauca, cada uno con 9 volcanes en su interior. En la tabla 6 se puede apreciar en mayor detalle el

número de volcanes de los departamentos que tienen al menos un volcán dentro de sus límites.

Departamento No. Volcanes

Caldas 3

Risaralda 1

Tolima 9

Cauca 9

Huila 19

Nariño 14

Putumayo 5

Caquetá 1

Tabla 6. Número de volcanes por departamento.

47

v. Análisis inicial de anomalías isostáticas.

En términos generales, los valores de anomalías isostáticas oscilan entre -345 y 413 mGal y tienen

una media aritmética de 64,34 mGal. Además, según el respectivo histograma, se tiene que la moda

del conjunto de datos esta alrededor de los 13 mGal aunque existen otros dos valores de alta

frecuencia que se acercan a 230 y 260 mGal, respectivamente.

Figura 23. Histograma de los valores de anomalías isostáticas en el territorio colombiano.

Figura 22. Mapa de volcanes en Colombia.

ID Nombre de volcán

1 Complejo de Doña Juana

2 Maar de Yerbabuena

3 Azufral

4 Bordoncillo

5 Calambas

6 Campanero

7 Cerro Bravo

8 Cerro Crespo

9 Cerro Machín

10 Cerro Negro

11 Chiles

12 Cumbal

13 Curiquinga

14 Cutunga

15 El Dorado

16 El Escondido

17 El Morro

18 El Pensil

19 Galeras

20 Guacharacos

21 La Palma

22 Laguna del Buey

23 Las Ánimas

24 Machángara

25 Merenberg

26 Morazurco

27 Mujundinoy

28 Nevado de Santa Isabel

29 Nevado del Huila

30 Nevado del Ruiz

31 Nevado del Tolima

32 Paletará

33 Pan de Azúcar

34 Paramillo de Santa Rosa

35 Paramillo del Cisne

36 Paramillo del Quindío

37 Petacas

38 Piocollo

39 Puracé

40 Quintín

41 Romeral

42 San Diego

43 Volcán Santa Leticia

44 Shaka

45 Sibundoy

46 Sotará

Tabla 7. Volcanes de Colombia.

48

En cuanto a la distribución espacial, se puede afirmar que la mayoría de los valores más bajos de las

anomalías isostáticas se encuentra en la cordillera oriental mientras que los valores más altos se

sitúan en la plataforma oceánica del país, más que todo en el océano Atlántico y en menor medida,

al occidente de la región Pacífica. De la misma manera, se puede afirmar que los departamentos

constituidos por las anomalías negativas más extremas son Huila, Tolima y Cundinamarca, aunque

pueden notarse también valores de este tipo en los departamentos de Nariño, Putumayo y Santander.

Figura 24. Mapa de anomalías isostáticas en Colombia.

vi. Análisis inicial de anomalías magnéticas.

Los datos correspondientes a las anomalías magnéticas tienen una media de -2,713 nT, y valores

mínimo y máximo de -2504,2 y 1276,2 nT, respectivamente. Según el histograma generado a partir

de estos datos, se puede afirmar que estos tienden a distribuirse como una distribución normal dado

que el valor de -8,531 de la moda es igual a la mediana y muy cercano a la media. También,

contando con una curtosis de 168,45 y un coeficiente de asimetría de -4,311, se concluye que esta

distribución es leptocúrtica debido a que es más puntiaguda que una distribución normal, y que

tiende a mostrar un sesgo negativo, es decir, hacia la izquierda.

Ahora, con base en el mapa de anomalías magnéticas, se puede decir que en comparación con la

distribución de las anomalías isostáticas, estas anomalías no parecieran tener una correlación

espacial directa con la topografía del país ya que se observa que los valores altos y bajos se

encuentran dispersos a lo largo del mismo sin algún patrón espacial en particular. No obstante, se

puede notar una zona con valores de anomalías magnéticas muy altas al norte de Colombia en el

océano Atlántico, además de otras dos áreas con valores similares, una de estas ubicada en el

departamento de Chocó, y la otra situada dentro de los departamentos de Meta, Guaviare y Vaupés,

y la otra. Esta última área caracterizada por ser prácticamente una línea orientada en sentido NW-

SE, y por corresponder a los valores más altos en la plataforma continental colombiana.

49

Otras pequeñas áreas de anomalías positivas que se destacan dentro del mapa son aquellas situadas

al noroccidente del país, en la parte más oriental de los departamentos de Vichada y Guainía, y en

menor escala, en los departamentos de Cesar, Santander, Boyacá y Amazonas.

Figura 25. Mapa de anomalías magnéticas en Colombia.

En cuanto a las anomalías magnéticas negativas, se puede notar que éstas se localizan a lo largo del

territorio colombiano de manera dispersa y que a su vez, los valores más extremos se sitúan en

mayor proporción por fuera de los límites continentales, al noroccidente del país en el mar Caribe y

en menor extensión, en el océano pacifico. No obstante, en departamentos como Cundinamarca,

Meta, Casanare, Arauca, Caquetá, Guaviare y Vaupés se observan valores similares.

Figura 26. Histograma de los valores de anomalías magnéticas en el territorio colombiano.

50

7.6. Análisis de Aleatoriedad Espacial Completa – CSR

En primer lugar, dentro del análisis de aleatoriedad espacial completa se llevó a cabo el test de

bondad del ajuste 𝜒2 con base en una teselación de la región de estudio en 21 cuadrantes resultantes

de dividir dicha región en 4 y 6 franjas con respecto a los ejes X e Y, respectivamente. Como

resultado, se obtuvo un valor 𝜒2 estimado de 143030 con 20 grados de libertad y con ello un p-valor

de 2,2 × 10−16, el cual permitió rechazar la hipótesis nula de CSR dado que éste valor es menor al

nivel de significancia de 5% considerado para ésta prueba, concluyendo así que para éste caso de

estudio no es conveniente ajustar un modelo de Poisson homogéneo para el patrón de sismos.

Figura 27. Valores resultantes del test de bondad del ajuste 𝜒2.

Figura 28. Contraste entre valores

observados y esperados en el test de

bondad del ajuste 𝜒2.

Dicha heterogeneidad en la distribución espacial del patrón de sismos puede corroborarse al

contrastar los valores de patrón de sismos observados por cuadrante junto con los valores esperados

en dicho patrón en presencia de aleatoriedad espacial completa, valores que se ubican a en las

esquinas superiores izquierda y derecha, respectivamente. Esto también mediante la Figura 28 en

donde se puede notar que la cantidad de eventos por cuadrante se encuentra muy por debajo o por

encima de la cantidad que se esperaría obtener en caso de que el patrón fuera una realización de un

proceso puntual homogéneo.

En cuanto a la cifra ubicada en la parte inferior de cada cuadrante, ésta corresponde al residual de

Pearson, el cual se define como

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑎𝑟𝑠𝑜𝑛 =𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜

√𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 (44)

Donde un valor positivo de éste residuo indica que la cantidad de eventos del patrón estudiado

encontrados dentro de un determinado cuadrante es mayor a la que se esperaba que se presentara

teniendo en cuenta que dicho valor esperado corresponde al número de eventos por cuadrante de un

patrón homogéneo de Poisson. Por su parte, un valor negativo del residuo de Pearson indica que el

número de eventos asociado a un cuadrante en cuestión es inferior al que se hubiese encontrado en

tal cuadrante si el patrón al que corresponden dichos eventos fuese homogéneo de Poisson.

51

En este orden de ideas, sabiendo que él patrón sísmico no es aleatorio en el espacio, el siguiente

pasó dentro de la evaluación de CSR fue identificar qué tipo de patrón es en función de su grado de

agregación o regularidad. Para tal fin, se estimaron las funciones G, F, K de Ripley y L, donde las

curvas roja punteada y negra continua representan a las funciones teórica y estimada,

respectivamente:

Figura 29. Funciones para evaluar la distribución espacial del patrón de sismos.

Función F (superior izquierda), función G (superior derecha),

función K de Ripley (inferior izquierda) y función L (inferior derecha).

Como se puede observar, el patrón puntual sísmico es de tipo agregado puesto que en primer lugar,

la curva de la función estimada �̂�(𝑟) se encuentra muy por encima de su curva teórica (y de su

intervalo de confianza) asociada a un patrón puntual aleatorio, lo que quiere decir que, considerando

diferentes radios arbitrarios 𝑟 alrededor de cada evento del patrón, existe una mayor probabilidad de

encontrar vecinos cercanos ubicados a distancias cortas en comparación con la que se encontraría en

un patrón completamente aleatorio. De manera análoga, la función estimada �̂�(𝑟) también sugiere

que el patrón sísmico presenta aglomeraciones de eventos, dado que �̂�(𝑟) < 𝐹(𝑟).

Por su parte, las curvas estimadas de las funciones 𝐾(𝑟) de Ripley y su transformación 𝐿(𝑟), al

encontrarse por fuera y por debajo de los contornos de confianza de sus respectivas funciones

teóricas, permiten concluir que el patrón dentro de la ventana de estudio si se trata de un patrón no

uniforme ni aleatorio.

7.7. Estimación de la intensidad del patrón de sismos por Kernel

Con el objeto de contar con un modelo de la intensidad del patrón de sismos que sirva de referencia

para comparar los resultados obtenidos tras la estimación paramétrica de dicha variable, se procedió

52

con una estimación no paramétrica tipo Kernel de dicha intensidad haciendo uso de la función

�̂�(𝑢) = 𝑒(𝑢) ∑ 𝑘(𝑢 − 𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

(45)

Para cualquier punto 𝑢 dentro de la ventana de estudio 𝑊, donde 𝑥𝑖 es la posición de cada evento, la

función 𝑘( ) ≥ 0 es una densidad de probabilidad arbitraria (usualmente la distribución normal) que

representa al Kernel de la función y donde 𝑒(𝑢) es la corrección por efecto de borde, definida como

𝑒(𝑢)−1 = ∫ 𝑘(𝑢 − 𝑣)𝑑𝑣

𝑊

(46)

Con respecto al Kernel, la desviación estándar asignada a la respectiva función indica el ancho de

banda de suavizamiento para la estimación, de manera que cuanto más grande es dicha banda,

mayor es el suavizamiento en la densidad estimada y por tanto, se evidencian en menor medida las

variaciones de la intensidad en el espacio y es mayor la probabilidad de que el análisis se encuentre

sesgado (Baddeley et al., 2016). Aquí, para la estimación de esta banda óptima, se utiliza la

maximización del criterio de Validación Cruzada de la Verosimilitud (LCV) para el proceso

puntual, que viene de la forma

𝐿𝐶𝑉(𝜎) = ∑ log (�̂�−𝑖(𝑥𝑖))

𝑖

− ∫ �̂�(𝑢)𝑑𝑢

𝑊

(47)

Donde la suma es obtenida a partir de todos los eventos en cada posición 𝑥𝑖 del patrón, �̂�−𝑖(𝑥𝑖) es la

estimación Kernel leave-one-out (que omite cada vez un evento diferente) de la intensidad para el

evento 𝑥𝑖 , con banda 𝜎 de suavizamiento, y �̂�(𝑢) es la estimación Kernel en la posición 𝑢 con

banda de suavizamiento 𝜎 (Baddeley et al., 2016).

En este sentido, para analizar el patrón sísmico de interés a través de éste método, se estimó antes la

banda óptima de suavizamiento 𝜎 , la cual fue de aproximadamente 8.604 m. Como se puede

observar en la Figura 30, valores mayores de ancho de banda corresponden con coeficientes de

validación cruzada menores.

Figura 30. Estimación por medio de validación cruzada para el ancho de banda óptimo.

Por medio de la estimación Kernel, a partir del valor de ancho de banda ya señalado, se consiguió la

siguiente función de intensidad:

53

Figura 31. Intensidad estimada mediante Kernel del patrón de sismos.

Esta representación gráfica de la intensidad estimada deja en evidencia una alta concentración de

eventos telúricos en las cordilleras del país, especialmente en la correspondiente al departamento de

Santander donde se presentan las mayores concentraciones de sismos por km2. Aquí, debido a que

la estimación Kernel se considera como la estimación más cercana a la realidad por el hecho de

utilizar directamente al patrón de sismos para calcular su intensidad, se procede a continuación a

realizar nuevamente el cálculo de la misma pero ésta vez a partir del uso de covariables con el fin

de identificar las principales diferencias y bondades existentes entre estos dos métodos.

7.8. Estimación paramétrica de la intensidad del patrón de sismos

Para la estimación paramétrica de la intensidad del patrón de sismos, se realizó en primer lugar una

leve modificación de la ventana de estudio, más específicamente al norte de la zona Guajira

alrededor de la posición 1.950.000 norte con 1.350.000 este, debido a que luego del análisis

estadístico inicial de las covariables se encontró que en esta zona existen valores atípicos de

anomalías magnéticas que son cientos de veces más altos o más bajos que los que predominan en el

resto del territorio. También, se optó por eliminar dicha sección debido a la ausencia total de sismos

que se tiene en ella; esto con el propósito de aprovechar en mayor medida la variabilidad de las

mediciones de tales anomalías.

Con base en dicha ventana de estudio modificada, se estimó un primer modelo para ajustar la

información de los sismos a partir de las covariables anteriormente descritas, así como también a

partir de las coordenadas X (estes) e Y (nortes) para evaluar con éstas el comportamiento espacial

general del patrón puntual. Esto dio como resultado la siguiente función de intensidad para el patrón

de sismos:

Figura 32. Intensidad del patrón de sismos estimada a partir de covariables.

54

En este punto, contando con dos estimaciones de intensidad del patrón de sismos generadas

mediante métodos diferentes se encontró que, en términos generales, la cantidad de eventos

sísmicos por km2 es más baja dentro de la ventana de observación cuando ésta es calculada a través

de modelado paramétrico. De manera detallada, según los mapas de las Figuras 31 y 32, se tiene

que las mayores concentraciones de sismos por área en ambos casos se presentan en los

departamentos de Santander y Norte de Santander, y que el área con mayores concentraciones de

eventos es más extensa según la intensidad generada con el apoyo de covariables.

Al mismo tiempo, se puede percibir que la intensidad estimada por Kernel tiene diferentes

comportamientos en el espacio y que los valores distribuidos en forma de líneas a lo largo de las

cordilleras son los que más se destacan en el respectivo mapa. En contraste, el modelo paramétrico

estimado refleja que casi todas las mediciones se agrupan en una misma zona sin que se presenten

cambios abruptos, y que predomina una tendencia de decrecimiento relativamente gradual alrededor

de los valores de intensidad mayores.

Conjuntamente con los valores de intensidad del patrón sísmico, se obtuvieron los siguientes

valores de parámetros para cada una de las covariables:

Covariable Parámetro

�̂�𝒊

Error

Estándar

�̂��̂�𝒊

Intervalo de confianza 𝑽 =

�̂�𝒊

�̂��̂�𝒊

p-valor

Menor Mayor

Intercepto -1,92E+01 1,22E-01 -1,95E+01 -1,90E+01 -157,0532 0,00E+00

X (m) 7,55E-07 1,64E-07 4,33E-07 1,08E-06 4,5950 2,16E-06

Y (m) 4,51E-06 7,97E-08 4,35E-06 4,66E-06 56,5377 0,00E+00

Anomalías Isostáticas (mGal) -6,11E-04 8,95E-05 -7,87E-04 -4,36E-04 -6,8247 4,40E-12

Altitud (m.s.n.m.) 4,10E-05 4,69E-06 3,18E-05 5,02E-05 8,7288 0,00E+00

Anomalías Magnéticas (nT) 3,32E-03 1,20E-04 3,09E-03 3,56E-03 27,5929 0,00E+00

Distancia al borde convergente más cercano (m) 5,27E-06 1,19E-07 5,04E-06 5,50E-06 44,4049 0,00E+00

Distancia al borde divergente más cercano (m) -6,86E-06 2,29E-07 -7,31E-06 -6,41E-06 -30,0256 2,27E-198

Distancia al borde de desgarre más cercano (m) 7,76E-07 1,43E-07 4,95E-07 1,06E-06 5,4246 2,90E-08

Distancia a la falla inversa más cercana (m) -3,38E-06 1,87E-07 -3,75E-06 -3,01E-06 -18,0711 2,69E-73

Distancia a la falla normal más cercana (m) -3,78E-06 8,53E-08 -3,94E-06 -3,61E-06 -44,2959 0,00E+00

Distancia a la falla dextral más cercana (m) -3,87E-06 2,13E-07 -4,29E-06 -3,45E-06 -18,1205 1,10E-73

Distancia a la falla siniestral más cercana (m) -9,26E-06 1,64E-07 -9,58E-06 -8,94E-06 -56,3420 0,00E+00

Distancia al volcán más cercano (m) -7,39E-07 1,06E-07 -9,47E-07 -5,31E-07 -6,9691 1,59E-12

Tabla 8. Valores de los parámetros del primero modelo estimado.

Dado que el modelo estimado es de tipo Log-Lin sus parámetros indican variaciones porcentuales

en la variable respuesta, lo que quiere decir que para este caso el número de sismos por m2 varía en

(100 ∗ �̂�𝑖)% con el aumento o la disminución en una unidad de una covariable del modelo. Esto a

excepción del intercepto �̂�0, el cual para poderse interpretar se toma como índice de la función

exponencial, operación de la cual el valor resultante no representa una variación porcentual sino el

valor de la intensidad del patrón de sismos cuando las covariables del modelo valen cero. En

seguida se muestra la interpretación de los parámetros estimados para éste primer modelo:

Covariable Interpretación

Intercepto

Teniendo un valor de 4,59 ∗ 10−9 sismos/m2 para éste intercepto, puede decirse que cuando todas

las covariables adoptan el valor de cero, la intensidad del patrón es de 46 sismos por cada 10.000

km2, aproximadamente. Es necesario aclarar aquí que éste valor obtenido para el intercepto no

corresponde a una localización dentro de la ventana de estudio puesto que, aunque en la base de

datos la variable X si adopta el valor de cero dentro de dicha región, la variable Y no lo hace en la

misma forma dado que su valor mínimo registrado es la coordenada 20.893,3, razón por la cual, al

considerarse éste valor de Y dentro del modelo, la intensidad básica matemáticamente para el

patrón es en realidad de 50 eventos sísmicos por cada 10.000 km2, aproximadamente.

55

Covariable Interpretación

X e Y

Los parámetros estimados positivos de las covariables X e Y sugieren que considerar valores de

coordenadas mayores implica una mayor ocurrencia de sismos o, lo que es lo mismo, se evidencia

una mayor concentración de sismos por unidad de área conforme las coordenadas se sitúan hacia la

zona nororiental del territorio colombiano. Concretamente, por cada metro adicional que se

considera hacia el norte, la cantidad de sismos por km2 aumenta en un 0,0000755% mientras que

por cada metro adicional que se considera hacia el este, la misma cantidad aumenta en un

0,000451%; esto teniendo en cuenta el sistema de coordenadas MAGNA Colombia-Bogotá.

Anomalías

Isostáticas

El parámetro negativo estimado para ésta covariable indica una disminución del 0,0611% en la

densidad puntual del patrón por cada mGal positivo en que se incrementa esta covariable. De

forma análoga, el parámetro estimado indica un aumento en dicha densidad puntual en la misma

proporción por cada mGal negativo que adopte la anomalía.

Altitud Se estima un aumento y una disminución del 0,0041% en la intensidad del patrón de sismos por

cada metro por encima y por debajo del nivel del mar, respectivamente.

Anomalías

Magnéticas

Por cada nano-tesla positivo que incrementa una anomalía magnética, la cantidad de sismos por m2

aumenta en un 0,3324%, y viceversa.

Distancia al borde

convergente más

cercano

El parámetro estimado de esta covariable revela que con cada metro en que aumenta la distancia

con respecto a un borde de placa convergente, la intensidad del patrón de sismos aumenta en un

0,000527%.

Distancia al borde

divergente más

cercano

Dado que el parámetro estimado para esta covariable es negativo, la densidad puntual del patrón

disminuye en un 0,000686% con el aumento en un metro de la distancia al borde divergente más

cercano, y viceversa.

Distancia al borde

de desgarre más

cercano

Con el aumento en un metro de la distancia con respecto a un borde de desgarre, la intensidad del

patrón de sismos crece en un 0,000078%.

Distancia a la falla

inversa más

cercana

Por cada metro que incrementa la distancia con respecto a una falla geológica inversa, la

intensidad de patrón de sismos disminuye en un 0,000338%.

Distancia a la falla

normal más

cercana

Por cada metro en que aumenta la distancia con respecto a una falla geológica normal, la

intensidad de patrón de sismos decrece en un 0,000378%.

Distancia a la falla

dextral más cercana

Por cada metro en que aumenta la distancia con respecto a una geológica dextral, la intensidad de

patrón de sismos se reduce en un 0,000387%.

Distancia a la falla

Siniestral más

cercana

Por cada metro en que incrementa la distancia con respecto a una geológica sinistral, la intensidad

de patrón de sismos disminuye en un 0,000926%.

Distancia al volcán

más cercano

Por cada metro en que aumenta la distancia con respecto a un volcán, la intensidad de patrón de

sismos decrece en un 0,000074%.

Tabla 9. Interpretación de parámetros estimados de las covariables del modelo.

Ahora, para evaluar estadísticamente la significancia de estos parámetros, se aplicó en una primera

instancia el test de Wald cuyas hipótesis nula y alterna asociadas son

H0: El parámetro �̂�𝑖 es igual a 0.

H1: El parámetro �̂�𝑖 es diferente de 0.

En este sentido, para determinar si debe rechazarse o no la hipótesis nula, es decir, para saber si un

determinado parámetro del modelo es estadísticamente significativo, se utilizó el valor estimado de

cada parámetro y el respectivo error estándar para calcular el estadístico

𝑉 =�̂�𝑖

�̂��̂�𝑖

(48)

Cuyo p-valor viene dado por del cálculo de la probabilidad 𝑃(𝑉)~𝑁(1,0) (Baddeley et al., 2016).

Sabiendo esto, se pudo concluir que todas las covariables del modelo son significativas dado que el

p-valor de cada uno de los parámetros estimados asociados a dichas covariables es menor al nivel

de significancia 𝛼 = 5% considerado para este proyecto, lo que quiere decir que para todos estos

parámetros se rechazó la hipótesis nula.

56

Luego, para corroborar este resultado, se llevó a cabo por cada variable el test de razón de

verosimilitud (LRT por sus siglas en Inglés), el cual considera las mismas hipótesis nula y alterna

descritas para el test anterior y utiliza como valor de referencia al estadístico

Γ = 2 log (𝐿1

𝐿0

) (49)

Donde 𝐿0 y 𝐿1 son los máximos valores de verosimilitud alcanzados bajo las hipótesis nula y alterna

respectivamente. En este caso, para la evaluación de la significancia de los parámetros estimados, el

valor del estadístico Γ se compara con una distribución 𝜒2 cuyos grados de libertad corresponden

con la dimensión del parámetro, la cual para este proyecto en todos los parámetros es igual a 1

(Baddeley et al., 2016). Así, para el primer modelo estimado se obtuvieron los siguientes resultados:

Covariable 𝚪 p-valor

X (m) 2245 2,2E-16

Y (m) 23 1,51E-06

Anomalías isostáticas (mGal) 81215 2,2E-16

Altitud (m) 9279 2,2E-16

Anomalías magnéticas (nT) 2377 2,2E-16

Distancia al borde convergente más cercano (m) 4294 2,2E-16

Distancia al borde divergente más cercano (m) 18265 2,2E-16

Distancia al borde de desgarre más cercano (m) 68 2,2E-16

Distancia a la falla inversa más cercana (m) 17618 2,2E-16

Distancia a la falla normal más cercana (m) 1899 2,2E-16

Distancia a la falla dextral más cercana (m) 2453 2,2E-16

Distancia a la falla siniestral más cercana (m) 3580 2,2E-16

Distancia al volcán más cercano (m) 49 3,28E-12

Tabla 10. Test LRT para el primer modelo estimado.

Con este segundo test, se confirmó que las covariables utilizadas en el modelo son significativas

puesto que sus p-valores son nuevamente menores al nivel de significancia del 5%. Por

consiguiente, se puede concluir que existe evidencia estadística que indica que la intensidad del

patrón de eventos sísmicos en el territorio colombiano puede explicarse a partir del uso de las

covariables seleccionadas para el modelo.

Desde otra perspectiva, para identificar si podía estimarse un mejor modelo con la eliminación de

alguna de las 13 covariables consideradas o con la eliminación de dos o más de éstas al mismo

tiempo, se llevó a cabo una estimación paso a paso (stepwise) del modelo, operación junto con la

cual se utilizó el criterio de información de Akaike definido como

𝐴𝐼𝐶 = 2𝑝 − 2 ln(𝐿(𝜃)) (50)

Donde 𝑝 es la cantidad de parámetros del modelo y ln(𝐿(𝜃)) es el logaritmo de la verosimilitud.

Este criterio permitió concluir también que el mejor modelo es aquel que no elimina ninguna de sus

covariables dado que su AIC fue el menor de todos, tal y como se puede apreciar en seguida.

Covariable excluida del modelo AIC

Ninguna 1794250

X (m) 1794270

Distancia al borde de desgarre más cercano (m) 1794278

Anomalías isostáticas (mGal) 1794295

Distancia al volcán más cercano (m) 1794297

Altitud (m) 1794324

Distancia a la falla dextral más cercana (m) 1794577

57

Covariable excluida del modelo AIC

Distancia a la falla inversa más cercana (m) 1794611

Anomalías magnéticas (nT) 1795016

Distancia al borde divergente más cercano (m) 1795204

Distancia al borde convergente más cercano (m) 1796024

Distancia a la falla normal más cercana (m) 1796175

Y (m) 1797343

Distancia a la falla siniestral más cercana (m) 1797549

Tabla 11. Valores AIC obtenidos por cada modelo estimado según su covariable excluida.

7.9. Evaluación del modelo paramétrico

Tras la estimación de un primer modelo paramétrico para el patrón de sismos, se prosiguió a llevar a

cabo una simulación del proceso de Poisson inhomogéneo estimado mediante la aplicación del

algoritmo de Metropolis-Hastings con el objeto de poder comparar visualmente el patrón obtenido a

partir del modelo con el patrón original. De esta operación se consiguió el siguiente resultado:

Figura 33. Patrones de sismos original (izquierda) y simulado (derecha).

Tomando en consideración al patrón original, se evidencia cómo el modelo tiende a concentrar a los

sismos mayoritariamente sobre la región Andina, y mostrar densidades decrecientes en la medida en

que se consideran distancias mayores a esta zona de referencia. Además, se rescata el hecho de que

el proceso estimado reúne a los eventos en regiones donde se puede constatar la existencia de los

mismos en la realidad, siendo ésta una primera aproximación aceptable en la caracterización

espacial del patrón de eventos sísmicos en la totalidad del territorio colombiano.

Ahora desde un punto de vista cuantitativo, para la validación de éste primer modelo, se efectuó el

mismo test por cuadrantes de chi-cuadrado utilizado para el análisis exploratorio de los datos con la

diferencia de que las hipótesis aquí consideradas son:

H0: El modelo ajusta los datos.

H1: El modelo no ajusta los datos.

58

Y de que el patrón original es comparado con el proceso estimado en lugar de hacerlo con respecto

a un proceso de Poisson homogéneo, de manera que los valores ubicados en las esquinas superiores

izquierda y derecha de cada cuadrante corresponden al número de sismos del patrón original

contados y al número de sismos que el proceso estimado indica que debería haber, ambas

cantidades dentro de un cuadrante determinado.

En esta ocasión, el resultado de la realización de este test fue el siguiente mapa:

Figura 34. Test de conteo por cuadrantes para el modelo 1.

Donde, teniendo en cuenta los mismos 21 cuadrantes en los que se dividió la ventana de estudio

anteriormente, se obtuvo un p-valor de 2,2 ∗ 10−16, el cual al ser mucho menor que una significancia

del 5% permitió rechazar la hipótesis nula de este test y concluir así que este primer modelo no

explica la totalidad del comportamiento espacial de los sismos.

De igual manera, para saber con exactitud en qué zonas existe un mayor desfase, es decir, dónde el

modelo genera subestimaciones o sobreestimaciones significativas de los valores de intensidad del

patrón de sismos, se calcularon los residuales del modelo a partir de la expresión

𝑅(𝐵) = 𝑛(𝑥 ∩ 𝐵) − ∫ �̂�(𝑢)𝑑𝑢

𝐵

(51)

Donde 𝑅(𝐵) es el valor residual en el área 𝐵, 𝑛(𝑥 ∩ 𝐵) es la cantidad de eventos presentes en 𝐵 del

proceso puntual original y ∫ �̂�(𝑢)𝑑𝑢

𝐵 es la cantidad esperada de eventos en 𝐵 a partir de la función

estimada �̂�( ). En este caso, valores residuales positivos indican subestimación, es decir, que la

cantidad de eventos estimada en un área específica es menor que la que se observa en la misma al

contar los eventos del patrón real. En contraste, valores residuales negativos se refieren a casos de

sobreestimación, es decir, que el modelo indica que la cantidad de eventos estimada en una zona

determinada es mayor a la cantidad que se evidencia en la misma en la realidad. De esta forma, se

obtuvieron los siguientes resultados:

59

Figura 35. Residuales del modelo paramétrico.

Aquí se puede observar que el modelo estimado indica una subestimación muy marcada en el

departamento de Santander y otros departamentos aledaños caracterizados por contener a la cadena

montañosa de Colombia donde las conglomeraciones de eventos sísmicos estimadas son menores en

comparación con la cantidad de sismos que se encuentra en dichas zonas teniendo en cuenta al

patrón real.

7.10. Análisis de correlación entre la intensidad del patrón sísmico y las covariables

Debido a que el modelo estimado no conllevó a resultados favorables en lo que respecta a la

caracterización de la intensidad del patrón de sismos en la mayor parte del país, se decidió analizar

de forma un poco más detallada las estimaciones de dicha variable de interés con base en su

relación con los valores de cada covariable del modelo, buscando con esto comprender mejor al

patrón y posteriormente plantear uno más adecuado. Para tal fin, se llevó a cabo entonces el cálculo

de funciones de densidad relativa que se ajustan al patrón puntual a partir de una única variable, es

decir �̂�(𝑢) = �̂�(𝑍(𝑢)) donde �̂�(𝑢) es la intensidad o densidad puntual en el punto 𝑢 , �̂�( ) es la

función de intensidad que mejor se ajusta al patrón y 𝑍(𝑢) es una covariable continua en el espacio

dentro de la ventana de estudio (Baddeley et al., 2016).

En un comienzo, las primeras tres curvas de la función de intensidad del patrón de sismos sugieren

que aparentemente densidad puntual de estos eventos no se encuentra relacionada de manera directa

con la cercanía a los bordes de placa presentes en el territorio colombiano puesto que tales curvas

trazadas no señalan que las concentraciones de los eventos del patrón sean altas al considerar

distancias cortas a estas estructuras geológicas, o viceversa. Únicamente, puede notarse que los

sismos tienden a concentrarse a distancias mayores a los 200 km de distancia de tales estructuras.

De manera puntual y observando las Figuras 36, 37 y 38 con respecto a los bordes de placa de tipo

convergente, se puede notar que los sismos tienden a agruparse en un único gran grupo a poco

menos de 500 km de distancia a estos bordes, y en menor medida a unos 200 km,

aproximadamente; En contraste, considerando los bordes de placa divergentes, se tiene que los

sismos se empiezan a encontrar a 300 km de distancia de estos bordes y que la mayor concentración

de eventos está cerca a los 700 km de dichas estructuras, distancia a partir de la cual dicho

agrupamiento desciende; por último, en cuanto a los bordes de desgarre, se tienen altas

aglomeraciones de eventos sísmicos a más de 200 km de distancia de estos bordes, presentándose

una reducción considerable después de los 300 km pero con dos grandes grupos adicionales entre

400 y 500 km de distancia.

60

De este modo, debido a que en Colombia los eventos sísmicos tienden a concentrarse

mayoritariamente en sus cordilleras y por tanto, solo en la plataforma continental, puede afirmarse

que las covariables de distancia al borde de placa más cercano en cualquiera de sus tres tipos no

resultan ser pertinentes para describir el comportamiento espacial de los eventos sísmicos en

general. Esto puesto que no puede afirmarse que los sismos ocurren siempre a una determinada

distancia de estos tipos de borde, tanto a uno de sus lados como del otro.

Figura 36. Función de intensidad según la

covariable distancia al borde de placa convergente

más cercano.

Figura 37. Función de intensidad según la

covariable distancia al borde de placa divergente

más cercano.

Figura 38. Función de intensidad según la covariable distancia al

borde de placa de desgarre más cercano.

Por otra parte, las funciones de densidad relativa generadas a partir del fallamiento geológico del

país ratifican que la concentración de eventos telúricos por km2 es inversamente proporcional a la

distancia a la falla geológica más cercana, en cualquiera de sus 4 tipos, dado que la densidad

puntual del patrón de sismos propende a aumentar conforme las distancias son cortas con respecto a

estas estructuras, y a disminuir en la medida en que se consideran distancias mayores hasta las

mismas. Esto demuestra que, a diferencia de las covariables de distancia a un determinado borde de

placa, las covariables de distancias a una falla geológica más cercana en particular sí son buenos

indicadores de concentraciones de terremotos, en su gran mayoría.

61

Se resalta aquí el hecho de que, de acuerdo a lo que se observa en las Figuras 39 a 42, las

covariables de distancia que tienen una relación más directa con la ocurrencia de sismos en el país

son las referidas a las fallas horizontales en sus tipos dextral y sinistral, y a la falla vertical tipo

inversa. En cuanto la covariable de distancia a la falla vertical tipo normal más cercana, se puede

notar que cuando las distancias a estas estructuras geológicas son menores a 100 km la intensidad

del patrón de sismos es baja.

Figura 39. Función de intensidad según la

covariable distancia a la falla sinistral más cercana.

Figura 40. Función de intensidad según la

covariable distancia a la falla dextral más cercana.

Figura 41. Función de intensidad según la

covariable distancia a la falla normal más cercana.

Figura 42. Función de intensidad según la

covariable distancia a la falla inversa más cercana.

De otro lado, la covariable de distancia al volcán más cercano se consolida como un indicador

aceptable de concentraciones de sismos pues la respectiva curva de la función de intensidad indica

que, aunque la mayor concentración de estos eventos se presenta a más de 200 km de distancia de

estas estructuras geológicas, existe una tendencia decreciente conforme las distancias son cada vez

mayores, lo que en otros términos quiere decir que esta covariable es idónea para estudiar la

ocurrencia de sismos dada la relación que se tiene entre estas variables.

62

En cuanto a las alturas del terreno en el país, se encuentran dos tipos de comportamientos diferentes

cuando éstas se grafican junto con la densidad puntual del patrón de sismos. En primer lugar se

tiene una propensión a la ausencia de eventos sísmicos bajo el nivel medio del mar, con una leve

excepción cerca de los 140 m bajo dicha superficie. A partir de allí, se encuentra una segunda

tendencia de la cual pues decirse que cuanto mayor es la altitud del terreno, mayor es el crecimiento

de la intensidad del patrón de sismos.

En este orden de ideas, se tiene que el tope máximo aproximado de la intensidad del patrón es de

1550 msnm, donde se encuentra un punto de inflexión a partir del cual la presencia de alturas

considerables del terreno no revela altas densidades de sismos. No obstante, se presenta un ligero

pico alrededor de los 2720 m.s.n.m. que indica que zonas con alturas de dicha magnitud, se

encuentra un número relativamente alto de sismos por unidad de área.

Cabe decir que en los valores de alturas del terreno más altos, en especial, a partir de los 4000

m.s.n.m. aproximadamente, se puede constatar una tendencia difusa la cual viene a ser confirmada

por un intervalo de confianza más ancho que el que se tenía para los otros valores. Esto quiere decir

que no se tiene clara certeza de que determinados valores de intensidad del patrón ocurran siempre a

las alturas que se encuentran dentro de dicho intervalo.

Figura 43. Función de intensidad según la covariable

distancia al volcán más cercano.

Figura 44. Función de intensidad según la

covariable A.S.N.M.

Con respecto a las anomalías magnéticas puede afirmarse que no existe una correspondencia directa

entre estos valores y los de intensidad del patrón de sismos. Sin embargo, es necesario resaltar que

las concentraciones más prominentes de sismos de localizan en zonas con anomalías entre 0 nT y 70

nT, contando con cuatro picos sobresalientes alrededor de -7 nT, 34 nT, 62 nT y 80 nT, siendo el

primero de estos casos el más significativo de todos, seguido por el último valor de dicha lista por

presentar las concentraciones más notables de eventos telúricos. Ya por fuera de las zonas con

dichos valores de anomalías, la tendencia indica agrupaciones menos significativas de sismos.

A pesar de esto, se hace inevitable mencionar que los resultados acá obtenidos no son del todo

confiables puesto que la resolución de la información no cuenta con los mismos niveles de detalle

en todo el territorio y la realidad difiere en diversas zonas.

Por último, en lo concerniente a las anomalías isostáticas, la respectiva gráfica de la función de

densidad puntual revela que esta variable es una alternativa conveniente para el análisis de la

distribución espacial de los sismos, pues se evidencia una aglomeración muy alta de eventos en

zonas con anomalías de -132 mGal, valor alrededor del cual se manifiesta una tendencia decreciente

63

de la densidad de los sismos por unidad de área. Del mismo modo puede apreciarse una gran

incertidumbre en cuanto a los valores que adopta esta variable de interés cuando se tienen valores

extremos de anomalías isostáticas, principalmente aquellas cercanas a los -200 mGal y aquellos

mayores a 315 mGal, tal y como se puede apreciar en la Figura 46.

Figura 45. Función de intensidad según la

covariable anomalías magnéticas.

Figura 46. Función de intensidad según la covariable

anomalías isostáticas.

7.11. Estimación de un mejor modelo paramétrico

En vista de que el modelo paramétrico Log-Lineal estimado no permitió caracterizar la distribución

espacial del patrón de sismos debido a la alta ocurrencia de estos en algunas zonas del territorio

colombiano y al hecho de que zonas con determinados valores de las covariables no cuentan con

niveles de densidad puntual similares en todos los casos, se optó por estimar dos modelos diferentes

con el objeto de sacar el mayor provecho posible a la información disponible e identificar si con

ésta pueden obtenerse mejores resultados bajo otras condiciones.

Para tal fin, se dividió al patrón puntual de acuerdo a la ubicación de los eventos con respecto a la

línea de costa presente dentro de la ventana de estudio dado que esta línea sirve de referencia para

distinguir y separar las zonas ubicadas por encima y por debajo el geoide, procedimiento del cual se

dio lugar a un patrón de sismos ocurridos en la plataforma continental, y otro de sismos ocurridos

en la parte oceánica, incluyendo en este último grupo a los eventos ocurridos tanto en el océano

Pacífico como en el mar Caribe.

Con esto, también se dividió dicha ventana en dos dado que las plataformas continental y oceánica

difieren de manera considerable en lo que respecta a las estructuras geológicas que las conforman y

a los valores de altitud y anomalías allí capturados. Por este motivo, se procedió a estimar un

modelo para cada uno de los grupos de sismos considerando las siguientes variables para cada uno

de estos: Modelo Variables

Continental

Relieve

Anomalías magnéticas

Anomalías isostáticas

Distancia a la falla geológica más cercana (todos los casos)

Distancia al volcán más cercano

Oceánico

Relieve (batimetría)

Anomalías magnéticas

Anomalías isostáticas

Distancia al borde de placa más cercano (todos los casos)

Distancia a la falla geológica normal más cercana

Tabla 12. Variables de los nuevos modelos estimados.

64

Nótese aquí que las tres primeras variables incluidas en ambos modelos corresponden a todas

aquellas variables continuas en el espacio y que la selección de algunas de las covariables para estos

dos modelos se realizó con base en la ubicación de las estructuras geológicas dentro de la ventana

de observación, en cuyo caso las covariables de distancia cuyas estructuras de referencia se

encuentran dentro de plataforma continental se incorporaron en el modelo de sismos ocurridos en

dicha plataforma, mientras que las covariables de distancia asociadas a estructuras ubicadas en el

lecho marino se incluyeron en el respectivo modelo de sismos ocurridos en la plataforma oceánica.

También, es necesario señalar que en estos modelos se excluyeron las variables X e Y debido a que

en este punto se optó por analizar la relación existente entre las características de la litosfera y cada

patrón de sismos sin una dependencia directa de la posición.

7.11.1. Transformación de covariables.

Con la intención de proponer transformaciones para las covariables y de obtener modelos más fieles

a la realidad, se procedió a calcular las mismas funciones de intensidad relativa �̂�( ) que se

expusieron previamente pero esta vez con base en la información contenida en las zonas continental

y oceánica de Colombia, de manera que el análisis de estas curvas sirviera de evidencia para la

aplicación de dichas transformaciones. Por consiguiente, se encontraron en primer lugar los

siguientes comportamientos de la intensidad del patrón de sismos en la plataforma continental

cuando ésta se calcula a partir de covariables de distancia a estructuras geológicas:

Figura 47. Función de intensidad del patrón sísmico

de la zona continental según la covariable distancia

a la falla sinistral más cercana.

Figura 48. Función de intensidad del patrón sísmico

de la zona continental según la covariable distancia

a la falla dextral más cercana.

Figura 49. Función de intensidad del patrón sísmico

de la zona continental según la covariable distancia

a la falla normal más cercana.

Figura 50. Función de intensidad del patrón sísmico

de la zona continental según la covariable distancia

a la falla inversa más cercana.

65

Figura 51. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona

continental según la covariable distancia al volcán más cercano.

Aquí se puede observar que en términos generales el comportamiento de la intensidad del patrón de

sismos en la plataforma continental se mantuvo con respecto a lo observado en las gráficas de las

funciones estimadas a partir de la totalidad de los datos, es decir, que la intensidad del patrón es

inversamente proporcional a las covariables de distancia a la falla geológica más cercana y de

distancia al volcán más cercano, siendo esta última covariable la que presenta el menor grado de

cumplimiento de ésta regla en comparación con las demás. En este sentido, debido a que se puede

identificar una clara relación de tipo exponencial entre la variable objeto de estudio y estas

covariables, se optó por no transformar ninguna de estas últimas.

En cuanto a las covariables restantes, es decir las anomalías de ambos tipos y la altitud del terreno,

se evidencia que no existe una tendencia concisa de crecimiento o decrecimiento en ninguno de los

casos sino que por el contrario el comportamiento de la intensidad del patrón se caracteriza por

aumentos y disminuciones conforme varían los valores de cada covariable. Por esta razón, y en

vista de que la curva de intensidad muestra signos de un agrupamiento considerable de sismos en

determinados valores de estas tres covariables, se consideró pertinente transformarlas elevándolas a

la segunda potencia, procedimiento con el cual el modelo a estimar pasa a ser de tipo log-

cuadrático, es decir, de la forma �̂�(𝑢) = exp (𝛽0 + 𝛽𝑖𝑋𝑖(𝑢) + 𝛽𝑖+1𝑋𝑖2(𝑢)) (Baddeley et al., 2016).

Figura 52. Función de intensidad del patrón sísmico

de la zona continental según la covariable M.S.N.M.

Figura 53. Función de intensidad del patrón

sísmico de la zona continental según la covariable

anomalías isostáticas.

66

Figura 54. Función de intensidad del patrón sísmico de la zona

continental según la covariable anomalías magnéticas.

Ahora, respecto a las estructuras geológicas presentes en la plataforma oceánica, se obtuvieron las

funciones de intensidad que se presentan a continuación:

Figura 55. Función de intensidad del patrón

sísmico de la zona oceánica según la covariable

distancia a la falla normal más cercana.

Figura 56. Función de intensidad del patrón sísmico

de la zona oceánica según la covariable distancia al

borde de placa de desgarre más cercano.

Figura 57. Función de intensidad del patrón sísmico

de la zona oceánica según la covariable distancia al

borde de placa divergente más cercano.

Figura 58. Función de intensidad del patrón sísmico

de la zona oceánica según la covariable distancia al

borde de placa convergente más cercano.

67

En esta ocasión se puede observar que la relación existente entre la intensidad del patrón de sismos

ocurridos en la parte oceánica de Colombia y la cercanía a los bordes de placas y fallas normales

allí ubicadas no se presenta de forma tan directa como sí sucede en la parte continental dado que en

los cuatro casos la curva de intensidad puntual indica altas concentraciones de sismos cuando dichas

covariables adoptan determinados valores; esto a excepción de la covariable de distancia al borde de

placa convergente donde se puede observar que los sismos tienden a aglomerarse en mayor grado

cuando la distancia a este tipo de borde en el lecho marino es corta, y viceversa.

En este punto, aunque lo anterior sugiere que es conveniente transformar dichas covariables

elevándolas al cuadrado para obtener un mejor ajuste, se optó por no aplicar dichas

transformaciones ya que la interpretación de las variables desde el punto de vista geocientífico

pierde sentido.

Por último, las curvas de la intensidad del patrón de sismos ubicados en el océano graficadas con

respecto a las covariables de altitud del terreno y anomalías isostáticas indican que es apropiado

estimar sus respectivos parámetros mediante un modelo Log-Lin dado que se tienen tendencias muy

marcadas de crecimiento y decrecimiento respectivamente. Por su parte, la curva de intensidad

puntual asociada a las anomalías magnéticas sugiere que es necesario transformar esta covariable

cuadráticamente en vista de que los sismos se conglomeran donde los valores de estas anomalías

son iguales o menores a cero, tal y como se puede apreciar en la Figura 61.

Figura 59. Función de intensidad del patrón

sísmico de la zona oceánica según la covariable

A.S.N.M.

Figura 60. Función de intensidad del patrón sísmico

de la zona oceánica según la covariable anomalías

isostáticas.

Figura 61. Función de intensidad del patrón sísmico de la

zona oceánica según la covariable anomalías magnéticas.

68

7.11.2. Estimación del modelo final para el patrón de sismos en la zona continental.

En concordancia con los análisis preliminares se procedió a estimar los dos modelos finales

correspondientes a los patrones de sismos ocurridos en las plataformas continental y oceánica en el

país, lo cual dio lugar a los siguientes resultados:

Covariable Parámetro

�̂�𝒊 �̂��̂�𝒊

Intervalo de confianza Test de Wald Análisis LRT

Menor Mayor V p-valor 𝚪 p-valor

Intercepto -1,555E+01 2,14E-02 -1,56E+01 -1,55E+01 -726,372 0,00E+00 - -

Anomalías Isostáticas (mGal) Lineal -1,0789E-03 8,46E-05 -1,24E-03 -9,13E-04 -12,7566 1,43E-37 32749 2,2E-16

Cuadrático 1,1763E-05 5,05E-07 1,08E-05 1,28E-05 23,2977 0,00E+00 22 3,01E-06

Altitud (m) Lineal 1,5535E-03 1,73E-05 1,52E-03 1,59E-03 89,7183 0,00E+00 6784 2,2E-16

Cuadrático -4,5869E-07 5,51E-09 -4,69E-07 -4,48E-07 -83,2600 0,00E+00 19486 2,2E-16

Anomalías Magnéticas (nT) Lineal 5,8870E-03 1,26E-04 5,64E-03 6,13E-03 46,7454 0,00E+00 3609 2,2E-16

Cuadrático -2,2352E-05 1,94E-06 -2,61E-05 -1,86E-05 -11,5466 3,84E-31 26 2,87E-07

Distancia a la fallas inversa más cercana (m) -2,2026E-06 1,48E-07 -2,49E-06 -1,91E-06 -14,8552 3,22E-50 20286 2,2E-16

Distancia a la fallas normal más cercana (m) -7,0851E-06 7,32E-08 -7,23E-06 -6,94E-06 -96,8306 0,00E+00 9181 2,2E-16

Distancia a la fallas dextral más cercana (m) -6,5018E-06 1,84E-07 -6,86E-06 -6,14E-06 -35,3028 2,65E-273 5155 2,2E-16

Distancia a la fallas siniestral más cercana (m) -1,1511E-05 1,51E-07 -1,18E-05 -1,12E-05 -76,4792 0,00E+00 6941 2,2E-16

Distancia al volcán más cercano (m) 8,4582E-07 3,67E-08 7,74E-07 9,18E-07 23,0627 0,00E+00 522 2,2E-16

Tabla 13. Parámetros y cifras del modelo para el patrón sísmico de la zona continental.

Con base en estas cifras, un primer aspecto a resaltar es que todas las variables incluidas en el

modelo son estadísticamente significativas según las pruebas de Wald y de análisis LRT, y un nivel

de significancia 𝛼 = 5%, razón por la cual, se concluyó que la intensidad del patrón de eventos

sísmicos acontecidos en la superficie continental de Colombia si puede ser explicada en alguna

medida por las covariables tanto lineales como cuadráticas incorporadas en el modelo.

No obstante, aunque los resultados indican que todo el conjunto de covariables es estadísticamente

significativo, se encontró que el parámetro estimado para la covariable de distancia al volcán más

cercano tiene asociado un signo positivo que sugiere que la cantidad de sismos aumenta conforme

la distancia a un determinado volcán se hace mayor, lo cual no es coherente desde el punto de vista

geológico puesto que en geología se suele afirmar que la actividad volcánica genera sismos en las

periferias a los conos o domos volcánicos. Por este motivo, se tomó la decisión de excluir esta

covariable del modelo asumiendo de este modo que, si bien los volcanes inciden en la ocurrencia de

sismos, este efecto es despreciable en este estudio dado que se considera que son pocos los eventos

del patrón relacionados con la actividad volcánica del país en comparación con los que ocurren

como producto de la liberación de energía en zonas de fallamiento y de interacción entre placas.

En este sentido, se estimó un último modelo continental del cual se llegó a los siguientes resultados:

Covariable Parámetro

�̂�𝒊 �̂��̂�𝒊

Intervalo de confianza Test de Wald Análisis LRT

Menor Mayor V p-valor 𝚪 p-valor

Intercepto -1,5289E+01 1,78E-02 -1,53E+01 -1,53E+01 -860,2052 0,00E+00 - -

Anomalías Isostáticas

(mGal)

Lineal -5,4238E-04 7,92E-05 -6,98E-04 -3,87E-04 -6,84960 3,70E-12 32749 2,2E-16

Cuadrático 1,1875E-05 4,92E-07 1,09E-05 1,28E-05 24,14574 0,00E+00 22 3,01E-06

Altitud (m) Lineal 1,4362E-03 1,65E-05 1,40E-03 1,47E-03 87,1878 0,00E+00 6784 2,2E-16

Cuadrático -4,3116E-07 5,33E-09 -4,42E-07 -4,21E-07 -80,88630 0,00E+00 19486 2,2E-16

Anomalías Magnéticas

(nT)

Lineal 5,4038E-03 1,24E-04 5,16E-03 5,65E-03 43,55634 0,00E+00 3609 2,2E-16

Cuadrático -2,1210E-05 1,91E-06 -2,49E-05 -1,75E-05 -11,13257 4,35E-29 26 2,87E-07

Distancia a la falla inversa más cercana (m) -1,5161E-06 1,49E-07 -1,81E-06 -1,22E-06 -10,15972 1,50E-24 20286 2,2E-16

Distancia a la falla normal más cercana (m) -6,9105E-06 7,26E-08 -7,05E-06 -6,77E-06 -95,22750 0,00E+00 9181 2,2E-16

Distancia a la falla dextral más cercana (m) -6,9814E-06 1,83E-07 -7,34E-06 -6,62E-06 -38,07724 0,00E+00 5155 2,2E-16

Distancia a la falla siniestral más cercana (m) -1,1620E-05 1,52E-07 -1,19E-05 -1,13E-05 -76,49856 0,00E+00 6941 2,2E-16

Tabla 14. Parámetros y cifras del modelo final para el patrón sísmico de la zona continental.

Aquí, dado que nuevamente todas las covariables del modelo resultaron ser estadísticamente

significativas con base en los tests y el nivel de significancia ya mencionados, se realizó una última

69

estimación paso a paso (stepwise) para verificar que este modelo era el mejor posible de obtener

para la parte continental del territorio colombiano, procedimiento del cual se consiguió lo siguiente:

Covariable excluida del modelo AIC

Ninguna 1678769

Anomalías isostáticas (mGal) 1678817

Distancia a la falla inversa más cercana (m) 1678885

Anomalías magnéticas (m) (Cuadrática) 1678899

Anomalías isostáticas (m) (Cuadrática) 1679255

Distancia a la falla dextral más cercana (m) 1680266

Anomalías magnéticas (nT) 1680642

Distancia a la falla siniestral más cercana (m) 1685708

Altitud (m) (Cuadrática) 1686703

Altitud (m) 1687261

Distancia a la falla normal más cercana (m) 1688697

Tabla 15. Valores AIC según covariables del modelo para los sismos ocurridos en la zona continental.

En vista de estos resultados, se pudo concluir que el mejor modelo que puede obtenerse a partir de

las covariables propuestas es el que se estimó dado que su valor AIC fue el menor de todos en la

estimación paso a paso.

En este punto, habiendo verificado la validez estadística del modelo, se procedió a interpretar los

parámetros resultantes de la estimación, de lo cual se llegó en primer lugar a que el intercepto del

modelo indica un valor base para el mismo de 2,289 ∗ 10−7 sismos/m2, o lo que es lo mismo, un

valor de intensidad puntual de alrededor de 23 sismos por cada 100 km2. Seguidamente, con

respecto a las covariables netamente lineales del modelo se encontró que la intensidad de este

patrón de sismos decrece en 0,000015%, 0,000069%, 0,00007% y 0,000012% conforme aumentan

en un metro las covariables de distancia a las falla más cercana de tipo inversa, normal, dextral y

sinistral, respectivamente.

De estas últimas variables, se puede notar que la concentración de sismos en el espacio es mayor en

las cercanías a las fallas de tipo normal y dextral, lo cual se evidencia en el hecho de que cuanto

mayor es la distancia a estas estructuras, más rápida es la tasa de decrecimiento de sismos por

unidad de área, esto teniendo como referencia los parámetros de las fallas restantes, los cuales al ser

más cercanos a cero indican menores concentraciones de eventos en las distancias más cercanas.

Por su parte, los parámetros asociados a las covariables restantes no se interpretaron como

aumentos o disminuciones de la densidad puntual según la variabilidad de las mismas debido a que

tras su transformación, éstas se convirtieron en covariables cuadráticas dando así lugar a otro tipo

de análisis. En vista de esta situación, la interpretación de los parámetros lineal y cuadrático

estimados para la covariable anomalías isostáticas se llevó a cabo de acuerdo a la función

exponencial

𝜆(𝑎𝑖𝑔) = exp(−15,28984 − 5,423848(10)−4𝑎𝑖𝑔 + 1,187533(10)−5𝑎𝑖𝑔2) (52)

Donde 𝑎𝑖𝑔 corresponde a los valores de la covariable anomalías isostáticas de gravedad y donde

𝜆(𝑎𝑖𝑔) es la función de intensidad del patrón de sismos ocurridos en la plataforma continental.

70

Figura 62. Intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable transformada aig.

Esta función adopta su menor valor de 2,27519 ∗ 10−7 sismos/m2 cuando se consideran anomalías

de 22,84 mGal. Esto significa que aquellas zonas donde los valores de anomalías isostáticas son

cercanos a 23 mGal se presentan menores cantidades de eventos telúricos que en el resto del

territorio.

En contraste, la función de intensidad calculada a partir de la covariable transformada de anomalías

magnéticas que viene dada de la forma

𝜆(𝑎𝑚) = exp(−15,28984 + 5,403898(10)−3𝑎𝑚 − 2,121091(10)−5𝑎𝑚2) (53)

Donde 𝑎𝑚 es el valor de la anomalía magnética en nT, muestra una relación inversamente

proporcional entre la cantidad de sismos por área y esta covariable, así como se puede apreciar en

seguida.

Figura 63. Intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable transformada am.

Esta función expone un comportamiento en forma similar a una campana de Gauss donde valores

bajos de intensidad del patrón se relacionan con los valores muy bajos y muy altos de las anomalías

magnéticas. Además, el punto máximo de la función de densidad puntual es 3,23 ∗ 10−7 sismos/m2,

el cual ocurre de manera exacta en el valor de anomalía 127,39 nT. Esto indica que aquellas zonas

cuyos valores de anomalías magnéticas se acercan a los 127 nT son más propensas a presentar altas

concentraciones de eventos telúricos.

71

Por último, para la altitud del terreno se obtuvo la función exponencial

𝜆(ℎ) = exp(−15,28984 + 1,436232(10)−3ℎ − 4,311616(10)−7ℎ2) (54)

Donde ℎ es la altitud del terreno en m.s.n.m. y la mayor concentración de sismos en la plataforma

continental del territorio colombiano se da en aquellas zonas cuya altitud es de 1665,54 m.s.n.m.,

exactamente con 7,57 ∗ 10−7sismos/m2 tal y como se puede apreciar en seguida.

Figura 64. Intensidad del patrón sísmico de la zona continental según la covariable transformada A.S.N.M.

Finalmente, a partir de las covariables transformadas y no transformadas del modelo se obtuvo la

siguiente función de intensidad para el patrón de sismos de la zona continental del territorio

colombiano:

Figura 65. Intensidad del patrón sísmico de la zona continental estimada a partir de covariables.

Como se puede observar, el comportamiento de la función de densidad puntual tiende a describir de

mejor manera la distribución espacial de los sismos dado que, en comparación con el mapa de

intensidad obtenido a partir del primer modelo paramétrico estimado para la totalidad de la ventana

de estudio, esta vez no se visualiza una homogeneidad en la cantidad de sismos por unidad de área.

Además, al simular dicha función de intensidad, nuevamente mediante el método de Metropolis -

72

Hasting, si bien no se obtiene un patrón distribuido espacialmente igual al patrón de sismos original,

esta vez el patrón simulado tiende a tener una distribución más similar a dicho patrón inicial en

comparación a como se distribuyó el patrón simulado a partir del primer modelo, en especial, en la

zona de cordilleras.

No obstante, se puede constatar que este modelo presenta fallas en lo que respecta a la

caracterización de la intensidad del patrón en los departamentos de Vichada, Córdoba y Antioquia,

en donde se asignaron eventos que en la realidad no ocurren o en donde su intensidad puntual es

mucho más baja.

Figura 66. Comparación entre el patrón de sismos original (izquierda) y el patrón de sismos de la parte

continental simulado (derecha).

Ahora, para poder cuantificar el ajuste del modelo a los datos, se llevó a cabo nuevamente el test de

bondad del ajuste 𝜒2, del cual se obtuvo un p-valor de prácticamente cero lo que permitió concluir

que aunque este modelo tuvo una mejoría con respecto al anteriormente estimado, aún no se ajusta

de forma óptima a los datos, debido a que las cantidades de eventos estimada en esta oportunidad no

se acercó lo suficiente a las cantidades reales, tal y como se puede notar gráficamente en el mapa de

cuadrantes obtenido mediante este test.

Figura 67. Test de conteo por cuadrantes para el modelo de sismos ocurridos en la parte continental.

73

También, para identificar donde se presentan las mayores deficiencias de este modelo, se realizó un

análisis de residuales del cual se obtuvo lo siguiente:

Figura 68. Residuales del modelo para el patrón sísmico de la parte continental.

Aquí se puede evidenciar que persisten las subestimaciones que se presentaron en el primer modelo

especialmente en la zona de Santander, Norte de Santander y algunas zonas de las cordilleras.

7.11.3. Estimación del modelo final para el patrón de sismos en la zona oceánica.

En cuanto a la estimación del modelo para los eventos telúricos ocurridos en la plataforma oceánica

del territorio colombiano, se obtuvieron los siguientes resultados:

Covariable Parámetro

�̂�𝒊 �̂��̂�𝒊

Intervalo de confianza Test de Wald Análisis LRT

Menor Mayor V p-valor 𝚪 p-valor

Intercepto -1,35E+01 9,54E-02 -1,36E+01 -1,33E+01 -141,0883 0,00E+00 - -

Anomalías Isostáticas (mGal) 2,95E-03 4,90E-04 1,99E-03 3,91E-03 6,0253 8,44E-10 1481,4 2,2E-16

Altitud (m) 7,72E-04 3,42E-05 7,05E-04 8,39E-04 22,6070 0,00E+00 2,2 0,1392

Anomalías

Magnéticas (nT)

Lineal -6,31E-03 9,73E-04 -8,22E-03 -4,40E-03 -6,4842 4,46E-11 62,1 3,33E-15

Cuadrático -4,50E-05 1,35E-05 -7,14E-05 -1,85E-05 -3,3314 4,32E-04 1252,3 2,2E-16

Distancia al borde convergente más cercano (m) -2,11E-05 6,43E-07 -2,23E-05 -1,98E-05 -32,7981 3,13E-236 3275,5 2,2E-16

Distancia al borde divergente más cercano (m) -1,66E-07 1,50E-07 -4,61E-07 1,28E-07 -1,1067 0,1342 1730,7 2,2E-16

Distancia al borde de desgarre más cercano (m) -4,76E-06 2,74E-07 -5,30E-06 -4,23E-06 -17,4040 3,85E-68 380,6 2,2E-16

Distancia a la falla normal más cercana (m) -6,35E-06 2,49E-07 -6,83E-06 -5,86E-06 -25,5069 8,26E-144 772 2,2E-16

Tabla 16. Parámetros y cifras del modelo para el patrón sísmico de la zona oceánica.

Aquí se encontró que las covariables de altitud (batimetría) y de distancia al borde de placa tipo

divergente más cercano no son significativas dado que el p-valor de la primera de estas covariables

en el test de LRT y el p-valor de la covariable de la distancia ya mencionada en el test de Wald, son

ambos mayores que el nivel de significancia 𝛼 = 5%, lo que quiere decir que no se rechazó para

estos casos la hipótesis nula de no significancia estadística de dichos parámetros. Por esta razón, se

afirma en esta ocasión que existe evidencia estadística de que estas dos covariables no son

indispensables para el análisis de la distribución de los sismos acontecidos en la plataforma

oceánica del país.

Consecuentemente con estos resultados, se optó por eliminar dichas variables de la estimación y se

procedió a calcular un nuevo modelo, obteniendo así las siguientes cifras:

74

Covariable Parámetro

�̂�𝒊 �̂��̂�𝒊

Intervalo de confianza Test de Wald Análisis LRT

Menor Mayor V p-valor 𝚪 p-valor

Intercepto -1,45E+01 7,86E-02 -1,46E+01 -1,43E+01 -183,8457 0,00E+00 - -

Anomalías Isostáticas (mGal) -6,33E-03 2,28E-04 -6,78E-03 -5,88E-03 -27,7508 8,52E-170 1481,4 2,2E-16

Anomalías

Magnéticas (nT)

Lineal -6,75E-03 9,08E-04 -8,53E-03 -4,97E-03 -7,4370 5,15E-14 63,96 1,27E-15

Cuadrático -5,35E-05 1,31E-05 -7,93E-05 -2,78E-05 -4,0725 2,33E-05 1251,38 2,2E-16

Distancia al borde convergente más cercano (m) -1,55E-05 4,93E-07 -1,65E-05 -1,45E-05 -31,4222 5,03E-217 2681,58 2,2E-16

Distancia al borde de desgarre más cercano (m) -5,49E-06 1,33E-07 -5,76E-06 -5,23E-06 -41,1653 0,00E+00 2427,65 2,2E-16

Distancia a la falla normal más cercana (m) -5,01E-06 2,29E-07 -5,46E-06 -4,56E-06 -21,8660 2,74E-106 552,94 2,2E-16

Tabla 17. Parámetros y cifras del modelo final para el patrón sísmico de la zona oceánica.

Con este nuevo modelo, se descubrió que todos los parámetros estimados resultan ser significativos

con base en el mismo nivel de significancia y en los dos test ya expuestos.

Luego, con el fin de verificar que esta corresponde a la mejor estimación del modelo, se realizó una

estimación paso a paso del modelo, obteniendo los siguientes valores:

Variable Excluida del modelo AIC

Ninguna 106815

Anomalías Magnéticas (Cuadráticas) 106835

Anomalías Magnéticas 106874

Distancia a Fallas Normales 107366

Anomalías Isostáticas 107628

Distancia a Borde Convergente 108983

Distancia a Borde de Desgarre 109589

Tabla 18. Valores AIC según covariables del modelo para los sismos ocurridos en la zona oceánica.

Aquí se puede notar que el menor valor de AIC corresponde al modelo con todas las variables, lo

que quiere decir que el modelo estimado es el mejor que puede obtenerse a partir de las covariables

propuestas.

Seguidamente, con respecto a la interpretación de los parámetros estimados para este modelo, se

encontró que considerando el intercepto del mismo el nivel base de cantidad de eventos sísmicos

por unidad de área para la plataforma oceánica es de 5,30121 ∗ 10−7 sismos/m2, o lo que es lo

mismo, 53 sismos por cada 100 km2. Con respecto a las estructuras geológicas, se estimaron

disminuciones de 0,00155%, 0,000549% y 0,000501% por cada metro adicional de distancia al

borde convergente más cercano, al borde de desgarre más cercano y a la falla normal más cercana,

respectivamente; mientras que, en cuanto a las anomalías de gravedad, se encontró que por cada

mGal positivo en que aumenta ésta covariable, la intensidad puntual del patrón de sismos ocurridos

en el océano disminuye en un 0,633159%.

De aquí se puede concluir que en los bordes convergentes tiende a concentrarse un mayor número

de sismos puesto que al tener dicha covariable un parámetro mayor en comparación con las fallas

normales y los bordes de desgarre, mayor es el porcentaje en que disminuye la cantidad de eventos

conforme se consideran distancias mayores a dichas estructuras. En segundo lugar, se tiene a los

bordes de desgarre y por último a las fallas normales, con valores similares en sus parámetros

estimados pero mostrando concentraciones no tan relevantes.

Por su parte, la covariable transformada de anomalías magnéticas cuenta con la función

𝜆(𝑎𝑚) = exp(−14,45016 − 6,751867(10)−3𝑎𝑚 − 5,354730(10)−5𝑎𝑚2) (55)

Donde 𝑎𝑚 es el valor de la anomalía magnética en nT y donde la gráfica de 𝜆(𝑎𝑚) es:

75

Figura 69. Intensidad del patrón sísmico de la zona oceánica según la covariable transformada am.

Como se puede apreciar, esta función alcanza su un valor máximo de 1,004 ∗ 10−6 sismos/m2

cuando la covariable de anomalías magnéticas es igual a -63,05 nT, valor a partir del cual, tanto a su

izquierda como derecha, la función de intensidad puntual decrece considerablemente. Esto significa

que todas aquellas zonas con valores de anomalías magnéticas cercanos a -63,05 nT son más

propensas a presentar mayores concentraciones de sismos por unidad de área, y que regiones con

anomalías mayores o menores son menos propensas a la ocurrencia de grandes cantidades de

sismos.

Ya considerando todas las covariables en el modelo, la función de densidad sísmica sobre la

plataforma oceánica del territorio colombiano es:

Figura 70. Intensidad del patrón sísmico de la zona oceánica estimada a partir de covariables.

Esta vez, la función de densidad sísmica deja en evidencia que el modelo propuesto es levemente

acertado en el sentido de que indica que la cantidad de eventos que se presenta en el Mar Caribe es

mucho menor que la que se presenta en el océano Pacífico. Asimismo, mediante la simulación de

este proceso de Poisson inhomogéneo estimado usando Metropolis-Hastings, se observa que existen

diferencias importantes con respecto a la concentración de los sismos, especialmente en la zona del

Pacífico dado que el número de eventos es bastante menor en comparación con el patrón original.

76

Cabe resaltar que este modelo, al igual que el estimado para la plataforma continental, cuenta con la

deficiencia de afirmar que existen eventos en zonas donde la ocurrencia real es prácticamente nula

tal y como se puede notar en seguida.

Figura 71. Comparación entre el patrón de sismos original (izquierda) y el patrón de sismos de la parte

oceánica simulado (derecha).

Nuevamente, para analizar las diferencias entre el patrón original y el que se obtuvo a partir de este

modelo, se empleó el análisis de bondad del ajuste 𝜒2 el cual dio lugar a un p-valor prácticamente

de cero que, al ser menor a una significancia del 5%, indicó que la información no se ajusta

estadísticamente al patrón original de la información, así como se puede apreciar en el respectivo

mapa que viene anexo a este test.

Figura 72. Test de conteo por cuadrantes para el modelo de sismos ocurridos en la parte oceánica.

Dicha la falta de ajuste del modelo también se pudo notar al calcular sus residuales, los cuales se

muestran a continuación:

77

Figura 73. Residuales del modelo para el patrón sísmico de la parte oceánica.

En este caso, se puede observar que el modelo presenta tanto subestimación como sobreestimación

de la intensidad puntual, evidenciándose en mayor medida subestimación (mayores valores de

residual) en la zona oriental del océano Pacífico, lugar donde también se encuentra una sección con

importantes niveles de sobreestimación. En menor medida, también se presentan subestimaciones y

sobreestimaciones en el mar Caribe.

De esta manera, se encuentra que el patrón en la plataforma oceánica presenta una variabilidad

considerable que no alcanza a ser estimada de forma óptima por el modelo.

7.12. Evaluación de la capacidad explicativa de los modelos estimados

Con el fin de evaluar en qué porcentaje cada modelo explica la variabilidad de la intensidad del

patrón sísmico presente tanto al interior de la totalidad de la ventana de estudio como dentro de las

zonas continental y oceánica del territorio colombiano, se llevó a cabo el cálculo del estadístico

pseudo-R2 de McFadden, expresado de la forma

𝑅2 = 1 −𝐷𝑚

𝐷𝑚0 (56)

Donde 𝐷𝑚 corresponde a la desviación del modelo estimado y 𝐷𝑚0 indica la desviación de una

estimación homogénea de Poisson para el patrón de interés dentro de la respectiva ventana de

observación (Baddeley et al., 2016).

Para el caso de este proyecto, se estimaron adicionalmente dos modelos auxiliares, similares a los

modelos finales, con la diferencia de que ninguna de sus variables fue transformada (modelos Log-

Lin), obteniendo así valores R2 de 32,82% para el modelo continental y 58,65% para el modelo

oceánico, los cuales se pueden comparar con los valores de 35,82% y 58, 80% obtenidos para el

modelo final en sus partes continental y oceánica respectivamente, evidenciando en ambos casos

mejores resultados.

En concreto, se pudo notar que las transformaciones de las variables tuvieron un impacto positivo

en los modelos resultantes dado que aumentó el porcentaje de explicación de la distribución de los

sismos en el espacio, concretamente con un aumento de 3% en la plataforma continental y de 0,2%

en la plataforma oceánica. Adicionalmente, pudo concluirse que fue muy conveniente dividir el

estudio en sus partes continental y oceánica, pues con esto se descubrió que con el conjunto de

covariables propuesto para este estudio, se logra un nivel superior de explicación de la densidad

puntual del patrón sísmico en la plataforma oceánica en comparación con el que se logra explicar

del patrón de sismos para el caso del patrón continental.

Cabe añadir que también se calculó para el primer modelo su respectivo valor de R2, obteniendo

como resultado un 43,38% de capacidad explicativa del patrón dentro de la totalidad del territorio

78

colombiano, valor que se encuentra en medio de los estimados para la parte oceánica y continental.

Sin embargo, este valor no puede compararse de forma directa con los resultados de R2 obtenidos

para los patrones continental y oceánico, dado que no corresponden exactamente a la misma región.

Por último, para comprender el desempeño del modelo estimado en las diferentes zonas del país, se

determinaron los valores observados, estimados y residuales por cada departamento, en la

plataforma continental, y por regiones marítimas (establecidas únicamente con este fin para el

presente proyecto) de manera que fuera posible evidenciar en donde se presentan los principales

aciertos y deficiencias de la estimación de cantidad de eventos por unidad de área.

En primer lugar, se resalta el hecho de que las mejores estimaciones se encuentran en el

departamento de Vaupés donde no se registró ningún sismo y del mismo modo el modelo estima

que allí no se encuentran eventos, y el departamento de Cundinamarca donde se registraron 3.329

sismos y se estimaron 3.257, resultando así un valor residual de 1,26 en dicha zona. También se

encuentra al departamento del Caquetá, el cual registra 398 eventos y una estimación de 443,

teniendo así un valor residual de -2,16. Con una menor precisión, se encuentra además que los

departamentos de Atlántico, Amazonas, Sucre y Nariño también presentan buenos resultados en el

ajuste del modelo con valores residuales de -4,28, 4,73, -5,61 y -5,93 respectivamente.

Figura 74. Test de cuadrantes para la evaluación del modelo con base en los departamentos de Colombia.

79

En cuanto a la plataforma oceánica, se encuentra que el modelo tiene un muy buen desempeño

general en el Mar Caribe, debido a que la gran mayoría de las zonas (8 de 13) allí presentes cuentan

con valores residuales que oscilan entre -3 y 0, además de la zona occidental del Océano Pacífico

donde se encuentra ausencia de sismos observados y estimados, y la zona centro-norte del Océano

Pacífico donde se presenta un residual de -2,76.

Sin embargo, también se cuentan con algunos desfases por parte del modelo, teniendo en primer

lugar para la plataforma continental que el departamento en el cual se presenta la subestimación

más alta es el de Santander, teniendo un total de 19.171 sismos observados y solamente un valor

estimado de 7.553, resultando así en un valor residual de 133,69 siendo dicho valor el más alejado

de cero en todos los casos. En segundo lugar se tiene al departamento de Chocó en donde se

registraron 2.361 eventos y solamente se estimaron 1.517, seguido del departamento de Meta con

1.944 eventos registrados y 1.313 estimados, cada uno de ellos con valores residuales de 21,67 y

17,4 respectivamente.

Del mismo modo, se encontraron casos significativos de sobreestimación por parte del modelo,

principalmente en el departamento del Cauca con un total de 716 sismos registrados y una

estimación de 3.359 eventos, obteniendo así un residual de -45,6. En segundo lugar se tiene al

departamento de Casanare con un total de 300 eventos telúricos registrados y 1.753 estimados,

resultando así en un residual de -34,71. En tercer lugar se encuentra el departamento de Antioquia

con 4.464 sismos ocurridos y 6.848 estimados, de lo cual se obtiene un residual de -28,8.

En lo que respecta a la plataforma oceánica, se encontró que el caso más significativo de

subestimación ocurre en el Océano Pacífico, al oeste del departamento del Chocó, donde se

registraron 974 eventos y únicamente se estimaron 641, obteniendo así un residual de Pearson de

13,18. Seguido a esto, se tiene que la segunda subestimación más importante en la zona marítima se

encuentra al occidente de las zonas costeras de Atlántico y Magdalena con un total de 77 sismos

observados y 24 estimados, de lo cual resulta un valor residual de 10,76.

También se encontraron casos de sobreestimación, principalmente en la zona centro-sur del

territorio marítimo en el Océano Pacífico donde se encontraron 57 eventos y se estimaron 170,

dando esto como resultado un valor residual de -8,67. En segundo lugar, se tiene la zona más

oriental del Mar Caribe, en donde se registraron 8 eventos sísmicos y se estimaron 58, teniendo así

un residual de -6,54. A continuación, se relacionan los resultados obtenidos:

ID Sismos

Registrados

Sismos

Estimados Residual

1 0 0,02 -0,1563

2 57 170,04 -8,6690

3 1426 1599,77 -4,3445

4 9 21,94 -2,7627

5 974 640,47 13,1789

6 111 58,42 6,8797

7 16 28,17 -2,2928

8 8 57,61 -6,5364

9 97 92,92 0,4229

10 77 24,15 10,7552

11 21 29,82 -1,6155

12 1 29,32 -5,2297

13 2 9,08 -2,3491

14 2 25,06 -4,6064

15 0 9,44 -3,0719

16 2 3,46 -0,7864

17 0 0,26 -0,5129

18 0 3,04 -1,7435

Tabla 19. Evaluación del modelo final por zonas marítimas.

80

Departamento/

Ciudad

Sismos

Registrados

Sismos

Estimados Residual

Bogotá 24 111,03 -8,2597

Quindío 178 341,77 -8,8585

Atlántico 18 47,50 -4,2807

Risaralda 360 700,64 -12,8690

Caldas 338 1181,70 -24,5434

Sucre 97 170,11 -5,6055

Huila 2582 1962,78 13,9769

La Guajira 367 961,40 -19,1702

N. de Santander 1388 2811,24 -26,8429

Valle Del Cauca 3309 2828,87 9,0271

Magdalena 3329 3257,11 1,2596

Cesar 328 547,75 -9,3894

Boyacá 1750 1435,97 8,2870

Tolima 2611 3192,69 -10,2946

Arauca 1291 2731,64 -27,5641

Cundinamarca 262 670,37 -15,7724

Putumayo 69 313,38 -13,8049

Córdoba 244 441,14 -9,3860

Bolívar 1066 2080,22 -22,2371

Cauca 716 3358,69 -45,5996

Santander 19171 7552,72 133,6873

Nariño 632 799,74 -5,9315

Casanare 300 1753,14 -34,7055

Choco 2361 1517,00 21,6695

Vaupés 0 0,19 -0,4393

Guaviare 51 12,15 11,1466

Antioquia 4464 6847,48 -28,8036

Guainía 0 86,25 -9,2871

Meta 1944 1313,31 17,4032

Caquetá 398 443,41 -2,1566

Vichada 8 185,55 -13,0345

Amazonas 1 0,04 4,7299

Tabla 20. Evaluación del modelo final por departamentos.

81

8. CONCLUSIONES

Tras la realización de este proyecto de investigación se puede concluir que sí es posible modelar el

comportamiento espacial de los eventos sísmicos ocurridos en Colombia como un proceso

inhomogéneo de Poisson a partir del uso de covariables que cuantifican la cercanía a estructuras

geológicas y que describen de uno u otro modo la geología de la litosfera terrestre. Resumidamente,

dado que con de las covariables propuestas se pudo explicar la distribución de los sismos

acontecidos en las plataformas continental y oceánica en porcentajes del 35% y 59%

respectivamente, puede decirse que la división de la ventana de estudio resultó ser conveniente para

esta investigación en el sentido que de esta manera pudieron apreciarse las bondades que

representan tales covariables en el análisis de la intensidad de los dos patrones puntuales

considerados dentro del proyecto. En virtud de ello, se concluye que el conjunto de covariables

sugerido resultó ser parcialmente más fructífero para el análisis de los eventos sísmicos acontecidos

en el lecho marino.

Puede decirse que gracias éste estudio se logró identificar la relación existente entre la ocurrencia

de sismos y los factores geológicos y geofísicos que condicionan al territorio colombiano, en cuyo

caso se llegó a que los volcanes no representan un indicador relevante de altas concentraciones de

eventos debido a que con la estimación del modelo final no se evidenció una relación directa entre

la variable de intensidad puntual del patrón y la proximidad a estas estructuras. Adicionalmente,

para el territorio continental, se encontró que los eventos sísmicos tienden a ocurrir en altitudes

próximas a los 1666 m.s.n.m. y en zonas con anomalías isostáticas mucho mayores o menores a los

23 mGal, mientras que en el caso de las anomalías magnéticas, los sismos tienden a concentrarse en

zonas con valores anómalos cercanos a los 127 nT. También, se halló una relación directa entre la

ocurrencia de sismos y la presencia de fallas geológicas, siendo las fallas normales y dextrales las

de mayor influencia, ya que muestran mayores agrupaciones de eventos en sus cercanías.

En cuanto a la plataforma oceánica, los resultados indican que la batimetría y los bordes divergentes

de placa no constituyen variables estadísticamente significativas para el análisis del patrón sísmico

en la plataforma oceánica colombiana, mientras que las fallas normales, y los bordes de placa

convergentes y de desgarre constituyen, en ese orden de relevancia, indicadores importantes de las

más considerables aglomeraciones de eventos sísmicos de acuerdo a lo que indican sus respectivos

parámetros estimados. En relación a las anomalías isostáticas, se encontró que los sismos se

concentran en lugares con valores de anomalía muy bajos, mientras que las anomalías magnéticas

se asocian a altas aglomeraciones de sismos cuando las zonas en las que se estos encuentran tienen

valores anómalos que oscilan alrededor de los -63 nT.

De otro lado, de acuerdo a las cifras proporcionadas por la estimación paso a paso para ambos

modelos se concluye que las covariables que tienen el mayor impacto positivo en la caracterización

de la densidad puntual del patrón sísmico colombiano son la distancia a la falla geológica normal

más cercana y la altitud sobre el nivel del mar, en el caso del modelo para el patrón de sismos de la

zona continental del país, y las distancias al borde de desgarre más cercano y al borde convergente

más cercano, para el estudio del patrón de sismos de la plataforma oceánica. Por su parte, las

covariables que menos aportaron en la explicación de la intensidad puntual fueron las anomalías

isostáticas y la distancia a la falla geológica inversa más cercana, en lo que respecta al patrón de

sismos continental, y las anomalías magnéticas y la distancia a la falla geológica normal más

cercana, en lo que respecta al patrón de sismos oceánico.

De la misma manera, se considera que la falta de ajuste de los modelos se debe a la alta

heterogeneidad que presenta el país en lo que concierne a su geología estructural, razón por la cual

se cree que no debe descartarse la posibilidad de estimar modelos adicionales de este tipo en un

futuro, dado que es posible que ofrezcan mejores resultados en distintas condiciones tales como el

82

empleo de una escala regional o departamental, y la incorporación de otras covariables con mayor

capacidad explicativa de la intensidad del patrón sísmico. Inclusive, se piensa que con este proyecto

queda al descubierto la posibilidad de estimar modelos estadístico-espaciales para los patrones

puntuales marcados de profundidad y magnitud sísmica, a partir de covariables tanto geológicas

como geofísicas, considerando patrones de acuerdo con intervalos de profundidad o magnitud.

Por último, cabe decir que aunque el cálculo de la densidad puntual del patrón mediante el método

Kernel resultó ser más preciso y fiel a la realidad, los modelos paramétricos estimados se

consolidaron como una alternativa apropiada para el análisis del comportamiento espacial de los

sismos, la cual debe ser mejorada en muchos aspectos dadas las limitaciones con las que se contó

durante el desarrollo del proyecto, entre las cuales se encuentra el reducido número de estudios

donde la estimación paramétrica ha sido implementada para el análisis de patrones sísmicos. Por

esta razón, en este proyecto se expone una primera aproximación en el modelado paramétrico del

patrón sísmico, pero se espera que a futuro se desarrollen proyectos similares de los cuales se

puedan obtener resultados más acertados, sin sesgos causados por la omisión del análisis temporal y

que posibiliten determinar de forma más precisa la relación que guarda la ocurrencia de sismos con

diferentes factores propios de la litosfera terrestre.

83

9. BIBLIOGRAFÍA

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86

10. ANEXOS

10.1. Glosario de términos de geología

Modelo estático de la estructura de la Tierra: Enfoque científico fundamentado en la premisa de la Tierra

está constituida por capas sub-superficiales que se diferencian entre sí por su composición química.

Estado: Sólido. Masa: 1,43 * 1023

kg.

Densidad media: 2,7 g/cm3 en rocas continentales y 3 g/cm

3 en

rocas oceánicas.

Composición: Sodio, Potasio, Silicio, Rocas Basálticas, Rocas

Graníticas, Peridotitas, Oxígeno, Aluminio, Calcio, Magnesio.

Estado: Sólido y en estado de fusión.

Masa: 7,7924 * 1024

kg. Densidad media: 9,1 g/cm3.

Composición: Rocas silicatadas, rocas compuestas por Hierro y

Silicatos ricos en Magnesio, fundamentalmente olivino y

piroxeno; Granate, Oxígeno.

Estado: Sólido y en estado líquido.

Masa: 2,2969 * 1024

kg. Densidad media: 13 g/cm3.

Composición: Silicatos que son comunes en la corteza;

Meteoritos de tipo metálico, compuestos por hierro y cantidades

menores de níquel, además de meteoritos rocosos compuestos

por sustancias rocosas parecidas a las peridotitas; Un 10%

corresponde a metales ligeros como el azufre y el oxígeno.

Fuente: Tarbuck, 2005.

Modelo dinámico de la estructura interna de la Tierra: Teoría científica en la que se afirma que la Tierra

está conformada por capas sub-superficiales que se diferencian entre sí por el comportamiento mecánico de

los materiales allí presentes.

Estado: Sólido.

Masa: 2,008 * 1023

kg. Densidad: 3,4 –

4,4 g/cm3.

Grosor: 100 km. En los continentes se tiene

un espesor de 250 km y de pocos km en la

corteza oceánica.

Características: Se compone de la corteza,

fracturada en placas tectónicas, y de la parte

más superficial del manto. Se comporta como

un sólido frágil ya que sus rocas se deforman

fácilmente.

Estado: En fusión.

Masa: 8,70299 * 1023

kg. Densidad: 3,5

g/cm3.

Características: Capa blanda cuyas

condiciones de temperatura y presión

provocan fusión y, por tanto, la deformación

de sus materiales. Existe independencia (en

términos del movimiento) entre esta capa y la

litosfera.

Estado: Sólido.

Masa: 2,12679 * 1024

kg. Densidad: 5,6

g/cm3.

Características: Posee una temperatura más

elevada que la astenosfera. La mayor presión

contrarresta los efectos de la temperatura y

por tanto, sus rocas son gradualmente más

rígidas con la profundidad. Sin embargo, las

rocas pueden fluir de una manera gradual.

Estado: Sólido.

Masa: 3,01019 * 1022

kg. Densidad: 13

g/cm3.

Características: Es una esfera que tiene una

temperatura más elevada que la del núcleo

externo. Por la inmensa presión, el material que

la compone es más fuerte que el que predomina

en el núcleo externo y por eso, se comporta

como un sólido.

Estado: Líquido.

Masa: 5,88297 * 1023

kg.

Densidad: 9,9 g/cm3.

Características: Parte más

superficial del núcleo. El

flujo convectivo del hierro

metálico genera el campo

magnético de la Tierra.

Fuentes: Tarbuck, 2005; Udías, 1987.

87

Placas tectónicas: Son aquellos fragmentos

rígidos que componen la litosfera, cuyos

movimientos relativos entre sí y continuas

variaciones de tamaño y forma se deben a

mecanismos de subducción y expansión del

fondo oceánico. A nivel global, las placas

tectónicas principales son la del Pacífico (la

mayor de todas), Norteamericana, Sudamericana,

Africana, Euroasiática, Australiana y Antártica,

donde la mayoría de estas incluye un continente

entero y grandes porciones de suelo oceánico. De

la misma manera, se distinguen otras placas de

tamaño medio denominadas placa de Nazca, de

Cocos, Scotia, Juan de Fuca, Caribeña, Filipina y

Arábiga (Tarbuck & Lutgens, 2005).

Teoría de tectónica de placas: Teoría que

afirma la litósfera terrestre está conformada por

placas que se mueven sobre una capa de menor

rigidez denominada astenosfera. Esta teoría

explica a su vez los bordes de placa y sus

interacciones, encontrándose de esta manera tres

tipos principales de bordes conocidos como

bordes divergentes, bordes convergentes y bordes

de falla transformante (Tarbuck & Lutgens,

2005).

Bordes Divergentes (Ridge plate boundaries): Son bordes de placa que se sitúan generalmente,

pero no de manera exclusiva, en zonas con

elevaciones del fondo marino denominadas

dorsales oceánicas o centros de expansión. Allí,

se genera nueva litosfera oceánica debido a la

separación entre placas y el ascenso de roca

fundida proveniente del manto, la cual se enfría

paulatinamente convirtiéndose en las rocas duras

jóvenes que constituyen el fondo oceánico

(Tarbuck & Lutgens, 2005).

Este tipo de borde puede encontrarse en medio de

las masas continentales en donde, en su etapa

más temprana, puede tener grandes depresiones

alargadas denominadas rifts continentales. Dichas

depresiones son zonas en las que la corteza es

delgada y débil, razón por la cual el material

originario de la astenosfera asciende más

fácilmente hacia la superficie, generando

actividad volcánica y facilitando la separación del

continente en cuestión (Tarbuck & Lutgens,

2005).

Divergencia entre dos placas oceánicas.

Divergencia entre dos placas continentales.

Bordes Convergentes (Trench plate boundaries): Tipo de bordes, conocidos también como zonas de

subducción, en los cuales ocurre la destrucción de la

litosfera como consecuencia del choque entre placas

que allí se presenta, lugar en donde se observa que

las placas de mayor densidad se deslizan por debajo

de las que son menos densas (Tarbuck & Lutgens,

2005).

La convergencia puede presentarse entre las cortezas

continental y oceánica de diferentes placas, donde

esta última representa la capa subyacente por ser la

de mayor densidad, así como también puede

presentarse entre cortezas oceánicas donde la más

densa es la subyacente. A lo largo de dichos bordes,

y como consecuencia de la deformación de las

estructuras, se constituyen fosas submarinas con

profundidades entre 8 y 12 km, y anchura de 50 a

100 km. Más aún, pueden surgir arcos de islas

volcánicas o arcos volcánicos continentales, debido

al ascenso de materiales menos densos fundidos por

la fricción entre las placas (Tarbuck & Lutgens,

2005).

Convergencia entre una placa continental y una

oceánica.

Convergencia entre dos placas oceánicas.

Cuando se presenta convergencia entre cortezas

continentales estas, en vez de exhibir subducción, se

unen formando una cadena montañosa, como

consecuencia del plegamiento de las estructuras,

conformada principalmente por rocas sedimentarias

deformadas y metamorfizadas, fragmentos del arco

de islas volcánicas y fragmentos de corteza oceánica

(Tarbuck & Lutgens, 2005).

88

Convergencia entre dos placas continentales.

Bordes de placa tipo falla transformante o de

desgarre: Tipo de borde en el que no se produce

ni se destruye material litosférico, debido a que el

desplazamiento entre los bloques no es de choque

o separación, sino que se desarrolla lateralmente

entre ambos en forma de falla. Estas fallas se

encuentran principalmente en la unión de

segmentos de las dorsales centro-oceánicas y se

les conoce como ‘zonas de fractura’, pues en

ellas se evidencia la traslación existente entre

diferentes segmentos de un mismo borde

divergente. Sin embargo, también existen algunos

bordes de este tipo en medio de la corteza

continental (Tarbuck & Lutgens, 2005).

Falla transformante.

Volcán: Conducto sobre la superficie de la tierra

por medio del cual las rocas y materiales más

calientes presentes en el manto pueden escapar

hacia el exterior, ya sea en forma de lava,

cenizas, escorias y/o gas, en lo que se conoce

como erupción volcánica (NASA, 2016).

Fallas geológicas: Son aquellas fracturas de la

corteza terrestre, cuyo origen se debe al

rompimiento y pulverización causado por la

dinámica propia de las placas tectónicas, y en las

cuales ha podido apreciarse algún tipo de

desplazamiento (Tarbuck & Lutgens, 2005).

Dirección (o rumbo) de una falla geológica: Ángulo existente entre el norte magnético y una

línea obtenida mediante la interacción de un

estrato inclinado o falla con un plano horizontal

(Tarbuck & Lutgens, 2005).

Ángulo de dirección de una falla.

Buzamiento (o inclinación) de una falla geológica:

Ángulo de inclinación de un plano geológico como

por ejemplo, una falla, medido desde un plano

horizontal. En este concepto, se incluye tanto el

valor del ángulo de inclinación como la dirección

hacia la cual la roca está inclinada (Tarbuck &

Lutgens, 2005).

Ángulo de buzamiento de una falla.

Clasificación de fallas geológicas: Para identificar

el tipo de falla de una zona se suelen identificar dos

bloques corticales denominados techo y muro, en

donde el primero de estos corresponde a aquel que

se ubica sobre el segundo (Tarbuck & Lutgens,

2005).

Bloques techo y muro en una falla geológica.

Falla vertical: Falla geológica que se encuentra

normalmente en zonas de divergencia entre placas y

que muestra un movimiento paralelo al buzamiento

de la falla. Dichas fallas se clasifican a su vez en

fallas normales e inversas (Tarbuck & Lutgens,

2005).

Falla normal: Falla geológica vertical que aparece

en entornos tensionales y se caracteriza por el

desplazamiento hacia abajo del bloque de techo en

relación con bloque de muro, siendo dicho

desplazamiento de aproximadamente un metro en la

mayoría de los casos (Tarbuck & Lutgens, 2005).

89

Falla normal.

Falla inversa: Falla geológica vertical en la que

el bloque de techo se mueve hacia arriba con

respecto al bloque de muro y en donde

habitualmente los ángulos de buzamiento son

superiores a 45°, a excepción de aquellas fallas

conocidas como cabalgamientos cuya formación

es más pronunciada en los bordes convergentes

(Tarbuck & Lutgens, 2005).

Falla inversa.

Fallas horizontales o de desgarre: Fallas

geológicas que se caracterizan por tener un

desplazamiento horizontal y paralelo a la

dirección de la superficie de la falla, y por ser

lineales y de gran tamaño, razón por la cual, son

altamente visibles dada su traza a lo largo de una

gran distancia. Estas fallas se clasifican en

subtipos de movimientos los cuales, en esta

ocasión, se conocen como movimientos de tipo

dextral y sinistral (Tarbuck & Lutgens, 2005).

Falla tipo dextral: Es aquella falla horizontal

extendida de este a oeste en la cual el bloque

ubicado al norte de su traza se mueve hacia la

derecha, es decir, hacia el este (Tarbuck &

Lutgens, 2005).

Falla dextral.

Falla tipo sinistral: Es aquella falla horizontal

extendida de este a oeste en la cual el bloque

ubicado al norte de su traza se mueve hacia la

izquierda, es decir, hacia el oeste (Tarbuck &

Lutgens, 2005).

Falla sinistral.

Geofísica: Ciencia que aplica los principios de la

física para estudiar la Tierra llevando a cabo

rigurosas investigaciones y la toma de mediciones en

o cerca de la superficie terrestre para tal fin.

Principalmente, esta ciencia se basa en la

identificación de las múltiples variaciones verticales

y horizontales de las propiedades físicas y químicas

en el interior de la Tierra a diversas escalas para, de

esta manera, poder conocer y describir la geología

subsuperficial de una determinada región en el

planeta (Kearey, Brooks, & Hill, 2002).

En comparación con los métodos tradicionales para

explorar la geología de una zona, los cuales

involucran el uso de pozos de perforación, la

Geofísica resulta ser una alternativa que ofrece

resultados relativamente más rápidos y a bajo costo.

No obstante, se evidencia en esta ciencia una

propensión a mayores ambigüedades o

incertidumbres en la interpretación de los datos

procesados en estudios de exploración (Kearey,

Brooks, & Hill, 2002).

90

10.2. Información complementaria

Características de los sismos por departamento:

Departamento Total

Sismos

Magnitud

Máxima

Magnitud

Promedio

Profundidad

Máxima

Profundidad

Promedio

Amazonas 1 3,20 3,20 40,30 40,30

Antioquia 4.464 5,30 1,92 255,80 16,87

Arauca 262 5,30 2,17 138,50 9,60

Atlántico 18 4,60 2,37 2,10 0,96

Bolívar 1.066 4,40 1,92 175,70 37,23

Boyacá 2.611 4,70 1,81 203,70 60,99

Caldas 338 5,30 1,67 166,00 30,44

Caquetá 398 4,00 2,07 422,70 13,78

Casanare 300 6,20 2,11 569,60 8,56

Cauca 716 5,30 1,95 172,00 42,11

Cesar 1.750 5,50 2,12 233,20 57,71

Choco 2.361 5,30 2,10 173,60 32,90

Córdoba 244 4,30 2,10 94,00 23,12

Cundinamarca 3.353 4,80 1,91 206,60 87,26

Guainía 0 0,00 0,00 0,00 0,00

Guajira 367 5,90 2,39 256,30 31,84

Guaviare 51 4,30 2,71 53,60 8,21

Huila 2.582 6,40 1,83 235,30 8,78

Magdalena 328 4,40 2,23 185,40 25,40

Meta 1.944 5,80 2,11 182,00 6,97

Nariño 632 6,40 2,07 173,30 26,12

N. de Santander 1.388 5,70 1,98 217,00 90,80

Putumayo 69 4,20 1,98 63,80 10,02

Quindío 178 4,70 1,78 187,00 39,65

Risaralda 360 4,60 1,89 150,70 66,75

Santander 19.171 7,00 1,84 292,70 121,93

Sucre 97 4,40 2,22 88,60 25,43

Tolima 1.291 5,10 1,78 211,60 15,97

Valle del Cauca 3.309 5,20 1,97 189,30 79,72

Vaupés 0 0,00 0,00 0,00 0,00

Vichada 8 3,50 2,79 40,60 17,90

Mar Caribe 337 4,80 2,67 200,00 33,24

Océano Pacifico 2.466 6,20 2,52 257,70 26,85

91

10.3. Código compilado en Matlab

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%% PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE %%%

%%% INGENIERO CATASTRAL Y GEODESTA %%%

%%% %%%

%%% MODELADO ESTADÍSTICO ESPACIAL DE LOS EVENTOS SÍSMICOS OCURRIDOS %%%

%%% EN COLOMBIA ENTRE 2005 Y 2015 USANDO COVARIABLES DESCRIPTIVAS %%%

%%% DE LA DINÁMICA LITOSFÉRICA TERRESTRE %%%

%%% %%%

%%% Autores: Miguel Ángel Izquierdo Pérez 20101025051 %%%

%%% Diana Alexandra Rodríguez Miranda 20101025086 %%%

%%% %%%

%%% Docente Director: Dr. Carlos Eduardo Melo Martínez %%%

%%% Docente Co-director: MSc. Andrés Cárdenas Contreras %%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%MATLAB R2013a

%%%REDUCCIONES DE LAS ANOMALíAS DE GRAVEDAD

%%%Algoritmo desarrollado a partir de la teoría de Heiskanen 1993

clear all %%%Limpia todo la memoria de Matlab

tic %%%Inicio de Cronometro

%%%Importar archivo TIFF de relieve

[Topo,R1] = geotiffread('ColombiaTopo_Kri.tif');

%%% Tamaño del Arreglo

FilCol = size(Topo);

%%%Variables auxiliares de posición

Dist = 0;

Azim = 0;

%%%Auxiliares para compartimentos

%Último compartimento de cada Zona (Sin la O)

aux1=[ 1.0, 9.0, 19.0, 31.0, 47.0, 67.0, 83.0,103.0,127.0,141.0,157.0];

%Cantidad de compartimentos por zona (Sin la A)

aux2=[ 8.0, 10.0, 12.0, 16.0, 20.0, 16.0, 20.0, 24.0, 14.0, 16.0, 28.0];

%%%Auxiliar para regiones (entre circunferencias)

auxDist=[590.0,1280.0,2290.0,3520.0,5240.0,8440.0,12400.0,18800.0,28800.0,58800.0,99000.0,16

6700.0];

%%%Matriz tridimensional en la que se almacenará el promedio de msnm de

%%%cada sección correspondiente a cada pixel

Correc=Topo;%%%El primer compartimento siempre equivale a la topografía

Correc(FilCol(1),FilCol(2),185)=0;%%%Los demás compartimentos se llenan de ceros

%%%Los 185 compartimentos corresponden a las regiones de la siguiente

%%%manera: A=1comp E=8comp F=10comp G=12comp H=16comp I=20comp J=16comp

%%%K=20comp L=24comp M=14comp N=16comp O=28comp

%%%Para los siguientes cálculos geométricos, se tiene en cuenta el hecho de

%%%que la resolución espacial de las imágenes es de 1Km.

%%%Cálculo de las alturas de los compartimentos para correcciones de

%%%Topografía e Isostasia

for i = 195:FilCol(1)-195 %%%recorrido por filas

for j = 195:FilCol(2)-195 %%%recorrido por columnas

%%%Vectores auxiliares para obtener promedios

AuxCont = zeros(185,1);

AuxN = zeros(185,1);

%%%recorrido en la ventana

for k=i-167:i %%%recorrido por filas

%%%Semi-círculo de radio 167Km y centro en i,j

92

auxFor1=floor(sqrt(27889.-(k-i)^2.)+j);

for m=j:auxFor1 %%%recorrido por columnas

%Cálculo de Distancia en metros entre los puntos

Dist=sqrt((i*1000.-k*1000.)^2+(j*1000.-m*1000.)^2.);

%Cálculo del Azimut en gados

Azim = 90. - atan((i-k)/(m-j))*180./pi;

%%%Determinación de valores para cada compartimento

for Q=1:11

if (auxDist(Q)<=Dist) && (Dist<=auxDist(Q+1))

auxFor2=ceil(aux2(Q)/4);

for ang=1:auxFor2

if(Azim<=(ang*360.0 /aux2(Q))) && (Azim>=((ang-

1.0)*360.0/aux2(Q)))

%Al noreste del punto de interés

AuxCont(aux1(Q)+ang) = AuxCont(aux1(Q)+ang)+Topo(k,m);

AuxN(aux1(Q)+ang)=AuxN(aux1(Q)+ang)+1.0;

%Al noroeste del punto de interés

AuxCont(aux1(Q)+aux2(Q)-ang+1) = AuxCont(aux1(Q)+aux2(Q)-

ang+1)+Topo(k,2.*j-m);

AuxN(aux1(Q)+aux2(Q)-ang+1)=AuxN(aux1(Q)+aux2(Q)-

ang+1)+1.0;

%Al sureste del punto de interés

AuxCont(aux1(Q)+(aux2(Q)/2)-ang+1) =

AuxCont(aux1(Q)+(aux2(Q)/2)-ang+1)+Topo(2.*i-k,m);

AuxN(aux1(Q)+(aux2(Q)/2)-ang+1)=AuxN(aux1(Q)+(aux2(Q)/2)-

ang+1)+1.0;

%Al suroeste del punto de interés

AuxCont(aux1(Q)+(aux2(Q)/2)+ang) =

AuxCont(aux1(Q)+(aux2(Q)/2)+ang)+Topo(2.*i-k,2.*j-m);

AuxN(aux1(Q)+(aux2(Q)/2)+ang)=AuxN(aux1(Q)+(aux2(Q)/2)+ang)+1.0;

end

end

end

end

end

end

%%%Obtención de la matriz auxiliar de alturas que servirá para

%%%calcular las reducciones topográfica e isostática

for comp=2:185

if AuxN(comp)>0.

Correc(i,j,comp)=AuxCont(comp)/AuxN(comp);

end

end

end

end

disp(' ');

toc %%%Mostrar tiempo trascurrido

disp('Cálculo de Matriz Auxiliar finalizado');

disp(' ');

%%%Reducción de Aire Libre

RAL=zeros(FilCol(1),FilCol(2));%%%Matriz a calcular

for x=1:(FilCol(1)*FilCol(2))%%%Recorrido por todo el arreglo

if Topo(x)>0

RAL(x)=0.3086*Topo(x);%%%Respuesta en mGal

end

end

toc

disp('Cálculo de Reducción de Aire Libre finalizado');

93

disp(' ');

%%%Reducción por Placa de Bouguer

RPB=zeros(FilCol(1),FilCol(2));%%%Matriz a calcular

for x=1:(FilCol(1)*FilCol(2))%%%Recorrido por todo el arreglo

if Topo(x)>0

RPB(x)=-0.1119*Topo(x);%%%Respuesta en mGal

else

RPB(x)=-0.0690*Topo(x);%%%Respuesta en mGal

end

end

toc

disp('Cálculo de Reducción por Placa de Bouguer finalizado');

disp(' ');

%%%Reducciones por Topografía e Isostasia

RTo=zeros(FilCol(1),FilCol(2));%%%Matriz de Reducción por Topografía

RIs=zeros(FilCol(1),FilCol(2));%%%Matriz de Reducción por Isostasia

KKK=6.6742*(10^-11);%en (m^3)/(Kg s^2)

rho=2670.0;%en Kg/m^3

t=30000.0;%en Km

for i = 195:FilCol(1)-195

for j = 195:FilCol(2)-195

DeltaAiSumT=0.0;%Auxiliar para el cálculo de la reducción por terreno

DeltaAiSumI=0.0;%Auxiliar para el cálculo de la reducción por isostasia

%%%Cálculo para el primer compartimento:

a1=0;

a2=auxDist(1);

%%%Corrección por terreno

if Topo(i,j)>0

%Para el primer compartimento, se asume a1=0, b=0, c=0 y n=1

DeltaAiSumT=a2;

end

%%%Corrección por Isostasia

if Topo(i,j)>=0

bI=4.45*Topo(i,j);

%%%debido a que la zona y el punto de interés tienen la misma

%altura...

cI=t+5.45*Topo(i,j);

else

bI=-2.73*Topo(i,j);

cI=t;

DeltaAiSumI=-(sqrt(a2^2.+(cI-bI)^2.)-sqrt(a1^2.+(cI-bI)^2.)-

sqrt(a2^2.+cI^2.)+sqrt(a1^2.+cI^2.));%%%Corresponde a (-A1)

%%%Constantes para el cálculo de A2

bI=-Topo(i,j);

cI=bI;

end

DeltaAiSumI=DeltaAiSumI+(sqrt(a2^2.+(cI-bI)^2.)-sqrt(a1^2.+(cI-bI)^2.)-

sqrt(a2^2.+cI^2.)+sqrt(a1^2.+cI^2.));

%%%Cálculo para los demás compartimentos

E=1;

for W=2:185

if W>aux1(E)+aux2(E)

E=E+1.0;

end

a1=auxDist(E);

a2=auxDist(E+1);

n=aux2(E);

%%%Corrección por terreno

if Topo(i,j)>0

if Topo(i,j)>=Correc(i,j,W)

bT=Correc(i,j,W)-Topo(i,j);

cT=0;

else

bT=Topo(i,j)-Correc(i,j,W);

cT=bT;

end

94

DeltaAiSumT=DeltaAiSumT+((1./n)*(sqrt(a2^2.+(cT-bT)^2.)-sqrt(a1^2.+(cT-

bT)^2.)-sqrt(a2^2.+cT^2.)+sqrt(a1^2.+cT^2.)));

end

%%%Corrección por Isostasia

if Correc(i,j,W)>=0

bI=4.45*Correc(i,j,W);

cI=Correc(i,j,W)+t+bI;

else

bI=-2.73*Correc(i,j,W);

cI=t;

%%%Corresponde a (-A1)

DeltaAiSumI=DeltaAiSumI+((1./n)*(sqrt(a2^2.+(cI-bI)^2.)-sqrt(a1^2.+(cI-

bI)^2.)-sqrt(a2^2.+cI^2.)+sqrt(a1^2.+cI^2.)));

%%%Constantes para el cálculo de A2

bI=-Correc(i,j,W);

cI=bI;

end

DeltaAiSumI=DeltaAiSumI+((1/n)*(sqrt(a2^2+(cI-bI)^2)-sqrt(a1^2+(cI-bI)^2)-

sqrt(a2^2+cI^2)+sqrt(a1^2+cI^2)));

end

RTo(i,j)=2.0*pi*KKK*rho*DeltaAiSumT;%%%Respuesta en mGal

RIs(i,j)=2.0*pi*KKK*rho*DeltaAiSumI;%%%Respuesta en mGal

end

end

toc

disp('Cálculo de Reducciones por Topografía e Isostasia finalizado');

disp(' ');

%%%Importar archivo TIFF de gravedad

[Grav, R2] = geotiffread('ColombiaAAL_Kri.tif');

%%%Obtención de Anomalías Isostáticas de Gravedad

AIG=Grav+RPB+RTo+RIs;%La reducción por aire libre ya se encuentra implementada en los datos

de gravedad

toc

disp('Cálculo de Anomalías Isostáticas de Gravedad finalizado');

%%%Almacenamiento de las matrices resultantes en archivos planos

dlmwrite('Compartimentos.dat',Correc);

dlmwrite('ReducFreeAir.dat',RAL);

dlmwrite('ReducBougPlate.dat',RPB);

dlmwrite('ReducTerrain.dat',RTo);

dlmwrite('ReducIsostatic.dat',RIs);

dlmwrite('AnomIsostatic.dat',AIG);

%%%Extracción de la información geográfica de la imagen original

info = geotiffinfo('ColombiaTopo_Kri.tif');

%%%Almacenamiento de las imágenes resultantes en formato geotiff

geotiffwrite('ReducFreeAir.tif', RAL, R1,'GeoKeyDirectoryTag',

info.GeoTIFFTags.GeoKeyDirectoryTag);

geotiffwrite('ReducBougPlate.tif', RPB, R1,'GeoKeyDirectoryTag',

info.GeoTIFFTags.GeoKeyDirectoryTag);

geotiffwrite('ReducTerrain.tif', RTo, R1,'GeoKeyDirectoryTag',

info.GeoTIFFTags.GeoKeyDirectoryTag);

geotiffwrite('ReducIsostatic.tif', RIs, R1,'GeoKeyDirectoryTag',

info.GeoTIFFTags.GeoKeyDirectoryTag);

geotiffwrite('AnomIsostatic.tif', AIG, R1,'GeoKeyDirectoryTag',

info.GeoTIFFTags.GeoKeyDirectoryTag);

toc

disp('Resultados almacenados en el disco: Formatos .dat y geotiff');

disp(' ');

disp('Tiempo total de ejecución');toc

95

10.4. Código compilado en R ####################################################################### ### PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE ### ### INGENIERO CATASTRAL Y GEODESTA ### ### ### ### MODELADO ESTADÍSTICO ESPACIAL DE LOS EVENTOS SÍSMICOS OCURRIDOS ### ### EN COLOMBIA ENTRE 2005 Y 2015 USANDO COVARIABLES DESCRIPTIVAS ### ### DE LA DINÁMICA LITOSFÉRICA TERRESTRE ### ### ### ### Autores: Miguel Ángel Izquierdo Pérez 20101025051 ### ### Diana Alexandra Rodríguez Miranda 20101025086 ### ### ### ### Docente Director: Dr. Carlos Eduardo Melo Martinez ### ### Docente Co-director: MSc. Andrés Cárdenas Contreras ### ####################################################################### ####################################################################### ### Líneas de código compiladas en el software estadístico libre R ### ####################################################################### ###Establecer ruta de trabajo setwd("D:/_Trabajo de Grado_") ####################################################################### ### Importar información espacial ### ####################################################################### ###Importar información de archivos .shp require(maptools) #Librería: datos vectoriales #Tipo punto... Sismos=readShapePoints("SHP Archivos/ColombiaSismos.shp") Volcanes=readShapePoints("SHP Archivos/ColombiaVolcanes.shp") #Tipo línea... GF_LatLeft = readShapeLines("SHP Archivos/GF_LatLeft.shp") GF_LatRight = readShapeLines("SHP Archivos/GF_LatRight.shp") GF_Normal = readShapeLines("SHP Archivos/GF_Normal.shp") GF_Reverse = readShapeLines("SHP Archivos/GF_Reverse.shp") PB_Lateral = readShapeLines("SHP Archivos/PB_Lat.shp") PB_Ridges = readShapeLines("SHP Archivos/PB_Ridges.shp") PB_Trench = readShapeLines("SHP Archivos/PB_Trench.shp") #Tipo polígono... Ventana=readShapePoly("SHP Archivos/ColombiaLimites.shp") ###Importar información de archivos .tif require(rgdal) #Librería: datos raster AnMag=readGDAL("TIFF Archivos/ColombiaAnMag_Kri.tif") Topo=readGDAL("TIFF Archivos/ColombiaTopo_Kri.tif") AnIso=readGDAL("TIFF Archivos/AnomIsostatic.tif") ####################################################################### ### Transformación de la información espacial ### ####################################################################### ###Transformar información: #...a "polígono espacial" de <<sp>> library(sp) #Librería: datos espaciales SP <- as(Ventana, "SpatialPolygons") #...a tipos ppp (puntos) y psp (líneas) de <<spatstat>> require(spatstat) #Librería: procesos puntuales pSisAux <- as(Sismos, "ppp") pSismos <- ppp(pSisAux$x,pSisAux$y,window=as(SP,"owin"),marks=pSisAux$marks, unitname=c("metro","metros")) pVolcanes <- as(Volcanes, "ppp") fallasLL <- as(GF_LatLeft, "psp") fallasLR <- as(GF_LatRight, "psp") fallasNo <- as(GF_Normal, "psp") fallasRe <- as(GF_Reverse, "psp")

96

bordesLa <- as(PB_Lateral, "psp") bordesRi <- as(PB_Ridges, "psp") bordesTr <- as(PB_Trench, "psp") #...a tipo imagen de <<spatstat>> AAMM=as.im(AnMag) MSNM=as.im(Topo) AIG=as.im(AnIso) ####################################################################### ### Generación de variables matemáticas ### ####################################################################### ###Calcular función bidimensional de distancia para las variables Volc <- distfun(pVolcanes) GFLL <- distfun(fallasLL) GFLR <- distfun(fallasLR) GFNo <- distfun(fallasNo) GFRe <- distfun(fallasRe) PBLa <- distfun(bordesLa) PBRi <- distfun(bordesRi) PBTr <- distfun(bordesTr) ###Guardar imágenes de las variables dibujadas en la ventana de estudio colfunc <- colorRampPalette(c("black", "blue", "lightgrey", "white"))#Rampa de color: de negro a blanco png('_Variables R/_Sism.png',width = 1024, height = 1024) plot(pSismos, which.marks="Magnitud", clipwin=as(SP, "owin"), legend=FALSE, main= "Sismos: 2005-2015") dev.off() ### png('_Variables R/_Volc.png') plot(Volc, W=as(SP, "owin"), col=colfunc, main= "Distancia: Volcán más cercano") dev.off() ### png('_Variables R/_GFLL.png') plot(GFLL, W=as(SP, "owin"), col=colfunc, main= "Distancia: Falla geológica sinistral más cercana") dev.off() ### png('_Variables R/_GFLR.png') plot(GFLR, W=as(SP, "owin"), col=colfunc, main= "Distancia: Falla geológica dextral más cercana") dev.off() ### png('_Variables R/_GFNo.png') plot(GFNo, W=as(SP, "owin"), col=colfunc, main= "Distancia: Falla geológica normal más cercana") dev.off() ### png('_Variables R/_GFRe.png') plot(GFRe, W=as(SP, "owin"), col=colfunc, main= "Distancia: Falla geológica inversa más cercana") dev.off() ### png('_Variables R/_PBLa.png') plot(PBLa, W=as(SP, "owin"), col=colfunc, main= "Distancia: Borde de desgarre más cercano") dev.off() ### png('_Variables R/_PBRi.png') plot(PBRi, W=as(SP, "owin"), col=colfunc, main= "Distancia: Borde divergente más cercano") dev.off() ### png('_Variables R/_PBTr.png') plot(PBTr, W=as(SP, "owin"), col=colfunc, main= "Distancia: Borde convergente más cercano") dev.off() ### png('_Variables R/_AnMg.png') plot(AAMM, col=colfunc, clipwin=as(SP, "owin"), main= "Anomalías Magnéticas") dev.off() ### png('_Variables R/_Topo.png') plot(MSNM, col=colfunc, clipwin=as(SP, "owin"), main= "Relieve") dev.off() ### png('_Variables R/_AnIs.png') plot(AIG, col=colfunc, clipwin=as(SP, "owin"), main= "Anomalías Isostáticas") dev.off() ### ####################################################################### ### Estadística de patrones puntuales espaciales ### ####################################################################### ###Conteo por cuadrantes (método Chi cuadrado) Cuad1 <- quadratcount(pSismos,ny=6,nx=4)

97

png('_Variables R/mCuadCount.png',width = 1024, height = 1024, pointsize = 20) plot(Cuad1,cex=1,main="Conteo por Cuadrantes",col="blue") dev.off() ### Cuad1 ###Test de conteo de cuadrantes (Chi cuadrado) Cuad2 <- quadrat.test(pSismos,ny=6,nx=4) png('_Variables R/mCuadCountTest.png',width = 1024, height = 1024, pointsize = 20) plot(Cuad2, cex= 0.5, main="Test de Conteo por Cuadrantes",col="blue") dev.off() ### png('_Variables R/mCuadCountTest_.png',width = 2048, height = 2048, pointsize = 40) op=par(mfrow=c(2,2)) plot(Cuad1,main="",cex=0.3) plot(Cuad2$observed,Cuad2$expected,xlab="Valores observados",ylab="Valores esperados") plot(Cuad2$observed,Cuad2$residuals,xlab="Valores observados",ylab="Valores residuales") plot(Cuad2$expected,Cuad2$residuals,xlab="Valores esperados",ylab="Valores residuales") par(op) dev.off() ### Cuad2 #Nota:_En cada cuadrante se muestran los conteos observados #______(izquierda), esperados (derecha) y residuales de #______Pearson (abajo). ###Funciones F, G y K f_F <- envelope(pSismos,fun="Fest",nsim=999,nrank=25) f_G <- envelope(pSismos,fun="Gest",nsim=999,nrank=25) f_K <- envelope(pSisAux,fun="Kest",nsim=999,nrank=25)#Se utiliza pSisAux para evitar errores f_L <- envelope(pSisAux,fun="Lest",nsim=999,nrank=25)#Se utiliza pSisAux para evitar errores f_J <- envelope(pSismos,fun="Jest",nsim=999,nrank=25) #Nota:_nrank corresponde a un número entero el cual, junto con el #______número de simulaciones, determina la significancia de la #______estimación, teniendo que significancia = (2 x nrank) / (nsim + 1). png('_Variables R/f_F.png',width = 1024, height = 1024, pointsize = 20) plot(f_F,xlab="r",ylab="Fhat(r)",cex.lab=1.6,cex.axis=1.5,main="Función F",cex.main=1.5) dev.off() ### png('_Variables R/f_G.png',width = 1024, height = 1024, pointsize = 20) plot(f_G,xlab="r",ylab="Ghat(r)",cex.lab=1.6,cex.axis=1.5,main="Función G",cex.main=1.5) dev.off() ### png('_Variables R/f_K.png',width = 1024, height = 1024, pointsize = 20) plot(f_K,xlab="r",ylab="Khat(r)",cex.lab=1.6,cex.axis=1.5,main="Función K",cex.main=1.5) dev.off() ### png('_Variables R/f_L.png',width = 1024, height = 1024, pointsize = 20) plot(f_L,xlab="r",ylab="Lhat(r)",cex.lab=1.6,cex.axis=1.5,main="Función L",cex.main=1.5) dev.off() ### png('_Variables R/f_J.png',width = 1024, height = 1024, pointsize = 20) plot(f_J,xlab="r",ylab="Jhat(r)",cex.lab=1.6,cex.axis=1.5,main="Función J",cex.main=1.5) dev.off() ### f_F f_G f_K f_L f_J ####################################################################### ### Modelado de la información de Sismos ### ####################################################################### pSismosUM <- unmark(pSismos)#Se omiten las marcas para modelado de la densidad ###Función de densidad Kernel SIGMA <- bw.ppl(pSismosUM) #estimación del ancho de banda apropiado KERNEL <- density(pSismosUM, sigma=SIGMA, positive=TRUE, eps=1000) png('_Variables R/fDensidad.png',width = 2048, height = 2048, pointsize = 30) op=par(mfrow=c(2,2)) plot(KERNEL, col=colfunc, main=paste("Función de Densidad - Sigma=",SIGMA)) plot(SIGMA) contour(KERNEL, main="", nlevels = 100) plot(as(SP, "owin"),add=T) persp(KERNEL, main="")

98

par(op) dev.off() writeGDAL(as(KERNEL, "SpatialGridDataFrame"), "TIFF Archivos/DensidadKernel.tiff") ###Funciones de Densidad por covariable rhoAIG <- rhohat(pSismosUM,AIG) rhoMSNM <- rhohat(pSismosUM,MSNM) rhoAAMM <- rhohat(pSismosUM,AAMM) rhoPBTr <- rhohat(pSismosUM,PBTr) rhoPBRi <- rhohat(pSismosUM,PBRi) rhoPBLa <- rhohat(pSismosUM,PBLa) rhoGFRe <- rhohat(pSismosUM,GFRe) rhoGFNo <- rhohat(pSismosUM,GFNo) rhoGFLR <- rhohat(pSismosUM,GFLR) rhoGFLL <- rhohat(pSismosUM,GFLL) rhoVolc <- rhohat(pSismosUM,Volc) png('_Variables R/rhoAIG.png') plot(rhoAIG, main="Función de Densidad: Anomalías Isostáticas") dev.off() ### png('_Variables R/rhoMSNM.png') plot(rhoMSNM, main="Función de Densidad: Relieve") dev.off() ### png('_Variables R/rhoAAMM.png') plot(rhoAAMM, main="Función de Densidad: Anomalías Magnéticas") dev.off() ### png('_Variables R/rhoPBTr.png') plot(rhoPBTr, main="Función de Densidad: Bordes Convergentes") dev.off() ### png('_Variables R/rhoPBRi.png') plot(rhoPBRi, main="Función de Densidad: Bordes Divergente") dev.off() ### png('_Variables R/rhoPBLa.png') plot(rhoPBLa, main="Función de Densidad: Bordes de Desgarre") dev.off() ### png('_Variables R/rhoGFRe.png') plot(rhoGFRe, main="Función de Densidad: Fallas Inversas") dev.off() ### png('_Variables R/rhoGFNo.png') plot(rhoGFNo, main="Función de Densidad: Fallas Normales") dev.off() ### png('_Variables R/rhoGFLR.png') plot(rhoGFLR, main="Función de Densidad: Fallas Dextrales") dev.off() ### png('_Variables R/rhoGFLL.png') plot(rhoGFLL, main="Función de Densidad: Fallas Sinistrales") dev.off() ### png('_Variables R/rhoVolc.png') plot(rhoVolc, main="Función de Densidad: Volcanes") dev.off() ### ###Modelos por covariable LambdaAIG <- predict(rhoAIG) LambdaMSNM <- predict(rhoMSNM) LambdaAAMM <- predict(rhoAAMM) LambdaPBTr <- predict(rhoPBTr) LambdaPBRi <- predict(rhoPBRi) LambdaPBLa <- predict(rhoPBLa) LambdaGFRe <- predict(rhoGFRe) LambdaGFNo <- predict(rhoGFNo) LambdaGFLR <- predict(rhoGFLR) LambdaGFLL <- predict(rhoGFLL) LambdaVolc <- predict(rhoVolc) #Resultados png('_Variables R/rhoAIG_lambda.png') plot(LambdaAIG, col=colfunc, main="Densidad: Anomalías Isostáticas") dev.off() ### png('_Variables R/rhoMSNM_lambda.png') plot(LambdaMSNM, col=colfunc, main="Densidad: Relieve") dev.off() ###

99

png('_Variables R/rhoAAMM_lambda.png') plot(LambdaAAMM, col=colfunc, main="Densidad: Anomalías Magnéticas") dev.off() ### png('_Variables R/rhoPBTr_lambda.png') plot(LambdaPBTr, col=colfunc, main="Densidad: Bordes Convergentes") dev.off() ### png('_Variables R/rhoPBRi_lambda.png') plot(LambdaPBRi, col=colfunc, main="Densidad: Bordes Divergente") dev.off() ### png('_Variables R/rhoPBLa_lambda.png') plot(LambdaPBLa, col=colfunc, main="Densidad: Bordes de Desgarre") dev.off() ### png('_Variables R/rhoGFRe_lambda.png') plot(LambdaGFRe, col=colfunc, main="Densidad: Fallas Inversas") dev.off() ### png('_Variables R/rhoGFNo_lambda.png') plot(LambdaGFNo, col=colfunc, main="Densidad: Fallas Normales") dev.off() ### png('_Variables R/rhoGFLR_lambda.png') plot(LambdaGFLR, col=colfunc, main="Densidad: Fallas Dextrales") dev.off() ### png('_Variables R/rhoGFLL_lambda.png') plot(LambdaGFLL, col=colfunc, main="Densidad: Fallas Sinistrales") dev.off() ### png('_Variables R/rhoVolc_lambda.png') plot(LambdaVolc, col=colfunc, main="Densidad: Volcanes") dev.off() ### write.table(rhoAIG , "TXT Archivos/rhoAIG.csv", sep=";", dec = ",") write.table(rhoMSNM, "TXT Archivos/rhoMSNM.csv", sep=";", dec = ",") write.table(rhoAAMM, "TXT Archivos/rhoAAMM.csv", sep=";", dec = ",") write.table(rhoPBTr, "TXT Archivos/rhoPBTr.csv", sep=";", dec = ",") write.table(rhoPBRi, "TXT Archivos/rhoPBRi.csv", sep=";", dec = ",") write.table(rhoPBLa, "TXT Archivos/rhoPBLa.csv", sep=";", dec = ",") write.table(rhoGFRe, "TXT Archivos/rhoGFRe.csv", sep=";", dec = ",") write.table(rhoGFNo, "TXT Archivos/rhoGFNo.csv", sep=";", dec = ",") write.table(rhoGFLR, "TXT Archivos/rhoGFLR.csv", sep=";", dec = ",") write.table(rhoGFLL, "TXT Archivos/rhoGFLL.csv", sep=";", dec = ",") write.table(rhoVolc, "TXT Archivos/rhoVolc.csv", sep=";", dec = ",") rhoAIG rhoMSNM rhoAAMM rhoPBTr rhoPBRi rhoPBLa rhoGFRe rhoGFNo rhoGFLR rhoGFLL rhoVolc ###Modelo inhomogéneo de Poisson covar <- list(aig=AIG,msnm=MSNM,am=AAMM) #Covariables que no son de tipo funcional Modelo1 <- ppm(pSismosUM, ~x+y+aig+msnm+am+PBTr+PBRi+PBLa+GFRe+GFNo+GFLR+GFLL+Volc, covariates=covar) #Resultados PredM1 <- predict(Modelo1, eps=1000) png('_Variables R/Modelo1.png',width = 1024, height = 1024) plot(PredM1, col=colfunc, main="Función de densidad puntual: Modelo 1") dev.off() ### writeGDAL(as(PredM1, "SpatialGridDataFrame"), "TIFF Archivos/DensidadModelo1.tiff") summary(Modelo1) anova(Modelo1,test="LRT") AIC(Modelo1) pseudoR2(Modelo1) #Residuales del modelo inhomogéneo de Poisson Resid1 <- Smooth(residuals(Modelo1), sigma=SIGMA) #SIGMA=8604

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png('_Variables R/Modelo1Residuos.png',width = 2048, height = 1024, pointsize = 20) op=par(mfrow=c(1,2)) plot(Resid1, col=colfunc, main="Residuales: Modelo 1") persp(Resid1, main="") par(op) dev.off() ### #Bondad del ajuste del modelo inhomogéneo de Poisson CuadMod1 <- quadrat.test(Modelo1,ny=6,nx=4) png('_Variables R/Modelo1CuadCountTest.png',width = 1024, height = 1024, pointsize = 20) plot(CuadMod1, main="Test de Conteo por Cuadrantes: Modelo 1",col="blue") dev.off() CuadMod1 #Simulación del modelo inhomogéneo de Poisson SimuModelo1 <- simulate(Modelo1) png('_Variables R/Modelo1Simulacion.png',width = 1024, height = 1024) plot(SimuModelo1, pch=".", main="Simulación: Modelo 1") dev.off() ### Modelo1step <- step(Modelo1) #calcular el modelo paso a paso ###Modelo inhomogéneo de Poisson: Covariables Transformadas/Corteza Continental VentanaCC=as(as(readShapePoly("SHP Archivos/ColombiaCC.shp"), "SpatialPolygons"),"owin")#ventana continental pSisCC <- ppp(pSisAux$x,pSisAux$y,window=VentanaCC,unitname=c("metro","metros"))#patrón continental rhoAIG_CC <- rhohat(pSisCC,AIG,method="transform") rhoMSNM_CC <- rhohat(pSisCC,MSNM,method="transform") rhoAAMM_CC <- rhohat(pSisCC,AAMM,method="transform") rhoGFRe_CC <- rhohat(pSisCC,GFRe,method="transform") rhoGFNo_CC <- rhohat(pSisCC,GFNo,method="transform") rhoGFLR_CC <- rhohat(pSisCC,GFLR,method="transform") rhoGFLL_CC <- rhohat(pSisCC,GFLL,method="transform") rhoVolc_CC <- rhohat(pSisCC,Volc,method="transform") png('_Variables R/rhoAIG_CC.png') plot(rhoAIG_CC, main="Func. Densidad: Anomalías Isostáticas (continentales)") dev.off() ### png('_Variables R/rhoMSNM_CC.png') plot(rhoMSNM_CC, main="Func. Densidad: Relieve (continental)") dev.off() ### png('_Variables R/rhoAAMM_CC.png') plot(rhoAAMM_CC, main="Func. Densidad: Anomalías Magnéticas (continentales)") dev.off() ### png('_Variables R/rhoGFRe_CC.png') plot(rhoGFRe_CC, main="Func. Densidad: Fallas Inversas (continentales)") dev.off() ### png('_Variables R/rhoGFNo_CC.png') plot(rhoGFNo_CC, main="Func. Densidad: Fallas Normales (continentales)") dev.off() ### png('_Variables R/rhoGFLR_CC.png') plot(rhoGFLR_CC, main="Func. Densidad: Fallas Dextrales (continentales)") dev.off() ### png('_Variables R/rhoGFLL_CC.png') plot(rhoGFLL_CC, main="Func. Densidad: Fallas Sinistrales (continentales)") dev.off() ### png('_Variables R/rhoVolc_CC.png') plot(rhoVolc_CC, main="Func. Densidad: Volcanes (continentales)") dev.off() ### Modelo2CC <- ppm(pSisCC, ~polynom(aig,2)+polynom(msnm,2)+polynom(am,2)+GFRe+GFNo+GFLR+GFLL+Volc, covariates=covar) anova(Modelo2CC,test="LRT") #Segunda versión Modelo2CC_v2 <- ppm(pSisCC, ~polynom(aig,2)+polynom(msnm,2)+polynom(am,2)+GFRe+GFNo+GFLR+GFLL, covariates=covar)

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#Resultados PredM2CC <- predict(Modelo2CC_v2, eps=1000) png('_Variables R/Modelo2CC.png',width = 1024, height = 1024) plot(PredM2CC, col=colfunc, main="Función de densidad puntual: Modelo 2") dev.off() ### writeGDAL(as(PredM2CC, "SpatialGridDataFrame"), "TIFF Archivos/DensidadModelo2CO.tiff") summary(Modelo2CC_v2) anova(Modelo2CC_v2,test="LRT") AIC(Modelo2CC_v2) #Residuales del segundo modelo inhomogéneo de Poisson Resid2CC <- Smooth(residuals(Modelo2CC_v2), sigma=SIGMA) #SIGMA=8604 png('_Variables R/Modelo2CCResiduos.png',width = 2048, height = 1024, pointsize = 20) op=par(mfrow=c(1,2)) plot(Resid2CC, col=colfunc, main="Residuales: Modelo 2") persp(Resid2CC, main="") par(op) dev.off() ### #Bondad del ajuste del segundo modelo inhomogéneo de Poisson CuadMod2CC <- quadrat.test(Modelo2CC_v2,ny=6,nx=4) png('_Variables R/Modelo2CCCuadCountTest.png',width = 1024, height = 1024, pointsize = 20) plot(CuadMod2CC, main="Test de Conteo por Cuadrantes: Modelo 2",col="blue") dev.off() CuadMod2CC #Simulación del segundo modelo inhomogéneo de Poisson SimuModelo2CC <- simulate(Modelo2CC_v2) png('_Variables R/Modelo2CCSimulacion.png',width = 1024, height = 1024) plot(SimuModelo2CC, pch=".", main="Simulación: Modelo 2") dev.off() ### Modelo2CCstep <- step(Modelo2CC_v2,direction="both") ###Modelo inhomogéneo de Poisson: Covariables Transformadas/Corteza Oceánica VentanaCO=as(as(readShapePoly("SHP Archivos/ColombiaCO.shp"), "SpatialPolygons"),"owin")#ventana oceánica pSisCO <- ppp(pSisAux$x,pSisAux$y,window=VentanaCO,unitname=c("metro","metros"))#patrón oceánico rhoAIG_CO <- rhohat(pSisCO,AIG,method="transform") rhoMSNM_CO <- rhohat(pSisCO,MSNM,method="transform") rhoAAMM_CO <- rhohat(pSisCO,AAMM,method="transform") rhoGFNo_CO <- rhohat(pSisCO,GFNo,method="transform") rhoPBTr_CO <- rhohat(pSisCO,PBTr,method="transform") rhoPBRi_CO <- rhohat(pSisCO,PBRi,method="transform") rhoPBLa_CO <- rhohat(pSisCO,PBLa,method="transform") png('_Variables R/rhoAIG_CO.png') plot(rhoAIG_CO, main="Func. Densidad: Anomalías Isostáticas (oceánicas)") dev.off() ### png('_Variables R/rhoMSNM_CO.png') plot(rhoMSNM_CO, main="Func. Densidad: Relieve (oceánicas)") dev.off() ### png('_Variables R/rhoAAMM_CO.png') plot(rhoAAMM_CO, main="Func. Densidad: Anomalías Magnéticas (oceánicas)") dev.off() ### png('_Variables R/rhoGFNo_CO.png') plot(rhoGFNo_CO, main="Func. Densidad: Fallas Normales (oceánicas)") dev.off() ### png('_Variables R/rhoPBTr_CO.png') plot(rhoPBTr_CO, main="Func. Densidad: Bordes Convergentes (oceánicas)") dev.off() ### png('_Variables R/rhoPBRi_CO.png') plot(rhoPBRi_CO, main="Func. Densidad: Bordes Divergente (oceánicas)") dev.off() ### png('_Variables R/rhoPBLa_CO.png') plot(rhoPBLa_CO, main="Func. Densidad: Bordes de Desgarre (oceánicas)") dev.off() ###

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Modelo2CO <- ppm(pSisCO, ~aig+msnm+polynom(am,2)+PBTr+PBRi+PBLa+GFNo, covariates=covar) anova(Modelo2CO,test="LRT") #Segunda versión Modelo2CO_v2 <- ppm(pSisCO, ~aig+polynom(am,2)+PBTr+PBLa+GFNo, covariates=covar) #Resultados PredM2CO <- predict(Modelo2CO_v2, eps=1000) png('_Variables R/Modelo2CO.png',width = 1024, height = 1024) plot(PredM2CO, col=colfunc, main="Función de densidad puntual: Modelo 2") dev.off() ### writeGDAL(as(PredM2CO, "SpatialGridDataFrame"), "TIFF Archivos/DensidadModelo2CO.tiff") summary(Modelo2CO_v2) anova(Modelo2CO_v2,test="LRT") AIC(Modelo2CO_v2) #Residuales del segundo modelo inhomogéneo de Poisson Resid2CO <- Smooth(residuals(Modelo2CO_v2), sigma=SIGMA) #SIGMA=8604 png('_Variables R/Modelo2COResiduos.png',width = 2048, height = 1024, pointsize = 20) op=par(mfrow=c(1,2)) plot(Resid2CO, col=colfunc, main="Residuales: Modelo 2") persp(Resid2CO, main="") par(op) dev.off() ### #Bondad del ajuste del segundo modelo inhomogéneo de Poisson CuadMod2CO <- quadrat.test(Modelo2CO_v2,ny=5,nx=5) png('_Variables R/Modelo2COCuadCountTest.png',width = 1024, height = 1024, pointsize = 20) plot(CuadMod2CO, main="Test de Conteo por Cuadrantes: Modelo 2",col="blue") dev.off() CuadMod2CO #Simulación del segundo modelo inhomogéneo de Poisson SimuModelo2CO <- simulate(Modelo2CO_v2) png('_Variables R/Modelo2COSimulacion.png',width = 1024, height = 1024) plot(SimuModelo2CO, pch=".", main="Simulación: Modelo 2") dev.off() ### Modelo2COstep <- step(Modelo2CO_v2,direction="both") ###Nivel de ajuste de los modelos Modelo1CC <- ppm(pSisCC, ~aig+msnm+am+GFRe+GFNo+GFLR+GFLL, covariates=covar)#Modelo Auxiliar Modelo1CO <- ppm(pSisCO, ~aig+am+PBTr+PBLa+GFNo, covariates=covar)#Modelo Auxiliar pseudoR2(Modelo2CC_v2) pseudoR2(Modelo1CC) pseudoR2(Modelo2CO_v2) pseudoR2(Modelo1CO) pseudoR2(Modelo1) ####################################################################### ####################################################################### #######################################################################

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