Simulacin numrica de turbulencia a costos ms bajos: modelado de Regularizacin

Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes constituyen un excelente modelo matemtico de la turbulencia. Desafortunadamente, las simulaciones directas con los recursos computacionales disponibles se limitan a relativamente bajos nmeros de Reynolds, debido a las pequeas escamas casi innumerables producidos por el trmino de la conveccin no lineal. Por otra parte, consideramos regularizaciones del trmino convectivo que preservan la simetra y las propiedades de conservacin exactamente. Esto da a una clase de regularizaciones [Verstappen R. En restringir la produccin de pequeas escalas de movimiento en un flujo turbulento canal. Comput Fluidos 2008: 37; 887-97] que restringen la produccin de pequeas escalas de movimiento de una manera incondicionalmente estable. De esta manera, el nuevo conjunto de ecuaciones es dinmicamente menos complejo que las ecuaciones originales de Navier-Stokes, y por lo tanto ms susceptibles de ser resueltos numricamente. Se basa en un filtro lineal auto adjunto cuyo local de filtro de longitud se determina a partir de la exigencia de que vrtice de estiramiento debe ser detenido en la escala establecida por la red [Trias FX, Verstappen RWCP, Gorobets A, M Soria, Oliva A. Parmetro sin simetra de preservacin, modelado de regularizacin de una cavidad turbulenta calentado diferencialmente. Comput Fluidos 2010: 39, 1815-31]. Para ello, se propone un nuevo criterio basado en los invariantes del tensor de deformaciones locales y probadas aqu.1. INTRODUCCINLos (NS) ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes forman excelente modelo matemtico para flujos turbulentos. En variables primitiva de las ecuaciones sontu CDU; uDu rp; r u = 0; 1donde u denota el campo de velocidad y p representa la presin.Los trminos convectivos y difusivos son, respectivamente, definidos por CDU; vu rv y Du Re1 Du donde Re es el nmero de Reynolds.Por desgracia, los intentos de llevar a cabo simulaciones numricas directas (DNS) con los recursos computacionales disponibles y mtodos numricos se limitan a un nmero relativamente bajo de Reynolds. En cuanto a los algoritmos numricos, reducciones de costos pueden ser alcanzado por una o ms de las siguientes cuestiones: (i) la disminucin el nmero de puntos de cuadrcula usando esquemas de alto orden [1,2], (ii) usando grandes pasos de tiempo [3] o (iii) reducir el coste computacional por iteracin; todo ello sin afectar la calidad de la solucin numrica.En cuanto al tercer punto, en nuestro trabajo anterior [4], nos hemos centrado en el solucionador paralelo de poisson mediante una estrategia de paralelizacion hibrida. Debido a la naturaleza no local de su solucin, este sistema elptico es el mas largo y difcil de paralelizar parte del cdigo. El solucionador de Poisson es restringido a problemas con la direccin peridica uniforme. Es una combinacin de un gradiente preacondicionado conjugado (PCG) y una diagonalizacin de Fourier. Este ltimo se descompone el sistema original en un conjunto de sistemas 2D independientes entre s que se resuelven por medio del algoritmo de PCG. La versin anterior [5] fue concebido para un solo ncleo (tambin de doble ncleo) procesadores y por lo tanto, se utiliz el modelo de memoria distribuida con interfaz de paso de mensajes (MPI). La irrupcin de las arquitecturas multi-core motivado el uso de un MPI hbrido de dos niveles + OpenMP paralelizacin con el modelo de memoria compartida en el segundo nivel. Ventajas y detalles de implementacin para la paralelizacin OpenMP adicionales fueron presentados y discutidos en [4]. Experimentos numricos mostraron que, dentro de su gama de escalabilidad eficiente, el MPI de slo paralelizacin anterior se super ligeramente el enfoque MPI + OpenMP. Pero lo ms importante, la paralelizacin hbrido ha permitido mejorar significativamente la gama de escalabilidad eficiente. El solucionador ha sido probado con xito hasta 12.800 CPUs para mallas con un mximo de 109 puntos de la rejilla (ver Fig. 1) en la supercomputadora Lomonosov. Este nmero de ncleos de CPU fue mxima disponible en ese momento.Sin embargo, estimaciones basadas en los resultados presentados demostraron que este rango puede ser potencialmente se extenda hasta ms de 200.000 ncleos. En breve, el nmero total de ncleos de CPU dedica viene dada por P = Pyz? Px? Pt. Pyz es el nmero de subdominios MPI en las dos direcciones no peridicas. Aceleraciones variables solamente este nmero se muestran en la Fig. 1 (abajo). Px es el nmero de procesos MPI en la direccin-x peridica. En este caso, el esquema de comunicacin se basa en comunicaciones de grupo dentro reducidos 1D-grupos a lo largo de la direccin peridica. Aceleraciones para este nmero tambin se muestran en la Fig. 1, arriba. Por ltimo, Pt es el nmero de hilos OpenMP. Dado que la transformacin de Fourier se lleva a cabo por medio de un algoritmo de FFT, diferentes estrategias de paralelizacin se utilizan en espacios fsicos y espectrales. En el caso de OpenMP, un paralelismo basada en bucles se utiliza con la descomposicin a lo largo de una de las direcciones no peridicas cuando se trata con el espacio fsico mientras que en la descomposicin espacio espectral se realiza a lo largo de la direccin peridica. Para obtener ms informacin al lector en referencia a [4].1.1. La motivacin y el resumen de este trabajoA pesar de la potencia de clculo de rpido crecimiento que ofrecen los sistemas de supercomputacin de altas prestaciones modernas, simulaciones directas en altos nmeros de Reynolds no son factibles porque el trmino convectivo produce demasiadas escalas pertinentes de movimiento. Por lo tanto, se necesita una formulacin matemtica dinmicamente menos complejo. En la bsqueda de dicha formulacin, consideramos regularizaciones [6-8] de la no linealidad. El primer enfoque excepcional en este sentido se remonta a Leray [9]. El Navier-Stokes-un modelo tambin forma un ejemplo de modelado de regularizacin (ver [7,10], por ejemplo). Los mtodos de regularizacin bsicamente alteran los trminos convectivos para reducir la produccin de pequeas escalas de movimiento. Al hacerlo, Verstappen [11] propuso preservar exactamente las propiedades de simetra y conservacin de los trminos convectivos.Este requisito produjo una familia de modelos de regularizacin de simetra de preservacin: una nueva clase de regularizaciones que restringe la produccin de conveccin de escalas cada vez ms pequeas de movimiento de una manera incondicionalmente estable, lo que significa que la velocidad no puede volar en la norma de energa (en 2D tambin: enstrofa-norma). En nuestros trabajos anteriores, nos limitamos a la aproximacin C4: el trmino convectivoen el NS Ec. (1) se sustituye entonces por el siguiente OD 4 precisa aproximacin suave C4u?; V dada por C4u; ? V de CD u; ? V CD u?; v0 Cu0; ? V; 2donde el primer indica el residual del filtro, por ejemplo, u0 u? ? u, que puede ser evaluada de forma explcita y D? representa un filtro lineal simtrica con longitud de filtro?. Por lo tanto, las ecuaciones que rigen el resultado detu? C4u ?; u? Du? ? rp ?; r? u? 0; 3 donde los nombres de las variables se cambian de u y p para u? y p ?, respectivamente, hacer hincapi en que la solucin de (3) difiere de la de (1). Tenga en cuenta que la aproximacin C4 es tambin un operador antisimtrica como el operador de conveccin originales. Por lo tanto, las mismas invariantes no viscosos que las ecuaciones originales NS se conservan para el nuevo conjunto de derivadas parciales Ec. (3). El mtodo de regularizacin C4 ya se ha aplicado con xito a varias configuraciones [11,12].El resto del trabajo se organiza de la siguiente manera. En la siguiente seccin, se presenta un marco general para regularizaciones del trmino convectivo no lineal. Entonces, se obtiene una familia de cuarto orden precisa regularizacin simetra de preservacin. El nico ingrediente adicional es un filtro lineal autoadjunto cuyo local de filtro de longitud se determina a partir del requisito propuesto en [12], es decir, el mecanismo de vrtice de estiramiento debe ser detenido en la escala de cuadrcula ms pequeo. Esta cuestin se aborda en la Seccin 3, donde se presenta un nuevo y ms preciso criterio para limitar la contribucin plazo vrtice se extiende en el espacio fsico. Se basa en los invariantes del tensor de deformaciones locales y, desde un punto terico de vista, se puede demostrar que el mtodo es adecuado para ser aplicado a la pared flujos delimitadas. En la seccin 4, el rendimiento del mtodo propuesto se evala mediante la aplicacin de un flujo turbulento en una cavidad diferencialmente climatizada y un chorro que incide avin. Finalmente, los resultados relevantes se resumen y se dan las conclusiones.2. regularizaciones espectralmente-consistentes de ecuaciones NS2.1. Simetras y propiedades de conservacinPara mayor comodidad, se introduce primero la siguiente notacin:DDU; V du; Dv y CDU; v; WTH Cu; V; WTH; 4donde el producto interno de funciones se define de la forma habitual:Da; BTH RX una? bdx. El operador bilineal d (u, v) satisface las siguientes propiedadesDDU; V DDV; UTH y DDU; UTH 0; existencia, unicidad y la suavidad de soluciones regularizados pueden ser probadas. Tambin, para ?? 0, u? converge a una solucin dbil NS [13]. En este punto, hay dos parmetros que necesitan ser fijo; a saber, el cc constante y la longitud del filtro local?. El primero ser determinar la forma exacta del modelo de regularizacin mientras que el segundo ser definir el nuicleo de circonvolucin del filtro lineal. Al establecer cc = 1, Ccc 4 se convierte en el C4 regularizacin precisa de cuarto orden originalmente propuesto en [11]. Explorar otras formas de regularizacin est fuera del alcance de este documento y, por lo tanto, para el resto del documento cc = 1 y las propuestas de los resultados del modelo de regularizacin en la ecuacin.3. Restriccin de la produccin de las pequeas escalas de movimiento3.1. interacciones InterscalePara el estudio de las interacciones interscale con ms detalle, seguimos en el espacio espectral. La representacin espectral de la k-simo modo de Fourier del trmino convectivo en las ecuaciones NS est dada porCDU; uk iPkP pqk ^ UPQ ^ uq; 23donde P (k) = I? k kT / jkj2 denota el proyector en campos de velocidad-divergencia libre en el espacio espectral. Tomando la transformada de Fourier se obtiene la evolucin de cada modo de Fourier ^ ukt de u (t) para el eCu?; UTH approximation.1ddt 1Re jkj2 ^ uk iPkPpqk fbGk ~;? BGP; bGq ^ UPQ ^ vq Fk; donde bG k denota el orden k Fourier-modo del ncleo del filtro de convolucin, es decir, ^ uk bgk ^ uk. El modo de ^ uk interacta slo con aquellos cuyos modos de vectores de onda p y q formar un tringulo con el vector k. Por lo tanto, en comparacin con (23), cada interaccin tridica se multiplica por ~ fbGk; BGP; bGq P1i; j; m0aijm ~ FIJM bgk; BGP; BGQ; 25where ~ f ijmbGk; BGP; bGq UibGpUjbGqUmbGk andUlx 1; si 0; x; si l = 1: 26En el caso de la aproximacin C4 dada por (3) la funcin de amortiguacin resultados ~ f f4 bGk; pb; bq? ? bGkbp bGkbGq bGpbGq? 2bGkbGpbGq; 27 donde 0