Modelado de circuitos con ED de orden superior

JUAN CAMILO SACANAMBOY

UNIVERSIDAD ICESI

Elementos básicos de un circuito

1. Resistencias 2. Fuentes de voltaje 3. Capacitores 4. Inductores

Fuente: http://mantenimientolia7uaem.blogspot.com/2010/10/circuitos-electricos.html

Resistencia

• Oposición al flujo de la corriente • Unidad de medida ( Ohm - Ω ) • Comportamiento lineal

Fuente:http://electrof.galeon.com/pag5.htm

Fuentes de voltaje

• Generan diferencia de potencial para que circule corriente a través del circuito.

• Unidad de medida (Volts – V)

Fuente: http://mikrog.com/conceptos-basicos/parte-i/13-ique-es-una-fuente-de-voltaje.html

Capacitor

• Almacenan energía en forma de campo eléctrico • Períodos de carga y descarga • Almacenar y ceder energía eléctrica en los

períodos definidos. • Unidad de medida (Farad –F)

Fuente: http://www.ladyada.net/images/parts/1000uf.jpg

Inductor

• Almacenan energía en forma de campo magnético

• Se oponen a los cambios bruscos de la corriente

• Unidad de medida (Henrio – H)

• Fuente: http://www.clker.com/cliparts/6/9/a/8/1223615567190235753rsamurti_RSA_IEC_Inductor_Symbol-

1.svg.med.png

Partes de un circuito

1. Mallas

2. Nodos

Malla

• Camino cerrado en un circuito eléctrico

Fuente: http://www.danielmunoz.com.ar/blog/wp-content/uploads/2009/12/c16.JPG

En cada malla hay una corriente 𝐼𝑛 diferente

2 mallas 3 mallas

Nodo

• Punto donde 2 o más elementos tienen una conexión común

Nodos: (a, b, c, d, e, f)

Ley de Ohm

Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_jeU9YFb25fk/SYCmJix0OwI/AAAAAAAAAI8/_QzFWnWQWLU/s400/ley+de+ohm.gif

Leyes de Kirchhoff

• Ley de voltajes (LVK) Método de mallas

• Ley de corrientes (LCK) Método de nodos

LVK-Ley de Voltajes

• La suma de voltajes en una malla es igual a cero.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kirchhoff

Aplicando LVK y Ley de Ohm

• Calcular 𝑉𝑅1 (Voltaje en la resistencia R1), usando LVK y Ley de Ohm

Solución

i

−5𝑉 + 𝑉𝑅1 = 0 LVK −5𝑉 + (𝐼𝑅1 × 𝑅𝑅1) Ley de Ohm

−5𝑉 + 𝑖 × 1Ω = 0

𝑖 =5𝑉

1 Ω= 5 𝐴 Corriente de la malla

Voltaje en R1: 𝑽𝑹𝟏 = 𝐼𝑅1 × 𝑅𝑅1 = 5𝐴 × 1Ω = 5𝑉

¿Por qué se usan ED para modelar circuitos?

• Cuando se involucran componentes que no tienen un comportamiento lineal (Capacitores e inductores).

Sistema

• Sistemas LTI: Lineales e invariantes en el tiempo • h Función de transferencia!!

ℎ x y

Sistemas LTI • Lineales

a =constante

h x y

h ax ay

h x1 y1

h x2 y2

h x1+x2 y1+y2

Sistemas LTI

• Invariantes en el tiempo

– Comportamiento

– Características Fijos en el tiempo

ℎ(t) x(t) y(t)

ℎ(t) 𝑥(𝑡 − 𝑡0)) 𝑦(𝑡 − 𝑡0)

h(t) Función de transferencia!!

Circuito RLC

• Resistencia (R), Inductor (L), Capacitor(C)

• Filtrado de frecuencias (paso bajo, paso alto).

i

Fórmulas

Resistencia Capacitor Inductor

𝑉𝑅 = 𝐼𝑅 × 𝑅𝑅 𝑉𝐶 =

1

𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝐼𝑅 = 𝑉𝑅𝑅𝑅

𝐼𝐶 = 𝐶 𝑑𝑉

𝑑𝑡 𝐼𝐿 =

1

𝐿 𝑉 𝑡 𝑑𝑡

Resolver por mallas

−𝑥 𝑡 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝑅𝑖 + 𝑉𝑐 = 0

−𝑥 𝑡 + 1𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 10𝑖 + 𝑉𝑐 = 0

−𝑥 𝑡 +𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 10 𝑖 + 𝑦 𝑡 = 0 , 𝑉𝑐 = 𝑦(𝑡) Salida

La corriente es la misma en toda la malla:

𝑖 = 𝐼𝐶 = 𝐶𝑑𝑦

𝑑𝑡=𝑑𝑦

𝑑𝑡

i

Reemplazando −𝑥 𝑡 +

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 10

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑦 𝑡 = 0

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒕𝟐+ 𝟏𝟎

𝒅𝒚

𝒅𝒕+ 𝒚 𝒕 = 𝒙 𝒕

x(t) Entrada del sistema

i) Homogénea

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 10

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑦 𝑡 =0

Ecuación auxiliar 𝑠2 + 10𝑠 + 1 = 0

𝑟1 = −0.1 𝑟2 = −9.9

Solución del homogéneo

𝒚𝑪 𝒕 = 𝑪𝟏𝒆−𝟎.𝟏𝒕 + 𝑪𝟐𝒆

−𝟗.𝟗𝒕

ED que representa al sistema

Hallar la función de transferencia H(t)

• Método de variación de parámetros

– Ecuación 𝑑2𝑦

𝑑𝑥+ 𝑘

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ +𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥) , Raíces: 𝑦1 y 𝑦2

– Hallar solución particular 𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 , donde:

𝑢1′ =

𝑊1

𝑊 𝑢2

′ =𝑊2

𝑊

𝑊 = 𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2′

𝑊1 =0 𝑦2𝑓(𝑥) 𝑦2′

𝑊2 =𝑦1 0

𝑦1′ 𝑓(𝑥)

Hallar la función de transferencia H(t)

– Retomando: 𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 10

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡

𝑦1 𝑡 = 𝑒−0.1𝑡 𝑦2 𝑡 = 𝑒

−9.9𝑡

𝑊 = 𝑒−0.1𝑡 𝑒−9.9𝑡

−0.1𝑒−0.1𝑡 −9.9𝑒−9.9𝑡 = −9.9𝑒−𝑡 + 0.1𝑒−𝑡 = −9.8𝑒−𝑡

𝑊1 = 0 𝑒−9.9𝑡

𝑥(𝑡) −9.9𝑒−9.9𝑡= −𝑥(𝑡)𝑒−9.9𝑡

𝑊2 =𝑒−0.1𝑡 0

−0.1𝑒−0.1𝑡 𝑥(𝑡)= 𝑥(𝑡)𝑒−0.1𝑡

Hallar la función de transferencia H(t)

𝑢1′ =

−𝑥 𝑡 𝑒−9.9𝑡

−9.8𝑒−𝑡 𝑢2

′ = 𝑥 𝑡 𝑒−0.1𝑡

−9.8𝑒−𝑡

𝑢1 = −𝑥 𝑡 𝑒−9.9𝑡

−9.8𝑒−𝑡𝑑𝑡 𝑢2 =

𝑥 𝑡 𝑒−0.1𝑡

−9.8𝑒−𝑡𝑑𝑡

𝑢1 = −𝛿 𝑡 𝑒−9.9𝑡

−9.8𝑒−𝑡𝑑𝑡 𝑢2 =

𝛿 𝑡 𝑒−0.1𝑡

−9.8𝑒−𝑡𝑑𝑡

Se pone como entrada 𝑥(𝑡), a la función impulso

(también llamada función delta de dirac) 𝛿(𝑡)

Hallar la función de transferencia H(t)

• Función impulso δ(x)

𝛿 𝑥 = ∞, 𝑥 = 0

0, 𝑥 ≠ 0

Dato curioso: Al aplicar como entrada una función impulso a un sistema LTI, la salida del sistema es la función de transferencia h(t) !!!!

Hallar la función de transferencia H(t)

• Propiedad de la función impulso δ(t)

𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡0)

Hallar la función de transferencia H(t)

𝑢1 =1

9.8 𝑢2 =

−1

9.8

𝑦𝑝 =1

9.8𝑒−0.1𝑡 −

1

9.8𝑒−9.9𝑡

𝒉 𝒕 =𝟏

𝟗. 𝟖𝒆−𝟎.𝟏𝒕 −

𝟏

𝟗. 𝟖𝒆−𝟗.𝟗𝒕

Función de transferencia del sistema

Representación del sistema LTI

𝒉 𝒕 =𝟏

𝟗. 𝟖𝒆−𝟎.𝟏𝒕 −

𝟏

𝟗. 𝟖𝒆−𝟗.𝟗𝒕

x(t) y(t)

Salida de un sistema LTI

• Teniendo la función de transferencia ℎ(𝑡), se puede determinar cual es la salida del sistema 𝑦(𝑡) , dada una entrada 𝑥(𝑡) , por medio de la convolución

• Convolución

𝑟 𝑡 ∗ 𝑠 𝑡 = 𝑟 𝜏 𝑠 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏∞

−∞

Convolución de un pulso cuadrado (entrada) ante el impulso de un condensador

Salida del sistema

Fuente: Wikipedia

Salida de un sistema LTI

• Para calcular la salida 𝑦 𝑡 del sistema LTI: 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)

𝒉 𝒕 =𝟏

𝟗. 𝟖𝒆−𝟎.𝟏𝒕 −

𝟏

𝟗. 𝟖𝒆−𝟗.𝟗𝒕

x(t) y(t) = x(t) *h(t)

Calcular salida a partir de una entrada escalón unitario 𝝁(𝒕)

• Función escalón unitario

𝜇 𝑡 = 1, 𝑡 ≥ 0

0, 𝑡 < 0

Calcular salida a partir de una entrada escalón unitario 𝝁(𝒕)

• Hallando la salida 𝑦 𝑡

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 𝜇 𝑡 = 𝜇 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 𝜇 𝑡

Se añade una función escalón a la función de transferencia, para indicar que no se tenga en cuenta los valores donde t<0

Calcular salida a partir de una entrada escalón unitario 𝝁(𝒕)

𝑦 𝑡 = 𝜇 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝜇(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏

∞

−∞

La función 𝜇(𝑡), indica que sólo se debe calcular la integral a partir de 𝑡 ≥ 0 La función 𝜇 𝑡 − 𝜏 , indica que sólo se debe calcular la integral para 𝜏 ≤ 𝑡

𝜇 𝑡 − 𝜏 = 1 cuando 𝑡 − 𝜏 ≥ 0

Con esto, cambian los límites de integración.

Calcular salida a partir de una entrada escalón unitario 𝝁(𝒕)

𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

0

𝑦 𝑡 = 1

9.8𝑒−0.1(𝑡−𝜏) −

1

9.8𝑒−9.9 𝑡−𝜏 𝑑𝜏

𝑡

0

𝑦 𝑡 = 1

9.8𝑒−0.1𝑡𝑒0.1𝜏𝑑𝜏 −

1

9.8𝑒−9.9𝑡𝑒9.9𝜏𝑑𝜏

𝑡

0

𝑡

0

𝑦 𝑡 =1

9.8𝑒−0.1𝑡 𝑒0.1𝜏𝑑𝜏 −

1

9.8𝑒−9.9𝑡 𝑒9.9𝜏𝑑𝜏

𝑡

0

𝑡

0

𝑦 𝑡 =1

9.8𝑒−0.1𝑡 10𝑒0.1𝑡 − 10 −

1

9.8𝑒−9.9𝑡

1

9.9𝑒9.9𝑡 −

1

9.9

𝒚 𝒕 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟑𝒆−𝟗.𝟗𝒕 − 𝟏. 𝟎𝟐𝟎𝟒𝒆−𝟎.𝟏𝒕 + 𝟏. 𝟎𝟏𝟎𝟏

Salida del sistema ante una entrada escalón

Simulaciones

• Gráfica de la salida en MATLAB

Simulaciones

• Simulación del sistema en Simulink, usando la transformada de LaPlace para representar H(t)

Resumen

Herramienta Utilidad

Función impulso 𝛿(𝑡) Si 𝑥 𝑡 = 𝛿(𝑡) , 𝑦 𝑡 = ℎ(𝑡)

Convolución 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)

LaPlace Simplificación de operaciones

Método de variación de parámetros Hallar h(t)

ℎ(t) x(t) y(t)