Modelación Estocástica de Ciclones Tropicales

Medellín Colombia, Octubre 2008

ContextoTrayectorias de Huracanes que han pasado a 60 millas de la Costa Mexicana,

Fuente: NOAA (1980-2007)

México, por su posición geográfica está expuesto año con año a Huracanes que lo golpean tanto en la Costa del Océano Atlántico como en la del Pacífico, provocando serios daños tanto a la actividad agropecuaria como a la infraestructura.

Contexto

0 10,000 20,000 30,000 40,000 50,000 60,000 70,000

Huracan Hugo

Tifon Mireille

Huracan Charley

Huracan Rita

Huracan Wilma

Huracan Ivan

Terremoto Northridge

Ataque Terrorista WTC

Huracan Andrew

Huracan Katrina

Fuente: Elaboración Propia

Los 10 siniestros asegurados más caros: 1970-2006

Cifras en millones de USD de 2006

Fuente: Elaboración Propia con datos de Swiss Re (Sigma 2006)

Gasto Real del Fondo de Desastres Naturales en México(Millones de Pesos de 2006)

En los últimos años las tormentas tropicales (huracanes) han provocado grandes daños materiales tanto a nivel mundial como en México en particular, por lo cual se vuelve relevante modelar estocásticamente el fenómeno para cuantificar el daño potencial futuro que puede provocar.

Modelar estocásticamente el fenómeno relacionado con los ciclones tropicales (huracanes) tanto en el Océano Atlántico como en el Pacífico para cuantificar el impacto que puede tener en diferentes carteras (agrícola o de infraestructura).

A pesar de que se cuenta con una base de datos de muy buena calidad, el número de años de historia es limitado, por lo que el objetivo es simular un número muy grande de temporadas hipotéticas de tormentas para tener mayor precisión en la estimación de las pérdidas potenciales.

Motivación

Un ciclón tropical es un remolino gigantesco que cubre cientos de kilómetros cuadrados y tiene lugar, primordialmente, sobre los espacios oceánicos tropicales. Cuando las condiciones oceánicas y atmosféricas propician que se genere un ciclón tropical, la evolución y desarrollo de éste puede llegar a convertirlo en huracán.

Según su etapa de evolución se clasifican en:o Perturbación tropicalo Depresión tropicalo Tormenta tropicalo Huracán

Fuente: Servicio Meteorológico Nacional

Ciclón Tropical

Huracán (también hurakan, del Maya Jun Raqan “el de una pierna”) era el dios maya del viento, las tormentas y el fuego, y una de las deidades que participaron en la creación de la humanidad a partir del maíz. También fue el causante de “El Gran Diluvio” enviado para destruir a los primeros hombres que habían enfurecido a los dioses. Supuestamente vivió en las nubes sobre la inundada Tierra mientras la rehacía empujando el agua hasta las costas originales. Es representado como un ser de una sola pierna, con cola de serpiente y de aspecto reptiloide, porta un objeto humeante (posiblemente una antorcha) y una gran corona.

Huracán

1. La superficie caliente del mar, favorece la evaporación del agua océanica. Este vapor de agua tiende a ascender y se enfría. El enfriamiento provoca que el agua se condense y forme nubes.

2. Durante el proceso de condensación, calor es liberado. Este calor aumenta la temperatura del aire, y la hace más ligera, lo cual implica que ascenderá.

3. Mientras asciende, el aire superficial se mueve para tomar su lugar, que es el viento fuerte asociado a estos huracanes.

4. En principio, este movimiento debería ser en línea recta, pero como la tierra está en rotación, el movimiento tiene forma circular (fuerza de Coriolis).

Huracanes

Ojo: es la zona de relativa calma en el centro del huracán, con un diámetro de 20 a 50 km.

El radio del huracán es de varios cientos de kilómetros.

Estructura

La presión más baja se registra en el ojo del huracán. Mientras más baja es la presión, más intenso va a ser el movimiento de aire hacia el ojo, y el movimiento ascendente.La pared del ojo es la zona en que se registran los vientos más intensos. Con base en esta medición se asigna la magnitud.

Estructura

Los huracanes se forman a partir de una pequeña inestabilidad que genera un circulación con sentido de rotación contrario al de las manecillas del reloj. Este vórtice puede ir creciendo.

Las siguiente condiciones favorecen su formación e intensificación:1. Temperaturas en la superficie del mar relativamente altas:

Las altas temperaturas proveen la energía en forma de calor latente (evaporación) que se transforma en la energía cinética (movimiento) que provoca la circulación ciclónica.

2. Latitudes bajas3. Débil gradiente vertical de vientos

Ciclogénesis

El modelo se centra exclusivamente en el análisis de tormentas tropicales por que se basa en la información provista por el National Hurricane Center (fuente oficial), para ambos dominios (Atlántico y Pacífico) que contiene la siguientes variables:Fecha de ocurrencia del fenómeno e información subsecuente en lapsos de 6 horas, coordenadas, velocidad del viento y presión atmosférica.http://www.nhc.noaa.gov/

Modelación

Base de datosStormId Year YearId Name Month Day Time Lat Long Wind Press

1336 2005 11 KATRINA 8 27 0 24.6 -83.3 90 9591336 2005 11 KATRINA 8 27 6 24.4 -84 95 9501336 2005 11 KATRINA 8 27 12 24.4 -84.7 100 9421336 2005 11 KATRINA 8 27 18 24.5 -85.3 100 9481336 2005 11 KATRINA 8 28 0 24.8 -85.9 100 9411336 2005 11 KATRINA 8 28 6 25.2 -86.7 125 9301336 2005 11 KATRINA 8 28 12 25.7 -87.7 145 9091336 2005 11 KATRINA 8 28 18 26.3 -88.6 150 9021336 2005 11 KATRINA 8 29 0 27.2 -89.2 140 9051336 2005 11 KATRINA 8 29 6 28.2 -89.6 125 9131336 2005 11 KATRINA 8 29 12 29.5 -89.6 110 9231336 2005 11 KATRINA 8 29 18 31.1 -89.6 80 9481336 2005 11 KATRINA 8 30 0 32.6 -89.1 50 9611336 2005 11 KATRINA 8 30 6 34.1 -88.6 40 9781336 2005 11 KATRINA 8 30 12 35.6 -88 30 9851336 2005 11 KATRINA 8 30 18 37 -87 30 9901336 2005 11 KATRINA 8 31 0 38.6 -85.3 30 9941336 2005 11 KATRINA 8 31 6 40.1 -82.9 25 9961337 2005 12 LEE 8 28 12 14 -45.1 25 10091337 2005 12 LEE 8 28 18 14.9 -46.4 25 10071337 2005 12 LEE 8 29 0 15.7 -47.6 25 10071337 2005 12 LEE 8 29 6 17 -48.9 25 10071337 2005 12 LEE 8 29 12 17.7 -50.6 25 10081337 2005 12 LEE 8 29 18 18.5 -52.5 20 10091337 2005 12 LEE 8 30 0 20.5 -53.2 20 10101337 2005 12 LEE 8 30 6 22.1 -53.6 20 1010

Momento más intenso

Nueva Orleáns

Tormentas 2003

Tormentas 2004

Tormentas 2005

Dada la información disponible se pueden modelar los siguientes aspectos:● Número de tormentas por temporada.● Duración de cada tormenta (en lapsos de 6

horas).● Posición inicial de cada tormenta.● Trayectoria de cada tormenta.● Velocidad máxima del viento de cada

tormenta.● Presión atmosférica mínima de cada tormenta.

Factores a modelar

Tormentas por temporada

0

5

10

15

20

25

30

Núm

ero

de T

orm

enta

s

Atlántico Pacífico

Promedio en el Atlántico = 10.72

Promedio en el Pacífico = 14.03

Tormentas por temporada• Dado que el número de tormentas por

temporada es discreto (1, 2, 3, …, 28, etc.) y debido a que el fenómeno puede ser visto como un proceso de llegadas a un sistema se propone usar la distribución Poisson para modelar el número de tormentas por temporada.

• La distribución tiene un solo parámetro (l) que representa el promedio y la varianza.

!

,x

exfxll

l

Tormentas Atlántico

Histograma de Tormentas por temporada reales en el Atlántico (n=58)

Histograma de 10,000 simulaciones de Poisson (l=10.72)

Tormentas Pacífico

Histograma de Tormentas por

temporada reales en el

Pacífico (n=58)

Histograma de 10,000

simulaciones de Poisson (l=14.03)

Velocidad del vientoLa velocidad máxima del viento de cada tormenta está medida en nudos (kts, 1 nudo = 1 milla náutica / h = 1.852 km/h) y tiene una distribución continua que puede ser modelada usando una distribución Weibul.

La distribución tiene 2 parámetros continuos y no negativos (a, b).

a

ba

a

baba

x

exxf1

,;

Histograma comparativo

Histograma de Velocidad

máxima del viento de cada

tormenta (n=621)

Histograma de 10,000

simulaciones de Weibul (a=1.35,

b=43.984)

Escala Saffir-Simpson

Saffir-SimpsonCategory mph m/s kts

1 74-95 33-42 64-822 96-110 43-49 83-953 111-130 50-58 96-1134 131-155 59-69 114-1355 156+ 70+ 136+

Maximum sustained wind speed

La escala Saffir – Simpson sirve para catalogar cada tormenta en diferentes categorías de huracán dependiendo de la velocidad máxima sostenida del viento de acuerdo a la siguiente escala:

The Saffir-Simpson Hurricane Scale is a 1-5 rating based on the hurricane's present intensity. This is used to give an estimate of the potential property damage and flooding expected along the coast from a hurricane landfall. Wind speed is the determining factor in the scale, as storm surge values are highly dependent on the slope of the continental shelf and the shape of the coastline, in the landfall region. Note that all winds are using the U.S. 1-minute average.

Fuente: NHC

Velocidad del viento

Huracán Categoría 1

Huracán Categoría 2

(Kts)

Huracán Categoría 3

Categoría 4

Categoría 5

Presión atmosféricaLa presión atmosférica es el peso por unidad de superficie ejercida por la atmósfera; se mide en milibares (1 mb = 1 hPa hectopascal) y tiene una distribución continua que puede ser modelada usando una distribución Weibul transformada.

La distribución tiene 2 parámetros continuos y no negativos (a, b).

a

ba

a

baba

x

exxf1

,;

Histograma comparativo

Histograma de presión

atmosférica mínima de cada

tormenta (n=621)

Histograma de 10,000

simulaciones de 1024-Weibul

(a=1.37, b=35.03)

Lugar de gestaciónLa base de datos cuenta con información correspondiente a las coordenadas (latitud, longitud) donde se encuentra el centro de la tormenta en cada lapso de 6 horas, por lo cual se puede construir una distribución Kernel bi-variada de la posición inicial.

Donde, es la distribución normal estándar.

n

i Y

i

X

i

YX

n

iiih h

YyhXx

hnhYyXx

nyxf

11

,1,1,

yx,

Gestación histórica

Mapa de densidades

Mapa de Simulaciones

TrayectoriaPara modelar el desplazamiento de cada tormenta, una vez que se conoce su posición inicial se propone usar conceptos de trigonometría básica.

Posición inicial, t0

Posición en t1

Cateto opuesto = a = movimiento en latitud

Cateto adyacente = b = movimiento en longitud

Hipotenusa = c = distancia

a = ángulo

Trayectoria

2012

0122 xxyybac

(x0, y0)b = x1 – x0

c = distancia

a = ángulo

(x1, y1)

caarccosa

a = y1 – y0

Trayectoria

Posición inicial, t0 (-60, 20)

Si se mueve al NE, a (-59, 21)

Si se mueve al NO, 90 < a < 180

Si se mueve al SO, 180 < a <

270Si se mueve al SE, 270 < a <

360

0° = 360°

90°

180°

270°

04521arccos

a

22 )60(592021 c

211 22

Distancia

La distancia que se mueve la tormenta en cada lapso de 6 horas puede ser modelada usando una distribución Kernel univariada por la cola tan pesada que presenta. La unidad de medida es equivalente a 110 km.

n

iihin

ii

XxWW

xf1

1

1

2

2

2

21 h

x

h eh

x

Histograma comparativo

Histograma de distancias

recorridas en lapsos de 6 horas

(n=19,248)

Histograma de 20,000

simulaciones de Kernel

univariado

Ángulo (a)

El ángulo en el cual se desplaza la tormenta en cada lapso de 6 horas también será modelado usando una distribución Kernel univariada por los múltiples modas que presenta. Está transformado de radianes a grados para que sea más fácil su interpretación.

n

iihin

ii

XxWW

xf1

1

1

2

2

2

21 h

x

h eh

x

Histograma comparativo

Histograma de ángulos reales en lapsos de 6

horas (n=19,248)

Histograma de 20,000

simulaciones de Kernel

univariado

Autocorrelación

1.00

0.83

0.72

0.60

0.51

0.42

0.32

0.24

0.15

0.07

-0.03

-0.11-0.17

-0.20-0.23 -0.24 -0.24 -0.24 -0.25 -0.24 -0.24 -0.24

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Retraso (Lag)

Cor

rela

ción

Tanto la distancia que recorre la tormenta en cada lapso como el ángulo en el que se mueve está correlacionado consigo mismo (autocorrelación) a través del tiempo. En otras palabras, de un lapso a otro no puede cambiar drásticamente de dirección, es por eso que se simula correlacionando con respecto a lapsos anteriores.

Simulación de Trayectorias

Simulación de Trayectorias

Simulación de Trayectorias

Sim

ulac

ión

Simulación de Trayectorias

Proceso de simulación

Tormentas(0, 1, 2, …) Para cada una

Lugar de gestación

Trayectoria

Viento Presión atmosférica

Vulnerabilidad

Este proceso representa la simulación de un sólo año, la idea es repetir el proceso con n (10,000 o más)

iteraciones para simular n temporadasque ayude no sólo a tener una buena

estimación de la pérdida potencialmedia (por temporada) sino tambiénde la pérdida máxima probable (PML)

Modelo en @Risk

Celda aleatoria correspondiente

al lugar de gestación

Busca en la pestaña “Gest” las coordenadas correspondientes

Celda aleatoria para el número de momentos que tendrá la

tormenta.Celda aleatoria para la distancia que la tormenta recorre en cada

momento.

Celda aleatoria para el ángulo de desplazamiento.Coordenadas de la

nueva posición.

Diferentes momentos aleatorios.

Sim

ulac

ión

Modelo en @RiskLugar de gestación (Pestaña “Gest”)

Sim

ulac

ión

Modelo en @RiskMatriz de autocorrelación

En el tintero• Modelar el Océano Pacífico.• Relacionar intensidades de viento o presión

atmosférica con precipitación en estaciones terrestres de la zona-tiempo.

• Buscar relaciones entre la distancia-ángulo y la latitud.

• Perfeccionar el Kernel del lugar de gestación y limitarlo a zonas oceánicas.

• Modelar el radio de la tormenta a partir de funciones usando como parámetros el viento y la presión atmosférica.

• Definir el portafolio en riesgo (infraestructura o agrícola).

• Funciones de vulnerabilidad.

Huracán Ophelia

Modelación Estocástica de Ciclones Tropicales

Medellín Colombia, Octubre 2008