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Modelación matemática de procesos biológicos de tratamiento Dr. Antoni Escalas Cañellas (Universidad Autónoma de San Luis Potosí, México) Tecnologías sostenibles para el tratamiento de aguas y su impacto en los sistemas acuáticos Universidad de Concepción, Concepción, Chile, 5 de julio de 2006

Modelación matemática de procesos biológicos de tratamientoDr. Antoni Escalas CañellasCentro de Investigación y Estudios de PosgradoFacultad de Ingeniería, Universidad Autónoma de San Luis Potosí, San Luis Potosí, S.L.P., México

Introducción

La modelación de procesos biológicos es a la vez un instrumento para describir y verificarlos procesos cinéticos que intervienen en el tratamiento biológico de aguas residuales, yuna herramienta para predecir el comportamiento de los procesos, aplicable al diseño,evaluación y control de procesos de tratamiento.

Los modelos de los procesos de tratamiento varían en su complejidad, según el númerode componentes y procesos biológicos considerados; según se trate de modelos deestado estacionario o dinámicos; y según que el reactor biológico se considere undominio con concentraciones homogéneas o distribuidas en el espacio.

Hay que remarcar que los modelos de estado estacionario suelen utilizarse para el diseñode plantas de tratamiento, mientras que los modelos dinámicos se utilizan más paraevaluar el comportamiento de una planta ante situaciones históricas o futuras, y para elcontrol de plantas. En estos últimos modelos se describe el proceso biológico a través deun número de componentes del agua residual, que siguen unos procesos biológicos detransformación, y cuya concentración se expresa a través de un sistema de ecuacionesdiferenciales, que se obtienen mediante balances de materia de los diferentescomponentes. En algunos casos hay que aplicar balances de energía y de cantidad demovimiento.

En este documento se da una introducción a la modelación matemática de procesosbiológicos de tratamiento con biomasa suspendida y concentración homogénea. Sedescribe paso a paso un modelo dinámico (una laguna aireada de mezcla completa contres componentes y dos procesos cinéticos), orientado a la eliminación de carbonoorgánico, como base para entender los modelos más complejos de la IWA, que seintroducen al final del tema. Se mencionan también algunos de los paquetes informáticosque permiten la modelación matemática de los procesos biológicos de tratamiento delagua residual.

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1. Procesos biológicos de tratamiento

Un proceso biológico de tratamiento o depuración de aguas residuales es un sistema enel cual se mantiene un cultivo de microorganismos (biomasa) que se alimenta de lasimpurezas del agua residual (sustrato o alimento). Estas impurezas son la materiaorgánica biodegradable, el amonio, el nitrato, el fosfato y otros contaminantes a menorconcentración.

El lugar donde se ponen en contacto la biomasa con el agua residual para llevar a cabo eltratamiento se denomina reactor biológico, o biorreactor, y puede ser de diferentes tipos.Hay que remarcar que en la mayoría de los casos la biomasa se generaespontáneamente en el reactor biológico, a partir de pequeñas concentraciones demicroorganismos presentes en el agua residual o en el aire, y de las reaccionesbiológicas que en el diseño y operación de la planta se procura favorecer.

+Contacto en

reactor biológico

Biomasa Agua residual

Biomasa (crecida) + agua residual tratada

Agua residual tratada

Separación sólido-líquido

Biomasa

Gases:CO2[CH4][H2S]

Figura 1. Esquema elemental de un proceso biológico de tratamiento.

La Figura 1 muestra de manera esquemática y elemental un proceso biológico heterótrofode tratamiento de agua residual. Se ponen en contacto agua residual y biomasa en unreactor biológico, donde una biomasa heterótrofa se alimenta de la materia orgánicacontenida en el agua residual. La materia orgánica del afluente sufre dos procesosbásicos:

(a) Una parte se degrada en último término a dióxido de carbono y agua, mediante elmetabolismo energético (con formación adicional de metano, sulfuro de hidrógenoe hidrógeno en el proceso anaerobio). Los procesos aerobios requieren oxígeno.

(b) Otra parte se utiliza en la síntesis de celular, para producir más biomasa(crecimiento)

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De esta manera, la biomasa limpia el agua residual de la mayor parte de la materiaorgánica, obteniéndose el agua residual tratada (efluente), de una calidad muy superior alafluente. En los procesos más utilizados, es fundamental aplicar una etapa de separaciónsólido-líquido, para separar el agua residual tratada de la biomasa. Normalmente esto seconsigue mediante la separación por gravedad (sedimentación en decantadoressecundarios, etapas de sedimentación discontinua o lagunas de maduración), o mediantela separación por membranas (biorreactores de membrana).

Componentes básicos de un modelo

En el modelo matemático más simple, se requieren al menos dos componentes paradescribir lo que ocurre en el reactor biológico. Estos componentes son:

Sustrato (S)Componente del agua residual que sirve de alimento a la biomasa. En unprocesos heterótrofo, su concentración podría medirse a través de la demandabioquímica de oxígeno (DBO5) debida a la materia orgánica del agua residual(DBO5 carbonosa). De hecho, este modelo considera que sólo la materia orgánicasoluble es biodegradable y puede ser atacada por la biomasa, por lo que S es uncomponente soluble. El sustrato, por tanto, no se separa por sedimentación. Otrosmodelos manejan la demanda química de oxígeno (DQO).

Biomasa (XV)Cultivo de microorganismos heterótrofos que se alimentan de la materia orgánicabiodegradable del agua residual. Su concentración se puede medir mediante laconcentración de sólidos suspendidos volátiles (SSV) en el reactor biológico. Labiomasa está formada por partículas y puede separarse por sedimentación,filtración o flotación.

Éste modelo de composición es extremadamente simple. Sin embargo se ha empleadotradicionalmente en el diseño de procesos biológicos de tratamiento, típicamente enmodelos de estado estacionario, y aparece con algunas variantes en el manual conjuntode diseño de la Water Environment Federation y la American Society of Civil Engineers(WEF-ASCE, 1998) y en otras referencias (Metcalf y Eddy, 1998; Ramalho, 1993). Si elproceso es aerobio y se quiere modelar el comportamiento del oxígeno, entonces serequiere este tercer componente.

Tanto el sustrato como la biomasa son realmente más complejos. De hecho, la materiaorgánica del agua residual puede estar en forma disuelta (soluble) o no disuelta(particulada), y puede ser biodegradable o no, en diferentes grados. Los sólidosorgánicos se hidrolizan para generar materia orgánica soluble, siendo ésta consumida porlos microorganismos heterótrofos. Además, el nitrógeno amoniacal y el fosfato sonsustratos inorgánicos necesarios para el crecimiento celular, mientras que el nitrógenoorgánico soluble y particulado se consideran dos sustratos aparte. La alcalinidad, debidabásicamente al sistema del bicarbonato, es otro componente del sustrato, mientras eloxígeno y el nitrato son dos oxidantes empleados en la respiración celular. En el modelode lodos activados número 1 de la IWA (ASM1), se manejan 7 sustratos solubles, de losque 4 son sustratos carbonosos. También se manejan 4 sustratos particulados. Además,este modelo distingue dos tipos de biomasa: la biomasa heterótrofa y los organismos

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nitrificantes quimioautótrofos, a los que se llama “biomasa autótrofa”. Son un total de 13componentes. Otros modelos manejan más.

Procesos cinéticos básicos

Un modelo básico de dos componentes, como el mencionado más arriba, tiene comomínimo dos procesos básicos:

a) El crecimiento de la biomasaEste proceso es responsable del consumo del sustrato y del crecimiento de labiomasa

b) La muerte de la biomasa (metabolismo endógeno o lisis de los microorganismos).Este proceso implica una mengua en el crecimiento de la biomasa obtenido en elproceso (a).

Igualmente, los sistemas reales son mucho más complejos, con un número elevado deprocesos cinéticos: crecimiento de la biomasa heterótrofa o autótrofa, hidrólisis de lamateria orgánica particulada, muerte de los organismos heterótrofos o autótrofos,amonificación, etc… El modelo ASM1 considera 8 procesos cinéticos.

Tipos de procesos biológicos

Existen diferentes tipos de procesos biológicos, básicamente aerobio o anaerobios, o debiomasa suspendida o fija, como se presenta de manera simplificada:

PROCESOS DE BIOMASA SUSPENDIDA

Procesos aerobios

Proceso continuo de lodos activados Proceso discontinuo de lodos activados (reactor biológico secuencial, RBS) Biorreactores de membrana Lagunas aireadas de mezcla completa Lagunas aireadas facultativas

Procesos anaerobios

Lagunas anaerobias Reactor anaerobio de flujo ascendente (RAFA=UASB) Proceso de contacto

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PROCESOS DE BIOMASA FIJA

Procesos aerobios

Filtro percolador Biodiscos Reactor aerobio de lecho empacado

Procesos anaerobios

Filtros anaerobios (flujo ascendente o descendente) Lecho fluidizado (biofilm sobre soporte sólido, pero en forma de lecho

fluidizado)

Existen procesos que combinan condiciones aerobias, anaerobias y anóxicas (lagunasfacultativas, reactores biológicos secuenciales, procesos continuos para eliminación denutrientes,…).

Complejidad en la modelación

La complejidad involucrada en la modelación de los procesos biológicos depende muchode las características del proceso. Se deben tener en cuenta las siguientesconsideraciones:

a) Los procesos de biomasa suspendida y buenas condiciones de mezcla puedenmodelarse como reactores homogéneos continuos (mezcla completa, flujo pistóno intermedios), o como reactores homogéneos discontinuos, por lo que puedendescribirse mediante ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Estos procesosson típicamente: lagunas aireadas de mezcla completa, lodos activados yreactores biológicos secuenciales. En estos sistemas, la descripción geométricadel dominio es muy sencilla, mientras que las técnicas de resolución son lastípicas de las EDO (Euler, Runge-Kutta, Runge-Kutta-Fehlberg).

b) Los procesos de biomasa suspendida y mezcla incompleta se describen mal conmodelos de mezcla completa, flujo pistón o intermedios, debido a la sedimentacióny digestión de sólidos que se produce en estas unidades. Estos sistemas se handescrito en algunos casos combinando los balances de materia con lasecuaciones diferenciales del flujo de fluidos, empleando técnicas de mecánica defluidos computacional. También se han hecho aproximaciones más simplescombinando la separación de sólidos con reactores aerobios y anaerobios demezcla completa.

c) El tipo de reacciones biológicas involucradas en los procesos aerobios yanaerobios son muy diferentes. Así, pueden distinguirse dos tipos de modelos:

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Modelos para procesos básicamente aerobios: involucran procesos aerobios,anóxicos y de fermentación acidogénica (no incluyen la fermentaciónmetanogénica, que requiere condiciones estrictamente anaerobias)

Modelos para procesos anaerobios: incluyen hidrólisis, fermentaciónacidogénica y fermentación metanogénica.

d) Existen modelos matemáticos ya desarrollados, y existen paquetes informáticosgratuitos o comerciales que permiten resolverlos. Si no se dispone de alguno deellos, se requiere implementar en la computadora las ecuaciones del modelo, elsistema de entrada de datos y representación de resultados y los algoritmos deresolución, lo que añade dificultad al proceso de modelación.

e) El número de componentes y procesos cinéticos involucrados en el modelorepercute también en la complejidad de las ecuaciones, en su resoluciónnumérica, en el número de parámetros involucrados, y en el número de variablesque se requiere medir en el proceso para poder identificar los parámetros delmodelo.

En este curso, se presentará la modelación de procesos básicamente aerobios (aunquepuedan incluir etapas anóxicas o anaerobias sin metanogénesis) en reactores bienmezclados de biomasa suspendida. Se comentará también la modelación de lagunasaireadas facultativas mediante este tipo de modelos con la separación de sólidos.

Esquema general de la modelación de procesos biológicos de tratamiento

La Figura 2 muestra en un diagrama los componentes y los pasos de la modelacióninformática de procesos de tratamiento de aguas residuales. En primer lugar, hay quedefinir los componentes del agua residual que se van a utilizar en el modelo matemáticodel proceso. Estos componentes serán las variables de estado del sistema (junto con elvolumen del reactor, si es variable).

A continuación deben definirse los procesos cinéticos que afectan a los componentes,es decir, que modifican las concentraciones de los componentes en los reactores. Losparámetros cinéticos pueden ser numerosos y difíciles de conocer con exactitud, factora tener a cuenta. Un mismo proceso afecta normalmente más de un componente, por loque se pueden utilizar coeficientes estequiométricos con signo, y las matrices dePetersen, que relacionan procesos, componentes y coeficientes estequiométrico.

A continuación, hay que definir las entradas y salidas del sistema, que podrán ser enforma de flujo de agua residual, lodo, licor mezclado, o reactivos químicos, o bien enforma de transferencia interfacial (O2, N2). Hay que definir también el régimen de flujo.En referencia al flujo en reactor, se tratará de mezcla completa, aunque en algunos casosse puede simular el flujo de pistón no ideal, a base de una cascada de reactores demezcla completa. También hay que definir el régimen temporal de los caudales deentrada/salida, aunque eso se puede definir como un “escenario”, a la hora de ejecutar elmodelo.

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DefinirCOMPONENTES

DefinirPROCESOS, PARÁMETROS

CINÉTICOS

DefinirENTRADAS

SALIDAS

DefinirRÉGIMEN

DEFLUJO

PlantearBALANCES

DE MATERIA

ECUACIONESDIFERENCIALES

ORDINARIAS

Técnicasmatemáticasde resolución

Soporteinformático

Modelo informático del proceso

Condicionesiniciales

Evolución temporal de:-Entradas (afluente)-Condiciones proceso(aireación, agitación,…)

Escenario

EJECUCIÓNDEL

MODELO

RESULTADOSDEL MODELO- Tablas de datos- Gráficos

DATOS REALES

CALIBRACIÓNDEL

MODELO

Figura 2. Esquema general de la modelación de procesos biológicosde tratamiento descritos por ecuaciones diferencialesordinarias.

Una vez definidos estos componentes básicos del modelo (componentes, procesos,régimen de flujo), se procede a plantear los balances de materia en condiciones noestacionarias, para cada uno de los componentes del modelo. Con ellos se obtienen lasecuaciones diferenciales ordinarias que definen el sistema. Estas ecuacionesmatemáticas se incorporan a un programa informático que incluya herramientas deresolución numérica de EDO. Las técnicas utilizadas pueden ser des de la más sencillas,como Euler, hasta las más complejas, como Runge-Kutta-Fehlberg de 4º-5º orden, oAdams-Moulton. El conjunto de EDO implementadas en soporte informático, junto con lasherramientas de resolución consiste el núcleo del modelo informático.

La modelación consiste básicamente en resolver un problema del valor inicial. Hay quedefinir los valores iniciales de las variables de estado, así como la evolución temporal(para todo el periodo a simular) de las entradas del sistema, y otras variablesindependientes del sistema. Este conjunto de datos constituyen el escenario de lasimulación.

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Un modelo matemático puede ser estructuralmente correcto, pero hay que identificar losvalores de los parámetros que hacen que el modelo explique bien el comportamiento realde la laguna. Este proceso se llama identificación de parámetros o calibración delmodelo, y requiere de series temporales de datos y la minimización del error entre losvalores simulados a los reales, mediante el ajuste de los parámetros cinéticos, físicos uoperacionales del modelo.

2. Modelo dinámico elemental de una laguna aireada de mezcla completa

Mediante este modelo se van a introducir paso a paso los conceptos básicos que semanejan en los modelos: componentes, procesos cinéticos, balances de materia,ecuaciones diferenciales ordinarias, los métodos matemáticos y herramientasinformáticas para su resolución. Con ello se sientan las bases para la comprensión de losmodelos más complejos que se introducen al final del capítulo o que están descritos en labibliografía.

Las lagunas aireadas de mezcla completa son reactores de flujo de mezcla completa, conbuenas condiciones de aireación y agitación, lo que conduce a concentracioneshomogéneas de sustrato, biomasa y oxígeno. Este tipo de lagunas requieren lagunassecundarias y terciarias para completar la remoción de DBO5 y la sedimentación de lossólidos suspendidos. Este tipo de lagunas se airean normalmente con turbinassuperficiales. La Figura 3 muestra un esquema de este tipo de lagunas, cuyo esquema demezcla y flujo corresponde idealmente a un reactor de flujo de mezcla completa(continuously stirred tank reactor, CSTR). El volumen contenido de agua se consideraconstante.

Q1S1XV,1SO2,1

Q2=Q1SeXV,aSO2

VXV,a

Se SO2

Afluente Efluente

Figura 3. Laguna aireada de mezcla completa.

Hay que remarcar que en una laguna real el caudal y la composición del afluente sonvariables con el tiempo, así como la temperatura del agua residual y del reactor,sometidas a las variaciones estacionales y diarias de la temperatura. Para modelar elcomportamiento de la laguna, es preciso conocer o estimar previamente la evolucióntemporal de la composición del afluente y de la temperatura de la laguna.

En consecuencia, la composición en el reactor y en efluente (que son la misma) sontambién variables en el tiempo. Éstas variables se determinan mediante los

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correspondientes balances de sustrato y biomasa, que dan lugar a las ecuacionesdiferenciales que definen el modelo. Pero antes de plantear el balance se requiereconocer los procesos cinéticos que afectan al sustrato y a la biomasa.

2.1. Componentes del modelo

En una primera aproximación, se supone que habrá suficiente aireación para que losprocesos biológicos no estén limitados por el oxígeno. Así, no se requiere calcular niincluir en el modelo la concentración de oxígeno disuelto en la laguna. Loscomponentes son entonces:

1. Biomasa heterótrofa (XV). Se mide por la concentración de sólidos suspendidosvolátiles. Esto puede ser una buena aproximación para el contenido de la laguna,pero no para el afluente, cuyos sólidos volátiles no son, en su mayor parte,biomasa. Se supone que no se desarrolla biomasa autótrofa en el reactor.

2. Sustrato (S). Se mide por la DBO5 soluble del afluente. Se supone que los sólidossuspendidos volátiles del afluente no sufren hidrólisis ni son degradados por labiomasa.

2.2. Procesos cinéticos en la laguna

Se consideran los siguientes procesos cinéticos:

2.2.1.Procesos cinéticos de la biomasa

a) Crecimiento de la biomasa (rg)

El crecimiento de la biomasa es proporcional a su concentración y la velocidadespecífica de crecimiento:

a,Vg Xr Ec. (1)

rg Velocidad de crecimiento de la biomasa, g SSV/(m3.d) Velocidad específica de crecimiento de la biomasa, g SSV/(g SSV.d) = d-1

XV,a Concentración de SSV en la laguna

La velocidad específica de crecimiento de sustrato sigue la ecuación de Monod:

es

emax SK

S

(ecuación de Monod) Ec. (2)

Sustituyendo la ecuación (2) en la (1) queda la ecuación tal como se emplea en elmodelo:

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a,Ves

emaxg X

SKSr

Ec. (3)

Este proceso cinético hace aumentar la concentración de biomasa.

b) Metabolismo endógeno de la biomasa (muerte y autoconsumo) (rd)

Se considera independiente de la concentración de sustrato, y proporcional a laconcentración de biomasa:

a,vdd Xkr Ec. (4)

Este proceso cinético hace disminuir la concentración de biomasa.

2.2.2.Procesos cinéticos del sustrato

En este modelo, el único proceso del sustrato es su consumo o utilización por labiomasa. La velocidad de utilización de sustrato es un proceso ligado alcrecimiento de la biomasa. De hecho, el segundo depende de la primera. Por cadakg de DBO5 consumida por la biomasa se producen Y kg de SSV (nuevabiomasa). Este factor (Y) es un coeficiente estequiométrico, y se conoce comofactor de rendimiento de la biomasa, con un valor de 0,4-0,8 g SSV/g DBO5,típicamente 0,6 g SSV/g DBO5 (WEF-ASCE, 1998)

c) Utilización de sustrato (rSU)

La relación entre el crecimiento de la biomasa y la utilización de sustrato sueleexpresarse:

SUg rYr Ec. (5)

rg Velocidad de utilización de sustrato, g DBO5/(m3.d)Y Factor de rendimiento de la biomasa, kg SSV/(kg DBO5)rSU Velocidad de utilización de sustrato, g DBO5/(m3.d)

Es decir, la velocidad de utilización de sustrato se expresa como:

gSU rY1r Ec. (6)

O bien, sustituyendo la ecuación (3) en la (6):

a,Ves

emaxSU X

SKS

Y1r

Ec. (7)

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Como se observa en las ecuaciones (6) y (7), la utilización de sustrato no es unproceso independiente del crecimiento, por lo que sólo se requiere uno de los dos y elfactor Y. Por tanto, el conjunto de procesos cinéticos puede definirse a través delcrecimiento (a) y el metabolismo endógeno (b).

2.3. Obtención de las ecuaciones diferenciales del modelo: balances de sustratoy biomasa

En este modelo de reactor, se considera el nivel de la laguna constante, por lo que nohay variaciones en el volumen de agua contenida en la laguna. No se requiere, portanto, el balance total de agua residual. Por otro lado, si se quiere tener en cuenta elefecto de la temperatura en la laguna, hay que considerar el balance térmico en lamisma, o bien disponer de datos históricos de temperatura en la laguna que se va asimular. En este ejemplo se considera que la temperatura no es una incógnita en lamodelación. Entonces, se requiere plantear solamente los balances de sustrato ybiomasa.

La forma general del balance diferencial (condiciones no estacionarias) de uncomponente en el reactor biológico es:

d/gtiempodeunidadpormateriadenAcumulació

d/gcoscinéti

osminTér

d/gtiempodeunidad

porsalidadecosmásiFlujos

d/gtiempodeunidadporentradadecosmásiFlujos

Ec. (8)

Los flujos másicos de entrada suelen expresarse como el producto de un caudalvolumétrico (m3/d) por una concentración (g/m3). Los términos cinéticos se suman ose restan según que el proceso afecte positivamente o negativamente. Un coeficienteestequiométrico para cada proceso y componente determina el signo y la proporciónen que cada proceso contribuye al aumento o a la disminución de cada componente.

El término de velocidad de acumulación es la derivada respecto al tiempo de lacantidad acumulada. Por ejemplo, para el sustrato:

eS.Vdtd

d/gtiempodeunidadporsustratodenAcumulació

Ec. (9)

Como en este caso el volumen es constante:

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dtdSV

d/gtiempodeunidadporsustratodenAcumulació

e

Ec. (10)

2.3.1.Balance de sustrato (S)

Para el caso del sustrato:

d/gtiempodeunidad

porsustratodenAcumulació

g/d sustrato de

nUtilizació

g/d sustrato de

Salida

g/d sustrato de

Entrada

Ec. (11)

dtdSeVrVSQSQ SUe111 Ec. (12)

Sustituyendo la expresión de rSU de la Ec. (1.5):

dtdSVX

SKS

Y1V)S(SQ e

a,Ves

emaxe11

Ec. (13)

Y, despejando la derivada se obtiene la ecuación diferencial de la variable deestado Se:

a,Ves

emaxe1

0e XSK

SY

)S(SV

Qdt

dS

Ec. (14)

2.3.2.Balance de biomasa (XV)

Se formula el balance de biomasa

d/gtiempodeunidad

porbiomasadenAcumulació

g/d endógeno

oMetabolism

g/d biomasa de

oCrecimient

g/d biomasa de

Salida

g/d biomasa de

Entrada

Ec. (15)

dtdXVrVrVXQXQ a,V

dga,V1V,11 Ec. (16)

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Y, despejando la derivada, se obtiene la ecuación diferencial de la variable deestado XV,a:

a,Vda,Ves

emaxa,VV,1

0aV, XkXSK

S)X(XV

Qdt

dX

Ec. (17)

Las ecuaciones (14) y (17) son las dos ecuaciones diferenciales ordinarias queconstituyen el núcleo del modelo matemático de la laguna aireada.

2.4. Matriz de Petersen para los componentes y procesos cinéticos

En procesos complejos, el número de componentes y modelos es elevado. Para cadacomponente, un número de procesos intervienen en el término sumatorio de procesoscinéticos. La interacción entre procesos cinéticos y componentes se puederepresentar de manera compacta mediante la llamada matriz de Petersen (Tabla 1).

En esta matriz, se representan los componentes del modelo en la fila superior,mientras que los procesos cinéticos se recogen en la columna de la izquierda (nombredel proceso) y en la columna derecha (ecuación cinética). Tabla 1. Matriz de Petersen para el modelo simple con dos componentes y dos

procesos.

ComponentesProcesos Se XV,a Velocidad de reacciónCrecimiento dela biomasa Y

1 1 a,V

es

emax X

SKS

Metabolismoendógeno -1 a,VdXk

La participación de un proceso (i) en el balance de un componente (j) se refleja en elcoeficiente estequiométrico correspondiente. Multiplicando elemento a elemento lacolumna de un componente por la columna de ecuaciones cinéticas y sumando losproductos, se obtiene el término sumatorio de procesos cinéticos correspondiente aese balance.

Por ejemplo, para la biomasa (XV), se obtiene:

(1) * a,Ves

emax X

SKS

+ (-1) * a,VdXk

Se puede comprobar esta expresión con los términos cinéticos de la Ec. (17). En elcaso del sustrato:

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(-1/Y) * a,Ves

emax X

SKS

+ (0) * a,VdXk

Se puede comprobar esta expresión con los términos cinéticos de la Ec. (14)). Paraeste modelo tan sencillo, la necesidad de esta matriz es discutible, pero en modelosmás complejos, la matriz de Petersen es muy práctica, y es el modo habitual derepresentar el modelo cinético utilizado, que és sólo una parte del modelomatemático.

2.5. Variables de entrada y condiciones iniciales

Como ya se comentó, las ecuaciones diferenciales que definen el modelo son:

a,Ves

emaxe1

0e XSK

SY

)S(SV

Qdt

dS

Ec. (14)

a,Vda,Ves

emaxa,VV,1

0aV, XkXSK

S)X(XV

Qdt

dX

Ec. (17)

Son dos ecuaciones ordinarias en el tiempo, en las que las incógnitas son la evolucióntemporal de Se y XV,a. que se deben determinar. Este constituye un típico problema delvalor inicial. Para ello se requiere:

a) Conocer todos los parámetros de las ecuaciones (V, max, Y, Ks, kd): se puedentomar valores típicos de la bibliografía, o bien calcularlos en un proceso deoptimización, a partir de datos experimentales y los resultados de la simulación(identificación de parámetros).

b) Conocer las condiciones iniciales, es decir las concentraciones de Se y XV,a. parat=0. Éstas se pueden determinar experimentalmente en una laguna real, o sepueden suponer unos valores razonables.

c) Conocer la evolución temporal de las variables de entrada (Q0, S1, XV,1) para todoel periodo que se va simular: - Si se intenta reproducir un comportamiento pasado de la laguna, entonces

debe disponerse de un muestreo de caudal, S1 y Xv,1 de la entrada. - Si se intenta analizar un escenario futuro, entonces debe definirse cuál es el

escenario de entradas que se quiere simular.

En estas condiciones, las ecuaciones diferenciales se pueden resolver por losmétodos numéricos típicos de las ecuaciones diferenciales ordinarias en problemasdel valor inicial.

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2.6. Resolución numérica de las ecuaciones diferenciales

Se aplican los métodos típicos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.Básicamente son:

Métodos de paso variableEulerRunge-Kutta (RK2, RK4)

Métodos de paso variable y orden variableRunge-Kutta-Fehlberg (RKF12, RKF45)Adams Moulton

El tiempo de cálculo requerido depende del número de ecuaciones, de la complejidadde las mismas, de la frecuencia e intensidad con que se producen cambios en lasderivadas, y del paso de integración (t) utilizado. Normalmente los métodos deRunge-Kutta-Fehlberg aportan un tiempo de cálculo optimizado, ya que adaptan elpaso de integración a la geometría local de las curvas de las variables de estado, yademás realizan a cada paso de integración una verificación local del error, por lo queson automáticos, frente a los de Euler y Runge-Kutta, que no hacen esta verificación.

Normalmente se requiere de un programa especializado para la resolución de lasecuaciones del modelo. Sin pretender ser exhaustivo, ACSL Model o MATLAB sonprogramas propietarios que incorporan la resolución numérica de ecuacionesdiferenciales ordinarias, con instrucciones de integración de alto nivel, que incorporanlos algoritmos de integración. Los algoritmos más simples (Euler, RK2) se puedenprogramar fácilmente en una hoja de cálculo. No así los de paso variable.

Existen programas especializados en la modelación de procesos de tratamiento deaguas residuales, que ya incorporan las ecuaciones típicas de cada unidad, así comolos algoritmos de resolución: GPS-X (Hydromantis, 2006), ASIM (EAWAG, 2006),WEST (Hemmis, 2006).

2.7. Incorporación del oxígeno al modelo

Si se quiere modelar la transferencia y el consumo de oxígeno en la laguna aerobia,entonces deben realizarse los siguientes cambios en el modelo:

a) Introducir una nueva variable de estado: la concentración de oxígeno disueltoen la laguna, SO2.

b) Describir matemáticamente la transferencia de oxígeno en la aireaciónc) Describir matemáticamente el efecto de la concentración de oxígeno en la

cinética de los procesos aerobios.d) Introducir los procesos cinéticos del oxígeno y modificar la matriz de

Petersene) Formular el balance dinámico de oxígeno en la laguna.

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2.7.1.Transferencia de oxígeno por aireación en la laguna

En lagunas aireadas, la transferencia natural de oxígeno (viento, algas) seconsidera despreciable frente a la transferencia forzada de oxígeno (aireación).Los principales dispositivos de aireación son las turbinas superficiales (aireaciónsuperficial) y los difusores (aireación sumergida). Los difusores son a su vez, deburbuja gruesa y fina.

En general, un dispositivo de aireación en unas condiciones de operación dadastiene una capacidad de oxigenación (oxygen transfer rate, OTR), definida comoflujo de oxígeno que puede transferir de manera efectiva desde el aire hasta elagua (como oxígeno disuelto). Se expresa normalmente en kg O2/h.

Hay varias opciones para incorporar la OTR al modelo. Ordenadas porcomplejidad creciente (a, b, c):

(a) En un enfoque simple, se puede considerar la OTR constante, tomandoun valor promedio o razonable para las condiciones de trabajo

(b) Se puede considerar OTR una función directa de la potencia deaireación:

TE.POTR aer Ec. (18)

donde:

OTR Tasa de transferencia de oxígeno, kg O2/hPaer Potencia de aireación aplicada, kW

TE Rendimiento de transferencia (transfer efficiency, TE), kW

h/Okg 2 ,

que es característica de cada equipo de aireación.

(c) Se estima detalladamente la OTR, en función de las características delequipo y de las condiciones de la laguna, que son variables. La OTRdepende de las siguientes variable o parámetros:

SOTR, que es la OTR en condiciones estándar. Es función decada tipo de equipo, del volumen de la laguna y de la potenciade aireación.

Concentración de oxígeno disuelto en el reactor, SO2

Temperatura, presión Grado de ensuciamiento (difusores) Efecto de la materia disuelta y suspendida del agua residual

sobre la solubilidad del oxígeno y sobre el coeficiente detransferencia KLa,

Véase WEF-ASCE (1998) para la ecuación típicamente utilizada para el cálculodetallado de OTR a partir de SOTR.

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2.7.2.Efecto de la concentración de oxígeno disuelto en los procesoscinéticos de crecimiento y metabolismo endógeno

Este efecto se modela multiplicando las velocidades de reacción de los procesoscinéticos, ecuaciones (3) y (4), por un factor de Monod que incluye laconcentración de oxígeno disuelto tal como se expresa en los modelos de la IWA(IAWPRC Task Group, 1986; Gujer y col., 1999; Henze y col., 1999). El factor es:

2O2O

2OSK

S

Ec. (19)

Este factor de Monod tiende a la unidad para concentraciones elevadas deoxígeno disuelto, y tiende a cero para valores mucho menores que Ks. Ks tiene unvalor aproximado de 0,2 g/m3. (IAWPRC, 1986; Gujer y col., 1999; Henze y col.,1999). Es decir, si hay suficiente oxígeno disuelto las velocidades de reacción sonexactamente las de las ecuaciones (3) y (4). Si la concentración de oxígenodisuelto es más baja, entonces las velocidades de reacción serán menores que lasexpresadas por las ecuaciones (3) y (4). Estas ecuaciones se convierten en lassiguientes:

a,V2Os

2O

es

emaxg X

SKS

SKSr

Ec. (20)

a,v2Os

2Odd X

SKSkr

Ec. (21)

2.7.3.Procesos cinéticos del oxígeno

El consumo de oxígeno está ligado a la utilización de sustrato y al metabolismoendógeno. La velocidad de consumo de oxígeno ligada a la utilización de sustratose puede expresar como:

gSUSU2O rYarar Ec. (22)

Es decir:

V2O2O

2O

es

emaxSU2O X

SKS

SKS

Ya

r Ec. (23)

Se deduce que el coeficiente estequiométrico del oxígeno respecto al crecimiento celulares –a/Y (el signo menos se debe a que el oxígeno se consume en el proceso.

La velocidad de consumo de oxígeno ligada al metabolismo endógeno se puede describirpor la ecuación:

17


a,V2O2O

2Od2O X

SKSbr

Ec. (24)

O bien, multiplicando y dividiendo por kd:

a,V2O2O

2Od

dd2O X

SKS

kkb

r Ec. (25)

En este caso, el coeficiente estequiométrico del oxígeno respecto al metabolismoendógeno es –b/kd, con signo también negativo, ya que este proceso es unconsumo de oxígeno.

La matriz de Petersen del modelo con oxígeno se muestra en la Tabla 2.

Tabla 2. Matriz de Petersen para el modelo simple, incorporando el oxígeno como tercercomponente.

Se SO2 XV,a Velocidad de reacciónCrecimiento

-1/Y -a/Y +1 a,V2O2O

2O

es

emax X

SKS

SKS

Metabolismoendógeno -b/kd -1 a,V

2O2O

2Od X

SKSk

2.7.4.Balance de oxígeno en la laguna

A los términos habituales considerados en los balances de sustrato y biomasa seagrega el término de transferencia de oxígeno.

g/d nacumulació de

Velocidad

g/d cinéticosTérminos

g/d linterfaciaciatransferen

por Entrada

g/d efluente con

Salida

g/d afluente con

EntradaEc.(26)

dtdS

VXSK

Sk

kb

V

XSK

SSK

SYaV

VOTRSQSQ

2Oa,V

2O2O

2Od

d

a,V2O2O

2O

es

emax2O112O1

Ec. (27)

18


La ecuación diferencial de la variable de estado “oxígeno disuelto” es:

a,V2O2O

2Od

d

a,V2O2O

2O

es

emax2O12O

12O

XSK

Sk

kb

XSK

SSK

SYa

VOTRSS

VQ

dtdS

Ec. (28)

El conjunto de ecuaciones diferenciales del modelo es ahora el formado por la Ec.(28) y las ecuaciones diferenciales del sustrato y la biomasa, modificadas con el factorde Monod del oxígeno disuelto:

a,V2Os

2O

es

emaxe1

0e XSK

SSK

SY1

)S(SV

Qdt

dSEc. (20)

2Os

2Oa,Vda,V

2Os

2O

es

emaxa,VV,1

0aV,

SKSXkX

SKS

SKS)X(X

VQ

dtdX

Ec.

(21)

2.8. Identificación de parámetros (calibración del modelo)

Se encuentran en la bibliografía valores típicos de los parámetros de un modelo. Sinembargo, se requiere normalmente ajustar los valores de los parámetros para obteneruna mejor aproximación del modelo a la realidad. Este proceso se llama identificaciónde parámetros o calibración del modelo.

Para el proceso de calibración se requiere disponer de datos reales de la planta,simular con el modelo el comportamiento de la misma, y calcular el error entre laestimación y el modelo. Manualmente o mediante rutinas de optimización se modificansistemáticamente los parámetros del modelo con el fin de minimizar una función deerror (del error entre modelo y datos). Esta es la función objetivo. Existen diferentestipos de funciones objetivo y de algoritmos de optimización. En general, lacomplejidad de estas es elevada, y se recomienda utilizar programas que yaincorporen las funciones de optimización. Varios de los programas mencionados,tanto genéricos como especializados las incorporan.

2.9. Resumen del modelo simple de una laguna aireada de mezcla completa

Mediante el ejemplo de un proceso aerobio relativamente simple (2-3 componentes),reactor ideal de flujo de mezcla completa) se ha mostrado la construcción paso a pasode un modelo matemático dinámico, representado por 2-3 ecuaciones diferenciales.Se han definido las variables de estado del modelo, los procesos cinéticos y la matrizde Petersen, que es una forma compacta de relacionar los componentes con lasvariables de estado. Se han planteado los balances dinámicos de sustrato, biomasa yoxígeno, lo que ha permitido obtener las ecuaciones diferenciales del modelo. En el

19


balance de oxígeno se ha incluido la velocidad de transferencia interfacial de estecomponente. Se han enumerado los métodos de integración disponibles para laresolución del conjunto de EDO, y se han mencionado programas informáticosgenéricos o especializados que permiten resolver los modelos. Se ha comentado demanera general la identificación de parámetros o calibración del modelo.

2.10.Modelación de otros tipos de lagunas

Las lagunas aireadas de mezcla completa no son las más comunes. Para manteneruna laguna en perfecta mezcla se requieren consumos de energía generalmenteexcesivos. Las lagunas aireadas más utilizadas son las lagunas aireadas de mezclaparcial o lagunas aireadas facultativas. En este tipo de lagunas se introduce unaintensidad de aireación suficiente para la remoción de DBO5, pero insuficiente paramantener los sólidos primarios y la biomasa en suspensión. Existen zonas bienmezcladas y otras quietas, en las que se depositan y digieren los sólidos en el fondo.

Houweling y col. (2005) idearon un modelo de laguna aireada facultativa, consistenteen un reactor aerobio de mezcla completa, un separador de sólidos, y la digestiónanaerobia. Con este concepto, se modela la separación parcial y digestión de sólidosen la laguna, con la consiguiente liberación de DQO soluble y nitrógeno desde elfondo hasta el resto de la laguna. Este modelo se empleó para modelar la nitrificaciónen la laguna, y también la hidrólisis de los sólidos orgánicos, incluyendo la materiaorgánica considerada “inerte”, que en este modelo se consideró tenía una lentahidrólisis, debido a la permanencia de años en el fondo de la laguna.

Afluente

Reactor aerobio de mezcla completa

Reactor anaerobiode mezcla completa:

- Reducción de sólidos- Liberación de DQO soluble- Conversión a metano

Efluente

Separación parcial de sólidos primarios y secundarios

Figura 4. Modelo conceptual de una laguna aireadafacultativa, basado en Houweling y col. (2005).

20


Las lagunas de estabilización son más difíciles de modelar como reactores ideales.No tienen dispositivos de mezcla. Se han empleado modelos de mezcla completa,flujo pistón y flujo disperso para el diseño de lagunas (modelo en condicionesestacionarias). Para modelos más detallados se ha recurrido a la mecánica de fluidoscomputacional, que requiere de herramientas para el manejo de ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales.

2.11.Modelación de la sedimentación

El proceso de lodos activados incluye una etapa de sedimentación, quetradicionalmente se modela mediante la división del decantador (o reactor, en el casode un RBS) en capas (unas 10, por ejemplo), y la asignación de velocidades desedimentación a las partículas. Además se debe considerar la extracción de lodo porbombeo. Se obtiene una ecuación diferencial ordinaria para cada capa deldecantador. Si se desea considerar un decantador reactivo, hay que incorporar losprocesos cinéticos a cada capa, con lo que la complejidad del modelo aumenta.

3. Introducción a los modelos de la International Water Association

Un modelo cinético como el presentado en el apartado 2 es fácil de manejar, al tener sólotres componentes y dos procesos cinéticos. Sin embargo, no tiene en cuenta una serie defenómenos importantes, como:

La hidrólisis de los sólidos orgánicos, que provoca la liberación de materiaorgánica soluble, que puede ser al menos parcialmente biodegradable.

La amonificación del nitrógeno orgánico (un proceso de hecho ligado al anterior) La conversión del amonio a nitrato (nitrificación) La biomasa nitrificante (autótrofa), que realiza el proceso anterior El proceso de desnitrificación biológica Los procesos involucrados en la asimilación incrementada de fósforo por

microorganismos especializados El papel de la alcalinidad en algunos procesos anteriores

En 1986, la IAWPRC presentó el Modelo de lodos activados nº 1 (IAWPRC, 1986),conocido por sus siglas en inglés (ASM1: Activated Sludge Model No. 1). Es un modelopara la remoción biológica de carbono orgánico y nitrógeno. No considera la remoción defósforo. En este modelo todos los componentes de materia orgánica se expresan comoDQO, incluyendo la concentración de biomasa. El modelo considera dos tipos debiomasa: heterótrofa (consume materia orgánica biodegradable) y autótrofa (se refiere alos organismos nitrificantes autótrofos, y no incluye otros autótrofos como las algas, quese considera no están presentes en un proceso de lodos activados).

A continuación se describen resumidamente los 13 componentes del modelo.

21


3.1. Componentes del ASM1

3.1.1. Sustratos de materia orgánica

1. SI : DQO soluble no biodegradable, g DQO/m3

Es un fracción de la DQO del afluente: no se degrada ni se forma de nuevo en el reactor.

2. Ss: DQO fácilmente biodegradable (se la considera soluble), g DQO/m3

Substrato para el crecimiento de los heterótrofos (en condiciones aerobias o anóxicas-DN). Es una fracción de la DQO del afluente, y a demás se forma en el reactor porhidrólisis de XS.

PARTICULADA

3. XI : DQO no disuelta (particulada) no biodegradable.

Es la fracción de los sólidos orgánicos del afluente, g DQO/m3

4. XS: DQO lentamente biodegradable, g DQO/m3.

Es DQO particulada y lentamente biodegradable. No es consumida directamente por losmicroorganismos. Se hidroliza en condiciones aerobias o anóxicas para dar SS. La muertecelular también produce una fracción de sólidos lentamente biodegradables, representadapor XU (más abajo).

3.1.2. Componentes de la biomasa

BIOMASA:

5. XB,H: Biomasa heterótrofa, g DQO/m3

Crece en condiciones aerobias a costa de SS, consumiendo oxígeno, algo de nitrógenoamoniacal, y algo de alcalinidad (por eliminar NH3). También crece en condicionesanóxicas, consumiendo nitrato, amoníaco y alcalinidad.

6. XA,H: Biomasa autótrofa, g DQO/m3

Crece en condiciones aerobias, consumiendo oxígeno, tomando el bicarbonato comofuente de carbono, lo que reduce la alcalinidad. Por otra parte, oxida el amonio a nitrato,lo que consume también alcalinidad.

7. XU: Partículas no biodegradables, procedentes de la muerte de las células, g DQO/m3

Una fracción de las células muertas se transforma en XU.

22


3.1.3. Otros componentes

8. Oxígeno disuelto SO, g DQO N/m3

Se consume en el crecimiento aerobio de heterótrofos y autótrofos. No se consumedirectamente en la muerte celular, sino en la oxidación aerobia de los productos solublesde descomposición.

9. SNO: Nitrato + nitrito, g N/m3

Se forma en condiciones aerobias en el proceso de crecimiento de los autótrofos(nitrificación). Se consume en el crecimiento anóxico de los heterótrofos (desnitrificación).

10. SNH: Nitrógeno amoniacal (amonio + amoníaco), g N/m3

Se consume (poco) en el crecimiento aerobio y anóxico de los heterótrofos y (mucho) enel crecimiento aerobio de los autótrofos (nitrificación). Se forma en la amonificación(conversión del nitrógeno orgánico biodegradable a amonio).

11. SND: Nitrógeno orgánico soluble y biodegradable, g N/m3

Se forma por hidrólisis del nitrógeno orgánico. Se consume en la amonificación delnitrógeno

12. XND: Nitrógeno orgánico particulado y biodegradable, g N/m3

Es un componente del afluente. Se forma también por la muerte de la biomasa, y seconsume por hidrólisis, para dar N orgánico soluble biodegradable.

13. SALK: Alcalinidad, mol/m3

Se consume en el crecimiento de la biomasa heterótrofa y autótrofa, y se forma en laamonificación y en la desnitrificación.

3.2. Procesos del modelo ASM1

El ASM1 contempla 8 procesos cinéticos.

1. Crecimiento aerobio de los heterótrofos2. Crecimiento anóxico de los heterótrofos3. Crecimiento aerobio de los autótrofos4. Muerte de los heterótros5. Muerte de los autótrofos6. Amonificación del nitrógeno orgánico soluble7. Hidrólisis de la materia organica lentamente biodegradable8. Hidrólisis del nitrógeno orgánico particulado

23


Las ecuaciones cinéticas de los procesos y su relación con los componentes se expresaen la matriz de Petersen del modelo, que se puede encontrar en la referencia citada(IAWPRC, 1986).

Posteriormente, se creó el modelo ASM2, que incluía la remoción biológica de carbono,nitrógeno y fósforo, aunque éste fue sustituido por el ASM2d (Henze y col, 1999), queincorporaba aspectos no contemplados en el primero, como la asimilación anóxica defosfato. El ASM3 (Gujer y col., 1999) es un modelo para remoción biológica de carbono,que incorpora una descripción más detallada de la asimilación de carbono orgánico, altiempo que incorpora los procesos de hidrólisis del nitrógeno orgánico particulado y laamonificación a la hidrólisis de la materia orgánica. También incorpora la limitación de losprocesos por la falta de nutrientes.

Resumen y conclusión

Mediante el ejemplo de una laguna aireada de mezcla se ha mostrado paso a paso elproceso de construcción de un modelo dinámico de un sistema de tratamiento. Se hancomentado con menor profundidad aspectos igualmente importantes, como técnicas deresolución de las ecuaciones diferenciales, identificación de parámetros del modelo, oprogramas informáticos disponibles para la modelación. Se han comentado también lasimplicaciones de algunos sistemas reales con separación de sólidos. Se han introducidolos modelos cinéticos y estequiométricos de la IWA, más complejos que el empleado enel ejemplo.

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Referencias

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Houweling CD, Kharoune L, Escalas A, Comeau Y. (2005). Modeling ammonia removal inaerated facultative lagoons. Water Sci. Technol. 51, 12, 139-142.

Henze, W., Gujer, W., Mino T., Matsuo, T., Wentzel, M.C., Marais, G.v.R., van Loosdrecht(1999). Activated Sludge Model No. 2d, ASM2d. Wat. Sci. Technol., 39, 1, 165-182.

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Metcalf &Eddy (1996). Ingeniería de aguas residuales Tratamiento, descarga yreutilización. Madrid, McGraw-Hill.

Ramalho, R.S. (1993). Tratamiento de aguas residuales. Ed. Reverté, Barcelona.

WEF-ASCE (1998a). Design of Municipal Wastewater Treatment Plants, 4th ed., vol. 2.Water Environment Federation – American Society of Civil Engineers. Alexandria-Reston (Virginia, EUA).

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