Model a Do System As
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Control: Modelado de sistema dinámicosIntroducción al control de sistemas
Dr. Francisco Ronay LÓPEZ ESTRADA 1,2,3
1SISTEMA EDUCATIVO DESCARTES
1 Introducción y definiciones
2 Modelado de sistemas dinámicos
3 Simulación de ecuaciones diferenciales
4 Transformada de Laplace
Dr. LÓPEZ ESTRADA et al (SE DESCARTES) 2 / 39
Modelo matemático
DefiniciónUn modelo matemático, puede definirse como una construcción matemática abstracta ysimplificada relacionada a una parte de la realidad y creada para un propósito particular.
Los modelos pueden obtenerse principalmente mediante:
Primeros principios (leyes de conservación de materia, masa, energía).
Identificación (datos de entrada/salida).
Combinación de ambos.
Dr. LÓPEZ ESTRADA et al (SE DESCARTES) 3 / 39
Modelo matemático
DefiniciónUn modelo matemático, puede definirse como una construcción matemática abstracta ysimplificada relacionada a una parte de la realidad y creada para un propósito particular.
Los modelos pueden obtenerse principalmente mediante:
Primeros principios (leyes de conservación de materia, masa, energía).
Identificación (datos de entrada/salida).
Combinación de ambos.
Dr. LÓPEZ ESTRADA et al (SE DESCARTES) 3 / 39
Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
Dr. LÓPEZ ESTRADA et al (SE DESCARTES) 4 / 39
Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
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Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
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Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
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Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
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Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
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Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
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Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
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Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
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Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
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Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
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Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
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Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
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Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
Dr. LÓPEZ ESTRADA et al (SE DESCARTES) 4 / 39
Metodología de modelado
1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser
tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.
3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.
4 Simulación.I Programación.
5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.
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Simplicidad vs exactitud
En general, una mayor exactitud requiere de una mayor complejidad.Es preferible un modelo adecuado, que cumpla el principio de parsimonia:
DefiniciónSiendo iguales otras cosas, los modelos simples son preferibles a los complejos.
Ejemplo: Incluir o no, las no-linealidades.Despreciar dinámicas rápidas no significativas.
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Simplicidad vs exactitud
En general, una mayor exactitud requiere de una mayor complejidad.Es preferible un modelo adecuado, que cumpla el principio de parsimonia:
DefiniciónSiendo iguales otras cosas, los modelos simples son preferibles a los complejos.
Ejemplo: Incluir o no, las no-linealidades.Despreciar dinámicas rápidas no significativas.
Dr. LÓPEZ ESTRADA et al (SE DESCARTES) 5 / 39
Simplicidad vs exactitud
En general, una mayor exactitud requiere de una mayor complejidad.Es preferible un modelo adecuado, que cumpla el principio de parsimonia:
DefiniciónSiendo iguales otras cosas, los modelos simples son preferibles a los complejos.
Ejemplo: Incluir o no, las no-linealidades.Despreciar dinámicas rápidas no significativas.
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Criterios para modelar un sistema
Existen diferentes representaciones dependiendo de:1 El método analítico empleado2 Características del sistema que se interesa estudiar3 De las entradas y salidas4 Entradas y salidas y partes componentes del sistema
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Descripción externa o entrada salidaNo se conoce la estructura interna del sistemaSólo se tiene acceso a las terminales de entrada y salidaSe aplican diferentes señales de entrada y se miden sus señales de salida correspondientesLas características y propiedades del sistema se obtienen del análisis de las paresentrada-salida
Figura : Sistema lineal de p entradas q salidas
Donde:
U =[u1u2...Up ]′ −→ (px1) (1)
Y =[y1y2...yq ] −→ (qx1) (2)
Las entradas y salidas están definidas desde −∞ hasta +∞U denota una función vectorial definida sobre ( −∞, +∞)U(t) denota el valor de U en tiempo tU(t0,t1) denota a la función U definida en [t0,t1)
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Linealidad
Definición (Sistema lineal)Un sistema en reposo es lineal, sí y sólo sí:
f (α1x1 + α2x2) = α1f (x1) + α2f (x2) (3)
por cualesquiera x1, x2, α1 y α2; α1, α2 son números reales. Si la Ecuación 3 no se cumple, elsistema es no lineal.La definición anterior se escribe en forma equivalente como:
f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) (4)
f (αx1) = αf (x1) (5)
Donde la Ec.4 se conoce como propiedad de aditividad y la Ec. 5 como la propiedad dehomogeneidad
Aplica el principio de superposición!
En general, todos los sistemas son no lineales y tienen entradas y salidas acotadas.
Muchas veces se linealiza alrededor del punto de operación si así es posible simplificar elmodelo.
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Linealidad
Definición (Sistema lineal)Un sistema en reposo es lineal, sí y sólo sí:
f (α1x1 + α2x2) = α1f (x1) + α2f (x2) (3)
por cualesquiera x1, x2, α1 y α2; α1, α2 son números reales. Si la Ecuación 3 no se cumple, elsistema es no lineal.La definición anterior se escribe en forma equivalente como:
f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) (4)
f (αx1) = αf (x1) (5)
Donde la Ec.4 se conoce como propiedad de aditividad y la Ec. 5 como la propiedad dehomogeneidad
Aplica el principio de superposición!
En general, todos los sistemas son no lineales y tienen entradas y salidas acotadas.
Muchas veces se linealiza alrededor del punto de operación si así es posible simplificar elmodelo.
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Sistema dinámico
1 Sistemas sin memoria o instantáneos:La salida del sistema en el tiempo t1 dependeúnicamente de la entrada aplicada en el tiempo t1
2 Sistemas con memoria La salida del sistema en el tiempo t1, depende de la entradaaplicada en el tiempo t1 y además de la entrada aplicada antes y después de t1
3 Sistema es determinístico: Es aquel que para cada entrada le corresponde una y solo unasalida. de otra forma el sistema se denomina estocástico.
Discusión: ¿Cual de los dos es un sistema dinámico?
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Sistema dinámico
1 Sistemas sin memoria o instantáneos:La salida del sistema en el tiempo t1 dependeúnicamente de la entrada aplicada en el tiempo t1
2 Sistemas con memoria La salida del sistema en el tiempo t1, depende de la entradaaplicada en el tiempo t1 y además de la entrada aplicada antes y después de t1
3 Sistema es determinístico: Es aquel que para cada entrada le corresponde una y solo unasalida. de otra forma el sistema se denomina estocástico.
Discusión: ¿Cual de los dos es un sistema dinámico?
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Sistema SISO,MISO, SIMO y MIMO
DefiniciónSistema monovariable. Es aquel que solo tiene una entrada y una salida, también llamadossistemas SISO (por sus siglas en inglés). Si el sistema tiene más de una entrada o más de unasalida se llamará multivariable y pueden ser de tipo MISO (múltiples entradas - una salida),SIMO (una entrada - múltiples salidas) o MIMO (múltiples entradas - múltiples salidas).
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Causalidad e Invariancia
Definición (Causalidad)Un sistema es causal o no anticipatorio si la salida en el tiempo t, no depende de la entradaaplicada después del tiempo t, es decir depende únicamente de la entrada aplicada antes y en eltiempo t. La causalidad es una propiedad inherente de todo sistema físico.
Definición (Invariancia en el tiempo)Un sistema en reposo es invariante en el tiempo, sí y sólo sí: HQαU = QαHU, para cualquierentrada U y cualquier real α.De otra manera el sistema varía con el tiempo.Donde Qα es el operador de desfasamiento
Figura : Sistemas invariantes en el tiempoDr. LÓPEZ ESTRADA et al (SE DESCARTES) 11 / 39
Modelos matemáticos de sistemas
Ecuaciones diferencialesd2xodt
=Kmxi −
Kmxo −
Cm
dxodt
(6)
Funciones de transferencia
G(s) =Km
s2 − Cm s + K
m
(7)
Espacio de estados
xi (t) = Ax + Bu (8)
yj = Cx + D (9)
Otras formas de modelado: modelos ARX, ARMAX, NARMAX, output-error, modelosVoterra, redes neuronales, etc...
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Modelos matemáticos de sistemas
Ecuaciones diferencialesd2xodt
=Kmxi −
Kmxo −
Cm
dxodt
(6)
Funciones de transferencia
G(s) =Km
s2 − Cm s + K
m
(7)
Espacio de estados
xi (t) = Ax + Bu (8)
yj = Cx + D (9)
Otras formas de modelado: modelos ARX, ARMAX, NARMAX, output-error, modelosVoterra, redes neuronales, etc...
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Modelos matemáticos de sistemas
Ecuaciones diferencialesd2xodt
=Kmxi −
Kmxo −
Cm
dxodt
(6)
Funciones de transferencia
G(s) =Km
s2 − Cm s + K
m
(7)
Espacio de estados
xi (t) = Ax + Bu (8)
yj = Cx + D (9)
Otras formas de modelado: modelos ARX, ARMAX, NARMAX, output-error, modelosVoterra, redes neuronales, etc...
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Modelos matemáticos de sistemas
Ecuaciones diferencialesd2xodt
=Kmxi −
Kmxo −
Cm
dxodt
(6)
Funciones de transferencia
G(s) =Km
s2 − Cm s + K
m
(7)
Espacio de estados
xi (t) = Ax + Bu (8)
yj = Cx + D (9)
Otras formas de modelado: modelos ARX, ARMAX, NARMAX, output-error, modelosVoterra, redes neuronales, etc...
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Expresiones algebraicas vs dinámicas
La forma más sencilla de caracterizar un sistema es a través de su relación salida entrada. En estetipo de enfoque no es tan importante conocer internamente el sistema. Cuando el sistema noposee una dinámica interna. Es decir, su respuesta ante una entrada es instantánea o si existedinámica pero es despreciable. La relación salida entrada es caracterizada por una expresiónalgebraica.Sin embargo, cualquier sistema interesante, por más sencillo que sea, es de naturaleza dinámica yconsecuentemente para su representación es necesario el uso de ecuaciones diferenciales.
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Ejemplo de expresiones dinámicas y estáticas
Cuadro : Sistema mecánicos
Elemento Simbología Fuerza Energía Alamcenada
Resorte (Nm ) F = ky E = 1
2ky2
Amortiguador (Nsm ) F = b dy
dt No almacena energía
Masa (kg) F = m d2ydt2 E = 1
2mv2
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Modelado de un sistema mecánico
Figura : Sistema Mecánico
Linealizando (de manera practica)Fricción: Se considera la fricción viscosa (K1)Resorte: Se Considera la Reacción lineal (K2)Aplicando la 2da. ley de Newton se obtiene las ecuaciones diferenciales que describen el sistema.my = u − by − kyDonde:
y =dydt, y =
d2ydt2
se tienemy + by + ky = u
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Ejercicio
Determinar su representación de espacios de estados
Figura : Sistema Mecánico con entradas y salidas acopladas
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Solución
Primero identificamos las entradas y las salidas:Entradas: F1y F2Salidas: y1y y2En el siguiente paso es encontrar las ecuaciones diferenciales que representan el comportamientodinamico del sistema Mecánico:
m1d2y1dt2
= −k1y1 − b1dy1dt− b2
(dy1dt−
dy2dt
)+ F1 (t)
m2d2y2dt2
= −k2y2 − b3dy2dt
+ b2
(dy1dt−
dy2dt
)+ F2 (t)
Haciendo:
d2y1dt2
= y1 dy1 = y1d2y2dt2
= y2dy2dt
= y2
y1 =−k1
m1y1 −
b1
m1y1 −
b2
m1(y1 − y2) +
F1
m1(t)
y2 =−k2
m2y2 −
b3
m2y2 −
b2
m2(y1 − y2) +
F2
m2(t)
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Sistema eléctricos
Cuadro : Sistemas electrícos
Elemento Simbología Corriente Voltaje Impedancia
Resistencia (Ω) iR = VR V = RiR ZR = R
Inductor (H) iL = 1L
∫VLdt VL = L diL
dt ZL = Ls
Capacitor (F ) ic = C dVcdt Vc = 1
C
∫iCdt Zc = 1
Cs
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Ejemplo de sistema eléctrico
Figura : Circuito Electríco RCL
Considere el caso SIMO con las salidas:a) Voltaje en el Capacitorb) El Voltaje en el capacitor mas el voltaje en el inductorc) La corriente i(t)Solución:Las ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del circuito son:
Ldi(t)
dt+ Ri(t) +
1C
∫i(t)d (t) = ve (t)
Cdvcdt
= i (t)
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Ejemplo de sistema eléctrico
Figura : Circuito Electríco RCL
Considere el caso SIMO con las salidas:a) Voltaje en el Capacitorb) El Voltaje en el capacitor mas el voltaje en el inductorc) La corriente i(t)Solución:Las ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del circuito son:
Ldi(t)
dt+ Ri(t) +
1C
∫i(t)d (t) = ve (t)
Cdvcdt
= i (t)
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Ejercicio
Encuentre el modelo matemático del siguiente circuito eléctrico.
Figura : Sistema Eléctrico
1 las ecuaciones diferenciales del sistema. Considere dos salidas v1 y v22 Su representación en espacio de estados
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Solución
Analizando el nodo 1:
i1 = i2 + i31L1
∫(vi − v1) dt = C
dv1dt
+1
R + L2
∫v1dt
derivando toda la ecuación con respecto al tiempo:
1L1
(vi − v1) = Cd2v1dt2
+v1
R + L2
Haciendo:
dvdt
= v
d2vdt
= v1
Entonces:
1L1
(vi − v1) = Cv1 +v1
R + L2
Cv1 =
(1L1−
1R + L2
)v1 +
1L1
vi
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Solución
Analizando el nodo 1:
i1 = i2 + i31L1
∫(vi − v1) dt = C
dv1dt
+1
R + L2
∫v1dt
derivando toda la ecuación con respecto al tiempo:
1L1
(vi − v1) = Cd2v1dt2
+v1
R + L2
Haciendo:
dvdt
= v
d2vdt
= v1
Entonces:
1L1
(vi − v1) = Cv1 +v1
R + L2
Cv1 =
(1L1−
1R + L2
)v1 +
1L1
vi
Dr. LÓPEZ ESTRADA et al (SE DESCARTES) 21 / 39
Continuación
Nodo 2:
i3 = i4(v1 − v2)
R=
1L2
∫v2dt
Derivando toda la ecuación con respecto al tiempo:
1R
d (v1 − v2)
dt=
v2L2
1R
(v1 − v2) =v2L2
1Rv2 = −
v2L2
+1Rv1
v2 = −RL2
v2 + v1
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Sistema hidráulicos
Cuadro : Sistemas hidráulicos
Elemento Simbología Ecuación Energía Alamcenada
Resistencia hidráulica p1 − p2 = Rq
Capacitancia hidráulica p = 1C
∫(q1 − q2)dt No almacena energía
Inertancia hidráulica p1 − p2 = I dqdt
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Simulación de ecuaciones diferenciales en SCILAB
Dado un sistema en ODEs
dxdt
= F (x , t), x(t0) = x0
Donde la variable x puede ser un estado, la forma de simularlo es mediante el comando ODE,como>x=ode(x0,t0,t,f)donde:
y0 es el vector de condiciones iniciales
t0 es un escalar real que indica el tiempo inicial
t es el vector real de tiempo
f es una función externa que contiene el lado derecho de la ecuación
Solvers validos: "adams", "stiff", "rk", "rkf", "fix", "discrete", "roots". rtol
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Ejemplo 1:
considere el siguiente sistema de ODE,
dxdt
= F (x , t)
dxdt
= x2 − xsin(t)cos(t)
Su código equivalente en Scilab seríafunction ydot=f(t, y)ydot=y^2-y*sin(t)+cos(t)endfunctiony0=0;t0=0;t=0:0.1:%pi;y = ode(y0,t0,t,f);plot(t,y)
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Ejemplo 2:
Resolver el siguiente sistema
x + 2x + x = 2et , x(0) = 0
Soluciónclear();function dy=f(t,y)
dy=[x(2); 2*exp(t)-2*x(2)-x(1)]endfunctiont0=0;t=0:0.3:6x0=[0;1]x=ode(x0,t0,t,f)plot(t,x(1,:))
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Transformada de Laplace
DefiniciónEl método de la transformada de Laplace convierte las ecuaciones diferenciales lineales de ‘difícil’solución en ecuaciones algebraicas simples.
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Definición: Transformada de Laplace
DefiniciónSea f una función definida en [0, ∞). La transformada de Laplace L f (t) o F (s)es latransformada integral
F (s) = L f (t) =
∫ ∞0
e−st f (t)dt
donde la integral se entiende en el sentido impropio, o sea∫ ∞0
e−st f (t)dt =h→∞
∫ h
0e−st f (t)dt
donde:f (t) es una función en el dominio del tiempo.F (s) es la transformada de Laplace de f (t).s es una variable compleja.L es el operador lineal de Laplace.
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Propiedad de linealidad
La transformada de Laplace cumple la siguiente propiedad de linealidad
L αf (t) + βg(x) = L αf (t)+ L βg(x) = αL f (t)+ βL g(x)
Ejemplo
L sen(4t)− 2t3 = L sen(4t) − 2L t3
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Ejemplo 1:
Considere las siguientes transformadas de Laplace
L eax(t) =
1
t − a, t > a
∞ t ≤ a, L ex2
(t) =
∫ ∞0
ex2−txdt =∞, ∀t ∈ R
¿Que clase de funciones tienen transformadas de Laplace?
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Ejemplo 1:
Considere las siguientes transformadas de Laplace
L eax(t) =
1
t − a, t > a
∞ t ≤ a, L ex2
(t) =
∫ ∞0
ex2−txdt =∞, ∀t ∈ R
¿Que clase de funciones tienen transformadas de Laplace?
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Funciones de orden exponencial
DefiniciónFunciones de orden exponencia Una función f es de orden exponencial si existen dos constantesno negativas c y M tales que |f (t)| < Mect , ∀t > 0, la integral convergerá para c > α.
TeoremaSi f es una función continua a trozos de orden exponencial entonces f tiene transformada deLaplace para todo t suficientemente grande.
Considerar (integración por partes) ∫u.dv = u.v −
∫v .du
Demostración.tenemos, para t > c
|e−tx f (x)| = e−tx |f (x)| ≤ Me−tx+cx = Me−x(t−c)
Considerando la integral∫ ∞0
ex(t−c)dx =h→∞
∫ h
0ex(t−c)dx =
h→∞M
e(c−t)h−1
c − t=
Mt − c
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Funciones de orden exponencial
DefiniciónFunciones de orden exponencia Una función f es de orden exponencial si existen dos constantesno negativas c y M tales que |f (t)| < Mect , ∀t > 0, la integral convergerá para c > α.
TeoremaSi f es una función continua a trozos de orden exponencial entonces f tiene transformada deLaplace para todo t suficientemente grande.
Considerar (integración por partes) ∫u.dv = u.v −
∫v .du
Demostración.tenemos, para t > c
|e−tx f (x)| = e−tx |f (x)| ≤ Me−tx+cx = Me−x(t−c)
Considerando la integral∫ ∞0
ex(t−c)dx =h→∞
∫ h
0ex(t−c)dx =
h→∞M
e(c−t)h−1
c − t=
Mt − c
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Funciones de orden exponencial
DefiniciónFunciones de orden exponencia Una función f es de orden exponencial si existen dos constantesno negativas c y M tales que |f (t)| < Mect , ∀t > 0, la integral convergerá para c > α.
TeoremaSi f es una función continua a trozos de orden exponencial entonces f tiene transformada deLaplace para todo t suficientemente grande.
Considerar (integración por partes) ∫u.dv = u.v −
∫v .du
Demostración.tenemos, para t > c
|e−tx f (x)| = e−tx |f (x)| ≤ Me−tx+cx = Me−x(t−c)
Considerando la integral∫ ∞0
ex(t−c)dx =h→∞
∫ h
0ex(t−c)dx =
h→∞M
e(c−t)h−1
c − t=
Mt − c
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Ejemplo 1:transformada de L tnLa transformada de Laplace de 1
L1 = F(s) =
∫ ∞0
1e−stdt =h→∞
∫ h
0e−stdt
=−e−st
s
∣∣∣∣∣∣h
0=
−e−sh
s+
1
s
=1
s
La transformada de Laplace de t
Lt = F(s) =
∫ ∞0
te−stdt
u = t, du = dt
dv = e−stdt, v = −e−st
s
limh→∞
∫ h
0e−stdt = lim
h→∞
− te−st
s+
∫ e−st
sdt
h
0= lim
h→∞
− te−st
s−
e−st
s2
h
0
=
G︷ ︸︸ ︷− he−sh
s−
e−sh
s2
−−0 −
e−s.0
s2
h→∞G =
:0
limh→∞
−
h
est s
−
* 01
es∞s2+
1
s2=
1
s2
=1
s2
La transformada de Laplace de t2
Lt2 = F(s) =
∫ ∞0
t2e−stdt ==2
s3
En resumen, la transformada de Laplace de tn =n!
s1+n
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Ejemplo 1:transformada de L tnLa transformada de Laplace de 1
L1 = F(s) =
∫ ∞0
1e−stdt =h→∞
∫ h
0e−stdt
=−e−st
s
∣∣∣∣∣∣h
0=
−e−sh
s+
1
s
=1
s
La transformada de Laplace de t
Lt = F(s) =
∫ ∞0
te−stdt
u = t, du = dt
dv = e−stdt, v = −e−st
s
limh→∞
∫ h
0e−stdt = lim
h→∞
− te−st
s+
∫ e−st
sdt
h
0= lim
h→∞
− te−st
s−
e−st
s2
h
0
=
G︷ ︸︸ ︷− he−sh
s−
e−sh
s2
−−0 −
e−s.0
s2
h→∞G =
:0
limh→∞
−
h
est s
−
* 01
es∞s2+
1
s2=
1
s2
=1
s2
La transformada de Laplace de t2
Lt2 = F(s) =
∫ ∞0
t2e−stdt ==2
s3
En resumen, la transformada de Laplace de tn =n!
s1+n
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Tabla de transformadas
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Transformada inversa
El objetivo es pasar de una función en s a una función en t
t y
s
L−F (s) = f (t)
Hacer uso de las tablas de transformadas
Cumple con la propiedad de linealidad
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Ejemplos
Ejemplo 1: La transformada inversa de1s3
L−11s3 = L−1
1s2+1
para n = 2
L−11
s2+1 =12
L−12!
s2+1 =12t2
Ejemplo 2:
L−13s
+1
s2 + 36 = 3 +
16
L−16
s2 + 36 = 3 +
16sen(4t)
Ejemplo 3:
L−1
5s2 − 9
= L−1
5
(s + 3)(s − 3)
= L−1
A
(s + 3)+
Bs − 3
A = (s + 3)
5(s + 3)(s − 3)
∣∣∣∣s=−3
= −56
B = (s − 3)5
(s + 3)(s − 3)
∣∣∣∣s=3
=56
L−1
5s2 − 9
= −
56e−3t +
56e3t
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Ejemplos
Ejemplo 1: La transformada inversa de1s3
L−11s3 = L−1
1s2+1
para n = 2
L−11
s2+1 =12
L−12!
s2+1 =12t2
Ejemplo 2:
L−13s
+1
s2 + 36 = 3 +
16
L−16
s2 + 36 = 3 +
16sen(4t)
Ejemplo 3:
L−1
5s2 − 9
= L−1
5
(s + 3)(s − 3)
= L−1
A
(s + 3)+
Bs − 3
A = (s + 3)
5(s + 3)(s − 3)
∣∣∣∣s=−3
= −56
B = (s − 3)5
(s + 3)(s − 3)
∣∣∣∣s=3
=56
L−1
5s2 − 9
= −
56e−3t +
56e3t
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Ejemplos
Ejemplo 1: La transformada inversa de1s3
L−11s3 = L−1
1s2+1
para n = 2
L−11
s2+1 =12
L−12!
s2+1 =12t2
Ejemplo 2:
L−13s
+1
s2 + 36 = 3 +
16
L−16
s2 + 36 = 3 +
16sen(4t)
Ejemplo 3:
L−1
5s2 − 9
= L−1
5
(s + 3)(s − 3)
= L−1
A
(s + 3)+
Bs − 3
A = (s + 3)
5(s + 3)(s − 3)
∣∣∣∣s=−3
= −56
B = (s − 3)5
(s + 3)(s − 3)
∣∣∣∣s=3
=56
L−1
5s2 − 9
= −
56e−3t +
56e3t
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Ejercicios
Ejercicio 1: La transformada inversa de3s + 5s2 + 7
L−13s + 5s2 + 7
= L−1
3s
s2 + 7
+ 5L−1
1
s2 + 7
=3
L−1
s
s2 +(√
7)2
+5√7
L−1
√7
s2 +(√
7)2
= 3cos(
√7t) +
5√7sen(√7t)
Ejercicio 2: La transformada inversa de3(s + 3)
s2 + 6s + 8
L−1
3(s + 3)
s2 + 6s + 8
= 1.5e−4t + 1.5e−2t
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Ejercicios
Ejercicio 1: La transformada inversa de3s + 5s2 + 7
L−13s + 5s2 + 7
= L−1
3s
s2 + 7
+ 5L−1
1
s2 + 7
=3
L−1
s
s2 +(√
7)2
+5√7
L−1
√7
s2 +(√
7)2
= 3cos(
√7t) +
5√7sen(√7t)
Ejercicio 2: La transformada inversa de3(s + 3)
s2 + 6s + 8
L−1
3(s + 3)
s2 + 6s + 8
= 1.5e−4t + 1.5e−2t
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Ejercicios
Ejercicio 1: La transformada inversa de3s + 5s2 + 7
L−13s + 5s2 + 7
= L−1
3s
s2 + 7
+ 5L−1
1
s2 + 7
=3
L−1
s
s2 +(√
7)2
+5√7
L−1
√7
s2 +(√
7)2
= 3cos(
√7t) +
5√7sen(√7t)
Ejercicio 2: La transformada inversa de3(s + 3)
s2 + 6s + 8
L−1
3(s + 3)
s2 + 6s + 8
= 1.5e−4t + 1.5e−2t
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Tabla de transformadas
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Tabla de transformadas
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Richard C. Dorf, (2010). Modern Control Systems, 12/E. Editorial Pearson.
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