Model a Do System As

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Control: Modelado de sistema dinámicos Introducción al control de sistemas Dr. Francisco Ronay LÓPEZ ESTRADA 1,2,3 1 SISTEMA EDUCATIVO DESCARTES

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Control: Modelado de sistema dinámicosIntroducción al control de sistemas

Dr. Francisco Ronay LÓPEZ ESTRADA 1,2,3

1SISTEMA EDUCATIVO DESCARTES

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1 Introducción y definiciones

2 Modelado de sistemas dinámicos

3 Simulación de ecuaciones diferenciales

4 Transformada de Laplace

Dr. LÓPEZ ESTRADA et al (SE DESCARTES) 2 / 39

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Modelo matemático

DefiniciónUn modelo matemático, puede definirse como una construcción matemática abstracta ysimplificada relacionada a una parte de la realidad y creada para un propósito particular.

Los modelos pueden obtenerse principalmente mediante:

Primeros principios (leyes de conservación de materia, masa, energía).

Identificación (datos de entrada/salida).

Combinación de ambos.

Dr. LÓPEZ ESTRADA et al (SE DESCARTES) 3 / 39

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Modelo matemático

DefiniciónUn modelo matemático, puede definirse como una construcción matemática abstracta ysimplificada relacionada a una parte de la realidad y creada para un propósito particular.

Los modelos pueden obtenerse principalmente mediante:

Primeros principios (leyes de conservación de materia, masa, energía).

Identificación (datos de entrada/salida).

Combinación de ambos.

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Metodología de modelado

1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser

tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de

conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de

condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.

3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.

4 Simulación.I Programación.

5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.

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Metodología de modelado

1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser

tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de

conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de

condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.

3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.

4 Simulación.I Programación.

5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.

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Metodología de modelado

1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser

tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de

conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de

condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.

3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.

4 Simulación.I Programación.

5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.

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Metodología de modelado

1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser

tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de

conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de

condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.

3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.

4 Simulación.I Programación.

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1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser

tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de

conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de

condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.

3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.

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1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser

tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de

conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de

condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.

3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.

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1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser

tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de

conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de

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3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.

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1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser

tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de

conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de

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3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.

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tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de

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tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de

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conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de

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conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de

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tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de

conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de

condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.

3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.

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1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser

tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de

conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de

condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.

3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.

4 Simulación.I Programación.

5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.

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1 Conceptualización.I Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar.I Definir de los objetivos del modelo.I Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis sobre el sistema bajo estudio que debe ser

tan simple como sea posible.I Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sistema y su causalidad física (leyes de

conservación de la masa, energía y momento).I Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

2 Formalización.I Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de

condiciones lógicas haciendo uso de los primeros principios.

3 Parametrización.I Ajuste de los parámetros de modelo y de las condiciones iniciales.

4 Simulación.I Programación.

5 Validación.I Datos experimentales vs. datos de simulación.

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Simplicidad vs exactitud

En general, una mayor exactitud requiere de una mayor complejidad.Es preferible un modelo adecuado, que cumpla el principio de parsimonia:

DefiniciónSiendo iguales otras cosas, los modelos simples son preferibles a los complejos.

Ejemplo: Incluir o no, las no-linealidades.Despreciar dinámicas rápidas no significativas.

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Simplicidad vs exactitud

En general, una mayor exactitud requiere de una mayor complejidad.Es preferible un modelo adecuado, que cumpla el principio de parsimonia:

DefiniciónSiendo iguales otras cosas, los modelos simples son preferibles a los complejos.

Ejemplo: Incluir o no, las no-linealidades.Despreciar dinámicas rápidas no significativas.

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Simplicidad vs exactitud

En general, una mayor exactitud requiere de una mayor complejidad.Es preferible un modelo adecuado, que cumpla el principio de parsimonia:

DefiniciónSiendo iguales otras cosas, los modelos simples son preferibles a los complejos.

Ejemplo: Incluir o no, las no-linealidades.Despreciar dinámicas rápidas no significativas.

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Criterios para modelar un sistema

Existen diferentes representaciones dependiendo de:1 El método analítico empleado2 Características del sistema que se interesa estudiar3 De las entradas y salidas4 Entradas y salidas y partes componentes del sistema

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Page 24: Model a Do System As

Descripción externa o entrada salidaNo se conoce la estructura interna del sistemaSólo se tiene acceso a las terminales de entrada y salidaSe aplican diferentes señales de entrada y se miden sus señales de salida correspondientesLas características y propiedades del sistema se obtienen del análisis de las paresentrada-salida

Figura : Sistema lineal de p entradas q salidas

Donde:

U =[u1u2...Up ]′ −→ (px1) (1)

Y =[y1y2...yq ] −→ (qx1) (2)

Las entradas y salidas están definidas desde −∞ hasta +∞U denota una función vectorial definida sobre ( −∞, +∞)U(t) denota el valor de U en tiempo tU(t0,t1) denota a la función U definida en [t0,t1)

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Page 25: Model a Do System As

Linealidad

Definición (Sistema lineal)Un sistema en reposo es lineal, sí y sólo sí:

f (α1x1 + α2x2) = α1f (x1) + α2f (x2) (3)

por cualesquiera x1, x2, α1 y α2; α1, α2 son números reales. Si la Ecuación 3 no se cumple, elsistema es no lineal.La definición anterior se escribe en forma equivalente como:

f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) (4)

f (αx1) = αf (x1) (5)

Donde la Ec.4 se conoce como propiedad de aditividad y la Ec. 5 como la propiedad dehomogeneidad

Aplica el principio de superposición!

En general, todos los sistemas son no lineales y tienen entradas y salidas acotadas.

Muchas veces se linealiza alrededor del punto de operación si así es posible simplificar elmodelo.

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Linealidad

Definición (Sistema lineal)Un sistema en reposo es lineal, sí y sólo sí:

f (α1x1 + α2x2) = α1f (x1) + α2f (x2) (3)

por cualesquiera x1, x2, α1 y α2; α1, α2 son números reales. Si la Ecuación 3 no se cumple, elsistema es no lineal.La definición anterior se escribe en forma equivalente como:

f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) (4)

f (αx1) = αf (x1) (5)

Donde la Ec.4 se conoce como propiedad de aditividad y la Ec. 5 como la propiedad dehomogeneidad

Aplica el principio de superposición!

En general, todos los sistemas son no lineales y tienen entradas y salidas acotadas.

Muchas veces se linealiza alrededor del punto de operación si así es posible simplificar elmodelo.

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Sistema dinámico

1 Sistemas sin memoria o instantáneos:La salida del sistema en el tiempo t1 dependeúnicamente de la entrada aplicada en el tiempo t1

2 Sistemas con memoria La salida del sistema en el tiempo t1, depende de la entradaaplicada en el tiempo t1 y además de la entrada aplicada antes y después de t1

3 Sistema es determinístico: Es aquel que para cada entrada le corresponde una y solo unasalida. de otra forma el sistema se denomina estocástico.

Discusión: ¿Cual de los dos es un sistema dinámico?

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Sistema dinámico

1 Sistemas sin memoria o instantáneos:La salida del sistema en el tiempo t1 dependeúnicamente de la entrada aplicada en el tiempo t1

2 Sistemas con memoria La salida del sistema en el tiempo t1, depende de la entradaaplicada en el tiempo t1 y además de la entrada aplicada antes y después de t1

3 Sistema es determinístico: Es aquel que para cada entrada le corresponde una y solo unasalida. de otra forma el sistema se denomina estocástico.

Discusión: ¿Cual de los dos es un sistema dinámico?

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Page 29: Model a Do System As

Sistema SISO,MISO, SIMO y MIMO

DefiniciónSistema monovariable. Es aquel que solo tiene una entrada y una salida, también llamadossistemas SISO (por sus siglas en inglés). Si el sistema tiene más de una entrada o más de unasalida se llamará multivariable y pueden ser de tipo MISO (múltiples entradas - una salida),SIMO (una entrada - múltiples salidas) o MIMO (múltiples entradas - múltiples salidas).

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Causalidad e Invariancia

Definición (Causalidad)Un sistema es causal o no anticipatorio si la salida en el tiempo t, no depende de la entradaaplicada después del tiempo t, es decir depende únicamente de la entrada aplicada antes y en eltiempo t. La causalidad es una propiedad inherente de todo sistema físico.

Definición (Invariancia en el tiempo)Un sistema en reposo es invariante en el tiempo, sí y sólo sí: HQαU = QαHU, para cualquierentrada U y cualquier real α.De otra manera el sistema varía con el tiempo.Donde Qα es el operador de desfasamiento

Figura : Sistemas invariantes en el tiempoDr. LÓPEZ ESTRADA et al (SE DESCARTES) 11 / 39

Page 31: Model a Do System As

Modelos matemáticos de sistemas

Ecuaciones diferencialesd2xodt

=Kmxi −

Kmxo −

Cm

dxodt

(6)

Funciones de transferencia

G(s) =Km

s2 − Cm s + K

m

(7)

Espacio de estados

xi (t) = Ax + Bu (8)

yj = Cx + D (9)

Otras formas de modelado: modelos ARX, ARMAX, NARMAX, output-error, modelosVoterra, redes neuronales, etc...

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Modelos matemáticos de sistemas

Ecuaciones diferencialesd2xodt

=Kmxi −

Kmxo −

Cm

dxodt

(6)

Funciones de transferencia

G(s) =Km

s2 − Cm s + K

m

(7)

Espacio de estados

xi (t) = Ax + Bu (8)

yj = Cx + D (9)

Otras formas de modelado: modelos ARX, ARMAX, NARMAX, output-error, modelosVoterra, redes neuronales, etc...

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Modelos matemáticos de sistemas

Ecuaciones diferencialesd2xodt

=Kmxi −

Kmxo −

Cm

dxodt

(6)

Funciones de transferencia

G(s) =Km

s2 − Cm s + K

m

(7)

Espacio de estados

xi (t) = Ax + Bu (8)

yj = Cx + D (9)

Otras formas de modelado: modelos ARX, ARMAX, NARMAX, output-error, modelosVoterra, redes neuronales, etc...

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Modelos matemáticos de sistemas

Ecuaciones diferencialesd2xodt

=Kmxi −

Kmxo −

Cm

dxodt

(6)

Funciones de transferencia

G(s) =Km

s2 − Cm s + K

m

(7)

Espacio de estados

xi (t) = Ax + Bu (8)

yj = Cx + D (9)

Otras formas de modelado: modelos ARX, ARMAX, NARMAX, output-error, modelosVoterra, redes neuronales, etc...

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Page 35: Model a Do System As

Expresiones algebraicas vs dinámicas

La forma más sencilla de caracterizar un sistema es a través de su relación salida entrada. En estetipo de enfoque no es tan importante conocer internamente el sistema. Cuando el sistema noposee una dinámica interna. Es decir, su respuesta ante una entrada es instantánea o si existedinámica pero es despreciable. La relación salida entrada es caracterizada por una expresiónalgebraica.Sin embargo, cualquier sistema interesante, por más sencillo que sea, es de naturaleza dinámica yconsecuentemente para su representación es necesario el uso de ecuaciones diferenciales.

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Ejemplo de expresiones dinámicas y estáticas

Cuadro : Sistema mecánicos

Elemento Simbología Fuerza Energía Alamcenada

Resorte (Nm ) F = ky E = 1

2ky2

Amortiguador (Nsm ) F = b dy

dt No almacena energía

Masa (kg) F = m d2ydt2 E = 1

2mv2

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Modelado de un sistema mecánico

Figura : Sistema Mecánico

Linealizando (de manera practica)Fricción: Se considera la fricción viscosa (K1)Resorte: Se Considera la Reacción lineal (K2)Aplicando la 2da. ley de Newton se obtiene las ecuaciones diferenciales que describen el sistema.my = u − by − kyDonde:

y =dydt, y =

d2ydt2

se tienemy + by + ky = u

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Page 38: Model a Do System As

Ejercicio

Determinar su representación de espacios de estados

Figura : Sistema Mecánico con entradas y salidas acopladas

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Solución

Primero identificamos las entradas y las salidas:Entradas: F1y F2Salidas: y1y y2En el siguiente paso es encontrar las ecuaciones diferenciales que representan el comportamientodinamico del sistema Mecánico:

m1d2y1dt2

= −k1y1 − b1dy1dt− b2

(dy1dt−

dy2dt

)+ F1 (t)

m2d2y2dt2

= −k2y2 − b3dy2dt

+ b2

(dy1dt−

dy2dt

)+ F2 (t)

Haciendo:

d2y1dt2

= y1 dy1 = y1d2y2dt2

= y2dy2dt

= y2

y1 =−k1

m1y1 −

b1

m1y1 −

b2

m1(y1 − y2) +

F1

m1(t)

y2 =−k2

m2y2 −

b3

m2y2 −

b2

m2(y1 − y2) +

F2

m2(t)

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Page 40: Model a Do System As

Sistema eléctricos

Cuadro : Sistemas electrícos

Elemento Simbología Corriente Voltaje Impedancia

Resistencia (Ω) iR = VR V = RiR ZR = R

Inductor (H) iL = 1L

∫VLdt VL = L diL

dt ZL = Ls

Capacitor (F ) ic = C dVcdt Vc = 1

C

∫iCdt Zc = 1

Cs

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Page 41: Model a Do System As

Ejemplo de sistema eléctrico

Figura : Circuito Electríco RCL

Considere el caso SIMO con las salidas:a) Voltaje en el Capacitorb) El Voltaje en el capacitor mas el voltaje en el inductorc) La corriente i(t)Solución:Las ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del circuito son:

Ldi(t)

dt+ Ri(t) +

1C

∫i(t)d (t) = ve (t)

Cdvcdt

= i (t)

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Page 42: Model a Do System As

Ejemplo de sistema eléctrico

Figura : Circuito Electríco RCL

Considere el caso SIMO con las salidas:a) Voltaje en el Capacitorb) El Voltaje en el capacitor mas el voltaje en el inductorc) La corriente i(t)Solución:Las ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del circuito son:

Ldi(t)

dt+ Ri(t) +

1C

∫i(t)d (t) = ve (t)

Cdvcdt

= i (t)

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Page 43: Model a Do System As

Ejercicio

Encuentre el modelo matemático del siguiente circuito eléctrico.

Figura : Sistema Eléctrico

1 las ecuaciones diferenciales del sistema. Considere dos salidas v1 y v22 Su representación en espacio de estados

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Page 44: Model a Do System As

Solución

Analizando el nodo 1:

i1 = i2 + i31L1

∫(vi − v1) dt = C

dv1dt

+1

R + L2

∫v1dt

derivando toda la ecuación con respecto al tiempo:

1L1

(vi − v1) = Cd2v1dt2

+v1

R + L2

Haciendo:

dvdt

= v

d2vdt

= v1

Entonces:

1L1

(vi − v1) = Cv1 +v1

R + L2

Cv1 =

(1L1−

1R + L2

)v1 +

1L1

vi

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Page 45: Model a Do System As

Solución

Analizando el nodo 1:

i1 = i2 + i31L1

∫(vi − v1) dt = C

dv1dt

+1

R + L2

∫v1dt

derivando toda la ecuación con respecto al tiempo:

1L1

(vi − v1) = Cd2v1dt2

+v1

R + L2

Haciendo:

dvdt

= v

d2vdt

= v1

Entonces:

1L1

(vi − v1) = Cv1 +v1

R + L2

Cv1 =

(1L1−

1R + L2

)v1 +

1L1

vi

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Page 46: Model a Do System As

Continuación

Nodo 2:

i3 = i4(v1 − v2)

R=

1L2

∫v2dt

Derivando toda la ecuación con respecto al tiempo:

1R

d (v1 − v2)

dt=

v2L2

1R

(v1 − v2) =v2L2

1Rv2 = −

v2L2

+1Rv1

v2 = −RL2

v2 + v1

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Page 47: Model a Do System As

Sistema hidráulicos

Cuadro : Sistemas hidráulicos

Elemento Simbología Ecuación Energía Alamcenada

Resistencia hidráulica p1 − p2 = Rq

Capacitancia hidráulica p = 1C

∫(q1 − q2)dt No almacena energía

Inertancia hidráulica p1 − p2 = I dqdt

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Page 48: Model a Do System As

Simulación de ecuaciones diferenciales en SCILAB

Dado un sistema en ODEs

dxdt

= F (x , t), x(t0) = x0

Donde la variable x puede ser un estado, la forma de simularlo es mediante el comando ODE,como>x=ode(x0,t0,t,f)donde:

y0 es el vector de condiciones iniciales

t0 es un escalar real que indica el tiempo inicial

t es el vector real de tiempo

f es una función externa que contiene el lado derecho de la ecuación

Solvers validos: "adams", "stiff", "rk", "rkf", "fix", "discrete", "roots". rtol

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Page 49: Model a Do System As

Ejemplo 1:

considere el siguiente sistema de ODE,

dxdt

= F (x , t)

dxdt

= x2 − xsin(t)cos(t)

Su código equivalente en Scilab seríafunction ydot=f(t, y)ydot=y^2-y*sin(t)+cos(t)endfunctiony0=0;t0=0;t=0:0.1:%pi;y = ode(y0,t0,t,f);plot(t,y)

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Page 50: Model a Do System As

Ejemplo 2:

Resolver el siguiente sistema

x + 2x + x = 2et , x(0) = 0

Soluciónclear();function dy=f(t,y)

dy=[x(2); 2*exp(t)-2*x(2)-x(1)]endfunctiont0=0;t=0:0.3:6x0=[0;1]x=ode(x0,t0,t,f)plot(t,x(1,:))

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Page 51: Model a Do System As

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Page 52: Model a Do System As

Transformada de Laplace

DefiniciónEl método de la transformada de Laplace convierte las ecuaciones diferenciales lineales de ‘difícil’solución en ecuaciones algebraicas simples.

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Page 53: Model a Do System As

Definición: Transformada de Laplace

DefiniciónSea f una función definida en [0, ∞). La transformada de Laplace L f (t) o F (s)es latransformada integral

F (s) = L f (t) =

∫ ∞0

e−st f (t)dt

donde la integral se entiende en el sentido impropio, o sea∫ ∞0

e−st f (t)dt =h→∞

∫ h

0e−st f (t)dt

donde:f (t) es una función en el dominio del tiempo.F (s) es la transformada de Laplace de f (t).s es una variable compleja.L es el operador lineal de Laplace.

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Page 54: Model a Do System As

Propiedad de linealidad

La transformada de Laplace cumple la siguiente propiedad de linealidad

L αf (t) + βg(x) = L αf (t)+ L βg(x) = αL f (t)+ βL g(x)

Ejemplo

L sen(4t)− 2t3 = L sen(4t) − 2L t3

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Page 55: Model a Do System As

Ejemplo 1:

Considere las siguientes transformadas de Laplace

L eax(t) =

1

t − a, t > a

∞ t ≤ a, L ex2

(t) =

∫ ∞0

ex2−txdt =∞, ∀t ∈ R

¿Que clase de funciones tienen transformadas de Laplace?

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Page 56: Model a Do System As

Ejemplo 1:

Considere las siguientes transformadas de Laplace

L eax(t) =

1

t − a, t > a

∞ t ≤ a, L ex2

(t) =

∫ ∞0

ex2−txdt =∞, ∀t ∈ R

¿Que clase de funciones tienen transformadas de Laplace?

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Page 57: Model a Do System As

Funciones de orden exponencial

DefiniciónFunciones de orden exponencia Una función f es de orden exponencial si existen dos constantesno negativas c y M tales que |f (t)| < Mect , ∀t > 0, la integral convergerá para c > α.

TeoremaSi f es una función continua a trozos de orden exponencial entonces f tiene transformada deLaplace para todo t suficientemente grande.

Considerar (integración por partes) ∫u.dv = u.v −

∫v .du

Demostración.tenemos, para t > c

|e−tx f (x)| = e−tx |f (x)| ≤ Me−tx+cx = Me−x(t−c)

Considerando la integral∫ ∞0

ex(t−c)dx =h→∞

∫ h

0ex(t−c)dx =

h→∞M

e(c−t)h−1

c − t=

Mt − c

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Page 58: Model a Do System As

Funciones de orden exponencial

DefiniciónFunciones de orden exponencia Una función f es de orden exponencial si existen dos constantesno negativas c y M tales que |f (t)| < Mect , ∀t > 0, la integral convergerá para c > α.

TeoremaSi f es una función continua a trozos de orden exponencial entonces f tiene transformada deLaplace para todo t suficientemente grande.

Considerar (integración por partes) ∫u.dv = u.v −

∫v .du

Demostración.tenemos, para t > c

|e−tx f (x)| = e−tx |f (x)| ≤ Me−tx+cx = Me−x(t−c)

Considerando la integral∫ ∞0

ex(t−c)dx =h→∞

∫ h

0ex(t−c)dx =

h→∞M

e(c−t)h−1

c − t=

Mt − c

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Page 59: Model a Do System As

Funciones de orden exponencial

DefiniciónFunciones de orden exponencia Una función f es de orden exponencial si existen dos constantesno negativas c y M tales que |f (t)| < Mect , ∀t > 0, la integral convergerá para c > α.

TeoremaSi f es una función continua a trozos de orden exponencial entonces f tiene transformada deLaplace para todo t suficientemente grande.

Considerar (integración por partes) ∫u.dv = u.v −

∫v .du

Demostración.tenemos, para t > c

|e−tx f (x)| = e−tx |f (x)| ≤ Me−tx+cx = Me−x(t−c)

Considerando la integral∫ ∞0

ex(t−c)dx =h→∞

∫ h

0ex(t−c)dx =

h→∞M

e(c−t)h−1

c − t=

Mt − c

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Page 60: Model a Do System As

Ejemplo 1:transformada de L tnLa transformada de Laplace de 1

L1 = F(s) =

∫ ∞0

1e−stdt =h→∞

∫ h

0e−stdt

=−e−st

s

∣∣∣∣∣∣h

0=

−e−sh

s+

1

s

=1

s

La transformada de Laplace de t

Lt = F(s) =

∫ ∞0

te−stdt

u = t, du = dt

dv = e−stdt, v = −e−st

s

limh→∞

∫ h

0e−stdt = lim

h→∞

− te−st

s+

∫ e−st

sdt

h

0= lim

h→∞

− te−st

s−

e−st

s2

h

0

=

G︷ ︸︸ ︷− he−sh

s−

e−sh

s2

−−0 −

e−s.0

s2

h→∞G =

:0

limh→∞

h

est s

* 01

es∞s2+

1

s2=

1

s2

=1

s2

La transformada de Laplace de t2

Lt2 = F(s) =

∫ ∞0

t2e−stdt ==2

s3

En resumen, la transformada de Laplace de tn =n!

s1+n

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Page 61: Model a Do System As

Ejemplo 1:transformada de L tnLa transformada de Laplace de 1

L1 = F(s) =

∫ ∞0

1e−stdt =h→∞

∫ h

0e−stdt

=−e−st

s

∣∣∣∣∣∣h

0=

−e−sh

s+

1

s

=1

s

La transformada de Laplace de t

Lt = F(s) =

∫ ∞0

te−stdt

u = t, du = dt

dv = e−stdt, v = −e−st

s

limh→∞

∫ h

0e−stdt = lim

h→∞

− te−st

s+

∫ e−st

sdt

h

0= lim

h→∞

− te−st

s−

e−st

s2

h

0

=

G︷ ︸︸ ︷− he−sh

s−

e−sh

s2

−−0 −

e−s.0

s2

h→∞G =

:0

limh→∞

h

est s

* 01

es∞s2+

1

s2=

1

s2

=1

s2

La transformada de Laplace de t2

Lt2 = F(s) =

∫ ∞0

t2e−stdt ==2

s3

En resumen, la transformada de Laplace de tn =n!

s1+n

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Page 62: Model a Do System As

Tabla de transformadas

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Page 63: Model a Do System As

Transformada inversa

El objetivo es pasar de una función en s a una función en t

t y

s

L−F (s) = f (t)

Hacer uso de las tablas de transformadas

Cumple con la propiedad de linealidad

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Page 64: Model a Do System As

Ejemplos

Ejemplo 1: La transformada inversa de1s3

L−11s3 = L−1

1s2+1

para n = 2

L−11

s2+1 =12

L−12!

s2+1 =12t2

Ejemplo 2:

L−13s

+1

s2 + 36 = 3 +

16

L−16

s2 + 36 = 3 +

16sen(4t)

Ejemplo 3:

L−1

5s2 − 9

= L−1

5

(s + 3)(s − 3)

= L−1

A

(s + 3)+

Bs − 3

A = (s + 3)

5(s + 3)(s − 3)

∣∣∣∣s=−3

= −56

B = (s − 3)5

(s + 3)(s − 3)

∣∣∣∣s=3

=56

L−1

5s2 − 9

= −

56e−3t +

56e3t

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Page 65: Model a Do System As

Ejemplos

Ejemplo 1: La transformada inversa de1s3

L−11s3 = L−1

1s2+1

para n = 2

L−11

s2+1 =12

L−12!

s2+1 =12t2

Ejemplo 2:

L−13s

+1

s2 + 36 = 3 +

16

L−16

s2 + 36 = 3 +

16sen(4t)

Ejemplo 3:

L−1

5s2 − 9

= L−1

5

(s + 3)(s − 3)

= L−1

A

(s + 3)+

Bs − 3

A = (s + 3)

5(s + 3)(s − 3)

∣∣∣∣s=−3

= −56

B = (s − 3)5

(s + 3)(s − 3)

∣∣∣∣s=3

=56

L−1

5s2 − 9

= −

56e−3t +

56e3t

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Page 66: Model a Do System As

Ejemplos

Ejemplo 1: La transformada inversa de1s3

L−11s3 = L−1

1s2+1

para n = 2

L−11

s2+1 =12

L−12!

s2+1 =12t2

Ejemplo 2:

L−13s

+1

s2 + 36 = 3 +

16

L−16

s2 + 36 = 3 +

16sen(4t)

Ejemplo 3:

L−1

5s2 − 9

= L−1

5

(s + 3)(s − 3)

= L−1

A

(s + 3)+

Bs − 3

A = (s + 3)

5(s + 3)(s − 3)

∣∣∣∣s=−3

= −56

B = (s − 3)5

(s + 3)(s − 3)

∣∣∣∣s=3

=56

L−1

5s2 − 9

= −

56e−3t +

56e3t

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Page 67: Model a Do System As

Ejercicios

Ejercicio 1: La transformada inversa de3s + 5s2 + 7

L−13s + 5s2 + 7

= L−1

3s

s2 + 7

+ 5L−1

1

s2 + 7

=3

L−1

s

s2 +(√

7)2

+5√7

L−1

√7

s2 +(√

7)2

= 3cos(

√7t) +

5√7sen(√7t)

Ejercicio 2: La transformada inversa de3(s + 3)

s2 + 6s + 8

L−1

3(s + 3)

s2 + 6s + 8

= 1.5e−4t + 1.5e−2t

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Page 68: Model a Do System As

Ejercicios

Ejercicio 1: La transformada inversa de3s + 5s2 + 7

L−13s + 5s2 + 7

= L−1

3s

s2 + 7

+ 5L−1

1

s2 + 7

=3

L−1

s

s2 +(√

7)2

+5√7

L−1

√7

s2 +(√

7)2

= 3cos(

√7t) +

5√7sen(√7t)

Ejercicio 2: La transformada inversa de3(s + 3)

s2 + 6s + 8

L−1

3(s + 3)

s2 + 6s + 8

= 1.5e−4t + 1.5e−2t

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Page 69: Model a Do System As

Ejercicios

Ejercicio 1: La transformada inversa de3s + 5s2 + 7

L−13s + 5s2 + 7

= L−1

3s

s2 + 7

+ 5L−1

1

s2 + 7

=3

L−1

s

s2 +(√

7)2

+5√7

L−1

√7

s2 +(√

7)2

= 3cos(

√7t) +

5√7sen(√7t)

Ejercicio 2: La transformada inversa de3(s + 3)

s2 + 6s + 8

L−1

3(s + 3)

s2 + 6s + 8

= 1.5e−4t + 1.5e−2t

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Page 70: Model a Do System As

Tabla de transformadas

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Page 71: Model a Do System As

Tabla de transformadas

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Page 72: Model a Do System As

Richard C. Dorf, (2010). Modern Control Systems, 12/E. Editorial Pearson.

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Page 73: Model a Do System As

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