Módulo A - 1 Reconocer las características y propiedades que presenta el campo eléctrico. En este módulo podrás conocer las propiedades que presenta el campo eléctrico y

el uso de la ley de Coulomb Reconocer las características y propiedades que presenta la carga eléctrica

Reconocer las características que presenta la fuerza electrostática entre

cargas eléctricas puntuales. Reconocer las características y propiedades que presenta el campo eléctrico.

Campo Eléctrico – Ley de Coulomb

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La interacción electromagnética es responsable de que los núcleos y los electrones se mantengan unidos formando átomos, de que unos átomos se unan a otros para formar moléculas y de que las moléculas se unan entre sí para dar lugar a objetos macroscópicos. Los constituyentes del cuerpo humano, sus átomos y moléculas se mantienen unidos gracias a las fuerzas electromagnéticas. La palabra “electromagnética” se usa como una combinación de “eléctrica” y “magnética”, debido a que los efectos eléctricos y magnéticos son producidos por la misma propiedad de la materia, propiedad a la que se llama carga eléctrica. Aunque los efectos eléctricos y magnéticos están íntimamente relacionados, no resultan inseparables. Así, si limitamos nuestro estudio a cargas en equilibrio estable (electrostática), podemos separar electricidad de magnetismo, como haremos en estos primeros capítulos. Cuando el tiempo es fresco y seco resulta fácil cargar o electrizar un objeto. Por ejemplo, una regla de plástico se electriza cuando la frotamos con seda y puede atraer una bolita de pluma-vit (fig. a) ; un peine se electriza cuando se le frota contra el cabello y luego puede atraer a éste (fig.b ) ; o bien a un hilo de agua (fig. c ). Para “explicar” estos efectos eléctricos, debemos considerar que la materia está formada por átomos y el modelo de átomo mas conveniente es aquel que nos representa un núcleo donde se encuentran partículas atómicas llamadas protones (carga eléctrica positiva) y neutrones (sin carga eléctrica) y alrededor de ellos una nube de electrones (carga eléctrica negativa). Los protones y electrones tienen la misma magnitud de carga eléctrica, pero los neutrones y protones tienen mayor masa que los electrones. Por lo tanto la mayor masa de un átomo se encuentra concentrada en su núcleo. Un cuerpo en su estado normal (no electrizado) posee un número de protones igual al número de electrones. Si tal cuerpo pierde electrones, tendrá un exceso de protones, es decir, se presentará electrizado positivamente. Si recibe electrones poseerá un exceso de estas partículas y estará electrizado negativamente. Diversas teorías se han propuesto para justificar estos comportamientos eléctricos. En la actualidad se sabe que el proceso de electrización consiste en una transferencia de carga eléctrica entre los cuerpos que se frotan. Dicha transferencia se efectúa a través de los electrones que pasan de un cuerpo a otro. V

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La carga eléctrica es una propiedad asignada a la materia para describir el comportamiento eléctrico de la materia: las cargas eléctricas del mismo nombre (mismo signo) se repelen , y las cargas de nombre contrario (signo contrario) se atraen. CARACTERÍSTICAS EN EL PROCESO DE ELECTRIZACIÓN 1.-En el proceso de electrización no hay creación ni destrucción de carga eléctrica , es decir el número total de protones y electrones no se altera. Esto significa que en un sistema eléctricamente aislado, la suma algebraica de las cargas positivas y negativas es constante. Antes del frotamiento, los cuerpos (barra de vidrio y paño de seda) no estaban electrizados, es decir la carga neta del conjunto es nula. Luego de la frotación la barra queda electrizada con una carga + q, por lo tanto el paño queda electrizado con una carga igual y opuesta ( - q ). De este modo la suma algebraica de la carga total antes y después del proceso es la misma. 2.-Como se sabe los protones y neutrones se localizan en el núcleo del átomo y sus posiciones no se pueden cambiar por la simple fricción de un cuerpo con otro. Por el frotamiento sólo se llegan a intercambiar electrones. 3.-La fricción entre los cuerpos es una manera de hacer que se aproximen lo suficiente para que los átomos de uno puedan interactuar con los del otro. El átomo que ejerce menor fuerza entre ellos perderá electrones. Así un cuerpo podrá perder o ganar electrones dependiendo del cuerpo contra el cuál se frote y de la intensidad con que se hace. 4.-La carga eléctrica está cuantizada, es decir la carga que se presenta en un cuerpo, se debe al número ( entero ) de electrones que este cuerpo gane o pierda. Por lo tanto, cualquier carga será un número ( n ) entero de veces la carga del electrón. Es decir, no podemos encontrar cargas de ½ electrón o 0,75 electrón. Un electrón nunca se descarga; no hay manera de quitarle la carga dejándolo neutro. Un electrón es una partícula fundamental y su carga una entidad física misteriosamente inseparable. V

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CONDUCTORES Y AISLANTES O DIELECTRICOS Los cuerpos están constituidos por átomos, y estos poseen partículas eléctricas (protones y electrones). Cuando varios átomos se reúnen para formar ciertos sólidos ( metales), los electrones de las órbitas más lejanas no permanecen unidos a sus respectivos átomos y adquieren libertad de movimiento en el interior del sólido. Estas partículas se llaman electrones libres. En materiales que poseen electrones libres es posible que la carga eléctrica sea transportada por medio de ellos, y por lo tanto decimos que estas sustancias son conductores eléctricos. Existen buenos conductores , como los metales y otros como el cuerpo humano, el aire húmedo , etc. Existen materiales en los cuáles los electrones están firmemente ligados a sus respectivos átomos; es decir, estas sustancias no poseen electrones libres (o el número de ellos es muy pequeño). Por lo tanto no será posible el desplazamiento de carga eléctrica a través de ellos y se llaman aislantes o dieléctricos. Son buenos aislantes o malos conductores, el aire seco, el vidrio , el plástico , etc. Todo cuerpo conductor electrizado se puede descargar conectándolo a tierra: Si un cuerpo conductor se encuentra electrizado negativamente, al conectarlo a tierra, los electrones en exceso en él se desplazan a tierra hasta que el conductor queda neutro ( fig. A ). Si un cuerpo conductor se encuentra electrizado positivamente, al conectarlo a tierra, los electrones de la tierra suben al cuerpo hasta que el conductor queda neutro ( fig B). A) B) Por ejemplo, los camiones que transportan combustible, al estar aislados del suelo y debido a la fricción con el aire, adquieren carga eléctrica, por ello arrastran una cadena, para que cualquier exceso de carga se “escape” a Tierra. INDUCCIÓN ELECTROSTÁTICA Considere un conductor AB en estado neutro sostenido por un soporte aislante. Se aproxima a éste un cuerpo electrizado positivamente; los electrones libres existentes en el conductor serán atraídos por la carga positiva del cuerpo y se acumulan en el extremo A. En el extremo B queda un exceso de carga positiva. Esta separación de cargas se llama INDUCCION. Suponga que manteniendo firme el cuerpo, se conecta a tierra mediante un hilo metálico, el conductor que sufrió la inducción (extremo B). Esta conexión hará que los electrones libres pasen de la tierra hacia el conductor, hasta neutralizar la carga positiva inducida que se localiza en B. Si se deshace la conexión a tierra y luego se aleja el cuerpo, la carga negativa inducida que se encontraba en A se distribuirá en la superficie de dicho conductor. El conductor adquirió así carga negativa, es decir de signo contrario al inductor. V

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POLARIZACION ELECTROSTATICA La carga del núcleo positivo de un átomo normal es anulada exactamente por la carga de sus electrones negativos. Más aún, la nube de electrones de un átomo aislado por lo general está centrada sobre su núcleo ( fig. a ). Si un átomo fuese a permanecer de esta forma, no podrá ni atraer ni ser atraído por una carga externa. Sin embargo, si un átomo se coloca cerca de un objeto externo cargado negativamente, este jalará hacia el núcleo cargado positivamente del átomo, mientras que empujará la nube de electrones cargada negativamente en sentido opuesto. Por lo general, esto desplaza el centro de la nube de electrones una pequeña distancia con respecto al núcleo ( fig. b). La nube de electrones esférica interactuará con una carga externa como si toda su carga estuviese ubicada en su centro. Por lo tanto, con un excelente grado de aproximación, es posible tratar al núcleo del átomo y a la nube de electrones desplazada como si fuesen dos cargas puntuales de igual magnitud pero con carga opuesta separadas por una pequeña distancia. A un par de cargas puntuales de este tipo se le conoce como dipolo eléctrico ( fig. c ). (a) (b) (c) Este proceso se llama polarización electrostática. La carga externa atrae la carga mas cercana en el dipolo con mayor intensidad de lo que repele la carga mas distante. Esto significa que la carga externa ejercerá una fuerza neta sobre el dipolo que es débilmente atractiva. Por la tercera ley de Newton el dipolo también ejercerá una fuerza atractiva débil sobre la carga externa. Esto explica, porque un objeto cargado puede atraer a uno neutro. Imagine que se acerca un globo con carga negativa a una pared eléctricamente neutra. Las fuerzas eléctricas que la carga del globo ejerce sobre las partes con carga positiva y negativa de los átomos de la pared polarizan a éstos haciéndoles comportarse como dipolos. Estos dipolos son débilmente atraídos hacia el globo (y ellos a su vez lo atraen con debilidad). Cada átomo individual de la pared está sólo ligeramente polarizado por la carga del globo, y la fuerza atractiva entre cada átomo y el globo es pequeña. Más, puesto que existe un gran número de átomos en la pared, la suma de las pequeñas fuerzas atractivas puede ser suficiente para mantener el globo pegado a la pared. El mismo efecto explica por qué pedazos de papel son atraídos por una regla de plástico electrizada y cosas por el estilo. ELECTROSCOPIOS Los electroscopio son aparatos destinados a verificar si un cuerpo está o no electrizado . Uno de ellos es el péndulo eléctrico, constituido por una esfera de material liviano, como por ejemplo pluma-vit , recubierta por una capa metálica y suspendido de un hilo aislante. Al acercar al electroscopio un cuerpo electrizado que está cargado positivamente o negativamente, atraerá la bolita. Así el hecho de que la pequeña esfera sea atraída, indica que el cuerpo está electrizado, aún cuando no sepamos su carga. V

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El de laminillas , consiste en una varilla metálica que tiene en su extremo superior una esfera metálica y en su extremo inferior, dos tiras metálicas muy finas sujetas de modo que se puedan separar o acercar en su parte libre. Este conjunto está dentro de una caja protectora sostenida en ella mediante un aislante. Al acercar a la esfera del electroscopio un cuerpo electrizado C positivamente, se producirá inducción electrostática en la parte metálica del aparato; es decir los electrones libres serán atraídos hacia la esfera, haciendo aparecer en las laminillas un exceso de cargas positivas. Estas hojas al hallarse electrizadas con cargas del mismo signo, se separan o abren debido a la fuerza de repulsión que se produce entre ellas. Al alejar el cuerpo C, los electrones de la esfera serán atraídos hacia las hojas, neutralizando la carga positiva que allí existe y haciendo que se cierren, o acerquen de nuevo. Ejercicios propuestos 1.-Marque la afirmación correcta: a)Un pedazo de vidrio cargado positivamente atrae un objeto suspendido. Podemos llegar a la conclusión de que el objeto está cargado negativamente. b)Si cargamos un cuerpo eléctricamente basándonos en el fenómeno de la inducción electrostática, podemos decir que la suma algebraica de las cargas positivas y negativas sobre este cuerpo es nula. c)Cuando un cuerpo A se coloca cercano a un cuerpo B, sin que se toquen y ocurre una inducción electrostática, podemos afirmar que la suma algebraica de las cargas positivas y negativas sobre cualquiera de ellos es igual a cero. 2.-Una barra cargada eléctricamente atrae una bolita conductora X , pero repele una bolita conductora Y. En ausencia de la barra , se verifica que X e Y se atraen (todas las atracciones y repulsiones son de origen eléctrico). Conteste y justifique su respuesta. a) ¿Podría la bolita X estar descargada? b) ¿Podría la bolita X estar electrizada? c) ¿Podría la bolita Y estar descargada?

3.-Tres bloques metálicos A,B,C se encuentran en contacto, apoyados sobre una mesa de material aislante. Dos barras P1 y P2 electrizadas positivamente se colocan cerca de los extremos de los bloques A y C. Una persona con guantes aislados separa los bloques entre sí y en seguida aleja las barras electrizadas. a)Describa el movimiento de electrones libres en los bloques causados por la aproximación de las barras P1 y P2. b)¿Cuál es el signo de la carga en cada bloque luego de ser separado? V

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LEY DE COULOMB Cuando un cuerpo está electrizado posee un exceso de protones (carga positiva) o bien un exceso de electrones (carga negativa). Por este motivo la carga de un cuerpo representada por Q o q se puede medir por el número de electrones que el cuerpo pierde o gana. Esta forma de expresarlo nos daría cantidades muy grandes, por ello es que se utiliza como unidad de carga el Coulomb (C) : Así, un cuerpo posee una carga de 1 C correspondiente a 6,25 x 1018 electrones en exceso (si la carga del cuerpo fuera negativa) o en defecto si fuera positiva. Una carga puntual o puntiforme es la que está distribuida en un cuerpo cuyas dimensiones son despreciables en comparación con las demás dimensiones que intervienen en el problema. Charles Coulomb (siglo XVIII) realizó una serie de mediciones de las fuerzas existentes entre cargas puntuales y verificó que : La magnitud de la fuerza eléctrica de atracción o de repulsión entre dos cargas eléctricas puntuales es directamente proporcional al producto de los valores absolutos de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa: F1 → 2 = F2 → 1 = ko • q1 • q2 ( Igual magnitud y dirección, distinto sentido, actúan d2 en cuerpos diferentes ) En el sistema internacional de unidades la constante ko = 9 • 109 N m2 / C2 , las cargas eléctricas se miden en Coulomb ( C ) y la distancia se debe expresar en metros ( m ) . Si las cargas se colocan en un medio material cualquiera (agua, aceite, etc), se observa que la fuerza electrostática se reduce en un factor K, llamada constante dieléctrica del medio, por ejemplo : el vacío al igual que el aire tienen constante dieléctrica k = 1 ; el agua tiene constante dieléctrica K = 81; el aceite tiene constante dieléctrica K = 4,6 ; la gasolina tiene constante dieléctrica K = 2,3, etc. Ejemplo 1: Una carga puntual positiva, q1 = 0,23 uC , se coloca a una distancia d = 3,0 cm de otra carga también puntual pero negativa q2 = - 0,6 uC. a)Suponiendo que q1 y q2 están en el aire, calcule el valor de la fuerza F1 que q2 ejerce sobre q1 . Como la fuerza entre dos cargas eléctricas situadas en el vacío o en el aire es prácticamente la misma, el valor de F1 , está dado por : F1 = ko • q1 • q2 / (d)2 = 9 • 109 • 0,23 • 10-6 • 6,0 • 10-7 / ( 3,0 • 10-2 ) 2 = 1,38 N b)El valor de la fuerza F2 ( magnitud ) que q1 ejerce sobre q2, ¿es mayor , menor o igual al valor de F1 ? Por la tercera ley de Newton , sabemos que si q2 atrae a q1 , esta carga q1 atraerá a q2 con una fuerza igual y contraria. Las fuerzas F1 y F2 son acción y reacción y por tanto sus magnitudes son iguales. c)Si las cargas q1 y q2 estuvieran sumergidas en gasolina, ¿cuál sería la magnitud de la fuerza de atracción entre ellas? La intensidad de la fuerza se volvería K veces menos, siendo K la constante dieléctrica de la gasolina ( K = 2,3 ) . Por lo tanto en el interior de la gasolina , q1 y q2 se atraerían con una fuerza de magnitud: F = 1,38 N / 2,3 = 0,60 N. V

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En la figura se muestran las cargas q1, q2, q3, q , en el espacio. Para calcular la fuerza eléctrica resultante sobre una de ellas (por ejemplo q), se determine la fuerza electrostática que ejerce q1 sobre q, q2 sobre q y q3 sobre q, dibujadas a lo largo de la línea que une los respectivos centros. Luego se expresa cada fuerza en forma vectorial unitaria y se obtiene la suma o resultante vectorial → → → → FR = F 1 → q + F 2 → q + F 3 → q Ejemplo 2:Sobre una mesa lisa, de material aislante y en cada uno de los vértices de un cuadrado cuyos lados miden 10 cm, se encuentran fijas las cargas puntuales q1 = 5 uC, q2 = - 5 uC, q3 = 5 uC. En el vértice restante del cuadrado se deposita una pequeña esfera de masa 100 gr = 0,1 kg electrizada con una carga q = 2 uC. Determine la magnitud y dirección de la aceleración que adquiere la esfera. La aceleración que adquiere una partícula está determinada por la ecuación de Newton ΣF = m • a. Por lo tanto la aceleración es igual a la fuerza resultante que actúa sobre la esfera dividida por su masa: F 1 → q : fuerza electrostática ejercida por q1 sobre q (repulsión a lo largo de la línea que une sus centros) F 2 → q : fuerza electrostática ejercida por q2 sobre q ( atracción ) F 3 → q : fuerza electrostática ejercida por q3 sobre q ( repulsión ) Se debe calcular la magnitud de cada una y luego escribirla en forma vectorial unitaria: F 1 → q = 9 • 109 • 5 10-6 • 2 10-6 / ( 10 • √ 2 • 10-2 )2 = 4,5 N → F 1 → q = 4,5 N cos 45 i - 4,5 N sen 45 j = 3,15 N i - 3,15 N j F 2 → q = 9 • 109 • 5 10-6 • 2 10-6 / ( 0,1 )2 = 9,0 N → F 2 → q = 9,0 N j F 3 → q = 9 • 109 • 5 10-6 • 2 10-6 / ( 0,1 )2 = 9,0 N → F 3 → q = 9,0 N i La sumatoria vectorial de las fuerzas es: → → → → ΣF = F 1 → q + F 2 → q + F 3 → q → ΣF = 3,15 N i - 3,15 N j + 9,0 N j + 9,0 N i = 12,15 N i + 5,85 N j Entonces la aceleración es: → a = (12,15 N i + 5,85 N j ) / 0,1 kg = ( 121,5 i + 58,5 j ) m/s2 Magnitud : a = √ (121,5)2 + (58,5)2 = 134,8 m/s2

Dirección : tg α = 58,5 / 121,5 = 0,48, α = 26 o sobre la horizontal V

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Ejemplo 3: Dos pequeños cuerpos celestes de igual masa m están separados por una distancia r. Cada uno es electrizado luego con la misma carga Q, de modo que la fuerza de repulsión eléctrica entre tales cargas equilibre la atracción gravitatoria entre ambos cuerpos. Determine el valor de Q en función de la constante de gravitación G, la constante eléctrica k y la masa m de cada cuerpo. La fuerza de atracción gravitacional entre dos partículas materiales está dada por la expresión: F G = G • m • m / r 2 La fuerza de repulsión electrostática entre dos cuerpos con igual carga (magnitud y signo) está dado por: F E = ko • Q • Q / r 2 El ejercicio plantea que la atracción gravitacional entre las dos partículas es equilibrada por la fuerza de repulsión electrostática: G • m • m / r 2 = ko • Q • Q / r 2 ⇒ Q = m √ G / ko INTERPRETACIÓN MICROSCÓPICA DE LA CONSTANTE DIELECTRICA DEL MEDIO Acabamos de indicar que la fuerza eléctrica entre dos cargas colocadas en el vacío, sufre una reducción cuando esas cargas se sumergen en un medio material. La constante dieléctrica del medio K representa el factor de reducción de la fuerza. Supongamos dos placas metálicas A y B situadas en el vacío , cargadas eléctricamente con cargas iguales y de signo contrario. Al colocarse una carga q entre esas placas, una fuerza Fo actúa sobre ella , en virtud de la carga en las placas. Suponiendo ahora, que estas placas hayan sido sumergidas en un medio dieléctrico ( agua ), ya sabemos que este dieléctrico quedará polarizado. Las moléculas de este medio estarán entonces orientadas y alineadas como muestra la figura II. Debido a esta polarización, las superficies del dieléctrico cercano a las placas A y B quedarán electrizadas (fig. III). Las cargas que aparecen en la superficie del dieléctrico se llaman cargas de polarización. La carga q colocada entre las placas queda bajo la acción de dos fuerzas, la fuerza Fo debida a las cargas en las placas A y B , y la fuerza Fp de sentido contrario a Fo , debido a las cargas de polarización. Entonces la fuerza eléctrica F que estará actuando en la carga q será la resultante de Fo y Fp . Su módulo será evidentemente : F = Fo - Fp , entonces F < Fo debido a la aparición de cargas de polarización. Para cualquier dieléctrico se comprueba que el valor de las cargas de polarización es siempre inferior al valor de las cargas que producen la polarización (cargas en las placas). En consecuencia se tiene F < Fo y la fuerza F nunca se anulará. Además , cuánto mayor sea el grado de orientación y alineación que presente el dieléctrico mayor será el valor de Fp y por tanto menor será el valor de F. Entonces K es una constante característica del medio y mide la propiedad de presentar mayor o menor polarización. V

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4.-Una pequeña esfera A suspendida y cargada positivamente atrae a otra pequeña esfera B de masa 1,0 g colocada en la vertical que pasa por el punto de suspensión de la primera y a 10 cm de ésta. Si la carga de B es igual y opuesta a la de A y B está en equilibrio , determine : a)la carga de cada cuerpo b)el número de electrones perdidos por A al adquirir la carga.

5.-Considere un pequeño bloque de cobre de 127 gr. Suponga que en cada átomo de Cu un electrón no está unido al núcleo, es decir que se tiene un electrón libre por cada átomo de ese material. a)¿Cuántos gramos de Cu constituyen un átomo-gramo de esta sustancia? Considere masa atómica del Cu = 63,5 u.m.a (unidad de masa atómica) b)entonces, ¿cuántos átomos de Cu existen en el bloque citado (considere número de Avogadro igual 6 x 1023)? c)¿Cuál es el número de electrones libres en el bloque?

6.-La esfera A y el péndulo B poseen carga de igual magnitud y de signos contrarios. Si B está en reposo y su masa es 10 gr , determine : a)La magnitud de la carga de cada cuerpo

7.-Una pequeña esfera de masa m y carga + q suspendida de un alambre de longitud L , gira en movimiento circular uniforme en torno a otra carga igual a ella como indica la figura. Calcule la velocidad angular w de la esfera, considerando : m = 65 gr , q = 1,5 uC, L = 1,0 m , g = 10 m/s2 , ángulo del hilo con la vertical θ = 30 o

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8.-Dos cargas positivas + Q se mantienen fijas a una distancia d de separación. Una partícula de carga negativa – q y masa m se sitúa en el centro de ellas y luego, tras un pequeño desplazamiento perpendicular a la línea que las une, se deja en libertad. Demuestre que la partícula describe un movimiento armónico simple de período: T = ( π2 • d3 • m / 4 • k • Q • q ) 1/2 9.-Dos pequeñas esferas semejantes de masa m cada una están colgando de hilos de seda de longitud L y portan cargas iguales + q. Suponga que α es tan pequeño que tan α puede ser reemplazado por su igual aproximado sen α. Para esta aproximación demuestre que en el equilibrio: x = ( 2 • k • q2 • L / m • g )1/3 10.-Dos bloques metálicos idénticos descansan sobre una superficie horizontal sin fricción conectados por un resorte metálico ligero que tiene una constante k = 100 N/m y una longitud no deformada de 0,3 m (a). Una carga total Q se coloca lentamente sobre el sistema, lo cuál provoca que el resorte se estire a una longitud de equilibrio 0,4 m (b). Determine el valor de Q suponiendo que toda la carga reside sobre los bloques y que los mismos son como cargas puntuales. V

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CAMPO ELECTRICO En un punto del espacio existe un campo eléctrico cuando sobre una carga “q” colocada en dicho punto, se ejerce una fuerza de origen eléctrico. Suponga una carga fija Q (ver figura). Si otra carga q fuese colocada en un punto P1, a cierta distancia de Q, se tendría una fuerza eléctrica sobre q. Si la carga q fuese desplazada en torno de Q, a cualquier otro punto (P2, P3, etc.) , en cada uno de ellos actuaría sobre q una fuerza eléctrica ejercida por Q. Para describir esto se dice que en cualquier punto del espacio alrededor de Q existe un campo eléctrico (o campo de fuerza eléctrica) producido por esta carga. El campo eléctrico se establece en los puntos P1, P2, P3, etc, por acción de la carga Q que puede ser positiva o negativa. a)El campo eléctrico en un punto NO depende de la presencia de la carga de prueba en dicho punto. Es decir existe un campo eléctrico en cada uno de los puntos P1,P2,P3, aún cuando no haya carga de prueba en ninguno de ellos. Cuando se coloca una carga de prueba en un punto, sólo se quiere verificar si la fuerza eléctrica actúa o no sobre ella, lo cuál nos permite concluir si existe o no un campo eléctrico en dicho punto. b)Se acostumbra decir que la fuerza eléctrica F es ejercida por Q sobre q. Con la idea de campo eléctrico podemos visualizar esta interacción de forma distinta: decimos que la carga Q crea un campo eléctrico en los puntos del espacio que la rodean, y que este campo eléctrico es responsable de la aparición de la fuerza eléctrica sobre la carga q colocada en tales puntos. Consideraremos que la fuerza eléctrica que actúa sobre q se debe a la acción del campo eléctrico y no a la acción directa de Q sobre q. El campo de fuerza eléctrica se puede representar, en cada punto del espacio, por un vector que generalmente se simboliza por E y que se llama vector campo eléctrico. Matemáticamente el campo eléctrico se expresa como el cuociente entre la fuerza eléctrica F que actúa sobre una carga de prueba q ( + ) y el valor de dicha carga : → → E = F / q El campo eléctrico tiene la dirección y sentido de la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga q positiva. La unidad de medida del campo eléctrico es: Newton / Coulomb = N / C. Al ser la fuerza eléctrica una cantidad vectorial, podemos determinar las componentes del campo eléctrico, dividiendo las componentes de la fuerza eléctrica y la carga: → → → → → → → → → → Ex = Fx / q , Ey = Fy / q , Ez = Fz / q ⇒ Er = Ex + Ey + Ez Ejemplo 4: Una carga q = + 2 • 10-6 C , se encuentra en el plano XY sometida a una fuerza eléctrica F de magnitud F = 1 • 10-3 N que forma un ángulo de 40o con el eje OX. Calcule las componentes del campo eléctrico en ese punto. → F = (1 • 10-3 cos 40o i + 1 • 10-3 sen 40o j ) N → F = (0,76 • 10-3 i + 0,64 • 10-3 j ) N → E = (0,76 • 10-3 i + 0,64 • 10-3 j ) / 2 • 10-6 C → E = (0,38 • 103 i + 0,32 • 103 j ) N / C V

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La dirección y el sentido del vector campo eléctrico en un punto están, por definición, dados por la dirección y sentido de la fuerza que actúa sobre la carga de prueba ( positiva) colocada en el punto. Analizando el movimiento de una carga eléctrica positiva o negativa en una región donde existe un campo eléctrico podemos establecer que : Una carga positiva colocada en una región donde existe un campo eléctrico E , tiende a desplazarse en el sentido de este campo, y una carga negativa en el mismo sitio tiende a desplazarse en sentido contrario a dicho campo. Ejemplo 5: Una persona halló que en el punto P de la figura, existe un campo eléctrico E horizontal hacia la derecha, creado por el cuerpo electrizado que se muestra en dicha figura. a) Para medir la intensidad del campo en P, la persona colocó en ese punto una carga q = 2 • 10-7 C y encontró que sobre ella actuaba una fuerza F = 5 • 10-2 N. ¿Cuál es entonces la magnitud de la intensidad del campo eléctrico en P? Como la magnitud de la intensidad del campo está dada por : E = F / q , se tiene E = 5 • 10-2 / 2 x 10-7 E = 2,5 • 105 N/C b) Al retirar la carga q y colocar en P una carga positiva q = 3 • 10-7 C , ¿cuál será el valor de la fuerza F1 que actuará sobre esta carga, y cuál es el sentido del movimiento que tenderá a adquirir? De E = F / q , se tiene F = E • q = 3 • 10-7 • 2,5 • 105 = 7,5 • 10-2 N, como la carga es positiva , sabemos que tenderá a moverse en el mismo sentido del campo, es decir hacia la derecha. c) Responda a la pregunta anterior suponiendo que colocamos en P una carga negativa, cuyo valor es q1 = 3 • 10-7 C .

Por ejemplo, considere el punto P1 que muestra la figura. Si la carga de prueba positiva se colocara en P1, sería repelida por Q con una fuerza horizontal hacia la derecha. Por tanto, el vector campo eléctrico E1 en ese punto también será horizontal y estaría dirigido a la derecha. De igual manera, podemos concluir que en P3, tenemos un vector E3 dirigido verticalmente hacia arriba.

Suponga ahora, que la carga generadora del campo es negativa. En este caso si colocásemos la carga de prueba en P1, sería atraída por Q con una fuerza hacia la izquierda. Por tanto el vector campo eléctrico ahora estaría dirigido hacia la izquierda (siempre en el mismo sentido de la fuerza que actúa sobre la carga de prueba). Siguiendo el mismo razonamiento, el campo eléctrico en los puntos P2, P3, P4 son los que muestran la figura.

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11.- Una bola cargada de masa 1 gr está suspendida de una cuerda ligera en presencia de un campo eléctrico uniforme. Cuando E = (3i + 5j) • 105 N/C , la bola está en equilibrio con α = 37o . Determine : a) la carga en la bola b)la tensión en la cuerda 12.- Dos pequeñas esferas cada una de masa 2 gr están suspendidas por cuerdas ligeras de 10 cm de longitud. Un campo eléctrico uniforme se aplica en la dirección x. Si las esferas tienen cargas iguales de - 5 • 10-8 C y + 5 • 10-8 C , determine la intensidad del campo eléctrico considerando que las dos esferas están en equilibrio cuando forman un ángulo θ = 10o . CAMPO ELECTRICO CREADO POR CARGA PUNTUAL La expresión E = F / q nos permite calcular la magnitud de la intensidad de un campo eléctrico, cualesquiera sean las cargas que lo producen. Supongamos una carga puntual Q en el aire y un punto situado a una distancia r de tal carga. Si colocamos una carga de prueba q en ese punto, quedará sometida a una fuerza eléctrica F, cuyo valor se puede calcular por la expresión : F = ko Q q / r2 , al dividir la fuerza eléctrica por el valor de la carga de prueba q , se tiene : E = ko • Q / r2 Esta expresión nos indica que el campo eléctrico creado por una carga puntual es directamente proporcional al valor de dicha carga, es decir mientras mayor sea la carga a una distancia fija, mayor será el campo establecido. Por otra parte es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la carga y el punto , es decir , si la distancia aumenta por ejemplo al doble, el campo eléctrico para una misma carga disminuye 4 veces. Si existen varias cargas puntuales distribuidas en el espacio, el campo eléctrico resultante en un punto cualquiera es igual a la suma vectorial de los campos eléctricos creados por cada carga individual. → → → → Ep = E1 + E2 + E3 V

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Ejemplo 6: La figura muestra una carga q1 = + 1,5 uC y una carga q2 = + 2,3 uC. La primera carga está en el origen del eje x, y la segunda está en la posición x = 13 cm. ¿En que punto P, a lo largo del eje x es cero el campo eléctrico? La única región donde el campo eléctrico puede ser cero es en un punto entre las dos cargas, porque al dibujar los campos eléctricos individuales, estos quedan con sentidos opuestos. Luego para que el campo eléctrico resultante en el punto P sea cero, las magnitudes de los campos individuales deben ser iguales: E1 = k q1 / x 2 ; E2 = k q2 / ( 13 – x ) 2 k q1 / x 2 = k q2 / ( 13 – x ) 2 eliminando k q1 / x 2 = q2 / ( 13 – x ) 2 , extrayendo raíz cuadrado en cada lado se tiene √ q1 / x = √ q2 / ( 13 – x ) ⇒ x = 5,8 cm Ejemplo 7: La figura muestra 3 cargas puntuales ubicadas en el plano cartesiano xy. La carga q1 = + 2 uC se ubica en las coordenadas ( -4 cm , 0 cm ) ; la carga q2 = - 2 uC se ubica en las coordenadas ( 4 cm , 0 cm ) , la carga q3 = - 2 uC se ubica en las coordenadas ( 0 cm , 8 cm ). Calcule el campo eléctrico resultante que producen en el punto A de coordenadas ( 4 cm , 8 cm ) . Calculemos la magnitud del campo eléctrico creado por carga en el punto A: E1 = 9 • 10 9 • 2 • 10 -6 / ( 8 √ 2 • 10 -2 ) 2 = 0,14 • 107 N/C E2 = 9 • 10 9 • 2 • 10 -6 / ( 0,08 ) 2 = 0,28 • 10 7 N / C E3 = 9 • 10 9 • 2 • 10 -6 / ( 0,04 ) 2 = 1,12 • 10 7 N / C Escribiendo en forma vectorial cada campo eléctrico: α = 45o

→ E1 = ( 0,14 cos 45 o i + 0,14 sen 45 o j ) x 10 7 ) (N / C) → E1 = ( 0,098 i + 0,098 j ) x 10 7 ( N / C ) → E2 = - 0,28 x 10 7 j ( N / C) → E3 = - 1,12 x 10 7 i ( N / C) → ER = ( 0,098 i + 0,098 j - 0,28 j - 1,12 i ) • 10 7 ( N / C ) → ER = ( - 1,022 i - 0,182 j ) • 10 7 ( N / C ) Calcula la magnitud y dirección del campo eléctrico resultante, debes obtener: magnitud E = 1,03 • 10 7 N / C , dirección: 190o con el eje x positivo en sentido antihorario. V

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13.- Dos cargas iguales q positivas están localizadas sobre el eje x en x = a y x = - a . a)Demuestre que el campo eléctrico resultante en un punto P sobre el eje y ( a una distancia y del origen), tiene magnitud Ey = 2 k q y ( y2 + a2 )-3/2 b)Demuestre que el campo es máximo en y = a / √ 2 14.-Considere el dipolo eléctrico (dos cargas de igual valor pero signo opuesto) como muestra la figura. Demuestre que el campo eléctrico en un punto del eje x (a una distancia x del origen, tal que x >> a ) está dado por E = 4 k q a / x3 15.-Dos cargas puntuales de 2,0 uC se localizan sobre el eje X . Una carga está en x = 1,0 m y la otra en x = - 1,0 m . a)Determine el campo eléctrico en un punto en el eje y para y = 0,5 m b)Calcule la fuerza eléctrica sobre una carga de - 3,0 uC situada en el punto de la pregunta anterior. LINEAS DE CAMPO ELECTRICO Supongamos una carga puntual positiva Q que crea un campo eléctrico en el espacio que la rodea. En cada punto de este espacio, tenemos un vector E, cuya magnitud disminuye conforme nos alejamos de la carga. En la figura se presentan estos vectores en algunos puntos alrededor de Q. Consideremos los vectores E1 , E2 , E3 , etc. , que tiene la misma dirección y tracemos una línea que pase por estos vectores y orientada en el mismo sentido de ellos. Esta recta es entonces colineal ( o tangente en el caso general ) a cada uno de los vectores de campo E1 , E2, E3 , etc. Una línea como esta se llama línea de fuerza del campo eléctrico. De manera similar, podemos trazar alguna otras líneas de fuerza del campo eléctrico originado por la carga Q y obtener la figura de la derecha. De igual forma podemos hacer una representación si la carga puntual fuese negativa. PROPIEDADES DE LAS LINEAS DE CAMPO ELECTRICO

a)Las líneas de campo electrostático parten de las cargas positivas y terminan en las negativas. b)El número de líneas que se origina o termina en una carga es proporcional a la magnitud de dicha carga. c)La dirección del campo en un punto está dada por la tangente a la línea de fuerza. d)La intensidad de campo es proporcional a la densidad de líneas , esto es , el número de líneas por unidad de área entresacadas por una superficie normal a la dirección del campo. e)Las líneas de campo nunca se cruzan. V

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Las líneas de fuerza se pueden establecer de modo que proporcionen información no sólo acerca de la dirección y el sentido del vector E, sino también de la magnitud del vector. Para ello, suelen trazarse las líneas de fuerza más cercanas entre sí en las regiones donde la intensidad es mayor y por tanto deberán estar más separadas donde el campo eléctrico tiene menor intensidad. El vector campo eléctrico es en cualquier punto tangente a la línea de campo eléctrico La figura muestra las líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales separadas por una pequeña distancia. a)Determine la relación q1 : q2? b)¿Cuáles son los signos de q1 y q2? a)En este ejemplo, se tiene que a la carga q1 llegan 6 líneas y de la carga q2 salen 18 líneas, luego: q1 : q2 = 6 : 18 = 1 : 3, es decir las cargas eléctricas están en la razón 1 es a 3. b)Las líneas llegan a q1, luego esta es negativa, en cambio las líneas salen de q1, luego esta es positiva.

CAMPO ELECTRICO UNIFORME Se puede establecer un campo eléctrico uniforme colocando dos láminas metálicas separadas una distancia pequeña en relación con sus dimensiones y conectadas a un dispositivo que permita electrizarlas con igual carga pero distinto sentido (por ejemplo una pila). Considerando que la fuerza gravitatoria es muy pequeña en relación a la fuerza eléctrica, se considera que la única fuerza que actúa sobre una carga en un campo eléctrico es la fuerza eléctrica. Así se puede estudiar la cinemática de una partícula soltada o lanzada en un campo eléctrico uniforme. V

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Ejemplo 8: El campo eléctrico que se observa entre las placas es E = 2 • 104 N/C y la distancia entre ellas es d = 7 mm. Suponga que un electrón ( m = 9,1 • 10-31 kg , q = 1,6 • 10-19 C) se deja libre y en reposo cerca de la placa negativa: a)¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre el electrón? b)¿Cuál es el valor de la aceleración que adquiere el electrón? c)¿Cuál es la energía cinética que adquiere el electrón ? a) Como sabemos un electrón tiene carga eléctrica negativa. Entonces, la fuerza F que actuará sobre él tendrá la misma dirección, pero sentido contrario al del campo eléctrico E, es decir, la fuerza F estará orientada de la placa negativa hacia la positiva. El valor de F está dado por : F = E • q = 2,0 • 104 • 1,6 • 10-19 = 3,2 • 10-15 N b) Sabiendo que el peso del electrón es despreciable con la fuerza eléctrica que actúa sobre él , entonces esta última es la que actúa sobre la partícula. Como el campo eléctrico es constante, la fuerza eléctrica también es constante y el electrón tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la aceleración se obtiene a partir de la segunda ley de Newton : a = Σ F / m = 3,2 • 10 –15 / 9,1 • 10-31 = 3,5 • 1015 m/s2 c) Para calcular la energía cinética con la cuál llega el electrón a la placa necesitamos conocer la velocidad con la cuál llega, ( recuerde que la energía cinética de un cuerpo de masa m y velocidad v es Ec = m • v2 / 2 ). Al tratarse de un movimiento con aceleración constante, podemos ocupar la expresión : (v)2 = (vo )2 + 2 a d , siendo d = 7 mm = 0,007 m ; vo = 0 m/s (parte del reposo) Luego: (v)2 = 2 • 3,5 • 1015 • 0,007 ⇒ ( v)2 = 49 • 1012 (m/s)2 ⇒ v = 7,0 • 106 m/s Por lo tanto, la energía cinética que adquiere el electrón es: K = 9,1 • 10-31 • ( 7,0 • 106 )2 / 2 = 222,95 • 10-19 J Ejemplo 9: Una gota de aceite cargada de radio 2,76 • 10 –6 m y densidad d = 920 kg/m3 , se mantiene en equilibrio bajo la acción combinada de su peso y un campo eléctrico uniforme dirigido hacia abajo de magnitud E = 1,65 • 106 N/C. Calcule la magnitud y el signo de la carga en la gota. Para mantener la gota en equilibrio, su peso mg, debe ser anulado por una fuerza eléctrica de igual magnitud q • E dirigida hacia arriba. Puesto que el campo eléctrico está dirigido hacia abajo, la carga de la gota debe ser negativa, para que la fuerza eléctrica apunte en sentido contrario al campo. Al estar en equilibrio se tiene Σ F = 0 : F eléctrica - mg = 0 ⇒ E • q = m g ⇒ q = m g / E La masa de la gota se expresa como el producto de su densidad por el volumen que ocupa: m = dgota • Vgota , recuerde que el volumen de una gota esférica es V = 4 • π • R3 / 3 Luego, tenemos : q = dgota • 4 • π • R3 • g 3 • E Al reemplazar los datos numéricos se tiene la magnitud de la gota : q = 4,8 • 10-19 C. V

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16.-Dos placas conductoras electrizadas , cada una de longitud L = 6,0 cm están dispuestas como indica la figura. El campo eléctrico en el espacio entre las placas vale E = 1,8 • 104 N/C. Un electrón es lanzado paralelamente a las placas con velocidad Vo = 3 • 107 m / s. a)Trace la trayectoria descrita por el electrón mientras atraviesa el espacio entre las placas. b)¿Cuánto tiempo necesita el electrón para desplazarse desde el punto de lanzamiento hasta salir al otro lado? c)Calcule la desviación transversal que sufre el electrón al atravesar el espacio entre las placas. 17.-Suponga ahora que el mismo electrón se lanza en un campo eléctrico uniforme con una velocidad inicial vo = 6 • 106 m/s en un ángulo de 45o . La figura muestra la situación y sabiendo que E = 2 • 103 m/s, d = 3 cm, L = 12 cm. a)¿Alcanzará el electrón la placa negativa? b)Determine la posición en que el electrón alcanza una de las placas CAMPO ELECTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA Cuando se tiene una distribución continua de carga, el campo eléctrico se determina por procesos matemáticos. Se debe subdividir la distribución de carga en elementos infinitesimales de carga dq , las cuales pueden considerarse como cargas puntuales. Cada elemento de carga establece un campo eléctrico dE en un punto P, y el campo resultante en P se determina entonces a partir del principio de superposición al sumar ( es decir, al integrar) las contribuciones de campo debido a todos los elementos de carga, es decir: dE = k • dq / r2 E = k ∫ dq / r2 CONSIDERACION : a)Si la carga Q está uniformemente distribuida en toda una longitud L , se tiene la densidad lineal de carga expresada como : λ = Q / L b)Si la carga Q está uniformemente distribuida en toda un área A , se define la densidad superficial de carga como : σ = Q / A c)Si la carga Q está uniformemente distribuida en todo su volumen V , se define la densidad volumétrica de carga como : ρ = Q / V Si la carga no está uniformemente distribuida, entonces : λ = dq / dL ; σ = dq / dA ; ρ = dq / dV V

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Ejemplo 10: Una barra de vidrio de longitud L = 10 cm ( 0,10 m ) tiene una carga q = + 2 • 10-6 C distribuida uniformemente a lo largo de toda su longitud. a)¿Cuál es la densidad lineal ( λ ) de carga ? b)¿Qué cantidad de carga se encuentra en una longitud de 2 cm de la barra? a) Como la carga esta uniformemente distribuida en toda su longitud, la densidad lineal de carga es: λ = q / L = 2 • 10-6 C / 0,10 m ⇒ λ = 20 • 10-6 C / m b) Al ser λ constante , entonces en cualquier longitud se tiene una carga: q´ = λ • L´ = 20 • 10-6 C / m • 0,02 m ⇒ q´ = 0,4 • 10-6 C Ejemplo 11: Una carga Q se encuentra uniformemente distribuida en todo el volumen de una esfera aislante de radio R. ¿Qué cantidad de carga se encuentra dentro de un volumen de radio R/3? Al estar la carga uniformemente distribuida, en todo el volumen de la esfera, la densidad volumétrica es constante , es decir : ρ = Qtotal / Vtotal = constante Por lo tanto podemos establecer una proporción , es decir : Qtotal / V total = Q´ / V ´ , en que Q´ es la carga que queremos calcular contenida en el volumen V´ de radio R/3 El volumen de una esfera de radio R es : V = 4 π ( R )3 / 3 ⇒ 3Q / 4 π ( R )3 = 3 Q´ / 4 π ( R/3)3 ⇒ Q´ = Q / 27 , es decir en el volumen de radio R/3 , está contenida una cantidad de carga que es la veintisiete ava parte de la carga total. Ejemplo 12: Una esfera de 4 cm de radio tiene una carga neta de + 39 uC. a) Si la carga está uniformemente distribuida sobre el volumen de la esfera , ¿cuál es la densidad de carga volumétrica? El volumen de una esfera está dado por: V = ( 4 π r3 ) / 3 , usando π = 3 V = ( 4 • 3 • ( 0,04 ) 3 ) / 3 = 2,56 • 10-4 m3 La densidad volumétrica ( ρ ) es : ρ = Q / V = 39 • 10-6 C / 2,56 • 10-4 m3 ⇒ ρ = 15,23 • 10-2 C / m3 Esto significa que en cada metro cúbico de volumen hay una carga de 15,23 • 10-2 C b)Si la carga está uniformemente distribuida sobre la superficie de la esfera , ¿cuál es la densidad superficial de carga? La densidad superficial de carga ( σ ) está dada por: σ = Q / A , el área de una esfera es A = 4 π r2

A = 4 • 3 • ( 0,04)2 = 1,92 • 10-2 m2 σ = 39 • 10-6 C / 1,92 • 10-2 m2 ⇒ σ = 20,31 • 10-4 C / m2

Esto significa que en cada metro cuadrado de superficie de la esfera hay una carga de 20,31 • 10-4 C.

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Ejemplo 13: Una barra de longitud L = 14 cm está cargada uniformemente y tiene una carga total de Q = - 22 uC. Calcule la magnitud del campo eléctrico que crea a una distancia a = 12 cm ( punto P ) de su extremo izquierdo como muestra la figura. El campo eléctrico en el punto P es creado por una distribución de carga, luego debemos elegir un elemento de carga “dq” y unir este elemento con el punto en cuestión. A esta distancia la llamaremos “ r ”, pero como la barra se encuentra en el eje x la reemplazaremos por “ x “ . Luego : dE = k • dq / r2 ⇒ E = k • ∫ dq / x2

Al ser la distribución de carga uniforme, λ es constante, es decir : λ = Q / L , si consideramos un elemento de carga se tiene : λ = dq / dL o bien λ = dq / dx , de donde dq = λ • dx Reemplazando, se tiene: E = k • ∫ λ dx / x2 ⇒ E = k • λ ∫ dx / x2 , esta integral tiene por solución ( - 1 / x ) y se evalúa entre “ a “ y “ a + L “ a + L E = k • λ • ( - 1 ) ⇒ E = k • λ • L pero λ • L = Q x ( a + L ) a a Luego, E = k • Q reemplazando k = 9 • 109 N m2 / C2 , Q = 22 • 10-6 C (a + L ) a a = 0,12 m , L = 0,14 m se tiene: E = 6,34 • 106 N / C → Vectorialmente se escribe: E = 6,34 • 106 N / C i (horizontal a la derecha) V

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17.-Una partícula cargada negativamente - q se coloca en el centro de un anillo de radio a cargado uniformemente donde el anillo tiene una carga total positiva Q. La partícula confinada a moverse en el eje del anillo ( eje x ) se desplaza una pequeña distancia x a lo largo del eje ( donde x <<< a ) y se suelta. Demuestre que la partícula oscilara con un movimiento armónico simple a lo largo de x con una frecuencia dada por : f = (1 / 2π) • ( k q Q / m a3 ) 1 / 2 18.-Una barra uniformemente cargada de 14 cm se dobla para formar una semicircunferencia como se muestra en la figura. Si la barra tiene una carga total de - 7,5 uC , determine la magnitud y la dirección del campo eléctrico en O, el centro de la semicircunferencia. 19.- Una línea de carga positiva se forma dentro de un semicírculo de radio R = 0,6 m como muestra la figura. La carga por unidad de longitud a lo largo del semicírculo se describe por medio de la expresión λ = λo cos α. La carga total en el semicírculo es 12 µC. Calcule la fuerza total sobre una carga de 3 µC situada en el centro de curvatura. V

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