MO GRADO DE LA ESCUELA FORMADORA DE MAESTROS FERRAZ...

UNIVERSIDAD DE LAS TUNAS

CENTRO DE ESTUDIOS DE DIDÁCTICA UNIVERSITARIA

CUADERNO DE ACTIVIDADES PARA EL DESARROLLO DE

HABILIDADES EN LA APLICACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

FRACCIONARIAS EN LOS ALUMNOS DE 12MO GRADO DE LA ESCUELA

FORMADORA DE MAESTROS FERRAZ BOMBOCO DE LA PROVINCIA

HUAMBO, ANGOLA

Tesis en opción al título académico de Máster en Didáctica de la Educación Superior

AUTOR: Lic. Alambre José Pinto

Las Tunas, 2014

UNIVERSIDAD DE LAS TUNAS

CENTRO DE ESTUDIOS DE DIDÁCTICA UNIVERSITARIA

CUADERNO DE ACTIVIDADES PARA EL DESARROLLO DE

HABILIDADES EN LA APLICACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

FRACCIONARIAS EN LOS ALUMNOS DE 12MO GRADO DE LA ESCUELA

FORMADORA DE MAESTROS FERRAZ BOMBOCO DE LA PROVINCIA

HUAMBO, ANGOLA

Tesis en opción al título académico de Máster en Didáctica de la Educación Superior

Autor: Lic. Alambre José Pinto

Tutor: Dr.C. Pedro Roberto Valdés Tamayo, Prof. Titular.

Las Tunas, 2014

Dedicatoria

De su vientre yo nací y hoy soy un hombre formado. Hay en ti un saber que viene de Dios, y es que contigo dentro puedo llegar bien alto. A ti, MADRE maravillosa, ¡mi musa perenne!

Porque desde niño, día y noche, cerca o lejos dedicaste horas sin límite a mi educación y seguridad. A usted PAPÁ.

Es incondicional el apoyo cuando no cuentan las horas ni el esfuerzo, cuando las manos amanecen tendidas para sostener la faena. A MADALENA, EDMUNDO, OSVALDO, TININHA, LENA, NATY, BETY, CISO, GERVÁSIO, ALCIDES, y NEIDY, mis hermanos de verdad; a FELISBERTO mi hermano por decisión.

A los hijos que iluminan mi vida: JUZY, JULENY y GIL.

Agradecimientos

A Dios, mi único protector y que está conmigo en cada momento de mi vida.

A mi tutor y maestro Dr.C. Pedro Roberto Valdés Tamayo por su sabiduría, su crítica profunda y de quien aprendí no solo el camino de la ciencia, sino también, el secreto de la verdad y de la confianza en mí mismo.

Al Dr.C. Ulises Mestre Gómez, a quien le tengo una profunda admiración.

Al Dr.C. Alberto Hernández Flores, a quien yo debo mucho.

A todos mis maestros y funcionarios del CEDUT, en especial al Comité Académico de la Maestría que propiciaron mi preparación para la realización de este trabajo.

A mi esposa por su comprensión y disponibilidad.

A mis compañeros de aula, quienes me estimularon en cada momento de la formación para llegar al final.

A todos los que contribuyeron con su tiempo y esfuerzo, a los amigos que me ayudaron con sus ideas y experiencias compartidas.

A mi hermano SILVEIRA JOÃO por su ayuda decisiva e incondicional.

A todos trabajadores de la Residencia Académica por su hospitalidad, cariño y educación.

A todos compañeros del trabajo en la Escuela Formadora de Maestros Ferraz Bomboco por su comprensión y apoyo.

A todos, muchas gracias.

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 1

CAPITULO I: El PROCESO DE ESEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICA, CON ÉNFASIS EN EL DESARROLLO DE HABILIDADES EN LA UTILIZACIÓN Y APLICACIONES DE LAS FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS ............................................................................................................. 9

1.1. Aproximación teórica al proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en las escuelas formadoras de maestros en Angola. ................................................ 9

1.2. El desarrollo de habilidades en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Epistemología del concepto función ................................................... 18

1.3. Estado actual del proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática en la Escuela Formadora de Maestros de Huambo, República de Angola 30

Conclusiones del capítulo ............................................................................................ 33

CAPITULO II. CUADERNO DE ACTIVIDADES PARA EL DESARROLLO DE HABILIDADES EN LA APLICACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS EN LOS ESTUDIANTES DE 12MO GRADO DE LA ESCUELA FORMADORA DE MAESTROS FERRAZ BOMBOCO DE LA PROVINCIA HUAMBO EN LA REPÚBLICA DE ANGOLA ....................................................................................... 34

2.1. Fundamentos teóricos que sustentan el cuaderno de actividades para el desarrollo de habilidades en la utilización y aplicación de las funciones racionales fraccionarias ................................................................................................................... 34

2.2. Cuaderno de actividades para el desarrollo de habilidades en la utilización de funciones racionales fraccionarias ............................................................................. 46

2.3. Pertinencia y factibilidad del cuaderno de actividades para el desarrollo de habilidades en la utilización y aplicación de las funciones racionales fraccionarias 49

Conclusiones del capítulo ............................................................................................ 51

CONCLUSIONES ............................................................................................................ 53

RECOMENDACIÓN ......................................................................................................... 54

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................... 55

ANEXOS

Resumen

A partir de constatar diversas insuficiencias en los alumnos de 12mo grado de la escuela formadora de maestros Ferraz Bomboco, de la provincia Huambo, en la República de Angola; relativas a la aplicación de las funciones racionales fraccionarias, se decidió elaborar un cuaderno de actividades que se erige sobre sólidos fundamentos teóricos didácticos y psicológicos. Con él se pretende contribuir al desarrollo de habilidades matemáticas por parte de los alumnos en este nivel de enseñanza. Para ello ha sido debidamente estructurado siguiendo una lógica, que parte del análisis de los aspectos teóricos fundamentales en cada tema y lo complementan ejemplos de ejercicios resueltos, que sirven de base para el desarrollo de la actividad independiente, mediante la realización de actividades propuestas. Resulta novedosa la utilización del asistente matemático DERIVE en la elaboración del cuaderno, así como en la resolución de los ejercicios que se proponen. La factibilidad de la solución propuesta a la problemática inicial fue objeto de valoración a partir del Criterio de Expertos, los cuales la valoraron como muy adecuada a partir de las características concretas del contexto angolano.

1

INTRODUCCIÓN

Angola, después de la conquista de la independencia nacional del 11 de Noviembre de

1975 y de la paz efectiva el 4 de Abril de 2002, se ha propuesto la construcción de una

sociedad más justa para el bien de todos. En este proceso, la educación y la escuela

como institución, han jugado un papel determinante, pues sobre ellas ha descansado la

responsabilidad de la formación de las futuras generaciones de angolanos.

La Ley de Base del Sistema de Educación de Angola, contempla en su artículo 4 que el

sistema de Educación es integral, por la correspondencia entre los objetivos de formación

y el desarrollo del país, que se materializan mediante la unidad de los objetivos, los

contenidos y los métodos de formación, garantizando la articulación horizontal y vertical

permanente de los subsistemas, los niveles y las modalidades de enseñanza.

La sociedad y las escuelas angolanas están enfrascadas en importantes cambios en la

formación de un profesional en correspondencia con la integración del conocimiento

científico de la época contemporánea, el acelerado desarrollo de la ciencia y la tecnología

y con las exigencias de la formación de las nuevas generaciones, lo que implica la

formación del profesional de la educación, a las instituciones y a los docentes que los

forman.

El presidente dos Santos plateó que: “… es importante que los actuales avances

políticos, económicos e institucionales del país se revelen en el plano social y en el plano

de cambio de mentalidades… ”(Dos Santos,2008). Esto constituye un marco importante

para el rescate de una nueva mentalidad en la sociedad angolana de modo que se

propicie el desarrollo del conocimiento científico, el cual se realiza por medio de una

educación integral. Destaca como elemento primordial la participación consciente del

estado y la familia en el rescate de valores a partir del conocimiento de las ciencias.

Por consiguiente, la educación es un fenómeno condicionado sociohistóricamente, es un

proceso que debe responder a los fines sociales. Es una actividad multideterminada y

multifuncional, pues muchas son las instancias que se ocupan de la misma: el Estado, la

familia, los adultos en general, los maestros, profesores y los medios de comunicación.

TESIS EN OPCIÓN AL TÍTULO ACADÉMICO DE MÁSTER EN DIDÁCTICA DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR

Lic. Alambre José Pinto

2

La Matemática, por sus características y posibilidades educativas, puede contribuir a

satisfacer las demandas de preparación del hombre para su inserción en el mundo

contemporáneo.

En el contexto anterior, a los maestros y profesores e investigadores en Educación

Matemática se les plantea como problemática universal la de encontrar vías que

garanticen un adecuado aprendizaje de las Matemáticas, que les permita a las

generaciones venideras enfrentar los retos y resolver los múltiples problemas a los que

tendrán que buscar soluciones.

Al decir de Santos (1992), uno de los componentes esenciales en el aprendizaje de las

matemáticas se relaciona con las ideas propias de lo que son las matemáticas.

La Matemática, entendida aquí como “el producto de una serie de épocas históricas y el

trabajo de muchas generaciones, tiene como objeto el estudio de las formas y relaciones

reales de la realidad” (Martínez, 1995); este estudio se realiza esencialmente, a través de

la abstracción, intentando, según (Engels, 1962) el aislamiento de esas formas y

relaciones de su contenido, lo cual es realmente imposible y constituye la contradicción

fundamental de la Matemática (Martínez, 1995).

Resulta claro que esta concepción de la Ciencia Matemática condiciona su enseñanza –

aprendizaje ligada al trabajo con funciones, aspecto considerado esencial en el desarrollo

de las ideas matemáticas, según Santos, (1992). El trabajo con funciones caracteriza a

una de las conductas más inteligentes del hombre y que más utilidad práctica tiene.

La ilustración, el desarrollo de los métodos infinitesimales, las múltiples dificultades

teóricas con las que se tuvieran que enfrentar tres generaciones de matemáticos,

confirma el valor de las aportaciones que dieran lugar a una revolución científica radical

en las matemáticas.

Según Resendiz (2006), la enseñanza del Cálculo ha resultado siempre problemática,

quizás sea esa la razón por la que se enseña a los estudiantes de forma mecánica,

centrando la enseñanza tradicional en la evaluación de habilidades adquiridas que

atañen a una práctica algorítmica de naturaleza algebraica para los objetos del Cálculo,

que si bien logran disminuir sustancialmente el porcentaje de alumnos reprobados, no se

INTRODUCCIÓN

3

favorece que comprendan satisfactoriamente los conceptos y métodos del Cálculo, entre

ellos el concepto de función.

La relevancia del concepto función en distintos ámbitos científicos ha dirigido la atención

hacia el análisis de sus procesos de enseñanza y aprendizaje. En la literatura

especializada existen acercamientos teóricos que estudian al concepto y donde reportan

una gran variedad de dificultades en su aprendizaje (Dubinsky y Harel, 1992).

El concepto función es un objeto matemático de extrema complejidad, debido a que

posee múltiples formas de representación (gráficas, fórmulas, tablas, relaciones verbales

y representación icónica), que obligan al individuo a transformar una representación en

otra, según la situación y el contexto donde cobra vida. También existen diversos

subconceptos asociados al concepto función, a saber, dominio, rango, cantidad variable,

razón, función inversa, función composición, entre otros.

El tratamiento que se ha dado a este concepto refleja cierta linealidad en la presentación,

pues se va de lo más sencillo a lo más complejo para reforzar nociones y no con la

intención de hacerlas evolucionar.

Esto es, el tratamiento usual del concepto función parte de su definición formal:

“Una función es una correspondencia entre un conjunto de números reales y otro

conjunto de números reales, donde el número es único para un valor dado de y se sigue

con refuerzos en diversas representaciones de dicho concepto”.

Debido al tratamiento otorgado a este concepto, los alumnos suelen considerar a las

funciones como dos expresiones separadas por un signo igual y tienden a asociarla con

una fórmula, pero esta asociación función-fórmula parece ser perfectamente razonable,

ya que refleja la comprensión histórica de algunos matemáticos Carlson; Oerhtman,

(2005).

A continuación se presentan algunos autores que trabajaron en el surgimiento del

concepto de función, tales como Nicole Oresme (1323-1382), Galileo Galilei (1564-1642),

Renè Descartes (1596-1650), Johann Bernoulli (finales del siglo XVII), Leonhard Euler



4

(1748 y 1755), Edouard Goursat (1923), este ultimo fue el que dio la definición de función

que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día.

Además se presentan algunos resultados de investigaciones asociadas a esta dimensión

cognitiva que no pretenden ser exhaustivos, más bien, ser un reflejo de una problemática

real.

En el ámbito internacional tenemos que Sierpinska (1992), realiza las primeras

investigaciones sobre el concepto que nos interesa, el de función. Este mismo autor en

1989, identifica cinco obstáculos epistemológicos inherentes a este concepto. Tinoco

(1996), publica un libro donde el último capítulo trata de la formalización de la definición

del concepto de función. Oliveira (1997), sugiere una secuencia didáctica para la

enseñanza-aprendizaje del concepto de función. CÂndido (2000), publica un artículo

donde refiere a partir de una serie de actividades desarrolladas sobre el tratamiento del

concepto de función que los maestros tenían inicialmente dificultades referentes a las

nociones básicas de función. Carlson y Oerhtman (2005), realiza el trabajo conociendo el

concepto de función. Escandon (2005), historia del concepto función. Cantoral y Montiel

(2006), desarrollo del Pensamiento matemático: El caso de la visualización de funciones.

Del Castillo y Montiel (2007), el concepto función en un ambiente geométrico dinámico

bajo el enfoque covariacional. García y García (2007), realizaron un estudio socio

epistemológico del concepto función. Ferreira (2008), realizó un trabajo donde sugiere

como dar tratamiento al concepto de función en la Matemática contemporánea y sus

gráficos a partir del asistente matemático Derive.

En Cuba, se tiene referencias de trabajos realizados por González (1974). Campistrous y

Rizo (1993) y Arnaiz (2000), referidos al trabajo con funciones, sus aplicaciones, así como

al desarrollo de habilidades en la enseñanza de la Matemática.

En el ámbito nacional no se tiene referencias de autores que hayan trabajado esta

temática.

Sin embargo, desde las perspectivas con que estos autores se acercan al análisis de

esta problemática son insuficientes los aportes relacionados con el tratamiento al

concepto y aplicaciones de las funciones y en particular de las funciones racionales

INTRODUCCIÓN

5

fraccionarias en el contexto de la enseñanza de la Matemática en los estudiantes de la

Escuela Formadora de Maestros Ferraz Bomboco de la Provincia de Huambo República

de Angola.

Teniendo en cuenta lo anterior, así como las observaciones e indagaciones empíricas

sobre el tratamiento al concepto función y en particular el de función racional fraccionaria

y sus aplicaciones en los alumnos de la Escuela Formadora de Maestros, Ferraz

Bomboco de la Provincia Huambo República de Angola, la experiencia investigativa y la

práctica pedagógica del autor como profesor de este nivel de enseñanza, además de un

diagnóstico fáctico realizado, han permitido revelar las situaciones problemáticas

siguientes:

En el plan de estudio vigente es insuficiente el tiempo destinado para el

tratamiento a las funciones racionales fraccionarias y sus aplicaciones.

No existe una bibliografía que tenga en cuenta el tratamiento del concepto y

aplicaciones sobre funciones racionales fraccionarias en el contexto angolano.

Insuficiente dominio y tratamiento por parte de los profesores del concepto de

función y sus aplicaciones y en particular el caso de las funciones racionales

fraccionarías.

Insuficiente sistematización de los contenidos relacionados con funciones y sus

aplicaciones en particular de las funciones racionales fraccionarias.

La bibliografía existente relacionada con esta materia no se corresponde al

contexto angolano por ser de origen portugués.

Estas valoraciones permitieron determinar como problema científico: ¿Cómo potenciar

el aprendizaje de la Matemática en los alumnos de la Escuela Formadora de Maestros

Ferraz Bomboco de la Provincia de Huambo, República de Angola?

Desde el problema presentado y sabiendo que la el aprendizaje de la Matemática es

fundamental para el desarrollo integral de los alumnos, se determinó como objeto de

estudio: El proceso de Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática en las Escuelas

Formadoras de Maestros.



6

En correspondencia con el problema científico y teniendo en cuenta el objeto de estudio

se tiene como objetivo de la investigación: La elaboración de un cuaderno de

actividades para el desarrollo de habilidades en la aplicación de las funciones racionales

fraccionarias por los alumnos de 12mo grado, en la Escuela Formadora de Maestros

Ferraz Bomboco, de la Provincia Huambo, República de Angola y se determinó como

campo de acción: El desarrollo de habilidades en la aplicación de las funciones

racionales fraccionarias.

La Hipótesis que guió la investigación es la siguiente: Un cuaderno de actividades para

el desarrollo de habilidades en la aplicación de las funciones racionales fraccionarias,

contribuirá a potenciar el aprendizaje de la Matemática en los alumnos de 12mo grado de

la Escuela Formadora de Maestros Ferraz Bomboco de la Provincia Huambo, República

de Angola.

En correspondencia con el objetivo y la hipótesis se elaboraron las siguientes tareas

científicas:

1. Caracterizar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en las

Escuelas Formadoras de maestros en la República de Angola.

2. Caracterizar el desarrollo de habilidades en el proceso de enseñanza-aprendizaje

de la Matemática con énfasis en la utilización y aplicación de las funciones


3. Diagnosticar el estado actual del aprendizaje de la Matemática en la Escuela

Formadora de Maestros Ferraz Bomboco, de la Provincia Huambo, República de

Angola.

4. Establecer los fundamentos teóricos del cuaderno de actividades para el desarrollo

de habilidades en el trabajo y aplicación de las funciones racionales fraccionarias.

5. Elaborar un cuaderno de actividades para el desarrollo de habilidades en la

utilización y aplicación de las funciones racionales fraccionarias.

INTRODUCCIÓN

7

6. Valorar la pertinencia y factibilidad del cuaderno de actividades para el desarrollo

de habilidades en la utilización y aplicaciones de las funciones racionales

fraccionarias.

En la ejecución de estas tareas se utilizaron métodos teóricos y empíricos. A

continuación detallamos los fundamentales.

Métodos teóricos

Análisis Documental: Se usó usado para lograr y analizar la información contenida en

varios documentos como programas, libros, planes de clases, tesis, bibliografía

especializada, documentos normativos, resoluciones y otras fuentes relacionadas con el

tema.

Análisis-Síntesis: Se utilizó en todas las fases del proceso investigativo y en la

interpretación de los resultados alcanzados.

Sistémico-Estructural-Funcional: Permitió establecer la relación entre los componentes

del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática y la propuesta de elaboración

del cuaderno de actividades para potenciar el aprendizaje de los alumnos.

Métodos empíricos

Entrevista: Se aplicó para analizar la opinión de los profesores y estudiantes con relación

a la resolución de ejercicios de funciones racionales fraccionarias.

Observación: En la observación de clases y comportamiento de los alumnos en el salón

de clases.

El aporte práctico de la tesis consiste en un cuaderno de actividades para el desarrollo de

habilidades en la utilización y aplicación de funciones racionales fraccionarias.

El cuaderno de actividades, con varias temáticas sobre funciones racionales

fraccionarias, va a facilitar el trabajo del profesor y facilitar el aprendizaje de esta tematica

en los estudiantes.



8

El cuaderno de actividades reúne la teoría fundamental sobre funciones racionales

fraccionarias con un lenguaje claro, con ejemplos, ejercicios resueltos, ejercicios

propuestos, así como problemas.

El informe investigativo está estructurado en introducción, dos capítulos, conclusiones

generales, recomendaciones, bibliografía y anexos.

9

CAPITULO I: El PROCESO DE ESEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICA, CON ÉNFASIS EN EL DESARROLLO DE HABILIDADES EN LA UTILIZACIÓN Y APLICACIONES DE LAS FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS

En este capítulo se abordan los fundamentos teóricos del proceso de enseñanza-aprendizaje de

la Matemática, en particular, desde la Didáctica General y de la Didáctica de la Matemática. Se

estructura en tres epígrafes, en el primero se ofrecen los fundamentos teóricos, en el segunda se

presenta el desarrollo de habilidades en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática

así como la epistemología del concepto función y en el tercero, se caracteriza el estado actual

del proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática en la Escuela Formadora de

Maestros objeto de estudio.

1.1. Aproximación teórica al proceso de enseñanza-aprendizaje de la

Matemática en las escuelas formadoras de maestros en Angola.

En el presente epígrafe se sistematizan los fundamentos teóricos generales que, desde las

distintas ciencias, contribuyen a sustentar la solución del problema científico identificado, con

énfasis en la Didáctica General y la Didáctica de la Matemática, que sirven de basamento al

abordaje del proceso de enseñanza-aprendizaje de esta asignatura en las Escuelas Formadoras

de Maestros de la República de Angola.

Desde mediado del siglo XX, a partir de los trabajos del ICMI (International Commission for

Mathematics Instruction), se vienen desarrollando investigaciones científicas en el campo de la

enseñanza-aprendizaje de la Matemática. En 1950 fue formado la CIEAEM (Commission

Internacionale por l’Étude et l’Amélioration de l’Énseignement dês Mathemátiques). Cerca de

veinte años después de ese evento, en 1972, Fischbein formó un grupo de trabajo sobre

Psicología de la Didáctica de la Matemática, en un encuentro del ICME (International Congreso

on Mathematics Education), que vino a dar origen, cuatro años después, al PME (International

Group sea the Psychology of Mathematics Education). Así, se realza que desde entonces un

grupo diversificado de profesionales en educación (psicólogos de la educación, maestros de

Matemática, investigadores y formadores con intereses comunes) se han preocupado por



10

trabajar en un área del conocimiento, llamada Didáctica de la Matemática. Este grupo tiene

trabajos sobre temas de la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, sobre todo, relacionado

con el profesor, el alumno, el currículo de Matemáticas y la formación de maestros y profesores.

En la actualidad, existe un grupo de trabajo fundado en 1984, durante el ICME 5, en Australia,

nombrado Theory of Mathematics Education (TME), que busca discutir cuestiones relacionadas

con la teoría de la “Educación Matemática” y “Didáctica de la Matemática”. A pesar de

referenciar el mismo aspecto, se han formado con mayor énfasis en lugares diferentes. Así, el

término Didáctica de la Matemática es bastante usado en países de idioma alemán y francés y

han venido a propagarse en los países de idioma inglés. Los países de Europa central no utilizan

para referir el área del conocimiento denominada “Educación Matemática” (Mathematics

Education). En estos países, a pesar de utilizar el término “didáctica”, este tiene una connotación

negativa y es, por eso, poco utilizado (Godiño y otros 1991; Puente, 1994 y Mura, 1998).

Se utilizan otros términos como sinónimos de “Didáctica de la Matemática” o “Educación

Matemática”, destacándose “enseñanza de la Matemática” y “enseñanza-aprendizaje de la

Matemática”. Puente (1986), refiere que la expresión enseñanza de la Matemática nos hace

asociar al maestro, como aquél cuya tarea se reduce, a enseñar, con un papel más dinámico en

el proceso, al paso que al estudiante le es atribuido un papel pasivo, menos significativo y visto

como aquél que es enseñado. Así, en el sentido de darse una cierta dinámica al proceso, con un

papel más significativo y dinámico al estudiante, se introdujo, según este autor, el término

aprendizaje, quedándose así “enseñanza y aprendizaje de la Matemática”.

Puente (1986), considera que la Didáctica era entendida como una colección de métodos y

técnicas específicas de cada disciplina escolar, emergentes de la experiencia y de la

ponderación de los actores escolares y de los responsables educativos, a ser aplicado en el

proceso de enseñanza-aprendizaje. A lo largo de los años, según el autor, la Didáctica fue

adquiriendo un estatus más académico, con un saber formado por conceptos y principios,

resultado de ponderaciones de los especialistas de las áreas específicas del saber. Así, la

Didáctica pasa a ser entendida cómo el estudio de los fenómenos educativos, con soporte

disciplinar y, muchas veces, pluridisciplinar, o sea, tiene por objeto el estudio de los problemas

de la enseñanza y aprendizaje de esa misma disciplina y las respectivas implicaciones en la

formación de maestros y profesores.


11

La Didáctica de la Matemática utiliza y explora el conocimiento disponible de otras disciplinas

como “recurso” científico, para describir y analizar la enseñanza y el aprendizaje de la

Matemática. Así, la Didáctica de la Matemática no se reduce a un conjunto de reglas y técnicas

que se utilizan en las salas de clases de Matemática, y no asume un cuño estrictamente

normativo. Constituye un dominio de teorías, investigaciones empíricas y ponderación que se

apoya sobre la naturaleza de los saberes propios de la Matemática o en su área de

conocimiento, sobre sus objetivos, métodos y contenidos del saber escolar, así como, sobre la

dinámica del proceso de enseñanza-aprendizaje y su evaluación (Puente, 1999).

En la perspectiva de la Didáctica como campo científico, Brousseau (1997), distingue tres

concepciones: la tecnicista, la pluridisciplinar y la fundamental o Matemática.

La perspectiva tecnicista considera la didáctica como un conjunto de técnicas: la invención,

descripción, producción y el control de nuevos métodos de enseñanza, currículos, objetivos,

medios de evaluación, materiales, manuales escolares. La concepción pluridisciplinar enfatiza la

enseñanza de la Matemática como necesaria para la formación técnica y profesional de los

maestros, dado que los contenidos matemáticos son tenidos como imprescindibles para la

comprensión de otras disciplinas. En este sentido Brousseau (1997), enfatiza el papel de la

Didáctica de la Matemática, en la producción y divulgación de materiales y técnicas de

enseñanza, que permitan al maestro un desempeño adecuado de sus actividades.

Las concepciones anteriores consideran la Didáctica de la Matemática como una ciencia

interesada por la producción y comunicación de los conocimientos matemáticos. Así Vale

(2000), subraya que en la Didáctica de la Matemática son estudiados todo los fenómenos de

enseñanza y aprendizaje de la Matemática, de modo que constituye un área no dependiente de

otros campos científicos, dirigiéndose para una teoría unificadora del acto didáctico, cuya

especificación y métodos serían específicos y endógenos, Godino (1994); Clark y otros (1996).

Por otro lado la concepción filosófica dominante sobre la Matemática (formalista, realista,

constructivista, entre otras) ha generado un tipo de actividad matemática en cada etapa de

desarrollo de esta ciencia y sobre su base se ha producido una determinada práctica educativa.

En la concepción formalista de la Matemática, por ejemplo, que prevaleció en la primera mitad

del siglo pasado, esta disciplina aparece como un cuerpo estructurado de formas, ajenas al



12

significado de los objetos. Por su parte, en la concepción epistemológica que comprende los

objetos de la Matemática en una realidad, que reconoce su existencia independiente del sujeto,

basado en el realismo epistemológico de Platón y Aristóteles, se plantea como consecuencia

que conocer Matemática es reconocer los objetos matemáticos mediante procesos de

abstracción y generalización en los objetos corpóreos de la naturaleza y bajo esta concepción la

actividad matemática se acerca al proceso de descubrimiento del matemático.

Por lo que en este sentido, el término proceso adquiere una connotación filosófica toda vez que

significa paso de avance, transformación sistemática sujeta a ley, de un fenómeno; paso del

mismo a otro fenómeno (García y otros, 2004). Lo que facilita entender que el proceso de

enseñanza-aprendizaje es de transformación sistemática, que sucede por etapas y que implica

un determinado desarrollo del sistema de conocimientos, hábitos, habilidades y normas de

comportamiento en los estudiantes.

En el contexto de esta tesis el autor tiene en cuenta el enfoque histórico concreto de los

fenómenos con estrecha relación entre ellos, y lo necesario del establecimiento de las relaciones

entre los elementos del conocimiento matemático, que según García (1989), todas las cosas,

todos los procesos, todos los fenómenos, en un grado mayor o menor, están interrelacionados.

De manera que, encontrar la solución a las insuficiencias que en el proceso de enseñanza-

aprendizaje de la Matemática provocan un aprendizaje reproductivo en los estudiantes de las

Escuelas Formadoras de Maestros del país, demanda descubrir los nexos entre elementos del

conocimiento matemático para la explicación y solución de ejercicios y problemas.

Otro aspecto esencial, que desde la filosofía de la educación permite sustentar la presente

investigación, lo constituye el análisis de lo individual y lo universal a partir de dos puntos de

vista: consideración de los componentes que conforman el proceso de enseñanza-aprendizaje

como un todo y del tratamiento de los términos y operaciones matemáticas y en especial el

trabajo con funciones de forma independiente por un lado y por el otro, en sus relaciones.

Al considerar que, tanto los estudiantes como los profesores son sujetos activos de su propio

aprendizaje, se establecen relaciones sociales entre ellos y se modifican en la solución a los

problemas que afectan la calidad del aprendizaje, por tanto, se requiere ofrecer un significado

especial a algunos de los fundamentos sociológicos de autores como López (2000), González y


13

Reinoso (2002) y García y otros (2004).

Los autores antes citados, reconocen como principales fundamentos: el papel del profesor y del

estudiante en el proceso de enseñanza-aprendizaje, así como las categorías que ayudan a

explicar las condiciones básicas para mejorar los resultados en el aprendizaje de la Matemática,

que son, entre otras: el colectivo pedagógico, el colectivo escolar y la institución escolar.

La institución escolar posibilita los espacios de intercambio entre los docentes para la búsqueda

de las mejores vías y formas de preparación, entre estos y los estudiantes en el proceso de

enseñanza-aprendizaje y entre los propios estudiantes para identificar sus necesidades e

interactuar con los contenidos matemáticos, favoreciendo la motivación hacia el nuevo

conocimiento y promover una actitud consciente hacia el aprendizaje.

Lo anterior orienta considerar que, el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática

también descansa en fundamentos psicológicos que ayudan a explicar la naturaleza de los

conocimientos, las motivaciones, las necesidades y los intereses de los sujetos que en este

participan.

Se concuerda con Castellanos y otros (2002), cuando se reconoce al aprendizaje humano como

el proceso dialéctico de apropiación de los contenidos y las formas de conocer, hacer, convivir y

ser construidos en la experiencia socio histórica, en el cual se producen, como resultado de la

actividad del individuo y de la interacción con otras personas, cambios relativamente duraderos y

generalizables, que les permiten adaptarse a la realidad, transformarla y crecer como

personalidad.

El psicólogo soviético Vigotsky, revolucionó las concepciones sobre aprendizaje que le

antecedieron y ofreció en su teoría elementos novedosos como son el rol de lo social, la Zona de

Desarrollo Próximo (ZDP), el proceso de internalización y la relación aprendizaje-desarrollo.

Con respecto a esto último señaló que “el aprendizaje no es en sí mismo desarrollo, pero la

correcta organización del aprendizaje del niño lleva al desarrollo mental, activa todo un grupo de

procesos de desarrollo y esta activación no podría producirse sin el aprendizaje” (Vigotsky, 1979,

p.97).

Igualmente destaca el papel que desempeña lo social en el aprendizaje; concepción que se



14

profundizó y se amplió posteriormente por otros investigadores, pues este proceso no se limita a

la apropiación de conocimientos, habilidades y valores, sino que el que aprende se debe

involucrar en esa realidad e intervenir para perfeccionarla.

Estas Ideas constituyen elementos necesarios para fundamentar en esta tesis, por cuanto le

imprime al aprendizaje el rol de guía que conlleva al desarrollo, pero también implica la relación

socio-afectiva que se establece entre el que enseña y el que aprende.

En esta tesis se asumen las relaciones lógicas de significado por cuanto son las que propician la

comprensión del estudiante, al enfrentarse a una situación de aprendizaje, las que son

reconocidas como: “los tipos de relaciones que no nombran a las representaciones-cosa, sino

que lo hacen con esas relaciones entre ellas, se constituyen en relaciones lógicas. Pueden ser

de significado (entre representaciones y palabras), de causa-efecto y de posición” (Montenegro,

2004, p.36).

El proceso de enseñanza-aprendizaje se desarrolla en atención a sus componentes: objetivos,

contenidos, métodos, medios, formas de organización y de evaluación. Álvarez, (1997), Álvarez,

(1998), López y otros (2002), González y Reinoso (2002), hacen referencias de sus

características, las que son de utilidad para comprender el significado de las relaciones entre los

objetos matemáticos y representaciones, cuestión de sumo interés para el autor de esta tesis

tenerlo en cuenta para la utilización de las funciones racionales fraccionarias y sus aplicaciones.

Se asume al objetivo como categoría rectora, pues determina el resto de los componentes

didácticos, es la esencia del proceso de enseñanza-aprendizaje, cumplen una doble función:

objeto de evaluación y reflejo del estado del proceso enseñanza-aprendizaje.

Por su parte, los contenidos de enseñanza constituyen aquella parte de la cultura que se

selecciona con un criterio pedagógico; lo integran el sistema de conocimientos, capacidades,

hábitos y orientaciones valorativas adquiridas por el educando, que para el sistema educativo

angolano se establecen en términos de saber (conocimientos), saber hacer (habilidades) y saber

ser (actitudes).

Además, se asumen los criterios de los mencionados autores en cuanto al método, al conferirle

como rasgos el modo de desarrollar y de configuración interna para alcanzar los objetivos

propuestos a través de los contenidos; estructura de las relaciones del proceso, orden,


15

secuencia e integración de las acciones de los sujetos; su esencialidad radica en la

determinación de la forma de organización del proceso de enseñanza-aprendizaje de la

Matemática.

Por su parte, a las formas de organización del proceso enseñanza-aprendizaje se le atribuyen

como características, la organización espacio-temporal; nivel de dependencia con la

organización interna de los contenidos y de los objetivos; plantean y favorecen las relaciones

entre los sujetos para concretar los métodos.

En el proceso de enseñanza-aprendizaje, la evaluación desempeña un rol esencial en el control.

Una de las formas de la evaluación, la autoevaluación, ocupa un papel dinamizador al propiciar

que el estudiante sea capaz de autorregularse y autocontrolarse.

La concepción de aprendizaje desarrollador tiene en cuenta lo que el estudiante aprende y cómo

lo aprende, de manera que “el aprendizaje desarrollador supone una enseñanza desarrolladora,

centrada más en cómo aprender a aprender, que en el simple aprendizaje de los conocimientos

académicos y sus resultados” (Reyes, 2002, p.17).

Por otra parte, Castellanos y otros (2002), refieren que un aprendizaje es desarrollador cuando

garantiza en el individuo la apropiación activa y creadora de la cultura, propiciando el desarrollo

de su autoperfeccionamiento constante, de su autoestima y autodeterminación, en íntima

conexión con los procesos de socialización, compromiso y responsabilidad.

La definición es la que asume el autor porque de esta tesis teniendo en cuenta que en el

proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática es necesario enseñar a los estudiantes a

planificar su actuación, a controlar el proceso mientras resuelven una tarea y a valorar la manera

en que esta tarea se llevó a cabo, además de considerar el encargo social de este tipo de

estudiante en nuestra sociedad.

En el ámbito internacional investigadores en Didáctica de la Matemática como De Guzmán

(1998); Godino (2005) y Rico (1997), definen el conocimiento matemático disciplinar como

aquel, que se construye con fines investigativos para resolver algún problema abierto.

Entre estos autores existe el consenso en que el conocimiento matemático, tanto disciplinar

como escolar, se expresa en preguntas, conceptos, proposiciones (juicios) referidas a los



16

conceptos (axiomas o teoremas), razonamientos para obtener o demostrar los teoremas y en

los procedimientos utilizados para resolver los problemas intra o extramatemáticos que

estimulan la génesis de nuevos conocimientos o la aplicación de los ya construidos.

En la literatura existen varias definiciones de conceptos que esencialmente coinciden con

Campistrous (1993), al señalar que son “el reflejo en la conciencia del hombre de la esencia de

los objetos o clases de objetos, de los nexos esenciales sometidos a ley de los fenómenos de la

realidad objetiva, se conservan en palabras o grupos de palabras en íntima conexión con el

lenguaje”

La formación y obtención de conceptos ocupa un lugar especial en el proceso de enseñanza-

aprendizaje de la Matemática, tal y como fundamenta Campistruos (1993), al considerar que es

una condición previa importante para la capacidad de aplicar lo aprendido, en forma segura y

creadora, aspecto fundamental para el entendimiento de relaciones Matemáticas. Este autor

señala que los conceptos desempeñan el papel primordial en los conocimientos matemáticos

para el establecimiento de relaciones, aspecto vital para el tratamiento de las funciones


También es importante la necesidad de que el estudiante sea capaz de expresar con sus

palabras el concepto, es decir, su definición, entendida como el reflejo verbal de la clase de

cosas, procesos o relaciones, sobre la base de las características invariantes y más aun, pueda

comunicar sus ideas.

Las proposiciones según Jungk (1979), constituyen ideas expresadas mediante frases

gramaticales, que tienen la propiedad de ser verdaderas o falsas, idea que constituye el atributo

esencial, o sea, que deben tener un valor de verdad, pero no se explícita la unidad proposicional

que se establece entre uno o más conceptos.

Otros autores como Coll (1988) y Godino (2005), definen el procedimiento de forma similar. El

primero plantea que un procedimiento, llamado también a menudo regla, técnica, método,

destreza o habilidad, es un conjunto de acciones ordenadas y finalizadas, es decir, dirigidas a la

consecución de una meta. El segundo asume esta definición y expone que en ocasiones se

confunde un concepto con un procedimiento y lo ejemplifica a través de la suma de números

naturales, que es un concepto: suma y a la vez un procedimiento: sumar. Estos autores en sus


17

definiciones refieren los procedimientos de forma general que se aplican en Matemática, es

decir, no establecen una diferenciación explícita entre los procedimientos generales de solución.

En el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, en particular, en las Escuelas

Formadoras de Maestros en Angola, se aplican, en lo fundamental, dos tipos de procedimientos

de solución: los algorítmicos y los heurísticos, que se introducen desde grados anteriores y

constituyen contenido de la Didáctica de la Matemática.

Los procedimientos heurísticos son los que “apoyan la realización consciente de actividades

mentales complejas y exigentes” (Ballester, 1992, p.227). Estos procedimientos aportaron al

proceso de enseñanza-aprendizaje, un enfoque en el que prevalece la orientación del profesor

para que los estudiantes encuentren la solución a los problemas matemáticos.

Los procedimientos heurísticos, junto a los medios auxiliares, forman parte de la instrucción

heurística, definida también por el autor referido como la enseñanza consciente y planificada de

reglas generales y especiales de la heurística para la solución de problemas. Todo ello precisa

que la instrucción heurística contribuye a la independencia cognoscitiva de los estudiantes, a la

integración de los nuevos conocimientos con los ya conocidos, a la formación de capacidades

mentales y al desarrollo de operaciones intelectuales.

En cuanto al otro tipo de procedimiento, se define como algorítmico “una sucesión de

indicaciones, exacta y determinada unívocamente para la realización de una serie de

operaciones elementales para resolver ejercicios de una determinada clase o un determinado

tipo” (Landa, 1981, p.49). Las operaciones elementales son consideradas aquellas que se

ejecutan sin descomponerse en otras más simples.

Resumiendo, al asumir entre los fundamentos pedagógicos y psicológicos la teoría Histórico-

Cultural de Vigotsky, se pretende que el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática se

realice por medio de la provisión de apoyos estratégicos a los estudiantes, para lograr una

solución superior del problema a aprender. Por lo tanto, en las fases iniciales de enseñanza de

un nuevo contenido, el profesor toma un papel más directivo y provee un contexto de apoyo

amplio; a medida que avanza el proceso, reduce su participación sensiblemente, mientras que el

estudiante, debe ser activo e involucrarse en la tarea.

Al considerar los fundamentos asumidos sobre el papel que desempeñan la Didáctica de la



18

Matemática es necesario concebir un proceso para potenciar dichas relaciones con el objetivo

de favorecer el aprendizaje. De igual forma, con ello es posible trazar estrategias didácticas que

conduzcan a que el estudiante sea activo en la búsqueda del conocimiento y sea capaz de

desarrollar habilidades en su propio proceso de enseñanza-aprendizaje.

1.2. El desarrollo de habilidades en el proceso de enseñanza-

aprendizaje de la Matemática. Epistemología del concepto función

La necesidad de utilizar el concepto de habilidad como criterio fundamental para diseñar

el proceso de enseñanza–aprendizaje es consenso de numerosos especialistas. "... No

se puede separar el saber del saber hacer, porque saber es siempre saber hacer algo y

no puede haber conocimientos sin habilidades, sin saber hacer. De lo dicho resulta claro

que para precisar qué es saber hacer hay que determinar los tipos de habilidades gracias

a las cuales funcionan o se manifiestan los conocimientos" Campistrous y otros (1989:

19).

Existe consenso de que las habilidades son modos de actuación que permiten operar con

el conocimiento. Sobre la relación dialéctica entre los conocimientos y las habilidades, la

más enfatizada es la referida a que el conocimiento del estudiante se manifiesta

fundamentalmente mediante las habilidades, pero debe añadirse que éstas, a su vez,

propician el desarrollo del conocimiento.

Intuitivamente asociamos la habilidad con "saber hacer". En consonancia con esto Brito

(1984), plantea que las habilidades constituyen el dominio de acciones (psíquicas y

prácticas) que permiten una regulación racional de la actividad con la ayuda de los

conocimientos y hábitos que se posea.

En diccionario de la Real Academia de la Lengua Española aparece como significado de

habilidad la “Capacidad y disposición para algo. Cada una de las cosas que una persona

ejecuta con gracia y destreza”. Por su parte, López (1989), plantea que una habilidad

constituye un sistema complejo de operaciones necesarias para la regulación de la

actividad.


19

Desde otra perspectiva Galperin (1987), con respecto a las habilidades sentenció que

ellas surgen mediante acciones realizadas, primero conscientemente, que mediante la

frecuente repetición y ejercitación se transforman en un acto unificado, las que a su vez

se convierten en partes de otras acciones amplias y complicadas.

Para Rubinstein (1986), las habilidades son los componentes automatizados de la

actividad consciente del hombre, llevados durante un proceso de realización, en sus

orígenes ellas son partes de acciones conscientemente que mediante la ejercitación y el

entrenamiento se automatizan y pueden incorporarse a formas más complejas como

acciones parciales o como métodos de realización de las mismas.

También de definen la habilidad como “aquella forma psicológica ejecutora particular,

constituida por el sistema de operaciones dominadas que garantizan su ejecución bajo

control consciente, además se puede decir que las habilidades tienen un carácter

práctico, en ocasiones con los objetos y en otras se realizan en un plano mental” (Brito y

otros, 1984).

Para Savin (1976), la habilidad es la capacidad del hombre para realizar cualquier

operación (actividad) sobre la base de la experiencia anteriormente recibida. Por su parte

Talizina (1978), considera que los conocimientos siempre existen unidos estrechamente

a una u otra acción (habilidad), los mismos conocimientos pueden funcionar en gran

cantidad de acciones diversas.

Álvarez (1999), define la habilidad como la dimensión del contenido que muestra el

comportamiento del hombre en una rama del saber propio de la cultura de la humanidad

y desde el punto de vista psicológico la considera como un sistema de acciones y

operaciones dominado por el sujeto que responde a un objetivo. En esta misma dirección

Petrovsky (1976), considera que la habilidad es el dominio de un complejo sistema de

acciones psíquicas y prácticas necesarias para una regulación racional de la actividad,

con ayuda de conocimientos y hábitos que la persona posee.

En este trabajo se asume como definición de habilidad la planteada por Santiesteban

(2008), quien la considera como una formación psicológica individual que gracias a la

actividad y a la comunicación en un proceso de socialización, el sujeto cognoscente



20

expresa un conocimiento en la praxis; el que se concreta en un sistema de acciones y

operaciones dominadas por dicho sujeto que le permiten alcanzar un objetivo.

El proceso de formación de una habilidad se logra regulando las acciones subordinadas a

un fin consciente y se desarrollan sobre la base de la experiencia del alumno, de sus

conocimientos y de los hábitos que este ha desarrollado, pero a su vez los conocimientos

se manifiestan concretamente en las habilidades, de ahí que se le denominen

instrumentos conscientes en la manifestación ejecutora de la actuación de la persona en

el contexto dado.

Podemos entonces resumir que la habilidad es el resultado de la asimilación de

conocimientos y hábitos, por lo que presta la mayor atención a su estructura funcional y

se ocupan menos de cómo actúa el alumno con esos conocimientos y hábitos en

diferentes niveles de sistematización del contenido.

Atendiendo a la profundidad de la acción; las habilidades se clasifican de la siguiente

manera:

Habilidades específicas: éstas se refieren a un tipo particular de una actividad

determinada, tienen forma concreta de realización que caracteriza la acción.

Habilidades generales: pueden ser incluidas en la realización de diferentes formas

de actividad.

La idea rectora para la determinación del sistema de habilidades (generalidad y

esencialidad) se infiere del planteamiento acerca de que "... el contenido que se debe

asimilar no son los elementos específicos que se suceden unos a otros y que se van

asimilando por separado, sino la esencia que está detrás de ellos. Son fenómenos

específicos que en este caso sirven solo como un medio de asimilación; la esencia se

conoce mediante el fenómeno" (Campistrous y otros, 1989: 23).

Este planteamiento encuentra sus fundamentos en la obra de Nina F. Talízina, de

manera particular cuando expresa que "... es necesario incluir en el contenido de la

enseñanza, precisamente la esencia escondida tras los fenómenos particulares

argumentando que la sustitución de los procedimientos específicos de la actividad


21

cognoscitiva por generalizadores eleva sustancialmente el efecto de desarrollo de la

enseñanza, coadyuva a la formación del pensamiento teórico" (Talízina, 1984).

En Cuba, Campistrous ha jugado un papel protagónico en la precisión de las habilidades

con tales características (procedimientos generalizadores). En sus trabajos determina las

habilidades matemáticas generalizadas para la Enseñanza General Politécnica y Laboral,

a saber: calcular, evaluar, simplificar, resolver ecuaciones, descomponer en factores y

relacionar gráficos y propiedades de funciones.

A continuación se presentan las habilidades consideradas por el autor de esta tesis:

Calcular: cálculo con números, cálculo con magnitudes, cálculo con variables,

cálculo con radicales, cálculo con razones trigonométricas.

Evaluar: sustituir variables por números en una fórmula, sustituir variables por

números en una expresión, sustituir variables por números en una ecuación o en

una función, sustituir variables por variables, sustituir variables por términos.

Simplificar: simplificar fracciones, simplificar radicales, eliminar signos de

agrupación, reducir términos semejantes, simplificar expresiones trigonométricas,

simplificar fracciones algebraicas.

Resolver ecuaciones: resolver ecuaciones lineales, resolver ecuaciones

fraccionarias, resolver ecuaciones cuadráticas, resolver ecuaciones con radicales,

resolver ecuaciones trigonométricas, resolver ecuaciones exponenciales, resolver

ecuaciones logarítmicas.

Descomponer en factores : Extraer de una expresión el factor común numérico, el

literal o ambos, descomponer una diferencia de cuadrados o de cubos,

descomponer un trinomio cuadrado perfecto, descomponer - siempre que sea

posible - un trinomio cualquiera, descomponer polinomios - siempre que sea

posible - de cuatro términos o más.

Relacionar gráficos y propiedades de funciones: relacionar gráficos y propiedades

de funciones: lineales, cuadráticas, trigonométricas, racionales y logarítmicas.



22

A continuación se presenta la esencia del contenido de cada habilidad generalizada y las

acciones correspondientes, que constituyen un estado deseado al cual debe aspirarse y

serán tenidas en cuenta en la elaboración del cuaderno que se propone en el presente

trabajo como vía para desarrollar habilidades en la utilización y aplicación de las

funciones racionales fraccionarias en los estudiantes de la Escuela Formadora de

Maestros Provincia de Huambo, República de Angola.

La habilidad calcular.

De acuerdo con su significado, calcular es la operación u operaciones que se realizan

para conocer el resultado de la combinación de dos o más números, según reglas

establecidas, es decir calcular es un proceso, que apoyado en definiciones de conceptos

de operaciones, está dirigido a buscar un número o un representante de él. El cálculo se

manifiesta en las diferentes áreas de la Matemática: Aritmética, Algebra y Geometría.

Calcular es:

Transformar términos en valores numéricos.

Convertir los valores numéricos a una misma notación.

Efectuar los cálculos aritméticos entre dos números ordenadamente.

Atendiendo al enfoque histórico cultural que la Didáctica de la Matemática utiliza como

referente, cada profesor debe determinar el nivel real de conocimientos y habilidades que

poseen sus estudiantes para en correspondencia, dirigir el trabajo hacia la atención de

las diferencias individuales y proyectar niveles superiores de desarrollo. Por ello es

conveniente establecer los niveles de profundidad que permitan dirigir el proceso de

desarrollo de esta habilidad. La experiencia de los autores, resultados de trabajos

investigativos en el tema, la revisión de textos de Matemática de la escuela cubana y el

intercambio con varios docentes y metodológicos de experiencia ha permitido identificar

niveles de profundidad para cada una de las habilidades generalizadas que constituyen

un estado deseado al cual debe aspirarse.

La habilidad evaluar.


23

En la vida cotidiana y según el diccionario, evaluar significa, señalar el valor de una cosa;

pero, en la Matemática ¿Qué es evaluar?

Es ante todo asignar valor a las variables de forma tal que la expresión dependa de los

valores que tomen estas. Evaluar es transformar una expresión dada, sustituyendo las

variables que en ella aparecen por números o expresiones; por supuesto, para esto es

necesario identificar de qué tipo de expresión se trata.

Las acciones de la habilidad evaluar son según Campistrous y otros (1989).

Identificar el tipo de expresión.

Seleccionar y utilizar los medios necesarios (tablas, algoritmos, entre otros.).

Calcular.

La habilidad resolver ecuaciones.

La esencia del contenido de esta habilidad, tiene un extraordinario valor metodológico.

Consiste en saber lo que está oculto detrás del proceso de solución de los diferentes

tipos de ecuaciones y es que resolver una ecuación en esencia consiste en transformarla

en una ecuación más sencilla, utilizando los conocimientos y habilidades precedentes.

Esta idea aparece reiteradamente en varios textos cubanos de Matemática. Así, Mario O.

González plantea que "... los métodos de resolución de ecuaciones, variadísimos en la

forma, fundamentalmente se reducen a uno solo, procurase su transformación a una más

sencilla" (González, 1974: 8).

Las acciones correspondientes a esta habilidad según Campistrous y otros (1989) ,son:

Simplificar si es necesario.

Reconocer el tipo de ecuación.

Seleccionar el procedimiento de solución.

Calcular.

Comprobar las soluciones.

La habilidad simplificar.



24

Según su significado simplificar: es hacer más sencillo. Incluye simplificar términos

semejantes, fracciones, radicales, expresiones trigonométricas, logaritmos, exponentes,

por lo que tiene relación con las habilidades calcular y descomponer en factores.

En la práctica se representa muchas veces la necesidad de simplificar fracciones

algebraicas, donde resulta importante saber que para efectuarla; tanto el numerador

como el denominador deben estar expresados como producto, de allí su estrecha

relación con la habilidad descomponer en factores.

Según Campistrous y otros (1989), se recomiendan las siguientes acciones que se

ajustan para simplificar cualquier expresión, independientemente de su tipo:

Identificar la simplificación en la expresión dada.

Reconocer las reglas a utilizar.

o Descomponer en factores.

o Divisibilidad.

o Supresión de signos de agrupación.

o Propiedades de las potencias, logaritmos y radicales.

o Identidades trigonométricas.

Calcular en casos necesarios.

Comprobar que la expresión no admite otra simplificación.

La habilidad descomponer en factores.

La habilidad descomponer en factores incluye todos los tipos de descomposición

factorial, se aplica en muchos procedimientos de cálculo. Es imprescindible enseñarle al

alumno un conjunto de procedimientos generales únicos que le permitan actuar frente a

cualquier ejercicio de descomponer en factores. Estos son según Campistrous y otros

(1989):

Identificar si es posible proceder directamente o no.

Identificar el tipo de descomposición en el siguiente orden:

o Factor común

o Binomio

o Trinomio


25

o Polinomio (en una variable o en varias variables)

Descomponer según la regla seleccionada.

Calcular.

Comprobar si la expresión esta factorizadas completamente en el dominio que se

señale y si no lo está repetir los pasos para el factor que lo requiera.

La habilidad relacionar gráficos y propiedades de funciones.

Relacionar gráficos y propiedades de funciones es aquella habilidad generalizada

mediante la cual se identifican funciones, una función expresada analíticamente puede

ser representada gráficamente a partir de ciertas propiedades o encontrarse la expresión

analítica y ciertas propiedades de una función a partir de su gráfico.

Las acciones correspondientes a esta habilidad según Campistrous y otros (1989) son:

Identificar la relación entre el gráfico y la propiedad.

Reconocer el comportamiento en el gráfico.

Concluir sobre la propiedad.

Teniendo en cuenta que en el proceso de enseñaza-aprendizaje de la Matemática todas

estas habilidades se tienen que llevar a cabo de conjunto de una manera o de otra en la

resolución de ejercicios y problemas. En el caso particular de la presente tesis el autor

asume todo lo anteriormente planteado ya que será tenido en cuenta en la utilización y

aplicación de las funciones raciónales fraccionarias que constituye el campo de acción de

esta investigación.

1.2.1. Epistemología del concepto función.

Actualmente, diferentes investigaciones dentro de esta perspectiva epistemológica han

identificado a la predicción como una práctica social influyente en la construcción del

concepto función, describiéndola como la práctica social que permite determinar el

estado futuro de un sistema, de un objeto o de un fenómeno con base en el estudio

sistemático de las causas que lo generan y los efectos que produce. Esta práctica está

íntimamente relacionada con la variación, ya que para predecir es necesario cuantificar y

analizar los cambios.



26

Antes de intentar acotar el sentido del término variacional debemos dejar clara la

diferencia que percibimos entre cambio y variación: la noción de cambio denota la

modificación de estado, de apariencia, de comportamiento o de condición de un cuerpo,

de un sistema o de un objeto, mientras que la variación, la estamos entendiendo como

una cuantificación del cambio, es decir, estudiar la variación de un sistema o cuerpo

significa ejercer nuestro entendimiento para saber cómo y cuánto cambia el sistema o

cuerpo dado. Es en este sentido que nos referimos a los argumentos de tipo variacional.

Decimos que una persona utiliza o comunica argumentos y estrategias de tipo variacional

cuando hace uso de maniobras, ideas, técnicas o explicaciones que de alguna manera

reflejan y expresan el reconocimiento cuantitativo de cambio en el sistema u objeto que

se está estudiando (Cantoral y otros, 2000).

En particular, trabajar con funciones facilita que emerjan de forma natural estrategias y

argumentos de tipo variacional los cuales constituyen el componente matemático

fundamental de nuestro trabajo específicamente con funciones racionales fraccionarias.

El análisis epistemológico del concepto función, en esta aproximación, permite

determinar que cada tipo de función tiene un origen en un contexto específico, lo que

implica que cada una posea su propia naturaleza, que la distingue de las demás y

problemáticas propias relativas a su apropiación.

Una vez que se distingue la naturaleza propia de cada función y que se reconocen a las

prácticas sociales como generadoras de conocimiento, se diseñan situaciones

fundamentadas en la epistemología que permiten hacer evidentes herramientas y

argumentos; que permiten, a su vez, reconstruir significados.

En esta investigación, centraremos nuestra atención en el estudio de la naturaleza del

concepto funciones racionales fraccionarias, presentando a continuación el análisis,

cognitivo y didáctico de este concepto.

1.2.2. Análisis cognitivo.

En este apartado, presentaremos algunos resultados de investigaciones asociadas a esta

dimensión cognitiva.


27

Por lo que el autor para efectos de esta investigación, considera necesaria la ampliación

a un análisis epistemológico, con base en la revisión histórica de los conceptos. Así

podemos observar las disparidades entre el saber científico y el enseñado, así como

identificar los obstáculos epistemológicos inherentes a los conceptos. En esta dirección y

vinculado a las concepciones en los estudiantes, Sierpinska (1992), realiza las primeras

investigaciones sobre el concepto que nos interesa, el de función e identifica cinco

obstáculos epistemológicos inherentes a este concepto:

1. Los objetos variables son aceptados en ciencias naturales o en aplicaciones, pero

no en la Matemática pura.

2. Las magnitudes son entidades cualitativamente diferentes de los números; la

proporcionalidad es diferente de la igualdad.

3. Fuerte creencia en el poder de las operaciones formales con las expresiones

algebraicas.

4. Lo más importante de la Matemática es proveerse de un cálculo poderoso que

permita a los científicos resolver sus problemas.

5. Los objetos geométricos son tomados implícitamente como un todo que contiene

en él mismo sus longitudes, su área o su volumen.

Esta autora además de localizar estos obstáculos, caracteriza las concepciones de los

estudiantes en:

Concepción primitiva. Cuando una función es un desplazamiento de puntos sobre

el plano o sobre una línea.

Concepción de razón o proporción. Cuando en el desplazamiento de puntos sobre

el plano, la nueva posición se puede describir en relación con la posición inicial por

una razón de distancias desde un punto fijo.

Visión sintética. Cuando una función se identifica como su representación en el

plano. Las funciones son pensadas como objetos geométricos y se clasifican de

acuerdo con la forma de esos objetos.

Tabla numérica. Cuando una función viene dada por su tabla de valores.



28

Expresiones algebraicas. Cuando una función se identifica por su ecuación.

Visión analítica de la curva. Cuando la función es un ente abstracto en unos ejes

de coordenadas.

Relación funcional. Cuando existe un tipo especial de relaciones que llamamos

funciones.

En las conclusiones a las que llega, valora en forma muy positiva del contexto social en el

que se ha desarrollado la experiencia, e identifica como un obstáculo epistemológico el

concebir a la Matemática como un conocimiento algorítmico, ya que esto puede

entorpecer el desarrollo de las concepciones sobre función.

De igual forma, en diversas investigaciones se hace alusión a la complejidad del

concepto función. Así, para Zillmer (1981), la idea básica que se tiene de función consiste

en relacionar a este concepto con una fórmula algebraica, tal que a cada valor de las

magnitudes literales que aparecen en ella, haga corresponder un valor de la magnitud

expresada por la fórmula

Carlson y Oerhtman (2005), consideran que los estudiantes suelen considerar a las

funciones como dos expresiones separadas por un signo igual y tienden a asociarla con

una fórmula, esto es debido al tratamiento escolar que le es otorgado a este concepto.

Los estudiantes que piensan acerca de las funciones solo en términos simbólicos de las

manipulaciones técnicas y de procedimiento, son incapaces de comprender una

cartografía más general de un conjunto de valores de entrada a un conjunto de valores

de salida.

El concepto función es un objeto matemático de extrema complejidad, debido a que

posee múltiples formas de representación (gráficas, fórmulas, tablas, relaciones verbales

y representación icónica), que obligan al individuo a transformar una representación en

otra, según la situación y el contexto donde cobra vida. También existen diversos

subconceptos asociados al concepto función, a saber, dominio, rango, cantidad, variable,

razón, inversa, composición, entre otros Del Castillo y Montiel (2007).


29

La concepción más fundamental de una función es que es una relación entre magnitudes

variables. Si esto no es desarrollado, representaciones tales como ecuaciones y gráficas

pierden su significado y se hacen aisladas una de la otra. Introducir funciones en jóvenes

estudiantes mediante su elaborada definición es un error didáctico Sierpinska (1992).

Según Del Castillo y Montiel (2007), la enseñanza actual del concepto función deja a un

lado los argumentos visuales, entre otras causas por no considerarlos como

matemáticos, o bien, por la concepción que de la Matemática y de la enseñanza se

posea sin considerar, por ejemplo, la estructura cognitiva de los estudiantes.

1.2.3. Análisis didáctico

La dimensión didáctica se refiere al estado que guarda la enseñanza del tema aludido,

para ello se recurrió a una revisión bibliográfica de ocho libros de texto con el fin de

observar el papel que juegan las funciones racionales fraccionarias dentro del ámbito

escolar objeto de estudio.

En los libros de texto de Matemática revisados que corresponden a la bibliografía básica

del plan de estudio de la Enseñanza Primaria, Media y Media Superior que se utilizan en

las escuelas angolanas elaborados por los referidos autores de los grados 6to, Ferreira y

Wandanda (2010), 7mo, Ferreira y Wandanda, (2003), 8vo, Nascimento (2005), 9no,

Diasala (2008), 10mo, Ferreira, (2008),11no, Ferreira, (2008) y 12mo Ferreira, (2008) y en

particular los de 10mo,11noy 12mo que son la literatura básica de la asignatura Matemática

de las Escuelas Formadoras de Maestros de la República de Angola, se pudo constatar

el tratamiento dado al concepto de función y los diferentes tipos de funciones que son

tratadas.

El concepto de función aparece desde el 6to grado con el estudio de las

proporcionalidades, en 8vo grado se tratan nociones sobre funciones y el concepto visto

como una correspondencia entre dos conjuntos, en donde a cada elemento del primer

conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto y se trabaja de forma

tabular y analítica, en el 9no grado se estudian las proporcionalidades inversas, luego

aparece el trabajo con funciones en el 10mo grado con el tema funciones y gráficos,

haciendo énfasis en las funciones lineales, cuadráticas y la función modular; en el 11no



30

grado se trabajan las funciones trigonométricas, en el 12mo grado se le da tratamiento a

las funciones racionales fraccionarias dentro de ello solo se tiene en cuenta la

determinación del dominio de este tipo de funciones, es bueno señalar que esta

bibliografía es de procedencia Portuguesa por lo que responden a un modelo de

formación diferente.

Por lo antes analizado podemos concluir que las funciones racionales fraccionarias

aparecen en el plan de estudio de las Escuelas Formadoras de Maestros en Angola en el

12mo grado, y dada la importancia del conocimiento y tratamiento de estas funciones en la

enseñanza superior se hace necesario potenciar el trabajo con las mismas en la

enseñanza media superior.

1.3. Estado actual del proceso de enseñanza-aprendizaje de la

asignatura Matemática en la Escuela Formadora de Maestros de

Huambo, República de Angola

En este epígrafe se comienza con una caracterización de la Escuela, en la misma se forman los

Maestros de las asignaturas: Lengua Portuguesa, Historia y Geografía, Biología y Química,

Matemática y Física, encargados de impartir docencia en las comunas y los municipios de la

Provincia Huambo, en el presente curso la matricula fue de 3 196 estudiantes, distribuidos en

cuatro años, 10mo, 11no, 12mo e 13mo conformados en 66 grupos. El colectivo pedagógico está

constituido por 134 docentes y 27 administrativos, además el departamento de Matemática está

conformado por 7 profesores.

Para hacer el estudio se toman como punto de partida las principales insuficiencias que se

presentan en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática, entre las que

se relacionan con la tesis se pueden citar:

El inadecuado tratamiento metodológico a los contenidos, en especial a los relacionados con

funciones de forma general.

El nivel de generalización y flexibilidad de los conocimientos es pobre. Se aprecia una

notable diferencia entre la aplicación de un conocimiento a un área específica asociada a su

apropiación y las escasas posibilidades de utilizarlo en la solución de un problema más


31

general.

Las limitaciones que presentan los estudiantes en la utilización de las tecnologías.

Para profundizar en la situación actual se realizó un estudio dirigido a los siguientes aspectos:

Análisis de documentos rectores del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en

las Escuelas Formadoras de Maestros de la República de Angola.

Tratamiento del concepto de función y sus aplicaciones en el proceso de enseñanza-

aprendizaje.

Forma en que operan los estudiantes con los conocimientos matemáticos.

Los documentos consultados para el primer aspecto fueron:

El plan de estudio y los objetivos de la educación en las Escuelas Formadoras de Maestros

de la República de Angola.

Lineamientos para el trabajo con la asignatura Matemática.

Programas de la asignatura Matemática para las Escuelas Formadoras de Maestros de la

República de Angola.

Programas de la asignatura Matemática para el 10mo, 11no, 12mo y13mo grado de las Escuelas

Formadoras de Maestros de la República de Angola.

La aplicación de los métodos empíricos: la encuesta y cuestionario a los estudiantes (Anexo 1 y

1.1 respectivamente), las encuestas a profesores (Anexo 2), las entrevistas a profesores de

Matemática del centro (Anexo 3), la revisión de documentos que norman el trabajo con la

asignatura (Anexo 4), permitieron obtener los resultados que se explican a continuación.

Con el estudio exhaustivo de estos documentos, se pudo constatar, que el modelo de Escuelas

Formadoras de Maestros de la República de Angola actual precisa el fin del proceso con un

carácter formativo, de modo tal, que en él se integre lo instructivo, lo educativo y lo desarrollador,

que permita satisfacer las demandas sociales, determinar los conocimientos, las habilidades, los

sentimientos, los valores y las actitudes que se requiere formar o fortalecer en este nivel,

además de tener una dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje creativa y participativa

que promueva el protagonismo estudiantil.



32

Aunque la finalidad que se le atribuye a la Matemática es la de favorecer, fomentar y desarrollar

en los estudiantes la capacidad para explorar, formular hipótesis y razonar lógicamente, así

como la de usar de forma efectiva diversas estrategias y procedimientos matemáticos para

plantearse y resolver problemas relacionados con la vida cultural, social y laboral, se evidencia

una carencia a nivel metodológico para el tratamiento a las funciones en especial en los

relacionados con funciones racionales fraccionarias.

En la revisión de los programas vigentes se expresan objetivos relativos a la aplicación o

utilización de conceptos, relaciones y procedimientos que corresponden a los conocimientos que

se estudian en cada grado, para procesar datos y representar situaciones de la práctica, la

ciencia o la técnica mediante modelos analíticos y gráficos y viceversa, derivar conclusiones a

partir de esos modelos acerca de las propiedades y relaciones que se cumplen en el sistema

estudiado. Sin embargo, las orientaciones carecen de precisión para orientar al profesor en el

proceder para lograr tales objetivos.

De igual forma para el tratamiento del contenido por parte de los estudiantes es importante que

ellos aprendan a determinar los conocimientos y habilidades particulares y los modos y

estrategias generales de pensamiento que les han sido útiles en la resolución de un ejercicio y/o

problema dado.

No obstante, esa idea es insuficiente para que el profesor disponga del tratamiento didáctico

para que los estudiantes se apropien de los conocimientos a partir de revelar las relaciones entre

los conceptos, esto se evidencia a la no concatenación de los conocimientos relacionados con

funciones y sus gráficos y en particular con las funciones racionales fraccionarias

Los profesores emiten su preocupación en que los textos utilizados pertenecen a contextos de

formación diferentes ya que los que están en vigencia en las Escuelas Formadoras de Maestros

en la República de Angola son de procedencia portuguesa

El autor considera que, desde los documentos normativos y en la bibliografía existente existen

limitaciones en cuanto a la orientación que se le ofrece al profesor para que en el desarrollo del

proceso de enseñanza-aprendizaje, ejecute acciones que conlleven al desarrollo exitoso del

concepto función y sus aplicaciones en especial con las funciones racionales fraccionarias

En los docentes entrevistados es insuficiente el conocimiento en cuanto a los conceptos de


33

relaciones y funciones, lo que conlleva a que su tratamiento didáctico sea limitado y no sea

reconocido como una de las dificultades que influyen en el proceso de enseñanza-aprendizaje

de la asignatura Matemática. En la encuesta también se corroboran las carencias cognitivas de

los profesores en cuanto al los contenidos relacionados con funciones en especial con las

funciones racionales fraccionarias y sus aplicaciones.

Todos los profesores concuerdan con la importancia de contar con un cuaderno de actividades

para desarrollar los contenidos referentes a las funciones racionales y en especial las funciones

racionales fraccionarias por la connotación que estas tienen en el desarrollo de las matemáticas

superiores.

Conclusiones del capítulo

1. En el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática, en las escuelas

formadoras de maestros, en Angola el tema referido las funciones racionales

fraccionarias es de vital importancia dada su relación con otros temas dentro del

currículo.

2. Sobre la base de la experiencia como docente del autor de la tesis y la aplicación

de varios métodos empíricos se pudo constatar que persisten muchas dificultades

en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática en las escuelas

formadoras de maestro en Angola.

34

CAPITULO II. CUADERNO DE ACTIVIDADES PARA EL DESARROLLO DE HABILIDADES EN LA APLICACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS EN LOS ESTUDIANTES DE 12MO GRADO DE LA ESCUELA FORMADORA DE MAESTROS FERRAZ BOMBOCO DE LA PROVINCIA HUAMBO EN LA REPÚBLICA DE ANGOLA El presente capítulo se desarrolla en tres epígrafes el primero presenta los principales

sustentos teóricos que fundamentan la elaboración del cuaderno de actividades, el

segundo se describe los elementos más importantes del cuaderno; mientras que en el

tercero se hace una valoración de su pertinencia a partir del criterio de expertos.

2.1. Fundamentos teóricos que sustentan el cuaderno de actividades

para el desarrollo de habilidades en la utilización y aplicación de

las funciones racionales fraccionarias

En este epígrafe se presentan los fundamentos teóricos a tener en cuenta para la

elaboración de un cuaderno de actividades con vista a potenciar el desarrollo de

habilidades en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en los contenidos

relacionados con el concepto, utilización y aplicaciones de las funciones racionales

fraccionarias en los estudiantes de 12mo grado de la Escuela Formadora de Maestros

Ferraz Bomboco de La Provincia de Huambo en la República de Angola.

Los elementos teóricos fundamentales que sustentan la elaboración del cuaderno fueron:

La teoría de la actividad de Leontiev (1977), los postulados de Davídov (1988) con

respecto a la enseñanza desarrolladora, el Enfoque Histórico Cultural de Vigostky (1979),

los postulados de Talízina (1988), en cuanto a la Base Orientadora de la Acción y la

Teoría de la formación por etapas de las acciones mentales de Galperin (1986).

En la búsqueda y perfeccionamiento de vías de trabajo docente basadas en la actividad

del propio sujeto que aprende, se ha suscrito la teoría de la actividad, es por ello que el

autor retoma esta teoría para la elaboración del cuaderno de actividades que constituye

el aporte práctico de la presente investigación.



35

La Teoría de la actividad es una metateoría, paradigma, o marco de estudio no

psicológico, con raíces dadas por la psicología histórico-cultural del psicólogo soviético

Vigotsky(1896–1934). Sus fundadores fueron Leontiev (1903-1979) y Rubinshtein (1889-

1960), quienes buscaban entender las actividades humanas como complejos fenómenos

socialmente situados e ir más allá de los paradigmas del psicoanálisis y de la psicología

conductista.

Los orígenes de la teoría de la actividad pueden ser encontrados en muchas fuentes, los

cuales han dado lugar a varios hilos de desarrollo complementarios y entrelazados. Esta

tesis se enfoca en dos de los hilos más importantes. El primero está asociado con el

Instituto de psicología de Moscú, en particular con el troika de jóvenes investigadores,

Vigotsky (1896–1934), Luria (1902–77) y Leontiev (1903–79). Además se tiene en cuenta

los aportes de Davidov (1987), Talízina (1988), entre otros. Vigotsky fundó la psicología

histórica-cultural, un hilo importante de la aproximación hacia la actividad; Leontiev, uno

de los fundadores principales de la teoría de la actividad, continuó y atacó el trabajo de

Vigotsky.

Leontiev (1977), considera que la actividad es un proceso que relaciona una actitud vital,

activa del sujeto hacia la realidad y afirma que uno de los rasgos distintivos de la

actividad es la coincidencia del motivo con el objetivo, es decir, la actividad está motivada

por el objetivo a cuyo logro está dirigida.

El hombre en su relación con el medio desempeña múltiples formas de actividad, una de

ellas es la actividad cognoscitiva y una forma particular de ella es la actividad docente. La

actividad docente, tal y como la entiende Davidov (1987), es la actividad del alumno que

asimila los conocimientos que garantizan el desarrollo intelectual: se trata además de

aquellos métodos de trabajo del profesor con los alumnos con los cuales estos dominan

las habilidades peculiares para llevar a cabo esta actividad docente.

Para la Teoría de la Actividad el contexto es un sistema de actividades que reconoce en

su formación un proceso histórico y de construcción colectiva de índole cultural: el

individuo actúa en un contexto que hereda y que lo moldea, pero al que también

influencia en una interacción permanente y dialéctica. Por lo tanto, las instituciones son

CAPITULO II: CUADERNO DE ACTIVIDADES PARA EL DESARROLLO DE HABILIDADES EN LA APLICACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS EN LOS ESTUDIANTES DE 12MO GRADO DE LA ESCUELA FORMADORA DE MAESTROS FERRAZ BOMBOCO DE LA PROVINCIA HUAMBO EN LA REPÚBLICA DE ANGOLA

36

producto de complejos sistemas de actividades en las que la influencia individual aparece

en forma indirecta u oculta la mayor parte de las veces.

La Teoría de la Actividad ha generado una serie de herramientas en los últimos años que

permiten acceder al reconocimiento del aprendizaje como actividad social e histórica, sin

embargo no han alcanzado un desarrollo tan amplio en nuestras tradiciones de

investigación, a pesar que facilitarían la comprensión de cómo se aprende en las

instituciones educativas

2.1.1. Las contribuciones teóricas de Vasili Davídov para la teoría de la enseñanza

desarrolladora.

En la base del pensamiento de Davídov está la idea-maestra de Vigotsky de que el

aprendizaje y la enseñanza son formas universales de desarrollo mental. La enseñanza

propicia la apropiación de la cultura y desarrollo del pensamiento, dos procesos

articulados entre sí, formando una unidad. Podemos expresar esa idea de dos modos: a)

mientras el alumno forma conceptos científicos incorpora procesos de pensamiento y

vice-versa. b) mientras forma el pensamiento teórico desarrolla acciones mentales,

mediante la solución de problemas que suscitan la actividad mental del alumno. Con eso,

el alumno asimila el conocimiento teórico y las capacidades y habilidades relacionadas a

ese conocimiento.

Para Davidov (1987), los conocimientos de un individuo y sus acciones mentales

(abstracción, generalización entre otros) forman una unidad. Y para Rubinstein (1988), el

conocimiento no surge en disociación de la actividad cognoscitiva del individuo y no

existe sin referencia con él. Por tanto, es justificable considerar los conocimientos como

el resultado de las acciones mentales que implícitamente abarcan el conocimiento y, por

otro lado, como un proceso a través del cual podemos lograr este resultado, el cual

refleja el funcionamiento de las acciones mentales. Consecuentemente, es totalmente

aceptable usar el término “conocimiento” para designar tanto el resultado del

pensamiento, como al proceso a través del cual se logra este resultado.

El aprendizaje escolar es estructurado conforme al método de exposición del

conocimiento científico, pero el pensamiento que un alumno desarrolla en la actividad de

aprendizaje tiene algo en común con el pensamiento científico que expone el resultado

de sus investigaciones, cuando se utilizan abstracciones, generalizaciones y conceptos



37

teóricos. Es verdad que no hay una identidad con el raciocinio de los científicos, porque

los niños no crean conceptos, imágenes, valores y normas, pero se apropian de ellas en

el proceso de aprendizaje.

Al realizar esta actividad, los niños ejecutan acciones mentales semejantes a las

acciones a través de las cuales estos productos de la cultura espiritual fueron

históricamente construidos. En su actividad de aprendizaje, los niños reproducen el

proceso real por el cual los individuos crean conceptos, imágenes, valores y normas. Por

tanto, la enseñanza de todas las materias en la escuela debe ser estructurada de modo

que reproduzca, de forma abreviada, el proceso histórico real de la generación y

desarrollo de los conocimientos.

Las ideas de Davídov sobre la enseñanza desarrolladora, a partir del pensamiento de

Vigotsky, pueden ser sintetizadas en los siguientes puntos:

a) La educación escolar, la enseñanza y formación que le corresponden, es factor

determinante del desarrollo mental, incluso por poder ir adelante del desarrollo real del

niño.

b) La consideración de los orígenes sociales del proceso de desarrollo, o sea, el

desarrollo individual depende del desarrollo del colectivo. Es una actividad cognoscitiva

inseparable de medio cultural, teniendo lugar en un sistema interpersonal de forma que, a

través de las interacciones con ese medio, los alumnos aprenden los instrumentos

cognoscitivos y comunicativos de su cultura. Esto caracteriza el proceso de

internalización, de las funciones mentales.

c) Educación es un componente de la actividad humana orientada para el desarrollo del

pensamiento a través de la actividad de aprendizaje de los alumnos (formación de

conceptos teóricos, generalización, análisis, síntesis, raciocinio teórico, pensamiento

lógico), desde la escuela primaria.

d) La referencia básica del proceso de enseñanza son los contenidos, que necesitan ser

apropiados por los alumnos mediante el hallazgo de un principio interno del objeto y de

allí reconstruido como concepto teórico en la actividad conjunta entre maestro y alumnos.

La interacción sujeto–objeto implica el uso de mediaciones simbólicas (sistemas,

esquemas, mapas, modelos, signos, en sentido amplio), encontrados en la cultura y en la

ciencia. La reconstrucción y reestructuración del objeto de estudio constituyen el proceso


38

de internalización, desde lo que se reestructura el propio modo de pensar de los

alumnos, asegurando con eso su desarrollo.

2.1.2. El Enfoque Histórico Cultural de Vigotsky.

Del Enfoque Histórico Cultural de Vigotsky se han tomado cuatro elementos que se

considera tienen una enorme importancia a la hora de concebir algún tipo de medio de

enseñanza, estos elementos son:

El concepto de zona de desarrollo próximo.

El hecho de que los procesos psíquicos tienen lugar en dos planos: Primero

en el plano interpsicológico y luego en el intrapsicológico.

El carácter social del aprendizaje.

El propio Vigotsky define la zona de desarrollo próximo como ”la distancia entre el nivel

real de desarrollo, determinado por la capacidad para resolver independientemente un

problema, y el nivel de desarrollo potencial, determinado a través de la resolución de un

problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con otro compañero más capaz”

(Vigotsky, 1979).

Este concepto es de gran importancia a la hora de desarrollar cualquier actividad

instructiva, pues a partir del mismo es posible realizar diagnósticos iniciales antes

de realizar cualquier actividad, para conocer el nivel de desarrollo real que posee el

estudiante y brindarle el nivel de ayuda apropiado para que avance sin dificultades

hasta lograr su nivel de desarrollo potencial.

Para González (2000), la determinación de esta zona permite caracterizar el desarrollo

de forma prospectiva (lo que está en curso de maduración) lo cual permite trazar el

futuro inmediato del estudiante, su estado evolutivo dinámico, reconstruir las líneas

de su pasado y proyectarlas hacia el futuro.

Leontiev (1991), plantea que las conquistas del desarrollo histórico humano son

consolidadas y trasmitidas de una a otra generación, acumulándose así los saberes y

experiencias con una base histórico-social que se manifiesta en su carácter filogenético.

De ahí, precisamente, la importancia de la actividad humana, muy diferente a cualquier



39

otro tipo de actividad en el reino animal, sobre todo y en primer lugar, por el sentido que

le otorga al hombre la actividad productiva.

El tercer principio, donde se reconoce el vínculo entre la actividad psíquica y lo externo,

ha sido expresado con anterioridad al definirse el origen externo de la psiquis, y esta

como parte interna que a la vez se transforma asumiendo características independientes

(parámetros) que combinados con cambios cualitativos constituyen las etapas. Este

principio da paso a la teoría de formación por etapas de las acciones mentales de

Galperin. A partir de los principios psicológicos expuestos, se considera que el proceso

mediante el cual tiene lugar el estudio como actividad, está sustentado en un sistema de

acciones para satisfacer una necesidad cognoscitiva, en la cual el sujeto implicado tiene

claro el motivo, o los motivos, que le hacen mantener una dirección decidida hacia el

objeto de aprendizaje.

2.1.3. La Base Orientadora de la Acción (BOA).

Como se había mencionado anteriormente, la acción tiene las funciones de orientación,

ejecución y de control. Para alcanzar el éxito en la parte ejecutiva de la acción debe

garantizarse la parte orientadora de la misma. La efectividad de la BOA depende de: i)

grado de generalización clasificada en concreto, lo que refleja casos particulares y

generales basados en invariantes; ii) el grado de plenitud de la orientación es

especificada como completa o incompleta y iii), el modo de obtención de la BOA por los

alumnos se divide en preparada, el alumno recibe todas la acciones pronta y no

preparada o independiente, el alumno debe encontrar las acciones por sí solo Talízina,

(1978).

La BOA del primer tipo están dadas para casos particulares, no son completas y el

alumno la obtiene mediante ensayo y error. La eficacia de esta BOA es muy baja, el

aprendizaje del alumno es muy lento y con muchos errores. El segundo tipo de la BOA es

diferente de la primera porque las orientaciones de la acción son completas y el alumno

obtiene todas las acciones preparadas. Este tipo de BOA también trabaja para un solo

tipo de caso, permitiendo un avance rápido sin errores, pero con limitaciones para una

transferencia hacia otros casos no analizados.


40

La BOA del tercer tipo es descrita por ser generalizada, completa e independiente. El

alumno recibe todas las orientaciones de la acción de toda una clase de fenómenos, o

sea, las orientaciones son recibidas por métodos generales utilizando las invariantes.

Esta base de orientación es muy eficiente, el alumno avanza rápido y con pocos errores,

permitiendo amplia transferencia para otras situaciones.

El cuarto tipo de BOA se diferencia de la tercera en que el alumno recibe las

orientaciones de la acción preparadas. Esta BOA es utilizada en la formación de acciones

lógicas como contenido concreto del objeto.

Talízina (1978), plantea que en sus investigaciones fueron analizados las primeras

cuatros tipos de la BOA, indicando que la más productiva fue la tercera, en el segundo

lugar en productividad se situó la cuarta BOA, pero las posibilidades de uso está limitada

a las acciones lógicas y en tercer lugar la BOA de segundo tipo. Esta última es utilizada

cuando es necesaria una formación rápida de la acción, sin errores y aplicada a

condiciones concretas.

2.1.4. Teoría de la formación por etapas de las acciones mentales.

Talízina (1978), plantea que la actividad cognoscitiva del alumno debe pasar por cinco

estados cualitativos, desde la transformación de la actividad externa hasta alcanzar la

cualidad interna, lo que ella denomina etapas. La caracterización de estas etapas está

dada precisamente por las características de la acción y siendo rectora la forma de la

acción.

Los estados transitorios del objeto consisten en la formación por etapas de las acciones

mentales y dichas etapas son:

La formación del esquema de la BOA.

La formación de la acción en forma material o materializada.

La formación de la acción como verbal externa.

La formación de la acción en el lenguaje externo para sí.

La formación de la acción en el lenguaje interno.



41

Galperin y Talízina plantean la necesidad de una etapa que anteceda a las cinco etapas

mencionadas, que denominan la etapa cero o motivacional.

En la etapa motivacional no entra ningún tipo de acción. Un medio eficaz es la enseñanza

problémica a través de situaciones que tengan vínculo con la vida práctica y que estén

directamente relacionadas con la actividad que se quiere formar y del objeto de estudio.

Los problemas deben ser retadores, algo nuevo que no debe transgredir los límites de

accesibilidad. Esta etapa es importante porque si no se establece un inicio desde una

motivación positiva, quedan entonces comprometidas las otras etapas (Talízina, 1984).

Según Talízina (1984), a los alumnos hay que garantizarle el sistema de tareas, el

esquema de estudio, en el cual está presente el modelo de la actividad, la síntesis de

aquellos conocimientos que deben asimilar y también los medios de control. Estos son

los componentes principales que debe asegurar el profesor en esta etapa.

2.1.5. El asistente matemático Derive.

Desde el punto de vista tecnológico, en la elaboración del cuaderno de ejercicios se

utilizó el asistente matemático DERIVE teniendo en cuanta que es el más conocido en

Angola y el dominio del mismo que posee el autor de la tesis.

Desde hace varias décadas, los asistentes matemáticos han irrumpido, de una forma

cada vez más creciente en todos los ámbitos universitarios y educativos en y van en

camino de formar parte de una cultura tecnológica, que transforma las esferas científica,

tecnológica, económica, social y cultural.

El efecto de los mismos en la educación matemática se manifiesta de manera muy

especial, pues su alcance va desde el diseño curricular de los programas de las

asignaturas matemáticas hasta los escenarios donde profesores y estudiantes se

encuentran en el acto de enseñar y aprender.

Derive es un programa para matemáticas desarrollado por la compañía Texas

Instrument, en donde se pueden trabajar ejercicios que se tratan en las asignaturas de

Aritmética, Álgebra, Trigonometría, Cálculo y para Física I y II. Desarrolla ejercicios de

variables, expresiones aritméticas y algebraicas, funciones, ecuaciones de primer y


42

segundo grado, vectores y soluciones de sistemas de ecuaciones lineales mediante

matrices. Algunas de las características más importantes del software es su trabajo

simbólico, es decir que se pueden trabajar con variables (letras) y el poder hacer gráficas

en dos dimensiones, con ejes de coordenadas X, Y y en tres dimensiones en donde se

trabajan las coordenadas X,Y,Z.

Con este programa se pueden realizar operaciones aritméticas como suma, resta,

multiplicación, división, radicación y potenciación, ya sea con números enteros o

racionales, operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación, división, radicación

y potenciación, despeje de variables en una ecuación, factorización, solucionar

ecuaciones lineales y de segundo grado, sistemas de ecuaciones de 2x2 y 3x3 , graficar

funciones.

En el caso particular de este trabajo el autor decide utilizar este asistente teniendo en

cuenta que el cuaderno de actividades que se presenta tiene implícito el trabajo con

funciones racionales fraccionarias, dentro de ello el tratamiento de estas y sus gráficos y

con este asistente el estudiante puede descomponer en factores, las expresiones que

generan este tipo de funciones, además puede representar gráficamente tanto la función

como sus asíntotas, cuestiones estas que los llevarían a realizar un estudio detallado de

estas, que son conocimientos que le servirían para su futuro desempeño profesional y

para cursar estudios superiores.

A continuación el autor pretende presentar algunas ideas generales sobre cómo utilizar el

DERIVE desde el punto de vista práctico a modo de familiarización para su utilización en

el cuaderno de actividades que se presenta.

Ventana de Álgebra.

En esta ventana es donde se conforman las expresiones y funciones a trabajar con la

utilización de los símbolos que aparecen en la barra de símbolos que a continuación

aparecen.



43

Barras de símbolos.

A continuación se presenta la siguiente función para la construcción de su gráfico.

Ejemplo 1:

Luego se presiona Enter y aparece la función en la hoja de álgebra

A continuación se presiona el icono correspondiente y aparece la representación de la

función en la hoja de gráfica de dos dimensiones.


44

Como se puede apreciar la recta 4x es un valor que no pertenece al dominio de la

función por lo que es una asíntota vertical de la misma.

Ejemplo 2:

Sea la función 24

4)(

xxf

a) Halle analíticamente el dominio y el recorrido de f.

b) Represente gráficamente el Dom , Im f y la gráfica de f.

Solución:

Se introduce la función:

24

4)(

xxf

Dominio

Se plantean las exigencias del dominio y se resuelve:

Una representación del mismo, puede ser la siguiente:



45

Signos de la función:

Una partición del dominio, donde en cada parte f no cambia de signo es:

Bastará evaluar la función en un punto arbitrario de cada parte, para determinar

allí el signo de f .

Interceptos con los ejes coordenados:

No posee ceros.

Asíntotas:

• Verticales.

Lo que garantiza la existencia de asíntotas, tanto en x=2 como en x=-2.


46

Asíntotas no verticales.

Lo que garantiza la existencia de asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha.

Representación gráfica de la función en Derive.

2.2. Cuaderno de actividades para el desarrollo de habilidades en la

utilización de funciones racionales fraccionarias

El cuaderno de actividades (material anexo al informe de la investigación) cuenta con

una pequeña introducción donde se abordan los aspectos históricos fundamentales

relacionados con el concepto de función, está estructurado en 11 apartados, distribuidos

en 52 páginas. En el primero de ellos se realiza un acercamiento teórico a varios

aspectos que son necesarios conocer para comprender la esencia de las funciones

racionales fraccionarias. Se le presta especial atención a los conceptos de dominio e

imagen de una función. Sobre este particular se incluyen un conjunto de actividades



47

mediante las cuales los estudiantes comprenderán mejor ambas definiciones a partir de

encontrar las respuestas a cada una de las interrogantes.

De forma general, cada uno de los apartados se comienza con un acercamiento teórico

al contenido objeto de análisis y a continuación se presentan una serie de ejercicios que

ayudarán al estudiante en el proceso de aprendizaje, a partir de bridar información

gráfica y pequeñas ayudas que los guiarán en la búsqueda de las soluciones.

Después de presentar los aspectos teóricos de cada apartado, se comienza la

presentación de un conjunto de ejemplos resueltos, en los que se explica paso a paso

cómo proceder para resolverlos. En la mayoría de los casos y siempre que es posible, se

muestra la gráfica de la función a partir de la representación mediante la utilización del

asistente matemático DERIVE.

En los ejercicios resueltos se le presta especial atención a los interceptos de la función

con los ejes coordenados, a las asíntotas verticales y a la determinación del signo de la

función en los intervalos de definición, a partir de la utilización del rayo numérico. Todos

estos elementos son muy importantes para el correcto análisis de cada función. A

continuación se muestran dos ejemplos:

Ejemplo 1: Determinar las intercepciones de la función xx

xxf

5

4)(

2

con el eje “ x “

Primero factorizamos tanto el polinomio del numerador como el polinomio del

denominador:

)5(

4

5

4)(

2

xx

x

xx

xxf

Observamos que ninguno de los factores del polinomio del numerador se repite en el

polinomio del denominador, por lo tanto la intercepción con el eje “ x “ está contenida en el

factor 4x .

Igualamos a cero el factor o los factores del numerador que no se repiten en el

denominador.


48

En este caso sólo es 4

04

x

x

Por lo que podemos concluir que la gráfica de la función xx

xxf

5

4)(

2

intercepta a el eje

“ x “ en 4x .

Ejemplo 2. Determinar los signos de la siguiente función. 45

332

xx

xy

Primero calculamos los interceptos con el eje “ x ”, es decir:

13

3

33

033:)0(

x

x

xI yx

Para determinar el dominio de la función se conoce que debemos igualar a cero el

polinomio del denominador:

0452 xx

Resolviendo la ecuación resultante:



49

1 ó 4

01

04

014

045 2

xx

x

x

xx

xx

Por lo que las soluciones de dicha ecuación son: 4x ; 1x

El dominio de la función 45

332

xx

xy son todos los valores 1 ;4 ;0 : xxxRx ,

en notación de intervalo es ),1(1,44, .

Construyamos el rayo numérico y determinemos los signos constantes de la función en

cada intervalo.

En el cuaderno se incluyen también algunas actividades donde se presentan las gráficas

de algunas funciones y a partir de las mismas el estudiante debe responder un conjunto

de preguntas a partir de la interpretación de los elementos más distintivos del gráfico.

El análisis de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas ocupa una parte

significativa dentro del cuaderno, dada la complejidad que le aportan al análisis de las

funciones racionales.

Los apartados finales están dedicados a la aplicación de las funciones racionales en la

solución de situaciones problémicas que se dan en la vida cotidiana y en la construcción

de hipérbolas. Se destacan en este sentido los problemas de variación inversa.

2.3. Pertinencia y factibilidad del cuaderno de actividades para el

desarrollo de habilidades en la utilización y aplicación de las

funciones racionales fraccionarias

Para obtener una valoración relativa a la factibilidad y pertinencia del cuaderno de

actividades se utilizó el criterio de expertos mediante la aplicación del método Delphi.

‐4 ‐1

‐ + +


50

Para la aplicación de este método se seleccionaron 22 posibles expertos, a los cuales se

les aplicó la encuesta encaminada a determinar su preparación para emitir juicios

valorativos de consideración a partir de sus conocimientos (Anexos 5, 6, 7 y 8), la que fue

determinada a partir de la autovaloración que realizaron en el tema que se evalúa, así

como sus categorías docentes e investigativas y la experiencia que poseen en la

formación de profesionales para la enseñanza media y media superior, además de la

diversificación de los posibles expertos en cuanto a su ocupación actual y experiencia en

la labor educacional.

Fueron seleccionados 15 expertos, de los que se obtuvo su disposición para ejecutar las

acciones previstas y para contribuir a realizar críticas y valoraciones que fueron

contrastadas con otros especialistas y que permitiera contraponer opiniones y llegar a

emitir juicios, conclusiones y razonamientos de valor, que posteriormente conllevaran al

perfeccionamiento de la propuesta que se realiza.

De los 15 expertos seleccionados, (Anexo 6), el 13% posee el grado científico de Doctor

(profesores cubanos), el 53% tienen categoría de Máster (de ellos 4 son profesores

cubanos) y el 33% no presentan categoría científica, el 13% posee categoría de Profesor

Titular, el 33% son profesores auxiliares y el 53% son asistentes; 6 expertos son

profesores cubanos con vasta experiencia en la impartición de las matemáticas, el resto

son profesores angolanos que trabajan en la enseñanza media y media superior, de ellos

3 imparten docencia en la Escuela Formadora de Maestros de la Provincia Huambo,

República de Angola.

Se sigue como criterio de interpretación del coeficiente de competencia (K) de cada

experto los siguientes criterios: el cuestionario que se somete a la consideración de los

expertos para la validación del cuaderno de actividades (Anexo 7), además de los

resultados de las respuestas de estos mediante el procesamiento estadístico para probar

su concordancia (Anexo 8).

Como se observa, en la tabla 5 (Anexo 8), los resultados por categorías según la prueba

de concordancia, los expertos coinciden en considerar entre bastante adecuada y



51

adecuada la pertinencia del cuaderno de actividades, lo que significa que es válido en su

pertinencia y factibilidad de aplicación.

Entre las principales valoraciones emitidas se encuentran las siguientes:

Consideran que el cuaderno propuesto es adecuado y necesario para potenciar el

desarrollo de habilidades en la utilización y aplicaciones de las funciones racionales

fraccionarias, por la importancia de la temática con vista a la formación integral de los

egresados.

Coinciden las opiniones acerca del enfoque sistémico que se establece a partir del

enfoque de la teoría y la presentación de los ejemplos resueltos y ejercicios que se

presentan en el cuaderno, pues puede contribuir a concebir una proyección más

acertada de la formación integral de los profesionales en formación.

Plantean que lograr las relaciones que se establecen entre la teoría y la práctica, así

como los ejercicios propuestos, guardan relación y de esta forma contribuirán al

desarrollo de habilidades en los estudiantes en la temática abordada basados en los

presupuestos teóricos que se describen.

Consideran factibles las orientaciones propuestas en cada uno de los ejercicios

resueltos y propuestos, ello contribuirá a potenciar el estudio individual por parte de los

estudiantes en la temática.

Coinciden las opiniones en que es posible contribuir a una mejor comprensión por

parte de los estudiantes a partir de la utilización del cuaderno de actividades propuesto

en la temática abordada, debido al lenguaje claro y preciso de la teoría y los ejercicios

resueltos y propuestos que en él están concebidos.

Conclusiones del capítulo

1. En Enfoque Histórico Cultural de Vigostky, la Teoría de la Actividad de Leontiev y la

Teoría de la Formación por Etapas de las Acciones Mentales Del Galperin

constituyen los referentes teóricos fundamentales tenidos en cuentas para la

elaboración del cuaderno e actividades, destinado al desarrollo de habilidades en la

aplicación de las funciones racionales fraccionarias.


52

2. El uso de asistente matemático DERIVE resultó de gran importancia en la

elaboración del cuaderno de actividades y de igual manera la orientación de la

actividades contempla su utilización para la correcta solución de los ejercicios.

3. El criterio emitido por los expertos permitió una valoración positiva del cuaderno de

actividades al lograr consenso respecto a que el mismo resulta muy adecuado en el

contexto en que transcurre el proceso de enseñanza aprendizaje en las escuelas

formadoras de maestros en Angola.

53

CONCLUSIONES Los fundamentos teóricos asumidos acerca del proceso de enseñanza-aprendizaje de la

Matemática en las Escuelas Formadoras de Maestros de la República de Angola, con

énfasis en el desarrollo de habilidades, permitieron determinar la necesidad de potenciar las

relaciones entre los elementos de los conocimientos matemáticos, que demuestran la

posibilidad de superar el carácter reproductivo y fragmentado del aprendizaje de la

Matemática con especial atención al concepto, utilización y aplicaciones de las funciones


El estudio diagnóstico realizado al proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la

Escuela Formadora de Maestros Ferraz Bomboco de La Provincia de Huambo,

República de Angola, corroboró la existencia de insuficiencias en el aprendizaje de los

conocimientos matemáticos y las limitaciones en el tratamiento del concepto, utilización y

aplicaciones de las funciones racionales fraccionarias.

El cuaderno de actividades que se propone considera los necesarios nexos que se deben

revelar para el aprendizaje de las funciones racionales fraccionarias y sus aplicaciones, a

partir de la teoría desarrollada, así como los ejercicios resueltos y propuestos que en él están

contenidos como vía expedita de potenciar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la

Matemática en este nivel de enseñanza.

El cuaderno de actividades elaborado fue sometido al criterio de expertos en la

materia y lo consideraron muy adecuado y necesario para el desarrollo de habilidades

de los estudiantes de la institución objeto de estudio teniendo en cuenta el diagnóstico

realizado.

54

RECOMENDACIÓN

1. Promover investigaciones en las que se indague el impacto del la utilización del cuaderno

de actividades para el aprendizaje de las funciones racionales fraccionarias y sus

aplicaciones, cuestión que no fue tratada en esta tesis.

55

BIBLIOGRAFÍA

1. ADDINE, F. (2004). Didáctica: Teoría y práctica. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.

2. ÁLVAREZ, R. Y OTROS. Etiología de errores matemáticos. En: http://www.mfc.uclv.edu.cu/scmc/Boletin/N2/textos. Consultado el 14 de abril de 2013.

3. ÁLVAREZ, C. (1994). Epistemología de la Pedagogía. La Habana. (Soporte electrónico).

4. _______. (1998). Lecciones de didáctica general. Editorial Edilnaco, Colombia.

5. _______. (1999). La escuela en la vida. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.

6. ÁLVAREZ, RM. (1997). Hacia un currículum integral y contextualizado. Editorial Universitaria, Honduras.

7. AGUIRRE G. Tratamiento la concepto función. 2012 http://www.monografias.com/usuario/perfiles/aguirrege Consultado 15 de mayo de 2013

8. Arnaiz, P. (2000). La diversidad como valor educativo. En I. Martín (Coord.): El valor educativo de la diversidad (pp. 87-103). Valladolid: Grupo Editorial Universitario.

9. BALLESTER, S. Y OTROS. (1992). Metodología de la enseñanza de la Matemática. Tomo I. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.

10. BATANERO, C. Cuestiones metodológicas en la evaluación de los conocimientos matemáticos de los alumnos y de su evolución. En: http://www.sectormatematica.c/articulo.htm Consultado el 20 de Julio 2013.

11. BLANCO, A. (2001). Introducción a la sociología de la educación. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.

12. BROUSSEAU, G. (1997). Fundamentos y métodos de las didácticas de las matemáticas. En: Recherches en Didactique des Mathématiques, en Relime, México, 7 (2).

13. _______. Research in mathematics education: observation and mathematics. Tomo I. En: http://fractus.mat.uson.mx/Papers/#locales. Consultado el 10 de Junio de 2013.

14. CAMPISTROUS, L. (1991). Orientaciones metodológicas de décimo grado. Editorial Pueblo y Educación, La Habana,.

15. _______(1998).Conferencia: Retos para la enseñanza de la Matemática. Instituto Superior Pedagógico "José de la Luz y Caballero", Holguín.

16. CAMPISTROUS, L. Y RIZO, C. (1993). Aprender a resolver problemas aritméticos. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.

17. _______. (2005). Estrategias para promover el aprendizaje desarrollador en el contexto escolar. En: Pedagogía 2005. MINED, La Habana.

18. CÂNDIDO, P.. In: ______. Matemática de 0 a 6: brincadeiras infantis nas aulas de Matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, 2000.

19. CANTORAL, R., MONTIEL, G. (2006). Desarrollo del Pensamiento matemático: El caso de la visualización de funciones [Versión Electrónica]. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa X.

20. CARLSON, M., OERHTMAN, M. (2005). Key Aspects of Knowing and Learning the Concept of Function. The Mathematical Association of America. Recuperado de: http://www.maa.org/t_and_l/sampler/rs_9.html. (Consultada 15 de Julio 2013).

BIBLIOGRAFÍA

56

21. CARLSON, M., OERHTMAN, M. (2005). Key Aspects of Knowing and Learning the Concept of Function. The Mathematical Association of America. Recuperado de: http://www.maa.org/t_and_l/sampler/rs_9.html. (Consultada 12 de Julio 2013).

22. CASTELLANOS, D. (2000). La comprensión de los procesos del aprendizaje: apuntes para un marco conceptual. Instituto Superior Pedagógico “Enrique José Varona”, Centro de Estudios Educacionales, La Habana. (Soporte electrónico).

23. CLARK, C. y Otros. (1996). Mathematical Bioeconomics: The optimal management of renewable resources. Second Edition.John Wiley & Sons, New York.

24. COBIÁN, M. Y OTROS. Contexto Socio-Cultural y aprendizaje significativo. En: http://educacion.jalisco.gob.mx/consulta/educar/09/9mariaco.html. Consultado el 12 de Marzo de 2013.

25. COLL, C. (1988) Significado y sentido en el aprendizaje escolar: reflexiones en torno al concepto de aprendizaje significativo. En: Infancia y Aprendizaje, (41), Universidad de Barcelona.

26. _______. Concepciones inadecuadas y errores de los estudiantes en el aprendizaje de la matemática y sus implicaciones didácticas. En: http://www.redexperimental.gob.mx/descargar.php?id=15. Consultado el 23 de Mayo de 2013.

27. CONTRERAS, A. Y FONT, V. ¿Se aprende por medio de los cambios entre los sistemas de representación semiótica? En: http://www-didactique.imag.fr. Consultado el 12 de enero de 2013.

28. CÓZAR, J. Estrategias de aprendizaje. En: http://www.psicopedagogia.com/estrategias-aprendizaje. Consultado el 8 de enero de 2013.

29. CRUZ, M. (2002). Estrategia metacognitiva en la formulación de problemas para la enseñanza de la Matemática. Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas, Instituto Superior Pedagógico “José de la Luz y Caballero”, Holguín.

30. _______(2007). El método Delphi en las investigaciones educacionales. En: Pedagogía 2007. MINED, La Habana.

31. DANILOV, M. Y SKATKIN, M. (1978) Didáctica de la Escuela Media. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.

32. DAVIDOV, V. V. (1981). Tipos de generalización en la enseñanza. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.

33. DE GUZMÁN, M. Sobre la educación matemática, http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman.htm, 1983. Consultado el 20 de abril de 2013.

34. _______. Matemáticas y estructura de la naturaleza. En. F. Mora Teruel & J. M. Segovia Arana (coord.), Ciencia y Sociedad. Desafíos del Conocimiento ante el Tercer Milenio, http://ochoa.mat.ucm.es/guzman/, 1998. Consultado el 20 de abril de 2013.

35. DE GUZMÁN. M. Y NAVARRO, M. Profesiones: conocer y ejercer las matemáticas. En: Acento, http://ochoa.mat.ucm.es/guzman/, 1993. Consultado el 2 de mayo de 2013.

36. DEL CASTILLO, A., MONTIEL, G. (2007). El concepto función en un ambiente geométrico dinámico bajo el enfoque covariacional. Memoria electrónica de la XI escuela de invierno, 568-579.

37. DIASALA, A. (2003). Libro de Matemática 9no clase. Portugal.

38. DICCIONARIO ENCICLOPÉDICO COLOR. Editorial Océano Barcelona, 1999.



57

39. DUBINSKY, E. y, HAREL, G. (1992). The Nature of the Process Conception of Function. En G. Harel y E. Dubinsky (eds.). The Concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy. Mathematical Association of America. Notes Series, Vol. 25, pp.. 85

40. Dos Santos, J. Mensagen de Fin de Ano. Jornal de Angola 30 de Dezembro. Páginas. 1-2. 2008

41. ESCANDON, C. Historia del concepto función. (2005). Recuperado dehttp://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo_4379_historia_del_concepto_f uncion.htm. (Consultada 1-07-2013)

42. FUENTES, H. (2000). El proceso de investigación científica. Centro de Estudio de Educación Superior “Manuel F. Gran”, Universidad de Oriente, Santiago de Cuba.

43. GALPERIN, P. (1986). Sobre el método de formación por etapas de las acciones mentales intelectuales. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.

44. GARCÍA, E., GARCÍA, E. (2007). Un estudio socioepistemológico del concepto función. Memoria electrónica de la XI escuela de invierno XI, 551-554.

45. GARCÍA, G. Y OTROS. (2004). La escuela y la familia. En: Temas de introducción a la formación pedagógica. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.

46. GODINO, J. (2002). Didáctica de la Matemática para maestros. Proyecto Edumat- Maestros,. (Material impreso).

47. _______ (2005). Un enfoque ontológico-semiótico de la cognición e instrucción matemática: teoría de las configuraciones didácticas. En: Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada, España. (Soporte electrónico).

48. GODINO, J. Y OTROS. Significado y comprensión de los conceptos matemáticos, en Proceedings of the 20th PME, Valencia, España, Conference. 1994.

49. GÓMEZ, M. (2005) Una propuesta didáctica para elevar los niveles de transferencia entre las distintas representaciones de las funciones, en el nivel preuniversitario. Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas, Universidad de La Habana.

50. GONZÁLEZ, M. Complementos de Aritmética y Álgebra. Editorial Pueblo y Educación. 1974.

51. GONZÁLEZ, O., 2000. El Enfoque Histórico - Cultural como fundamento de una concepción pedagógica. [en CD ROM]. [Consultado el: 12/10/2003]. Disponible en: <http://www.bvs.sld.cu/revistas/ems/vol17.htm>

52. GONZÁLEZ O. Algebra Elemental Moderna. Tomo II. Instituto del Libro, La Habana, 1974, p : 231.

53. GONZÁLEZ, A. Y REINOSO C. (2002). Nociones de Sociología, Psicología y Pedagogía. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.

54. JUNGK, W. Conferencias sobre Metodología de la Enseñanza de la Matemática. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. Cuba. 1979.

55. KLINGBERG, L. (1979). Introducción a la Didáctica General. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.

56. LEONTIEV, A. Activity, consciousness, personality. Englewood Cliffs, N3: Printice Hall. 1977.

57. LEONTIEV, A. N. Y OTROS. (1961). Psicología. Editorial Imprenta Nacional de Cuba, La Habana.

BIBLIOGRAFÍA

58

58. LÓPEZ, J. Y OTROS (2000). Fundamentos de la Educación. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.

59. LÓPEZ, R. (2000). Hacia unos centros educativos de calidad. Contexto, fundamento y políticas de calidad en la gestión escolar, Plan de Calidad en la educación. Madrid: MEC.

60. MAJMUTOV, M. Enseñanza Problémica. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 1983.

61. MARTÍNEZ, A. Gráficas como medio y no como objetivo: el impacto de las calculadoras gráficas en cálculo y precálculo en Publicaciones de la 9ª Reunión Centroamericana y del Caribe sobre formación de profesores e investigación en Matemática Educativa pp.119-124 Habana 1995.

62. MARTINEZ, M. (1995): Creatividad y calidad educacional. Pedagogía`95, La Habana

63. MILLER, J. (1998) “The psychology mathematical”. Princenton University Press, Princenton.

64. MITJÁNS, A. (1995). Creatividad, personalidad y educación. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.

65. MONTENEGRO, E.( 2004). Modelo para la estructuración y formación de habilidades lógicas a través del Análisis Matemático. Tesis en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas, Instituto Superior Pedagógico “Frank País, Santiago de Cuba.

66. MORA, D. Didáctica de las Matemáticas desde una perspectiva crítica, investigativa, colaborativa y transformadora. La Paz. III-CAB, 2009.

67. MÜLLER, H. El trabajo heurístico en la enseñanza de la Matemática. La Habana, 1985. (Material mimeografiado).

68. _______. Formas de trabajo heurístico en la enseñanza de la matemática. (I parte). En: Boletín Sociedad Cubana de Matemática, La Habana, 1986. (Material impreso).

69. NASCIMENTO,I. (2005). Libro de Matemática 8vo clase. Portugal.

70. NATIONAL ACADEMY PRESS, How people learn? Brain, mind, experience, and school, Washington. En: http://www.NationalAcademy Press.edu/catalog/, 2004. Consultado el 3 de febrero de 2013.

71. OLIVEIRA, N. Conceito de Função: uma Abordagem do Processo Ensino-Aprendizagem. Dissertação de Mestrado. PUC: SÃO PAULO, 1997.

72. PETROVSKY, A. Psicología general. Moscú: Editorial Progreso. 1976.

73. PIAGET, J. (1968). Las operaciones intelectuales. Universidad de La Habana. (Material impreso).

74. PUENTES, M. La orientación en la actividad pedagógica. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. 1994.

75. PUENTES, R. 2009. Optimización Lineal, Teoría Métodos y Modelos. Editorial McGraw Hill.

76. POLYA, G. (1976). Cómo plantear o resolver problemas. Editorial Trillas, México.

77. RESÉNDIZ E. (2006). La variación y las explicaciones didácticas de los profesores en situación escolar. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. 9 (3), 435-458.

78. REYES, J. Dirección de aprendizaje Mayo, (2001).

79. RICO, P. (1996)Reflexión y aprendizaje en el aula. Editorial Pueblo y Educación, La Habana,.

80. RICO, P. Y SILVESTRE, M. Hacia la remodelación del proceso de enseñanza-aprendizaje. En: http://ciEdrimEdcu/revista/21/articulos/a21haciala.html, Consultado el 12 de junio de 2013.



59

81. RICO, L. (1998). Didáctica de la Matemática como campo de problemas. Recuperado de http://www.ugr.es/dpto_did/, Las Palmas. Consultado el 13 de junio de 2013.

82. _______ (1997). Didáctica de la Matemática en el bachillerato. Aprendizaje de la Matemática. Universidad de Granada. Granada, España. Recuperado de http://www.ugr.es/dpto_did/. Consultado el 12 de junio de 2013.

83. _______(1995) Errores y dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. Educación Matemática. Errores y dificultades de los estudiantes. Resolución de problemas. Evaluación. Historia. Bogotá: una empresa docente. Recuperado de http://www.ugr.es/dpto_did/. Consultado el 12 de junio de 2013.

84. RIZO, C. Y OTROS (2004). Elementos de una didáctica para el tratamiento de las situaciones de aprendizaje en el empleo de la tecnología en la escuela. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.

85. _______ (2007). El proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática en las nuevas condiciones del desarrollo de la tecnología. En: Conferencia en el Evento Nacional sobre la Enseñanza las Ciencias Exactas, ENCE 2007, Holguín. (Soporte electrónico).

86. RODRÍGUEZ, M. Y OTROS (2004). Rendición de cuentas del Proyecto: estrategia para la activación del aprendizaje de la Matemática en la Provincia Las Tunas. Informe final. Instituto Superior Pedagógico “Pepito Tey”, Las Tunas. (Material impreso).

87. _______ (2005). Estrategias metacognitivas para el aprendizaje de la Matemática. En: Ponencia en el evento COMPUMAT, La Habana. (Soporte electrónico).

88. _______(2006) ¿Cómo aprender Matemática? Taller Internacional MATECOMPU, Matanzas. (Soporte electrónico).

89. _______ (2008). ¿Cómo operan los estudiantes con los estudiantes con los conceptos, las proposiciones y los procedimientos al resolver ejercicios matemáticos? En: Ponencia en el evento Congreso de Didáctica de las Ciencias, La Habana.

90. _______(2008) Enseñanza de estrategias para el aprendizaje de la Matemática. En: RIELME 22, México.

91. RUBINSTEIN, S. El ser y la conciencia. Editorial Universitaria, La Habana, 1965.

92. RUIZ, Á. Las Conferencias Interamericanas de Educación Matemática, Capitulo I. El contexto sociohistórico e ideológico. En: http://www.furb.br/xiciaem/livro/primerocapitulo.htm, 1996. Consultado el 3 de junio de 2013.

93. _______. Las Conferencias Interamericanas de Educación Matemática. Capitulo II. Los inicios: las primeras dos Conferencias. En: http://www.furb.br/xiciaem/livro/segundocapitulo.htm, 1996a. Consultado el 3 de junio de 2013.

94. RUIZ, A. La integración de conceptos matemáticos a partir de las relaciones conceptuales clásicas en la Educación preuniversitaria. Tesis en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas, Sancti Spiritus, 2007.

95. RUIZ, A. Y SOLANO, L. Procedimiento didáctico para el diseño de la integración de los conocimientos matemáticos en el preuniversitario. Ponencia presentada en el evento COMPUMAT, Sancti Spiritus, 2003. (Soporte electrónico).

96. SANTOS, M. ¿Qué significa el Aprender Matemáticas?. Una Experiencia con estudiantes de Cálculo. En Educación Matemática. Vol. 7 (1). Grupo Editorial Iberoamérica. México. Abril, 1995. P.47.

BIBLIOGRAFÍA

60

97. SANTOS, L. (1992). La Resolución de Problemas en el aprendizaje de las matemáticas. Cuaderno de investigación No. 28/6. Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV. México.

98. SAVIN, N. Pedagogía. La Habana: Editorial. Pueblo y Educación, 1976: p 317.

99. SCHOENFELD, A. Learning to think mathematically: Problem–solving, metacognition, and sense making in mathematics, D. Grows (Edic.), Handbook of research on mathematics teaching and learning, NY: Macmillan Publishing Company, 1992.

100. _______. Propósitos y métodos de investigación en Educación Matemática, J. D.Godino, (Trad.), Universidad de Granada, España. Recuperado de http://www.ugr.es/~jgodino. (Trabajo original publicado en Notices of the AMS, 47 (6), 2000. Consultado el 20 de abril de 2013.

101. SIERPINSKA, A. (1992). On understanding the notion of function. The Concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy. Mathematical Association of America. Notes Series, Vol. 25, págs. 2358.

102. SILVESTRE, M. Aprendizaje, educación y desarrollo. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 1999.

103. SILVESTRE, M. Y ZILBERSTEIN, J. ¿Cómo hacer más eficiente el aprendizaje? ICCP, La Habana, 2000. (Libro en formato electrónico).

104. TALÍZINA, N. Psicología de la enseñanza. Editorial Progreso, Moscú, 1978.

105. TALIZINA, N. Conferencia sobre: “Los Fundamentos de la Enseñanza en la Educación Superior”. Universidad de la Habana. 1984.

106. _______. La formación de la actividad cognoscitiva de los escolares. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 1987.

107. TINOCO, L. Construindo o Conceito de Função – Projeto Fundão, Instituto de Matemática, UFRJ, Rio de Janeiro, 1996.

108. TORRES, P. La Enseñanza Problémica de la Matemática en el nivel Medio General. Tesis en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas, Instituto Superior Pedagógico “Enrique José Varona”, La Habana, 1993.

109. _______. La instrucción Heurística de la Matemática Escolar. Instituto Superior Pedagógico “Enrique José Varona”, La Habana, 2000. (Soporte electrónico).

110. VALE, M. Tendencias actuales de la enseñanza de la matemática, Studio Pedagógico. Revista de Ciencias de la Educación, 21 (2000),19-26.

111. VIGOTSKY, L. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Grupo Grijalbo, México, 1979.

112. _______. Pensamiento y Lenguaje. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 1982.

113. _______.Interacción entre enseñanza y desarrollo. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 1985.

114. VILLAVICENCIO, M. En búsqueda del equilibrio en la enseñanza de la Matemática: a la luz de las teorías del aprendizaje. La necesidad de significación (relevancia), Cartilla, (11). Lima, Perú. Recuperado de http://www.huascaran.edu.pe/boletin/0link/b_e11, 2009. Consultado el 20 de abril de 2013.



61

115. ZILBERSTEIN, J. Curso de postgrado: aprendizaje desarrollador. Universidad de Matanzas, Matanzas, 2004. (Soporte electrónico).

116. ZILBERSTEIN, J. Y SILVESTRE, M. Hacia una didáctica desarrolladora. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 1999.

117. _______. Una didáctica para una enseñanza y un aprendizaje desarrollador. ICCP, La Habana, 2000. . (Soporte electrónico).

118. _______. Didáctica desarrolladora desde el enfoque Histórico Cultural. Editorial CEIDE, México, 2004.

119. ZILLMER, W. Complementos de Metodología de la enseñanza de la Matemática. Editorial Libros para la Educación, La Habana, 1981.

ANEXOS

ANEXO 1. Encuesta a los estudiantes

Objetivo: Determinar los rasgos que caracterizan el aprendizaje de la Matemática en los estudiantes de la Escuela Formadora de Maestros de la Provincia Huambo República de Angola.

Indicadores:

Marca con una X según consideres.

1. Identificas los conceptos y consideras que los puedes relacionar con las propiedades y los procedimientos para solucionar los ejercicios en las clases.

Siempre___, a veces _____ nunca___

2. Logras resolver la mayoría de los ejercicios en clases.


3. Logras resolver la mayoría de los ejercicios de las tareas.


1. Eres capaz de explicar los pasos realizados en la solución de ejercicios.


2. Considera que en las clases nuevas aprende lo necesario para aplicar después los conocimientos.


3. Si para estudiar realiza algoritmos de trabajo que le ayuden a resolver los ejercicios.


4. Considera útil la utilización de la computación en el desarrollo de las clases de Matemática.


ANEXO 1.1 Cuestionario a los estudiantes.

Objetivo: Determinar los rasgos que caracterizan el aprendizaje de la Matemática en los estudiantes de la Escuela Formadora de Maestros de la Provincia Huambo, República de Angola.

Los siguientes enunciados investigan cómo ocurren algunos procesos del aprendizaje de la Matemática. Contesta estos enunciados acerca de cómo es tu aprendizaje en Matemática tan sinceramente como te sea posible. Usa la escala siguiente:

1. No me describe en absoluto.

2. Me describe un poco.

3 .Me describe suficientemente.

4. Me describe mucho.

5. Me describe totalmente.

Asigna el número de la escala anterior correspondiente a cada afirmación dentro de ( )

Me gusta la asignatura de Matemática. ( )

En las clases de Matemática me gusta atender a la explicación del profesor. ( )

En las clases nuevas aprendo casi todo lo que necesito para después aplicarlo a los ejercicios y problemas. ( )

Lo que considero más importante en Matemática son los conceptos y propiedades. ( )

Lo más importante para mí son los procedimientos de solución. ( )

En las clases de ejercitación logro resolver casi todos los ejercicios. ( )

Cuando trato de resolver un ejercicio, lo primero que hago es pensar en el procedimiento que puede llevarme a la solución. ( )

Cuando trato de resolver un ejercicio, lo primero que hago es comprender qué es lo me ofrecen los datos. ( )

Cuando trato de resolver un ejercicio, lo primero que hago es identificar los conceptos que aparecen y recordar propiedades y procedimientos que se relacionen con esos conceptos. ( )

Cuando resuelvo un ejercicio soy capaz de explicar a mis compañeros o al profesor cada paso realizado.

Para estudiar Matemática trato de hacer muchos ejercicios. ( )

Para estudiar Matemática hago resúmenes con los conceptos, propiedades y procedimientos. ( )

Población de estudiantes de la escuela 3 195, Muestra: Estudiantes de la Escuela de

Escala: 5= muy alto 4= alto 3= medio 2= bajo 1=muy bajo

ANEXO 2. Encuesta a profesores

Objetivo: Determinar el conocimiento de los docentes de Matemática de la Escuela Formadora de Maestros de la Provincia Huambo en cuanto a dificultades en el aprendizaje y las posibles causas.

Cuestionario

Estimado colega, con motivo de realizar una investigación acerca del aprendizaje de la Matemática, necesitamos de tu colaboración al responder con sinceridad la siguiente encuesta. Te agradecemos tu cooperación.

1. Graduado: Año:

2. Años de experiencia impartiendo la asignatura:

3. Señale las dificultades que presentan sus estudiantes en el aprendizaje de los contenidos de la Matemática:

--Identificar conceptos.

--Identificar formulas, relaciones y funciones matemáticas.

--Transferir los conocimientos a situaciones nuevas.

--Aplicar el procedimiento, de acuerdo a las exigencias de un ejercicio.

--Fundamentar los pasos del proceso de resolución.

--Graficar funciones

--Otros ¿Cuáles?

5. Marque las vías que usted utiliza para resolver estas deficiencias:

--Orientación de guías de ejercicios.

--Repaso de los contenidos con dificultades.

-- Actividades de estudio con el uso de la computación.

--Estudio del contenido por el Libro de Texto.

--Buscar aspectos relacionados con los elementos del conocimiento.

--Otros. ¿Cuáles?

6. Señale las causas que usted considera que influyen en las dificultades en la resolución de los ejercicios matemáticos:

--Falta de motivación hacia el estudio.

--Poca solidez en los conocimientos.

-- No poseen estrategias de aprendizaje.

--No realizan el estudio independiente.

--Insuficiente comprensión de conceptos.

--Falta dominio de los procedimientos de solución. --Otras ¿Cuáles?

ANEXO 3. Guía de entrevista a los profesores que imparten la asignatura Matemática en la Escuela Formadora de Maestros de la Provincia Huambo.

Objetivo: Conocer acerca del dominio de los profesores en cuanto al proceso de enseñaza aprendizaje de la Matemática en el 12mo grado.

Muestra: Profesores que imparten la asignatura Matemática

Cuestionario

Estimado profesor, con motivo de estar realizando un estudio sobre las características del proceso de enseñanza-aprendizaje de los contenidos matemáticos del la Escuela, necesitamos la colaboración de los profesores del grado por lo que deseamos contar con su ayuda respondiendo las siguientes interrogantes:

Datos Generales:

Graduado de _________________Años de experiencia ______ En el grado ________

1 ¿Se siente usted motivado por su profesión?

2 ¿Cómo considera el papel de sus estudiantes en el proceso de enseñanza-aprendizaje?

3 ¿En sus clases propicia que los estudiantes hagan reflexiones sobre lo que aprenden? Explique.

4 ¿Desarrolla actividades que promuevan la búsqueda activa del conocimiento por los estudiantes? ¿Cuáles?

5 ¿Cuáles considera usted que son los elementos esenciales en los conocimientos matemáticos?

6 ¿Conoce algún tipo de relación entre el concepto y otros contenidos en el grado? ¿Cuáles?

7 ¿Las orientaciones metodológicas que se ofrecen en el programa ¿son suficientes para cumplir con los objetivos que se proponen?

8 ¿Qué orientaciones le brinda a los estudiantes cuando van a aprender un conocimiento nuevo?

9 ¿Planifica actividades de trabajo independiente para que sus alumnos se apropien de un nuevo contenido por sí mismos? En caso afirmativo señale si tales actividades las planifica para ser ejecutadas en la clase o fuera de ella.

10 ¿Considera que el tiempo destinado en el plan de estudio al tratamiento con funciones racionales fraccionarias es suficiente?

ANEXO 4. Guía de revisión de los programas de Matemática de las Escuela Formadoras de Maestros de la República de Angola. Objetivo: Determinar en los programas de Matemática de las Escuelas Formadoras de Maestros, si en los objetivos y en la orientaciones metodológicas se hace referencia al tratamiento con funciones, en especial a los contenidos relacionados con las funciones racionales fraccionarias. Aspectos a revisar: En los objetivos si refieren exigencias en cuanto a: el aprendizaje de relaciones, funciones y sus gráficos, así las diferentes formas que pueden

ser tratadas. la reflexión de los estudiantes la búsqueda activa de los conocimientos de estos contenidos. En las orientaciones metodológicas: si se expresa el tratamiento a las relaciones y funciones para el aprendizaje. si se hace referencia a potenciar el aprendizaje de las funciones y sus gráficos teniendo en

cuenta las tecnologías.

ANEXO 5 ENCUESTA A LOS EXPERTOS PARA EVALUAR SU COEFICIENTE DE COMPETENCIA

Estimado(a) profesor:

Entre las prioridades de la educación media y media superior en Angola a partir de la Reforma educacional que se lleva a cabo en los últimos años se encuentra la elevación la calidad de la enseñaza con énfasis en las Escuelas Formadoras de Maestros, tomando en consideración que el diagnóstico inicial realizado evidencia que existen deficiencias en el concepto de función, así como en el trabajo con esta y sus aplicaciones en especial con las funciones racionales fraccionarias, se realiza una propuesta de solución a través de un cuaderno de actividades para potenciar el desarrollo de habilidades con estas funciones en los estudiantes de la Escuela Formadora de Maestros de la Provincia de Huambo República de Angola. Para ello es necesario determinar a través de los expertos en la temática, la pertinencia del cuaderno para su implementación, por lo que se requiere de su selección adecuada y se solicita de usted la siguiente información:

Datos Generales:

Nivel de la educación en que labora: ____________________________________

______________________________________________

Labor en la que se desempeña actualmente:

Rector ____ Vicerrector ____ Decano ____ Vicedecano _____ Director_____ J´ Dpto____ J’ de carrera_____ Especialista ____ Profesor ____

Total de años de experiencia en la enseñanza superior: ____, Media:_____ Media Superior___

Total de años en la formación de profesores:_____

Como profesor ¿Qué categoría académica posee? (Válido para los profesores a tiempo parcial en cuanto a su categoría)

Prof. Titular ___ Prof. Auxiliar___ Asistente___ Instructor___

¿Posee algún grado científico?

Doctor ____ Master____ Área del conocimiento: _______________________

I.- Marque con una cruz, en una escala CRECIENTE del 1 al 10, el valor que corresponde con el grado de conocimiento o información que tiene sobre el tema de estudio.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

II.- Realice una autovaloración, según la tabla siguiente, de sus niveles de argumentación o fundamentación sobre el tema:

Grado de influencia de cada una de las fuentes

FUENTES DE ARGUMENTACIÓN ALTO MEDIO BAJO Análisis teórico realizado por usted Su experiencia práctica Trabajos de autores nacionales Trabajos de autores internacionales Participación en eventos realizados a nivel nacional e internacional relativos a la problemática

Su conocimiento del estado del problema en el extranjero

Su propia intuición

Muchas gracias

ANEXO 6

COMPETENCIA DE LOS EXPERTOS

Tabla de Valores del coeficiente de conocimiento (kc), del coeficiente de argumentación (ka)

y coeficiente de competencia (k) de los expertos.

Expertos Coeficiente de conocimiento (Kc)

Coeficiente de argumentación (Ka)

Coeficiente de competencia (K)

1 0,50 0,70 0,60 2 0.80 0.90 0.85 3 0.80 1.00 0.90 4 0,80 1,00 0,90 5 0,50 0,70 0,60 6 0,80 0,90 0,85 7 0,90 1,00 0,95 8 0,60 0,50 0,55 9 0,70 0,70 0,70 10 0,80 1,00 0,90 11 0,80 0,90 0,85 12 0,80 1,00 0,90 13 0,70 0.60 0,65 14 0,80 0,90 0,85 15 0,90 1,00 0,95 16 0,70 0,90 0.80 17 0.90 0.90 0.90 18 0,80 0,90 0,85 19 0,50 0,70 0,60 20 0,80 0,90 0,85 21 0.70 0.80 0.75 22 0,90 0,90 0,90

ANEXO 7

ENCUESTA A LOS EXPERTOS SELECCIONADOS

Estimado compañero:

Teniendo en cuenta que usted ha sido seleccionado como experto en la temática que se evalúa, es preciso que analice el cuaderno de actividades que se le adjunta y ofrezca sus opiniones acerca de él y su posible efectividad o no en la solución a la problemática. Muchas Gracias.

I. Cuestionario sobre la propuesta presentada.

Para la evaluación de sus criterios acerca de la propuesta presentada (Cuaderno de actividades), se indican a continuación varias interrogantes, las cuales contemplan los aspectos que serán objeto de análisis: responda el cuestionario atendiendo a la siguiente escala:

5. Muy adecuada, 4. Bastante adecuada, 3. Adecuada, 2. Poco adecuada, 1. Inadecuada

Cuestionario. 5 4 3 2 1 1. ¿Qué evaluación merece el Cuaderno de actividades que se propone para potenciar el desarrollo de habilidades en la utilización y aplicaciones de las funciones racionales fraccionarias?

2.¿Cree usted que es pertinente la necesidad de ofrecer solución a la situación confrontada por los estudiantes de 12mo grado de la Escuela Formadora de Maestros de la Provincia de Huambo en esta temática.

3. ¿Valora positivo el enfoque de la teoría y la presentación de los ejemplos resueltos y propuestos que se presentan en el cuaderno, así como la utilización del asistente matemático Derive V-5, como complemento para su utilización?

4. ¿Estima que las relaciones entre teoría y práctica así como los ejercicios propuestos guardan relación para de esta forma contribuir al desarrollo de habilidades en los estudiantes en la tematica abordada?

5. ¿Considera usted que las orientaciones propuestas en cada uno de los ejercicios propuestos son factibles?

6¿Es posible contribuir a una mejor comprensión por parte de los estudiantes a partir de la utilización del cuaderno de actividades propuesto en la tematica abordada?

ANEXO 8. CRITERIOS DE LOS EXPERTOS CONSULTADOS.

Tabla 1. MATRIZ DE FRECUENCIAS DE LA ENCUESTA. Cuestionario C1

Muy adecuada

C2 Bastante adecuada

C3 Adecuada

C4 Poco adecuada

C5 No adecuada

TOTAL

P-1 7 3 3 1 1 15 P-2 5 4 2 3 1 15 P-3 6 4 2 1 2 15 P-4 3 5 4 2 1 15 P-5 5 6 2 1 1 15 P-6 8 4 1 1 1 15

Tabla 2. MATRIZ DE FRECUENCIAS ACUMULADAS.

C-1 C-2 C-3 C-4 C-5

P-1 7 10 13 14 15

P-2 5 9 11 14 15 P-3 6 10 12 13 15 P-4 3 8 12 14 15 P-5 5 11 13 14 15 P-6 8 12 13 14 15

Tabla 3. MATRIZ DE FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADA. C-1 C-2 C-3 C-4

P-1 0,4667 0,6667 0,8667 0,9333 P-2 0,3333 0,6 0,7333 0,9333 P-3 0,4 0,6667 0,8 0,8667 P-4 0,2 0,5333 0,8 0,9333 P-5 0,3333 0,7333 0,8667 0,9333 P-6 0,5333 0,8 0,8667 0,9333

Tabla 4. Imagen de cada uno de los valores de las celdas de la tabla de frecuencias acumulativas relativas, por la inversa de la curva normal.

C-1 C-2 C-3 C-4 Suma Promedio N-P P-1 -0,08 0,43 1,11 1,5 2,96 0,74 -0,12 P-2 -0,43 0,25 0,62 1,5 1,94 0,49 0,13 P-3 -0,25 0,43 0,84 1,11 2,13 0,53 0,09 P-4 -0,84 0,08 0,84 1,5 1,58 0,4 0,22 P-5 -0,43 0,62 1,11 1,5 2,8 0,7 -0,08 P-6 0,08 0,84 1,11 1,5 3,53 0,88 -0,26 ∑ -1,95 2,65 5,63 8,61 14,94

Puntos de

corte -0,33 0,44 0,94 1,44 2,49 0,62 N= 14,94/6x4= 0,62

Los puntos de corte sirven para determinar la categoría o grado de adecuación de cada pregunta, según la opinión de los expertos consultados. De manera que:

-0,33 0,44 0,94 1,44

Por tanto evaluando la factibilidad del cuaderno de actividades según las preguntas del cuestionario realizado a los expertos y su procesamiento estadístico, se tienen las siguientes categorías.

Tabla.5 Resultados por categorías según la prueba de concordancia. Preguntas Muy Adecuado Bastante Adecuado Adecuado Poco Adecuado No Adecuado

1 - SI - - - 2 - SI - - - 3 - SI - - - 4 - SI - - - 5 - SI - - - 6 - SI - - -

MA BA A PA NA

MO GRADO DE LA ESCUELA FORMADORA DE MAESTROS FERRAZ...

Documents

Transcript of MO GRADO DE LA ESCUELA FORMADORA DE MAESTROS FERRAZ...