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1. Errores cometidos con el ordenador.

Errores en los datos: Se deben a factores externos como son la precisin de los instrumentos

de medida.

Errores de redondeo: La forma ms sencilla de manejar un nmero real es por su desarrollo

decimal o si el desarrollo es infinito, por una truncacin adecuada.

Errores de truncamiento: Este es el error que se obtiene al usar el algoritmo que implementa

un mtodo numrico ya que se basan en sucesivas aproximaciones a la solucin.

2. Inestabilidad Numrica.

Se dice que un proceso numrico es inestable, cuando los pequeos errores que se producen

en alguna de sus etapas se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud

del clculo en su conjunto.

3. Condicionamiento.

Se usa para indicar cun sensible es la solucin de un problema respecto a pequeos cambios

relativos en los datos de entrada. Un problema est mal condicionado si pequeos cambios en

los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las soluciones.

4. Mtodo de la biseccin.

Sea la nica raz de la ecuacin = 0 en el intervalo , , siendo > 0 y < 0. Se divide el intervalo , en dos partes iguales , , , donde = , es el punto medio de dicho intervalo.

6. Mtodo de Newton-Raphson o de la tangente.

Sea = una funcin tal que , y adems: 1. 2. Signo es constante para todo , Entonces, si , es un punto cualquiera en el que se verifica que "" > 0, la sucesin definida por:

# = #$ #$#$ Converge a un punto , tal que = 0

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7. Si f es continua y & es un cero simple de f, entonces existe un entorno de & y una constante c tales que si se inicia el mtodo de Newton-Raphson en dicho entorno, la sucesin xn es convergente a & y: |()*+ &| -|()*+ &|.

8. Si f es de clase c2, convexa y tiene un cero, entonces el cero es nico y

el mtodo de Newton-Raphson es convergente a partir de cualquier

punto inicial.

Como f es creciente > 0 y como es convexa > 0.

9. Contractividad (Aplicacin Contractiva). Definicin y relacin entre

contractividad y derivabilidad.

Una aplicacin /: , 1222223 4 se llama contractiva si existe un K R con 0 < 5 < 1, de modo que:

7/ /7 5 7 7 A la constante K se le llama constante de contractividad.

10. Funcin localmente Lipschitziana.

F es una funcin localmente lipschitziana o que verifica la condicin de lipschitz (localmente)

si:

|/ /| 5 | | en el intervalo donde sea vlida la desigualdad.

11. Relacin entre continuidad y contractividad.

Comprobar si una funcin contractiva es continua:

Es continua si 9 > 0 ; | | < ; =>? | | < 9 (es decir, existe el lmite y coincide con el valor de la funcin en el punto).

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12. Lema de contraccin. Existencia y unicidad.

Si , 7 7 es un espacio de Banach con la norma eucldea y F es una funcin continua contractiva de X en X, existe un nico punto fijo de F. Demostracin:

1. Existencia:

Comprobamos que F tiene puntos fijos:

a) Por ser iteracin funcional: #*$ = /# b) Por ser contractiva: |/ /| 5 | |

2. Unicidad:

Ahora demostramos que el punto fijo es nico, por reduccin al absurdo:

Suponemos que tiene dos puntos fijos , B. Por ser puntos fijos: / = y /B = B.

13. Teorema del punto fijo de Banach.

Sea /: , 1222223 4 una funcin contractiva de constante K (0, 1) tal que /, , . Entonces F posee un nico punto fijo en , , esto es, que existe un nico , tal que / = .

14. Qu es el polinomio de interpolacin?

Un polinomio de interpolacin es un polinomio de grado , D# que coincide en n+1 puntos , , # que reciben el nombre de nodos, con los valores prefijados , $, , #.

15. Polinomio interpolador de Lagrange.

Considerando una tabla de n+1 puntos distintos (nodos):

X X0 X1 Xn

Y Y0 Y1 Yn

Entonces existe un nico polinomio de grado n, denominado polinomio de Lagrange, = D#, tal que D# = E para todo = 0, 1, , . La expresin explcita de dicho polinomio es la siguiente:

D# = F E GEEH ,# = F E I JE JEH ,#

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16. Polinomio interpolador de Newton.

Lema: Sea D# el polinomio de interpolacin asociado a los puntos , $, , # y los valores , $, , # y sea D#*$ el polinomio de interpolacin asociado a los puntos , $, , #, #*$ y los valores , $, , #, #*$, existe una constante #*$, tal que: D#*$ = D# + #*$ #

17. Interpolacin lineal a trozos.

Consiste en dividir una funcin en trozos donde cada uno de ellos tendr un polinomio de

interpolacin. El intervalo , se parte en trozos que no tienen por qu estar equiespaciados.

= L M , $$ M $, #$ M #$, #

18. Error en la interpolacin lineal a trozos.

Tomamos la definicin de error:

| | |#*$| + 1! PI E#

EH P Como la funcin es lineal n= 1.

| | |""|2 ! | E E*$| 52 E4 5 E8

19. Error en la interpolacin cuadrtica a trozos.

El error cometido lo calculamos de forma anloga al caso lineal.

| | |#*$| + 1! PI E#

EH P Como la funcin es cuadrtica n=2.

| | |"""|3 ! | E E E*$| 5W3 ! 336 W 5W 3216 W

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20. Interpolacin cubica a trozos (Interpolacin Spline).

Consiste en construir una funcin S que en cada subintervalo es un polinomio, verificando

ciertas condiciones de continuidad y derivabilidad en los extremos de cada subintervalo. Se

verifican las siguientes condiciones:

1. S debe ser un polinomio de grado 3 en cada subintervalo.

2. S debe ser de clase C2 en el intervalo , (continua y derivable al menos 2 veces en el

intervalo , ). 3. S debe ser interpolatorio.

4. Condiciones de frontera.

21. Interpolacin de Hermite.

Teorema: existe un nico polinomio P(x) de grado m que satisface la condicin de interpolacin de Hermite:

DJE = ZEJ [ 5E 1 \] 0 El grado del polinomio ser = n de condiciones 1.

22. Interpolacin cbica de Hermite a trozos.

Dada una funcin derivable : , 1222223 4 y + 1 puntos = < $ < < #$

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24. Definicin de una EDO.

Una ecuacin diferencial ordinaria de orden K es una relacin entre la variable independiente

x, la variable dependiente y(x), y las sucesivas derivadas de sta ltima hasta el orden K, , , "", , _. Se puede escribir como sigue:

/, , , "", , _ = 0

Definicin: Se denomina solucin de una EDO de primer orden, " = , , a toda funcin = tal que satisfaga la siguiente igualdad: " = ,

Definicin: Se denomina solucin general de una EDO de primer orden, " = , , a toda funcin = , , donde 4, tal que satisface la siguiente igualdad: " = , ,

25. Problema de Cauchy o del PVI.

Se llama problema de Cauchy o problema del valor inicial (P.V.I.) al conjunto formado por una

EDO y una condicin inicial:

`" = , , , =

26. Mtodos Unipaso y Multipaso.

Mtodos de paso simple o unipaso: Se calcula E*$ a partir de la informacin proporcionada por E.

Mtodos de paso mltiple o multipaso: Se calcula E*$ a partir de la informacin proporcionada por los valores E, , Ea, y del teorema fundamental del clculo, segn el cual:

E = J + b , cdedf

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27. Teorema de Dalquist.

Definicin teorema de Dalquist: La condicin necesaria y suficiente para que un mtodo

numrico sea convergente es que sea consistente y cero-estable.

# g 12222223 # 1. Cero-estable:

Un mtodo es cero-estable, cuando pequeas perturbaciones de las condiciones iniciales del

problema producen pequeas perturbaciones de la solucin.

La condicin necesaria y suficiente para que un mtodo numrico sea cero-estable es que

todas las races del polinomio caracterstico sean de mdulo 1 y las de mdulo 1 deben ser simples, es decir, no valen races repetidas (no pueden ser races de las derivadas).

2. Consistencia:

Un mtodo es consistente si:

limg 4#*_ = 0 Lkl \lm ]no]Mn coo noo] ]q 1: D1 = 0 "# = rs #, #, , #, #, 0D1

28. Mtodos de Runge-Kutta.

Se define el mtodo general de Runge-Kutta de S etapas para el problema del valor inicial

(PVI): " = , = t : 44u 1222223 4u

Por la expresin:

#*$ = # + F EvEH$ wE \] = 1, ,

Si = 1 (una etapa): #*$ = # + $ w$ w$ = # + $ , # + $$ w$

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Si = 2 (dos etapas): #*$ = # + $ w$ + w w$ = # + $ , # + $$ w$ w = # + , # + $ w$ + w

29. Convergencia en los mtodos de Runge-Kutta.

La condicin necesaria y suficiente para que un mtodo de Runge-Kutta de S etapas sea

convergente es que: $ + + + v = 1 Demostracin:

Tenemos que demostrar que es cero-estable y consistente.