CONSTRUYENDO

MIS CONOCIMIENTOS

NÚMEROS RACIONALES (Q)Objetivos

Construir el conjunto de los números racionales a partir de la relación de equivalencia.

Identificar e interpretar las fracciones. Obtener los números avales e interpretarlos. Efectuar cambios de base con los números avales. Reconocer a las fracciones continuas y clasificarlas. Expresar un número racional e irracional como una fracción continua

simple.

1. Halle una fracción equivalente a 2136 , tal que su numerador sea excedido por su denominador en 50.

A) 7/12 B)30/80

C)210/300 D) 70/120 E) 14/24

Resolución:

2. Ruth y Edwin salen a la avenida con 120 soles y sufren tres robos

sucesivos, perdiendo 12

, 13

y 14

del dinero que iba quedando

¿Con cuanto se quedaron al final?

A) s/. 20 B) s/.40 C) s/.30 D) s/: 15 E) s/. 25Resolución

3. En una reunión se sabe que 2/3 eran varones. De las mujeres 2/3 eran casadas y 6 solteras. ¿Cuánto representa la tercera parte del total de hombres?

A) 10 B) 24 C) 12 D) 6 E) 18Resolución

REFORZANDO

MIS CAPACIDADES

4. Se reparten “n” soles entre las personas A, B y C de manera que A reciba la mitad de B y C reciba la cuarta parte de todo el dinero. ¿cuanto recibe A?

A) n/4 B) n/2 C) n/8 D) 3n/8 E) N.A. Resolución:

5. Efectuar : Ε=3131

1313+1212

2626+4545

3939 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Resolución

6. La mitad de una fracción “m” es igual a 1/5 y la tercera parte de otra “n” es igual también a 1/5; entonces m+n=?

A) 2/5 B) 3/5 C) ½ D) 1 E) 2 Resolución:

1. ¿Qué número racional no puede corresponder a “n” si : 1/8 <n < ½

A) 3/8 B)1/4 C) 5/16 D) 3/5 E) 1/3

2. El número total de octavos en dos enteros y tres cuartos es :

A) 1 B) 14 C) 19 D) 22 E) 24

3. Hallar:

A=

25+ 1

24+ 1

8−13

1206

13+1 1

5+ 2

65

a) 3 9

48 b) 1348 c)

3 913

d) 12 e) 1

4. De ¼ restar un 1/5, restar 1/3 de ¾, sumar estas diferencias y dividirlo entre la diferencia de 2/7 y 1/5. Hallar la séptima parte del cociente anterior.

A) 3/2 B) 9/7 C) 7/9 D) 2/3 E) 3/5

5. ¿Cuántas veces esta contenido lo que le falta a ¾ para ser igual a 1 en lo que le falta 3/2 para ser igual a 5?

A) 13 B) 52 C) 14 D) 78 E) 39

6. ¿Cuánto le falta a 1/5 de 4/5 para ser igual a ¼ de 4/5?

A) 3/20 B) 2/25 C) 1/20 D) 1/25 E) 1/15

7. Hallar: AB; sabiendo que :

A=8( 45 )

−2−( 2

3 )−3−(8

9 )−1

B=( 33√9 )

−3

A) 1 B) 2 C) 8 D) 9 E) 16

8. ¿Cuál es la fracción equivalente a 70/98, tal que el producto de sus términos sea315?

Dar la diferencia de sus términos.

A) 18 B) 10 C) 12 D) 6 E) 8

9. Encontrar la fracción entre 2/13 y 41/52 cuya distancia en la recta numérica a la primera sea el doble de la distancia a la segunda.

A) 13/26 B) 14/26 C)15/26 D) 17/26

E) 21/26

10.Efectuar el producto:

P=(1− 14 )(1− 1

9 )(1− 116 ). . .. ..(1− 1

100 )A) ½ B) 11/20 C)111/201 D) 99/101 E) 1/99

NÚMEROS DECIMALES

INDICADOR.- Identificar e interpretar los números decimales.

Números Decimales.

Es la expresión en forma lineal de un valor determinado que consta de dos partes: una parte entera y una decimal separadas ambas por una coma:

El número decimal puede obtenerse dividiendo el numerador entre el denominador de una fracción.Ejemplos:

35=0,6

133=4 ,3333 . .. .

14200

=0 , 07

1790

=0 , 1888 .. .. .

Los números decimales generados así se clasifican en: Decimal exacto Decimal inexacto

1. Decimal Exacto : Posee limitada cantidad de cifras en la parte decimal. Una fracción irreducible dará origen a un decimal exacto, cuando el denominador es una potencia de 2, potencia de 5 o producto de potencias de 2 y 5 únicamente.

Ejemplos:

14= 1

22=0 , 25

(dos cifras decimales)

3125

= 353

=0 , 024(tres cifras decimales)

67500

=6722 x 53

=0 ,134(tres cifras decimales)

7400

= 724 x 52

=0 ,0175(cuatro cifras decimales)

Observación.

La cantidad de cifras decimales esta dada por el mayor exponente de 2 o 5 en el denominador de la fracción irreducible.

Fracción Generatriz:Es la fracción que genera los números decimales. En un decimal exacto menor que 1, la fracción generatriz será la fracción que tiene como numerador al numero formado por las cifras decimales y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el numero.

0, 235=2351000

=47200

3,24= 3+24100

=3+ 625

=8125

2. Decimal Inexacto :

2.1. Decimal inexacto periódico puro.Es el decimal que posee una cantidad ilimitada de cifras en la parte decimal que se repiten infinitamente. Estos decimales son originados por fracciones irreductibles cuyo denominador esta formado por factores primos diferentes a 2 y 5.

Ejemplos:

73=21

9=2, 333 .. .=2 , 3

(una cifra periódica)

3111

=27999

=2 , 818181. . ..=2, 81(dos cifras periódicas)

13333

= 39999

=0 ,00030003. .. .=0 ,0003(cuatro cifras periódicas)

Observaciones.

La cantidad de cifras periódicas está por el menor número formado únicamente por cifras nueve que contiene exactamente al denominador de la fracción irreducible.

Tabla de los nueves: 9 = 32

99 = 32 x 11 999 = 33 x 37 9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 32 x 41 x 271 999999 = 33 x 7 x 11 x13 x 37 9999999 = 32 x 239 x 4649

Si el denominador de la fracción irreducible es el producto de varios factores primos diferentes, el número de cifras periódicas está dado por el MCM de la cantidad de cifras de los menores números formados por cifras 9 que contengan a los factores primos indicados.Ejemplo.

111 x37 }¿11 es contenido por 99 (doscifrasperiódicas) ¿

37 es contenido por 999 ( trescifrasperiódicas) ¿

¿ ¿

MCM(2,3)=6 Tendrá seis cifras periódicas

Fracción Generatriz.La fracción generatriz de un decimal inexacto periódico puro, menor a 1, se obtiene al colocar en el numerador el número formado por las cifras del periodo y en el denominador tanto nueves como cifras tengan el periodo.

Ejemplos:0,7 2=72

99= 8

11

0 ,10 { 4=104999

¿

En general: 0 , abc . . ..m=abc . . .. m

999 . .. . 9

2.2. Decimal inexacto Periódico Mixto Posee un conjunto de cifras que no se repiten (cifras no periódicas) y otro conjunto de cifras que se repiten en forma periódica (cifras periódicas).

Ejemplos:

2,37777… = 2,3 7

0,31444… = 0 ,31 { 4¿

0,23567567… = 0 , 23567

Las fracciones irreductibles que dan origen a estos números decimales, poseen en el denominador, productos de potencias de 2 o 5 y además factores primos diferentes de 2 y 5.

755

= 751 x 11

=6351 x99

=0 ,127 una cifra no periódica

dos cifras periódicas

13148

=1322 x 37

=35122 x999

=0 ,08783 dos cifras no periódicas

tres cifras periódicas

Observación:

Para encontrar la cantidad de cifras periódicas y no periódicas se procede según se indica en los casos anteriores.Ejemplo.

723 x5 x 41 tres cifras no periódicas, ya que el mayor exponente de 2 es 3. cinco cifras periódicas ya que 41 está contenido en

99999.

Fracción Generatriz.La fracción generatriz de un decimal inexacto periódico mixto, menor a 1, será la que tenga en el numerador la diferencia entre el numero formado por las cifras no periódicas y las cifras del periodo, menos el número formado por el periodo; y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.

0 , 12 {3=123−1

990=122

990=61

495¿

2 ,3542 {1=2+35421−35

99900=235186

99900¿

En general: 0 ,m ab=mab−m

990

Aplicación:

Simplificar M=

(2 ,15 )(5)(3 ,5−1,83 )(3,1 )(0 ,101 )(71 )(9 ,7−6 ,4 )

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 2/3

Resolución:

Como: 2 ,15=2+15

99=2+ 5

33=71

33

3 , 5=3+ 5

9=32

9

1,8 3=1+83−8

90=1+75

90=1+ 5

6=11

6

3,1=31

10

0 ,101=101−1

990=100

990=10

99

9,7=9+ 7

9=88

9

6 , 4=6+ 4

9=58

9

CONSTRUYENDO

MIS CONOCIMIENTOS

1. ¿Qué número real esta completado entre “a” y “b” si: a=7/30 y b=0,25?

A) 0,233 B) 6/25 C)11/50 D) 3/11 E) N.A.Resolución

2. El decimal periódico: 0,4818181… equivale a la fracción

A)1225 B)

53110 C)

1125

D) 125251 E)

2655

Resolución

3. Simplificar:

S= ( 3√0 , 216−√0 ,4 )÷(0 ,1666 . .. .+0,1 )

a) 0,25 b) 0,2 5 c)-0,2 5d) -0,25 e) -0,75Resolución

4. Hallar la fracción generatriz de:0 ,(2 a )(2 a)

a) 12a

9 b) 12 a99 c)

2 a9

d) 2 a25 e) N.A

Resolución

5. Calcular “R”

R= 1,1+2,2+3,3+. .. . 9,91 ,1+2, 2+3 , 3+.. . .+9 , 9

a) 1 b) 0,95 c) 0,99d) 0,9 e) 0,91Resolución

6. Si: a5+ b

11=0 ,78 { 1¿

Hallar a+ba) 3 b) 4 e) 5d) 6 e) 7Resolución

REFORZANDO

MIS CAPACIDADES

1. Dados los números: 0, ab =b−5

6

y 0, ba = 5 a+618 . Hallar la tercia

cifra decimal que resulta al sumarlos

A) 3 B) 6 C) 5 D) 4 E) 7

2. Calcular : a + b + c; si:ab

100+ bc

100+ ca

100=4 , 18

a) 18 b) 28 c) 38d) 48 e) 58

2. Calcular: (a + 2 )2; si:

a

11 = 0, 4 5

A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 E) 49

3. La generatriz de 0,1666… es :

A) 4/25 B) 1/9 C) 2/5

D) 1/6 E) 633500

4. Calcular: Ε= (0,2333…). (0,23535…)-1

A) 233/230 B) 230/233 C) 322/230 D) 2306322E) 1

5. Hallar: a + b; a

11+ b

3=

0,969696…

A) 5 B) 8 C) 6 D) 7 E) 9

7. Calcular la fracción equivalente a:

(√2 ,333 . ..+√0 , 58333. .) 2

A) 21/2 B) 21/8 C) 21/4 D) 21/16 E) 7/3

8. La fracción decimal equivalente a:

(√0 ,91666 .. .+ √3 , 666. . .)2 es:

A) 7, 52 B) 8, 25 C) 8, 77 D) 8, 97 E) 8, 18

9. ¿Cuál es la última cifra del periodo

de: 31

19 ?

A) 1 B) 3 C) 4 D) 7 E) 8

10. Efectuar:

√1 , 25−0,8√125−√0,8

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

FRACCIONES

OBJETIVOS.

Potenciar el manejo adecuado de una fracción como expresión de comparación de dos cantidades.

Desarrollar la habilidad del lector para resolver problemas relacionados con fracciones.

FRACCIÓN

Se denomina así a la división indicada de la forma: ab

donde: a y b pertenecen a los enteros positivos (Z+). Al dividir “a” entre “b” el resultado no es exacto; es decir a b

Ejemplo. Las siguientes expresiones no son fracciones.

3−5

, −27

;−5−8

; √25

; π2

; 1/24

;123

; 55 ……………..

Las siguientes expresiones si son fracciones:

86

; 28

; 7213 ;

54 ;

11113395

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FRACCIÓNPara representar gráficamente a una fracción, debemos considerar lo siguiente:

Ejemplo:3/5 indica que debemos tomar 3 de 5 partes:

Ejemplo:Si de una torta queremos tomar 2/7; debemos dividir el total en 7 partes iguales y tomar 2.

Nota:Para graficar una fracción en el cual el numerador es mayor que el denominador; es necesario considerar la unidad varias veces.

Ejemplo:Representar gráficamente 7/3

CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES

1. POR LA COMPARACIÓN DE SU VALOR RESPECTO DE LA UNIDAD:

a. Fracción propia Son aquellas en la cual el numerador es menor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es menor que la unidad.

fracción propia: ab a> b

Ejemplo: 47

; 211

; 320

; 89

; . ..

b. Fracción impropia. Son aquellas en la cual el numerador es mayor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es mayor que la unidad.

Fracción impropia :

ab a< b

Ejemplo: 53

;1612

;2111

;154

; .. .

Nota:De las fracciones impropias se derivan los números mixtos:

154=

334

334 se denomina número mixto, porque tiene una parte entera y una

parte fraccionaria.

2. POR SU DENOMINADOR : a. Fracción decimal. Cuando su denominador es una potencia de 10

Ejemplos: 11100

; 910

;211000

;3232310000

; .. .

b. Fracción ordinaria Cuando su denominador no es una potencia de 10.

Ejemplos: 37

; 5101

; 73000

;2520

;11290

3. POR LA RAZON DE IGUALDAD O DESIGUALDAD ENTRE SUS DENOMINADORES

15 4

12 3

a. Fracciones homogéneas Es el conjunto de fracciones que tienen igual denominador.

Ejemplo: 37 ;

57 ;

17 ;

1017

b. Fracciones heterogéneas. Es un conjunto de fracciones que tienen diferente denominador.

Ejemplo:

34 ;

57 ;

89 ;

125

4. POR LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS:a. Fracción reductible.Cuando su numerador y denominador poseen factores en común (no son primos entre si).

Ejemplos : 36 ;

2130 ;

12144 ;

100384 ;…

b. Fracción irreductible. Cuando su numerador y denominador no poseen factores en común (son primos entre si).

Ejemplo: 1320 ;

73 ;

511 ;

1017 ; …

5. FRACCIONES EQUIVALENTES: Son aquellas fracciones que utilizando términos diferentes expresan una misma parte de la unidad.

Se observa que:

FRACCIÓN DE FRACCIÓN.Es una fracción tomada de otra fracción respecto de la unidad.Ejemplo:Determine la tercera parte de la mitad de la cuarta parte de la figura indicada.

Resolución.

CONSTRUYENDO

MIS CONOCIMIENTOS

1. La fracción equivalente a:P=5,4+0,027+0,00027 + 0,0000027+… En su forma irreductible, tiene como suma de términos:

A) 591 B) 721 C) 707 D) 497 E) 373Resolución:

2. PITONISO tenia S/. 40 y sólo gastó S/ 10.I. ¿Qué fracción de lo que tenía gastó?II. ¿Qué parte de lo que no gastó, gastó?III. ¿Qué fracción es lo que no gastó, de lo que tenia?Resolución:

1. Si a la cuarta parte de los 25 de un número, se le agrega los

25 de sus

38 y se

resta los 3/8 de su quinta parte, se obtiene 21. ¿Cuál es el número?A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 120Resolución:

2. En la figura (triángulo equilátero) ¿Qué fracción de lo sombreado es la no sombreado?.

A) 3/5 B) 5/3 C) ½ D) 5/7 E) 1/3

REFORZANDO

MIS CAPACIDADES

Resolución:

3. Si se quita 4 al denominador de una fracción cuyo numerador es 3, la fracción aumenta en una unidad ¿Cuál es la fracción?

A) ¾ B) 3/7 C) 3/5 D) 3/8 E) 3/6Resolución:

4. En una carreta llena de frutas pesa 30 Kg., cuando contiene los 2/3 de su capacidad pesa los 7/9 del peso anterior ¿Cuánto pesa la carreta vacía?

A) 8 Kg. B) 12 Kg. C) 10 Kg. D) 9 Kg. E) 15 Kg.Resolución:

1. Se tiene dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero, más los cinco tercios del Segundo. El consecutivo de la suma de los números es:

A) 18 B) 17 C) 19 D) 20 E) 21

2. Un cilindro se encuentra lleno hasta sus 5/6 se consumen 3/8 del liquido. Hallar la capacidad de la parte vacía del cilindro.

A) 23/48 B) 25/48 C) 5/16 D) 11/24 E) 13/48

3. En la mitad de un terreno se siembra camote, en la tercera parte del resto se siembra papa y en los 2/7 partes de lo que queda se siembra maíz. ¿Qué fracción del terreno no sembrada con papa, quedo sin sembrar?

A) 2/21 B) 1/6 C) 2/7 D) 5/14 E) 10/21

4. Una persona recibe viáticos por 4 días. El primer día gasto la quinta parte; el segundo día gastó 1/8 del resto; el tercer día los 5/3 del primer día; el cuarto día el doble del segundo día y aún le quedó S/. 15. ¿Cuál fue la cantidad entregada?

A) S/.50 B) S/. 75 C) S/.150 D) S/. 45 E) S/ 90

5. En un salón de la Academia sólo asisten a un examen los 2/3 de los alumnos, y de éstos aprueban los 3/7; si los desaprobados son 24. ¿Cuántos alumnos hay en dicha aula?

A) 24 B) 23 C) 36 D) 63 E) 966. Una bola de PING – PONG cae desde una altura de 108 cm. Sobre una mesa de

mármol. Cada vez que toca a la mesa, rebota y se eleva a una altura igual a la tercera parte de la altura igual a la tercera desde la cual cayó. ¿A que altura se elevará la bola después de haber tocado a la mesa por tercera vez?

A) 5 cm. B) 4 cm. C) 3 cm. D) 9 cm. E) 12 cm.

7. Gasté los 3/5 de lo que no gasté y aún me quedan S/ 60 más de lo que gasté ¿cuánto tenía? (en soles).

A) 150 B) 190 C) 200 D) 250 E) 240