Ministerio de Cultura y Educacioacuten

Geometrfa

Materiales de Capacitacioacuten

Direccioacuten Nacional de Gestioacuten de Programas y Proyectos

Programa NacioDal de Capacitacioacuten Docente

======-========================= MINISTERIO DE CULTIJRA y EDUCAfION

Ministro de Cultura 1 Educacioacuten

Ing Agr Jorge Alberto Rodriacuteguez

Secretaria de Programacioacuten 1 Evaluacioacuten

Educativa

Lic Susana Beatriz Oecibe

Sub-t de Programacioacuten 1 Geatloacuten Educativa

Lic InN Aguerrondo

Dlntclor Naiexcllonaf de GelJdoacuten de Programu y Proyectos

Prof Darlo Pulfer

Coordil1lldonl del Programa Naclonal de FonmtCfoacuten 1 Capacitacioacuten Docente

Prof Cristina Armendano

bullbullbull 5 advierta antr J08 mtemaacuteticos un imashypinac16n bullbullombrobullbullbullbullbull Rpetimo Mitiacute maacutes i~ glnaciOn n Ja cabza d Arquiacutemedbullbull que en la d H~roH

Voltair

Qio4o EL 110 QUE CALCULA - 1601bG hGn V E bull cLonca -t ~

En et m6dulc no acercamo a uted para hacerl 11~ ar una propueta para la eneKanza de alguno tma de Geomtr1a Se trata dbullbullugrencia e ida qua cramo pueden ervir para deshypertar en nubullbulltro alumno la imainact6n matem~t1ca para ayudarshylo a conocr la propiedadeG gameacutetrica del mundo qua 10 rodea

Rcordamos qua dbn bullbullr nubullbulltros alumnos si bin con nubullbulltra guia 10 dbullbullcubridorbullbull d bull bullbullbull mundo medianteu actishyvidad cratlva ~a 1ntuici6n y 1 rigor dben unire en el etudio de la eomtria

~ta bullbullbullimplemente como ya dijimo una propuesta Valorarmo toda ugrncia y opiniOn qu noa haa llgar

Equipo d Cpcitci6n 4re ~temaacuteticbullbull

1

bullbullbull 5 advierta antr J08 mtemaacuteticos un imashypinac16n bullbullombrobullbullbullbullbull Rpetimo Mitiacute maacutes i~ glnaciOn n Ja cabza d Arquiacutemedbullbull que en la d H~roH

Voltair

Qio4o EL 110 QUE CALCULA - 1601bG hGn V E bull cLonca -t ~

En et m6dulc no acercamo a uted para hacerl 11~ ar una propueta para la eneKanza de alguno tma de Geomtr1a Se trata dbullbullugrencia e ida qua cramo pueden ervir para deshypertar en nubullbulltro alumno la imainact6n matem~t1ca para ayudarshylo a conocr la propiedadeG gameacutetrica del mundo qua 10 rodea

Rcordamos qua dbn bullbullr nubullbulltros alumnos si bin con nubullbulltra guia 10 dbullbullcubridorbullbull d bull bullbullbull mundo medianteu actishyvidad cratlva ~a 1ntuici6n y 1 rigor dben unire en el etudio de la eomtria

~ta bullbullbullimplemente como ya dijimo una propuesta Valorarmo toda ugrncia y opiniOn qu noa haa llgar

Equipo d Cpcitci6n 4re ~temaacuteticbullbull

1

middot UNA PROPUESTA METODOLOGICA

2

Un propuesta dsdm la primera clase d Gomtri hbullbullt bullbullbullbull alshygoacuten memnto de los aho siguients

I-TRIANGULOS

Pedimobullbull nubullbull tros alumnos qu para la proacuteMima ciabullbull o 1bullbull llvamos nosotros 1 varioa triaacutengulos rcortadobullbulln hst pud ar de dirie)

Qu busquen quis tinen triaacutengulos igulbullbull a le d otro iquestCoacutemo hacen para abrlo iquestLos superponn iquestMidn les ldos Si al superponerlos ceincidn no cabe duda son iguales iquestY si midn lo lados Tmbieacuten

iquestVln lo mismos criterios para comparr rectaacutengulos cudrishylaacutetero poligonos culsquiara circulos Qu discutn

Lo idal bullbullrl abullbulln 1 la hubia SltIIIP oblto dishyponiolbullbull para qu 10 alumno a quisiran rcurrirn ala qy Jbullbull parciran convnilSntbullbull (no Jo qu nootro l bullbull dcimo) ~ 1_110 caita d distinta 1orlllbullbull y tamaho (i bullbull poibl a1l1ushyna qu na n para1lp1pdo) 1ra d tlflapar cartyJina en 1orma d distintos po1gonos variJla bndabullbulllaacuteticahilabullbull

Continuamos preguntando o trtando d qu s prguntn iquestPashyra bullbullfra cubos Va a ser dificil suprponrlo ESCUChamos propubullbulltas

iquestPara bullbullgmnto aacutengulos Aquis posibl qu aparbullbull ca pOr primra vz el problma da la infinitud iquestl aacutengulo e hast dond lo dibujamos o sigue hasta el infinito bull

Intntmcs hora bullbull tblacr critrio para ver si on igUAlbullbull sin suprponrloB n cda c bullbullc

SlImento bullbull faacutecil Miden lo mismo Tienn igual longitud Pudn mdirs COn una regla

Circulas bbullbullta con que tengan igual radio O igual diaacutemetro iquestEsfras Tambilttn iquestOtros criterio iquest)ong1 tud d su ecuashy

dor iquestCubos Igual lado que e llama arieta iquestTriaacutengulos Los triaacutengylo estaacuten formdos por lado que son

sellmntos Y por aacutengulos Dos triaacutengulos son iguals cuando tinn sus tres lado y su tres AnllUlos respectivamnt igual bullbull (rspcshytivamente nO aparcllraacute naturalmente) Pero es muy probabl qubullbulla

Un propuesta dsdm la primera clase d Gomtri hbullbullt bullbullbullbull alshygoacuten memnto de los aho siguients

I-TRIANGULOS

Pedimobullbull nubullbull tros alumnos qu para la proacuteMima ciabullbull o 1bullbull llvamos nosotros 1 varioa triaacutengulos rcortadobullbulln hst pud ar de dirie)

Qu busquen quis tinen triaacutengulos igulbullbull a le d otro iquestCoacutemo hacen para abrlo iquestLos superponn iquestMidn les ldos Si al superponerlos ceincidn no cabe duda son iguales iquestY si midn lo lados Tmbieacuten

iquestVln lo mismos criterios para comparr rectaacutengulos cudrishylaacutetero poligonos culsquiara circulos Qu discutn

Lo idal bullbullrl abullbulln 1 la hubia SltIIIP oblto dishyponiolbullbull para qu 10 alumno a quisiran rcurrirn ala qy Jbullbull parciran convnilSntbullbull (no Jo qu nootro l bullbull dcimo) ~ 1_110 caita d distinta 1orlllbullbull y tamaho (i bullbull poibl a1l1ushyna qu na n para1lp1pdo) 1ra d tlflapar cartyJina en 1orma d distintos po1gonos variJla bndabullbulllaacuteticahilabullbull

Continuamos preguntando o trtando d qu s prguntn iquestPashyra bullbullfra cubos Va a ser dificil suprponrlo ESCUChamos propubullbulltas

iquestPara bullbullgmnto aacutengulos Aquis posibl qu aparbullbull ca pOr primra vz el problma da la infinitud iquestl aacutengulo e hast dond lo dibujamos o sigue hasta el infinito bull

Intntmcs hora bullbull tblacr critrio para ver si on igUAlbullbull sin suprponrloB n cda c bullbullc

SlImento bullbull faacutecil Miden lo mismo Tienn igual longitud Pudn mdirs COn una regla

Circulas bbullbullta con que tengan igual radio O igual diaacutemetro iquestEsfras Tambilttn iquestOtros criterio iquest)ong1 tud d su ecuashy

dor iquestCubos Igual lado que e llama arieta iquestTriaacutengulos Los triaacutengylo estaacuten formdos por lado que son

sellmntos Y por aacutengulos Dos triaacutengulos son iguals cuando tinn sus tres lado y su tres AnllUlos respectivamnt igual bullbull (rspcshytivamente nO aparcllraacute naturalmente) Pero es muy probabl qubullbulla

te de que lleguen a decir lo anterior algunos alumnos hayan proshypuesto basta que los lados ~oin~idan no hace falta medir tambieacuten los aacutengulos

Oue lo verifiquen para varios tringulos Oue intenten con lo tres lados de un triaacutengulo (se puede trabiljar con varillas) construir otro distinto

iquestSeraacute 10 mismo para los ~uadrilaacuteteros Que busquen y discutan ellos Que vean que en algunos ~asos particulares (rctngulo por eJemplo) vale y en otros no Glue construyan rombos distintos con lados respectivamente iguales

EnunciamoSI Si dos triaacutengulos tienen los tres lados rspectivame~

te iguale seguro que sOn igualebullbull

iquestV si dos triaacutengulos tienen los tres aacutengulos respectivamente iguales Nuevamente que busquen discutan respOndan ellos Dib~ jar caos buscar ejemplos de triaacutengulos distintos cOn aacutengulos ishyguales

Algunos Jercicios sugeridosl

1) Buscar otras figuras que nO Sean triaacutengulos In las que alcance con la igualdad de lados para asegurar que sOn iguales

2) Buscar objetos en los que apare~can triaacutengulos Por ejemplor piraacutemides

3) iquestHay piraacutemides con todas sus caras triangulares iquestY con todas sus caras triangulares iguales

uchos eJf1rcicios tndraacuten r pustbullbull prrvifllrribullbull En Jgushyno csos maacutes delnte podraacuten compltrbullbull con Justificacione rishyguro Lo importnte bullbull que lo alumno vyan famiJiarizaacutendose con entes geomeacutetrico plno y bullbullpaciaJbullbull pJantndos preguntbullbull ingniaacutendobullbull pra rbullbullpondrla

4) Dar tres segmento cualesquiera y construir el triaacutengulo que los tiene por lados iquestSiempre existe iquestPuede haber distintos

Es una oportunidad para relacionar el tema Con aritmeacutetical de~ igualdadebullbull

5) Si ya dio ejes cartesianOSl Dibujar el tringulo cuyos veacutertices son 10 puntos (12) (05) (43) D1buj ar otro i gual a eacutel y cOn un veacutertice en (00) iquestPuede dibujarse otro de peshyrimetro doble iquestTienen alguna relacioacuten sus lados con los del tri~ gulo anterior iquestSiempre

4

II bull ALGUNOS TRIANOULOS PARTICULARES

~lvamo tetraedro re9~lares dearmado para que nobullbullea mA coacutemodo

Que lo chico lo armen Da pao tienen la repueta del eshyjercicio 3 anterior Sugerimos doblar para adentro una de la cuashytro earbullbull Como si no existiera para poder mirar dentro del tetrashydro

Su carbullbullbullon triaacutengulo equilAterobullbull iquestau quer1 decir De pbullbullo etimologia de la plabra

iquestcoacutemo son 10 6ngulos de eada cara Medirlo Seguramente no obtendraacuten iempre 60- pero si vlorebullbullprowimdo a te Aproveshychr prbullbullbullegurar el manejo dal tranportador

iquestSiempre valdraacuten todos 10 mimo iquestY ee vlor er 60-7 A v qua construyan ella otros ttrbullbulldros ~bullbull grands normbullbull O mA pequefto pequeniimo Que e ingenien par contruirlobullbull Flieguen midan bull MA adelante volveremos obre eto y dremo una pubullbull t bullbullbullur~

Triaacutengulo ioacutescels Un tri6ngulo que tiene do lado iguale se llama

ioacutescel bullbullbull

iquestY i t1ene lo tres iguale e equilAtero pero podemos co~ idrarlo un triAacutengulo i6cele muy prticulr pues cumple la condicioacuten exigida dos lados i9~ale y el tereero aunque no lo pidmobullbullbullbull tambi4n e igual

Al tercer lado el que no bullbulltaacute obligado a er igual lo llamshyremos bbullbullbullbull aunque el triaacutengulo no eteacute poyado obre 1

II bull ALGUNOS TRIANOULOS PARTICULARES

~lvamo tetraedro re9~lares dearmado para que nobullbullea mA coacutemodo

Que lo chico lo armen Da pao tienen la repueta del eshyjercicio 3 anterior Sugerimos doblar para adentro una de la cuashytro earbullbull Como si no existiera para poder mirar dentro del tetrashydro

Su carbullbullbullon triaacutengulo equilAterobullbull iquestau quer1 decir De pbullbullo etimologia de la plabra

iquestcoacutemo son 10 6ngulos de eada cara Medirlo Seguramente no obtendraacuten iempre 60- pero si vlorebullbullprowimdo a te Aproveshychr prbullbullbullegurar el manejo dal tranportador

iquestSiempre valdraacuten todos 10 mimo iquestY ee vlor er 60-7 A v qua construyan ella otros ttrbullbulldros ~bullbull grands normbullbull O mA pequefto pequeniimo Que e ingenien par contruirlobullbull Flieguen midan bull MA adelante volveremos obre eto y dremo una pubullbull t bullbullbullur~

Triaacutengulo ioacutescels Un tri6ngulo que tiene do lado iguale se llama

ioacutescel bullbullbull

iquestY i t1ene lo tres iguale e equilAtero pero podemos co~ idrarlo un triAacutengulo i6cele muy prticulr pues cumple la condicioacuten exigida dos lados i9~ale y el tereero aunque no lo pidmobullbullbullbull tambi4n e igual

Al tercer lado el que no bullbulltaacute obligado a er igual lo llamshyremos bbullbullbullbull aunque el triaacutengulo no eteacute poyado obre 1

Por un punto de una recta paan en el epacio infin~ t bullbull rectas perpendiculares a ella y todas etAn en un mi~ 1110 plano

Un jmplo CUAndo estamos de pie Mubullbulltro tlaja n bullbull pRrpdishy

eulr al plano dl piso

iquestY si consideramos la recta en un plano y un punto en lla iquestCuntas perpendiculars pasan por bullbullbull punto en ee plano

Por un punto de una rRctamp n un plano p una ySOacutelo una perpendicular

sbullbullbullhora un rRcta y un punto fuera dbullbullll~ iquestPsan diculre iquestCu~ta iquestY acivina qu6 le Vamos a decir lo rUga qu busquen ensayen s bull bull rrisgUIIn

Por un punto ~trio~ bull una recta p una y oacutel0 una prpndicular en todo _1 Rpaeio

1) iquestCu6ntas rectas perpendiculares dos a dos pueden pbullbullar por un punto en el plano iquestYen el epacio

2) Volver a examinar la pirAmide recta construida iquestPor qu la llamamos recta Indicarlo usando conceptos geomtricos

3) De los pOliedros conocidos iquesthay alguno con su eaa perpendiculars

Se llama mediatriz de un segmento en un plano a la recta perpendicular a dicho segmento en el plano en 11 punto medio

Prgpiedad (que usremos mucho) Lo puntos de la madiatriz etAn a igual distancia

de ambos extremos del segmento

11

plano pro al ubicar 1 cntro d 1bullbullbullfr bull bullbull tin_n ~utro y nshyton~ebullbullbullte puede etar an ~ualquier punto de una recta iquest~ul)

Podrlamos continu~r aSil

Od en un plano una ract e se llama simetria da aJe la corrasponden~1 entre 10$ punto de dicho plano que a cda punto A la asigna un A tal que as la madiatriz da ~

y dado un plano a a llama simtri r bullbull~cto del plano a a la corrapondanc1a entre los puntos del aspacio qua a cada punto A la aigna un A tal qua AA e la racta parpendicular a a an al punto madio de ~

Propiadada Dibujos E un buan mom~nto para tratar al t~ma da la simatria y trabajar con apejobullbull

VI - EN EL ESPACIO TlUDl NENSIONAL

Comancamos con la piraacutemidas y los conos

Dado un pol1gono en un plano y un punto __ trior al plano lobullbullegmantos deshytarminado por as punto y cada vrtica del pol1gono da tarminan una p1r~ida

El pol1gono dado as la babullbull da la pirmida y los tringulos Son la cara lashytralbullbullbull

El punto exterior as al v6rt1ca principal ~os egshymnto detrminados par bullbullbull vrtica y 10 dal poligono y las lado dal pol1gono son la arita da la pirAmide

El bullbullgmanto da parpend~ cular al plano da la bae dasda el v6rtica a la alshytura de la pirAmide

Si al pol1gono dado es regular la pirAmida a llama regular Si el pia da la altura as 1 centro del poligono la pir~id e llama rflctbullbull

13

DAdA unA circun1~rncia n un plAno y un punto e~tshyrior Al mismo los egmentos dtrminAdo por bullbullbull punto y cada uno de loa d lA cirshycunfrenciA dterminan un cano

El circulo e lA ba dl cono La recta d cada sgmento s unA oneratriz

El punto Ktrior al plano a el rtice El s9 mnto d perpendicular Al plano de lA bAse desde el v6rtice es la ltu~a S1 el pie de lA alturA es el censhytro del circulo el cono se llama recto

Que lo alumno busquen ejemplos de conos y pireacutemide en l realidad que identifiquen sus elementos Que construyAn Algunos

En Alg~n curao pOdriacuteA llegar a verse que el cono puede ser pensado come el limite de una sucesioacuten de pirAm1d regulares de la misma manera que el circulo de una suceloacuten d poliacutegonos regulares de cantidad creciente de lados

iquestcOmo son la cara lateral~s de una pirAmlde Enunciemos y demostremos I

Las cara lAterales de unA pirAmide rectA regular on triAngulos isoacutescels igUAles

La dmostrAcioacuten la podemos hAcer para una pirAmld d babullbull cuadrada La propiedad puede extendersamp a cualquier bae rgular

Recomendamos muy epecialmente no deaostrar ete teorema aposhyyaacutendoe en un dibUJO iacuten n un squelto de piraacutemide cont~uiacutedo con variacutella clavadbullbull en una base de te190pD~ Utd podriacutea eguiacutee lo tambiacute6n con varillbullbull y no ob~bullbull1 dibujo Tngamos en cuenta que tanto 11 diacutebuJO como stbullbullstructura 80n fiacuteflura d anaacuteliacutesi n Jbullbull qu nobullbullpoymol ninguna pDrt-a ml igor bull un dl1Iotshycioacute y bullbull m6 bull bullbullncillo iexcla fin trbullbull dimnsianbullbull bull 1 vllm n tr diacutemensiacuteonebullbull

14

Comparemos primeramente 1amp dOtrUmgulo vrtiacuteal

IEOlil y EOC

iquestQu l mnto iguale tinn

EO com1ln ~ y ~ on mitades d

diagonal bullbull d un cuadrado o radios d la circunferencia en que bullbull inscribe

Le aacutengulos en O son r~ te pues la ltur de la pirAshymide bullbull prpndiculr toda l bullbull rctbullbull dl plno de la bashy Ae que pan por su pibullbull

-

Lugo le des triangulo$ son igualamp y l cra latral lilEC r bullbullult un triangulo i~cel

Anlogamnte dmu tr para la dembullbullbull iquestQu ocurr si eomp~ ramos ahora todas la ari t bullbull latral Bon igual iquestcOmo son ntonees 10 triaacutengulo de dos caras latrale si los comparames En ecto por tener los tre lados respectivamente iguale son ishygualebull

Algunos ejercicios sugridosl

1) Demostrar que todas l bullbull genrtrice dl cono recshyto circular on igual bullbull

2) Creemos que es hora de dr el Teorema d Pitagora en el plano y en el pcio y aprovechar para haeer ejerCicio y problema duperficie y voluacutemne d pir4midbullbull y cono n lo que Itn dtos clculable por PitAgOrabullbull

3) La altura de un triaacutengulo equilAtero queda determL nada por el alar del lado EKpr rl bullbull

Idem para otro poligono regulare y u apotema

4) iquestEwitn pirmid$ regulare cuybullbull cara laterale bullbullbulln triaacutengulo equilateros iquestCon bae tringular iquestcuadrda iquestpentagonal iquesthe~gonl bullbull

S1 de1in1mo come ditan~ia nt~e dos puntes A y B al gmento ~ llmarmo distancia d un punshyta _ una rcta 1 egmento d la p~ pendiculr bull 1 rcta porl punto comprndido entre la rcta y el punshyto

Distancia de Par = ~ V 1 iexcl maremo distanci d un

DAdA unA circun1~rncia n un plAno y un punto e~tshyrior Al mismo los egmentos dtrminAdo por bullbullbull punto y cada uno de loa d lA cirshycunfrenciA dterminan un cano

El circulo e lA ba dl cono La recta d cada sgmento s unA oneratriz

El punto Ktrior al plano a el rtice El s9 mnto d perpendicular Al plano de lA bAse desde el v6rtice es la ltu~a S1 el pie de lA alturA es el censhytro del circulo el cono se llama recto

Que lo alumno busquen ejemplos de conos y pireacutemide en l realidad que identifiquen sus elementos Que construyAn Algunos

En Alg~n curao pOdriacuteA llegar a verse que el cono puede ser pensado come el limite de una sucesioacuten de pirAm1d regulares de la misma manera que el circulo de una suceloacuten d poliacutegonos regulares de cantidad creciente de lados

iquestcOmo son la cara lateral~s de una pirAmlde Enunciemos y demostremos I

Las cara lAterales de unA pirAmide rectA regular on triAngulos isoacutescels igUAles

La dmostrAcioacuten la podemos hAcer para una pirAmld d babullbull cuadrada La propiedad puede extendersamp a cualquier bae rgular

Recomendamos muy epecialmente no deaostrar ete teorema aposhyyaacutendoe en un dibUJO iacuten n un squelto de piraacutemide cont~uiacutedo con variacutella clavadbullbull en una base de te190pD~ Utd podriacutea eguiacutee lo tambiacute6n con varillbullbull y no ob~bullbull1 dibujo Tngamos en cuenta que tanto 11 diacutebuJO como stbullbullstructura 80n fiacuteflura d anaacuteliacutesi n Jbullbull qu nobullbullpoymol ninguna pDrt-a ml igor bull un dl1Iotshycioacute y bullbull m6 bull bullbullncillo iexcla fin trbullbull dimnsianbullbull bull 1 vllm n tr diacutemensiacuteonebullbull

14

Comparemos primeramente 1amp dOtrUmgulo vrtiacuteal

IEOlil y EOC

iquestQu l mnto iguale tinn

EO com1ln ~ y ~ on mitades d

diagonal bullbull d un cuadrado o radios d la circunferencia en que bullbull inscribe

Le aacutengulos en O son r~ te pues la ltur de la pirAshymide bullbull prpndiculr toda l bullbull rctbullbull dl plno de la bashy Ae que pan por su pibullbull

-

Lugo le des triangulo$ son igualamp y l cra latral lilEC r bullbullult un triangulo i~cel

Anlogamnte dmu tr para la dembullbullbull iquestQu ocurr si eomp~ ramos ahora todas la ari t bullbull latral Bon igual iquestcOmo son ntonees 10 triaacutengulo de dos caras latrale si los comparames En ecto por tener los tre lados respectivamente iguale son ishygualebull

Algunos ejercicios sugridosl

1) Demostrar que todas l bullbull genrtrice dl cono recshyto circular on igual bullbull

2) Creemos que es hora de dr el Teorema d Pitagora en el plano y en el pcio y aprovechar para haeer ejerCicio y problema duperficie y voluacutemne d pir4midbullbull y cono n lo que Itn dtos clculable por PitAgOrabullbull

3) La altura de un triaacutengulo equilAtero queda determL nada por el alar del lado EKpr rl bullbull

Idem para otro poligono regulare y u apotema

4) iquestEwitn pirmid$ regulare cuybullbull cara laterale bullbullbulln triaacutengulo equilateros iquestCon bae tringular iquestcuadrda iquestpentagonal iquesthe~gonl bullbull

S1 de1in1mo come ditan~ia nt~e dos puntes A y B al gmento ~ llmarmo distancia d un punshyta _ una rcta 1 egmento d la p~ pendiculr bull 1 rcta porl punto comprndido entre la rcta y el punshyto

Distancia de Par = ~ V 1 iexcl maremo distanci d un

Comparemos primeramente 1amp dOtrUmgulo vrtiacuteal

IEOlil y EOC

iquestQu l mnto iguale tinn

EO com1ln ~ y ~ on mitades d

diagonal bullbull d un cuadrado o radios d la circunferencia en que bullbull inscribe

Le aacutengulos en O son r~ te pues la ltur de la pirAshymide bullbull prpndiculr toda l bullbull rctbullbull dl plno de la bashy Ae que pan por su pibullbull

-

Lugo le des triangulo$ son igualamp y l cra latral lilEC r bullbullult un triangulo i~cel

Anlogamnte dmu tr para la dembullbullbull iquestQu ocurr si eomp~ ramos ahora todas la ari t bullbull latral Bon igual iquestcOmo son ntonees 10 triaacutengulo de dos caras latrale si los comparames En ecto por tener los tre lados respectivamente iguale son ishygualebull

Algunos ejercicios sugridosl

1) Demostrar que todas l bullbull genrtrice dl cono recshyto circular on igual bullbull

2) Creemos que es hora de dr el Teorema d Pitagora en el plano y en el pcio y aprovechar para haeer ejerCicio y problema duperficie y voluacutemne d pir4midbullbull y cono n lo que Itn dtos clculable por PitAgOrabullbull

3) La altura de un triaacutengulo equilAtero queda determL nada por el alar del lado EKpr rl bullbull

Idem para otro poligono regulare y u apotema

4) iquestEwitn pirmid$ regulare cuybullbull cara laterale bullbullbulln triaacutengulo equilateros iquestCon bae tringular iquestcuadrda iquestpentagonal iquesthe~gonl bullbull

S1 de1in1mo come ditan~ia nt~e dos puntes A y B al gmento ~ llmarmo distancia d un punshyta _ una rcta 1 egmento d la p~ pendiculr bull 1 rcta porl punto comprndido entre la rcta y el punshyto

Distancia de Par = ~ V 1 iexcl maremo distanci d un

tPplano ~ al segmento de la perpgnshy dicular a ~ por P comprendido enshytre P y el plano ~ I

I

I

L I

7es evidente Que la distancia I

s el menor de los segmentos que I

I ~pueden trazarse del punto a la recshyta o al plano iquestEs uacutenico

VII - RECTAS PLANOS Y FIGURAS CIRCULARES

Si una rcta RS pamprpndicular bull un radio d una circunfrancia con su extremo perteneciente a eshylla se llama tangente a la misma

iquestCu6ntos punto$ en comun tieshynen la circun1erenci y la r~t iquestA queacute distancia se encuentra el centrO de la circunferencia de la recta

es evidente que la recta tanshygente y la circunferencia tienen un solo punto comuacuten Todos los deml son xtriorbullbull qudan fuera de la

t

bull I I

I

bull I

I

~ircunfrn~l bullbull menor que cualquier otro segmento determinado por O la recta

Consideremos ahora el caso tridimensional Tenemos una sfeshy

porque ClP es y un punto de

ra iquestcuntas rectas perpendiculashyrebullbull un radio d l superficie e~ f6rica en su e~tremo hay iquestCu~tO$ planos El plano que cumple est fcondicioacuten se denomina plano t~ngenshy _ t a la superticie esfeacuterica es ~ ~ vidente Que es uacutenico y que tiene un aol0 punto camoacuten con ella todo

I

los los dems son exteriore iquestpor Queacute afirmamos todo este

Algunos eJercicigs sugeridos

1) Demostrar que la tangent a una ~ircunfrncia n un punto RKiste siempre y es uacutenica

2) IdRm para el plano tangente a una superfecia sfeacuteshy

3) Construir la tangente a una cicunferancia por un punto da la mism~ Justificar la construcci6n

4) Diremos Que una rRct es e~trior a una circunfeshyrencia cuampndo todas sus punto9 on ~xtriexclorampbullbullbull11 iquestOu rmlashyci6n existe en este caso entre el radio y su distancia al centro iquestCu~taa rectas exter1cftiS a una circunfermncia podemos trazar

5) Idem para un plano exterior 4 una superficie ef~ rica y para una ~ecta exterior a una superficie esfeacuterica

6) Siacute una r~cta no $ ni tangente ni exterior a una circunferencia en su plano decimos QUamp es 5Cdnt~~ iquestCuAntas punshytos tienen ampn comuacuten Relacioacuten ntr~ radio y d1stancia al centro

iquestPor queacute se d~biOacute aclarar en la chfinici6n Han iiexclU

plano

8) Circunf~renc1as exteiores interiores secantes tangnte ( da dos clases) Condicicn~s de la distancia entre los centros ld~m psra 5uperf~cle5 sfeacutericas

Comentarto intercalado I-Iy tEorem clAsicos dE Sometria d] iexclpdcio qUE se rllIIshy

mlJls trn con 105 el tItten tos vis tos n4HS t iexcltqll1 ~ ProponlPmos tres bull par ustd No los creemos n~C~S4rlas par~ los lumnos si no van bullbullplicrlos m problemas o SI tlAiquestiexclCiUnE1fi in tiexcliexclrE1Sntws

Teorpmu Si una recta incidente con un plano amps pe~pendicvlar a dos

recta de dicho plano Que pasan por 81 punto de incidencia enton ce es perpendicular a toda las rectas de dicho plano que pasan por es punto (es decir es pershypendicular al plano)

H) r es incid~nte con o en P a y b son rectas del plano ~

rJa rJb

S~a s una ~ecta cualquie~a dl plano ~ qua paa por P

D) Sean los puntos M Y N en la recta r tale que P sea el punto medio de MN Entonces es

11

1 medi triz de MNtilde en 0 y cu lquier punto A M y de N

lgt lgt Entance lo triaacutengula AMB y ANB on igu le por tener u

tres l do repectivmente igu lebullbull y lo aacutengulo mrcdo en A rll aultan iu lebullbull

Ll memo Q can 11 rect bull demiddot 1

hipoacutetesi y compremo los triaacutengulo MAa Y NAQ que tienn un l do comQn (~) ~ = ~ (lo dijimontel y lo aacutengulo en A 1 gu le Entonce lo triAngul05 son igu l bullbull y r bullbullul t n aM - GNtilde

Pero entonces Q por equidist r d M y de N bull pertenece a 1 medi triz de MNtilde que es 5 por p r pOr a y el punto medio de ~ Entonce bull iquest r bull I

Se un rect y un punto P en ell Va bemo que en cd plana que palO por rect hy una y oacutelo unA prpendiculAr por el punto P

TRoremal EA rectAbullbullbulltAn todas en un

mismo pl no En otrAS p IAbras TodA la perpndiculAre A una rectA n un punte on coplAnarbullbullbull (V ee pl no e perpendicul r a 1 rectA en P)

H) P bull r bullbull b e J

DO Do cUAlequiera de ea recshyta como lOan incidente determishynan un pl no Q Por el teorem Anterior r e perpendicular a tQ da la recta de ee plano que p~ lOAn por P Para demotr r el tI orema bAt rA demostr r que toda recta que p por P y no eta en Q no puede er perpendicul r a r

En efecto Sea bull que p por P y no etA en a El plAshynO determindo por r y bull tiene en comen COn Q un reet m Que e perpeMdieular r en P por el teorema Anterior Luego bull no puede er perpendicul r r porshyque por P pArian en el pl no r o do recta perpendiculares r Por lo tanto bull no puede ser pershypendiculAr A r y en eoneeuenei de eto tod reet que es prpe~

diCular A r en P etA incluid en el mimo plno I

le

Tleram d l bullbull tr prpendiculrbullbull

Si por 1 pi da una perpndicular a un plano bullbull cansidra una recta ~ualqu1era toda prpndi~u-lar a 6sta en el plano dado es pe~ pendi~ular al plano determinado por l bullbull dos primerbullbullbull

H) P J en P

s pasa por P bull e a tJs te

T) t L plane p

DO Si t pasara por P serla ya pe~ pendi~ular al plano P per ar pershypend1~ular a p y a s

Si t ne pasara por P paarla por un punte M e bull (ver dibujo o m~ ter1alizar ~on varilla O aguja soshybre telgopor)

Sea en t el segmento AS con M como punto medie En tonca as la madiatriz de AB en 01 y secuencia ~~ (1) bull cb

b Sea e p Los trijngulos ePA

y eps on i~ales por tener un lado ~omaacuten (~) PA - ~ por (1) y los aacuteu gulo en P rectos

Por lo tanto CA aro t

El ABC e entonee isoacutescele y como EH es la mediana correspondiente a su bae e tambieacutenu altura s decir e perpendicular a AS (que es la recta t)

Va etbullbull t r bullbullulta perpendicular bull bull per nipoacutetesi y perpendicular a CM por 10 que dijimos antonces es perpendicular al plano ps por er perpendiCUlar a do recta que paan por M I

El bull re J C jiexcl ~laro etaacute en el plano os Pero iquesttambi6n lo est CM

iquestPor qu

1 jO

~____________________-

3) Construir la tangente a una cicunferancia por un punto da la mism~ Justificar la construcci6n

4) Diremos Que una rRct es e~trior a una circunfeshyrencia cuampndo todas sus punto9 on ~xtriexclorampbullbullbull11 iquestOu rmlashyci6n existe en este caso entre el radio y su distancia al centro iquestCu~taa rectas exter1cftiS a una circunfermncia podemos trazar

5) Idem para un plano exterior 4 una superficie ef~ rica y para una ~ecta exterior a una superficie esfeacuterica

6) Siacute una r~cta no $ ni tangente ni exterior a una circunferencia en su plano decimos QUamp es 5Cdnt~~ iquestCuAntas punshytos tienen ampn comuacuten Relacioacuten ntr~ radio y d1stancia al centro

iquestPor queacute se d~biOacute aclarar en la chfinici6n Han iiexclU

plano

8) Circunf~renc1as exteiores interiores secantes tangnte ( da dos clases) Condicicn~s de la distancia entre los centros ld~m psra 5uperf~cle5 sfeacutericas

Comentarto intercalado I-Iy tEorem clAsicos dE Sometria d] iexclpdcio qUE se rllIIshy

mlJls trn con 105 el tItten tos vis tos n4HS t iexcltqll1 ~ ProponlPmos tres bull par ustd No los creemos n~C~S4rlas par~ los lumnos si no van bullbullplicrlos m problemas o SI tlAiquestiexclCiUnE1fi in tiexcliexclrE1Sntws

Teorpmu Si una recta incidente con un plano amps pe~pendicvlar a dos

recta de dicho plano Que pasan por 81 punto de incidencia enton ce es perpendicular a toda las rectas de dicho plano que pasan por es punto (es decir es pershypendicular al plano)

H) r es incid~nte con o en P a y b son rectas del plano ~

rJa rJb

S~a s una ~ecta cualquie~a dl plano ~ qua paa por P

D) Sean los puntos M Y N en la recta r tale que P sea el punto medio de MN Entonces es

11

1 medi triz de MNtilde en 0 y cu lquier punto A M y de N

lgt lgt Entance lo triaacutengula AMB y ANB on igu le por tener u

tres l do repectivmente igu lebullbull y lo aacutengulo mrcdo en A rll aultan iu lebullbull

Ll memo Q can 11 rect bull demiddot 1

hipoacutetesi y compremo los triaacutengulo MAa Y NAQ que tienn un l do comQn (~) ~ = ~ (lo dijimontel y lo aacutengulo en A 1 gu le Entonce lo triAngul05 son igu l bullbull y r bullbullul t n aM - GNtilde

Pero entonces Q por equidist r d M y de N bull pertenece a 1 medi triz de MNtilde que es 5 por p r pOr a y el punto medio de ~ Entonce bull iquest r bull I

Se un rect y un punto P en ell Va bemo que en cd plana que palO por rect hy una y oacutelo unA prpendiculAr por el punto P

TRoremal EA rectAbullbullbulltAn todas en un

mismo pl no En otrAS p IAbras TodA la perpndiculAre A una rectA n un punte on coplAnarbullbullbull (V ee pl no e perpendicul r a 1 rectA en P)

H) P bull r bullbull b e J

DO Do cUAlequiera de ea recshyta como lOan incidente determishynan un pl no Q Por el teorem Anterior r e perpendicular a tQ da la recta de ee plano que p~ lOAn por P Para demotr r el tI orema bAt rA demostr r que toda recta que p por P y no eta en Q no puede er perpendicul r a r

En efecto Sea bull que p por P y no etA en a El plAshynO determindo por r y bull tiene en comen COn Q un reet m Que e perpeMdieular r en P por el teorema Anterior Luego bull no puede er perpendicul r r porshyque por P pArian en el pl no r o do recta perpendiculares r Por lo tanto bull no puede ser pershypendiculAr A r y en eoneeuenei de eto tod reet que es prpe~

diCular A r en P etA incluid en el mimo plno I

le

Tleram d l bullbull tr prpendiculrbullbull

Si por 1 pi da una perpndicular a un plano bullbull cansidra una recta ~ualqu1era toda prpndi~u-lar a 6sta en el plano dado es pe~ pendi~ular al plano determinado por l bullbull dos primerbullbullbull

H) P J en P

s pasa por P bull e a tJs te

T) t L plane p

DO Si t pasara por P serla ya pe~ pendi~ular al plano P per ar pershypend1~ular a p y a s

Si t ne pasara por P paarla por un punte M e bull (ver dibujo o m~ ter1alizar ~on varilla O aguja soshybre telgopor)

Sea en t el segmento AS con M como punto medie En tonca as la madiatriz de AB en 01 y secuencia ~~ (1) bull cb

b Sea e p Los trijngulos ePA

y eps on i~ales por tener un lado ~omaacuten (~) PA - ~ por (1) y los aacuteu gulo en P rectos

Por lo tanto CA aro t

El ABC e entonee isoacutescele y como EH es la mediana correspondiente a su bae e tambieacutenu altura s decir e perpendicular a AS (que es la recta t)

Va etbullbull t r bullbullulta perpendicular bull bull per nipoacutetesi y perpendicular a CM por 10 que dijimos antonces es perpendicular al plano ps por er perpendiCUlar a do recta que paan por M I

El bull re J C jiexcl ~laro etaacute en el plano os Pero iquesttambi6n lo est CM

iquestPor qu

1 jO

~____________________-

1 medi triz de MNtilde en 0 y cu lquier punto A M y de N

lgt lgt Entance lo triaacutengula AMB y ANB on igu le por tener u

tres l do repectivmente igu lebullbull y lo aacutengulo mrcdo en A rll aultan iu lebullbull

Ll memo Q can 11 rect bull demiddot 1

hipoacutetesi y compremo los triaacutengulo MAa Y NAQ que tienn un l do comQn (~) ~ = ~ (lo dijimontel y lo aacutengulo en A 1 gu le Entonce lo triAngul05 son igu l bullbull y r bullbullul t n aM - GNtilde

Pero entonces Q por equidist r d M y de N bull pertenece a 1 medi triz de MNtilde que es 5 por p r pOr a y el punto medio de ~ Entonce bull iquest r bull I

Se un rect y un punto P en ell Va bemo que en cd plana que palO por rect hy una y oacutelo unA prpendiculAr por el punto P

TRoremal EA rectAbullbullbulltAn todas en un

mismo pl no En otrAS p IAbras TodA la perpndiculAre A una rectA n un punte on coplAnarbullbullbull (V ee pl no e perpendicul r a 1 rectA en P)

H) P bull r bullbull b e J

DO Do cUAlequiera de ea recshyta como lOan incidente determishynan un pl no Q Por el teorem Anterior r e perpendicular a tQ da la recta de ee plano que p~ lOAn por P Para demotr r el tI orema bAt rA demostr r que toda recta que p por P y no eta en Q no puede er perpendicul r a r

En efecto Sea bull que p por P y no etA en a El plAshynO determindo por r y bull tiene en comen COn Q un reet m Que e perpeMdieular r en P por el teorema Anterior Luego bull no puede er perpendicul r r porshyque por P pArian en el pl no r o do recta perpendiculares r Por lo tanto bull no puede ser pershypendiculAr A r y en eoneeuenei de eto tod reet que es prpe~

diCular A r en P etA incluid en el mimo plno I

le

Tleram d l bullbull tr prpendiculrbullbull

Si por 1 pi da una perpndicular a un plano bullbull cansidra una recta ~ualqu1era toda prpndi~u-lar a 6sta en el plano dado es pe~ pendi~ular al plano determinado por l bullbull dos primerbullbullbull

H) P J en P

s pasa por P bull e a tJs te

T) t L plane p

DO Si t pasara por P serla ya pe~ pendi~ular al plano P per ar pershypend1~ular a p y a s

Si t ne pasara por P paarla por un punte M e bull (ver dibujo o m~ ter1alizar ~on varilla O aguja soshybre telgopor)

Sea en t el segmento AS con M como punto medie En tonca as la madiatriz de AB en 01 y secuencia ~~ (1) bull cb

b Sea e p Los trijngulos ePA

y eps on i~ales por tener un lado ~omaacuten (~) PA - ~ por (1) y los aacuteu gulo en P rectos

Por lo tanto CA aro t

El ABC e entonee isoacutescele y como EH es la mediana correspondiente a su bae e tambieacutenu altura s decir e perpendicular a AS (que es la recta t)

Va etbullbull t r bullbullulta perpendicular bull bull per nipoacutetesi y perpendicular a CM por 10 que dijimos antonces es perpendicular al plano ps por er perpendiCUlar a do recta que paan por M I

El bull re J C jiexcl ~laro etaacute en el plano os Pero iquesttambi6n lo est CM

iquestPor qu

1 jO

~____________________-

Tleram d l bullbull tr prpendiculrbullbull

Si por 1 pi da una perpndicular a un plano bullbull cansidra una recta ~ualqu1era toda prpndi~u-lar a 6sta en el plano dado es pe~ pendi~ular al plano determinado por l bullbull dos primerbullbullbull

H) P J en P

s pasa por P bull e a tJs te

T) t L plane p

DO Si t pasara por P serla ya pe~ pendi~ular al plano P per ar pershypend1~ular a p y a s

Si t ne pasara por P paarla por un punte M e bull (ver dibujo o m~ ter1alizar ~on varilla O aguja soshybre telgopor)

Sea en t el segmento AS con M como punto medie En tonca as la madiatriz de AB en 01 y secuencia ~~ (1) bull cb

b Sea e p Los trijngulos ePA

y eps on i~ales por tener un lado ~omaacuten (~) PA - ~ por (1) y los aacuteu gulo en P rectos

Por lo tanto CA aro t

El ABC e entonee isoacutescele y como EH es la mediana correspondiente a su bae e tambieacutenu altura s decir e perpendicular a AS (que es la recta t)

Va etbullbull t r bullbullulta perpendicular bull bull per nipoacutetesi y perpendicular a CM por 10 que dijimos antonces es perpendicular al plano ps por er perpendiCUlar a do recta que paan por M I

El bull re J C jiexcl ~laro etaacute en el plano os Pero iquesttambi6n lo est CM

iquestPor qu

1 jO

~____________________-

VIII - PAR4I ELISMO

Comencemo por la siu1ente definicionebullbull

Do planos en prallc cuando no tienen ninan punto coman o cuando coinciden

Do recta son prliexcl cuando no tienen ninQan punto comQn o cuando coinciden bullbullbull y it un plano que la contiene a amba

Pedimos a lo alumnos que busquen en la cajita en el aula en cubo pirAacutemide etceiemplga y contraejemplos En particular que buquen recta ng coplanrebullbullin punto comune Le diremos que e ttaman 1bbullbulldbullbullbull

Si tenemo una recta y un punto eMterier a ella iquestcu6nta rec-t bullbull paralela a la recta dada paan por ee punto Que pienen ensayen y pestulen

y por un punto eMtericr a un plano iquestcu6ntos plano paralele a ee plano paan

Enunciemo

Por un punto eMterior a una recta paa una y oacutele ~ na paralela a dicha recta

Por un punto eMterior a un plano pasa une y oacutelo un plano paralele al dado

Por un punto eMteriacuteor a un plano iquestpasa soacutelo una paralela al plano iquestCu6nta paan

Si un plano e paralelo otro toda la recta del primero on paralela a ee otro Oemotrarlo

20

recta (en el plano y en ~l espacio)

2) Dmos~rar que si en un plano una recta e incidea te con una de dos paralelas tambieacuten amp incidente Con la otrA

iquestFor qu la afirmacioacuten no bullbull vaacutelida i ve amit_ u en un plna lf Mostrarlo madint un contraJemplo

3) O~motrar que en un plano dos recta prpendicul~ rbullbull una tercra on paralelas iquestV lii bullbull omite nn un plano

4) En un planosi una rcta s prpandicular a una d dos parallas e perpendicular tambieacuten a la otra

~) Oterminar si las afirmaconbullbull anteriorbullbull son vrshydaderbullbull culndo bullbull omite n un plno Jl y a sustituye rectan por ipl ane Ometral bullbull en cOo d que lo s bull n y m01ltrar cQntbullbull jemshyplos si no lo Son

Aacutengulo ante ecta y planos paralelos

~ y B se llaman aacutengylos correspondientbullbullbull

Creemos que e Otil introducir aquiacute el concepto de traslacioacuten de vector v y obervar que la imagen d una recta a trav de una traslacioacuten es una recta paralela a la primera Ello facilita el ra conocimiento de aacutengulos correspondiente entre paralla y su proshypiedadl

Los aacutengulos correspondientbullbull entre paralelbullbull son ishygualebullbull

V i trabajamos en el espaciol

Los diedro correpondientes entre plano paralelobull bull on i ualbullbullbull

21

A1Quno ejercicio sUQridos

1) Dmotrar que ampn un plano do aacutengulo d lado PA ral10 dl mimo bullbullntido on igualbullbullbull

iquestV i s alimina del mimo bullbullntido iquestEn todo lo cao

Esta propiedad tambi6n bullbull verifica cuando los aacuteng~ lo d lado paralelas del mismo bullbullntido no son coplanarbullbull p~ro la dmotrarmos n clase posteriors

21 a y ~ e llaman lternos internos Demostrar que entre paralls son iQuals

Idm n 1 bullbullpaCio

~os reciprocas d las propiedadbullbull anteriors on tambi6n proshypidads que se verifican y nos proveen criterios para sber que dos rctas o dos plnos son parallos Podamos sugrir a los alumshynos que invstigun i bullbull verifican antbullbull de dcirbullbull lo nootros

iexclpre Si QCS rctbullbullbull1 SRr cortadbullbull por un t~cr forman An~ulo

corrDpondientes iguale ntoncbullbull son paralelabullbull

HO a y B on correspondiente anshytr la rectas a y b con la transvral t

01-1

T) a 1 b

ID SuponQamos que a y b no fu~ ran paralelas V consideremos iexcla paralelo a b por el veacutertice de a que tin que existir por el potulado de paralelismo Eta formar1a con la transvrsal t un ampnQulo a igual a ~ (por ar corrspondintbullbullntre paralela) Por lo tanto iQual a a Pro entonebullbull 01 y 01 bullbullr1an dos aacutengulo iguales que al uprponr no coincidirian Aburdo que provishyno de suponr que las rectas a y b no eran paralla Luego la te debe verificar I

22

Algunos Jftrcicios sugar1dos

1) Demostrar el teorema para los aacutengulo alternos internos entre paralelabullbull

2) iquestOu ocurre con los aacutengulos adyacentes a tos 01shytimomiddot iquestOu propiedad verifican Oemostrarla

iquestY con sus opuestos por el vrtice Idem

Teorema importntlimoi

~o tras Angulo~ de un triaacutengulo suman un llano

Par demostrar est teoreshyma basta tralar la paralela a un lado por 1 v6rtice opusto t Imirar mucho los angula para luego aplicar su propieshydadebullbull

1) Oemostrar que cada Angula bullbull terlor de un trilngulo s uma de lo interiores no adyacente a 61

2) Hallar el valor de cada aacutengulo da un triaacutengulo eshyquilAacutetero iquestPor qu6 los tres son iguales

3) Hallar el valor de cada aacutengulo de un poligono reg~ lar de 5 lados b I_dos 7 lados bullbullbull

4) Demostrar que todo punto de 1_ bisectriz de un ~nshygulo equidista de los lados del mismo

diedro

5) Tambi val n los reciptrarlo enunciAremos un c~iterio d rectAngulotu

rocas de (4) 19u1dad d

Pr trl

dmosshyAngulos

Si dos triaacutengulos rectAnguloamp tien n la hipotnubullbull y un cateto respectivamente iguale entonces son iguales

En efecto si por A tra2ashymos la perpendicular a AS ~ t bullbullbull Onic y aacutenica en un emishy

23

11-___ C

plano u 1nterecciOn con la circunferncia de centro S 1 radio m ~uego no puede hber dos triaacutengulo ditinto con los elemento se-lado igualebullbull

6) Oemotrar que las biectrice de un triaacutengulO conshycurren en un punto que equidista de lo ldos 1 e centro de la circunferencia inscripta (amps tangente a los tres lado del triaacutengushylo) bull

IX - ANGULOS y CIRCUNFERENCIAS

~a propiedad del Aacutengulo inscr1pto soacutelo requiere demostracioacuten uma de los Aacutengulos de un triAacutengulo propiedades del triaacutengulo isoacutescelebullbull

Vale la pena pu proponerla y demostrarla ya Por otra parte no parece realmente interesante y curiosa ya que no e bullbullvishydnt y la intuicioacuten crbullbullmo_ na dir1a la contrario

Ars SCIZ

Los puntos dede los que un egmento dado ~ e ve bajo un mimo Aacutengulo dado ~ forman el aco capa del a obr Afi

iquestCuAacutele son lo lados d ~ iquestOu caracteriacutestica tienen lo Aacutengulo con vrtiacutece en el arco capaz cuyos lados pabullbulln por los ewtremos del egmento

Lo lados d _0 Aacutengulos a paan por A 1 por B De ashycurdc eonl torerna antrior 1 arce capaz bullbull un arco d cirshycunferenci en el cual todos los

Aacutengulos incripto ampon igualbullbullbull 0

24

1

Algune~ eJercicip sugeridos

II Con~truir el arce capaz de un aacutengulo dado a sobre un segmente dade AB (BastarA determinar el ~ntro O de la circunshyferencia pue~ el radio es DA -~ l

2) Un ~asO sencillo es la construccioacuten del arco capa de un aacutengulo recto iquestPor queacute

x - PARALELOGRAMOS Y PARALELEPPEDOS

A partir de la noci6n y propiedades del paralelismo pueden eSshytudirbullbull les paralelcg~mos y _U~ prcpiedades a l manarA claacutesica y nuevarnente saltar- al espacio

Para comenzar el estudio de lo prisma proponemos no defishynirlosl s610 enumerar sus CaraCshy I

1ter1litica I I I las bases paralelas iguales 1- __ l bullbull aristas laterales paraleshy

latoda igual bullbullbull las caras laterales 50n todos paral eloliexcloamos

Tratemos que los alumnos r~ lacionen estan propiedades y an~ lieen c6mo pueden deducirse unas de otraS 1---

Meraca un estudio especial el prisma recto regular o paral~ leplpedo Sugerimos estudiar u propiedadbullbull usando como apoyo una caja da zapato6 5in tapa p~ r mirar adentro

Qua los alumnos conjeturen propiedades las dscutn l~s enu~

cian

No soacutelo las b~se$t sino tambieacuten l bullbull ca~A lQterales son rect~ guloSo Demostreacutemoslo

Sabemos qu son paralelogramos~ PRro al ser un prism recto las aristas latr~le5 son todas perpendiculares a las bases y a los lados de 1bullbull mismbullbull pues p~G_n por su pi~~ Luego ls c~rs 1shytrl~s por Ser paralelogramos con aacutengulos rectos son rectaacutengulobullbull

25

La cara laterales opu~ts son igualebull afirmiexclrlo7

Materializar la diagonales con nilos enganchados en los veacute~ tice d 1amp caja de zapatos M~ terialicemo ahora 10amp planos diagonal bullbull con hojas de papel que uneJn n la cAja

Que 10 alumnos buquen y conjeturen propiedade que inshytentn demotrarlas Por ejemshyplo

~bullbull cuamptro digonlas 50n ishyguale y bullbull cortan en un punto Que e el punto mdio de todas

r-----shyI

I I

La igualdad puede demostrarshye por 1 Teorema de Pitaacutegora en el epacio o bien demostrando que cada plano diagonal es un rect~ gula Sea por ejemplo ASCO es un piexclralelogramo pubullbull ~ y ~ on igualbullbull y paralelo Ademaacutes AS y AO son perpndiculares por er AO una recta dl plano perpendicular a AS por A

Como cada diagonal es comuacuten a do planos diagonalbullbull y su punto mdio s aacuteMico la intrseccioacuten de tod~s e dicho punto

Podmobullbullbulltudiar a continuacioacuten uperficie laterale y totashyl bullbull vol (menebullbull

y lugo eguir con los cilindros Sus propiedadbullbullbull cibullbull y vol(mnbullbullbullbullbull

2oacute

ALGUNOS PROBLEMAS

PARA

INTRODUCIR O INTEGRAR TEMAS

27

iquestQueacute podeMOs hacer con los seg_ntos

Lo auto~es opinan que la dificultad que tienen los alumnos p~ ~ ~~onocr bullbullmpl~r y oparar ampe debe an gran parte a la bullbullparashycioacuten en capitulo aislado y a la ingenuidad de uponer que 1 ashylumnQ no tin conocimientos previos aunque no le haya incorporashydo d forma idbullbull l

Un camino recto une 1 ciudades A y B Ebullbull cmino tin una longitud de 80 km bull Tambi6n podemos i~ de A a C y luego pashya~ a 8 O A a C hay 60 km y de 8 a C 40 km siendo ambo caminos rectos

EMistn alternativa en 1 prebullbullntaci6n puede darbullbullbull1 dibujo D pedirlo como parte d l r bullbullpusta La bullbullgunda altrntiva bullbull maacute ~iCa po~que eMige l const~ucci6n de un t~i4n9ulo con ~e9la Y compbullbull cuando bullbull conOCRn 109 trbullbull lados

iquestCuaacutel e el camino maacute l~go iquestPo~ queacute

La l1na de autobus 17 une di~ectmente A con B una velocishydad media de 40 kiloacutemet~os cada ho~a (En un cu~o elemental p~~

1e~imo deci~ kiloacutemet~os cad ho~a kiloacutemet~o po~ ho~a) iquestCu6ntc ta~da pa~a i~ de A hast B

La l1ne 78 v de A e bull bO kiloacutemet~o cad ho~ y de C bull B a 40 kiloacutemet~os cada ho~bullbull iquestCuaacutento ta~da eta linea en comshypleta~ el viaje

iquestCuaacutel e la ventaja ho~~i de un l1nea sob~e 1 ot~a

Algunbullbull pOibles continuaciones del p~oblem pod~1an e~1

La l1ne 17 cob~ el viaje a ~azoacuten de OOb5 po~ kiloacutemet~o y la l1nea 7B cob~ 0045 po~ kiloacutemet~o L l1nea 17 hace un deshycuento del 107 oacutelo bull lo estudiante La linea 78 hace un deshycuento del 57 oacutelo a lo jUbilado iquestQueacute l1nea conviene toma~ a lo etudiante iquestY los Jubilado Se supone que el nivel de los bullbullrvicies es 1 mismo

iquestQueacute va~iante apa~ece en el p~oblema si la velocidad de l lishynea 78 ent~e B y C pasa a se~ de 80 kiloacutemet~o cad ho~ mnt~ ni6ndoe constnte lo demaacutes dato

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plano u 1nterecciOn con la circunferncia de centro S 1 radio m ~uego no puede hber dos triaacutengulo ditinto con los elemento se-lado igualebullbull

6) Oemotrar que las biectrice de un triaacutengulO conshycurren en un punto que equidista de lo ldos 1 e centro de la circunferencia inscripta (amps tangente a los tres lado del triaacutengushylo) bull

IX - ANGULOS y CIRCUNFERENCIAS

~a propiedad del Aacutengulo inscr1pto soacutelo requiere demostracioacuten uma de los Aacutengulos de un triAacutengulo propiedades del triaacutengulo isoacutescelebullbull

Vale la pena pu proponerla y demostrarla ya Por otra parte no parece realmente interesante y curiosa ya que no e bullbullvishydnt y la intuicioacuten crbullbullmo_ na dir1a la contrario

Ars SCIZ

Los puntos dede los que un egmento dado ~ e ve bajo un mimo Aacutengulo dado ~ forman el aco capa del a obr Afi

iquestCuAacutele son lo lados d ~ iquestOu caracteriacutestica tienen lo Aacutengulo con vrtiacutece en el arco capaz cuyos lados pabullbulln por los ewtremos del egmento

Lo lados d _0 Aacutengulos a paan por A 1 por B De ashycurdc eonl torerna antrior 1 arce capaz bullbull un arco d cirshycunferenci en el cual todos los

Aacutengulos incripto ampon igualbullbullbull 0

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1

Algune~ eJercicip sugeridos

II Con~truir el arce capaz de un aacutengulo dado a sobre un segmente dade AB (BastarA determinar el ~ntro O de la circunshyferencia pue~ el radio es DA -~ l

2) Un ~asO sencillo es la construccioacuten del arco capa de un aacutengulo recto iquestPor queacute

x - PARALELOGRAMOS Y PARALELEPPEDOS

A partir de la noci6n y propiedades del paralelismo pueden eSshytudirbullbull les paralelcg~mos y _U~ prcpiedades a l manarA claacutesica y nuevarnente saltar- al espacio

Para comenzar el estudio de lo prisma proponemos no defishynirlosl s610 enumerar sus CaraCshy I

1ter1litica I I I las bases paralelas iguales 1- __ l bullbull aristas laterales paraleshy

latoda igual bullbullbull las caras laterales 50n todos paral eloliexcloamos

Tratemos que los alumnos r~ lacionen estan propiedades y an~ lieen c6mo pueden deducirse unas de otraS 1---

Meraca un estudio especial el prisma recto regular o paral~ leplpedo Sugerimos estudiar u propiedadbullbull usando como apoyo una caja da zapato6 5in tapa p~ r mirar adentro

Qua los alumnos conjeturen propiedades las dscutn l~s enu~

cian

No soacutelo las b~se$t sino tambieacuten l bullbull ca~A lQterales son rect~ guloSo Demostreacutemoslo

Sabemos qu son paralelogramos~ PRro al ser un prism recto las aristas latr~le5 son todas perpendiculares a las bases y a los lados de 1bullbull mismbullbull pues p~G_n por su pi~~ Luego ls c~rs 1shytrl~s por Ser paralelogramos con aacutengulos rectos son rectaacutengulobullbull

25

La cara laterales opu~ts son igualebull afirmiexclrlo7

Materializar la diagonales con nilos enganchados en los veacute~ tice d 1amp caja de zapatos M~ terialicemo ahora 10amp planos diagonal bullbull con hojas de papel que uneJn n la cAja

Que 10 alumnos buquen y conjeturen propiedade que inshytentn demotrarlas Por ejemshyplo

~bullbull cuamptro digonlas 50n ishyguale y bullbull cortan en un punto Que e el punto mdio de todas

r-----shyI

I I

La igualdad puede demostrarshye por 1 Teorema de Pitaacutegora en el epacio o bien demostrando que cada plano diagonal es un rect~ gula Sea por ejemplo ASCO es un piexclralelogramo pubullbull ~ y ~ on igualbullbull y paralelo Ademaacutes AS y AO son perpndiculares por er AO una recta dl plano perpendicular a AS por A

Como cada diagonal es comuacuten a do planos diagonalbullbull y su punto mdio s aacuteMico la intrseccioacuten de tod~s e dicho punto

Podmobullbullbulltudiar a continuacioacuten uperficie laterale y totashyl bullbull vol (menebullbull

y lugo eguir con los cilindros Sus propiedadbullbullbull cibullbull y vol(mnbullbullbullbullbull

2oacute

ALGUNOS PROBLEMAS

PARA

INTRODUCIR O INTEGRAR TEMAS

27

iquestQueacute podeMOs hacer con los seg_ntos

Lo auto~es opinan que la dificultad que tienen los alumnos p~ ~ ~~onocr bullbullmpl~r y oparar ampe debe an gran parte a la bullbullparashycioacuten en capitulo aislado y a la ingenuidad de uponer que 1 ashylumnQ no tin conocimientos previos aunque no le haya incorporashydo d forma idbullbull l

Un camino recto une 1 ciudades A y B Ebullbull cmino tin una longitud de 80 km bull Tambi6n podemos i~ de A a C y luego pashya~ a 8 O A a C hay 60 km y de 8 a C 40 km siendo ambo caminos rectos

EMistn alternativa en 1 prebullbullntaci6n puede darbullbullbull1 dibujo D pedirlo como parte d l r bullbullpusta La bullbullgunda altrntiva bullbull maacute ~iCa po~que eMige l const~ucci6n de un t~i4n9ulo con ~e9la Y compbullbull cuando bullbull conOCRn 109 trbullbull lados

iquestCuaacutel e el camino maacute l~go iquestPo~ queacute

La l1na de autobus 17 une di~ectmente A con B una velocishydad media de 40 kiloacutemet~os cada ho~a (En un cu~o elemental p~~

1e~imo deci~ kiloacutemet~os cad ho~a kiloacutemet~o po~ ho~a) iquestCu6ntc ta~da pa~a i~ de A hast B

La l1ne 78 v de A e bull bO kiloacutemet~o cad ho~ y de C bull B a 40 kiloacutemet~os cada ho~bullbull iquestCuaacutento ta~da eta linea en comshypleta~ el viaje

iquestCuaacutel e la ventaja ho~~i de un l1nea sob~e 1 ot~a

Algunbullbull pOibles continuaciones del p~oblem pod~1an e~1

La l1ne 17 cob~ el viaje a ~azoacuten de OOb5 po~ kiloacutemet~o y la l1nea 7B cob~ 0045 po~ kiloacutemet~o L l1nea 17 hace un deshycuento del 107 oacutelo bull lo estudiante La linea 78 hace un deshycuento del 57 oacutelo a lo jUbilado iquestQueacute l1nea conviene toma~ a lo etudiante iquestY los Jubilado Se supone que el nivel de los bullbullrvicies es 1 mismo

iquestQueacute va~iante apa~ece en el p~oblema si la velocidad de l lishynea 78 ent~e B y C pasa a se~ de 80 kiloacutemet~o cad ho~ mnt~ ni6ndoe constnte lo demaacutes dato

28

1

Algune~ eJercicip sugeridos

II Con~truir el arce capaz de un aacutengulo dado a sobre un segmente dade AB (BastarA determinar el ~ntro O de la circunshyferencia pue~ el radio es DA -~ l

2) Un ~asO sencillo es la construccioacuten del arco capa de un aacutengulo recto iquestPor queacute

x - PARALELOGRAMOS Y PARALELEPPEDOS

A partir de la noci6n y propiedades del paralelismo pueden eSshytudirbullbull les paralelcg~mos y _U~ prcpiedades a l manarA claacutesica y nuevarnente saltar- al espacio

Para comenzar el estudio de lo prisma proponemos no defishynirlosl s610 enumerar sus CaraCshy I

1ter1litica I I I las bases paralelas iguales 1- __ l bullbull aristas laterales paraleshy

latoda igual bullbullbull las caras laterales 50n todos paral eloliexcloamos

Tratemos que los alumnos r~ lacionen estan propiedades y an~ lieen c6mo pueden deducirse unas de otraS 1---

Meraca un estudio especial el prisma recto regular o paral~ leplpedo Sugerimos estudiar u propiedadbullbull usando como apoyo una caja da zapato6 5in tapa p~ r mirar adentro

Qua los alumnos conjeturen propiedades las dscutn l~s enu~

cian

No soacutelo las b~se$t sino tambieacuten l bullbull ca~A lQterales son rect~ guloSo Demostreacutemoslo

Sabemos qu son paralelogramos~ PRro al ser un prism recto las aristas latr~le5 son todas perpendiculares a las bases y a los lados de 1bullbull mismbullbull pues p~G_n por su pi~~ Luego ls c~rs 1shytrl~s por Ser paralelogramos con aacutengulos rectos son rectaacutengulobullbull

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La cara laterales opu~ts son igualebull afirmiexclrlo7

Materializar la diagonales con nilos enganchados en los veacute~ tice d 1amp caja de zapatos M~ terialicemo ahora 10amp planos diagonal bullbull con hojas de papel que uneJn n la cAja

Que 10 alumnos buquen y conjeturen propiedade que inshytentn demotrarlas Por ejemshyplo

~bullbull cuamptro digonlas 50n ishyguale y bullbull cortan en un punto Que e el punto mdio de todas

r-----shyI

I I

La igualdad puede demostrarshye por 1 Teorema de Pitaacutegora en el epacio o bien demostrando que cada plano diagonal es un rect~ gula Sea por ejemplo ASCO es un piexclralelogramo pubullbull ~ y ~ on igualbullbull y paralelo Ademaacutes AS y AO son perpndiculares por er AO una recta dl plano perpendicular a AS por A

Como cada diagonal es comuacuten a do planos diagonalbullbull y su punto mdio s aacuteMico la intrseccioacuten de tod~s e dicho punto

Podmobullbullbulltudiar a continuacioacuten uperficie laterale y totashyl bullbull vol (menebullbull

y lugo eguir con los cilindros Sus propiedadbullbullbull cibullbull y vol(mnbullbullbullbullbull

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ALGUNOS PROBLEMAS

PARA

INTRODUCIR O INTEGRAR TEMAS

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iquestQueacute podeMOs hacer con los seg_ntos

Lo auto~es opinan que la dificultad que tienen los alumnos p~ ~ ~~onocr bullbullmpl~r y oparar ampe debe an gran parte a la bullbullparashycioacuten en capitulo aislado y a la ingenuidad de uponer que 1 ashylumnQ no tin conocimientos previos aunque no le haya incorporashydo d forma idbullbull l

Un camino recto une 1 ciudades A y B Ebullbull cmino tin una longitud de 80 km bull Tambi6n podemos i~ de A a C y luego pashya~ a 8 O A a C hay 60 km y de 8 a C 40 km siendo ambo caminos rectos

EMistn alternativa en 1 prebullbullntaci6n puede darbullbullbull1 dibujo D pedirlo como parte d l r bullbullpusta La bullbullgunda altrntiva bullbull maacute ~iCa po~que eMige l const~ucci6n de un t~i4n9ulo con ~e9la Y compbullbull cuando bullbull conOCRn 109 trbullbull lados

iquestCuaacutel e el camino maacute l~go iquestPo~ queacute

La l1na de autobus 17 une di~ectmente A con B una velocishydad media de 40 kiloacutemet~os cada ho~a (En un cu~o elemental p~~

1e~imo deci~ kiloacutemet~os cad ho~a kiloacutemet~o po~ ho~a) iquestCu6ntc ta~da pa~a i~ de A hast B

La l1ne 78 v de A e bull bO kiloacutemet~o cad ho~ y de C bull B a 40 kiloacutemet~os cada ho~bullbull iquestCuaacutento ta~da eta linea en comshypleta~ el viaje

iquestCuaacutel e la ventaja ho~~i de un l1nea sob~e 1 ot~a

Algunbullbull pOibles continuaciones del p~oblem pod~1an e~1

La l1ne 17 cob~ el viaje a ~azoacuten de OOb5 po~ kiloacutemet~o y la l1nea 7B cob~ 0045 po~ kiloacutemet~o L l1nea 17 hace un deshycuento del 107 oacutelo bull lo estudiante La linea 78 hace un deshycuento del 57 oacutelo a lo jUbilado iquestQueacute l1nea conviene toma~ a lo etudiante iquestY los Jubilado Se supone que el nivel de los bullbullrvicies es 1 mismo

iquestQueacute va~iante apa~ece en el p~oblema si la velocidad de l lishynea 78 ent~e B y C pasa a se~ de 80 kiloacutemet~o cad ho~ mnt~ ni6ndoe constnte lo demaacutes dato

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La cara laterales opu~ts son igualebull afirmiexclrlo7

Materializar la diagonales con nilos enganchados en los veacute~ tice d 1amp caja de zapatos M~ terialicemo ahora 10amp planos diagonal bullbull con hojas de papel que uneJn n la cAja

Que 10 alumnos buquen y conjeturen propiedade que inshytentn demotrarlas Por ejemshyplo

~bullbull cuamptro digonlas 50n ishyguale y bullbull cortan en un punto Que e el punto mdio de todas

r-----shyI

I I

La igualdad puede demostrarshye por 1 Teorema de Pitaacutegora en el epacio o bien demostrando que cada plano diagonal es un rect~ gula Sea por ejemplo ASCO es un piexclralelogramo pubullbull ~ y ~ on igualbullbull y paralelo Ademaacutes AS y AO son perpndiculares por er AO una recta dl plano perpendicular a AS por A

Como cada diagonal es comuacuten a do planos diagonalbullbull y su punto mdio s aacuteMico la intrseccioacuten de tod~s e dicho punto

Podmobullbullbulltudiar a continuacioacuten uperficie laterale y totashyl bullbull vol (menebullbull

y lugo eguir con los cilindros Sus propiedadbullbullbull cibullbull y vol(mnbullbullbullbullbull

2oacute

ALGUNOS PROBLEMAS

PARA

INTRODUCIR O INTEGRAR TEMAS

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iquestQueacute podeMOs hacer con los seg_ntos

Lo auto~es opinan que la dificultad que tienen los alumnos p~ ~ ~~onocr bullbullmpl~r y oparar ampe debe an gran parte a la bullbullparashycioacuten en capitulo aislado y a la ingenuidad de uponer que 1 ashylumnQ no tin conocimientos previos aunque no le haya incorporashydo d forma idbullbull l

Un camino recto une 1 ciudades A y B Ebullbull cmino tin una longitud de 80 km bull Tambi6n podemos i~ de A a C y luego pashya~ a 8 O A a C hay 60 km y de 8 a C 40 km siendo ambo caminos rectos

EMistn alternativa en 1 prebullbullntaci6n puede darbullbullbull1 dibujo D pedirlo como parte d l r bullbullpusta La bullbullgunda altrntiva bullbull maacute ~iCa po~que eMige l const~ucci6n de un t~i4n9ulo con ~e9la Y compbullbull cuando bullbull conOCRn 109 trbullbull lados

iquestCuaacutel e el camino maacute l~go iquestPo~ queacute

La l1na de autobus 17 une di~ectmente A con B una velocishydad media de 40 kiloacutemet~os cada ho~a (En un cu~o elemental p~~

1e~imo deci~ kiloacutemet~os cad ho~a kiloacutemet~o po~ ho~a) iquestCu6ntc ta~da pa~a i~ de A hast B

La l1ne 78 v de A e bull bO kiloacutemet~o cad ho~ y de C bull B a 40 kiloacutemet~os cada ho~bullbull iquestCuaacutento ta~da eta linea en comshypleta~ el viaje

iquestCuaacutel e la ventaja ho~~i de un l1nea sob~e 1 ot~a

Algunbullbull pOibles continuaciones del p~oblem pod~1an e~1

La l1ne 17 cob~ el viaje a ~azoacuten de OOb5 po~ kiloacutemet~o y la l1nea 7B cob~ 0045 po~ kiloacutemet~o L l1nea 17 hace un deshycuento del 107 oacutelo bull lo estudiante La linea 78 hace un deshycuento del 57 oacutelo a lo jUbilado iquestQueacute l1nea conviene toma~ a lo etudiante iquestY los Jubilado Se supone que el nivel de los bullbullrvicies es 1 mismo

iquestQueacute va~iante apa~ece en el p~oblema si la velocidad de l lishynea 78 ent~e B y C pasa a se~ de 80 kiloacutemet~o cad ho~ mnt~ ni6ndoe constnte lo demaacutes dato

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ALGUNOS PROBLEMAS

PARA

INTRODUCIR O INTEGRAR TEMAS

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iquestQueacute podeMOs hacer con los seg_ntos

Lo auto~es opinan que la dificultad que tienen los alumnos p~ ~ ~~onocr bullbullmpl~r y oparar ampe debe an gran parte a la bullbullparashycioacuten en capitulo aislado y a la ingenuidad de uponer que 1 ashylumnQ no tin conocimientos previos aunque no le haya incorporashydo d forma idbullbull l

Un camino recto une 1 ciudades A y B Ebullbull cmino tin una longitud de 80 km bull Tambi6n podemos i~ de A a C y luego pashya~ a 8 O A a C hay 60 km y de 8 a C 40 km siendo ambo caminos rectos

EMistn alternativa en 1 prebullbullntaci6n puede darbullbullbull1 dibujo D pedirlo como parte d l r bullbullpusta La bullbullgunda altrntiva bullbull maacute ~iCa po~que eMige l const~ucci6n de un t~i4n9ulo con ~e9la Y compbullbull cuando bullbull conOCRn 109 trbullbull lados

iquestCuaacutel e el camino maacute l~go iquestPo~ queacute

La l1na de autobus 17 une di~ectmente A con B una velocishydad media de 40 kiloacutemet~os cada ho~a (En un cu~o elemental p~~

1e~imo deci~ kiloacutemet~os cad ho~a kiloacutemet~o po~ ho~a) iquestCu6ntc ta~da pa~a i~ de A hast B

La l1ne 78 v de A e bull bO kiloacutemet~o cad ho~ y de C bull B a 40 kiloacutemet~os cada ho~bullbull iquestCuaacutento ta~da eta linea en comshypleta~ el viaje

iquestCuaacutel e la ventaja ho~~i de un l1nea sob~e 1 ot~a

Algunbullbull pOibles continuaciones del p~oblem pod~1an e~1

La l1ne 17 cob~ el viaje a ~azoacuten de OOb5 po~ kiloacutemet~o y la l1nea 7B cob~ 0045 po~ kiloacutemet~o L l1nea 17 hace un deshycuento del 107 oacutelo bull lo estudiante La linea 78 hace un deshycuento del 57 oacutelo a lo jUbilado iquestQueacute l1nea conviene toma~ a lo etudiante iquestY los Jubilado Se supone que el nivel de los bullbullrvicies es 1 mismo

iquestQueacute va~iante apa~ece en el p~oblema si la velocidad de l lishynea 78 ent~e B y C pasa a se~ de 80 kiloacutemet~o cad ho~ mnt~ ni6ndoe constnte lo demaacutes dato

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iquestQueacute podeMOs hacer con los seg_ntos

Lo auto~es opinan que la dificultad que tienen los alumnos p~ ~ ~~onocr bullbullmpl~r y oparar ampe debe an gran parte a la bullbullparashycioacuten en capitulo aislado y a la ingenuidad de uponer que 1 ashylumnQ no tin conocimientos previos aunque no le haya incorporashydo d forma idbullbull l

Un camino recto une 1 ciudades A y B Ebullbull cmino tin una longitud de 80 km bull Tambi6n podemos i~ de A a C y luego pashya~ a 8 O A a C hay 60 km y de 8 a C 40 km siendo ambo caminos rectos

EMistn alternativa en 1 prebullbullntaci6n puede darbullbullbull1 dibujo D pedirlo como parte d l r bullbullpusta La bullbullgunda altrntiva bullbull maacute ~iCa po~que eMige l const~ucci6n de un t~i4n9ulo con ~e9la Y compbullbull cuando bullbull conOCRn 109 trbullbull lados

iquestCuaacutel e el camino maacute l~go iquestPo~ queacute

La l1na de autobus 17 une di~ectmente A con B una velocishydad media de 40 kiloacutemet~os cada ho~a (En un cu~o elemental p~~

1e~imo deci~ kiloacutemet~os cad ho~a kiloacutemet~o po~ ho~a) iquestCu6ntc ta~da pa~a i~ de A hast B

La l1ne 78 v de A e bull bO kiloacutemet~o cad ho~ y de C bull B a 40 kiloacutemet~os cada ho~bullbull iquestCuaacutento ta~da eta linea en comshypleta~ el viaje

iquestCuaacutel e la ventaja ho~~i de un l1nea sob~e 1 ot~a

Algunbullbull pOibles continuaciones del p~oblem pod~1an e~1

La l1ne 17 cob~ el viaje a ~azoacuten de OOb5 po~ kiloacutemet~o y la l1nea 7B cob~ 0045 po~ kiloacutemet~o L l1nea 17 hace un deshycuento del 107 oacutelo bull lo estudiante La linea 78 hace un deshycuento del 57 oacutelo a lo jUbilado iquestQueacute l1nea conviene toma~ a lo etudiante iquestY los Jubilado Se supone que el nivel de los bullbullrvicies es 1 mismo

iquestQueacute va~iante apa~ece en el p~oblema si la velocidad de l lishynea 78 ent~e B y C pasa a se~ de 80 kiloacutemet~o cad ho~ mnt~ ni6ndoe constnte lo demaacutes dato

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Opinamos que no es convampniante definir segmento cgmo intersecshycioacuten d_ bullbullmirr~t L nociOacuteM damp bullbull9mampnto bullbull mbullbull bullbullncilla qua l de semirrecta Los docentas qUamp quieran enseftar algo sobre conjunshytos podrn ha~er pregunta sobre interseccioacuten iquestCUAacutel es iexcla interseccioacuten del segmento Af con el segmento Be

No tiene importancia simbolizar puntos con mayuacutesculas O ~on m~ nuacutesculas Es simplemente una convencioacuten

Ls bifurcaciones del problema son muchas y se puede complicar seguacuten 1 nivel del curso o del programa del ~urso

Por ejemplo el grAacutefico puede ampigirse en escala 1 transporshytador permitir medir lobullbullngulos entre cminos

La posi~ione de iexcla ciudades pueden dare con referencia a un diagrama cartesiano

Con velocidade tiempos recorridos y precios se pueden repr~ sentar distintas funcione linealebullbull

Desde A podriamos elegir entramp los caminos AS y ACB meshydiantamp una pauta al axar (Por eJemplol si al tirar un dado al as o seis voy por AS en caso contrario por ACS) Si 180 persanbullbull siguen esta pauta iquest~u~tos aprc~imadamente irn por cada camino iquestPor queacute decimos aproximadamente

El problema que estamos anali bullbullnda podriacutea ser planteado ashylumnos de entre 12 y 14 a~s Para alumnos de maacutes de 14 ~s el problema podr1a incluir el empleo del teorema del seng del teorema del coseno sistemas de ecuaciones etc

A medida que e avanza tambieacuten puedan emplearse ~am1nos consshytruldos ccn arcOs de circunfrncibullbullbullbull

29

No amp ncamparlo que continuemos porque ustd lo har mJor que nootros L idbullbull cntral bullbull 1 wimpre qua podamos empl bullbullmos 1 tanto por cinto las longitudbullbull las funcionbullbullbullbullbull No lslmos los conocimientos como n general lo hemo hcho hata ahOra Evitshymo_ que 1 alumno p1 n_ con l bull bull vlucJ6n se cbron los 4nl1ushy108 hor vienen los vctors mana s l prueba dbullbullbullbullbull

Los profbullbullors que han hChO ~periencia pcid 1 proshypubullbullta han encontradQ provacho y la alumnos han1 particlpado con ntu_lamo

1 CUIDADOI

Sln embargo db evitarse la compli~acion_ e~cbullbulliv que puede llevarnos nustra erbullbulltividad en un prime probl ma porqu pud habr una d1prsiOn malsana AIuna ida haor que dJarla para problma poteriorbullbullbull

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No amp ncamparlo que continuemos porque ustd lo har mJor que nootros L idbullbull cntral bullbull 1 wimpre qua podamos empl bullbullmos 1 tanto por cinto las longitudbullbull las funcionbullbullbullbullbull No lslmos los conocimientos como n general lo hemo hcho hata ahOra Evitshymo_ que 1 alumno p1 n_ con l bull bull vlucJ6n se cbron los 4nl1ushy108 hor vienen los vctors mana s l prueba dbullbullbullbullbull

Los profbullbullors que han hChO ~periencia pcid 1 proshypubullbullta han encontradQ provacho y la alumnos han1 particlpado con ntu_lamo

1 CUIDADOI

Sln embargo db evitarse la compli~acion_ e~cbullbulliv que puede llevarnos nustra erbullbulltividad en un prime probl ma porqu pud habr una d1prsiOn malsana AIuna ida haor que dJarla para problma poteriorbullbullbull

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Un proble_ de triAacutengulosbullbullbull

Determinar el aacuterea de ~ada uno de dos maneras distintas (una dire~ta bull otra indirecta) analizando la limitaciones de cada mt~ do

Elaborar una tabla con los resultados de todos los grupos con los siguientes datos

1ire 1ire Base Altura (meacute tcxCJ clJrectCJ) (meacutetodo indirecto)

f Proponer posibles grAacutefi~o de A tehgt y A bull teb) iquestQueacute requisitos deberlan cumplire

iquestGueacute tipos de graacuteficos esperan obtnr pran obt~r a partir de ellos~

Cmparar aacutera directa indirecta (Considerar las diferenshycibullbull d_ los vlorll de la tabla con bt bull Jf h )

Promediar los valors obtenidos por medicren directa y compashyrar bullbullbull valor promedio con el valor obtenido por f6rmula

Realizar graacuteficos de Aacute t(hgt Y Aacute bull (Cb) pero usando los resultado obt~idos por medicioacuten dircta

Discutir el trazado de la middotmiddotre~t maacutes probabl

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Alqynbullbull obullbullryampcipnbullbull y aMntarias

L s1 tuci On prob lemAl i ca an ter ior puede er trab d grup l mnt Por j~plQ a tres grupos se ls pida que trabajen cen trS tr1Angulos cuy b se sea oacute cm a tro tres contrs trtaacutengulc de 4 cmd altura

Sigu1endc 1bullbull consina5 detrminan 1 area d manera dir~cta (contndo cudrdito) bull indirecta (ut111z ndo fOacutermula) S1 dbullbullshymoa trbaJr 010 a lo Alumno5 puede 1ncluo qu bull alguno e le ocurra contAr lo CUAdradito d un rectAnQulo y dividir lUtiexclO por dos Si lo ncen preguntemos 1 iquestQu estAn aplicndo

Al gr1icr discutamos cem ello1 bullbull po1bl consider~ soacuteshylo un punte o dbemoamp considr~ las indterminac1onbullbull de la medishycioacuten_ A bullbullt bullbull 1ndtrm~ncion~ Be 1bullbull denomina n l c1n~1bullbull bull ~perimentlebullbullbullrror Et nombre no stA rpreentando un shyquivocacioacuten sino unA limitacioacuten en l bull mdicion DiscutAllu con lo chicos u importncia

Con repcto los graf1eo cartesianC5 obtenidos iquestS trata d 1unc10nbullbull iquestV us invr~bullbull Discutir qu tipo d depndnc d 1 varibls hy iquestel oipo de 1uncLcn parecn roporshycion11dad

Oda una b y una altura det~rmindbullbull gulo con bullbullt md1d iquestO bullbull uno oacutelo Son infinito Pod~ ~o trbj r can gamita y vrishyf1crlo

iquestGu rl ci6n hy ntra la superficibullbull d todobullbull110 Son igual iquestV entr us pr1mshytro San distintas

iquestCual s 1 de menor par1mt tro

iquestCuMto triaacutengulo isoacutesceshyl bullbull con 1 rstriccion d das hy Unoi 1 altura es lA c2 k~L __ ~____ ===~ rrbullbulloondint A 1 b iquestV si na iquestCuAntos que no SAn iguashyl bullbull iquestOblicuaacutengulo iquestAcutMljulo iquestRctMljuloabull

Alqynbullbull obullbullryampcipnbullbull y aMntarias

L s1 tuci On prob lemAl i ca an ter ior puede er trab d grup l mnt Por j~plQ a tres grupos se ls pida que trabajen cen trS tr1Angulos cuy b se sea oacute cm a tro tres contrs trtaacutengulc de 4 cmd altura

Sigu1endc 1bullbull consina5 detrminan 1 area d manera dir~cta (contndo cudrdito) bull indirecta (ut111z ndo fOacutermula) S1 dbullbullshymoa trbaJr 010 a lo Alumno5 puede 1ncluo qu bull alguno e le ocurra contAr lo CUAdradito d un rectAnQulo y dividir lUtiexclO por dos Si lo ncen preguntemos 1 iquestQu estAn aplicndo

Al gr1icr discutamos cem ello1 bullbull po1bl consider~ soacuteshylo un punte o dbemoamp considr~ las indterminac1onbullbull de la medishycioacuten_ A bullbullt bullbull 1ndtrm~ncion~ Be 1bullbull denomina n l c1n~1bullbull bull ~perimentlebullbullbullrror Et nombre no stA rpreentando un shyquivocacioacuten sino unA limitacioacuten en l bull mdicion DiscutAllu con lo chicos u importncia

Con repcto los graf1eo cartesianC5 obtenidos iquestS trata d 1unc10nbullbull iquestV us invr~bullbull Discutir qu tipo d depndnc d 1 varibls hy iquestel oipo de 1uncLcn parecn roporshycion11dad

Oda una b y una altura det~rmindbullbull gulo con bullbullt md1d iquestO bullbull uno oacutelo Son infinito Pod~ ~o trbj r can gamita y vrishyf1crlo

iquestGu rl ci6n hy ntra la superficibullbull d todobullbull110 Son igual iquestV entr us pr1mshytro San distintas

iquestCual s 1 de menor par1mt tro

iquestCuMto triaacutengulo isoacutesceshyl bullbull con 1 rstriccion d das hy Unoi 1 altura es lA c2 k~L __ ~____ ===~ rrbullbulloondint A 1 b iquestV si na iquestCuAntos que no SAn iguashyl bullbull iquestOblicuaacutengulo iquestAcutMljulo iquestRctMljuloabull

Esta y ot~a preguntes pueden ser plantaada para que l bullbull discutan para que fo~mulen sus hipoacutetesisI bullbull verifiquen o las raf~ tan No debwmos olvidar al papel fundamental d la demostraciones en aeometria

Cambiemos ahora un poco al problema Si damos una mediana y la base (o una mdiatri~ y la babullbull o una bisect~il y la babullbull l plaQ t bullbullmos 1laquo situacioacuten y vbullbullmos entre todos qu6 conclusiones extraeshyMOS D_jmas qu los alumno5 conjeturen y ~ribullbullun

Tambi6n as poible partir de un cuadrilaacutetero en vez de tri6nulo iquestau elamento podemos fija~ iquestaueacute cuadrilaacuteteros recen iquestau propiedadbullbull prebullbullntan iquestC~o demotrarla

nemos un salto al espacio Trabajamos con una piraacutemide Con una bae fija por ejemplo un cuadrado Juguamo Con su altushyr o con l bullbull alturas de su cara lateralbullbullbull

Surge la piraacutemide recta Analicemos sus propiedadabull tr~olas iquestCoacutemo son la alturas de las cara iquestau triaacutengulos son las caras

Volvamos al caso plano en lugar de un triaacutengulo o un cuadrishylaacutetero podriamos haber propuesto pnsar y medir partiendo de otro pol1ono Si no a regular no hay tanta propladade para damosshytraro Si as regular iquestas rico en propiedades diversa iquestHay mushyChO pollonos posible o dado el namero da lados y la medida de uno de elle al pol1ono quada daterminado Trabajamos an eta cbullbullc clc~lando u apotama en 1uncioacuten del lado S610 necbullbullitamobull bull 1 T_orema d PitA9or Trabajemo con varios poll~onobullbullbullbull

33

Una entrada a vectore

~b~valbcidad del bote = 4 kmh

~ bull velocidad da la ccrrint - 3 kmh ~ = velocidad resultAnte r

AacuteMgulo ~ntre corriente y velocidad bbte = 90shy

El Sr A ve d~pla~are el bete en la direcshy

cioacuten J r

iquestCul e al valor absoluto da J r

MedimobullbullegOacuteM la ecala Aproximadamente 5 kmh

Si los alumnos conecan el teorema de Pit6gora pueden aplicarshylo Da lo centrarie hay dos opciones

a) ensenar brevemente la propiedad b) conformarse COn la medicioacuten apre~imada

Ants de dar relas hay que preguntar a los alumnos ~rbullbulln que bullbull la rbullbullultnte iquesth~ci donde

SegOacuteM lo que sepan los alumnos puede calcularse Q

---------- o ----------

Cambiamos a continua~ioacuten la direccioacuten de l velocidad de la corriente

Iv I1 = b2 kmh IJ I bull SS kmh r r

34

Una entrada a vectore

~b~valbcidad del bote = 4 kmh

~ bull velocidad da la ccrrint - 3 kmh ~ = velocidad resultAnte r

AacuteMgulo ~ntre corriente y velocidad bbte = 90shy

El Sr A ve d~pla~are el bete en la direcshy

cioacuten J r

iquestCul e al valor absoluto da J r

MedimobullbullegOacuteM la ecala Aproximadamente 5 kmh

Si los alumnos conecan el teorema de Pit6gora pueden aplicarshylo Da lo centrarie hay dos opciones

a) ensenar brevemente la propiedad b) conformarse COn la medicioacuten apre~imada

Ants de dar relas hay que preguntar a los alumnos ~rbullbulln que bullbull la rbullbullultnte iquesth~ci donde

SegOacuteM lo que sepan los alumnos puede calcularse Q

---------- o ----------

Cambiamos a continua~ioacuten la direccioacuten de l velocidad de la corriente

Iv I1 = b2 kmh IJ I bull SS kmh r r

34

Ne paree prudente emplear el teerema del basta cen medirle en escala

__ ______ __ I~ro I - 29 Iltmh

IJ I = 7 Iltmh bull bull

~ Iv I bull 1 kmhbull

Si dispone de una computadora ~ fAc11 hacer les cambies de velocidad y ver coacutenlo 10$ paralelcuilramos lIUI lIbrflnf~

Observacioru Puede aprovacharse la ocasieacuten para repasar propiedashyde de le paralelogramos

---------- o ----------

Una continuacioacuten pOsible

Un vecter puede representarse en un 91stema cartesiane adoptau

de los veetoras i y J como bs (no bullbull dafinR base sine que bullbull 1 emplea en el entido del lenguaje erdinario)

y

j

35

Un autom6vi1 ss musvR sobre una circunfrnci eon unA rpidez(moacutedushy10 de ~l igual a 3 mIs Calcular el camb10 de velocidad cuando pasa del punto A al B

v -3 r + O j ~s ~

v = O r + 3 jA

Restamos 1gt bull -3 i

~ - 3 j y

Hacemos la pruebac

A~ + ~ =-3 r - 3 J + O i + 3 J ~ -3 1 + O J A

QbbullbullrVAc1gnbullbull i

Puede aprovecharse la ocasioacuten para repaar lenltud de la circunferencia

No e pertinente calcular al aacuterea porque no tiene que ver con este prOblema

Mejor hace preuntas iquestCuaacutel bullbull la diferencia entre y

cuando el automoacutevil vuelve al punte A etc

ALGUNOS PROBLEMAS INTERESANTES

37

1) Tito as un criador de oyejas de la Patagonia En Su rebano ny sOImente cutro oyeJa negras Un dla Tito ancontroacute a sus cu~ tro oyeja negra ubicads en forma equidistante e decir de tal manera que la distncia entre do cualesquira de lla e 1Siempre 19ual iquestCoacutemo etaban ubicada las cuatro oveja de Tito

2) Nos h_mes ccmunicdc con un ser ~traterretr que no ha tranmitido el siguiente menaje

Vivo en un pLaneta qua no tiene atmesfera y que tiene variacuteo sole Cualquier lugar de la uprficia de mi planeta ataacute ilumin4 dO en todo momento por alguno de estos ola de manera directa Si alguno de 110 se apagara e oscurecerlan algunas zOna de mi pl~ ntbull 11

iquestCuaacutentos 1S01amp tiene el planeta de nuestre amigo ~D6nde etaacuten ubicados

3) (a) Una mosca etaacute encerrada en una caja cuacutebica de acrllico tranSprente de 1m d arita La mesea bullbull taacute posada n un veacutertice de la caja En el veacutertice opuesto nay una gota de mil iquestQueacute disshytancia debe volar la mosca para llegar a l gota de miel

(b) iquestCuaacutento mide la diagonal principal de un eubo de rista a

(e) Rsponder la misma prgunta para una eaja no cuacutebica (paralshyleplpado rctaacutengulo) euya arita tienen longitudbullbull a ~ y r

(d) iquestT animabullbull enuneLar (y demotrar bullbull ) un Teorem de PitAgQ ra tridimnsion l

Ce) Si la moc anora no puede vol r y debe tr l dare Caminanshydo por la preds de la caja iquestqueacute ditaneia reorr para lleg r hata 1 gota de miel

4) En una cartulin plnbullbullbull han ralizado tres gujros da 1bullbull siguintbullbull forms y di~nsions rspectivmnt

l- Un eudrado de 10 em de lado z- Un tringulo isos~el de 10 ~m d b Y 10 cm da

ltur corrspondiente bull dieM bbullbullbull ~ Un elrcul0 de 10 cm de diaacutemtro

Nos pidn que dterminemos si bullbull posibl un eurpo soacutelido qu pueda pr bull tetmntll a travs de los trs gujeros

(Ajustdamlltnt significiexcl que ~undo al soacutelido trviea iexcl Cartulina db obturar totlment el agujero correspondiente entrando n contacto eon todos los puntos dl borde dl agujero)

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Un autom6vi1 ss musvR sobre una circunfrnci eon unA rpidez(moacutedushy10 de ~l igual a 3 mIs Calcular el camb10 de velocidad cuando pasa del punto A al B

v -3 r + O j ~s ~

v = O r + 3 jA

Restamos 1gt bull -3 i

~ - 3 j y

Hacemos la pruebac

A~ + ~ =-3 r - 3 J + O i + 3 J ~ -3 1 + O J A

QbbullbullrVAc1gnbullbull i

Puede aprovecharse la ocasioacuten para repaar lenltud de la circunferencia

No e pertinente calcular al aacuterea porque no tiene que ver con este prOblema

Mejor hace preuntas iquestCuaacutel bullbull la diferencia entre y

cuando el automoacutevil vuelve al punte A etc

ALGUNOS PROBLEMAS INTERESANTES

37

1) Tito as un criador de oyejas de la Patagonia En Su rebano ny sOImente cutro oyeJa negras Un dla Tito ancontroacute a sus cu~ tro oyeja negra ubicads en forma equidistante e decir de tal manera que la distncia entre do cualesquira de lla e 1Siempre 19ual iquestCoacutemo etaban ubicada las cuatro oveja de Tito

2) Nos h_mes ccmunicdc con un ser ~traterretr que no ha tranmitido el siguiente menaje

Vivo en un pLaneta qua no tiene atmesfera y que tiene variacuteo sole Cualquier lugar de la uprficia de mi planeta ataacute ilumin4 dO en todo momento por alguno de estos ola de manera directa Si alguno de 110 se apagara e oscurecerlan algunas zOna de mi pl~ ntbull 11

iquestCuaacutentos 1S01amp tiene el planeta de nuestre amigo ~D6nde etaacuten ubicados

3) (a) Una mosca etaacute encerrada en una caja cuacutebica de acrllico tranSprente de 1m d arita La mesea bullbull taacute posada n un veacutertice de la caja En el veacutertice opuesto nay una gota de mil iquestQueacute disshytancia debe volar la mosca para llegar a l gota de miel

(b) iquestCuaacutento mide la diagonal principal de un eubo de rista a

(e) Rsponder la misma prgunta para una eaja no cuacutebica (paralshyleplpado rctaacutengulo) euya arita tienen longitudbullbull a ~ y r

(d) iquestT animabullbull enuneLar (y demotrar bullbull ) un Teorem de PitAgQ ra tridimnsion l

Ce) Si la moc anora no puede vol r y debe tr l dare Caminanshydo por la preds de la caja iquestqueacute ditaneia reorr para lleg r hata 1 gota de miel

4) En una cartulin plnbullbullbull han ralizado tres gujros da 1bullbull siguintbullbull forms y di~nsions rspectivmnt

l- Un eudrado de 10 em de lado z- Un tringulo isos~el de 10 ~m d b Y 10 cm da

ltur corrspondiente bull dieM bbullbullbull ~ Un elrcul0 de 10 cm de diaacutemtro

Nos pidn que dterminemos si bullbull posibl un eurpo soacutelido qu pueda pr bull tetmntll a travs de los trs gujeros

(Ajustdamlltnt significiexcl que ~undo al soacutelido trviea iexcl Cartulina db obturar totlment el agujero correspondiente entrando n contacto eon todos los puntos dl borde dl agujero)

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ALGUNOS PROBLEMAS INTERESANTES

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1) Tito as un criador de oyejas de la Patagonia En Su rebano ny sOImente cutro oyeJa negras Un dla Tito ancontroacute a sus cu~ tro oyeja negra ubicads en forma equidistante e decir de tal manera que la distncia entre do cualesquira de lla e 1Siempre 19ual iquestCoacutemo etaban ubicada las cuatro oveja de Tito

2) Nos h_mes ccmunicdc con un ser ~traterretr que no ha tranmitido el siguiente menaje

Vivo en un pLaneta qua no tiene atmesfera y que tiene variacuteo sole Cualquier lugar de la uprficia de mi planeta ataacute ilumin4 dO en todo momento por alguno de estos ola de manera directa Si alguno de 110 se apagara e oscurecerlan algunas zOna de mi pl~ ntbull 11

iquestCuaacutentos 1S01amp tiene el planeta de nuestre amigo ~D6nde etaacuten ubicados

3) (a) Una mosca etaacute encerrada en una caja cuacutebica de acrllico tranSprente de 1m d arita La mesea bullbull taacute posada n un veacutertice de la caja En el veacutertice opuesto nay una gota de mil iquestQueacute disshytancia debe volar la mosca para llegar a l gota de miel

(b) iquestCuaacutento mide la diagonal principal de un eubo de rista a

(e) Rsponder la misma prgunta para una eaja no cuacutebica (paralshyleplpado rctaacutengulo) euya arita tienen longitudbullbull a ~ y r

(d) iquestT animabullbull enuneLar (y demotrar bullbull ) un Teorem de PitAgQ ra tridimnsion l

Ce) Si la moc anora no puede vol r y debe tr l dare Caminanshydo por la preds de la caja iquestqueacute ditaneia reorr para lleg r hata 1 gota de miel

4) En una cartulin plnbullbullbull han ralizado tres gujros da 1bullbull siguintbullbull forms y di~nsions rspectivmnt

l- Un eudrado de 10 em de lado z- Un tringulo isos~el de 10 ~m d b Y 10 cm da

ltur corrspondiente bull dieM bbullbullbull ~ Un elrcul0 de 10 cm de diaacutemtro

Nos pidn que dterminemos si bullbull posibl un eurpo soacutelido qu pueda pr bull tetmntll a travs de los trs gujeros

(Ajustdamlltnt significiexcl que ~undo al soacutelido trviea iexcl Cartulina db obturar totlment el agujero correspondiente entrando n contacto eon todos los puntos dl borde dl agujero)

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1) Tito as un criador de oyejas de la Patagonia En Su rebano ny sOImente cutro oyeJa negras Un dla Tito ancontroacute a sus cu~ tro oyeja negra ubicads en forma equidistante e decir de tal manera que la distncia entre do cualesquira de lla e 1Siempre 19ual iquestCoacutemo etaban ubicada las cuatro oveja de Tito

2) Nos h_mes ccmunicdc con un ser ~traterretr que no ha tranmitido el siguiente menaje

Vivo en un pLaneta qua no tiene atmesfera y que tiene variacuteo sole Cualquier lugar de la uprficia de mi planeta ataacute ilumin4 dO en todo momento por alguno de estos ola de manera directa Si alguno de 110 se apagara e oscurecerlan algunas zOna de mi pl~ ntbull 11

iquestCuaacutentos 1S01amp tiene el planeta de nuestre amigo ~D6nde etaacuten ubicados

3) (a) Una mosca etaacute encerrada en una caja cuacutebica de acrllico tranSprente de 1m d arita La mesea bullbull taacute posada n un veacutertice de la caja En el veacutertice opuesto nay una gota de mil iquestQueacute disshytancia debe volar la mosca para llegar a l gota de miel

(b) iquestCuaacutento mide la diagonal principal de un eubo de rista a

(e) Rsponder la misma prgunta para una eaja no cuacutebica (paralshyleplpado rctaacutengulo) euya arita tienen longitudbullbull a ~ y r

(d) iquestT animabullbull enuneLar (y demotrar bullbull ) un Teorem de PitAgQ ra tridimnsion l

Ce) Si la moc anora no puede vol r y debe tr l dare Caminanshydo por la preds de la caja iquestqueacute ditaneia reorr para lleg r hata 1 gota de miel

4) En una cartulin plnbullbullbull han ralizado tres gujros da 1bullbull siguintbullbull forms y di~nsions rspectivmnt

l- Un eudrado de 10 em de lado z- Un tringulo isos~el de 10 ~m d b Y 10 cm da

ltur corrspondiente bull dieM bbullbullbull ~ Un elrcul0 de 10 cm de diaacutemtro

Nos pidn que dterminemos si bullbull posibl un eurpo soacutelido qu pueda pr bull tetmntll a travs de los trs gujeros

(Ajustdamlltnt significiexcl que ~undo al soacutelido trviea iexcl Cartulina db obturar totlment el agujero correspondiente entrando n contacto eon todos los puntos dl borde dl agujero)

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~) (a) iquestEs posible obtener una seccioacuten plana de un tt~aedro ~gushyl~ que ea un cuad~ilaacutetero iquestV un cuadrado bullbull

(b)iquestPuede eccionarse un cubo y obtenr un t~i~gulo equilaacutetro iquestY un heHAono rgular

eacutel (a) Un cuadrado tiene lado l En su interior iquestes pOBible ubishycar un tri~gulo equilaacutetero de la misma longitud de lado iquestPueden ubiCarse maacute tri~qulo que tnan esta mima caractriacutesticas

lb) PensemoS ahora en la situacioacuten tridimensional anaacutelogal Se tine un cubo de arita a iquestEs poible ubicar dnt~o de

eacutel un tetraedro rgular de arista a 7 iquestO tal vez qupan dobullbullbull

7) Juan etaacute cansado de los calendarios tradicionals y afirma que estaacute die-ndo uno muy orig1nal No es planol todo los mbullbullbullbull tienen n eacutel la misma importancia I no hay dos mbullbullbullbull que e encuenshyt~en sobre el mismo plano y no queda lugar en eacutel para ningQn otro

e) En mi manos tengo un poliedro de 9 veacutertice En 3 d eshy0 veacuterticbullbull confluyen eacute caraS (n cada uno) mientras que n lo eacute r bullbull tante veacutertices inciden 4 caras en cada uno Toda la cashyra del poliedro son tri~gulos

(a) iquestCuaacutenta caras tine el poliedro lb) iquestCuaacutenta aritas tiene el polidro

9) (a) Conideremo~ un cubo En cada cara ubiquemos un punto en el cent~o de la misma Unamos con segmentos los puntos correponshydiente a caras adyacente5 Se ha formado a1 un nuevo poliedro (o en realidad el esqueleto d un poliedro)

J- iquestDe queacute poliedro s trata ~ iquestQueacute paSa si repetimos la operacioacuten a part1~ de eacutel ~ Contar veacutertice aristas y cara de los poliedros que

aparecen n 1 problema

(b) Probar queacute ocurre si 1 poliedro original bullbull un tetraedro un octaedro un dodecaedro y un icosaedro (todos ello regularbullbull )

(d) Analizar el prOblema plantedo con otro pOliedros conOCishydobullbull prisma piraacutemides bipirAmide (de distinta babullbullbull l

39

10) Se dispone de 6 palillos de igual longitud ~on los que se qui~ re formar 4 tri~n9ulos equilteros iguales ~uyos lados tengan la misma longitud que ~ad palillo iquestEs posible solucionar ete problema iquestoe qu manera

11) Ja~into tiene un trozo da ~artulina de 20 cm por 13 cm Segaacuten ha dicho puede construir una caja da ~ cm por 16 cm de bae con la mayor altura posible para guardar lo 112 dados de 1 cm de arisshyta que tiene desparramados por ahl Se pide

(b) Oar la instrueeions que permitan dicha construccioacuten

(el iquestCuaacutel es la mayor altura posible a la que hace mencioacuten 1 ra lato

12) Se trazan tres circunterencias del mismi radio que paSn por un m1smc puntQ~ Omostrr qUamp 1 circun1rncia qu p por lo otros trbullbull puntos en que se cortan las circunferncibullbull dadbullbull des bull do t1ene el mimo radio que las anteriorebullbull

13) Se tiene un tetraedro regular da arista a Encontrar la amshyplitud del Angula con vrtice en el punto medio de la arista y cushyyos lados rspectivos quedan determinados por dicho vrtice y dos veacutertice del tetraedro Analizar todaS la posibilidades

14) Un cubo tiene una stera inscripta en 1

(a) Analizar qu sucede si el diaacutemetro de la esfera inicial se reduce a la mitad a la tercara parte a la cuarta ya as1 suceSivashymente (un nuacutemero finito de veesJ con 1 relacioacuten entre el radio y el nuacutemero d efer1ts que caben en el cubo (Toda tangentes entre ell bullbull y tangntes bull las cras dl cubo)

(b) iquestQu6 puede concluir acerca del volumen comprendido entre el cubo y la (las) efera (efras) Jutifique

(el Fbullbulle este problema al plano teniendo en cuenta que cubo ~ cudrdo

esffllr _ ci rcul0 Analice la relacioacuten ntre el radio del cIrculo y el namero de

ellcamp que Cfilbnmiddot f en el tuadrado iquestGu6 sucede con la uperficie entre el cuadrado y lo circulos

40

15) En un prisma recto caben 64 e5+eritas congruentes entre s1 y tanglimt entr 11ati 1 respecte ele las caras del prisma

Ibl De todos los prismas posibles iquestcuaacutel es el de menor aacuterea tot-l

(el Hallar el volumen comprendido entre el prisma y las amp5ferishytas

(d) iquestQueacute sucQder1a con este volumn si cada 5T~ra reduje su diaacutemetro - la mitad iquestV si lo duplcara

16) (al Sobre cada uno de los lados de un triaacutengulo rectngulo se tra~ una smi~ircunfernciB cuyo diaacutematrc tine la medida de es lado Dmostrar que el aacutere del ge~ic1rculo conatruido 90br la h~ potenua es igual a l $um_ de las ~rampa$ dm los bullbullmiclrculos consshytruidos sobre los catetos

(b) Considersmo~ ahora el mimo triaacutengulo y construyamos sobre cada ladO un hexgono regYlar cuyos lodos ~ea iguales1 lado coshyrrspondient del triaacutengulo iquestPuede afirmarse algo respecto de las aacuterea dlf lo triexcliexcl hexaacutegonos~

(el iquestEs pOSible generallzar ~sa propiedad para el caso en qubull bullbull con~truy un poliacutegono regulr cualquira iquestEn queacute se basa la demostracioacuten correspondiente

17) En el interior de un vaso cil1ndrico de 10 cm de diaacutem~tro d la b-e y 20 cm de altura hay una gota de miel a 3 cm del borde sushyperior del vaso Una mosca estaacute posada fuera dl VaSo a la misma altura y en la posgtci6n diametralmente opuesta iquestCuaacutel sect el camino maacutes corto que puede sampgllir la mOiita (Conamplderar si le conviene caminar o volar en algOn mo~ento) (Eta mosca no 5 la misma del problema S aquella ya no podlil volr Plllro IJmbas mOSt85 son amirfif$ y canacen 1 reorsuneacutel de PitAshygoras) bull

lB) En un dodecaedro la CIma de Jas longltudes de todas las arisshyta~ 9 dm y la sumt de las raas de las caras que concurren en un veacutertice es 4635 cm iquestCuaacutel es la la longitud del camino mbullbull corto que un~ al centro de una cara y una arista

41

INDICE

- 1NTRODUCC 1eN ~ ~ _ 1lO

- UNA PROPUESTA METODOLOGICA 2

1 - Triaacutengulos bullbull

11 - Algunos triaacutengulos prticulares

IV - Aplicacioacuten de las i9uadad~ de triaacutengulos al ~tudio de otras figuras planas 8

V - Perpendicularidad 10

VI ~ En el espacio trdimensionl 13

lb

VIII - Paralelismo bullbullbullbullbullbull 20

Ix - Aacutengulos y Clrcunferanrias 24

25

- Algunos problemas par introducir o integrar tema bull bull bull bull bull 27

- A19uno~ problmas intersant~s bull bull ~ 37

42

I j

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INDICE

- 1NTRODUCC 1eN ~ ~ _ 1lO

- UNA PROPUESTA METODOLOGICA 2

1 - Triaacutengulos bullbull

11 - Algunos triaacutengulos prticulares

IV - Aplicacioacuten de las i9uadad~ de triaacutengulos al ~tudio de otras figuras planas 8

V - Perpendicularidad 10

VI ~ En el espacio trdimensionl 13

lb

VIII - Paralelismo bullbullbullbullbullbull 20

Ix - Aacutengulos y Clrcunferanrias 24

25

- Algunos problemas par introducir o integrar tema bull bull bull bull bull 27

- A19uno~ problmas intersant~s bull bull ~ 37

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