Instituto Politécnico NacionalEscuela Superior de Ingeniería Química e

Industrias Extractivas

Academia de Matemáticas Aplicadas

“Métodos Numéricos”

Proyecto 2er departamental:Elaborar un programa en MATLAB para calcular mediante minimos cuadrados el voltaje que circule a un tiempo de 17

segundos

ALUMNAS FIRMAJUAREZ RAMIREZ GUADALUPE MONTSERRAT_________MORENO AISLIN GABRIELA __________GARCIA RODRIGUEZ VIRIDIANA ___________

GRUPO:2IM48

PROFESOR:GRECIA ELIZABETH VAZQUEZ CAMARILLO

FECHA DE ENTREGA : 15 JUNIO 2015

PROYECTO 2.2Un condensador eléctrico posee una capacidad desconocida. Para calcular su capacidad se conecta a un circuito, en el cual un conmutador se conecta a un punto B de forma que se cargue el condensador; después el conmutador se conecta a un punto A de tal forma que el condensador se descarga a través de una resistencia, la cual tiene un valor de 200 ohm. Cuando el condensador se está descargando. El valor del voltaje que circula a través de él se mide durante 9 segundos en intervalo de un segundo. Los valores medidos se muestran en la siguiente tabla.T(s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9V(v) 9.4 7.31 5.15 3.55 2.81 2.04 1.26 0.97 0.74

El voltaje del condensador en función del tiempo está dado por:

V=V 0e(−t )(RC )

Donde: V0= voltaje inicialR= valor de la resistenciaC=Capacidad del condensador. Use el valor de 0.0016 microFaraday Mediante el ajuste de Minimos Cuadrados calcule el voltaje que circulara a un tiempo de 17 segundos

AJUSTE DE MINIMOS CUADRADOSExisten numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x e y se relacionan a través de una ecuación lineal y = ax + b donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema que se estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende encontrar. El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como técnica de mínimos cuadrados. Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que, representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta.

Sin embargo, los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente alineados (ver Fig. 1).

El método de mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros a y b de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales. Sin detallar el procedimiento, se dará aquí simplemente el resultado:

Donde n es el número de medidas y Σ representa la suma de todos los datos que se indican. Los errores en las medidas, se traducirán en errores en los resultados de a y b. Se describe a continuación un método para calcular estos errores. En principio, el método de mínimos cuadrados asume que, al fijar las condiciones experimentales, los valores yi de la variable independiente se conocen con precisión absoluta (esto generalmente no es así, pero lo aceptamos como esencial en el método). Sin embargo, las mediciones de la variable x, irán afectadas de sus errores correspondientes, si ε es el valor máximo de todos estos errores, entonces se tiene:

La pendiente de la recta se escribirá, y la ordenada en el origen . El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula:

Su valor puede variar entre 1 y -1. Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo

una correlación que es perfecta e inversa. Si r = 0 no existe ninguna relación entre las variables. Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo

una correlación que es perfecta y directa.

CODIFICACIONformat longt=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 ];V=[9.4 7.31 5.15 3.55 2.81 2.04 1.26 0.97 0.74];a=polyfit(t,V,1);disp('El valor de mis variables con una ecuación de primer grado es:')fprintf('a0=%8.4f a1=%9.4f\n',a(1),a(2))x=17;%Donde x es el valor del tiempo, y a1 es el valor de RC ya que como el%condensador va descargando existe una variación.Vj= a(1)-(x*a(2));disp('Por lo tanto sustituyendo en mi ecuación original el valor del Voltaje a 17 segundos es:')fprintf(' Vj(%6.1f)=%6.4f\n',x,Vj)

RESULTADOSEl valor de mis variables con una ecuación de primer grado es:a0= -1.0492 a1= 8.9381Por lo tanto sustituyendo en mi ecuación original el valor del Voltaje a 17 segundos es: Vj (17.0)= -152.9961

COMENTARIOPara resolver un problema por aproximación de mínimos cuadrados la ecuación debe de estar linealizada, por lineal se entiende que la aproximación buscada se expresa como una combinación lineal.Para hallarlo se puede realizar mediante el cálculo multi-variable que consiste en calcular los coeficientes.Para esto se debe de asignar la variable independiente y la variable dependiente. Se intenta encontrar la función continua.

CONCLUSIONEste método se utiliza para una aproximación más cercana a los valores reales de ciertos puntos en la curva para esto se genera un polinomio que pasa entre los puntos encontrados.El modelo propuesto no fue lineal en este caso se debe de linealizar para así generar un polinomio y así aplicar el método, siempre teniendo en cuenta las transformaciones a linealizarla.Para determinar la curva se realizan las sumas de los valores de las variables calculadas entre el polinomio de aproximación y los valores de la función basándonos en el sistema lineal para un polinomio de primer grado.

BIBLIOGRAFIA METODOS NUMERICOS APLICADAS EN LA INGENIERIA ANTONIO

NIEVES JUSGADO Y FEDERICO C. DOMINGUEZ SANCHEZ 4 EDICION EDITORIAL

ANALISIS NUMERICO W.ALLEN SMITH , GEORGIA STATE UNIVERSITY

MATLAB UNA INTRODUCCION CON EJEMPLOS PRACTICOS GILAT , EDITORIAL REVERTE

http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fisica-i/practicas-1/ Ajuste%20por%20minimos%20cuadrados.pdf