Resumen del Método Gráfico

• Limitaciones• Es subjetivo, depende de

la persona que grafica y de su criterio.

• Proporciona un intervalos grande y pesimista

• No es reproducible, cada experimentador proporciona diferentes aproximaciones para datos iguales

• Ventajas• Es buen estimador cuando

se tiene pocos resultados (menos de diez).

• Nos permite decidir si vale la pena efectuar un experimento más preciso.

• En caso de no contar con una calculadora o computadora, éste método nos permite efectuar una estimación válida.

Método de los Mínimos CuadradosSubsana limitaciones del método anterior

• Ventajas adicionales• Es objetivo, sólo depende de

los resultados experimentales.• Es reproducible, proporciona la

misma ecuación no importa quién realice el análisis.

• Proporciona una estimación probabilística de la ecuación que representa a unos datos experimentales.

• Proporciona intervalos pequeños de error.

• Restricciones• Sólo sirve para ajustar

modelos lineales• Requiere tener, al menos, diez

mediciones bajo las mismas circunstancias experimentales.

• Tales resultados deben estar descritos por una distribución de probabilidad conocida. La más común es la distribución normal o gaussiana.

• Se requiere de algún equipo de cálculo, de lo contrario, es muy engorroso.

Definiciones Preliminares

• El método de los mínimos cuadrados nos permite encontrar la ecuación de una recta a partir de los datos experimentales.

• Es decir, utilizando solamente las mediciones experimentales se obtendrá la pendiente y la ordenada al origen de la recta que mejor se ajuste a tales mediciones

Definiciones Preliminares

• ASÍ PUES, SOLAMENTE NOS SIRVE PARA AJUSTAR

• MODELOS LINEALES

• SI ESTE NO ES EL CASO, SE DEBE BUSCAR OTRO MÉTODO DE AJUSTE

Definiciones Preliminares

• El método de los mínimos cuadrados se calcula en base al siguiente

• CRITERIO

• La distancia del punto experimental a la “mejor recta” es mínima.

GRÁFICAMENTE

GRÁFICAMENTE

DIBUJAMOS UNOS EJES DE COORDE-NADAS

0 x

y

GRÁFICAMENTE

GRAFICAMOS LOS PUNTOS EXPERIMEN-TALES

0

+

++

+

+ +

++

+ +

+

x

y

GRÁFICAMENTE

TRAZA-MOS LA MEJOR RECTA DE TAL MANERA QUE:

0

+

++

+

+ +

++

+ +

+

x

y

L

GRÁFICAMENTE

CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.

0

+

++

+

+ +

++

+ +

+

x

y

δy

δy = yi – y(xi)

L

GRÁFICAMENTE

CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.

Para todos los puntos

0

+

++

+

+ +

++

+ +

+

x

y

δy

xi

yi

y(xi)δy = yi – y(xi)

δy = yi – (mxi + b)

L

GRÁFICAMENTE

CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.

Esta distancia se tomará al cuadrado.

0

+

++

+

+ +

++

+ +

+

x

y

δy

xi

yi

y(xi)δy = yi – y(xi)

δy = yi – (mxi + b)

δy2 =[ yi – (mxi + b)]2... Ec. 1

L

CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b.

CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b.

Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados,

CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b.

Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente

2

i2i

iiii

xxn

yxyxnm

CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b.

Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error

2

i2i

iiii

xxn

yxyxnm

2

i2i

mxxn

nS yS

2-n

bxmyS

2ii

y

CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b.

Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error, y de la ordenada al origen

2

i2i

iiii2i

xxn

yxxyxb

2

i2i

iiii

xxn

yxyxnm

2

i2i

mxxn

nS yS

2-n

bxmyS

2ii

y

CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b.

Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error, y de la ordenada al origen con su error; de la “mejor recta”:

2

i2i

iiii2i

xxn

yxxyxb

2

i2i

iiii

xxn

yxyxnm

2

i2i

mxxn

nS yS

2

i2i

2i

bxxn

xS yS

2-n

bxmyS

2ii

y

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO.

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO.

AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN,

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO.

AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO.

AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:

VD = pendiente VI + ord. al origen

y = (m ± Sm) x + (b ± Sb); donde la y está en las

unidades u, y la x está en las unidades u´.

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO.

AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:

VD = pendiente VI + ord. al origen

y = (m ± Sm) x + (b ± Sb); donde la y está en las

unidades u, y la x está en las unidades u´.

Al reportar de esta manera, conocemos la ecuación del modelo con un 68% de probabilidad asumiendo que los resultados se distriubuyen normalmente

EJEMPLO

SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:

EJEMPLO

SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:

#/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml

1 10 9.9

2 15 15.3

3 20 19.8

4 25 25.2

5 30 29.9

6 35 35.3

7 40 39.8

8 45 45.2

9 50 49.9

10 55 55.1

EJEMPLO

SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:

#/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml

1 10 9.9

2 15 15.3

3 20 19.8

4 25 25.2

5 30 29.9

6 35 35.3

7 40 39.8

8 45 45.2

9 50 49.9

10 55 55.1

•Se desea encontrar la ecuación que ajusta estos datos utilizando el método de los Mínimos Cuadrados y

•Determinar el valor de la densidad del agua.

EJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

EJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

EJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.

EJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.

La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),

donde M está en g, y V está en ml.

EJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.

La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),

dondeM está en g, y V está en ml.

Comparando los modelos teórico y experimental, observamos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m.

EJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.

La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),

dondeM está en g, y V está en ml.

Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:

x

y

x

y

S

y

xS

ymx my

2

2

2

EJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.

La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),

dondeM está en g, y V está en ml.

Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:

x

y

x

y

S

y

xS

ymx my

2

2

2

2

2

2

)1()005.0)(1(

10

000.111

m

EJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.

La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),

dondeM está en g, y V está en ml.

Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:

Así pues, la densidad será: ρ = 1.000± 0.005 g/ml.

x

y

x

y

S

y

xS

ymx my

2

2

2

2

2

2

)1()005.0)(1(

10

000.111

m

Resumiendo• Método gráfico• MÉTODO SUBJETIVO,

PROPORCIONA ERRORES GRANDES Y ES UNA ESTIMACIÓN PESIMISTA.

• SON NECESARIAS MENOS DE DIEZ MEDICIONES.

• NO ES REPRODUCIBLE• NO ES NECESARIO TENER

UNA CALCULADORA O COMPUTADORA.

• PERMITE DECIDIR SI SE HACE UN EXPERIMENTO Y UN ANÁLISIS MÁS CUIDADOSO.

• Mínimos cuadrados• MÉTODO OBJETIVO.• PROPORCIONA ERRORES

PEQUEÑOS• Y ES UNA ESTIMACIÓN

PROBABILÍSTICA.• SE REQUIER DE, AL MENOS,

DIEZ MEDICIONES BAJO LAS MISMAS CIRCUNSTANCIAS EXPERIMENTALES

• Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONOCIDA.

• ES REPRODUCIBLE..• SE NECESITA ALGÚN

APARATO PARA CALCULARLO.