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INICURSOS DE CUENTOS   CUÁNTICOS

Mecánica cuántica, EPR, entrelazamiento, desigualdades, loopholes y otras cosas del montón ……….http://cuentos-cuanticos.com/……….

No tengo muy claro si está al caer un premio Nobel en Física para el asunto de la determinación experimental de las desigualdades de Bell.  Estas desigualdades son un pilar fundamental en nuestro entendimiento de la mecánica cuántica que no solo tienen influencia en un nivel teórico sino que podrían, las conclusiones que traen asociadas, ser importantes para cosas más aplicadas como la computación cuántica.

La mecánica cuántica es un tema difícil y, ciertamente, el tema del entrelazamiento y sus derivados son complicadetes.  Pero bueno, aquí estamos para intentar que cualquiera con un mínimo de interés pueda capturar la esencia y ver las tripas del asunto.  Estas entradas no son puramente divulgativas, requieren de un poco de entusiasmo y trabajo por parte de vosotros lectores.  Si sois de los frikis de la cuántica y queréis algo más que divulgación de bla bla bla este es vuestro minicurso :)El minicurso se establece en tres bloques.  Los dos primeros pueden ser leídos en cualquier orden.  Para el tercer bloque será necesario tener un buen control sobre los dos previos.

Primer BloqueCorrelaciones Clásicas, Localidad, RealidadEn estas entradas los argumentos cuánticos entran de forma tangencial.  La dificultad de este bloque es que trata con muchos conceptos clásicos (no cuánticos) que uno tiene que manejar con cierta soltura y con la mente puesta en la parte cuántica.  Este bloque establece unos presupuestos teóricos y conceptuales que se basan en eso que llaman por ahí “el sentido común“.  Como veremos la cuántica le hace cosas feas a eso del sentido común.Entradas:

La cuántica y la realidad, una relación tormentosaEinstein-Podolsky-Rosen, campeones de la realidad   La chicha de EPR, Realidad y LocalidadVosotros no lo sabéis pero yo sí. Correlaciones Clásicas 1Vosotros no lo sabéis pero yo sí. Correlaciones Clásicas 2Segundo bloqueMecánica cuántica fácil

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En este bloque nos hemos propuesto hacer cuántica de verdad empezando por ejemplos muy simples que están diseñados para hacer cuántica sin darnos cuenta. Si te interesa el tema déjate llevar e intenta hacer los cálculos que se van pidiendo, la mayoría están resueltos.  Disfruta al verte hacer cuántica sin tener ni idea de cuántica. Mola mucho.

Entradas:

Mecánica cuántica from a dummy.   Que no te lo cuenten 1 Mecánica cuántica from a dummy.   Que no te lo cuenten 2 Mecánica cuántica from a dummy.   Que no te lo cuenten 3 Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 4Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 5Nos seguimos leyendo…

EL FORO DE CUENTOS CUÁNTICOS

PARA ENTRAR AL FORO PINCHA EN LA IMAGEN

Premiado en el IV Concurso de Divulgación Científica del Centro Nacional de Física de Partículas, Astropartículas y Nuclear (CPAN) Proyecto Consolider-Ingenio 2010

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La entrada sobre femtoquímica ha sido reconocida con el Premio ED a la excelencia en la divulgación científica.

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PRIMER BLOQUECorrelaciones Clásicas, Localidad, Realidad:

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La cuántica y la realidad, una relación tormentosaPublicado el 31 agosto, 2015 por Cuentos Cuánticos | 11 comentarios  

En los últimos días ha saltado la noticia de que se ha

conseguido hacer un experimento sobre las desigualdades de Bell que está libre de loopholes.

Se ha dicho que hay volando un nobel, que es un paso muy importante de comprobarse y

aceptarse el resultado y muchas otras cosas.

Yo estoy de acuerdo con casi todo lo dicho después de leer atentamente el artículo del

experimento -que comentaré en otra entrada-.  Así que como me parece un tema importante

pero tan solo enunciar el hecho tiene mucha mandanga, (mandanga es una palabra que

incorporé a mi vocabulario gracias a el Fary), supongo que es una magnífica oportunidad para

hablar un poco de todo este mundo de desigualdades, cuántica, realidad, teoremas y loopholes.

Por todo ello, vamos a iniciar un minicurso sobre las desigualdades de Bell y todo eso. Esta es la

primera entrada.

¿Te vienes?

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La realidad real o la real realidad

Realmente nunca he tenido el valor de enfrentarme al tema de la realidad porque es un

problema que no es real en el quehacer diario de lo que realmente hace un físico.  Y tras esta

tontería de frase…

Cuando se estudia un sistema físico implícitamente le estamos asignando unos elementos de la

realidad.  Asumimos que el sistema tiene posición definida en todo instante, asumimos que

tiene momento lineal (producto de su velocidad por su masa en las situaciones más

elementales), asumimos que tiene energía, etc.  Es decir, asumimos que la posición, momento,

energía, etc, del sistema existen y están definidas en todo instante.  Medir dichas magnitudes

no es más que obtener un resultado que existía previamente y la medida solo afecta a nuestro

conocimiento de dichas magnitudes.  Antes de la medida sabemos que tiene posición y

velocidad y energía y…, pero no sabemos qué valores concretos tienen.  Después de medir

sabemos cuales son dichos valores concretos.

Esa es la idea que subyace a la descripción de un sistema físico en el ámbito clásico de la física.

Las leyes físicas son relaciones entre magnitudes que existen en toda circunstancia y las

medidas solo son los medios por los que sabemos los valores de dichas magnitudes.  Por lo

tanto, posiciones, momentos, energías, etc, son elementos de la realidad del sistema.

Ciertamente, en nuestra vida diaria esa idea está plenamente justificada y está tan enraizada

en la física que algunos tuvieron problemas para abandonarla con la llegada de la mecánica

cuántica.

Las ideas que uno ha de tener claras a este respecto son las siguientes:

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1.-  Para todo sistema físico están definidos, sean conocidos o no, sus elementos de realidad

como posición, momento, energía, momento angular, etc.

2.-  Hacer una medida de alguno de esas magnitudes no es más que extraer el valor concreto

de la magnitud medida.  Idealmente, el proceso de medida no cambia el valor de la magnitud

que se ha medido.

3.-  Dado que dichas magnitudes son elementos de la realidad y que no se alteran por las

medidas podemos medir todas las magnitudes que queramos en el orden que queramos.

Incluso las podemos medir simultáneamente.

4.-  El estado de un sistema no es más que una lista de valores perfectamente definidos para

cada una de las magnitudes físicas que posee el sistema: (posición -3 componentes-, momento

-3 componentes-, energía, momento angular -3 componentes-, …).

Eso es lo que entendemos en este contexto por realidad. Al menos, es lo que entiendo yo.

La mecánica cuántica entra en escena

La mecánica cuántica choca frontalmente con la idea expuesta anteriormente.  En la misma raíz

de la cuántica se establecen los siguientes puntos:

1.-  Para un sistema físico regido por la mecánica cuántica no existen de manera concreta los

valores de todas las magnitudes físicas definidas simultáneamente.

2.-  Si medimos una magnitud física determinada en un sistema cuántico eso puede excluir la

existencia definida de otra magnitud física complementaria a ella (complementaria en un

sentido que definiremos más adelante).

3.-  Dichos pares de magnitudes complementarias no pueden ser medidas simultáneamente, no

hay dispositivo experimental que pueda revelar el valor simultáneo de ambas magnitudes y

teóricamente ni tan siquiera está definido.

4.-  La mecánica cuántica no predice los valores determinados de todas las magnitudes físicas,

no están determinados.  La mecánica cuántica nos da la probabilidad de obtener un

determinado valor dentro de un conjunto de resultados posibles.

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Esto, es una diferencia sustancial que concluye que no hay elementos de realidad definidos en

los sistemas tal y como se establece en la física clásica y que hemos discutido más arriba.

Como es de imaginar eso supuso una convulsión al esquema mental de los implicados en el

desarrollo de la física cuántica.

Imaginando un universo de juguete

Imaginemos que tenemos un universo donde solo hay dos magnitudes físicas, A y B (posiciones

y momentos = masa x velocidad, si necesitáis algo más tangible).

Si nuestro universo es clásico, cualquier sistema tendría en todo instante un valor definido

de A y un valor definido de B.  Al medir sobre el sistema la magnitud A obtendríamos un

valor a y, análogamente, al medir sobre el sistema la magnitud B obtendríamos un valor b.    Da

igual si medimos primero A y luegoB (BA actuando sobre el sistema) o si medimos B y

luego A (AB actuando sobre el sistema).  Siempre tendríamos como resultado a, para la

magnitud A y b para la magnitud B.  Así como también sería posible medir

simultáneamente A y B.

No es difícil imaginar una operación que lo que hace es comprobar si A y Bconmutan, lo

podemos llamar El Conmutador.

[A,B]=AB–BA

Está claro que con lo expuesto anteriormente en el universo que acabamos de describir se

cumple:

[A,B]=0

Esa es la pieza clave de nuestro universo clásico.  Si en vez de tener solo dos magnitudes

tuviéramos más todas ellas cumplirían esa condición tomadas dos a dos.

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En el universo cuántico de juguete las cosas serían diferentes. Encontraríamos que esas

magnitudes no conmutan, es decir,

[A,B] ≠ 0

Que ese conmutador no sea nulo implica que medir A y después B no dará lo mismo que medir

primero B y luego A.  También significa que no se pueden medir simultáneamente dichos

valores.

Esa es una diferencia sustancial, de hecho, la clave de las diferencias entre cuántica y clásica.

Posiciones y momentos, ¿really?

Si uno va a mecánica cuántica y aplica ese conmutador a dos cosas tan esenciales para la

descripción de un estado físico de un sistema como son su posición, x,  y su

momento, p, encontraremos que no conmutan:

[x,p]=iħ

Lo sé…

Eso quiere decir que no podemos medir simultáneamente posiciones y momentos, que, de

hecho, sus valores no están definidos hasta que no los medimos y que si medimos uno de ellos

el otro es totalmente desconocido.  Eso es lo que se conoce como principio de indeterminación

de Heisenberg.  Ese principio nos dice que si dos magnitudes físicas no conmutan en el sentido

anterior no están definidas simultáneamente en el sistema.

Como es de suponer esto fue un hecho bastante incómodo para mucha gente y dio lugar a una

batalla entre dos escuelas de pensamiento donde los adalides de cada bando fueron, Einstein,

por los realistas, y Bohr, por los cuánticos. ¿Quién ganará la partida?

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En la próxima entrada extenderemos más esta discusión de la realidad gracias al trabajo de

Albert Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen.

Nos seguimos leyendo…

Einstein-Podolsky-Rosen, campeones de la realidadPublicado el 31 agosto, 2015 por Cuentos Cuánticos | 13 comentarios

  En la entrada anteriordescribimos la forma en la que

la clásica y la cuántica difieren respecto a los elementos de la realidad.  Ahora vamos a

adentrarnos en la propuesta que hicieron Albert Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen para

demostrar que dichos elementos de realidad existen pero que la cuántica no los refleja.

Es decir, la cuántica es una teoría acertada que falla en que no recoge los elementos de la

realidad que “indiscutiblemente” existen.  Vamos, que lo que Einstein-Podolsky-Rosen

concluyen es que la mecánica cuántica es una teoría incompleta que hay que completar

añadiendo variables (que están ocultas en la versión cuántica) que tomen valores determinados

para todos los elementos de la realidad como posiciones y momentos.

El artículo EPR (Einsten, Podolsky y Rosen) os lo dejo aquí:

Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?

Esta entrada sigue a:

La cuántica y la realidad, una relación tormentosa

Introduciendo el tema

Antes de entrar en una versión simplificada del argumento EPR vamos a repasar algunos

conceptos que nos van a resultar útiles en la discusión posterior.

Imaginemos que tenemos un sistema inicial que está en reposo frente a nosotros.

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Este sistema tendrá una descripción cuántica bien definida.

Mediante una interacción interna del sistema este se divide en dos sistemas de igual masa, el

subsistema A y el subsistema B.  Tanto A como B salen disparados en direcciones opuestas con

igual velocidad, esto es así por la conservación del momento (que inicialmente es nulo) y la

conservación de la energía (que inicialmente es simplemente la masa de la partícula inicial).

Así que podríamos suponer que el sistema A tendrá posiciones Qa y el sistema B tendrá

posiciones Qb.  También se cumplirá que el subsistema A tiene momento Pa y el subsistema B

tiene momento Pb.

Por tanto se debe cumplir que:

Qa+Qb=0

Pa-Pb = 0

Estas dos condiciones implican que se están movimiento en direcciones opuestas con el mismo

momento y energía.

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Dejamos que los sistema se alejen mucho.  Y este será un punto clave en todo lo que sigue en

el transcurso de las entradas relacionadas con este tema.

El argumento EPR

Ahora, se recibe el sistema A en un laboratorio y el sistema B en otro laboratorio muy lejanos.

Desde nuestro punto de vista, el estado de estos dos sistemas es solo un único estado ya que

tienen un origen común.  La descripción cuántica no los separa.

Pero para los distintos laboratorios ellos solo reciben A o B y no tienen por qué saber, en

principio, que provienen de un único sistema así que pueden aplicar lo que saben de mecánica

cuántica tanto en A como en B.

Así tanto para el laboratorio A como el laboratorio B no pueden medir conjuntamente la posición

y el momento de su partícula (como se explicó en laanterior entrada).  Eso se refleja en el

hecho de que se cumple:

[Qa,Pa]=iħ

[Qb,Pb]=iħ

Pero ahora, tenemos que:

[Qa+Qb,Pa-Pb]=[Qa,Pa]-[Qa,Pb]+[Qb,Pa]-[Qb,Pb]=iħ-0+0-iħ=0

Para demostrar eso solo hay que emplear la propiedad que tienen los conmutadores:

[A+B,C]=[A,C]+[B,C]

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[A,B+C]=[A,B]+[A,C]

Y también hay que notar que cualquier magnitud de la partícula A es independiente de las

magnitudes de la partícula B y por lo tanto conmutan.

Así que tenemos finalmente:

[Qa+Qb,Pa-Pb]=0

Es decir, que la suma de componentes y la diferencia de momentos conmutan, por lo que

pueden ser medidas en cualquier orden y también simultáneamente.

Ahora, si en el laboratorio A deciden medir la posición Qa de su partícula inferirán

inmediatamente la posición de la partícula B.  Dado que la separación entre partículas es muy

grande ni tan siquiera una señal viajando a la velocidad de la luz podría llevar la información de

A a B para que los resultados fueran válidos.

Por lo tanto, al medir Qa podemos saber Qb y hemos de concluir que tanto Qa como Qb han de

existir y son elementos de la realidad.

Igualmente pasaría Pa podemos saber Pb y concluimos por el mismo argumento que Pa y Pb

son elementos de la realidad que han de existir.

El problema es que en mecánica cuántica no aparecen explícitamente nunca en las expresiones

de los estados posiciones y momentos porque no conmutan entre sí.  Si expresamos el estado

en términos de posiciones entonces no aparecen los momentos asociados y viceversa.  Por lo

tanto, como la teoría no refleja estos indudables elementos de la realidad dicha teoría es

incompleta.

Esa es la conclusión del trabajo EPR aunque la historia no acaba aquí.

Nos seguimos leyendo…

La chicha de EPR. Realidad y LocalidadPublicado el 2 septiembre, 2015 por Cuentos Cuánticos | 16 comentarios

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Esta entrada es la tercera de una serie dedicada a

EPR, entrelazamiento, loopholes y esas cosas.  Recomiendo fuertemente leer las dos primeras

entradas de la serie abajo indicadas:

La cuántica y la realidad, una relación tormentosa

Einstein-Podolsky-Rosen, campeones de la realidad

En esta entrega vamos a desmenuzar un poco más el argumento EPR para identificar cuales

son sus bases conceptuales y su conclusión.

Elementos de la realidad

Recordemos que consideramos por elemento de la realidad.

Si pensamos en una partícula moviéndose por ahí estamos seguros de que tiene una posición

definida en cada instante y cada punto del espacio, que tiene una velocidad o momento

también bien definida, que tiene energía bien definida, momento angular bien definido, etc.

Todo ello está bien definido en todo instante de tiempo, son características de la partícula que

existen por si mismas, sin discusión, independientemente de que las midamos o no.  Están ahí,

conocidas o no conocidas.

Esos son elementos de la realidad y la física clásica se fundamenta en ello, presuponemos que

dichas magnitudes están definidas y que existen independientemente de que nosotros las

conozcamos de forma concreta o no.

En mecánica cuántica la cosa cambia, por el principio de indeterminación se establece que hay

pares de magnitudes que no pueden ser definidas en un sistema simultáneamente.  Eso se

traduce en el formalismo en que describimos los estados de los sistemas sin poder hacer

referencia simultánea a todas las magnitudes físicas imaginables.  Por ejemplo, la posición y el

momento no están definidos simultáneamente, una partícula no tiene posición o momento.

Pero eso sí, podemos medir la posición o el momento y obtendremos una respuesta.  Lo que

complica la cosa en este punto es:

1.-  Al hacer la medida obtenemos un resultado de un conjunto de resultados posibles.  A priori

no sabemos cual de ellos vamos a obtener en una medida, la cuántica solo nos dice con qué

probabilidad podríamos obtener cada una de las posibilidades.

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2.-  Si medimos la posición, por ejemplo, no tenemos ni idea del momento de la partícula.  No

está definido.

Así que la cuántica y la clásica chocan frontalmente en las consideraciones que hacen de los

elementos de realidad.

El argumento EPR, otra vez

Tenemos dos sistemas A y B que han sido generados en un mismo fenómeno y que salen

despedidos en direcciones opuestas.

Por conservación de la energía y el momento, cosa que se satisface tanto en clásica como en

cuántica, sabemos que las posiciones de ambos sistemas y sus momentos están relacionados

por las siguientes expresiones:

Qa+Qb=0        Lo que indica que se mueven en direcciones opuestas en la misma recta, y el

origen de coordenadas lo hemos fijado en el punto en el que se han generado A y B.

Pa-Pb=0          Esto indica que los momentos tienen el mismo valor pero son opuestos.  Porque

A y B se dirigen en los dos sentidos de una recta.

Dejamos que A y B se separen varios años luz.  Muy muy lejos.

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Ahora en un laboratorio se recibe el sistema A.  Dado que es un sistema cuántico la gente que

va a estudiar dicho sistema no puede conocer a priori ni Qa, ni Pa. Mucho menos puede

medirlos simultáneamente o determinarlos simultáneamente.

Y aquí es donde entra el argumento EPR de lleno.  Veámoslo por pasos:

1.-  Dado que cuando medimos la posición del sistema A obtenemos un resultado es claro que

eso indica que la posición del sistema existe.

2.-  Una vez que hemos obtenido Qa en el laboratorio que estudia el sistema A es fácil inferir

qué se obtendría en el otro laboratorio para la posición de B, ha de ser un Qb tal que Qa+Qb=0.

Por lo tanto, sin hacer nada sobre el sistema B y sin que haya posibilidad alguna de que la

medida sobre el sistema A lo haya perturbado porque están separados una distancia tan grande

que ninguna interacción puede propagarse entre ellos en el tiempo de la medida, sabemos la

posición del sistema B.

Si podemos conocer Qb sin perturbarlo ni tan siquiera medirlo es que necesariamente Qb

existe, es decir, la posición es un elemento de la realidad.

Pero la mecánica cuántica nos dice que la posición no tiene un valor definido hasta que no la

medimos.  Así que cuando medimos sobre A su posición ha de pasar algo en B, ha de sentir la

medida en A, para que fije su posición en el Qb correspondiente de forma instantánea.

Aquí está la otra clave, si asumimos la relatividad especial, nada se puede propagar más rápido

que la velocidad de la luz y por lo tanto no hay mecanismo que pueda informar a B sobre lo que

le están haciendo a A de forma instantánea. Mucho menos si estos están separados por muchos

años luz.

Exactamente la misma argumentación se puede hacer con Pa y Pb.  Por lo que parece claro

concluir que:

a)  La física se ha de manejar con elementos de realidad. Y posiciones y momentos son unos de

tales elementos de realidad a pesar de lo que dice la cuántica.

b)  La física ha de ser local, es decir, que lo que hagamos en un punto solo puede afectar a

otros puntos si alguna interacción ha podido comunicarlos y eso se puede hacer a la velocidad

de la luz como máximo.

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Por lo tanto, el trabajo de EPR ha de concluir que dado que la física ha de ser realista, en el

sentido de trabajar con elementos de realidad, y local, nada se puede propagar más rápido que

la luz, la cuántica no puede ser una teoría completa.

Primero porque la cuántica no reconoce a posiciones y momentos como elementos de realidad

y segundo porque parece indicar que hay efectos no locales en física, las partículas que surgen

de algunos procesos, se dice partículas entrelazadas, sienten instantáneamente lo que le pasa a

su compañera sin importar lo separadas que estén.

Esto último a todas luces parece inconcebible, ¿no?

Nos seguimos leyendo…

Vosotros no lo sabéis pero yo sí. Correlaciones clásicas 1Publicado el 3 septiembre, 2015 por Cuentos Cuánticos | 15 comentarios

  

No, no, no lo digo en serio, no es una tontería mía que me

crea más listo. El título tiene sentido dentro de la nueva entrada sobre el tema que nos ocupa,

EPR, entrelazamientos, etc.  Las entradas anteriores, que se recomienda leer previamente, las

tienes aquí abajo:

La cuántica y la realidad, una relación tormentosa

Einstein-Podolsky-Rosen, los campeones de la realidad

La chicha de EPR. Realidad y Localidad

Vamos a hacer un par de juegos, que como veréis no tienen ningún misterio y posiblemente

ningún interés.  Pero vamos a aprender una cosa fundamental en todo este tema.

Correlaciones y desigualdades.  Una pasada :P

Vamos con el primer juego…

 El primer juego

Preparación

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El juego se inicia del siguiente modo:

1.-  Yo dispongo de dos millones de piedras idénticas en forma y masa. La única diferencia

estriba en su color.  Tengo un millón que son blancas y un millón que son negras.

2.-  Además tengo dos millones de cajas con una puerta superior. Un millón de cajas están

etiquetadas con la etiqueta “Para A” y el otro millón tiene la etiqueta “Para B”.  Las cajas A

están numeradas del 1 al 1000000, análogamente para las cajas B.

3.-  Dispongo de una moneda perfecta con su cara y su cruz.

4.-  Ahora voy a meter las piedras en las cajas con las siguientes condiciones:

a)  Lanzo una moneda al aire.  Si sale cara meto una piedra blanca, si sale negra meto una

piedra negra.

b)  Empiezo a rellenar por la caja A1 de forma que si meto una piedra blanca en ella en la caja

B1 meteré una negra y viceversa, si en A1 he de meter una piedra negra en la B1 meteré una

piedra blanca.

Con estas condiciones está claro que la probabilidad de que haya una piedra negra o una piedra

blanca en cada caja es del 50%. Y que si en una caja An meto una piedra de un color en la caja

Bn correspondiente meteré una piedra del otro color.

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Una vez rellenadas todas las cajas te mando a ti y a otra persona en las antípodas las cajas. Tú

serás el sujeto A y la otra persona el sujeto B.

Además ambos recibís estas instrucciones:

Cuando abráis las cajas encontraréis que la probabilidad de que la piedra que contiene cada

una sea blanca o negra es del 50%.  Más allá, cuando comparéis los resultados encontraréis que

cada caja de A y cada caja de B en posiciones idénticas contienen piedras de colores opuestos

Blanco-Negro, Negro-Blanco.

Saludos,

Cuentos Cuánticos

El desarrollo

Nos centraremos en ti, el sujeto A.  Al recibir tu millón de cajas te pones manos a la obra y

comienzas a abrirlas una a una.  Efectivamente, todo lo que encuentras en las cajas son piedras

blancas o negras en cada una de ellas.

Lo primero que tienes que comprobar es que las piedras efectivamente se han metido

aleatoriamente en las cajas.  Es decir, que cada caja tiene una probabilidad del 50% de tener

una piedra blanca y un 50% de tener una piedra negra.

¿Cómo hacemos eso? La cuestión no es difícil pero tampoco es trivial del todo.  Puedes hacer

una lista con tus resultados:

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A la vista de los resultados individuales pues poco se pude decir respecto a la cuestión que nos

ocupa.  Sin embargo, ya que eres un sujeto A despierto, le asignas valores numéricos a cada

color.  Digamos que eliges que el color blanco valga +1/2  y el valor negro valga -1/2.

Si sumamos todos los resultados, idealmente, encontraremos que la suma total es cero (en

realidad sería cercana a cero, el cero se obtendría con una cantidad infinita de cajas).

Y ahora recordamos cual sería el valor esperado para el color total de una tirada grande de

cajas según las condiciones del problema.  Llamaremos a ese valor esperado del siguiente

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modo <Color>.   Según los presupuestos del problema lo tenemos 50% de blanco o 50% de

negro como opciones en cada caja.  Usando los valores +1/2 y -1/2 para los colores y sabiendo

que el 50% de probabilidad se puede expresar en tanto por uno como 0.5, lo que uno espera

obtener para <Color> es:

<Color>= 0.5(+1/2)+0.5(-1/2)     el producto de la probabilidad por su resultado asociado en la

medida.   Evidentemente, en este caso <Color>=0.

Y eso es justo lo que encuentras, por lo tanto puedes asegurar que las piedras se han metido en

las cajas de forma aleatoria con una probabilidad del 50% de ser blanca y una probabilidad del

50% de ser negra.

Si todo va bien, eres capaz de predecir lo que va a obtener el sujeto B en sus medidas sobre las

cajas.

Ahora solo falta que B nos mande sus resultados por mail y comparar. No será una sorpresa

comprobar que lo que tenemos es:

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Nuestra predicción era totalmente acertada.  Se dice que los resultados están perfectamente

correlacionados (anticorrelacionados por aquello que que encontramos valores opuestos y tal).

Pero claro, no somos videntes, es que sabíamos las reglas del juego y no importa cuan de lejos

esté B ni que no hayamos visto ninguna de sus cajas, la cosa está clara, alguien ha preparado el

juego y sabía en todo momento qué color de piedra tenía cada caja.

Es decir, el color de la piedra de cada caja era desconocido inicialmente tanto para ti, sujeto A,

como para el otro sujeto B.  Pero está claro que cada piedra tenía un color definido en todo

momento y que existía la posibilidad de que alguien, en este caso yo, supiera cual era.

El juego 2 será más interesante y tendrá otras consecuencias muy suculentas para lo que sigue.

Nos seguimos leyendo…

Vosotros no lo sabéis pero yo sí. Correlaciones clásicas 2Publicado el 3 septiembre, 2015 por Cuentos Cuánticos | 10 comentarios

Continuamos con nuestro juego, ahora vamos a complicar un poco la cosa

respecto de la entrada anterior.

(Lo sé, la animación es un poco estresante ;) )

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Esta entrada forma parte de la serie sobre EPR, entrelazamiento, Loopholes y esas cosas que

estamos llevando a cabo.  Recomendable leer todas las entradas de la serie para hacerse una

idea de la película completa.

La cuántica y la realidad, una relación tormentosa

Einstein-Podolsky-Rosen, campeones de la realidad

La chicha de EPR. Realidad y Localidad

Vosotros no lo sabéis pero yo sí. Correlaciones clásicas 1

Para mi gusto esta entrada es muy divertida pero también un poco más liosa.  La situación ideal

te tiene a ti lápiz en mano haciendo las cuentecillas (muy sencillas y sin operaciones

complicadas) para ir tomándole el pulso a la idea.

Vamos con el segundo juego.

Segundo juego

Preparación inicial

1.-  Tenemos dos millones de luces pequeñas que pueden emitir en rojo o en azul según se

programen.

2.-  Tenemos dos millones de cajas con tres puertas que denominaremos 1, 2 y 3 según la

figura:

3.-  La caja está hecha de tal forma que cuando se abre una de las puertas las otras dos se

bloquean.

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4.-  Podemos programar las luces de forma que emitan rojo o azul según la puerta que se abra

para mirar el color de la luz.  Por ejemplo, podemos programar  una luz para que emita en la

secuencia de puertas (1,2,3) como (R,R,A).  Así, la secuencia RRA indica que veremos rojo si

abrimos la puerta 1, veremos rojo si abrimos la puerta 2 y veremos azul si abrimos la puerta 3.

5.-  Como en el otro juego vamos a enviar un millón de cajas numeradas del 1 al 1000000 a un

sujeto A y otro millón de cajas, numeradas de la misma forma, a un sujeto B.

6.-  Programaremos las luces de forma que si en una puerta de una caja A sale rojo en la

correspondiente de B aparecerá una luz azul y viceversa.

 Enviamos las cajas de A y las cajas de B a sus respectivos destinatarios que están situados en

las antípodas uno del otro.

Las instrucciones son fáciles:

Habéis recibido un millón de cajas con luces que emiten una luz azul o roja según la puerta que

abráis.  La cuestión es que si abrís la misma puerta 1, 2 o 3, la combinación de colores será

Azul-Roja o Roja-Azul.   Por supuesto, tenéis toda la libertad de abrir cualquier puerta de cada

caja, el resto se bloquea una vez abierta la puerta escogida.

¿Podéis comprobar en esa situación que es cierto lo que se afirma? ¿Hay alguna condición sobre

el problema que se ha de satisfacer siempre?

Saludos,

Cuentos Cuánticos

Con esto está todo dicho, a jugaaaaaaaar….

Desarrollo del juego

Cuando A recibe sus cajas se dispone a ir abriendo cada una de ellas.  En este caso tiene total

libertad de abrir la puerta 1 o la 2 o la 3 de cada caja.  B estará haciendo lo mismo eligiendo la

puerta a abrir de cada caja de forma independiente y autónoma.  Además no hay forma de que

se comuniquen entre ellos.

Si nos quedamos contigo, sujeto A, lo que empezarás a pensar será cuáles son las posibles

combinaciones de puertas que se pueden dar en cada caja.  La respuesta es simple, hay nueve

posibilidades.

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Como sabes que he programado las luces para que emitan un determinado color al abrir cada

puerta de cada caja pero no sabes exactamente cómo lo he hecho te dispones a poner todas las

posibilidades:

Con eso sabes deducir la programación que tienen las cajas y puertas de B para cada posible

caso:

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Ahora lo que se te ocurre es hacer todos los posibles casos de abrir una puerta tú y que B haga

lo propio.  La gracia está en determinar en cuantas ocasiones se verá un color igual o diferente.

Eso nos llevaría a esta tabla:

¿Cómo podemos comprobar que el juego es tal y como lo he descrito?

Para ello tenemos que suponer que he elegido cada uno de los programas para cada caja con

una determinada probabilidad.  Para el caso 1 tendremos que suponer que se da con

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probabilidad p1, para el caso 2 con probabilidad p2, y así sucesivamente.  Está claro que la

suma de probabilidades no puede superar el 100%, es decir, tomando el tanto por uno:

p1+p2+p3+p4+p5+p6+p7+p8=1

Atendiendo a la tabla que has hecho, ¿cuál es la probabilidad de obtener distinto color para ti y

para B?

La cuestión es simple:

P(Color AB diferentes) = (9/9)p1 + (5/9)p2

+(5/9)p3+(5/9)p4+(5/9)p5+(5/9)p6+(5/9)p7+(9/9)p8

Que no es más que multiplicar los casos que dan lugar a colores diferentes por la probabilidad

de haber sido empleados.  Si miramos el caso 1 tenemos 9 combinaciones de color diferente,

todas las posibles.  Para el caso 2 solo hay 5 situaciones, de las 9 posibles, que dan lugar a

color diferente.

Podemos agrupar eso de esta forma:

P(Color AB diferentes) = (9/9) (p1+p8) + (5/9) (p2+p3+p4+p5+p6+p7)

Para simplificar un poco más vamos a ponerle nombre a esas sumas de probabilidades:

X=p1+p8

Y=p2+p3+p4+p5+p6+p7

Es evidente, porque así tiene que ser, que X+Y=1.  Eso nos permite escribir

X=1-Y

Tomando todo esto, la probabilidad de que AB tengan colores diferentes al abrir dos puertas

cualesquiera de una caja dada (con la misma numeración para cada uno) es:

P(Color AB diferentes)=(9/9)X+(5/9)Y

Usando que X=1-Y podemos reescribirlo como:

26

P(Color AB diferentes)=(9/9)(1-Y)+(5/9)Y=1-Y+(5/9)Y=1-(4/9)Y

Concluyendo:

P(Color AB diferentes) = 1 – (4/9)Y

Ojo, no sabes lo que vale Y, porque no sabes qué patrón he utilizado para poner los programas

de las luces en las cajas. Pero lo que sabes es que Y es una probabilidad y por lo tanto como

mínimo valdrá 0 (no he usado ninguno de esos programas asociados) y como máximo valdrá 1

(he usado siempre uno de esos programas asociados).

Pero eso condena a P(Color AB diferentes)=Pdif a que puede tomar un valor máximo, que será

1, o un valor mínimo, que será (5/9).

¡Este resultado es magnífico!

Recapitulando

Lo que ha obtenido aquí el sujeto A es muy interesante.  Si yo he programado el asunto tal y

como he descrito entonces sabe que cuando B le mande su lista de observaciones (puertas y

colores de B) y la compare con las suya (puertas y colores de A) la fracción de diferencias de

color no puede ser inferior a 5/9 en ningún caso.

Para llegar a ese resultado el sujeto A solo ha tenido que suponer que la lámpara iba a brillar

con un color determinado según la puerta que se abra de cada caja. Es decir, es un elemento de

realidad el color que va a tomar, está prefijado y definido. Y por supuesto, las mediciones de A

no afecta a las de B, no se ponen de acuerdo en las puertas que abre cada uno, etc.

La desigualdad descubierta por lo tanto se basa en la consideración de Realidad y Localidad, en

el más puro espíritu EPR.  Y sí, ese razonamiento es el que lleva a las famosas desigualdades de

Bell.  Ya iremos viendo.

Nos seguimos leyendo…

SEGUNDO BLOQUE

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Mecánica cuántica fácil:

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Mecánica Cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 1Publicado el 6 septiembre, 2015 por Cuentos Cuánticos | 23 comentarios

 

Hay muy buenos textos de cuántica a nivel

divulgativo, los hay muy malos también.  Pero se echa de menos, al menos a mí me pasa, algún

sitio que te permita amasar la cuántica con las manos.  Si bien no llegar a ser un experto

mundial en el campo sí poder llegar a disfrutar haciendo unas cuantas manipulaciones similares

a las que se hace en un problema fácil de mecánica cuántica.

En las últimas entradas nos hemos ido introduciendo en el tema de EPR, entrelazamientos, etc.

El objetivo último es entender qué es eso de experimentos libres de “loopholes” ya que de

confirmarse puede que caiga Nobel pronto. Hasta ahora nos hemos limitado a cuestiones

clásicas donde la cuántica no aparece demasiado.  Eso va a cambiar, así que hay que meterse

en harina con la cuántica.

Esta entrada tiene la humilde intención de presentar recetas para hacer cálculos simples en

cuántica.  Hay que seguir unas reglas sin salirse de ellas y listo. Te aseguro que están

justificadas por una gran teoría física y matemática y por un siglo de comprobaciones

experimentales.  Sigue las reglas y disfruta, a mí me parece que es divertido y agradable poder

hacer unas cuantas cuentas cuánticas. Piensa que eres capaz de hacer una créme brûlée sin

conocer la teoría de las reacciones de Maillard, solo hay que seguir la receta.

En la serie de entradas sobre EPR, entrelazamiento y esas cosas esta se puede considerar una

de transición, una necesaria para introducir formalismo e ideas. Que no te lo cuenten.

Un universo blanco o negro

Estados

28

Imagina que estamos en un universo que contiene exactamente una partícula. Dicha partícula

tiene una propiedad física observable que denominaremos el color.  El color tiene en este

universo dos valores que son, desde el punto de vista clásico,  mutuamente excluyentes.  El

negro y el blanco.

Los estados los representamos con un símbolo chachi,  .  Cuando pongamos algo ahí dentro

entenderemos que estamos especificando el estado de dicho sistema.  Ahora lo veremos más

claro con nuestro ejemplo de los colores.  Los estados son:

Eso quiere decir que nuestra partícula, si está en el estado superior, está en el estado cuántico

que tiene color blanco.  Si está en el estado inferior su color cuántico es negro.

Hay que saber que dado unos estados como los que hemos definido hay unos objetos

matemáticos compañeros  suyos que surgen de forma inmediata. La cosa es tan chorra como

escribir el paréntesis guay al revés:

29

No seas impaciente, en muy poco vamos a ver para qué sirve esto.  Para empezar podemos

decir que jugando con los símbolos   y   podemos tener dos combinaciones distintas:  (Ojo,

aquí solo nos referimos a la forma que podemos enfrentar esos dibujitos en una línea):

Esta tampoco ha sido tan difícil.

¿Qué significa eso?  Bueno pues la primera opción genera un número. Tu pones dos estados

cuánticos ahí y el resultado es un número. Ni más ni menos.

30

La segunda opción genera una cosa denominada un operador. Es un operador porque opera y le

hace maldades a los estados como vamos a ver en un segundo.

¿Qué son estados mutuamente excluyentes?

Estoy seguro de que repito esas dos palabras mucho cuando hablo de cuántica pero también

estoy seguro de que más allá de un entendimiento superficial de lo que quiere decir habréis

intuido que tiene un significado matemático. El estado negro y el estado blanco son

mutuamente excluyentes lo que quiere decir es que:

Eso es lo que significa en este contexto “estados mutuamente excluyentes”. Su producto (esa

ordenación de los paréntesis que genera un número) es nulo. Fácil, sencillo y con fundamento.

Otra propiedad importante que nos va a ser útil es que consideraremos que el producto de un

estado por sí mismo de estos que estamos definiendo es exactamente igual a 1.

31

Con esto hemos dado las principales características de los estados. Perfecto, pero, ¿cómo

seleccionamos esos estados?

Observables

A primeras luces podríamos pensar que nos hemos sacado de la manga el ejemplito de los

estados blanco o negro.  Sin embargo eso no es del todo así. Generalmente para estudiar un

estado físico hay que decidir antes qué aspecto del mismo queremos investigar.  En nuestro

universo de juguete la elección es fácil de entrada, tenemos el color y esos estados han de

comportarse de una forma especial frente al mismo.

Al observable físico de color lo representaremos por  .  Un gorrito encima de una letra

mayúscula significará que tenemos entre manos un operador.  Lo que sabemos es que cuando

enfrentamos el operador   al estado blanco o negro el resultado son los mismos estados,

blanco o negro, multiplicados por un número.  En nuestro caso resulta:

32

¿De dónde salen esos números? Para responder eso tenemos que saber cómo actúa el

operador   sobre nuestros estados así que tenemos que construir dicho operador.  Entonces, la

pregunta es:  ¿Cómo se construye el operador? ¿De dónde lo saco? Pues lo tenemos que sacar

de lo que tenemos.

Por un lado tenemos los estados blanco y negro.

Por otro lado sabemos que podemos enfrentar los paréntesis de forma que actúen sobre los

estados (segunda configuración de los paréntesis en la figura):

33

Así que proponemos que nuestro operador   tenga la siguiente forma:

¿Te atreves a calcular lo que sale al enfrentar   al estado blanco?

34

En el primer paso hemos aplicado una ley distributiva y en el segundo hemos usado los

productos de los estados blanco y negro entre ellos indicados más arriba.

Al enfrentar   al estado blanco encontramos que este no cambia, sigue siendo el estado

blanco, solo que sale multiplicado por un número que en este caso es +1.  Decimos que el

estado blanco es un estado propio del operador de color.

Análogamente, al enfrentar   con el estado negro:

35

Y ya está, tenemos que el estado negro es otro estado propio del operador de color. Al actuar el

color sobre él se queda igual, un estado negro, pero multiplicado por -1.

Bueno, creo que por hoy está bien ya. Nos quedan un par de cosas que solventar sobre esto

que aparecerán en breve en estas páginas. Decidme si os ha servido de algo.

Nos seguimos leyendo…

Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 2Publicado el 15 septiembre, 2015 por Cuentos Cuánticos | 39 comentarios

 

Retomemos el pico y la pala para seguir nuestro camino por la

cuántica. Continuaremos por donde lo dejamos en la entrada anterior:

Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 1

En esta primera entrega vimos como seleccionar estados y como definir operadores sobre los

mismos.  Hoy vamos a presentar dos conceptos, la superposición cuántica y los valores

esperados de los observables con lo que trabajamos.

Esos estados propios

Nuestro ejemplo versa sobre un sistema cuántico que tiene una propiedad que hemos

denominado color, representado matemáticamente por  . Los estados propios, aquellos que no

cambian más allá de verse multiplicados por un número al ser enfrentados a  , son el estado

blanco y el estado negro:

36

La demostración de esa fórmula está en la entrada anterior.

La importancia que tienen esos estados que son mutuamente excluyentes, o que son propios

del observable que estemos trabajando, en este caso  , es que son la base para construir todos

los posibles estados del sistema.

Haciendo un alarde de desmesura pongamos estos estados en unos ejes, como si fueran

vectores:

37

Si ahora nos preguntamos, ¿cuáles son todos los posibles estados cuánticos admisibles?   La

respuesta que nos da la mecánica cuántica es la siguiente:  Todas las combinaciones que

podamos hacer de esos estados considerándolos como vectores.

Una combinación o superposición de estados no es más que sumar (o restar) esos estados

multiplicados por coeficientes:

Los coeficientes  ,   pueden ser, en principio, cualquier número (de hecho, en general serán

números complejos, pero no nos acomplejaremos por ello).

Recordemos ahora dos propiedades de los estados que introdujimos en laentrada previa.

38

Considerando que nuestros estados se pueden entender como vectores, las dos primeras

relaciones las interpretaremos como que los vectores blanco y negro tienen un módulo

(longitud) al cuadrado que vale 1.  Por lo tanto su longitud es la unidad. El segundo par de

relaciones indican que los vectores blanco y negro son perpendiculares entre sí.

39

Retomemos un segundo nuestro estado superpuesto:

Para simplificar el asunto vamos a ponerle un nombre, para escribir menos y tal.  Yo he elegido

este símbolo:

40

Para calcular el módulo al cuadrado de ese vector solo tendríamos que hacer lo siguiente:

Expresado en términos de la superposición queda:

41

Nota para los supercampeones: Si los coeficientes a y b son números complejos al darle la

vuelta a los paréntesis esos de los estados hay que transformar los coeficientes en sus

complejos conjugados.  Solo era eso.

En este punto hay que aplicar la propiedad orgiástica de la multiplicación, todos con todos, la

propiedad distributiva creo que le dicen por ahí.

Eso parece un poco infumable, pero… ¡Nosotros sabemos los resultados de los productos de

estados!  ¡Yuuuuuhuuuuu!

42

¡Fabuloso!, el módulo al cuadrado de la superposición lineal de estados no es más que la suma

de los cuadrados de los coeficientes de la superposición.

Pero la cuántica tiene un capricho, la suma de los cuadrados de todos los coeficientes de una

superposición ha de valer siempre 1.  Visto desde el punto de vista de vectores, resulta que las

superposciones cuánticas están siempre contenidas en la circunferencia de radio 1 que definen

los estados base, en nuestro caso el blanco y el negro:

43

Cualquier combinación de estados superpuestos cuyos coeficientes al cuadrado sumen 1 están

sobre esa circunferencia.  Acabamos de identificar todos los estados posibles de este sistema

respecto de esta característica que hemos llamado color.

La razón de este capricho, muy entre comillas, quedará clara en lo que sigue. Ahora ten fe y

continúa el camino (seguro que esto te suena de algo, la diferencia es que aquí vamos a

entenderlo todo).

No todos son propios

Al principio habíamos identificado los estados propios del operador que representa la magnitud

color en nuestro sistema:

44

La pregunta es entonce si la superposición de estados propios de un observable (operador)

sigue siendo un estado propio.  Más visualmente:

Es decir, ¿se queda el estado superpuesto exactamente igual salvo una multiplicación por un

número al enfrentarlo al operador de color?  Veámoslo:

45

El operador   se enfrenta a cada término:

El operador  , y todos los operadores cuánticos, no ve a los números, Estos operadores son

transparentes para los números y solo se enfrentan a los estados cuánticos. Algo así:

46

Con lo que la historia queda:

Pero nosotros sí sabemos cómo actúa   sobre los estados blanco y negro ya que estos son

propios de dicho operador.  Con lo que tenemos:

47

Este resultado es bastante aleccionador, eso de ninguna de las maneras se puede escribir como

la superposición original (que entre otras cosas tenía una suma en vez de una resta de

estados).  Por lo tanto, el estado que resulta de aplicar   a una superposición de estados

propios del mismo no es, en general, un estado propio, no se puede escribir como el mismo

estado multiplicado por un número como resultado final.  Y esta es una lección muy importante.

48

Los valores esperados

A estas alturas de la película todos deberíamos de poder hacer los cálculos que se van a indicar

aquí pero que no voy a desarrollar.  Si hay mucho problema con ellos solo tenéis que decirlo y

se hará un anexo con los cálculos explícitos (espero que no haga falta).

Como hemos visto, al hacer actuar un operador sobre un estado este cambia

irremediablemente.  Bueno, no todos los estados sufren de ello, para cada operador se pueden

encontrar un clase de estados que no cambian bajo su actuación, son sus estados propios (de

los que hemos visto un ejemplo).

Pero bueno, esto es física, así que sería genial poder tener algo con que comparar los

resultados teóricos y los resultados experimentales.  Para conseguir ese propósito, que veremos

en todo su esplendor en sucesivas entradas, vamos a introducir el valor esperado del

operador   en un determinado estado.  El valor esperado depende del estado con el que se

calcule.  Representaremos el valor esperado por  .

Los valores esperados calculados con estados propios son simplemente los números que

multiplican al estado tras la acción del operador correspondiente.  En nuestro caso por lo tanto

tendríamos:

Desarrollemos, por cortesía porque seguro que no hace falta, uno de ellos, el valor esperado del

color en el estado blanco.

49

¿Te atreves a calcularlo para el estado propio negro?

Ese es fácil, ¿qué tal este?

50

Es importante que calculemos ese valor esperado sobre el estado superpuesto. En la siguiente

entrada vamos a explicar por qué hemos hecho todo esto y qué significan estas cosas pero

antes de meternos en explicaciones con mucho movimiento de manos sería genial que nos

hubiéramos enfangado en estos cálculos un rato.  Veréis como después de pelear con los

simbolitos y haber llegado al resultado luego la explicación se entiende perfectamente, el

motivo: La has amasado con las manos.

Cualquier cosa por aquí andaré.

Nos seguimos leyendo…

Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 3Publicado el 21 septiembre, 2015 por Cuentos Cuánticos | 9 comentarios

 

Hay un extraño sentimiento de felicidad cuando uno

es capaz de realizar algún cálculo que se presupone difícil.  En las últimas dos entradas sobre el

tema que estamos tratando hemos ido introduciendo un poco del formalismo matemático de la

51

cuántica.  Sin duda alguna, el nivel es muy superficial pero aún así nos permite disfrutar un

poco de lo que es “hacer” cuántica de verdad.

En esta entrada vamos a hacer dos cosas:

1.-  Vamos a hacer paso a paso el cálculo que dejamos indicado en la entrada anterior.  (Por

supuesto hay que conocer la primera entrada de esta serie).

2.-  Vamos a explicar el significado físico de lo que hemos ido discutiendo y calculando.

Valores esperados del color

Tenemos un operador color que denotamos por:   .

Este operador tiene dos estados propios, estado blanco y estado negro.  Son propios porque al

actuar el operador sobre ellos los deja iguales y multiplicados por un número:

Para simplificar vamos a reescribir esas relaciones por:

donde   representan, respectivamente los estados blanco y negro.

Ahora vamos a calcular el valor esperado del operador color sobre el estado blanco:

Paso 1:

Los operadores siempre actúan sobre el objeto que tengan a su derecha.  Como sabemos

que   obtenemos:

52

Paso 2:

Los números reales, como el +1, salen de ese paréntesis como si nada, con lo que nos queda:

Paso 3:

Sabemos lo que vale el producto de un estado propio por sí mismo,  .  Por lo tanto:

Ese es el resultado del valor esperado del operador color para el estado blanco.

Si queremos calcular el valor esperado del operador color para el estado negro solo tenemos

que seguir los pasos con cuidado:

Queda por lo tanto:

Ese es el valor esperado del operador C sobre su estado propio negro.

Que pasa si tenemos un estado que es superposición de blanco y negro, es decir, que sea una

suma y restad de los estados blanco y negros multiplicados por unos determinados coeficientes:

El valor esperado del operador C sobre este estado será:

53

En este punto vamos a asumir por simplicidad que a y b son coeficientes numéricos reales (con

complejos lo único que cambia es que al pasar de    a   hay que pasar el número a su

complejo conjugado).   Ahora hacemos todas las posibles agrupaciones usando la ley

distributiva.

Procedemos como antes, viendo cual es la actuación del operador sobre el estado de su

derecha, ese es el orden de accción natural de los operadores:

Sacamos los números fuera de esos paréntesis raros:

54

Recordando los productos entre estados propios dados por:

Las expresiones anteriores quedan:

Con lo que la cosa queda:

55

Por lo tanto, el valor esperado del operador C en el estado superpuesto   es:

No tiene ningún misterio :)

¿Para qué vale todo esto?

Imaginemos que tenemos un aparato de medir el color tal que este:

¿Qué nos responderá el aparato si introducimos un sistema cuántico en el estado blanco?

Supongo que la respuesta es fácil de responder:

56

Eso es porque el estado blanco es estado propio del operador color  .  Ese operador representa

en cierto modo la característica que queremos medir.  La cuántica nos dice que al medir sobre

el estado propio obtendremos como resultado de la medida el valor del coeficiente que

multiplica al estado después de hacer actuar su operador sobre él.

Otro aspecto importante es que el estado permanece inalterado en la medida, sale

exactamente igual que entró.  Eso implica que si encadenamos un conjunto de medidas sobre el

color estaríamos en este caso:

57

Un caso análogo lo tendríamos con el estado propio negro.

¿Qué ocurre si intentamos medir sobre un estado superpuesto?  Pues que nos dará blanco o

negro pero no sabemos predecir cual de ellos obtendremos en una única media.  Que salga

blanco o negro es totalmente aleatorio.

Recordemos que el estado superpuesto tenía la forma:

58

Bien, intentemos predecir el resultado de la medida.  Tal vez la aguja del aparato de medida se

quede en un punto intermedio entre el blanco y el negro, indicando la superposición.

Suponemos que si el coeficiente del estado blanco es mayor que el coeficiente del estado negro

la aguja estará entre ambos resultados, blanco y negro, pero un poco más cerca del blanco que

del negro.  Esa es la intuición inicial, al menos la mía.

Pero esa es una lectura incorrecta de los estados cuánticos.  La razón principal es que en

cuántica los únicos resultados posibles para la medida de un estado superpuesto, son los

valores asociados a los estados propios que forman parte de la superposición.  Es decir, el

resultado de cualquier medida de color nos dará blanco o negro, +1 o -1, pero nada intermedio.

Por lo tanto, ¿Si introducimos el estado   en el aparato de medida qué obtendremos?  La

respuesta es:

O bien:

59

No tenemos ni idea de lo que vamos a obtener en un única medida. Entonces de qué sirve la

cuántica si a final de cuentas no podemos predecir el resultado de medida alguna. Un fiasco

total de teoría por lo que parece.

Bueno, la cosa no es tan dramática.  Resulta que si repetimos las medidas sobre un número

ingente de estados idénticos  , en cada medida no podemos predecir el resultado obtenenido

pero…

60

Resulta que la proporción en la que no sale blanco es   por cien y en la que sale negro es   

por cien.

Por eso es por lo que se exige que

Porque estos coeficientes de la superposición nos indican la probabilidad con la que aparecen

los valores permitidos de las medidas.

Así que lo que hacemos es calcular el valor esperado del operador con un estado dado, por

ejemplo:

o en este:

¿Cuánto vale el valor esperado del operador de color en estos estados?

Experimentalmente lo que se hace es repetir las medidas muchas veces y ver como se recupera

el valor esperado teórico calculado sobre el estado con el que estemos trabajando.

La cuántica es maravillosa.

Nos seguimos leyendo…

Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 4Publicado el 22 septiembre, 2015 por Cuentos Cuánticos | 7 comentarios

 

Estamos a un paso de hacer cuántica de verdad. (En

realidad ya lo estamos haciendo).  Pero quedan un par de cosas más que hacer así que

aprovecharemos nuestro juego para seguir profundizando en el tema.  Sin duda, nuestra

61

relación con la cuántica se puede resumir en: –Es complicado– :)  Pero la verdad, nos está

yendo de maravilla.

Como de costumbre se recomiendo haber seguido las tres entradas anteriores.  En esta ocasión

nos vamos a basar en ellas para complicar un poco el asunto y entrar en pormenores que aún

no hemos explorado.  Os dejo aquí las entradas y el minicurso al que pertenecen:

Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 1

Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 2

Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 3

Minicurso:  Mecánica cuántica, EPR, entrelazamiento, desigualdades, loopholes y otras cosas

del montón

Bueno, que no se diga que no somos valientes. Ahí vamos.

Complicando el asunto

Vamos a empezar complicando el dispositivo experimental que diseñamos en laentrada

anterior.  Ahora nuestro aparato de medida tiene dos posibles salidas, la pantalla 1 y la pantalla

2.  Esas pantallas están dispuestas en caras distintas de nuestro dispositivo. Como de

costumbre, ya que vamos a medir el color, representado por el operador  , tiene dos posibles

resultados de la medida, BLANCO o NEGRO.  (Esta vez vamos a utilizar un dispositivo digital de

medida en vez de uno analógico con agujas y tal).

Hay una prohibición, no podemos medir simultáneamente en las dos direcciones.  Así que

tenemos que decidir si queremos ver el resultado por la pantalla 1 o por la pantalla 2.  Eso lo

decidiremos sobre la marcha pero una vez decidido la otra pantalla no da resultado alguno, se

bloquea (luego veremos que eso representa un elemento esencial de la cuántica).

62

Construyamos operadores

Como hemos dicho queremos decidir el color,  , de un sistema. Pero tenemos dos formas de

medir que son excluyentes, o bien medimos en la dirección 1, o bien medimos en la dirección 2.

En esta situación hemos de construir dos operadores distintos:

Supongamos que todo lo que hemos hecho hasta ahora en las anteriores entradas corresponde

a medir en la dirección 1.  Por lo tanto, ahora nuestros tendrán que contener una información

relativa a la dirección de medida.  Así que seguro que no cuesta ningún esfuerzo definir los

estados base de color, estado blanco y estado negro, en la dirección 1, del siguiente modo:

Y por supuesto la acción del color en la dirección 1 sobre los estados en dicha dirección vuelve a

dar lo mismo que habíamos asumido anteriormente. Por lo que podemos concluir sin mucho

problema que la acción de   sobre sus estados propios y su forma explícita será:

63

Los estados en la

direción 1 serán nuestros estados favoritos, así que procuraremos escribirlo todo (ya veréis) en

términos los mismos.

Por supuesto, por si te lo estás preguntando, podríamos hacer exactamente lo mismo en la

dirección 2.  Basta cambiar todos los 1 en las expresiones anteriores por 2 y listo.  Más fácil no

se puede.

¿Esto cómo puede ser?

Vamos a introducir un poco de juerga experimental (sí, es juerga, no jerga, porque veréis que es

un despiporre). (Ah, otra cosa, aquí aunque estemos haciendo pirulas con cosas inventadas lo

64

que vamos a exponer ahora es lo que pasa en experimentos reales que se realizan en las

mediciones de espín. Ojo al dato).

Pasos del experimento

Paso 1

Descubrimos una forma de preparar partículas en el estado superpuesto:

Paso 2

Lanzamos un haz de partículas en ese estado superpuesto hacia un aparato de medida.  Como

sabemos, según los coeficientes de la combinación y lo que hemos aprendido del proceso de

medida en cuántica, en cada medida individual tenemos un 50% de probabilidad de obtener

blanco o negro como resultado experimental.

Así si nuestra muestra contiene muchas partículas veremos como el 50% de las veces el

aparato indica que hay un color blanco y un 50% de las veces que hay un color negro.

65

En realidad, no hemos aprendido mucho. Esto es lo que esperábamos dado nuestro enorme

conocimiento del tema.

Paso 3

Como nos va la marcha nos decidimos a complicar la cosa un poco. Sabemos que si en una

medida individual sobre el estado superpuesto obtenemos el blanco en la dirección 1, el estado

inicial cambia a el estado blanco en dicha direción 1.  El estado colapsa al estado propio del

operador color que corresponde con el resultado de la medida. Análogamente si obtenemos el

resultado negro en la dirección 1.

Ahora, disponemos un bloqueador de partículas en el estado negro en la dirección 1.  Es decir,

solo dejamos que continuen su viaje aquellas que aparecen al efectuar una medida de color en

la dirección 1 y obtener blanco.

66

Paso 4

En este paso vamos a explorar distintas alternativas.

Paso 4.1

Las partículas que siguen en juego se hacen pasar por otro dispositivo experimental en

condiciones idéntas al anterior.  Así al medir el color en la dirección 1 de nuevo obtendremos

(¿Intuyes lo que va a salir?):

67

Pues sí, si hacemos la

medida del color en la dirección 1 justo sobre el resultado seleccionado anterior el 100% de las

veces no sale blanco. Lógico, lo que sale es estado propio del operador de color.

Paso 4.2

La segunda opción que queremos estudiar es hacer una medida en la dirección 2 justo después

de haber seleccionado las partículas que han dado resultado blanco en la dirección 1 en una

primera medida.  ¿Podríamos predecir lo que se obtiene con la información de la que

disponemos?  Aquí empieza la cosa a ser interesante.  El resultado es:

¡¡Ooooh!!  Resulta que el

estado propio blanco en la dirección 1 no da un único resultado en la dirección 2 sino que

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obtenemos que un 50% de las medidas del color en la direción 2 da blanco y el otro 50% da

negro.

Lo mejor es que pasaría exactamente lo mismo si en vez de bloquear las partículas de color

negro tras la primera medida hubieramos bloqueado las del color blanco en la dirección 1.  Eso

quiere decir que los estados propios blanco y negro en la dirección 1 no son propios para el

operador color en la dirección 2,  .  Así que los estados en la dirección 2 propios de   se han

de poder escribir como combinaciones lineales de los estados propios del operador  .  Dale

una vuelta a esto porque es importante tenerlo claro.

Una pregunta para acabar esta entrega…

Imaginemos que complicamos un poco más la cosa concatenando tres medidas sobre el color

siguiendo este esquema:

¿Podrías predecir el resultado de la tercerma medida efectuada de nuevo en la dirección 1?

Acabamos aquí con esta entrada. Es bueno tener claro todo lo que se ha expuesto e intentar

responder la pregunta que dejamos sobre la pantalla.  En la próxima entrega vamos a

formalizar todo esto con un aire matemático. Estados, operadores, unos en función de los otros,

conmutadores, etc.  En fin, una diversión sin límites.

Nos seguimos leyendo…

69

Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 5Publicado el 22 septiembre, 2015 por Cuentos Cuánticos | 32 comentarios

 

Vamos a ponernos serios un momento que ya somos

mayorcitos en esto de las cosas cuánticas.

Antes de nada, un poco de contexto. Las cuatro entradas previas a esta las podéis encontrar en

el segundo bloque de entradas del Minicurso: Mecánica cuántica, EPR, entrelazamiento,

desigualdades, loopholes y otras cosas del montón.

Si habéis llegado hasta esta entrada genial.  A mí me está resultando divertido, espero que

vosotros también lo estéis disfrutando. Creo que si hemos llegado hasta aquí estamos en

disposición de estrujarnos las meninges para poner en juego todo lo que hemos aprendido.

Quizás os pille de sorpresa, pero en este conjunto de entradas hemos sido un poco laxos en la

formalidad que se presupone a una cosa tan seria y difícil como la cuántica.   La verdad es que

hemos introducido de soslayo conceptos matemáticos y físicos que, espero, no son incorrectos

pero pueden parecer sacados de la manga.

En esta entrada del minicurso vamos a comenzar un proceso por el que iremos aclarando

algunos detalles. Nos proponemos explicar el formalismo que hay detrás de manera suscinta y

emplearlo para deducir muchas cosas de las que hemos ido insinuando por el camino.  La cosa

se puede empezar a poner fea, ¿te vas a echar atrás ahora?

70

¿Qué es un estado?

En este blog hemos discutido en varias ocasiones lo que es un estado cuántico, por

ejemplo aquí.  Volvamos a ello.

Un estado en cuántica es todo lo que condensa la información que podemos obtener de un

sistema físico.  En términos formales es un objeto matemático, (un vector en un espacio de

Hilbert, del que podemos obtener los valores de los distintos observables físicos.  Ni más, ni

menos.

Los estados cuánticos, representados por vectores (en un espacio de Hilbert, –omitiré tal

pedantería en lo que sigue-) condensan toda la información que podemos extraer del sistema

que esté describiendo tal estado.  Pero desgraciadamente dicha información no está

explícitamente presente en el estado.  Hay que hacerle cosas al estado para que de respuestas

sobre los observables (cosas que podemos medir) físicos.

¿Qué es un observable?

Un observable es un objeto matemático denominado operador.  Se denomina operador porque

actúa sobre los estados y opera sobre ellos, los cambia de un modo conocido.

En realidad no todo operador representa un observable, para que así sea los operadores han de

satisfacer dos condiciones esenciales.  Han de ser lineales y han de ser hermíticos. Pero esto se

cumple en todos los ejemplos que vamos a emplear.  En el desarrollo que sigue señalaré dónde

está el punto de que un operador que representa un observable sea lineal y hermítico.  No

tengáis prisa.

Determinar estados

Lo esencial para determinar los estados de un sistema es elegir qué observable queremos

conocer del mismo.  Podemos querer estudiar posiciones, momento, espines en distintos ejes,

etc.

En nuestro ejemplo, nuestras partículas tiene una característica denominada color.  Esta

característica se puede medir, es un observable físico, así que estará representada por un

operador que denotamos por  .  Resulta que experimentalmente obtenemos midamos la

partícula que midamos (que no conocemos su estado inicial) o blanco o negro.  No hay más

opciones, siempre nos sale blanco o negro.

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Si esos son los resultados

experimentales tenemos que aceptar que tenemos dos estados básicos de color, el estado

blanco y el estado negro.

¿Veis la lógica?  Es la naturaleza, el experimento, el que en definitiva ha de determinar los

estados.  Nosotros solo los ponemos en un formato matemático.

El operador   actúa sobre esos estados.  En el caso de estos estados blanco y negro sabemos

que cuando intentamos determinar el color de los mismos nos sale en la máquina (+1=Blanco)

o (-1=Negro).  Eso significa que matemáticamente hemos de tener:

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De ahí hemos de poder inferir la forma del operador  .  La cuestión es, ¿cómo construimos

matemáticamente el operador?  Pues no hay mucho donde elegir en este punto, solo tenemos

los estados cuánticos a nuestra disposición, el blanco y el negro.  Así que la forma del operador

construida con ellos ha de ser:

Como hemos dicho antes

para que el operador   represente un observable físico ha de ser lineal y hermítico.  ¿Qué es

eso de hermítico?

PUEDES SALTAR ESTA SECCIÓN EN AZUL SI NO QUIERES ENTRAR EN DETALLES DE

HERMÍTICOS

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Dado un operador, por ejemplo nuestra  , podemos calcular otro operador que denominamos

el hermítico asociado del original.  El hermítico asociado a un operador   se denota

por  .

Un operador se dice que ES HERMÍTICO si él y su hermítico asociado son iguales.  Es decir, si se

cumple que  .

Para fijar ideas:

¿Cómo se calcula el hermítico asociado de un operador  ?

Vayamos por casos.  Por un lado podemos tener:

Ale, ya sabemos calcular

hermíticos asociados.

Bueno, tal vez haga falta un poco más en lo que nos ocupa:

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No es ta difícil, ¿verdad?  Pues nada, ya podéis demostra que  .  Nuestro operador ES

HERMÍTICO.  Por lo tanto tiene toda las papeletas para poder representar un observable físico. 

(Ojo, los observables vienen representados por operadores hermíticos, pero no todos los

operadores hermíticos tienen que representar un observable físico).

Así que asumiendo que nuestro operador es hermítico, como tiene que ser,  , ¿Por qué es

importante que sea así?

Hay dos motivos gordos (son teoremas matemáticos):

1.-  Los estados propios de los operadores hermíticos son vectores de módulo unidad (esto

siempre se puede conseguir) y son perpendiculares entre sí. Y eso, os recuerdo, que se traduce

en estas condiciones matemáticas que hemos venido usando:

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2.- Un operador hermítico actuando sobre uno de sus estados propios siempre devuelve el

mismo estado multiplicado por un números (este número se denomina valor propio).  Estos

números, los valores reales, siempre son números reales.  Como así ocurre en nuestro en

nuestro caso como no podía ser de otra forma:

Los valores propios de

los operadores hermíticos son reales y eso es bueno, muy bueno, ¿por qué?.  ¿Recordáis lo que

nos dice la cuántica sobre los posibles resultados de las medidas sobre un estado físico de un

determinado observable?  La cuántica nos dice que lo únicos resultados posibles son los valores

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propios del operador que represente al observable.  Así que es bueno que salgan números

reales, nosotros no sabemos medir otro tipo de números :).

La física cuando se viste de matemática es maravillosa.

Lo dejamos aquí para reposar un poco el tema.

Y ahora una encuesta que me gustaría saber en los comentarios de la entrada… ¿Seguimos con

esta línea o se nos está yendo de madre? ¿Cuántos estáis interesados en seguir?  Espero

vuestros comentarios.

Nos seguimos leyendo…