Determinacion del valor de la carga elemental

por medio del experimento de Millikan

Aldo Vasquez- Angel Zaldana - Josue CastilloAsesor: Francisco Antonio Barahona EscotoLaboratorio Avanzado I, Escuela de Fsica

Universidad de El Salvador

15 de mayo de 2015

1. Introduccion

El experimento de Millikan consiste en cargar porfriccion unas gotas de aceite utilizando un dispensa-dor, someter las gotas cargadas a un campo electricoy as ponerlas en equilibrio estatico. Calcular su pe-so teoricamente y con la medicion otros parametros,como su velocidad terminal en cada libre y finalmen-te determinar la caga de la gota. Luego se procedea inferir la carga elemental a partir de los posiblesmultiplos.Para ello se utiliza el equipo MODA01 disenado paratal experimento. Nuestros objetivos son:

Determinar el valor de la carga electrica ele-mental experimentalmente

Reducir las incertezas realizando con respon-sabilidad y mucho cuidado el proceso experi-mental.

Calcular experimentalmente el valor de la car-ga elemental y compararlo con el valor actual-mente aceptado.

2. Planteamiento del problema

La cuantizacion de la carga es uno de los resultadosimportantes determinado experimentalmente por Mi-llikan. Pretendemos con la realizacion de este experi-mento, medir experimentalmente el valor de la cargaelemental siguiendo el proceso de Millikan.

3. Base Teorica

3.1. Descripcion del experimento

El experimento de Millikan consistio en cargar porfriccion pequenas gotas de aceite utilizando un dis-pensador, las cuales quedaban libres en el aire,estas gotas eran observadas por un microscopio conla ayuda de un haz de luz muy potente que permitavisualizar las gotas. Las gotas cargadas eran someti-das a un campo electrico y as llevarlas al equilibriodinamico o estatico. Aquellas gotas que no se carga-ban por friccion lo hacan con la ayuda de rayos X.Se calculaba el peso de cada gota analizada, de formaindirecta con la medicion parametros como su veloci-dad terminal en cada libre. Finalmente con los datosdel potencial y la distancia entre las placas, ademasde otras consideraciones, era posible determinar lacarga de la gota.Habiendo tomado nota de la carga de muchas go-tas se proceda a un analisis estadstico en el cual sedetermino que la carga pareca siempre ser multiploentero de un valor determinado, el cual se acepto co-mo el valor de la carga elemental.

3.2. Descripcion matematica

Un objeto cargado experimenta una fuerza al ser so-metido a un campo electrico, esta fuerza viene dadapor: ~Fe = q ~E siendo q la carga del objeto y E el cam-po electrico en el punto donde este se encuentra. Uncampo electrico aproximadamente constante puede

Experimento de Millikan 3 BASE TEORICA

generarse al someter dos placas paralelas a una di-ferencia de potencial V cuya magnitud viene dadapor E = V/d donde d es la distancia entre las pla-cas, y su direccion es perpendicular a las placas. Porlo que

Fe =qV

d(1)

Tambien es sabido que cualquier cuerpo en la atmosfe-ra terrestre experimenta una fuerza de flotacion de-bido a la inmersion en el aire, la cual esta dada por

Ff = vaireg (2)

donde v es el volumen, es la densidad y g la gra-vedad.Ademas un cuerpo en movimiento en un fluido expe-rimenta una fuerza de friccion, cuando este cuerpoes esferico podemos describir ese fuerza facilmentecon la formula de Stokes:

Fs = 6pir (3)

Donde es la viscosidad del fluido y la velocidaddel objeto. Y demas esta mencionar el peso

Fg = mg =4

3pir3g (4)

Analizaremos dos situaciones que nos permitiran de-terminar la carga de una gota:

1. La primera situacion es lograr un equilibrioestatico haciendo levitar la gota aplicandoun campo electrico. Tendremos entonces velo-cidad de la gota igual a cero. Esto implica:

Igualdad de las magnitudes entre la Fefuerza electrica y Fg el peso.

Fs = 0 No hay fuerza debida a la friccioncon el aire.

La fuerza de flotacion esta presente peroes despreciable.

2. La segunda situacion es cuando al anular ladiferencia de potencial y dejar la gota en cadalibre, esta alcanza la velocidad terminal (estosucede muy rapido). A partir de ese momentose tiene que:

La magnitud de las fuerzas Fg y Fs seigualan

Fe = 0 No se aplica fuerza electrica.

La fuerza de flotacion esta presente peroes despreciable.

Como ya lo mencionamos la fuerza de flotacion sepuede despreciar, en lo que sigue de la deduccionla despreciaremos. Al querer considerarla basta unanalisis muy simple. Como la fuerza de flotacionactua en direccion opuesta al peso, la resultante en-tre ellas es v(aceiteaire)g por lo que bastara sus-tituir en los resultados posteriores (aceiteaire) enel valor de y de esta forma habremos consideradola fuerza de flotacion.

En la primera situacion tenemos que las unicas fuer-zas significativas que intervienen son el peso y lafuerza electrica, y ademas se cumple que:

Fe = Fg

qV

d= mg

q =mgd

V

Podemos escribir la masa en terminos del volumeny este en funcion del radio de la esfera:

q =4

3pi

(gd

V

)r3 (5)

Para esta ultima ecuacion, tendremos todos los va-lores a sustituir con facilidad, excepto el radio de laesfera que forma la gota. Este radio lo determinare-mos en la segunda situacion planteada.

En la segunda situacion tenemos que las unicas fuer-zas significativas que intervienen son el peso y lafuerza de retardo Fs. Ademas se cumple que:

Fg = Fs

de las ecuaciones (4) y (3) sustituimos para obtener:

4

3pir3g = 6pir

r =

9

2

g(6)

Ahora tenemos que tomar en cuenta que la ley deStokes se tiene en cuenta varias aproximaciones:

2

3 BASE TEORICA Experimento de Millikan

1. Las in-homogeneidades del medio son pequenasen comparacion con el tamano de la esfera.

2. La esfera cae como lo hara en un medio deextension ilimitada

3. La esfera es lisa y rgida.

4. No existe deslizamiento de la superficie de laesfera en el medio

5. La velocidad con la que la esfera se mueve estan pequena que la resistencia al movimientoes debida a la viscosidad del medio y no debidaa la inercia del medio.

Para este experimento se cumplen muy bien las apro-ximaciones 2,3,4 y 5. Sin embargo la aproximacion1 no es completamente valida debido a que la gotatiene un radio de 1m o 2m. Esto conduce a quela fuerza sera proporcional a la velocidad terminalque adquiere la gota, por lo tanto el radio de la gotapuede expresarse como:

r =

9

2

g

donde

=

1 + bPr

b es una constante de correccion igual a 6.17106mcmHg, P es la presion en cmHg y r es el radio obte-nido al no hacer la correccion, dado por la ecuacion(6)

Con lo cual tenemos la expresion para el radio enterminos de la velocidad terminal:

r =

9

2

g(1 + bPr

) (7)Dado que la velocidad terminal es constante estase medira tomando los valores de la distancia y deltiempo, por lo que conviene expresar la ecuacion (7)en terminos de una longitud fija l y del tiempo t quetardara la gota en recorrer esta distancia una vezque se halla alcanzado la velocidad terminal comosigue:

r =

9

2

l

g(1 + bPr

)t

(8)

Ahora sustituiremos r por la ecuacion (6) como lohabamos planteado, con lo cual al simplificar nosqueda:

r =

9l

2g

1[t(

1 + bP

2g9l

t)]1/2 (9)

Observese que de la medicion en cada libre, y te-niendo en cuenta la correccion para la formula deStokes obtenemos el radio de la esfera, el cual po-demos sustituir en la ecuacion (5) en donde V esel voltaje necesario para hacer levitar la misma gotade radio r.

Con esto queda determinada la carga de la gotasegun la ecuacion siguiente:

q =4

3pigd

(9l

2g

)3/21[

t(

1 + bP

2g9l

t)]3/2 1V

(10)Hemos obtenido por tanto la forma de cuantificar lacarga de una gota, al hacerla levitar aplicando unadiferencia potencial, y midiendo el tiempo que tardaen recorrer una distancia fija l al estar en cada librey ha alcanzado su velocidad terminal.

En nuestro caso dejamos que la gota se desplazase 6cm en la pantalla (despues de alcanzar su velocidadterminal) pero la imagen en el equipo es amplificada93 veces, por que lo que la distancia real que re-corrio la gota fue de (0.06/93)m = 6.45 104m.Por lo tanto para nuestro experimento tenemos lossiguientes valores:

=981Kg/m3

g =9.80m/s2

=1.83 105Kg/m sb =6.17 106m cmHgP =76cmHg

d =5.00 103ml =6.45 104m

Sustituyendo estos valores en (10) obtenemos la ecua-cion de la carga unicamente en funcion del tiempo ydel voltaje:

3

Experimento de Millikan 6 CALCULO DE INCERTEZAS

q =2.6158 1015

[t(1 + 0.0345345t)]3/2

1

V(11)

4. Obtencion de datos

Es necesario fijar una distancia l que recorrera la go-ta de aceite, se utilizara una distancia de 6.00 cm enla pantalla. Ademas utilizando el aparato se observaque al poner en marcha el cronometro del equipo, seprovoca movimiento sobre el aparato, por lo que sedecidio tomar el tiempo con un cronometro externopara evitar este posible causa de error.Debe fijarse el voltaje que equilibrara a la gota yposteriormente rociar el aceite dentro del comparti-miento. Luego debe seleccionarse una gota para serestudiada. El voltaje debe ser modificado ahora pa-ra equilibrar la gota y que no se mueva y anotar elvoltaje de equilibrio, se lleva el medidor de voltaje acero dejando caer la gota, cuando la gota entre en laregion seleccionada para determinar la velocidad ter-minal se debe iniciar el cronometro, cuando la gotaalcance el final de la region escogida debera dete-nerse el cronometro. Para llevar la gota de nuevo alinicio presionar el boton Up en el aparato. Luegorepetir el proceso para determinar el tiempo que tar-da la gota en caer por la region escogida (distancial). Repetir todos los pasos para al menos 10 gotasdiferentes y para cada una de ellas tomar 4 valoresdel tiempo con el fin de promediar.Para calcular el numero de cargas elementales queposee cada gota se encontrara la diferencia entre lascargas calculadas de ellas, mediante la menor dife-rencia de cargas se puede calcular el numero de car-gas elementales que cada una posee. Dividiendo lacarga de cada gota por esta diferencia mnima secalcula el numero de cargas elementales que poseecada gota.Se toma en cuenta que cuando tengamos valores de-masiado parecidos entre dos cargas, debemos descar-tar la diferencia entre ellas, pues eso nos proporcio-nara un error.

5. Aparatos a utilizar

Aparato disenado para realizar el experimen-to de Millikan. (Millikan Oil Drop ApparatusMODA01 United Scientific Supplies, Inc.)

MODA01 Millikan Oil Drop Apparatus. United Scien-tific Supplies, Inc. Voltaje de funcionamiento: 110V

AC. Numero de Catalogo: CP33855-00.Este es alimentado con un voltaje de 110V (Corrien-te Alterna). Para preparar el equipo para la tomade medidas se debe retirar la camara de nubes deaceite para asegurarse que el conector de la placasuperior este conectado a ella. Luego reemplazar lacamara con la abertura para rociar el aceite, debenivelarse la camara de aceite con los tornillos de ni-velacion.

Figura 1: Millikan Oil Drop Apparatus MODA01

El boton balance regula el voltaje entre las pla-cas mientras que el boton Up regresara la gota alpunto inicial dejandola lista para otras medidas.Debe saberse que la distancia que recorren las go-tas marcada en el aparato debe ser dividida por unfactor (ya que el resultado ha sido amplificado), estefactor esta especificado por el fabricante y es de 93.Es decir que la distancia que marque el aparato de-be ser dividida por 93 para obtener la distancia realrecorrida por la gota.

6. Calculo de incertezas

Para el calculo de incertezas cometidas en cada me-dicion de la carga, se realiza el siguiente proceso, sehace uso de la ecuacion (12)

q =2.6158 1015

[t(1 + 0.0345345t)]3/2

1

V

Para calcular la propagacion del incertezas es con-veniente utilizar esta ecuacion de la forma:

4

7 DATOS OBTENIDOS Y ANALISIS DE DATOS Experimento de Millikan

q =2.6158 1015[

t+ 0.0345345 t3/2]3/2 1V (12)La incerteza relativa cometida al tomar estas medi-das es:

q

q=V

V+

3

2

[t

t+

3

2

t

t

](13)

Esto se reescribe como:

q = q

(V

V+

3

2

[t

t+

3

2

t

t

])(14)

Con esta formula se calcularon las incertezas pre-sentados en la tabla ?? y ??. Para la incerteza deltiempo promedio presentado en la tabla 1, se utilizo:

t =t1 + t2 + t3 + t4

4= 0.1s (15)

7. Datos obtenidos y Analisisde Datos

En la tabla 1 se muestran los datos obtenidos paralos valores del tiempo durante el experimento, se in-dica la incerteza en la medida de cada tiempo. Unpromedio de los tiempos de cada se coloca en laultima columna de la tabla. Debe advertirse que ladistancia que se dejo caer la gota fue de 6 centme-tros pero dado que el factor de amplificacion de lacamara es de 93, la distancia que en realidad cayo lagota fue de 0.0065 cm. La primera columna repre-senta el numero de gota.

Cuadro 1: Valores del tiempo para 10 mediciones.

# V 1V

t1 0.1s

t2 0.1s

t3 0.1s

t4 0.1s

tprom0.1s

1 220 4.92 4.97 4.95 4.95 4.952 480 10.57 10.32 10.58 10.40 10.473 78 13.07 13.00 13.05 13.20 13.084 1120 3.88 3.82 3.77 3.79 3.825 190 11.38 11.17 11.04 11.09 11.176 270 5.62 5.69 5.57 5.67 5.647 130 4.69 4.68 4.72 4.67 4.698 520 6.20 6.24 6.18 6.14 6.199 75 7.36 7.29 7.49 7.69 7.46

10 100 11.76 11.61 11.33 11.13 11.46

Los valores del tiempo con su respectivo voltaje sepresenta en la tabla 2. Se tiene el numero de la me-dicion, el respectivo valor de voltaje con el tiempopromedio.

Cuadro 2: Voltaje y tiempo de cada.r# Voltaje (V) 1V tprom 0.1s1 220 4.952 480 10.473 78 13.084 1120 3.825 190 11.176 270 5.647 130 4.698 520 6.199 75 7.4610 100 11.46

Para encontrar los valores de la carga q contenidos encada gota, se utiliza la ecuacion (10). Se sustituye losvalores del voltaje de equilibrio y del tiempo ademascalculando la incerteza cometida en la obtencion dela carga (tabla 2.)

Cuadro 3: Valores obtenidos para la carga de cadagota.

# Carga q(1019C)

Incerteza de lamedicion

(1019C)1 9.66 0.782 1.37 0.053 5.94 0.254 2.84 0.285 3.13 0.126 6.43 0.457 17.77 1.568 2.89 0.189 14.95 0.9510 5.71 0.24

Se debera ahora encontrar los valores de la cargafundamental, la hipotesis que se ha supuesto es quetodas las cargas q estan cuantizadas y son multiplosdel mismo factor e, para encontrar este valor, se cal-cula el maximo comun divisor de los valores que sehan obtenido. Para realizar este proceso, se determi-na la diferencia entre cada carga, es decir, |q1 q2|,|q1 q3|, , |q2 q3|, |q2 q4|, , |q9 q10|.

5

Experimento de Millikan 7 DATOS OBTENIDOS Y ANALISIS DE DATOS

Una vez realizado esto, se ordena de mayor a menory se toman paquetes de valores en los cuales la di-ferencia de carga este cercana entre s, se obtiene elpromedio y a este valor se le asigna el valor de cargan = 1, luego el siguiente paquete, se le asigna n = 2y as sucesivamente, dependiendo de la cantidad devalores que se hayan calculado.

Se puede incluso graficar los valores de la diferenciade carga vs. el numero de carga, la pendiente de estegrafico debera de ser el valor de la carga elemental.Sin embargo hay que tener en cuenta que no han detomarse aquellas diferencias que provengan de da-tos muy cercanos, estos valores difieren unicamentepor la incerteza de las mediciones y cometeramosun error al decir que esta diferencia es un multiplode la carga elemental.

Para los datos obtenidos en este laboratorio, se tiene:

Cuadro 4: Calculo carga elemental.# de cargaselementales

Carga ne(1019C)

1 1.582 3.183 4.814 6.715 8.486 9.137 11.18 12.39 14.5

10 16.4

Al graficar la tabla anterior, se concluye que existeuna regresion lineal entre los valores. Como se ob-serva en la figura 1.Al utilizar, la expresion de mnimos cuadrados, sedetermina el valor de la pendiente de la grafica an-terior, la cual resulta ser la carga elemental:

e = 1.599 1019C (16)

Se puede entonces, expresar la tabla 3 con la canti-dad de cargas elementales que posea cada gota y lanueva incerteza cometida, utilizando el valor calcu-lado de e

Cuadro 5: Cantidad de cargas elementales en las car-gas q y su incerteza respecto al valor medido.

# Carga q(1019C)

n Incerteza en la cargaelemental (1019C)

1 9.66 6 0.072 1.37 1 0.233 5.94 4 0.464 2.84 2 0.365 3.13 2 0.076 6.43 4 0.037 17.77 11 0.188 2.89 2 0.319 14.95 9 0.5610 5.71 4 0.68

Al promediar estos valores de la incerteza , el resul-tado es 0.295 C. Por lo que nuestro valor encontradocon su respectiva incerteza es:

e = (1.599 0.295) 1019C (17)

Esto proporciona una incerteza relativa de 0.185 apro-ximadamente. Esto equivale a una incerteza relativadel 18.5 %. A esto se le anade la incerteza del 1 % quese especifico debido al uso de la ecuacion para deter-minar la carga de cada gota. Por tanto la incertezarelativa es del 19.5 % con esto se puede representar

Figura 2: q = ne vs n

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REFERENCIAS Experimento de Millikan

el valor final obtenido para la carga elemental:

e = (1.599 0.312) 1019C (18)

8. Discusion de Resultados

Calculemos el error relativo del valor de la cargaelemental encontrado respecto al valor actualmenteaceptado, asumiendo este ultimo como el valor real,el cual es: 1.602 1019C. Se calcula un error de:

error relativo =|ereal emedido|

ereal

=|1.602 1.599|

1.602= 0.002

Esto indica un error porcentual de:

error porcentual = 0.002 100 = 0.2 %

9. Conclusiones

El valor calculado de la carga elemental es de(1.599 0.295) 1019C.La incerteza relativa obtenida fue de 0.185 apro-ximadamente.Se observa que la carga esta cuantizada, puesel espectro no es continuo sino multiplos de unvalor el cual es la carga elemental.En el experimento de Millikan se realizan mu-chas aproximaciones para la obtencion de lacarga elemental, aun as con las consideracio-nes hechas observamos bastante exactitud yprecision en el calculo de e.

10. Recomendaciones

Se recomienda utilizar un cronometro indepen-diente al aparato, pues al activar el del aparatose provoca movimiento en el equipo y esto pue-de alterar la medicion.Al momento de seccionar la gota a utilizar elijaun que este centrada horizontalmente, es decir,no importa si esta en la parte inferior o supe-rior de la pantalla, importa solamente que noeste ni muy a la izquierda ni muy a la dere-cha. Esto por que la gota se mueve por facto-res externos y nosotros no podemos controlar

el movimiento horizontal, solamente el verti-cal. As no perderemos la gota en la pantallaantes de haber tomado todas las medidas dedicha gota.Debe tomarse en cuenta que si la gota es muygrande, su velocidad terminal sera grande di-ficultando las medidas del tiempo y si es muypequena su movimiento sera modificado por elmovimiento Browniano por lo que es recomen-dable escoger una gota de tamano moderado.

Referencias

[1] UNITED SCIENTIFIC SUPPLIES, INC Ope-rating instructions and activity guide MillikanOil Drop Apparatus MODA01Recuperado de: http://www.unitedsci.com/sites/www.unitedsci.com/files/

activity-guides/MODA01%20Millikan%

20Oil%20Drop%20App.pdf (Visitado el 17 deAbril de 2015)

[2] Oliva Ignacio, Nerio Amanda, Determinacionexperimental de la carga elemental, por mediodel experimento de Millikan Universidad deEl Salvador, Facultad de Ciencias Naturales yMatematica

[3] EMPRESA PROVINCIAL DE ENERGIA DECORDOBA EPEC Millikan y la carga delelectron http://www.epec.com.ar/docs/educativo/institucional/fichamillikan.

pdf

(Visitado el 13 de Abril del 2015)

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IntroduccinPlanteamiento del problemaBase TericaDescripcin del experimentoDescripcin matemtica

Obtencin de datosAparatos a utilizarClculo de incertezasDatos obtenidos y Anlisis de DatosDiscusin de ResultadosConclusionesRecomendaciones