Determinacion del valor de la carga elemental

por medio del experimento de Millikan

Ignacio Alfonso Gonzalez OlivaCorreo: iagogonz92@gmail.comAmanda Nathal Nerio Aguirre

Correo: amanda.nerio@gmail.comEscuela de Fsica, Facultad de Ciencias Naturales y Matematica, Universidad de El Salvador

Asesor: Francisco Antonio Barahona Escoto

Laboratorio Avanzado I

30 de abril de 2015

Resumen

A inicios del siglo XX, Robert Millikan realizo un experimento para cuantificar la carga delelectron por medio del analisis de fuerzas sobre las gotas cargadas dentro de un campo electrico,para luego determinar la carga de las gotas individuales. Se reprodujo este experimento variasveces para nuevamente comprobar que la carga se encuentra cuantizada. En este experimento,utilizando el aparato de la gota de aceite de Millikan (MODA01), se calculo el valor de la cargaelemental, obteniendo e = (1,55 0,20) 1019C, medida reportada con aproximadamenteel 11 % de incerteza absoluta y aproximadamente el 3 % de error respecto al valor aceptado;verificando con esto, la teora de cuantizacion de la carga.

Indice

1. Introduccion 2

2. Marco teorico 2

2.1. Marco historico . . . . . . . . . . 2

2.2. Descripcion matematica . . . . . 3

3. Obtencion de datos 5

4. Aparatos a utilizar 5

5. Calculo de incertezas 5

6. Toma y Analisis de datos 6

7. Discusion de Resultados 7

8. Conclusiones 7

9. Recomendaciones 8

Bibliografa 8

Experimento de Millikan 2 MARCO TEORICO

1. Introduccion

A inicios del siglo XIX, el qumico ingles JohnDalton publicaba que las interacciones qumicasse deban a la combinacion de atomos de los dife-rentes elementos qumicos [3]. Durante 100 anosse postularon diferentes modelos atomicos queintentaban explicar los elementos que componenla materia, durante esta etapa de descubrimien-tos, J.J. Thompson profundizo que deba deexistir una partcula subatomica que era apro-ximadamente 1,000 veces mas pequena que elatomo; su modelo permitio aseverar que en efec-to exista algo dentrodel atomo. No fue has-ta inicios del siglo XX, que Ernest Rutherford,gracias a su experimento de la lamina de oro,descubrio que el atomo estaba dividido[2].

El descubrimiento y el estudio de los compo-nentes del atomo le permitieron a los fsicos en-tender y conocer nuevas areas, como la fsicaatomica, la fsica nuclear, la fsica de partcu-las y la fsica del estado solido. El experimentode Millikan aporta algo de gran interes y quellevara al desarrollo de teoras necesarias paraexplicar el mundo sub-atomico.

En 1910, Robert Millikan reporto un metodo pa-ra medir la carga electrica e de un solo electron,monitoreando el movimiento de una gota deaceite suspendida en una camara y sujeta a unafuerza electrica. Al realizar este experimentollego a dos importantes conclusiones: primero, lacarga electrica esta cuantizada, todas las cargaselectricas son multiplos de una carga elementale y segundo, la carga tiene un valor aproximadode e 1019 Coulombs.El experimento de Millikan consistio, de mane-ra general, en determinar las fuerzas que actuansobre la gota de aceite. Esta gota alcanza rapi-damente la velocidad terminal por efecto de lavariacion de de la fuerza electrica que se generaentre dos placas. Al medir la velocidad en dife-rentes condiciones es posible encontrar la canti-dad de carga que posee dicha gota.

Para realizar este experimento se debe de te-ner destreza en el ambito experimental, el exitode Millikan se debio en la habilidad para me-dir pequenas fuerzas que actuan sobre pequenaspartculas.

Se planea determinar el valor de la carga ele-mental por medio de la utilizacion del analisisdinamico sobre varias gotas de aceite, de mo-do que se pueda calcular el valor de la cargadel electron con la menor incerteza y la mayorprecision posibles, utilizando el equipo correcta-mente para verificar la cuantizacion de la carga.

2. Marco teorico

2.1. Marco historico

A finales del siglo XIX, Joseph John Thomsondescubrio la existencia de los electrones por me-dio de la medicion de la desviacion de rayoscatodicos en un campo magnetico. J. J. Thom-son concluyo que los rayos catodicos estaban for-mados por corpusculos que se desprendan delos electrodos, el crea que los atomos eran unamasa positiva con los corspusculos cargados ne-gativamente, incrustados en ella [6].Anos mas tarde, Charles Wilson (un estudian-te de Thomson), fascinado por las atmosferasgaseosas, descubrio que en una atmosfera su-persaturada de gas y en ausencia de polvo, seproducan gotas al superar el lmite de satura-cion, se dedico a estudiar las gotas generadas enestos medios y luego del descubrimiento de losrayos X, Thomson le sugirio estudiar el efecto delos rayos X sobre medios saturados, descubrien-do as que estos (los rayos X) eran altamenteionizantes, esto de alguna forma comprobo ladivisibilidad del atomo.Fue entonces cuando Thomson y otros cientfi-cos disenaron metodos para medir la carga delas gotas, asumiendo todos, que cada gota cre-cio alrededor de un ion y que por tanto la cargade cada gota habra sido igual a la carga del ionen el que crecio. Fue logico pensar que tanto lasmoleculas como los atomos que generaban loscorpusculos eran de carga neutra y que al ioni-zarse, la carga del ion generado sera igual a lacarga del corpusculo perdido. Aun cuando to-dos realizaron trabajos de forma independiente,concordaban en que la carga de dicho corpuscu-lo era de orden 1019 [6].Tiempo despues, Robert Millikan trato de re-producir el experimento de Wilson, pero en-

2

2 MARCO TEORICO Experimento de Millikan

contro que era muy difcil reproducir la ex-periencia. El considero que en ninguno de losmetodos experimentales usados hasta entoncespara determinar e era capaz de demostrar si elelectron tena una carga fija, porque todos mi-dieron la carga promedio de un conjunto de car-gas, es decir que no demostraban si el valor ob-tenido para e era un valor constante.Para mejorar el metodo de Wilson decidio utili-zar un campo electrico mucho mayor, esto paragenerar una fuerza opuesta al sentido del movi-miento de las gotas y hacer que esta permane-ciera inmovil, al realizar este cambio en el di-seno original, la niebla cargada desaparecio deforma inmediata, pero algunas gotas quedaronsuspendidas, y con estas pudo determinar la car-ga exacta de una gota individual. Debido a quelas gotas se evaporaban no permanecan estacio-narias, pero luego se le ocurrio realizar el expe-rimento utilizando un aceite de baja presion devapor para formar las gotas y en los siguientesexperimentos, pudo concluir que una gota in-dividual siempre transporta un multiplo enteroexacto de alguna unidad de carga electrica [4].

2.2. Descripcion matematica

Un analisis de las fuerzas actuando sobre la gotade aceite llevara a las ecuaciones que determinanla carga de la muestra.

El diagrama de cuerpo libre mostrado en la fi-gura 1, presenta cuando la gota cae en aire yalcanza su velocidad terminal (la velocidad ter-minal es alcanzada en pocos milisegundos paraeste experimento [2]). En la figura 1, F es lafuerza de retardo, T es el empuje y W es el pe-so.

Figura 1: Diagrama de cuerpo libre cuando lagota ha alcanzado la velocidad terminal.

La fuerza hacia abajo debida a la fuerza de gra-vedad y el empuje combinados es m1g m2g(con m1 la masa de la gota y m2 la masa deaire desplazado). Esta fuerza de retardo es kvf .Entonces:

m1g m2g = kvf (1)Sea m = (m1 m2), por lo tanto

mg = kvf (2)

La figura 2 muestra las fuerzas actuando en lagota cuando esta subiendo bajo la influencia deun campo electrico.

Figura 2: Diagrama de cuerpo libre cuando lagota esta bajo la influencia de un campo electri-co.

En la figura 2, E es la intensidad del campoelectrico, q es el valor de la carga de la gota Fes la fuerza de retardo (kvr, donde vr es la ve-locidad de la gota cuando sube) y W es el peso.Sumando estas fuerzas vectorialmente lleva a:

Eq = mg + kvr (3)

Eliminando k de la ecuacion 2 y 3, y resolviendopara q, esto lleva a:

q =mg(vf + vr)

Evf(4)

Para eliminar m de la ecuacion 4, se utiliza elmodelo de una esfera para las gotas.

m = (m1 m2)m = (4/3)pia3(1 2) (5)

donde a es el radio de la gota, 1 es la densidaddel aceite y 2 la densidad del aire. Las ecuacio-nes (4) y (5) se combinan para formar:

q =4pi

3

g

E(1 2)

(1 +

vrvf

)a3 (6)

3

Experimento de Millikan 2 MARCO TEORICO

Para calcular a, se utiliza la ley de Stokes, re-lacionando el radio a de cualquier esfera con lavelocidad de caida en un medio viscoso (con elcoeficiente de viscosidad, ):

velocidad de cada =2

9

ga3

(1 2)

En la teora de la derivacion de la ley de Stokesse asumen las siguientes cosas:

1. Las inhomogeneidades del medio son pe-quenas en comparacion con el tamano dela esfera

2. La esfera cae como lo hara en un mediode extension ilimitada

3. La esfera es lisa y rgida.4. No existe deslizamiento de la superficie de

la esfera en el medio5. La velocidad con la que la esfera se mueve

es tan pequena que la resistencia al movi-miento es debida a la viscosidad del medioy no debida a la inercia del medio.

Para el caso del experimento de Millikan, lashipotesis (2), (3), (4) y (5) son validas. Sin em-bargo, la hipotesis (1) no es completamente vali-da debido a que la gota tiene un radio de 1m o2m y no mas grande que las moleculas de aire.Esto conduce a que la fuerza sera proporcionala la velocidad terminal que adquiere la gota.

Ff =kvf = 6piavf

mg =4

3pia3g

por lo tanto 6piavf =4

3pia3g

Y por ello el radio de la gota puede expresarsecomo:

a =

9

2

vfg

La viscosidad del aire debe escribirse como:

=

1 + bPa

Donde b es una constante de correccion igual a6,17 106 y P la presion en cmHg. Tomandoen cuenta lo anterior, la fuerza de retardo se es-cribe como se muestra en la expresion siguiente.

Ff =6piavf

1 + bPa(7)

Por lo que el radio calculado anteriormente que-da:

a =

9vf

2(1 + b/Pa)g(8)

La masa resulta ser:

m =4

3pi

[9vf

2(1 + b/Pa)g

]3/2 (9)

La velocidad terminal de la gota puede ser cal-culada midiendo la distancia que esta recorre enun determinado tiempo, vf =

yt sustituyendo lo

anterior se obtiene:

m =4

3pi

[9y

2(1 + b/Pa)tg

]3/2 (10)

Ademas el radio sera igual:

a =

9y

2(1 + b/Pa)tg(11)

La ecuacion 4 presenta la expresion para la car-ga, que ahora sera escrita como:

q =mgd

V

q =4

3pi

[9y

2(1 + b/Pa)tg

]3/2 gdV

(12)

Reordenando los terminos

q =18pid

V

2gP

[y

(1 + b/Pa)t

]3/2(13)

Donde cada uno de los valores constantes seran:

=981Kg/m3

g =9,80m/s2

=1,83 106Kg/m sb =6,17 106m cmHgP =76cmHg

d =5,00 103my =6,45 104m

De modo que se puede expresar

a = 3,26 104 1t

Y la expresion final sera

q =2,61 1016

[(1 + (2,04 103t)t]3/2V (14)

4

5 CALCULO DE INCERTEZAS Experimento de Millikan

3. Obtencion de datos

Es necesario fijar una distancia y que reco-rrera la gota de aceite, se utilizara una distanciade 6.00 cm. Debe tomarse en cuenta que el apa-rato necesita un intervalo de tiempo para queel cronometro empiece a marcar el tiempo lue-go que la gota entra en la camara y otro paraelevar la gota y poder hacer nuevas medidas.Debe fijarse el voltaje que equilibrara a la go-ta y posteriormente rociar el aceite dentro delcompartimiento. Luego debe seleccionarse unagota para ser estudiada. El voltaje debe ser mo-dificado ahora para equilibrar la gota y que nose mueva y anotar el voltaje de equilibrio, se lle-va el medidor de voltaje a cero dejando caer lagota, cuando la gota entre en la region seleccio-nada para determinar la velocidad terminal sedebe iniciar el cronometro, cuando la gota al-cance el final de la region escogida debera dete-nerse el cronometro. Para llevar la gota de nuevoal inicio presionar el boton Up en el apara-to. Luego repetir el proceso para determinar eltiempo que tarda la gota en caer por la regionescogida (distancia y). Repetir todos los pasospara al menos 10 gotas diferentes.Para calcular el numero de cargas elementalesque posee cada gota se encontrara la diferenciaentre las cargas calculadas de ellas, mediante lamenor diferencia de cargas se puede calcular elnumero de cargas elementales que cada una po-see. Dividiendo la carga de cada gota por estadiferencia mnima se calcula el numero de car-gas elementales que posee cada gota.

4. Aparatos a utilizar

Aparato disenado para realizar el experi-mento de Millikan. (Millikan Oil Drop Ap-paratus MODA01 United Scientific Sup-plies, Inc.)

MODA01 Millikan Oil Drop Apparatus. Uni-ted Scientific Supplies, Inc. Voltaje de fun-cionamiento: 110V AC. Numero de Catalogo:CP33855-00.Este es alimentado con un voltaje de 110V (Co-rriente Alterna). Para preparar el equipo para

la toma de medidas se debe retirar la camarade nubes de aceite para asegurarse que el co-nector de la placa superior este conectado a ella.Luego reemplazar la camara con la abertura pa-ra rociar el aceite, debe nivelarse la camara deaceite con los tornillos de nivelacion.El boton balance regula el voltaje entre lasplacas mientras que el boton Up regresara lagota al punto inicial dejandola lista para otrasmedidas.Debe saberse que la distancia que recorren lasgotas marcada en el aparato debe ser divididapor un factor (ya que el resultado ha sido am-plificado), este factor esta especificado por el fa-bricante y es de 93. Es decir que la distancia quese marque en el aparato debe ser dividida por93 para obtener la distancia real recorrida porla gota.

5. Calculo de incertezas

Para el calculo de incertezas cometidas en ca-da medicion de la carga, se realiza el siguienteproceso, se hace uso de la ecuacion 13.

q =2,61 1016

[(1 + (2,04 103t)t]3/2VPara calcular la propagacion del incertezas esconveniente utilizar esta ecuacion de la forma:

q =2,61 1016

[(t+ (2,04 103t3/2)]3/2V (15)

La incerteza relativa cometida al tomar estasmedidas es:

q

q=V

V+

3

2

[t

t+

3

2

t

t

](16)

Esto se reescribe como:

q = q

(V

V+

3

2

[t

t+

3

2

t

t

])(17)

Con esta formula se calcularon las incertezaspresentados en la tabla 4 y 5. Para la incertezadel tiempo promedio presentado en la tabla 1,se utilizo:

t =t1 + t2 + t3 + t4

4= 0,1s (18)

5

Experimento de Millikan 6 TOMA Y ANALISIS DE DATOS

6. Toma y Analisis de datos

En la tabla 1 se muestran los datos obtenidospara los valores del tiempo durante el experi-mento, se indica la incerteza en la medida de ca-da tiempo. Un promedio de los tiempos de cadase coloca en la ultima columna de la tabla. De-be advertirse que la distancia que se dejo caerla gota fue de 6 centmetros pero dado que elfactor de amplificacion de la camara es de 93,la distancia que en realidad cayo la gota fue de0.000645 cm. La primera columna representa elnumero de gota.

Tabla 1: Valores del tiempo para 4 mediciones.# t1

0,1st2 0,1s

t3 0,1s

t4 0,1s

tprom0,1s

1 11.1 11.1 11.0 11.0 10.1

2 10.2 10.2 10.5 10.3 10.3

3 8.8 8.8 8.7 8.8 8.8

4 8.6 8.4 8.8 8.6 8.6

5 6.2 6.3 6.4 6.1 6.3

6 3.5 3.5 3.7 3.5 3.6

7 5.8 5.7 5.7 5.8 5.8

8 8.6 8.6 8.5 8.7 8.6

9 6.7 6.6 6.7 6.6 6.7

10 4.6 4.6 4.8 4.7 4.7

Los valores del tiempo con su respectivo voltajese presenta en la tabla 2. Se tiene el numero dela medicion, el respectivo valor de voltaje con eltiempo promedio.

Para encontrar los valores de la carga q conte-nidos en cada gota, se utiliza la ecuacion (13).Se sustituye los valores del voltaje de equilibrioy del tiempo ademas calculando la incerteza co-metida en la obtencion de la carga (tabla 3.)

Se debera ahora encontrar los valores de la car-ga fundamental, la hipotesis que se ha supuestoes que todas las cargas q estan cuantizadas y sonmultiplos del mismo factor e, para encontrar es-te valor, se calcula el maximo comun divisor delos valores que se han obtenido. Para realizar es-te proceso, se determina la diferencia entre cadacarga, es decir, |q1 q2|, |q1 q3|, , |q2 q3|,|q2 q4|, , |q9 q10|.

Tabla 2: Voltaje y tiempo de cada.# Voltaje (V) 1V tprom 0,1s1 58 10.1

2 13 10.3

3 27 8.8

4 20 8.6

5 20 6.3

6 110 3.6

7 27 5.8

8 48 8.6

9 20 6.7

10 66 4.7

Tabla 3: Valores obtenidos para la carga de cadagota.

# Carga q(1019C)

Incerteza de la medi-cion (1019C)

1 1.20 0.06

2 6.00 0.69

3 3.70 0.30

4 5.10 0.48

5 8.30 0.92

6 3.50 0.41

7 7.00 0.72

8 2.10 0.14

9 7.60 0.81

10 3.90 0.37

Una vez realizado esto, se ordena de mayor amenor y se toman paquetes de valores en loscuales la diferencia de carga este cercana entres, se obtiene el promedio y a este valor se leasigna el valor de carga n = 1, luego el siguientepaquete, se le asigna n = 2 y as sucesivamente,dependiendo de la cantidad de valores que sehayan calculado.

Se puede incluso graficar los valores de la dife-rencia de carga vs. el numero de carga, la pen-diente de este grafico debera de ser el valor dela carga elemental.

Para los datos obtenidos en este laboratorio, setiene:

6

8 CONCLUSIONES Experimento de Millikan

Tabla 4: Calculo carga elemental.# de cargas elemen-tales

Carga ne(1019C)

1 1.65

2 3.14

3 4.86

4 6.29

5 7.13

Al graficar la tabla anterior, se concluye queexiste una regresion lineal entre los valores.

Figura 3: ne vs n

Al utilizar, la expresion de mnimos cuadrados,se determina el valor de la pendiente de la grafi-ca anterior, la cual resulta ser la carga elemen-tal:

e = 1,55 1019C (19)Se puede entonces, expresar la tabla 3 con lacantidad de cargas elementales que posea cadagota y la nueva incerteza cometida, utilizandoel valor calculado de eAl promediar estos valores, el resultado es

e = (1,55 0,14) 1019C (20)

Esto proporciona una incerteza relativa de 0,1aproximadamente. Esto equivale a una incertezarelativa del 10 %. A esto se le anade la incerte-za del 1 % que se especifico debido al uso de la

Tabla 5: Cantidad de cargas elementales en lascargas q y su incerteza en la medicion.

# Carga q(1019C)

n Incerteza en lacarga elemental(1019C)

1 1.20 1 0.08

2 6.00 4 0.18

3 3.70 2 0.12

4 5.10 3 0.14

5 8.30 5 0.17

6 3.50 2 0.18

7 7.00 4 0.16

8 2.10 1 0.10

9 7.60 5 0.16

10 3.90 2 0.15

ecuacion para determinar la carga de cada gota.Por tanto la incerteza relativa es del 11 % conesto se puede representar el valor final obtenidopara la carga elemental:

e = (1,55 0,20) 1019C (21)

7. Discusion de Resultados

Si se encuentra el error relativo, entre el valorasignado para la carga elemental y el valor en-contrado, asumiendo que el valor que se consi-dera como real es de: 1,6021019 C, se calculaun error de:

error relativo =|ereal emedido|

ereal

=|1,60 1,55|

1,60

= 0,03

Eso da un error porcentual de:

error porcentual = 0,03 100 = 3 %

8. Conclusiones

El valor calculado de la carga elemental esde (1,55 0,20) 1019C.

7

Experimento de Millikan BIBLIOGRAFIA

La incerteza relativa obtenida fue de 0.11aproximadamente.Se verifica que las cargas de las gotas estancuantizadas.El experimento de Millikan a pesar de querealiza muchas aproximaciones para la ob-tencion de la carga elemental, presentauna enorme exactitud y precision en elcalculo de e.Es importante recalcar la importancia quetiene la cuantizacion de la energa, teoraque resultara en el desarrollo de diferentesramas de la fsica, atomica, electromagne-tismo, nuclear, partculas, etc etc.El error porcentual que se obtuvo al com-parar las medidas, real y calculada fue de3 %.

9. Recomendaciones

Dado que el campo electrico cerca de lasplacas es irregular y que el movimiento delas gotas puede verse afectado por el flujode aire en la placa superior se recomiendatrabajar en la distancia intermedia de lasplacas.Asegurarse que el voltaje de equilibrioesta seleccionado antes de rociar el acei-te en el compartimiento.Se recomienda primero aplicar un volta-je de 250V para sacar las gotas de aceiteno deseadas hasta que solo queden unascuantas para ser observadas.Debe tomarse en cuenta que si la gota esmuy grande, su velocidad terminal seragrande dificultando las medidas del tiem-po y si es muy pequena su movimientosera modificado por el movimiento Brow-niano por lo que es recomendable escogeruna gota de tamano moderado.

Bibliografa

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[2] McDermott, R., 2002 Millikan Oil-DropExperiment, Advanced Laboratory, Uni-versity of Wisconsin, Madison, Wisconsin,United States of America.

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[5] Pena Pedraza, H., 2005. Carga especficadel electron, Laboratorio de Fsica Moder-na, Departamento de Fsica, Facultad deCiencias Basicas, Universidad de Pamplo-na, Colombia.

[6] Rocha Menchaca, A. El discreto encan-to de las partculas elementales, CaptuloIII: El electron, Thomson y Millikan. Ins-tituto Latinoamericano de la ComunidadEducativa, Biblioteca digital. [Fecha deconsulta: 03 marzo 2015]. Disponible en:http://bibliotecadigital.ilce.edu.

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[7] Shearer, S. A. & Hudson, J. R., 2008.Fluid Mechanics: Stokes Law and Visco-sity, Biosystems and Agricultural Enginee-ring,c University of Kentucky, United Sta-tes of America.

[8] United Scientific Supplies, INC. Ope-rating Instuctions and Suggested Activities,Millikan Oil Drop Apparatus MODA01.Illinois: United Scientific Supplies, INC.,2001.

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IntroduccinMarco tericoMarco histricoDescripcin matemtica

Obtencin de datosAparatos a utilizarClculo de incertezasToma y Anlisis de datosDiscusin de ResultadosConclusionesRecomendacionesBibliografa