Miguel Ángel Díaz Rivera Meidys Ali Garrido Domínguez ...

Miguel Ángel Díaz RiveraMeidys Ali Garrido DomínguezCastor Alejandro Jiménez Gutiérrez

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Dirección editorialGudelia Matías Silva

Editor en jefeOlivia Ponce de León

Revisión técnicaSelene Hernández GuerraAarón Castillo CardosoJosé Nicolás González Jiménez

Corrección de estiloBerenice Ramos Romero

Coordinación de diseñoJesús González Picazo

Diseño editorialVerónica Rodríguez Zárate

Dirección de producciónJorge Rodríguez Hernández

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro número 3790.

Miguel Ángel Díaz RiveraMeidys Ali Garrido DomínguezCastor Alejandro Jiménez Gutiérrez

1ª edición, febrero 2018D.R. © Grupo Editorial Mx.

ISBN: 978-607-8556-55-1

Organización didáctica por parciales con proyectos formativos.

Durante el proceso de impresión contactamos a los sitios de internet referidos, para notificarles que estamos usando su información sin fines de lucro.

Derechos ReservadosNo está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea elec-trónico, mecánico, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

La marca Grupo Editorial Mx es propiedad de TRACK, S. A. de C. V.Prohibida su reproducción total o parcial.Impreso en México / Printed in Mexico

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teóricos y actividades de aprendizaje, algunas con instrumentos de evaluación y recursos multimedia para que experimentes el conocimiento con un divertido y didáctico uso de la tecnología a través de nuestra App.

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Contenido

Contenidos Aprendizajes esperados

1. Conceptos básicos del espacio y la forma (p. 10) • Elementos, características y notación de los ángulos (p. 10) • Sistema de medición (p. 22) • Conversiones (p. 22)2. Estudio de las figuras geométricas y sus propiedades (p. 23)

• Propiedades de los triángulos según sus lados y ángulos (p. 23) • Características de las sumas de ángulos internos en triángulos y de polígonos regulares (p. 29)

• Antecedentes y aplicaciones de las formas geométricas (p. 34) • Propiedades de los polígonos regulares (p. 35) • Elementos y propiedades básicas de los ángulos en la circunfe-rencia (p. 36)

• Ángulos en la circunferencia (p. 40)

• Distingue conceptos básicos de: recta, segmento, semirrecta, línea curva.

• Interpreta los elementos y las características de los ángulos.

• Mide, manual e instrumentalmente, los objetos trigonométricos y da tratamiento a las relaciones entre los elementos de un triángulo.

• Trabaja con diferentes sistemas de medición de los ángulos, realiza conversiones de medidas.

• Identifica, clasifica y caracteriza a las figuras geométricas.

• Interpreta las propiedades de las figuras geométricas.

Contenidos Aprendizaje esperado1. Tratamiento de las fórmulas geométricas, los criterios

de congruencia y semejanza de triángulos. (p. 61) • Patrones y fórmulas de perímetros y áreas de figuras geométricas (p. 61)

• Teoremas (p. 68) • Perímetro (p. 69) • Áreas de figuras circulares (p. 69) • Patrones y fórmulas de volúmenes de figuras geométricas (p. 77)

• Patrones y fórmulas para la suma de ángulos internos de polígonos (p. 82)

• Patrones y fórmulas de algunos ángulos en una circunferencia (p. 83)2. Tratamiento visual de las propiedades geométricas,

los criterios de congruencia y semejanza de triángulos (p. 88) • Criterios de congruencia de triángulos y polígonos (p. 88) • Teorema de Tales (p. 98) • Teorema de Pitágoras (p. 101)

• Significa las fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas con el uso de materiales concretos y digitales.

• Caracteriza y clasifica a las configuraciones espaciales triangulares según sus disposiciones y sus relaciones.

• Significa los criterios de congruencia de triángulos constructivamente mediante distintos medios.

• Interpreta visual y numéricamente al Teorema de Tales en diversos contextos y situaciones cotidianas.

Primer parcial

Segundo parcial

Figuras geométricas 6

Tratamiento del espacio en figuras geométricas 56

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Bibliografía 160

Contenidos Aprendizaje esperado

1. Conceptos básicos de lo trigonométrico (p. 116)

• Medida de ángulos y razones trigonométricas de ciertos ángulos (p. 116)

• Funciones trigonométricas en el plano cartesiano (p. 124)

• Relación entre razones de magnitudes (p. 132)2. Medidas de ángulos y relaciones

trigonométricas (p. 137) • Círculo trigonométrico, relaciones e identidades trigonométricas (p. 137)

• Identidades trigonométricas y sus relaciones (p. 143)

• Resolución de triángulos (p. 148)

• Caracteriza a las relaciones trigonométricas según sus disposiciones y sus propiedades.

• Interpreta y construye relaciones trigonomé-tricas en el triángulo.

• Analiza al círculo trigonométrico y describe a las funciones angulares, realiza mediciones y comparaciones de relaciones espaciales.

Tercer parcial Relaciones trigonométricas 112

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Primer parcialFiguras geométricas

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

2.1 Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

4.2 Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad,

reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

Competencias genéricas (CG)

Competencias Disciplinares Básicas del área de Matemáticas (CDBM)

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedi-mientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.

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Aprendizajes esperados

• Distingue conceptos básicos de: recta, segmento, semirrecta, línea curva. • Interpreta los elementos y las características de los ángulos. • Mide, manual e instrumentalmente, los objetos trigonométricos y da tratamiento a las relaciones entre los elementos de un triángulo.

• Trabaja con diferentes sistemas de medición de los ángulos, realiza conversiones de medidas.

• Identifica, clasifica y caracteriza a las figuras geométricas. • Interpreta las propiedades de las figuras geométricas.

Durante este parcial aplicarás los conocimientos de semejanza de triángulos para obtener la altura de construccionesa partir de la longitud de su sombra, tu altura y la sombra que proyectas.

Proyecto formativo

En todas las culturas antiguas, los observadores del cielo nocturno se maravillaban con el espectáculo de las estrellas y las constelaciones que dibujan.

1. ¿Qué representa lo que está plasmado en la imagen? 2. ¿Qué figuras geométricas aparecen en la imagen? 3. ¿Qué puedes decir de la colección de líneas y puntos que aparecen en la parte oscura

de la imagen?

En términos generales, se puede decir que la imagen representa líneas del paisaje nocturno de una constelación en alguna parte del mundo. Los puntos en la zona oscura lado izquierdo tratan de visualizar la Vía Láctea: nuestra galaxia.

Actividad de motivación

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I. Observa detenidamente la imagen y contesta las siguientes preguntas.

1. Describe la imagen anterior.

2. ¿Qué figuras geométricas puedes observar? Descríbelas.

3. ¿Por qué encontramos figuras geométricas en la naturaleza?

4. Para ti, ¿qué es geometría?

Evaluación diagnóstica

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Geometría y Trigonometría

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5. ¿A qué crees que se refieran tus profesores de matemáticas cuando hablan de un punto en la clase de geometría?a. A un elemento que carece de dimensiones.b. La ausencia de espacio.c. A una porción de área muy pequeña.

6. ¿Qué es un ángulo?a. La abertura que se tiene entre dos rectas. b. Un elemento geométrico sin dimensiones.c. La intersección de dos líneas.

7. ¿Con cuál instrumento se miden los ángulos?a. Con el compás.b. Transportador.c. Escuadra.

8. ¿Qué es un grado sexagesimal?a. La unidad de medida de un ángulo.b. Unidad de medida de la temperatura.c. Unidad de medida de distancia microscópica.

9. ¿Qué es un radián?a. Unidad de longitud circular.b. Unidad de medida de un ángulo.c. Distancia del centro del círculo a la circunferencia.

10. ¿Qué es un ángulo recto?a. El que mide 60°.b. El que mide 180°.c. El que mide 90°.

11. ¿Qué es un ángulo complementario?a. Ángulos que suman 60°.b. Aquellos que suman 180°.c. Aquellos que suman 90°.

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Primer parcial Figuras geométricas

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è Conceptos básicos del espacio y la forma

Elementos, características y notación de los ángulosAl cruzar dos semirrectas y dejarlas unidas en un punto común, se dice que otra figura geométrica se ha formado; a esto le llamaremos ángulo.

Ángulo es una abertura que resulta entre dos líneas rectas que se cruzan.

Al punto de contacto entre esas dos semirrectas le lla-maremos vértice, mientras que a las semirrectas que se cruzan se llamaran lados. Un ángulo se mide en grados, radianes u otras unidades de medición que más tarde se tratarán.

Vértice

Línea

Línea

Ángulo

Figura 1.1 Constelación.

Descubre +

Un cuadrado está formado por cuatro semirrectas del mismo tamaño, cuatro vértices y cuatro ángulos todos con la misma abertura, por lo que se se llama cuadrángulo por tener cuatro ángulos.

Notación y diversidad

Para referirse a un ángulo en particular se usará el alfabeto griego escrito con minúsculas: α, β, θ, γ, φ, δ o simplemente letras de uso común en nuestro idioma: a, b, c, d, e, f. En la siguiente figura se muestra el ángulo a formado entre las semirrectas AB y CB.

Figura 1.2 Ángulo.

B

A

Ca

El instrumento con que se mide un ángulo se conoce como transportador y es parte del juego de geometría que conocemos desde la primaria.

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A continuación, se muestran los símbolos geométricos más comunes:

Símbolo Significado Ejemplo En palabras

∆ Triángulo ∆ABC Triángulo ABC

∠ Ángulo ∠ABC El ángulo ABC

ABSegmento de línea

o semirrecta AB Línea de A a B

⊥ Perpendicular ⊥AB CDLa línea AB es perpendicular

a la línea CD

|| Paralela AB CD|| La línea AB es paralela a la línea CD

° Grado sexagesimal 60° Sesenta grados

� ��AB Línea AB

� ��AB

Línea infinita que pasa por los puntos A y B

≅ Congruente ∆ABC ≅ ∆EFG Los triángulos ABC y EFG son congruentes

∼ Similar ∆ABC ∼∆EFG Los triángulos ABC y EFG son similares

∴ Por lo tanto a = b, b = c ∴ a = c a es igual a b y b es igual a c por lo tanto a es igual a c

¿Cómo se nombran los ángulos?

En los ángulos la letra del medio dice dónde están localizados.Ejemplo:“ABC mide 45°”, entonces el punto “B ” es donde está el ángulo.

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TeoremasAhora que se tiene un sistema de medición de ángulos es posible realizar la clasificación con base en su magnitud.

• Si un ángulo tiene menos de 180°, se llama ángulo convexo. • Si un ángulo tiene 0°, se llama ángulo nulo. • Un ángulo que mide menos de 90° se llama ángulo agudo. • Un angulo que mide exactamente 90° se llama ángulo recto. • Si mide más de 90 grados pero menos de 180° se llama ángulo obtuso. • De 180 grados se llama ángulo llano. • Más de 180° y menos de 360° se llama ángulo cóncavo. • Si el ángulo da una vuelta completa y describe una circunferencia en su movimiento, entonces medirá 360° y recibe el nombre de ángulo completo.

Actividad de aprendizaje 1 CG 4.1

I. Identifica los tipos de ángulos que se muestran en las figuras.

1 2

3 4

Agudo < 90º Recto = 90º Obtuso > 90º

Llano =180º Completo = 360º







1.

2.

3.

4.

II. Compara con tus compañeros tus respuestas.

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Tipos de ángulos según su posición

• Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

Figura 1.3 Ángulos consecutivos.

ab

• Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un ángulo llano.

Figura 1.4 Ángulos adyacentes.

a b

• Ángulos opuestos por el vértice son los que teniendo el vértice común, forman una cruz.

Figura 1.5 Ángulos opuestos por el vértice.

1

2

3

4

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Teorema: los ángulos opuestos por el vértice son iguales.Del teorema anterior se tiene que los ángulos 1 y 3 son iguales, así como los ángulos 2

y 4 son iguales:

Clases de ángulos según su suma

Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios si suman 90°.Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

De lo anterior se desprende lo siguiente:Teorema: dos ángulos adyacentes son suplementarios.


I. Realiza lo que se te indica:

1. Observa la siguiente imagen e indica su valor y tipos de ángulo que son:

1

2

3

4

105° 75°

37° 53°

1. 2.

3. 4.

2. Señala en la figura los ángulos que tienen la misma medida. ¿Qué nombre reciben estos ángulos?

a b

c

d

e

a. b. c.

d. e.

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3. Utilizando los instrumentos del juego de geometría traza o construye los ángulos de las siguientes magnitudes: 30°, 45°, 60°, 90°, 135° y 240°.

II. Reúnanse en equipos y comparen sus resultados.

Intersección de dos rectas paralelas con una línea transversal

Al ser cruzadas dos líneas paralelas por otra en forma diagonal (línea transversal) se forman diversos ángulos, como se muestra a continuación:

Figura 1.6 Línea transversal a dos líneas parelelas.

2 13 4

6 57 8

De acuerdo a la figura anterior, los ángulos en las esquinas correspondientes se llaman o se identifican por su posición de la siguiente manera:

Ángulos correspondientes: ∠2 y ∠6, ∠4 y ∠8, ∠1 y ∠5, ∠3 y ∠7.Ángulos interiores consecutivos: ∠3 con ∠6, ∠4 con ∠5.Teorema: los ángulos correspondientes son iguales.

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Se tiene que ∠2 = ∠6 y ∠4 = ∠8, por el teorema de ángulos opuestos y por el vértice se obtiene el siguiente resultado:

• Los ángulos con número par son iguales: ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8. • Es similar para los ángulos con número impar ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7.

Ejemplo:

m n

(x+1)° (4x - 56)°

q

Los ángulos indicados son consecutivos por lo que, su suma debe ser igual a 180°. De lo anterior, planteamos la ecuación lineal:

(x +1)°+(4x −56)° = 180°Cuya solución se obtiene mediante el siguiente procedimiento realizando las operaciones

requeridas:5x −55° = 180°→5x = 235°→x = 47°

Por lo tanto, la medida del primer ángulo será:x +1° = 47°+1° = 48°

Y la medida de su consecutivo:(4x −56)° = 4(47°)−56° = 132°


I. Resuelve lo que se indica.

1. Usa la figura para encontrar la medida de los ángulos numerados. Asuma que p y q son paralelas (p ll q).

p

q 8 67120°

910

1 23

55°4

5

II. Compara tus procedimientos y tus resultados con tus compañeros.

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Actividad de aprendizaje 4 CDBM 4

I. Resuelve lo que se indica.

1. Considera la siguiente figura donde l es paralela a m (l ll m) y responde lo que se solicita:

15

l

105

m

11

2 7 13648 12

143

91

2. Indica qué pares de ángulos son opuestos por el vértice.

3. Indica qué pares de ángulos son alternos internos entre paralelas.

4. Indica qué pares de ángulos son adyacentes y suplementarios.

5. Indica qué ángulos son agudos.

6. Indica qué ángulos son obtusos.

II. En parejas comparen sus respuestas.

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Actividad de aprendizaje 5 CDBM 1 y 4

I. Calcula lo que se te pide.

1. Si las rectas l y m son paralelas y ∠1 = ∠2 = 55°, calcule la medida de ∠4.

12

Al

C D

B

m43

II. Compara tus procedimientos y resultados con un compañero.


I. Responde lo que se pide.

1. ¿Cuántos ángulos rectos hay en un ángulo llano?

2. ¿Cuántos ángulos de 60˚ hay en un ángulo llano?

3. Considera la siguiente figura donde las rectas AB y CD son paralelas y responde las siguientes preguntas.

uA x

C D

B

v

z

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a. ¿Qué relación existe entre los ángulos v y x?

b. ¿Cómo son entre sí los ángulos v y z? ¿Cuánto mide el ángulo u+v?

II. En parejas comparen sus respuestas.

Actividad de aprendizaje 7 CG 4.1 y 7.2

I. Realiza lo que se indica.

1. Responde las siguientes preguntas:a. ¿Qué elementos geométricos observas en tu entorno?

b. ¿Cómo se definen los elementos geométricos del plano y del espacio?

II. En equipos comparen sus procedimientos y respuestas.

En esta parte del proyecto es momento de formar equipos de trabajo y realizar una lista de construcciones u objetos de los cuáles se calculará la altura, así como decidir la hora en que es más fácil medir la sombra que proyectan.

Proyecto formativo

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PrelecturaResponde las preguntas.

1. ¿Qué utilidad tienen las Matemáticas en la vida cotidiana?

2. Si hicieras una investigación científica ¿qué tema abordarías?

3. ¿Te interesa estudiar alguna profesión relacionada con las ciencias?, ¿por qué?

LecturaLee el texto.

Martín Bonfil Olivera

¿Para qué sirve la ciencia? ¿Cuál es su utilidad? Otra forma de plantear la misma pregunta sería: ¿En qué consiste la actividad científica?

Los usos, aplicaciones y productos indirectos de la ciencia son múlti-ples (su producto directo, sin duda, es el conocimiento). Pero puede de-cirse, en general, que la ciencia sirve para cuatro cosas: clasificar, explicar, predecir y controlar.

Clasificar es un primer paso para en-tender. Da orden a lo que observamos, y nos permite ver con más profundidad. Al describir un sistema y clasificar sus

componentes, descubrimos relaciones entre ellos que no eran apreciables a simple vista. Aunque describir, cata-logar, enumerar y ordenar no son las actividades centrales de la ciencia, sí son pasos necesarios para iniciar el estudio de la naturaleza. (Y en muchos casos es todo lo que se puede hacer, al menos por un tiempo, cuando se abordan sistemas novedosos: si descubriéramos vida extraterrestre, por ejemplo, segu-ramente tendría que pasar un tiempo antes de que lográramos trascender esta primera etapa.)

Fomento a la lectura

?¿Para que sirve la ciencia

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Un segundo nivel se logra cuando, además de tener claro qué es lo que hay, ahí logramos también explicarlo. Aquí estamos ante lo que tradicionalmente se considera esencial en la actividad cien-tífica: la generación (y posterior puesta a prueba) de hipótesis que permitan darle sentido a lo observado: comprenderlo.

Pero así como la actividad científica no termina al describir y clasificar un sistema, también puede llegar mucho más allá de simplemente explicarlo. Cuando el estudio científico ha produ-cido una descripción y una explicación suficientemente detalladas, que nos per-mitan comprender con profundidad un sistema, su estructura y su funciona-miento, se hace posible predecir cómo se comportará. Para ello, se generan modelos más o menos detallados que pueden ir desde simples metáforas hasta modelos mecánicos, matemáticos o incluso simulaciones computarizadas muy precisas. Por supuesto, la eficacia de estas herramientas de predicción

también se somete a prueba, proceso que permite refinarlas.

Y si el potencial asombroso de la ciencia se manifiesta cuando genera co-nocimiento de lo que todavía no sucede, esta capacidad se concreta cuando tal conocimiento se aplica para no sólo saber qué sucederá, sino para modificar tal destino. El conocimiento científico, al aplicarse, nos permite con-trolar los sistemas en estudio, alterando su comportamiento. Es aquí cuando la actividad de hacer ciencia, (mu-chos conciben como pura y desligada de los problemas cotidianos), adquiere con más claridad una responsabilidad ética. Al modificar la naturaleza, po-demos cometer errores y causar daño.

Clasificar, explicar, predecir y con-trolar: cuatro dimensiones que muestran el poder y la utilidad de la ciencia.

Bonfil Olivera, M. (s. f.). Ojo de mosca: “¿Para qué sirve la ciencia?”. ¿Cómo ves?.

Recuperado de:

PoslecturaResponde los cuestionamientos.

1. Escribe tres artículos o tecnologías que demuestran la utilidad de las ciencias.

2. Investiga la biografía y área de tres científicos que contribuyan con sus investigaciones en la actualidad.

3. Discute la lectura con tus compañeros y redacta una reseña con las conclusiones y tu opinión sobre el texto.

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Sistema de medición Los ángulos se pueden medir según dos sistemas básicos:

Sistema sexagesimal

Este sistema parte de dividir una circunferencia en 360 partes, a cada parte los antiguos la llamaron grado, que es la unidad básica para medir los ángulos. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto se divide en 60 segundos. De aquí toma el nombre de sistema sexage-simal, por lo tanto, su unidad de medida es el grado sexagesimal 1°

¿Por qué son 360°?Probablemente porque en calendarios antiguos, como el persa, había 360 días por año, así que los astrónomos determinaron que las estrellas giraban entorno a la Estrella Polar un grado cada día.

Sistema circular

Los ángulos también se pueden medir en radianes.Un radián es el valor de la abertura generada por una

porción de circunferencia cuya longitud es igual al radio del círculo dentro de ella.

Por ejemplo:Si cortamos trozos de cuerda de longitud exactamente

igual a la distancia del centro del círculo hasta el borde (radio) habrá 2π trozos de cuerda, aproximadamente 6.28 trozos de cuerda.

ConversionesSe han mencionado los sistemas de medición de ángulos, ahora surge la pregunta, ¿cuántos grados mide un radián? un radián es igual a la división de 180 grados entre 3.1416 (el valor de π)igual a 57.2958…

π= = …

Radián 180 57.2958

El uso de radianes en los cálculos genera resultados simples en el tema de los ángulos.

Figura 1.7 Sistema sexagesimal y sistema circular.

1020

3040

5060

708090100110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230

240 250 260 270 280290

300

310

320330

340350

360

r

radián

longitud=r

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è Estudio de las figuras geométricas y sus propiedades

Propiedades de los triángulos según sus lados y ángulosUn triángulo es una figura geométrica limitada por tres segmentos no alineados que deter-minan tres puntos llamados vértices en el plano. Un triángulo está compuesto por tres ángulos interiores, tres lados y tres vértices.

Los vértices del triángulo se denotan por letras mayúsculas: A, B y C;Los lados son los segmentos que unen dos vértices del triángulo y se denotan por la misma

letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Es decir: • El lado a, es el segmento que une los vértices B y C. • El lado b, es el segmento que une los vértices A y C. • El lado c, es el segmento que une los vértices A y B.

Se llama ángulo interior de un triángulo, al ángulo formado por dos lados del triángulo que comparten un vértice común y esté contenido dentro de dicho triángulo. Se denota con la misma letra que el vértice correspondiente.

Propiedades de los triángulos

• Propiedad 1: la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. • Propiedad 2: para que pueda construirse un triángulo, la longitud de cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos lados, es decir, la longitud de cada uno de sus lados debe ser mayor a la diferencia de los otros dos.

A

Â

aB C

c b

Ĉ

ĈB

B

Â + B + Ĉ = 180°

Figura 1.8 Triángulo y sus propiedades.

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I. Realiza lo que se te indica.

1. Indica en cuáles de los siguientes casos se puede construir un triángulo:a. a = 5 cm, b = 5 cm y c = 5 cmb. a = 3 cm, b = 6 cm y c = 4 cmc. a = 1 cm, b = 1 cm y c = 5 cmd. a = 9 cm, b = 8 cm y c = 2 cm

2. Justifica tu respuesta.

II. Compara tus respuestas con tus compañeros

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar en relación con: • La longitud de sus lados. • La amplitud de sus ángulos.

A continuación se presentan dichas clasificaciones.

Clasificación por sus ladosTriángulo equilátero: es aquel que tiene tres lados iguales y todos sus ángulos interiores miden 60°.

A

aC

cb

B

Â=B=Ĉ=60°a b= =c

Figura 1.9 Triángulo equilátero.

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Triángulo isósceles: tanto dos de sus ángulos interiores como dos de sus lados son iguales.

a

b c

B C

A A

aC

cb

B

A

C

B

a b

c

B Ĉ==

b c

Figura 1.10 Triángulo isósceles.

Triángulo escaleno: es aquel que tiene todos sus lados diferentes, al igual que sus ángulos.

c

B

B Ĉ

a

A

C

B B CC aa

b

c

c

b

b A

A Â ≠ ≠a ≠ b ≠ c

Figura 1.11 Triángulo escaleno.

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Clasificación por la amplitud de sus ángulos.Triángulo rectángulo: contiene un ángulo recto en su interior, es decir, de 90þ. En el trián-gulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros lados se identifican como catetos; la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.

aC

bc

A

B

B

C

A

a

bc

Figura 1.12 Triángulo rectángulo.

Triángulo acutángulo: todos sus ángulos interiores agudos, menores a 90þ.

aC

c

B ab c

A

C

B B C

A

a

b

cb

A

Figura 1.13 Triángulo acutángulo.

26


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Triángulo obtusángulo: posee un ángulo interior obtuso (mayor a 90°) y dos ángulos interiores agudos.

C

c

a

bc

A

C

B

B

ab

b

A

˃90°

˃90°

Figura 1.14 Triángulo obtusángulo.


I. Responde las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántos ángulos agudos, como máximo, puede tener un triángulo?

2. ¿Cuántos ángulos obtusos, como máximo, puede tener un triángulo?

3. ¿Cuántos ángulos agudos, como mínimo, puede tener un triángulo?

4. ¿Cuánto suman los ángulos agudos de un triángulo rectángulo?

II. En parejas discutan sus resultados.

27


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1. Construye un triángulo cuyos lados midan a = 45 mm, b = 36 mm y c = 33 mm, determina su clasificación y si es posible construir ese triángulo.

2. ¿Cuánto miden los ángulos A y C en el triángulo de la siguiente figura?

C B

A

57°

5 cm

5 cm

5,45 cm

3. ¿Cuánto mide el ángulo C localizado en la isla que se muestra en la siguiente figura y qué tipo de triángulo se forma?

Florida

Bermudas

Puerto Rico

Triángulo de las

Bermudas

10.7m

11.1m

a

85°

27°

C

A

B

0 125 250 500 KM

N

S

EO

II. En equipos comparen sus procedimientos y resultados.

28


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Característica de las sumas de ángulos internos en triángulos y de polígonos regularesSuma de ángulos interiores

Los tres ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180°, y se deduce lo siguiente:A+B+C = 180°

Suma de ángulos exteriores

Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes, (propiedad de ángulo suplementario).

La suma de todos los ángulos externos de cualquier triángulo es igual a 360°.


I. Realiza lo que se te indica.1. Construye un triángulo cuyos lados sean a = 4 cm y b = 3 cm y el ángulo compren-

dido entre ellos C = 65°.2. Dibuja un triángulo con dos ángulos conocidos, B = 65°, C = 70°, y el lado a = 2,5 cm.

¿De qué tipo es el triángulo?3. Dibuja un triángulo rectángulo que tenga una hipotenusa de 3 cm y un ángulo de 60°.

II. En equipos comparen sus procedimientos y resultados.


I. Resuelve lo que se te indica en tu libreta:1. Considerando los triángulos en las siguientes figuras, encuentra los valores corres-

pondientes de “x”, “y” .

C

A BDy 40°

A B

C

D

85° 30°

x

yx

Nota: ∆ABC es equilátero. D =90˂

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2. Indica el tipo de triángulo que se describe en los siguientes enunciados:a. Longitudes de los lados: 2 cm, 3 cm, 4 cmb. Longitudes de los lados: 3 cm, 2 cm, 3 cmc. Longitudes de los lados: 4 cm, 4 cm, 4 cmd. Medidas de los ángulos: 60°, 60°, 60°e. Medidas de los ángulos: 90°, 30°, 60°f. Medidas de los ángulos: 25°, 38°, 117°

II. En equipos discutan sus procedimientos y resultados.

Ángulos internos y externos

Los ángulos internos son los formados por cada dos lados contiguos y los externos son sus suplementarios.

β

α

ÁngulosInternos

B

A E

D

C

Lados

ÁngulosExternos

Vértices

Diagonal

0

Figura 1.15 Ángulos interiores y exteriores de un polígono regular.

Ángulo interno

El ángulo interno α se forma por los dos lados consecutivos de un polígono regular de n lados y está dentro del polígono.

Ángulo exterior

Un ángulo externo se forma entre un lado del polígono y la línea que se extiende desde el lado siguiente. Los ángulos externo e interno se miden sobre la misma línea, así que ambos suman 180°. Por lo tanto, el ángulo externo es simplemente 180° − (menos) el ángulo interno

Ejemplo: El ángulo interno de un octágono es 135°, así que el ángulo externo es:

180°−135° = 45°

30


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Ángulo central El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia circunscrita (fuera) al polígono regular y sus lados son dos radios.

O

B

C

A

Figura 1.16 Ángulo central de un polígono regular.

La ecuación para obtener el ángulo central de un polígono regular Ac es la siguiente:

=°A

n360

c

Donde n representa el número de lados del polígono. Ejemplo:¿Cuál es la abertura del ángulo central de un pentágono?

Respuesta:Un pentágono es un polígono de 5 lados, por lo tanto n = 5El ángulo central de un pentágono regular

=°=

°= °A

n360 360

572c

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I. Realiza lo que se indica.

1. Con tu compás y transportador del juego de geometría, traza un ángulo central de una circunferencia de 36°.

2. Dibuja y calcula, usando un transportador, la abertura de los ángulos central, interno y externo de un polígono regular de 5, 6, 7, 9 y 11 lados.

3. Dibuja un hexágono cuya medida de cada lado sea de 3.7 centímetros.4. Usa tus resultados y los de tus compañeros para llenar el siguiente cuadro.

Número de lados 3 4 5 6 7 9 11

Suma de las medidas de los ángulos interiores 180°

Suma de las medidas de los ángulos exteriores 360°

II. Compara tus resultados con otro compañero.

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Actividad 14 DHS CG12

Amor y afecto (primera parte) Para reflexionar¿Por qué estar “solteros” nos estresa cuando se acerca el Día de San Valentín? Nuestro objetivoComprender que la búsqueda de afecto es parte de un conjunto de necesidades que se busca satisfacer para ser felices, pero no se debe convertir en una meta de vida.Condiciones y materialesSe requiere de 20 a 50 minutos para llevar a cabo la lectura y actividad. En materiales se necesita papel de colores, compás o monedas, pegamento o silicón, lápiz y tijeras.LecturaLee el siguente fragmento y coméntalo con tus compañeros.

Para terminar Ciertos días especiales nos causan zozobra sin necesidad cuando estamos “solteros”. Es porque socialmente estamos condicionados a sentirnos de cierta manera según la oca-sión, pero no debe ser así. Podemos pasarla bien con nuestros amigos y seres queridos. También debemos evitar confundir el afecto con dar regalos ya que el amor no está de-terminado por una festividad.Actividad Usa círculos, colores y creatividad para elaborar modelos de corazones. Puedes incluirlos en tarjetas para tus amigos.

(fragmento)

Si te sientes triste porque el Día de San Valentín te causa sen-timientos de soledad y te recuerda que estás “simplemente” soltero, podría ayudarte pensar que hay otras personas solas que también experimentan el Día de San Valentín solos.

Mientras que hay otras personas que se sienten tan miserables como tú, algunos pueden sentir todo lo contrario al ver que el Día de San Valentín no tiene sentido, o no le dan importancia alguna. Hay al-gunas parejas que se resisten al Día de San Valentín, alejándose de la presión de comprar algún regalo y celebrar la ocasión ya que no son víctimas de la comercialización, aunque estén enamorados.

Cómo sentirse feliz siendo soltero en el Día de San Valentín. (s. f.). WikiHow. Recuperado de: http://gpoe.mx/bCrUaH

Cómo sentirse feliz siendosoltero en el Día de San Valentín

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Antecedentes y aplicaciones de las formas geométricasLa geometría es muy importante debido a que permite enseñar y aprender el arte de razonar. Es abstracta pero fácil de visualizar y tiene muchas aplicaciones concretas. Por ejemplo, sirve para calcular el área de un lote, determinar el volumen de una lata que contiene refresco, construir puentes bien estructurados, estaciones experimentales en el espacio, estadios deportivos, etcétera.

Pero donde podemos apreciar la geometría en todo su esplendor es en la arquitectura. A continuación se muestra la iglesia de Santa Sofía, construida en el año 300 pertenece a la época Bizantina y fue diseñada usando figuras geométricas como semiesferas, rectángulos y arcos.

cúpula centralventanas

media cúpula

atrio

pilares

ábsidemedia cúpula

pechinas

Corte longitudinal de la Iglesia

Figura 1.17 Iglesia de Santa Sofía.

En el diseño gráfico, en la arquitectura de cualquier construcción y en el arte tenemos un laboratorio de geometría.

Existe una relación estrecha entre Geometría, Diseño y Arquitectura, más allá de la curiosidad, se puede encontrar en el estudio de esta relación una buena oportunidad para comprender cosas y desarrollar la capacidad de diseñar objetos o estructuras tridimen-sionales, así como iniciarse en los procesos donde la creatividad y la imaginación espacial son importantes.

Las puertas y ventanas de las casas de tus vecinos, ¿son todas iguales? ¿Qué figuras geomé-tricas son las que se aprecian con más facilidad? ¿Algún vecino construyó ventanas con más de 4 lados? ¿En la iglesia de tu comunidad se pueden ver figuras geométricas de muchos lados?

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Propiedades de los polígonos regulares Un polígono es una figura plana geométrica cerrada que está formada por tres o más segmentos de recta que se unen en sus puntos extremos, a tales segmentos se les nombra lados.

El término polígono tiene raíz etimológica del griego, su significado se encuentra en la unión de dos vocablos: poli, que puede traducirse como “muchos” y gonos que es sinónimo de “ángulo”, al juntarlo un polígono es aquello que tiene muchos ángulos.

Por lo tanto, el nombre del polígono surge según el número de lados que lo conforman.Los elementos generales de un polígono son los siguientes:

• Lados • Vértice • Diagonales • Radio • Centro • Apotema

La diagonal de un polígono, es un segmento que une dos vértices no consecutivos. El radio es la recta que une el centro del polígono con un vértice. El apotema mide la distancia per-pendicular desde el centro de la forma geométrica al punto medio de sus lados y ayuda en el cálculo de su área.

Vértice

Lado

Diagonal

Centro

Radio

Apo

tema

Figura 1.18 Elementos generales de un polígono.

Los polígonos se clasifican de la siguiente manera: • Regulares: Son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales. Un polígono regular es equilátero y equiángulo, como el: triángulo, el cuadrado y el hexágono).

• Irregulares: Los que no tienen ángulos y lados iguales.

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Elementos y propiedades básicas de los ángulos en la circunferenciaLa circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan (es decir, que están a la misma distancia) de otro punto fijo, llamado centro (C ). La distancia de los puntos de la circunferencia al centro se denomina radio.

Podemos decir que la circunferencia es el perímetro del círculo, pues éste último abarca toda la superficie delimitada por la circunferencia.

Estos elementos están presentes en nuestro entorno. Desde la forma en la que giran las hélices de un helicóptero, las propelas de un barco, los dispositivos de almacenamiento (discos duros, magnéticos, ópticos), latas de refrescos e incluso en términos o expresiones que a lo mejor has escuchado: el círculo vicioso, los círculos empresariales y en objetos diversos, como neumáticos, tuberías, vasos, gorras, etcétera. No es casualidad lo anterior, estamos ante la figura geométrica más simple y útil para el hombre, aunque es precisamente la simpleza, la que en un momento dado la convierte en fuente de elementos que a lo largo de la historia han motivado diversos estudios alrededor de la circunferencia y círculo.

Figura 1.19 Punto sobre la circunferencia.

r

C

P

Y

O X

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Figura 1.20 Círculo.

A continuación se describen los elementos y propiedades de la circunferencia más impor-tantes para la geometría plana.

Diámetro: Es el segmento de recta que atraviesa al círculo y pasa por el centro, DE . Su medida, por lo tanto, es igual a la de dos radios D = 2r.

Radio: Es el segmento que une al centro con un punto de la circunferencia, CF .Arco: Es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella, EF .Cuerda: Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, AB .Tangente: Es una recta

� ��TQ del plano que corta a la circunferencia en un solo punto T,

el cual se denomina “punto de tangencia”. Secante: Es una recta

� ��JK que corta a la circunferencia en dos puntos.

Figura 1.21 Elementos de la circunferencia.

B

C

F

Diá

met

ro

Tang

ente

Seca

nte

RadioFle

cha

Cuer

da

Centro

Punto detangente

Q

T

J

A

D

K EArco

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1. Dibuja una circunferencia con un radio de 5 cm de longitud.

2. Traza los elementos de esta circunferencia, es decir, diámetro, radio, arco, cuerda, tangente y secante.

3. ¿Cuántos radios y cuantos diámetros se pueden trazar en una circunferencia?

4. ¿Cuántas tangentes se pueden trazar sobre una circunferencia?

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II. Autoevalúa tu circunferencia con la siguiente lista de cotejo.Aspectos a evaluar Sí/No

Comprendo la diferencia entre círculo y circunferencia.

Seguí las instrucciones durante el proceso de trazado.

Las medidas de la circunferencia corresponden a las solicitadas.

Tracé el diámetro, radio, arco, cuerda, tangente y secante de acuerdo con sus características.

Identifiqué los elementos de la circunferencia según sus propiedades.

Reconocí las propiedades de cada elemento de la circunferencia.


I. Anliza los siguientes planteamientos.

1. Considerando los elementos de una circunferencia responde lo siguiente:a. Si el radio de una circunferencia mide 0.5 cm, ¿cuánto mide el diámetro de

la misma?

2. Menciona las líneas de la circunferencia.

3. Si el diámetro de una circunferencia mide 14cm. ¿Cuánto mediría la distancia hasta un punto interior y cuánto a un punto exterior?

II. Compara tus respuestas con tus compañeros.

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Ángulos en la circunferenciaEstudiaremos los ángulos relacionados con la circunferencia, los cuales se pueden trazar desde diferentes puntos, estos se clasifican de acuerdo con la posición del vértice dentro de la forma:

Ángulo central

Es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y determina un arco de la misma magnitud, es decir:

� �α= =BAC BC

Figura 1.22 Ángulo central.

A

B

C

α

Ejemplo:Si un ángulo central mide 60°, genera un arco de 60° también, si es un ángulo de 120°,

genera un arco de 120°.

Ángulo inscrito

Un ángulo inscrito tiene su vértice sobre cualquier punto de la circunferencia, como veremos a continuación y el arco que genera es el doble de magnitud que el ángulo.

��

α= =CBD CD2

Figura 1.23 Ángulo inscrito.

AC

D

B

α

40


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Ejemplo:Si un ángulo inscrito de 80°, genera un arco de 160°, un ángulo inscrito de 120°, genera

un arco de 240°.

Ángulo semi-inscrito

Tiene el vértice sobre un punto de la circunferencia, uno de sus lados es una secante, el otro, una tangente; el arco que genera es el doble de la magnitud del ángulo mencionado. En la

figura, corresponde al ángulo A y el arco es AB , donde se cumple que:

=A ABˆ2

Figura 1.24 Ángulo semi-inscrito.

A

B

A

Entonces si el ángulo semi−inscrito tiene una magnitud de 170°, el arco correspondiente mide 340°.


I. Traza los siguientes ángulos y determina la magnitud de sus arcos:a. Un ángulo central de 200° b. Un ángulo central de 85°c. Un ángulo inscrito de 125°d. Un ángulo semi-inscrito de 79°

•II. Compara tus resultados con tus compañeros.

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I. Traza los siguientes ángulos y determina la magnitud de sus arcos.1. Un ángulo central de 80°2. Un ángulo inscrito de 49°3. Un ángulo inscrito de 225°4. Un ángulo semi inscrito de 129°

II. Compara tus resultados con tus compañeros.

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Ángulo ex-inscrito

Es el ángulo adyacente de un ángulo inscrito. Recordemos que si dos ángulos son adyacentes A y B, entonces A+B = 180°. Si deseamos encontrar la medida de un ángulo ex- inscrito sólo debemos restar 180°− (menos) ángulo inscrito.

Figura 1.25 Ángulo ex-inscrito.

AB

D

CO

ϵB,C C(O,OB)ABC: ángulo exinscrito

Ejemplo: Si el ángulo inscrito mide 75°, el ángulo ex-inscrito mide 105°.

Ángulo interior

Es aquel cuyo centro es un punto interior cualquiera y sus lados son secantes de la circunfe-rencia; la magnitud del ángulo es igual a la semisuma de los arcos que determinan las secantes.

Figura 1.26 Ángulo interior.

A

B

D

C

H

E FG

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En la figura anterior ��

=+CBD CHD EFG2

, que quiere decir: el CBD es la mitad

de la suma de los arcos CHD y EFG . Por ejemplo, si los arcos miden 100° y 20° entonces

su ángulo interior es de 60°.

Ángulo exteriorEs un ángulo con vértice en un punto exterior a la circunferencia y sus lados son dos secantes, una secante y una tangente o dos tangentes.

Figura 1.27 Ángulo exterior.

A B

D

C

H

E

F

G

El ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidas por sus lados. Esto es:

��

=−CBD CD FH2

Entonces, si los arcos que determina un ángulo exterior son de 120° y 48°, el ángulo mide: ° + °

=°= °

120 482

1682

84


I. Traza los siguientes ángulos y determina la magnitud de sus arcos.1. Un ángulo interior de 75° 2. Un ángulo interior de 150° 3. Un ángulo exterior de 79° 4. Un ángulo ex inscrito de 129° 5. Un ángulo exterior de 59°

II. Compara tus resultados con tus compañeros.

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I. Considera las siguientes figuras y calcula el valor que se indica.1. El valor del arco NJO

J

N

135° O

2. El valor del ángulo PJQ

U

34°

S8°

MK

T

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3. El valor del ángulo OHJ

R

J O

P

10°

H

25°

4. El ángulo MKS

U

34°

S8°

MK

T

e. Calcula los valores de los ángulos WPV, WPX y el valor de los arcos XY y YV .

X

P

250°

95°60°

160°

W

V

Y

II. Compara tus procedimientos y resultados con tus compañeros.

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Actividad 21 DHS CG12

Aprender es lo importantePara reflexionar¿Cómo te sientes antes de una evaluación? En ocasiones los nervios pueden influir en nuestros resultados.Paso a pasoEn el cuadro, marca las emociones que experimentas en las siguientes situaciones:

• Durante las sesiones de estudio. • Antes de una evaluación. • Al recibir los resultados de la evaluación. • Cuando estás en la clase de tu asignatura preferida.

Emoción Situaciones Descripción de la emoción

¿Cómo evitar que sea un obstáculo o cómo aprovecharla?

DistracciónMiedoPerezaPesimismoSerenidadConfianzaEmpatíaAnsiedadFrustraciónDiversiónPreocupaciónAngustiaSorpresaDesconciertoAprecioAgradecimientoCuriosidadOrgulloDudaDesánimoDisgustoEntusiasmoConfusiónAlivio

Comparte las respuestas con tus compañeros y hablen de sus experiencias durante época de evaluación.

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Midan la sombra de las construcciones en su lista y después tomen medida de la sombra y la altura de un integrante del equipo, anoten sus registros para uso pos-terior. Con los datos obtenidos apliquen el criterio de semejanza correspondiente y realicen los cálculos necesarios para conocer la altura de las construcciones.

Presenten los resultados obtenidos en una exposición oral e indiquen el criterio de semejanza utilizado. Presente de forma clara y precisa un ejemplo del cálculo que realizaron para saber la altura del edificio elegido.

Criterios de evaluación Nivel de logro1 2 3

1 Usó el tiempo disponible de forma adecuada.2 Abordó los aspectos principales del tema a exponer.3 Utilizó el lenguaje verbal de manera precisa. 4 Se comunicó adecuadamente haciendo uso de

términos matemáticos.5 Presentó material audiovisual para apoyar su

exposición.6 Explicó los procedimientos empleados de forma

apropiada.

Proyecto formativo

Oscar Niemeyer (1907-2012), arquitecto brasileño, diseñó el conjunto de Pampulha, la sede de la ONU y la pasarela de la Samba o “sambódromo”. Pero el Museo de Arte contemporáneo (MAC) es donde muestra el uso de las circunferencias para crear la impresión de movimiento. Este edificio forma parte de un complejo arquitectónico llamado Caminho Niemeyer (Camino Niemeyer), en Niterói. En esta zona, sólo se muestran diseños ideados por el arquitecto.¡La arquitectura es una forma de combinar los conocimientos matemáticos con la creatividad!

Estudio de las figuras geométricas y sus propiedades.

Conocimiento adquirido

ORIÉNTATE Profesiones vinculadas con los conocimientos del parcial

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Evaluación sumativa

Resuelve los siguientes ejercicios.

1. Define y dibuja ejemplos de los siguientes conceptos: ángulos, ángulos complemen-tarios, ángulos suplementarios, ángulo cóncavo y ángulo convexo.

2. Identifica horas exactas en que las agujas del reloj forman ángulos agudos, obtusos, rectos y llanos.

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3. ¿Cuál es el máximo número de puntos en que pueden cortarse dos rectas?

a. ¿Y tres rectas?

b. ¿Y cuatro?

c. ¿Y 40 rectas?

4. Una escalera de 3.7 m de longitud se encuentra apoyada en una pared, quedando el pie a 1.5 m de la misma. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

5. Los lados de un triángulo miden 7.5 cm, 18 cm y 19.5 cm. Se construye otro semejante a él, cuyo lado menor mide 5 cm.a. ¿Cuál es la razón de semejanza?

b. ¿Cuánto medirán los otros dos lados del segundo triángulo?

c. Sabiendo que el primer triángulo es rectángulo, ¿podemos asegurar que el segundo también lo será?

d. Compruébalo aplicando el teorema de Pitágoras a los dos triángulos.

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6. ¿Qué es el perímetro de una figura plana?

7. Si el número de lados de un hexágono se duplica, el nuevo número de diagonales será:a. 44b. 54c. 63d. 70e. 82

8. Calcula el número de diagonales de un polígono de 30 lados.a. 25b. 26c. 27d. 28 e. 29

9. Si en un polígono el número de lados es igual al número total de diagonales. ¿Cuánto sumaran las medidas de sus ángulos internos? a. 360°b. 420°c. 540°d. 600°e. 720°

10. ¿Cuál es el valor del ángulo central <AOB si � �=AB 156 ?

A

BO

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11. ¿Cuál es el valor de <AOB si =AB 66� ?

A

O

B

12. ¿Cuál es el valor de <AOB si =AB 156� y =DC 28� ?

A

OB

C

D

13. ¿Cuál es el valor de <AOB si =AB 156� y =DC 28� ?

A

O

B

C

D

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Registro de desarrollo de competencias

Autoevalúa tu desempeño y coloca una en las competencias que desarrollaste en esta unidad.

Contenido central

Aprendizajes esperados

Competencias genéricas

Atributos Competencias disciplinares

Conceptos básicos del espacio y la forma: “lo geométrico”.

Distingue conceptos básicos de: recta, segmento, semirrecta, línea curva.

2. Es sensible al arte y participa en la aprecia-ción e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

2.1 Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

Interpreta los elementos y las características de los ángulos.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Mide, manual e instrumentalmente, los objetos trigonométricos y da tratamiento a las relaciones entre los elementos de un triángulo.

4.2 Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Trabaja con diferentes sistemas de medición de los ángulos, realiza conversiones de medidas.

7. Aprende por inicia-tiva e interés propio a lo largo de la vida.

7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

El estudio de las figuras geométricas y sus propiedades.

Identifica, clasifica y caracteriza a las figuras geométricas.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.

Interpreta las propie-dades de las figuras geométricas.

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Prueba tipo PLANEA

Matemáticas y cienciaMartín Bonfil Olivera

Por alguna razón poco explicada, las palabras “ciencia” y “tecno-logía” suelen aparecer siempre juntas. En cambio, las matemá-

ticas y la ciencia, aunque a primera vista pudieran parecer más afines, tienen entre sí una relación que no siempre resulta clara. Surge de inmediato la pregunta: ¿las matemáticas no son una ciencia?

Se dice, por ejemplo, que las matemá-ticas es “la reina de las ciencias”. Pero se suele decir también que las matemáticas son “el lenguaje de la ciencia”, lo cual las pone en una categoría aparte de cien-cias propiamente dichas, como la Física, la Química o la Biología.

Lo de “lenguaje de la ciencia” les viene por el hecho de que en muchos casos la mejor forma, la más precisa y breve de expresar una generalización científica es a través de una forma o una ecuación matemática. Aunque no siempre: muchos científicos sociales e incluso biólogos cues-tionan el dogma de que una ciencia es más o menos científica dependiendo de qué tan “matematizada” esté. Esta idea proviene de la tremenda influencia de la física, que por mucho tiempo fue considerada como el pa-radigma al que debían aspirar a parecerse todas las demás ciencias.

Pero volviendo a nuestro tema, ¿son las matemáticas una ciencia? En general puede decirse que las ciencias estudian alguna porción de la realidad. Las ma-temáticas estudian los números. ¿Son los números parte de la realidad, o son

una creación del intelecto humano? En otras palabras, ¿los matemáticos inventan o descubren las matemáticas?

Al ver cómo producen teoremas, demostraciones, álgebra y sistemas numé-ricos, uno podría pensar que los inventan alegremente, pero sucede que los números siguen ciertas reglas —relacionadas con las de la lógica, por cierto— y no se dejan manejar caprichosamente. Los matemá-ticos pueden inventar nuevos juegos, pero los números se rehusan a jugarlos si no se siguen “sus” reglas. Como si fueran enti-dades que de algún modo existen en su propia realidad…

Por otro lado, está la cuestión de que las matemáticas funcionan. Si uno in-tenta usarlas para crear un modelo que describa la realidad —la caída de una roca, el crecimiento de una población, el flujo de la sangre a través del corazón— puede lograrlo y, en muchos casos, como mostró el genial Newton, con una preci-sión sorprendente.

La cuestión no ha sido resuelta, y filó-sofos y matemáticos siguen abordándola con interés. Quizá lo único que pueda decirse es que, sean o no ciencias, son una herramienta indispensable para éstas, y también son, por su propio derecho, una de las disciplinas más fascinantes que puede abordar el intelecto humano.

Bonfil Olivera, M. (s. f.). Ojo de mosca: “Matemáticas y ciencia”. ¿Cómo ves?.

Recuperado de: http://gpoe.mx/3j4xkF

I. Lee el siguiente texto.

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II. Elige la respuesta correcta.1. ¿Las matemáticas son una ciencia?

a. Si, porque son la “reina de las ciencias”.b. No, porque es el “lenguaje de la ciencia”.c. Sí, porque posee la formalidad y sigue procesos como

todas las ciencias.d. No, porque los números no existen.

2. ¿Por qué se dice que la ciencia y las matemáticas no tienen una relación concreta?a. Porque nunca se manifiestan juntas.b. Porque las matemáticas no ayudan a todas las ciencias.c. Porque las matemáticas no son una ciencia.d. Porque las matemáticas pueden ser una ciencia y un instrumento

para las otras ciencias.

3. ¿Porqué se llama “la reina de las ciencias” a las matemáticas?a. Porque es la ciencia más difícil.b. Porque tiene aplicación en diversos campos.c. Porque fue la primera ciencia en surgir.d. Porque se puede combinar con la Física, Química y Biología.

4. ¿Porqué se dice que son el “lenguaje de la ciencias”?a. Se nombran así porque sirven como herramienta para otras ciencias.b. Porque podemos transmitir mensajes usando sólo números.c. Porque siguen la lógica.d. Se nombras así porque son entidades que existen en su propia

realidad.

5. De acuerdo con el texto ¿cómo se determina si una ciencia es más o menos científica?a. A partir de las ciencias auxiliares que la apoyan en la investiga-

ción científica.b. A partir de la cantidad de procesos matemáticos que involucra

en su proceso.c. A partir de sus similitudes con la Física.d. A partir de la incorporación de ecuaciones matemáticas en las

investigaciones sociales.

6. ¿Qué pasa cuando se describe la realidad a través de un modelo matemático?a. La lógica no permiten la construcción del modelo.b. Proporcionan datos precisos.c. No se puede representar la realidad a través de un modelo

matemático.d. Se requiere la participación de la Física, Química y Biología.

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