Miguel Angel Olalla Acosta...Introducci on: anillos e ideales Anillos y cuerpos Ejemplos de anillos...

Capıtulo 3: El anillo de los numeros enteros

Miguel Angel Olalla [email protected]

Departamento de AlgebraUniversidad de Sevilla

Noviembre de 2019

Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2019 1 / 79

Contenido

1 Introduccion: anillos e ideales

2 Divisibilidad en Z

3 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout

4 Congruencias

5 Los teoremas de Fermat y de Euler


Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos

Anillo

Definicion (Anillo)

Un anillo es una terna (R,+, ·) donde R es un conjunto y + y · sonoperaciones internas binarias sobre R, llamadas suma y productorespectivamente, tales que se satisfacen las siguientes propiedades:

1 El par (R,+) es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro llamaremos“cero” y lo notaremos por 0.

2 La operacion · es asociativa: ∀a, b, c ∈ R es a · (b · c) = (a · b) · c .3 La operacion · es distributiva a derecha y a izquierda respecto de +,

es decir: ∀a, b, c ∈ R

a · (b + c) = a · b + a · c y (a + b) · c = a · c + b · c .

4 La operacion · tiene un elemento neutro, que llamaremos “uno” y lonotaremos por 1: 1 · a = a = a · 1 para todo a ∈ R.



Anillo conmutativo. Anillo unitario

Definicion (Anillo conmutativo)

Sea (R,+, ·) un anillo. Si ademas la operacion producto es conmutativa(∀a, b ∈ R a · b = b · a) se dice que el anillo es conmutativo o abeliano.



Ejemplos de anillos (Ejemplo 3.1.1)

1.- Los conjuntos de numeros Z, Q, R y C son anillos conmutativos. Laestructura de anillo de Z viene determinada por su estructura de

grupo, puesto que el producto de dos enteros xy = y+x· · · +y es la

suma del numero y x veces. Esto no ocurre para Q, R y C,obviamente.

2.- El conjunto M(n) de las matrices n × n sobre Q, R o C es un anillocon respecto a la suma y al producto de matrices. Este anillo no esconmutativo.

3.- Si A es un anillo conmutativo, el conjunto A[x1, . . . , xn] de lospolinomios en n indeterminadas con coeficientes en A es tambien unanillo conmutativo.



Algunas propiedades

Proposicion (3.1.2)

En un anillo A se verifican las siguientes propiedades:

1) 0 · a = 0 = a · 0 para todo a ∈ A.

2) (−1) · a = −a = a · (−1) para todo a ∈ A.

Observacion (Anillo nulo)

Un anillo R se dice que es nulo si tiene un unico elemento, en cuyo caso1 = 0. Recıprocamente, si en un anillo R se tiene 1 = 0, entonces R seraun anillo nulo, pues para todo elemento a ∈ R de verificaraa = 1 · a = 0 · a = 0.



Unidades de un anillo

Definicion (Unidades)

Sea R un anillo. Se dice que un elemento x ∈ R es una unidad en R sitiene un inverso multiplicativo, es decir, si existe un elemento y ∈ R talque xy = yx = 1. En tal caso, el elemento y es unico y se llamara elinverso de x y de denotara por x−1.Notaremos por R∗ al subconjunto de las unidades de R.



Unidades de un anillo. Ejemplos

Ejemplo (3.1.3)

1 Las unidades de Z son 1 y −1, es decir, Z∗ = {1,−1}. Sin embargoQ∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0}.

2 Las unidades de M(n) son las matrices invertibles.

3 Sea Q[x ] el anillo de polinomios en la indeterminada x concoeficientes racionales, entonces

Q[x ]∗ = Q∗ = Q \ {0}.



El grupo de las unidades. Cuerpos

Proposicion (3.1.4)

Si R es un anillo, el conjunto R∗ de las unidades de R es un grupo para elproducto del anillo.

Definicion (Cuerpo)

Un cuerpo es un anillo conmutativo tal que todo elemento distinto decero es una unidad, i.e. R∗ = R \ {0}.

Ejemplo (3.1.5)

Q, R y C son cuerpos.


Introduccion: anillos e ideales Subanillos

Subanillos

Definicion (Subanillo)

Sea (R,+, ·) un anillo y sea S ⊂ R un subconjunto. Decimos que S es unsubanillo de R si se verifican las siguientes propiedades:

(i) S es un subgrupo (aditivo) de (R,+), es decir:

-) 0 ∈ S .-) Si x , y ∈ S , entonces x − y ∈ S .

(ii) 1 ∈ S .

(iii) Si x , y ∈ S , entonces x · y ∈ S .

Observacion

Si S es un subanillo de (R,+, ·), entonces S es un anillo con lasoperaciones + y ·.


Introduccion: anillos e ideales Subanillos

Ejemplos de subanillos

Ejemplo (3.1.6)

1 Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C es una cadena de subanillos. De hecho Q y R sonsubcuerpos de C (cuerpos dentro de un cuerpo).

2 El subconjunto

S =1

2· Z =

{m2| m ∈ Z

}⊂ Q

es un subgrupo aditivo de Q, pero no es un subanillo al no ser cerradopara el producto, pues

1

2· 1

2=

1

4/∈ S .

3 El conjunto Z2 = {2n | n ∈ Z} ⊂ Z es un subgrupo aditivo de Z y escerrado para el producto, pero no es subanillo porque 1 /∈ Z2


Introduccion: anillos e ideales Homomorfismos de anillos

Homomorfismo de anillos

Definicion (Homomorfismo de anillos)

Sean R y S dos anillos. Una aplicacion f : R → S se dice que es unhomomorfismo de anillos si para todo par de elementos x , y ∈ R severifica que

f (x + y) = f (x) + f (y), f (xy) = f (x)f (y) y f (1R) = 1S .

Si f es un homomorfismo sobreyectivo se dice epimorfismos, si es unhomomorfismo inyectivo se dice monomorfismo y si es un homomorfismobiyectivo se dice isomorfismo. Si existe un ismorfismo entre dos anillosunitarios R y S , se dice que ambos anillos son isomorfos y se escribeR ∼= S .



Ejemplos (3.1.7)

1.- La aplicacion identidad de un anillo R, IdR , es un ismomorfismo deanillos.

2.- Si S es un subanillo del anillo R, entonces la inclusion i : S −→ R esun homomorfismo de anillos. Como i es in yectiva, de hecho es unmonomorfismo de anillos.



Ejemplos (3.1.7)

3.- Sea R el subanillo de las matrices de la forma(a b−b a

), con a, b ∈ R.

Definamos la aplicacionφ : R → C

por la regla

φ

(a b−b a

)= a + ib ∈ C.

Se comprueba que φ es un isomorfismo y R ∼= C.



Nucleo e imagen de un homomorfismo

Teorema (Nucleo e imagen de un homomorfismo)

Sean R y S anillos conmutativos. Sea φ : R → S un homomorfirmos deanillos. Entonces Im(φ) es un subanillo de S y ker(φ) sabemos que es unsubgrupo aditivo de (R,+) que ademas verifica la siguiente propiedad:

∀x ∈ R, ∀y ∈ ker(φ) se tiene x · y ∈ ker(φ).



Isomorfismo inverso

Teorema (Isomorfismo inverso)

Si φ : R → S es un isomorfismo de anillos unitarios, entonces tambien lo esφ−1 : S → R.


Introduccion: anillos e ideales Ideales

Ideales de un anillo conmutativo

Definicion (Ideal de un anillo conmutativo)

Sea (R,+, ·) un anillo conmutativo y sea I ⊂ R un subconjunto. Decimosque I es un ideal de R si (I ,+) es un subgrupo de (R,+) y para todox ∈ R, y ∈ I se verifica que xy ∈ I .



Ejemplos de ideales (Ejemplo 3.1.9)

1.- Si R es un anillo conmutativo, los subgrupos triviales {0} y R sonideales de R. Llamaremos ideales propios de R a los no triviales.

2.- Un ideal I de un anillo R es el total, si y solo si 1 ∈ I .

3.- Si φ : R → S es un homomorfismo de anillos, entonces ker(φ) es unideal de R.

4.- Sea R un anillo conmutativo y x ∈ R un elemento. Sea el subconjunto

Rx = {rx | r ∈ R}

de los multiplos de x en R. Entonces Rx es un ideal de R. Diremosque un ideal de este tipo es un ideal principal.



Ejemplos de ideales (Ejemplo 3.1.9)

5.- Se demostrara mas adelante que los subgrupos de (Z,+) son de laforma Zn con n ≥ 0 (notese que Zn = Z(−n)). Por tanto cada Zncoincide con el ideal generado por n y por tanto tambien es un idealde Z. Ası pues, todos los subgrupos de (Z,+) son ideales del anillo Z.

6.- Por otro lado, Z es un subanillo de Q pero no un ideal pues elelemento 1

2 · 1 /∈ Z.


Introduccion: anillos e ideales Anillos cociente

Anillo cociente

Teorema (Anillo cociente)

Sean (R,+, ·) un anillo conmutativo e I ⊂ R un ideal. Entonces elconjunto cociente R/I con las operaciones + y · dadas por

(x + I ) + (y + I ) = (x + y) + I ∀x , y ∈ R,

(x + I )(y + I ) = (xy) + I ∀x , y ∈ R.

es un anillo conmutativo.

Observacion (Nota 3.1.10)

Si I es un ideal del anillo R, la proyeccion natural p : R −→ R/I es unepimorfismo de anillos cuyo nucleo es el ideal I .Notese que el anillo cociente R/I es nulo si y solo si I = R.



Anillo cociente (Ejemplo 3.1.11)

1.- En el anillo Z los ideales Zn con n ≥ 1 producen anillos cocientesfinitos de n elementos:

ZZn

= {0 + Zn, 1 + Zn, . . . , (n − 1) + Zn} ={

0, 1, . . . , n − 1}.




2.- Para n = 2, estas son las tablas de las operaciones en ZZ2 :

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

· 0 1

0 0 0

1 0 1

.

Por tanto comprobamos que ZZ2 es un cuerpo.




3.- Para n = 3, estas son las tablas de las operaciones en ZZ3 :

+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

· 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

.

Por tanto comprobamos que ZZ3 es un cuerpo (todos sus elementos no

nulos son unidades).




4.- En el anillo R = Q[x ] consideramos el ideal I = Q[x ] · (x2 − 2).Dado que x2 + I = 2 + I , es facil comprobar que en cada clase delconjunto cociente R/I podemos encontrar un representante de gradomenor o igual que 1, de donde

Q[x ]

Q[x ] · (x2 − 2)= {(ax + b) + I | a, b ∈ Q} .

Ademas, cada elemento no nulo (ax + b) + I posee un inversomultiplicativo, luego el anillo cociente R/I es un cuerpo. Dejamoscomo ejercicio la demostracion de este hecho.


Introduccion: anillos e ideales Factorizacion Canonica

Factorizacion Canonica

Teorema (Factorizacion canonica)

Todo homomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, f : R → S ,factoriza como la composicion f = i ◦ f ◦ p de un epimorfismo de anillos p,un isomorfismo de anillos f y un monomorfismo de anillos i del siguientemodo

Rf //

p

��

S

R/ ker(f )∼=f// Im(f )

i

OO

Aquı p es la proyeccion natural sobre el cociente e i es la inclusion delsubgrupo imagen.


Introduccion: anillos e ideales Factorizacion Canonica

Factorizacion Canonica

Corolario (3.1.12)

Si f : R → S es un epimorfismo de anillos entonces la aplicacionf : R/ ker(f )→ S es un isomorfismo.

Corolario (3.1.13)

Si f : R → S es un monomorfismo de anillos entonces f : R → Im(f ) es unisomorfismo.


Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad

Ejemplo 3.1.14

Ejemplo

Estudiemos el anillo cociente ZZ4 . Las tablas de sus operaciones son:

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

· 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

.

Observamos pues que las unidades de ZZ4 son 1 y 3. Observamos tambien

que, aun siendo 2 6= 0, se tiene que 2 · 2 = 0.



Divisor de cero

Definicion (Divisor de cero)

Sea R un anillo conmutativo. Se dice que un elemento no nulo x ∈ R esun divisor de cero si existe un elemento no nulo y ∈ R tal que xy = 0.

En un anillo no nulo, el 0 siempre es un divisor de cero, pues 1 · 0 = 0.

Ejemplo (3.1.15)

En el anillo Z/Z4, el elemento 2 + Z4 es un divisor de cero, pues(2 + Z4)(2 + Z4) = 0 + Z4.

Asimismo, en el anillo Z/Z6 el elemento 2 + Z6 es un divisor de cero, pues

(2 + Z6)(3 + Z6) = 6 + Z6 = 0 + Z6.



Dominio de Integridad

Definicion (Dominio de Integridad)

Un dominio de integridad (DDI) es un anillo conmutativo no nulo(1 6= 0) cuyo unico divisor de cero es el 0.

Proposicion (3.1.16)

Sea R un anillo no nulo. Las siguientes propiedades son equivalentes:

(a) R es un DDI.

(b) Si r , s ∈ R, rs = 0 =⇒ r = 0 o s = 0.

Ejemplo (3.1.17)

1.- Los anillos Z, Q, R y C son dominios de integridad.

2.- Los anillos cociente Z/Zn con n > 0 son dominio de integridad si ysolo si n es un numero primo.



Dominio de integridad y propiedad cancelativa

Teorema (Dominio de integridad y propiedad cancelativa)

Sea R un anillo conmutativo y unitario. Entonces R es un dominio deintegridad si y solo si se satisface en R la propiedad cancelativa, es decir,

xy = xz ∧ x 6= 0⇒ y = z .



Dominio de Integridad finito


Todo dominio de integridad finito es un cuerpo.

Ejemplo (3.1.19)

Si p ∈ Z es primo, el anillo Z/Zp es un dominio de integridad finito.Luego es un cuerpo.

Observacion (Cuerpos finitos)

En adelante notaremos por Fp al cuerpo Z/Zp,



Ideales y unidades


Sea R un anillo conmutativo y unitario. Entonces el conjunto de las nounidades de R (R \ R∗) es igual a la union de todos los ideales propios deR.

Corolario (3.1.21)

Si un ideal I ⊂ R contiene una unidad en R entonces I = R.

Corolario (3.1.22)

Un anillo conmutativo y unitario es un cuerpo si y solo si no tiene idealespropios no nulos.


Introduccion: anillos e ideales Ideales primos y maximales

Ideal maximal

Definicion (Ideal maximal)

Sea R un anillo conmutativo y unitario. Decimos que un ideal propio I ⊂ Res maximal si los unicos ideales que lo contienen son el propio I y R.

Ejemplo (3.1.23)

El ideal Zp ⊂ Z con p primo es un ideal maximal. En efecto, si I ⊂ Z esun ideal tal que Zp ⊂ I entonces la aplicacion

f : Z/I → Fp

n + I 7→ f (n + I ) = n + Zp

es un homomorfismo inyectivo de grupos (de hecho es un monomorfismode anillos). Entonces |Z/I | = |f (Z/I )|, como f (Z/I ) ⊂ Fp es un subgrupo,su orden divide a |Fp| = p. Al ser p primo debe ser |Z/I | = 1 o p, luegoI = Z o Zp.



Ideal primo

Definicion (Ideal primo)

Sea R un anillo conmutativo y unitario. Decimos que un ideal propio I deR es un ideal primo si satisface la siguiente propiedad:

xy ∈ I ⇒ x ∈ I o y ∈ I , con x , y ∈ R.



Ideales primos y maximales


Sea R un anillo. Las propiedades siguientes son equivalentes:

(a) R es un DDI.

(b) El ideal {0} de R es un ideal primo.

Asimismo, las propiedades siguientes tambien son equivalentes:

(a’) R es un cuerpo.

(b’) El ideal {0} de R es un ideal maximal.



Ideales primos y maximales


Sean R un anillo conmutativo e I ⊂ R un ideal propio de R. Entonces:

1 I es un ideal primo de R si y solo si el anillo R/I es un dominio deintegridad.

2 I es un ideal maximal de R si y solo si el anillo R/I es un cuerpo.

Corolario (3.1.26)

Todo ideal primo maximal de un anillo conmutativo unitario es un idealprimo.



Primo no implica maximal

Ejemplo (3.1.27)

Sea R = Q[x , y ]. Sea el ideal I = Rx de los polinomios que son multiplosde x .Veamos que I es un ideal primo que no es maximal.Consideremos la aplicacion φ : R → Q[y ] dada por φ(f (x , y)) = f (0, y). Secomprueba facilmente que φ es un homomorfismo sobreyectivo de anillos.Como f (0, y) = 0 si y solo si f (x , y) es un multiplo de x , se tiene queker(φ) = I . Por la factorizacion canonica es R/I ∼= Q[y ]. Como Q[y ] es undominio de integridad que no es un cuerpo, I es ideal primo que no esmaximal.


Introduccion: anillos e ideales La caracterıstica de un dominio de integridad

Caracterıstica de un dominio de integridad


Sea R un dominio de integridad y sea S = 〈1〉 el subgrupo aditivo de Rgenerado por 1. Si S es un grupo finito de orden p entonces p es primo y

px = x+p· · · +x = 0 para todo x ∈ R

Definicion (Caracterıstica de un dominio de integridad)

Sea R un dominio de integridad. Si el orden de S = 〈1〉 es un numeroprimo p > 0, diremos que R tiene caracterıstica p. Si por el contrario elorden de 1 es infinito diremos R tiene caracterıstica 0.


Introduccion: anillos e ideales La caracterıstica de un dominio de integridad

Caracterıstica de un dominio de integridad

Ejemplo (3.1.29)

Fp y Fp[x ] tienen caracterıstica p. Z, Q, R y R[x ] tienen caracterıstica 0.

Observacion (Dominios de integridad finitos)

Si R es un dominio de integridad finito entonces existe un primo p > 0 talque R tiene caracterıstica p. El recıproco no es cierto, existen dominios deintegridad infinitos con caracterıstica positiva, por ejemplo Fp[x ].


Divisibilidad en Z

Principio de buena ordenacion

Teorema (Principio de buena ordenacion)

Todo subconjunto no vacıo de Z acotado inferiormente posee un mınimo.


Divisibilidad en Z

El orden de los numeros enteros

Propiedades del orden de enteros:

Propiedad reflexiva: a ≥ a.Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c .

Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.

Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee unmınimo.

Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c .

Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .


Divisibilidad en Z



Propiedad reflexiva: a ≥ a.

Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c .Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.

Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee un

mınimo.Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.

Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c .Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .


Divisibilidad en Z









Divisibilidad en Z




Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.

Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee un

mınimo.Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.



Divisibilidad en Z









Divisibilidad en Z






Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.



Divisibilidad en Z









Divisibilidad en Z







Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .

Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .


Divisibilidad en Z









Divisibilidad en Z

Divisibilidad

Si a y b son enteros, ¿Que significa “a divide a b”?

Definicion (Divisibilidad)

Sean a y b dos enteros. Se dira que a divide a b si existe un entero c talque a · c = b. En este caso se escribe a|b.


Divisibilidad en Z

Unidades

¿Hay numeros enteros que dividan a todos los demas?

Sı, el 1 y el −1.¡Las unidades de Z!

¿Hay alguno mas?

No, ¿sabes demostrarlo?


Divisibilidad en Z

Division euclıdea

¿Como se dividen dos numeros enteros, por ejemplo 117586 entre 1532?

1 1 7 5 8 6−1 0 7 2 4

1 0 3 4 6−9 1 9 21 1 5 4

1 5 3 27 6

Entonces 117586 = 76 · 1532 + 1154.


Divisibilidad en Z

Division euclıdea

Teorema (Division euclıdea)

Sean a y b enteros, b 6= 0. Existen unos unicos enteros q y r tales que:

1. a = q · b + r .

2. 0 ≤ r < |b|.Al entero q se le llama cociente y a r resto de la division.


Divisibilidad en Z

Subgrupos de Z

Teorema (Subgrupos de Z)

Sea H ⊂ Z un subgrupo, existe m ∈ Z, m ≥ 0, tal que H = Zm.


Divisibilidad en Z

Maximo comun divisor

¿Que es el maximo comun divisor de dos enteros?

Definicion (Maximo comun divisor)

Dados dos enteros a y b, diremos que d es un maximo comun divisor dea y b, y lo denotaremos por d = mcd(a, b), si se verifican las siguientespropiedades:

1. d |a y d |b.

2. Si d ′ es un entero tal que d ′|a y d ′|b entonces d ′|dSi 1 es un maximo comun divisor de a y b, se dice que a y b son primosentre sı.


Divisibilidad en Z

Maximo comun divisor. Propiedades

Observacion (Unicidad del maximo comun divisor)

El maximo comun divisor de dos enteros, si existe, es unico salvo el signo.

Proposicion (3.2.2)

Se verifican las siguientes propiedades:

1. mcd(a, b) = b ⇔ b|a.

2. mcd(a, b) = mcd(−a, b) = mcd(a,−b) = mcd(−a,−b).

3. mcd(a, b) = mcd(b, a).


Divisibilidad en Z

Mınimo comun multiplo

¿Que es el mınimo comun multiplo de dos enteros?

Definicion (Mınimo comun multiplo)

Dados dos enteros a y b, diremos que un entero m es un mınimo comunmultiplo de a y b, y lo denotaremos por m = mcm(a, b), si se verifican lassiguientes propiedades:

1. a|m y b|m.

2. Si m′ es un entero tal que a|m′ y b|m′ entonces m|m′


Divisibilidad en Z

Mınimo comun multiplo. Propiedades

Observacion (Unicidad del mınimo comun multiplo)

El mınimo comun multiplo de dos enteros, si existe, es unico salvo el signo.

Proposicion (3.2.3)

Se verifican las siguientes propiedades:

1. mcm(a, b) = a⇔ b|a.

2. mcm(a, b) = mcm(−a, b) = mcm(a,−b) = mcm(−a,−b).

3. mcm(a, b) = mcm(b, a).


Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout

Maximo comun divisor y division euclıdea

Proposicion (3.3.1)

Sean a, b ∈ Z no nulos, pongamos |a| ≥ |b|, y efectuemos la divisioneuclıdea a = qb + r .

Entonces, si r = 0 es mcd(a, b) = b y si r 6= 0

mcd(a, b) = mcd(b, r).




Proposicion (3.3.1)

Sean a, b ∈ Z no nulos, pongamos |a| ≥ |b|, y efectuemos la divisioneuclıdea a = qb + r . Entonces, si r = 0 es mcd(a, b) = b

y si r 6= 0





Proposicion (3.3.1)

Sean a, b ∈ Z no nulos, pongamos |a| ≥ |b|, y efectuemos la divisioneuclıdea a = qb + r . Entonces, si r = 0 es mcd(a, b) = b y si r 6= 0




Algoritmo de Euclides

Algoritmo (Algoritmo de Euclides)

Sean a y b dos enteros no nulos, a ≥ b, y efectuemos la division euclıdeaa = q · b + r . Como r < |b|, podemos dividir b entre r , y asısucesivamente, obteniendo:

a = q · b + r 0 ≤ r < |b|b = q0 · r + r1 0 ≤ r1 < rr = q1 · r1 + r2 0 ≤ r2 < r1r1 = q2 · r2 + r3 0 ≤ r3 < r2

...rn−1 = qn · rn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rnrn = qn+1 · rn+1 + 0 rn+2 = 0






a = q · b + r 0 ≤ r < |b|

b = q0 · r + r1 0 ≤ r1 < rr = q1 · r1 + r2 0 ≤ r2 < r1r1 = q2 · r2 + r3 0 ≤ r3 < r2







a = q · b + r 0 ≤ r < |b|b = q0 · r + r1 0 ≤ r1 < r

r = q1 · r1 + r2 0 ≤ r2 < r1r1 = q2 · r2 + r3 0 ≤ r3 < r2







a = q · b + r 0 ≤ r < |b|b = q0 · r + r1 0 ≤ r1 < rr = q1 · r1 + r2 0 ≤ r2 < r1

r1 = q2 · r2 + r3 0 ≤ r3 < r2...

rn−1 = qn · rn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rnrn = qn+1 · rn+1 + 0 rn+2 = 0







...rn−1 = qn · rn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rn

rn = qn+1 · rn+1 + 0 rn+2 = 0



Algoritmo de Euclides y existencia del maximo comundivisor

Proposicion (3.3.2)

En la situacion anterior se tiene que mcd(a, b) = rn+1. Es decir, el maximocomun divisor de a y b es el ultimo resto no nulo al aplicar sucesivamentela division euclıdea.

Teorema (Existencia del maximo comun divisor)

Dados dos enteros a, b, existe el maximo comun divisor de a y b,mcd(a, b), que es unico salvo el signo.




Ejemplo (Ejercicio12: Calcular mcd(23532, 1520))

23532 = 15 · 1520 + 7321520 = 2 · 732 + 56

732 = 13 · 56 + 456 = 14 · 4 + 0

Luego mcd(23532, 1520) = 4





23532 = 15 · 1520 + 732

1520 = 2 · 732 + 56732 = 13 · 56 + 4

56 = 14 · 4 + 0

Luego mcd(23532, 1520) = 4





23532 = 15 · 1520 + 7321520 = 2 · 732 + 56

732 = 13 · 56 + 456 = 14 · 4 + 0

Luego mcd(23532, 1520) = 4





23532 = 15 · 1520 + 7321520 = 2 · 732 + 56

732 = 13 · 56 + 4

56 = 14 · 4 + 0

Luego mcd(23532, 1520) = 4





23532 = 15 · 1520 + 7321520 = 2 · 732 + 56

732 = 13 · 56 + 456 = 14 · 4 + 0

Luego mcd(23532, 1520) = 4



Identidad de Bezout

Observacion

Sean a, b enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Observese que paracualesquiera enteros γ y δ se verifica que γa + δb es un multiplo de d .

Teorema (Identidad de Bezout)

Sean a, b enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Existen enteros α y βtales que

α · a + β · b = d .

A cualquier igualdad de este tipo se le llama identidad de Bezout.



Familia infinita de identidades de Bezout

Observacion

Los enteros α y β que aparecen en la identidad de Bezout no son unicos.En efecto, si α · a + β · b = d entonces

(α− kb)a + (β + ka)b = d , ∀k ∈ Z.



Identidad de Bezout

Ejemplo (Ejercicio 12)

Sabiendo que mcd(1520, 23532) = 4 escribir una identidad de Bezoutusando el algoritmo de Euclides.

23532 = 15 · 1520 + 732

732 = 23532− 15 · 1520

1520 = 2 · 732 + 56

56 = 1520− 2 · 732

732 = 13 · 56 + 4

4 = 732− 13 · 56

56 = 14 · 4 + 0

De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520

27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.



Identidad de Bezout



23532 = 15 · 1520 + 732

732 = 23532− 15 · 1520

1520 = 2 · 732 + 56

56 = 1520− 2 · 732

732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 5656 = 14 · 4 + 0

De donde 4 = 732− 13 · 56

= 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520

27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.



Identidad de Bezout



23532 = 15 · 1520 + 732

732 = 23532− 15 · 1520

1520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 56

56 = 14 · 4 + 0

De donde 4 = 732− 13 · 56

= 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520

27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.



Identidad de Bezout



23532 = 15 · 1520 + 732

732 = 23532− 15 · 1520

1520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 56

56 = 14 · 4 + 0

De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732)

=(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520

27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.



Identidad de Bezout



23532 = 15 · 1520 + 732 732 = 23532− 15 · 15201520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732

732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 5656 = 14 · 4 + 0

De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732)

=(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520

27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.



Identidad de Bezout



23532 = 15 · 1520 + 732 732 = 23532− 15 · 15201520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732

732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 5656 = 14 · 4 + 0

De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520))

=(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520

27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.



Identidad de Bezout



23532 = 15 · 1520 + 732 732 = 23532− 15 · 15201520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732

732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 5656 = 14 · 4 + 0

De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520

= 27 ·23532+(−418) ·1520

27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.



Identidad de Bezout



23532 = 15 · 1520 + 732 732 = 23532− 15 · 15201520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732

732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 5656 = 14 · 4 + 0

De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520

27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.



Maximo comun divisor y mınimo comun multiplo

Proposicion (3.3.3)

Sean a y b dos enteros no nulos, sea d = mcd(a, b) y consideremos

a′ =a

dy b′ =

b

d.

Entonces a′ y b′ son primos entre sı.

Proposicion (3.3.4)

Sean a y b dos enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Entonces

mcm(a, b) =ab

d.



Existencia del mınimo comun multiplo

Teorema (Existencia del mınimo comun multiplo)

Dados dos enteros a y b, existe el mınimo comun multiplo de a y b,mcm(a, b), que es unico salvo el signo.



Teorema fundamental de la divisibilidad

Observacion (Numero primo)

En todas estas notas llamamos numeros primos a aquellos enterosp 6= 0,±1 que son divisibles unicamente por ±p y ±1.

Teorema (fundamental de la divisibilidad)

Todo entero distinto de 0, 1 y −1 se descompone como producto de unnumero finito de primos. Esta descomposicion es unica salvo el orden y elsigno de los factores primos.



El conjunto de los numeros primos es infinito

Teorema (de Euclides sobre la infinitud de los numeros primos)

El conjunto de los numeros primos es infinito.



Calculo de mcd y mcm

Proposicion (3.3.6)

Seana = ±

∏p>0 primo

pνa(p), b = ±∏

p>0 primo

pνb(p)

las descomposiciones de dos enteros a y b en producto de primos.

Consideremos

d =∏

p>0 primo

pmın(νa(p),νb(p)) y m =∏

p>0 primo

pmax(νa(p),νb(p)).

Entonces d = mcd(a, b) y m = mcm(a, b).



Calculo de mcd y mcm

Proposicion (3.3.6)

Seana = ±

∏p>0 primo

pνa(p), b = ±∏

p>0 primo

pνb(p)

las descomposiciones de dos enteros a y b en producto de primos.Consideremos

d =∏

p>0 primo

pmın(νa(p),νb(p)) y m =∏

p>0 primo

pmax(νa(p),νb(p)).

Entonces d = mcd(a, b) y m = mcm(a, b).


Congruencias

Congruencias

¿Que hora marcara el reloj despues de pasar 4, 15, 211, 1203 o 12352horas?

Despues de 15 horas el reloj marca lo mismo que si hubieran pasado 1203horas. ¿Como podemos saber si tras a horas el reloj marcara lo mismo que

tras b horas?


Congruencias

Congruencias

Definicion (Congruencia)

Sean a, b y m enteros, m 6= 0, se dira que a es congruente con bmodulo m si a− b es divisible por m. Se escribira a ≡ b (modm).

Observacion (m > 0)

a y b son congruentes modulo m si y solo si son congruentes modulo −m.Luego podemos suponer siempre, sin perdida de generalidad, que m > 0

Proposicion (3.4.1)

a ≡ b (modm) si y solo si a y b tienen el mismo resto en la divisioneuclıdea por m.


Congruencias

Congruencias. Propiedades

Observacion

La relacion “ser congruente con” es precisamente la relacion ∼Zm definidaen el tema anterior. Luego es una relacion de equivalencia y el conjuntocociente es el anillo Z/Zm.

En consecuencia las congruencias son compatibles con la suma y elproducto.

Proposicion (3.4.2)

Sea m > 0 un entero. Sean a, b, c , d ∈ Z tales que a ≡ b (modm) yc ≡ d (modm). Se verifican las siguientes propiedades:

1 a + c ≡ b + d (modm).

2 ac ≡ bd (modm).


Congruencias

Congruencias y propiedad cancelativa

Observacion (3.4.3)

De cara a resolver ecuaciones en congruencias sera necesario saber en quecondiciones se puede aplicar la propiedad cancelativa. Es decir, se trata dever cuando se verifica que

ax ≡ bx (modm) =⇒ a ≡ b (modm).

Si m es un numero primo entonces Z/Zm es un dominio de integridad (dehecho es un cuerpo) y se satisface la propiedad cancelativa.Si m no es primo, en general no se satisface la propiedad cancelativa. Porejemplo,

2 · 2 ≡ 0 · 2 (mod 4) y 2 6≡ 0 (mod 4).


Congruencias


Observacion (3.4.3)



Si m es un numero primo entonces Z/Zm es un dominio de integridad (dehecho es un cuerpo) y se satisface la propiedad cancelativa.

Si m no es primo, en general no se satisface la propiedad cancelativa. Porejemplo,

2 · 2 ≡ 0 · 2 (mod 4) y 2 6≡ 0 (mod 4).


Congruencias


Observacion (3.4.3)



Si m es un numero primo entonces Z/Zm es un dominio de integridad (dehecho es un cuerpo) y se satisface la propiedad cancelativa.Si m no es primo, en general no se satisface la propiedad cancelativa. Porejemplo,

2 · 2 ≡ 0 · 2 (mod 4) y 2 6≡ 0 (mod 4).


Congruencias


Teorema (Congruencias y propiedad cancelativa)

Sean x ,m ∈ Z, m > 0, se verifica la propiedad

∀a, b ∈ Z, ax ≡ bx (modm) =⇒ a ≡ b (modm)

si y solo si x y m son primos entre si.


Congruencias

Ecuaciones en congruencias

Proposicion (3.4.4)

La ecuacion en congruencias

ax ≡ b (modm)

tiene solucion si y solo si d = mcd(a,m) divide a b.


Congruencias


Teorema (chino del resto)

Sean m1,m2, . . . ,mn enteros mayores que 1 primos entre sı dos a dos,

sean a1, a2, . . . , an enteros. El sistema de ecuaciones en congruencias

x ≡ a1 (modm1)x ≡ a2 (modm2)

...x ≡ an (modmn)

tiene solucion. Ademas si x y x ′ son dos soluciones entoncesx ≡ x ′ (modM), donde M = m1m2 · · ·mn. Recıprocamente si x es unasolucion y x ′ ≡ x (modM) entonces x ′ tambien es solucion.


Congruencias



Sean m1,m2, . . . ,mn enteros mayores que 1 primos entre sı dos a dos,sean a1, a2, . . . , an enteros.

El sistema de ecuaciones en congruencias


...x ≡ an (modmn)



Congruencias



Sean m1,m2, . . . ,mn enteros mayores que 1 primos entre sı dos a dos,sean a1, a2, . . . , an enteros. El sistema de ecuaciones en congruencias


...x ≡ an (modmn)

tiene solucion.

Ademas si x y x ′ son dos soluciones entoncesx ≡ x ′ (modM), donde M = m1m2 · · ·mn. Recıprocamente si x es unasolucion y x ′ ≡ x (modM) entonces x ′ tambien es solucion.


Congruencias





...x ≡ an (modmn)

tiene solucion. Ademas si x y x ′ son dos soluciones entoncesx ≡ x ′ (modM), donde M = m1m2 · · ·mn.

Recıprocamente si x es unasolucion y x ′ ≡ x (modM) entonces x ′ tambien es solucion.


Congruencias





...x ≡ an (modmn)



Congruencias

Ejemplo 3.4.5

Resolvamos el siguiente sistema de congruencias:

x ≡ 1 (mod 2)x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 5)

Siguiendo la notacion de la demostracion anterior, en nuestro casotenemos m1 = 2,m2 = 3,m3 = 5, M = 30,M1 = 15,M2 = 10 y M3 = 6.Por la identidad de Bezout tenemos

mcd(m1,M1) = 1, 1 = (−7) · 2 + 1 · 15, luego β1 = 1.mcd(m2,M2) = 1, 1 = (−3) · 3 + 1 · 10, luego β2 = 1.mcd(m3,M3) = 1, 1 = (−1) · 5 + 1 · 6, luego β3 = 1.

Por tanto una solucion es x = a1β1M1 + a2β2M2 + a3β3M3 = 53.Las soluciones son los enteros congruentes con 53 modulo 30.


Congruencias

Ejemplo 3.4.5


x ≡ 1 (mod 2)x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 5)

Siguiendo la notacion de la demostracion anterior, en nuestro casotenemos m1 = 2,m2 = 3,m3 = 5, M = 30,M1 = 15,M2 = 10 y M3 = 6.

Por la identidad de Bezout tenemos




Congruencias

Ejemplo 3.4.5


x ≡ 1 (mod 2)x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 5)

Siguiendo la notacion de la demostracion anterior, en nuestro casotenemos m1 = 2,m2 = 3,m3 = 5, M = 30,M1 = 15,M2 = 10 y M3 = 6.Por la identidad de Bezout tenemos




Los teoremas de Fermat y de Euler

Unidades de Z/Zm

Teorema (Unidades de Z/Zm)

El grupo de las unidades del anillo Z/Zm es

Um = {a + Zm | mcd(a,m) = 1, 0 ≤ a < m}.

Observacion (3.5.1)

El conjunto Z/Zp es un cuerpo si y solo si p es primo. De hecho

Up = {1 + Zp, . . . (p − 1) + Zp}

y |Up| = p − 1.



El teorema de Fermat

Figura: Pierre de Fermat

Teorema ((Pequeno) teorema de Fermat (1640))

Si p es un numero primo y no divide a un entero a entonces

ap−1 ≡ 1(mod p).



La funcion de Euler

Definicion (Funcion φ o indicatriz de Euler)

A la cantidad de numeros enteros a, 1 ≤ a ≤ m, que son primos con m sele denota por φ(m), la funcion φ o indicatriz de Euler. Es decir,

φ(m) = |Um|.



Propiedades de la funcion de Euler

Observacion (3.5.2)

Sea p ∈ N, p es primo si y solo si φ(p) = p − 1.

Proposicion (3.5.3)

Sea p ∈ N primo, entonces φ(pr ) = (p − 1)pr−1.

Teorema (3.5.4)

Sean m y n dos enteros primos entre si, entonces φ(mn) = φ(m)φ(n).



Calculo de φ(n)

Corolario (3.5.5)

Sea n un entero y n = pn11 pn2

2 · · · pnrr su descomposicion en factores primos,entonces

φ(n) = (p1 − 1) · · · (pr − 1)pn1−11 · · · pnr−1

r .

Observacion (3.5.6)

Si n es un entero y n = pn11 pn2

2 · · · pnrr es su descomposicion en factoresprimos, entonces

φ(n) = (p1 − 1) · · · (pr − 1)pn1−11 · · · pnr−1

r = n

(1− 1

p1

)· · ·(

1− 1

pr

).

Ejemplo (3.5.7)

φ(360) = φ(23325) = φ(23)φ(32)φ(5) = (2− 1)22(3− 1)3(5− 1) = 96.



Teorema de Euler

Figura: Leonhard Euler

Teorema (Teorema de Euler (1736))

Sea a + Zm una unidad en Z/Zm. Entonces

aφ(m) ≡ 1(modm).



Teorema de Euler (Ejemplo 3.5.8)

Calcular el resto de dividir 623475827 entre 20.

Como 62347 = 3117 · 20 + 7, entonces 623475827 ≡ 75827 (mod 20).Ademas 7 es primo con 20, luego podemos aplicar el teorema de Euler.Por un lado φ(20) = 8, por otro, si dividimos 5827 entre 8 se obtiene5827 = 728 · 8 + 3.Por el teorema de Euler 78 ≡ 1 (mod 20), luego

75827 = (78)72873 ≡ 73 (mod m).

7 · 7 = 49 y 49 ≡ 9(mod 20). Luego 73 ≡ 9 · 7 (mod 20) y 63 ≡ 3 (mod 20).De donde el resto de dividir 623475827 entre 20 es 3.




Calcular el resto de dividir 623475827 entre 20.Como 62347 = 3117 · 20 + 7, entonces 623475827 ≡ 75827 (mod 20).

Ademas 7 es primo con 20, luego podemos aplicar el teorema de Euler.Por un lado φ(20) = 8, por otro, si dividimos 5827 entre 8 se obtiene5827 = 728 · 8 + 3.Por el teorema de Euler 78 ≡ 1 (mod 20), luego

75827 = (78)72873 ≡ 73 (mod m).





Calcular el resto de dividir 623475827 entre 20.Como 62347 = 3117 · 20 + 7, entonces 623475827 ≡ 75827 (mod 20).Ademas 7 es primo con 20, luego podemos aplicar el teorema de Euler.

Por un lado φ(20) = 8, por otro, si dividimos 5827 entre 8 se obtiene5827 = 728 · 8 + 3.Por el teorema de Euler 78 ≡ 1 (mod 20), luego

75827 = (78)72873 ≡ 73 (mod m).





Calcular el resto de dividir 623475827 entre 20.Como 62347 = 3117 · 20 + 7, entonces 623475827 ≡ 75827 (mod 20).Ademas 7 es primo con 20, luego podemos aplicar el teorema de Euler.Por un lado φ(20) = 8, por otro, si dividimos 5827 entre 8 se obtiene5827 = 728 · 8 + 3.

Por el teorema de Euler 78 ≡ 1 (mod 20), luego

75827 = (78)72873 ≡ 73 (mod m).





Calcular el resto de dividir 623475827 entre 20.Como 62347 = 3117 · 20 + 7, entonces 623475827 ≡ 75827 (mod 20).Ademas 7 es primo con 20, luego podemos aplicar el teorema de Euler.Por un lado φ(20) = 8, por otro, si dividimos 5827 entre 8 se obtiene5827 = 728 · 8 + 3.Por el teorema de Euler 78 ≡ 1 (mod 20), luego

75827 = (78)72873 ≡ 73 (mod m).

7 · 7 = 49 y 49 ≡ 9(mod 20). Luego 73 ≡ 9 · 7 (mod 20) y 63 ≡ 3 (mod 20).

De donde el resto de dividir 623475827 entre 20 es 3.




Calcular el resto de dividir 623475827 entre 20.Como 62347 = 3117 · 20 + 7, entonces 623475827 ≡ 75827 (mod 20).Ademas 7 es primo con 20, luego podemos aplicar el teorema de Euler.Por un lado φ(20) = 8, por otro, si dividimos 5827 entre 8 se obtiene5827 = 728 · 8 + 3.Por el teorema de Euler 78 ≡ 1 (mod 20), luego

75827 = (78)72873 ≡ 73 (mod m).



Miguel Angel Olalla Acosta...Introducci on: anillos e ideales Anillos y cuerpos Ejemplos de anillos...

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