Potencias y raíces

46

34 35

3

Unida

dDescomposición polinómica de un número

1 Escribe la descomposición polinómica de cada uno de estos números:

UMM CM DM UM C D U

106 105 104 103 102 10 1

6

5

890

438

327

256

705

543

2 Escribe la descomposición polinómica.

a) 600 000 + 70 000 + 500 + 90 + 3

b) 1 000 000 + 400 000 + 30 000 + 50 + 3

c) 800 000 + 60 000 + 4 000 + 200 + 50 + 9

d) 20 000 + 6 000 + 300 + 70 + 8

3 Escribe la descomposición polinómica de cada número.

a) 78 435

b) 9 705

c) 12 345

d) 235 423

e) 82 456

f) 23 605

4 Escribe el número que corresponde a cada descomposición polinómica.

a) 8 · 104 + 6 · 103 + 3 · 102 + 7 · 10 + 8

b) 5 · 105 + 7 · 104 + 8 · 103 + 5 · 102 + 7 · 10 + 4

c) 9 · 106 + 4 · 105 + 3 · 104 + 2 · 103 + 8 · 102 + 9 · 10 + 1

5 ¿Qué letra corresponde a cada número?

53 669 5 939 504 029

a) 5 · 103 + 9 · 102 + 3 · 10 + 9

b) 5 · 105 + 4 · 103 + 2 · 10 + 9

c) 5 ·104 + 3 · 103 + 6 · 102 + 6 · 10 + 9

6 Escribe los números que corresponden a cada descomposición.

a) 8 + 9 · 103 + 3 · 104 + 7 · 105

b) 5 · 104 + 6 · 103 + 9 · 102 + 4

c) 7 + 5 · 102 + 3 · 104 + 7 · 105

d) 8 · 106 + 5 · 103 + 4 · 10 + 9

Resuelvo problemas7 En el hayedo hay censadas 4 · 102 + 3 · 10 especies de animales distin-

tas. ¿Cuántas especies son?

8 La temperatura en el interior del Sol es de quince millones de grados centígrados. Exprésalo mediante su descomposición polinómica.

9 En una analítica de sangre, el número aproximado de hematíes se sitúa en torno a los 6 · 106. ¿Cuántos millones de hematíes son?

Un número se puede descomponer según el valor posicional de sus cifras y, a su vez, esta descomposición expresarla mediante potencias de base 10.

4 562 = 4 · 103 + 5 · 102 + 6 · 10 + 2

4 562 = 4 000 + 500 + 60 + 2

4 000 = 4 · 1 000 = 4 · 103

500 = 5 · 100 = 5 · 102

60 = 6 · 10 = 6 · 102 = 2 · 1 = 2

La descomposición de un número en el que cada orden de unidades está representado por una potencia de base 10 recibe el nombre de descomposición polinómica.

En el hayedo hay cen-sados 4 562 ejemplares de hayas con más de 20 años de antigüedad.

UM C D U

103 102 10 1

4 5 6 2

TEMPERATURA = 15 000 000 ºC

CÁLCULO MENTAL

: 10 ! 2240 24 48

: 5

+- x=

Sugerencias metodológicas

Antes de abordar este epígrafe, nos tenemos que asegurar de que los alumnos y las alumnas identifican los valores de las po-tencias de base 10 rápidamente, es decir, que asocien el 102 con el con el 100, el 103 con el 1 000, etc. De esta forma, será más fácil realizar descomposiciones de números utilizando las poten-cias de base 10.

También será importante recordar el valor posicional de los nú-meros, utilizando el ábaco y realizando una tabla donde puedan ver la relación que existe entre cada orden de unidades y su re-presentación por una potencia de base 10

Soluciones

1 6 843 275 = 6 · 106 + 8 · 105 + 4 · 104 +

+ 3 · 103 + 2 · 102 + 7 · 10 + 5.

932 504 = 9 · 105 + 3 · 104 + 2 · 103 + 5 · 102 + 4.

5 087 653 = 5 · 106 + 8 · 104 + 7 · 103 + 6 · 102 + 5 · 10 + 3.

2 a) 6 · 105 + 7 · 104 + 5 · 102 + 9 · 10 + 3.

b) 1 · 106 + 4 · 105 + 3 · 104 + 5 · 10 + 3.

c) 8 · 105 + 6 · 104 + 4 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 + 9.

d) 2 · 104 + 6 · 103 + 3 · 102 + 7 · 10 + 8.

3 a) 7 · 104 + 8 · 103 + 4 · 102 + 3 · 10 + 5.

b) 9 · 103 + 7 · 102 + 5.

c) 1 · 104 + 2 · 103 + 3 · 102 + 4 · 10 + 5.

d) 2 · 105 + 3 · 104 + 5 · 103 + 4 · 102 + 2 · 10 + 3.

e) 8 · 104 + 2 · 103 + 4 · 102 + 5 · 10 + 6.

f) 2 · 104 + 3 · 103 + 6 · 102 + 5.

4 a) 86 378 b) 578 574 c) 9 432 891

5 53 669 corresponde con la c).

5 939 corresponde con la a).

504 029 corresponde con la b).

6 a) 739 008 b) 56 904 c) 730 507 d) 8 005 049

7 Son 430 especies.

8 15 000 000 ºC = 1 · 107 + 5 · 106

9 Son 6 millones de hematíes.

Cálculo mental

72 52 84 58 172

86 66 122 154 190

Actividades de refuerzo

1 Completa como en el ejemplo:

6 · 104 + 3 · 103 + 2 · 102 + 2 · 10 + 5 =

= 60 000 + 3 000 + 200 + 20 + 5 = 63 225

a) 5 · 105 + 7 · 104 + 5 · 103 + 3 · 102 + 4 · 10 + 9

b) 9 · 106 + 4 · 104 + 3 · 102 + 5 · 10 + 3

c) 7 · 106 + 8 · 105 + 3 · 104 + 2 · 102 + 7 · 10 + 3

a) 500 000 + 70 000 + 5 000 + 300 + 40 + 9 = 575 349

b) 9 000 000 + 40 000 + 300 + 50 + 3 = 9 040 353

c) 7 000 000 + 800 000 + 30 000 + 200 + 70 + 3 = 7 830 273

45

32 33

3

Unida

dPotencias de base 10

1 Expresa como producto cada una de estas potencias:

a) 103 b) 106 c) 104 d) 102 e) 105

2 Expresa estas cantidades de forma abreviada, mediante potencias de base 10:

a) 100 000

b) 10 000 000

c) 100 000 000

d) 10 000

e) 1 000 000 000

f) 10 000 000 000 000

3 ¿Qué número representa cada expresión?

a) 6 ! 107

b) 4 ! 106

c) 3 ! 1010

d) 7 ! 105

e) 5 ! 108

f) 3 ! 106

4 Escribe utilizando potencias de base 10.

a) 7 000

b) 20 000

c) 300 000

d) 60 000

e) 4 000 000

f) 50 000 000

5 Copia en tu cuaderno y relaciona cada potencia con su expresión co-rrespondiente.

106 105

108 103

102

100 000 000 100 1 000 000 1 000 100 000

6 Busca en Internet cuál es el valor de 100 y 101 y escríbelo en tu cua-derno.

7 Escribe con cifras y calcula.

a) Trece por diez elevado al cubo. c) Quince por diez elevado a seis.

b) Siete por diez elevado a siete. d) Nueve por diez elevado a ocho.

8 Copia la tabla en tu cuaderno y completa.

COMUNIDADNÚMERO

DE HABITANTESREDONDEO A LAS

CENTENAS DE MILLARFORMA

ABREVIADA

Andalucía 8 424 102 8 400 000 84 ! 105

Castilla y León 2 558 463

Galicia 2 795 422

Madrid 6 489 680

País Vasco 2 184 606

Canarias 2 126 769

9 ¿Cuántos cubitos pequeños contiene este cubo? Exprésalo como po-tencia de base 10.

10 ¿A qué distancia se encuentra la nave del planeta?

9 ! 108 km

11 Observa la tabla y completa como en el ejemplo.

PLANETA DISTANCIA AL SOL (EN km)

Venus 108 000 000

Tierra 150 000 000

Marte 228 000 000

Júpiter 781 000 000

a) La distancia de Marte al Sol es de ….

b) La distancia de Júpiter al Sol es de ….

c) La distancia de la Tierra al Sol es de ….

Para calcular el valor de una potencia de base 10, basta con escribir un uno seguido de tantos ceros como indica el exponente.

Las potencias de base 10 nos sirven para expresar, de forma abreviada, números muy grandes.

102 = 10 ! 10 = 100 103 = 10 ! 10 ! 10 = 1 000 104 = 10 ! 10 ! 10 ! 10 = 10 000

La población de China supera los 1 300 000 000 de habitantes; y la de España, los 47 000 000.

1 300 000 000 = 13 ! 108

8 ceros

47 000 000 = 47 ! 106

6 ceros

La distancia de Venus al Sol es de 108 ! 106 km.

CÁLCULO MENTAL

! 10 : 224 240 120

! 5

+- x=

Sugerencias metodológicas

Presentamos las potencias de base 10 como instrumento que nos permite expresar abreviadamente números grandes. Orientamos a los alumnos y a las alumnas hacia la regla que nos permite calcular potencias de 10 sin necesidad de multiplicar la base tantas veces como indica el exponente, sino solo añadien-do a la unidad tantos ceros como indica el exponente.

Podemos plantear como actividad colectiva la búsqueda en tex-tos científicos, informaciones de distancias astronómicas y gran-des dimensiones, en las que se utilicen las potencias de base 10.

Soluciones

1 a) 10 ! 10 ! 10 d) 10 ! 10

b) 10 ! 10 ! 10 ! 10 ! 10 ! 10 e) 10 ! 10 ! 10 ! 10 ! 10

c) 10 ! 10 ! 10 ! 10

2 a) 105 c) 108 e) 109

b) 107 d) 104 f) 1013

3 a) 60 000 000 c) 30 000 000 000 e) 500 000 000

b) 4 000 000 d) 700 000 f) 3 000 000

4 a) 7 ! 103 c) 3 ! 105 e) 4 ! 106

b) 2 ! 104 d) 6 ! 104 f) 5 ! 107

5 106 = 1 000 000 – 105 = 100 000 – 108 = 100 000 000

103 = 1 000 – 102 = 100

6 100 = 1 101 = 10

7 a) 13 ! 103 = 13 000 c) 15 ! 106 = 15 000 000

b) 7 ! 107 = 70 000 000 d) 9 ! 108 = 900 000 000

8 COMUNIDAD

NÚMERO DE HABITANTES

REDONDEO A LAS CENTENAS DE MI-

FORMA ABREVIADA

Andalucía 8 424 102 8 400 000 84 ! 105

Castilla y León 2 558 463 2 600 000 26 ! 105

Galicia 2 795 422 2 800 000 28 ! 105

Madrid 6 489 680 6 500 000 65 ! 105

País Vasco 2 184 606 2 200 000 22 ! 105

Canarias 2 126 769 2 100 000 21 ! 105

9 1 000 cubitos = 103.

10 La nave se encuentra a 900 000 000 km del planeta.

11 a) La distancia de Marte al Sol es de 228 ! 106 km.

b) La distancia de Júpiter al Sol es de 781 ! 106 km.

c) La distancia de la Tierra al Sol es de 15 ! 107 km.

Cálculo mental

180 140 125 220 160

210 250 310 300 360

47

36 37

3

Unida

dRaíz cuadrada Raíz cuadrada y calculadora

1 Calcula como en el ejemplo.

!25 = 5 porque 52 = 5 · 5 = 25

a) !16 b) !49 c) !64 d) !81

2 Calcula.

a) !121 b) !144 c) !169 d) !196

3 Calcula la raíz cuadrada exacta o entera de estos números.

a) 289

b) 225

c) 32

d) 131

e) 46

f) 256

g) 45

h) 42

4 Copia en tu cuaderno y completa la tabla.

NÚMERO 81 64 49 36 25 16 9 4 1RAÍZ

Resuelvo problemas5 Un albañil tiene de 144 baldosas cuadradas de 30 cm de lado. ¿Cuál

es la mayor superficie cuadrada que puede cubrir con ellas? ¿Cuántas baldosas le sobran?

1 Utiliza tu calculadora para calcular la raíz cuadrada de cada uno de estos números:a) !784b) !4 096

c) !1 522d) !484

e) !1 296f) !2 809

2 Calcula y relaciona cada raíz con su resultado. !484 !289 !441 !324 !1 089 !1 369

33 18 37 21 22 17

3 Utiliza la calculadora para indicar cuáles de estos números tienen raíz cuadrada exacta:a) 2 704b) 2 916

c) 3 658d) 1 936

e) 1 849f) 2 525

4 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones no son correctas?a) El cuadrado del número 162 es 26 244.b) La raíz cuadrada de 225 es 25.c) El cuadrado del número 84 es 7 056.d) La raíz cuadrada de 841 es 37.

5 Calcula la medida del lado de los siguientes cuadrados en los que se indica su área:

La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadra-do, es igual al primero.

Para calcular la raíz cuadrada de un número utilizando la calculadora, seguimos estos pasos:

La raíz cuadrada de 16 ( !16 ) es igual a 4 porque 42 = 4 ! 4 = 16.

"16 = 4Raíz cuadrada

Símbolo de la raíz

Radicando

Raíz cuadrada exacta

Los números cuya raíz cuadrada es exacta se llaman cuadrados perfectos.

!25 = 5 !36 = 6 !100 = 10

25, 36 y 100 son cuadrados perfectos.

Raíz cuadrada entera

Cuando la raíz no es exacta, al número na-tural que más se aproxima, por debajo, lo llamamos raíz entera.

La raíz entera de 38 es 6 porque:

!38 # 6 62 = 36 y 72 = 49

8.

64.1.º Escribimos el número del que desea-

mos calcular su raíz utilizando el te-clado numérico.

2.º Presionamos el botón de la raíz cua-drada, que es el que lleva el signo ! .

3.º En la pantalla aparecerá el resultado.

A

676 cm2

B 2 025 cm2C

900 cm2

Sugerencias metodológicas

Se desarrolla en este epígrafe el concepto de raíz cuadrada co-mo operación inversa de elevar al cuadrado. Se presentan los elementos de una raíz cuadrada, raíz y radicando, y se introduce su símbolo. El objetivo fundamental es la comprensión por parte del alumnado de la idea de radicación como operación inversa a la potenciación.

También diferenciaremos entre los números que son cuadrados perfectos y los que tienen raíz cuadrada entera.

Soluciones

1 a) 16 = 4 porque 42 = 4 · 4 = 16.

b) 49 = 7 porque 72 = 7 · 7 = 49.

c) 64 = 8 porque 82 = 8 · 8 = 64.

d) 81 = 9 porque 92 = 9 · 9 = 81.

2 a) 11 b) 12 c) 13 d) 14

3 a) 289 = 17 c) 32! 5 e) 46! 6 g) 45! 6

b) 225 = 15 d) 131! 11 f) 256 = 16 h) 42! 6

4 NÚMERO 81 64 49 36 25 16 9 4 1

RAÍZ 9 8 7 6 5 4 3 2 1

5 12,96 m2. Ninguna.

Sugerencias metodológicas

Como todavía los alumnos y las alumnas no tienen que apren-der a realizar el algoritmo de la raíz cuadrada con lápiz y papel, se aborda el cálculo mediante la calculadora. Para ello, les ense-ñamos a utilizarla de forma correcta.

Soluciones

1 a) = 28 c) ! 39 e) = 36

b) = 64 d) = 22 f) = 53

2 484 = 22 289 = 17 441 = 21

324 = 18 1 089 = 33 1 369 = 37

3 Tienen raíz exacta:

a) 52 b) 54 d) 44 e) 43

4 La b) y la d) no son correctas.

5 a) 26 cm de lado.

b) 45 cm de lado.

c) 30 cm de lado.

Actividades de ampliación

1 Encuentra un número mayor que 300, pero menor que 400, que es cuadrado perfecto y cuya cifra de las centenas es una unidad mayor que la cifra de las decenas y una unidad menor que la cifra de las unidades.

324 En la web. http//www.anaya.es si deseas conseguir más ac-tividades.

30 © Grupo Anaya, S. A. Material fotocopiable autorizado.

EVALUACIÓN30

Área fotocopiable

3 Matemáticas 6.ºEV

Fecha:

Nombre y apellidos:

1 Escribe en forma de potencia o de producto según correspon-da.

a) 6 ! 6 ! 6 ! 6 = f) 38 =

b) 5 ! 5 ! 5 ! 5 ! 5 ! 5 = g) 23 =

c) 45 = h) 102 =

d) 9 ! 9 ! 9 ! 9 ! 9 ! 9 ! 9 = i) 7 ! 7 ! 7 ! 7 ! 7 ! 7 ! 7 ! 7 =

e) 2 ! 2 ! 2 ! 2 ! 2 =

2 Escribe cómo se leen estas potencias:

a) 36 !

b) 72 !

c) 93 !

d) 67 !

3 ¿Qué distancia separa el primer planeta del tercero?

4 Tengo 8 jarrones con 8 margaritas cada uno. Si cada margarita tiene 8 pétalos, ¿cuántos pétalos tengo en total? Exprésalo en forma de producto y en forma de potencia.

5 ¿Cuántos cubitos tiene este cubo? Exprésalo en forma de poten-cia y en forma de producto.

43 · 106 km 78 · 106 km

47

36 37

3

Unida

dRaíz cuadrada Raíz cuadrada y calculadora

1 Calcula como en el ejemplo.

!25 = 5 porque 52 = 5 · 5 = 25

a) !16 b) !49 c) !64 d) !81

2 Calcula.

a) !121 b) !144 c) !169 d) !196

3 Calcula la raíz cuadrada exacta o entera de estos números.

a) 289

b) 225

c) 32

d) 131

e) 46

f) 256

g) 45

h) 42

4 Copia en tu cuaderno y completa la tabla.

NÚMERO 81 64 49 36 25 16 9 4 1RAÍZ

Resuelvo problemas5 Un albañil tiene de 144 baldosas cuadradas de 30 cm de lado. ¿Cuál

es la mayor superficie cuadrada que puede cubrir con ellas? ¿Cuántas baldosas le sobran?

1 Utiliza tu calculadora para calcular la raíz cuadrada de cada uno de estos números:a) !784b) !4 096

c) !1 522d) !484

e) !1 296f) !2 809

2 Calcula y relaciona cada raíz con su resultado. !484 !289 !441 !324 !1 089 !1 369

33 18 37 21 22 17

3 Utiliza la calculadora para indicar cuáles de estos números tienen raíz cuadrada exacta:a) 2 704b) 2 916

c) 3 658d) 1 936

e) 1 849f) 2 525

4 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones no son correctas?a) El cuadrado del número 162 es 26 244.b) La raíz cuadrada de 225 es 25.c) El cuadrado del número 84 es 7 056.d) La raíz cuadrada de 841 es 37.

5 Calcula la medida del lado de los siguientes cuadrados en los que se indica su área:

La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadra-do, es igual al primero.

Para calcular la raíz cuadrada de un número utilizando la calculadora, seguimos estos pasos:

La raíz cuadrada de 16 ( !16 ) es igual a 4 porque 42 = 4 ! 4 = 16.

"16 = 4Raíz cuadrada

Símbolo de la raíz

Radicando

Raíz cuadrada exacta

Los números cuya raíz cuadrada es exacta se llaman cuadrados perfectos.

!25 = 5 !36 = 6 !100 = 10

25, 36 y 100 son cuadrados perfectos.

Raíz cuadrada entera

Cuando la raíz no es exacta, al número na-tural que más se aproxima, por debajo, lo llamamos raíz entera.

La raíz entera de 38 es 6 porque:

!38 # 6 62 = 36 y 72 = 49

8.

64.1.º Escribimos el número del que desea-

mos calcular su raíz utilizando el te-clado numérico.

2.º Presionamos el botón de la raíz cua-drada, que es el que lleva el signo ! .

3.º En la pantalla aparecerá el resultado.

A

676 cm2

B 2 025 cm2C

900 cm2

Sugerencias metodológicas

Se desarrolla en este epígrafe el concepto de raíz cuadrada co-mo operación inversa de elevar al cuadrado. Se presentan los elementos de una raíz cuadrada, raíz y radicando, y se introduce su símbolo. El objetivo fundamental es la comprensión por parte del alumnado de la idea de radicación como operación inversa a la potenciación.

También diferenciaremos entre los números que son cuadrados perfectos y los que tienen raíz cuadrada entera.

Soluciones

1 a) 16 = 4 porque 42 = 4 · 4 = 16.

b) 49 = 7 porque 72 = 7 · 7 = 49.

c) 64 = 8 porque 82 = 8 · 8 = 64.

d) 81 = 9 porque 92 = 9 · 9 = 81.

2 a) 11 b) 12 c) 13 d) 14

3 a) 289 = 17 c) 32! 5 e) 46! 6 g) 45! 6

b) 225 = 15 d) 131! 11 f) 256 = 16 h) 42! 6

4 NÚMERO 81 64 49 36 25 16 9 4 1

RAÍZ 9 8 7 6 5 4 3 2 1

5 12,96 m2. Ninguna.

Sugerencias metodológicas

Como todavía los alumnos y las alumnas no tienen que apren-der a realizar el algoritmo de la raíz cuadrada con lápiz y papel, se aborda el cálculo mediante la calculadora. Para ello, les ense-ñamos a utilizarla de forma correcta.

Soluciones

1 a) = 28 c) ! 39 e) = 36

b) = 64 d) = 22 f) = 53

2 484 = 22 289 = 17 441 = 21

324 = 18 1 089 = 33 1 369 = 37

3 Tienen raíz exacta:

a) 52 b) 54 d) 44 e) 43

4 La b) y la d) no son correctas.

5 a) 26 cm de lado.

b) 45 cm de lado.

c) 30 cm de lado.

Actividades de ampliación

1 Encuentra un número mayor que 300, pero menor que 400, que es cuadrado perfecto y cuya cifra de las centenas es una unidad mayor que la cifra de las decenas y una unidad menor que la cifra de las unidades.

324 En la web. http//www.anaya.es si deseas conseguir más ac-tividades.

© Grupo Anaya, S. A. Material fotocopiable autorizado.

EVALUACIÓN31

Área fotocopiable

EVNombre y apellidos:

6 Descompón mediante potencias de base diez.

a) 704 503 =

b) 9 578 300 =

c) 600 089 =

d) 6 455 483 =

7 ¿Qué números representan estas descomposiciones?

a) 7 · 106 + 6 · 105 + 9 · 104 + 1 · 103 + 1 · 102 + 9 · 10 + 6 =

b) 8 · 107 + 3 · 103 + 9 · 102 + 5 =

c) 7 · 105 + 3 · 104 + 8 · 103 + 5 · 102 + 5 =

d) 5 · 104 + 2 · 103 + 6 · 102 + 8 · 10 =

8 Calcula la raíz cuadrada exacta o entera de estos números. Uti-liza la calculadora.

a) 1296 = d) 1 300 = g) 164 =

b) 729 = e) 961 = h) 529 =

c) 600 = f) 576 = i) 88 =

9 Si hemos utilizado 64 baldosas de 30 cm de lado para enlosar una cocina cuadrada, ¿cuáles son las dimensiones de la cocina?

10 Si el suelo de una habitación cuadrada está cubierto por 400 losetas cuadradas iguales, ¿cuántas baldosas hay en un lado de la habitación?

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EVNombre y apellidos:

6 Descompón mediante potencias de base diez.

a) 704 503 =

b) 9 578 300 =

c) 600 089 =

d) 6 455 483 =

7 ¿Qué números representan estas descomposiciones?

a) 7 · 106 + 6 · 105 + 9 · 104 + 1 · 103 + 1 · 102 + 9 · 10 + 6 =

b) 8 · 107 + 3 · 103 + 9 · 102 + 5 =

c) 7 · 105 + 3 · 104 + 8 · 103 + 5 · 102 + 5 =

d) 5 · 104 + 2 · 103 + 6 · 102 + 8 · 10 =

8 Calcula la raíz cuadrada exacta o entera de estos números. Uti-liza la calculadora.

a) 1296 = d) 1 300 = g) 164 =

b) 729 = e) 961 = h) 529 =

c) 600 = f) 576 = i) 88 =

9 Si hemos utilizado 64 baldosas de 30 cm de lado para enlosar una cocina cuadrada, ¿cuáles son las dimensiones de la cocina?

10 Si el suelo de una habitación cuadrada está cubierto por 400 losetas cuadradas iguales, ¿cuántas baldosas hay en un lado de la habitación?