Registro escrito de observaciones astronómicas, sustancias químicas, observaciones de enfermedades, las tablas y cálculos matemáticos (sistema numérico), lenguaje escrito, etc.

PROBLEMAS DE CONTEO Y REPARTO

¿Cuando comienza la “Matemática”?

7000 a.C. al siglo VI a.C.

Sumeria

A. Sistema Numérico y Aritmética• Desarrollo de un sistema de numeración.• Creación de técnicas aritméticas, tablas, ábacos y otras herramientas

de cálculo.

B. Mediciones prácticas. Geometría y Astronomía• Las unidades de medidas servían para cuantificar distancias, áreas,

volúmenes y tiempos.• Los razonamientos geométricos se usaban para medir distancias

indirectamente.• Se diseñaban calendarios para predecir estaciones y eventos

astronómicos. • Formas geométricas y patrones aparecen en el arte y la arquitectura.

Período Antiguo (3000 A.C. al 260)

Antigua Babilonia

Tablas de ayuda en los cálculos (dos tablillas encontradas en Senkerah sobre el Eúfrates en 1854 datan del 2000 A.C. dan los cuadrados de los números hasta el 59 y los cubos hasta el 32). Así 82=1,4 pues 1,4=1x60+4x1=64 y 592=58,1 ya que 58,1=58x60+1x1=3481

Usaron la fórmula ab=[(a+b)2-a2-b2]/2 para hacer más fácil la multiplicación. Aún mejor es su fórmula ab=[(a+b)2-(a-b)2]/4, lo que demuestra la necesidad de la tabla antes mencionada.

Numerales Babilónicos

La Tablilla Plimpton 322 (alrededor 1800 A.C.)

Escritura Cuneiforme

Escuelas. Matemática. Escribas.

Una pequeña casa en Nippur, 10m x 5m

Excavada en 1951 Desde el 1740 A.C. 1400 fragmentos of tablillas con ejercicios

escolares (ahora en Chicago, Philadelphia y Baghdad)

Eran recicladas Cocina con horno Cuarto para algunos estudiantes

19 tablets

48 tablets

29 tablets

348tablets 3 tablets

11 tablets

967 tablets

+ 46 tablets?

tanour

Escribaasirio

SARGÓN I (2334-2279 a.C.)

Fue la primera persona de la historia que creó un imperio, el Acadio. Abarcó la región de los ríos Tigris y Eúfrates, y parte de la actual Turquía. Su capital fue Acad (conocida también como Agade).

Mi cambiante madre me concibió, en secreto me dio a luz.Ella me puso en una canasta de juncos, con betún selló mi tapa.Ella me echó en el río, el cual no se elevó sobre mí.El río me sostuvo y me condujo hasta Akki, el depositario del agua, Akki, el depositario delagua, me levantó cuando él sumergió su jarro,Akki, el depositario del agua, [él me tomó] como su hijo (y) me apoyó.

La leyenda de Sargón de Acad

Estela de la Victoria Sargón de Acad (h. 2300 A.C.)

Estela de Naram-Sin(Museo del Louvre)

1 52 30

1 52 30 Equivalente Base 10

1 x 3600 52 x 60 30 6750

1 x 60 52 30/60 112 1/2

1 52/60 30/3600 1 7/8

Practicando cálculos …

5 155 1527 33 45

5.25x 5.25 27.5625

o 325

x 325= 105,625

BABILONIA

Jardines colgantes

Jardines colgantes

Jardines colgantes

Dos triángulos babilónicos

Un libro de texto babilónico

frente anverso

¿Cómo calculaban las raíces cuadradas?

LLL

=+

2

17

17)()('

)( 21 −=−=+ xxf

xf

xfxx

n

nnn

Neugebauer en 1930, x3=a, y x3 +x2 =bEn unas de las tablillas se encuentra propuesto y resuelto un problema cuya solución es equivalente a resolver la ecuación x2-x-870=0

"Toma la mitad de 1, (que es 0.30 en sistema sexagesimal) y multiplícala por sí misma (es decir, (0.30)(0.30)=0.15 en el sexagesimal, 0.25 decimal). Se le adiciona 14.30 (que es 14.60+30=870 en el sistema decimal y la suma es 870.25) pero este es el cuadrado de 29,30 (870.25=29.5 en decimal). A 29.30 se le suma 0.30 y nos da la respuesta positiva para la ecuación 29.30+0.30=30".

Imperio Mesopotámico1800-600 A.C.

Código de Hammurabi

El Código de Hammurabi, creado en el año 1692 A.C., es uno de los primeros conjuntos de leyes que se han encontrado y uno de los ejemplos mejor conservados de este tipo de documento de la antigua Mesopotamia y en breves términos se refiere a la conocida frase “ojo por ojo, diente por diente”.

EGIPTO LA CIVILIZACIÓN DE LOS GRANDES MISTERIOS

Desarrolló una escritura de carácter jeroglífico. Un calendario muy similar al utilizado

actualmente. La creencia en un juicio final, creencia que

mantienen algunas religiones actuales. El sistema de numeración cardinal se basaba en

una numeración de base diez.

Saber leer y escribir era esencial para una carrera en el servicio civil egipcio.

Sólo un porcentaje pequeño de niños y niñas estudiaban en el antiguo Egipto (familias de clase alta).

Estos estudiantes asistían a las escuelas para escribas.

Los Escribas eran personas que llevaban los archivos escritos para las oficinas gubernamentales, templos, y otras instituciones, escribían o copiaban textos de literatura como proverbios, historias y poemas de amor. También leían y escribían cartas para aquellos egipcios que no sabían leer ni escribir.

La escritura se hacía con plumas hechas de cañas se les daba forma para escribir sobre lápidas de madera, pedazos de alfarería, o trozos de papiro, el primer papel del mundo. Este papel se hacía de la médula del papiro, una planta del pantano. Para la tinta, los egipcios la hicieron mezclando agua y hollín. Egipto antiguo tenía muchas bibliotecas. Una biblioteca famosa en Alejandría tenía más de 4000,000 papiro con una variedad e temas sobre astronomía, geografía, y muchos otros asuntos. Alejandría también tenía un museo excelente.

Las pirámides

La pirámide fue pensada como tumba inviolable del faraón, destinada a la preservación eterna de su cuerpo, incorrupto por embalsamamiento, y de su ajuar funerario. Sólo de este modo se posibilitaba la residencia del alma en el cuerpo y su supervivencia en el mundo del más allá.

•El papiro de Kahun que corresponde al año 1950 A.C.•El papiro de Rhind (en honor del egiptólogo escocés Henry Rhind, quien lo encontró en Luxor en 1858) o Papiro de Ahmes (escriba que lo copia de otro 200 años más antiguo) y lo transfiere a la numeración demótica, cerca del año 1650 A.C. •El papiro de Moscú o de Golenischev cerca del año 1890 A.C. (es otro de suma importancia matemática), fue encontrado en Egipto en 1893.•El papiro de Rollm procedente del año 1350 A.C. •El papiro de Harris cuya escritura fue ordenada por Ramses IV en el año 1167 A.C. (expone las obras de su padre Ramses III).

"En cada una de 7 casas vivían 7 gatoscada gato cazó 7 ratonescada ratón tenía 7 espigas de trigo.De cada espiga sembrada se obtuvieron siete medidas (hekat) de cereal¿cuántas medidas se cosecharon en total?"

Numerales egipcios

Valor 1 10 100 1,000 10,000 100,000 1 millón, oinfinito

Jeroglífico

Descripción Simple trazo

Hueso de

Talón

Rollo de cuerda

Flor de Loto

Dedo Rana Hombre con las dos

manos alzadas

4622 es

| ∩

Tiene 15 pies de longitud y unas 3 pulgadas de ancho y contiene 25

problemas y soluciones.

2

)1n(n1

2

1n1

n

2+++= .

2

qp.q

1

2

qp.p

1

q.p

2+++=

15

1

3

1

5

2 +=

El Papiro

La pirámide fue pensada como tumba inviolable del faraón, destinada a la preservación eterna de su cuerpo, incorrupto por embalsamamiento, y de su ajuar funerario. Sólo de este modo se posibilitaba la residencia del alma en el cuerpo y su supervivencia en el mundo del más allá.

Ejemplo. 13 x 24

1 24

Utilizaban el Método de Duplicación

Ejemplo. 13 x 24, cont.

1 24

2 48

4 96

8 192

Ejemplo. 13 x 24, cont.

1 24

2 48

4 96

8 192

Ejemplo. 13 x 24, cont.

1 24 24

2 48

4 96 96

8 192 192

312

Ejemplo. 13 x 24, cont.

1 24 24

2 48

4 96 96

8 192 192

312

Consideremos un ejemplo más complicado

246 x 7635

246 x 7635 1 7 635

2 15 270

4 30 540

8 61 080

16 122 160

32 244 320

64 488 640

128 977 280

246 x 7635, cont.

1 7 635

2 15 270 15 270

4 30 540 30 540

8 61 080

16 122 160 122 160

32 244 320 244 320

64 488 640 488 640

128 977 280 977 280

1 878 210

Ejemplo. 300÷14

1 14

2 28

4 56

8 112

16 224

¿Y la División?

1 1 14

2 28

4 4 56

8 112

16 16 224

21

Ejemplo. 300÷14

1 1 14 14

2 28

4 4 56 56

8 112

16 16 224 224

21 294

Ejemplo. 300÷14

Principales Civilizaciones Antiguas

4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0

Mesopotamia

India

Egipto

Perú

China

Mexico

(Antes de Cristo)

La dinastía Xia XXI A.C. al siglo XVI A.C., está considerada la primera dinastía en la

historia china.

China

La gran muralla china, una impresionante obra de ingeniería que se empezó a construir durante la dinastía Han y fue creada para defenderse de los bárbaros del norte.

El Papel

El papel fue inventado en China hacia el año 200 a.C. Los primeros papeles se fabrican a partir de fibras de lino y seda, pero de pobre calidad para la escritura y usados para envolver. El uso de las fibras de bambú se atribuye a Ts’ai Lun hacia el 150 a. C. buscando un material útil para la burocracia creciente en la sociedad china de la época. Hasta que este descubrimiento no llego a Occidente gracias a los árabes, las superficies sobre las que se escribían era el papiro, el pergamino, o tablillas de arcilla.

La Imprenta

El nacimiento de la imprenta se remonta a China, en el año 593, cuando se reproducen por primera vez y de forma múltiple, dibujos y textos con la ayuda de caracteres de imprenta tallados en tablas de madera (xilografía). El invento se debe a los monjes budistas, que impregnaban las tallas de color para imprimir con ellas sobre seda o papel de trapos. Si bien el primer libro impreso (un sutra budista con ilustraciones) data del año 868. Los caracteres móviles de imprenta y, con ellos, la composición tipográfica, se deben al alquimista chino Pi Cheng (1040). Éste conjugará los años de tradición de la xilografía con la herencia obtenida durante más de dos mil años de técnicas de estampación con sellos, creando tipos estándar que podían fabricarse en serie

Estas técnicas llegaron a Occidente mucho después. El holandés Laurens Coster (S. XIV) será el primero en utilizar tipos móviles de madera, aunque universalmente se considera inventor de la imprenta a Johannes Gutenberg (S. XV), por su creación de los tipos móviles de plomo fundido, mucho más resistentes (tipografía). Gutenberg conocía la dificultad de imprimir con páginas enteras talladas en madera e ideó un modo más racional de impresión, basado en tipos móviles. Así, en 1437 encargó a un tornero de Maguncia, Konrad Sasbach, la construcción de su imprenta y él mismo creó los moldes para el fundido de las letras de plomo, que después se unían, una a una, formando las palabras en relieve en la llamada galera de composición para poder imprimir con ellas sobre el papel. En 1447 consiguió imprimir un pequeño calendario y en 1451 una gramática de latín, aunque su obra cumbre sería una Biblia. A partir de su muerte, 1468, su invento se extendió paulatinamente por toda Europa, y permaneció prácticamente inalterable hasta principios del siglo XX.

Más de 1500 años antes de que Europa conociera de los trabajos en terracota de la Florencia de los Médicis, la cultura del entonces naciente imperio feudal chino de la dinastía C'hin (265-420) legaría a la humanidad lo que hoy comienza a considerarse por algunos como la octava maravilla del mundo antiguo. Más de seis mil figuras de guerreros de rostros irrepetibles, carruajes y caballos de tamaño natural fueron construidas por artesanos en el complejo funerario erigido al emperador que unificara los feudos chinos e iniciara la construcción de esa otra maravilla que es la Muralla.

La brújula La primera referencia a un dispositivo magnético usado como señalador de direcciones está en un libro de la Dinastía Song con fechas de 1040-44. Allí se encuentra una descripción de un "pez que señala al sur" en un tazón de agua, que se alineaba a sí mismo hacia el sur. En el escrito, el objeto se recomienda como método de orientación en "la oscuridad de la noche". No hay, sin embargo, ninguna mención a su uso en navegación, ni de como el pez fue magnetizadoLa primera referencia indiscutible a una aguja magnetizada en escritos chinos aparece en 1086 por Shen Kuo, de la dinastía Song, contenía una descripción detallada de cómo los Geomantes magnetizaron una aguja frotando su punta con magnetita, y colgando la aguja magnética con una fibra de seda con un poco de cera pegada en el centro de la aguja. Shen Kuo señaló que una aguja preparada de este modo algunas veces apuntaba hacia el norte y otras hacia el sur. La primera brújula del mundo fue elaborada en China, durante la Dinastía Qin. Estaba hecha de piedra imán –un mineral de hierro basado en óxido, que se alínea por sí mismo en dirección norte-sur, directamente hacia el campo magnético de la Tierra- que era usada comúnmente en la geomancia china y en la adivinación.El uso de la brújula fue documentado en varios textos chinos, incluido un libro del Siglo IV titulado el “Libro del Amo del Valle del Diablo” que describe su uso en la búsqueda de senderos.La primera persona oficialmente documentada, en haber usado la brújula como ayuda para la navegación, fue el almirante chino Zheng He, quien realizó ocho viajes marítimos entre 1405 y 1433.

Existen referencias de que la historia del ábaco, se remonta unos 3 000 años atrás a la China, en el período de la dinastía esclavista de Zhou. El ábaco es considerado como el primer instrumento de cálculo realmente importante, ya que brinda la posibilidad de realizar multiplicaciones y divisiones o el trabajo en distintas bases. Hacia el 1500 A.C., en China se conoció el sistema binario o en base dos. Este tiene la ventaja de utilizar solo dos símbolos: uno (1) y cero (0).

La escr it ura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aprox imadament e.

Matemática China“Chon Pei Suang Ching” Ling Wang, los conocimientos matemáticos chinos se remontan al S. XIV A.C. “Ching-Chang Suang-Shu” que se asigna al matemático Chuan Tsanon y se le supone escrito en el año 152 A.C.Liu Hui (220-280)

Matemática China

1. Problemas reales aplicados a específicas situaciones y que se usan directamente.

2. Problemas pseudo-reales, dirigidos a situaciones de la vida real, pero no usables directamente.

3. Problemas recreativos que usan datos ficticios de la vida real, a veces grotescos, pero siempre de una forma entretenida.

4. Problemas especulativos o de matemática pura.

Declaración del problema+Respuesta numérica+Regla resolutoria

Chu Shih-chieh (Zhu Shijie)

Zhu Shijie fue uno de los más grandes matemáticos chinos, vivió durante la Dinastía Yuan. Trabajó sobre cuadrados mágicos y el Teorema Binomial, aunque es mejor conocido por sus contribuciones al Triángulo “Yang Hui”.

India

Los primeros poblados confirmados datan 9.000 años atrás y se encuentran en Bhimbetka, en el actual territorio del estado de Madhya Pradesh.

Las civilizaciones más antiguas del subcontinente indio emergieron en el valle del río Indo, alrededor del 2500 A.C. Estas ciudades en conjunto dominaban el área más extensa de todas las civilizaciones antiguas: más de un millón de kilómetros cuadrados.

Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII A.C.Entre los siglos V-XII cuando la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). Predominio de las reglas aritméticas de cálculo (números negativos, el cero, números irracionales. Ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuación x2=1+ay2, denominada ecuación de Pelt. Sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.

Matemática Clásica en Sánscrito

“Siddantas” y “Arijabhatiya”

Su segundo capítulo es dedicado a la Matemática (ganita), e incluye una definición de la notación decimal.

“Sulvasutras” que se supone datan de los siglos VIII y VII A.C.

Edición Año 2000

Multiplicando 9 por 7

Escriba 9 y 7 en una columna97

Escriba la diferencia con 10 en otra columna9 -17 -3

Tenemos cuatro opciones:

(9+7)-10=6(9-3)=6 ó (7-1)=610-(3+1)=6

El resultado previo se anota a la izquierda9 -17 -36

Se multiplican las diferencias con 10 (1 y 3), y el resultado se anota debajo

9 -17 -36 3

Que es el resultado buscado.

Multiplicando 9 por 7

El método es el mismo, solo cambia la base, 1000 en lugar de 10.Los números se escriben en una columna998997

Y anotamos la diferencia de ellos con 1000998 -2997 -3

Usando las columnas1000-(2+3)997+998-1000

O el producto cruzado 998-3 ó 997-2, se obtiene el mismo resultado 995.

Multiplicando 998 por 997

Los resultados previos se anotan a la izquierda y el producto de la columna derecha, a la derecha:

998-002997-003995 006

Que es el resultado correcto.

Veremos algunos casos interesantes.

Multiplicando 998 por 997

Caso I : Cuando ambos números son menores que

la base.

Método Convencional

97 X 94

9 7

X 9 4

3 8 8

8 7 3 X

9 1 1 8

Método Védico

97 3 X 94 6

9 1 1 8

Método Convencional

103 X 105

103

X 105

5 1 5

0 0 0 X

1 0 3 X X

1 0, 8 1 5

Método Védico103 X 105

103 3 X 1055

1 0, 8 1 5

Caso II : Cuando ambos números son mayores que

la base.

Método Convencional

103 X 98

103

X 98

8 2 4

9 2 7 X

1 0, 0 9 4

Método Védico

103 3 X 98 -2

1 0, 0 9 4

Caso III : Cuando uno de los números es mayor que

la base y el otro es menor.

Multiplicación de dos dígitos usando URDHVA TIRYAGBHYAM

Método Védico

4 6

X 4 3

6 6 8

1 3 1

1 9 7 8

Multiplicación de tres dígitos usando URDHVA TIRYAGBHYAM

Método Védico

103

X 105

10805

00001

10815

“Escuela de Kerala” identificó las “series infinitas”, uno de los componentes básicos del cálculo, hacia el año 1350.

1835 por Charles Whish

“Hay muchas razones por que las la contribución de la Escuela de Kerala no ha sido reconocida -una primera razón es el rechazo a las ideas científicas que provienen del mundo no europeo- un legado del colonialismo europeo y más allá”