Microsoft Word - La Cuarta Parte

C. E. I. P. VEINTE DE ENERO

ÁREA DE MATEMÁTICAS

TERCER CICLO

UNIDAD DIDÁCTICA:

LA CUARTA PARTE.

RAMÓN GALÁN GONZÁLEZ

INTRODUCCIÓN.

Uno de los males que aqueja a la enseñanza de las matemáticas dentro de nuestras aulas es la desconexión entre los distintos aspectos del contenido. La división de números naturales, los números decimales, las fracciones y los porcentajes, la mayor parte de las veces se trabajan de forma separadas en el tiempo, en unidades didácticas que poco tienen que ver las unas con las otras.

Del filósofo alemán Hegel aprendí que debo separar y distinguir la forma

de manifestación de lo que en ella se manifiesta. Lo que se manifiesta constituye la esencia; la forma de manifestación, la apariencia. Y, finalmente, la esencia, aquello que se manifiesta, puede adoptar múltiples y variadas formas de manifestación. Estas ideas sacadas de la esfera del saber de la filosofía me aportaron luz y claridad a la hora de determinar las estrategias de aprendizaje propuestas en mis investigaciones sobre didáctica de las matemáticas. Llevemos estas ideas abstractas a un terreno más concreto y, para ello, vamos a ilustrarlas con un ejemplo.

Observemos estas operaciones matemáticas: 628 : 4 = 157 0’25 x 628 = 157

12

3 de 628 = 157

El 25 % de 628 = 157 20 : 5 = 628 : X ; X = 157 Si estas cinco expresiones matemáticas diferentes entre sí son iguales a

157, quiere decir que estas expresiones matemáticas tienen que tener algo en común o ser distintas formas de manifestación de la misma cosa. Efectivamente, las cinco expresiones matemáticas son manifestaciones diferentes de la cuarta parte de 628.

Este ejemplo nos muestra que la cuarta parte de un número tiene

múltiples y variadas formas de manifestación. Como podemos ver, puede manifestarse en forma de dividir entre 4, en forma de multiplicación por 0’25, en forma de fracción que represente al número racional

41 , en forma de 25 % o en

forma de proporción. Por lo tanto, lo esencial, lo que se manifiesta es la relación numérica de la cuarta parte y debemos distinguirla de las distintas formas de manifestación matemática con que se nos presenta.

Llegado a este punto de la exposición, bastaría determinar un

procedimiento de cálculo mental para hallar la cuarta de 628 y aplicarlo a las distintas expresiones matemáticas para conseguir que todas ellas se resuelvan del mismo modo. De esta forma, nos evitaremos realizar cinco algoritmos diferentes para resolver operaciones matemáticas que en apariencia son diferentes pero que en esencia es una y la misma.

En concreto, nos bastaría calcular la cuarta parte de 628 de la siguiente

forma: 628 600 + 28 150 + 7 157

También podríamos emplear el procedimiento de calcular la mitad de la mitad de dicho número: 628 314 157 En términos generales podemos concluir que lo esencial son las relaciones numéricas (mitad, la cuarta parte, la quinta parte, la décima parte, etc.) y que, por ello, deben ser objeto de estudio. De un lado, su cálculo mental y, de otro lado, sus distintas formas de manifestación: en forma de división, de multiplicación por un número decimal, en forma de fracción, bajo la forma de porcentaje o proporción. Debemos entender, pues, que lo que proporciona conexión y unidad a la división de números naturales, a los números decimales, a las fracciones y a los porcentajes son las relaciones numéricas. En el presente trabajo, nos limitaremos a exponer una estrategia de aprendizaje que posibilitará al alumno calcular mentalmente, y mediante distintos procedimientos, la cuarta parte de un número natural. En trabajos posteriores se abordará la aplicación del cálculo mental de la cuarta parte en relación a la división de números naturales, a los números decimales, a las fracciones y a los porcentajes y todo ello bajo la forma de la resolución de problemas. En este documento se adjunta el cuaderno de actividades escritas. Dichas actividades se irán resolviendo en la medida que se vayan recorriendo las distintas fases de la estrategia de aprendizaje que a continuación expondremos.

Dado que las actividades iniciales son fundamentalmente prácticas y

manipulativas, hemos construido, para tal fin, un franelograma. Este consiste en un tablero de madera de 120 cm x 100 cm, al cual hemos pegado un paño de moqueta de suelo con unas dimensiones ligeramente superior al tablero, de forma que rebase los bordes del tablero y, de este modo, poder doblarlo y graparlo por la parte trasera. Sobre este franelograma se adhieren piezas plastificadas. Este recurso material resulta muy sencillo y económico a la hora de construirlo. Las piezas plastificadas se construyen imprimiendo el modelo informatizado en folios de color y, posteriormente, recortando, plastificando, recortando de nuevo. Finalmente se le coloca por la parte trasera un pequeño trozo de cinta de velcro. En este caso se emplearán dos tipos de piezas plastificadas. Unas, consistentes en cuadrados de 4 cm de lado que representarán unidades. Las segundas piezas plastificadas serán regletas referidas a los números naturales hasta el 10. Estos recursos didácticos se muestran muy adecuados para trabajar la multiplicación y la división de forma práctica y manipulativa. De igual modo, pueden utilizarse para abordar la construcción de rectángulos de distintas dimensiones y formas. En el anexo referido a los recursos materiales, se proporciona la plantilla para elaborar tales piezas y algunos consejos prácticos para construirlas.

En nuestro caso hemos construido seis franelogramas. De este modo,

podemos formar pequeños grupos de trabajo de 4 alumnos. Cada grupo realiza una determinada actividad y, posteriormente, se hace una puesta en común con todo el grupo. Sin embargo, vamos a realizar nuestra exposición suponiendo que únicamente tenemos un franelograma y que trabajaremos con todo el grupo.

FASES DE LA ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE. 1º. Hallar la cuarta parte de los números: 4 – 8 – 12 – 16 y 20.

Esta primera fase tiene como finalidad calcular la cuarta parte de estos números como resultado de la acción de partir en 4 partes iguales una cantidad.

Inicialmente, esta fase se realizará de forma práctica, utilizando materiales

manipulativos. En nuestro caso emplearemos cuadrados plastificados, de 3 cm de lado, que se adhieren al franelograma mediante un pequeño trozo de velcro situado en la parte trasera. Comenzaremos trabajando con el número 12. Presentamos a los alumnos el franelograma con este número de cuadrados y esta disposición.

- ¿Cuántos cuadrados tenemos en el franelograma? 12.

- Ahora tenemos que separar estos 12 cuadrado en cuatro partes iguales.

(Solicitaremos a un alumno que realice la acción y preguntaremos al grupo si están de acuerdo con la respuesta)

Es importante situar en el franelograma los cuatro grupos con esta disposición dado que favorece la estructura perceptiva del número 4.

A continuación, formularemos al grupo las siguientes cuestiones:

- ¿Cuántos cuadrados tenemos en total en el franelograma? 12.

- ¿En cuantas partes los hemos dividido, es decir, cuantos grupos iguales hemos formado con estos 12 cuadrados? 4 grupos.

- ¿Cuántos cuadrado tiene cada grupo? 3 cuadrados.

- ¿Qué operación matemática hemos realizado?

12 : 4 = 3.

- ¿Mediante que operación matemática podemos expresar lo que

tenemos ahora representado en el franelograma?

3 x 4 = 12. A continuación proporcionamos al grupo la siguiente información: “Como hemos dividido el número doce en cuatro partes iguales diremos que hemos calculado la cuarta parte de 12.” “También podemos decir que la cuarta parte de 12 es 3.” Se procederá de forma similar con el resto de los números. Vemos otro ejemplo:

- ¿Cuántos cuadrados tenemos en el franelograma? 20.

- Ahora vamos a separar estos 20 cuadrado en cuatro partes iguales.

A continuación, formularemos al grupo cuestiones similares a las anteriores:

- ¿Cuántos cuadrados tenemos en total en el franelograma? 20.

- ¿En cuantas partes los hemos dividido, es decir, cuantos grupos iguales hemos formado con estos 20 cuadrados? 4 grupos.

- ¿Cuántos cuadrado tiene cada grupo? 5 cuadrados.


20 : 4 = 5.



5 x 4 = 20. - ¿Cuánto da la cuarta parte de 20? 5. En el caso de que se trabaje con varios franelogramas, cada grupo de alumnos realizará este ejercicio pero referido a distintos números. Posteriormente, a la hora de corregir la actividad, cada grupo explicará el resultado obtenido al resto de la clase.

Una vez que hemos realizado la actividad de forma manipulativa, los alumnos memorizarán la cuarta parte de estos números. El profesor preguntará al gran grupo, debiendo responder todos los alumnos a la vez:

- La cuarta parte de 4 es … - La cuarta parte de 8 es … - La cuarta parte de 12 es … - La cuarta parte de 16 es … - La cuarta parte de 20 es …

Posteriormente se cambiará el orden de las preguntas:

- La cuarta parte de 12 es … - La cuarta parte de 8 es … - La cuarta parte de 16 es … - La cuarta parte de 20 es … - La cuarta parte de 4 es …

2º. Hallar la cuarta parte de los números: 24 – 28 – 32 – 36 y 40. Esta fase es una prolongación de la anterior. La diferencia estriba en los recursos didácticos materiales que vamos a emplear. Con el fin de abreviar el tiempo de realización de la actividad se emplearán, en este caso, regletas numéricas plastificadas en lugar de cuadrados. Se toma esta decisión porque la práctica nos ha enseñado que el alumno invierte mucho tiempo en formar en el franelograma, por ejemplo, el número 36 a base de unidades representadas por cuadrados. En este caso, basta colocar cuatro regletas del número 9 para formar el número 36. Estas regletas numson tiras plastificadas de distintas longitudes, del mismo color que los cuadrados que representan a las unidades, con la excepción de la regleta 10 que será de otro color diferente. Las regletas están divididas en tantos cuadrados como el número natural a que hacen referencia. Es decir:

- Regleta unidad. - Regleta del número 2.

- Regleta del número 3.








Comenzaremos trabajando, con el número 28. Presentamos a los alumnos

el franelograma con cuatro regletas del número 7 y esta disposición.

Preguntaremos al grupo:

- ¿Cuántas unidades tiene el rectángulo que hemos formado en el franelograma? 28.

- Ahora tenemos que dividir las unidades de este rectángulo en cuatro

partes iguales.

(Solicitaremos a un alumno que realice la acción y preguntaremos al grupo si están de acuerdo con la respuesta)

A continuación, formularemos al grupo las siguientes cuestiones:

- ¿Cuántas unidades tienen cada una de las cuatro partes en que hemos dividido el rectángulo? 7.


28 : 4 = 7.



7 x 4 = 28.

- ¿Hemos calculado la cuarta parte de qué número? Del número 28.

- ¿Cuál es la cuarta parte de 28? 7.

Podemos observar que el hecho de emplear las regletas como material didáctico conlleva que ahora se presente la división bajo la forma de la operación contraria a la multiplicación, puesto el número 28 lo hemos formado previamente componiendo 4 regletas del número 7, de manera que, posteriormente, hemos descompuesto el número 28 en 4 regletas del número 7.

En la fase anterior, este hecho no se producía. La división se presentaba bajo la forma de partición de un conjunto de cuadrados. Se procede de forma similar con los restantes números, es decir, con los números 24, 32, 36 y 40.

Una vez que hemos realizado la actividad de forma manipulativa, los alumnos memorizarán la cuarta parte de los diez primeros múltiplos de 4. El profesor preguntará al gran grupo, debiendo responder todos los alumnos a la vez:

- La cuarta parte de 4 es … - La cuarta parte de 8 es … - La cuarta parte de 12 es … - La cuarta parte de 16 es … - La cuarta parte de 20 es … - La cuarta parte de 24 es … - La cuarta parte de 28 es … - La cuarta parte de 32 es … - La cuarta parte de 36 es … - La cuarta parte de 40 es … Posteriormente se cambiará el orden de las preguntas:

- La cuarta parte de 32 es … - La cuarta parte de 8 es … - La cuarta parte de 16 es … - La cuarta parte de 20 es … - La cuarta parte de 4 es … - La cuarta parte de 40 es … - La cuarta parte de 24 es … - La cuarta parte de 28 es … - La cuarta parte de 12 es … - La cuarta parte de 36 es …

3º. Hallar la 4ª parte de los números: 44 – 48 – 52 – 56 – 60 – 64 – 68 – 72 – 76 y 80. Como estamos presentando la cuarta parte bajo la forma de manifestación de dividir entre 4 y, a su vez, la operación de dividir como operación contraria de la operación de multiplicar, estimamos conveniente realizar con los alumnos ejercicios previos de multiplicar y dividir de manera manipulativa. Por otra parte, la explicación estos ejercicios previos ayudarán a entender nuestra oferta metodológica a aquellos docentes que no estén muy relacionados con ella. Por último, el análisis de estos ejercicios previos proporcionará al lector información sobre la riqueza y la profundidad matemática que subyace bajo el nuevo enfoque didáctico que proponemos, frente a la pobreza y la superficialidad que supone la repetición cansina de los algoritmos de la multiplicación y de la división, tal y como se enseñan de manera predominante en nuestras aulas. Veamos en primer lugar un ejemplo de multiplicación. Consideremos la multiplicación: 15 x 4 = 60. Aplicando el concepto de multiplicación tenemos que considerar el número 15 un total de 4 veces. Por este motivo, formaremos inicialmente en el franelograma la siguiente representación: Como podemos observar formamos el número 15 mediante una regleta de 10 y una regleta de 5, y este número aparece representado 4 veces. De este modo, hemos construido la parte izquierda de la igualdad matemática 15 x 4 = 60. A continuación, calcularemos el resultado, es decir, representaremos en el franelograma la parte derecha de dicha igualdad matemática. Para lo cual, formaremos con las regletas un rectángulo, de manera que la base sea el número 15 y la altura, el número 4. De este modo:

Ahora observaremos que en este rectángulo hay dos zonas diferenciadas: Una, de color azul, formada por 4 regletas de 10 y otra, de color amarillo, formada por 4 regletas de 5. En la zona azul tenemos 40 unidades. En la zona amarilla tenemos 20 unidades. En total, tenemos 60 unidades. Por consiguiente, el algoritmo matemático realizado de manera intuitiva y manipulativa por el alumno, ha sido el siguiente: 15 x 4 = (10 + 5) x 4 = 10 x 4 + 5 x 4 = 40 + 20 = 60 Vemos otro ejemplo de multiplicación: 17 x 3 = 51 Representamos en primer lugar la parte izquierda de la igualdad matemática: 17 x 3 A continuación formamos el rectángulo y calculamos el resultado o la parte derecha de la igualdad:

Ahora el algoritmo matemático realizado de manera manipulativa por el alumno, ha sido el siguiente: 17 x 3 = (10 + 7) x 3 = 10 x 3 + 7 x 3 = 30 + 21 = 51 En el caso de que el grupo de alumnos inicie el cálculo de la cuarta parte sin haber realizado previamente ejercicios de multiplicación de manera manipulativa, se estima conveniente la realización de diversos ejercicios como los que acabamos de analizar.

Ahora pasamos a analizar algunos ejemplos de divisiones exactas. Para lo cual procederemos de forma inversa a como lo hemos hecho en el caso de la multiplicación. Comenzaremos, por ejemplo, con la división 48 : 4 = 12.

En primer lugar, solicitaremos a los alumnos que formen un rectángulo que tenga 48 unidades, siendo su altura igual a 4.

En segundo lugar, solicitaremos a los alumnos que dividan este rectángulo en cuatro partes iguales:

Cabe la posibilidad de que el alumno al formar el número 48 utilice 2 regletas de 4 en lugar de 4 regletas de 2. En este cado, cuando vaya a dividir las 8 unidades en cuatro partes, se encontrará que no es posible y no tendrá más remedio que sustituir las 2 regletas de 4 por 4 regletas de 2. Este hecho, lejos de ser un inconveniente posibilita a los alumnos resolver situaciones imprevistas lo

cual favorece la aparición de nuevos aprendizajes. En este caso, observar que el número 8 lo podemos expresar mediante dos multiplicaciones, que si bien es cierto que desde el punto de vista del resultado y en virtud de la propiedad conmutativa son iguales, desde el punto de vista conceptual son diferentes: 2 x 4 = 8 (El número 2 cuatro veces) 4 x 2 = 8 (El numero 4 dos veces) Veamos una división más compleja: 54 : 3 = 18. En este caso, la parte izquierda de la igualdad matemática nos informa que el rectángulo tiene que tener 54 unidades en total, siendo su altura igual a 3. Hemos observado que de forma mayoritaria los alumnos comienzan colocando las tres regletas de 10. De esta forma, ya tienen colocadas 30 unidades. Algunos alumnos prueban a colocar otras tres regletas de 10 pero inmediatamente desisten al comprobar que forman 60 unidades sobrepasando de esta manera al número 54.

A continuación, calculan diciendo: “Desde 30 hasta 54 aún tengo que poner 24”. Estas 24 unidades formarán la parte amarilla, es decir, la parte formada por regletas menores que 10. Inmediatamente calcula que las 24 unidades que le faltan las puede formar con tres regletas de 8.

Finalmente, descompone el rectángulo y forma tres grupos de 18. Una vez que se han realizado diversos ejercicios empleando el franelograma y las regletas, podemos pasar a la fase de la representación gráfica, empleando para ello papel cuadriculado. Los alumnos formarán el rectángulo dibujando sobre el cuadriculado las regletas, de azul las regletas de 10, de amarillo las restante regletas.

La representación gráfica sobre el papel cuadriculado puede emplearse tanto para los ejercicios de multiplicar como para los de dividir. De hecho, en ambos casos se obtiene la misma representación gráfica. En el ejemplo que estamos analizando, el gráfico se corresponde tanto con la operación de multiplicar 18 x 3 = 54, como con la operación de dividir 54 : 3 = 18. De este modo los alumnos perciben con mayor claridad que la multiplicación y la división son dos caras de una misma moneda, esto es, operaciones inversas. Volviendo de nuevo al cálculo de la cuarta parte de un número, ahora únicamente bastará aplicar estos ejercicios de dividir pero referidos en todos los casos a la división entre 4. Es decir, en todos los casos los alumnos tendrán que formar rectángulos cuya altura sea de 4 unidades. Se estima conveniente, que se calcule de forma manipulativa la cuarta parte de todos los números propuestos: 44 – 48 – 52 – 56 – 60 – 64 – 68 – 72 – 76 y 80. Vemos algunos ejemplos:

Procederemos a calcular, por ejemplo, la cuarta parte de 52. Solicitaremos a un alumno del grupo que realice la siguiente actividad: “Tienes que construir en el franelograma un rectángulo que tenga 52 unidades en total y que mida de alto 4 unidades” El alumno, como ya vimos con anterioridad, procederá en primer lugar a colocar las cuatro regletas de 10.

Posteriormente, colocará las 12 unidades restantes (52 – 40 = 12) empleando 4 regletas de 3 (12 : 4 = 3)

Preguntaremos al grupo: ¿Está todo el mundo de acuerdo con lo que a hecho su compañero? Finalmente solicitaremos al alumno lo siguiente:

“Divide ahora el rectángulo de 52 unidades en cuatro partes iguales”

¿Están todos de acuerdo? A continuación, formularemos al grupo las siguientes cuestiones:

- ¿Cuántas unidades tienen cada una de las cuatro partes en que hemos dividido el rectángulo de 52 unidades? 13.


52 : 4 = 13.



13 x 4 = 52.

- ¿Hemos calculado la cuarta parte de qué número? Del número 52.


Con los números restante procederemos de forma similar. Hay que tener en cuenta que cuando los alumnos realizan una actividad de forma manipulativa, la actividad la realiza las manos pero éstas son dirigidas por el pensamiento. Ahora vamos a analizar cuál es la acción o proceso que realiza el pensamiento y que se ha objetivado mediante la actividad de las manos. Lo vemos con el ejemplo de la cuarta parte de 52 que acabamos de explicar. En primer lugar observamos que el alumno coloca las cuatro regletas de 10 formando un rectángulo de color azul de 40 unidades. Después, coloca las restantes regletas, esto es, las cuatro regletas de 3 unidades formando un rectángulo amarillo de 12 unidades. En definitiva, lo primero que realiza el alumno es descomponer el número 52 en dos partes: 40 + 12. En segundo lugar, separa las regletas en cuatro grupos. Comienza con las regletas de 10 y después separa las regletas de 3. En definitiva, calcula la cuarta parte de 40 que es 10 y, posteriormente, calcula la cuarta parte de 12 que es 3. Finalmente, compone el número 13 agrupando una regleta de 10 con una regleta de 3. En definitiva, suma 10 + 3 para obtener 13. Por consiguiente, el proceso que realiza el alumno es el siguiente:

52 40 + 12 10 + 3 = 13 Por lo tanto, estamos ahora en disposición de independizar el pensamiento de las manos, es decir, de proponer actividades en su fase numérica. De este modo, nos aseguramos que el pensar surge del hacer y que no existe contradicción entre el algoritmo matemático y la actividad práctica que el alumno ha realizado con anterioridad. Hay que observar que la estrategia de cálculo mental que el alumno empleará consiste en descomponer el número en dos partes, siendo una de las partes igual a 40 y, la otra parte, igual a la diferencia del número y 40. Posteriormente el alumno calculará la cuarta parte de ambas partes y sumará los resultados. Como la cuarta parte de 40 es 10, en la práctica, después de varios ejercicios, el alumno calculará únicamente la cuarta parte de la diferencia y al resultado le sumará 10. Para asegurar el aprendizaje, el alumno calculará la cuarta parte de todos y cada uno de los números propuestos en esta fase de aprendizaje, es decir, de los números: 44 – 48 – 52 – 56 – 60 – 64 – 68 – 72 – 76 y 80. Para ello emplearemos el siguiente diagrama:

68 40 + 28 10 + 7 = 17 Vemos un último ejemplo, la cuarta parte de 72 72 40 + 32 10 + 8 = 18

Puede parecer a simple vista que el alumno es sometido a un aprendizaje excesivamente dirigido, que no deja margen a iniciativas personales de cálculo mental. Sin embargo, no es así. En la medida que se recorren distintas fases de aprendizaje, el alumno va integrando distintas estrategias de cálculo mental de la cuarta parte. Estas estrategias, a su vez, se pueden combinar unas con otras, dando lugar a múltiples y variadas formas de cálculo. Vemos un ejemplo, aún a costa de adelantar otras estrategias de cálculo que posteriormente hemos de analizar. En su momento se propuso a los alumnos un ejercicio donde tenían que calcular la cuarta parte de 64. A la hora de la corrección intervinieron distintos alumnos con el fin de explicar su procedimiento personal del cálculo de la cuarta parte de 64 que es 16. Uno de ellos empleó el procedimiento que acabamos de analizar:

“Yo lo hice por descomposición. La cuarta parte de 40 es 10. La cuarta parte de 24 es 6. Por lo tanto, la cuarta parte de 64 será 10 más 6, en total, 16.” Otro alumno, empleó el procedimiento del cálculo de la mitad de la mitad, que posteriormente veremos: “Yo lo hice calculando la mitad de la mitad. La mitad de 64 es 32. La mitad de 32 es 16. Por lo tanto, la cuarta parte de 64 es 16.”

Un último alumno, combinó ambas estrategia de cálculo. “Yo calcule primero la cuarta parte de 60 que sé que es 15 porque la mitad

de 60 es 30 y la mitad de 30 es 15. Y luego calculé la cuarta parte de 4 que es 1. 15 más 1 da 16.”

Hay que tener en cuenta que más allá del cálculo de la cuarta parte de

determinados número, lo que se pretende en realidad es desarrollar estrategias de cálculo mental. Podríamos decir en cierto modo, que el cálculo de la cuarta parte de estos números no es más que una “excusa”, ejemplos particulares con los que ejercitar las distintas estrategias de cálculo mental.

4º. Hallar la 4ª parte de los números: 40 – 80 – 120 – 160 – 200 – 240 – 280 – 320 – 360 y 400. Como los alumnos ya saben calcular la cuarta parte de 4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24 – 28 – 32 – 36 y 40 es el momento de aplicar la lógica formal y deducir la cuarta parte de los números propuestos mediante el siguiente razonamiento aplicado, y como ejemplo al número 240. “Como la 4ª parte de 24 es 6, entonces la 4ª parte de 240 será 60”. Hemos comprobado que se muestra innecesario realizar esta fase en su momento práctico dado que la cuarta parte de los números 4, 8, 12, etc., ya se realizó, en su momento, de este modo. Aún considerando la necesidad y la importancia de la fase práctica, somos partidario de no prolongarla más allá de lo necesario, toda vez que el pensamiento independiente opera con mayor rapidez que cuando tiene que dirigir a las manos.

En definitiva, los alumnos realizarán de forma escrita los ejercicios de su cuaderno de actividades, aplicando el razonamiento lógico que acabamos de ver: Completa las siguientes frases:

- “Como la 4ª parte de 4 es 1, entonces la 4ª parte de 40 será ____”. - “Como la 4ª parte de 8 es 2, entonces la 4ª parte de 80 será ____”. - “Como la 4ª parte de 12 es 3, entonces la 4ª parte de ___ será ____”. - “Como la 4ª parte de 16 es 4, entonces la 4ª parte de ___ será ____”. - Etc.

Finalmente, memorizarán la cuarta parte de estos números. Para ello

realizarán ejercicios escritos de su cuaderno de actividades, como los siguientes:

Escribe directamente la cuarta parte de los siguientes números: La 4ª parte de 120 es _____ La 4ª parte de 360 es _____ La 4ª parte de 80 es _____ La 4ª parte de 280 es _____

La 4ª parte de 200 es _____ La 4ª parte de 320 es _____


5º. Cálculo de la 4ª parte de cualquier múltiplo de 4 menor que 400 combinando las estrategias de la descomposición y de la lógica formal. En primer y de forma práctica, el alumno aprendió la cuarta parte de 4, 8, 12, 16, 20, etc.. En segundo lugar, el alumno de forma práctica y teórica aprendió a calcular la cuarta parte de los números 44, 48, 52, 56, etc., aplicando la estrategia de la descomposición del número en dos partes, en 40 y su diferencia. Finalmente y aplicando el razonamiento lógico, dedujo la cuarta parte de los números 80, 120, 160, 200, etc. Ahora aprenderá a combinar las estrategias de la descomposición y de la lógica formal. Lo vemos con un ejemplo: Calcular la cuarta parte de 96. El alumno ya sabe que la cuarta parte de 80 es 20 y que la cuarta parte de 16 es 4. Por lo tanto, para calcular la cuarta parte de 96, procederá del siguiente modo: 96 80 + 16 20 + 4 = 24 Vemos otro ejemplo, la cuarta parte de 344. El alumno ya sabe que la cuarta parte de 320 es 80 y que la cuarta parte de 24 es 6. Por lo tanto, para calcular la cuarta parte de 344, procederá del siguiente modo: 344 320 + 24 80 + 6 = 86 La dificultad de esta fase estriba en descubrir el alumno cómo tiene que descomponer el número para calcular fácilmente la cuarta parte. Con este fin, en la fase anterior propusimos que memorizará la cuarta parte de 80, 120, 160, etc.

Por otra parte y para facilitar al alumno el descubrimiento de cómo tiene que descomponer el número, le propondremos inicialmente ejercicios de estimación como los siguientes: Completa la siguiente frase: “Como el número 96 es mayor que 80 y menor que 120, entonces la 4ª parte de 96 tiene que ser mayor que _____ y menor que _____” Los ejercicios de la cuarta parte estos números se realizarán únicamente de forma teórica y se presentarán de forma progresiva, es decir, se comenzará con múltiplos de 4 comprendidos entre 80 y 120. Se continuará con múltiplos de 4 comprendidos entre 120 y 160, entre 160 y 200, y así sucesivamente hasta llegar finalmente hasta los múltiplos comprendidos entre 360 y 400. Se realizarán en primer lugar utilizando el diagrama de la descomposición. Vemos dos ejemplos ya resueltos: Calcula la cuarta parte de 208

208 200 + 8 50 + 2 = 52

Calcula la cuarta parte de 372

372 360 + 12 90 + 3 = 93

Se finalizará esta fase calculando la 4ª parte de estos números de forma directa. Es decir, el alumno tendrá que realizar mentalmente todo el procedimiento de la estrategia del calculo mental de la 4ª parte por descomposición.

Vemos algunos ejemplos: Calcula la 4ª parte de los siguientes números:

La 4ª parte de 140 = ____ La 4ª parte de 92 = ____ La 4ª parte de 132 = ____ La 4ª parte de 152 = ____

Calcula la 4ª parte de los siguientes números:


Calcula la 4ª parte de los siguientes números:


Todos los ejercicios teóricos propuestos en esta fase de aprendizaje, y en el resto de las fases, se encuentran en el cuaderno de actividades del alumno que se adjunta en el presente trabajo como anexo.

En uno de los últimos cursos académicos un alumno descubrió que todos

los múltiplos de 4 terminan en las mismas dos últimas cifras que los múltiplos de 4 menores que 100. Es decir, todos ellos terminan en las cifras 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, ... 80, 84, 88, 92 y 96. El alumno descubrió sin saberlo la regla de divisibilidad del 4: Todo número será divisible entre 4 cuando termine en dos ceros o sus dos últimas cifras sea divisible entre 4.

Este descubrimiento le permitió calcular la cuarta parte de cualquier

múltiplo de 4 mediante la misma descomposición: separando las dos últimas cifras del número. Este procedimiento lo llevó a la práctica el alumno en el momento que vimos que la cuarta parte de 100 era igual a 25, que la de 200 era igual a 50, que la de 300 era igual a 75, etc. Sin embargo, y pese a que muchas de nuestras propuestas han surgido de las distintas formas de razonamiento y de cálculo que hemos observado en nuestros alumnos, esta estrategia de se muestra más difícil de aplicar que la que acabamos de analizar y, por ello, no la proponemos para trabajarla de forma sistemática con los alumnos. Ello no significa que en un momento determinado, cualquier otro alumno la descubra y la aplique o se la mostremos nosotros a los alumnos como una posibilidad más.

Ilustramos nuestras palabras con tres ejemplos de sendos números terminados en las mismas dos últimas cifras: La 4ª parte de 364: 364 300 + 64 75 + 16 = 91

La 4ª parte de 564 564 500 + 64 125 + 16 = 141

La 4ª parte de 1.264 1.264 1.200 + 64 300 + 16 = 316

6º. Cálculo de la 4ª parte de un múltiplo de 4 mediante la estrategia de la mitad de la mitad.

En esta fase se introduce una nueva estrategia para el cálculo de la cuarta parte de un número. Esta consiste en calcular dos veces seguidas la mitad, o lo que es lo mismo, calcular la mitad de la mitad. Nuestra experiencia nos informa que es la estrategia más utilizada por los alumnos y la que más fácil y sencilla les resulta, toda vez que cuando inician el cálculo de la cuarta parte, presentan un gran dominio del cálculo de la mitad. Incluso, es la forma más usual que tenemos de calcular la cuarta parte, por ejemplo, de un trozo de cuerda. Primero la doblamos a la mitad y, posteriormente, volvemos a doblar a la mitad, la mitad anteriormente obtenida. De este modo, la cuerda queda dividida en cuatro partes iguales.

Siendo fieles a nuestros principios metodológicos, comenzaremos el

aprendizaje de esta nueva estrategia de cálculo realizando actividades de tipo práctico donde el alumno tenga que aplicar este nuevo proceder. Como actividades previas podemos proponer a los alumnos que divida en cuatro partes iguales, es decir, que calcule la cuarta parte de un folio, un trozo de cuerda, la pizarra de la clase o cualquier otro objeto, longitud o superficie que sea susceptible de ello. En este tipo de actividades es importante hacer reflexionar a los alumnos sobre el procedimiento que han empleado, esto es, hacerle tomar conciencia de su hacer.

A continuación, aplicaremos el nuevo proceder a cantidades de objetos.

Para ello podemos emplear cualquier tipo de objetos, sin embargo en nuestro caso preferimos utilizar los recursos didácticos elaborados para tal fin. Este hecho nos facilita la aplicación efectiva de la metodología y llevarla a la práctica de forma sistemática sin necesidad de estar creando de forma continua nuevos recursos.

Comenzaremos empleando el franelograma y las piezas plastificadas de

las unidades sueltas. Solicitaremos a un alumno que realice la siguiente actividad. (En el caso de emplear varios franelogramas, como es nuestro caso, cada grupo de alumno realizara ejercicios similares pero diferentes entre sí.)

- Coloca en el franelograma 24 unidades.

- Ahora divide estas 24 unidades en dos partes iguales, es decir, sepáralas en dos mitades

- ¿Cuántas unidades tienen cada una de las dos mitades de 24? 12.

- Ahora, cada una de las dos mitades, las vas a volver a dividir en dos partes iguales, es decir, halla la mitad de cada una de estas dos mitades.

- ¿Cuántas unidades tienen cada una de las cuatro partes? 6.

- Al principio tenias 24 unidades juntas, ahora las has dividido en 4 grupos iguales de 6 unidades. Teniendo en cuenta lo que te acabo de decir, ¿podrías decirme qué parte has calculado de 24? La cuarta parte.


- Podrías decir a tus compañeros cómo has calculado, en este caso, la

cuarta parte de 24. Primero los dividí en 12 y 12. Después, cada uno de estos doce, los dividí en 6 y 6?

- Por último, ¿podrías decirme qué calculamos cuando hallamos dos

veces seguidas la mitad de 24? La cuarta parte de 24.

Posteriormente repetimos el ejercicio pero referido a números mayores, para lo cual emplearemos las regletas. Lo fundamental, insistimos, es que el alumno realice de forma práctica la acción de hallar la mitad de la mitad. Vemos un ejemplo con el número 68. - Forma con las regletas el número 68.

- Divide ahora el número divide ahora el número 68 es dos partes iguales, es decir, divídelo a la mitad.

- (Ahora, hay que observar que cuando el alumno vaya a hallar la mitad de

8, tendrá que sustituir la regleta 8 por dos regletas de 4)

- ¿Qué número has formado en cada una de las dos cuatro partes en que has dividido el número 68? 34

. - Ahora, cada una de las dos mitades, las vas a volver a dividir en dos

partes iguales, es decir, halla la mitad de cada una de estas dos mitades.

(Ahora, hay que observar que cuando el alumno vaya a hallar la mitad de

30, tendrá que dividir una de las regletas de 10, de color azul, por dos regletas de 5, de color amarillo. De esta manera, el alumno volverá a recordar de forma práctica porqué la mitad de 30 es 15. De igual modo tendrá que operar para hallar la mitad de 4: sustituir las regletas 4 por dos regletas de 2)

- ¿Qué número has formado en cada una de las cuatro partes en que has dividido el número 68? 17.

- ¿Podrías decirnos qué parte has calculado de 68? La cuarta parte.


- Podrías decir a tus compañeros cómo has calculado, en este caso, la

cuarta parte de 68. Primero dividí las 6 regletas de 10 en dos mitades y me dio 30 y 30. Después dividí la regleta de 8 en dos regletas de 4. Las junté y me dio el número 34. Después, volví a dividir el número 34 en dos mitades. Calculé la mitad de 30 y la mitad de 4, las junté y me dio 17.

- Por último, ¿podrías decirme qué calculamos cuando hallamos dos

veces seguidas la mitad de 68? La cuarta parte de 68.

Podemos aumentar la dificultad del ejercicio, proponiendo a los alumnos que calculen la mitad de 72. Vemos como proceden los alumnos:

Primero forman y calculan la mitad de 72. Al tener que dividir 70 en dos

partes iguales, se ven obligados a sustituir una de las regletas de 10 por dos regletas de 5.

A continuación, calculan la mitad de 36. De nuevo se ven obligados a sustituir en cada grupo de 36, una regleta de 10 por dos de 5. Y, al mismo tiempo, sustituir las 6 unidades, formados por una regleta de 5 más una de 1. por dos regletas de 3. Finalmente las agruparan y formarán el número 18.

Este proceso que a simple vista se nos aparece como complicado, en la

práctica se nos muestra como sencillo, creativo y enriquecedor. Hay que tener en cuenta que el pensamiento del alumno realiza el siguiente algoritmo cuando,

al realizar la acción práctica de componer y descomponer cantidades, dirige y ordena a las manos: 72 70 + 2 30 + 30 + 5 + 5 + 1 + 1 30 + 5 + 1 + 30 + 5 + 1 20 + 5 + 5 + 3 + 3 + 20 + 5 + 5 + 3 + 3 10 + 5 + 3 + 10 + 5 + 3 + 10 + 5 + 3 + 10 + 5 + 3 18 + 18 + 18 + 18 Después de utilizar las regletas numéricas, seguiremos insistiendo sobre la estrategia del cálculo de la cuarta parte mediante el procedimiento de calcular la mitad de la mitad de manera práctica. Ahora lo aplicaremos a medidas de longitud. Para ello, emplearemos trozos de cuerda o trozos de cintas cuyas longitudes sean de 60cm, de 100 cm, 140 cm y 180 cm respectivamente.

Proporcionaremos inicialmente la cinta cuya longitud sea de 60 cm y unas tijeras. El alumno procederá a calcular la cuarta parte de 60.

- Coge el metro y mide la longitud de esta cinta.

- ¿Cuántos centímetros mide la longitud de la cinta? 60 cm.

- Ahora, coge las tijeras y córtala en dos partes iguales, doblándola a la

mitad.

- ¿Sabrías decirnos, sin medir cada uno de los dos trozos, cuántos centímetros mide cada uno de ellos? 30 cm.

- Coge ahora la cinta métrica y comprueba que efectivamente cada trozo

miden 30 cm.

(Es importante que el alumno en primer lugar calcule y después compruebe de forma práctica la exactitud de su cálculo. En nuestro caso, y siempre que la situación didáctica nos lo permite, hacemos que los alumnos realicen estas dos acciones y en este orden: calcular y comprobar.)

- Coge ahora las tijeras y corta los dos trozos de nuevo a la mitad.

- ¿Sabrías decirnos, sin medir cada uno de los 4 trozos, cuántos

centímetros mide cada uno de ellos? 15 cm.

- Coge ahora la cinta métrica y comprueba que efectivamente cada trozo miden 15 cm.

- Si has cortado una cinta de 60 cm en cuatro trozos o partes iguales,

¿qué has calculado? La cuarta parte. ¿La cuarta parte de qué número? De 60.


Posteriormente, solicitaremos a otros alumnos que realicen la misma actividad pero con las cintas de 100 cm, 140 cm y 180 cm. Proponemos estas longitudes en concreto porque de esta manera los alumnos habrán calculado de forma práctica la cuarta parte de ciertos números que, a su vez y posteriormente, emplearán para calcular la cuarta parte de otros muchos números. Ahora el alumno ya domina la cuarta parte de los siguientes múltiplos de 4: 20 – 40 – 60 – 80 – 100 – 120 – 140 – 160 – 180 y 200. En definitiva, en este momento del proceso, los alumnos pueden manejar tres procedimientos o estrategias de cálculo mental de la cuarta parte y un amplio conjunto numérico de múltiplos de 4. Con ambos elementos, estrategia de cálculo y conjunto numérico, le posibilitará en la práctica calcular la cuarta parte de cualquier múltiplo de 4. Con el fin de afianzar los aprendizajes adquiridos hasta ahora, realizaremos ejercicios escritos empleando exclusivamente la estrategia de la mitad de la mitad. Para ello emplearemos el siguiente diagrama: La cuarta parte de 600. 600 300 150

Vemos otros ejemplos: La cuarta parte de 220. 220 110 55

La cuarta parte de 300. 300 150 75

La cuarta parte de 460. 460 230 115

La cuarta parte de 1.400. 1.400 700 350

La cuarta parte de 1.000. 1.000 500 250

Hay que tener en cuanta que como el alumno presenta un adecuado dominio del cálculo de la mitad de cualquier número, empleando esta estrategia, podrá calcular, sin dificultad alguna, la cuarta parte de cualquier múltiplos de 4.

7º. Cálculo de la 4ª parte de un múltiplo de 4 mediante diversas estrategias de cálculo mental. Esta fase se realizará de forma exclusivamente teórica, mediante ejercicios escritos que figurarán en el cuaderno de actividades del alumno. La corrección de estos ejercicios se realizarán con todo el grupo y los alumnos deberán justificar su respuesta exponiendo la estrategia de cálculo empleada. Ahora los alumnos dispondrán de toda su libertad para emplear la estrategia que cada uno de ellos considere las más apropiada al caso. Por ello, y también durante la corrección, preguntaremos al grupo si algún otro alumno ha empleado otra estrategia diferente a la empleada por el alumno que aporte la solución. Nuestra experiencia nos informa que los alumnos nos combinan las distintas estrategias y, a menudo, nos sorprenden con sus razonamientos y maneras de calcular. Dado que son múltiples las combinaciones que los alumnos pueden realizar, ahora expondremos, a través de ejemplos que se han producido dentro del aula, las más usuales y las más llamativas por su originalidad. La mitad de 148.

- Un alumno razonó de la siguiente manera:

“La mitad de 148 es 37 porque la 4ª parte de 140 es 35, por la mitad de la mitad, y la 4ª parte de 8 es 2. Y 35 más 2 da 37.” - Otro alumno razonó de esta otra forma:

“Yo lo hice por descomposición. 148 es igual a 100 más 48. Como la 4ª

parte de 100 es 25 y la cuarta parte de 48 es 12, entonces la 4ª parte de 148 será 25 más 12, en total 37.” - Otro alumno aportó la siguiente explicación:

“La 4ª parte de 120 es 30 porque la cuarta parte de 12 es 3. Después, como la 4ª parte de los 28 que sobran es 7, sumo los resultado, 30 más 7 y me da 37.” - Finalmente, un alumno aportó la siguiente y original argumentación:

“Yo sé que la 4ª parte de 160 es 40 porque la 4ª parte de 16 es 4. Como 160 se pasa 12 de 148 y como la 4ª parte de 12 es 3, entonces a 40 le quito 3 y me da 37.” Dado que hubo varios alumnos que no entendieron esta última forma de razonar, el alumno, a propuesta nuestra, salió a la pizarra y realizó el siguiente diagrama:

148 160 - 12 40 - 3 = 37

La cuarta parte de 300.

- Un primer alumno lo resolvió de la forma que ya hemos visto:

“ Da 75. Lo he resuelto calculando la mitad de la mitad. La mitad de 300 es 150 y la mitad de 150 es 75”.

A este primer alumno se le preguntó, ¿cómo sabe él que la mitad de 150

es 75?. El alumno respondió razonando de la siguiente manera: “Porque 150 es igual a 100 más 50. la mitad de 100 es 50 y la de 50 es

25. 50 más 25 da 75.”

- Un segundo alumno llegó concluir que la cuarta parte de 300 era igual 75, de esta otra forma:

“La 4ª parte de 100 es 25. Como 300 son tres veces 100, entonces la

cuarta parte de 300 será tres veces 25, que son 75”

- Otro alumno lo realizó por descomposición:

“300 es igual a 200 más 100. La 4ª parte de 200 es 50 porque la cuarta parte de 20 es 4. La cuarta parte de 100 es 25 por la mitad de la mitad. La cuarta parte de 300 será 50 más 25, en total 75.”

- Incluso, hubo un alumno que calculó la cuarta parte de 75 partiendo de la

cuarta parte de 3 que como veremos es igual a 0’75.

“Como la cuarta parte de 3 es 0’75, entonces la cuarta parte de 30 será 7’5 y la 300 tiene que ser 75”. Como podemos observar, los alumnos despliegan un sinfín de formas de

cálculo. Muchos de ellos no buscan la forma más fácil sino la más compleja por lo original. Únicamente en esta fase el profesor debe secuenciar los ejercicios de menor a mayor dificultad. Los criterios para secuenciar deben ser fundamentalmente dos: En primer lugar, partir de los números cuyas cuartas partes ya sepa el alumno y, en segundo lugar, partir de los números que terminen en ceros hasta llegar a números que superen la unidad de millar y que terminen en una cifra distinta de cero. Los ejercicios propuestos en el cuaderno de actividades están secuenciados con arreglo a estos criterios.

Para terminar la exposición de esta fase vemos unos últimos ejemplos

más del cálculo de la cuarta parte de múltiplos de 4 empleando diversas estrategias de cálculo:

La cuarta parte de 560. Hemos observado que las estrategias utilizadas en

este caso por los alumnos han sido: - Utilizando la estrategia de la mitad de la mitad. La mitad de 560 es 280.

(la mitad de 500 es 250 y la mitad de 60 es 30). La mitad de 280 es 140 porque la mitad de 28 es 14. De este modo, los alumnos concluyen que la cuarta parte de 560 es 140.

- Empleando la siguiente descomposición:

560 400 + 160 100 + 40 = 140

- Empleando esta otra descomposición: 560 500 + 60 125 + 15 = 140 - Empleando, finalmente, la siguiente descomposición: 560 600 - 40 150 - 10 = 140 La descomposición en forma de resta se muestra muy útil en aquellos casos en los cuales el número se acerca mucho a un número cuya parte cuarta parte es muy conocida. Por ejemplo, la cuarta parte de 996. Bastaría descomponer el número en la resta: 1. 000 – 4. De este modo; 996 1.000 - 4 250 - 1 = 249

En los números que superan el millar, a veces los alumnos se ven obligados a descomponer el número en tres partes: La cuarta parte de 6.340. 6.340 6.000 + 300 + 40 1.500 + 75 + 10 = 1.585 En este caso, hemos observado que los alumnos deducen fácilmente que la cuarta parte de 6.000 es 1.500 porque con anterioridad hemos visto que la cuarta parte de 60 es 15 y que la cuarta parte de 600 es 150.

8º. Cálculo de la 4ª parte de cualquier número entero natural menor que 20 empleando las regletas del metro. Con esta fase los alumnos comienzan el aprendizaje de la cuarta parte de números que no son múltiplos de 4, es decir, números que no tienen una cuarta parte exacta y, por ello, se ven obligados a expresar el resultado mediante números decimales. Por último, hay que tener en cuenta que cuando el alumno afronta esta nueva fase, ya ha recorrido el aprendizaje del concepto de número decimal, ha medido longitudes empleando la cinta métrica y expresando su resultado en metros mediante los números decimales. De igual modo, como se indicó con anterioridad, el alumno domina ya el concepto y el cálculo de la mitad de un número. Como decíamos en la introducción del presente trabajo, la cuarta parte puede manifestarse de diversas maneras. Dos de ellas son: bajo la forma de dividir entre cuatro y bajo la forma de fracción cuyo denominador sea cuatro. Durante algunos cursos académicos hemos afrontado la enseñanza de la cuarta parte de cualquier número bajo la forma de división entre cuatro. Sin embargo, comprobamos que muchos alumnos presentaban un elevado grado de dificultad para realizar dicho cálculo. Veamos, mediante dos ejemplos, cual era nuestra propuesta de estrategia de aprendizaje y qué procedimiento empleaban los alumnos. La cuarta parte de 3. Se le proporcionaba a los alumnos un objeto o un gráfico cuya longitud fuera de 3 metros (un trozo de cuerda, una cinta, una línea dibujada en la pizarra, etc.) y le solicitábamos que dividieran dicha longitud en cuatro partes empleando el procedimiento de hallar la mitad de la mitad. Los alumnos hallaban en primer lugar la mitad de 3 metros y concluían que medía 1’5 m. Posteriormente y de nuevo, hallaban la mitad de 1’5 m y llegaban al resultado final de 0’75 m. Con esta acción comprobaban de forma práctica que la cuarta parte de 3 es 0’75. La mayoría de los alumnos para realizar los cálculos numéricos transformaban los metros en centímetros. En realidad lo que calculaban era la cuarta parte de 300. Razonaban de la siguiente forma:

“3 metros son 300 cm. La mitad de 3 metros, es decir, la mitad de 300 cm son 150 cm que son 1 metro y medio. La mitad de 150 cm son 75 cm que expresados en forma de metros son 0’75 m. Por lo tanto, la cuarta parte de 3 es 0’75.”

La cuarta parte de 11. Ahora, en este caso, la actividad práctica presentaba la dificultad de obtener un objeto cuya longitud fuera de 11 metros y que fuera susceptible de ser dividido en partes. Por ello, realizábamos la actividad únicamente en su fase numérica, razonando el alumnos de la siguiente manera: “ 11 es igual a 8 más 3. La cuarta parte de 8 es 2. La cuarta parte de 3 es 0’75. Por lo tanto, la cuarta parte de 11 es 2’75”. Los alumnos, realizando el ejercicio mediante un diagrama, escribían: 11 8 + 3 2 + 0’75 = 2’75 Sin embargo, en estos últimos años hemos comprobado que los alumnos cuando abordan el concepto de fracción no presentan ninguna dificultad para calcular la cuarta parte de un número. Realizan las actividades de forma práctica, produciéndose un aprendizaje intuitivo e inmediato. A raíz de esta comprobación, tomamos la decisión de abordar esta fase que nos ocupa de la estrategia de aprendizaje de la cuarta parte de un número, partiendo del concepto de fracción, sin que ello suponga que dejemos de realizar ejercicios de hallar la cuarta parte mediante el antiguo procedimiento.

Para tal fin, en esta fase emplearemos las regletas de la cuarta parte del metro. Este recurso didáctico consiste en tiras plastificadas de 25 cm de longitud y que disponen en su parte posterior un pequeño trozo de velcro que posibilita que dichas tiras se adhieran al franelograma con suma facilidad. Por todo lo anterior, las primeras actividades de esta fase coinciden con las actividades que realizan los alumnos referidas a la cuarta parte como concepto de fracción. Vemos la secuencia de dichas actividades:

Colocamos sobre el franelograma una cinta métrica de un metro de longitud y preguntamos al grupo: “En la pizarra tenemos una cinta métrica de un metro de longitud. Queremos dividirla en cuatro partes iguales. ¿Cuántas regletas tendremos que emplear?” Uno de los alumnos, saldrá y realizará el ejercicio disponiendo las regletas de 0’25 m de la siguiente manera:

A continuación formularemos las siguientes preguntas al grupo: - ¿Cuántas regletas hemos utilizado para dividir el metro en cuatro partes iguales? Cuatro.

- ¿Cuánto mide la longitud de cada una de estas cuatro regletas? 25 cm.

ó 250 mm. - ¿Cuánto mide la longitud, expresada en metros, de cada una de estas

cuatro regletas? 0’25 m ó 0’250 m. Luego se le proporciona al grupo la siguiente información: Como hemos dividido el metro en cuatro partes iguales, a estas regletas las llamaremos cuartas partes.

Cada una de estas cuartas partes mide 0’25 m ó 0’250 m Como estas regletas miden una cuarta parte, los matemáticos también las llaman fracción 1/4. El 1 significa que tenemos una regleta y el 4, que es la cuarta parte del metro porque hemos dividido el metro en 4 partes iguales. A continuación el profesor colocará en la pizarra las siguientes regletas:

Y formulará las siguientes preguntas: - ¿Qué número decimal hemos formado? 3’25

- Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’25 m y que tenemos 13

regletas, ¿qué multiplicación hemos formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’25 x 13 = 3’25.

- Teniendo en cuenta que tenemos 13 regletas de cuartas partes, ¿qué

fracción hemos formado? 13/4. El profesor hará notar a los alumnos que el numerador 13 significa que hay 13 regletas y que el denominador 4 significa que el tamaño de las regletas son cuartas partes del metro.

Por último, el profesor preguntará al grupo: ¿Cuánto metros hemos formado con la fracción 13/4? 3’25 m.

Realizamos otro ejercicio similar introduciendo una nueva información: El profesor colocará en la pizarra las siguientes regletas:




- Teniendo en cuenta que tenemos 7 regletas de cuartas partes, ¿qué

fracción hemos formado? 7/4. De nuevo, el profesor hará notar a los alumnos que el numerador 7 significa que hay 7 regletas y que el denominador 4 significa que el tamaño de las regletas son cuartas partes del metro.

A continuación, el profesor preguntará al grupo: ¿Cuánto metros hemos formado con la fracción 7/4? 1’75 m. Y proporcionará la siguiente información: “Una fracción podemos leerla de arriba abajo, y diremos que la fracción 7

cuartos tiene un valor de 1’75. Pero también podemos leerla de abajo arriba y entonces tenemos que decir que la cuarta parte de 7 es igual a 1’75” Realizamos otro ejercicio similar: El profesor colocará en el franelograma las siguientes regletas:




- Teniendo en cuenta que tenemos 11 regletas de cuartas partes, ¿qué fracción hemos formado? 11/4.

Por último, el profesor preguntará al grupo: - ¿Cuánto metros hemos formado con la fracción 11/4? 2’25 m.

- ¿Entonces, cuál es el valor de la fracción 11/4? 2’25.

- O dicho de otra manera, ¿Cuánto vale la cuarta parte de 11? 2’25

Ahora será el alumno quien construya y no solamente interprete lo que el profesor realiza. Se le solicita a un alumno del grupo que forme en el franelograma la fracción 3/4.

A continuación le formularemos las siguientes preguntas: - ¿Cuántas regletas de la cuarta parte has tenido que utilizar? 3.

- Teniendo en cuenta que cada regleta mide 0’25 m y que has utilizado 3

regletas, ¿qué multiplicación has formado y cuál es el resultado de la multiplicación? 0’25 x 3 = 0’75.

- ¿Cuál es el valor de la fracción 3/4? 0’75

- ¿Cuánto vale la cuarta parte de 3? 0’75

Una actividad apropiada para que los alumnos comprueben que llegamos al mismo resultado empleando el procedimiento de calcular la mitad de la mitad es la siguiente:

Colocamos sobre el franelograma tres metros enteros y le proporcionamos

distintas regletas de la mitad y de la cuarta parte del metro:

“Divide estos tres metros enteros en dos partes iguales. Para ello, puedes utilizar tanto las regletas de la mitad como las regletas de la cuarta parte”. Solicitamos a un alumno que divida estos tres metros enteros en dos partes iguales. Lógicamente, el alumno no tendrá más remedio que transformar uno de los metros enteros en dos mitades y calcular posteriormente la mitad:

De nuevo solicitamos al alumno que vuelva a dividir cada una de estas dos partes a la mitad pudiendo, de nuevo utilizar regletas de la mitad como de la cuarta parte Ahora el alumno puede proceder de dos formas:

Una, transformar el metro entero en dos mitades y la regleta de la mitad, en dos regletas de la cuarta parte y calcular posteriormente la mitad.

O también, transformando tanto los metros enteros como las regletas de la mitad del metro en cuartas partes.

Tanto en un caso como en el otro, los alumnos podrán comprobar que la cuarta parte de 3 metros es igual a 0’75 m.

También hemos trabajado en el aula con los alumnos otro procedimiento práctico más sencillo para comprobar que la cuarta parte de 3 equivale numéricamente a la fracción 3/4 y, en general, que la cuarta parte de un número equivale al valor numérico de la fracción que tiene como numerador ese número y como denominador al número 4. Lo vemos a continuación: Solicitamos a un alumno que salga y coloque en el franelograma 3 metros enteros:

A continuación le pedimos que transforme o exprese los 3 metros enteros en cuartas partes:

Por último, que coja o halle la cuarta parte de cada uno de los 3 metros y los coloque uno a continuación de otro: De esta manera, hemos hallado la cuarta parte de un metro, la cuarta parte de otro metro y la cuarta parte de un tercer metro, en definitiva hemos hallado la cuarta parte de tres metros. Observamos que el resultado final es igual a las tres cuartas partes de un metro, esto es y expresado en forma de número decimal, 0’75 m.

Se recomienda que los alumnos calculen de forma práctica la cuarta parte de todos los números enteros naturales hasta 20. En nuestro caso, y dado que disponemos de varios franelogramas que son utilizados por sendos grupos de alumnos, cada uno de estos grupos calculará la cuarta parte de distintos números. Vemos dos ejemplos: - Forma en el franelograma la fracción 14/4

- ¿Qué número decimal has formado? 3’5


- ¿Cuánto da la cuarta parte de 14? 3’5 - Forma en el franelograma la fracción 19/4

- ¿Qué número decimal has formado? 4’75


- ¿Cuánto da la cuarta parte de 19? 4’75

Hemos comprobado que los alumnos, después de realizar estos ejercicios, calculan mentalmente el resultado anticipándose a la acción práctica. Para ello y de forma mayoritaria, razonan de la siguiente forma:

(Consideremos el ejemplo de la cuarta parte de 19)

“Con 16 regletas de la cuarta parte formo 4 metros enteros. Como me sobran tres regletas, tengo que añadir 0’75, que es lo que valen las tres regletas que me sobran” En realidad y de forma intuitiva los alumnos calculan la cuarta parte de 19 mediante el procedimiento de la descomposición. De este modo: 19 16 + 3 4 + 0’75 = 4’75 En definitiva, los alumnos para calcular la cuarta parte de cualquier número entero natural, únicamente necesitan adquirir, como nuevo aprendizaje, la cuarta parte de 1, la cuarta parte de 2 y la cuarta parte de 3, que son, respectivamente, 0’25, 0’5 y 0’75. Es decir y como ejemplo:

- La cuarta parte de 16 es 4. - La cuarta parte de 17 es 4’25. - La cuarta parte de 18 es 4’5. - La cuarta parte de 19 es 4’75. - La cuarta parte de 20 es 5. - La cuarta parte de 21 es 5’25. - Etc.

Una vez que se han realizado los ejercicios de forma práctica, se realizan en su fase numérica.

Calcula la cuarta parte completando los siguientes diagramas:

9 17 + + + = + =

Escribe directamente la cuarta parte de los siguientes números:

La cuarta parte de 8 es _____ La cuarta parte de 13 es _____ La cuarta parte de 7 es _____ La cuarta parte de 16 es _____

La cuarta parte de 3 es _____ La cuarta parte de 15 es _____

La cuarta parte de 20 es _____ La cuarta parte de 18 es _____

9º. Cálculo de la 4ª parte de cualquier número entero natural. El alumno en las siete primeras fases aprendió a calcular la cuarta parte de un número entero natural que fuera múltiplo de 4, esto es, que tuviera una cuarta parte exacta. En la fase octava, mediante el empleo de las regletas de la cuarta parte del metro, aprendió que la cuarta parte de 1, de 2 y de 3 es, respectivamente, 0’25, 0’5 y 0’75. Este hecho le permitió calcular la cuarta parte de cualquier número entero natural hasta el 20. Sin embargo, la fase anterior, la fase octava, tiene como limitación el número 20 debido al recurso didáctico que hemos empleado, (las regletas del metro) y al hecho de realizar las actividades de forma práctica, sensible o manipulativa. En otras palabras, resulta impensable pretender que el alumno calcule la cuarta parte del número 167, por poner un ejemplo, de forma práctica utilizando las regletas del metro. Sin embargo, al finalizar la fase anterior el alumno estaba capacitado para calcular la cuarta parte de cualquier número entero natural hasta el 20 sin necesidad de emplear las regletas, es decir, era capaz de sustituir la acción de las manos por la acción del pensamiento. Ahora, en esta nueva fase, únicamente tendrá que aplicar este mismo procedimiento de cálculo mental a números superiores al 20. Para ello, el alumno descompondrá el número en dos partes: de un lado, en un número que tenga una cuarta parte exacta y, de otro lado, en un número que no tenga una cuarta parte exacta. Ilustramos nuestras palabras con dos ejemplos. Primer ejemplo: La cuarta parte de 61. Hemos comprobado que la mayoría de los alumnos proceden de la siguiente manera:

- Descomponen el número 61 en la suma 60 + 1. - Calculan la cuarta parte de 60 mediante el procedimiento de la mitad

de la mitad y obtienen como resultado 15.

- Calculan la cuarta parte de 1, que saben que es 0’25. - Suman los dos resultados parciales y calculan el resultado final: 15 + 0’25 = 15’25.

Segundo ejemplo: La cuarta parte de 167. - Descomponen el número 167 en la suma 160 + 7

- Calculan la cuarta parte de 160 diciendo que es igual a 40 porque la

cuarta parte de 16 es 4.

- Calculan la cuarta parte de 7 que saben, por el uso de las regletas del metro en la fase anterior, que es 1’75.

- Suman los dos resultados parciales y calculan el resultado final: 40 + 1’75 = 41’75. En definitiva, esta última fase representa un mero incremento cuantitativo

que no cualitativo con respecto a la fase anterior. Para su realización, bastará en ir incrementando de forma paulatina las cantidades objeto de cálculo.

Igualmente, esta fase se realizará de forma exclusivamente teórica, mediante ejercicios escritos que figurarán en el cuaderno de actividades del alumno. La corrección de estos ejercicios se realizarán con todo el grupo y los alumnos deberán justificar su respuesta exponiendo la estrategia de cálculo empleada. De nuevo, los alumnos dispondrán de toda su libertad para emplear la estrategia que cada uno de ellos considere las más apropiada al caso. Por ello, y también durante la corrección, preguntaremos al grupo si algún otro alumno ha empleado otra estrategia diferente a la empleada por el alumno que aporte la solución ya que a menudo, estos nos sorprenden con sus razonamientos y sus maneras creativas de calcular.

Los ejercicios que en concreto proponemos para esta fase pueden consultarse en el cuaderno de actividades del alumno.

C. E. I. P. VEINTE DE ENERO

ÁREA DE MATEMÁTICAS

TERCER CICLO

UNIDAD DIDÁCTICA:

CALCULANDO LA CUARTA PARTE.

CUADERNO DE ACTIVIDADES

Alumno/a: _______________________________________

Calculando la cuarta parte. Actividad 1.

Calcula la cuarta parte de los siguientes números: La 4ª parte de 4 es ____ La 4ª parte de 8 es ____ La 4ª parte de 12 es ____ La 4ª parte de 16 es ____ La 4ª parte de 20 es ____ La 4ª parte de 24 es ____ La 4ª parte de 28 es ____ La 4ª parte de 32 es ____ La 4ª parte de 36 es ____ La 4ª parte de 40 es ____ Calcula el resultado de las siguientes divisiones: 4 : 4 = ____ 8 : 4 = ____ 12 : 4 = ____ 16 : 4 = ____ 20 : 4 = ____ 24 : 4 = ____ 28 : 4 = ____ 32 : 4 = ____ 36 : 4 = ____ 40 : 4 = ____ Calcula la cuarta parte de los siguientes números: La 4ª parte de 12 es ____ La 4ª parte de 36 es ____ La 4ª parte de 24 es ____ La 4ª parte de 8 es ____ La 4ª parte de 12 es ____ La 4ª parte de 28 es ____ La 4ª parte de 4 es ____ La 4ª parte de 20 es ____ La 4ª parte de 32 es ____ La 4ª parte de 16 es ____ Calcula el resultado de las siguientes divisiones: 36 : 4 = ____ 12 : 4 = ____ 8 : 4 = ____ 24 : 4 = ____ 20 : 4 = ____ 4 : 4 = ____ 32 : 4 = ____ 28 : 4 = ____ 40 : 4 = ____ 16 : 4 = ____

Calculando la cuarta parte. Actividad 2. Calcula la cuarta parte paso a paso. Observa el ejemplo: La 4ª parte de 48. La 4ª parte de 52. - 48 es igual a 40 + 8 - 52 es igual a 40 + ___

- La 4ª parte de 40 es 10 - La 4ª parte de 40 es ___

- La 4ª parte de 8 es 2. - La 4ª parte de 12 es ___

Por lo tanto: Por lo tanto:

La 4ª parte de 48 es: 10 + 2 = 12 La 4ª parte de 52 es: ___ + ___ = ___

La 4ª parte de 52. La 4ª parte de 60. - 52 es igual a 40 + ___ - 60 es igual a 40 + ___

- La 4ª parte de 40 es ___ - La 4ª parte de 40 es ___



La 4ª parte de 52 es: ___ + ___ = ___ La 4ª parte de 60 es: ___ + ___ = ___











Calculando la cuarta parte. Actividad 3. Un ejercicio como el anterior pero utilizando el diagrama. Calcula la cuarta parte. Observa el ejemplo: 48 60 40 + 8 + 10 + 2 = 12 + = 52 64 + + + = + = 72 56 + + + = + = 68 76 + + + = + =

Calculando la cuarta parte. Actividad 4. Completa las siguientes frases y calcula la cuarta parte de los números: - Como la 4ª parte de 4 es 1, entonces la 4ª parte de 40 será ____.

- Como la 4ª parte de 8 es ____ , entonces la 4ª parte de 80 será ____.





- Como la 4ª parte de 28 es ____ , entonces la 4ª parte de ____ será ____.




Escribe directamente la cuarta parte de los siguientes números: La 4ª parte de 8 es ____ La 4ª parte de 4 es ____

La 4ª parte de 24 es ____ La 4ª parte de 28 es ____













Calculando la cuarta parte. Actividad 5. Calcula la cuarta parte de los siguientes números: - La 4ª parte de 40 es ____ - La 4ª parte de 80 es ____

- La 4ª parte de 120 es ____ - La 4ª parte de 160 es ____




Consulta los resultados del ejercicio que acabas de realizar y completa las siguientes frases. Observa el ejemplo:

- Como el número 96 es mayor que 80 y menor que 120, entonces la 4ª parte de 96 tiene que ser mayor que 20 y menor que 30 .

- Como el número 128 es mayor que 120 y menor que 140, entonces la

4ª parte de 128 tiene que ser mayor que _____ y menor que _____.

- Como el número 152 es mayor que 120 y menor que 160, entonces la 4ª parte de 152 tiene que ser mayor que _____ y menor que _____.












Calculando la cuarta parte. Actividad 6. Para que te sea más fácil averiguar cómo tienes que descomponer el número, consulta el ejercicio anterior. Calcula la cuarta parte. Observa el ejemplo: 96 128 80 + 16 + 20 + 4 = 24 + = 152 208 + + + = + = 176 300 + + + = + = 276 384 + + + = + =

Calculando la cuarta parte. Actividad 7. Calcula la cuarta parte. 104 232 + + + = + = 324 356 + + + = + = 144 272 + + + = + = 92 292 + + + = + =

Calculando la cuarta parte. Actividad 8. Calcula la cuarta parte. 108 140 + + + = + = 188 228 + + + = + = 256 284 + + + = + = 352 380 + + + = + =

Calculando la cuarta parte. Actividad 9. Halla la cuarta parte de los siguientes números, calculando la mitad de la mitad. Observa el ejemplo. La 4ª parte de 60 La 4ª parte de 100 60 30 15 100 La 4ª parte de 140 La 4ª parte de 160 140 160 La 4ª parte de 180 La 4ª parte de 260 La 4ª parte de 300 La 4ª parte de 600 La 4ª parte de 500 La 4ª parte de 700 La 4ª parte de 900 La 4ª parte de 1.000

Calculando la cuarta parte. Actividad 10. Halla la cuarta parte de los siguientes números, calculando la mitad de la mitad. La 4ª parte de 72 La 4ª parte de 112 La 4ª parte de 188 La 4ª parte de 164 La 4ª parte de 148 La 4ª parte de 212 La 4ª parte de 316 La 4ª parte de 628 La 4ª parte de 536 La 4ª parte de 732 La 4ª parte de 940 La 4ª parte de 1.400

Calculando la cuarta parte. Actividad 11. Halla la cuarta parte de los siguientes números, calculando la mitad de la mitad. La 4ª parte de 1.072 La 4ª parte de 1.120 La 4ª parte de 2.488 La 4ª parte de 3.600 La 4ª parte de 5.460 La 4ª parte de 3.212 La 4ª parte de 7.316 La 4ª parte de 6.128 La 4ª parte de 9.536 La 4ª parte de 10.732 La 4ª parte de 12.040 La 4ª parte de 18.460


Calcula la cuarta parte de los siguientes números por el procedimiento que creas conveniente.














La 4ª parte de 2.312 es _____ La 4ª parte de 2.780 es _____





La 4ª parte de 1.004 es _____ La 4ª parte de 996 es _____












La 4º parte de 1 es _____ La 4ª parte de 2 es _____


Calcula la cuarta parte completando los siguientes diagramas. Observa el ejemplo:

7 5 4 + 3 + 1 + 0’75 = 1’75 + =

6 9 + + + = + =

10 11 + + + = + =


Calcula la cuarta parte completando los siguientes diagramas. 13 14 + + + = + = 15 17 + + + = + = 18 19 + + + = + = 21 22 + + + = + =






La 4º parte de 3 es _____ La 4ª parte de 11 es _____ La 4º parte de 7 es _____ La 4ª parte de 12 es _____











Calculando la cuarta parte. Actividad 16. Completa las frases y calcula la cuarta parte. - Como la 4ª parte de 60 es 15, entonces la 4ª cuarta parte de 63 será _____ - Como la 4ª parte de 80 es 20, entonces la 4ª cuarta parte de 81 será _____ - Como la 4ª parte de 60 es 15, entonces la 4ª cuarta parte de 67 será _____ - Como la 4ª parte de 80 es 20, entonces la 4ª cuarta parte de 85 será _____ - Como la 4ª parte de 200 es 50, entonces la 4ª cuarta parte de 213 será _____ - Como la 4ª parte de 300 es 75, entonces la 4ª cuarta parte de 309 será _____ - Como la 4ª parte de 800 es 200, entonces la 4ª cuarta parte de 826 será _____



















Calcula directamente el resultado de estas divisiones:

12 : 4 = 3 28 : 4 = _____ 40 : 4 = _____ 60 : 4 = _____ 80 : 4 = _____ 100 : 4 = _____ 1 : 4 = _____ 2 : 4 = _____ 3 : 4 = _____ 4 : 4 = _____ 5 : 4 = _____ 6 : 4 = _____ 7 : 4 = _____ 8 : 4 = _____ 9 : 4 = _____ 10 : 4 = _____ 11 : 4 = _____ 13 : 4 = _____ 15 : 4 = _____ 16 : 4 = _____ 17 : 4 = _____ 18 : 4 = _____ 19 : 4 = _____ 20 : 4 = _____ 21 : 4 = _____ 23 : 4 = _____ 25 : 4 = _____ 27 : 4 = _____ 28 : 4 = _____ 30 : 4 = _____ 42 : 4 = _____ 44 : 4 = _____ 45 : 4 = _____ 50 : 4 = _____ 56 : 4 = _____ 60 : 4 = _____ 61 : 4 = _____ 62 : 4 = _____ 63 : 4 = _____ 101 : 4 = _____ 127 : 4 = _____ 161 : 4 = _____ 245 : 4 = _____ 262 : 4 = _____ 270 : 4 = _____ 316 : 4 = _____ 309 : 4 = _____ 476 : 4 = _____ 540 : 4 = _____ 628 : 4 = _____ 613 : 4 = _____ 868 : 4 = _____ 883 : 4 = _____ 1.200 : 4 = _____ 1.207 : 4 = _____ 2.060 : 4 = _____ 4.140 : 4 = _____ 7.000 : 4 = _____ 9.000 : 4 = _____ 10.500 : 4 = _____

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