Microsoft Word - Introducción a la mitad. Propuestas de actividades prácticas.

El concepto de mitad.

Propuestas de actividades prácticas

Educación Infantil y

Educación Primaria

Ramón Galán González.

INTRODUCCIÓN. Con frecuencia he observado en los diseños curriculares y en las programaciones docentes que se aborda el aprendizaje del concepto de número como un signo que expresa cantidad. De igual modo, se le otorga gran importancia a las distintas operaciones que el alumno efectúa con los números enteros naturales y su aplicación a la resolución de problemas. Sin embargo y de igual modo observo con preocupación, la escasa importancia que en el trabajo de aula se le concede a las relaciones numéricas que podemos establecer entre cantidades y las formas que adopta estas relaciones en términos de lenguaje matemático. Una de las relaciones más importante tanto en el ámbito académico como en la vida práctica es la relación numérica de la mitad. En el ámbito académico calculamos la mitad cuando dividimos entre 2, multiplicamos por 0’5, cuando calculamos el 50 %, o hallamos ½ u otra fracción equivalente. En la vida nos relacionamos de forma práctica con medio litro, media hora, la mitad de una longitud, la mitad de una superficie, la mitad de una cantidad de dinero, en general con la mitad de una cantidad de objetos o medida. De otra parte, las acciones que realiza el pensamiento cuando realiza cálculos aritméticos son tres: componer, descomponer y comparar/completar. Desde este punto de vista hay que tener en cuenta que calcular la mitad es una acción específica de descomponer, con la particularidad que las dos partes que se obtienen son cualitativamente iguales. En el presente trabajo, se ofertan un conjunto de actividades prácticas relativas al cálculo de la mitad que se pueden aplicar de forma efectiva en el aula y que posibilita una metodología activa y unas matemáticas útiles para la vida. Igualmente podremos observar que el concepto de la mitad puede trabajarse desde la Educación Infantil hasta los niveles superiores de la Educación Primaria. Por este motivo, el conjunto de actividades que se ofertan están referidas a los distintos niveles de las dos etapas educativas.

1ª. Cálculo de la mitad de los números 2, 4, 6, 8 y 10 referidos a objetos independientes. Las situaciones prácticas que podemos plantear a los alumnos consisten en proporcionarles 2, 4, 6, 8 ó 10 objetos y solicitarles que lo repartan entre dos alumnos o personas, de manera que cada uno de los dos le demos la misma cantidad. Evidentemente, debemos comenzar por las cantidades inferiores hasta alcanzar el número 10. Estas actividades podemos aplicarlas a Educación Infantil y al Primer Nivel de la Enseñanza Primaria. Como esencialmente la operación de dividir es un caso particular de la acción de descomponer, de manera que las partes obtenidas sean iguales desde el punto de vista de la cantidad, podemos presentar en estos niveles la mitad como una acción de descomponer el número en dos partes iguales. Veamos algunos ejemplos concretos. Comenzaremos empleando el franelograma ya que al estar presente los objetos sobre un plano y ante la vista de los alumnos, favorece la percepción de la acción y con ello el aprendizaje. Ejemplo de actividad. Presentaremos a los alumnos, colocados sobre el franelograma, 6 yogures y dos personajes y solicitaremos que los repartan entre los dos, de manera que cada uno de ellos reciba la misma cantidad. El desarrollo de la actividad puede ser similar al siguiente: - La madre de Cachito y Bartolo les ha comprado yogures. Pero como la última vez discutieron entre ellos porque decían que uno había comido más yogures que el otro, su madre quiere repartirlos entre Cachito y Bartolo a partes iguales, para que los dos tengan la misma cantidad de yogures y de esta manera no haya discusión entre ellos.

- ¡Vamos a contar cuántos yogures ha comprado la madre de Cachito y Bartolo! Uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis.

- Ahora, vamos a repartirlos entre los dos a partes iguales para que no

discutan entre ellos. Saldrán 6 alumnos y cogerán cada uno de ellos un yogurt y los irán colocando alternativamente debajo de cada personaje.

- Uno para Cachito; otro para Bartolo. Este para Cachito y este otro para

Bartolo. Otro más para Cachito y el último le toca a Bartolo. Al finalizar la operación, el franelograma presentará la siguiente apariencia:

El profesor/a preguntará finalmente al grupo:

- ¿Se acuerdan cuántos yogures compró la madre de Cachito y Bartolo?

- ¿Cuántos yogures le han tocado a Cachito?

- ¿Cuántos yogures le han tocado a Bartolo?

- ¿A cuál de los dos le han tocado más yogures? La actividad finalizará proporcionando el profesor/a la siguiente información. - La madre ha repartido 6 yogures a la mitad y han tocado cada uno de ellos a 3 yogures. La mitad de 6 es 3. De igual modo, podemos realizar actividades similares, simplemente cambiando los objetos, los personajes y la historia del problema. De este modo trabajaremos de modo práctico en los niveles iniciales de la escolarización la mitad de 2, 4, 6, 8 y 10.

Igualmente, podremos trabajar la mitad de los números 2, 4, 6, 8 y 10 referidos a objetos independientes, tanto con objetos reales como con objetos representados empleando las “tablas de contar". El uso de este recurso didáctico nos facilitará el posterior empleo de las regletas. En todos los ejemplos que vamos a exponer, procederemos de la misma forma:

- Colocaremos en el franelograma la tabla de contar correspondiente al número de objetos del cual queremos hallar la mitad.

- Rellenaremos la tabla con los objetos, al mismo tiempo que los contamos.

- Colocamos, unidas entre sí y debajo de la que anteriormente pusimos, las

dos tablas que constituyan la mitad de la anterior.

- Traspasamos los objetos de la tabla de arriba a las dos mitades de las tablas de abajo. También en este caso contando el total de objetos que tenemos.

- Separamos las dos tablas-mitades y contamos los objetos que portan.

- Concluimos diciendo cuál es la mitad de los objetos que hemos calculado.

Para motivar a los alumnos y darle la apariencia de problema matemático, presentaremos las actividades en forma de pequeña historia o situación práctica. Exponemos una actividad concreta referida a la mitad del número 6. Ejemplo de actividad. Para realizar esta actividad con objetos reales, podemos comprar caramelos y colocarles detrás un trozo de velcro y, de este modo, adherirlos al franelograma. Contaremos la siguiente historia a los alumnos:

- Alfonsina tiene en mochila caramelos. Alfonsina tiene una amiguita a la que quiere con locura y que se llama Isa. Isa no tiene caramelos. Como Alfonsina sabe que Isa es un poquito golosa, Alfonsina quiere darle la mitad de los caramelos a su amiga Isa pero no sabe cómo hacerlo. ¿Quieren ayudar a Alfonsina?

Saldrán seis alumnos y cogerán cada uno un caramelo que los irán colocándolos sucesivamente sobre la tabla de contar. El resto de los compañeros irán contando los caramelos conforme los alumnos los van colocando.

- Vamos a meter primero los caramelos en esta caja y así sabremos cuántos caramelos tiene Alfonsina. Vamos a contarlos. Uno, dos, tres, cuatro cinco y seis. Isa tiene seis caramelos.

A continuación mostraremos a los alumnos dos tablas de sumar del número 3 y les haremos ver que las dos son igual de largas. Finalmente las colocaremos en el franelograma mientras le decimos a los alumnos:

- Como Alfonsina quiere darle a Isa la mitad de los caramelos, las dos cajas donde vamos a colocarlos tienen que ser iguales para que no le toque a una más caramelos que a la otra.

Después, 3 alumnos, cogerá cada uno de ellos un caramelo y lo colocará en una de las tablas de abajo. Los otros tres alumnos harán lo mismo con el resto de los caramelos. Los demás compañeros irán contando los caramelos que colocamos en cada caja.

- Ahora van a coger cada uno de ustedes un caramelo y los colocan sobre las estas dos cajas iguales. Los demás vamos contando cuántos caramelos colocamos en cada una de las cajas. Uno, dos y tres. Uno, dos y tres.

Finalmente, despegamos la tabla del 6 y separamos las dos tablas del 3 y las colocamos debajo de cada personaje. Finalmente contaremos, para asegurarnos de que a las dos amigas les han tocado el mismo número de caramelos.

- Ahora, como las dos cajas tienen la misma cantidad de caramelos, le damos a Isa una caja y la otra se la damos a Alfonsina.

- ¿Cuántos caramelos les ha tocado a cada una de ellas? ¡Vamos a

contarlos!

Repetiremos el ejercicio con los números 4, 8 y 10 y otros alumnos y sin tanta ayuda por parte del profesor o profesora. En estos otros casos podemos emplear objetos representados (dibujos de objetos plastificados) y objetos simbólicos (cuadrados, círculos y triángulos plastificados)

2ª. Cálculo de la mitad de los números 2, 4, 6, 8, y 10, referidos a objetos o cantidades agrupadas. En este caso como los objetos en tanto unidades no tienen independencia, la cantidad se representa sobre un único objeto. Esto provoca que el alumno no pueda recurrir al reparto de unidades como estrategia para hallar la mitad de una cantidad, lo que supone un incremento de dificultad. Ejemplos de actividades: El recurso material más apropiado para trabajar estas actividades son las regletas. Podemos realizar con ellas diversas actividades prácticas. Colocamos en la parte de arriba del franelograma la regleta 6 y, en la parte baja, diversas regletas entre las cuales tienen que encontrarse dos regletas de 3. De es modo:

Solicitaremos a los alumnos que el problema que tienen que resolver es formar otra regleta de 6, uniendo o juntado dos regletas que sean iguales. Una vez realizado el ejercicio, el profesor proporcionará la siguiente información: - “Con dos regletas de 3 podemos formar la regleta 6 y si partimos la regleta 6 a la mitad, obtenemos dos regletas de 3.” Podemos realizar el mismo ejercicio colocando en la parte superior del franelograma las regletas 2, 4, 8 ó 10.

Incluso, podemos realizar estos mismos ejercicios de una sola vez. Para ello colocaremos las regletas 2, 4, 6, 8 y 10, y solicitaremos a varios alumnos que cojan y junten dos regletas iguales de modo que vayan formando las regletas que tenemos colocadas en la parte superior.

Este mismo ejercicio pero con un índice superior de dificultad sería planteando a los alumnos la siguiente situación:

- ¿Qué regleta he colocado en la parte de arriba? La regleta seis. - Vamos a contar a ver si es verdad: una, dos,…y seis. - Ahora la voy a quitar, la voy a despegar y tenemos que coger dos

regletas iguales que al juntarlas, al unirlas formen la regleta seis que he quitado.

- ¿Quién quiere salir a hacer el ejercicio? El profesor, para comprobar si la respuesta que ha ofrecido el alumno es adecuada, mostrará, de un lado que las dos regletas elegidas por el alumno son iguales y que la unión de ambas es una regleta tan “larga” como la que tiene en las manos. Otra variante de este mismo ejercicio pero contemplando la mitad de 2, 4, 6, 8 y 10 en una única actividad sería:

Saldrán sucesivamente 5 alumnos a los cuales se les pedirá que quite una de las regletas de arriba y las sustituya por dos regletas iguales de las que están colocadas en la parte de abajo. Por ejemplo:

- Cambia la regleta número 8 que está colocada en la parte de arriba por dos regletas de abajo que sean iguales y que al juntarlas formen de nuevo la regleta número 8.

Aprovecharemos estas actividades para proporcionar a los alumnos informaciones como las siguientes:

- Juntando dos regletas del 1, formamos la regleta 2. La mitad de la regleta 2 es la regleta 1.


- Juntando dos regletas del 3, formamos la regleta 6. La mitad de la

regleta 6 es la regleta 3.


- Juntando dos regletas del 5, formamos la regleta 10. La mitad de la

regleta 10 es la regleta 5. Si la actividad estuviera dirigida a alumnos que inician la Educación Primaria, podríamos cambiar la orden de las actividades y solicitar directamente: “Divide la regleta en dos mitades iguales” Esta última actividad que se propone tiene la utilidad de abordar, de forma intuitiva y práctica, los conceptos de número par e impar. Colocamos sobre el franelograma, por ejemplo, las regletas 6 y 9, y solicitamos a dos alumnos que, en ambos casos, las cambien por otras dos regletas que sean iguales es, decir, que las dividan a la mitad. De forma práctica los alumnos podrán comprobar que en el caso de la regleta 6 sí es posible dividirla a la mitad mediante dos regletas de 3. Sin embargo, en el segundo caso, comprobarán que no es posible. Si el alumno descompusiera la regletas 9 en otras dos, le haríamos ver que ambas regletas no son iguales y, por lo tanto, no es la mitad.

3ª. Cálculo de la mitad de los números pares 12, 14, 16, y 18, referidos a objetos independientes. Los alumnos pueden emplear dos estrategias para hallar la mitad en estos casos:

- De un lado y como los objetos son independientes, mediante el procedimiento de repartir, añadiendo alternativamente los objetos, uno a uno, a un lado y a otro.

- Empleando por primera vez el procedimiento de la descomposición del

número ya que el alumno ha conquistado la mitad de los números pares hasta el 10, lo que le posibilita descomponer el número en decenas y unidades y hallar la mitad de ambas órdenes de unidades.

El empleo de la primera estrategia no supone esencialmente un nuevo procedimiento, una nueva conquista, ya que es la misma que empleó para hallar la mitad de los números pares hasta el 10. Por este motivo, trataremos que los alumnos empleen la segunda estrategia o en caso de que no surgiera de ellos, se la mostraremos como una segunda posibilidad. Lo vemos con un ejemplo. Ejemplo de actividad: Colocamos sobre el franelograma 16 monedas de euros dispuestos sobre las tablas de contar. Y dos personajes, debajo de los cuales situamos una tabla de decena. De este modo:

A continuación, plantearemos a los alumnos, bajo la apariencia de una pequeña historia o enunciado de problema que repartan a la mitad y entre los dos personajes, el dinero que está situada en la parte central. Por ejemplo: - La madre de Elena y Javier tenía monedas de un euro guardadas en una caja. Como le habían ayudado a limpiar la casa, decidió repartirla entre ambos a partes iguales. ¿Cuántas monedas le tocan a cada uno de ellos? Posiblemente, los alumnos empezarán a colocar las monedas en las dos tablas de decenas de forma aleatoria hasta conseguir que ambas tablas tengan 8 monedas, o bien vayan colocando sucesivamente y alternativamente una moneda en cada tabla hasta llegar al mismo resultado final. En este caso, solicitaremos al grupo si hay algún alumno que pueda repartir las monedas de otra forma. Se ha dado el caso que los alumnos quitan dos monedas de la tabla de las decenas y las colocan en la tabla de las unidades y, de este modo, cada tabla pasa a tener 8 monedas. Es decir: 10 + 6 = 8 + 8.

Aún siendo ingenioso este procedimiento particular, no nos conduce al la forma general de hallar la mitad de un número. Para lograr tal fin, el profesor invitará a un alumno que, en primer lugar, reparta entre los dos personajes las 10 monedas colocadas en la tabla de las decenas y, posteriormente, que haga lo mismo con las 6 monedas colocadas en la tabla de las unidades. De este modo:

Si expresáramos mediante lenguaje matemático la acción que acabamos de realizar, tendríamos que escribir: 16 : 2 = (10 + 6) : 2 = 10 : 2 + 6 : 2 = 5 + 3 = 8 que nos conduce a la estrategia de hallar la mitad de un número mediante el procedimiento de la descomposición del número. Con el resto de los números procederíamos de la misma forma, cambiando la naturaleza de los objetos y presentándolos bajo diferentes enunciados de problemas.

4ª. Cálculo de la mitad de los números pares 12, 14, 16 y 18, referidos a cantidades agrupadas. Si bien cuando los números estaban referidos a objetos independientes, los alumnos podían resolver la situación práctica de hallar la mitad mediante la acción de repartir sucesivamente y alternativamente unida a unidad entre ambas partes, ahora, al estar las cantidades agrupadas, no tienen otra alternativa que descomponer el número con el fin de hallar la mitad. De ahí que en la fase anterior, hiciéramos hincapié en hallar la mitad mediante la descomposición del número hallando la mitad de la decena y la mitad de las unidades. Por otra parte, hallar la mitad de la decena implica un movimiento del pensamiento que empleamos continuamente en nuestra vida práctica para hallar la mitad en diversas situaciones. Por ejemplo, para hallar la mitad de 3 metros, o de 3 litros, tenemos que hallar la mitad de 10 decímetros. Para hallar la mitad de 50 euros contenidos en 5 billetes de 10 euros o en 2 billetes de 20 y uno de 10 euros, tenemos que hallar la mitad de 10. Para analizar mejor las características de esta fase y establecer diferencias con la fase anterior, referiremos nuestro ejemplo, igualmente al número 16. Ejemplo de actividad: Formamos sobre el franelograma el número 16 mediante regletas. A continuación, solicitaremos directamente a los alumnos que hallen la mitad del número 16, para ello pondremos a su disposición el resto de las regletas, o bien presentaremos la actividad bajo un enunciado de problema.

- En el franelograma tienes el número 16. Tienes que dividir este número 16 en dos partes iguales, es decir, hallar su mitad. Aquí tienes el resto de las regletas por si tienes que quitar y cambiar unas regletas por otras. La acción que tiene que realizar el alumno con las manos, y conducido por su pensamiento, es descomponer mentalmente el número 16 en 10 más 6, es decir, percibir por separado la regleta de decenas y la regleta de las 6 unidades. Posteriormente, cambiar la regleta de 10 por dos de 5 y la regleta 6 por dos de 3. Y finalmente agrupar, en ambos casos, las regletas de 5 y 3 con el fin de formar el número 8.

En definitiva, el alumno efectúa esencialmente estas tres acciones sucesivas:

- Descomponer en decenas y unidades. - Descomponer a la mitad la decena y las unidades. - Componer las dos mitades obtenidas.

Hay que observar que si expresáramos la acción realizada mediante lenguaje matemático, tendríamos que escribir igualmente: 16 : 2 = (10 + 6) : 2 = 10 : 2 + 6 : 2 = 5 + 3 = 8 Con el resto de los números procederemos de igual forma.

5ª. Cálculo de la mitad de los números pares 20, 30,… 100. Las acciones de esta fase ya están contenidas en las acciones que realizó el alumno en las fases precedentes. Este hecho le confiere un nivel de dificultad bajo para su realización. De hecho, y como ejemplo, calcular la mitad de 60 empleando 6 regletas de decenas equivale a hallar la mitad de 6 objetos independientes, acción que el alumno ya ha realizado en Educación Infantil. Calcular la mitad de 70 empleando 7 regletas de decenas, equivale a hallar la mitad de 6 objetos independientes y hallar la mitad de una decena, acciones ambas realizadas en las fases anteriores. Lo vemos analizando algunas actividades prácticas. Ejemplos de actividades:

- En el franelograma tienes el número 60. Tienes que dividir este número 60 en dos partes iguales, es decir, hallar su mitad. El alumno procederá separando a ambas partes 3 regletas de decenas:

Para concluir preguntaremos: - ¿Cuál es entonces la mitad de 60? La mitad de 60 es 30.

Vemos ahora la mitad de un número formado únicamente por un número impar de decenas. Por ejemplo la mitad de 50. - En el franelograma tienes el número 50. Tienes que dividir este número 50 en dos partes iguales, es decir, hallar su mitad. Aquí tienes el resto de las regletas por si tienes que quitar y cambiar unas regletas por otras.

La experiencia nos informa que los alumnos proceden de la siguiente forma:

Para concluir preguntaremos: - ¿Cuál es entonces la mitad de 50? La mitad de 50 es 25.

Hay que observar que si expresáramos mediante lenguaje matemática la acción que realiza el alumno para hallar la mitad de 50, tendríamos que escribir:

50 : 2 = (40 + 10) = 40 : 2 + 10 : 2 = 20 + 5 = 25

Con el resto de los números procederemos de igual modo. El cálculo de la mitad de 100 no presenta una dificultad adicional. Basta con cambiar la regleta de centenas en 10 regletas de decenas y posteriormente separarlas en 5 y 5 decenas a ambos lados.

6ª. Cálculo de la mitad de números hasta el 100 cuyas decenas y unidades sean cifras pares. Esencialmente no supone ninguna nueva estrategia sino la consolidación de las anteriores. Hasta ahora el alumno ha aprendido a calcular la mitad de un número par y exacto de decenas y la mitad de un número par menor que 10. Este hecho determina que el índice dificultad sea mínimo. Únicamente tendremos cuidado de que el alumno no opere con cifras sino con cantidades, es decir, que no calcule la mitad de cifras sino la mitad de cantidades. Por ejemplo, si el alumno tuviera que calcular la mitad de 64, que no proceda diciendo: “la mitad de 6 es 3 y la mitad de 4 es 2, sino la mitad de 60 es 30 y la mitad de 4 es 2. Por lo tanto, la mitad de 64 es 32”. Veamos un único ejemplo, el ya mencionado de la mitad de 64. Ejemplos de actividades:

- En el franelograma tienes el número 64. Tienes que dividir este número 64 en dos partes iguales, es decir, hallar su mitad. Aquí tienes el resto de las regletas por si tienes que quitar y cambiar unas regletas por otras. El alumno procederá, en primer lugar, separando a ambas partes 3 regletas de decenas y, posteriormente, cambiando la regleta de 4 por dos regletas de 2, e igualmente colocando cada una de ellas a ambas partes

Para concluir preguntaremos: - ¿Cuál es entonces la mitad de 64? La mitad de 64 es 32. Expresando la acción realizada por el alumno en forma de lenguaje matemático sería: 64 : 2 = (60 + 4) : 2 = 60 : 2 + 4 : 2 = 30 + 2 = 32 En esta fase podemos comenzar el llamado “juego de la repetición”. El profesor expresa todo el proceso realizado y el alumno tiene que repetir sin cambiar una sola palabra. Para tal fin el profesor escribirá en la pizarra el siguiente esquema que irá señalando en la medida que va hablando. 6 4 60 + 4 30 + 2 = 32

- Yo digo y tu luego tienes que repetir exactamente lo que voy a decir:

- 64 lo descomponemos en 60 más 4.

- La mitad de 60 es 30.


- Por lo tanto, la mitad de 64 es 32. Con esta actividad oral se pretende que el alumno exprese en forma de lenguaje la operación que acaba de realizar, es decir, transformar la acción, el movimiento del pensamiento en lenguaje.

7ª. Cálculo de la mitad de cualquier número par hasta el 100. En esta fase, la cifra de las decenas puede ser un número impar. Este hecho añade un gradiente de dificultad. Sin embargo, y dado que es al mismo tiempo la combinación de fases anteriores, un alumno de 4º nivel de Enseñaza Primaria está capacitado para resolver la actividad de forma práctica. Veamos un único ejemplo, la mitad de 58. Ejemplo de actividad:

- En el franelograma tienes el número 58. Tienes que dividir este número 58 en dos partes iguales, es decir, hallar su mitad. Aquí tienes el resto de las regletas por si tienes que quitar y cambiar unas regletas por otras. Los pasos que el alumno realizará son los siguientes:

Expresando, en este caso, la acción realizada por el alumno en forma de lenguaje matemático sería: 58 : 2 = (50 + 8) : 2 = 50 : 2 + 8 : 2 = 25 + 4 = 29 En esta fase podemos de nuevo realizar el llamado “juego de la repetición”. El profesor expresa todo el proceso realizado y el alumno tiene que repetir sin cambiar una sola palabra. Para tal fin el profesor escribirá en la pizarra el siguiente esquema que irá señalando en la medida que va hablando. 5 8 50 + 8 25 + 4 = 29


- 58 lo descomponemos en 50 más 8.



- Por lo tanto, la mitad de 58 es 29.

8ª. Cálculo de la mitad de números pares hasta el 1.000. Esta fase la podemos descomponer en diversos niveles de dificultad. Veamos un ejemplo de actividad práctica de cada uno de estos niveles: Ejemplos de actividades:

La mitad de 400.

La mitad de 280.

La mitad de 264.

- La mitad de 300.

La mitad de 360

La mitad de 364

La mitad de 350

La mitad de 354

9ª. Cálculo de la mitad de un metro, de un euro, de un litro.

Con esta fase se aborda por primera vez la mitad de los números impares, que es tanto como decir los números decimales en su expresión más sencilla. Desde un punto de vista práctico, como acción real que ejecuta el alumno, no realiza nada nuevo. Implica un movimiento de su pensamiento que ya ha realizado de forma repetida en fases anteriores. Lo único que cambia es el objeto sobre el que la acción ejecuta y el pensamiento dirige. A) La mitad de un metro. En primer lugar debemos abordar la mitad de un metro, ya que es un recurso donde la cantidad puede percibirse visualmente, y aunque las unidades no se muestren independientes, sin embargo, son susceptibles de ser contadas. Para ello, se muestra necesario emplear cintas métricas de un metro de longitud donde se distingan a simple vista los centímetros y los decímetros. Los centímetros por estar numerada la cinta métrica. Los decímetros por presentar alternativamente dos colores distintos. Para que el docente pueda seguir sin equívocos la exposición, representaremos la cinta métrica de un metro de esta forma:

Las actividades en si mismas son sencillas y simples. Podemos realizar tres actividades prácticas para trabajar la mitad de un metro.

Actividad nº 1.

Repartimos a cada alumno una cinta métrica. El profesor mostrará a los alumnos un trozo 30 cm. de su cinta métrica y preguntará al grupo:

- ¿Quién sabe decirme cuántos centímetros de longitud mide este trozo de

cinta métrica que les estoy mostrando?

- Su compañero ha respondido que 30 centímetros. ¿Están de acuerdo con su respuesta?

De forma sucesiva el profesor mostrará trozos de cinta métrica de las siguientes

longitudes: 60 cm., 15 cm., 10 cm., 17 cm., 50 cm. , y procederá de forma similar a la descrita con anterioridad. Posteriormente se procederá de forma inversa. El profesor determinará la longitud y los alumnos mostrarán el fragmento de cinta métrica correspondiente a dicha longitud.

- Cojan cada uno su cinta métrica y muestren un trozo de que mida 20 centímetros de longitud.

- Muestren ahora un trozo que mida 10 centímetros de longitud.



- Muestren ahora un trozo que mida 100 centímetros de longitud. - Muestren ahora un trozo que mida 50 centímetros de longitud.

Posteriormente, el profesor cogerá su cinta métrica y de cara a los alumnos mostrará un trozo de cinta de tres decímetros.

- ¿Quién sabe decirme cuántos decímetros de longitud mide este trozo de cinta métrica? 3 decímetros.

- ¿Están de acuerdo con su compañero? Efectivamente mide 3 decímetros.

A continuación realizará ejercicios similares pero con cantidades diferentes de

decímetros.

- Cojan cada uno su cinta métrica y muestren un trozo de que mida 2 decímetros de longitud.

- Muestren ahora un trozo que mida 8 decímetros de longitud.



Finalmente planteará a los alumnos que le muestren la mitad de un metro, planteando a continuación las cuestiones correspondientes.

- Muestren ahora la mitad de un metro, es decir, medio metro.

- ¿Cuántos centímetros tiene un metro? 100 cm.

- ¿Cuántos centímetros tiene medio metro? 50 cm. - ¿Cuántos decímetros tiene un metro? 10 dm.

- ¿Cuántos decímetros tiene medio metro? 5 dm.

Si los alumnos a los que va dirigida la actividad fueran los alumnos de 5º nivel podríamos plantear estas mismas cuestiones pero referidas a los milímetros. Si la actividad estuviera dirigida a alumnos de 3º y 4º nivel se muestra innecesario expresar la mitad del metro en milímetros.

Actividad nº 2. La segunda actividad que podemos realizar consistiría en colocar sobre el franelograma un metro y solicitar a un alumno que repartiera o dividiera el metro en dos partes iguales. Para ello, pondríamos a disposición del alumno las regletas del metro y entre ellas varias mitades de metros.

- En el franelograma he colocado un metro. Tienes que repartir el metro a la mitad. Una mitad para ti; la otra para mí. Tu mitad la colocas arriba; la mía, la colocas abajo. Aquí tienes la caja con las regletas del metro por si te vieras en la necesidad de realizar algún cambio. La experiencia nos informa que el alumno despega el metro del franelograma y lo cambia por dos trozos de medio metro y, posteriormente los coloca sobre el franelograma. De este modo:

Finalmente se pregunta al grupo las cuestiones relativas al número de decímetros y centímetros que contiene tanto un metro como un medio metro.

- ¿Cuántos decímetros tiene un metro? 10 dm. - ¿Cuántos decímetros tiene medio metro? 5 dm. - ¿Cuántos centímetros tiene un metro? 100 cm. - ¿Cuántos centímetros tiene medio metro? 50 cm.

Si observamos esta actividad en su esencia, en el movimiento que efectúa el pensamiento del alumno objetivado en la acción que realiza, veremos que es idéntica a la actividad que realizan los alumnos de Educación Infantil cuando descomponen la regleta de 10 en dos regletas de 5. Incluso, a nivel perceptivo, ambas actividades muestran una gran similitud.

Actividad nº 3.

La tercera actividad que se propone contiene un índice de dificultad superior a las dos anteriores. Proporcionaremos a dos alumnos una cinta cuya longitud sea ligeramente superior a un metro de longitud, unas tijeras y un metro. Solicitaremos a los dos alumnos que midan un metro exacto de la cinta proporcionada y que corten el trozo restante. Posteriormente, y sin ayuda del metro, les pediremos que partan la cinta a la mitad. En todas las ocasiones hemos observado que los alumnos doblan la cinta por la mitad, haciendo coincidir los extremos y cortan. Finaliza la actividad preguntando al grupo de alumnos sobre el número de decímetros, centímetros y milímetros correspondientes a la mitad de un metro. Esta actividad contiene la estrategia general de hallar la mitad de una figura, de una longitud, mediante el procedimiento de doblar haciendo coincidir las dos partes iguales.

B) La mitad de un euro. Hay que tener en cuenta que las monedas y los billetes que empleamos para representar las unidades monetarias son objetos cuya cantidad de valor económico de los que son portadores, se nos presenta cantidades agrupadas sin posibilidad de ser contadas, hace imposible calcular la mitad mediante el conocimiento inmediato. Es decir, se necesita el conocimiento previo de que un euro es igual a dos monedas de 50 céntimos, muchas veces este conocimiento se adquiere por la actividad práctica y cotidiana. Desde el ámbito escolar podemos proporcionar esta información. Incluso podemos acceder a ella por extrapolación del conocimiento. Si previamente hemos trabajado la mitad de 1 metro y hemos establecido la relación: 1 metro = 100 centímetro Medio metro = 50 centímetros. razonando de la misma forma, también podemos afirmar que: 1 euro = 100 céntimos Medio euro = 50 céntimos. A partir de esta información o conocimiento previo, podemos proponer a los alumnos que cambien una determinada cantidad de euros en monedas de 50 céntimos y, viceversa, que transformen una cantidad de dinero dada en monedas de 50 euros por monedas de 1 euro.

Actividad nº 1. Presentamos a los alumnos 3 monedas de un euro colocadas sobre el franelograma, así como un conjunto de monedas de 50 euros que pondremos a disposición del alumno sobre la mesa del profesor.

- En el franelograma tienes tres monedas de un euro. Aquí, sobre la mesa del profesor tienes varias monedas de 50 céntimos de euro. Tienes que cambiar las monedas de un euro del franelograma por monedas de 50 céntimos.

Actividad nº 2.

Procederemos también de forma inversa. Colocaremos, por ejemplo 8 monedas de 50 céntimos y los alumnos las cambiarán por monedas de un euro.

- En el franelograma tienes 8 monedas de 50 céntimos de euro. Aquí, sobre la mesa del profesor tienes varias monedas de 1 euro. Tienes que cambiar las monedas de 50 céntimos del franelograma por monedas de 1 euro..

Actividad nº 3. Las dos actividades anteriores podemos realizarlas de forma lúdica e interpretativa. Propondremos a los alumnos que simulen o interpreten una escena donde un alumno haga de banquero y otro de cliente. El cliente entrará en el Banco y le pedirá al empleado que le cambie una determinada cantidad de monedas de euro por monedas de 50 céntimos y, viceversa, una determinada cantidad de monedas de 50 céntimos por monedas de un euro. El texto, en ambos casos, podría ser similar al siguiente:

- Alumno 1: ¡Buenos días! - Alumnos 2: ¡Buenos días! ¿Qué deseaba?

- Alumno 1: ¿Podría usted cambiarme estos 3 euros por monedas de 50

céntimos?

- Alumno 2: No hay ningún inconveniente señor.

El primer alumno le entregará las monedas de un euro al otro alumno y éste le dará, a su vez, las correspondientes monedas de 50 céntimos. - Alumno 2: Aquí tiene señor. Pero antes de irse cuente las monedas que

le he entregado para ver si está usted de acuerdo con el cambio.

- Alumno 1: Sí, estoy de acuerdo con el cambio. ¡Gracias, señor! ¡Buenos días!

- Alumno 2: ¡Buenos días, señor y hasta la próxima!

C. La mitad de un litro. En el caso de las medidas de capacidad, si bien la cantidad de líquido se nos presenta agrupada y sin ser susceptible de ser contada a simple vista, podemos establecer experimentalmente que la mitad de un envase de un litro, 100 decilitros, es otro envase de medio litro, 50 centilitros. Para observar de forma práctica esta relación, llenaremos de agua un envase de un litro, por ejemplo, una caja de leche vacía y vaciaremos, ante los alumnos, su contenido en dos botellas de plástico de medio litro que se encuentran fácilmente en los supermercados. Posteriormente, mostraremos a los alumnos, el punto de la etiqueta donde los envases tienen escrita la capacidad que contienen. Una vez realizada de forma práctica la equivalencia entre el envase de litro y los dos envases de medio litro procederemos a la realización de las actividades.

Actividad nº 1. Presentamos a los alumnos 3 envases de un litro colocados sobre el franelograma, así como un conjunto de botellas de 0,50 L que pondremos a disposición del alumno sobre la mesa del profesor.

- En el franelograma tienes tres litros. Aquí, sobre la mesa del profesor tienes varias botellas de medio litro. Tienes que cambiar los litros del franelograma por botellas de medio litro.

Actividad nº 2.

Procederemos también de forma inversa. Colocaremos, por ejemplo 8 botellas de medio litro y los alumnos las cambiarán por envases de un litro.

- En el franelograma tienes 8 botellas de medio litro. Aquí, sobre la mesa del profesor tienes varios envases de 1litro. Tienes que cambiar las botellas de medio litro del franelograma por envases de 1 litro.

Dado que los envases y las botellas de plástico son objetos poco pesados, podemos colocarles en la parte de atrás un trozo de cinta de velcro y, de este modo, adherirlos al franelograma. Podemos realizar estas mismas actividades sin hacer uso del franelograma, aunque el empleo de este recurso permite visualizar la actividad de forma más cómoda y fácil por la totalidad de los alumnos.

10ª. Cálculo de la mitad de 3, 5, 7 y 9 metros o litros. Dado que las cintas métricas de un metro de longitud permite visualizar y contar el número de centímetros, comenzaremos por las actividades referidas a los metros. Podremos igualmente observar que la acción que realiza el pensamiento para calcular la mitad de 3, 5, 7 y 9 metros es idéntica a la que realiza para hallar la mitad de estas mismas cantidades referidas a euros y litros. A) La mitad de 3, 5, 7 y 9 metros.

Actividad nº 1. Comenzaremos empleando metros con existencia independiente, es decir, metros sueltos. Para ello, emplearemos el franelograma. Colocaremos 5 metros en el franelograma solicitaremos a dos alumnos que se repartan a la mitad los 5 metros. Para tal fin, pondremos a disposición de los alumnos un conjunto de medios metros.

- En el franelograma he colocado 5 metros. Tienen que repartirlos a partes iguales entre los dos, es decir, a la mitad. Los que te tocan a ti, los colocas en la parte de arriba. Los tuyos, los colocas en la parte de abajo del franelograma. Aquí tienen la caja con las regletas del metro por si se vieran en la necesidad de realizar algún cambio. La experiencia nos informa que el procedimiento más usual es que los alumnos colocan inicialmente 2 metros arriba y 2 metros abajo y el metro sobrante lo cambian por dos mitades. Finalmente colocan cada mitad en el lugar correspondiente.

Este mismo procedimiento lo emplean igualmente en los casos de 3, 7 y 9 metros.

Hay que observar que el pensamiento realiza las siguientes acciones: 1º. Descompone los 5 metros en 4 metros y 1 metro. 2º. Descompone a la mitad los 4 metros. 3º. Descompone a la mitad el metro sobrante. 4º. Agrupa las mitades obtenidas.

De forma esquemática:

5 m. 4 m + 1 m 2 m + 0,5 m = 2,5 m Expresado en forma de lenguaje matemático y de manera general: 5 : 2 = (4 + 1) : 2 = 4 : 2 + 1 : 2 = 2 + 0,5 = 2,5

Para la mitad de 3, 7 y 9 metros, procederemos de la misma forma.

Podemos completar la actividad planteando a los alumnos cuestiones como las siguientes:

- ¿Cuántos metros mide la mitad de 5 metros?

- ¿Cuántos centímetros mide la mitad de 5 metros?

- ¿Cuántos decímetros mide la mitad de 5 metros? O proponiendo actividades escritas como las siguientes: Completa:

- La mitad de 5 metros es igual a _____ metros enteros + ______ centímetros.

- La mitad de 5 metros es igual a _____ metros enteros + ______

decímetros.

- La mitad de 5 metros es igual a _______ decímetros.

- La mitad de 5 metros enteros es igual a _______ centímetros.

Actividad nº 2. Podemos realizar esta misma actividad pero ampliando su nivel de dificultad. Colocaremos sobre el suelo cintas carroceras de 1 m, 3 m y 5 m. Agruparemos a los alumnos de tres en tres. A cada grupo le proporcionaremos una cinta métrica de un metro de longitud. Los alumnos deberán medir las cintas marcando los metros enteros que mide la cinta y posteriormente marcar la mitad de cada una de las cintas. Dos de los tres alumnos se encargarán de extender el metro. El tercer alumno, marcará los metros enteros y la mitad de la longitud total de la cinta.

- Aquí tienen una cinta pegada en el piso.

- Primero, tienen que medir y decir cuántos metros mide.

- Después, tienen que señalar con un rotulador la mitad justa de la cinta.

- Dos de ustedes, estiran bien el metro y el tercero va marcando.

B) La mitad de 3, 5, 7 y 9 litros. Como en las medidas de capacidad, la cantidad de líquido se nos presenta agrupada y sin ser susceptible de ser contada a simple vista, entonces para realizar esta actividad se muestra necesario que los alumnos ya sepan calcular la mitad de un litro, es decir, establecer una equivalencia entre 1 envase de un litro y 2 envases de medio litro.

Actividad nº 1. Presentamos a los alumnos 3 envases de un litro colocados sobre el franelograma, así como un conjunto de botellas de 0,50 L que pondremos a disposición del alumno sobre la mesa del profesor.

Realizarán la actividad dos alumnos: - En el franelograma tienen 5 litros. Tienen que repartirlos entre ustedes dos a la mitad, es decir partes iguales. Aquí, sobre la mesa del profesor tienen varias botellas de medio litro por si tienen que realizar algún cambio. Lo que le toque a uno, lo colocan en la parte de arriba del franelograma; lo que le toque a otro, en la parte de abajo. Al igual que en el cálculo de la mitad referido a un número impar de metros, la experiencia nos informa que el procedimiento más usual es que los alumnos colocan inicialmente 2 litros arriba y 2 litros abajo y el litro sobrante lo cambian por dos medios litros. Finalmente colocan cada mitad en el lugar correspondiente. Este mismo procedimiento lo emplean igualmente en los casos de 3, 7 y 9 litros.

De nuevo observamos que el pensamiento realiza las mismas acciones que para hallar la mitad de 5 metros. Es decir, la acción del pensamiento es la misma pero referida a distintos objetos: 1º. Descompone los 5 litros en 4 litros y 1litro. 2º. Descompone a la mitad los 4 litros. 3º. Descompone a la mitad el litro sobrante. 4º. Agrupa las mitades obtenidas.

De forma esquemática:

5 L. 4 L + 1 L 2 L + 0,5 L = 2,5 L Expresado en forma de lenguaje matemático y de manera general: 5 : 2 = (4 + 1) : 2 = 4 : 2 + 1 : 2 = 2 + 0,5 = 2,5

Para la mitad de 3, 7 y 9 litros, procederemos de la misma forma.

11ª. La mitad de una cantidad de dinero. Antes de abordar la mitad de una cantidad de dinero, tenemos que hacer tres consideraciones: La primera. Las monedas y los billetes que empleamos para representar las unidades monetarias son objetos cuya cantidad de valor económico de los que son portadores, se nos presenta cantidades agrupadas sin posibilidad de ser contadas, hace imposible calcular la mitad mediante el conocimiento inmediato. Sin embargo, y dado que el dinero ocupa un lugar destacado en nuestra actividad práctica diaria, muchas veces este conocimiento se presenta adquirido por dicha actividad práctica y cotidiana independientemente del ámbito escolar. La segunda. Si bien nuestro sistema monetario se fundamenta en el sistema de numeración decimal, no se corresponde exactamente con el mismo. Se correspondería si únicamente existieran monedas de 1 céntimo, de 10 céntimos, de 1 euro, billetes de 10, 100 y 1.000 euros. La tercera. Depende de cómo se nos presente una misma cantidad de dinero de la cual queremos hallar la mitad para que la actividad tenga un índice de dificultad mayor o menor. Por ejemplo: No es lo mismo calcular la mitad de 60 euros presentados en 6 billetes de 10 euros, que calcular de mitad de 60 euros presentados bajo la forma de un billete de 50 y otro de 10. En base a las consideraciones anteriores, vamos a proponer un conjunto de actividades prácticas secuenciadas según orden de dificultad, referidas al cálculo de la mitad de una cantidad de dinero expresada en euros, teniendo en cuenta los siguientes criterios: a) La mitad exacta de una cantidad de dinero expresada en monedas de un euro. b) La mitad exacta de una cantidad de dinero expresada en un número par de billetes o monedas de la misma clase. c) La mitad exacta de una cantidad de dinero contenida en un solo billete. d) La mitad exacta de cualquier cantidad de dinero. e) La mitad de una cantidad de dinero en cuyo resultado se obtengan monedas de 50 céntimos. f) La mitad de una cantidad de dinero inferior a un euro. g) La mitad de cualquier cantidad de dinero.

En nuestra exposición, nos limitaremos simplemente a mostrar la secuencia de actividades ya que la realización será similar en todos los casos. Proponemos emplear el franelograma pues posibilita ver la acción de calcular la mitad por parte de todo el grupo de alumnos. Emplearemos igualmente la colección de billetes y monedas plastificadas preparadas para ser adheridas al franelograma. Procuraremos, cuando mostremos la cantidad de dinero a dividir en dos partes iguales, presentarlas con una cierta estructura perceptiva. En cada caso saldrán tres alumnos. Dos de ellos como las personas en que tienen que repartirse a la mitad el dinero. El tercer alumno actuará como “banquero”. Nunca se les dirá la cantidad que tienen que repartirse sino que serán ellos mismos quienes la determinarán contando el dinero que aparece ante ellos. Posteriormente, efectuarán la acción de hallar la mitad, cambiando los billetes en aquellos casos en que sea necesario. En cada operación de cambio, ambas partes deben manifestar su acuerdo. Al final, se les preguntará cuánto dinero le ha correspondido a cada uno de ellos, comprobando que es la misma cantidad. Finalmente, se enunciará la conclusión final sobre la mitad calculada. Por ejemplo, si fuera la mitad de 30 euros, concluiremos diciendo. “La mitad de 30 euros es 15 euros” Las actividades que se ofertan no excluyen, en absoluto, otras actividades de calcular la mitad de una cierta cantidad de dinero, así como otras posibilidades de resolución ya que con la oferta se pretende únicamente proporcionar al docente una secuencia guía de actividades.

a) La mitad exacta de una cantidad de dinero expresada en monedas de un euro. Actividad nº 1. La mitad de 14 euros en monedas de euros.

Actividad nº 2. La mitad de 30 euros en monedas de euros.

b) La mitad exacta de una cantidad de dinero expresada en un número par de billetes o monedas de la misma clase. Actividad nº 1. La mitad de 16 euros expresados en monedas de 2 euros.

Actividad nº 2. La mitad de 30 euros expresados en billetes de 5 euros.

c) La mitad exacta de una cantidad de dinero contenida en un solo billete. Actividad nº 1. La mitad de un billete de 10 euros.

Actividad nº 2. La mitad de un billete de 20 euros.



Actividad nº 5. La mitad de un billete de 50 euros empleando el menor número de billetes posibles.

Actividad nº 6. La mitad de un billete de 50 euros empleando billetes de 10 y 5 €.

Actividad nº 7. La mitad de un billete de 500 euros empleando el menor número de billetes posibles.

Actividad nº 8. La mitad de un billete de 500 euros empleando billetes de 100 y 50 €.

d) La mitad exacta de cualquier cantidad de dinero. Actividad nº 1.

Actividad nº 2.

Actividad nº 3.

Actividad nº 4.

Actividad nº 5.

Actividad nº 6.

Actividad nº 7.

Actividad nº 8.

Actividad nº 9.

Actividad nº 10. Actividad nº 11.

e) La mitad de una cantidad de dinero en cuyo resultado se obtengan monedas de 50 céntimos. Actividad nº 1.

Actividad nº 2.

Actividad nº 3.

f) La mitad de una cantidad de dinero inferior a un euro. Actividad nº 1.

Actividad nº 2.

Actividad nº 3.

Actividad nº 4.

Actividad nº 5.

Actividad nº 6.

g) La mitad de cualquier cantidad de dinero.


12ª. Cálculo de la mitad de una longitud. Para la realización de estas actividades prácticas se presupone que el alumno ya ha realizado las actividades prácticas descritas en las fases anteriores y referidas a la mitad de un metro, 2, 4, 6, 8 metros y 3, 5, 7, y 9 metros. De igual modo se presupone que el alumno se muestra capaz de medir una longitud y expresar su resultado en forma de número decimales hasta la centésima, es decir, hasta el centímetro. Las actividades que vamos a exponer podríamos aplicarlas a la longitud de cualquier objeto del entorno. Sin embargo, este hecho dificultaría crear situaciones de aprendizajes, dado que, en ese caso, no podríamos presentar ejercicios con longitudes que nos interesen de antemano. Por este motivo las actividades que se proponen se realizarán sobre cintas carroceras colocadas sobre el suelo. Dado que las actividades pueden presentar distintos índices de dificultad según sea la longitud de las cintas, secuenciaremos las actividades según grado de dificultad. En todos los casos procederemos de una forma similar:

- Colocaremos la cinta sobre el suelo. - Proporcionaremos a los alumnos una cinta métrica de un metro de longitud.

Es conveniente que la cinta métrica presente la propiedad de que puedan visualizarse a simple vista los decímetros. En el mercado existe cintas métricas que los distintos decímetros presentan, alternativamente, colores diferentes.

- Solicitaremos a los alumnos que midan la cita colocada sobre el suelo,

marcando con un lápiz los metros enteros y la parte decimal, si ésta existiera.

- Propondremos a los alumnos que marquen con un rotulador la mitad de la cinta.

- Mediremos las dos partes obtenidas para comprobar que presentan la misma

longitud.

- Preguntaremos a los alumnos cómo han razonado o pensado para calcular la mitad de la longitud propuesta.

- Finalmente, realizaremos distintas preguntas sobre las partes o longitudes

obtenidas. Por este motivo, en la descripción de las distintas actividades tipo, nos limitaremos a señalar la longitud de la cinta, los razonamientos que suelen mostrar los alumnos cuando calculan la mitad y las cuestiones propuestas.

A) La mitad de una longitud de un número exacto de metros enteros. Actividad nº 1. La mitad de 4 metros. Los alumnos marcan los cuatro metros y para hallar la mitad señalan dos. La actividad se reduce a saber que la mitad de 4 es 2. Las cuestiones que se proponen son las siguientes:

- ¿Cuántos metros mide la cinta?

- ¿Cuántos decímetros mide la cinta?

- ¿Cuántos centímetros mide la cinta?

- ¿Cuántos metros mide cada una de las mitades?

- ¿Cuántos decímetros mide cada una de las dos mitades?

- ¿Cuántos centímetros mide cada una de las dos mitades?

Actividad nº 2. La mitad de 3 metros. Los alumnos marcan los tres metros y para hallar la mitad señalan la mitad del metro central. Razonan de un modo similar a cuando calculan la mitad de 3 metros independientes, es decir, la mitad de tres cintas métricas de un metro de longitud, sustituyendo la tercera cinta métrica por dos mitades. Las cuestiones que se proponen son las siguientes:

- ¿Cuántos metros mide la cinta?



- ¿Cuántos mide la longitud cada una de las mitades expresada en metros?



B) La mitad de una longitud inferior a un metro y de un número exacto de decímetros. Actividad nº 1. La mitad de 8 decímetros. Como la longitud es inferior a un metro, los alumnos no marcarán los metros enteros. Sin embargo, y dado que las cintas métricas tienen diferenciados los distintos decímetros, podrán percibir los 8 decímetros que mide la cinta a simple vista, incluso podrán establecer la equivalencia con los 80 centímetros. Por tal motivo, bastará calcular la mitad de 8 decímetros, o la mitad de 80 centímetros para hallar el punto medio de la cinta. Las cuestiones que se proponen son las siguientes:



- La cinta mide, ¿más de un metro o menos de un metro?

- ¿Cuánto mide la longitud de la cinta expresada en metros?

- ¿Cuántos decímetros le falta a la cinta para medir un metro exacto?

- ¿Cuántos centímetros le falta a la cinta para medir un metro exacto?

- ¿Cuánto mide la longitud cada una de las mitades expresada en metros?



Actividad nº 2. La mitad de 7 decímetros. Como la cinta tiene un número impar de decímetros, los alumnos para hallar la mitad razonarán esencialmente como lo hicieron cuando tuvieron que calcular la mitad de 3 metros. Asignarán 3 decímetros a cada parte y el séptimo decímetro lo dividirán en dos mitades de 5 centímetros. Finalmente concluirán que la mitad de 7 decímetros son tres decímetros y medio, es decir, 35 centímetros.

Las cuestiones que se proponen son las siguientes:




- ¿Cuánto mide la longitud de la cinta expresada en metros?

- ¿Cuántos decímetros le falta a la cinta para medir un metro exacto?


- ¿Cuánto mide la longitud cada una de las dos mitades expresada en metros?


C) La mitad de una longitud inferior a un metro y de un número par de centímetros. Actividad nº 1. La mitad de 86 decímetros. La experiencia nos informa que los alumnos para calcular la mitad de esta longitud emplean el método de la descomposición del número 86. Al efectuar la medida comprueban que la longitud mide 8 decímetros y 6 decímetros. Por lo tanto, calculan la mitad de 8 decímetros y la mitad de 6 centímetros y, posteriormente, unen o componen ambas mitades, obteniendo con ello 43 centímetros. Finalmente, desde un extremo de la cinta miden 43 centímetros y después comprueban que la otra mitad también mide lo mismo. Las cuestiones que se proponen son las siguientes:

- ¿Cuántos centímetros mide la cinta? - ¿Cuánto mide la longitud de la cinta expresada en metros?


- La cinta mide, ¿más de 9 decímetros o menos de 9 decímetros?

- ¿Cuántos centímetros le falta a la cinta para medir 9 decímetros

exactos?




Actividad nº 2. La mitad de 78 decímetros. El hecho de que esta longitud tenga un número impar de decímetros le confiere un gradiente de dificultad añadido con respecto a la actividad anterior. Al igual que en el caso anterior, los alumnos descomponen la longitud en decímetros y centímetros par luego unir las dos mitades obtenidas. Sin embargo, y dado que la mitad de 7 decímetros no es una cantidad exacta de decímetros, se verán en la necesidad de transformar los 7 decímetros en 70 centímetros y concluir que la mitad de 7 decímetros son 35 centímetros que sumados a los 4 centímetros correspondientes a la mitad de

los 8 centímetros, hacen un total de 39 centímetros. Solamente en una ocasión, un alumno razonó diciendo que si la cinta hubiera medido 80 centímetros, entonces la mitad hubiera sido 40 centímetros, pero como la cinta mide 78 centímetros, entonces tiene que ser 39. En esta fase, y con el fin de reforzar la estrategia empleada, podemos de nuevo realizar el llamado “juego de la repetición”. El profesor expresa todo el proceso realizado y el alumno tiene que repetir sin cambiar una sola palabra. Para tal fin el profesor escribirá en la pizarra el siguiente esquema que irá señalando en la medida que va hablando. 78 cm. 70 cm. + 8 cm. 35 cm. + 4 cm. = 79 cm.


- 78 centímetros lo descomponemos en 70 centímetros más 8 centímetros.

- La mitad de 70 centímetros son 35 centímetros.

- La mitad de 8 centímetros son 4 centímetros.

- Por lo tanto, la mitad de 78 centímetros son 39 centímetros.

El movimiento que realiza el pensamiento del alumno expresado en forma de lenguaje matemático sería el siguiente: 78 : 2 = (70 + 8) : 2 = 70 : 2 + 8 : 2 = 35 + 4 = 39 Las cuestiones que se proponen son las siguientes:

- ¿Cuántos centímetros mide la cinta? - ¿Cuánto mide la longitud de la cinta expresada en metros?




- ¿Cuántos centímetros le falta a la cinta para medir 8 decímetros

exactos?




D) La mitad de cualquier longitud inferior a 5 metros y de un número par de centímetros. Este grupo de actividades suponen la aplicación conjunta de las fases anteriores correspondientes a las actividades ya descritas. Igualmente, en este tipo de actividades existen distintos gradientes de dificultad. Las actividades que se ofertan están gradadas según su índice de dificultad. En algunos casos, los alumnos razonan descomponiendo la longitud en su parte entera y su parte decimal. Calculan la mitad de ambas partes y posteriormente las unen. En otros casos, transforman los metros en centímetros, es decir, transforman el número decimal en un número entero natural, calculan la mitad y, finalmente, expresan esta mitad obtenida, en forma de metros. Actividad nº 1. La mitad de 2,4 m. ó 2,40 m. Hay que observar que la longitud proporcionada a los alumnos está representada por un número decimal cuya parte entera y parte decimal está formada por un número par. Este hecho le confiere a la actividad un índice de dificultad mínimo. Los alumnos descomponen la longitud en 2 metros y 40 centímetros. Hallan la mitad de 2 metros y hallan la mitad de 40 centímetros, obteniendo, respectivamente, 1 metro y 20 centímetros. Expresan la suma en forma de número decimal y afirman finalmente que la mitad de 2,4 m. ó 2,40 m. es 1,2 m ó 1,20m. También suelen aplicar la estrategia de expresar la longitud total en centímetros, en este caso 240 cm.; hallan la mitad de este número, 120 cm., y expresan finalmente el resultado en metros, 1,20m. Las cuestiones que se proponen son similares a las siguientes:

- ¿Cuánto mide la longitud de la cinta expresada en metros? - ¿Cuánto mide la longitud de la cinta expresada en decímetros?

- ¿Cuánto mide la longitud de la cinta expresada en centímetros?

- ¿Cuántos decímetros mide su parte entera?

- ¿Cuántos decímetros mide su parte decimal?

- ¿Cuántos centímetros mide su parte entera?

- ¿Cuántos centímetros mide su parte decimal?

- ¿Cuántos decímetros le faltan a la cinta para llegar a medir 3 metros?

- ¿Cuántos centímetros le faltan a la cinta para llegar a medir 3 metros? - ¿Cuánto mide la longitud cada una de las dos mitades expresada en

metros?

- ¿Cuánto mide la longitud cada una de las dos mitades expresada en decímetros?

- ¿Cuánto mide la longitud cada una de las dos mitades expresada en

centímetros? Actividad nº 2. La mitad de 4,3 m. ó 4,30 m. Ahora la parte entera de la longitud sigue siendo un número par, sin embargo la parte decimal está constituida por un número impar de decímetros. Este hecho le confiere un nuevo gradiente de dificultad al ejercicio. De nuevo los alumnos aplicarán las dos estrategias generales: la descomposición de la longitud en parte entera y parte decimal o la estrategia de expresar la medida en centímetros. Mediante la primera estrategia, los alumnos descomponen la longitud en 4 metros y 30 centímetros. Hallan la mitad de 4 metros y hallan la mitad de 30 centímetros, obteniendo, respectivamente, 2 metros y 15 centímetros. Expresan la suma en forma de número decimal y afirman finalmente que la mitad de 4,3 m. ó 4,30 m. es 2,15m. Mediante la segunda estrategia expresan los 4,3 m como equivalente a 430 cm.; hallan la mitad de este número, 215 cm., y expresan finalmente el resultado en metros, 2,15 m. El movimiento del pensamiento es más rico y más productivo si el alumno emplea la primera estrategia. Esta primera estrategia igualmente nos conduce a la descomposición de cualquier número decimal y a la expresión matemática de la propiedad distributiva de la división con respecto a la suma aplicada a los números decimales. En concreto:

4,30

4 + 0,30 2 + 0,15 = 2,15 4,30 : 2 = (4 + 0,30) : 2 = 4 : 2 + 0,30 : 2 = 2 + 0,15 = 2,15 La segunda estrategia, sin embargo, presenta la ventaja de ser más fácil de aplicar y nos conduce al procedimiento general de operar con números decimales transformando los metros a centímetros. Mediante este procedimiento, operaciones que en la actualidad y formando parte de la práctica diaria en las aulas, se les presentan a los alumnos de forma compleja y carente de significación, adquieren ahora significado y un nivel de dificultad mínimo. Lo vemos con el ejemplo de la actividad propuesta: Si al hallar la mitad de 4,3 m obtenemos dos partes de 2,15 m, quiere decir que si la longitud de 4,3 m la dividimos en partes de 2,15 obtenemos 2 partes o trozos iguales. Es decir, si dividimos 4,3 entre 2,15, nos dará 2. 4,3 2,15 0 2 Todos sabemos la dificultad que supone resolver este tipo de divisiones con decimales para los alumnos. Para resolver esta división, éstos quitan las cifras decimales mediante un procedimiento que no entienden y que carece de significación. Sin embargo, ahora, mediante la estrategia de expresar la longitud en centímetros, en vez de expresarla en metros, consiguen transformar la división de números decimales en otra equivalente formada por números enteros naturales. Es decir: Expresada en metros: 4,3 m 2 partes 2,15 m Expresada en centímetros: 430 cm 2 partes 215 cm = 2,15 m Expresada en metros: 4,3 m 2,15 m 2 partes Expresada en centímetros: 430 cm 215 cm 2 partes

Las cuestiones que se proponen son similares a las de la actividad anterior: - ¿Cuánto mide la longitud de la cinta expresada en metros? - ¿Cuánto mide la longitud de la cinta expresada en decímetros?








metros?

- ¿Cuánto mide la longitud cada una de las dos mitades expresada en centímetros?

- Si dividimos la longitud 430 cm. en trozos de 215 cm., ¿cuántos trozos

obtenemos?

- Si dividimos la longitud 4,3 m en trozos de 2,15 m., ¿cuántos trozos obtenemos?

Actividad nº 3. La mitad de 3,5 m. ó 3,50 m. Ahora tanto la parte entera de la longitud están constituidas por número impar de metros. E, igualmente, la parte decimal está formada por un número impar de decímetros. Este hecho le confiere un gradiente de dificultad añadido con respecto al ejercicio anterior. Mediante la primera estrategia, los alumnos descomponen la longitud en 3 metros y 50 centímetros. Hallan la mitad de 3 metros y hallan la mitad de 30 centímetros, obteniendo, respectivamente, 1,50 metros y 25 centímetros. Expresan la suma en forma de número decimal y afirman finalmente que la mitad de 3,5 m. ó 3,50 m. es 1,75 m.

Mediante la segunda estrategia expresan los 3,5 m ó 3,50 m. como equivalente a 350 cm.; hallan la mitad de este número, 175 cm., y expresan finalmente el resultado en metros, 1,75 m. Las cuestiones siguen siendo similares:

- ¿Cuánto mide la longitud de la cinta expresada en metros? - ¿Cuánto mide la longitud de la cinta expresada en decímetros?








metros?

- ¿Cuánto mide la longitud cada una de las dos mitades expresada en centímetros?

- Si dividimos la longitud 350 cm. en trozos de 175 cm., ¿cuántos trozos

obtenemos?

- Si dividimos la longitud 3,5 m en trozos de 1,75 m., ¿cuántos trozos obtenemos?

Microsoft Word - Introducción a la mitad. Propuestas de actividades prácticas.

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Transcript of Microsoft Word - Introducción a la mitad. Propuestas de actividades prácticas.