UNIDAD IV. Diferenciacin e Integracin

Numrica.

Competencia especifica a desarrollar.

Aplicar los mtodos numricos para la solucin de problemas de diferenciacin e integracin numrica, usando un lenguaje de programacin.

4.1 Diferenciacin numrica.

Las formulas de derivacin numrica son importantes en el desarrollo de algoritmos para resolver problemas de contorno de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales. En muchas aplicaciones de software, es necesario calcular el valor de la derivada de una funcin f(x) continua. Si f(x) es conocida y tiene una forma sencilla, entonces uno puede calcular de manera analtica la derivada e implementar directamente las formulas resultantes. Sin embargo, si f(x) es complicada, o solo se conocer en tiempo de ejecucin, entonces es necesario recurrir a tcnicas para estimar el valor de la derivada en los puntos o intervalos dados.

Dada una funcin f definida sobre un intervalo , estamos interesados en calcular su derivada en el punto . Para ello, partimos de la definicin de la derivada:

Entonces, podemos tomar un valor pequeo y hacer una primera estimacin del valor de la derivada como

Sin embargo, esta aproximacin no permite acotar el error cometido. No obstante, si recurrimos a la serie de Taylor, que es una serie infinita de potencias que representa, de manera exacta, el comportamiento de la funcin en la vecindad de un punto, obtenemos

Usando la serie de Taylor para se obtiene la primera derivada hacia adelante y despejamos como:

Y se obtiene la primera derivada hacia atrs como sigue:

Usando la serie de Taylor para y despejamos como:

De esta formula el error

, el cual tiende a al tender a . El trmino del error

es proporcional al tamao del paso . por ello, debera tomarse un tamao de paso pequeo. Existen formulas ms precisas que hagan el error proporcional a otras

potencias de . si tomamos tres trminos del desarrollo en serie de Taylor de alrededor de y adems usamos dos valores de , uno positivo y otro negativo, se obtiene:

Restando dichas ecuaciones, y despejamos la derivada se obtiene:

Si existe un punto tal que

, con lo que la derivada

queda:

Obteniendo se la formula de diferencia centrada. Observamos que el termino de error

es ahora del orden de , que si es pequea, es menor que .

Supongamos que est definida sobre el intervalo . Y que Usando la formula de Taylor de cuarto orden de . Entonces:

Ejemplo 1. Para , calcule las formulas de diferencia hacia adelante, hacia atrs, centrada y la formula de 5 puntos. Con para calcular aproximaciones a . Trabaja con 11 cifras decimales.

Error

0.1 2.225540928 2.459603111 2.71828183 3.004166024 3.32011692 2.858841955 0.140560126

0.01 2.664456242 2.691234472 2.71828183 2.745601015 2.77319476 2.731918656 0.013636827

0.001 2.712850698 2.715564905 2.71828183 2.72100147 2.72372383 2.719641423 0.001359594

0.0001 2.717738226 2.718010014 2.71828183 2.71855367 2.71882554 2.718417747 0.000135919

0.00001 2.718227463 2.718254646 2.71828183 2.718309011 2.71833619 2.71829542 0.000013591

Error

Error

Error

2.586787173 0.131494655 2.722814564 0.0045327355 2.718272757 0.00000907173

2.704735611 0.013546217 2.718327133 0.0000453049 2.718281828 0.00000000091

2.71692314 0.001358688 2.718282282 0.0000004530 2.718281828 0.00000000000

2.718145919 0.000135910 2.718281833 0.0000000045 2.718281828 0.00000000000

2.718268237 0.000013591 2.718281829 0.0000000001 2.718281828 0.00000000002

Tarea 1. Para , calcule las formulas de diferencia hacia adelante, hacia atrs, centrada y la formula de 5 puntos. Con

. Para calcular aproximaciones a . Trabaja con 11 cifras decimales.

4.2 Integracin numrica.

En este curso se calcularan las integrales definidas de funciones continuas, adems los mtodos numricos a ver nos ayudaran a resolver integrales en las cuales las formulas de integracin son imposibles de recolver. Como por ejemplo:

Se usan las primeras tres formulas de Newton-Cotes constituidas la regla del trapecio y de Simpson. Estas formulas se basan en la idea de integrar una funcin polinomial en vez de :

Donde

es un polinomio de aproximacin de grado para ciertos valores de que se escogen apropiadamente. Regla del Trapecio

Corresponde al caso donde , es decir:

Donde es un polinomio de grado 1. En el grafico trazamos la recta que une los puntos: y obteniendo un trapecio cuya superficie ser, aproximadamente, el valor de la integral

As tendremos:

Conocida como Regla del Trapecio. Ejemplo 2. Utilizar la regla del Trapecio para aproximar la integral:

Si , y . Por lo tanto tenemos que:

La regla del Trapecio se puede ampliar si subdividimos el intervalo en

subintervalos, todos de la misma longitud

. A este procedimiento se le conoce

como Regla Trapezoidal Compuesta.

Sea la particion que se forma al hacer dicha subdivision. Usando propiedades de la integral tenemos que:

Aplicando la Regla del Trapecio en cada una de las integrales, obtenemos:

Ahora bien, ya que todos los subintervalos tienen la misma longitud , tenemos que:

Sustituyendo el valor de

y usando la notacion sigma, tenemos finalmente:

Esta es la regla del Trapecio para subintervalos. Cuantos mas subintervalos se usen, mejor sera la aproximacin a la integral. Ejemplo 3. Aplicar la Regla Trapezoidal Compuesta para aproximar la integral en 5 subintervalos.

En este caso identificamos y la particion generada es:

As aplicando la formula se tiene que:

Cabe mencionar que el valor verdadero de esta integral es de 1.46265. Tarea 1. Realizar un programa y checar la integral, con

subintervalos. Y observar el comportamiento de la aproximacin.

Regla de Simpson 1/3

Suponemos que tenemos los datos: , y . Donde es el punto medio entre y .

El polinomio de grado 2, aproxima a la funcin pasando por los

puntos , y .

Sustituyendo los valores de , y . En el polinomio .

Al sumar y , se tiene:

Sustituyendo en

Despejando :

Reemplazando en A:

rea de la parabola que pasa por y . Siendo

.

Ejemplo 4. Usar la regla de Simpson 1/3 , para aproximar la siguiente integral:

Si , y

. Por lo tanto tenemos que:

Al igual que con la regla del trapecio, podemos extender la regla de Simpson 1/3, si

subdividimos el intervalo en subintervalos, todos de la misma longitud

.

Sea la particion que se forma al hacer dicha subdivision y denotemos por el punto medio en cada subintervalo.

Si tomamos particiones del intervalo con par, tenemos:

( Parabolas se sutienden)

Si llamamos:

Extremos:

Pares:

Impares: Obteniendose:

Aplicamos primero propiedades basicas de la integral definida:

Ahora aplicamos la Regla de Simpson 1/3, en cada una de las integrales de arriba:

Sustituimos

y usamos la notacion sigma:

Ejemplo 5. Aproximar la siguiente integral, aplicando la regla de Simpson 1/3 y subdividiendo en 5 intervalos.

Se tiene , y la particion que se genera es:

Los puntos medios de cada subintervalo son:

Por lo tanto, sustituimos los datos en la formula para obtener:

4.3 Integracin mltiple.

Ejemplo 6. Evale la siguiente integral doble con intervalos.