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 MÉTODOS NÚMERICOS TA LLER 8 PRESENTADO POR: JOSE CASTRO RODRIGUEZ 1 , MELISSA PINEDA 1 , KE VIN VA SQUEZ 1 1.  Estudiantes de la Universidad d e Cartagena, P rograma de Ingeniería Química. INFORME PRESENTADO A: MIGUEL ANGEL MUESES,  M.Sc. UNIVERSIDAD DE CARTAGENA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA QUÍMICA SEMESTRE V CARTAGENA DE INDIAS D.T. y C

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MTODOS NMERICOSTALLER 8

PRESENTADO POR:JOSE CASTRO RODRIGUEZ1, MELISSA PINEDA1, KEVIN VASQUEZ11. Estudiantes de la Universidad de Cartagena, Programa de Ingeniera Qumica.

INFORME PRESENTADO A:MIGUEL ANGEL MUESES, M.Sc.

UNIVERSIDAD DE CARTAGENAFACULTAD DE INGENIERAPROGRAMA DE INGENIERA QUMICASEMESTRE V

CARTAGENA DE INDIAS D.T. y C Considere una placa plana para conduccin de calor, la cual est conectada a un foco trmico que disipa un flujo constante.

1. Realice mediciones de la temperatura de la placa en puntos aleatorios en estado estable.

La placa utilizada para el experimento fue de acero galvanizado, conductividad trmica: 47 W/ m K. La placa fue sometida a calentamiento mediante una plancha trmica, con una temperatura constante de 300 K. h del aire=10 W/m2 K La placa es de 0,12x0, 18 centmetros cuadrados, lo que indica que hay 7 nodos en el eje m y 10 en el eje n, por lo tanto son 70 temperaturas para hallar (70 incgnitas) y 70 ecuaciones. Matriz de 70x70. Se realizaron las respectivas medidas de los 70 nodos para posteriormente ser comparados con los del programa. El calor suministrado al sistema es de: 686 W/m2

Diferencias Finitas El Mtodo consiste en una aproximacin de las derivadas parciales por expresiones algebraicas con los valores de la variable dependiente en un limitado nmero de puntos seleccionados. Como resultado de la aproximacin, la ecuacin diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un nmero finito de ecuaciones algebraicas, en trminos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados.Para mostrar este mtodo vamos a considerar el caso de un flujo bi-dimensional. Asumiendo que Es recomendable formular el balance de energa suponiendo que todo flujo de calor va hacia cada nodo para que se exprese de forma correcta la ecuacin de diferencias finitas:

Para condiciones bidimensionales, el intercambio de energa est influido por la conduccin hacia el nodo m,n y los cuatro nodos contiguos, por lo que:

m,n+1m-1,nm,n

m+1,n

m,n-1

Posteriormente tenemos para cada tramo: De acuerdo al lugar correspondiente de cada nodo en la placa se utilizarn los casos que se muestran a continuacin:

Caso 2.1Caso 5.2Caso 4Caso 3.1Caso 3.2Caso 2.2Caso 2.3Caso 5.1

Caso 1

Figura 1-Placa/Casos

2. Implemente las ecuaciones de la tabla 4.2 del libro de incropera (pg. 178) y establezca el sistema de ecuaciones en diferencias finitas para su sistema.

Caso 1: Para nodos interiores.

m,nm,n+1m-1,n

m+1,n

m,n-1

Dnde:

Las gradientes de temperatura son:

Luego al reemplazar las en la ecuacin (2) se obtiene:

Teniendo en cuenta que En el caso de que , por balance de energa se tiene

Donde Reemplazando Simplificando

Caso 2: Nodo con superficie plana con conveccin-Caso 2.1m,n+1

m,nm-1,n

m,n-1

(2)

Reemplazando en (2)

Simplificando:

-Caso 2.2m,n+1

m,nm+1,n

m,n-1

-Caso 2.3m,n+1

m-1,nm,n

m+1,n

Caso 3: Nodo en una esquina externa con conveccin:-Caso 3.1m,n+1

m-1,n

m,n

Reemplazando

Simplificando

-Caso 3.2m,n+1

m,nm+1,n

Caso 4: Nodo en una superficie plana con flujo de calor uniforme.

m-1,nm+1,nm,n

m,n-1

Reemplazando

Simplificando

Caso 5: Nodo en una esquina externa con conduccin-Caso 5.1m-1,nm,n

m,n-1

Reemplazando

Simplificando

-Caso 5.2m+1,nm,n

m,n-1

3. Desarrolle un programa computacional para el algoritmo de diferencias finitas generalizado utilizando el mtodo de Gauss-Jordan con pivoteo parcial y rescaldado de columna.Figura 2-Primera parte del programa/Insertando las ecuaciones para nodos: Caso 4 y 5.2

Figura 3-Segunda parte del programa/Insertando las ecuaciones para nodos: Caso 5.2, 2.1, 2.2, 1

Figura 4-Tercera parte del programa/Insertando las ecuaciones para los nodos: Caso 1, 3.1, 3.2/Comienzo de Gauss con pivoteo y re-escalado de columnas

Figura 5-Cuarta parte del programa/Termina el Gauss-Jordan , igualmente se muestra la solucin de la matriz/Grfica de Temperatura Vs longitud (nodos)

Figura 6-Quinta parte del programa/Algoritmo Final para la Grfica/Solucin en centgrados

Figura 7-Solucin

La placa tena 20 cm de ancho y 12cm de largo, pero la parte que tuvo ms contacto con la plancha no se le tomaron las medidas porque fue tomada como base, esas temperaturas arrojaban aproximadamente (por el porcentaje de error) los datos obtenidos en la primera fila de la solucin de la matriz (Fig6) , por esa razn se decidi colocar las medidas reales en el programa para mostrar una solucin ms aproximada de los datos experimentales respecto a los datos arrojados por diferencias finitas con Gauss-Jordan /pivoteo y re-escalado de columnas.4. Valide el comportamiento trmico de la placa con sus datos experimentales obtenidos. Muestre el error estadstico (coeficiente de correlacin).

Mencionado anteriormente, solo se compararn los datos experimentales que se tomaron Vs los datos obtenidos por el programa desde la segunda fila.Figura 8-Solucin en centgrados

Foco trmico: Plancha

Elcoeficiente de correlacin lineales el cociente entre lacovarianzay el producto de lasdesviaciones tpicasde ambas variables.

67,276,7808085,277,96376,8

65,668,370,262,165,362,354,2

45,549,152,151,754,353,147,1

45,244,34545,546,746,542,3

383939,64242,442,140,2

3635,237,539,541,141,136,7

3334,134,335,336,536,935,3

32,432,533,63535,335,334,1

32,731,232

32,232,1

32,632,3

34,131,9

34,431,4

34,432

Figura 9-Datos experimentales

En la siguiente tabla se mostrarn los valores de temperatura dados por medio del programa y los dados por medio del experimento. Denominando a x como los valores del programa y y como los valores experimentales.

Tabla 1 Datos estadsticos/ coeficiente de correlacin

N

177,799567,26052,76224515,845228,1264

294,042876,78844,048235882,897213,08276

3103,03528010616,252464008242,816

4105,93318011221,821764008474,648

5103,035285,210616,25247259,048778,59904

694,042877,98844,048236068,417325,93412

777,799576,86052,76225898,245975,0016

862,815765,63945,812174303,364120,70992

975,566568,35710,295924664,895161,19195

1083,083270,26902,818124928,045832,44064

1185,558962,17320,325373856,415313,20769

1283,083265,36902,818124264,095425,33296

1375,566562,35710,295923881,294707,79295

1462,8157633945,8121739693957,3891

1552,811645,52789,065092070,252402,9278

1662,324349,13884,318372410,813060,12313

1768,172352,14647,462492714,413551,77683

1870,136151,74919,072522672,893626,03637

1968,172354,34647,462492948,493701,75589

2062,324353,13884,318372819,613309,42033

2152,811654,22789,065092937,642862,38872

2245,749345,22092,998452043,042067,86836

2352,746944,32782,235461962,492336,68767

2457,1456453265,619620252571,552

2558,640845,53438,743422070,252668,1564

2657,145646,73265,61962180,892668,69952

2752,746946,52782,235462162,252452,73085

2845,749347,12092,998452218,412154,79203Al ser el coeficiente de correlacin positivo, la correlacin es directa. Como el coeficiente de correlacin est muy prximo a 1 la correlacin es muy fuerte.

2940,6487381652,3168114441544,6506

3045,7684392094,7464415211784,9676

3149,022339,62403,18591568,161941,28308

3250,1359422513,6084717642105,7078

3349,022342,42403,18591797,762078,54552

3445,768442,12094,746441772,411926,84964

3540,648742,31652,316811789,291719,44001

3636,9248361363,4408612961329,2928

3740,655635,21652,877811239,041431,07712

3843,039437,51852,389951406,251613,9775

3943,858139,51923,532941560,251732,39495

4043,039441,11852,389951689,211768,91934

4140,655641,11652,877811689,211670,94516

4236,924840,21363,440861616,041484,37696

4334,1859331168,6757610891128,1347

4436,889734,11360,849971162,811257,93877

4538,621734,31491,635711176,491324,72431

4639,217635,31538,020151246,091384,38128

4738,621736,51491,635711332,251409,69205

4836,889736,91360,849971361,611361,22993

4934,185936,71168,675761346,891254,62253

5032,155132,41033,950461049,761041,82524

5134,095732,51162,516761056,251108,11025

5235,340233,61248,929741128,961187,43072

5335,7687351279,399912251251,9045

5435,340235,31248,929741246,091247,50906

5534,095735,31162,516761246,091203,57821

5632,155135,31033,950461246,091135,07503

5730,630732,7938,2397821069,291001,62389

5831,997632,21023,846411036,841030,32272

5932,874732,61080,74591062,761071,71522

6033,176834,11100,700061162,811131,32888

6132,874734,41080,74591183,361130,88968

6231,997634,41023,846411183,361100,71744

6330,630734,1938,2397821162,811044,50687

6429,462232868,0212291024942,7904

6530,389331,2923,509554973,44948,14616

6630,984332,1960,0268461030,41994,59603

6731,189232,3972,7661971043,291007,41116

6830,984331,9960,0268461017,61988,39917

6930,389331,4923,509554985,96954,22402

7029,462232868,0212291024942,7904

Se demostr que el programa arroja las temperaturas como se esperaba con la correlacin entre ellas fuerte en la Fig 10 muestra cmo se disminuye la temperatura en cada dos centmetros de la placa.

Fig 10-Grfica representativa de los nodos enla placa/Datos dados por el programa

Fig 11-Grfica representativa de los nodos en la placa/Datos dados por el programa

Grfica 1 Temperatura Vs Nodos/Datos dados por el programa

5. Realiza simulaciones cambiando las temperaturas de operacin de la placa. Utilice un diseo experimental computacional para evaluar el desempeo de sus simulaciones.Validado el comportamiento trmico de la placa con el programa se hacen cambios de temperatura ambiente, calor, dx y material para evaluar el desempeo del programa y de las simulaciones:a. Variando el flujo de calor

Tf=300.15; %Kq=750; %W/m2

Fig 12-Temperaturas dadas por el programa/ variando Flujo de calor

Al aumentar el flujo de calor, se obtienen temperaturas mayores en comparacin con las de la placa original.

Fig 13-Placa/ variando Flujo de calor

Fig 13-Placa/ variando Flujo de calor

Fig 14-Placa/ variando Flujo de calor

Grfica 2 Temperatura Vs Nodos/Variando el flujo de calor

b. Variando la temperatura ambienteTf=305.15; %Kq=686; %W/m2

Fig 15-Temperaturas arrojadas por el programa/ variando la temperatura ambiente

Al aumentar la temperatura ambiente, se obtienen temperaturas mayores en comparacin con las de la placa original.

Fig 16-Placa/ variando la temperatura ambiente

Fig 17-Placa/ variando la temperatura ambiente

Grfica 3 Temperatura Vs Nodos/Variando la temperatura ambiente

c. Variando-dx de la placa: 1cmTf=300.15; %Kq=686; %W/m2

Fig 18-Temperaturas arrojadas por el programa/ variando la distancia entre los nodos

Fig 19-Temperaturas arrojadas por el programa/ variando la distancia entre los nodos

Al disminuir la distancia entre los nodos, se obtiene mayor nmero de nodos y mayor exactitud. La temperatura no vara significativamente.

Fig 20-Placa/ variando la distancia entre los nodos

Fig 21-Placa/ variando la distancia entre los nodos

Grfica 4 Temperatura Vs Nodos/Variando la distancia entre los nodos

dx =0.5cm

Fig 22-Temperaturas arrojadas por el programa/ variando la distancia entre los nodos

Fig 23-Temperaturas arrojadas por el programa/ variando la distancia entre los nodos

Fig 24-Temperaturas arrojadas por el programa/ variando la distancia entre los nodos

Fig 25-Placa/ variando la distancia entre los nodos

Fig 26-Placa/ variando la distancia entre los nodos

Grfica 5 Temperatura Vs Nodos/Variando la distancia de los nodos

d. Cambiando el material de la placa: Aluminiok=209; %W/m KTf=300.15; %Kq=686; %W/m2

Fig 27-Temperaturas arrojadas por el programa/ Cambiando el material de la placa

Fig 28-Placa/ Cambiando el material de la placa

Fig 29-Placa/ Cambiando el material de la placa

Fig 29-Placa/ Cambiando el material de la placa

Grfica 6 Temperatura Vs Nodos/Cambiando el material de la placa

La conductividad trmica del aluminio es casi cuatro veces mayor que la del acero, producindose una rpida disipacin y redistribucin del calor. Por esta razn, es necesario el empleo de grandes concentraciones de calor para alcanzar la fusin del material en el corto espacio de tiempo en el que debe producirse la soldadura, lo que exigir el empleo de energas considerables.

6. Formule un algoritmo para ecuaciones de diferencias finitas en estado dinmico. Justifique satisfactoriamente su postulado.AnlisisAl ser la temperatura dependiente del tiempo, los nodos en la placa se miden aleatoriamente dependiendo del rango de tiempo en el que se quiera hacer la medicin, es decir si se quiere ver el cambio de temperatura en media hora, con en 4 nodos aleatorios, el procedimiento seria el siguiente:1. Se toma la temperatura de cada nodo en el tiempo t=0 y luego en el tiempo t=5, para observar como varia la temperatura en los nodos escogidos mediante el tiempo avanza, de esta manera sabremos la temperatura ganada en cada intervalo hasta llegar a t= 30 y por ende en las grficas se ver el cambio de temperatura con respecto al tiempo de cada nodo.Nota: Esto es se hace difcil con respecto a la medicin de la placa que se utiliz, puesto que en la plancha trmica solo se tena 4 termocuplas y si se quiere medir ms de cuatro nodos se tendra que apagar la plancha y esperar que se enfre nuevamente para tomar otros puntos diferentes (pero puede ser efectivo).2. Considerando el flujo de calor constante, despus de tomar la temperatura en los primeros cuatro nodos, y habiendo hechos las mediciones en un tiempo t, necesariamente se debe tomar la temperatura que arroja la plancha trmica y se debe tener en cuenta la temperatura ambiente.Nota: Otra complicacin para utilizar este mtodo de calentamiento de la plancha, sera la forma de medir la temperatura de cada nodo utilizando las termocuplas como se vena mencionando, pues dependera de la cantidad de nodos que se tengan y no sera cmodo tratar con tantas termocuplas a la misma vez, para observar la temperatura en el intervalo de tiempo que se requiera.3. Al terminar las mediciones y tener ciertas consideraciones mencionadas anteriormente, se utilizarn las ecuaciones respectivas de acuerdo a los casos mencionados en el estado estable. 4. Las ecuaciones de diferencias finitas en estado dinmico adems de discretizar el espacio (como lo hacen las de estado estable), discretizan el tiempo. Una comparacin con el estado estable sera: Para nodos interiores en estado estable.

La energa no se almacena, la que entra es igual a la ganada por la placa

Demostrado antes: Para nodos interiores en estado dinmico:

La energa que se transfiere a la placa se almacena con el paso del tiempo.

Donde es la difusividad trmica y El ndice p indica que la temperatura depende del tiempo, es decir que cuando se mida la temperatura de los nodos en t=0 se hallar la siguiente temperatura, pero en el tiempo p+1, teniendo en cuenta que t=:De acuerdo con la las ecuaciones de los nodos en estado estable, se obtiene que: = Asumiendo que

El nmero de Fourier es un grupo adimensional que surge de forma natural a partir dela eliminacin parcial o total delas unidadesde la ecuacin de conduccin. Adems se utiliza con frecuencia como un parmetro de tiempo adimensional. Junto con elnmero de Biot, el nmero de Fourier se puede utilizar para resolver problemas de conduccin en estado inestable. Simplificando: = ( ) + = + Con la condicin de que 5. Se realizan las consideraciones para cada uno de los casos.

Algoritmo:

SIFINMedir temp. De otros nodos

Se obtiene:

Teniendo en cuenta que:

Utilizar la ecuacin para nodos internos en estado dinamico.

Medir la temp. De los nodos en t=0

Medir la temp. De la plancha y la del ambiente

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