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Universidad de colima

“Técnicas computacionales en la

ingeniería”

Tercera parcial

Métodos numéricos:

Derivadas e integrales numéricas

Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias

Alumno: Ernesto Torres Moreno

Profesor: Luis Eduardo López Moran

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Índice

1. Derivación e integración numérica: 1.1. Regla de Romberg………………………………………………4-8.

1.2. Método de Simpson 1

3. ……………………………………….9-13.

1.3. Método de Simpson 3

8. ………………………………………14-18.

1.4. Método de cuadratura de Gauss.……………………….19-21.

2. Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias: 2.1. Método de Euler y Euler mejorado…………………23-31

2.2. Método para Runge-kutta para cuarto orden……..32-35

2.3. Método de Milne. ……………………………………………36-39

2.4. Método de Adams-Moulton. ……………………………40-44

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1. Derivación e integración

numérica:

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1.1 Regla de Romberg

Sea el valor de la integral que aproxima a , mediante una partición de

subintervalos de longitud y usando la regla del trapecio. Entonces,

donde es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla.

El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de integración numérica, para obtener un tercer valor más exacto.

El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de Romberg, la cual es una fórmula recursiva.

Supongamos que tenemos dos aproximaciones : e

Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio para n subintervalos está dado por las siguientes fórmulas:

donde es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a cada uno de los subintervalos.

Ahora bien, si suponemos que el valor de es constante, entonces :

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Sustituyendo esto último en nuestra primera igualdad, tenemos que:

De aquí podemos despejar :

En el caso especial cuando (que es el algoritmo de Romberg), tenemos :

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Esta fórmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para entender el método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un primer nivel, es cuando aplicamos la regla del Trapecio, y para poder usar la fórmula anterior, debemos de duplicar cada vez el número de subintervalos: así, podemos comenzar con un subintervalo, luego con dos, cuatro, ocho, etc, hasta donde se desee.

Posteriormente, pasamos al segundo nivel de aproximación, que es donde se usa la fórmula anterior, tomando las parejas contiguas de aproximación del nivel anterior, y que corresponden

cuando .

Después pasamos al nivel tres de aproximación, pero aquí cambia la fórmula de Romberg, y así sucesivamente hasta el último nivel, que se alcanza cuando solo contamos con una pareja del nivel anterior.

Desde luego, el número de niveles de aproximación que se alcanzan, depende de las aproximaciones que se hicieron en el nivel 1. En general, si en el primer nivel, iniciamos con n aproximaciones, entonces alcanzaremos a llegar hasta el nivel de aproximación n.

Hacemos un diagrama para explicar un poco más lo anterior.

y con estos niveles podemos concluir una ecuación para determinar cada espacio.

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Ejemplo 1:

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Ejemplo 2 :

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1.2 Método de Simpson (1/3)

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Ejemplo 1: obtenga

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Ejemplo 2:

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1.3 Método de Simpson (3/8)

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Ejemplo 1:

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Ejemplo 2:

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1.4 Método de cuadratura de Gauss

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2. Solución de ecuaciones

diferenciales ordinarias:

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2.1 Método de Euler y Euler mejorado

MÉTODO DE EULER

La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.

Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el

valor de la recta tangente en el punto como una aproximación al valor deseado .

Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el

punto . De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es:

donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:

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Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es :

Ahora bien, suponemos que es un punto cercano a , y por lo tanto estará dado como . De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación:

Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la

distancia en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a

otro, con la nueva h igual a .

En una gráfica, tenemos lo siguiente:

Ahora bien, sabemos que:

Para obtener únicamente hay que pensar que ahora el papel de lo toma el punto , y por lo tanto, si sustituímos los datos adecuadamente, obtendremos que:

De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por:

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Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de aplicándola sucesivamente

desde hasta en pasos de longitud h.

Ejemplo 1 Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial:

Aproximar . NOTA Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones.

Solución Analítica.

Sustituyendo la condición inicial:

Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada:

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Y por lo tanto, el valor real que se pide es:

Solución Numérica

Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre y no es lo

suficientemente pequeña. Si didimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de y por lo tanto, obtendremos la aproximación deseada en cinco pasos.

De esta forma, tenemos los siguientes datos:

Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso:

Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso:

Y así sucesivamente hasta obtener . Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n

0 0 1 1 0.1 1 2 0.2 1.02 3 0.3 1.0608 4 0.4 1.12445 5 0.5 1.2144

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Concluímos que el valor aproximado, usando el método de Euler es:

Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler. Tenemos que:

Ejemplo 2

Aplicar el método de Euler para aproximar , dada la ecuación diferencial.

Solución

Nuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes datos:

En un primer paso, tenemos que:

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n

0 1 2 1 1.1 2.3 2 1.2 2.6855 3 1.3 3.1901

De lo cual, concluímos que la aproximación buscada es:

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MÉTODO DE EULER MEJORADO

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La fórmula es la siguiente:

donde

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta

tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la “recta tangente” a la curva en el punto ,

donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el

punto como la aproximación de Euler mejorada.

Ejemplo 1

Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar si:

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Solución

Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de

dos cálculos en vez de uno solo: el de primero y posteriormente el de .

Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:

En nuestra primera iteración tenemos:

Nótese que el valor de coincide con el (Euler 1), y es el único valor que va a coincidir, pues para

calcular se usará y no .

Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:

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Nótese que ya no coinciden los valores de (Euler 1) y el de . El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n

0 0 1 1 0.1 1.01 2 0.2 1.040704 3 0.3 1.093988 4 0.4 1.173192 5 0.5 1.28336

Concluímos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es:

Con fines de comparación, calculamos el error relativo verdadero:

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más este error prácticamente a un 0%!

Veamos un segundo ejemplo. Ejemplo 2 Aplicar el método de Euler mejorado para aproximar y(1.3) si tenemos :

Solución Tenemos los siguientes datos:

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En una primera iteración, tenemos lo siguiente:

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n

0 1 2 1 1.1 2.385 2 1.2 2.742925 3 1.3 3.07635

Concluímos entonces que la aproximación buscada es:

Finalmente, veamos el tercero y último método que estudiaremos en este curso. Por simplicidad del curso, no

veremos la justificación formal de estas últimas fórmulas.

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2.2 Método de Runge-Kutta

Si ahora m = 4, se obtiene, con un desarrollo del tipo del anterior, la siguiente fórmula, para i desde 0 hasta N-1:

(16)

Si bien con facilidad se pueden deducir otras fórmulas, el algoritmo expresado en (16) se denomina método de Runge-Kutta de cuarto orden, o método clásico de Runge-Kutta, abreviado como RK4. Este algoritmo es de uso extendido, y reconocido como una valiosa herramienta de cálculo, por la buena aproximación que produce.

Esta fórmula tiene un error de truncamiento local de O(h5), y un error global de O(h

4). De nuevo, el precio que se

debe pagar por la mejora en el error, es una mayor cantidad de evaluaciones de la función, resultando en un mayor tiempo de cálculo si la función es complicada. Tiene la ventaja, sobre el método de Taylor de orden 4 (cuyo error global es también O(h

4), que no requiere el cálculo de las derivadas de f.

Implementación del método RK4

Se presenta a continuación el pseudocódigo del método RK4, para ser implementado en cualquier lenguaje de programación, o software simbólico.

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Ejemplo 1:

Con el método RK4, obtener una aproximación del valor de y(1,5) para el siguiente problema de valor inicial, tomando un paso h = 0,1.

El primer paso para resolver este problema es determinar la malla de puntos en donde se va a obtener la solución.

Como en este caso h está dado, se tiene que N = (1,5 - 1)/0,1 = 5.

Por lo tanto, los puntos en donde se va a determinar la solución, dados por la fórmula ti = 1 + 0,1 i, para i =1,2,3,4,5, son:

t1 = 1,1 t2 = 1,2 t3 = 1,3 t4 = 1,4 t5 = 1,5

Una vez establecida la malla del problema, tenemos, para i = 0:

Resulta entonces,

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y aplicando sucesivamente la fórmula de RK4, para i desde 1 hasta 4, se obtienen los datos que se muestran en la siguiente tabla, donde además se muestra el valor de la solución exacta para cada punto de la malla.

Al analizar la tabla anterior y comparar los resultados obtenidos con el método RK4 con los valores reales, se ve por qué es tan difundido este método. En la próxima tabla se comparan los métodos de Euler y Runge Kutta de orden 4 para el mismo problema.

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Ejemplo 2:

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2.3 Método de Milne

Este método es múltipaso y además predictor corrector, esta dado por:

este método es de O(H4).

Se requieren 4 puntos para aplicarlo. Como uno de ellos es la condición inicial solo hacen falta 3.

Estos valores se calculan por otro método.

Este método también puede expresarse como un método implícito. En ese caso tenemos para la

ecuación del corrector:

El cálculo es análogo al del método de Euler Mejorado implícito.

Existe una tercera versión de este método. En esta se utiliza la idea de extrapolación, que se empleó para la integración de Romberg. Esta consiste en tomar en cuenta el error de truncamiento tanto de la fórmula del

predictor como del corrector, es decir

si despreciamos el error de redondeo al sumar el error de truncamiento tenemos el valor real de y i+1.

Se conoce la expresión para ambos errores de truncamiento. Si suponemos que son iguales es

posible despejarlo de las 2 ecuaciones con lo cual; tenemos una expresión para el error. Esta puede

sumarse para obtener un valor más aproximado a yi+1. Omitiendo los detalles el resultado es:

Podemos decir que el método es extrapolado. Dependiendo del texto que utilices, será como encuentres la versión del método. En algunos viene como predictor corrector. En otros como implícito, y en los demás como extrapolado.

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Ejemplo 1:

38

39

Ejemplo 2:

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2.4 Método de Adams-Moulton

Se calculan los valores iniciales w0 = a0, w1 = a1, w2 = a2 (con el método de Runge-Kutta), y se aplica la fórmula:

(29)

Se deja como ejercicio verificar los coeficientes de la fórmula (29), resolviendo el sistema de ecuaciones dado en (26).

Puede demostrarse que el error local de truncamiento |wi – y(ti)| en el método de Adams-Moulton de tres pasos está dado por la expresión:

(30)

para algún μi∈[ti-2, ti+1]. Es decir, este método también es del orden de h4. Por ello se comparan siempre los resultados de aplicar el método de Adams-Bashford de n + 1 pasos, contra el método de Adams-Moulton de n pasos.

Se muestra a continuación el pseudocódigo del algoritmo de este método.

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Este método requiere menos puntos y tiene la misma precisión que el anterior, pero tiene la dificultad de tener que resolver en cada paso una ecuación, que puede ser no lineal, en cuyo caso se deberá aplicar un método de aproximación de soluciones de ecuaciones no lineales.

42

Ejemplo 1:

Consideremos el siguiente problema de valor inicial:

y' = y - t2 + 1, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0,5 (31)

Se aplicarán los métodos de Adams-Bashforth de cuatro pasos (A-B) y el de Adams-Moulton de tres pasos (A-M), ambos con tamaño de paso h = 0,2 para la malla en el dominio [0, 2]. Con este tamaño de paso, la malla de puntos resulta:

ti = 0,2.i, para i = 0, ..., 10. (32)

El método de A-B aplicado a este problema, siendo f(t,y) = y - t2 + 1 y tomando ti = 0,2 i, tiene por ecuación de diferencias:

(33)

Análogamente, El método de A-M aplicado a este problema, con la misma expresión para f(t,y) y los mismos valores para los ti, tiene por ecuación de diferencias:

(34)

Se ve claramente aquí que el método de A-M tiene por ecuación de diferencias una expresión implícita para wi+1. Se puede despejar en este caso la incógnita wi+1, para obtener la ecuación:

(35)

Los resultados que se obtuvieron aplicando estas ecuaciones, se muestran en la siguiente tabla. Los valores exactos provienen de la solución exacta del PVI, y(t) = (t+1)2 - 0,5 et. No tiene sentido mostrar la comparación de estos valores en forma gráfica, por la gran precisión de los resultados obtenidos, que hace que los errores sean del orden de 10-3.

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Tabla 1

En el ejemplo, el método implícito de Adams-Moulton dio mejores resultados que el método explícito de Adams-Bashforth del mismo orden. Generalmente ocurre esto, pero los métodos implícitos tienen la debilidad intrínseca de que primero deben convertir algebraicamente el método en una representación explícita de wi+1. Este procedimiento no siempre es posible, como ocurre por ejemplo en el siguiente problema elemental de valor inicial:

(36)

Dado que f(t)= ey, el método de Adams-Moulton de tres pasos tiene como ecuación de diferencia la siguiente:

(37)

y de esta ecuación no se puede despejar wi+1. Para resolver la ecuación (37), se deberá aplicar algún método numérico.

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Ejemplo 2:

45

Fin