Instituto Tecnológico de Durango

Departamento de Desarrollo Académico

Reporte de año sabático

Elaboración de libro para la asignatura Métodos Numéricos

“Métodos Numéricos con Enfoque en Competencias”

Carrera: Ingeniería QuímicaClave de la asignatura: IQH-1014SATCA1 1 - 3 - 4

Profesor: José Domingo Pope Solis

Periodo: 16 Enero 2012-15 Enero 2013Dictamen: AS-1-090-2012

1

ÍNDICEObjetivo general del curso 3Competencias especificas a desarrollar en el curso 3Competencias genéricas 7

Competencias instrumentalesCompetencias interpersonalesCompetencias sistémicas

Competencias previas 7Sugerencias Didácticas 8Sugerencias de Evaluación 8

UNIDAD I. Importancia y errores tipo 91.1. Problemas matemáticos y sus soluciones 91.2. Importancia de los métodos numéricos 111.3. Tipos de errores 121.4. Aplicaciones 12

Unidad II. Solución de ecuaciones algebraicas 172.1. Teoría de un método iterativo 172.2. Raíz de una ecuación 172.3. Métodos de intervalo 172.4. Métodos de punto fijo 202.5. Otros métodos 252.6. Aplicaciones 26

UNIDAD III. Solución de sistemas de ecuaciones 363.1. Álgebra matricial. 363.2. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales 403.3. Teoría de sistemas de ecuaciones no lineales 533.4. Métodos de solución. 563.5. Aplicaciones 60

Unidad IV.- Ajuste de funciones 704.1. Fundamentos de estadística 704.2. Interpolación 704.3. Regresión de mínimos cuadrados 774.4. Aplicaciones 88

Unidad V. Diferenciación e integración numéricas 945.1. Derivación numérica 945.2. Integración numérica 1035.3. Integración múltiple 1115.4. Aplicaciones 119

Unidad VI. Solución de ecuaciones diferenciales (Valor Inicial y valor en la frontera) 1296.1. Fundamentos 1296.2. Métodos de un paso 1296.3. Métodos rígidos y de pasos múltiples 1366.4. Métodos multipaso 1386.5. Métodos de tamaño de paso variable 1416.6. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 1436.7. Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n 1446.8. Métodos generales para problemas con valores en la frontera, lineales y no-lineales 1496.9. Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales 1536.10. Aplicaciones 155

2

f(x)

xf(x) = 0

x = raíz de la ecuación

Bibliografía 162Objetivo General del CursoResolver problemas relacionados con la ingeniería de procesos mediante la aplicación de algoritmos numéricos y el uso de computadoras digitales.

Competencias específicas a desarrollar en el curso

Unidad I. Errores y tipos de ErroresEn el desarrollo de los métodos numéricos se trabaja con números, por lo que es necesario establecer la confiabilidad de un número. Los términos precisión y exactitud están asociados con los errores que se generan en secuencias largas de operaciones aritméticas.La precisión se refiere al número de cifras significativas usadas para representar una cantidad mediante un número.La exactitud se refiere a la representación correcta de una cantidad mediante un número.Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos y precisos para resolver un problema científico.

Tipos de erroresErrores por Redondeo. Estos se deben a que las computadoras o calculadoras solo pueden almacenar o representar cantidades con un número finito de dígitos.Errores de Truncamiento. Estos se deben a que el método numérico es una aproximación a un modelo matemático exacto.Error Numérico Total. Es la suma de los errores anteriores.Errores Humanos. Estos se deben a equivocaciones o torpeza del ejecutor del método.

Unidad II. Raíces de ecuaciones

Métodos que usan intervalo: Bisección y Regla falsaMétodos abiertos: Punto fijo, Newton y Secante

Unidad III. Solución de ecuaciones algebraicas lineales y no lineales

Sistema lineala11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ........+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ........+ a2n xn = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ........+ a3n xn = b3

.................................................................

3

x2

x1

x

f(x) Polinomio de

interpolaciónf(x)=Pn(x)

Ajuste de línea rectaf(x) = a0 + a1x + error

error

an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + ........+ ann xn = bn

Para un sistema de dos ecuaciones:a11 x1 + a12 x2 = b1

a21 x1 + a22 x2 = b2

Métodos directos sistemas lineales: Eliminación Gausiana y Gauss-JordanMétodos iterativos sistemas lineales: Jacobi y Gauss-Seidel Sistema no lineal

F (x) = 0La solución a este sistema, es el vector x = [x1, x2, x3,...xn] que hace que simultáneamente todas las ecuaciones sean iguales a cero.Métodos iterativos para sistemas no-lineales: Punto fijo, NewtonUnidad IV. Ajuste de funciones (Ajuste de curvas e interpolación)

Regresión lineal, polinomial, lineal múltiple por mínimos cuadrados

4

f 1 ( x1 , x2 , x3 , .. . xn )=0

f 2 ( x1 , x2 , x3 , .. . xn )=0

f 3 ( x1 , x2 , x3 , .. . xn)=0

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯f n (x1 , x2 , x3 , .. . xn)=0

b

a

b

a n dxxPdxxfI )()(

a bx

I = área bajo la curva

derivada la evalua se donde punto al tangenterecta la

de pendiente la representaanterior ecuación la mentegeométrica

0 cuando )()(

lim)(

xx

xfxxfxf

dxd

m= )(xfdxd

x=x0

x0

f(x)

x

Interpolación: Usando polinomios de Newton y LagrangeUnidad V. Integración y Derivación Numérica

Derivación por el Método de: Tangentes, Ajuste de polinomios, Formulas de diferencias finitas, Igualación de áreas.Integración: Regla Trapezoidal, Simpson 1/3

VI. Solución de ecuaciones diferenciales (valor inicial y valor en la frontera)

Valor inicial

error

Método de Euler

Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma

Con valores iniciales: x = xo y = yo

La solución tiene la forma general

Valor actual valor anterior + función de incremento por tamaño de paso

yi+1 = yi + h

5

xi xi+1

yi+1 = yi + h

yi+1

Pendiente =

y = f(x)

dydx

=f (x , y )

y ( x0 )= valor inicial de la función para el valor de x0

La forma de la función de incremento define el nombre del método:

Euler, Euler-Gauss, Runge-Kutta(orden dos, tres y cuatro).Sistema de ecuaciones diferenciales

Se extienden el uso de los métodos para una sola ecuación a un sistema de ecuaciones

Todo sistema de ecuaciones diferenciales puede representarse generalmente como

dy1

dx=f 1 ( x , y1 , y2 , .. . yn)

dy2

dx=f 2 (x , y1 , y2 , . .. yn )

⋮dyn

dx=f n ( x , y1 , y2 , .. . yn)

La solución de este sistema requiere de n condiciones iniciales conocidas para un valor inicial de x.

Una ecuación diferencial de orden superior puede escribirse como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Valor en la frontera

Ecuación diferencial parcial parabólica que gobierna el flujo de calor unidireccional en función de tiempo.

Donde se denomina difusividad térmica.Para aplicar el método de diferencias finitas se construye una retícula

Retícula para evaluar diferencias finitas

6

División de la varilla en intervalos x

t

x

División del tiempo en intervalos t

(i-1, j) (i, j) (i+1, j)

(i-1, j-1) (i, j-1) (i+1, j-1)

(0, 0)

α∂2T∂2 x

=∂T∂ t

El método explícito predice el valor en (i, j) a partir de (i-1, j-1), (i, j-1), (i+1, j-1).

El método implícito, predice el valor en las (i, j) a partir de (i, j-1) mediante la generación de un sistema de ecuaciones, obtenidas de los nodos.

Competencias genéricas:Competencias instrumentales• Capacidad de análisis y síntesis• Capacidad de organizar y planificar• Conocimientos básicos de la carrera• Comunicación oral y escrita• Habilidades básicas de manejo de la computadora• Habilidad para buscar y analizar información proveniente de fuentes diversas• Solución de problemas• Toma de decisiones.Competencias interpersonales• Capacidad crítica y autocrítica• Trabajo en equipo• Habilidades interpersonalesCompetencias sistémicas• Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica• Habilidades de investigación• Capacidad de aprender• Capacidad de generar nuevas ideas (creatividad)

Competencias Previas• Aplicar pensamiento lógico matemático• Representar las funciones matemáticas• Aplicar integrales en problemas prácticos• Calcular funciones de varias variables• Aplicar ecuaciones diferenciales y transformadas de Laplace como una herramienta para la solución de problemas prácticos• Utilizar la computadora y los lenguajes de programación

7

T(x

, t)

= T

n

Con

dici

ones

en

la f

ront

era

dere

cha

t

x

Con

dici

ones

en

la

fron

tera

izqu

ierd

a

T(0

, t)

= T

0

T(x, 0) = Ti

Condiciones iníciales

Sugerencias Didácticas (desarrollo de competencias genéricas)El profesor debe:• Ser conocedor de la disciplina que está bajo su responsabilidad, conocer su origen y desarrollo histórico para considerar este conocimiento al abordar los temas.• Desarrollar la capacidad para coordinar y trabajar en equipo; orientar el trabajo del estudiante y potenciar en él la autonomía, el trabajo cooperativo y la toma de decisiones.• Mostrar flexibilidad en el seguimiento del proceso formativo y propiciar la interacción entre los estudiantes.• Tomar en cuenta el conocimiento de los estudiantes como punto de partida y como obstáculo para la construcción de nuevos conocimientos.• Identificar y resolver problemas relacionados con la ingeniería de procesos mediante la aplicación los algoritmos numéricos y el uso de computadoras digitales.• Propiciar actividades de metacognición. Ante la ejecución de una actividad, señalar o identificar el tipo de proceso intelectual que se realizó: una identificación de patrones, un análisis, una síntesis, la creación de un heurístico, etc. Al principio lo hará el profesor, luego será el alumno quien lo identifique.Propiciar actividades de búsqueda, selección y análisis de información en distintas fuentes.• Fomentar actividades grupales que propicien la comunicación, el intercambio argumentado de ideas, la reflexión, la integración y la colaboración de y entre los estudiantes.• Relacionar los contenidos de esta asignatura con las demás del plan de estudios a las que ésta da soporte para desarrollar una visión interdisciplinaria en el estudiante.• Propiciar el desarrollo de actividades intelectuales de inducción-deducción y análisis -síntesis, que encaminen hacia la investigación.• Desarrollar actividades de aprendizaje que propicien la aplicación de los conceptos, modelos y metodologías que se van aprendiendo en el desarrollo de la asignatura.• Proponer problemas que permitan al estudiante la integración de contenidos de la asignatura y entre distintas asignaturas, para su análisis y solución.• Cuando los temas lo requieran, utilizar medios audiovisuales para una mejor comprensión del estudiante.

Sugerencias de EvaluaciónLa evaluación debe ser continua y formativa por lo que se debe considerar el desempeño en cada una de las actividades del aprendizaje, haciendo especial énfasis en:• Exámenes escritos para comprobar el manejo de aspectos teóricos y declarativos.• Revisión de los códigos de los programas de cómputo con los algoritmos de los métodos encargados extra clase.• Reportes escritos de investigaciones encargados como trabajo extra clase.• Evaluación en la computadora de problemas seleccionados

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UNIDAD I. Importancia y errores tipo

Competencia especifica a desarrollar en la unidadEvaluar la solución de un problema de ingeniería mediante métodos numéricos

1.1 Problemas matemáticos y sus soluciones

Un método numérico se usa para aproximar la solución de un problema expresado matemáticamente (una ecuación o un conjunto de ecuaciones). En el mundo real el problema matemático se deriva de un sistema o fenómeno físico sobre el cual se han hecho algunas suposiciones para simplificarlo, de modo que se obtiene un modelo matemático, que expresa las características fundamentales del sistema o fenómeno considerado.

En cursos elementales de química nos encontramos con una ecuación conocida como la ley del gas ideal:

PV = nRT

La cual, relaciona la presión P, el volumen V, la temperatura T, el número de moles n de un gas ideal, y la constante R conocida como la constante universal de los gases.

En la obtención de esta ecuación se hicieron algunas suposiciones que restringen su uso para todos los gases, tales como:

1. Las distancias entre las moléculas son lo suficientemente grande para que no interactúen entre sí excepto cuando chocan.

2. Las moléculas tienen disponible todo el volumen del recipiente que las contiene para ocuparlo.

En 1873 J. D. Van der Waals propuso la ecuación siguiente que corrige en parte estas suposiciones.

(P+ a

v2 ) (v−b )=RT

Donde a y b son constantes positivas cuyo valor depende del gas en particular.

El término

a

v2 tiene como objeto explicar las fuerzas de interacción entre las moléculas, que hace que la presión sea

menor que la que ejercería por ser gas ideal.

El termino b tiene como objeto dar margen para el tamaño finito de las moléculas, lo que hace que el volumen sea mayor que el de un gas ideal.

Esta ecuación es parte de los modelos propuestos para relacionar datos PVT, que se conocen como ecuaciones de estado cuyo volumen es cúbico.

Un modelo matemático debe conducir a resultados predecibles, y por lo tanto sirve par evaluar el comportamiento del sistema o fenómeno físico que representa.

Si queremos conocer el volumen que ocupa cierto gas, conociendo la Temperatura y Presión a la que se encuentra, tendríamos que usar la ecuación que mejor representa el comportamiento del gas y escribirla en forma explícita en términos de la variable a conocer. Sin embargo, para ecuaciones cubicas de estado esto no es posible, pero se puede hacer uso de un método numérico para aproximar la solución.

9

Portafolio de evidenciasInvestigar la obtención de modelos matemáticos para la solución de problemas de Ingeniería.AplicaciónVolumen de una sustancia pura

Conceptos utilizadosAl aplicar los conceptos anteriores a la ecuación de van der Waals, esta se representa en la forma:

v=b+ RT

P+av2

y para establecer un proceso iterativo en volumen se tiene

v i+1=b+ RT

P+av

i2

CursoTermodinámica, Fisicoquímica I

ProblemaCalcular el volumen específico del vapor de agua a 500 lb/pulg2 y 700 °F,

R = 8.3144x 103 J/kg-mol °K Tc = 647.35 °K Pc = 2.2118x107 Pa

a=2764

R2 Tc2

Pcb= RTc

8 Pc

Con los valores de las constantes: a = 5.5251x105 N m4/(kg-mol)2; b = 0.0304 m3/kgmol y R = 8.3149 103 J/kg-mol °K.

SoluciónConvirtiendo P y T a unidades SI se tiene:

P = 34.4737 105 N/m2 T = 644.2611 °K

y sustituyendo los datos en la ecuación anterior:

v i+1=0 .0304+5356644 . 49

34 .4737×105+5 .5251 x 105

v i2

Para iniciar el proceso iterativo (i = 0), se propone un valor inicial v = RT/P = 1.5538, se sustituye en la ecuación y se determina v1 = 1.4875 m3/kg-mol.

Pasos posteriores:i = 1, se sustituye v1 para determinar v2

i = 2, se sustituye v2 para determinar v3

y así sucesivamente.

Se repite el procedimiento hasta que el valor anterior y el nuevo, sean iguales en un número determinado de cifras significativas, hasta llegar al valor de 1.4781

Portafolio de evidencias

10

Hacer un programa para evaluar el volumen específico del vapor de agua a 500 lb/pulg2 y 700 °F,

Figura 1.1 Aproximaciones sucesivas

1.2 Importancia de los métodos numéricos.

Los métodos que se tratan en el curso se conocen ya de algún tiempo atrás. Sin embargo, la popularidad y el crecimiento en el uso de las computadoras personales, ha venido a darles un impulso sin precedentes.

El aprender métodos numéricos nos permitirá:

1. Encontrar solución numérica a algunos problemas de ingeniería.2. Generar software propio para resolver problemas3. Comprender los fundamentos matemáticos de alguna área específica del conocimiento.4. Usar inteligentemente el software disponible en le mercado.5. Dar un uso eficiente a las computadoras personales.

11

1.3 Tipos de Errores

En el desarrollo de los métodos numéricos se trabaja con números, por lo que es necesario establecer la confiabilidad de un número. Los términos precisión y exactitud están asociados con los errores que se generan en secuencias largas de operaciones aritméticas.La precisión se refiere al número de cifras significativas usadas para representar una cantidad mediante un número.La exactitud se refiere a la representación correcta de una cantidad mediante un número.Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos y precisos para resolver un problema científico.

a) Definición de Error Los errores están asociados con el uso de los métodos numéricos, así como con el procesamiento de la información en las computadoras o en las calculadoras de bolsillo.A la diferencia del valor exacto (Ve) y un valor aproximado (Va) se le llama error (E).

E = Ve - Va

El valor absoluto de este error presenta la ventaja de eliminar el signo, = Ve - Va. Pero no toma en cuenta las dimensiones de las cantidades involucradas, por lo que es mejor definir un error relativo porcentual (r).

ε r=|V e−V a

V e

|×100

Sin embargo, el valor exacto normalmente no se conoce. Ya que en algunos casos el método numérico aproxima la solución mediante un proceso iterativo, por lo que es mejor definir un error aproximado (a)

ε a=|Aproximacion Actual- Aproximacion PreviaAproximacion Actual

|×100

Todo proceso iterativo requiere de un criterio de paro. Por lo que es necesario establecer la tolerancia (o error supuesto s) dentro de un valor aceptable para concluir el proceso, esto puede enfocarse hacia el número de cifras significativas entre la aproximación actual y la aproximación previa. El siguiente criterio garantiza que al menos son iguales n cifras significativas, s = (0.5 102-n) %

b) Errores por Redondeo . Estos se deben a que las computadoras o calculadoras solo pueden almacenar o representar cantidades con un número finito de dígitos.

c) Errores de Truncamiento . Estos se deben a que el método numérico es una aproximación a un modelo matemático exacto.

d) Error Numérico Total . Es la suma de los errores anteriores.e) Errores Humanos . Estos se deben a equivocaciones o torpeza del ejecutor del método.

1.4 AplicacionesErrores por truncamiento y errores por redondeo

Conceptos utilizados: Serie de Taylor.La serie de Taylor es una herramienta matemática poderosa para predecir el valor de una función f (xi+1), alrededor de un punto xi.

f ( xi+1)=f ( xi )+f ' ( x i )h

1 !+

f ' ' (xi )h2

2 !+

f ' ' ' (x i ) h3

3 !+.. .+

f (n ) (xi )hn

n !+Rn

Donde h = xi+1 - xi. , Rn=

f n+1 (ξ )(n+1)!

hn+1

y ξ es un valor cualquiera de x entre = xi+1 - xi.

12

Rn es muy importante en desarrollo de los métodos numéricos y se conoce como error por truncamiento.Si x1 = 0, se convierte en la Serie de Mclaurin.

f ( x )=f (0 )+ f ' (0 ) h1 !

+f ' ' (0 ) h2

2 !+

f ' ' ' (0 )h3

3 !+. . .+

f (n ) (0 ) hn

n !Si f(x) = ex

e x=1+x+ x2

2!+ x3

3 !+ x4

4 !+.. .

Si f(x) = cos x, f(x) = -sen x, f(x) = -cos x, f (x) = sen x, f(IV)(x) = -cos x

cos x=1− x2

2!+ x4

4 !− x6

6 !+ x8

8 !−. ..

Algunas funciones no pueden representarse en series de Maclaurin, ya que no están definidas para xi = 0Si f(x) = ln x, f(x) = 1/x, f(x) = -1/x2, f (x) = 2/x3, fIV(x) = -6/x4

ln x i+1=ln xi+hx− h2

2 x2+ h3

3 x3− h4

4 x 4+ h5

5x5− .. .

CursoInstrumentación y ControlProblemaUtilizar la serie de Taylor para calcular el valor de ln (1.3) tomando como base el valor de xi = 1.

Orden Valor f(xi+1) r a

0 ln (1) = 0 0 100 -

1hx=0 . 3

1=0 .3 0.3 14.3448 100

2 − h2

2x2=−(0 . 3 )2

2 (1 )2=−0.045 0.255 2.8069 17.647

3h3

3x3=

(0 .3 )3

3 (1 )3=0 .009 0.264 0.6235 3.4091

4 − h4

4 x4=−(0 .3 )4

4 (1 )4=0 .002025 0.261975 0.1484 0.7730

5h5

5 x5=

(0 .3 )5

5 (1 )5=0.000486 0.262461 0.0369 0.1852

Podemos observar que al truncar la serie, generamos un error por truncamiento, si además redondeáramos a dos dígitos después del punto tendríamos:

Orden Valor f(xi+1) r a

0 ln (1) = 0 0 100 -

1hx=0 . 3

1=0 .3 0.30 14.3448 100

2 − h2

2x2=−(0 . 3 )2

2 (1 )2=−0.04 0.26 0.9011 17.3846

3h3

3x3=

(0 .3 )3

3 (1 )3=0 .01 0.27 2.9104 3.7037

4 − h4

4 x4=−(0 .3 )4

4 (1 )4=0 .00 0.27 2.9104 0.0000

Se observa que el redondeo conduce a un resultado inexacto, aunque el método esté bien aplicado.Portafolio de evidencias

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Hacer un programa que utilice la serie de Taylor para calcular el valor de e0.5 tomando como base el valor de xi = 0.Programa 1.1 Serie de TaylorPRINT"*****************************************************************"PRINT"* INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO *"PRINT"* DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA Y BIOQUÍMICA *"PRINT"* CALCULO DEL LOGARITMO DE UN NUMERO *"PRINT"* USANDO LA SERIE DE TAYLOR TOMANDO COMO BASE Xi = 1 *"PRINT"* INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS *"PRINT"*****************************************************************" INPUT "NÚMERO AL CUAL SE CALCULARA EL LOGARITMO ";X INPUT "NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS ";N INPUT "NUMERO MAXIMO DE TERMINOS ";NMI ES = 0.5*10^(2.0-N) EA = 1.1*ES: SUMA = 0: SUMA1 = 0 TERM = 1: I = 1: S = 1: H = X - 1 PRINT "TERMINO LN(X) ERROR"WHILE (EA > ES) AND (I < NMI) TERM = TERM *H SUMA = SUMA + (S)*TERM/I EA = ABS((SUMA - SUMA1) / SUMA)*100 SUMA1 = SUMA:I=I+1:S=(-1)*S PRINT I,SUMA, EAWEND IF (I >= NMI)THEN PRINT "NO SE ALCANZO CONVERGENCIA" ELSE PRINT "RESULTADO = ";SUMA END IF

Ejecución 1.1 Serie de Taylor****************************************************************** INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO ** DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA Y BIOQUÍMICA ** CALCULO DEL LOGARITMO DE UN NUMERO ** USANDO LA SERIE DE TAYLOR TOMANDO COMO BASE Xi = 1 ** INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS ******************************************************************NÚMERO AL CUAL SE CALCULARA EL LOGARITMO 1.3NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS 4NUMERO MAXIMO DE TERMINOS 12TERMINO EXP(X) ERROR2 0.3 1003 0.255 17.64705884 0.264 3.409090915 0.261975 0.772974526 0.262461 0.185170377 0.2623395 0.46314032e-18 0.26237074 0.011907909 0.26236254 0.31259226e-2RESULTADO = 0.26236254

Si la función es un polinomio, la serie de Taylor lo ajusta perfectamente, dado que un polinomio tiene un número finito de derivadas.Por lo que hemos observado, pareciera que la serie de Taylor es una panacea, pero no es así, ya que usa como punto de referencia un solo valor de x, también como todas las series de potencias tiene su radio de convergencia; por lo que en el

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x

v

vx

vy

y

Origen xImpacto

y

curso no la usaremos para aproximar funciones, sino para derivación de algunos métodos numéricos, así como para analizar los errores.

Evaluación Sumativa

Problema 1Hacer un programa que calcule la distancia horizontal que viajaría una pelota lanzada desde un punto con una

velocidad inicial vo y un ángulo. Determine además el ángulo que maximiza la distancia recorrida.

Análisis

Si suponemos que la fricción del aire es despreciable e ignoramos la curvatura de la tierra la trayectoria que seguiría una pelota que es lanzada desde un punto sería una parábola cuya altura después de un cierto tiempo t estaría determinada par la ecuación:

y ( t )= y0+v y0t+1

2gt 2

Donde:yo es la altura inicial del objeto con respecto a la tierravyo es la componente vertical de la velocidad inicial de la pelota.g aceleración de la gravedad.La distancia horizontal recorrida por la pelota después de un tiempo t esta dada por la ecuación:

x ( t )=x0+v x0t

Donde:xo es la posición horizontal inicial del objeto.vxo es la componente horizontal de la velocidad inicial de la pelota.

Condiciones limite: y(tinicial) = 0, y(tfinal) = 0

La pelota esta en el suelo tinicial = 0, tfinal =

15

0=(v y 0+1

2gt )t

tfinal =−

2 v y 0

gRecorrido de la pelota:

x ( t final)=x0+v x0t final Si la pelota la ubicamos en el origen (0,0)

x ( t final)=0+v x0(−2v y0

g ) x ( t final)=−2 v x0

v y0

g

x ( t final)=−2v0 cosθ⋅v0 sin θ

g

x ( t final)=−2 v0

2 cosθ⋅sin θ

g

Datos vo = 20 m/s; g = -9.81m/s2

Para encontrar la distancia máxima variar el ángulo de tiro entre 0 y 90° incrementado en 1°.

Problema 2El aumento con el tiempo en el número de bacteria en un cultivo es directamente proporcional al número de

bacterias al inicio del intervalo de tiempo. En forma matemática el número de bacteria puede expresarse como:

Pt=Po[1+ 0 .054 t1!

+(0 .054 t )2

2!+(0. 054 t )3

3 !+ .. .. . .. .. ..+

( 0.054 t )n

n! ]Donde Pt = número de bacteria en un tiempo t, horas

Po = número de bacteria en algún tiempo inicial t = tiempo en horas después del tiempo inicial

Escriba un programa (diagrama de flujo y Seudocódigo) que calcule e imprima el número de bacterias para un tiempo de 1 a 5 horas. Utilice los primeros 11 términos de la serie, el calculo del termino entre corchetes puede terminar si A < 0.005

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Unidad II. Solución de Ecuaciones Algebraicas

Competencia especifica a desarrollar en la unidadResolver ecuaciones no lineales mediante un algoritmo de programación

IntroducciónEn la unidad anterior se vio que un modelo matemático, se puede expresar mediante una ecuación que relacione las distintas variables que intervienen en un fenómeno. Esta ecuación puede tener una solución analítica para la variable de interés. Sin embargo en muchos casos no es posible resolver analíticamente la ecuación general anterior, por lo que se habría de proponer una solución alterna, lo cual podría ser un método gráfico, o bien un método numérico que permita aproximar la solución con una tolerancia aceptable, por medio de un proceso iterativo.

2.1 Teoría de un Método Iterativo

Un método numérico iterativo es un método tal que se elige un x0 arbitrario y se calcula una sucesión de valores x0, x1, x2,.... de manera recurrente a partir de una relación de la forma xi+1 = g(xi) donde g(x) está definida dentro de algún intervalo que contiene a x0.

Un riesgo en el proceso iterativo, es que la solución del método no converja al valor x0 buscado, por lo que se debe establecer siempre un criterio de paro para concluir el proceso si este no converge a la solución, es decir el proceso iterativo nos puede conducir a un alejamiento de la solución (divergencia). Es conveniente, siempre que sea posible, establecer un criterio de convergencia en los métodos iterativos que trataremos en el curso.

2.2 Raíz de una Ecuación

En general una ecuación se puede representar para el caso de una variable independiente x por f(x) = 0, la solución de esta ecuación son los valores de x que hacen que la función sea cero, a los valores de x que solucionan la ecuación se les denomina raíces o ceros de la ecuación, y gráficamente representan los puntos donde la función f(x) cruza el eje de las x.

2.2.1 Fundamento Matemático

En las matemáticas de ingeniería, generalmente tienen que hallarse soluciones de ecuaciones de la forma

f(x) = 0

es decir, números x0 tales que f (x0) = 0. En la mayoría de los casos tienen que usarse métodos de aproximación para encontrar x0 tal que satisfaga f (x0) 0.

2.3 Métodos de Intervalo

Estos métodos se caracterizan por el hecho de que una función cambia de signo al cruzar el eje de la variable independiente. Por ello es necesario proponer un intervalo donde suceda esto, es decir el intervalo propuesto debe contener la raíz.

2.3.1 Método de Bisección.

17

Es el más simple de los métodos y consiste en proponer un intervalo que contenga la raíz, acotando ésta dividiendo a la mitad el intervalo en subintervalos, localizando la mitad que contiene la raíz, procediendo así sucesivamente hasta un valor aceptable de la raíz.

Algoritmo: Métodos que usan intervalo (Bisección)Entrada. Tolerancia (s), número máximo de iteraciones (NMI), proponer un intervalo

[x1, x2] de tal manera que f(x1) f(x2) < 0.

Paso 1 Calcular .Paso 2 Tomar i = 2.Paso 3 Mientras i NMI seguir pasos 3 a 8.Paso 4 Si f(x1) f(xp) < 0 Tomar x2 = xp

Si NO tomar x1 = xp

Paso 5 Tomar .

Paso 6 Si |

xa−x p

xa

|×100<ε s

Salida raíz aproximada xr

Paso 7 Tomar xp = xa

Paso 8 Tomar i = i+1Salida No se alcanzó convergencia xp

Parar

2.3.2 Método de la Regla Falsa

En este método se supone que la función en el intervalo propuesto se comporta aproximadamente como una línea recta.El algoritmo es análogo al método de la bisección, solo se cambia la ecuación del método:

xa=x2−f ( x2) (x1− x2 )f (x1)−f (x2 )

18

Figura 2.1 Deducción de la ecuación del método de la Regla Falsa

Ejemplo

Encontrar una raíz de la función f(x1) = x3 - 2x – 1 en el intervalo [1, 2]

19

Figura 2.2 GUI Método de la Bisección

20

Figura 2.3 GUI Método de la Regla FalsaPortafolio de Evidencias

a) Hacer un programa (diagrama de flujo y seudocódigo) para resolver f(x)=x3- 8 usando los métodos bisección y regla falsa. Codificar y ejecutar en scilab

b) Utilizar software matemático para encontrar la raíz de una ecuación no lineal (Excel, Polymath, Matlab, etc.)

2.4 Métodos de Punto FijoEstos métodos se caracterizan por el uso de un valor inicial cercano a la raíz, que es usado para encontrar un nuevo valor que puede converger a la raíz o divergir de ésta.

2.4.1 Método de Aproximaciones SucesivasEste método se usa para encontrar la raíz de f(x) = 0 expresando esta función de tal forma que x = g(x) para un intervalo cerrado [x1, x2] donde g [x1, x2] para toda x [x1, x2], y g (x) < 1 para toda x [x1, x2].Por ejemplo:

f(x) = x3 - 2x - 1 g [1,2]

f(x) = x(x2 - 2) - 1 g [1,2]

f(x) = x3 - 2x - 1 g [1,2]

g (x) < 0.32Si las condiciones anteriores no se cumplen no se asegura convergencia.

21

El esquema iterativo que se aplica es xi+1 = g(xi)Algoritmo: Métodos abiertos (Punto fijo)

Entrada. Aproximación inicial a xp, tolerancia (s), número máximo de iteraciones (NMI).Paso 1 Tomar i = 1.Paso 2 Mientras i NMI seguir pasos 2 a 6.Paso 3 Tomar xa = g(xp)

Paso 4 Si Salida raíz aproximada xr

Paso 5 Tomar xp = xo

Paso 6 Tomar i = i+1Salida No se alcanzó convergenciaParar

Ejemplo

Encontrar una raíz de la función f(x) = x3 - 2x - 1 xp = 1 s = 0.005 NMI = 5

Figura 2.4 GUI Método de Punto fijo

22

2.4.2 Método de Newton

El algoritmo es análogo al método de punto fijo, solo cambia en el paso 3, donde la ecuación para el método de Newton es:

Figura 2.5 Geometría del método de newton

23

Ejemplo

Encontrar una raíz de la función f(x) = x3 - 2x - 1 f (x) = 3x2 – 2 xp = 1 s = 0.005 NMI = 5

Figura 2.6 GUI Método de Newton-Rhapson

24

2.4.3 Método de la Secante

Este método es semejante al de Newton, aunque no tiene su convergencia cuadrática, ya que en lugar de calcular la derivada de la función, se aproxima ésta mediante una diferencia finita hacia adelante.La ecuación del método es:

Esta ecuación es semejante a la del método de la regla falsa, con la diferencia que en el método de la secante la raíz no necesariamente se encuentra entre x1 y x2.

El algoritmo es semejante al de punto fijo, solo que en la entradas se proponen dos valores: x1 y x2, y además se cambia la ecuación del método. El paso 5 se modifica tomando x1 = x2 y x2 = xa.

Ejemplo 2.4f(x) = x3 - 2x - 1 x1 = 1, x2 = 2 s = 0.005 NMI = 5

Figura 2.7 GUI Método de la Secante

25

Portafolio de EvidenciasHacer un programa (diagrama de flujo y seudocódigo) para resolver f(x)=x2-4 usando los métodos Punto fijo, Newton y Secante. Codificar y ejecutar en scilab2.5 Otros Métodos

2.5.1 Método de von Mises

El método de Newton tiene algunas variantes que dan origen a otros métodos, un caso especial en el cual el método de Newton puede presentar problemas en su aplicación, es cuando los puntos xi están muy alejados de la solución o bien f`(xi) es cercana a cero. Para resolver este problema von Mises propuso sustituir el denominador f`(xi) por f`(xo)Por lo tanto la ecuación del método es

xa=x p−f ( x p)f ' ( x0)

Ejemplo 2.5f(x) = x3 - 2x - 1 f (x) = 3x2 – 2

Figura 2.8 GUI Método de Von Mises

No se alcanzo convergencia en cinco iteraciones, podemos observar que la convergencia es muy lenta utilizando este método, se requieren aproximadamente ochenta iteraciones para alcanzar convergencia con la tolerancia deseada.

26

2.6 Aplicaciones

Aplicación: Cálculo de Volúmenes molares

Conceptos utilizados. Uso de ecuaciones de Estado para el cálculo de propiedades termodinámicas de sustancias puras.

Curso. Termodinámica, Fisicoquímica I

Problema.Dado que la presión de vapor del Cloruro de Metilo a 60 °C es de 13.76 bar, emplee la ecuación de Redlich/Kwong para calcular los volúmenes molares del vapor y líquido saturados a esas condiciones.

Solución El desarrollo moderno de las ecuaciones cúbicas de estado se inicio en 1949 con la publicación de la ecuación de Redlich/Kwong.

P= RTV−b

− a

T1

2V (V +b )

a=0. 4278 R2Tc

2 .5

Pc

b=0.0867 RT c

Pc

Tc = 416.3 °K Pc = 66.8 bar

R=83.14 cm3 bar mol-1 K-1 , T= 333.15 °K, P = 13.76 bar

a=1.56531x108 cm6 bar mol-2 K1/2

b=44.922 cm3 mol-1

Esta ecuación, tiene tres raíces para el volumen, de las cuales dos pueden ser complejas. Físicamente, los valores de V son

reales, positivos y mayores que la constante b. Los volúmenes de líquidos y vapores saturados están dados por la raíz menor

y mayor, respectivamente, cuando P es la presión de saturación.

27

Solución por el Método de Punto fijo

Reacomodando la ecuación:

V i+1=RTP

+b−a (V i−b )

T1

2V i(V i+b )P

Programa 2.1 Método de Punto Fijo PRINT "****************************************************************" PRINT "* INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO *" PRINT "* DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUIMICA Y BIOQUIMICA *" PRINT "* MÉTODOS NUMÉRICOS *" PRINT "* RAIZ DE LA ECUACION DE REDLICH-WONG VAPOR SATURADO *" PRINT "* METODO DE PUNTO FIJO *" PRINT "* INSTRUCTOR: JOSE DOMINGO POPE SOLIS *" PRINT "****************************************************************"

INPUT "NOMBRE DE LA ESPECIE QUIMICA "; COMPUESTO$ INPUT "TEMPERATURA(K) "; T: INPUT "PRESIÓN(BAR) "; P INPUT "TEMPERATURA CRITICA "; TC: INPUT "PRESIÓN CRITICA "; PC INPUT "TOLERANCIA "; ES INPUT "NUMERO MAXIMO DE ITERACIONES "; NMI PRINT: PRINT "VAPOR SATURADO" R = 83.14 a=0.4278*R^2*TC^2.5/PC b=0.0867*R*TC/PC Vp=R*T/P

FOR NI = 1 TO NMI Va = F(Vp,T,P,R,a,b) IF Va = 0 THEN Vp = Va ELSE EA = ABS((Va - Vp) / Va) * 100 IF EA <= ES THEN PRINT: PRINT "VOLUMEN ESPECIFICO DEL ";COMPUESTO$;" = ";Va;" CM^3/MOL " END ELSE Vp = Va PRINT Va END IF END IF NEXT NI PRINT "NO SE ENCONTRO LA RAIZ" NI = NI - 1 PRINT Va, EA, NI END

FUNCTION F(Vp,T,P,R,a,b) F = R*T/P+b-a*(Vp-b)/(T^0.5*Vp*(Vp+b)*P)END FUNCTION

28

Ejecución 2.1 Método de Punto Fijo****************************************************************** INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO ** DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUIMICA Y BIOQUIMICA ** MÉTODOS NUMÉRICOS ** RAIZ DE LA ECUACION DE REDLICH-WONG VAPOR SATURADO ** METODO DE PUNTO FIJO ** INSTRUCTOR: JOSE DOMINGO POPE SOLIS ******************************************************************NOMBRE DE LA ESPECIE QUIMICA CLORURO DE METILOTEMPERATURA(K) 333.15PRESIÓN(BAR) 13.76TEMPERATURA CRITICA 416.3PRESIÓN CRITICA 66.8TOLERANCIA 0.005NUMERO MAXIMO DE ITERACIONES 12

VAPOR SATURADO1761.76121721.691821714.276291712.867951712.59918

VOLUMEN ESPECIFICO DEL CLORURO DE METILO = 1712.54784 CM^3/MOL

29

Solución por el Método de la Bisección

Reacomodando la ecuación:

f (V )= RTV−b

− a

T1

2V (V +b )

−P

Programa 2.2 Método de la Bisección PRINT "****************************************************************" PRINT "* INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO *" PRINT "* DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUIMICA Y BIOQUIMICA *" PRINT "* MÉTODOS NUMÉRICOS *" PRINT "* RAICES DE LA ECUACION DE REDLICH-WONG *" PRINT "* METODO DE LA BISECCIÓN *" PRINT "* INSTRUCTOR: JOSE DOMINGO POPE SOLIS *" PRINT "****************************************************************"'ENTRADA DE DATOS INPUT "NOMBRE DE LA ESPECIE QUIMICA "; COMPUESTO$ INPUT "TEMPERATURA(K) "; T: INPUT "PRESIÓN(BAR) "; P INPUT "TEMPERATURA CRITICA "; TC: INPUT "PRESIÓN CRITICA "; PC INPUT "TOLERANCIA "; ES INPUT "NUMERO MAXIMO DE ITERACIONES "; NMI INPUT "VAPOR SATURADO(TECLEA 1); LIQUIDO SATURADO(TECLEA 2) "; VAPOR R = 83.14 a=0.4278*R^2*TC^2.5/PC b=0.0867*R*TC/PC Vo=R*T/P IF VAPOR=1 THEN PRINT: PRINT "VAPOR SATURADO" V1=Vo+500: V2=Vo-500ELSE PRINT: PRINT "LIQUIDO SATURADO" V1=b+50: V2=b+1END IF

IF F(V1,T,P,R,a,b)*F(V2,T,P,R,a,b)> 0 THEN PRINT "NO HAY RAIZ EN EL INTERVALO PROPUESTO":ENDELSEVp = (V1 + V2) / 2FOR NI=1 TO NMIIF (F(V1,T,P,R,a,b)*F(Vp,T,P,R,a,b))< 0 THENV2=VpELSEV1=VpEND IFVa = (V1 + V2) / 2IF ABS ((Va-Vp)/Va)*100 < ES THEN EXIT FORVp = VaPRINT VaNEXT NIPRINT "VOLUMEN ESPECIFICO DEL ";COMPUESTO$;" = ";Va;" CM^3/MOL "END IFEND

30

FUNCTION F(V,T,P,R,a,b) F = R*T/(V-b) -a/(T^0.5*V*(V+b))-PEND FUNCTION

Ejecución 2.2 Método de la Bisección para Liquido Saturado****************************************************************** INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO ** DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUIMICA Y BIOQUIMICA ** MÉTODOS NUMÉRICOS ** RAICES DE LA ECUACION DE REDLICH-WONG ** METODO DE LA BISECCIÓN ** INSTRUCTOR: JOSE DOMINGO POPE SOLIS ******************************************************************NOMBRE DE LA ESPECIE QUIMICA CLORURO DE METILOTEMPERATURA(K) 333.15PRESIÓN(BAR) 13.76TEMPERATURA CRITICA 416.3PRESIÓN CRITICA 66.8TOLERANCIA .005NUMERO MAXIMO DE ITERACIONES 12VAPOR SATURADO (TECLEA 1); LIQUIDO SATURADO (TECLEA 2) 2

LIQUIDO SATURADO82.671998276.546998273.484498271.953248271.187623271.570435771.379029471.474732671.42688171.402955271.390992371.3850109VOLUMEN ESPECIFICO DEL CLORURO DE METILO = 71.3850109 CM^3/MOL

31

Ejecución 2.3 Método de la Bisección para Vapor Saturado****************************************************************** INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO ** DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUIMICA Y BIOQUIMICA ** MÉTODOS NUMÉRICOS ** RAICES DE LA ECUACION DE REDLICH-WONG ** METODO DE LA BISECCIÓN ** INSTRUCTOR: JOSE DOMINGO POPE SOLIS ******************************************************************NOMBRE DE LA ESPECIE QUIMICA CLORURO DE METILOTEMPERATURA(K) 333.15PRESIÓN(BAR) 13.76TEMPERATURA CRITICA 416.3PRESIÓN CRITICA 66.8TOLERANCIA 0.005NUMERO MAXIMO DE ITERACIONES 12VAPOR SATURADO(TECLEA 1); LIQUIDO SATURADO(TECLEA 2) 1

VAPOR SATURADO1762.942661637.942661700.442661731.692661716.067661708.255161712.161411714.114531713.137971712.649691712.405551712.52762VOLUMEN ESPECIFICO DEL CLORURO DE METILO = 1712.52762 CM^3/MOL

32

Aplicación: Disociación del vapor de agua a temperaturas altas

Concepto utilizadoUso de la constante de equilibrio para calcular la concentración en el equilibrio de oxigeno e hidrogeno

CursoFisicoquímica II

ProblemaEn un proceso químico, el vapor de agua (H2O) se calienta a una temperatura suficientemente alta para que una porción significativa del agua se disocie o se rompa en partes para formar oxígeno (O2) e hidrogeno(H2).

H2O H2 + ½ O2

Determinar el grado de disociación del agua, para las condiciones siguientes.P=2 atmósferas, K= 0.04568

Solución

Para una reacción química en equilibrioK=∏ a i

vi

Donde K es la constante de equilibrio a

i es la actividad molar parcial del componente i en la mezcla reaccionantevi es el coeficiente estequiométrico de la especie i en la mezcla reaccionante

En fases gaseosas ideales a i= f i=f i= y i P=pi

Sustituyendo

K=y H 2

yO21 /2

y H 2O

PP1 /2

P

La fracción molar del componente i puede expresarse mediante la ecuación y i=

ni

n t

=ni

0+v i∈

n0+v∈ Donde se denomina coordenada de reacciónCuando se alimenta estequiométricamente ∈=x siendo x es el grado de conversión o disociación

Balances MolaresnH 2

=n0H 2

+∈

no2=n0o2

+12∈

nH 2O=n0H 2O−∈

v = vi = ½

Base noH2O

=1mol

Sustituyendo

33

K=( ∈1+1

2∈ )(

12∈

1+12∈ )

12

P1

2

( 1−∈

1+12∈ )

Reacomodando K= ∈

1−∈ √ 2∈ P2+∈

f (∈)= ∈1−∈ √ 2∈P

2+∈−K

Para las condiciones en que se efectúa la reacción

f (∈)= ∈1−∈ √ 4∈

2+∈−0 .04568

Solución por un método que usa intervalo y uno abierto

Tabla 1.1 Método de la Regla falsa en el intervalo [0.05, 0.15], NMI = 7, Tolerancia (s =0.005)Iteración Raíz Error aproximado1 8.8081 x10-2 --------------------2 9.5024 x10-2 7.30633 9.6107 x10-2 1.12664 9.6272 x10-2 0.17125 9.6297 x10-2 0.02606 9.6300 x10-2 0.0039

Tabla 1.2 Método de la Secante en el intervalo x1=0.05, x2=0.15, NMI = 7, Tolerancia (s =0.005)Iteración Raíz Error aproximado1 8.8081 x10-2 43.23432 9.7921 x10-2 10.04903 9.6255 x10-2 1.76074 9.6301 x10-2 0.04725 9.6300 x10-2 0.0003

34

F moles/hrz i

V moles/hr y i

L moles/hrx i

Evaluación Sumativa

Problema 1Una alimentación de 100 kmol/h que contiene 10, 20, 30, y 40 moles % de propano (3), n-butano (4), n-pentano (5) y n-hexano (6), respectivamente, entra a una columna de destilación de 100 psia(689.5 kPa) y 200 °F(366.5 °K). Suponiendo que existe equilibrio, ¿Qué fracción de la alimentación entra como liquido y cuales son las composiciones del liquido y el vapor. Datos K3=04.2, K4=1.75, K5=0.74, K6=0.34

Vaporización instantáneaDeterminación de la cantidad de vapor V (moles/hr) y la de líquido L (moles/hr) que se generan en una vaporización instantánea.

Un balance de materia global: F = L + V

Un balance de materia para cada componente: F zi = L xi + V yi i = 1, 2, 3, ……,n

Las relaciones de equilibrio líquido-vapor establecen:

K i=y i

x i i = 1, 2, 3, ……,n

Sustituyendo y combinando ecuaciones tenemos: ∑i=1

n Fzi (K i−1 )F+V (K i−1 )

=0

El valor de V que satisface esta ecuación esta comprendido entre 0 V FPor lo tanto, proponer un valor inicial de V es bastante complicado ya que F puede ser muy grande.Esta dificultad se puede reducir normalizando el valor de V, dividiendo el numerador y el denominador entre F.

35

f (ϕ )=∑i=1

n zi(K i−1 )1+ϕ(K i−1)

=0

f ' (ϕ )=∑i=1

n −zi(K i−1 )2

[1+ϕ(K i−1) ]2=0

Donde = V/F

Problema 2Encuentre el volumen molar del gas butano a 500 °K y 50 bar.

La ecuación cubica de estado genérica:

P= RTV−b

−a(T )

(V+∈b )(1+σb)

Puede ser modificada para Z (factor de compresibilidad) mediante sustituciones adecuadas

Z=1+−q Z− ¿(Z+∈ )(1+σ )

¿

Donde =(Pr/Tr) y q=(Tr)/ (Tr)

Los valores de los parámetros de esta ecuación varían de acuerdo a la ecuación cubica de estado que se utiliza, para la ecuación de Redlich-Wong =1, =0, =0.8664, =0.42748, (Tr)= Tr-1/2

Para el caso de del butano a las condiciones dadas Tr = 1.176, Pr = 1.317, =0.09703 y q=3.8689

Sustituyendo en la ecuación tenemos

Z=1.09703−0.3754Z−0.09703

( Z )(Z+0.09703)

Resolver esta ecuación por los métodos numéricos vistos en la unidad.

36

UNIDAD III. Solución de sistemas de ecuaciones

Competencia especifica a desarrollar en la unidadResolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales mediante un algoritmo de programación

IntroducciónMuchos sistemas en ingeniería y en matemáticas aplicadas pueden representarse adecuadamente mediante un sistema de ecuaciones lineales. Por lo que, los métodos numéricos desarrollados en esta unidad, aparecerán como herramientas en otras unidades.

3.1 Algebra Matricial.

El álgebra matricial es una parte esencial en muchas áreas del conocimiento, ya que las matrices representan herramientas convenientes para considerar un arreglo de muchos números mediante un solo símbolo, y por lo tanto, la sistematización de cálculos laboriosos, ya que proveen una notación compacta para almacenar información y describir relaciones complicadas.

Una matriz es un conjunto de números colocados como arreglos rectangulares y encerrados entre paréntesis, los componentes individuales de la matriz se llaman sus elementos.La notación aij en una matriz, designa al elemento ene la i-ésima fila, y en la j-ésima columna. Los subíndices se emplean para indicar los elementos designando primero la fila y luego la columna.

Notación Matricial Definimos que una matriz consta de un arreglo rectangular de elementos representados por un símbolo simple

Generalmente se utiliza la expresión “matriz de m n” y escribimos “matriz m n” para referirnos a una matriz de m filas y n columnas.Al conjunto horizontal de elementos se le llama renglónAl conjunto vertical de elementos se le llama columna

Las matrices con dimensión m =1 en el renglón se les llama vectores renglón.

[ 3, -1, 2, 0, 5, 4 ] Vector renglón de seis columnas

Las matrices con dimensión n =1, se les conoce como vector columna.

37

[ A ]=[a11 a12 a13 … a1n

a21 a22 a23 … a2n

a31 a32 a33 … a3n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am2 am3 … amn

][B ]=[b1 , b2 , …, bn ]

[C ]=[c1

c2

⋮cn]

A las matrices donde m = n se les llama cuadradas.

Se le llama diagonal principal de la matriz a la diagonal consistente de los elementos a11, a22, a33, a44,...Reglas de Operación sobre Matrices La suma de dos matrices [A] y [B], se realiza sumando los elementos correspondientes de cada matriz. Los elementos de la matriz [C] resultante se calculan como:

cij = aij + bij

para i = 1,2,3,….., m j =1,2,3,….,n

Para multiplicar dos matrices se requiere que el número de columnas sea igual al número de renglones de la otra, la dimensión de la matriz resultante será el número de renglones y el número de columnas de la otraLa multiplicación no es conmutativa

[A][B]=[C] [A]mn[B]np=[C]mp

c ij=∑k=1

n

aik bkj

Transpuesta Comprende la transformación de sus renglones en columnas

[C ]=[c11

c21

c31

c41]

entonces [C]T = [c11, c21, c31, c41,]Tipos de MatricesSimétricaPara toda i y para toda j aij = aji

DiagonalTodos los elementos fuera de la diagonal principal son iguales a cero

IdentidadEs una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son igual a 1

38

[ A ]=[5 7 2 1 37 4 9 6 82 9 8 3 51 6 3 3 13 8 5 1 9

][ A ]=[a11 0 0 0

0 a22 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44]

[ I ]=[1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

]

Triangular Superior DerechaTodos los elementos bajo la diagonal principal son cero.

AumentadaEs el resultado de aumentarle una columna (o más columnas) a la matriz original.

[ A ]=[a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44] si se desea aumentar con una matriz identidad

[ A ]=[a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

|

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1 ]

Portafolio de evidenciasUtilizar software matemático Matlab o Scilab para desarrollar las operaciones matriciales de suma, resta y multiplicación de arreglos o vectores.3.1.1 Teoría de los Sistema Lineales.

La forma general de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es:

Donde las aij son coeficientes constantes, las C son constantes y n es el número de ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales se puede representar en forma matricial como

[A] [X] = [C]

[ A ]=[a11 a12 a13 …+ a1n

a21 a22 a23 …+ a2n

a31 a32 a33 …+ a3n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am 2 am3 …+ amn

]donde [A] es una matriz cuadrada de n por n

39

nnnnnnnn

nn

nn

nn

C

C

C

C

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

⋮…

⋮⋮⋮⋮………

3

2

1

33221

3333232131

2323222121

1313212111

[ A ]=[a11 a12 a13 a14

0 a22 a23 a24

0 0 a33 a34

0 0 0 a44]

[C] es un vector columna n 1 de constantes [C ]T=[c1 c2 c3 c 4 ]

[X] es un vector columna de n 1 incógnitas [ X ]T= [ x¿ 1 x2 x3 x4 ]

Si c1, c2, c3, cn son cero, se dice que el sistema es homogéneo, en este caso tiene por lo menos la solución trivial x1 = x2 = x3

= xn = 0, tiene más soluciones si y solo si, D = 0.Si por lo menos c1 o cualquier otra cn no es cero, se dice que el sistema es no homogéneo. Entonces si D es distinto de cero, el sistema tiene precisamente una solución que puede obtenerse por algún método analítico o numérico.

Determinantes

Los determinantes surgen en relación con los sistemas de ecuaciones lineales.Por ejemplo en el sistema

a11 x1 + a12 x2 = b1

a21 x1 + a22 x2 = b2 (1)en el que las incógnitas son x1, y x2.

Para resolver este sistema, puede multiplicarse la primera ecuación por a22, la segunda por -a12 y sumar, encontrando

(a11 a22 - a21 a12) x1 = b1 a22 – b2 a12

Entonces se multiplica la primera ecuación de (1) por -a21, la segunda por a11 y se suma nuevamente, encontrando

(a11 a22 - a21 a12) x2 = a11 b2–a21 b1

Si a11 a22 - a21 a12 no es cero, puede dividirse y obtener el resultado deseado

x1=b1 a22−b2 a12

a11 a22−a21a12

x2=b2 a11−b1 a21

a11 a22−a21a12 (2)

La expresión de los denominadores se escribe en la forma

|a11 a12

a21 a22

|

y se llama determinante de segundo orden. Entonces

|a11 a12

a21 a22

|= a11 a22 - a21 a12

Los cuatro números a11, a12, a21, a22 se llaman elementos del determinante. Se dice que los elementos en una línea horizontal forman un renglón y que los elementos en una línea vertical forman una columna del determinante.Ahora puede escribirse la solución (2) del sistema (1) en la forma

x1=D1

Dx2=

D2

D (D 0)donde

D=|a11 a12

a21 a22

| D1=|b1 a12

b2 a22

| D2=|a11 b1

a21 b2

|

Esta fórmula se llama Regla de Cramer. Nótese que D1 se obtiene reemplazando la primera columna de D por la columna con elementos b1, b2 y D2 se obtiene reemplazando la segunda columna de D por esa columna.

40

Una forma distinta de evaluar el determinante de un sistema de ecuaciones se basa en el hecho de que el determinante de una matriz triangular se puede calcular simplemente con el producto de los elementos de su diagonal

D = a11 a22 a33 ... ann

3.2 Métodos de Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Estos generalmente son de dos tipos: métodos directos y métodos que usan técnicas iterativas

3.2.1 Eliminación Gaussiana

El método de eliminación de Gauss se usa para resolver conjuntos de ecuaciones lineales.Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse como:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ........+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ........+ a2n xn = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ........+ a3n xn = b3

.................................................................an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + ........+ ann xn = bn

Escrito en forma matricial:

A x = bAlgoritmo: Eliminación gaussiana

El método consiste de dos fases: la eliminación de incógnitas y su solución mediante sustitución hacia atrás.

Eliminación de incógnitas.

1. Para aplicar el método se divide la ecuación pivote por el elemento que corresponde a la diagonal principal, llamado elemento pivote

A este proceso se le conoce como “normalización”.

2. Se multiplica esta ecuación por el elemento que se quiere eliminar en la ecuación correspondiente

3. La ecuación resultante se resta de la ecuación que contiene el término a eliminar

41

[a11 a12 a13 .. . a1 n

a21 a22 a23 .. . a2 n

a31 a32 a33 .. . a3 n

.. . . .. .. . .. . .. .an 1 an2 an3 .. . ann

] [x1

x2

x3

. ..xn

]=[b1

b2

b3

.. .bn

]

a11 x1

a11

+a12 x2

a11

+a13 x3

a11

+. . .+a1n xn

a11

=b1

a11

a21

a11 x1

a11

+a21

a12 x2

a11

+a21

a13 x3

a11

+. ..+a21

a1 n xn

a11

=a21

b1

a11

(a21−a21

a11

a11) x1+(a22−a21

a12

a11) x2+(a23−a21

a13

a11)x1+. ..+(a2n−a21

a1 n

a11) xn=(b2−a21

b1

a11)

a’22 x2 + a’23 x3 +........+ a’2n xn = b’2

El sistema lineal queda

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ........+ a1n xn = b1

a’22 x2 + a’23 x3 +........+ a’2n xn = b’2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ........+ a3n xn = b3

.................................................................an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + ........+ ann xn = bn

El procedimiento se repite hasta que se elimina la primera incógnita de las ecuaciones restantes, y después la segunda, tercera y hasta la n-1esima incógnitas

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ........+ a1n xn = b1

a’22 x2 + a’23 x3 + ........+ a’2n xn = b’2

a’’33 x3 + ........+ a’’3n xn = b’’3

................................................ an-1

nn xn = bn-1n

Que representado en forma matricial generaría una matriz triangular superior derecha.

Sustitución hacia atrás.

La última ecuación resultante se puede resolver a para xn, este resultado se sustituye en la ecuación inmediata anterior, y así sucesivamente

42

x i=bi− ∑j=i+1

n

aij x j i=n−1 , n−2 ,. .. 1

Ejemplo

Dado el problema -12 x1 + x2 - 7 x3 = -80 x1 - 6x2 + 4 x3 = 13 -2 x1 - x2 + 10 x3 = 92

Encontrar los valores de x1, x2, x3.

Escrito en forma matricial

Figura 3.1 GUI Método de Gauss

43

[12− 1 7−1 6− 4

2− 1− 10 ] [x1

x2

x3]=[−80

1392 ]

921012

13461

807112Ecuación Pivote

Elementos a eliminar

3333105166711166710

3333641673916750

807112

...

...

333310512

80292 .

3333612

80113 .

3333105166711166710

3333641673916750

807112

...

...Nueva Ecuación Pivote

Elemento a eliminar

08451044931000

3333641673916750

807112

..

... 084510491675

33336166713333105 .

.

...

Eliminación de incógnitasPara aplicar el método de eliminación gaussiana simple se forma la siguiente matriz ampliada

Se repite el procedimiento hasta formar una matriz triangular superior derecha haciendo ceros los elementos bajo la diagonal principal.

-12 x1 + x2 - 7 x3 = -80 - 5.9167 x2 + 3.4167 x3 = 6.3333

10.493 x3 = 104.0845

Sustitución hacia atrás

44

65774

91675

9194941673333362 .

.

...

x

x3

100921012

01013461

001807112Ecuación pivote

100921012

01013461

00083306667658330083301 ....

0833012

1.

10166703333105166711166710

010833303333641673916750

00083306667658330083301

....

....

....

2 (2)(1)= 01 (2)(0.0833)=1.166710 (2)(0.5833)= 11.166792 (2)(6.6667)= 105.33330 (2)( 0.0833)= 0.16670 (2)(0)= 01 (2)(0)= 1

1(1)(1) = 0 6 (1)(0.0833)= 5.91674 (1)(0.5833)= 3.416713 (1)(6.6667)= 6.33330 (1)(0.0833)= 0.08331(1)(0) = 10(1)(0) = 0

3.2.2 Matriz InversaSi una matriz A es cuadrada no singular (det A 0), hay otra matriz A-1 llamada inversa de A tal que

A A-1 = A-1 A = I3.2.3 Gauss-Jordan (Inversión de Matrices)Ejemplo 3.2Dado el problema

-12 x1 + x2 - 7 x3 = -80 x1 - 6x2 + 4 x3 = 13-2 x1 - x2 + 10 x3 = 92

Encontrar los valores de x1, x2, x3.Escrito en forma matricial

Figura 3.2 GUI Método de Gauss-Jordan(Matriz Inversa)

Algoritmo: Método de Gauss-JordanPara aplicar el método de eliminación Gauss-Jordan simple se forma una matriz ampliada y se aplican los siguientes pasos

A x I

1. Normalizar la ecuación pivote, dividiéndola entre el elemento pivote (el elemento correspondiente a la diagonal principal)

2. Multiplicar la ecuación pivote por el elemento que se quiere hacer cero en la columna del elemento pivote y se resta esta ecuación de la ecuación que contiene el elemento a eliminar

45

26841

-129194976577480

1 ... x

x2 x3

x3=104 . 084510. 493

=9. 9194

[12− 1 7−1 6− 4

2− 1− 10 ] [x1

x2

x3]=[−80

1392 ]

11972018310084510449301000

01690001410070415775010

00141008450577565352001

....

....

....

Nueva ecuación pivote.Resultado de dividir segunda ecuación entre (-5.9167)

Resultado de restar a la primera ecuación la ecuación pivote multiplicada por (-0.0833)

Resultado de restar a la tercera ecuación la ecuación pivote multiplicada por (-1.1667)

09530018800175091959100

0550169000242065774010

0510014100752026841001

....

....

....Nueva ecuación pivote.Resultado de dividir segunda ecuación entre 10.4930

Resultado de restar a la primera ecuación la ecuación pivote multiplicada por 0.5352

Resultado de restar a la segunda ecuación la ecuación pivote multiplicada por (-0.5775)

3. Se repiten los pasos 1. y 2. hasta formar una matriz identidad en el lado izquierdo de la matriz ampliada, el lado derecho es la matriz inversa.

3.2.4 Regla de Cramer

Se define un determinante de tercer orden para el sistema

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3= b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3= b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3= b3 (3)

por la ecuación

D=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

|=a11|a22 a23

a32 a33

|−a21|a12 a13

a32 a33

|+a31|a12 a13

a22 a23

|

(4)

Si se desarrollan los determinantes de segundo orden en la ecuación anterior se obtiene

D = a11 a22 a33 - a11 a32 a23 + a21 a32 a13 - a21 a12 a33 + a31 a12 a23 - a31 a22 a13

Los determinantes de segundo orden en (4), que se encuentran multiplicados por ai1, donde i = 1, 2 ó 3, se obtienen de D omitiendo la primera columna y el i-ésimo renglón de D.Nótese que los elementos de D están arreglados en el mismo orden en el que se presentan como coeficientes en el sistema de ecuaciones (3), y Dj donde j = 1, 2 ó 3 se obtiene a partir de D reemplazando la j-ésima columna por la columna con elementos b1, b2, b3.

Si D 0 entonces (3) tiene la solución única

x1=D1

Dx2=

D2

Dx3=

D3

D

EjemploDado el problema

-12 x1 + x2 - 7 x3 = -80 x1 - 6x2 + 4 x3 = 13-2 x1 - x2 + 10 x3 = 92

Encontrar los valores de x1, x2, x3.

46

El determinante del sistema es

D=|−12 1 −7

1 −6 4−2 −1 10

|=−12|−6 4−1 10

|−1| 1 −7−1 10

|−2| 1 −7−6 4

|

D =

|−12 1 −7

1 −6 4−2 −1 10

| = -12(-6)(10) + 12(-1)(4) - 1(1)(10) + 1(-1)(-7)–2(1)(4) + 2(-6)(-7)

D = 745

D1 =

|−80 1 −713 −6 492 −1 10

|= 945 D2 =

|−12 −80 −7

1 13 4−2 92 10

|= 3470

D3 =

|−12 1 −80

1 −6 13−2 −1 92

| = 7390

x1 = 1.2685 x2 = 4.6577 x3 = 9.9195

Portafolio de Evidenciasa) Hacer un programa (diagrama de flujo y seudocódigo) para resolver un sistema de n ecuaciones lineales con n

incógnitas usando el método de gauss simple. Codificar y ejecutar en scilabb) Utilizar software matemático para encontrar la inversa de una matriz (Excel, Polymath, Matlab, etc.)

3.2.5 Métodos Iterativos

3.2.5.1 Jacobi

El sistema de ecuaciones lineales a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ........+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ........+ a2n xn = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ........+ a3n xn = b3

.................................................................an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + ........+ ann xn = bn

puede representarse en forma matricial como A x = b.Donde la matriz A puede representarse como la suma de dos matrices, una matriz diagonal D y otra matriz C de modo que (D + C ) x = b, y reacomodando

Dx + Cx = b Dx = b - Cx

Esta última ecuación se puede usar para aproximar la solución mediante un proceso iterativo.Nótese la semejanza con el método de punto fijo desarrollado en la unidad anterior. El criterio de convergencia para este es que los elementos de la diagonal principal de la matriz A sean dominantes, es decir

47

x=(b−Cx )

D

x i+1=(b−Cxi )

D

La aplicación de la ecuación del método al sistema de ecuaciones sería entonces

Como en todos los procesos iterativos, se requiere dar una aproximación inicial, que en este caso sería un vector solución inicial x0, así como un criterio de convergenciaQue deberá cumplirse para cada elemento del vector actual y previo; también se dará el número máximo de iteraciones.Ejemplo

Dado el problema

-12 x1 + x2 - 7 x3 = -80 x1 - 6x2 + 4 x3 = 13-2 x1 - x2 + 10 x3 = 92

Encontrar los valores de x1, x2, x3 por el método de Jacobi.x0 = [0, 0, 0]. s = 0.05. Número máximo de iteraciones = 5.

48

x1 , i+1=[b1− (a12 x2, i+a13 x3 ,i+. . .+a1 , n xn, i ) ]a11

x2, i+1=[b2−(a21 x1, i+a23 x3 , i+.. .+a2, n xn ,i )]a22

x3, i+1=[b3−(a31 x3 ,i+a32 x2 , i+.. .+a3, n xn , i )]a33

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

xn, i+1=[bn−(an ,1x1 , i+an ,2 x2, i+. ..+an ,n−1 xn−1 , i )]an ,n

|aii|>∑i≠ j

|aij|

|(x i+1−x i )

x i+1

|×100<ε s

10

2926

41312

780

2113

3112

3211

iii

iii

iii

xxx

xxx

xxx

,

,

,

29

10

00292

166726

04013

667612

07080

13

12

11

.

.

.

,

,

,

x

x

xx1,0 = 0x2,0 = 0x3,0 = 0

s

i

iia

si

iia

si

iia

x

xx

x

xx

x

xx

100

100

100

13

3133

12

2122

11

1111

,

,,

,

,,

,

,,

a1 = a2 = a3 = 100¿ a i < s? NO

316710

10

1667266676292

077856

2946667613

1194112

2971667280

23

22

21

...

...

...

,

,

,

x

x

x

Figura 3.3 GUI Método de Jacobi

Primera iteración

Segunda iteración

49

93179

10

0778511941292

897746

31671041194113

0717112

31671070778580

33

32

31

...

...

...

,

,

,

x

x

xa1 = 4.4509a2 = 3.6772a3 = 3.8765¿ a i < s? NO

90419

10

8977407171292

636146

9317940717113

2813112

9317978977480

43

42

41

...

...

...

,

,

,

x

x

xa1 = 16.3584a2 = 5.7111a3 = 0.2887¿ a i < s? NO

91999

10

6361428131292

649646

9041942813113

2756112

9041976361480

53

52

51

...

...

...

,

,

,

x

x

x a1 = 0.4455a2 = 0.2907a3 = 0.1590¿ a i < s? NO¿ NMI ? SI

Tercera iteración

Cuarta iteración

Quinta iteración

3.2.5.2 Gauss-SeidelEste método es una mejora del método de Jacobi, la cual consiste en que los valores de cada aproximación se usan inmediatamente para el cálculo de las aproximaciones sucesivas.El sistema de ecuaciones se modificará entonces de la siguiente manera:

50

x1 , i+1=[b1− (a12 x2, i+a13 x3 ,i+. . .+a1 , n xn, i ) ]a11

x2, i+1=[b2−(a21 x1, i+1+a23 x3, i+. . .+a2 , n xn, i ) ]a22

x3, i+1=[b3−(a31 x1, i+1+a32 x2, i+1+. ..+a3, n xn , i )]a33

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

xn, i+1=[bn−(an , 1 x1 , i+1+an , 2 x2 , i+1+ .. .+an , n−1 xn−1,1+1 )]an , n

10

2926

41312

780

121113

31112

3211

iii

iii

iii

xxx

xxx

xxx

,,,

,,

,

427810

10

055616676292

055616

04667613

667612

07080

13

12

11

...

..

.

,

,

,

x

x

xx1,0 = 0x2,0 = 0x3,0 = 0

s

i

iia

si

iia

si

iia

x

xx

x

xx

x

xx

100

100

100

13

3133

12

2122

11

1111

,

,,

,

,,

,

,,

a1 = a2 = a3 = 100¿ a i < s? NO

EjemploDado el problema

-12 x1 + x2 - 7 x3 = -80 x1 - 6x2 + 4 x3 = 13-2 x1 - x2 + 10 x3 = 92

Encontrar los valores de x1, x2, x3 x0 = [0, 0, 0]. s = 0.05. Número máximo de iteraciones = 5.

Figura 3.4 GUI Método de Gauss-SeidelPrimera iteración

Segunda iteración

51

78599

108678449580292

867846

42781044958013

4958012

42781070556180

23

22

21

...

...

...

,

,

,

x

x

x a1 = 1244.6349a2 = 121.6854a3 = 6.5594¿ a i < s? NO

93129

10

5846436381292

584646

7859943638113

3638112

7859978678480

33

32

31

...

...

...

,

,

,

x

x

x a1 = 63.6457a2 = 6.1772a3 = 1.4631¿ a i < s? NO

91749

10

6634425551292

663446

9312942555113

2555112

9312975846480

43

42

41

...

...

...

,

,

,

x

x

xa1 = 8.6260a2 = 1.6898a3 = 0.1391¿ a i < s? NO

Tercera iteración

Cuarta iteración

Quinta iteración

Portafolio de EvidenciasHacer un programa (diagrama de flujo y seudocódigo) para resolver un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas usando el método de Gauss-Seidel, el programa debe incluir un procedimiento para verificar si el sistema es diagonalmente dominante. Codificar y ejecutar en scilab

52

a1 = 1.1495a2 = 0.1460a3 = 0.0232¿ a i < s? NO¿ NMI ? SI

x1,5=[−80−(4 . 6634−7 (9 . 9174 ) ) ]−12

=1 . 2701

x2,5=[13−(1. 2701+4 (9. 9174 ) ) ]−6

=4 . 6566

x3,5=[92−(−2 (1 . 2701 )−(4 .6566 ) ) ]10

=9. 9197

3.3 Teoría de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

La forma general de un sistema de ecuaciones no lineales es

Definiendo una función F

F(x1, x2, x3,...xn) = [f1 (x1, x2, x3,...xn), f2 (x1, x2, x3,...xn), f3 (x1, x2, x3,...xn), ..., fn (x1, x2, x3,...xn)]

Usando notación vectorial para representar las variables x1, x2, x3,... xn; el sistema puede representarse por

F (x) = 0

La solución a este sistema, es el vector x = [x1, x2, x3,...xn] que hace que simultáneamente todas las ecuaciones sean iguales a cero.

3.4 Métodos de Solución

3.4.1Iteración Secuencial

Anteriormente se desarrolló el método de iteración de punto fijo para resolver la ecuación f(x)=0, transformando esta ecuación en una ecuación de la forma x = g(x), usando el criterio de convergencia g(x)< 1 en el intervalo [a, b] donde g(x) [a, b] para x [a, b].Para el caso de un conjunto de ecuaciones no lineales utilizaremos un procedimiento similar, extendiéndolo a todas las ecuaciones, usando el criterio de convergencia

para toda j = 1, 2, 3...n y K< 1

con la propiedad de para donde D = {(x1, x2,...xn)t ai xi bi para i = 1, 2, ...n}.

EjemploEl sistema no lineal

x12 - 10x1 + x2

2 + 8 = 0x1x2

2 + x1 - 10x2 + 8 = 0

puede transformarse al problema de punto fijo

Demuestre que tiene un único punto fijo en D = {(x1, x2)t 0 x1,x2 1.5}.a) Aplique la iteración funcional para aproximar la solución (Jacobi).

53

f 1 ( x1 , x2 , x3 , .. .xn )=0

f 2 ( x1 , x2 , x3 , .. .xn )=0

f 3 ( x1 , x2 , x3 , .. . xn)=0

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯f n (x1 , x2 , x3 , .. . xn)=0

x1=g1 (x1 , x2 )=x

12+x

22+8

10

x2=g2 (x1 , x2 )=x1 x

22+x1+8

10

b) ¿Acelera el método de Seidel la convergencia?Solucióna)

0.8 g1(x1, x2) 1.250.8 g1(x1, x2) 1.2875

se cumple que siempre que

¶ g2

¶ x1

=|x

22+1

10|≤0 . 325

se cumple con K = 0.9

b) Utilizando el vector solución inicial:

= (0,0)t

= (0.8,0.8)t

= (0.928,0.931)t

= (0.973,0.973)t

= (0.989,0.989)t

= (0.996,0.996)t

c) Utilizando el vector solución inicial:

= (0,0)t

= (0.8,0.88)t

= (0.941,0.967)t

= (0.982,0.990)t

= (0.994,0.997)t

= (0.998,0.999)t

3.4.2 Newton

Si escribimos la serie de Taylor truncada a partir de los términos que contienen segundas derivadas parciales para cada una de las ecuaciones tendremos:Puesto que todas las ecuaciones deben ser cero en las raíces.

54

f 1 , i+1=f 1, i+∂ f 1 , i

∂ x1(x1, i+1−x1 ,i )+

∂ f 1 ,i

∂ x2( x2, i+1−x2 ,i )+.. .+

∂ f 1 ,i

∂ xn( xn, i+1−xn , i )

f 2 , i+1=f 2, i+∂ f 2, i

∂ x1(x1 ,i+1−x1 , i )+

∂ f 2 , i

∂ x2(x2, i+1−x2 , i )+. ..+

∂ f 2 , i

∂ xn(xn ,i+1−xn, i )

f 3 , i+1=f 1, i+∂ f 3, i

∂ x1(x1 ,i+1−x1 , i )+

∂ f 3 , i

∂ x2(x2 ,i+1−x2 , i )+. ..+

∂ f 3, i

∂ xn(xn , i+1−xn ,i )

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

f n, i+1=f 1, i+∂ f n, i

∂ x1(x1 , i+1−x1, i )+

∂ f n, i

∂ x2(x2 , i+1−x2, i )+ .. .+

∂ f n ,i

∂ xn( xn, i+1−xn , i )

Definiendo la matriz J(x) como:

Podemos escribirF (x) + xi J(x) = xi+1 J(x)

Dividiendo entre J(x) y reacomodandoxi+1 = xi - J(x)-1 F (x)

Esta es la ecuación de Newton para sistemas no lineales.Puesto que en cada iteración se tiene que calcular la inversa de la matriz J(x) y esto implica un considerable esfuerzo de cálculo, para evitar este paso se utiliza el artificio de encontrar un vector y que satisfaga

J(x) y = -F (x)Por lo que la ecuación del método quedaría:

xi+1 = xi - J(x)-1 F (x) = xi - J(x)-1 (-J(x) y) = xi + y

55

f 1 , i+∂ f 1 ,i

∂ x1( x1 , i+1−x1, i )+

∂ f 1, i

∂ x2(x2 , i+1−x2, i )+. . .+

∂ f 1, i

∂ xn(xn , i+1−xn ,i )=0

f 2 , i+∂ f 2 , i

∂ x1(x1, i+1−x1 ,i )+

∂ f 2 ,i

∂ x2( x2 , i+1−x2, i )+.. .+

∂ f 2 ,i

∂ xn( xn, i+1−xn , i )=0

f 1 , i+∂ f 3 , i

∂ x1(x1, i+1−x1 ,i )+

∂ f 3 ,i

∂ x2( x2, i+1−x2 ,i )+.. .+

∂ f 3 , i

∂ xn(xn ,i+1−xn, i )=0

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

f 1 , i+∂ f n , i

∂ x1(x1, i+1−x1 ,i )+

∂ f n , i

∂ x2(x2, i+1−x2 , i )+. ..+

∂ f n, i

∂ xn(xn , i+1−xn, i )=0

−f 1, i+x1 ,i

∂ f 1 , i

∂ x1

+x2, i

∂ f 1 , i

∂ x2

+.. .+xn ,i

∂ f 1 , i

∂ xn

=x1 , i+1

∂ f 1 , i

∂ x1

+x2, i+1

∂ f 1, i

∂ x2

+. . .+ xn , i+1

∂ f 1, i

∂ xn

−f 2, i+x1 ,i

∂ f 2 , i

∂ x1

+x2 ,i

∂ f 2 , i

∂ x2

+. ..+xn , i

∂ f 2, i

∂ xn

=x1, i+1

∂ f 2, i

∂ x1

+x2 ,i+1

∂ f 2 ,i

∂ x2

+.. .+xn ,i+1

∂ f 2 ,i

∂ xn

−f 3 ,i+x1 , i

∂ f 3, i

∂ x1

+x2 , i

∂ f 3, i

∂ x2

+. . .+ xn, i

∂ f 3 ,i

∂ xn

=x1 ,i+1

∂ f 3 ,i

∂ x1

+x2, i+1

∂ f 3, i

∂ x2

+. . .+ xn, i+1

∂ f 3, i

∂ xn

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

−f n ,i+x1 , i

∂ f n, i

∂ x1

+ x2 , i

∂ f n ,i

∂ x2

+ .. .+xn, i

∂ f n , i

∂ xn

=x1 , i+1

∂ f n , i

∂ x1

+x2 ,i+1

∂ f n , i

∂ x2

+. ..+xn ,i+1

∂ f n , i

∂ xn

J ( x )=[∂ f 1 ,i

∂ x1

∂ f 1 , i

∂ x2

. . .∂ f 1, i

∂ xn

∂ f 2 ,i

∂ x1

∂ f 2 , i

∂ x2

. . .∂ f 2, i

∂ xn

. .. . .. . . . .. .∂ f n ,i

∂ x1

∂ f n , i

∂ x2

. . .∂ f n, i

∂ xn

]

EjemploEncuentre una solución al siguiente sistema no lineal usando el método de Newton.Itere hasta que║x (i) - x (i-1) ║ < 10-5

x12 - 10x1 + x2

2 + 8 = 0x1x2

2 + x1 - 10x2 + 8 = 0

Figura 3.5 GUI Método de Newton

Solución: Corrida de escritorio

Resolviendo para y en el sistema que establece el método de Newton

J(x)y = -F(x) (1)

donde J(x) es el jacobiano del vector de funciones:

56

xi+1 = xi - y

J (x i )=[ ∂ f 1( x )∂ x1

∂ f 1( x )∂ x2

∂ f 2( x )∂ x1

∂ f 2( x )∂ x2

]=[2 x1−10 2 x2

x2

2+1 2 x1 x2−10 ]

y F(x) es el vector de funciones:

se establece un esquema iterativo donde cada nueva aproximación se obtiene como:

x(k+1) = y + x(k)

Al resolver el sistema tomando como valores iniciales (x1, x2) = (0, 0) se tiene:

que por el sistema (1) resulta:

resolviendo

y el primer valor en la iteración de (x1, x2) genera:

El esquema de iteración genera los siguientes resultados:

(x(1)) = (0.8, 0.88)

(x(2)) = (0.9918, 0.9917)

(x(3)) = (1.0000, 1.0000)

57

F ( x )=[ x12 - 10 x1+ x

22+8

x1 x22+ x1 - 10 x2+8 ]

J (x1 , x2 )=[2 x1−10 2 x2

x22+1 2 x1x2−10 ]=[2 ( 0 )−10 2 (0 )

(0 )2+1 2 (0 ) (0 )−10 ]=[−10 01 −10 ]

[−10 01 −10 ][ y1

y2]=−[88 ]

F ( x )=[ x12 - 10 x1+ x

22+8

x1 x22+ x1 - 10 x2+8 ]=[ (0 )2−10 (0 )+(0 )2+8

(0 ) (0 )2+(0 )−10 (0 )+8 ]=[88 ]

[ y1

y2]=[ 0 .8

0 .88]

( (x1 , x2)(1 ) )t=[00 ]+[ 0 .80.88]=[ 0.8

0. 88]

J (x (1 ) )=[ −8 . 4 1 .761 .7744 −8 .592 ] [ y

1(1 )

y2(1 )]=[0 .1918

0 .1117 ]−F ( x(1 ) )=[−1 .4144−0 .6195 ]

−F ( x(2 ) )=[−0 .0491−0 .0502] [ y

1(2 )

y2(2 )]=[ 0 .0082

−0.0083]J (x (2 ) )=[−8 .0164 1 .98341 .9835 −8 .0329 ]

[ y1(1 )

y2(1 )]=[0 .0000

0 . 0000 ]J (x (1 ) )=[−8 22 −8 ] −F ( x(3 ) )=[00 ]

(x(4)) = (1.0000, 1.0000)

3.4.3 Otros Métodos Mejorados

Como es de observarse en el método de Newton que hemos desarrollado se requiere un gran cantidad de operaciones en cada iteración por lo cual se han propuesto modificaciones a este método, una de las cuales ya tratamos; el método de la secante el cual puede implementarse también para un sistema de ecuaciones no lineales. La otra modificación se plantea enseguida.

3.4.3.1 Método de Newton Modificado

Esta modificación consiste en aplicar el método de Newton desarrollado para una variable en la unidad anterior, a cada variable del sistema, manteniendo sin cambio las otras, hasta alcanzar convergencia, lo cual no siempre ocurre, representado esto una de las desventajas de la modificación.

Ecuación del método:

x ik+1=xi

k−f i ( xk+1 , xk )

∂ f i( xk+1 , xk )∂ x i

Ejemplo

Encuentre una solución al siguiente sistema no lineal usando el método de Newton modificado.

x0=[0,0 ]T , Itere hasta que║x (i) - x (i-1) ║ < 2.5x10-3

f 1( x1 , x2 )=x15−10 x1+x2

2+8=0

f 2( x1 , x2)= x1 x22+x1−10 x2+8=0

x1k+1=x1

k−f 1 ( x1

k , x2k )

∂ f 1( x1k , x2

k )∂ x1

x2k+1=x2

k−f 2 ( x1

k+1 , x2k )

∂ f 2( x1k+1 , x2

k)∂ x2

∂ f 1( x1 , x2 )∂ x1

=2 x1−10∂ f 2( x1 , x2)

∂ x2

=2 x1 x2−10

Primera iteración

x11=x1

0−f 1 ( x1

0 , x20 )

∂ f 1( x10 , x2

0 )∂ x1

=0− 8−10

=0. 8 x21=x2

1−f 2 ( x1

1 , x20 )

∂ f 2( x11 , x2

0 )∂ x2

=0− 8 . 8−10

=0 . 88

Segunda iteración

58

x12=x1

1−f 1 (x1

1 , x21 )

∂ f 1 ( x11 , x2

1 )∂ x1

=0 . 8−1 . 4144−8 .4

=0. 9684 x22=x2

2−f 2 ( x1

2 , x21 )

∂ f 2( x12 , x2

1 )∂ x2

=0 .88− 0.9183−8 .2957

=0. 9907

Tercera iteración

x13=x1

2−f 1 ( x1

2 , x22 )

∂ f 1( x12 , x2

2 )∂ x1

=0 .9684− 0 .2353−8 . 0632

=0 . 9976

x23=x2

3−f 2( x1

3 , x22 )

∂ f 2( x13 , x2

2)∂ x2

=0 . 9907− 0 . 0697−8 . .0234

=0 . 9994

Cuarta iteración

x14=x1

3−f 1( x1

3 , x23 )

∂ f 1 ( x13 , x2

3 )∂ x1

=0. 9976− 0 .0180−8 .0048

=0 .9998

x24=x2

4−f 2( x1

4 , x23 )

∂ f 2( x14 , x2

3 )∂ x2

=0 . 9994− 0 . 0044−8 . 0016

=0 . 9999

Portafolio de Evidenciasa) Hacer un programa (diagrama de flujo y seudocódigo) para resolver un sistema de n ecuaciones no lineales con n

incógnitas usando el método de Newton. Codificar y ejecutar en scilabb) Utilizar software matemático para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones no lineales (Excel, Polymath,

Matlab, etc.)

59

8.6 % Metanol38.8 % Butanol52.6 % Etilen glicol

F = 1000 Kg/hr

30 % Metanol40 % Butanol30 % Etilen glicol

71.6 % Metanol26.8 % Butanol 1.6 % Etilen glicol

53.3 % Metanol44.3 % Metanol 2.4 % Etilen glicol

D1

R1

D2

R2

3.5 Aplicaciones:

Sistemas lineales

Aplicación: Destilación Flash

Conceptos utilizadosCuando un líquido a una presión y temperatura dadas, es alimentado a un destilador que se encuentra a una presión menor a la de alimentación, el líquido bulle muy rápidamente, a esto se llama flash. Si el líquido está compuesto de varias especies químicas, el vapor y el líquido en equilibrio que sale del destilador tienen una composición distinta. Esta operación puede repetirse en otro destilador comprimiendo el líquido que sale de la primera unidad de destilación flash y alimentándolo a otra unidad a una presión menor, separando las especies más volátiles en el vapor y las menos volátiles en el líquido.

CursoBalances de Materia y Energía, Operaciones Unitarias II

ProblemaPara el tren de destilación flash que se muestra en la figura encontrar el flujo másico en las corrientes de salida.

Balances de masa por especie

Metanol 0.716 D1 + 0.533 D2 + 0.086 R2 = 300

Butanol 0.268 D1 + 0.443 D2 + 0.388 R2 = 400

60

Etilen glicol 0.016 D1 + 0.024 D2 + 0.526 R2 = 300

Programa 3.1 Método de Gauss-SeidelPRINT "*****************************************************************"PRINT "* INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO *"PRINT "* DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUÍMICA Y BIOQUÍMICA *"PRINT "* MÉTODOS NUMERICOS *"PRINT "* MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL *"PRINT "* INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS *"PRINT "*****************************************************************"'ENTRADA DE DATOSINPUT "NUMERO DE ECUACIONES ";NDIM A(N,N+1),X(N),XP(N)INPUT "TOLERANCIA ";ESINPUT "NUMERO MAXIMO DE ITERACIONES ";NMIPRINT: PRINT "ENTRADA DE COEFICIENTES"FOR I=1 TO N FOR J=1 TO N PRINT"A(";I;",";J;")= ";:INPUT A(I,J) NEXT J PRINT"B(";I; ")= ";:INPUT A(I,N+1)NEXT IFOR I=1 TO N PRINT"X(";I; ")= ";:INPUT X(I)NEXT IFOR I= 1 TO NMIPRINT: PRINT "ITERACION ";I SEÑAL=0 FOR J = 1 TO N XP(J)=X(J) SUMA=A(J,N+1) FOR K= 1 TO N IF J <> K THEN SUMA = SUMA-A(J,K)*X(K) END IF NEXT K X(J) = SUMA / A(J,J) IF ABS((X(J)-XP(J))/X(J))*100 > ES THEN SEÑAL = 1 PRINT"X(";J; ")= "; X(J) NEXT J IF SEÑAL=0 THEN PRINT "NUMERO DE ITERACIONES ";I FOR J=1 TO N PRINT"X(";J; ")= ";X(J) NEXT J END END IFNEXT IPRINT "NO SE ALCANZO CONVERGENCIA"END

61

Ejecución 3.1 Método de Gauss-Seidel"***************************************************************** INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO ** DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUÍMICA Y BIOQUÍMICA ** MÉTODOS NUMERICOS ** MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL ** INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS ******************************************************************NUMERO DE ECUACIONES 3TOLERANCIA 0.005NUMERO MAXIMO DE ITERACIONES 12ENTRADA DE COEFICIENTESA(1,1)= ?0.716A(1,2)= ?0.533A(1,3)= ?0.086B(1)= ?300A(2,1)= ?0.268A(2,2)= ?0.443A(2,3)= ?0.388B(2)= ?400A(3,1)= ?0.016A(3,2)= ?0.024A(3,3)= ?0.526B(3)= ?300X(1)= ?100X(2)= ?300X(3)= ?500

ITERACION 1X(1)= 135.614525X(2)= 382.969091X(3)= 548.743174

ITERACION 2X(1)= 67.9965944X(2)= 381.184111X(3)= 550.881437

ITERACION 3X(1)= 69.0685268X(2)= 378.662838X(3)= 550.96387

ITERACION 4X(1)= 70.9354951X(2)= 377.461187X(3)= 550.961908

ITERACION 5X(1)= 71.8302559X(2)= 376.921605

X(3)= 550.959311

ITERACION 6X(1)= 72.2322398X(2)= 376.680694X(3)= 550.958075

ITERACION 7X(1)= 72.4117261X(2)= 376.573192X(3)= 550.95752

ITERACION 8X(1)= 72.491818X(2)= 376.525225X(3)= 550.957273

ITERACION 9X(1)= 72.527555X(2)= 376.503823X(3)= 550.957162

ITERACION 10X(1)= 72.5435009X(2)= 376.494273X(3)= 550.957113

ITERACION 11X(1)= 72.5506159X(2)= 376.490012X(3)= 550.957091

ITERACION 12X(1)= 72.5537905X(2)= 376.48811X(3)= 550.957081

NUMERO DE ITERACIONES 12

62

D1 = 72.5537905 Kg/hrD2 = 376.48811 Kg/hrR2 = 550.957081 Kg/hr

63

Sistemas no lineales

Aplicación: Composición de la salida de un reactor

Conceptos utilizados

Para un sistema reaccionante donde ocurre mas de una reacción la constante de equilibrio se expresa como: K j=∏ a i

vi , j

Donde Kj es la constante de equilibrio en la reacción ja

i es la actividad molar parcial del componente i en la mezcla reaccionantevi,j es el coeficiente estequiométrico de la especie i en la reacción j de la mezcla reaccionante

En fases gaseosas ideales a i= f i=f i= y i P=pi

Sustituyendo

K1=yC y D

y A yB

PPPP

K1=yE

2

y A yC

P2

PP

La fracción molar del componente i puede expresarse mediante la ecuación

y i=ni

n t

=ni

0+∑ j

v i , j∈ j

n0+∑ jv j∈ j

Donde j se denomina coordenada de reacción para la reacción j y vj = vi,j Curso

Fisicoquímica II, Diseño de Reactores

Problema

En un reactor a una temperatura dada, se efectúan las siguientes reacciones en fase gaseosa:

A + B C + D K1 = 2.6

A + C 2E K2 = 3.1

Las composiciones iniciales son 2 mol/litro de A y 1 mol/litro de B.

Calcule la composición a la salida del reactor, asumiendo que se alcanza el equilibrio.

Solución

Moles de A = 2 – 1 – 2

Moles de B = 1 – 1

Moles de C = 1 – 2

Moles de D = 1

Moles de E = 22

__________________________

Moles totales = 3

Sustituyendo

2.6 =

(∈1−∈2) (∈1)(2−∈1−∈2) (1−∈1 ) 3.1=

(2∈2)2

(2−∈1−∈2) (∈1−∈2)

Por comodidad i = xi , desarrollando

64

1 .6 x12+3 .6 x1 x2−2 . 6 x2−7 . 8 x1+5. 2=0

0 .9 x22+3 .1 x1

2+6 . 2 x2−6 . 2 x1=0

Que es un sistema de dos ecuaciones no lineales en dos incógnitas,

Solución numérica por el método de Newton

x0=[0.8,0 .4 ]T , NMI = 7, Tolerancia(s = 0.0005)

Programa 3.2 Método de Newton sistemas no lineales PRINT "****************************************************************” PRINT "* INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO *" PRINT "* DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUIMICA Y BIOQUIMICA *" PRINT "* MÉTODOS NUMÉRICOS *" PRINT "* SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES METODO DE NEWTON *" PRINT "* INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS *" PRINT "*******************************************************"********” PRINT

INPUT "NUMERO DE ECUACIONES "; N DIM A(N, N + 1), X(N), XP(N) INPUT "TOLERANCIA "; ES INPUT "NUMERO MAXIMO DE ITERACIONES ";IM CALL ENTRADA N, XP

FOR K = 1 TO IM SEÑAL = 0 CALL JACOBIANA XP, A

CALL GAUSS N, X, A FOR J = 1 TO N IF ABS(X(J)) > ES THEN SEÑAL = 1 NEXT J IF SEÑAL = 1 THEN FOR W = 1 TO N XP(W) = XP(W) + X(W) PRINT XP(W) NEXT W ELSE PRINT " "; K-1; " ITERACIONES"

CALL SALIDA N, XP END END IF NEXT K PRINT "NO ALCANZO CONVERGENCIA" CALL SALIDA N, XP

65

END

SUB ENTRADA N, BYREF XP PRINT : PRINT "ENTRADA DE VALORES INICIALES" FOR I = 1 TO N PRINT "X0("; I; ")="; : INPUT XP(I) NEXT IEND SUBSUB GAUSS N, BYREF X, BYREF A FOR K = 1 TO N - 1 PRINT FOR I = K + 1 TO N QT = A(I, K) / A(K, K) FOR J = K + 1 TO N + 1 A(I, J) = A(I, J) - QT * A(K, J) NEXT J NEXT I FOR I = K + 1 TO N A(I, K) = 0 NEXT I NEXT K X(N) = A(N, N + 1) / A(N, N) FOR NX = 1 TO N - 1 SUM = 0 I = N - NX FOR J = I + 1 TO N SUM = SUM + A(I, J) * X(J) NEXT J X(I) = (A(I, N + 1) - SUM) / A(I, I) NEXT NXEND SUB

SUB JACOBIANA XP, BYREF A A(1, 1) = 3.2 * XP(1) +3.6 * XP(2)- 7.8 A(1, 2) = 3.6 * XP(1) - 2.6 A(1, 3) = (-1)*(1.6*XP(1)^2 + 3.6*XP(1)*XP(2) - 2.6*XP(2) - 7.8*XP(1) + 5.2) A(2, 1) = 6.2*XP(1) - 6.2 A(2, 2) = 1.8*XP(2) + 6.2 A(2, 3) = (-1)*(0.9*XP(2)^2 + 3.1*XP(1)^2 + 6.2*XP(2) - 6.2*XP(1))END SUB

SUB SALIDA N, BYREF XP

PRINT : PRINT "SALIDA DE VALORES FINALES" FOR I = 1 TO N PRINT "XP("; I; ")="; XP(I) NEXT IEND SUB

66

Ejecución 3.2 Método de Newton sistemas no lineales"***************************************************************** INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO ** DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUIMICA Y BIOQUIMICA ** MÉTODOS NUMÉRICOS ** SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES METODO DE NEWTON ** INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS ********************************************************"*********

NUMERO DE ECUACIONES 2TOLERANCIA 0.0005NUMERO MAXIMO DE ITERACIONES 7

ENTRADA DE VALORES INICIALESX0(1)=?0.8X0(2)=?0.4

0.829399430.45613516

0.831437060.45565657

2 ITERACIONES

SALIDA DE VALORES FINALESXP(1)=0.83143706XP(2)=0.45565657

Tabla 3.1 Coordenada de reacciónIteración 1 2

0 (Valor inicial) 0.8 0.41 0.8294 0.45612 0.8314 0.4557

Tabla 3.2 Composición del sistemaEspecie Moles en el

equilibrioComposición

A 0.7129 0.2376B 0.1686 0.0562C 0.3757 0.1252D 0.8314 0.2771E 0.9114 0.3038

67

Evaluación Sumativa

Problema 1Sistema de reactores tipo tanque con agitación

Considere el siguiente sistema de reactores tipo tanque donde:Q = Flujo volumétrico en metros cúbicos por minuto c = concentración en miligramos por metro cúbico

Flujo másico = Q c =

m3

minmgm3

= mgmin

Balance de Materia (Ley de conservación de la materia)

Acumulación = Entradas – Salidas

En el estado estacionario la Acumulación es igual a cero

Entradas = Salidas

Balance en el reactor 1Entradas = Q01 c01 + Q31 c3 = (5)(10) + (1) c3 = 50 + c3

Salidas = Q12 c1 + Q15 c1 = (3) c1 + (3) c1 = 6 c1

50 + c3 = 6 c1

68

Q34 = 8Q23 = 1

Q44 = 11Q24 = 1

C3

Q03 = 8c03 = 20

Q01 = 5c01 = 10

Q15 = 3

Q25 = 1

Q12 = 3

Q31 = 1

Q54 = 2

Q55 = 2

C1 C2 C4

C5

6 c1 - c3 = 50

Realizando balances para los demás reactores, tenemos:Reactor 1: + 6 c1 - c3 = 50Reactor 2: - 3 c1 + 3 c2 = 0Reactor 3: - c2 + 9 c3 = 160Reactor 4: - c2 - 8 c3 + 11 c4 - 2 c5 = 0Reactor 5: -3 c1 - c2 + 4 c5 = 0

Sistema de ecuaciones lineales: Resolver con paquetes de software comercial

Problema 2Parámetros de interacción molecular

La ecuación de Wilson ha sido usada para determinar los parámetros de interacción molecular en sistemas fuertemente no ideales pero miscibles. En su forma binaria

Componente 1 ln γ1=−ln ( x1+⋀12 x2 )−x2[ ⋀12

x1+⋀12 x2

−⋀21

⋀21 x1+ x2]

Componente 2ln γ2=−ln (x2+⋀21 x1 )−x1[ ⋀12

x1+⋀12 x2

−⋀21

⋀21 x1+x2]

Calcular los parámetros de interacción binaria⋀12 y ⋀21 para el sistema etanol-n-hexano dados los siguientes datosxE = 0.332xH = 0.668E = 2.348H = 1.430

69

UNIDAD IV.- Ajuste de Funciones

Competencia especifica a desarrollar en la unidadEvaluar una función que describa un conjunto de datos experimentales mediante herramientas de ajuste

4.1 Fundamentos de Estadística

4.1.1 Conjunto de mediciones experimentalesLa importancia de la estadística matemática en la ingeniería está aumentando, en particular en el análisis de los datos experimentales. Es importante en la evaluación de experimentos y algunos parámetros importantes en el análisis estadístico de datos, obtenidos a partir de experimentos.

4.1.2 Media y desviación estándar

El valor medio de una muestra x1, x2, ..., xn, o brevemente, media de la muestra se denota por x y se define por la fórmula

x=1n∑j=1

n

x j=1n (x1+x2+ .. .+ xn)

Es la suma de todos los valores de la muestra, dividido entre el tamaño de la muestra.

La variancia de una muestra x1, x2, ..., xn, o brevemente, variancia de la muestra se denota por s2 y se define por la fórmula

s2= 1n−1

∑j=1

n

(x j− x )2

Es la suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la muestra respecto a la media, dividido entre n-1.

La desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la variancia s2 y se denota por s.

s=√ 1n−1

∑j=1

n

(x j− x)2

4.2 Interpolación

Si se da una tabla de valores de una función f(x), con frecuencia es necesario obtener valores de f(x) para valores de x intermedios entre los valores tabulados. La solución a este problema se llama interpolación.

Los métodos usuales de interpolación se basan en la suposición de que en la vecindad del valor en cuestión x, f(x) pueda aproximarse por un polinomio P(x), y por lo tanto el valor encontrado de P(x) será una aproximación al valor verdadero de f(x).

4.2.1 Polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton

Sea y = f(x) definida en forma tabular, para la cual se desconoce la expresión analítica.

Tabla 4.1 Diferencias finitas.xi yi = f(xi) f(xi) 2 f(xi) 3 f(xi) 4 f(xi)x0 y0 = f(x0)

f(x1) - f(x0)x1 y1 = f(x1) f(x2)-2f(x1)+f(x0)

f(x2) - f(x1) f(x3)-3f(x2)+3f(x1)-f(x0)x2 y2 = f(x2) f(x3)-2f(x2)+f(x1) f(x4)-4f(x3)+6f(x2)-4f(x1)+f(x0)

f(x3) - f(x2) f(x4)-3f(x3)+3f(x2)-f(x1)

70

x3 y3 = f(x3) f(x4)-2f(x3)+f(x2)f(x4) - f(x3)

x4 y4 = f(x4)

Tabla 4.2 Diferencias divididas finitas

xi yi = f(xi) f`[xi, xi - 1] f`[xi, xi - 1, xi - 2] f`[xi, xi - 1, xi – 2, xi - 3]

x0 y0 = f(x0)

f [ x1 , x0 ]=f ( x1 ) - f ( x0 )

x1−x0

x1 y1 = f(x1)f [ x2 , x1 , x0]=

f [ x2 , x1] - f [ x1 , x0 ]x2− x0

f [ x2 , x1]=f ( x2) - f ( x1 )

x2−x1f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]=

f [ x3 , x2 , x1 ] - f [ x2 , x1 , x0 ]x3−x0

x2 y2 = f(x2)f [ x3 , x2 , x1]=

f [ x3 , x2 ] - f [ x2 , x1 ]x3−x1

f [ x3 , x2 ]=f ( x3) - f (x2)

x3−x2f [ x 4 , x3 , x2 , x1 ]=

f [ x4 , x3 , x2] - f [ x3 , x2 , x1]x4−x1

x3 y3 = f(x3)f [ x 4 , x3 , x2 ]=

f [ x4 , x3 ] - f [ x3 , x2 ]x4−x2

f [ x 4 , x3]=f ( x4) - f ( x3)

x4−x3

x4 y4 = f(x4)

Tabla 4.3 Diferencias divididas finitas (continuación)

xi yi = f(xi) f`[xi, xi - 1, xi – 2, xi - 3] f`[xi, xi - 1, xi – 2, xi - 3, xi - 4]x0 y0 = f(x0)

x1 y1 = f(x1)

f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]=f [ x3 , x2 , x1 ] - f [ x2 , x1 , x0 ]

x3−x0

x2 y2 = f(x2)f [ x 4 , x3 , x2 , x1 , x0]=

f [x 4 , x3 , x2 , x1 ] - f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]x 4−x0

f [ x 4 , x3 , x2 , x1 ]=f [ x4 , x3 , x2] - f [ x3 , x2 , x1]

x4−x1

x3 y3 = f(x3)

x4 y4 = f(x4)

La fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es:

fn(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn

este polinomio puede escribirse en la forma

71

fn(x) = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0) (x – x1) + b3 (x – x0) (x – x1) (x – x2) +...... + bn (x – x0) (x – x1) (x – x2)... (x – xn - 1)

Los coeficientes b0, b1, b2,... , bn se pueden determinar a partir de los datos tabulados sustituyendo en el polinomio los valores de xi para cada par ordenado.

Para x = x0 f(x0) = b0 b0 = f(x0)

Para x = x1 f(x1) = f(x0) + b1 (x1 – x0) b1=

f (x1 )−f ( x0)x1 -x0

=f [ x1 , x0 ]

Para x = x2 f ( x2 )=f (x0)+

f (x1)−f (x0 )x1 -x0

( x2−x0)+b2 ( x2−x0 )( x2−x1)

Como

f (x1)−f ( x0)( x2−x1)

−f (x1 )−f (x0)

x1 -x0( x2−x0

x2−x1)=− f ( x1)−f (x0 )

(x1−x0 )

Entonces

f (x2)−f ( x1 )(x2−x1)

−f (x1)−f ( x0)

( x1−x0)=b2 (x2−x0)

b2=

f [ x2 , x1]−f [ x1 , x0 ]x2−x0

=f [ x2 , x1 , x0 ]

Continuando de la misma manera bn = f[xn, xn -1, xn -2,... , x1, x0]

Por lo que el polinomio puede escribirse en la forma

fn(x) = f(x0) + f[x1, x0] (x – x0) + f[x2, x1, x0] (x – x0) (x – x1) + ...... + f[xn, xn -1,... , x1 , x0] (x – x0) (x – x1) (x – x2) ... (x – xn -1)

Esta expresión recibe el nombre de fórmulas de interpolación de Newton y es aplicable para cualquier valor de x correspondiente o no a la tabla.

Para el caso en que las x0, x1, x2,... , xn se acomoden consecutivamente y estén igualmente espaciadas, el polinomio de interpolación de Newton se puede expresar de un modo distinto

h = xi+1 - xi x = x0 + kh x – xi = (x0 + kh) – (x0 + ih) = kh – ih = (k - i)hfn(x) = f(x0) + f[x1, x0]kh + f[x2, x1, x0]k(k - 1)h2 + f[x3, x2, x1, x0]k(k - 1)(k - 2)h3 + ...

... + f[xn, xn -1,... , x1 , x0] k(k - 1)(k - 2)...(k – (n – 1))hn

72

f ( x2 )−f (x0)=f (x1)− f ( x0)

x1 -x0(x2−x0 )+b2 (x2− x0 ) (x2−x1 )

f ( x2 )−f (x1)+ f (x1)−f (x0 )=f ( x1)−f (x0 )

x1 -x0(x2−x0)+b2 (x2−x0) ( x2−x1)

f (x2)−f ( x1 )(x2−x1)

+f (x1)−f (x0 )

(x2−x1)−

f (x1)−f (x0 )x1 -x0

( x2−x0

x2−x1)=b2 (x2−x0 )

f (x2)−f ( x1 )(x2−x1)

+f (x1)−f (x0 )

(x2−x1)=

f (x1)−f (x0 )x1 -x0

( x2−x0

x2−x1)+b2 ( x2−x0 )

Se puede demostrar que f [ xn , xn -1 ,. .. , x1 , x0 ]h

n= Δn fn !

Por lo que

Esta expresión recibe el nombre de fórmulas de interpolación de Newton con incrementos constantes y es aplicable para cualquier valor de x correspondiente o no a la tabla.

4.2.1.1 Interpolación lineal

Aplicando para un polinomio de primer orden.

fn(x) = f(x0) + f[x1, x0] (x – x0) como

f (x1)−f ( x0)x1 -x0

=f [ x1 , x0 ]

Entonces f ( x )= f ( x0 )+

f ( x1)−f (x0 )x1 -x 0

( x−x0 )

4.2.1.2 Interpolación Cuadrática

Aplicando para un polinomio de segundo orden.

fn(x) = f(x0) + f[x1, x0] (x – x0) + f[x2, x1, x0] (x – x0) (x – x1)

Como

f (x1)−f ( x0)x1 -x0

=f [ x1 , x0 ] y

f [ x2 , x1 ]−f [ x1 , x0 ]x2−x0

=f [ x2 , x1 , x0 ]

f ( x )=f ( x0 )+f ( x1)−f (x0 )

x1 -x 0

( x−x0 ) +

( f (x2 )−f (x1)( x2−x1)

−f (x1 )−f (x0)

( x1−x0 ) )x2−x0 (x – x0) (x – x1)

4.2.2 Interpolación de Lagrange

La formula general de un polinomio de n-esimo orden es:

y = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + .................... + am xm

Este polinomio puede escribirse en la forma:

fn(x) = b0 (x - x1) (x – x2) (x – x3)...... (x – xn) + b1 (x – x0) (x – x2) (x – x3)...... (x – xn) + b2 (x – x0) (x – x1) (x – x3)...... (x – xn) + b3 (x – x0) (x – x1) (x – x2 )...... (x – xn) +............................... .........+ bn (x – x0) (x – x1) (x – x2)...... (x – xn-1)

Los coeficientes b0,b1,b2,........, bn se pueden determinar a partir de los datos tabulados sustituyendo en el polinomio los valores de cada par ordenado.

Para x = x0

fn (x0)= b0 (x0 - x1) (x0 – x2) (x0 – x3)...... (x0 – xn)

b0=f ( x0 )

(x0−x1 )( x0−x2 )( x0−x3 ) .. . .. ..( x0−xn )

73

. ..+k ( k−1 ) (k−2 ) (k−(n−1 ) ) Δn fn!

f n ( x )=f ( x0)+kΔf1 !

+k (k−1 ) Δ2 f2!

+k (k−1 ) (k−2 ) Δ3 f3 !

+. . .

Para x = x1

fn (x1)= b1 (x1 – x0) (x1 – x2) (x1 – x3)...... (x1 – xn)

Procediendo de la misma manera.

Para x = xn

fn (xn)= bn (xn – x0) (xn – x1) (xn – x2)...... (xn – xn-1)

Sustituyendo los valores de los coeficientes en el polinomio.

f n( x )=( x−x1)( x−x2)( x−x3) .. .. . .. .. . .( x−xn)( x0−x1)( x0−x2 )(x0−x3). . .. .. .( x0−xn)

f ( x0)+( x−x0)( x−x2)(x−x3) .. . .. .. . .. .( x−xn )( x1−x0)( x1−x2)( x1−x3) .. . .. ..( x1−xn)

f ( x1)+

. . .. .. . ..+(x−x1 )( x−x2)( x−x3). .. .. . .. .. .( x−xn−1)(xn−x0)( xn−x1)( xn−x2) . .. .. .. (xn−xn−1)

f ( xn)

Una forma de escribir este polinomio es:

4.2.2.1 Interpolación lineal

Aplicando para un polinomio de primer orden.

f1(x)= L0 (x) f(x0) + L1 (x) f(x1) como

Entonces f1(x)= f(x0) + f(x1)

4.2.2.2 Interpolación Cuadrática

Aplicando para un polinomio de segundo orden.

f1(x)= L0 (x) f(x0) + L1 (x) f(x1) + L2 (x) f(x2)

74

Como

Entonces f2(x) = f(x0) + f(x1) + f(x2)

Ejemplo

Dados los datos de la siguiente tabla:

x 1 3 5 7y -

21 2 -3

Calcular el valor de y en x=3.77

Figura 4.1 GUI Método de LaGrange

75

Figura 4.2 GUI Método de Interpolación de Newton y LaGrange

Portafolio de Evidenciasc) Hacer un programa (diagrama de flujo y seudocódigo) para interpolar valores en una tabla usando interpolación

lineal y cuadrática por los métodos de Newton y Lagrange. Codificar y ejecutar en scilabd) Utilizar software matemático para interpolar datos en una tabla (Polymath, Matlab, Matcad, etc.)

76

4.3 Regresión por Mínimos Cuadrados

Si en una función y = f (x) definida en forma tabular, para la cual se desconoce la expresión analítica, se observa una tendencia definida al graficar los puntos, entonces es posible ajustar una curva mediante regresión por mínimos cuadrados.

4.3.1 Regresión Lineal (usando mínimos cuadrados)

Una recta es un polinomio de orden uno: y = a0 + a1 x

Para cada punto definido por el par ordenado ( xi , yi ) se puede escribir : yi = a0 + a1 xi

Sin embargo, si la recta no pasa por todos los puntos habrá una diferencia entre el valor dado por a0 + a1 xi y el valor real yi .Para determinar los valores de a0 , a1 que nos proporcionen la menor diferencia, se utiliza la regresión lineal por mínimos cuadrados.A la diferencia entre el valor proporcionado por a0 + a1 xi y el valor real yi se le llama error.

E = yi - ( a0 + a1 xi ) = yi - a0 - a1 xi

Si elevamos los errores al cuadrado nos evitaríamos que al sumarlos se pudieran anular entre si.

E2 = [yi - ( a0 + a1 xi )]2 = (yi - a0 - a1 xi )2

Si sumamos todos los erroresSr = E2 = (yi - a0 - a1 xi )2

donde la sumatoria opera para i = 1,2,3, ..... , n

Para determinar los valores de a0 y a1 que nos proporcionen el error mínimo se deriva la ecuaciónSr = E2 = (yi - a0 - a1 xi )2 con respecto a a0 y a1 y se iguala a cero.

= 2 (yi - a0 - a1 xi )(-1) = (-2) (yi - a0 - a1 xi ) = 0

= 2 (yi - a0 - a1 xi )(-xi ) = (-2) [ (yi - a0 - a1 xi )(xi)] = 00 = (yi - a0 - a1 xi ) = yi - a0 - a1 xi = yi - n a0 - a1 xi

0 = (yi - a0 - a1 xi )xi = yi xi - a0 xi - a1 xi 2

n a0 + xi a1 = yi

xi a0 + xi 2 a1 = yi xi

Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones normales, y se pueden resolver por algún método adecuado.Si usamos la regla de Cramer

El valor de a0 se puede obtener a partir de la ecuacion n a0 + xi a1 = yi dividiéndola entre n y despejando a0 :

77

a0 = ymedia - a1 xmedia

4.3.1.1 Cuantificación del error en la regresión lineal

La medida más común de la dispersión de una muestra alrededor de un valor medio es la desviación estándar, la cual se define como:

donde St=∑

i=1

n

( y i− y )2

donde St es la suma total de los cuadrados de los residuos entre los valores de la muestra y la media.Se puede observar que existe una similitud entre esta ecuación y la ecuación

Sr=∑i=1

n

[ y i−(a0+a1 x i )]2

En la cual se representan los residuos al cuadrado de la distancia vertical entre los datos y una medida de la tendencia central “La línea recta”Esta analogía se acentúa mas en los siguientes casos:

1.- La dispersión de los puntos alrededor de la recta es de una magnitud similar a lo largo del rango entero de los datos.

2.- La distribución de estos puntos alrededor de esta línea es normal.Si este criterio se cumple la regresión por mínimos cuadrados proporciona la mejor aproximación de a0 y a1 Una desviación estándar de la línea de regresión se puede determinar como:

donde Sy/x se llama error estándar de la aproximación

4.3.1.2 Cuantificación del ajuste

Para cuantificar la eficiencia del ajuste se procede de la siguiente manera:De los datos originales se determina la suma de los cuadrados alrededor de la media(St) para la variable dependiente y.Después de llevar a cabo la regresión lineal, se calcula Sr .La diferencia entre estas dos cantidades, cuantifica la reducción del error debido al modelo de la línea recta.

Se puede normalizar el error mediante: Donde r2 se denomina coeficiente de determinación

Donde r se denomina coeficiente de correlación

Para un ajuste perfecto Sr = 0 y r2 = 1, Si r2 = 0 el ajuste no sirve.

4.4 Ajuste de Curvas Mediante Regresión por Mínimos Cuadrados

Para cualquier análisis de regresión, se trazan y visualizan los datos, para decidir si es correcto o aceptable aplicar el modelo lineal, ya que algunos conjuntos de datos se representan pobremente mediante una línea recta. En estos casos, se recurre a otra técnica para ajustar los datos a alguna curva mas adecuada.

78

4.4.1 Algoritmo para linealización de ecuaciones.Un método alterno es usar una transformación que exprese los datos de manera que sean compatibles con una línea recta. Si se tiene un conjunto de puntos (xi , yi ) al cual se representa pobremente mediante una línea recta, es posible encontrar ecuaciones de transformación u = u (x , y) y v = v (x , y) tal que el conjunto generado (ui , vi ) se ajuste a la línea recta v = a0 + a1 u.

Modelo exponencialy = a eb x sacando logaritmos ln y = ln a + b x

haciendo la transformación u = x v = ln y a0 = ln a a1 = b

obtenemos la ecuación de la línea recta v = a0 + a1 u

Modelo de la potenciay = a x b sacando logaritmos ln y = ln a + b ln x

haciendo la transformación u = ln x v = ln y a0 = ln a a1 = b

obtenemos la ecuación de la línea recta v = a0 + a1 uLa gama de posibles transformaciones es muy amplia, aquí solo se dan dos casos. Estos modelos en sus estados transformados, se ajustan usando regresión lineal por mínimos cuadrados para evaluar los coeficientes a0 y a1 después se pueden transformar a su estado original y usarse para propósitos predictivos.

4.4.2 Regresión polinomial (ajustar una polinomio al conjunto de puntos)

El procedimiento que usamos, para regresión lineal se puede extender para ajustar un polinomio de grado m-esimo o menor a un conjunto de m + 1 puntos.

y = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + .................... + am xm

En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es:

Sr = ( yi - a0 - a1 xi - a2 xi 2- a3 xi 3 - .................... - an xi m )2

Derivando con respecto a cada uno de los coeficientes del polinomio tenemos:

= 2 (yi - a0 - a1 xi - a2 xi 2 - a3 xi 3 - .................... - an xi m )(-1 )

= 2 (yi - a0 - a1 xi - a2 xi 2 - a3 xi 3 - .................... - an xi m )(-xi )

= 2 (yi - a0 - a1 xi - a2 xi 2 - a3 xi 3 - .................... - an xi m )(-xi 2 ) ..............................................................................................................................................................................................................................

= 2 (yi - a0 - a1 xi - a2 xi 2 - a3 xi 3 - .................... - an xi m )(-xi m ) Igualando a cero y reordenando tenemos:

(-2) (yi - a0 - a1 xi - a2 xi 2 - a3 xi 3 - .................... - an xi m ) = 0 (-2) (yi - a0 - a1 xi - a2 xi 2 - a3 xi 3 - .................... - an xi m )xi = 0 (-2) (yi - a0 - a1 xi - a2 xi 2 - a3 xi 3 - .................... - an xi m )xi 2 = 0

(-2) (yi - a0 - a1 xi - a2 xi 2 - a3 xi 3 - .................... - an xi m )xi 3 = 0..................................................................................................................................................................................................................

79

(-2) (yi - a0 - a1 xi - a2 xi 2 - a3 xi 3 - .................... - an xi m )xi m = 0Desarrollando las operaciones indicadas y reordenando

a0 n + a1 xi + a2 xi 2 + .................... + an xi m = yi

a0 xi + a1 xi 2 + a2 xi 3 + .................... + an xi m+1 = xi yi

a0 xi 2 + a1 xi 3 + a2 xi 4 +. ................... + an xi m+2 = xi 2 yi

a0 xi 3 + a1 xi 4 + a2 xi 5 + .................... + an xi m+3 = xi 3 yi

..................................................................................................................

..................................................................................................................a0 xi m + a1 xi m+1 + a2 xi m+2 + .................... + an xi 2m = xi m yi

Las m + 1 ecuaciones son lineales y tienen m + 1 incógnitas.Por lo tanto, el problema de determinar polinomios de grado m con mínimos cuadrados es equivalente a resolver un sistema de m + 1 ecuaciones lineales simultaneas.El error en la regresión polinomial se puede cuantificar mediante el error estándar de aproximación

siendo m el grado del polinomio y el coeficiente de correlación

4.4.3 Regresión lineal múltiple

En algunos casos la variable independiente y depende de varias variables x1, x2, ..., xn

Por lo que se puede establecer la relación mediantey = a0 + a1 x1 + a2 x2 + ........+ am xm

En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es:Sr = ( yi - a0 - a1 x1i - a2 x2i - a3 x3i - .................... - an xmi )2

Derivando con respecto a cada uno de los coeficientes del polinomio tenemos.

= 2 (yi - a0 - a1 x1i - a2 x2i - a3 x3i - .................... - an xmi)(-1 )

= 2 (yi - a0 - a1 x1i - a2 x2i - a3 x3i - .................... - an xmi)(-x1i )

= 2 (yi - a0 - a1 x1i - a2 x2i - a3 x3i - .................... - an xmi)(-x2i ) ..............................................................................................................................................................................................................................

= 2 (yi - a0 - a1 x1i - a2 x2i - a3 x3i - .................... - an xmi)(-xmi )

Igualando a cero y reordenando tenemos.

(-2) (yi - a0 - a1 x1i - a2 x2i - a3 x3i - .................... - an xmi) = 0 (-2) (yi - a0 - a1 x1i - a2 x2i - a3 x3i - .................... - an xmi)x1i = 0 (-2) (yi - a0 - a1 x1i - a2 x2i - a3 x3i - .................... - an xmi)x2i = 0

(-2) (yi - a0 - a1 x1i - a2 x2i - a3 x3i - .................... - an xmi)x3i = 0............................................................................................................

80

............................................................................................................(-2) (yi - a0 - a1 x1i - a2 x2i - a3 x3i - .................... - an xmi)xmi = 0

Desarrollando las operaciones indicadas y reordenando

a0 n + a1 x1i + a2 x2i + .................... + an xmi = yi

a0 x1i + a1 x1i 2 + a2 x2ix1i + .................... + an xmi x1i = x1i yi a0 x2i + a1 x1i x2i + a2 x2i 2 +. ................... + an xmi x2i = x2i yi

a0 x3i + a1 x1i x3i + a2 x2i x2i + .................... + an xmi x3i = x3i yi

.................................................................................................................. .................................................................................................................. a0 xmi + a1 x1i xmi + a2 x2i xmi + .................... + an xmi 2 = xmi yi

Las m + 1 ecuaciones son lineales y tienen m + 1 incógnitas.

Por lo tanto, el problema de determinar polinomios lineales con mínimos cuadrados es equivalente a resolver un sistema de m+1 ecuaciones lineales simultaneas.

El error en la regresión polinomial se puede cuantificar mediante el error estándar de aproximación

siendo m el número de variables.

El coeficiente de correlación

Una aplicación importante de esta técnica es encontrar los valores de a0,a1,a2,........, am en la ecuación de potencias.y=a0 x1

a1 x2

a2 x3

a3. . .. xm

am

La cual se puede transformar tomando logaritmos en:

ln y = ln a0 + a1ln x1+ a2ln x2+ a3ln x3+......., am ln xm

Haciendo v = ln y, a’0 = ln a0 , u1=ln x1 , u2=ln x2, .........., um=ln xm

v = a’0 + a1u1+ a2u2+ a3u3+......., am um

A estas ecuaciones se le puede aplicar la técnica de regresión lineal múltiple para encontrar los valores de a0,a1,a2,........, am

en la ecuación de potencias.

81

Ejemplo

Regresión lineal: y=a0+a1 x

x 0 0.2 2 6 10 14 20y 1 0.99 0.91 0.77 0.67

20.603 0.536

Figura 4.3 GUI Regresión lineal

Tabla 4.4 Ajuste de una línea recta a un conjunto de pares ordenados (x,y)x y x2 x y0 1 0 0

0,2 0,99 0,04 0,1982 0,91 4 1,826 0,77 36 4,62

10 0,672 100 6,7214 0,603 196 8,44220 0,536 400 10,72

52,2 5,481 736,04 32,52Media 7,45714286 0,783

82

a1=7∗35 .52−52 . 2∗5 .481

7∗736 .04−52 . 22=−0 . 02411

a0=0. 783−(−0 . 02411)∗7 . 4571=0 . 9628

Ejemplo

Regresión polinomial

Figura 4.4 GUI Regresión polinomial por mínimos cuadrados

Ajuste de una parábola: y=a0+a1 x+a2 x2

Tabla 4.5 Ajuste de una parábola a un conjunto de pares ordenados (x,y)x y x2 x3 x4 x y x2 y0 1 0 0 0 0 0

0,2 0,99 0,04 0,008 0,0016 0,198 0,03962 0,91 4 8 16 1,82 3,646 0,77 36 216 1296 4,62 27,72

10 0,672 100 1000 10000 6,72 67,214 0,603 196 2744 38416 8,442 118,18820 0,536 400 8000 160000 10,72 214,4

Sumatoria 52,2 5,481 736,04 11968,008 209728,002 32,52 431,1876Media 7,45714286 0,783

83

Sistema de ecuaciones Resultados

7 52,2 736,04 5,481 a0 = 0,9957552,2 736,04 11968,008 32,52 a1 = -0,042199

736,04 11968,008 209728,002 431,1876 a2 = 0,0009694

Ejemplo : Ajuste de una ecuación exponencial: y=aebx

Figura 4.5 GUI Regresión lineal con trasformacionesTabla 4.6 Ajuste de una ecuación exponencial a un conjunto de pares ordenados (x,y)

x y u=x v = lny u2 u v0 1 0 0 0 0

0,2 0,99 0,2 -0,01005034 0,04 -0,002010072 0,91 2 -0,09431068 4 -0,188621366 0,77 6 -0,26136476 36 -1,56818858

10 0,672 10 -0,39749694 100 -3,9749693814 0,603 14 -0,50583808 196 -7,0817331520 0,536 20 -0,62362112 400 -12,4724224

Sumatoria 52,2 5,481 52,2 -1,89268192 736,04 -25,2879449Media 7,45714286 0,783 7,45714286 -0,27038313

84

a1=7∗(−25 .288 )−52 . 2∗(−1 .893 )

7∗736 .04−52. 22=−0 .03222

b = a1 = -0.03222a0=−0 .27038−(−0 . 03222)∗7 . 4571=−0 .030147 a=e−0 .030147=0 .96946

Portafolio de Evidenciasa) Hacer un programa (diagrama de flujo y seudocódigo) para ajustar una curva a un conjunto de datos usando

Regresión por Mínimos Cuadrados (lineal, polinomial, linealizar ecuaciones no lineales y lineal múltiple). Codificar y ejecutar en scilab

b) Utilizar Excel para ajustar datos a una curva.4.5 Aplicaciones: Interpolación

4.5.1 Calculo de propiedades termodinámicas a partir de tablas de vapor

Conceptos utilizadosUna de las aplicaciones más importantes de las tablas de vapor de agua es calcular las propiedades termodinámicas bajo ciertas condiciones de temperatura y presión.

CursoTermodinámica, Balances de Materia y Energía, Operaciones Unitarias

ProblemaCalcular la Entalpía del vapor de agua saturado a una temperatura de 157 C

Tabla 4.6 Extracto de tabla de vapor saturado: tabla de temperatura (sistema SI)T, C Entalpía, kJ/kg140 2733.9

150 2746.4

160 2758.1

170 2768.7

Tabla 4.7 Diferencias fintas divididas usadas en la interpolación de NewtonT, C Entalpía, kJ/kg f[x1, x0] f[x2, x1, x0] f[x3,x2, x1, x0]140 2733.9

1.25150 2746.4 -.0040

1.17 -0.00005160 2758.1 -.0055

1.06170 2768.7

Lineal fn(x) = f(x0) + f[x1, x0] (x – x0)

Tabla 4.8 Diferencias fintas divididas usadas en la interpolación de linealT, C Entalpía, kJ/kg f[x1, x0] f[x2, x1, x0] f[x3,x2, x1, x0]140 2733.9

1.25150 2746.4 -.0040

1.17 -0.00005

85

160 2758.1 -.00551.06

170 2768.7

H(157) = 2746.4 + 1.17(157-150) = 2754.59

Cuadrática fn(x) = f(x0) + f[x1, x0] (x – x0) + f[x2, x1, x0] (x – x0) (x – x1)

Tabla 4.9 Diferencias fintas divididas usadas en la interpolación de cuadráticaT, C Entalpía, kJ/kg f[x1, x0] f[x2, x1, x0] f[x3,x2, x1, x0]140 2733.9

1.25150 2746.4 -.0040

1.17 -0.00005160 2758.1 -.0055

1.06170 2768.7

H (157) = 2746.4 + (1.17)(157-150) +(-0.0055)(157-150)(157-160) = 2754.71Lagrange

Lineal f1(x)= f(x0) + f(x1)

H(157) = (157-160)(2746.4)/(150-160) + (157-150)(2758.1)/(160-150) = 2754.59

Cuadrática

f2(x) = f(x0) + f(x1) + f(x2)

H (157) = (157-160)(157-170)(2746.4)/[(150-160)(150-170)] + (157-150)(157-170)(2758.1)/[(160-150)(160-170)] + (157-150)(157-160)(2768.7)/[(170-150)(170-160)]= 535.548 + 2509.871 - 290.7135 = 2754.71

Programa 4.1 Interpolación por el método de LagrangePRINT "*******************************************************************"PRINT "* INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO *"PRINT "* DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUÍMICA Y BIOQUÍMICA *"PRINT "* MÉTODOS NUMERICOS *"PRINT "* INTERPOLACION POR EL MÉTODO DE LAGRANGE *"PRINT "* INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS *"PRINT "*******************************************************************"

'ENTRADA DE DATOSINPUT "NUMERO DE PARES ORDENADOS ";NDIM X(N),Y(N)PRINT: PRINT "ENTRADA DE PARES ORDENADOS (X, Y)"FOR I=1 TO N PRINT: PRINT"PAR ";I PRINT"X(";I; ")= ";:INPUT X(I) PRINT"Y(";I; ")= ";:INPUT Y(I)

86

NEXT IINPUT "INTRODUCE EL VALOR DE X PARA EL CUAL DESEAS CONOCER Y ";XIYI=0FOR I=1 TO N PNUM=1:PDEN=1 FOR J=1 TO N IF I<>J THEN PNUM=PNUM*(XI-X(J)) PDEN=PDEN*(X(I)-X(J)) END IF NEXT J YI = YI + (PNUM/PDEN)*Y(I)NEXT IPRINT: PRINT "T(C) H(Kj/Kg)"PRINT XI, YIEND

Ejecución 4.1 Interpolación por el método de Lagrange

* INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO ** DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUÍMICA Y BIOQUÍMICA ** MÉTODOS NUMERICOS ** INTERPOLACION POR EL MÉTODO DE LAGRANGE ** INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS *

NUMERO DE PARES ORDENADOS 4

ENTRADA DE PARES ORDENADOS (X,Y)

PAR 1X(1)= ¿140Y(1)= ¿2733.9

PAR 2X(2)= ¿150Y(2)= ¿2746.4

PAR 3X(3)= ¿160Y(3)= ¿2758.1

PAR 4X(4)= ¿170Y(4)= ¿2768.7

INTRODUCE EL VALOR DE X PARA EL CUAL DESEAS CONOCER Y 157

T© H(Kj/Kg157 2754.69185

87

4.5 Aplicaciones: Regresión por mínimos cuadrados

4.5.2 Energía de Activación de una Reacción Química

Conceptos utilizadosLa energía de activación Ea se utilizarse para denominar la energía mínima necesaria para que se produzca una reacción química dada. Para que ocurra una reacción entre dos moléculas, éstas deben colisionar en la orientación correcta y poseer una cantidad de energía mínima. A medida que las moléculas se aproximan, sus nubes de electrones se repelen. Esto requiere energía (energía de activación) y proviene del calor del sistema, es decir de la energía traslacional, vibracional, etcétera de cada molécula. Si la energía es suficiente, se vence la repulsión y las moléculas se aproximan lo suficiente para que se produzca una reordenación de los enlaces de las moléculas. La ecuación de Arrhenius proporciona la base cuantitativa de la relación entre la energía de activación y la velocidad a la que se produce la reacción.

CursoFisicoquímica II, Diseño de Reactores Químicos

ProblemaLa constante de velocidad de segundo orden de la descomposición en fase gaseosa del óxido nitroso

N2O N2 + OSe ha medido a distintas temperaturas

Tabla 4.10 T-kT ºC

k (1/M*s)

600 0.00187650 0.0113700 0.0569750 0.2440

Determine la energía de activación para esta reacción

SoluciónLa dependencia de la constante específica de velocidad de una reacción respecto a la temperatura se expresa excelentemente por medio de la ecuación de Arrhenius.

k=Ae−Ea

RT

Donde A se domina factor preexponencialEa es la energía de activación de la reacción en J/molR es la constante universal de los gases (8.314 J/mol ºK)T es la temperatura absolutae es la base de los logaritmos naturales

La ecuación de Arrhenius puede linealizarse tomando logaritmos en ambos lados de la ecuación

88

ln k=ln A+(− EaR )( 1

T )Haciendo

y=ln k , a0=ln A , a1=(−EaR ), x=( 1

T )Tenemos la ecuación de la línea recta y = ao + a1 xTabla 4.11 Ajuste de una recta usando algoritmo para linealizar ecuaciones

T ºK k x = 1/T y = ln T x2 x y873,15 0,00187 0,00114528 -6,28181685 1,31166E-06 -0,00719443923,15 0,0113 0,00108325 -4,48295255 1,17343E-06 -0,00485615973,15 0,0569 0,00102759 -2,86645994 1,05594E-06 -0,00294555

1023,15 0,244 0,00097737 -1,41058705 9,5526E-07 -0,00137867Sumatoria 0,00423349 -15,0418164 4,49629E-06 -0,0163748Media 0,00105837 -3,7604541

a1 = -29015,0739a0 = 26,9483078

Ea = - a1 R = -(-29015.0739) 8.314 = 241231.3244 J/mol

Programa 4.2 Regresión lineal con transformacionesPRINT "*************************************************************** *"PRINT "* INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO *"PRINT "* DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUÍMICA Y BIOQUÍMICA *"PRINT "* MÉTODOS NUMERICOS *"PRINT "* REGRESIÓN LINEAL CON TRANSFORMACIONES *"PRINT "* INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS *"PRINT "*****************************************************************"'ENTRADA DE DATOSINPUT "NUMERO DE PARES ORDENADOS ";NDIM X(N),Y(N)PRINT: PRINT "ENTRADA DE PARES ORDENADOS (X,Y)"FOR I=1 TO N PRINT: PRINT"PAR ";I:PRINT PRINT"X(";I; ")= ";:INPUT X(I): PRINT"Y(";I; ")= ";:INPUT Y(I)NEXT I SUMAU = 0: SUMAV = 0: SUMAU2= 0: SUMAUV= 0INPUT"TRANSFORMACION: NINGUNA(1), EXP(2), POT(3), SAT(4), ARRENHIUS(5) ";T SELECT CASE T CASE 1 FOR I = 1 TO N U(I) = X(I): V(I) = Y(I) NEXT I CASE 2 FOR I = 1 TO N U(I) = X(I): V(I) = LOG(Y(I)) NEXT I CASE 3 FOR I = 1 TO N

89

U(I) = LOG(X(I)): V(I) = LOG(Y(I)) NEXT I CASE 4 FOR I = 1 TO N U(I) = X(I): V(I) = 1/Y(I) NEXT I CASE 5 FOR I = 1 TO N U(I) = 1/X(I): V(I) = LOG(Y(I)) NEXT I END SELECT FOR I = 1 TO N SUMAU = SUMAU + U(I): SUMAV = SUMAV + V(I) SUMAU2 = SUMAU2 + U(I)^2: SUMAUV = SUMAUV + U(I)*V(I) NEXT I A0 = (SUMAU2*SUMAV-SUMAU*SUMAUV)/(N*SUMAU2-SUMAU^2) A1 = (N*SUMAUV-SUMAU*SUMAV)/(N*SUMAU2-SUMAU^2) IF T=1 THEN PRINT"Y = ";A0;" + ";A1;" X ": IF T=2 THEN PRINT"Y = ";EXP(A0);" E (";A1;" X)" IF T=3 THEN PRINT"Y = ";EXP(A0);" X^ ";A1: IF T=4 THEN PRINT"Y = ";A0;" / (";A1;" + X )" IF T=5 THEN PRINT"Y = ";EXP(A0);" E (";A1;"/X)" EA = A1*(-8.314) PRINT "ENERGIA DE ACTIVACIÓN = ";EA; "J/MOL" END IFEND

Ejecución 4.2 Regresión lineal con transformaciones******************************************************************** INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO ** DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUÍMICA Y BIOQUÍMICA ** MÉTODOS NUMERICOS ** REGRESIÓN LINEAL CON TRANSFORMACIONES ** INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS ********************************************************************NUMERO DE PARES ORDENADOS 4

ENTRADA DE PARES ORDENADOS (X,Y)

PAR 1

X(1)= ?873.15Y(1)= ?0.00187

PAR 2

X(2)= ?923.15Y(2)= ?0.0113

PAR 3

X(3)= ?973.15Y(3)= ?0.0569

PAR 4

X(4)= ?1023.15

90

Y(4)= ?0.244

TRANSFORMACION: NINGUNA(1), EXP(2), POT(3), SAT(4), ARRENHIUS(5) 5

Y = 5.05244235e11 E (-29015.0739/X)

ENERGIA DE ACTIVACIÓN = 241231.324J/MOL

4.5.3 Constante especifica de velocidad de una Reacción Química

Conceptos utilizados

La ley de acción de masas dice que la velocidad de una reacción química (aA + bB Productos) es proporcional a la concentración de los reactivos elevados a una potencia. Por lo tanto, la velocidad de desaparición de la especie A puede expresarse mediante la ecuación diferencial:

−dC A

dt=kC A

α CBβ

CursoFisicoquímica II, Diseño de Reactores Químicos

ProblemaConsidere la siguiente reacción química

aA + bB Productos

a partir de los siguientes datos, obtenidos a una temperatura dada, determine el orden de la reacción y la constante especifica de velocidad.

Tabla 4.12 Velocidades inicialesConcentración inicial de A(M = moles/litro)

Concentración inicial de B(M = moles/litro)

Velocidad inicial de desaparición de A (M/s)

0.1 0.5 0.0530.2 0.3 0.1270.4 0.6 1.020.2 0.6 0.2540.4 0.3 0.509

Solución

El método de velocidades iniciales para determinar el orden de una reacción se basa en calcular la velocidad inicial de la reacción.

−( dCA

dt )0=kC Ao

α CBoβ

Esta ecuación se puede linealizar si tomamos logaritmos en ambos lados de la ecuación para hacer la transformación a una ecuación lineal múltiple.

91

ln [−( dC A

dt )0]= ln k+α lnC Ao+β ln CBo

Si hacemos

v=ln [−(dC A

dt )0]

a0=ln k a1=α u1=lnC Ao

a2=β u2=lnCBo

Tenemos: v=a0+a1u1+a2 u

Donde el orden de la reacción n = + = a1 + a2 y k=eao

Tabla 4.13 Orden de la reacción usando regresión lineal múltiple con transformacionesx1 x2 y u1 u2 v

0,1 0,5 0,053 -2,302585093 -0,69314718 -2,937463370,2 0,3 0,127 -1,609437912 -1,2039728 -2,063568190,4 0,6 1,02 -0,916290732 -0,51082562 0,019802630,2 0,6 0,254 -1,609437912 -0,51082562 -1,370421010,4 0,3 0,509 -0,916290732 -1,2039728 -0,67530726

-7,354042382 -4,12274404 -7,02695721

u12 u2

2 u1u2 u1 v u2 v5,30189811 0,48045301 1,59603037 6,763759356 2,036094452,59029039 1,44955051 1,93771948 3,321184884 2,484479980,83958871 0,26094282 0,46806478 -0,018144964 -0,010115692,59029039 0,26094282 0,82214213 2,205607533 0,700046170,83958871 1,44955051 1,10318912 0,618777786 0,81305158

12,1616563 3,90143968 5,92714587 12,89118459 6,02355649

Sistema de ecuaciones5 -7,35404 -4,12274 -7,02696

-7,35404 12,16166 5,92715 12,89118-4,12274 5,92715 3,90144 6,02356

Matriz inversa3,75099537 1,29589749 1,995006941,29589749 0,76446346 0,20801521,99500694 0,2080152 2,04846355 Resultado

a0 = 2,36459732a1 = 2,00160828a2 = 1,00177049

= 2 = 1 n = 3 k = eao = e2.3646 = 10.6398

92

Ecuación cinética:

−dC A

dt=10 .6398 C A

2 CB1

Evaluación Sumativa

Problema 1

En el cálculo de las entalpias y entropías residuales mediante correlaciones generalizadas se tienen las siguientes ecuaciones

H R

RT c

=(H R )0

RT c

+ω(H R )1

RT c

SR

R=

(SR )0

R+ω

(SR )1

R

Donde

(HR )0

RT c se reporta en tablas para TR y PR conocidas

Encontrar los valores de

(HR )0

RT c , por interpolación cuadrática paraTr = 1.127 y Pr= 1.731 a partir de los datos de la siguiente tabla

Valores de

(HR )0

RT c

Pr 1.2 1.5 2.0Tr

1.10

-1.487 -2.203 -2.965

1.15

-1.239 -1.719 -2.479

1.20

-1.076 -1.443 -2.079

Problema 2

El ritmo al que un gas difunde a través de una membrana semipermeable se determina por la difusividad D (cm2 / s). D varía con la temperatura de la membrana T (K) de acuerdo a la ley de Arrhenius según:

D = D0 exp(-E/ RT)

Donde D0 es el factor preexponencialE es la energía de activación para la difusión R es la constante universal de los gases

La difusividad del SO2 en un tubo de fluorosilicon se midió a distintas temperaturas con, los siguientes resultados:

T (K) D (cm2 / s ) × 10-6

347.0 1.34

374.2 2.50

93

396.2 4.55

420.7 8.52

447.7 14.07

471.2 19.99

Encontrar los valores de D0 y E, utilizando regresión lineal con transformaciones.

Unidad V. Diferenciación e Integración Numérica

Competencia especifica a desarrollar en la unidadAplicar un método numérico para diferenciar e integrar una función

5.1 Derivación Numérica

La derivada de una función es una de las herramientas más poderosas en las matemáticas. Aparecen en múltiples áreas del conocimiento y su utilización es indispensable para investigaciones no elementales tanto en las ciencias naturales, como en las ciencias sociales y las humanidades.En esta parte del curso desarrollaremos cuatro métodos para determinar en forma aproximada la derivada de una función generalmente dada en forma tabular. La derivada es el límite del cociente de diferencias, y en esto generalmente se restan dos cantidades grandes y se dividen entre una pequeña; por lo que debemos tener cuidado con la aplicación de los métodos, ya que si el método aproxima la función mediante un polinomio P(x), la diferencia en los valores de la función puede ser pequeña, pero las derivadas pueden diferir considerablemente.

5.1.1 Método de las tangentes

Dada la función, para obtener la derivada en puntos específicos, se grafica la función dibujando una curva suave a través de los puntos dados y se trazan las tangentes, evaluándose la pendiente de las rectas tangentes en los puntos donde se desea conocer la derivada de la función.

5.1.2 Método de ajuste de curvas.

Dada la función, para obtener la derivada en puntos específicos, se ajusta la mejor curva posible a los datos; derivando la curva ajustada y evaluando esta nueva función en los puntos en donde se desea conocer la derivada.5.1.3 Método de derivación por fórmulas

Se pueden obtener fórmulas para derivación numérica desarrolladas a partir de la serie de Taylor, operadores de diferencias y derivando polinomios de interpolación. Estas fórmulas tienen una aplicación muy importante en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

Desarrollo a partir de la serie de Taylor.Serie de Taylor

f ( xi+1)=f ( xi )+f ' ( x i )h

1 !+

f ' ' (xi )h2

2 !+

f ' ' ' (x i ) h3

3 !+.. .+

f (n ) (xi )hn

n ! (A)donde h = xi+1 - xi.

Si truncamos la serie de Taylor a partir del término

12!

f ' ' ( x i )h2

.

f(xi+1) = f(xi) + f’(xi) h + (o) h2

Resolviendo para f’(xi)

94

f ' (xi )=f (x i+1)−f (x i )

h+(o )h

Si expandimos la serie de Taylor alrededor de xi para calcular el valor de la función en xi-1

f ( xi−1)=f (x i )+ f ' ( x i ) (−h )+ 12!

f ' ' (x i ) (−h )2+ 13 !

f ' ' ' (x i ) (−h )3+. ..

f ( xi−1)= f (x i )−f ' (x i )h+12 !

f ' ' (x i )h2− 13 !

f ' ' ' ( x i )h3+ .. .(B)

Si truncamos la serie de Taylor a partir del término

12!

f ' ' ( x i )h2

f ( xi−1)=f (x i )−f ' (x i )h+ (o ) h2

Resolviendo para f’(xi)

f ' (x i )=f (x i )−f (x i−1 )

h+ (o ) h

Si restamos (B) de (A)

f ( xi+1)−f ( xi−1 )=2 f ' (x i ) h+21

3 !f ' ' ' (x i )h3+.. .

Si truncamos la serie a partir del término2

13 !

f ' ' ' (x i )h3

f ( xi+1)−f ( xi−1 )=2 f ' (x i ) h+(o )h3+.. .Resolviendo para f’(xi)

f ' (xi )=f (x i+1)−f (x i−1)

2h+( o ) h2

Si sumamos (A) y (B)

f ( xi+1)+ f (x i−1)=2 f (x i )+ f ' ' ( xi )h2+ 112

f IV ( x i )h4+. ..

Restando 2f(xi) en ambos lados de la serie anterior:

f ( xi+1)−2 f (x i )+ f (x i−1)= f ' ' (x i )h2+ 112

f IV (x i )h4+ .. .

Si truncamos la serie a partir del término

112

f IV ( xi )h3

f ( xi+1)−2 f (xi )+ f (x i−1)=f ' ' (xi )h2+ (o ) h4

Resolviendo para f’’(xi)

f ' ' (xi )=f ( x i+1)−2 f (x i )+f (x i−1 )

h2+ (o ) h2

Se pueden obtener fórmulas de derivación utilizando más puntos:

95

Si truncamos la serie de Taylor a partir del término

13!

f ' ' ' ( xi )h3

y resolvemos para f’(xi):

f ' (x i )=f (x i+1)− f (x i )

h− 1

2 !f ' ' (x i )h+ (o ) h2

(C)

Si expandimos la serie de Taylor para f(xi+2)

f ( xi+2)= f ( xi )+ f ' (x i )2 h+ 12!

f ' ' (x i ) (2 h )2+ 13 !

f ' ' ' (x i ) (2 h )3+. . .

Si multiplicamos la serie de Taylor por 2

2 f (x i+1)=2 f (x i )+ f ' (x i )2 h+ 12 !

f ' ' (x i )2 h2+ 13 !

f ' ' ' (x i )2 h3+ .. .

Si restamos estas dos últimas series:

f ( xi+2)−2 f (x i+1)=−f (x i )+212 !

f ' ' ( x )h2+613!

f ' ' ' ( xi )h3+. . .

Si truncamos la serie a partir del término 6

13!

f ' ' ' ( xi )h3

y resolvemos para f’’(xi):

f ' ' (xi )=f ( x i+ )−2 f (xi+1 )+ f ( xi )

h2+ (o ) h2

Si introducimos este valor en (C) y reordenamos

f ' (x i )=−f (x i+2)+4 f ( xi+1)−3 f (x i )

2h+( o ) h2

Para el caso de datos tabulados no igualmente espaciados, se puede aproximar la derivada mediante la fórmula de interpolación cuadrática de Lagrange:

f ( x )=(x−x1) (x−x2 )

(x0−x1) (x0−x2)f (x0 )+

(x− x0 ) (x−x2 )(x1− x0 ) (x1−x2 )

f (x1)+( x−x0) (x−x1 )

(x2−x0) (x2−x1)f (x2)

Derivando:

f ' ( x )=2 x−x1−x2

(x0−x1) (x0−x2)f (x0 )+

2 x−x0−x2

( x1−x0 ) (x1−x2 )f ( x1 )+

2 x−x0−x1

(x2−x0 ) (x2−x1 )f (x2)

Para el caso de funciones de varias variables, las fórmulas anteriores se pueden adecuar para su uso de la siguiente manera:

f x=f ( x+Δx , y )−f ( x−Δx , y )

2Δx= ∂∂ x

f

f xx=f ( x+Δx , y )−2 f ( x , y )+ f ( x−Δx , y )

Δx2= ∂2

∂ x2f

96

Las fórmulas deducidas son tan solo algunas de las muchas fórmulas disponibles para derivar numéricamente. Existen reportadas en la bibliografía fórmulas adicionales que se deberán utilizar en caso necesario.

5.1.4 Derivación por igualación de áreas

De la definición de derivadadydx

= limΔx→0

ΔyΔx

=f ( x )

que al integrar queda

yn− y1=x1

xnf (x ) dx=∑

i=1

n

( limΔxi→0

ΔyΔxi

Δx i)yn− y1≈∑

i=1

n

( ΔyΔxi

Δxi)El método de igualación de áreas hace un intento por estimar

dydx de manera que

yn− y1=x1

xn dydx

d x

haciendo que el área bajo

ΔyΔx sea la misma que el área bajo

dydx , siempre que sea posible.

Mediante el procedimiento que se describe más abajo, encontraremos la derivada de (y) con respecto a (x).1. Tabule los datos (xi, yi) como se muestra en la tabla.

xi yi x yΔyΔx

dydx

x1 y1 x2 – x1 y2 – y1 ( ΔyΔx )2 ( dy

dx )2x2 y2

x3 – x2 y3 – y2 ( ΔyΔx )3 ( dy

dx )3x3 y3

x4 – x3 y4 – y3 ( ΔyΔx )4 ( dy

dx )4x4 y4

x5 – x4 y5 – y4 ( ΔyΔx )5 ( dy

dx )5x5 y5

2. Para cada intervalo, calcule xn = xn - xn-1 y yn = yn - yn-1.

3. Calcule

Δyn

Δxn como un estimado de la pendiente promedio en el intervalo de xn-1 a xn.

4. Grafique estos valores como un histograma contra xi. El valor entre x2 y x3, por ejemplo, es

( y3− y2)(x3−x2) . Tome

como referencia la figura.

97

x

x

y

2

dx

dy

3

x

y

5

dx

dy

x7x6x5x4x3x2x1

BA

C

D

A

D

C

B

5. A continuación, dibuje la curva suave que mejor aproxime el área bajo el histograma. Esto es, intente que en cada intervalo la áreas se igualen, tal como las áreas marcadas A y B en la figura, pero cuando esta aproximación no sea posible, iguale áreas sobre varios intervalos, tal como lo muestran las áreas marcadas C y D.

6. Lea las estimaciones de

dydx en la curva para los puntos que corresponden a los datos x1, x2, etc. y complete la tabla

anterior.

Figura 5.1 Igualación de áreas

En contraste con la integración numérica, la cual no es afectada demasiado por las inexactitudes de los valores de la función, debido a que la integración es esencialmente un proceso suavizador.Por esto no es recomendable derivar funciones analíticas obtenidas numéricamente o a través de tablas usando únicamente métodos de ajuste de polinomio y fórmulas de derivación. Por estas consideraciones es que se recomienda el método de derivación por igualación de áreas.

Los métodos anteriores se desarrollan en el siguiente ejemplo.

98

EjemploDada la siguiente tabal de datos:x 2 3 4 5 6 7y 2.07

93.296 4.15

94.828 5.37

55.838

Calcular la derivada en x = 4

Figura 5.2 GUI Deriva usando polinomios de orden n

Derivación ajustando polinomios de: orden 2 orden 3 orden 4Valor exacto

x y dy/dx dy/dx dy/dx dy/dx2 2,07944154 1,5 1,1837 1,381 1,45533 3,29583687 1 1,0039 1,0278 1,01564 4,15888308 0,75 0,8241 0,761 0,75655 4,82831374 0,6 0,6443 0,5806 0,618

99

6 5,37527841 0,5 0,4645 0,4866 0,54017 5,83773045 0,42857143 0,2847 0,479 0,4628

Polinomio Orden 2 y = -0,0899x2 + 1,5433x - 0,5998Polinomio Orden 3 y = 0,0144x3 - 0,2846x2 + 2,3466x - 1,5863Polinomio Orden 4 y = -0,0025x4 + 0,0601x3 - 0,5756x2 + 3,1165x - 2,2908

100

Figura 5.3 GUI Derivación usando formulas de derivación

Tabla 5.2 Derivación usando formulas de derivaciónDerivación con formulas hacia: Adelante Centrales Atrás

dy/dx dy/dx dy/dx1,39306988

0,959854 1,039720770,73066365 0,76623844 0,686371660,58922099 0,60819766 0,57262287

0,50470835 0,485731680,42019572

Tabla 5.3 Derivación trazando tangentes en la curvaDerivación por tangentes dy/dx

1,51

0,750,60,5

0,43

101

Función y = 3*ln x

01234567

0 2 4 6 8

x

y

Figura 5.4 Derivación por el método de las tangentes

Tabla 5.4 Derivación por igualación de áreasDerivación por igualación de áreas

Valor exacto

x y dy/dxdelta y / delta x

dy/dx por igualación de áreas

2 2,07944154 1,5 1,5 1,53 3,29583687 1 1,216395324 14 4,15888308 0,75 0,863046217 0,755 4,82831374 0,6 0,669430654 0,66 5,37527841 0,5 0,54696467 0,57 5,83773045 0,42857143 0,462452039 0,43

102

Derivación por igualación de áreas

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 2 4 6 8

delta x

del

ta

y

Figura 5.5 Derivación por el método de igualación de áreas

Portafolio de Evidenciase) Utilizar software matemático para derivar datos en una tabla (Polymath, Matlab, Matcad, etc.)f) Utilizar derivación por igualación de áreas para encontrar la derivada en un punto en un conjunto de datos de

velocidad para una reacción química.

103

5.2 Integración Numérica

El problema de la integración numérica es la evaluación de la integral definida:

I=a

bf ( x ) dx

donde a y b están dados, y f(x) es una función dada mediante una expresión analítica o bien empíricamente mediante una tabla de valores.

En ingeniería frecuentemente se presentan problemas que se expresan matemáticamente mediante integrales, de las que el integrando es una función complicada o bien empírica, dada por una tabla, y entonces puede usarse un método numérico de integración aproximada, donde I es el área de la región acotada por la curva entre a y b.

5.2.1 Obtención de formulas de integración numérica

Dada la función y = f(x) se aceptará como aproximación de la función el polinomio de interpolación de Newton, que pasa por los n + 1 puntos x = x0, x1,... , xn, todos ellos igualmente espaciados.

De esta manera se podrá obtener una aproximación a:

De la fórmula de interpolación de Newton se tiene que:

Donde k=

x−x0

hIntegrando en el intervalo [x0, xn = x0 + nh]

Haciendo el cambio de variables x = x0 + kh; dx = h dk;

si x = x0; k = 0;y si x =xn.

Entonces

xn = x0 + nh xn - x0 = nhk=

xn−x0

h=n

104

x0

xn f ( x )dx

f ( x )=f (x0)+kΔf 0+k (k−1 )

2 !Δ2 f 0+

k (k−1 ) ( k−2 )3 !

Δ3 f +.. . .. .+k (k−1 ) (k−2 ) . . ..( k−n+1 )

n!Δn f 0

x0

xnf ( x )dx=x

0

xn [ f (x0 )+kΔf 0+k ( k−1 )

2!Δ2 f 0+

k (k−1 ) (k−2 )3!

Δ3 f 0+.. . ..+k (k−1 ) (k−2 ) . .. .(k−n+1)

n!Δn f 0] dx

x0

xnf ( x )dx=0

n [ f (x0 )+kΔf 0+k2−k

2Δ2 f 0+

k3−3 k2+2 k6

Δ3 f 0+ .. .]hdk

x0

xnf ( x )dx=h [nf ( x0 )+

n2

2Δf 0+( n3

6−n2

4 )Δ2 f 0+( n4

24−n3

6+ n2

6 )Δ3 f 0+. ..]x0

xnf ( x )dx=h [kf (x0 )+

k 2

2Δf 0+( k3

6− k2

4 )Δ2f 0+( k 4

24− k 3

6+ k2

6 )Δ3 f 0+. ..]0

n

Esta forma general se puede particularizar, para polinomios de distinto orden que mejor se adapten a la función que sustituyen.Si la interpolación se limita al primer orden y la integral solo se calcula entre los dos primeros valores de x es decir, entre x0

y x1, se obtiene

x0

x1f ( x )dx=h ( y0+

12

2Δy0)

y0 = y1 – y0

x0

x1f ( x )dx=h ( y0+

y1− y0

2 )=h( y0+y1

2−

y0

2 )=h( y0+ y1

2 )Regla Trapezoidal

Si la interpolación se limita al segundo orden, la integral solo se calcula entre los tres primeros valores de x, es decir entre x0, x1, y x2. Se obtiene

x0

x2f ( x )dx =h [ y0+4 y1+ y2

3 ]Regla de Simpson 1/3

Si la interpolación se limita al tercer orden, la integral solo se calcula entre los cuatro primeros valores de x, es decir entre x0, x1, x2 y x3. Se obtiene

x0

x3 f ( x )dx=h38

[ y 0+3 y1+3 y2+ y3 ]Regla de Simpson 3/8

105

=h[2 y0+2 Δy0+86−6

6Δ2 y0 ]=h [2 y0+2 Δy0+

13 ( y2−2 y1+ y0) ]

x0

x2f ( x )dx =h [2 y0+

22

2Δy0+( 23

6−22

4 )Δ2 y0]

=h[ 6 y0+6 ( y1− y0 )+ y2−2 y1+ y0

3 ]

=h[3 y0+92

Δy0+(2712 )Δ2 y0+( 9

24 )Δ3 y0 ]0

n

=h[3 y0+92

Δy0+(276−9

4 )Δ2 y0+(8124

−276+ 9

6 )Δ3 y0 ]0

n

x0

x3f ( x )dx=h [3 y0+

32

2Δy 0+(33

6−32

4 )Δ2 y0+( 34

24−33

6+ 32

6 )Δ3 y0]0

n

=h[3 y0+92

Δy0+(54−2712 )Δ2 y0+(81−108+36

24 )Δ3 y0]0

n

=h[38 y0+98

y1+98

y2+38

y3]

=h[3 y0+92 ( y1− y 0)+( 9

4 )( y2−2 y1+ y0)+( 38 ) ( y3−3 y2+3 y1− y0 )]

=h[3 y0+92

Δy0+( 94 )Δ2 y0+( 3

8 )Δ3 y0]0

n

x0

x3 f ( x )dx=h [(3−92+ 9

4−3

8 ) y0+( 92−9

2+ 9

8 ) y1+( 94−9

8 ) y2+38

y3]

nn xfxfh

xfxfh

xfxfh

xfxfh

I 1322110 2222...

nn xfxfxfxfxfxfxfxfh

I 13221102...

nn xfxfxfxfxfxfh

I 13210 22222

...

nn xfxfxfxfxfxfh

I 13210 22

...

n

n

ii xfxfxf

n

abI

1

110 2

2

nnn xfxfxfxfxfxfxfxfxfh

I 12432210 4443

...

nnn xfxfxfh

xfxfxfh

xfxfxfh

I 12432210 43

43

43

...

nnn xfxfxfxfxfxfxfxfh

I 2421310 243

......

2

642

1

5310 24

3

n

ini

n

ii xfxfxfxf

n

abI

,,,,

5.2.1.1 Aplicación en segmentos múltiples

Regla Trapezoidal I=h

2 [ f (x0)+f (x1) ]Esta regla se puede mejorar dividiendo el intervalo en n segmentos de igual anchuraLa integral total se representa por

Regla de Simpson 1/3 I=h

3 [ f (x0)+4 f (x1)+ f (x2) ]Esta regla se puede mejorar dividiendo el intervalo en n segmentos de igual anchuraLa integral total se representa por

Sustituyendo la Regla de Simpson 1/3

106

x0

x1 f ( x )dx +x1

x2 f (x ) dx+ .. .+xn−1

xn f ( x ) dxh=b−an

x0

x2 f ( x )dx +x2

x4 f ( x ) dx+. ..+xn−2

xn f ( x )dxh=b−an

Ejemplo

Encontrar 0

1 dx

√(1+ x2 ) usando la regla trapezoidal y la regla de Simpson 1/3 usando 6, 8 y 10 subintervalos

Figura5.6 GUI Integración usando Regla Trapezoidal

107

Figura5.7 GUI Integración usando Regla Simpson 1/3

Tabla 5.5 Integración numérica para datos igualmente espaciados obtenidos de la función

Limite superior 1 1 1Limite inferior 0 0 0No. Intervalos 6 8 10

h = 0,16666667 0,125 0,1

k x f(x) x f(x) x0 0 1 0 1 0 11 0,166666667 0,98639392 0,125 0,99227788 0,1 0,995037192 0,333333333 0,9486833 0,25 0,9701425 0,2 0,980580683 0,5 0,89442719 0,375 0,93632918 0,3 0,957826294 0,666666667 0,83205029 0,5 0,89442719 0,4 0,928476695 0,833333333 0,76822128 0,625 0,8479983 0,5 0,894427196 1 0,70710678 0,75 0,8 0,6 0,857492937 0,875 0,75257669 0,7 0,819231928 1 0,70710678 0,8 0,780868819 0,9 0,74329415

10 1 0,70710678

108

Integración usando regla Trapezoidaln = 6 I = 0,8805549n = 8 I = 0,88091314n = 10 I = 0,88107892Integración usando regla Simpson 1/3n = 6 I = 0,88137464n = 8 I = 0,88137393n = 10 I = 0,88137373

Ejemplo

Encontrar 1

9f ( x )dx

para el conjunto de datos (x, y) dados en la tabla

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8y 0 2.08 3.3 4.1

64.83 5.3

85.84 6.2

46.59

Figura5.8 GUI Integración usando Regla Trapezoidal para datos tabulados

109

Datos igualmente espaciadosk x y = f(x)0 1 0 Integración usando regla Trapezoidal1 2 2,08 n = 8 I = 35,1252 3 3,33 4 4,164 5 4,83 Integración usando regla Simpson 1/35 6 5,38 n = 8 I = 35,32333336 7 5,847 8 6,248 9 6,59 Valor exacto 35,3251

Ejemplo

Encontrar 0 .1

8 .1f ( x )dx

para el conjunto de datos (x, y) dados en la tabla

Tabla 5.5 Integración numérica datos desigualmente espaciados dados en una tabla

Datos no igualmente espaciadosk x y = f(x)0 0,1 -6,911 0,5 -2,08 Regla Trapezoidal entre X0 y X1 -1,7982 1 0 Regla Trapezoidal entre X1 y X2 -0,523 2 2,084 3 3,3 Regla Simpson 1/3 entre X2 y X4 3,873333335 3,5 3,766 4 4,16 Regla Simpson 1/3 entre X4 y X6 3,757 5 4,838 6 5,389 7 5,84 Regla Simpson 3/8 entre X6 y X9 15,2362510 8,1 6,28 Regla Trapezoidal entre X9 y X10 6,666

I = 27,2075833Valor exacto 27,5232

110

Figura5.9 GUI Integración usando Regla Trapezoidal para datos tabulados

Portafolio de Evidenciasa) Hacer un programa (diagrama de flujo y seudocódigo) para integrar funciones o valores en una tabla usando los

métodos de la regla Trapezoidal y Simpson 1/3. Codificar y ejecutar en scilab

111

5.4 Integración Múltiple5.4.1 Regla Trapezoidal para Integrales Dobles

112

+ f ( xm , y0 )+2∑j=1

n−1

f (xm , y j )+f (xm , yn) ]

I=hk4[ f ( x0 , y0)+2∑

j=1

n−1

f (x0 , y j )+ f ( x0 , yn)+2 ∑i=1

m−1

f (xi , y0)+4 ∑i=1

m−1

∑j=1

n−1

f (x i , y j )+2 ∑i=1

m−1

f ( xi , yn )

+2 ∑i=1

m−1

f ( xi , yn )+ f ( xm , y0 )+2∑j=1

n−1

f (xm , y j )+f (xm , yn)}I=( b−a

2 m )( d−c2 n ){f (x0 , y0 )+2∑

j=1

n−1

f (x0 , y j )+ f (x0 , yn )+2∑i=1

m−1

f (x i , y0 )+4 ∑i=1

m−1

∑j=1

n−1

f ( xi , y j )

d−c2 n [ f (xm , y0 )+2∑

j=1

n−1

f (xm , y j )+ f ( xm , yn )]}2 ∑

i=1

m−1 ( d−c2n [ f (x i , y0)+2∑

j=1

n−1

f ( xi , y j )+ f (x i , yn)])+c

d (a

bf ( x , y ) dx)dy=b−a

2m {d−c2 n [ f (x0 , y0 )+2∑

j=1

n−1

f (x0 , y j )+ f (x0 , yn) ]+c

df (xm , y ) dy=d−c

2 n [ f (xm , y0 )+2∑j=1

n−1

f ( xm , y j )+ f ( xm , yn )]c

df (x i , y )dy=d−c

2 n [ f (x i , y0)+2∑j=1

n−1

f (x i , y j )+f (x i , yn )]c

df (x0 , y )dy=d−c

2 n [ f ( x0 , y0)+2∑j=1

n−1

f ( x0 , y j )+ f ( x0 , yn)]=b−a

2m [c

df ( x0 , y) dy+2∑

i=1

m−1

c

df (xi , y )dy+c

df ( xm , y )dy ]

=b−a2m

c

d [ f ( x0 , y)+2∑i=1

m−1

f (x i , y )+ f (xm , y )]dy

c

d (a

bf ( x , y ) dx)dy=c

d ( b−a2m [ f ( x0 , y )+2∑

i=1

m−1

f ( xi , y )+ f (xm , y ) ])dy

a

bf (x , y ) dx=b−a

2m [ f (x0 , y )+2 ∑i=1

m−1

f ( x i , y )+ f (xm , y )]c

da

bf (x , y ) dxdy=c

d (a

bf ( x , y ) dx )dy

Ejemplo

Resolver 2 .1

2 .21. 3

1. 4xy 2 dx dy

Tabla 5.8 Espaciamiento de las x y las y

h=b−am

=1 .4−1 .34

=0 .025 k=d−cn

=2.2−2 .14

=0. 025

xi = a + ih yi = c + jkx0 =1.3 + 0(0.025) = 1.3 y0 = 2.1 + 0(0.025) = 2.1

x1 =1.3 + 1(0.025) = 1.325 y1 = 2.1 + 1(0.025) = 2.125x2 =1.3 + 2(0.025) = 1.35 y2 = 2.1 + 2(0.025) = 2.15x3 =1.3 + 3(0.025) = 1.375 y3 = 2.1 + 3(0.025) = 2.175x4 =1.3 + 4(0.025) = 1.4 y4 = 2.1 + 4(0.025) = 2.2x4 =1.3 + 4(0.025) = 1.4 y4 = 2.1 + 4(0.025) = 2.2

f(x, y) = xy2

f(x0, y0) = 5.7330

f(x0, y1) = 5.8703f(x0, y2) = 6.0093f(x0, y3) = 6.1498

∑j=1

n−1

f ( x0 , y j )=18 . 0294

f(x0, y4) = 6.2920

f(x1, y0) = 5.8433f(x2, y0) = 5.9535f(x3, y0) = 6.0638

∑i=1

m−1

f (x i , y0)=17 . 8606

f(x1, y1) = 5.9832f(x2, y1) = 6.0961f(x3, y1) = 6.2090

f(x1, y2)= 6.1248f(x2, y2)= 6.2404f(x3, y2)= 6.3559

f(x1, y3)= 6.2681f(x2, y3)= 6.3863f(x3, y3)= 6.5046

∑i=1

m−1

∑j=1

n−1

f (x i , y j )=56 . 1684

f(x1, y4)= 6.4130f(x2, y4)= 6.5340

f(x3, y4)= 6.6550

∑i=1

m−1

f (x i , yn)=19 .6020

f(x4, y0) = 6.1740

f(x4, y1)= 6.3219f(x4, y2)= 6.4715f(x4, y3)= 6.6229

∑j=1

n−1

f ( xm , y j )=19. 4163

f(x4, y4) = 6.7760

113

I = 0.0624

Figura5.10 GUI Integrales dobles

5.4.2 Regla de Simpson 1/3 para integrales dobles

I=hk9¿ [ f ( x0 , y0 )+f ( x0 , yn )+ f ( xm , y0 )+ f ( xm , yn )+ ¿ ][4 ∑

j=1,3,5 , ..

n−1

[ f ( x0 , y j)+ f ( xm , y j )]+2 ∑j=2,4,6 , . .

n−2

[ f ( x0 , y j)+ f ( xm , y j )]+ ¿] [4 ∑i=1,3,5 , . .

m−1 [ f ( x i , y0 )+4 ∑j=1,3,5 , . .

n−1

f ( x i , y j )+2 ∑j=2,4. 6 , ..

n−2

f ( xi , y j )+f (xi , yn )]+ ¿]¿¿

¿

114

Regla de Simpson 1/3 simple para integrales triples

115

e

fc

da

bf ( x , y , z ) dxdydz=e

fc

d (a

bf ( x , y , z )dx )dydz

a

bf (x , y , z ) dx=b−a

6 [ f (x0 , y , z)+4 f (x1 , y , z )+ f ( x2 , y , z )]

e

fc

da

bf ( x , y , z ) dxdydz

16 f ( x1 , y1 , z )+4 f (x1 , y2 , z )+ f ( x2 , y0 , z )+4 f ( x2 , y1 , z )+ f (x2 , y2 , z) ] dz

=( b−a6 )( d−c

6 )e

f[ f (x0 , y0 , z )+4 f ( x0 , y1 , z )+ f (x0 , y2 , z )+ 4 f ( x1 , y 0 , z )+

e

fc

d {b−a6 [f (x0 , y , z )+4 f (x1 , y , z )+ f (x2 , y , z )]}dydz

=e

f {b−a6c

d

[f (x0 , y , z )+4 f (x1 , y , z )+ f (x2 , y , z ) ]dy }dz

c

df (x0 , y , z )dy=d−c

6 [ f (x0 , y0 , z )+4 f (x0 , y1 , z )+ f ( x0 , y2 , z ) ]

c

df (x1 , y , z )dy=d−c

6 [ f ( x1 , y0 , z )+4 f ( x1 , y1 , z )+ f (x1 , y2 , z ) ]

c

df (x2 , y , z )dy=d−c

6 [ f ( x2 , y0 , z)+4 f (x2 , y1 , z )+ f (x2 , y2 , z )]

=b−a6 {d−c

6 [f (x0 , y 0 , z )+4 f (x0 , y1 , z)+ f (x0 , y2 , z )]+

c

d {b−a6 [ f (x0 , y , z)+4 f (x1 , y , z )+ f ( x2 , y , z )]}dy

d−c6 [ f (x2 , y0 , z )+4 f (x2 , y1 , z )+f (x2 , y2 , z )]}

4d−c

6 [ f (x1 , y0 , z)+4 f (x1 , y1 , z )+ f (x1 , y2 , z) ]+

=( b−a6 )( d−c

6 )[ f (x0 , y0 , z )+4 f (x0 , y1 , z )+ f ( x0 , y2 , z)+4 f (x1 , y0 , z)+

16 f ( x1 , y1 , z )+4 f (x1 , y2 , z )+ f ( x2 , y0 , z )+4 f ( x2 , y1 , z )+ f (x2 , y2 , z) ]

e

ff (x0 , y0 , z )dz= f−e

6 [ f (x0 , y0 , z0)+4 f (x0 , y0 , z1)+ f (x0 , y0 , z2) ]

e

ff (x0 , y1 , z )dz= f −e

6 [ f ( x0 , y1 , z0 )+4 f (x0 , y1 , z1)+ f (x0 , y1 , z2) ]

e

ff (x0 , y2 , z )dz= f −e

6 [ f ( x0 , y2 , z0 )+4 f (x0 , y2 , z1)+f (x0 , y2 , z2) ]

e

ff (x1 , y0 , z )dz= f −e

6 [ f ( x1 , y0 , z0 )+4 f (x1 , y0 , z1)+ f (x1 , y0 , z2) ]

e

ff (x1 , y1 , z) dz= f−e

6 [f (x1 , y1 , z0)+4 f ( x1 , y1 , z1)+ f (x1 , y1 , z2)]

Ejemplo

116

f −e6 [ f ( x2 , y2 , z0 )+4 f (x2 , y2 , z1)+ f ( x2 , y2 , z2 )]

e

fc

da

bf ( x , y , z ) dxdydz

=( b−a6 )( d−c

6 ){f −e6 [f (x0 , y 0 , z0 )+4 f (x0 , y1 , z1)+ f (x0 , y2 , z2) ]+4

f−e6

[ f ( x0 , y1 , z0 )

+4 f (x0 , y1 , z1)+ f (x0 , y1 , z2) ]+f−e

6 [ f (x0 , y2 , z0)+4 f ( x0 , y2 , z1 )+f (x0 , y2 , z2) ]+

4f−e

6 [ f (x1 , y0 , z0)+4 f (x1 , y0 , z1 )+ f ( x1 , y0 , z2 )]+16f −e

6[ f (x1 , y1 , z0)+4 f ( x1 , y1 , z1)

+ f ( x1 , y1 , z2) ]+4f−e

6 [ f (x1 , y2 , z0 )+4 f (x1 , y2 , z1)+ f (x1 , y2 , z2 )]+ f −e6

[ f (x2 , y0 , z0 )

+4 f (x2 , y0 , z1)+ f (x2 , y0 , z2) ]+4f −e

6 [ f ( x2 , y1 , z0 )+4 f (x2 , y1 , z1)+ f ( x2 , y1 , z2 )]+

e

fc

da

bf ( x , y , z ) dxdydz

=( b−a6 )( d−c

6 )( f −e6 )[ f (x0 , y0 , z0)+4 f (x0 , y0 , z1)+ f (x0 , y0 , z2)+4 f ( x0 , y1 , z0 )+

16 f ( x0 , y1 , z1)+4 f (x0 , y1 , z2)+ f ( x0 , y2 , z0 )+4 f (x0 , y2 , z1)+f (x0 , y2 , z2)+

4 f (x1 , y0 , z0)+16 f (x1 , y0 , z1)+4 f ( x1 , y0 , z2 )+16 f (x1 , y1 , z0)+64 f (x1 , y1 , z1)+

16 f ( x1 , y1 , z2)+4 f ( x1 , y2 , z0 )+16 f ( x1 , y2 , z1)+4 f ( x1 , y2 , z2 )+f (x2 , y0 , z0 )+

4 f (x2 , y0 , z1)+ f (x2 , y0 , z2)+4 f ( x2 , y1 , z0 )+16 f (x2 , y1 , z1)+4 f ( x2 , y1 , z2)+

f ( x2 , y2 , z0 )+4 f (x2 , y2 , z1)+ f ( x2 , y2 , z2 ) ]

e

fc

da

bf ( x , y , z ) dxdydz

=( b−a6 )( d−c

6 )( f −e6 ) {f ( x0 , y0 , z0 )+ f (x0 , y0 , z2)+ f (x0 , y2 , z0)+ f ( x0 , y2 , z2 )+

f ( x2 , y0 , z0 )+ f ( x2 , y 0 , z2 )+ f ( x2 , y2 , z0 )+f (x2 , y2 , z2)+4 [ f ( x0 , y0 , z1)+ f ( x0 , y1 , z0 )

f ( x1 , y1 , z0)+f (x1 , y1 , z2)+ f (x1 , y2 , z1 )+f (x2 , y1 , z1) ] +64 f ( x1 , y1 , z1) }

+ f ( x0 , y1 , z2 )+ f ( x0 , y2 , z1 )+f (x1 , y0 , z0 )+f (x1 , y0 , z2)+ f (x1 , y2 , z0)+ f (x1 , y2 , z2 )+

f ( x2 , y0 , z1 )+f (x2 , y1 , z0)+ f (x2 , y1 , z2)+ f (x2 , y2 , z1 ) ]+16[ f (x0 , y1 , z1)+ f (x1 , y0 , z1)+

e

ff (x1 , y2 , z )dz= f −e

6 [f (x1 , y2 , z0)+4 f (x1 , y2 , z1 )+f (x1 , y2 , z2) ]

e

ff (x2 , y0 , z )dz= f −e

6 [ f ( x2 , y0 , z0 )+4 f (x2 , y0 , z1)+f (x2 , y0 , z2) ]

e

ff (x2 , y1 , z )dz= f −e

6 [f (x2 , y1 , z0)+4 f (x2 , y1 , z1 )+f (x2 , y1 , z2) ]

e

ff (x2 , y2 , z )dz= f −e

6 [ f ( x2 , y2 , z0 )+4 f (x2 , y2 , z1)+ f ( x2 , y2 , z2 )]

Use la regla de Simpson para aproximar la integral 0

11

20

0 .5e xyz dxdydz

Tabla 5.9 Espaciamiento de las x, y las z

h=b−a2

=0 . 5−02

=0 .25 k=d−c2

=2−12

=0 .5 l= f −e2

=1−02

=0 . 5

xi = a + ih yi = c +ik zi = e +ilx0 =0 y0 = 1 z0 = 1

x1 =0.25 y1 = 1.5 z1 = 0.5x2 =0.5 y2 = 2 z2 = 0

f(x0, y0, z0) = 1f(x0, y0, z2) = 1f(x0, y2, z0) = 1f(x0, y2, z2) = 1f(x2, y0, z0) = 1.6487f(x2, y0, z2) = 1f(x2, y2, z0) = 2.7183f(x2, y2, z2) = 1

f(x0, y0, z1) = 1f(x0, y1, z0) = 1f(x0, y1, z2) = 1f(x0, y2, z1) = 1f(x1, y0, z0) = 1.2840f(x1, y0, z2) = 1f(x1, y2, z0) = 1.6487f(x1, y2, z2) = 1f(x2, y0, z1) = 1.2840f(x2, y1, z0) = 2.1170f(x2, y1, z2) = 1f(x2, y2, z1) = 1.6487f(x0, y1, z1) = 1f(x1, y0, z1) = 1.1331f(x1, y1, z0) = 1.4550f(x1, y1, z2) = 1f(x1, y2, z1) = 1.2840f(x2, y1, z1) = 1.4550

f(x1, y1, z1) = 1.2062

117

I = 0.6105

Figura5.11 GUI Integrales Triples

Portafolio de Evidenciasa) Utilizar software matemático para integración múltiple de funciones matemáticas ( Matlab, Matcad, etc.)

118

5.4 Aplicaciones

5.4.1 Calculo de Propiedades Termodinámicas

Conceptos utilizadosEn el calculo de las propiedades termodinámicas fundamentales entalpía y entropía a partir de propiedades residuales se requiere el calculo de las integrales1

0

P (∂Z∂T )

P

dPP y

0

P(Z−1) dP

PCursoFisicoquímica I, Fisicoquímica II, Operaciones Unitarias

ProblemaEvaluar el valor de estas integrales para el caso del isobutano a 360 ºK a partir de la información dada en la siguiente tabla.Tabla 5.10 Datos del factor de compresibilidad a distintas temperaturas y presiones

Factores de compresibilidad Z para el isobutanoP/bar 340 K 350 K 360 K 370 K 380 K

0,1 0,997 0,99719 0,99737 0,99753 0,997670,5 0,98745 0,9883 0,98907 0,98977 0,9904

2 0,95895 0,96206 0,96483 0,9673 0,969534 0,92422 0,93069 0,93635 0,94132 0,945746 0,88742 0,89816 0,90734 0,91529 0,922238 0,84575 0,86218 0,87586 0,88745 0,897413

10 0,79659 0,82117 0,84077 0,85695 0,8706112 - 0,7731 0,80103 0,82315 0,8413414 - - 0,75506 0,78531 0,80923

15,41 - - 0,71727 - -SoluciónTabla 5.11 Evaluación de las derivadas con formulas de derivación numéricaCálculo de derivadas con diferencias centrales Cálculo de derivadas con diferencias hacia delante

P=0.1 bar 0,1 P=0.1 bar 0,1T Z (dZ/dT)/P T Z (dZ/dT)/P340 0,997 340 0,997 0,000195350 0,99719 0,000185 350 0,99719 0,00019360 0,99737 0,00017 360 0,99737 0,00017370 0,99753 0,00015 370 0,99753380 0,99767 380 0,99767

P=0.5 bar 0,5 P=0.5 bar 0,5T Z (dZ/dT)/P T Z (dZ/dT)/P340 0,98745 340 0,98745 0,000178350 0,9883 0,000162 350 0,9883 0,000161360 0,98907 0,000147 360 0,98907 0,000147370 0,98977 0,000133 370 0,98977380 0,9904 380 0,9904

P=2 bar 2 P=2 bar 2

1 Smith, Van Ness y Abbot

119

T Z (dZ/dT)/P T Z340 0,95895 340 0,95895 0,000164350 0,96206 0,000147 350 0,96206 0,000146360 0,96483 0,000131 360 0,96483 0,0001295370 0,9673 0,0001175 370 0,9673380 0,96953 380 0,96953

P=4 bar 4 P=4 bar 4T Z (dZ/dT)/P T Z340 0,92422 340 0,92422 0,00017187350 0,93069 0,000151625 350 0,93069 0,00015013360 0,93635 0,000132875 360 0,93635 0,00013112370 0,94132 0,000117375 370 0,94132380 0,94574 380 0,94574

P=6 bar 6 P=6 bar 6T Z (dZ/dT)/P T Z340 0,88742 340 0,88742 0,000192350 0,89816 0,000166 350 0,89816 0,00016325360 0,90734 0,00014275 360 0,90734 0,00014092370 0,91529 0,000124083 370 0,91529380 0,92223 380 0,92223

P=8 bar 8 P=8 bar 8T Z (dZ/dT)/P T Z340 0,84575 340 0,84575 0,00022256350 0,86218 0,000188188 350 0,86218 0,00018406360 0,87586 0,000157938 360 0,87586 0,00015494370 0,88745 0,000134813 370 0,88745380 0,89743 380 0,89743

P=10 bar 10 P=10 bar 10T Z (dZ/dT)/P T Z340 0,79659 340 0,79659 0,0002707350 0,82117 0,0002209 350 0,82117 0,0002131360 0,84077 0,0001789 360 0,84077 0,0001744370 0,85695 0,0001492 370 0,85695380 0,87061 380 0,87061

P=12 bar 12 P=12 bar 12T Z (dZ/dT)/P T Z340 340350 0,7731 350 0,7731 0,00025696360 0,80103 0,000208542 360 0,80103 0,00020071370 0,82315 0,00020155 370 0,82315380 0,84134 380 0,84134

P=14 bar 14

120

T Z340350360 0,75506 0,00023868370 0,78531380 0,80923

Tabla 5.11 Evaluación de las derivadas por igualación de áreas:P = 0,1 barT Z deltaZ/deltaT (dZ/dT)p

340 0,997 2,30E-05 2,05E-05350 0,99719 1,9E-05 1,86E-05360 0,99737 1,8E-05 1,70E-05370 0,99753 1,6E-05 1,52E-05380 0,99767 1,4E-05 1,36E-05

Derivación por igualación de áreas

0,00E+00

5,00E-06

1,00E-05

1,50E-05

2,00E-05

2,50E-05

330 340 350 360 370 380 390

delta T

del

ta Z

Figura 5.12 Método de igualación de áreas

121

Tabla 5.12 Evaluación de las derivadas por igualación de áreasP = 6 barT Z deltaZ/deltaT (dZ/dT)p

340 0,88742 0,00125 0,0012350 0,89816 0,001074 0,00096360 0,90734 0,000918 0,00084370 0,91529 0,000795 0,00074380 0,92223 0,000694 0,00069

Derivación por igualación de áreas

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0,0014

330 340 350 360 370 380 390

delta T

del

ta Z

Figura 5.13 Método de igualación de áreas

122

Tabla 5.13 Evaluación de las derivadas por ajuste de polinomioP = 0,1 bar P_orden 2

T Z (dZ/dT)p340 0,997 2,02286E-05350 0,99719 1,85143E-05360 0,99737 1,68E-05370 0,99753 1,50857E-05380 0,99767 1,33714E-05

Datos para P = 0,1 bar

y = -8,5714E-08x2 + 7,8514E-05x + 0,9802

R2 = 1

0,99680,997

0,99720,99740,99760,9978

330 340 350 360 370 380 390

T

Z

Figura 5.14 Ajuste de polinomio presión 0.1 bar

Tabla 5.13 Evaluación de las derivadas por ajuste de polinomioP = 8 bar

T Z (dZ/dT)p340 0,84575 0,001714572350 0,86218 0,00150043360 0,87586 0,001286288370 0,88745 0,001072146380 0,89743 0,000858004

Datos para P = 8 bar

y = -1,0707E-05x2 + 0,008995x - 0,9748

R2 = 0,9999

0,840,860,880,9

0,92

330 340 350 360 370 380 390

T

Z

Figura 5.15 Ajuste de polinomio presión de 8 bar

123

Tabla 5.13 Derivadas para evaluar las integralesCálculo de las integrales

T sistema = 360Base para extrapolar por Lagrange P (dZ/dT)/P (Z-1)/P

0 1,75E-04 2,59E-02X0 0,1 1,70E-04 2,47E-02X1 0,5 1,51E-04 2,19E-02X2 2 1,29E-04 1,76E-02

4 1,29E-04 1,59E-026 1,40E-04 1,54E-028 1,56E-04 1,55E-02

X2 10 1,78E-04 1,59E-02X1 12 2,07E-04 1,66E-02X0 14 2,43E-04 1,75E-02

15,41 2,72E-04 1,84E-02

Polinomio de orden 4

y = 1,3265E-08x4 - 4,7838E-07x3 + 6,6882E-06x2 - 3,1353E-05x +0,0001712

R2 = 0,9954

0,00E+005,00E-051,00E-041,50E-042,00E-042,50E-043,00E-04

0 5 10 15 20

P

(dZ

/dT

)/P

Figura 5.16 Polinomio de Integración para la primera integral

124

Polinomio de orden 4

y = 1,9245E-06x4 - 7,1746E-05x3 + 0,0009635x2 - 0,0052795x + 0,025172

R2 = 0,9849

0,00E+00

1,00E-02

2,00E-02

3,00E-02

0 5 10 15 20

P

(Z-1

)/P

Figura 5.17 Polinomio de Integración para la segunda integral

Tabla 5.14 Integración numérica por regla TrapezoidalIntegración por la regla Trapezoidal

Primera integralI = 2,44E-03

Segunda integralI = 2,31E-01

Tabla 5.15 Valores de la función para evaluar la primera integral por regla de Simpson 1/3Xa = 0Xb = 15,41

n = 10h = 1,541

k x f(x)0 0 0,00017121 1,541 0,000137092 3,082 0,000125293 4,623 0,000127994 6,164 0,000139175 7,705 0,000154616 9,246 0,000171897 10,787 0,000190388 12,328 0,000211259 13,869 0,00023745

10 15,41 0,00027374

Tabla 5.16 Integración numérica por regla Simpson 1/3 primera integralIntegración por la regla de Simpson 1/3Ajustando un polinomio de orden 4

I = 0,00263524

125

Tabla 5.17 Valores de la función para evaluar la segunda integral por regla de Simpson 1/3k x f(x)0 0 0,0251721 1,541 0,01907262 3,082 0,016125873 4,623 0,015147224 6,164 0,015212525 7,705 0,015658116 9,246 0,016080767 10,787 0,016337748 12,328 0,016546749 13,869 0,0170859410 15,41 0,01859397

Tabla 5.18 Integración numérica por regla Simpson 1/3 segunda integralIntegración por la regla de Simpson 1/3Ajustando un polinomio de orden 4

I = 0,25935247

126

Evaluación Sumativa

Problema 1El estudio publicado sobre una reacción química:

A Pindica que cuando un reactor contiene inicialmente A a la concentración CAo(g/L) y la temperatura, T, se mantiene constante el orden de la reacción es un entero. Y la constante especifica de velocidad varia con la temperatura.Para comprobar este hecho, se lleva a cabo la reacción en cuatro laboratorios distintos. Los datos experimentales reportados son los siguientes.

Laboratorio 1T = 275 ºCCAo = 4.83

Laboratorio 2T = 275 ºCCAo = 12.2

Laboratorio 3T = 275 ºCCAo = 5.14

Laboratorio 4T = 275 ºCCAo = 3.69

t(s) CP(g/L) CP(g/L) CP(g/L) CP(g/L)0 0.0 0.0 0.0 0.010 0.287 1.21 0.310 0.24520 0.594 2.43 0.614 0.46530 0.871 3.38 0.885 0.67060 1.51 5.89 1.64 1.20120 2.62 8.90 2.66 2.06240 3.91 11.2 3.87 3.03360 4.30 12.1 4.61 3.32480 4.62 12.1 4.89 3.54600 4.68 12.2 5.03 3.59

Encontrar el orden de la reacción y la constante especifica de velocidad usando el método diferencial

SoluciónLa ley de acción de masas no indica que la velocidad de una reacción es proporcional a la concentración de la especie elevada a una potencia

dC A

dt=kC A

n

Tomando logaritmos en ambos lados de la ecuación

ln ( dCA

dt )=ln k+n ln C A

Esta ecuación tiene la forma general de una línea recta:Donde

y = ln

dC A

dt a0 = ln k a1 = n y x = ln CA

Para poder aplicar regresión lineal por mínimos cuadrados es necesario evaluar las derivadas de la concentración con respecto del tiempo.

127

Problema 2A principios del siglo pasado, Lord Rayleigh resolvió el problema de la destilación binaria simple (una etapa) por lotes, con la ecuación que ahora lleva su nombre

Li

Lf dLL

=x i

x f dxy−x

Donde L son los moles de la mezcla liquida en el hervidor, x las fracciones mol del componente mas volátil en la mezcla liquida y y las fracciones mol de su vapor en equilibrio. Los subíndices i y f se refieren al estado inicial y final.

Calcule que fracción de un lote es necesario destilar en una mezcla binaria para que x cambie de xi = 0.7 a xf = 0.4. La relación de equilibrio esta dada por la ecuación

y= αx1+( α−1)x

Donde es la volatilidad relativa de los componentes y es una función de x según la siguiente tabla (para una mezcla dada).

x 0.70 0.65 0.60

0.55 0.50 0.45 0.40

2.20 2.17 2.13

2.09 2.04 1.99 1.94

128

Unidad VI. Solución de ecuaciones diferenciales (Valor Inicial y valor en la frontera)

Competencia especifica a desarrollar en la unidadResolver una ecuación diferencial y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias y con valor en la frontera aplicando un método numérico y comparar con la solución analítica.

6.1 Fundamentos

Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las ingenierías, debido a que muchas leyes y relaciones físicas se expresan matemáticamente mediante estas relaciones.Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales:

d2 ydx2

+4 y=0 dydx

=2 xy x2 ∂ z∂ x

+2∂ z∂ y

−3 xy+4 z sec y=0

Las dos primeras ecuaciones contienen derivadas ordinarias y por la forma en que están escritas vemos que y = f(x); la tercera contiene derivadas parciales y podemos ver que z = f(x, y). El orden de una ecuación diferencial es el máximo orden de las derivadas que contiene

En esta unidad desarrollaremos métodos numéricos para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de valores iniciales.Un problema de valor inicial consiste en una ecuación diferencial, y en una condición que debe satisfacer la solución (o varias condiciones que se refieren al mismo valor de x, si la ecuación es de orden superior.)

yxfdx

dy,

, y0 = y(x0)6.2 Métodos de un Paso

Su aplicación parte de y0 = y(x0) y se avanza por pasos. En el primer paso se calcula un valor aproximado de y1 de la solución y en x = x0 + h, en el segundo paso se calcula un valor aproximado de y2 en x = x0 + 2h, y así sucesivamente.En cada paso, los cálculos e llevan a cabo mediante la misma fórmula, y en ellas h es un valor fijo.

6.2.1 Forma General para Métodos de un Paso

Deducción a partir de la serie de Taylor

donde h = xi+1 - xi.

f(xi+1) = f(xi) + f ´(xi) h + (0) h2

Si truncamos la serie de Taylor a partir del término

12!

f ' ' ( x i )h2

f(xi+1) = f(xi) + f ´(xi) h + (o) h2

Valor Actual = Valor Anterior + Pendiente Tamaño del Paso + Error

129

f ( xi+1)=f ( xi )+f ' (x i )h+1

2 !f ' ' (xi )h2+ 1

3 !f ' ' ' (x i ) h3+. ..

Si hacemos = f ´(xi)yi+1 = yi+ h

Figura 6.1 Método de un solo paso

6.2.1.1 Método de Euler

La primera derivada proporciona una aproximación directa a la pendiente en xi

= f (xi, yi)

donde f(xi, yi) es la ecuación diferencial evaluada en (xi, yi)

yi+1 = yi+ f (xi, yi) h

A esta fórmula se le conoce como método de Euler, o método de Euler-Cauchy o de pendiente puntual.

Ejemplo

Hallar el valor de f(x) en x =2, sí y(0) = 1

Analíticamente

dydx

= yx2− y= y (x2−1 )dydx

= y ( x2−1 )

dyy=(x2−1 )dx

d ln y= (x2−1 )

ln y= x3

3−x+C

y=Aex 3

3− x

Dado que y(0) = 1, A = 1

y=ex3

3−x

Entonces y(2) = 1.947734

130

tamaño de paso h= xi+1 - xi

f(x)

pendiente = yi+1

yi+1 = yi + h

xi+1xi

dydx

= yx2− y

Numéricamente

Por el método de Euler, usando h = 0.5, y(0) = 1.

Figura 6.2 GUI Método de Euler h=0.125

Ecuación del métodoyi+1 = yi+ f (xi, yi) h

xi = 0yi = 1f (xi, yi) = yi (xi

2 - 1)f (0, 1) = 1 (02 - 1) = -1

yi+1 = 1+ (-1) (0.5) = 0.5xi+1 = xi+ h = 0 + 0.5 = 0.5

xi = 0.5yi = 0.5f (xi, yi) = f (0.5, 0.5) = 0.5 [(0.5)2 – 1]

= -0.375

yi+1 = 0.5 + (-0.375) (0.5) = 0.3125xi+1 = xi+ h = 0.5 + 0.5 = 1

xi = 1yi = 0.3125f (xi, yi) = f (1, 0.3125)

= 0.3125 [(1)2 – 1] = 0

yi+1 = 0.3125 + (0) (0.5) = 0.3125xi+1 = xi+ h = 1 + 0.5 = 1.5

xi = 1.5yi = 0.3125f (xi, yi) = f (1.5, 0.3125)

= 0.3125 [(1.5)2 – 1] = 0.390625

yi+1 = 0.3125 + 0.390625 (0.5)

131

= 0.5078125 xi+1 = xi+ h = 1.5 + 0.5 = 2

Aplicando el mismo procedimiento para h = 0.25 y h = 0.125 se obtiene

Tabla 6.1 Valores de y para distintos valores de h con Eulerh = 0.5 h = 0.25 h = 0.125

x y x y x y0.0 1.0000 0.00 1.0000 0.000 1.0000

0.125 0.87500.25 0.7500 0.250 0.7673

0.375 0.67740.5 0.5000 0.50 0.5742 0.500 0.6046

0.625 0.54800.75 0.4666 0.750 0.5062

0.875 0.47851.0 0.3125 1.00 0.4155 1.000 0.4645

1.125 0.46451.25 0.4155 1.250 0.4799

1.375 0.51371.5 0.3125 1.50 0.4740 1.500 0.5709

1.625 0.66011.75 0.6221 1.750 0.7954

1.875 1.00052.0 0.5078 2.00 0.9428 2.000 1.3151

132

Figura6.3 GUI Método de Euler h=0.0056.2.1.3 Métodos de Runge-Kutta

En los métodos de Euler y Heun se aplica la fórmula de recurrencia: yi+i = yi + (xi, yi) hDonde

(xi, yi) = f (xi, yi) método de Euler

(xi, yi) = 1

2 [ f (xi, yi) + f (xi+1, yi+1)] método de Heun

Estos dos métodos tienen los siguientes puntos comunes:1. Son métodos de un paso, para determinar yi+1 se necesita conocer únicamente los valores de xi y yi del punto

anterior.2. No requiere evaluar ninguna derivada, sino únicamente los valores de la función que representa a la ecuación

diferencial.Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos como de Runge Kutta. La diferencia entre ellos consiste en la forma como se define la función (xi, yi):

Segundo Orden. (Método de Ralston)

yi+1 = yi + (1

3 k1 + 2

3 k2) h

donde k1 = f (xi, yi); k2 = f (xi+3

4 h, yi+3

4 h k1)

Tercer Orden.

yi+1 = yi + [1

6 (k1 + 4k2 + k3)] h

133

donde k1 = f (xi, yi); k2 = f (xi+1

2 h, yi+1

2 h k1); k3 = f (xi+h, yi - hk1 +2hk2)

Cuarto Orden.

yi+1 = yi + [1

6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)] h

donde k1 = f (xi, yi); k3 = f (xi +1

2 h, yi +1

2 hk2);

k2 = f (xi+1

2 h, yi +1

2 h k1); k4 = f (xi + h, yi + h k3);

EjemploResuelva la ecuación diferencial de los ejemplos anteriores por los métodos de Runge-Kutta de segundo, tercer y cuarto orden; sí y(0) = 1, utilizando h = 0.5

dydx

= y ( x2−1 )Segundo Orden

yi+1 = yi + (1

3 k1 +2

3 k2) h

y i = y(0) = 1k1 = f (xi, yi) = f (0, 1) = 1(02-1) =-1k2 = f (xi+¾ h, yi+¾ h k1)

xi+¾h = 0+¾ (0.5) = 0.375yi+¾ h k1 = 1 +¾(0.5)(-1) = 0.625

k2 = f (0.375, 0.625) = 0.625(0.3752 - 1) = -0.5371y i+1 = y (0.5) = 1 + (⅓ (-1) + ⅔ (-0.5371)) (0.5) = 0.6543

y i = y (0.5) = 0.6543k1 = f (0.5, 0.6543) = -0.4907

xi+¾ h = 0.875yi+¾ h k1 = 0.4703

k2 = f (0.875, 0.4703) = -0.1102y i+1 = y (1) = 0.5358

y i = y (1) = 0.5358k1 = f (1, 0.5358) = 0

xi+¾ h = 1.375yi+¾ h k1 = 0.5358

k2 = f (1.375, 0.5358) = 0.4772y i+1 = y (1.5) = 0.6948

y i = y (1.5) = 0.6948k1 = f (1.5, 0.6948) = 0.8685

xi+¾ h = 1.875yi+¾h k1 = 1.0205

k2 = f (1.875, 1.0205) = 2.5673y i+1 = y (2) = 1.6953

Tercer Orden

yi+1 = yi + [1

6 (k1 + 4k2 + k3)] h

y i = y(0) = 1k1 = f (xi, yi) = f (0, 1) = 1(02-1) = -1k2 = f (xi+½ h, yi+½ h k1)

xi+½ h = 0+½ (0.5) = 0.25yi+½ h k1 = 1 +½ (0.5)(-1) = 0.75

k2 = f (0.25, 0.75) = 0.625(0.3752 - 1) = -0.7031k3 = f (xi+h, yi - hk1 +2hk2)

xi+h = 0 + 0.5 = 0.5yi - hk1 +2hk2 = 1–0.5(-1)+2(0.5)(-0.7031) = 0.7969

k3 = f (0.5, 0.7969) = -0.5977

y i+1 = y (0.5)

= 1 + 1

6 (-1 + 4(-0.7031) + 0.7969) (0.5) = 0.6325

y i = y (0.5) = 0.6325k1 = f (0.5, 0.6325) = -0.4744

xi+½ h = 0.75yi+½ h k1 = 0.5139

k2 = f (0.875, 0.4703) = -0.2248xi+h = 1yi - hk1 +2hk2 = 0.6448k3 = f (1, 0.6448) = 0

134

y i+1 = y (1) = 0.5180

y i = y (1) = 0.5180k1 = f (1, 0.5180) = 0

xi+½ h = 1.25yi+½ h k1 = 0.5180

k2 = f (0.875, 0.4703) = -0.2914xi+h = 1.5yi - hk1 +2hk2 = 0.8094

k3 = f (1, 0.6448) = 1.0117y i+1 = y (1) = 0.6995

y i = y (1) = 0.6995k1 = f (1, 0.6995) = 0.8743

xi+½ h = 1.75yi+½ h k1 = 0.9180

k2 = f (1.75, 0.9180) = 1.8934xi+h = 2yi - hk1 +2hk2 = 2.1557

k3 = f (2, 2.1557) = 6.4672y i+1 = y (1) = 1.9424

Cuarto Orden

yi+1 = yi + [1

6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)] h

y i = y(0) = 1k1 = f (xi, yi) = f (0, 1) = 1(02-1) = -1k2 = f (xi+½ h, yi+½ h k1)

xi+½ h = 0+½ (0.5) = 0.25yi+½ h k1 = 1 +½ (0.5)(-1) = 0.75

k2 = f (0.25, 0.75) = 0.625(0.3752 - 1) = -0.7031k3 = f (xi + ½ h, yi + ½ hk2)

xi+½ h = 0+½ (0.5) = 0.25yi+½ h k2 = 1 +½ (0.5)(-0.7031) = 0.8242

k3 = f (0.25, -0.7031) = -0.7727k4 = f (xi + h, yi + h k3)

xi+ h = 0+ (0.5) = 0.5yi+ h k3 = 1 + (0.5)(-0.7727) = 0.6136

k4 = f (0.5, 0.6136) = -0.4602y i+1 = y (0.5)

= 1 + 1

6 [-1 + 2(-0.7031) + 2(-0.7727) + 4(-0.4602)] (0.5)

= 0.6323

y i = y(0.5) = 0.6323k1 = f (0.5, 0.6323) = -0.4743

xi+½ h = 0.75yi+½ h k1 = 0.5138

k2 = f (0.75, 0.5138) = -0.2248xi+½ h = 0.75yi+½ h k2 = 0.5761

k3 = f (0.75, -0.5761) = -0.2521xi+ h = 1yi+ h k3 = 0.5063

k4 = f (1, 0.5063) = 0y i+1 = y (1) = 0.5133

y i = y(1) = 0.5133k1 = f (1, 0.5133) = 0

xi+½ h = 1.25yi+½ h k1 = 0.5133

k2 = f (0.75, 0.5138) = -0.2889xi+½ h = 1.25yi+½ h k2 = 0.5855

k3 = f (0.75, -0.5761) = 0.3294xi+ h = 1.5yi+ h k3 = 0.6780

k4 = f (1, 0.5063) = 0.8475y i+1 = y (1.5) = 0.6870

y i = y(1.5) = 0.6870k1 = f (1.5, 0.6870) = 0.8587

xi+½ h = 1.75yi+½ h k1 = 0.9017

k2 = f (1.75, 0.9017) = 1.8597xi+½ h = 1.75yi+½ h k2 = 1.1519

k3 = f (1.75, 1.1519) = 2.3758xi+ h = 2yi+ h k3 = 1.8749

k4 = f (2, 1.8749) = 5.6248y i+1 = y (2) = 1.933

Portafolio de Evidencias

135

g) Hacer un programa (diagrama de flujo y seudocódigo) para resolver una ecuación diferencial ordinaria con valores iniciales por el Método de Euler y Runge-Kutta °4 Orden. Codificar y ejecutar en scilab

h) Utilizar software matemático para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales (Polymath y Matlab)

6.3. Métodos rígidos y de pasos múltiples

Los métodos de un solo paso que hemos visto para solucionar ecuaciones diferenciales pueden extenderse a sistemas de ecuaciones diferenciales, sin embargo, pueden dar soluciones erráticas cuando la solución exacta de la ecuaciones del sistema contiene términos de la forma e λtdonde es un numero complejo con parte real negativa, ya que este término se acerca a cero al aumentar t.Los métodos vistos no consideran esta posibilidad a menos que se les impongan restricciones en el tamaño de paso.Los sistemas que presentan este tipo de comportamiento se llaman sistemas rígidos y aparecen en el análisis de sistemas de control así como en cinética química.

Ejemplo

136

Figura 6.4 Codificación del Algoritmo Método Implícito del Trapecio (raíces con Newton)

137

Figura 6.5 Corrida del Algoritmo Método Implícito del Trapecio (raíces con Newton)

138

6.4 Métodos Múltipaso

Una técnica alterna para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias se puede desarrollar conociendo información de la función en varios puntos, tomando estos como base para predecir el valor de la función en los puntos subsiguientes.

separando variables e integrando entre los límites i e i+1

y i+1= y i+xi

x i+1 f ( x , y ) dx

resolviendo la integral se pueden encontrar los valores de yi+1 conociendo yi.

6.4.1 Método de Heun (Euler-Gauss)

Un método para mejorar la aproximación a la pendiente implica el cálculo de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y la otra en el punto final. Enseguida se promedian las dos derivadas y se obtiene una aproximación mejorada de la pendiente en el intervalo completo.

En el método el Euler, la pendiente al principio del intervalo es

yi´ = f (xi, yi)se usa para extrapolar linealmente a yi+1 en xi+1

yi+1 = yi+ f (xi, yi) (Ecuación predictora)hPero al final del intervalo se puede calcular una pendiente aproximada

yi+1´ = f (xi+1, yi+1)Por la tanto se pueden combinar las dos pendientes y obtener una pendiente promedio en el intervalo:

y '=y i ´+ y i+1´

2=

f (x i , y i )+ f ( xi+1 , y i+1 )2

por lo que

y i+1= y i+f ( x i , y i )+f (x i+1 , y i+1 )

2h

(Ecuación correctora)Por ello, el método de Heun es un esquema predictor-corrector.Nótese que la ecuación correctora tiene el término yi+1 a ambos lados de la igualdad, y puede aplicarse para corregir en un esquema iterativo hasta que se obtenga una yi+1 mejorada para una tolerancia preestablecida.

Ejemplo Resolver el ejemplo anterior utilizando el método de Heun, y valores de h de 0.5, 0.25 y 0.125.

f (xi, yi) = yi (xi2 - 1)

h = 0.5

xi = 0, yi = 1

Predictor

f (xi, yi) = 1 [02 - 1] = -1yi+1 = yi+ f (xi, yi) h = 1+ (-1) (0.5) = 0.5

Correctorxi+1 = 0.5

yi+1´ = f (xi+1, yi+1) = f (0.5, 0.5) = 0.5 [(0.5)2 – 1] = -0.375

139

dydx

=f ( x , y )

y i+1= y i+f ( x i , y i )+f (x i+1 , y i+1 )

2h

=1+−1−0 . 3752

(0 . 5 )=0 . 65625

Corrector primera iteración

y i+1=1+−1−0. 49232

(0 .5 ) =0 . 62695

Corrector segunda iteración

y i+1=1+-1-470212

(0 .5 )=0 . 63245

Corrector tercera iteración

y i+1=1+-1-0 . 47432

(0 . 5 ) =0. 63142

Corrector cuarta iteración

y i+1=1+-1-0 . 47362

(0 . 5 ) =0 .63161

Aplicando el mismo procedimiento para h = 0.25 y h = 0.125 se obtieneTabla 6.2 Valores de y para distintos valores de h con Heun

h = 0.5 h = 0.25 h = 0.125x y x y x y

0.0 1.0000 0.00 1.0000 0.000 1.00000.125 0.8832

0.25 0.7832 0.250 0.78300.375 0.6995

0.5 0.6316 0.50 0.6322 0.500 0.63230.625 0.5806

0.75 0.5432 0.750 0.54360.875 0.5211

1.0 0.5132 1.00 0.5135 1.000 0.51341.125 0.5221

1.25 0.5523 1.250 0.55011.375 0.6030

1.5 0.7464 1.50 0.7006 1.500 0.69051.625 0.8296

1.75 1.0915 1.750 1.04991.875 1.4064

2.0 3.9174 2.00 2.1965 2.000 2.0031

6.4,2 Método de MilneEste es un método predictor-corrector que utiliza información en los primeros cuatro Esta información se puede obtener aplicando alguno de los métodos vistos anteriormente.Para resolver la integral se usa las formulas de integración numérica vistas en la unidad anterior

Predictor

y i+1= y i−3+4 h3 (2 f (x i , y i )− f ( xi−1 , y i−1)+2 f (x i−2 , y i−2))

Corrector

y i+1= y i−1+h3 (2 f ( xi−1 , yi−1)+4 f ( xi , y i )+2 f ( x i+1 , y i+1))

Un tipo de fórmulas que tienen la forma general descrita anteriormente son las fórmulas de Adams

Fórmula abierta de n-ésimo orden (Adams-Bashforth)

140

y i+1= y i+h∑k=0

n−1

βk f i−k+o (hn+1 )

Fórmula abierta de n-ésimo orden (Adams-Moulton)

y i+1= yi+h∑k=0

n−1

βk f i+1−k+o (hn+1)

donde k son coeficientes reportados en la bibliografía.

Combinando estas dos fórmulas en un esquema de predictor corrector se puede desarrollar un método para encontrar la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias.La información de los puntos necesarios para iniciar el procedimiento se obtiene generalmente a partir de un método de un solo paso, con un orden suficiente para que esta información sea confiable.

EjemploResolver por el método de Adams de cuarto orden la ecuación.

dydx

= y ( x2−1 )

Predictor yi+1 = yi + h (0 fi-0 + 1 fi-1 + 2 fi-2 + 3 fi-3)

y i+1= y i+ h (5524

f i−5924

f i−1+3724

f i−2−9

24f i−3)

Corrector yi+1 = yi + h (0 fi+1-0 + 1 fi+1-1 + 2 fi+1-2 + 3 fi+1-3)

y i+1= y i+ h ( 924

f i+1−1924

f i−5

24f i−1+

124

f i−2)Cálculo de los puntos iniciales por el método de Runge-Kutta de cuarto orden

Primer Pasoxi = 0, yi = 1xi - 1 = -0.5, yi - 1 = 1.581052xi - 2 = -1, yi - 2 = 1.947028xi - 3 = -1.5, yi - 3 = 1.453834

Predictory (0.5) = 0.9709569Correctory (0.5) = 0.5911456y (0.5) = 0.6445565y (0.5) = 0.6370456y (0.5) = 0.6381018y (0.5) = 0.6379533y (0.5) = 0.6379742

Segundo Pasoxi = 0.5, yi = 0.6379742xi - 1 = 0, yi - 1 = 1xi - 2 = -0.5, yi - 2 = 1.581052xi - 3 = -1, yi - 3 = 1.947028

Predictory (1) = 0.735548Correctory (1) = 0.5319068

141

6.5 Métodos de tamaño de paso variableLos métodos desarrollados anteriormente tiene un tamaño de paso fijo (puntos igualmente espaciados), sin embargo, esto no permite tener un control sobre el error de truncamiento local en cada paso, ya que puede darse el caso que la función tenga cambios bruscos en el intervalo de integración.Se han desarrollado técnicas numéricas para la estimación local del error que permitan controlar el tamaño de paso óptimo para controlar el error global.

6.5.1 Método de Runge Kutta-FehlbergLa idea de este método es usar el método de Runge Kutta con error de truncamiento de orden cinco

y i+1= y i+16

135k1+

665612825

k3+2856156430

k 4−9

50k5+

255

k6

Para estimar el error local de truncamiento de Runge Kutta cuarto orden

y i+1= y i+25

216k1+

14082565

k 3+21974104

k4−15

k5

Donde

k 1=hf (t i , y i)

k 2=hf (t i+h4

, yi+14

k 1)

k 3=hf (t i+3 h8

, y i+3

32k1+

932

k2)

k 4=hf (ti+12 h13

, y i+19322197

k1−72002197

k2+72962197

k3)

k 5=hf (t i+h , y i+439216

k1−8 k2+3680513

k3−845

4104k4)

k 6=hf (t i+h2

, y i−8

27k1+2 k2−

35442565

k3+18594104

k4−1140

k5)

La ecuación que se utiliza para el control del error es q ≤( εh|yi+1− y i|)

1n

Donde q es positivo y no cercano a cero, para este método se recomienda usar n=4

Ejemplo

142

Resuelva la ecuación diferencial rígida

dydt

=− y+t+1 por el método Runge Kutta Fehlberg, con tamaño de paso variable

iteración de Newton para encontrar las raíces. Si y(0)=1 , tf=1Tomar hmax = 0.1 y hmin = 0.02

Figura 6.6 Codificación: Algoritmo Método de Runge Kutta Fehlberg

143

Figura 6.7 Corrida del Algoritmo Método de Runge Kutta Fehlberg

6.6 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Todo sistema de ecuaciones diferenciales puede representarse generalmente como

dy1

dx=f 1 ( x , y1 , y2 , .. . yn)

dy2

dx=f 2 (x , y1 , y2 , . .. yn )

⋮dyn

dx=f n ( x , y1 , y2 , .. . yn)

La solución de este sistema requiere de n condiciones iniciales conocidas para un valor inicial de x.

Una ecuación diferencial de orden superior puede escribirse como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Escsriba la ecuación diferencial ordinaria y(n) = f (x, y, y’, y´´, ..., y(n - 1)) como un sistema de ecuaciones de primer orden haciendo las sustituciones

y1 = y, y2 = y’, ..., yn = y(n - 1)

Entonces:y´1 = y2

y´2 = y3

y’n = f (x, y1, y2, y3, ..., yn )

es un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias.

Por ejemplo, considere el problema de valor inicial.

y´´´ -3y’’ – y’y = 0 y (0) = 0 y´ (0) = 1 y´´ (0) = -1

144

Despeje en la ecuación diferencial, para su derivada de mayor orden escribiendo y´´´ en términos de x y de sus derivadas de orden menor y´´´ = 3y´´ + y´y. Si hacemos las sustituciones

y1 = y y2 = y’ y3 = y´´

entoncesy´1 = y2

y´2 = y3

y3’ = 3y3 + y2 y1

con las condiciones iniciales

y1 (0) = 0y2 (0) = 1y3 (0) = -1

EjemploResolver el problema de valores en la frontera definido por la ecuación:

d2 ydx2

+ y=0

si y(0) = 1, y(0) = 2; y calcular el valor de y(1).

Analíticamente

Teorema.“Si la ecuación auxiliar m2 + bm +c = 0 tiene las raíces complejas s ti, entonces la solución general de y + by + cy = 0 es y = esx (c1 cos tx + c2 sen tx)”

En el ejemplo, para la ecuación auxiliar b = 0 y c = 1 m2 + 1 = 0 m = iPor ello, s = 0 y t = 1, y la solución general queda:

y = e(0)x (c1 cos (1)x + c2 sen (1)x)y = c1 cos x + c2 sen xy = c2 cos x – c1 sen x

Sustituyendo las condiciones en la frontera

y(0) = c1 cos (0) + c2 sen (0) = 1 c1 = 1y (0) = c2 cos (0) – c1 sen (0) = 2 c2 = 2

y = cos x + 2sen xy(1) = cos (1) + 2sen (1) = 2.223244

Utilizando el paquete Polymath, para x =1, y = 2.2232

145

6.7 Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n

Usando el método de Runge-Kutta de segundo orden (método de Ralston) con h = 0.5, y(0) = 1, y(0) = 2;

d2 ydx2

+ y=0

ddx ( dy 1

dx )+ y1=0

dy1

dx= y2

dy2

dx+ y1=0 →

dy 2

dx=− y1

Ecuaciones del método:-

yj, i+1 = yj, i + (⅓ k1, j + ⅔ k2, j) h

k1, j = fj (xi, y1, i, y2, i,..., yn, i);

k2, j = fj (xi+¾ h, y1, i+¾ h k1, 1, y2, i+¾ h k1, 2,..., yn, i+¾ h k1, n,)

xi = 0; y1, i = 1; y2, i = 2k1, 1 =f1 (0, 1, 2) = 2k1, 2 =f2 (0, 1, 2) = -1

xi+¾ h = 0 + ¾ (0.5) = 0.375y1, i +¾ h k1, 1 = 1 + ¾ (0.5)(2) = 1.75y2, i +¾ h k1, 2 = 2 + ¾ (0.5)(-1) = 1.625

k2, 1 = f1 (0.375, 1.75, 1.625) = 1.625k2, 2 = f2 (0.375, 1.75, 1.625) = -1.75

y1 (0.5) = 1 + (⅓ (2) + ⅔ (1.625) (0.5) = 1.875

y2 (0.5) = 2 + (⅓ (-1) + ⅔ (-1.75) (0.5) = 1.25

xi = 0.5; y1, i = 1.875; y2, i = 1.25k1, 1 =f1 (0.5, 1.875, 1.25) = 1.25k1, 2 =f2 (0.5, 1.875, 1.25) = -1.875

xi+¾h = 0.5 + ¾ (0.5) = 0.875y1, i +¾ h k1, 1 = 1.875 + ¾ (0.5)(1.25)

= 2.34375y2, i +¾h k1, 2 = 1.25 + ¾ (0.5)(-1.875)

= 0.546875

k2, 1 = f1 (0.875, 2.34375, 0.546875) = 0.546875k2, 2 = f2 (0.875, 2.34375, 0.546875) = -2.34375

y1 (1) =1.875 + [(⅓ (1.25) + ⅔ (0.546875)](0.5)= 2.265625y2 (1) =1.25 + [⅓ (-1.875) + ⅔ (-2.34375)](0.5)= 0.15625

146

Figura 6.8 Corrida del Algoritmo Método Runge Kutta 2° orden h=0.5

147

Figura 6.9 Corrida del Algoritmo Método Runge Kutta 2° orden h=0.1

Ejemplo Usando el método de Runge-Kutta de cuarto orden con h = 0.5, y las mismas condiciones inicialesEcuaciones del método:

yj, i+1 = yj, i + 16

(k1, j + 2 k2, j+ 2 k3, j, + k4, j) h

k1, j = fj (xi, y1, i, y2, i,..., yn, i);

k2, j = fj (xi+½ h, y1, i+½ h k1, 1, y2, i+½ h k1,2,... , yn, i+½ h k1, n)

k3, j = fj (xi+½ h, y1, i+½ h k2, 1, y2, i+½ h k2, 2j,... , yn, i+½ h k2, n)

k4, j = fj (xi+ h, y1, i+ h k3, 1, y2, i+h k3, 2,... , yn, i+ h k3, n)

xi = 0; y1, i = 1; y2, i = 2k1, 1 =f1 (0, 1, 2) = 2k1, 2 =f2 (0, 1, 2) = -1

xi +½ h = 0 + ½ (0.5) = 0.25y1, i +½ h k1, 1 = 1 + ½ (0.5)(2) = 1.5y2, i +½ h k1, 2 = 2 + ½ (0.5)(-1) = 1.75k2, 1 = f1 (0.25, 1.5, 1.75) = 1.75k2, 2 = f2 (0.25, 1.5, 1.75) = -1.5

xi +½ h = 0.25y1, i +½ h k2, 1 = 1 + ½ (0.5)(1.75) = 1.4375y2, i +½ h k2, 2 = 2 + ½ (0.5)(-1.5) = 1.625k3, 1 = f1 (0.25, 1.4375, 1.625) = 1.625k3, 2 = f2 (0.25, 1.4375, 1.625) = -1.4375

xi + h = 0.5y1, i + h k3, 1 = 1 + (0.5)(1.625) = 1.8125y2, i +h k3, 2 = 2 + (0.5)(-1.4375) = 1.28125

148

k4, 1 = f1 (0.5, 1.8125, 1.28125 = 1.28125k4, 2 = f2 (0.5, 1.8125, 1.28125) = -1.8125

y1 (0.5)

=1+16

[2+2(1.75)+2(1.625)+1.28125](0.5)

= 1.835938y2 (0.5)

=2+16

[-1+2(-1.5)+2(-1.4375)-1.8125](0.5)

= 1.276042

xi = 0.5; y1, i = 1.835938; y2, i = 1.276042k1,1 = f1 (0.5, 1.835938, 1.276042) = 1.276042k1,2 = f2 (0.5, 1.835938, 1.276042) = -1.835938

xi +½ h = 0.5 + ½ (0.5) = 0.75y1,i +½ hk1,1 =1.835938 +½ (0.5)(1.276042)

= 2.154948y2,i +½ hk1,2 =1.276042+½ (0.5)(-1.835938)

= 0.817057k2, 1 = f1 (0.75, 2.154948, 0.817057) = 0.817057k2, 2 = f2 (0.75, 2.154948, 0.817057) = -2.154948

xi +½ h = 0.75y1,i +½ hk2,1 =1.835938+ ½ (0.5)(0.817057)

= 2.040202y2,i +½ hk2,2 =1.276042+½ (0.5)(-2.154948)

= 0.737305k3,1 = f1 (0.75, 2.040202, 0.737305) = 0.737305k3, 2 = f2 (0.75, 2.040202, 0.737305) = -2.040202

xi + h = 1y1, i + h k3, 1 = 1.835938 + (0.5)(0.737305)

= 2.204590y2, i +h k3, 2 = 1.276042 + (0.5)(-2.040202)

= 0.255941k4, 1 = f1 (1, 2.204590, 0.255941) = 0.255941k4, 2 = f2 (1, 2.204590, 0.255941) = -2.204590

y1 (1)

= 1.835938 + 16

[1.276042 + 2(0.817057)

+ 2(0.737305) + 0.255941](0.5)= 2.222663y2 (1)

=1.276042 +16

[-1.835938 + 2(-2.154948)

+ 2(-2.040202) -2.204590](0.5)= 0.240139

149

Portafolio de Evidenciasa) Hacer un programa (diagrama de flujo y seudocódigo) para resolver una sistema de ecuaciones diferenciales

ordinarias con valores iniciales por el Método de Euler y Runge-Kutta °4 Orden. Codificar y ejecutar en scilabb) Utilizar software matemático para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales

(Polymath y Matlab)

150

6.8 Métodos generales para problemas con valores en la frontera, lineales y no-lineales

En el caso, en que las condiciones para la variable dependiente, estén definidos para distintos valores en el rango de la variable independiente (normalmente en los extremos), tenemos una ecuación diferencial con valores en la frontera.

6.8.1 Método de disparoEste método se basa en la conversión de un problema de valores en la frontera a su equivalente de un problema de valores iniciales, implementándose un esquema de prueba y error para alcanzar una solución adecuada.

6,8.1.1 Solución de una ecuación diferencial lineal.Una ecuación diferencial es lineal; si en ella no aparecen potencias de la variable dependiente y sus derivadas, ni productos de la variable dependiente por sus derivadas o productos entre derivadas.

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

8d2 ydx2

+16dydx

−4 y=20 con la condición de frontera y(0) = 5 y y(20)=2

Transformación

Si y = y1 entonces8

ddx ( dy 1

dx )+16dy1

dx−4 y1=20

Si

dy1

dx= y2

entonces 8

dy2

dx+16 y2−4 y1=20

dy2

dx=

4 y1−16 y2+20

8 Implementación del esquema de prueba y error

x y1 y2

0 5 Desconocido20 2 Desconocido

Primer disparo 0 5 0 (supuesto)20 808.41783 182.81149

Segundo disparo 0 5 -10 (supuesto)20 442.79486 100.6396

Tercer disparo 0 5 -20 (supuesto)20 77.171891 18.467711

Cuarto disparo 0 5 -30 (supuesto)20 -288.45108 -63.704177

Interpolación lineal

Formula de Newton f ( x )= f ( x0 )+

f ( x1)−f (x0 )x1 -x 0

( x−x0 )

y2(2) = -20+(-30-(-20))/(-288.45108-77.171891)*(2-77.171891) = -22.05599475

151

6.8.1.2 Solución de una ecuación diferencial no-linealUna ecuación diferencial es no-lineal; si en ella aparecen potencias de la variable dependiente y sus derivadas, productos de la variable dependiente por sus derivadas o productos entre derivadas.

EjemploResolver la ecuación diferencial

d2 ydx2

=( 18 )(32+2 x3− y

dydx ) con la condición de frontera y(1) = 17 y y(3)=

433

Transformación

Si y = y1 entonces

ddx ( dy 1

dx )=( 18 )(32+2x3− y1

dy1

dx )

Si

dy1

dx= y2

entonces

dy2

dx=( 1

8 )(32+2 x3− y1 y2 )

Implementación del esquema de prueba y error

x y1 y2

1 17 Desconocido3 14.3333 x Desconocido

Primer disparo 1 17 0 (supuesto)3 21.018501 3.4514128

Segundo disparo 1 17 -5 (supuesto) f(x0)3 18.91181 x0 3.7089641

Tercer disparo 1 17 -10 (supuesto) f(x1)3 16.525478 x1 3.9942859

Cuarto disparo 1 17 -15 (supuesto) f(x2)3 13.733708 x2 4.2740796

Interpolación Cuadrática

f ( x )=f ( x0 )+f ( x1)−f (x0 )

x1 -x 0

( x−x0 )+

( f (x2 )−f (x1)( x2−x1)

−f (x1 )−f (x0)

( x1−x0 ) )x2−x0 (x – x0) (x – x1)

y2(1) = -5 + (-10-(-5))/( 16.525478-18.91181)*(14.3333-18.91181) +((-15-(-10))/( 13.733708-16.525478)-(-10-(-5))/(16.525478-18.91181))/(13.733708-18.91181)*(14.3333-18.91181)*(14.3333-16.525478) = -14.00338412

Portafolio de Evidencias

152

a) Utilizar software matemático Polymath para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales con valores en la frontera por el Método de disparo

6.8.2 Método de Diferencias Finitas

La solución numérica más común para resolver ecuaciones diferenciales en la frontera, se basa en el uso de ecuaciones de diferencia finita para evaluar las derivadas, ya que sustituyendo estas por su equivalente en la ecuación diferencial, esta se transforma en una ecuación algebraica en diferencias. La técnica incluye la construcción de una retícula donde se ubican los puntos que representan el fenómeno a estudiar.

6.8.2.1 Solución de una ecuación diferencial lineal

EjemploResolver la ecuación diferencial

8d2 ydx2

+16dydx

−4 y=20 con la condición de frontera y(0) = 5 y y(20)=2

Construcción de la retícula

y0(0)=5 y1(2)=? y2(4)=? y3(6)=? y4(8)=? y5(10)=? y6(12)=? y7(14)=? y8(16)=? y9(18)=? y10(20)=2

8( y i+1−2 y i+ y i−1

h2 )+16 ( yi+1− y i−1

2 h )−4 y i=20

h=xn−x0

n=20−0

10=2

2 y i+1−4 y i+2 y i−1+4 y i+1−4 y i−1−4 y i=20

Ecuación en diferencias

−2 y i−1−8 y i+6 y i+1=20Aplicándola a cada nodo en la retícula

Nodo 1: -2y0 - 8y1 + 6y2 = 20 : -2(5) - 8y1 + 6y2 = 20 : - 8y1 + 6y2 = 30Nodo 2: -2y1 - 8y2 + 6y3 = 20Nodo 3: -2y2 - 8y3 + 6y4 = 20Nodo 4: -2y3 - 8y4 + 6y5 = 20Nodo 5: -2y4 - 8y5 + 6y6 = 20Nodo 6: -2y5 - 8y6 + 6y7 = 20Nodo 7: -2y6 - 8y7 + 6y8 = 20Nodo 8: -2y7 - 8y8 + 6y9 = 20Nodo 9: -2y8 - 8y9 + 6y10 = 20 : -2y8 - 8y9 + 6(2) = 20 : -2y8 - 8y9 = 8

Solución del sistema en Polymath y1 = -6.996833 y2 = -4.3291107 y3 = -4.771092 y4 = -4.4711595 y5 = -4.2185767 y6 = -3.7818221 y7 = -3.1152884 y8 = -2.0809919 y9 = -0.479752

153

Portafolio de Evidenciasa) Utilizar software matemático Polymath para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con valores en la

frontera por el Método de diferencias finitas6.8.2.2 Solución de una ecuación diferencial no-lineal

EjemploResolver la ecuación diferencial

d2 ydx2

=( 18 )(32+2 x3− y

dydx ) con la condición de frontera y(1) = 17 y y(3)=

433

Construcción de la retícula

y0(1)=17 y1(1.2) y2(1.4) y3(1.6) y4(1.8) y5(2.0) y6(2.2) y7(2.4) y8(2.6) y9(2.8) y10(3)=14.333

y i+1−2 y i+ y i−1

h2=1

8 (32+2 x3− y i

y i+1− y i−1

2 h )h=

xn−x0

n=3−1

10=0.2

25 y i+1−50 y i+25 y i−1=4+0 . 25 x3−2 .5 y i y i+1+2 .5 y i y i−1

Ecuación en diferencias

25 y i+1−50 y i+25 y i−1+2.5 y i y i+1−2 .5 y i y i−1−0 .25 x3−4=0

Aplicándola a cada nodo en la retícula

Nodo 1: 25y2 - 50y1 + 25y0 + 2.5y1y2 - 2.5y1y0 - 0.25(1.2)3 - 4 = 0Nodo 2: 25y3 - 50y2 + 25y1 + 2.5y2y3 - 2.5y2y1 - 0.25(1.4)3 - 4 = 0Nodo 3: 25y4 - 50y3 + 25y2 + 2.5y3y4 - 2.5y3y2 - 0.25(1.6)3 - 4 = 0Nodo 4: 25y5 - 50y4 + 25y3 + 2.5y4y5 - 2.5y4y3 - 0.25(1.8)3 - 4 = 0Nodo 5: 25y6 - 50y5 + 25y4 + 2.5y5y6 - 2.5y5y4 - 0.25(2.0)3 - 4 = 0Nodo 6: 25y7 - 50y6 + 25y5 + 2.5y6y7 - 2.5y6y5 - 0.25(2.2)3 - 4 = 0Nodo 7: 25y8 - 50y7 + 25y6 + 2.5y7y8 - 2.5y7y6 - 0.25(2.4)3 - 4 = 0Nodo 8: 25y9 - 50y8 + 25y7 + 2.5y8y9 - 2.5y8y7 - 0.25(2.6)3 - 4 = 0Nodo 9: 25y10 - 50y9 + 25y8 + 2.5y9y10 - 2.5y9y8 - 0.25(2.8)3 - 4 = 0

Solución del sistema en Polymath

Variable Valor f(x) valor inicial y1 13.029863 1.599E-14 15 y2 13.629162 3.573E-10 15 y3 13.616443 6.201E-08 15 y4 13.703484 -6.532E-08 15 y5 13.781989 2.899E-09 14 y6 13.870421 5.693E-11 14 y7 13.967719 1.496E-12 14 y8 14.076046 5.329E-15 14

154

y9 14.197164 5.773E-14 14Portafolio de Evidencias

a) Utilizar software matemático Polymath para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales con valores en la frontera por el Método de diferencias finitas

6.9 Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales

Si una variable U depende de más de una variable independiente, las derivadas de U con respecto de una o más variables independientes, se llaman derivadas parciales.Las derivadas parciales tienen un amplio campo de aplicación en ingeniería, en especial la ecuación diferencial parcial de segundo orden, para dos variables independientes, cuya fórmula general es:

Donde A, B y C son funciones de x y y, y D es función de x, y,

∂U∂ x y

∂U∂ y .

Dependiendo de la relación entre los coeficientes A, B y C se clasifican en:

Elíptica sí B2 – 4AC < 0

∂2u∂ x2

+ ∂2u∂ y2

=0 Ecuación de Laplace

Parabólica sí B2 – 4AC = 0 k∂2 u∂ x2

=∂u∂ t Ecuación de conducción de calor.

Hiperbólica sí B2 – 4AC > 0 c2 ∂2 u

∂ x2=∂2 u

∂ t2 Ecuación de onda.

6.9.1 Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas.

Estas ecuaciones aparecen en ingeniería cundo se estudian los fenómenos de conducción de calor en estado transitorio, así como en el estudio de la difusión molecular en el seno de un fluido, etc.

Ejemplo. Conducción del calor en una varilla aislada, cuyos extremos libres se encuentran a distintas temperaturas.

Figura Varilla aislada con conducción de calor

Haciendo un balance de energía, se encuentra la ecuación que gobierna el flujo de calor.

155

aislamiento

T0 Tn

A∂2 U∂ x2

+B∂2 U∂ x∂ y

+C∂2 U∂ y2

+D=0

Donde se denomina difusividad térmica.Para aplicar el método de diferencias finitas se construye una retícula

Figura 7.2 Retícula para evaluar diferencias finitas

El método explícito predice el valor en (i, j) a partir de (i-1, j-1), (i, j-1), (i+1, j-1).

El método implícito, predice el valor en las (i, j) a partir de (i, j-1) mediante la generación de un sistema de ecuaciones, obtenidas de los nodos.

Portafolio de evidencias

156

T(x

, t)

= T

n

Con

dici

ones

en

la f

ront

era

dere

cha

t

x

Con

dici

ones

en

la

fron

tera

izqu

ierd

a

T(0

, t)

= T

0

T(x, 0) = Ti

Figura 7.3 Condiciones iniciales

División de la varilla en intervalos x

t

x

División del tiempo en intervalos t

(i-1, j) (i, j) (i+1, j)

(i-1, j-1) (i, j-1) (i+1, j-1)

(0, 0)

α∂2T∂2 x

=∂T∂ t

a) Hacer un programa (diagrama de flujo y seudocódigo) para solucionar una Ecuación Diferencial Parcial Parabólica por el Método Explicito. Codificar y ejecutar en scilab

6.10 Aplicaciones

6.10.1 Ley de Newton del enfriamiento

Conceptos utilizadosAplicando la primera ley de la termodinámica a la esfera, y suponiendo que el calor fluye tan rápidamente en la esfera que la temperatura es prácticamente la misma en todos los puntos de la misma, el calor disipado por la esfera se puede expresar analíticamente por medio de la ecuación diferencial homogénea:

dTdt

+ hAρ cV

(T−T∞ )=0

Donde

h = coeficiente de transferencia de calorA = área de la esfera para la transferencia de calor = densidad de la esferaV = volumen de la esferac = calor especifico de la esfera

CursoFenómenos de Transporte II

ProblemaUna esfera de aluminio de 3 cm. de diámetro se calienta hasta una temperatura de 200 ºC. Entonces, en el instante t = 0, se coloca en aire que se mantiene a una temperatura de 30 ºC. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor es de 20 W/m ºC, calcule el tiempo necesario para que la esfera alcance una temperatura de 150 ºC.

Suponga las siguientes propiedades del aluminio:

k = 210 W / m ºCc = 0.895 J / g ºC = 2.72 g / cm3

Solución

hAρ cV

=h( 4 πR2 )

ρc( 43

πR3 )= 3 h

ρcR= 3∗20

2. 75 x 103∗0 .895 x103∗1 .5 x 10−2=16 .43 x 10−4 s−1

157

dTdt

=−16 . 43 x 10−4 (T−30 )

t=0 , T=200 ºC

Programa 6.1 Método de Euler PRINT "****************************************************************" PRINT "* INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO *" PRINT "* DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA Y BIOQUÍMICA *" PRINT "* MÉTODOS NUMERICOS *" PRINT "* SOLUCIÓN DE ODE MÉTODO DE EULER *" PRINT "* INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS *" PRINT "****************************************************************"

' ENTRADA DE DATOS INPUT "tf "; tf INPUT "H "; H READ t, T DATA 0, 200 N = (tf - t) / H PRINT: PRINT "t T " PRINT t, T FOR I = 1 TO N T = T + H * F(t, T) t = t + H PRINT t, T NEXT I END

FUNCTION F(t, T)F = (-16.43e-4)*(T - 30)END FUNCTION

Ejecución 6.1 Método de Euler h = 5****************************************************************** INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO ** DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA Y BIOQUÍMICA ** MÉTODOS NUMERICOS ** SOLUCIÓN DE ODE MÉTODO DE EULER ** INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS ******************************************************************

VALOR FINAL DE TIEMPO 10INTERVALO H 0.5Tabla 6.3 Resultados de correr el programa 6.1 ordenados en forma tabulart seg. T ºC t seg. T ºC t seg. T ºC t seg. T ºC0 200.0

065 182.713308 130 167.18443

8195 153.234643

5 198.60

70 181.458768 135 166.057468

200 152.22227

10 197.22

75 180.214534 140 164.939756

205 151.218214

15 195.84

80 178.980522 145 163.831225

210 150.222407

20 194.4 85 177.756647 150 162.73180 215 149.23478

158

8 225 193.1

390 176.542826 155 161.64141 220 148.255266

30 191.79

95 175.338977 160 160.559976

225 147.283799

35 190.46

100 174.145017 165 159.487426

230 146.320313

40 189.14

105 172.960866 170 158.423687

235 145.364741

45 187.84

110 171.786442 175 157.368686

240 144.41702

50 186.54

115 170.621667 180 156.322352

245 143.477084

55 185.25

120 169.46646 185 155.284614

250 142.54487

60 183.98

125 168.320743 190 154.255401

6.10.2 Modelo básico Depredador-Presa Conceptos utilizadosLa teoría básica de las interacciones depredador-presa fue propuesta en las décadas de los veinte y treinta por los pioneros Alfred Lotka y Vito Volterra. Lotka propuso sus ecuaciones haciendo una analogía con ciertas reacciones químicas, en tanto que Volterra se inspiró en un problema sobre pesquerías en el mar Adriático. Las ecuaciones, sin embargo, resultaron idénticas. El modelo de depredador-presa propuesto por Lotka y Volterra no tiene más que una importancia histórica. En la actualidad, los modelos generales de depredador-presa son modificaciones o extensiones de las ecuaciones de Lotka-Volterra. En términos generales, dichos modelos son particularizaciones del siguiente:

Tasa de crecimiento de la presa =Tasa de crecimiento de la presa en ausencia del depredador

-Tasa de mortalidad debida a la presencia del depredador

dxdt

=px−qxy

La ecuación anterior corresponde a la dinámica de la población de las presas, con una ecuación correspondiente para los depredadores.

Tasa de crecimiento del depredador

=Tasa de crecimiento del depredador en ausencia de las presas de la ecuación anterior

+

Incremento en la tasa de crecimiento del depredador debido a la presencia de las presas de la ecuación anterior

dydt

=−sy+rxy

Los detalles biológicos correspondientes a un sistema o clase de sistemas en particular se traducirán en una forma específica para las ecuaciones anteriores en función de los valores de p, q, r y s. Por ejemplo, la ecuación para las presas será diferente si se trata de felino-gacela que cuando se trata de pájaro-oruga.

CursoDesarrollo Sustentable

159

ProblemaPara un sistema dado, el sistema de ecuaciones se puede expresar como:

dxdt

=2 x−1 . 2 xy en t=0 , x=2

dydt

=− y+0 . 9 xy en t=0 , y=1

Resolver el sistema para t = 10 con h = 0.5 usando el método de Runge-Kutta cuarto orden

Programa 6.2 Método de Runge-Kutta cuarto orden PRINT "******************************************************************************" PRINT "* INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO *" PRINT "* DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUÍMICA Y BIOQUÍMICA *" PRINT "* MÉTODOS NUMÉRICOS *" PRINT "* MODELO BÁSICO DEPREDAROR-PRESA *" PRINT "* SOLUCIÓN DEL SISTEMA POR EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA CUARTO ORDEN *" PRINT "* INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS *" PRINT "******************************************************************************"

INPUT "VALOR FINAL DE TIEMPO "; Tf READ T, X, Y DATA 0, 2, 1 INPUT "INTERVALO H "; H N = (Tf - T) / H PRINT T, X, YFOR I = 1 TO N K11 = F(T, X, Y) K12 = G(T, X, Y) K21 = F(T + .5 * H, X + .5 * H * K11, Y + .5 * H * K12) K22 = G(T + .5 * H, X + .5 * H * K11, Y + .5 * H * K12) K31 = F(T + .5 * H, X + .5 * H * K21, Y + .5 * H * K22) K32 = G(T + .5 * H, X + .5 * H * K21, Y + .5 * H * K22) K41 = F(T + H, X + H * K31, Y + H * K32) K42 = G(T + H, X + H * K31, Y + H * K32) X1 = X + H * (1 / 6) * (K11 + 2 * K21 + 2 * K31 + K41) Y = Y + H * (1 / 6) * (K12 + 2 * K22 + 2 * K32 + K42) T = T + H X = X1 PRINT T, X, YNEXT IEND

FUNCTION F(T, X, Y)F = 2*X - 1.2*X*YEND FUNCTION

FUNCTION G(T, X, Y)G = (-1)*Y + 0.9*X*Y

160

END FUNCTION

Ejecución 6.2 Método de Runge-Kutta cuarto orden para t = 10 con h = 0.5 ******************************************************************************** INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO ** DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS QUÍMICA Y BIOQUÍMICA ** MÉTODOS NUMÉRICOS ** MODELO BÁSICO DEPREDAROR-PRESA ** SOLUCIÓN DEL SISTEMA POR EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA CUARTO ORDEN ** INSTRUCTOR: JOSÉ DOMINGO POPE SOLIS ********************************************************************************

VALOR FINAL DE TIEMPO 10INTERVALO H 0.5

Tabla 6.4 Resultados de correr el programa 6.2 ordenados en forma tabular

t (tiempo)

x (presa) y (depredador)

0 2 10.5 2.48753405 1.72092841 1.71540573 2.78769076

1.5 0.79674181 2.918070712 0.44787062 2.30396979

2.5 0.37178288 1.6697933 0.42991085 1.20772636

3.5 0.62162002 0.922744064 1.01547679 0.80177991

4.5 1.68624889 0.885088715 2.4019644 1.36576392

5.5 2.13221144 2.414974026 1.07269346 3.00432733

6.5 0.53680762 2.560928127 0.38428791 1.89411688

7.5 0.39639645 1.363193528 0.53242309 1.01397804

8.5 0.83859212 0.83091722

161

9 1.4011262 0.825898399.5 2.17139134 1.1197365310 2.40097536 1.98437432

Evaluación Sumativa

Problema 1Sistema de reactores tipo tanque con agitación

Considere el siguiente sistema de reactores tipo tanque donde:Q = Flujo volumétrico en metros cúbicos por minuto c = concentración en miligramos por metro cúbico

Flujo másico = Q c =

m3

minmgm3

= mgmin

162

Q34 = 8

Q23 = 1

Q44 = 11Q24 = 1

C3

Q03 = 8c03 = 20

Q01 = 5c01 = 10

Q15 = 3

Q25 = 1

Q12 = 3

Q31 = 1

Q54 = 2

Q55 = 2

C1 C2 C4

C5

Balance de Materia (Ley de conservación de la materia)

Acumulación = Entradas – Salidas

Acumulación = V

dcdt

V = volumen del reactor

Vdcdt = Entradas – Salidas; reacomodando

dcdt

=Entradas−SalidasV

Realizando balances para el sistema tenemos:

Reactor 1:

dc1

dt=

50+c3−6 c1

V 1

Reactor 2:

dc2

dt=

3 c1−3 c2

V 2

Reactor 3:

dc3

dt=

160+c2−9c3

V 3

Reactor 4:

dc4

dt=

c2+8 c3−11c4+2 c5

V 4

Reactor 5:

dc5

dt=

3c1+c2−4c5

V 5

Suponiendo que en tiempo igual a cero, la concentración de todos los reactores es cero, resuelva el sistema tomando: V1 = 50; V2 = 20; V3 = 40; V4 = 80; V5 = 100

Problema 2Ley de la dinámica del crecimiento bacteriano

En el estudio cinético de la fermentación bacteriana se utiliza la ley logística

dy1

dt=k1 y1(1−

y1

k2

)

Para describir la dinámica del crecimiento celular. Esta ecuación es una modificación de la ley logarítmica

dy1

dt=k1 y1

El término

(1−y1

k2

)en la ley logística explica el cese del crecimiento debido a la limitación del nutriente.

163

La ley logística ha sido usada exitosamente en los modelos de crecimiento de penicillium chrysogenum un organismo productor de penicilina.La velocidad de producción de la penicilina puede ser cuantificada a partir de la ecuación dy2

dt=k 3 y1−k4 y2

La cantidad de penicilina (y2) obtenida es proporcional a la concentración celular (y1) y es afectada por la degradación hidrólitica a una velocidad que depende de la concentración de la penicilina misma.

1. Mostrar que k2 es equivalente a la máxima concentración celular, la cual es alcanzada bajo las condiciones dadas.

2. Encontrar la concentración celular y de penicilina para un rango de tiempo: 0 t 212 hr.En t = 0 y1 = 5.0 y y2 = 0 Usar las siguiente condiciones: k1 = 0.0312; k2 = 47.70, k3 = 3.374; k4 = 0.01268

Bibliografía

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164