INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

Métodos numéricos

PROFESOR: ING.MAGALLON DIEZ ALFONSO

GRUPO:1PM8

ALUMNOS:

DE LA ROSA GARCÍA EDWIN

ALEJANDRA MIRANDA OLVERA

GIOVANA DE SOUSA GOMES

MARTINEZ MARTÍNEZ JOSE LUIS

LUNA CABRERA MARTY

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Ciencias de la tierra

METODO DE HORNER

Hay polinomios cuya evaluación puede ser complicada. El método de Horner sirve para evaluar un polinomio de forma anidada, esto es un paso previo para localizar los ceros de un polinomio con métodos como el de Newton-Raphson. Este método requiere solo de n multiplicaciones y n sumas para evaluar un polinomio de grado n.

Sea un polinomio de grado n:

EJEMPLO:

Sea el polinomio P(x) =

Este método nos permite realizar la división de P(x) entre un factor (x a ) cualquiera. Supongamos (x + 2)

Entonces podemos expresar:

O bien : P(-2)= 10.

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Ejemplo 2 :

Ordenamos el polinomio:

Procedemos a resolverlo y nos da como resultado esto:

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TEOREMA DE CARDANO-VIETAUsando el método de Cardando, calcule las tres raíces de la ecuación cubica siguiente.

𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟐𝒙 − 𝟏𝟒 = 𝟎SOLUCION

𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟐𝒙 − 𝟏𝟒 = 𝟎DIVIDIMOS ENTRE SU PRIMER COEFICIENTE

𝒙𝟑 − 𝟓𝑿𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 − 𝟕 = 𝟎A=1 b=5 c=11 d=-7

P=c-

SUS RAICES SON

𝒙𝟏 = 𝒚𝟏 −𝒃𝟑= 𝟏𝒙𝟐 = 𝒚𝟐 −𝒃𝟑= 𝟐 + 𝒊√𝟑𝒙𝟑 = 𝒙𝟐 = 𝟐 − 𝒊√𝟑Se sabe que 2 y 3i son raíces del polinomio 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 donde a,b,c son

números reales.

SOLUCION

P(x)=𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐´𝒃𝒙 + 𝒄

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SUS RAICES SON

𝑿𝟏 = 𝟐𝑿𝟐 = 𝟑 − 𝒊𝑿𝟑 = 𝟑 + 𝒊CARDANO VIETE

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Principios de Multiplicidad

Encontrar el orden de multiplicidad de las raíces que se indican en los siguientes polinomios:

1.-

P ( x )=x4−11 x3+45x2−81 x+54 x0=3

P (3 )=(3)4−11 (3 )3+45 (3 )2−81 (3 )+54=0

P´ ( x )=4 x3−33x2+90 x−81

P ´ (3 )=4(3)3−33 (3 )2+90(3)−81

P ´=0

P´ ´ ( x )=12x2−66 x+90

P ´ ´ (3 )=0

P ´ ´ ´ ( x )=24 x−66

P ´ ´ ´ (3 )=6≠0

2.-

P ( x )=x4−13 x3+10 x2−151x+78 x0=2

P (2 )=(2 )4−13 (3 )3+10 (2 )2−151 (2 )+78

P=0

P ´ ( x )=4 x3−39x2+20 x−151

P ´ (2 )=4(2)3−39 (2 )2+20(2)−151

P ´ (2 )=−235≠0

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Maclaurin

Determina la serie de Maclaurin de la función f(x) = ex y su radio de convergencia

Si f(x) = ex , de modo que f n (0 )=e0=1para toda n.

En consecuencia, la serie de Taylor de f en 0 (esto es, la serie de Maclaurin) es

0

)(

!

)0(

n

nn

xn

f

0 !n

n

n

x...

!3!2!11

32

xxx

Para hallar el radio de convergencia, sea an=xn

n! Entonces:

101

!

)!1(

11

n

x

x

n

n

x

a

an

n

n

n

De modo que, de acuerdo con la prueba de la razón, la serie converge para toda x y el radio de convergencia R=∞

MacLaurin

Determina la serie de Maclaurin de la función f(x) = ex y su radio de convergencia

Si f(x) = ex , de modo que f n (0 )=e0=1para toda n.

En consecuencia, la serie de Taylor de f en 0 (esto es, la serie de Maclaurin) es

0

)(

!

)0(

n

nn

xn

f

0 !n

n

n

x...

!3!2!11

32

xxx

Para hallar el radio de convergencia, sea an=xn

n! Entonces:

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101

!

)!1(

11

n

x

x

n

n

x

a

an

n

n

n

De modo que, de acuerdo con la prueba de la razón, la serie converge para toda x y el radio de convergencia R=∞

Polinomio de Taylor

Obtener el polinomio de Taylor para la función f ( x )=1x

, de grado 3 en un entorno de x=1.

Solución:

Formula -> f ( x )=f (a )+ f' (a )1!

( x−a )+…+f n (a )n !

¿

f ( x )=1x≫ f (1 )=1

f ' ( x )=−1x2

≫ f ' (1 )=−1

f ' ' ( x )= 2

x3=2!x3

≫ f ' ' (1 )=2=2 !

f ' ' ' ( x )=−6x4

=−3 !x4

≫ f ' ' ' (1 )=−6=−3 !

Polinomio de grado 3

f ( x )=1+−11!

( x−1 )+ 2 !2 !

¿-1¿3

P3 ( x )=1−( x−1 )+¿

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Gráfica polinomio de grado 3

2.- Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y estime

el error.

DESARROLLO

Los datos a considerar en la fórmula de taylor son:

a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3

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ENTONCES:

Sustituyendo x =28:

= 3.036579789.

En la expresión para el error al aproximar con un polinomio de grado 2

E2 =

El error siempre lo obtendremos en términos de un valor c entre 27 y 28, pero como esta

indeterminada c aparece en la fracción de la derecha, el error será lo más grande posible cuando

el denominador sea lo más pequeño posible, lográndose esto en c = 27, es decir:

y en consecuencia la aproximación se obtuvo con un error que no excede de 0.000056

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