Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con

confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio

de los métodos numéricos.

Los numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para

especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.

2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar

exactamente con un número finito de cifras.

Exactitud y Precisión.

La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero.

La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a

los otros.

La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el

otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan

los requisitos de un problema particular de ingeniería.

Error.

En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el obtenido por

aproximación se define como:

Error = Valor real -valor estimado

En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o

deberemos estimar un error aproximado.

Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado,

podemos normalizar su valor :

Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero

Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa

saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este.

Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el

número de cifras significativas que contiene el error como:

Si reemplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas en que es

confiable el valor aproximado obtenido.

Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras

significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de:

Es=(0.5x 102–2)%=0.5%

Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado

para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado.

EXACTITUD Y PRECISIÓN.

La exactitud de una medición hace referencia a su cercanía al valor que pretende medir.

La precisión está asociada al número de cifras decimales utilizadas para expresar lo medido.

Un instrumento inexacto nos entrega resultados sesgados, “desplazados”; uno impreciso,

resultados “ambiguos”, “difusos”.

Así, por ejemplo, una pesa es exacta si nos entrega el peso correcto, sin agregarle ni quitarle.

Asimismo, es más precisa en la medida que el aparato usado es capaz de detectar diferencias

de peso más pequeñas.

La exactitud y precisión exigibles a una medición, dependerán de los objetivos del estudio que

la utiliza.

La precisión de un resultado estadístico debe estar de acuerdo con la precisión de los datos

originales y con las exigencias propias del proyecto que los usa.

Es fácil cometer el error de responder usando más decimales que los contenidos en las

mediciones iniciales, aumentando artificialmente la precisión por la propia capacidad de cálculo

de los computadores.

Por otra parte, es de suma importancia cuidar que, durante el proceso de cálculo intermedio, no

se pierda precisión innecesariamente. Es importante mantener el máximo posible de decimales,

pues esto ayuda a controlar la aparición y propagación de errores numéricos que invaliden los

resultados.

Estos son errores de precisión y exactitud ajenos al proceso de medición inicial y son

introducidos típicamente por los métodos numéricos usados y por la aritmética del computador

que tiene una precisión finita para representar interiormente a los números.

El último tema mencionado en el párrafo anterior, es un tema complejo que no se discutirá

mayormente, pero es importante mencionarlo y mostrar un ejemplo ilustrativo para entender su

alcance.

Exactitud y precisión

La precisión se refiere 1) al numero de cifras significativas que representan una cantidad 2) la

extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física.

Por ejemplo:

Cuando se hacen algunos disparos en un lugar de tiro al blanco la precisión se refiere a la

magnitud del esparcimiento de las balas.

La exactitud se refiere a la aproximación de un numero o de una medida al valor verdadero que

se supone representa.

La inexactitud (conocida como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad.

Exactitud.- Indica qué tan cercano es un valor calculado respecto al valor verdadero.

Precisión.- Considerando que los métodos numéricos son técnicas iterativas, expresa qué tan

cercana es una aproximación o una estimación a un valor, respecto a las aproximaciones o

iteraciones anteriores del mismo.

Inexactitud.- También se le conoce como sesgo. Es un alejamiento sistemático del valor

verdadero a calcular.

Imprecisión.- También se le conoce como incertidumbre. Se refiere al grado de alejamiento

entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero.

Al observar las definiciones anteriores, puede determinarse que el error asociado a los métodos

numéricos permite medir el grado de exactitud y precisión de los mismos.

Problemas matemáticos y sus soluciones

Los fenómenos físicos que acontecen en nuestro entorno son estudiados por la ciencia, quien se apoya en leyes y principios matemáticos para representar los fenómenos mediante modelos matemáticos, el estudio de estos modelos  permite un conocimiento más profundo del fenómeno.  Desafortunadamente, para la solución de estos modelos no siempre es posible aplicar  métodos analíticos debido a que: 

Su aplicación resulta complejaLa solución analítica es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posteriorEn algunas ocasiones no existen métodos analíticos capaces de resolver el modelo matemático en estudio.

 1.2  Importancia de los métodos numéricos

Durante la solución analítica de un modelo matemático se pueden presentar los siguientes problemas:

Que la aplicación del método analítico sea complejaQue la solución analítica sea tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posteriorEn algunas ocasiones no existen métodos analíticos capaces de resolver el modelo matemático en estudio

 Cuando esto sucede, es conveniente hacer uso de técnicas numéricas, las cuales mediante una serie de cálculos conducen a soluciones aproximadas que son siempre numéricas. Debido a las múltiples iteraciones que se tienen que realizar para obtener la solución numérica, en este tipo de cálculo, es indispensable el empleo de computadoras.

 1.2.1 ¿Por qué estudiar los métodos numéricos? 

Existen varias razones porque hacerlo:

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes, geometrías complicadas, comunes en la práctica de la ingeniería, y a menudo resolver analíticamente.Existe software disponible comercialmente que facilita la solución de problemas mediante los métodos numéricos.Hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas “hechos”. Si conoce los métodos numéricos y además tiene  la capacidad de diseñar sus propios programas, se pueden resolver diversos problemas sin tener que comprar un software costoso.

1.2.2 Definición de los métodos numéricos

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

STEVEN C.CHAPRA, RAYMOND P. Canale, Métodos Numéricos para, Ed.  Mc-Graw Hill, México, S.A de C.V., 1999.  pag. 3.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no sólo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.

NAKAMURA, Schoichiro, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Ed.  Prentice Hall, México, 1992.  PREFACIO.

Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas.

En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes.

- Especificación del problema.  Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y los resultados deseados.

- Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora.

- Programación.  Este paso consiste en traducir el método de análisis o algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de operaciones.

- Verificación.  Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos.

- Documentación.  Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa.

- Producción.  Es la última etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes.

De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el que es precisamente el objeto de los métodos numéricos para computadora.

LUTHE, Rodolfo y otros Métodos Numéricos, Edit.  Limusa, México, 1980. PROLOGO

1.3 Tipos de errores 

Comprender el de error es indispensable en el cálculo numérico, en todos los problemas es fundamental un seguimiento de los errores cometido a fin de poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene. Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores:

Aquellos que son inherentes a la formulación del problema.Los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del problema.

1.3.1 Errores inherentes

Son aquellos que tienen los datos de entrada del problema, y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente, debiéndose tanto al instrumento de medición, como a las condiciones de realización del experimento.

1.3.2 Errores de truncamiento

Este tipo de errores se originan por el hecho de aproximar la solución analítica de un problema, mediante algún tipo de aproximación. Generalmente causado por la sustitución en el modelo matemático de término infinito por una aproximación finita. Por ejemplo:

El cálculo de una función elemental (por ejemplo, sen x) empleando sólo n términos de los infinitos que constituyen la expansión de la serie de Taylor.Aproximación de la integral de una función por una suma finita de los valores de la función, como en la empleada en la Regla del Trapecio.Resolución de una ecuación diferencial reemplazando las derivadas por una aproximación.

1.3.3 Errores de redondeo

Otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su origen en el hecho de que los cálculos aritméticos no pueden realizarse con precisión ilimitada. Muchos números requieren infinitos decimales para ser representados correctamente, sin embargo, para operar con ellos es necesario redondearlos. Incluso en el caso en que un número pueda representarse exactamente, algunas operaciones aritméticas pueden dar lugar a la aparición de errores (las divisiones pueden producir números que deben ser redondeados y las multiplicaciones dar lugar a más dígitos de los que se pueden almacenar). El error que se introduce al redondear un número se denomina error de redondeo. 

1.3.4 Definiciones de Error  

Una vez comprendido el concepto de error y cual es su origen es posible formalizar el concepto de error. Para estimar su magnitud, es necesario comprender dos definiciones básicas: 

Error absoluto Error relativo

Error absoluto. Si p* es una aproximación de p, y si p es el valor real, entonces:

Error absoluto =  

Error relativo. Se define como:

Error relativo = ;    (p≠o)

El Error Relativo  es una mejor medida del error que el error absoluto, en general, no conocemos el valor de este error, ya que no es habitual disponer del valor real (p).

De este tipo de error surge el error relativo aproximado,  el cual se define de la siguiente manera:

Error relativo aproximado  (ERA) =

Es conveniente relacionar este tipo de error con el número de cifras significativas en la aproximación. Se puede demostrar (Scarborough, 1966) que si el siguiente criterio se cumple, puede tenerse la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.

Tolerancia (s)= (0.5x102-n)% . Esta es una tolerancia porcentual prefijada.Donde n = número de cifras significativas El término de convergencia es la desigualdad: ERA < Tolerancia

1.3.5 Cifras significativas

El concepto de cifra significativa se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. El número de cifras significativas es el número de dígitos que se pueden usar con plena confianza. Los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse sólo para ubicar al punto decimal. Por ejemplo, los siguientes números tienen cuatro  cifras significativas, 0.00001975, 0.0001975 y 0.001975. De manera similar, cuando se incluye ceros en números muy grandes, no es claro cuántos son significativos, si es que los hay. Por ejemplo, el número 12, 800 puede tener las siguientes cifras significativas: 1.28 x 104, 1.280 x 104, 1.2800 x 104  tres, cuatro y cinco cifras significativas.

1.3.6  Manejo de números en la computadora

Una computadora almacena los números en sistema binario, usando un número determinado de bytes, esto ocasiona que exista un límite al intervalo de valores que puede manejar. Al realizar operaciones es prácticamente inevitable que se tengan errores de redondeo, estos pueden ocurrir por:

Convertir los números al sistema binario.Al imprimir el númeroEl resultado es muy pequeño y sobrepasa la capacidad de representarlo. Se redondea comúnmente a cero.El resultado es muy grande y puede ocasionar un error al aproximarse al mayor valor que se pueda representar.

Existen tres tipos básicos de errores en una computación numérica: inherentes, por truncamiento, y por redondeo. Cada uno se puede expresar en forma absoluta o en forma relativa.

1. ERRORES INHERENTES

Son errores que existen en los valores de los datos, causados por incertidumbre en las mediciones, por verdaderas equivocaciones, o por la naturaleza necesariamente aproximada de la representación, mediante un número finito de

dígitos, de cantidades que no pueden representarse exactamente con el número de dígitos permisible.

Por ejemplo, si necesitamos usar en un cálculo, podemos escribirlo como 3.14, 3.1416, 3.1415926535589793..., etc. En muchos casos aún una fracción simple no tiene representación decimal exacta, por ejemplo 1/3, que puede escribirse solamente como una sucesión finita de números 3. Muchas fracciones que tienen representación finita en un sistema no la tienen en otro, el número 1/10 es igual a 0.1 en decimal y en binario es 0.000110011001100...

2. ERRORES POR TRUNCAMIENTO

Estos son debidos a la omisión de términos en una serie que tiene un número infinito de términos.

Por ejemplo podemos utilizar la serie infinita de Taylor para calcular el seno de cualquier ángulo X, expresado en radianes:

(4)

Por supuesto que no podemos usar todos los términos de la série en un cálculo, porque la serie es infinita; entonces, los términos omitidos introducen un error por truncamiento.

3. ERRORES POR REDONDEO

Estos errores se introducen en los procesos de computación por el hecho de que las computadoras trabajan con un número finito de dígitos después del punto decimal y tienen que redondear.

Como nos interesa el redondeo de punto flotante, revisaremos la forma de representación de un número de punto flotante.

Recordando que cada número lo podemos representar por una fracción generalmente llamada Mantisa, la cual está multiplicada por una potencia del número base, llamada generalemente el Exponente. Entonces tenemos números como los siguientes:

(5)

Se puede determinar un límite al error relativo máximo que puede ocurrir en un resultado aritmético obtenido con redondeo truncado. El error relativo máximo ocurre

cuando gY es grande y fY es pequeño. El valor máximo posible de gY es menor que 1.0; el valor mínimo de fY es 0.1, por lo que el valor absoluto del error relativo es:

(6)

Entonces se observa que el máximo error relativo por redondeo en el resultado de una operación aritmética de punto flotante no depende del tamaño de las cantidades, sino del valor númerico de digitos que se manejen.

El tipo mas conocido de redondeo, que se se denomina generalmente redondeo simétrico, puede describirse como sigue.

Dadas las dos partes de un resultado como en el caso anterior, la aproximación redondeada a Y está dada por:

(7)

en que Y tiene el mismo signo que fY. La adición de 10 en el segundo renglón de la ecuación corresponde a sumar 1 al último dígito retenido si el primer dígito que se pierde es igual o mayor que 5. Se describen los símbolos de valor absoluto para indicar que las mismas fórmulas se aplican a cantidades positivas y negativas.

Si gY < 1/2, el error absoluto es

(8)

Si , el error absoluto es

(9)

De cualquier manera, tenemos 10 multiplicado por un factor cuyo valor absoluto no es mayor que 1/2. El valor absoluto del error absoluto es, por lo tanto

(10)

y el valor absoluto del error relativo es entonces

(11)

Si f representa la mantisa de un número de punto flotante, y e el exponente podemos expresar en forma general un número de punto flotante en base decimal como:

(12)

En donde sabemos que f no puede ser menor que 1/10 puesto que los números han sido normalizados y no puede llegar a ser 1 porque la mantisa es una fracción propia.

Ahora si realizamos la suma de los números:

0.1571 x 10 = 1.571 ( con mantisa de 4 digitos y un dígito como exponente)

La computadora se encarga de la colocación del punto y compara los exponentes para desplazar hacia la derecha el punto para alinearlos. Entonces para el ejemplo hace lo siguiente:

(13)

Así se pueden sumar directamente las dos mantisas. Obviamente, la mantisa de la suma tiene mas de cuatro dígitos. Antes de redondear, el resultado puede mostrarse como dos cantidades de punto flotante:

(14)

Cualquier resultado proveniente de la realización de las cuatro operaciones aritméticas puede indicarse, antes de ser redondeado, por la forma general:

(15)

en donde t es el número de dígitos de fY.

El intervalo de valores posibles de fY es:

(16)

y el intervalo de variación de gY es:

(17)

Para un ejemplo de la diferencia entre las dos reglas de redondeo, considérese el siguiente resultado de alguna operación aritmética:

(18)

Para redondeo truncado

(19)

y

(20)

( significa aproximadamente igual a)

Para la operación que llamamos redondeo simétrico,

(21)

y

(22)

El Error Absoluto en una cantidad es la diferencia entre el valor verdadero, suponiendo que se conoce, y una aproximación al valor verdadero.

Así, si:

X = cantidad verdadera.

= una aproximación a la cantidad verdadera.

eX = error absoluto.

Tenemos que:

X = + eX (1)

De acuerdo a nuestra definición:

eX = X - (2)

El Error Relativo se define como el cociente del error absoluto entre la aproximación

(3)

Parecería más razonable definirlo como el error absoluto dividido entre el valor verdadero, pero generalmente no conocemos éste. Todo lo que tenemos, generalmente, es un valor aproximado y una estimación del error o un límite al tamaño máximo del error.

El error absoluto y el error relativo son aproximadamente iguales para numeros cercanos a uno. Para números no cercanos a uno puede haber una gran diferencia.