Métodos de Pronóstico de Siniestralidad Ocurrida pero no Reportada

Trabajo presentado para el I Premio de Investigación

sobre Seguros y Fianzas 1994.

Act. J. Alan Elizondo Flores Dr. Víctor Manuel Guerrero Guzmán

“Pronosticadores Estadísticos”

I Premio de Investigación sobre Seguros y Fianzas 1994

Primer Lugar

METODOS DE PRONOSTICO DE SINIESTRALIDAD OCURRIDA PERO NO REPORTADA

INDICE Página

Reseña 1

Sección 1- Introducción 2

Sección 2- Metodologías para pronosticar demandas totales a partir de demandas Anticipadas 4

2.1- Métodos multiplicativo y aditivo 4

2.1.1- Método multiplicativo 4

2.1.2- Método aditivo 9

2.2- Métodos con suavizamiento sobre los pedidos 10

Sección 3- Métodos para la siniestralidad ocurrida pero no reportada 13

3.1- Métodos utilizados en Alemania 15

3.1.1-Método aditivo 15

3.1.2-Método "chain-ladder" 19

3.2- Métodos utilizados en los Estados Unidos y Canadá 19

3.2.1-Modelo de crecimiento 19

3.2.2- Método de la razón 23

Sección 4- Nueva propuesta metodológica 26

4.1- Derivación de un modelo estadístico 26

Sección 5- Aplicación de la metodología propuesta 31

5.1- Pronóstico de la siniestralidad total 31

5.2- Cálculo de la reserva de OPNR 34

Sección 6- Conclusiones 36

Referencias Bibliográficas 38

1

RESEÑA El problema de pronosticar la siniestralidad ocurrida pero no reportada (SOPNR) ha sido tratado por medio de métodos actuariales y existen varias metodologías que se ocupan de ella con el fin primordial de calcular la reserva de siniestros ocurridos pero no reportados. Por otro lado, existe un problema similar que se presenta en otro contexto y que consiste en pronosticar ventas (demandas totales) cuyos pedidos se realizan mediante demandas anticipadas. De hecho, en la administración de negocios se cuenta comúnmente con una gran variedad de información disponible, procedente de fuentes diversas, como son, por ejemplo, en el caso de una tienda comercial: ventas registradas en el pasado, órdenes de entrega futura, y contratos por anticipado, entre otras. Así pues, los métodos de pronóstico de ventas futuras, deben pronosticar la cantidad total de mercancía que será vendida en una fecha determinada, considerando toda la información disponible respecto a las ventas para esa fecha. El pronóstico de demandas totales haciendo uso de demandas anticipadas es análogo al de siniestralidad ocurrida pero no reportada, en el sentido de que ambos tienen como objeto pronosticar una variable acumulada, haciendo uso de información anticipada. En este trabajo se propone establecer una liga entre ambos problemas de pronóstico, el actuarial referente a SOPNR y el de demandas totales, con el propósito de estudiar las respectivas soluciones para determinar sus similitudes y diferencias. Como resultado de este estudio, se encontró que varios métodos para pronosticar la siniestralidad ocurrida pero no reportada, resultan ser casos particulares de métodos utilizados para pronosticar demandas totales. Es por este motivo que se presenta aquí un resumen de la metodología referente a este problema, ya que podría ser aplicada también al caso de SOPNR. Asimismo, se propone en este trabajo una nueva metodología que generaliza dos de los métodos más utilizados tanto en demandas totales como en SOPNR. Estadísticamente, este método es más eficiente que los demás en el sentido de que proporciona el mejor pronóstico para la siniestralidad total, con el criterio de minimizar el error cuadrático medio. Para poder apreciar la utilidad de la nueva propuesta metodológica que aquí se realiza, se ilustra su aplicación al caso del cálculo de la reserva de siniestros ocurridos pero no reportados. Sirve este ejemplo en particular, para ver la factibilidad de su aplicación en la práctica. El énfasis de todo el trabajo está puesto en el uso de modelos estadísticos, que permitan apreciar los supuestos subyacentes en lo que toca a la teoría del fenómeno en estudio y a los datos que se utilizan corno insumo para los cálculos. Esto es, en contraste con las metodologías actualmente en uso, que básicamente son utilizadas por los analistas de una manera subjetiva, en lo que toca a ciertas elecciones que tienen que hacer para el uso de los algoritmos de cálculo.

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METODOS DE PRONOSTICO DE SINIESTRALIDAD OCURRIDA PERO NO REPORTADA

SECCIÓN 1- INTRODUCCIÓN Los siniestros ocurridos pero no reportados (SOPNR) son eventos que ocurren en un intervalo de tiempo, durante la vigencia de la póliza, pero que se conocen con posterioridad a la fecha de cierre o de valuación de un período contable. En las modificaciones de la Ley General de Instituciones y Sociedades Mutualistas de Seguros de México, publicadas el 7 de enero de 1981, se prevé la constitución de una reserva por siniestros ocurridos pero no reportados, la cual hasta el 19 de abril de 1994 no había sido reglamentada. La razón que motiva el cálculo de dicha reserva, es que permite a las instituciones contar con las provisiones necesarias para hacer frente a responsabilidades derivadas de siniestros ocurridos en periodos contables anteriores, pero reportados con posterioridad. La reserva de OPNR forma parte de la reserva de siniestros pendientes de cumplir, que necesariamente debe ser constituida por las instituciones de seguros en su pasivo. Esta última reserva está formada por los siniestros conocidos por las instituciones de seguros y cuyo importe se establece con base en estimaciones de los elementos conocidos en cada reclamación. La subestimación de los siniestros pendientes de pago, afecta los resultados programados por la compañía de seguros y, por lo tanto, provoca problemas relacionados con las utilidades que contablemente se han registrado en la compañía de seguros para ese año. Al no considerar la reserva de OPNR, se estaría incurriendo en una subestimación de la reserva de siniestros pendientes de pago, ya que no se estarían incluyendo los siniestros ocurridos pero no reportados a la fecha de balance, lo cual acarrearía los problemas antes citados. De esta forma, la finalidad de la reserva de siniestros ocurridos pero no reportados, es complementar la reserva de siniestros pendientes de cumplir, para que en conjunto ambas reservas puedan reflejar con mayor fidelidad el valor a pagar por siniestros ocurridos. Los siniestros ocurridos pero no reportados, se constituyen por dos elementos:

- los siniestros ocurridos pero aún no reportados,

- los siniestros ocurridos pero no reportados completamente. Ambos elementos son siniestros ocurridos durante el mismo periodo contable y durante la vigencia de la póliza, pero la primordial diferencia es que en los primeros, el acaecimiento del siniestro no ha sido reportado aún, debido a retrasos de tipo administrativo o del tipo de contingencia cubierta. Tal es el caso de accidentes de tipo marítimo, donde los retrasos de tipo administrativo suelen ser de larga duración o enfermedades profesionales en las cuales el siniestro puede ser reportado con mucha posterioridad, debido a que la enfermedad puede ser contraída en el año de vigencia de la póliza, pero detectada varios años después. A estos siniestros se les suele llamar siniestros de cola larga. Por el contrario, el segundo elemento mencionado contempla siniestros ya ocurridos y reportados, pero cuyo costo está incompleto o no ha sido determinado con precisión, tal es el caso de siniestros de gastos médicos donde el monto de la rehabilitación del paciente no es conocido totalmente.

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En la actualidad existen varios métodos para calcular la reserva de OPNR. Algunos métodos estiman el monto total de los siniestros que se espera que se reporte para pólizas cuyos siniestros ocurrieron en un mismo período contable. Algunos otros estiman el porcentaje de siniestralidad total, para la misma población de pólizas. Para efectos de este trabajo esta diferencia es importante y se recalcará con mayor detalle en la Sección 4. Paralelamente, en los formatos propuestos por la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas, se propone que el registro de los siniestros ocurridos pero no reportados sea trimestral, por lo que en este trabajo se manejará la información por trimestres. Si la siniestralidad total por reportarse de una población de pólizas fuera conocida con certeza, se podría obtener la reserva exacta para poder cubrir con exactitud el monto de los siniestros, sin embargo, esta cantidad no se puede conocer sino hasta después de varios años, por lo que debe ser pronosticada. Conforme los trimestres pasan, la siniestralidad total se va conociendo parcialmente, para ello se suma a la siniestralidad reportada hasta la fecha, la siniestralidad que se va reportando trimestre por trimestre. De esta forma, la siniestralidad correspondiente a un trimestre de ocurrencia se determina acumulativamente. El problema de pronosticar variables que se determinan acumulativamente, es un problema que ha sido ampliamente tratado y estudiado con diversos enfoques cuando la variable se refiere a ventas de productos que se demandan por anticipado, véase al respecto Chang y Fyffe (1971), Bestwick (1975). Bodily y Freeland (1988) y Kekre, Morton y Smunt (1990). En la sección siguiente, se resumen a grandes rasgos algunos de los métodos que han sido utilizados en el pronóstico de demandas totales haciendo uso de demandas anticipadas que pueden ser aplicados a SOPLAR. De igual forma se presentan en la Sección 3 algunas metodologías para pronosticar SOPNR, utilizadas actualmente. En la Sección 4 se propone un método nuevo, derivado de un modelo estadístico, una de cuyas virtudes es la de proporcionar el mejor pronóstico de la SOPNR, en el sentido del error cuadrático medio mínimo y que, adicionalmente, representa una generalización de dos métodos aplicados en la actualidad tanto en el pronóstico de SOPNR, como en el de variables relacionadas con demandas anticipadas. Esta metodología se aplica en la Sección 5 al cálculo de la reserva de SOPNR en un ejemplo meramente ilustrativo. Por último, en la Sección 6 se presentan las conclusiones que surgen del presente trabajo.

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SECCIÓN 2- METODOLOGÍAS PARA PRONOSTICAR DEMANDAS TOTALES A PARTIR DE DEMANDAS ANTICIPADAS

El problema de pronosticar variables que se determinan acumulativamente, ha sido estudiado con detalle para el caso de ventas de productos por anticipado. A continuación se presenta una síntesis de algunos métodos propuestos para resolver el problema de ventas de productos por anticipado, que pueden ser aplicados al problema de pronóstico de siniestralidad ocurrida pero no reportada. La notación que será utilizada a lo largo del trabajo se presenta a continuación, para ello, primero se definen las variables informativas, es decir la notación de las variables que reportan información acerca de los pedidos y las ventas del producto. La notación que se utiliza en cada método será introducida en el momento en que el método sea planteado. Notación a utilizar:

L ≥ 1 es el tiempo máximo de anticipación de los pedidos.

δt es la variable aleatoria (v.a.) que denota la demanda total al tiempo t.

Dt es una realización de δt.

δt-k,t es la v.a. que denota al número de pedidos para el tiempo t, realizados en el tiempo t-k, donde k=1,..., L.

Dt-k.t es una realización de δt-k,t

Nota: cuando se conoce Dt-k.t, se conocen también Dt-k-l.t,..., Dt-L.t

Dkt es el numero de pedidos acumulados hasta el tiempo t- k, para el tiempo t.

Por consiguiente, se tiene que

Sj

t es el pronóstico de la demanda del tiempo t+j en el tiempo t, j=1,…, L, o sea de δt+j dado Dj t+j Cuando se utilice notación con un asterisco, en vez de un subíndice, se estará suponiendo que

esa variable es constante en el tiempo. Por ejemplo, son los pedidos realizados con k periodos de anticipación, para cualquier fecha de entrega.

Cabe destacar que equivalentemente, que los pedidos acumulados hasta el tiempo t-0 son iguales a la demanda total en el tiempo t. 2.1- Métodos multiplicativo y aditivo 2.1.1- Método multiplicativo El método multiplicativo fue ideado, inicialmente, para resolver el problema de productos para los cuales se contaba con poca información en el pasado. Su desarrollo se debe a Bestwick (1975), quien

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propuso este método para mantener un control más preciso sobre las ventas, la producción y el presupuesto de los negocios. Posteriormente fue estudiado por Bodily y Freeland (1988), quienes retomaron la idea de Bestwick y propusieron otro algoritmo, también multiplicativo, similar al anterior. La ecuación que define al método es la siguiente

(2.1)

Donde es el factor multiplicativo siguiente

(2.2) La finalidad de este factor es "inflar" los pedidos realizados hasta la fecha, de manera que el resultado estime el total de pedidos para el tiempo t. En la ecuación (2.1) se tienen dos

incógnitas, por lo que es necesario remitirse a los registros históricos del producto

para obtener una estimación de los para toda t y k. Debe hacerse notar que el factor multiplicativo siempre será mayor que uno. Esto se debe a que la demanda total en el tiempo t siempre es mayor a los pedidos acumulados para t. Cabe mencionar que el factor multiplicativo es simplemente el inverso de la Demanda Acumulada en

Relación al Total

pero, de la ecuación (2.2) se deduce que

En la literatura existente, algunos autores trabajan con el factor multiplicativo y otos lo hacen con el factor DART t-k,t. En realidad la base del pronóstico es la misma, ya que cuando se utiliza el factor multiplicativo, el pronóstico esta basado en un producto, mientras que si se usa el factor DART t-k,t, el pronóstico se expresa mediante un cociente. En lo sucesivo se utilizará el factor que resulte más conveniente para cada técnica de pronóstico. Existen dos formas de estimar el factor multiplicativo y por ende el factor DART t-k,t

- suponiendo que es constante en el tiempo, o

- aplicándole suavizamiento exponencial simple. A continuación se explican estos procedimientos, que dan origen a dos métodos diferentes. Método multiplicativo con factor constante Bodily y Freeland (1988) derivaron su método bajo el supuesto de que el factor g t-k,t es el mismo, sin importar el tiempo t al que se refiera. Este supuesto se expresa matemáticamente como sigue

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g t-k,t = g *-k,*

De esta manera, la ecuación (2.1) se escribe como g t-k,t, * D tk = Dt

Con esta expresión, la demanda Dt ya puede ser estimada, debido a que es la única incógnita. Mientras que el calculo de g *-k,* se realiza por medio de la ecuación (2.2), pero tomando en cuenta la información histórica, en donde Dt, es conocida y puede ser estimada. Suponiendo que t' esta situada en el periodo histórico, la estimación es

No se hace mención explicita en la literatura sobre como elegir el periodo histórico t', para el calculo de g *-k,* . Este puede ser elegido arbitrariamente según el criterio del pronosticador, con el fin de trabajar con un periodo que sea más representativo que los demás.

En resumen, el método multiplicativo con factor constante de Bodily y Freeland cumple con los siguientes supuestos:

- los pedidos que se efectúan entre t-L y t, se realizan con certeza, es decir D°t = Dt,

- el factor g t-k,t se mantiene constante con respecto a t. Equivalentemente se tiene g t-k,t = g *-k,*

Por su lado, el pronóstico se obtiene como

Para el caso de un producto con poca información histórica, Bestwick (1975) propuso el siguiente método. Debido a que se cuenta con poca in fonación histórica (como un mínimo se requiere de dos periodos de ventas, para conocer Dt-1, y Dt-2, así como sus respectivos D(t-i)-k,t-i) se propone utilizar un factor DART *k,*, pero con diferentes supuestos.

El presente método fue diseñado para pronosticar en el corto plazo (con un tiempo de anticipación no mayor a L=12 periodos). La finalidad del método es poder estimar el patrón esperado de la demanda y asociarle intervalos de confianza. Se entiende por patrón de la demanda, el comportamiento de los pedidos que se observó entre el tiempo t-12 y el tiempo t (ver Gráfica 1). Bestwick propone utilizar como factor constante un factor calculado con las demandas promedio.

La Dt promedio se calcula con las Dt-i disponibles, es decir, como , donde n es el número de años para los cuales se dispone de información (en el ejemplo presentado en el Cuadro 1, n=3). De la misma forma, la demanda acumulada esperada resulta ser

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Cuadro 1. Demandas acumuladas y en % del total con L=12.

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Una vez obtenidos los valores esperados, se obtiene DART *-k,* Este factor juega el papel de un factor constante, para k periodos de anticipación, o sea

Bestwick no solo propone un valor para el factor DART *_k,*, sino que también propone el cálculo de intervalos de confianza alrededor del valor esperado (para detalles al respecto véase el articulo original).

En resumen, el método multiplicativo con factor constante de Bestwick, surge de los siguientes supuestos

- los pedidos que se efectúan entre t-L y t se realizan con certeza, o sea D0t = Dt

- el factor DART t-k,t esperado, se mantiene constante con respecto a t,

- el factor DART t-k,t es aleatorio y tiene una distribución normal en cada tiempo t. Por su lado, el pronóstico se obtiene a partir de

Método multiplicativo con factor suavizado El método multiplicativo con factor suavizado file propuesto por Bodily y Freeland (1988). Posteriormente, KekTe, Smunt y Morton (1990), retomaron este método y probaron su desempeño en situaciones especiales, tales como cuando ocurre un descuento en el precio del producto o un aumento súbito en los pedidos de algún periodo. El presente método es mas general que el método multiplicativo con factor constante, debido a que ahora el factor cambia con respecto al tiempo y no se limita a utilizar uno solo para todos los pronósticos. Este ajuste se realiza debido a que los cambios en la demanda pueden alterar los pronósticos, si se mantiene constante el factor. El factor debe ser actualizado constantemente, conforme se van conociendo los pedidos. La técnica que se propone para este fin es la de suavizamiento exponencial simple.

La expresión matemática del suavizamiento exponencial sobre el factor con constante de suavizamiento α es

(2.3) El método multiplicativo con factor suavizado, surge entonces de los siguientes supuestos:

- los pedidos que se efectúan entre t-L y t se realizan con certeza, o sea que

- la constante a toma su valor dentro del intervalo [0,1].

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Por su lado, el pronóstico se obtiene mediante

donde

2.1.2- Método aditivo El método aditivo fue propuesto por Kekre, Morton y Smunt (1990), con la finalidad de pronosticar demandas de productos para los cuales se tiene información histórica. Al igual que el método multiplicativo, el aditivo también incorpora la información adicional, es decir los pedidos, al pronóstico de la demanda total. En el multiplicativo se infla el pedido por un factor

que se puede estimar de diferentes formas. En el aditivo se le suma al pedido una

cierta cantidad para la obtención del pronóstico de la demanda total. Según la notación propuesta en este capítulo, los pedidos conocidos hasta el tiempo t-k para

realizarse en el tiempo t, son También se sabe que la demanda total al tiempo t es Por lo tanto, se puede escribir la siguiente ecuación

donde es el nuevo elemento llamado "factor aditivo". Este es el término con el que se denota en la literatura al "sumando" que ahora se incorpora, aunque "factor" parezca indicar que se involucra un producto. En (2.4), al igual que en (2.1) se tienen dos incógnitas, el factor

Si se toma en cuenta la información histórica en el tiempo la ecuación (2.4) puede reescribirse como

Aquí, la única incógnita es el factor aditivo, por lo que al despejarlo, su valor es conocido, o sea

No obstante la similitud entre los métodos multiplicativo y aditivo, la única técnica propuesta

hasta la fecha para estimar el factor aditivo, ha sido la de suavizamiento exponencial, siendo que las técnicas de factor constante de Bodily y Freeland y factor constante de Bestwick, son igualmente aplicables a este factor. Esto se debe a que el presente método ha sido estudiado menos que el multiplicativo.

La estimación del factor aditivo se realiza con suavizamiento exponencial y se expresa como

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En resumen, el método aditivo con datos cumple con los siguientes supuestos:

- los pedidos que se efectúan entre t-L y t se realizan con certeza,

- la constante de suavizamiento a es un valor en [0, 1]. Por su lado, el pronóstico se obtiene con

donde

2.2- Métodos con suavizamiento sobre los pedidos Los métodos con suavizamiento sobre los pedidos, difieren de los métodos multiplicativos en la forma de pronosticar la demanda total. Mientras que para los métodos multiplicativos, la demanda total se estima inflando los pedidos acumulados hasta el tiempo t-k, el método con suavizamiento sobre los pedidos estima la demanda total por medio de un suavizamiento exponencial, sobre un producto que será descrito con mayor detalle posteriormente. El pronóstico basado en este método, según Bodily y Freeland (1988), tiene la finalidad de poder estimar la demanda total al tiempo t, con la información anticipada disponible. Al igual que con los métodos multiplicativos, el factor utilizado en el método actual, también puede ser constante o suavizado. La ecuación que expresa la actualización del pronóstico para la demanda total con el presente método, se expresa como

(2.5)

donde se recuerda que son los pedidos no acumulados para el tiempo t, hechos con k

periodos de anticipación, es la constante de suavizamiento y es el nuevo factor, llamado factor multiplicativo no acumulado, cuya expresión es

(2.6) La ecuación (2.5) es una actualización del pronóstico de la demanda en el tiempo t. El pronóstico que se hace bajo este método es comparable al del método multiplicativo, ya que los dos están

basados en un producto (en el método multiplicativo, , y en el método de

suavizamiento sobre los pedidos, Debido a que el método actual no acumula la información, el pronóstico en el tiempo t-k es independiente del pronóstico en t-j, para toda k diferente de j, por lo que los cambios en la distribución de los pedidos no provocarán que se acumule el error de pronóstico. Sin embargo, el hecho de que sólo se considere al tiempo t-k para el pronóstico de la demanda total, puede provocar que se incremente el riesgo de cometer errores de pronóstico, ya que cualquier desviación de las demandas anticipadas individuales se

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reflejará en estimaciones muy altas o muy bajas, mientras que al pronosticar con las variables acumuladas, este efecto puede ser absorbido. El factor multiplicativo no acumulado, al igual que en el método multiplicativo, puede ser constante o suavizado. La expresión del pronóstico bajo estas dos opciones se presenta a continuación. Método con suavizamiento sobre los pedidos, con factor multiplicativo no acumulado constante En este método se supone que los pedidos se mantienen como una proporción constante de Dt con respecto al tiempo, es decir

gna t-k,t = gna *-k,* (2.7) Una vez hecho este supuesto, el pronostico de la demanda total se calcula por medio de (2.5), donde gna t-k,t esta dado por (2.7). Método con suavizamiento sobre los pedidos, can factor multiplicativo no acumulado suavizado Para introducir este método supóngase que para el año 1, el pedido en t-6, es menor que en el año 2 y que en el año 3. Si se supone que el factor (gna)t-6,t es constante para los tres años, se estará cometiendo un error considerable de pronostico, ya que se estará inflando a Dt-6,t y a D(t-2)-

6,(t-2)con el mismo factor. Si estos dos representaran un mismo porcentaje de Dt, el pronóstico seria adecuado, pero como representan un diferente porcentaje de Dt, entonces el mismo factor no funciona (si el factor multiplicativo no acumulado constante se calcula con la información del año 1, en el año 3 se estará sobreestimando la demanda total). Por esta razón, se propone actualizar el factor multiplicativo no constante, para que los cambios en la distribución de los pedidos puedan ser incluidos en el pronóstico. El método propuesto por Bodily y Freeland para la actualización del factor, es el suavizamiento exponencial simple. La expresión para la actualización del factor (gna)t-k,t es

GNAt-k,t =α (gna)(t-k)-k,(t-k) +(1 - α) GNAC(t-1)-k,(t-1)· En resumen, el método con suavizamiento sobre los pedidos, con factor multiplicativo suavizado, surge de los siguientes supuestos:

- los pedidos que se efectúan entre t-L y t se realizan con certeza, o sea D0t= Dt

- las constantes α y λ son dos valores dentro de [0,1]. Por su lado, el pronóstico con factor constante se obtiene mediante

donde

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El pronóstico con factor suavizado se obtiene por medio de

donde el factor GNAt,t+j esta dado por

Para concluir esta sección, nótese que todos los métodos presentados constituyen de hecho algoritmos de cálculo, en donde el analista que los use debe emplear mucha subjetividad, empezando por la selección del algoritmo mismo que debería emplearse.

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SECCIÓN 3- MÉTODOS PARA LA SINIESTRALIDAD OCURRIDA PERO NO REPORTADA

La información correspondiente a SOPNR se presenta en el conocido triángulo, ilustrado en el Cuadro 2. Para presentar la similitud entre el problema de pronosticar SOPNR y el de pronosticar demandas totales haciendo uso de demandas anticipadas, en dicho cuadro se utiliza la notación que se presentó en un principio. En el mismo cuadro se aprecia que las columnas registran los trimestres en los cuales se reportaron los siniestros, a estos últimos se les llama también trimestres de desarrollo, y en las filas se presentan los trimestres de ocurrencia del siniestro.

La similitud entre ambos problemas es evidente, si se considera lo siguiente:

- la siniestralidad (correspondiente al año t-L) reportada acumulada hasta el año t-i, es el equivalente a las demandas anticipadas (con fecha de entrega en el año t) acumuladas hasta el año t-i

- la siniestralidad total correspondiente al año de ocurrencia t-L es la demanda total (objeto del pronóstico)

Cabe destacar que la siniestralidad total correspondiente al año de ocurrencia t-L no es conocida sino hasta el año t. Al conocerse el total, ya sea de monto o de siniestralidad, puede crearse una reserva, calculando simplemente la diferencia entre la siniestralidad total que se reportará y la cantidad registrada por siniestros reportados hasta la fecha.

Los métodos presentados anteriormente, pueden ser utilizados para pronosticar la siniestralidad total y por lo tanto para calcular la reserva de OPNR. De hecho, muchos de los métodos utilizados en la actualidad son casos particulares de algunos de los métodos presentados en la sección previa. Particularmente los métodos multiplicativo y aditivo son utilizados para el cálculo de los OPNR, sin embargo, en la Sección 4 se muestra como ambos métodos son englobados en un modelo estadístico que resulta ser más eficientes para cierto tipo de información.

A continuación se presentan varios métodos utilizados para estimar la SOPNR y se establece su relación con los métodos utilizados para pronosticar demandas totales haciendo use de demandas anticipadas.

Asimismo, se hará énfasis en la metodología util izada para estimar la siniestralidad total por reportarse y no tanto en el cálculo de la reserva de OPNR, debido a que este último es directo, una vez que se ha estimado lo anterior. Sin embargo, en la Sección 5 se ofrece una propuesta completa del cálculo de la reserva de OPNR.

14 14

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3 .1- Métodos ut i l i zados en A lemania 3.1.1- Método aditivo

El primer método que se estudia para el cálculo de la reserva de OPNR es uno de los métodos utilizados en Alemania1. Este es utilizado por las compañías reaseguradoras para los contratos de exceso de perdida catastróficos. Con este método se busca pronosticar la siniestral idad total para cada tr imestre de ocurrencia. Cabe destacar que se busca pronosticar la siniestralidad y no el monto total de los siniestros para cada trimestre de ocurrencia, por lo que se debe considerar al monto total de los siniestros como porcentaje de las primas emitidas.

La siniestralidad total se conoce al acumular trimestralmente el monto de los siniestros que se van reportando. Dicho porcentaje va aumentando hasta que alcanza su valor total después de L periodos. Este valor es el porcentaje de siniestralidad total que se desea conocer para poder crear la reserva.

De esta forma, se define cada uno de los componentes del cálculo de la reserva como sigue:

- L es el número de trimestres máximo para los cuales se espera recibir reportes de siniestros,

- δt es la variable aleatoria que representa la siniestralidad total del trimestre t-L, expresada como porcentaje de las primas,

- Dt es una realización de la variable aleatoria δt,

- δt-k,t es la variable aleatoria que describe el número de siniestros reportados en el tiempo t-k, con respecto a las primas del trimestre t-L,

- Dt-k,t es una realización de la variable aleatoria -δt-k,t

- Dkt es la siniestralidad correspondiente al trimestre t-L, reportada y

acumulada hasta el trimestre t-k.

Con el fin de ilustrar lo más claramente posible los métodos, estos se presentan, primero con la notación utilizada en el Cuadro 2 y después utilizando valores numéricos. Los valores presentados no son valores observados en la practica, debido a que se tiene muy poca, o en algunos casos, nula información acerca de este problema, sin embargo, se utilizan los valores que aparecieron en el documento original donde se propone el método.

El primer paso para estimar la reserva de OPNR por medio del método alemán, consiste en presentar la información sin acumular, en el triangulo de OPNR. A partir de esta información se obtienen promedios aritméticos para cada trimestre de desarrollo 1 El método fue proporcionado por la Munchener de México. S.A. Para mayor detalle acerca del método consúltese Esteva (1994).

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y, por Ultimo, se determinan los promedios acumulados, simplemente sumancio los promedios aritméticos de cada trimestre de desarrollo. El ejemplo del Cuadro 3-a y 3-b ilustra la metodología descrita. Cabe destacar que los triángulos de información presentados a continuación son diferentes al triangulo del Cuadro 2. Esta diferencia consiste en que en las columnas, en vez de poner la fecha del trimestre de desarrollo, se pone el número de trimestre después del trimestre de ocurrencia. Esta diferencia altera la metodología presentada y facilita la reexposición de los métodos.

Cuadro 3-a. Porcentaje acumulado de siniestralidad.

Numero de trimestres después de cada ocurrencia

Cuadro 3-b. Porcentaje acumulado de siniestralidad.

Numero de trimestres después de cada ocurrencia

Una vez obtenida la información acumulada, se procede a obtener las diferencias para cada año. Dicho procedimiento se presenta notacionalmente en el Cuadro 4-a.

Trim. de ocurrencia 0 1 2 3 4 5 6 7 II-1992 15 45 85 117 127 130 132 132 III-1992 21 59 93 126 137 140 140 IV-1992 12 42 72 110 120 123 I-1993 40 105 138 158 165 II-1993 33 50 107 128 III-1993 7 32 66 IV-1993 55 111 I-1994 2

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Cuadro 4-a. Diferencia de los porcentajes acumulados de siniestralidad.

Numero de trimestres después de cada ocurrencia

Con esta información se obtienen los promedios aritméticos por trimestre de desarrollo, de acuerdo con las siguientes expresiones:

Estos promedios representan la siniestralidad esperada para cada trimestre de desarrollo. Por ejemplo. Prom. 1 representa la siniestralidad que se espera Para el primer trimestre después del trimestre de ocurrencia, Prom. 2 la siniestralidad esperada para el segundo trimestre después del trimestre de ocurrencia (sin acumular), etcétera. Al acumular la siniestralidad esperada para cada trimestre, se estima la siniestralidad total esperada para todos los trimestres de desarrollo faltantes. Estas sumas acumuladas se calculan como sigue:

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Con estos factores, se estima la siniestralidad total para cada trimestre de ocurrencia. Cada uno de estos factores fue denotado para k=1, L, debido a que el pronóstico sigue una metodología análoga a la del método aditivo. El procedimiento del cálculo previamente descrito se presenta numéricamente a continuación, a partir de los resultados del Cuadro 4-b.

Cuadro 4-b. Diferencia de los porcentajes acumulados de siniestralidad.

Número de trimestres después de cada ocurrencia

Trim. De ocurrencia

1 2 3 4 5 6 7

II-1992 30 40 32 10 3 2 0 III-1992 38 34 33 11 3 0 IV-1992 30 30 38 10 3 I-1993 65 33 20 7 II-1993 17 57 III-1993 25 34 IV-1993 56

Promedios 37 38 10 3 1 0 0 Los promedios correspondientes son:

[(30+38+30+65+17+25+56)] / 7 = 37 [(40+34+30+33+57+34)] 16 = 38 [(32+33+38+20+21)] / 5 = 29 [(10+11+10+7)] / 4 = 10 [(3+3+3)] / 3 = 3 [(2+0)] / 2 = 1 [0]/1 = 0 .

Asimismo, los factores acumulados son:

[37+38+29+10+3+1+0] = 118 = h*-7,* [38+29+10+3+1+0] = 81 = h*-6,* [29+10+3+1+0] = 43 = h*-5,* [10+3+1+0] = 14 = h*-4,* [3+1+0] = 4 = h*-3,* [1+0] = 1 = h*-2,* [0] = 0 = h*-1,*

Los pronósticos se realizan como sigue:

Para el trimestre III-1992 se espera una siniestralidad de 140+h*-1,* = 140+0 = 140,

Para el trimestre IV-1992 se espera una siniestralidad de 123+h*-2,* = 123+1 = 124,

Para el trimestre I-1993 se espera una siniestralidad de 16.5+h*-3,* = 165+4 = 169,

Para el trimestre II-1993 se espera una siniestralidad de 128+h*-4,* =128+14 = 142,

Para el trimestre III-1993 se espera una siniestralidad de 66+h*-5,* = 66+43 = 109,

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Para el trimestre IV-1993 se espera aria siniestralidad de 111+ h*-6,* = 111+81 = 192,

Para el trimestre I-1994 se espera una siniestralidad de 2+ h*-7,* = 2+118=120.

La forma general de pronóstico que usa este método es entonces (véase (2.4))

(3.1)

Hasta aquí, se ha visto que el método utilizado en Alemania representa un caso particular del método aditivo, donde el factor h*-k,* se estima por promedios aritméticos. La diferencia fundamental es que no se hace use del suavizamiento exponencial. Sin embargo, esta diferencia no es importante, ya que lo interesante es resaltar el hecho de que la estructura del pronóstico es la misma. 3.1.2- Método "chain-ladder"

El segundo método utilizado en Alemania, es el método llamado chain-ladder. El cálculo de la reserva de OPNR con este método es análogo al del método anterior, en el sentido de que a los siniestros reportados hasta la fecha se les suma un factor h*-k,*. Este nuevamente, representa un caso particular del factor aditivo. En términos de pronóstico, ambos métodos presentan la misma técnica. 3.2- Métodos utilizados en los Estados Unidos y Canadá. 3.2.1- Modelo de crecimiento.

El siguiente método surge del llamado modelo de crecimiento. Dicho modelo fue propuesto por la Insurance Accounting & Systems Association, Inc. (1991). Con este método se calcula la responsabilidad de la perdida, por medio de los montos acumulados de los siniestros reportados hasta la fecha y no por medio de la siniestralidad total. En los Cuadros 5-a y 5-b se presenta la información necesaria para estimar dicho monto. Al igual que con el método anterior, los valores numéricos usados provienen del documento en el cual se propone la metodología originalmente. Se pace hincapié en que el método actual estima el monto total de los siniestros y no el porcentaje total de siniestralidad, por lo que en este caso las variables Dt-k,t y Dt representan respectivamente los montos de los siniestros reportados en el año t-k, con fecha de ocurrencia en el año t-L, y el monto total de los siniestros con fecha de ocurrencia en t-L.

Nuevamente, con el fin de ilustrar el método con mayor claridad, se presenta el método utilizando la notación introducida en esta sección y posteriormente empleando los valores numéricos antes mencionados.

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Cuadro 5-a. Monto acumulado de los siniestros.

Número de trimestres después de cada ocurrencia

Cuadro 5-b. Monto acumulado de los siniestros.

Número de trimestres después de cada ocurrencia

Trim. De ocurrencia

0 1 2 3 4

I-1993 750 901 1076 1200 123I II-1993 780 912 1045 1150 III-1993 870 967 1043 IV-1993 987 1098

Una vez obtenida la información, se calcula el porcentaje que representan los siniestros acumulados para cada trimestre de desarrollo, con respecto al valor del último trimestre de desarrollo conocido, de manera que se obtenga el triángulo de OPNR expresado en porcentajes. Esta información se presenta en los Cuadros 6-a y 6-b.

Cuadro 6-a. Monto acumulado de los siniestros en porcentaje del último monto.

Número de trimestres después de cada ocurrencia

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Cuadro 6-b. Monto acumulado de los siniestros en porcentaje del último monto.

Número de trimestres después de cada ocurrencia

Trim. de Ocurrencia

0 1 2 3 4

I-1993 60.90% 73.20% 87.40% 97.50% I00% II-I993 67.80% 79.30% 90.90% 100% III- 1993 83.40% 92.70% 100% IV-1993 89.90% 100% I-I994 100%

El siguiente paso consiste en estimar el monto de siniestros que se considera que se reportarán entre los años t y t-L. Este se presentará como un porcentaje a, cuyo valor se determinará con base en la experiencia que se tenga. Al fijar este porcentaje, se está suponiendo que se reportará entre t-L y t un a —por ciento del monto total correspondiente al año de ocurrencia t-L. Por ejemplo, puede darse el caso de que se estime que entre t-L y t se registre a = 95% del monto total correspondiente al año de ocurrencia t-L, por lo que, para obtener una buena estimación del monto total esperado, se infla el porcentaje de siniestralidad reportada hasta el tiempo t por un factor equivalente al 5% faltante, es decir, por el inverso de 95%. Cabe mencionar que este factor es muy importante, ya que de su valor depende la estimación final., sin embargo, no existe una metodología objetiva para determinarlo, por lo que esto introduce un cierto grado de subjetividad al método. Una vez determinado este porcentaje el procedimiento es el siguiente:

- se actualizan todos los porcentajes correspondientes al primer trimestre de ocurrencia con respecto a α,

- se actualizan los porcentajes del siguiente trimestre de ocurrencia, utilizando para el último trimestre de desarrollo, el promedio de los porcentajes correspondientes a ese trimestre de desarrollo, pero para trimestres de ocurrencia anteriores, y así sucesivamente.

Cuadro 7-a. Porcentajes acumulados de siniestralidad, ajustados por α.

Número de trimestres después de cada ocurrencia

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En este cuadro se hace uso de las siguientes definiciones:

donde es el promedio del trimestre de desarrollo 2.

Cuadro 7-b. Porcentajes acumulados de siniestralidad pagada, ajustados por α.

Número de trimestres después de cada ocurrencia

Trim. de Ocurrencia

0 1 2 3 4

I-1993 57.90% 69.50% 83.00% 92.60% 95.00% II-I993 62.80% 73.40% 84.20% 92.60% III- 1993 69.70% 77.50% 83.60% IV-1993 66.10% 73.50% I-I994 64.10%

Conviene ahora denotar a los factores presentados al final de cada trimestre de ocurrencia DARTt-k,t .Es decir, DARTt-0,t = 95%, DARTt-1,t = 92.6%, DARTt-2,t = 83.6%, DARTt-3,t= 73.5% y DARTt-4,t = 64.1%. El pronóstico del monto total de los siniestros se efectúa dividiendo los valores del cuadro 5-b, entre el factor DARTt-k, t correspondiente a cada tiempo.

Este método puede considerarse como un caso particular del método mult ipl icativo con factor suavizado. En este caso, se t iene que el factor multiplicativo es del tipo DARTt-k,t y se calcula como un promedio de los factores de trimestres de ocurrencia anteriores.

El pronóstico exactamente igual que el que se obtiene por medio del método multiplicativo con factor suavizado. La diferencia es que el factor DARTt-k,t no se estima con suavizamiento exponencial, sino como un promedio aritmético. Los pronósticos para el ejemplo propuesto son los que se presentan en el Cuadro 8.

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Cuadro 8. Pronóstico del monto total de los siniestros.

Número de trimestres después de cada ocurrencia

De esta forma, la formula general de pronóstico que utiliza este método es la siguiente:

(3.2) 3.2.2- Método de la razón Este método estima el monto total de los siniestros para cada año de ocurrencia, por medio de un producto. Para presentarlo considérese la información de los Cuadros 5-a y 5-b. Como primer paso, ahora se calcula el crecimiento que se presentó entre un trimestre de desarrollo y otro. Posteriormente se calculan los promedios para cada trimestre de desarrollo. Estos últimos son acumulados para cada trimestre de desarrollo, con el fin de obtener factores que permitan estimar el monto total de los siniestros para cada trimestre de ocurrencia. Al igual que en el modelo de crecimiento, se utiliza ahora un factor α en el último trimestre de desarrollo. En los Cuadros 9-a y 9-b se ilustra el procedimiento.

Cuadro 9-a. Estimación de factores de siniestralidad.

Número de trimestres después de cada ocurrencia

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Cuadro 9-b. Estimación de factores de siniestralidad.

Número de trimestres después de cada ocurrencia

Trim. Trim. Trim. Trim. Trim. Factor α ocurrencia 0 al 1 1 al 2 2 al 3 3 al 4

I-1993 1.2 1.19 1.12 1.03 1.05 II-1993 1.17 1.15 1.1 III-1993 1.11 1.08

IV-1993 1.11

Promedio aritmético 1.15 1.14 1.11 1.03 1.05

Promedio acumulado 1.57 1.36 1.2 1.08 1.05

Llámense a los promedios acumulados para hacer una analogía con el método multiplicativo. El pronóstico del monto total de los siniestros para cada trimestre de ocurrencia, se realiza multiplicando el monto total reportado hasta el último trimestre de desarrollo conocido, por el promedio acumulado correspondiente a ese trimestre. Este pronóstico se ilustra en el Cuadro 10.

Cuadro 10. Pronóstico del monto total de los siniestros.

Número de trimestres después de cada ocurrencia

Trim. de Ocurrencia

0 1 2 3 4 TOTAL

I-1993 750 901 1076 1200 1231 1292.55 II-I993 780 912 1045 1150 1242.00 III- 1993 870 967 1043 1251.60 IV-1993 987 1098 1493.28

I-I994 1078 1692.46

Factor g*-k* 1.57 1.36 1.2 1.08 1.05

La forma general de pronóstico de este método es la siguiente

(3.3) De esta forma en esta sección se ha mostrado que los métodos citados para la siniestralidad ocurrida pero no reportada, pueden ser comparados con los métodos multiplicativo y aditivo para demandas totales, de la sección anterior. Esto es importante apreciarlo porque implica en particular que ha habido una duplicación de esfuerzos y no se ha aprovechado la experiencia obtenida en otras ramas del conocimiento. Además, los comentarios al final de la sección 2 son

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igualmente válidos ahora, en tanto que los usuarios de los métodos de la presente sección también eligen de una manera arbitraria, tanto el método mismo como algunas de sus peculiaridades propias. Por consiguiente, conviene contar con una metodología que evite estas decisiones arbitrarias y que tenga un mejor sustento desde un punto de vista estadístico formal. En esa dirección esta encaminada la siguiente sección.

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SECCIÓN 4- NUEVA PROPUESTA METODOLOGICA A lo largo de las secciones 2 y 3 se describió brevemente la historia del problema de pronosticar variables cuyas ventas se realizan por anticipado, así como algunos métodos utilizados para pronosticar siniestralidad ocurrida pero no reportada. Los métodos propuestos funcionan como algoritmos, que se pueden aplicar independientemente de la naturaleza de la información, pero cuyo uso es bastante arbitrario en tanto que depende de la subjetividad del analista. Tanto el método aditivo como el multiplicativo y los métodos que se derivan de estos dos, pueden ser aplicados a datos con demanda total que muestre nivel constante, o con tendencia lineal o incluso con estacionalidad. En realidad, estos algoritmos no hacen explícito el que dependen de algún modelo estadístico y, por lo mismo, de supuestos que permitan indicar cuándo deben ser aplicados y cuándo no. En este trabajo no se pretende proponer un nuevo algoritmo para resolver el problema. En realidad, se propone un modelo estadístico formal, cuya naturaleza dependerá de los datos que se observen. Debe hacerse notar que detrás de cada método podría existir un modelo, el cual es una simplificación de la realidad. Si se quieren resultados con más apego a la realidad, el modelo se debe ajustar a la información disponible. Por el contrario, si no se propone un modelo, la información disponible tendrá que someterse a lo que el algoritmo determine, sin que sea posible determinar su validez de una manera objetiva. 4.1- Derivación de un modelo estadístico. La derivación del modelo, se realiza a partir de las relaciones existentes entre las variables y haciendo diversos supuestos acerca de las características de los datos. A continuación se expone la derivación del modelo propuesto para datos cuyo nivel acumulado se supone constante en el tiempo.

Supóngase que los pedidos realizados entre el tiempo t-L y el tiempo t pueden ser expresados como:

(4.1)

Es decir, los pedidos realizados entre t-L y t, son proporciones fijas y conocidas de oscurecidas

por errores aleatorios. Además las son v.a.'s independientes e idénticamente distribuidas

(i.i.d) con para toda k y t. El subíndice t-k indica que tanto la esperanza como la varianza, son condicionales a la información disponible hasta el tiempo t-k.

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Con base en (4.1) se deriva lo siguiente:

(4.2) A partir de las expresiones (4.1) y de la ecuación (4.2), se tiene que el mejor pronóstico, en el sentido de error cuadrático medio (e.c.m.) mínimo (ver Montgomery, Jonhson y Gardiner, 1990, p.274), es la esperanza condicional a la información conocida. Así, para el tiempo t-I dicho pronóstico es

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Si se procede análogamente para los tiempos t-2,..., t-L, se obtiene la ecuación general siguiente, en

donde se hace uso de que

(4.3) En el Cuadro 11 se describe la ecuación que se propone para estimar el modelo y las consecuencias de utilizar estas ecuaciones. El método estadístico propuesto para estimar las ecuaciones es el de mínimos cuadrados ordinarios, debido a los supuestos acerca de los errores que aparecen en las ecuaciones de pronóstico.

Cuadro 11. Ecuación de pronóstico y consecuencias del modelo para demanda con nivel constante.

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Cabe señalar que el método multiplicativo descrito en la Sección 2, esta íntimamente relacionado con la expresión (4.3). De hecho obsérvese que

Ahora, suponiendo "perfecta visión del futuro", o sea que E t-k (δt) = Dt, se deduce

(4.4) Esta última expresión corresponde a la base del método multiplicativo. En realidad se puede afirmar que el modelo propuesto en esta sección es una generalización del método multiplicativo y del método aditivo, debido a que el método multiplicativo se deriva suponiendo

perfecta visión del futuro (E t-k (δt) =D t) o simplemente suponiendo que para toda k.

Mientras que, el método aditivo se obtiene al suponer que para toda k. Nótese en particular que, al tener englobadas en un solo modelo las dos opciones (multiplicativa y aditiva) que dependen de los valores de los parámetros, ya no requiere el analista decidir de antemano cuál de las dos utilizar, sino que serán los datos mismos los que expresarán su preferencia por una u otra e incluso por algo intermedio, que no sea completamente aditivo ni multiplicativo. Esto desde luego, se puede realizar mediante pruebas de significación estadística sobre los parámetros, que son usuales en estos modelos de regresión lineal. Además, al estar el modelo respaldado por técnicas estadísticas bien estudiadas resulta sencillo obtener intervalos de confianza de la demanda total para la siniestralidad en el tiempo t, lo cual es útil cuando se pronostica cualquier tipo de variable, para ello se requerirá simplemente añadir un supuesto de distribución normal para los errores del modelo. Desde luego que todos los supuestos deberían ser validados con los datos observados, como es costumbre ya en la modelación estadística.

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En conclusión la ecuación propuesta para pronosticar la variable al final del período es

con la cual se generalizan los dos métodos aditivo y multiplicativo presentados previamente. Por otro lado, conviene resaltar el hecho de que los parámetros que aparecen en cada una de las ecuaciones de regresión lineal del modelo, deben estimarse a partir de los datos observados que se tengan disponibles. El método más sencillo y con buenas propiedades estadísticas, que podría aplicarse, es el de mínimos cuadrados ordinarios. Sin embargo, para actualizar las estimaciones de los parámetros y en particular para tener en cuenta posibles cambios en los mismos, podría ser preferible alguna técnica de estimación recursiva, posiblemente del tipo del Filtro de Kalman. Para los fines de este trabajo, esta posibilidad no se considera en detalle, pero podría consultarse al respecto, por ejemplo, en el libro de Montgomery, Johnson y Gardiner (1990).

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SECCIÓN 5- APLICACIÓN DE LA METODOLOGIA PROPUESTA En la Sección 4 se propuso una ecuación de pronóstico que depende básicamente de la naturaleza de la información. En el caso de los métodos de cálculo de la reserva de OPNR, se tienen dos variables para las cuales se requiere hacer un pronóstico, la siniestralidad total y el monto total de siniestros para cada trimestre de ocurrencia. La siniestralidad2 total es una variable que generalmente se mantiene constante en el tiempo. Esto se debe a dos razones fundamentales:

- el monto de los siniestros aumenta por efecto de la inflación, paralelamente al monto de las primas, por lo que el cociente se mantiene insensible a crecimientos causados por inflación,

- si la siniestralidad es alta, la prima se ajusta de tal forma que mantenga un nivel en el cual sea suficiente para cubrir las necesidades de la compañía.

Como consecuencia de lo anterior, cuando el monto de los siniestros crece en mayor proporción que la prima, esta última se modifica, de manera que el cociente se mantiene constante en el tiempo. Por el, contrario, si la variable es el monto total de los siniestros, su comportamiento en el tiempo no es constante, pues sobre ella influyen diversos factores, como podrían ser la inflación, y los movimientosd en el número de asegurados expuestos, entre otros. Debido a lo anterior en esta sección, se sugiere que el método para demanda total con nivel constante correspondiente a la Sección 4 se aplique a la siniestralidad total, correspondiente a algún trimestre de ocurrencia. Por otro lado, si se deseara pronosticar el monto total de los siniestros para un trimestre de ocurrencia, en lugar de la siniestralidad total, el método debería cambiarse para considerar una demanda total con tendencia lineal, debido a las características de esta variable. Para ello, simplemente debería incluirse un término adicional de tendencia lineal, en cada una de las ecuaciones de pronóstico del Cuadro 11. 5.1- Pronóstico de la siniestralidad total La forma general del pronóstico para estimar la siniestralidad total, para cada trimestre de ocurrencia, es la siguiente

(5.1)

donde Skt-k, es el pronóstico de la variable aleatoria δt, hecho en el tiempo t-k.

Cabe destacar de nuevo que la ecuación (5.1) es una, generalización de la ecuación (3.1) cuando βk1 toma el valor de 1, ya que βk0 representa a h*-k,*. Asimismo, las ecuaciones (3.2) y (3.3) son casos particulares de (5.1) cuando βk0 toma el valor 0. En este caso, βk1 juega el papel de DART*-k,* y g*-k,*.

2 La siniestralidad es el resultado de dividir los siniestros ocasionados por un cierto número de pólizas entre las primas devengadas de esas mismas pólizas.

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La estimación de la siniestralidad total para cada trimestre de ocurrencia, se ilustra en los Cuadros 12-a y 12-b. Cabe notar que para el Cuadro 12-b se utiliza información presentada en el Cuadro 3-b.

Cuadro 12-a. Monto acumulado siniestralidad.

Número de trimestres después de cada ocurrencia

Cuadro 12-b. Siniestralidad total para la información del Cuadro 3-b,

La estructura del pronóstico es la que se aprecia en la columna correspondiente a la siniestralidad total estimada.

Con respecto a la estimación de los parámetros donde k=I,...,L e i=0,1, en la Sección 4 se propuso utilizar la técnica de mínimos cuadrados ordinarios. Esta técnica requiere información histórica para poder estimar los parámetros sin embargo, corno sólo se requiere estimar dos parámetros por cada trimestre de ocurrencia, con un mínimo de 3 observaciones se pueden obtener estimaciones. Esto significa que con un mínimo de L+3 trimestres de información (para llenar una fila se requieren L trimestres y se requieren 3 filas llenas, por lo que con L+3 es un monto suficiente de información) este método puede ser utilizado para estimar la reserva de OPNR.

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Debido a que los estimadores de mínimos cuadrados son consistentes, es de esperar que para un mayor número de observaciones, estos se aproximen más al verdadero valor de los parámetros. La información necesaria para estimar los parámetros se presenta en el Cuadro 13.

Cuadro 13. Monto acumulado de sin iestral idad

Número de trimestres después de cada ocurrencia

Ahora bien, la estimación de los parámetros se puede realizar por medio de mínimos cuadrados ordinarios, ut i l izando las variables que se i lustran a continuación.

La primera variable independiente permite la estimación de la constante la ecuación (5.1), es decir, βk0 donde k=1,..., L. Mientras que la segunda variable independiente tiene asociado el Segundo parámetro de la ecuación (5.1), βk1 donde k=1,...,L.

Una vez estimadas las L ecuaciones, es posible obtener los valores presentados en la última columna de los Cuadros 12-a y 12-b. Estos valores representan la siniestralidad total estimada para cada trimestre de ocurrencia. Una vez calculadas estas estimaciones, es posible determinar la reserva de siniestros ocurridos pero no reportados.

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5.2- Cálculo de la reserva de OPNR El objetivo de la reserva de OPNR es crear provisiones para cubrir los siniestros que 110 han sido reportados hasta la fecha, pero que ya ocurrieron. Por lo tanto, si se tiene una estimación de la siniestralidad total para cada trimestre de ocurrencia y además se tiene la siniestralidad reportada hasta la fecha, entonces la reserva es simplemente la resta de estas dos variables. Si la reserva se requiere expresarla en unidades monetarias, es necesario multiplicar el porcentaje de siniestralidad que falta por reportarse, por el monto de las primas, de manera que se obtenga el monto total de los siniestros para cada trimestre de ocurrencia. Dicho procedimiento se ilustra en los Cuadros 14-a y 14-b.

Cuadro 14-a. Cálculo de la reserva de OPNR.

La reserva de OPNR corresponde a la suma de los valores de la última columna del Cuadro 14-a. Para presentar un ejemplo numérico supóngase que se tiene la información del Cuadro 14-b en donde los valores de los parámetros son los siguientes:

La reserva correspondiente a esta información se presenta en el Cuadro 14-b.

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Cuadro 14-b. Cálculo de la reserva de OPNR.

Trim. de Ocurrencia

Siniestralidad por reportarse estimada en % Primas Reserva

II-1992 5.1+I.02(140)-140 1'100 7.9*(1 100)/1 00= 86.9 III- 1992 10.4+1.01(123)-123 1'200 11.6(1200)/100= 139.2 I-1993 17.1+0.98(165)-165 I'400 13.8(1400)1100= 193.2

II-I993 21.3+0.95(128)-128 I'500 14.9(1500)/100– 223.5 III- 1993 37.3+0.99(66)-66 1'700 36.6(1700)1100= 622.2 IV-1993 42.3+0.97(111)-111 1'800 39.0(1800)1100= 702.0

I-I994 65.3+1.09(2)-2 2'000 65.5(2000)/100= 1'310.0

Total - - 3'277 La reserva que debería constituirse para este ejemplo, es de 3277 unidades monetarias. El método de pronóstico de la siniestralidad presentado en esta sección tiene ventajas sobre los métodos presentados en la Sección 3. Sin embargo, se requiere de información histórica para poder estimar los parámetros. En el caso mexicano, la información sobre OPNR empezó a registrarse, por ley, a partir de marzo de 1994. Es probable que algunas compañías aseguradoras hayan comenzado a registrar esta información con anterioridad. De ser este el caso, el método presentado en este trabajo puede ser aplicado de inmediato. De lo contrario, habrá que esperar algunos trimestres para obtener la información suficiente que permita su aplicación.

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SECCION 6- CONCLUSIONES La reciente reglamentación del cálculo de la reserva de OPNR en México, ha puesto en evidencia la necesidad de establecer metodologías razonablemente sólidas y objetivas, para obtener pronósticos de la siniestralidad ocurrida pero no reportada. Con este fin, se requiere conocer en primera instancia, los métodos en uso actualmente en países líderes en el mundo, no para adoptar sus metodologías a ciegas, sino para estudiarlas y determinar su posible aplicación al caso de México. Durante el estudio de las metodologías que se usan en Alemania, Estados Unidos y Canadá, se encontró que éstas son básicamente algoritmos de cálculo, que carecen de una fundamentación teórica fuerte desde un punto de vista estadístico formal y cuya principal bondad es que son de fácil aplicabilidad. En la búsqueda de un mejor fundamento para los algoritmos de pronóstico de la SOPNR, se encontró que en otras áreas del conocimiento también se hace uso de este tipo de algoritmos para solucionar problemas de pronóstico, tal como ocurre con variable acumuladas del tipo de las demandas totales de una mercancía, para la cual se registran demandas anticipadas, lo que ocurre frecuentemente en la administración de negocios, El establecimiento de una liga entre el problema de pronóstico de SOPNR y de variables cuyos valores acumulados se van conociendo como valores parciales al paso del tiempo, representa en realidad un puente que permite la comunicación entre los sectores actuarial y de administración de negocios, en este punto en particular. Esto desde luego, es útil para que los avances en la solución del problema en un sector, sean aplicables también en el otro. De hecho, en este trabajo se mostró que ha habido una duplicación de esfuerzos en los dos sectores puesto que metodologías equivalentes han sido utilizadas en ambos sectores, aunque con nomenclatura diferente y con aparente desconocimiento de la experiencia que se ha obtenido en el sector complementario respectivamente. La nueva propuesta metodológica que se presentó en este trabajo, para pronosticar una variable acumulada y en especial para pronosticar la SOPNR, constituye un avance respecto de los métodos actualmente en uso en Alemania, Estados Unidos y Canadá (estos últimos países con una relevancia clara para México, debido al Tratado de Libre Comercio de Norteamérica). La base para esta afirmación radica en que, mientras los métodos actualmente en uso constituyen reglas empíricas de cálculo (o dicho de otra manera, algoritmos sin una base teórica que los sostenga), la metodología que aquí se propone se dedujo de un modelo estadístico cuya validez de aplicación se puede verificar objetivamente, sin desprender del juicio del analista para decidir si se aplica tal o cual algoritmo. Así pues, la arbitrariedad en la selección de un cierto tipo de método, de los actualmente conocidos, se puede evitar al basar la decisión en el método científico, mediante la aplicación de pruebas de significación estadística, cuya solidez teórica es ampliamente conocida y suficientemente difundida. De hecho, las características del método que aquí se propone para el pronóstico de SOPNR son las siguientes:

- surge de un modelo estadístico formal, aplicable a datos acumulables cuyo nivel es constante al paso del tiempo, lo cual es verificable al observar al comportamiento de los datos con que se cuenta y que, de ser necesario, puede modificarse para representar el verdadero patrón observado en la información

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- el modelo estadístico está formado por un conjunto de ecuaciones del tipo de regresión

lineal, para las cuales existen subrutinas de estimación altamente probadas y difundidas en los paquetes de cómputo que se comercializan en el mercado; además de que la teoría estadística que respalda a este tipo de ecuaciones, también es de gran difusión y no requiere de un gran nivel de sofisticación, por parte del analista, para aplicarlos

- representa una generalización de los métodos aditivo y multiplicativo que se utilizan

actualmente, aunque el nombre con que se conozcan a estos métodos en el medio actuarial, no sea precisamente ése

- requiere de una cantidad de información relativamente pequeña puesto que el minino

requerido para su aplicación es de L+3 trimestres, en donde L es el número de que comúnmente espera una compañía aseguradora a que se registren los OPNR (alrededor de un valor de L-7, de acuerdo con los artículos consultados).

Finalmente, en este trabajo se mostró que una vez pronosticada la SOPNR, el cálculo de la reserva correspondiente se puede llevar a cabo de una manera muy sencilla. Para poder ilustrar dicho cálculo y debido a que no se tuvo acceso a datos reales, se propusieron algunos valores hipotéticos de los parámetros de las regresiones. En la práctica, cuando se tengan observaciones reales, tales parámetros deberán ser estimados mediante la técnica de mínimos cuadrados ordinarios, e incluso en un futuro, podría utilizarse otra técnica de estimación recursiva que permita tener en cuenta posibles variaciones en los parámetros al paso del tiempo.

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