metodos de optimización

METODOS DE OPTIMIZACION

TEMA Nº 1

INTRODUCCIÓN DE MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN

1 ¿QUÉ ES MÉTODO?

Método es un conjunto de operaciones ordenados y definidas para lograr un fin determinado, modo en que se obra algo con un determinado orden.

Existen métodos de todo tipo pero los que se estudiaran en la programación lineal son: método simples, el método gráfico, los paquetes computarizados que se utilizaran Lindo, WinQSB, Solver, etc.

¿QUÉ ES OPTIMIZACIÓN?

Optimización es un forma de minimizar los costos o maximizar los beneficios o ingresos en una determina empresa o compañía, etc., que así lo requiera.

2. SISTEMA.

Un sistema es un conjunto ordenado de normas o principios, viene del latín simulativo que significa reproducción de un fenómeno, estructura, organización, aparato.

Así también es aquel que tiene componentes que interaccionan entre los mismos. El comportamiento de cualquier parte tiene un efecto directo e indirecto con el

resto.

MODELO.

Un modelo es una representación idealizada de una situación u objeto concreto con un objeto determinado, proviene del latín modelum que significa molde, prototipo, ideal.

Así también es el cuerpo de información relativa a un sistema, acabado para fines de estudio que proporciona información que servirá a que se tome decisiones.

3. MODELOS DE OPTIMIZACIÓN.

Los modelos de optimización nos ayudarán para el modelado matemático, que está diseñada para optimar el empleo de solución.

TOMA DE DECISIONES.

La toma de decisiones es el término generalmente asociado con los primeros cinco pasos del proceso de solución de problemas los cuales son los siguientes:

1. Definir el Problema.2. Identificar las Alternativas.3. Determinar los Criterios de Decisión.

1


4. Evaluar las Alternativas.5. Elegir una Alternativa.

El primer paso es identificar y definir el problema, la toma de decisiones finaliza con la elección de una alternativa, lo que constituye el acto de tomar de decisión.

El siguiente pasó del proceso que implica determinar los criterios que se usaran para evaluar las cuatro alternativas, o las que se tengan.

Los problemas en los que el objetivo es encontrar la mejor solución con respecto a un criterio único se conoce como problemas de decisión de un criterio, así también los problemas que implican más de un criterio se conocen como problemas de decisión de criterios múltiples.

También está listo para hacer una elección de la alternativas disponible, lo que hace tan difícil esta fase de elección es que es probable que los criterios no sean de igual importancia y ninguna alternativa sea “mejor” con respeto a todos los criterios, aunque se decidirá seleccionar las alternativas más favorable.

4. TIPOS DE MODELOS.

Se analizaran varios tipos de modelos de decisión, los cuales se clasifican de la siguiente manera:

EL PROBLEMA DE DECISIÓN ES

DETERMINISTICOCIERTO

ESTOCÁSTICOINCIERTO

SENCILLO Modelos de caso Análisis de decisiones

COMPLEJO

Modelos de programación Lineal Modelos de Transporte o Redes.

Modelos de simulación.

DINÁMICO Modelos de inventario Modelos de Pert Modelos de asignación.

Modelos de Inventarios Modelos de colas. Proceso de Markov. Programación

2

ESTRUCTURA DEL PROBLEMA


Programación Dinámica.

Dinámica.

PROBLEMAS SENCILLOS. Al construir el modelo para el análisis hay que simplificar todos los problemas, si con este se obtiene un número pequeño de factores o variables, y relativamente pocas alternativas.

PROBLEMAS DE CASO. 4es un modelo de un problema de decisión que se analiza ensayando una serie de casos con diversas alternativas o distintas hipótesis.

LOS MODELOS DE ANÁLISIS DE DECISIONES. Incorporan la aplicación de probabilidades para tomar decisiones en condiciones inciertas.

PROBLEMAS COMPLEJOS. Muchos problemas de decisión implican gran número de factores o de variables importantes, o pueden considerar muchas alternativas.

MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Y ENTERA. Son técnicas que más se usan para resolver los problemas empresariales grandes y complejos de este tipo.

LA SIMULACIÓN. Es una técnica para modelizar sistemas grandes y complejos que representan incertidumbre.

PROBLEMAS DINÁMICOS. De decisión comprenden un tipo de complejidad especial.

LOS MODELOS DE INVENTARIOS. Para determinar cuándo pedir y cuantas existencias se deben almacenar; los modelos PERT O RUTA CRÍTICA para la programación de proyectos.

LOS MODELOS DE ESPERA O DE COLAS. Para problemas que implican as colas de espera. concernientes a la operación de sistemas.

LOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA. Consisten en problemas dinámicos más generales.

LOS MODELOS DE PROCESOS DE MARKOV. Son utilices para estudiar la evolución de ciertos sistemas a lo largo de ensayos repetidos.

Estos son métodos usados por los profesionales para la toma de decisiones de una empresa.

5. MÉTODOS CUANTITATIVOS Y MÉTODOS CUALITATIVOS.

LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS.

Es la ciencia de la decisión, ciencia de la dirección o investigación de operaciones, problemas empresariales.

3


Este puede tratar de manera eficaz los aspectos mensurables del problema de decisión.

El análisis cuantitativo comienza en vez que el problema se ha estructurado. Por lo general, para transformar una descripción más bien general de un problema en un problema bien definido que puede abordarse por medio del análisis cuantitativo se requiere imaginación, trabajo de equipo y un esfuerzo considerable.

Cuando el analista cuantitativo y el administrador acuerdan que el problema se ha estructurado adecuadamente, puede comenzarse el trabajo de elaborar un modelo para representar el problema en forma matemática, es entonces cuando pueden emplearse procedimientos de solución para encontrar la mejor solución para el modelo.

El proceso de elaborar y solucionar modelos es la esencia del proceso del análisis cuantitativo.

o DESARROLLO DE MODELOS.

Los modelos que representan objetos o situaciones reales pueden presentarse en varias formas, como modelos icónicos.

Una segunda incluye modelos físicos, pero no tienen la mima apariencia que el objeto modelado estos se conocen como modelos analógicos.

Una tercera es el que se representa por un sistema de símbolos y relaciones o expresiones matemáticas que se conocen como modelos matemáticos.

El propósito o valor de cualquier modelo es que permite hacer inferencias acerca de la situación real al estudiar y analizar el modelo.

Los modelos también tienen la ventaja de reducir el riesgo asociaos con la experiencia con la situación real.

o PREPARACIÓN DE DATOS.

Una etapa importante en el análisis cuantitativo de un problema es la preparación de los datos requeridos por el modelo. En este sentido, los datos se refieren a los valores de las entradas incontrolables para el modelo. Todas las entradas o datos incontrolables deben especificarse antes de que podamos analizar el modelo y recomendar una de decisión o solución para el problema.

Es necesaria una base de datos bastante grande para apoyar al modelo matemático y especialistas en sistemas de información que también participan en el paso de preparación de datos.

o SOLUCIÓN DEL MODELO.

4


En esta etapa el analista intentara identificar los valores de las variables de decisión que proporciona la mejor salida del modelo. El valor o valores específicos de la variable de decisión que proporciona la mejor salida se conoce como la salida optima. Tanto el analista cuantitativo como el gerente estarán interesados en determinar que tan buena es la solución en realidad.

o GENERACIÓN DE REPORTES.

Una parte importante del proceso de análisis cuantitativo es la preparación de reportes gerenciales basados en la solución del modelo la solución de un problema basada en el análisis cuantitativo es una de las entradas que se considera el gerente ante de tomas una decisión final. Por tanto, los resultados del modelo deben aparecer en un reporte gerencial que pueda comprender fácilmente quien tome las decisiones. El reporte incluye la decisión recomendada y otra información pertinente acerca de los resultados que pueda ser útil para el tomador de decisiones.

Respecto a la importancia el gerente es responsable de integrar la solución cuantitativa con consideraciones cualitativas para la mejor toma de decisión posible.

LOS MÉTODOS CUALITATIVOS.

Son términos monetarios trata de decisiones que afectan la moral o el liderazgo, estas necesitan contar con un modelo intuitivo.

Muchas decisiones empresariales, en particular las más importantes, comprenden algunas variables que son de naturaleza cualitativa, más que cuantitativa. Por ejemplo, las decisiones importantes pueden afectar la moral o el liderazgo en una organización o pueden alterar el empleo, las acciones positivas, la contaminación u otras áreas de responsabilidad social. Muchos de estos factores no pueden expresarse en términos monetarios.

Primero hay dos actitudes externas que deben evitarse. Una es omitir los factores cualitativos, con el argumento de que los factores que no pueden medirse no son importantes. El otro externo seria afirmar que los modelos cuantitativos no tienen valor, ya que solo los factores cualitativos son importantes.

Un método más sensato es aceptar la idea de que el modelo cuantitativo puede tratar de manera eficaz los aspectos mensurables del problema de decisión, y que el decisor también deberá contar con un modelo intuitivo que considere las variables cualitativas. El director deberá hallar un equilibrio adecuado entre los factores cualitativos y los cuantitativos.

6. NATURALEZA DE LOS MÉTODOS CUALITATIVOS.

5


Como se sabe los métodos cuantitativos son una disciplina que intenta ayudar en la toma de decisiones mediante la aplicación de un enfoque científico a problemas administrativos que involucran factores cuantitativos.

Aunque tiene raíces mucho más antiguas, el rápido desarrollo de la disciplina comenzó en las décadas de 1940 y 1950 a principios de la segunda guerra mundial, cuando gran número de científicos aplicaron un enfoque científico a la administración del esfuerzo bélico para los alados.

Otro acontecimiento hito fue en 1947 del método simplex por GEORGE DANTIZG para resolver problemas de programación lineal, otro factor que impulso el crecimiento de la disciplina fue la revolución de la computación.

Una sociedad de EE.UU. estableció el INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN con 12000 miembros de dicada al estudio de investigación de operaciones.

La investigación de operaciones y métodos cuantitativos IO/MC es una verdadera disciplina internacional.

Tanto Europa como Asia tienen federaciones de sociedades de investigación de operaciones para considerar las conferencias internacionales y la publicación en revistas internacionales entre continentes.

ALGUNAS APLICACIONES CLÁSICAS GANADORES DE PREMIOS DE MÉTODOS CUANTITATIVOS.

ORGANIZACIÓNNATURALEZA

Y APLICACIÓN

NUMERO DE

INTERFACE

CAPACIDAD DE

CANTIDAD ESTUDIADA

AHORRO ANUALES

UNITED AIRLINES

Programación de turnos de trabajo

en oficinas de reservas para

cubrir las necesidades a un

costo mínimo.

Enero - Febrero 1986

2,3,13,14 $6 millones

CITGO PETROLEON

CORPORATION

Optimización de operaciones de

refinería y suministro,

distribución y comercialización

de productos.

Enero – Febrero 1987

2,3,6$70

millones.

SAN FRANCISCO Optimización de Enero – 8 $11

6


PÓLICE DEPARTAMENT

turnos y despliegue de oficiales de

carros patrulleros con un sistema computarizado.

Febrero 1989 millones

HORMART DEVELOPMEN CO.

Programación optima de las

ventas de centros comerciales y edificios de

oficinas.


9$40

millones

AT&T

Optimización de selección d sitios para centros de tele mercados para clientes

AT&T.


9∆en ventas

de $406 millones

AMOCO OIL CO.

Definición y evaluación de

nuevas estrategia para

comercialización de los nuevos

productos de la compañía.

Diciembre 1982

10$10

millones

U.S. POSTAL SERVICE

Realización de análisis técnico y

económico de opciones para la automatización

postal.

Marzo - Abril1987Enero –

Febrero 1992

10,15 $200

millones

STANDARD BRANDS INC.

Control de inventario de

productos terminados

Diciembre 1981

11 $3.8

millones

IBM

Integra una red nacional de inv., de refacciones

para mejorar el apoyo al servicio.

Enero - Febrero 1990

12

$20 millones +

$250 millones-

de inv.

HIDROELÉCTRICA ESPAÑOLA

Aplicación de pronósticos

estadísticos para administración de

un sistema de presas usado para generar

energía.


13 $2 millones

XEROX CORP. Modificación Noviembre 14 50% mejor.

7


para reparar maquinas de

clientes y reducir costos

1975

7. OPTIMIZACIÓN E INVESTIGACIÓN OPERATIVA.

LA OPTIMIZACIÓN.

Es la busque de la mejor solución entre las posibles a un problema determinado.

Para poder determinar cuál es la decisión optima, dadas las restricciones y siempre que la naturaleza del problema a resolverlo permita, es conveniente formularlo en términos matemáticos.

La optimización matemática es una herramienta que permite establecer ciertos resultaos y resolver determinados problemas.

LA INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA.

La Investigación Operativa aborda los problemas de optimización, también enfatizan los aspectos del moldeamiento que son de gran importancia.

La Investigación Operativa se define como la aplicación de métodos científicos a la administración y gestión de organizaciones militares, gubernamentales, comerciales e industriales, se resume como:

“CIENCIA DE LA TOMA DE DECISIONES”

Una de las disciplinas principales de la I.O., es la programación matemática. El problema básico que se trata aquí es el de encontrar el mejor valor de alguna medida de desempleo (función objetivo), siempre que las variables de decisión involucradas cumplen adicionalmente ciertas condiciones o restricciones y de esta manera desarrolla el termino problema que se tenga.

La Investigación Operativa se usa según la metodología que se aplica para enfrentar una situación particular con el enfoque de Investigación Operativa.

Un marco general puede ser el descrito por las actividades que son:

“DEFINICIÓN DEL PROBLEMA”Mediante una identificación y comprensión de manera que pueda expresarlo de manera precisa.

“CONSTRUCCIÓN DEL MODELO”

Este a menudo identificado variables de decisión, un objetivo matemático, y limitaciones.

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“RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA”

Cuando una técnica se encuentra una técnica de administración apropiada.

“VALIDACIÓN DEL MÉTODO”Cuando la intuición y la experiencia sirven para determinar la solución optima del modelo tiene sentido y pueda llevarse a cabo.

“PONER EN PRACTICA Y SUPERVISAR LA EVOLUCIÓN”

Es muy importante verificar los resultados y soluciones para que se puedan transformar en herramientas de apoyo a la toma de decisiones en la organización.

8. OPTIMIZACIÓN Y MÉTODOS CUANTITATIVOS.

Para determinar cuál es la alternativa óptima, (¿Qué produce el mejor valor?), se usara de métodos cuantitativos como:

PROGRAMACIÓN LINEAL MODELOS DE SIMULACIÓNPROGRAMACIÓN DE PROYECTOS PERT

ANÁLISIS DE DECISIONES

MODELOS DE INVENTAROS PROGRAMACIÓN DE METAS

MODELOS DE COLASPROCESO DE JERARQUÍA ANALÍTICA

MODELOS MARKOV PRONOSTICO

Estos son los utilizados con mayor frecuencia por los profesionales que necesitan de estos métodos.

9. MÉTODOS CUANTITATIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESA.

Los métodos cuantitativos nos ayudan para la toma de decisiones en la empresa, proceso por medio del cual la gerencia al enfrentarse a un problema, selecciona un curso de acción específico o solución de un conjunto de alternativas.

Puesto que por lo general hay incertidumbre con respecto al futuro no es posible estar seguro de las decisiones que se tome y tampoco se puede asegurar que la decisión que se elija produzca los mejores resultados.

Un método general para que puedan utilizarlo os directivos de una empresa cuando se enfrentan a problemas de decisiones los métodos cuantitativos.

10. ANÁLISIS CUANTITATIVO Y LA TOMA DE DECISIONES.

Los métodos cuantitativos son particularmente útiles con problemas grandes y complejos, actividades que forman el proceso de toma de decisiones pueden adoptar dos formas básicas cuantitativas y cualitativas, el análisis cuantitativo basado en la investigación y el cualitativo más intuitivo “sentimiento”.

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LA FUNCIÓN DE L ANÁLISIS CUANTITATIVO Y CUALITATIVO DEL PROCESO DE TOMA DE DECISIONES.

ANALIZAR EL PROBLEMA

11. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS.

Una vez que el decisor selecciona los factores decisivos o variables de la situación, estos se combinan de manera lógica para que formen un modelo del problema real.

El objetivo del decidor es la búsqueda del modelo más sencillo que pronostique los resultados con precisión razonable y que será consistente con la acción efectiva.

La calidad de un modelo, esto es cuán bien representa este la realidad, que depende de la percepción, creatividad, intuitivo, conocimiento e imaginación del modelador.

Las variables que intervienen en un modelo pueden ser:

VARIABLES DE DECISIÓN O ENDÓGENAS.

Representan las decisiones cuantificables abordables por el estudio, cuyos valores se intentan determinar por medio de la solución del modelo.

VARIABLES EXÓGENAS O PARÁMETROS.

Representan aquellas decisiones que son o han sido tomadas fuera del ámbito del sistema considerado, desde el punto de vista del modelo, estas variables son datos que pueden tener comportamiento aleatorio deterministico.

VARIABLES DE ESTADO.

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ESTRUCTURA DEL PROBLEMA

DEFINIR EL PROBLEMA

IDENTIFICAR LAS ALTERNATIVAS

DETERMINAR LOS CRITERIOS

ANÁLISIS CUALITATIVO

ANÁLISIS CUANTITATIVO

RESUMEN Y EVALUACIÓN

TOMA DE DECISIÓN


Son variables que caracterizan la situación en que se encuentra el sistema en un instante dado y su valor dependiente de las variables de decisión y de los parámetros.

De esta forma, resolver un modelo implica intentar determinar el valor de las variables de decisión de este modo que se cumplan las restricciones y que se obtengan el mejor valor posible, es decir que se optimice la función objetivo.

Los modelos que se optimizan la función objetivo se denominan modelos de programación matemática u optimización.

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UN

IDA

DE

S D

EL

PR

OD

UC

TO

B


TEMA Nº 2FUNCIONES, REGIONES Y OPTIMIZACIÓN

1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.

Una función define explícitamente al dominio y a rango, donde el dominio es una variable independiente que se llama función explicita, y una variable dependiente que se llama implícita. Por ejemplo:

EXPLICITA IMPLÍCITAY = f(x) = x3+3x2+6x-4 3x2+3xy+4=0

REGIÓN.

Es el conjunto de puntos factibles con todas las restricciones también denominada región factible.

El punto óptimo siempre estará en un vértice de la región factible.

OPTIMIZACIÓN.

Optimización es hallar la mejor solución entre las posibles a un determinado problema.

En el siguiente grafico se verá las funciones de beneficio, la región factible y la solución optima. X2

E

F* D

A C X1

2. CONJUNTO.

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REGIÓN FACTIBLE

UNIDADES DEL PRODUCTO A


Un conjunto es una colección bien definida de objetos, a los que se les llama elementos.

A los conjuntos se les denota que medio del siguiente tipo de paréntesis {}, dentro del cual se listan todos los elementos.

Por ejemplo, si P es el conjunto de los primeros seis números primos se tiene:

P= {1, 2, 3, 5, 7,11}

Cuando dos conjuntos son iguales A Y B:

A= {1, 2,3} B= {3, 1,2}

Cuando dos conjuntos son diferentes A≠B

A= {5, 6,9} B= {3, 4,2}

Cuando un conjunto es vacio, que no tienen elementos se denota por ø

Ø= {}

En el algebra de conjuntos se tiene las siguientes propiedades:

IDE POTENTES:

CONMUTATIVA:

ASOCIATIVA:

DISTRIBUTIVAS:

DUALES: A

PRODUCTO CARTESIANO.

El producto cartesiano se define como una pareja, al conjunto que consiste de dos elementos. Ejemplo:

AxB= {(X, Y) |XєA, YєB}

PRODUCTO CARTESIANO

GRÁFICAMENTE:Y є B

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X (X, Y)

Y

X є A

3. RELACIONES Y FUNCIONES.

Una relación es un conjunto de parte ordenados, es decir cualquier subconjunto del producto cartesiano AxB se define una relación entre los elementos de A y los elementos de B.

Al conjunto A se le llama dominio de la relación, mientras que a B se le llama el rango de la relación, por ejemplo, sean:

A = {1, 2, 3}

B= {X, Y}

ENTONCES:

AxB= {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}

Una función es una relación entre dos conjuntos A y B tal que por cada elemento x del dominio A se le asigna uno y solo un elemento Y del rango B.

Se expresa a una función por:

y= f(x)

GRÁFICAMENTE

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A Bf(x)

regla que asocia

a y con x

DOMINIO RANGO

X Y


4. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si a un elemento X del dominio A, se le aplica una función f(x), para obtener un elemento Y del rango B, y si al elemento Y, se le aplica otra función g (y) para obtener otro elemento Z en otro rango C, entonces se tiene una composición de funciones que asocia el elemento Z con el elemento X de la siguiente forma:

g(f(x))

f(x) g(x)

A C

B

5. GRAFICA DE FUNCIONES.

Dada una función de una o dos variables, se le puede graficar.

En efecto, si y=f(x), se construye dos ejes perpendiculares, uno de los cuales mide el valor de la variable independiente, y otro el de la variable dependiente. Al primer eje se le conoce como abscisa, mientras que el segundo eje como ordenada. Por ejemplo:

y=f(x)=2xGráficamente, esta función se puede representar de la siguiente manera:

Y y=f(x)=2xx y= 2x

0123

2(0)=02(1)=12(2)=42(3)=6

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y

x z

4

2

1 2


(2, 4)

(1,2)

x 6. CONJUNTOS CONVEXOS.

Dados los vectores x1, x2,…,xk є Rn se dice que el vector y es una combinación lineal convexa de x1, x2,…,xk si:

DEFINICIÓN 1

Un subconjunto S de Rn diremos que es convexo si para cada par de puntos

y todo se verifica que . Es decir si

llamamos segmento de extremos al conjunto:

DEFINICIÓN 2

Dado un conjunto de elementos de Rn se dice que con:

Es una combinación lineal de los elementos de M si x1єR i=1…m.

Combinación lineal no negativa de los elementos de M si x1≥0 i=1…m.

DEFINICIÓN 3

Sea S un subconjunto arbitrario de Rn se denomina cierre convexo de S, al conjunto H(S) formado por todas las combinaciones lineales convexas de elementos de S.

7. FUNCIONES CÓNCAVAS Y CONVEXAS.

DEFINICIÓN 4.

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Sea M un subconjunto convexo y no vacío de Rn y f una función definida de M en R. entonces se dice que:

i) la función es convexa en M si y solo si para cualquier y para todo

se verifica.

ii) la función es cóncava en M si solo si para cualquier y para todo

se verifica:

iii) la función es estrictamente convexa en M si solo si para cualquier

con y todo se verifica que:

iv) la función e estrictamente cóncava en M si solo si para cualquier

con y todo se verifica que:

PROPOSICIÓN.

Sea h(x)=(gnf)(x) con fMRn|y,g| cRR siendo M un conjunto convexo de Rn є F un intervalo de R. entonces se tiene que:

i)

ii) si f es convexa y g es decreciente y cóncava, la función h es cóncava.iii) si f es cóncava y g es decreciente y convexa, la función h es convexa.iv) s f es cóncava y g es creciente y cóncava, la función h es cóncava.

Gráficamente se tiene:

x

x

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CONVEXA CÓNCAVA

8. CONVEXIDAD DE CONJUNTOS Y FUNCIONES.

El análisis de la convexidad de conjuntos y de algunos tipos de convexidad o concavidad de funciones estos van a desempeñar como instrumento en la teoría de la optimización matemática hace que se estudie.

Se comienza introduciendo los conjuntos con objeto de facilitar el estudio de este tipo en funciones se introducen condiciones necesarias, validas para funciones C1 o C2, es decir con derivadas parciales primeras o segundas continuas, se establecen condiciones más operativas para determinar el carácter de convexidad o concavidad de una función.

Las funciones se pueden caracterizar a través de la convexidad de ciertos conjuntos relacionados con los conjuntos de soluciones factibles de los programa matemáticos.

9. FUNCIÓN OBJETIVO, RESTRICCIONES, CONDICIONES DE EXISTENCIA.

Los modelos de programación lineal, los modelos matemáticos se forman de la siguiente manera:

CONDICIONES DE OPTIMIZACIÓN.

Corresponde a establecer si el modelo será de maximización o minimización. Esto depende de los objetivos perseguidos.

FUNCIÓN OBJETIVO.

Es el criterio que orientara las decisiones y está representada por la función escalar f(x1,…,xn) generalmente esta función representa beneficios, costos, ingresos, etc.

RESTRICCIONES.

Cada una de ellas corresponde a una limitación del sistema que se incorporada a modelo y se representan por medio de las funciones escalares g(x1,…,xn) i=1…M. a modo de ejemplo: espacio máximo disponible, cantidad mínima de producto requerid, presupuesto disponible, etc.

VARIABLES DE DECISIÓN.

Los elementos que representan matemáticamente las decisiones que se desea apoyar son las variables o incógnitas del modelo y se denota por (x1,…,xn). Ellas corresponden, por ejemplo, a la cantidad de producto por fabricar, numero de equipos por reemplazar, si una ciudad es visitada o no, etc.

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TEMA Nº 3

OPTIMIZACIÓN LINEAL

1. MODELAMIENTO.

El modelamiento es un proceso propio de los seres humanos. Mediante este proceso el individuo, de acuerdo a su experiencia y conocimiento, define una representación de un fenómeno o situación. Nosotros entendemos y explicamos nuestras acciones por medio de la construcción de modelos.

Un modelo es una herramienta que permite estudia fenómenos o situaciones que son observables, capturando los aspectos más importantes y presentándolos de manera de facilitar su interpretación y compresión.

El modelamiento con lleva tres conceptos importantes de ser destacados:

Interpretación individual. Ámbito de interpretación. Representaciones del fenómeno.

Respecto a la interpretación individual, debe observarse que el modelo es fruto de la experiencia del individuo de su conocimiento.

Uno de los aspectos relevantes en la concepción de un modelo corresponde a la definición del ámbito de interpretación, por ello se entenderá la definición de lo que es relevante y lo que no lo es. Este proceso es conocido con el nombre de abstracción, y depende de los objetivos perseguidos con el modelo.

Finalmente, la representación del fenómeno corresponde a la transformación de elementos y relaciones seleccionados mediante el proceso de abstracción en otros elementos y procedimientos reglas que permiten estructurar el modelo.

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El amplio espectro que abarca el modelamiento, desde modelos sociales, filosóficos hasta matemáticos, hace difícil el desarrollo de metodologías generales para la construcción de modelos.

En optimización lineal se considera los modelos matemáticos que pueden ser utilizados como apoyo a la toma de decisiones en la gestión de diversas organizaciones.

2. RESOLUCIÓN Y ANÁLISIS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Existe una amplia gama de problemas que pueden formularse como modelos de programación lineal, pueden ser muy grandes y complejos, para los cuales se emplea métodos de computación.

Las soluciones de los problemas de programación lineal ofrecen muchos detalles y para comprender plenamente las soluciones, es necesario conocer algo acerca del proceso de resolución y los conceptos útiles que los gerentes pueden obtener de estas soluciones.

SOLUCIÓN GRAFICA.

Se puede resolver un problema sencillo en forma grafica, ya que los problemas de mayor dimensión tienen soluciones semejantes.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.

Para las restricciones también es importante que el gerente comprenda cuan sensible es la solución a los cambios en las suposiciones y a los factores exógenos.

PRECIO DUAL.

Valor marginal o precio sombra es el cambio incremental en los benéficos por cambio unitario en el termino independiente de una restricción.

COSTOS REDUCIDOS.

Precios duales para restricciones de no negatividad, los valores marginales de bien introducirse en la solución una unidad de una variable de decisión.

Evaluación de nuevos productos se realizaran una evaluación de costos de oportunidad este se halla:

PRECIO DUAL * UNIDADES REQUERIDAS

Si el costo de oportunidad es < que el benéfico por unidad del nuevo producto, entonces este es rentable y debe incluirse caso contrario no debe fabricarse el producto.

COEFICIENTE DE LA FUNCIÓN OBJETIVO.

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Un gerente puede interesarse por lo que puede suceder con la solución de un problema de programación lineal si cambia de los coeficientes de la función objetivo.

Hay varios programas de computación para la resolución de problemas de programación lineal, incluyendo los existente en las hojas de cálculo, (Excel, Lindo, Lingo, WinQSB, etc.)

3. OPTIMIZACIÓN LINEAL.

los modelos de optimización lineal son importantes porque captan la esencia de muchas situaciones de administración decisivas.

Existen técnicas de busque da muy eficiente para optimar los modelos lineales restringidas. Por razones históricas, a los modelos lineales restringíos se les llama programas lineales (PL).

No obstante, la flexibilidad de las hojas de cálculo electrónicas exigen que se preste atención al modelo PL, antes de proceder con los detalles del proceso de optimización propiamente dicho.

Un modelo de optimización lineal toma la forma de una medida de desempeño que se optimizara a través de una gama de valores factibles de las variables de decisión.

4. APLICACIÓN DE SOFTWARE.

APLICACIÓN CLÁSICA DE MEZCLA DE PRODUCTOS.

Pandina Ltda., exporta 3 productos de chanco:

o Airtex (material esponjoso)o Extendex (material elástico)o Resistex (material rígido)

Los productos requieren los mismos 3 polímeros químicos y una base la cantidad de cada ingrediente usada por libra del producto final se muestra en la siguiente tabla.

PRODUCTO INGREDIENTES EN ONZAS/LIBRA DE PRODUCTOPOLÍMERO

APOLÍMERO

BPOLÍMERO

CBASE

AIRTEX 4 2 4 6EXTENDEX 3 2 2 9RESISTEX 6 3 5 2

Pandina Ltda., tiene compromisos de exportación de la menos 1000 lb., de Airtex, 500 lb., de Extendex y 400 lb., de Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la compañía sabe que puede vender más de cada uno de los 3 productos. Los inventarios actuales de los ingredientes son 500 lb., del polímero A, 425 lb., del polímero B, 650 lb., del polímero C y 1100 lb., de la

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base. Cada libra de Airtex genera a la compañía una ganancia de 7 $, cada libra de Extendex una ganancia de 7 $, y cada libra de Resistex una ganancia de 6 $, como gerencia usted necesita determinar un plan óptimo para esta semana.

SOLUCIÓN.

I) V.D.AIR: Cantidad a producir de Airtex en libras semanalmente.EXT.: Cantidad a producir de Extendex en libras semanalmente.RES: Cantidad a producir de Resistex en libras semanalmente.

II) F.O.

MAX Z= 7 AIR + 7 EXT. + 6 RES

III) RESTRICCIONES.

AIR>1000EXT.>500RES>4004 AIR + 3 EXT. + 6 RES < 80002 AIR + 2 EXT. + 8 RES < 68004 AIR + 2 EXT. + 5 RES < 104006 AIR + 9 EXT. + 2 RES < 17600

IV) C.E.

AIR, EXT., RES ≥ 0

LINDO

MAX 7 AIR + 7 EXT. + 6 RESS.T.AIR>1000EXT.>500RES>4004 AIR + 3 EXT. + 6 RES < 80002 AIR + 2 EXT. + 8 RES < 68004 AIR + 2 EXT. + 5 RES < 104006 AIR + 9 EXT. + 2 RES < 17600END

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 13133.33

22


VARIABLE VALUE REDUCED COST AIR 1000.000000 0.000000 EXT. 533.333313 0.000000 RES 400.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -2.333333 3) 33.333332 0.000000 4) 0.000000 -8.000000 5) 0.000000 2.333333 6) 533.333313 0.000000 7) 3333.333252 0.000000 8) 6000.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 4

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE AIR 7.000000 2.333333 INFINITY EXT. 7.000000 INFINITY 1.750000 RES 6.000000 8.000000 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1000.000000 24.999998 799.999939 3 500.000000 33.333332 INFINITY 4 400.000000 16.666666 375.000000 5 8000.000000 799.999939 99.999992 6 6800.000000 INFINITY 533.333313 7 10400.000000 INFINITY 3333.333252 8 17600.000000 INFINITY 6000.000000

23


APLICACIÓN EN EL SECTOR HIDROCARBUROS.Se obtiene dos tipos de gasolina mezclando ciertos gasolinas que se obtiene de las operaciones de refinería en un proceso de refinamiento real hay varias gasolinas que son para la producción final. (Por ejemplo distintos gados de gasolina para acción e gasolina de motores), y varias características de importancia para la composición química de los diversos grados de gasolina (por ejemplo el octanaje, presión de vapor, contenido de azufre, contenido de goma), en este ejemplo simplificado se supondrá que la refinería solo tiene 2 tipos de gasolina para la mezcla, con las características que se presenta en la TABLA 1, estas gasolinas para la mezcla pueden combinarse para obtener dos productos finales: gasolina para aviación y gasolina para motores.

En la TABLA 2 se presenta las características que requieren estos productos finales, la empresa desea maximizar los ingresos de la venta de gasolina que se obtiene como producción final.

TABLA 1MÉTODO

DISPONIBLEOCTANAJE

PRESIÓN DE VAPOR

CANTIDAD DISPONIBLE

Gasolina para la mezcla tipo 1

104 5 30000 Barriles

Gasolina para la mezcla tipo 2

94 9 70000 Barriles.

TABLA 2

PRODUCTOS FINALES

OCTANAJE MÍNIMO

PRESIÓN DE

VAPOR MÁXIMO

VENTAS MÁXIMAS

PRECIO DE

VENTA POR

BARRILGasolina para

aviones102 6 20000 45.10

Gasolina para 96 8 CUALQUIER 32.40

24


motores CANTIDAD

I) V.D.

MTP1A: Numero de Barriles de Gasolina para la Mezcla 1 Utilizando Gasolina de Aviación.MTP2A: Numero de Barriles de Gasolina para la Mezcla 2 Utilizando Gasolina de Aviación.MTP3M: Numero de Barriles de Gasolina para la Mezcla 1 Utilizando Gasolina para Motores.MTP4M: Numero de Barriles de Gasolina para la Mezcla 1 Utilizando Gasolina para Motores.

II) F.O.

MAX Z= 45.10 MTP1A + 45.10 MTP2A + 62.40 MTP3M + 32.40 MTP4M

III) RESTRICCIONES.

MTP1A + MTP2A < 20000MTP1A + MTP3M < 30000 MTP2A + MTP4M < 700002 MTP1A + 8 MTP2A > 08 MTP3M + 2MTP4M > 03 MTP2A – MTP1A < 0MPT4M – MTP3M <0

IV) C.E.

MTP1A, MTP2A, MTP3M, MTP4M ≥ 0

LINDOLP OPTIMUM FOUND AT STEP 5


1) 3240000.

VARIABLE VALUE REDUCED COST MTP1A 0.000000 0.000000 MTP2A 0.000000 0.000000 MTP3M 30000.000000 0.000000 MTP4M 70000.000000 0.000000 MPT3M 23333.333984 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 20000.000000 0.000000 3) 0.000000 32.400002 4) 0.000000 32.400002 5) 0.000000 -25.400000

25


6) 100000.000000 0.000000 7) 0.000000 63.500000 8) 0.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 5


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE MTP1A 45.099998 INFINITY 15.875000 MTP2A 45.099998 INFINITY 50.799999 MTP3M 32.400002 15.875000 32.400002 MTP4M 32.400002 50.799999 32.400002 MPT3M 0.000000 152.399994 0.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 20000.000000 INFINITY 20000.000000 3 30000.000000 INFINITY 12500.000000 4 70000.000000 50000.000000 70000.000000 5 0.000000 0.000000 9090.909180 6 0.000000 100000.000000 INFINITY 7 0.000000 3333.333252 0.000000 8 0.000000 INFINITY 70000.000000

26


APLICACIÓN EN PROBLEMAS DE TRANSPORTE.Un fabricante de jabón y detergentes tiene 3 plantas, localizadas en Cincinnati, Denver, Atlanta. Los almacenes principales se encuentran en New York, Boston, Chicago, Los Ángeles y Dallas.

En el cuadro 1 se proporciona los requerimientos de ventas de próximos año para cada almacén.

En la compañía es necesario determinar cuál de las fábricas debe abastecer a cada almacén. La capacidad de las fábricas están limitadas. Cincinnati tiene capacidad anual para 100000 cajas, Denver para 60000 cajas y Atlanta para 50000 cajas

En el cuadro 2 se muestra el costo de envío de jabón de las diferentes fábricas a los almacenes, la compañía quiere determinar un programa de entrega que minimice los costo totales de transporte de la compañía.

Es importante considerar que las fabricas no excedan sus capacidades de producción de esta manera la fábrica de Cincinnati tiene una capacidad de producir 100000cajas, la de Denver 60000 cajas y la de Atlanta 50000 cajas.

CUADRO 1REQUERIMIENTO DE ALMACÉN

UBICACIÓN DEL ALMACÉNVENTAS ANUALES MILES DE

CAJASNEW YORK

BOSTONCHICAGO

LOS ÁNGELESDALLAS

5010603020

CUADRO 2

27


COSTOS DE ENVIÓ DE 1000 CAJAS DE JABÓN ADE

NEW YORK

BOSTON CHICAGOLOS

ÁNGELESDALLAS

CINCINNATIDENVER

ATLANTA

120210150

150220170

80150150

250100240

180110200

I) V.D.

CNY: Nuero de cajas enviados de la fábrica de Cincinnati a New York en miles de cajas.CBO: Número de cajas enviados de la fábrica de Cincinnati a Boston en miles de cajas.CCH: Número de cajas enviados de la fábrica de Cincinnati a Chicago en miles de cajas.CLA: Número de cajas enviados de la fábrica de Cincinnati a Los Ángeles en miles de cajas.CDA: Número de cajas enviados de la fábrica de Cincinnati a Dallas en miles de cajas.DNY: Número de cajas enviados de la fábrica de Denver a New York en miles de cajas.DBO: Número de cajas enviados de la fábrica de Denver a Boston en miles de cajas.DCH: Número de cajas enviados de la fábrica de Denver a Chicago en miles de cajas.DLA: Número de cajas enviados de la fábrica de Denver a Los Ángeles en miles de cajas.DDA: Número de cajas enviados de la fábrica de Denver a Dallas en miles de cajas.ANY: Número de cajas enviados de la fábrica de Atlanta a New York en miles de cajas.ABO: Número de cajas enviados de la fábrica de Atlanta a Boston en miles de cajas.ACH: Número de cajas enviados de la fábrica de Atlanta a Chicago en miles de cajas.ALA: Número de cajas enviados de la fábrica de Atlanta a Los Ángeles en miles de cajas.ADA: Número de cajas enviados de la fábrica de Atlanta a Dallas en miles de cajas.

II) F.O.

MIN Z = 120 CNY + 150 CBO + 80 CCH + 250 CLA +180 CDA + 210 DNY + 220 DBO + 150 DCH + 100 DLA + 110 DDA + 150 ANY + 170 ABO + 150 ACH + 240 ALA + 200 ADA

III) RESTRICCIONES.

CNY + DNY + ANY = 50CBO + DBO + ABO = 10

28


CCH + DCH + ACH = 60CLA + DLA + ALA = 30CDA + DDA + ADA = 20CNY + CBO + CCH + CLA + CDA < 100DNY + DBO + DCH + DLA + DDA < 60ANY + ABO + ACH + ALA + ADA < 50

IV) C.E.

CNY, CBO, CCH, CDA, DNY, DBO, DCH, DLA, DDA, ANY, ABO, ACH, ALA, ADA ≥ 0

LINDO



1) 18000.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST CNY 40.000000 0.000000 CBO 0.000000 10.000000 CCH 60.000000 0.000000 CLA 0.000000 180.000000 CDA 0.000000 100.000000 DNY 0.000000 60.000000 DBO 0.000000 50.000000 DCH 0.000000 40.000000 DLA 30.000000 0.000000 DDA 20.000000 0.000000 ANY 10.000000 0.000000 ABO 10.000000 0.000000 ACH 0.000000 40.000000 ALA 0.000000 140.000000 ADA 0.000000 90.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -150.000000 3) 0.000000 -170.000000 4) 0.000000 -110.000000 5) 0.000000 -100.000000 6) 0.000000 -110.000000 7) 0.000000 30.000000 8) 10.000000 0.000000

29


9) 30.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 7


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE CNY 120.000000 10.000000 40.000000 CBO 150.000000 INFINITY 10.000000 CCH 80.000000 40.000000 INFINITY CLA 250.000000 INFINITY 180.000000 CDA 180.000000 INFINITY 100.000000 DNY 210.000000 INFINITY 60.000000 DBO 220.000000 INFINITY 50.000000 DCH 150.000000 INFINITY 40.000000 DLA 100.000000 140.000000 INFINITY DDA 110.000000 90.000000 INFINITY ANY 150.000000 40.000000 10.000000 ABO 170.000000 10.000000 INFINITY ACH 150.000000 INFINITY 40.000000 ALA 240.000000 INFINITY 140.000000 ADA 200.000000 INFINITY 90.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 30.000000 10.000000 3 10.000000 30.000000 10.000000 4 60.000000 30.000000 10.000000 5 30.000000 10.000000 30.000000 6 20.000000 10.000000 20.000000 7 100.000000 10.000000 30.000000 8 60.000000 INFINITY 10.000000 9 50.000000 INFINITY 30.000000

30


APLICACIÓN EN ASIGNACIÓN DE PROYECTOS EN EL SECTOR PÚBLICO.

El gobierno municipal de Oruro tiene tre proyectos diferentes de construcción de caminos aprovados en el POA. El gobierno municipal tiene el problema de determinar que contratista llevara a cabo los proyectos. Se asume que cada contratista llegara asignado a un proyecto. Existen cotizaciones por 3 empresas locales; ver en la tabla 1.

COTIZACIONES DE LAS EMPRESAS PARA LA REALIZACIÓN DEL PROYECTO

PROYECTO 1 PROYECTO 2 PROYECTO 3EMPRESA 1EMPRESA 2EMPRESA 3

$ 28$ 36$38

$32$28$34

$ 36$ 30$ 40

I) V.D.

CAPA: Contratista A lleva a cabo el Proyecto ACAPB: Contratista A lleva a cabo el Proyecto BCAPC: Contratista A lleva a cabo el Proyecto CCBPA: Contratista B lleva a cabo el Proyecto ACBPB: Contratista B lleva a cabo el Proyecto BCBPC: Contratista C lleva a cabo el Proyecto CCCPA: Contratista C lleva a cabo el Proyecto ACCPB: Contratista C lleva a cabo el Proyecto BCCPC: Contratista C lleva a cabo el Proyecto C

II) F.O.

MIN C = 28 CAPA + 32 CAPB + 36 CAPC + 36 CBPA + 28 CBPB + 30 CBPC + 28 CCPA + 34 CCPB + 40 CCPC

31


III) RESTRICCIONES.

CAPA + CAPB + CAPC = 1CBPA + CBPB + CBPC = 1CCPA + CCPB + CCPC = 1CAPA + CAPB + CAPC = 1CBPA + CBPB + CBPC = 1CCPA + CCPB + CCPC = 1

IV) C.E.

CAPA, CAPB, CAPC, CBPA, CBPB, CBPC, CCPA, CCPB, CCPC ≥ 0

LINDO

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 84.00000

VARIABLE VALUE REDUCED COST CAPA 1.000000 0.000000 CAPB 0.000000 4.000000 CAPC 0.000000 8.000000 CBPA 0.000000 8.000000 CBPB 1.000000 0.000000 CBPC 0.000000 2.000000 CCPA 1.000000 0.000000 CCPB 0.000000 6.000000 CCPC 0.000000 12.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 -28.000000 6) 0.000000 -28.000000 7) 0.000000 -28.000000

NO. ITERATIONS= 3


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE

32


CAPA 28.000000 4.000000 INFINITY CAPB 32.000000 INFINITY 4.000000 CAPC 36.000000 INFINITY 8.000000 CBPA 36.000000 INFINITY 8.000000 CBPB 28.000000 2.000000 INFINITY CBPC 30.000000 INFINITY 2.000000 CCPA 28.000000 6.000000 INFINITY CCPB 34.000000 INFINITY 6.000000 CCPC 40.000000 INFINITY 12.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE

2 1.000000 0.000000 0.000000 3 1.000000 0.000000 0.000000 4 1.000000 0.000000 0.000000 5 1.000000 0.000000 0.000000 6 1.000000 0.000000 0.000000 7 1.000000 0.000000 0.000000

33


APLICACIÓN EN ASIGNACIÓN DE MEDIOS DE COMUNICACIÓN.

Una empresa constructora está desarrollando un fraccionamiento a la orilla de un lago privado el mercado primario para los lotes y casa a la orilla del lago incluye todas las familias de ingresos medios y altos dentro aproximadamente 100 millas de fraccionamiento. La empresa constructora empleo a la firma de publicidad BPS para diseñar la campaña promocional. Después de considerar los medios publicitarios y del mercado que se cubriría BPS recomendando la publicidad del primer mes se restringiría a cinco medios. Al final del mes; BPS reevaluara entonces su estrategia con base en los resultados del mes, BPS recolecta datos sobre el volumen de clientes potencialmente alcanzados, el costo por anuncio, la cantidad máxima de veces que está disponible cada medo y la estimación de la calidad de la exposición para cada uno de los medios. La estimación de calidad se mide en función de una unidad de valor relativo de anuncio en cada uno de los medios. Esta medida basada en la experiencia de BPS en el negocio de la publicidad, toma en cuenta factores como los datos demográficos de la audiencia (edad, ingresos y educación de la audiencia alcanzada). Imagen presentada y calidad del anunció. La información recolectada se presenta en la TABAL 1.

La empresa constructora proporciona a BPS un presupuesto de $us. 30.000.- , para la campaña del primer mes, además la empresa constructora impuso las siguientes restricciones sobre la forma en que BPS puede asignar estos fondos, deben usarse al menos la televisión de alcanzar al menos 50.000 clientes potenciales y no puede gastar más de $us. 18.000.-, en anuncios de televisión ¿Qué plan de medios publicitarios debería recomendar?

TABLA 1

ALTERNATIVAS DE MEDIOS PUBLICITARIOSMEDIOS DE

PUBLICIDADCANTIDAD

DE CLIENTES ALCANZADOS

COSTO POR

ANUNCIO

TIEMPO DISPONIBLE

MÁXIMO

UNIDAD DE CALIDAD

DE LA

34


POR MES EXPOSICIÓNTelevisión Diurna (1 minuto)Radio

1000 1500 15 65

Noticiero (30 seg.)

300 100 30 20

Televisión Vespertina (30

seg)2000 3000 10 90

Revista Dominical del

periódico (media plana)

2500 1000 4 60

Periódico Diario ( plana

completa)1500 400 25 40

I) V.D.

DTV: Cantidad que se usa la Televisión Diurna el primes mes.RN: Cantidad que se usa la Radio Noticias el primes mes.NTV: Cantidad que se usa la Televisión Vespertina el primes mes.RD: Cantidad que se usa la Revista Dominical el primes mes.DP: Cantidad que se usa el Periódico Diario el primes mes.

II) F.O.

MAX Z = 65 DTV + 90 NTV + 40 DP + 60 RD + 20 RN

III) RESTRICCIONES.

A) DISPONIBILIDAD DE MEDIOS

DTV ≤ 15NTV ≤ 10DP ≤ 25RD ≤ 4RN ≤ 30

B) RESTRICCION PRESUPUESTO

1500 DTV + 3000 NTV + 400 DP + 1000 RD + 100 RN ≤ 30000

C) RESTRICION DE LA TELEVISION

DTV + NTV ≥ 10

D) RESTRICCION DEL GASTO MAXIMO EN TELEVISION

35


1500 DTV + 3000 NTV ≤ 18000

E) CLIENTES QUE SE DEBE ALCANZAR

1000 DTV + 200 NTV + 1500 DP + 2500 RD + 300 RN ≥ 5000

IV) C.E.

DTV, NTV, DP, RD, RN ≥ 0

LINDOLP OPTIMUM FOUND AT STEP 7


1) 2370.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST DTV 10.000000 0.000000 NTV 0.000000 65.000000 DP 25.000000 0.000000 RD 2.000000 0.000000 RN 30.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 5.000000 0.000000 3) 10.000000 0.000000 4) 0.000000 16.000000 5) 2.000000 0.000000 6) 0.000000 14.000000 7) 0.000000 0.060000 8) 0.000000 -25.000000 9) 3000.000000 0.000000 10) 56500.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 7


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE DTV 65.000000 25.000000 64.999992

36


NTV 90.000000 64.999992 INFINITY DP 40.000000 INFINITY 16.000000 RD 60.000000 40.000000 16.666666 RN 20.000000 INFINITY 14.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 15.000000 INFINITY 5.000000 3 10.000000 INFINITY 10.000000 4 25.000000 5.000000 5.000000 5 4.000000 INFINITY 2.000000 6 30.000000 20.000000 20.000000 7 30000.000000 1999.999878 1999.999878 8 10.000000 1.333333 1.333333 9 18000.000000 INFINITY 3000.000000 10 5000.000000 56500.000000 INFINITY

APLICACIÓN EN ASIGNACIÓN DE CANALES DE DISTRIBUCIÓN.

Una empresa electrónica de telecomunicaciones fabrica sistemas de radio portátiles que pueden usarse para comunicaciones para dos vías. El nuevo producto de la compañía, con un alcance de 25 millas adecuadamente para aplicarse con una variedad de aplicaciones de negocios y personales, loa canales de distribución son los siguientes:

1. Distribución de Equipo Marino.2. Distribución de Negocios.3. Cadenas Nacionales de Tiendas de Ventas al Menudeo.4. Correo Directo.

Debido a los diferentes costos de distribución y promoción la rentabilidad de la producción variara con el canal de distribución. Además el costo de publicidad y el esfuerzo de ventas personales requeridas varían entre fabricar con dos canales de distribución, la TABLA 1 resume los datos de contribución a la ganancia, costos de publicidad y esfuerzos de ventas personales, para el problema de la empresa electrónica. La firma estableció el presupuesto de publicidad de $us. 5.000.-, y se dispone de un máximo de 1800 hora de la fuerza de ventas para asignarles al esfuerzo de las ventas de las radios. La administración decidió también producir exactamente 600 unidades para el periodo de producción actual. Por último, un contrato en curso con una cadena nacional de ventas al menudeo que al menos 150 unidades sean distribuidas a través de este canal de distribución.

La empresa enfrenta ahora el problema de determinar la cantidad de unidades que deberían producirse para cada una de los canales de distribución a fin de maximizar la contribución a la ganancia total. Además de determinar cuántas unidades deben asignarse a cada una de los cuatro canales. La empresa además debe determinar cómo asignar el presupuesto de publicidad y el trabajo de la fuerza de ventas a cada uno de los cuatro canales de distribución.

37


TABLA 1

CANAL DE DISTRIBUCIÓN

GANANCIA DE UNIDADES VENDIDAS

COSTO DE PUBLICIDAD POR UNIDAD

VENDIDA

ESFUERZO DE VENTA

PERSONAL

Distribución de Equipo Marino

90 10 2 horas

Distribución de Negocios

84 8 3 horas.

Tiendas Nacionales de

Venta al Menudeo70 9 3 horas.

Correo Directo 60 15 Ninguno.

I) V.D.

MR: Cantidad de unidades a producir par el canal de Distribución Marinos.NG: Cantidad de unidades a producir par el canal de Distribución de Negocios.VM: Cantidad de unidades a producir par el canal de de Tiendas Nacionales al Menudeo.DR: Cantidad de unidades a producir par el canal de Correo Directo.

II) F.O.

MAX Z= 90 MR + 84 NG + 70 VM + 60 DR

III) RESTRICCIONES.

10 MR + 8 NG + 9 VM + 4 DR < 50002 MR + 3 NG + 3 VM < 1800MR + NG + VM + DR = 600VM > 150

IV) C.E.

MR, NG, VM, DR ≥ 0LINDO



1) 48450.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST

38


MR 25.000000 0.000000 NG 425.000000 0.000000 VM 150.000000 0.000000 DR 0.000000 12.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.000000 3) 25.000000 0.000000 4) 0.000000 60.000000 5) 0.000000 -17.000000

NO. ITERATIONS= 4


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE MR 90.000000 6.000000 6.000000 NG 84.000000 6.000000 4.000000 VM 70.000000 17.000000 INFINITY DR 60.000000 12.000000 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 5000.000000 850.000000 50.000000 3 1800.000000 INFINITY 25.000000 4 600.000000 3.571429 85.000000 5 150.000000 50.000000 150.000000

39


APLICACIÓN EN LA INVESTIGACIÓN DE MERCADO.

Investigación de mercado hace referencia a investigar las preferencias, actitudes requeridas de los clientes.

Markey Survey (MSI) se especializa en evaluar la reacción del consumidor a productos, servicios y compañías publicitarias nuevas. Un cliente solicito la asistencia de MSI para la determinar la reacción del consumidor a un producto domestico recién comercializado. Durante las reuniones con el cliente MSI acordó efectuar entre vistas personales de puerta en puerta para obtener respuestas en hogares con y sin niños. Además MSI acepto hacer entrevistas por la mañana y por la tarde. Especialmente, el contrato del cliente exigía que MSI realizara mil entrevistas bajo los siguientes lineamientos de cuotas:

1. Entrevistas al menos 400 hogares con niños.2. Entrevistas al menos 400 hogares sin niños.3. La Cantidad Total de hogares entrevistados durante la tarde debe ser al

menos igual a la Cantidad de hogares durante la Mañana.4. Al menos 40% de las entrevistas para hogares con niños deben realizarse

durante la tarde.5. Al menos 60% de las entrevistas para los hogares sin niños deben

realizarse durante la tarde.

Debido a que las entrevistas para hogares con niños requieren tiempo adicional del entrevistador ya que los entrevistadores se les pagan más a los matutinos, el costo varía con el tipo de entrevistas con base en estudios de investigación previos, las estimaciones de los costos de entrevistas son las siguientes:

CUADRO 1COSTO DE ENTREVISTA

HOGAR MAÑANA TARDECON NIÑOS 20 25SIN NIÑOS 18 20

40


¿Cuál es el plan de entre vista por el tipo de hogar y hora de día que satisfacerá los requerimientos del contrato con un costo total de entrevistas mínimo?

I) V.D.

EMHCN: Cantidad de Entrevistas Matutinas de Hogares con Niños.EVHCN: Cantidad de Entrevistas Matutinas de Hogares con Niños.EMHCN: Cantidad de Entrevistas Matutinas de Hogares sin Niños.EVHCN: Cantidad de Entrevistas Matutinas de Hogares sin Niños.

II) F.O.

MIN Z= 20 EMHCN + 25 EVHCN + 18 EMHSN + 20 EVHSN

III) RESTRICCIONES.

EMHCN + EVHCN + EMHSN + EVHSN =1000EMHCN + EVHCN > 400EMHSN + EVHSN > 400- EMHCN + EVHCN - EMHSN + EVHSN > 0-0.4 EMHCN + 0.60 EVHCN > 0-0.60 EMHSN + 0.40 EVHSN > 0

IV) C.E.

EMHCN , EVHCN, EMHSN, EVHSN ≥ 0

LINDO

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 20320.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST EMHCN 240.000000 0.000000 EVHCN 160.000000 0.000000 EMHSN 240.000000 0.000000 EVHSN 360.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -19.200001 3) 0.000000 -2.800000 4) 200.000000 0.000000 5) 40.000000 0.000000 6) 0.000000 -5.000000 7) 0.000000 -2.000000

NO. ITERATIONS= 6 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

41


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE EMHCN 20.000000 5.000000 4.666667 EVHCN 25.000000 INFINITY 5.000000 EMHSN 18.000000 2.000000 INFINITY EVHSN 20.000000 4.666667 2.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1000.000000 INFINITY 200.000000 3 400.000000 100.000000 399.999969 4 400.000000 200.000000 INFINITY 5 0.000000 40.000000 INFINITY 6 0.000000 240.000000 20.000000

7 0.000000 240.000000 20.000000

APLICACIÓN EN LA SELECCIÓN DE PORTAFOLIOS

Wuelte Mutual localizada en la ciudad de New York acaba de obtener $100000 a combatir bonos industriales en efectivo y ahora esta buscando otras oportunidades de inversión para estos fondos, con base en las inversiones actuales de Wuelte, el analista financiero ejecutivo de la firma recomienda que todas las inversiones nuevas se hagan en la industria petrolera, la industria siderúrgica o en bonos gubernamentales. Específicamente el análisis idéntico cinco oportunidades de inversión y proyecto sus tasas de rendimiento en vales de inversión y tasas de rendimiento se muestran en la TABLA1 la administración de Wuelte impuso las siguientes lineamientos de inversión

1. Ninguna industria (petrolera y siderúrgica ) deberá recibir más de $50000.

2. Los bonos gubernamentales deberán ser al menos 25% de las inversiones en la industria siderúrgica.

3. La inversión en Pacifit Oil la inversión con interés alto pero riesgo alto puede ser más de 60% de la inversión total en la industria petrolera.

¿Que recomendaciones de portafolios, inversiones y cantidad deberán hacerse para los $us 100000 disponibles?

Dado el objetivo de maximizar el rendimiento proyecto de sujeto a restricciones impuestos por el presupuesto y la administración

TABLA1

42


.I) V.D.

A = Dólares invertidos en Atlantic Oil.P = Dólares invertidos en Pacific Oil.M = Dólares invertidos en Mutual Oil.H = Dólares invertidos en Huber Oil.G = Dólares invertidos en Bonos gubernamentales.

II) F.O. Max z = 0.073A + 0.103P +0.064M + 0.075H + 0.0456

III) RESTRICCIONES

A + P + M + H + G = 100000 Fondos disponibles.A + P < 50000 Máximo para la industria petrolera.-0.25M – 0.25H + G > 0 Máximo para los bonos de gobierno.M + H <50000 Máximo para la industria siderúrgica.-0.6A + 0.4P <0 Restricción de Pacific Oil.

IV) C.E.

A, P, M, H, G > 0

LINDO



1) 6000.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST A 0.000000 0.059000 P 0.000000 0.000000 M 0.000000 0.011000 H 50000.000000 0.000000 G 50000.000000 0.000000

INVERSION TASA DE INTERES PROYECTADA %

Atlantic OilPacific OilMutual SteelHuber SteelBonos Gubernamentales

7.310.36.47.54.5

43


ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.045000 3) 50000.000000 0.000000 4) 37500.000000 0.000000 5) 0.000000 0.030000 6) 0.000000 0.145000

NO. ITERATIONS= 7


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE A 0.073000 0.059000 INFINITY P 0.103000 INFINITY 0.039333 M 0.064000 0.011000 INFINITY H 0.075000 INFINITY 0.011000 G 0.045000 0.030000 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 100000.000000 INFINITY 37500.000000 3 50000.000000 INFINITY 50000.000000 4 0.000000 37500.000000 INFINITY 5 50000.000000 30000.000000 50000.000000 6 0.000000 15000.000000 0.000000

44


APLICACIÓN EN PLANIFICACION FINANCIERA

Hewill Corporatión estableció un programa de retiro anticipado como parte de su restructuración corporativa. Al cerrar el periodo de firma voluntaria 68 empleados habían elegido este programa como resultado de los retiros anticipados la compañía incurrió en las siguientes obligaciones durante los siguientes ocho años.

AÑO 1 2 3 4 5 6 7 8Requerimiento

efectivo430 210 222 231 240 195 220 255

Los requerimientos de efectivo miles $us vencen al principio de cada año. El tesorero corporativo de determinar cuanto dinero debe aportar hoy para cumplir con las 8 obligaciones financieras anuales cuando venza.El plan financiero para el programa de retiro incluye inversiones en bonos gubernamentales al igual que cuentas de ahorro las inversiones en bonos gubernamentales se limitan opciones.

BONO PRECIO TASA AÑOS NACIMIENTO

123

115010001350

8875500011750

567

45


Los bonos gubernamentales tiene un valor nominal de mil $us lo que significa que incluso con diferentes precios cada bono paga mil $us al vencimiento. Las tasa mostradas se basan con el valor nominal.

Para propósitos de planeación, el tesorero ha supuesto cualquier fondo no intervalo en bonos se colocara en cuenta de ahorros y genera intereses con una tasa anual de 4%.

El objetivo es minimizar el total de $us necesarios para cumplir con la obligación a 8 años de plan de retiro.

I) V.D.

F = Dólares totales requeridos para cumplir con la obligación a 8 años de plan de retiro.B1 = Unidad de bono 1 compradas al principio de año 1B2 = Unidad de bono 2 compradas al principio de año 2B3 = Unidad de bono 3 compradas al principio de año 3S1 = Cantidad colocada en ahorros al principio del año 1S2 = Cantidad colocada en ahorros al principio del año 2

S3 = Cantidad colocada en ahorros al principio del año 3S4 = Cantidad colocada en ahorros al principio del año 4S5 = Cantidad colocada en ahorros al principio del año 5S6 = Cantidad colocada en ahorros al principio del año 6 S7 = Cantidad colocada en ahorros al principio del año 7S8 = Cantidad colocada en ahorros al principio del año 8

II) F.O.

Min z = F

III) RESTRICCIONES.

F - 1.15B1-1B2 – 1.35B3 - S1 =4300.008875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S1-S2=2100.008875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S2-S3=2200.008875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S3-S4=231

0.008875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S4-S5=240 1.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S5-S6=195 1.055B2+0.1175B3+1.04S6-S7=225 1.1175B3+1.04S7-S8=255

IV) C.E.

F, B1, B2, B3, S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8 > 0

LINDO


46



1) 1736.663

VARIABLE VALUE REDUCED COST F 1736.662842 0.000000 B1 0.000000 0.222912 B2 187.855850 0.000000 B3 228.187927 0.000000 S1 810.753235 0.000000 S2 670.327515 0.000000 S3 514.284729 0.000000 S4 341.000305 0.000000 S5 151.784470 0.000000 S6 0.000000 0.077514 S7 0.000000 0.024490 S8 0.000000 0.664704

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -1.000000 3) 0.000000 -0.961538 4) 0.000000 -0.924556 5) 0.000000 -0.888996 6) 0.000000 -0.854804 7) 0.000000 -0.821927 8) 0.000000 -0.715782 9) 0.000000 -0.664704

NO. ITERATIONS= 7


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE F 1.000000 INFINITY 1.000000 B1 0.000000 INFINITY 0.222911 B2 0.000000 0.078632 0.023290 B3 0.000000 0.026315 0.742807 S1 0.000000 0.240442 0.072900 S2 0.000000 0.233343 0.073710 S3 0.000000 0.226390 0.074572 S4 0.000000 0.219586 0.075490 S5 0.000000 0.212930 0.076469 S6 0.000000 INFINITY 0.077514 S7 0.000000 INFINITY 0.024490 S8 0.000000 INFINITY 0.664704

47


RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 430.000000 INFINITY 1736.662842 3 210.000000 INFINITY 843.183411 4 220.000000 INFINITY 697.140625 5 231.000000 INFINITY 534.856140 6 240.000000 INFINITY 354.640320 7 195.000000 INFINITY 157.855850 8 225.000000 3027.962158 198.187912 9 255.000000 1583.881836 255.000000

APLICACIÓN EN LA ADMINISTRACION DE PRODUCCION

James Company comercializa varios productos para negocios e ingeniería y en la actualidad esta preparándose para introducir dos calculadoras nuevas una para el mercado de negocios llamada calculadora tiene tres componentes una base, un cartucho electrónico y una placa frontal o tapa. La misma base se usa para ambas calculadoras, pero los cartuchos y tapas son diferentes la empresa puede fabricar todos los componentes o comprobarlos de proveedores externos. Los costos de fabricación y precios de compra para los compradores se resume en la TABLA 1

Los pronósticos indica que se necesitaran 3000 calculadoras Financial y 2000 calculadoras Technian, sin embargo la capacidad de manufactura es limitada.

La empresa tiene 200 horas de tiempo de manufactura normal y 50 horas de tiempo extra que pueden programarse para los cálculos. El tiempo extra implica un s/sueldo con un costo adicional de $us 9 por/hora la TABLA 2 muestra los tiempos de fabricación ( en min ) para las compañías. El problema de James determina cuantas unidades de c/componente fabricar y ventas unid de c/componentes a comprar.

TABLA 1

COSTOS DE FABRICACION Y PRECIOS DE COMPRACOMPONENTE COSTO POR UNID COMPRA

48


MANUFACTURADABaseCartucho FinancialCartucho TechnianTapa FinancialTapa Technian

0.503.753.300.600.75

0.604

3.900.650.78

TABLA 2

TIEMPO DE MANUFACTURA EN MIN POR UNIDAD

COMPONENTE TIEMPO MANUFACTURA

BaseCartucho FinancialCartucho TechnianTapa FinancialTapa Technian

13

2.51

1.5

I) V.D.

BM = Cantidad de bases fabricadas.BP = Cantidad de bases compradas.FCM = Cantidad de cartuchos Financial fabricadas.FCP = Cantidad de cartuchos Financial compradas.TCM = Cantidad de cartuchos Technian fabricadas.TCP = Cantidad de cartuchos Technian compradas..FTM = Cantidad de tapas Financial fabricadas. FTP = Cantidad de tapas Financial compradas.TTM = Cantidad de tapas Technian fabricada.TTP = Cantidad de tapas Techinian compradas.OT = Horas de tiempo extra que se programaran.

II) F.O.

Min z = 0.5BM + 0.6BP + 3.75FCM + 4FCP + 3.3TCM + 3.9TCP +0.6FTM + 0.65FTP + 0.75TTM + 0.78TTP + 90T

III) RESTRICCIONESBM + BP =5000 Restricción bases.FCM + FCP = 3000 Cartucho Finacial.TCM + TCP = 2000 Cartucho Techinian.FTM + FTP = 3000 Tapa Financial.TTM + TTP =2000 Tapa TechinianOT < 50 Horas extra

49


BM+3FCM+2.5TCM+FTM+1.5TTM-60OT=12000 Cap manufactura.

IV) C.E.

BA,BF,FCM,FCP,TCM,TCP,FTM,FTP,TTM,TTP,OT > 0

LINDO



1) 23760.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST BM 5000.000000 0.000000 BP 0.000000 0.050000 FCM 3000.000000 0.000000 FCP 0.000000 0.250000 TCM 2000.000000 0.000000 TCP 0.000000 0.475000 FTM 2000.000000 0.000000 FTP 1000.000000 0.000000 TTM 0.000000 0.045000 TTP 2000.000000 0.000000 OT 0.000000 6.000000 FGM 0.000000 0.150000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -0.550000 3) 0.000000 -3.750000 4) 0.000000 -3.425000 5) 0.000000 -0.650000 6) 0.000000 -0.780000 7) 50.000000 0.000000 8) 0.000000 0.050000

NO. ITERATIONS= 3


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE BM 0.500000 0.050000 INFINITY BP 0.600000 INFINITY 0.050000 FCM 3.750000 0.250000 INFINITY

50


FCP 4.000000 INFINITY 0.250000 TCM 3.300000 0.475000 INFINITY TCP 3.900000 INFINITY 0.475000 FTM 0.600000 0.030000 0.050000 FTP 0.650000 0.050000 0.030000 TTM 0.750000 INFINITY 0.045000 TTP 0.780000 0.045000 INFINITY OT 9.000000 INFINITY 6.000000 FGM 0.000000 INFINITY 0.150000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 5000.000000 2000.000000 1000.000000 3 3000.000000 INFINITY 3000.000000 4 2000.000000 800.000000 400.000000 5 3000.000000 INFINITY 1000.000000 6 2000.000000 INFINITY 2000.000000 7 50.000000 INFINITY 50.000000 8 12000.000000 1000.000000 2000.000000

APLICACIÓN EN LA ASIGNACION DE LA FUERZA DE TRABAJO

MC Cormick Manufactoring fábrica dos productos con contribuciones a la utilidad por unidad de 10 $us y 9 $us respectivamente, los requerimientos de mano de obra disponibles del personal asignado a cada una de cuatro departamento se muestran en la TABLA 1. Suponiendo que la cantidad de horas disponibles en cada departamento es fija, podemos formular el problema de cormick con un programa lineal de mezcla de productos estándar con las siguientes variables de decisión.

P1 = Unidades del producto 1 a producir.P2 = Unidades del producto 2 a producir.

TABLA 1HORAS DE LABOR DEPARTAMENTAL POR UNID Y HORAS

DEPARTAMENTAL PRODUCTO1

PRODUCTO2

HORAS TOTALES

DISPONIBLES1234

0.650.45

10.15

0.950.800.700.30

6500600070001400

Por tanto el programa lineal es:Max z = 10P1 + 9P2SA

51


0.65P1 + 0.95P2 < 65000.45P1 + 0.85P2 < 6000 1P1 + 0.70P2 < 70000.15P1 + 0.30P2 < 1400P1,P2 > 0

Suponga que MC Cormick tiene un programa de capacitación cruzada que permite transferir algunos empleados de departamentos al sacar ventaja de las habilidades de la capacitación cruzada, una limitada cantidad de empleados horas de trabajo transformarse de un departamento a otro.

Por ejemplo supongamos que la capacitación cruzada permite transferencias como se muestra en la TABLA 2 fila 1 de está tabla muestra algunos empleados asignados al departamento tienen habilidades de capacitación cruzada que los permita transferirlos al departamento 2 o3, la columna de la derecha muestra que para el periodo de planeación de la producción actual puede transferirse en 400 del departamento 1, se muestra capacidades y aptitudes de trasferencia de capacitación cruzada similares por departamento 2,3 y 4.

Cuando las organizaciones de la fuerza de trabajo con fluctuaciones su salarios automáticamente cuantas horas de trabajo deben asignarse cada departamento transferirse de cada uno de ellos, por tanto se necesita que usted agrega variables de decisión al modelo de programación lineal para representa cambios que ayuden a determinar la asignación de la fuerza de trabajo optimo además de la mezcla de producto que maximiza la utilidad.

TABLA2

LA INFORMACION DE CAPACIDAD Y APTITUD DE LA CAPACITACION CRUZADA

DEPARTAMENTO 1 2 3 4 HRS MAX

1234

NONONOSI

SINONOSI

SISI

NONO

NOSISI

NO

400800100200

I) V.D.

Bi = Horas de labor asignados al depto i para i=1,2,3,4.

Tij = Horas de labor transferidas del depto i al depto j

II) F.O.

52


Max Z = 10P1 + 9P2

III) RESTRICCIONES.

0.65P1 + 0.95P2 –B1 < 00.45P1 + 0.85P2 – B2 < 01P1 + 0.70P2 – B3 < 00.15P1 + 0.30P2 – B4 < 0B1 – T11 + T12 + T13 < 6500B2 – T 12 –T42 + T23 + T24 = 6000B3 – T13 – T23 + T34 =7000B4 – T24 – T34 + T41 + T42 = 1400T12 + T13 < 400Y23 + T24 < 800 T34 < 100T41 + T42 <200

IV) C.E.

P1,P2,Bi ,Tij < 0

LINDO



1) 84966.83

VARIABLE VALUE REDUCED COST P1 4094.786621 0.000000 P2 4890.995117 0.000000 B1 7308.056641 0.000000 B2 6000.000000 0.000000 B3 7518.483398 0.000000 B4 2081.516602 0.000000 T11 1208.056885 0.000000 T12 0.000000 7.772512 T13 400.000000 0.000000 T42 0.000000 7.772512 Y23 0.000000 0.663507 T24 0.000000 0.663507 T23 800.000000 0.000000 T34 681.516602 0.000000 T41 0.000000 8.436019 T347 0.000000 0.000000

53


ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.663507 4) 0.000000 8.436019 5) 0.000000 8.436019 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.663507 8) 0.000000 8.436019 9) 0.000000 8.436019 10) 0.000000 8.436019 11) 0.000000 8.436019 12) 10.000000 0.000000 13) 200.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 9


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE P1 10.000000 0.350000 2.216216 P2 9.000000 2.562500 0.304348 B1 0.000000 0.000000 0.790960 B2 0.000000 7.772512 0.663507 B3 0.000000 1.794872 5.616438 B4 0.000000 8.317758 1.794872 T11 0.000000 0.000000 0.790960 T12 0.000000 7.772512 INFINITY T13 0.000000 INFINITY 7.772512 T42 0.000000 7.772512 INFINITY Y23 0.000000 0.663507 INFINITY T24 0.000000 0.663507 INFINITY T23 0.000000 INFINITY 0.663507 T34 0.000000 5.616438 0.484429 T41 0.000000 8.436019 INFINITY T347 0.000000 0.000000 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 0.000000 1208.056885 INFINITY 3 0.000000 2160.000000 1440.113037 4 0.000000 5733.333008 2541.176514 5 0.000000 671.962646 2541.176514 6 6500.000000 1208.056885 INFINITY 7 6000.000000 2160.000000 1440.113037

54


8 7000.000000 5733.333008 2541.176514 9 1400.000000 671.962646 2541.176514 10 400.000000 5733.333008 400.000000 11 800.000000 5733.333008 800.000000 12 10.000000 INFINITY 10.000000 13 200.000000 INFINITY 200.000000

OPTIMIZACION LINEAL Y SU APLICACIÓN EN LA PROGRAMACION DE PRODUCCION

Bollinger Electronics Company produce dos componentes electronics diferentes para un fabricante importante de motores de avión, el fabricante notifica trimestralmente a la oficina de ventas de bollinger sus requerimientos mensuales de los componentes para cada uno de los requerimientos de los tres meses, estos pueden variar consensualmente dependiente del tipo de motor que este produciendo el fabricante se acaba de recibir para el siguiente trimestre el pedido que se muestra en la Tabla 1.

TABLA 1

PROGRAMA DE DEMANDA DE TRES MESESCOMPONENTE ABRIL MAYO JUNIO

322A802B

10001000

3000500

50003000

Después que se proceso el pedido, se envía con comunicado de que a cad departamento de control de producción, entonces este ultimo debe elaborar un plan de producción de tres meses para los componentes al llegar al programa deseado, el gerente de producción deseará identificar lo siguiente:

1. Costo de producción total.2. Costo de mantener el inventario.3. Costo de cambio en el nivel de producción.

55


Por lo que se pide a usted formular un modelo de programación lineal del proceso de producción e inventario de bollinger electronics, que minimice el costo total.

El componente 322A cuesta 20$ por unidad producida y el 802B, para incorporar los costos relevantes de mantener un inventario en el modelo, hacemos que se denota el nivel de inventario para el producto i al final del mes m, Bollingr determino que en una base mensual los costos de mantener un inventario son 105% del costo del producto.

Una suposición que se hace en el enfoque de programación lineal para programar la producción es que los inventarios finales mensuales son una aproximación aceptable a los niveles de inventario promedio a lo largo del mes, para incorporar los costos de fluctuaciones en los niveles de producción de un mes a otro necesitamos definir los adicionales.

Im = Aumento en el nivel de producción total necesario durante el mes m.

Dm = Disminución en el nivel de producción total necesario durante el mes m.

Después de estimar los efectos de los despidos de empleados, rotaciones, costos de capacitación para la reasignación y otros costos asociados con los niveles de producción fluctuantes Bollinger estima que el costo asociado con aumentar el nivel de producción para cualquier mes es $us 0.50 por unidad de aumento. Un costo similar asociado con disminución del nivel de producción para cualquier mes en $us 0.20 por unidad. Posteriormente se debe considerar las restricciones, primero se debe garantizar que el programa de producción satisfaga la demanda del cliente. Debido a que las unidades embarcadas pueden venir de la producción del mes actual o del inventario conservado de meses anteriores.

Suponga que el inventario al principio del periodo de programación de tres meses fueron 500 unidades para el componente 322Ay 200 para el 802B la demanda para ambos producciones en el primer mes abril fue de mil unidades.

La compañía especifica un nivel de inventario mínimo al final del periodo de tres meses de al menos 400 unidades del componente 322A al mes 200 unidades del 802B.

Suponga que también tenemos la información adicional, sobre la capacidad de maquina, mano de obra, almacenamiento que se muestra en la tabla2 los requerimientos de maquinaria, mano de obra y espacio de almacenamiento reducen en la tabla 2.

TABLA 2

CAPACIDAD DE MAQUINARIA, MANUFACTURA Y ALMACENAMIENTOMES CAPACIDAD

MAQUINARIACAPACIDAD

MANUFACTURACAPACIDAD DE

ALMACENAMIENTOAbril 400 300 10000

56


MayoJunio

500600

300300

1000010000

TABLA 3

Requerimiento de mano de obra, maquinaria, y almacenamientoCOMPONENTE MAQUINARIA MANO DE

OBRAALMACEN

322A802B

0.160.08

0.050.07

23

Debe agregarse un conjunto al final de la restricciones para optimizar que Im y Dm reflejen el aumento o disminución en el nivel de producción total para el mes “m”. suponga que los niveles de producción para marzo el mes anterior para el inicio del periodo de programación de producción han sido 1500 unidades del componente 322A y 1000 unidades del componente 802B para un nivel de producción total de 1500 + 1000 = 2500 unidades.

I) V.D.

Xim = Volumen de producción en unidades para producir “ i ” en el mes “ “ m ” Donde i=1,2 y m= 1,2,3.

Sim = Nivel de inventario para la producción “ i “ al final del mes “ m “. Donde i=1,2 y m =1,2,3.

Im = Aumento en el nivel de producción total necesario durante el mes m. Dm = Disminución en el nivel de producción total necesario durante el m

II) F.O.

Min z = 2X11+2X12+20X13+10X21+10X22+1X23 +0.30S11+0.30S12+0.30S13+0.15S21+0.15S22+0.15S23 +.50I1+0.5I2+0.50I3+0.20D1+0.20D2+0.20D3

III) RESTRICCIONES.

X11-S11=500X21-S21=800S11+X12-S12=3000S21+X22-S22=500S12+X13-S13=5000S22+X23-S23=3000S13>400S23>200

57


0.10X11+0.08X21<4000.10X12+0.08X22<5000.10X13+0.08X23<6000.05X11+0.07X21<3000.05X12+0.07X22<3000.05X13+0.07X23<3002S11+3S21<100002S12+2S22<100002S13+3S23<10000X11+X21-I1+D1=250-X11-X21+X12+X22-I2+D2=0-X12-X22+X13+X23-I3+D3=0

IV) C.E. Xim,Sim,Im,Dm > 0

LINDO


OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 55768.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 2960.000000 0.000000 X12 5000.000000 0.000000 X13 940.000000 0.000000 X21 1300.000000 0.000000 X22 0.000000 0.230000 X23 3200.000000 0.000000 S11 2460.000000 0.000000 S12 4460.000000 0.000000 S13 400.000000 0.000000 S21 500.000000 0.000000 S22 0.000000 23.260000 S23 200.000000 0.000000 I1 4010.000000 0.000000 I2 740.000000 0.000000 I3 0.000000 0.700000 D1 0.000000 0.700000 D2 0.000000 0.700000 D3 860.000000 0.000000

58


ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -19.200001 3) 0.000000 -23.760000 4) 0.000000 -19.500000 5) 0.000000 -23.910000 6) 0.000000 -19.799999 7) 0.000000 -0.800000 8) 0.000000 -20.100000 9) 0.000000 -0.950000 10) 0.000000 172.000000 11) 0.000000 168.000000 12) 250.000000 0.000000 13) 61.000000 0.000000 14) 50.000000 0.000000 15) 29.000000 0.000000 16) 3580.000000 0.000000 17) 1080.000000 0.000000 18) 8600.000000 0.000000 19) 0.000000 0.500000 20) 0.000000 0.500000 21) 0.000000 -0.200000

NO. ITERATIONS= 13

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X11 2.000000 17.200001 0.287500 X12 2.000000 0.287500 INFINITY X13 20.000000 INFINITY 16.799999 X21 10.000000 0.230000 23.260000 X22 10.000000 INFINITY 0.230000 X23 1.000000 23.260000 0.950000 S11 0.300000 17.200001 0.287500 S12 0.300000 16.799999 INFINITY S13 0.300000 INFINITY 20.100000 S21 0.150000 0.230000 23.260000 S22 0.150000 INFINITY 23.260000 S23 0.150000 INFINITY 0.950000 I1 0.500000 1.149999 0.700000 I2 0.500000 16.799999 0.574999 I3 0.500000 INFINITY 0.700000 D1 0.200000 INFINITY 0.700000 D2 0.200000 INFINITY 0.700000 D3 0.200000 0.950000 0.700000

RIGHTHAND SIDE RANGES

59


ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 500.000000 580.000000 540.000000 3 800.000000 725.000000 675.000000 4 3000.000000 580.000000 540.000000 5 500.000000 725.000000 500.000000 6 5000.000000 580.000000 940.000000 7 3000.000000 414.285706 3200.000000 8 400.000000 580.000000 400.000000 9 200.000000 414.285706 200.000000 10 400.000000 54.000000 58.000000 11 500.000000 54.000000 43.000000 12 600.000000 INFINITY 250.000000 13 300.000000 INFINITY 61.000000 14 300.000000 INFINITY 50.000000 15 300.000000 INFINITY 29.000000 16 10000.000000 INFINITY 3580.000000 17 10000.000000 INFINITY 1080.000000 18 10000.000000 INFINITY 8600.000000 19 250.000000 4010.000000 INFINITY 20 0.000000 740.000000 INFINITY 21 0.000000 INFINITY 860.000000

APLICACIÓN EN LA PROGRAMACION DE ACTIVIDADES

Una empresa tiene un programa estricto de compromiso de entrega de un producto para los próximos 6 meses el coste de producción varia por mes por los cambios anticipados en costos d materiales la capacidad de producción de la compañía es de 100 unidades por mes con tiempo extra la TABLA1 muestra los requerimientos de entrega y costos de producción por mes, el costo de almacenare inventariar una unidad adicional que no se vende es de 2 $us por mes.

El problema de la compañía es determinar el numero de unidades que debe producir cada mes en tiempo normal y tiempo es para cubrir los requerimientos con el menor costo, la empresa no tiene unid disponibles al iniciar el mes 1 y no quiere que sobren unidades al terminar el mes 6.

MES 1 2 3 4 5 6Compromiso de entrega en unidad

Costo por unid $ en tiempo normal.

Costo por unid $ en tiempo extra.

Costo por no vender en $.

95

30

35

2

85

30

35

2

110

32

37

2

112

32

37

2

90

31

36

2

105

32

87

2

60


I) V.D.

X1, X2,X3,X4,X5,X6 = Numero de unid a producir en tiempo normal por mes.

Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6 = Numero de unid a producir en tiempo extra.

I1,I2,I3,I4,I5,I6 = Numero de unid en almacén.

II) F.O.

Min z = 30X1+30X2+32X3+32X4+31X5+32X6 +35Y1+35Y2+37Y3+37Y4+36Y5+37Y6 +2I1+2I2+2I3+2I4+2I5+2I6

III) RESTRICCIONES.

X1<100X2<100X3<100X4<100X5<100X6<100Y1<15Y2<15Y3<15Y4<15Y5<15Y6<15X1+Y1-I1=95I1+X2+Y2-I2=85I2+X3+Y3-I3=110I3+X4+Y4-I4=115I4+X5+Y5-I5=90I5+X6+Y6-I6=105I6=0

IV) C.E.X1, X2,X3,X4,X5,X6, Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6, I1,I2,I3,I4,I5,I6<0

LINDO


61



1) 18810.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 100.000000 0.000000 X2 100.000000 0.000000 X3 100.000000 0.000000 X4 100.000000 0.000000 X5 95.000000 0.000000 X6 100.000000 0.000000 Y1 0.000000 4.000000 Y2 0.000000 2.000000 Y3 0.000000 2.000000 Y4 5.000000 0.000000 Y5 0.000000 5.000000 Y6 0.000000 4.000000 I1 5.000000 0.000000 I2 20.000000 0.000000 I3 10.000000 0.000000

I4 0.000000 8.000000 I5 5.000000 0.000000 I6 0.000000 35.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 1.000000 3) 0.000000 3.000000 4) 0.000000 3.000000 5) 0.000000 5.000000 6) 5.000000 0.000000 7) 0.000000 1.000000 8) 15.000000 0.000000 9) 15.000000 0.000000 10) 15.000000 0.000000 11) 10.000000 0.000000 12) 15.000000 0.000000 13) 15.000000 0.000000 14) 0.000000 -31.000000 15) 0.000000 -33.000000 16) 0.000000 -35.000000 17) 0.000000 -37.000000 18) 0.000000 -31.000000 19) 0.000000 -33.000000 20) 0.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 10

62



OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 30.000000 1.000000 INFINITY X2 30.000000 3.000000 INFINITY X3 32.000000 3.000000 INFINITY X4 32.000000 5.000000 INFINITY X5 31.000000 4.000000 1.000000 X6 32.000000 1.000000 INFINITY Y1 35.000000 INFINITY 4.000000 Y2 35.000000 INFINITY 2.000000 Y3 37.000000 INFINITY 2.000000 Y4 37.000000 2.000000 1.000000 Y5 36.000000 INFINITY 5.000000 Y6 37.000000 INFINITY 4.000000 I1 2.000000 1.000000 4.000000 I2 2.000000 1.000000 2.000000 I3 2.000000 1.000000 2.000000 I4 2.000000 INFINITY 8.000000 I5 2.000000 4.000000 1.000000 I6 2.000000 INFINITY 35.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 100.000000 5.000000 5.000000 3 100.000000 5.000000 10.000000 4 100.000000 5.000000 10.000000 5 100.000000 5.000000 10.000000 6 100.000000 INFINITY 5.000000 7 100.000000 5.000000 5.000000 8 15.000000 INFINITY 15.000000 9 15.000000 INFINITY 15.000000 10 15.000000 INFINITY 15.000000 11 15.000000 INFINITY 10.000000 12 15.000000 INFINITY 15.000000 13 15.000000 INFINITY 15.000000 14 95.000000 5.000000 5.000000 15 85.000000 10.000000 5.000000 16 110.000000 10.000000 5.000000 17 115.000000 10.000000 5.000000 18 90.000000 5.000000 95.000000 19 105.000000 5.000000 5.000000 20 0.000000 0.000000 0.000000

63


TEMA Nº 4

OPTIMIZACIÓN NO LINEAL

1. INTRODUCCIÓN

Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con un función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

El problema de programación no lineal puede enunciarse de una forma muy simple:

Maximizar una función objetivo

Minimizar una función objetivo (de coste)

Donde

Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo, el problema es de Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programación lineal.

Si la función objetivo es cóncava (problema de maximización), o convexa (problema de minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el método general de Optimización convexa

64

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Optimizaci%C3%B3n_convexa&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Convexidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Convexidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Concavidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Politopo

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo


Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programación lineal. Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un límite inferior del coste total en cada subdivisión. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendrá una solución cuyo coste es igual o inferior que el mejor limite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea única. El algoritmo puede ser parado antes, con la garantía de que la mejor solución será mejor que la solución encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado.

Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias para que una solución sea óptima.

2. OPTIMIZACIÓN NO LINEAL IRRESTRICTA PNL Univariante y sin restricciones

PNL Multivariante y sin restricciones.

PNL Univariante y sin restricciones

Max z = 3xª – x + 8

y = f(x)

y = 3xº - x + 8

f(x) = 3xº - x +

Resolución: la primera derivada para saber los puntos críticos y la segunda derivada para saber si se tiene máximo y mínimo.

f ' (x) = d f(x)/ dx

= 6x – 1

x = 1/6

Reemplazando en la función

y = 3xº - x + 8

y = 3(1/6)º-(1/6) + 8

y = 95/12

65

http://es.wikipedia.org/wiki/Condiciones_de_Karush-Kuhn-Tucker

http://es.wikipedia.org/wiki/Ramificaci%C3%B3n_y_poda


Punto critico

(1/6 , 95/12)

Segunda derivada

f” (x) = 6

f” (x) > 0 es mínimo

f” (x) < 0 es máximo

f” (x) = 6 >0 es mínimo

Pc (1/6 ,95/12)

Punto de inflexión

F” (x) = 0

6 = 0

Pc (1/6 , 95/12)

Se deberá producir 1/6 para ganar como máximo 95/12.

PNL Multivariante y sin restricciones.

= x2(2x1+x22-1)=0

= x1(x1+3x22-1)=0

De A se puede obtener:

i) x1=0 ii) 2x1+x22-1=0

De B se puede obtener:

iii) x1=0 iv) x1+3x22-1=0

Analizando i) y ii)

66


x2=0 x1=0Pc (0, 0)

Analizando i) y iii)

x2=0 x1+3x22-1=0

x1+3(0)2-1=0 x1-1=0

x1=1

Pc (0, 1)Analizar iii) y ii)

x1=0 2x1+x22-1=0

2 (0) + x22-1=0

x22-1=0

x2=1

Pc (0, 1)Pc (0, -1)

Analizar ii) y iv)

2x1+ x22-1= 0 /-3

x1+3x22 -1= 0 *

-6x1-3x22+3 = 0 1

x1+3x22 -1= 0

-5x1 2 = 0

x1=

Reemplazando x1=

x2 = Pc (

Analizar iii) y iv)

Pc Pc

67


3.OPTIMIZACION NO LINEAL CON RESTRICCIONES

PNL Univariante y con restricciones PNL Multivariante y con restricciones.

4. CONDICIONES DE LAGRANGE

En los problemas de optimización, los multiplicadores de Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange, son un método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce una nueva variable escalar

el multiplicador de Lagrange, para cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna función implícita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de una función sea igual a cero.

Consideremos un caso bidimensional. Supongamos que tenemos la función, f(x, y), y queremos maximizarla, estando sujeta a:

g(x,y) = c,

donde c es una constante. Podemos visualizar las líneas de curvas de nivel de f dadas por

f(x,y) = dn

para varios valores de dn, y el contorno de g dado por g(x, y) = c. Supongamos que hablamos de la curva de nivel donde g = c. Entonces, en general, las curvas de nivel de f y g serán distintas, cruzando el contorno donde g = c por lo general intersectará y cruzará muchos contornos de f. En general, moviéndose a través de la línea g=c podemos incrementar o disminuir el valor de f. Solo cuando g=c, el contorno que

68

http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_nivel

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independiente

http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_total

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial

http://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrange

http://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)


estamos siguiendo toca tangencialmente, pero no lo corta, una curva de nivel de f no incrementamos o disminuimos el valor de f. Esto ocurre en el extremo local restringido y los puntos de inflexión restringidos de f.

Un ejemplo familiar puede ser obtenido de los mapas climatológicos, con sus curvas de nivel de presión y temperatura (isóbaras e isotermas respectivamente): el extremo restringido ocurrirá donde los mapas superpuestos muestren curvas que se tocan.

Geométricamente traducimos la condición de tangencia diciendo que los gradientes de f y g son vectores paralelos en el máximo. Introduciendo un nuevo escalar, λ, resolvemos

[f(x, y) - λ (g(x, y) − c)] = 0

para λ ≠ 0.

Una vez determinados los valores de λ, volvemos al número original de variables y así continuamos encontrando el extremo de la nueva ecuación no restringida.

F(x,y) = f(x,y) − λ(g(x,y) − c)

de forma tradicional. Eso es, F(x,y) = f(x,y) para todo (x, y) satisfaciendo la condición porque g(x,y) − c es igual a cero en la restricción, pero los ceros de F(x, y) están todos en g(x,y) = c.

FUNCION DE LAGRANGE Maximizar F(x)

S.A g( x) < b L( x, λ ) = F (x) - λ ( g(x) - b)Minimizar F(x)

S.A g(x) < b

L( x, λ ) = F (x) + λ (g(x) - b)

5.CONDICIONES DE KUHN-TUCKER

Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de una programación no lineal sea óptima. Es una generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange

Consideremos el problema siguiente de optimización no lineal:

donde f(x) es la función a ser minimizada, son las restricciones

de desigualdad y son las restricciones de igualdad, y m y l son el número de restricciones de desigualdad e igualdad, respectivamente.

Las condiciones necesarias para problemas con restricciones de desigualdad fueron publicadas por primera vez en la Tesis doctoral de W. Karush,1 aunque fueron

69

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_inflexi%C3%B3n


renombradas tras un artículo en una conferencia de Harold W. Kuhn y Albert W. Tucker.2

CONDICIONES NECESARIAS

Supongamos que la función objetivo, por ejemplo, a minimizar, es y las

funciones de restricción son y . Además, supongamos que son continuamente diferenciables en el punto x * . Si x * es un mínimo local,

entonces existe constantes , y

Tales que

TEMA Nº 5

OPTIMIZACIÓN FINANCIERA

1. INTRODUCCIÓN

Una introducción a las finanzas corporativas y a la profesión de la gestión financiera. En este capítulo, comenzaremos resumiendo las decisiones que deben adoptar los directores financieros.

Para sobrevivir y prosperar, las empresas deben satisfacer a sus clientes. También deben crear y vender sus productos y servicios con un beneficio. Para lograrlo, las compañías deben poseer activos, ya sean fabricas, equipos, oficinas ordenadores y software, marcas registradas, patentes o licencias, laboratorio investigación y desarrollo, etcétera. El cometido del director financiero consiste orientar tanto las decisiones de inversión! como las decisiones de financiación.

Después de estudiar este capítulo, usted podrá: Aplicar las ventajas y los inconvenientes de las sociedades anónimas, de los

propietarios individuales y de las asociaciones. Enumerar las principales decisiones que toman los directores financieros y explicar

el papel especial del director financiero (DF), del tesorero y del jefe de control de gestión.

Dar ejemplos de la carrera financiara de algunas personas.,

Explicar por que la maximización del valor del mercado es el objetivo financiero lógico de las empresas.

70

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimo_local

http://es.wikipedia.org/wiki/Continuamente_diferenciable

http://es.wikipedia.org/wiki/Albert_W._Tucker

http://es.wikipedia.org/wiki/Albert_W._Tucker

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Harold_W._Kuhn&action=edit&redlink=1


Comprender por qué surgen conflictos de intereses en las grandes empresas.Explicar por qué las empresas ofrecen incentivos a todos aquellos que trabajan en pro del fin común.

La Organización de las EmpresasPropietario único: El único poseedor de una empresa, que no tiene socios ni accionistas. El propietario es personalmente responsable de todas las obligaciones de la empresa.Asociación: Empresas cuya propiedad es de dos o más personas, que obedecen a un acuerdo o convenio de asociación

Sociedad anónima: Es una empresa organizada como entidad legal independiente, cuyos propietarios son sus accionistas.

Responsabilidad limitada: Los propietarios de una corporación no son personalmente responsables de las obligaciones de ésta.El Papel del Director Financiero

Para llevar a cabo sus actividades, las empresas necesitan una variedad casi infinita de activos reales. Activos reales: Activos que se emplean para producir bienes y servicios..Activos financieros: Los derechos a recocer los beneficios que peñeran los activos reales. También se denominan títulos.Para obtener los fondos que necesitan, las empresas venden a los inversores activos financieros o títulos.La Decisión de Presupuesto de CapitalLas decisiones de presupuesto de capital son vitales para el éxito o el fracaso de las empresas.

La Decisión de Financiación:La segunda responsabilidad del director financiero consiste en conseguir fondos para pagar las inversiones en activos reales. Esta es la decisión de financiación. Cuando las empresa necesitan financiación. Cuando las empresas financiación pueden invitar ajos inversores a o prometerles una serie de pagos fijos. A menudo, la composición de la financiación a largo plazo se denomina decisión sobre la estructura del capital, pues el capital son las fuentes de financiación de la empresa a largo plazo.

Quién es el Director FinancieroEmpleamos el término director financiero para aludir a cualquier responsable de las decisiones importantes y de inversión y de financiación.

Tesorero: es el responsable de la financiación de la gestión de tesorería de la relaciones con los bancos y con las demás instituciones financieras. Jefe de control de gestión: Es el responsable de los presupuestos, la contabilidad y los impuestos.

Director financiero: Supervisa las funciones del tesorero y del jefe de control de gestión y fija la estrategia financiera general.

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2. EL ENTORNO FINANCIERO

Cuando las empresas necesitan emitir más acciones el director financiero es quien mejor sabe como funcionan los mercados financieros. Si la empresa quiere contratar un préstamos bancario, al director financiero más le vale saber bien como funcionan los bancos y otras instituciones financieras.

Los mercados y las instituciones financieras componen el entorno financiero de las empresas.

El dinero retenido y reinvertido en las operaciones de la empresa es dinero que se ahorra y se invierte en beneficio de los accionistas de la empresa. La Bolsa

Los mercados financieros son aquellos donde se emiten y se negocian los títulos. Los títulos son sólo activos financieros negociados, como las acciones. Para las empresas, la Bolsa es Probablemente el mercado financiero más importante.

Mercado primario. El mercado donde se venden las nuevas acciones emitidas por las empresas. Mercado secundario: El mercado donde los inversores compran y venden las acciones ya emitidas. Mercado de renta fija: El mercado que opera con títulos de deuda. Mercado de capitales: El mercado de financiación a largo plazo.Mercado de dinero: Es el mercado para la financiación a corto plazo menos de 1 año

Los Intermediarios Financieros Los intermediarios financieros son organizaciones que obtienen dinero para los inversores y que proporcionan financiación a las personas las empresas y a otras organizaciones. Para las empresas, los intermediarios son una fuente importante de financiación. Son un paso en la vía que va desde el ahorro a las inversiones reales. Comenzaremos con dos cales importantes de intermediarios, los fondos de inversión y los fondos de pensiones.

Los fondos de inversión acumulan dinero vendiendo acciones a los inversores. El dinero de los inversores de reúne y se invierte en una cartera de títulos.

La liquidez Los mercados y los intermediarios también ofrecen liquidez, esto es la capacidad de convertir una inversión en dinero al contado cuando resulta necesario.

El Mecanismo de Pago Piense lo incómodo que sería tener que pagar al contado cada compra, o que General Motos tuviera que despachar a todo el país camiones enteros cargados con billetes de cien dólares para pagar a sus proveedores. Las cuentas corrientes, las tarjetas de crédito y las transferencias electrónicas permiten a las personas y a las empresas realizar y obtener pagos a larga distancia y de manera rápida y segura.

La Reducción del Riesgo

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Los mercados y los intermediarios financieros permiten que los inversores y las empresas reduzcan y transfieren el riesgo.

3. OPTIMIZACIÓN Y ESTADOS FINANCIEROS

Los estados financieros representan y muestran la situación financiera de una empresa en otras palabras es la fotografía de la situación o finanzas de la empresa.

Los estados financieros mas importantes que se deben considerar al realizar un análisis son los siguientes:

Balance General.

Estado de Resultados.

Flujo de Caja.

BALANCE GENERALACTIVO

Lo que tiene la empresa.ACTIVO CORRIENTE

Disponibles, caja, banco. Exigibles por cobrar. Realizables, inventarios.

ACTIVO NO CORRIENTE Activo fijo. Edificio. Inversión, acción telefónica

ACTIVO DIFERIDO Gastos de organización. Gastos de investigación Desarrollo de patentes.

PASIVOLo que debe la empresa las obligaciones que tiene con tercerosPASIVO CORRIENTE

Cuentas por pagar. Prestamos bancario a corto plazo.

PASIVO NO CORRIENTE Prestamos bancarios a largo

plazo. PATRIMONIORepresenta la parte de accionistas o socios.

ESTADO DE RESULTADOS

Ingresos (ventas) xxx-Costo variable (xxx)

Margen de contribución xxx-Costo fijo (xxx)

UAII xxx -Intereses (xxx)

73


UAI xxx-Impuestos (IUE 25%) (xxx)

Utilidad neta xxxx

EJEMPLO1

con la siguiente información: ingresos =7000, costo variable =2000, costo fijo =1000, tasa de interés =15%, activo =30000.

a) Maximizar la estructura de capital viendo cual de las siguientes estructuras es la más conveniente.

1. Pasivo20%, Patrimonio80%2. Pasivo50%. Patrimonio50%3. Pasivo80%, patrimonio20%

b) Para realizar este análisis determinar el ROE y ROA.

1. BALANCE GENERALACTIVO 100%

30000PASIVO 20%

6000PATRIMINIO 80%

2400030000 30000


30000PASIVO 50%

15000PATRIMINIO 50%

1500030000 30000


30000PASIVO 80%

24000PATRIMINIO 20%

74


60003000 3000

1, ESTADO DE RESULTADOS

Ingresos (ventas) 7000-Costo variable (2000)

Margen de contribución 5000-Costo fijo (1000)

UAII 4000 -Intereses (900)

UAI 3100Impuestos (IUE 25%) (775)

Utilidad neta 2325

2. ESTADO DE RESULTADOS




UAI 1750 Impuestos (IUE 25%) (437.5)

Utilidad neta 1312.5

3. ESTADO DE RESULTADOS



75



UAI 400Impuestos (IUE 25%) (100)

Utilidad neta 300

1. ROE =

ROE =

ROE = 0.10 10%

2. ROE =

ROE =

ROE = 0.09 9%

3. ROE =

ROE =

ROE = 0.05 5%

ROA =

ROA =

ROA = 0.10 10%

ROE es la rentabilidad de los socios. ROA es la rentabilidad de activos.

76


Ej. Si el margen de contribución fuese 27% significa que de cualquier venta que se haga se ha de generar 27% de excedente para cubrir los costos fijos.

- Rentabilidad sobre los activos

Este indicador es comparable con la tasa de interés bancaria como referente por que varia no es lo mismo hablar de computadoras o edificios.

Un DPF en un banco máximo nos da un 6% pero igualmente hay que comparar con el ROA del sector.

Este tipo de indicadores esta en el boletín del BCB.

- Rentabilidad sobre el patrimonio

Este indicador mide la rentabilidad sobre le patrimonio.

Este indicador se lo tiene que comparar en el costo de oportunidad.

MEDIDAS DE ENDEUDAMIENTO.

Se clasifica en 3 tipos de índice.

- Índice de endeudamiento - Razón pasivo – capital- Ratio de cobertura de interés

- Índice de endeudamiento

Este indicador nunca puede asumir un signo negativo.

Este indicador muestra el porcentaje de financiamiento que una empresa ha obtenido de fuentes externas.

Ejm. Si el IE fuese 75% significa que el 75% del financiamiento de la emp. fue obtenida de fuentes externas.

- Razón Pasivo – Capital

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Este indicador muestra cuantos dólares ha obtenido una empresa de fuentes externos por cada dólar aportado por los servicios.

Ejm. Si RPC fuese 3 significa que por cada dólar aportado por los socios de una empresa se han obtenido $us. 3 de fuente externa.

- Ratio de cobertura de interés

Si este indicador es mayor a 1 la empresa es capaz de pagar sus costos financieros.

1. Medidas de liquidez

- Capital Neto de trabajo- Índice de liquidez- Índice de prueba acida

- Capital neto de trabajo

CNT = Activo corriente – Pasivo corriente

Este indicador mide en que condiciones se encuentre la empresa respecto a su efectivo.

Si el resultado es positivo representa una cantidad de disponible en la empresa.

La tendencia moderna es que el AC-PC debe ser igual a O eficiencia de justo a tiempo.

Si el resultado es negativo quiere decir que los pasivos son mayores.

- Índice de liquidez

Este indicador muestra la cantidad de $us. Disponible que tiene la empresa por cada dólar que debe en el corto plazo.

Ejm. IL=1.4 significa que en la empresa existe 1.4 $us. Disponibles por cada dólar que se debe en el corto plazo.

Bajo el enfoque de justo a tiempo el resultado debería ser 1.

Para la realidad económica Boliviana se necesita que este índice sea superior a 1.

78


Muchos autores señalan que la medida perfecta debería ser 2 por lo que el parámetro estaría entre 1 y 2.

- Índice de prueba acida

Bajo el enfoque justo a tiempo este indicador debería ser igual a 1. para la realidad económica boliviana es aceptable que el rango este entre 0 y 1.

Ejm. Si el IPA=0.81 significa que tenemos 81 centavos de $us. por cada $us. Que debemos en el corto plazo si el indicador fuera 1.75 es dinero ocioso. Si el indicador fuera 0.01 existe una escasez de dinero es decir no existe liquidez en la empresa.

MEDIDAS DE ACTIVIDAD DE LA EMPRESA

- Índice de rotación de activos totales- Índice de rotación de cuentas por pagar- Índice de rotación de cuentas por cobrar- Índice de rotación de activos fijos- Índice de rotación de capital de trabajo- Índice de rotación de activos totales:

Este indicador carece de signos es decir, no representa una cantidad monetaria.

Representa el # de veces que los activos de la empresa han rotado en la gestion (1 año).

A este indicador se lo debe comprara con el indicador del sector.

- Índice de rotación de cuentas por pagar

Inv. Inicial + Compras –CV = Inv. Final

Este indicador muestra cuanto tarda una empresa en pagar sus C*P.

Esto indicador deberá ser coherente con la partida de comprar el crédito de una empresa.

- Índice de rotación de cuentas por cobrar

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Este indicador nunca es negativo y muestra el numero de veces o días que rotan las C*C en el año.

Este indicador debería se coherente con la política de ventas al crédito de una empresa.

- Índice de rotación de activos fijos

Este indicador muestra cuanto dinero se genera en ventas por cada dólar invertido en activos fijos.

Ejm. Si el IRAF fuese $us. 10.78 significa que por cada $us. Invertido en activos fijos que genera $us. 1075 en ventas.

- Índice de rotación de capital de trabajo

Los activos corrientes se conocen como capital de trabajo.

Este indicador muestra cuanto dinero se genera en ventas por cada dólar invertido en capital de trabajo.

Ejm. Si el IRKT fuese $us. 10.40 significa que por cada dólar invertido en capital de trabajo se genera $us. 10.40 en ventas.

4. OPTIMIZACIÓN Y LOS INDICADORES FINANCIEROS

Razón financiera índice o indicador financiero es lo mismo, los indicadores financieros que permiten medir comparar y realizar analizar financiero de los resultados obtenidos de la simulación realizada, es decir que sucederá en una empresa cuando se realizan determinados cambios bajo determinados condiciones.

CLASIFICACIÓN INDICADORES FINANCIEROS

Medidas de liquidez. Medidas de la actividad de la empresa. Medidas de endeudamiento. Medidas de rentabilidad.

MEDIDAS DE RENTABILIDAD DE LA EMPRESA;

80


A su vez este se divide en tres.

Margen de contribuciónrentabilidad sobre los activos.rentabilidad sobre el patrimonio.

Margen de contribución

MG Contrib =

Este es un indicador comparable con el sector. este indicador representa cuanto excedente se ha generado para abrir los costos fijos.

5. TEOREMA DE MODIGLIANI-MILLER

Teorema Modigliani-Miller (llamado así por Franco Modigliani y Merton Miller) es parte esencial del pensamiento académico moderno sobre la estructura de capital de la empresa. El teorema afirma que el valor de una compañía no se ve afectado por la forma en que ésta es financiada en ausencia de impuestos, costes de quiebra y asimetrías en la información de los agentes. Oponiéndose al punto de vista tradicional, el teorema establece que es indiferente que la empresa logre el capital necesario para su funcionamiento acudiendo a sus accionistas o emitiendo deuda. También es indiferente la política de dividendos.

PROPOSICIONES DE MILLER

Consideremos dos empresas en todo idénticas excepto en su estructura financiera. La primera (empresa U) no está apalancada; es decir, se financia únicamente por las aportaciones de los accionistas. La otra sociedad (empresa L) está apalancada; se financia en parte con acciones y en parte con deuda. El teorema Modigliani-Miller afirma que el valor de las dos compañías es el mismo:

Proposición I:

Donde VU es el valor de la empresa sin apalancamiento = precio de compra de todas las acciones de la empresa, y VL es el valor de una empresa con apalancamiento = precio de compra de todas las acciones de la empresa más todas sus deudas.

El teorema se basa en el siguiente razonamiento: supongamos que un inversor está indeciso entre invertir una determinada cantidad de dinero en la empresa U o en la empresa L. Será indiferente para él comprar acciones de la empresa apalancada L o comprar acciones de la empresa U y simultáneamente pedir prestado en la misma proporción que la empresa L lo hace. El rendimiento de ambas inversiones será el mismo. Por lo tanto el precio de las acciones de L debe ser el mismo que el de las acciones de U menos el dinero que el inversor B pidió prestado, que coincide con el valor de la deuda de L.

81

http://es.wikipedia.org/wiki/Apalancamiento

http://es.wikipedia.org/wiki/Merton_Miller

http://es.wikipedia.org/wiki/Merton_Miller

http://es.wikipedia.org/wiki/Franco_Modigliani


El razonamiento para ser cierto necesita una serie de fuertes supuestos. Se asume que el coste de pedir prestado dinero por el inversor coincide con el de la empresa, lo que sólo es cierto si no hay asimetría en la información que reciben los agentes y si los mercados financieros son eficientes.

Proposición II:

rS es el coste del capital de la empresa.

r0 es el coste del capital de una empresa sin apalancamiento.

rB es el coste de la deuda.

B / S es la ratio entre deuda y capital propio de la empresa.

Esta proposición afirma que el coste del capital de la empresa es una función lineal de la ratio entre deuda y capital propio. Una ratio alta implica un pago mayor para el capital propio debido al mayor riesgo asumido por haber más deuda. Esta fórmula se deriva de la teoría del coste medio del capital.

Las dos proposiciones son cierta siempre que asumamos que:

no hay impuestos.no hay costes de transacción.

los particulares y las empresas pueden pedir prestado a los mismos tipos de interés.

Lógicamente, después de estos supuestos tan restrictivos que no se cumplen en el mundo real, el teorema podría parecer irrelevante, pero a pesar de ello se sigue estudiando por un motivo muy importante. Debemos comprender qué supuestos se están violando para entender cual es la estructura de capital óptima.

82


83


BALANCE GENEGALCTAS POR COBRAR (VENTAS) 20%CTAS POR PAGAR (COSTO VARIABLE) 10%CRECIMIENTO DE INVERSION 20%

ESTADO DE RESULTADOSCRECIMIENTO EN VENTAS 20%CRECIMIENTO EN COSTO VARIABLE 10%CRECIMIENTO EN COSTO FIJO 5%CRECIMIENTO EN INTERESES 1%

GESTION 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020ACTIVOACTIVO CORRIENTE 1400 837 819 953 1273 1819 2643 3808 5391 7485 10205 13688Banco y Caja 400 597 531 608 858 1321 2046 3092 4531 6453 8966 12202Cuebtas por Cobrar 1000 240 288 346 415 498 597 717 860 1032 1238 1486

ACTIVO NO CORRIENTE 300 258 216 176 138 102 69 38 11 -12 -29 -41Edificio 100 98 95 93 90 88 85 83 80 78 75 73Vehiculos 80 64 48 32 16 0 -16 -32 -48 -64 -80 -96Activo diferido 90 60 30 0 -30 -60 -90 -120 -150 -180 -210 -240Inversion 30 36 43 52 62 75 90 107 129 155 186 223

TOTAL ACTIVO 1700 1095 1036 1130 1411 1921 2712 3846 5402 7474 10175 13647

PASIVO 2500 1888 1717 1564 1429 1310 1205 1112 1032 963 905 856Prestamo Bancario 2000 1800 1620 1458 1312 1181 1063 957 861 775 697 628Cuentas por Pagar 500 88 97 106 117 129 142 156 171 189 207 228

84


PATRIMONIO -800 -793 -681 -435 -18 611 1507 2734 4370 6510 9271 12791Capital Social 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000Resultados Acumulados -1800 -1793 -1681 -1435 -1018 -389 507 1734 3370 5510 8271 11791

TOTAL PASIVO PATRIMONIO 1700 1095 1036 1130 1411 1921 2712 3846 5402 7474 10175 13647

CONTROL 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ESTADO DE RESULTADOS

Ingresos 1000 1200 1440 1728 2074 2488 2986 3583 4300 5160 6192 7430Costo Variable -800 -880 -968 -1065 -1171 -1288 -1417 -1559 -1715 -1886 -2075 -2282Margen de Contribucion 200 320 472 663 902 1200 1569 2024 2585 3273 4117 5148Costo Fijo -200 -210 -221 -232 -243 -255 -268 -281 -295 -310 -326 -342UAII 0 110 252 432 659 945 1301 1743 2289 2963 3791 4806Intereses -100 -101 -102 -103 -104 -105 -106 -107 -108 -109 -110 -112UAI -100 9 149 329 555 840 1195 1636 2181 2854 3681 4694IMPUESTOS 0 2 37 82 139 210 299 409 545 713 920 1173UTILIDAD NETA -100 7 112 246 416 630 896 1227 1636 2140 2760 3520

ROE 12,50% -0,85% -16,46% -56,71% -2277,72% 102,99% 59,44% 44,87% 37,44% 32,88% 29,78% 27,52%ROA 0,00% 7,54% 18,21% 28,66% 35,04% 36,88% 35,97% 33,98% 31,78% 29,74% 27,94% 26,41%MG DE CONTRIBUCION 20,00% 26,67% 32,78% 38,38% 43,51% 48,22% 52,54% 56,49% 60,12% 63,44% 66,49% 69,28%

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TEMA Nº 6

PROBABILIDAD Y CADENAS DE MÁRKOV

1. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES

VARIABLE ALEATORIA

Formalmente se dice que una variable aleatoria (v.a.) X es una función real definida en el espacio muestra asociado a un experimento aleatorio, Ω.1 2

Se llama rango de una v.a. X y lo denotaremos RX, al conjunto de los valores reales que esta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:

TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS

Para comprender de una manera más amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la definición de conjunto discreto. Un conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente.3

Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía (véanse las distribuciones de variable discreta).

Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.4 (véanse las distribuciones de variable continua)

LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria.

Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.Definición de función de distribución

86

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad#Distribuciones_de_variable_continua

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad#Distribuciones_de_variable_continua

http://es.wikipedia.org/wiki/Estatura

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_numerable

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad#Distribuciones_de_variable_discreta

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_cuant%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica#Rango


Dada una variable aleatoria X, su función de distribución, FX(x), es

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice X y se escribe, simplemente, F(x)

Propiedades

Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:

Es una función continua por la derecha. Es una función monótona no decreciente.

Además, cumple

Y

Para dos números reales cualesquiera a y b tal que (a < b), los sucesos y

son mutuamente excluyentes y su unión es el suceso , por lo que tenemos entonces que:

Y finalmente

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución F(x) para todos los valores de la variable aleatoria x conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.

Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

2. PROCESO ESTOCÁSTICO

En concreto teoría de la probabilidad, un proceso aleatorio o proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar es una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente, el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.

Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o impactos aleatorios constituye un proceso estocástico.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Aleatoriedad

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable

http://es.wikipedia.org/wiki/Autocorrelaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad


http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_mon%C3%B3tona

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua



Un proceso estocástico se puede definir equivalentemente de dos formas diferentes:

Como un conjunto de realizaciones temporales y un índice aleatorio que selecciona una de ellas.

Como un conjunto de variables aleatorias indexadas por un índice , dado que , con .

Puede ser continuo si es un intervalo (el número de sus valores es ilimitado) o discreto si es numerable (solamente puede asumir determinados valores).

Las variables aleatorias toman valores en un conjunto que se denomina espacio probabilístico.

Sea un espacio probabilístico.

En una muestra de tamaño n se observa un suceso compuesto E formado por sucesos elementales ω:

, de manera que .

El suceso compuesto es un subconjunto contenido en el espacio muestral y es un álgebra de Boole B. A cada suceso ω le corresponde un valor de una variable aleatoria V, de manera que V es función de ω:

El dominio de esta función o sea el campo de variabilidad del suceso elemental, es el espacio muestral, y su recorrido, o sea el de la variable aleatoria, es el campo de los

números reales. Se llama proceso aleatorio al valor en de un elemento

, donde para todo es una variable aleatoria del

valor en .

Si se observa el suceso ω en un momento t de tiempo:

.

V define así un proceso estocástico.1

Si es una filtración,2 se llama proceso aleatorio adaptado, al valor en , de

un elemento , donde es una variable aleatoria -

medible del valor en . La función se llama la trayectoria asociada al suceso .

3. CADENAS DE MARKOV

En matemáticas, se define como un proceso estocástico discreto que cumple con la propiedad de Márkov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su estado presente resume toda la información relevante para describir en probabilidad su estado futuro.

88

http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_de_M%C3%A1rkov

http://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_estoc%C3%A1stico

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_imagen

http://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica


http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_muestral

http://es.wikipedia.org/wiki/Muestra

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_probabil%C3%ADstico



http://es.wikipedia.org/wiki/Numerable

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo



Una cadena de Márkov es una secuencia X1, X2, X3,... de variables aleatorias. El rango de estas variables, es llamado espacio estado, el valor de Xn es el estado del proceso en el tiempo n. Si la distribución de probabilidad condicional de Xn+1 en estados pasados es una función de Xn por sí sola, entonces:

Donde xi es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la propiedad de Márkov.

CADENAS DE MÁRKOV EN TIEMPO CONTINUO

Si en lugar de considerar una secuencia discreta X1, X2,..., Xi,.. Con i indexado en el conjunto de números naturales, se consideran las variables aleatorias Xt con t que varía en un intervalo continuo del conjunto de números reales, tendremos una cadena en tiempo continuo. Para este tipo de cadenas en tiempo continuo la propiedad de Márkov se expresa de la siguiente manera:

Tal que

4. MATRICES DE TRANSICIÓN

La tendencia de una población a moverse entre n estados se puede describir a veces mediante una matriz de n x n.

Consideremos una población distribuida entre n = 3 estados, que llamaremos estado 1,Estado 2 y estado 3. Se supone que conocemos la proporción ij t de la población delEstado j, que se mueve al estado i en determinado período de tiempo fijo. Obsérvese que

Dirección del movimiento del estado j al estado i va en orden de derecha a izquierda delos subíndices en ij t . La matriz ( ) ij T t se llama matriz de transición.Supongamos que la población de un país, está clasificada de acuerdo con los ingresos en

Estado 1: pobreEstado 2: ingresos mediosEstado 3: rico

Supongamos que en cada período de 20 años tenemos los siguientes datos para la población y su descendencia:

De la gente pobre, el 19% pasó a ingresos medios, y el 1% a rica;Ciencia…Ahora, Nº 20, año 10, septiembre – octubre 2007

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120 de la gente con ingresos medios, el 15% pasó a pobre, y el 10% a rica; de la gente rica, el 5% paso a pobre, y el 30%, a ingresos medios. El registró ij t de la matriz de transición T, representa la proporción de la población que pasa del estado j al estado i, no el porcentaje.

Para el estado 1 (esto es la columna 1 de la matriz de transición T). El dato de que el 19% de los pobres (estado 1) pasará a ingresos medios (estado 2) significa que debemos tomar 0,19 21 t . Del mismo modo como, como el 1% de la gente del estado 1 (pobre) pasa al estado 3 (rico), debemos anotar 0,01 31 t . Ahora 11 t representa la proporción de gente pobre que sigue siendo pobre después de 20 años. Como es el 80%, debemos escribir el registro 0,80 11 t . Siguiendo de esta manera y comenzando con el estado 2 (para la columna 2), se tiene, 0,15 0,10 12 32 t t con lo cual se obtiene 0,75 22 t ; y finalmente, para el estado3 (columna3) se tiene 0,05 0,30 13 23 t t entonces 0,65 33 t . De esta forma la matriz de transición que describe estos datos es rico medio pobre: 0,01 0,10 0,65 rico T = 0,19 0,75 0,30 medio 0,80 0,15 0,05 pobre

Obsérvese que:1) las entradas de la diagonal de la matriz representa la proporción de la población que no cambia de estado en un período de 20 años;

2) un registro de la matriz da la proporción de la población del estado superior del registro que pasa al estado de la derecha del registro en un período de 20 años.

3) la suma de los registros de cada columna de la matriz T es 1, pues la suma refleja el movimiento de toda la población para el estado relacionado en la parte superior de la columna.

Supongamos ahora que las proporciones de toda la población ubicada en los distintos estados al comienzo de un período están dadas por el vector p de distribución de la población p1

P = p2 p3

Si el total de la población estuviera inicialmente dividida por igual entre los estados. Los registros de un vector de distribución de población deben ser no negativos y sumar 1.

Para una matriz de transición T y un vector inicial de distribución de población, el vector producto Tp es el vector de distribución de población después de un período de tiempo.

Supongamos que una matriz de transición es válida para una sucesión de períodos de tiempo, una situación así se denomina cadena de Markov.

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Las cadenas de Markov surgen de manera natural en biología, psicología, economía, demografía y en muchas otras áreas de estudio, por lo que son una aplicación importante del álgebra lineal y de la probabilidad. El registro ij t en una matriz de transición T se conoce como la probabilidad de pasar del estado j al estado i en un período de tiempo.

El nombre de cadenas de Markov se debe al matemático ruso Andrei Andreevich Markov (1856 -1922), quien las definió por primera vez en un artículo de 1906 que trataba la ley de los grandes números y posteriormente demostró muchos resultados estándar sobre ellas.

Su interés en estás sucesiones se originó en las necesidades de la teoría de la probabilidad; Markov nunca trato sus aplicaciones a las ciencias. Los únicos ejemplos reales que utilizó eran de textos literarios, donde los dos estados posibles eran vocales y consonantes. Para ilustrar sus resultados, hizo un estudio estadístico de la alternancia de las vocales y las consonantes en el libro de Pushkin Eugene Onegin. Andrei Markov dio clase en la universidad de San Petersburgo de 1880 a 1905, y se retiró para dar paso a matemática

3. PROBABILIDAD DE PARTICIPACIÓN EN EL MERCADO

EJEMPLO 1

Al examinar las migraciones en la ciudad de Oruro entre la zona norte y sud se ha determinado que el 95% de los que viven en la zona norte seguirán viviendo el año siguiente en la zona norte y el 98% de los que viven en la zona sud sequiran viviendo en la zona sud, tambien se conoce que el 40% de la población de Oruro vive en la zona norte, y el 60% vive en la zona sud.

a) Construya el grafo.b) Construya la matriz de transición c) Determine el % de habitantes que habrá en cada zona dentro de 2 años.d) Determine la probabilidad del estado.

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a) 5%

b) NORTE SUD

NORTESUD

0.950.02

0.050.98

MATRIZ DE TRANSICION

c)

d)

DE (1)

0.951+0.022-1=0-0.051+0.022=0 (I)

NORTE SUD

95 %

98%

2%

92


DE (2)

0.051+0.982-2=00.051-0.022=0 (II)

DE (3)

1+2=11=1-2

r/ III en II

0.051-0.022=00.051-0.052-0.022=00.05=0.072

2=0.7143

r/ en III

1=1-0.71431=0.2857

CADENAS DE MARKOV

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TEMA Nº 7

OPTIMIZACIÓN Y PRONOSTICOS

1. INTRODUCCIÓN

Cuanto va a crecer al economía el año próximo? ¿Hacia dónde se dirige el mercado de valores? ¿Qué ocurrirá con las tasas de interés? ¿Cómo Va a cambiar las preferencias de los consumidores? ¿cuáles serán los productos nuevos más exitosos?

Los pronosticadores tienen respuestas a todas estas preguntas.El éxito futuro de cualquier negocio depende de con cuanta experiencia cuente la administración para defender tendencias y desarrollar estrategias acordes.

Los líderes de las mejores compañías con frecuencia parecen tener un sexto sentido para cambiar de dirección y mantenerse un paso delante de la competencia. Estas compañías rara vez se en aprietos por estimular mal la demanda futura de sus productos. Muchas otras compañías tienen problemas. La aptitud para pronosticar bien arca la diferencia.

Por fortuna cuando se dispone de datos históricos de ventas se han desarrollado algunos métodos de pronóstico estadístico para usar estos datos para pronosticar la demanda futura.

También están disponibles varios métodos de pronostico subjetivos que solo usan el juicio de expertos.

También están disponibles varios métodos de pronostico subjetivos que solo usan el juicio de expertos.

Es una tesina que ayuda a predecir lo que ocurre en el futuro.Es un elemento necesario del proceso de planeación con insumos críticos para una amplia gama de procesos de toma de decisiones.

2. CLASIFICACIÓN ORIENTADA A LA ADMINISTRACIÓN.

1. Métodos de pronósticos cuantitativos; también llamados de pronósticos estadísticos que son los que requieren una serie histórica de datos, estos métodos suponen que continuaran las tendencias.

2. Métodos de pronósticos cualitativos; también llamados métodos de pronósticos subjetivos.

Estos métodos se basan en el juicio y opinión de expertos.

Estos métodos son valiosos cuando hay pocos o nulos datos históricos

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MÉTODOS CUANTITATIVO.

Método del último valor.Método del promedioMétodo de promedios móvilesMétodo de suavizado exponencialMétodo de suavizado exponencial con tendencia.

MÉTODOS CUALITATIVOS.

Opinión del GerenteJurado de opinión EjecutivoGrupo de fuerza de ventas.Sondeo de Mercado de Consumo.Método Delphi.

CLASIFICACIÓN EN GENERAL.

METODOS CUANTITATIVOS:

Los promedios móviles simples. El aislamiento exponencial. Los promedio móviles dobles. Aislamiento exponencial doble. Los filtros adaptativos. El método de descomposición. El método de Box-Jenkins. El análisis de regresión. Los modelos econométricos

METODOS CALITATIVOS.

Las curvas logísticas y el análisis. El inventario morfológico. El método Delphi.

3. MÉTODOS DE PRONÓSTICOS Y OPTIMIZACIÓN

Pronósticos de ventas. Cualquier compañía involucrada en la venta de productos necesita pronosticar la demanda sus bienes. Los fabricantes necesitan saber cuántos producir.

Por otra parte sobreestimar la demanda por mucho es también muy costos debe a (1) costos de inventario excesivos, (2) reducciones forzadas de precios (3) producción capacidad de almacenamiento innecesaria y (4) oportunidades perdidas de comercialización de bienes más rentables.

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Pronóstico de la necesidad de refacciones

Aunque el pronóstico efectivo de las ventas es clave casi para cualquier compañía algunas organizaciones deben también apoyarse en otros tipos de pronósticos. Un ejemplo importante se refiere a los pronósticos de la necesidad de refacciones. Muchas compañías necesitan mantener un inventario de relaciones para poder reparar con rapidez ya sea su propio equipo o los productos vendidos o arrendados a los clientes. En algunos casos, este inventario en muy grande.

Igual que para el inventario de productos terminados listos para la venta la administración eficaz del inventario de refacciones depende de la obtención de un pronóstico confiable de la demanda de ese inventario.

Pronóstico de Rendimiento de la producción

El rendimiento de un proceso de producción se refiere al porcentaje de los artículos terminados que cumplen con las normas de calidad (quizá después del retrabajo) y que necesitan Descartarse. En particular con productos de alta tecnología, con frecuencia el rendimiento está muy por debajo de 100%.

Si el pronóstico del rendimiento de la producción es menor que 100%, el tamaño de la corrida de producción quizá deba ser mayor que la cantidad ordenada para tener una buena oportunidad de completar el pedido con artículos aceptables. (La diferencia entre el tamaño de la corrida y la cantidad ordenada se llama la tolerancia de rechazo.} Si se requiere una preparación costosa para cada corrida de producción o si solo hay tiempo para una corrida, quizá la tolerancia de rechazo deba ser grande. No obstante, debe evitarse un valor demasiado grande para no incurrir en costos de producción excesivos.Es esencial la obtención de un pronóstico de producción confiable para elegir un valor apropiado de tolerancia de rechazo.

Con la sola excepción de los pronósticos de ventas, el esfuerzo de pronósticos más se dedica a pronosticar las tendencias económicas a nivel regional, nacional o incluso internacional. ¿Cuánto va a crecer el producto interno bruto de la nación el próximo trimestre? ¿El próximo año? ¿Cuál es el pronóstico de la tasa de inflación? ¿De la tasa de desempleo?. De la balanza comercial?

Se han desarrollado modelos estadísticos para pronosticar las tendencias económicas (conocidos como modelos econométricos) en varias dependencias gubernamentales, centros universitarios de investigación, grandes empresas y firmas consultoras.

Pronóstico de necesidades de personal

Una de las mayores tendencias en la economía es un cambio de enfoque la manufactura a los servicios. Cada vez más los productos fabricados se producen fueron país donde la mano de obra es menos costosa e importados.

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Método de pronóstico de último valor

El método de pronóstico de último valor ignora todos los datos en una serie de tiempo excepto el último. Después usa este último valor como el pronóstico de los que resultará ser el siguiente punto de modo que la fórmula simplemente es:

El método del promedio de pronóstico

El método del promedio para pronosticar se va al otro extremo. En lugar de sólo usar un tamaño de muestra de uno usa todos los datos en la serie de tiempo y simplemente promedia estos puntos. Entonces. El pronóstico de lo que será el siguiente punto es:Pronostico = promedio de todos los datos a la fecha

Método para pronósticos de promedio móviles

En vez de usar datos antiguos que pudieran ya no ser relevantes, el método de promedios móviles para pronosticar promedia sólo los datos de los periodos más recientes.

Sea:

N = número de periodos más recientes considerados particularmente significativos para pronosticar el siguiente periodo.

Entonces, el pronóstico para el siguiente periodo es

Pronóstico = promedio de los últimos n valores

Método de suavizado exponencial para pronósticos

El método de suavizado exponencial para pronósticos modifica el método de promedios móviles al dar mayor peso al último valor en la serie de tiempo y luego, progresivamente, pesos menores a los valores más antiguos. Sin embargo, en vez de necesitar calcular un promedio ponderado, usa una fórmula más sencilla para obtener el mismo resultado.

Esta fórmula para pronosticar el siguiente valor en la serie cronológica combina el último valor y el último pronóstico (el empleado hace un periodo para pronosticar 'este último pronóstico) como sigue:

Pronóstico = (último valor) + (1 - a)(último pronóstico) donde a (la letra griega alfa) es una constante entre O y 1 llamada la constante de suavizado.

Suavizado exponencial con tendencia

El suavizado exponencial con tendencia usa los valores recientes en la serie de tiempo para estimar cualquier tendencia arriba o abajo actual en estos valores. Está especialmente diseñado para el tipo de serie de tiempo descrita en tendencia hacia arriba (o abajo) tiende a continuar por un número considerable de periodos (mas no necesa-riamente indefinido).

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Esta figura en particular muestra la población estimada de cierto estado a mediados de año durante una serie de años. La línea en la figura (conocida como línea de tendencia) muestra la tendencia básica que sigue la serie de tiempo, pero con fluctuaciones hacia ambos lados de la línea. Debido a que la tendencia básica es hacia arriba en este caso, los pronósticos basados en cualquiera de los métodos de pronóstico anteriores tenderían a ser demasiado bajos. No obstante, mediante el desarrollo de una estimación de la pendiente actual de esta línea de tendencia y luego el ajuste del pronóstico para considerar esta pendiente, se pueden obtener estimaciones mucho más precisas. Ésta es la idea básica detrás del suavizado exponencial con tendencia. La tendencia se define como

Tendencia = cambio promedio de un valor de una de las series de tiempo al siguiente si continúa el patrón actual

Pronosticar causal con regresión lineal

Pronostico causal

En realidad las ventas determinan el volumen de llamadas y éstas se pueden pronosticara mucha mayor precisión que el volumen de llamadas. Por lo tanto, debería ser posible obtener un mejor pronóstico del volumen de llamadas si se relacionan directamente con las ventas pronosticadas. Este tipo de enfoque se conoce como pronóstico causal.

El pronóstico causal obtiene un pronóstico de la cantidad de interés (la variable dependiente al relacionarse en forma directa con una o más cantidades las variables independientes que determinan la cantidad del interés.

Regresión Lineal

Cuando se hace el pronóstico causal con una sola variable independiente, la regresión lineal incluye aproximar la relación entre la variable independiente (volumen de llamadas para CCW) y la variable independiente (ventas para CCW) mediante una línea recta. Esta recta se traza en una gráfica con la variable independiente en el eje el horizontal y la variable dependiente en el eje vertical. La recta se construye después de graficar los puntos que muestran cada valor observado de la variable independiente y el valor correspondiente de la variable dependiente.

Así, la recta de regresión lineal en la figura 13.15 puede usarse para estimar el valor que debe tener el volumen de llamadas para un valor particular de ventas. En generadla ecuación para la recta de regresión lineal tiene la forma

Y = a + bx

Donde

y = a + bx donde y = valor estimado de la variable dependiente; según lo da la recta de regresión lineal.

a = valor de la intersección de la recta de regresión lineal y el eje y

100


b = pendiente de la recta de regresión lineal x - valor de la variable independiente

APLICAIONES DE LOS PRONOSTICOS.

En mercadotecnia las de decisiones con respecto al futuro de un producto o servicio dependerán de las características de su mercado. Las tendencias de precios de un producto, el desarrollo de nuevos productos competidores, etc.

En producción los pronósticos pueden predecir más.

En finanzas y contabilidad, los pronósticos pueden predecir el PIB de un país, el desempleo, la inflación, etc.

EJEMPLO:

SERIES DE TIEMPOInformación suministrada por el departamento de Estado, de transito de

la policía nacional establecen el número de carros que transitan en todo el país los últimos siete años fueran:

Pronosticar la cantidad de vehículos para los años 2010 y 2011.

AÑO CANTIDAD2003 12000002004 15000002005 18500002006 19500002007 24000002008 27500002009 2920000

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PAQUETE FORECASTING

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EJEMPLO 2

X Y10 100015 122020 131025 167030 184535 2050

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