Metodología Lagrange y Optimización sin Restricciones

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MÉTODO LAGRANGE Y OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES INTEGRANTES: Aguilar Carmen Araujo Loyce Mejias Leonardo

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Descripción de lo que es la metodología Lagrange y Optimización sin Restricciones.

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MÉTODO LAGRANGE Y OPTIMIZACIÓN

SIN RESTRICCIONES

INTEGRANTES:

Aguilar Carmen

Araujo Loyce

Mejias Leonardo

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HISTORIA DEL MÉTODO

LAGRANGE

El método lagrangian (también conocido como multiplicadores lagrangian) lo propuso Joseph Louis Lagrange (1736-1813), un matemático nacido en Italia. Sus multiplicadores lagrangian tienen aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo el físico, astronomía y económica. La lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó su interés, y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Nombrado profesor de la Escuela de Artillería, en 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín. En su obra Miscellanea taurinensia, escrita por aquellos años, obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo, y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes.

Realizo un trabajo sobre el equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que la Luna siempre mostrara la misma cara, le supuso la concesión, en 1764, de un premio por la Academia de Ciencias de París, Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras Teoría de las funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas (1798).

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OBJETIVOS DEL MÉTODO

LAGRANGE

- Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de la variable z.- Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene extremos.- Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de multiplicadores de Lagrange. - Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a la función condicionante.- Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente computacional.

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CASOS DE USO DEL MÉTODO

LAGRANGE

Uno de los problemas más comunes en el cálculo es el de encontrar máximos o mínimos (en general, "extremos") de una función, pero a menudo es difícil encontrar una forma cerrada para la función que se está extremized. Estas dificultades surgen a menudo cuando se desea maximizar o minimizar una función sujeta a condiciones exteriores fijos o restricciones. El método de los multiplicadores de Lagrange es una herramienta poderosa para resolver esta clase de problemas sin la necesidad de resolver explícitamente las condiciones y los utilizan para eliminar las variables adicionales.

Para decirlo más sencillamente, no es por lo general suficiente para preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el aluminio necesario para hacer esta lata?" (La respuesta a eso es claramente "Hacer un muy, muy pequeño puede!") ¡Tienes que preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el aluminio mientras se asegura la lata celebrará 10 onzas de sopa ? " O del mismo modo, "¿Cómo puedo maximizar el beneficio de mi fábrica dado que sólo tiene $ 15.000 a invertir ? " O, para tomar un ejemplo más sofisticado ", ¿Cuánto tarda en llegar a la montaña rusa de la tierra suponiendo que se mantiene en el camino ? " En general, los multiplicadores de Lagrange son útiles cuando algunas de las variables en la descripción más sencilla de un problema son despedidos por las restricciones.

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DEFINICIÓN MÉTODO

LAGRANGE

El método de los multiplicadores de LaGrange es un método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertasrestricciones. Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce una nueva variable escalardesconocida, el multiplicador de LaGrange, para cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra derivadas parciales, o bienusando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna función implícita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variablesindependientes de una función sea igual a cero.

La interpolación de lagrange evita el calculo de las diferencias divididas, todos los puntos se determinan de manera que la curva del polinomio pase portodos y cada uno de los puntos especificados.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

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VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL

MÉTODO LAGRANGEVentajas-Es el método que permite resolver interpolación polinomial sin resolver las ecuaciones lineales.

-Una ventaja de la interpolación de lagrangees que el método no necesita espaciados uniformes en los valores de x.

-El método resulta optimo para abordar diferente problemas de interpolación.Desventajas-No siempre funciona correctamente con una gran cantidad de puntos .A medida que crece el grado del polinomio interpolación, se percibe una creciente variación entre puntos.

-La cantidad de cálculos necesaria para una interpolaciones grande.

-La evaluación del error no es fácil.

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CARACTERÍSTICAS DEL MÉTODO

LAGRANGE-El método de eliminación de variables no resulta operativo cuando el problema tiene muchas restricciones o las restricciones son complejas, por lo que resulta muy útil éste método.

-Los Multiplicadores de Lagrange es un método alternativo que además proporciona más información sobre el problema.

-Todos los óptimos que verifiquen las condiciones de regularidad establecidas tienen asociados los correspondientes multiplicadores.

-El teorema de Lagrange establece una condición necesaria de optimalidad (bajo las condiciones de regularidad).

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CAMPOS DE APLICACIÓN DEL

MÉTODO LAGRANGEExisten en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en la Química, en la Astronomía, en Biología, en Economía etc. Situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, por consiguiente, predecir la existencia de otros valores con la aproximación adecuada. El método de la interpolación de Lagrange es de gran importancia en el análisis numérico.

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FUNCIÓN DEL MÉTODO LAGRANGE

El método de Lagrange aplica cálculo diferencial, implicando el cálculo de derivadas parciales, hasta temas de optimización restringida. El propietario de un negocio, por ejemplo, puede utilizar esta técnica para maximizar el beneficio o minimizar los costos dados que el negocio tiene sólo una cierta cantidad de dinero que invertir. Un consumidor hipotético, que, por ejemplo, deriva la utilidad de coleccionar libros y CDs, podría utilizar este método para determinar la forma de obtener el número óptimo de libros y CDs, dado que sólo tiene US$100 de ingresos disponibles para gastar.

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IDENTIFICACIÓN Y EFECTOS DEL

MÉTODO LAGRANGEEl multiplicador de Lagrange, representado en la ecuación por la letra minúscula griega lambda ( λ), representa la tasa de cambio en la utilidad relativa al cambio en la restricción de presupuesto. En economía, esto se conoce como el valor o utilidad marginal, el aumento en la utilidad ganada de un aumento en la restricción de presupuesto.

Basado en los resultados de un análisis de Lagrange, una persona o empresa tiene una base empírica para tomar decisiones sobre la maximización de utilidad continuada en los cambios de las restricciones externas. Un incremento del precio en un artículo favorito. por ejemplo, podría llevar a que el consumidor compre una cantidad más baja de ese artículo o trabajar más horas para conseguir más ingresos y alcanzar el precio más alto.

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AYUDA QUE BRINDA EL MÉTODO LAGRANGE

Para la Solución de Problemas de Optimización Dinámica: La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para el polinomio interpolador, se llega a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, se llega a la forma más simple de matriz identidad = δi que puede resolverse inmediatamente.

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MÉTODO LAGRANGE

Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

Se procede a buscar un extremo para h

Lo que es equivalente a

Para entender mejor explicaremos el procedimiento de la siguiente manera:Se tiene una función y una restricción.Se iguala la restricción a 0.La restricción se multiplica por lambda y se resta de la función principalSe obtienen las derivadas parciales de la función resultante.Se construye un sistema de ecuaciones con estas derivadas.A continuación se obtienen los valores críticos desarrollando el sistema de ecuaciones, en donde siempre el valor debe eliminarse para que se puedan obtener los valores críticos de las variables.Se sustituyen los valores necesarios para sacar los puntos críticos.

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-Asignación de Producción. Para surtir una orden de 100 unidades de su producto, una empresa desea distribuir la producción entre sus dos plantas, 1 y 2. La función de costo total está dada por:

-Donde son los números de unidades producidas en las plantas 1 y 2 respectivamente. ¿Cómo debe distribuirse la producción para minimizar los costos? (Puede suponerse que el punto crítico obtenido corresponde al costo mínimo).

La restricción está dada por:

EJERCICIOS DEL MÉTODO LAGRANGE

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OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES

Optimizar una función es el proceso que permite encontrar el valor máximo y/o mínimo que puede tomar una función así como aquellos valores de la variable independiente que hacen que la función sea óptima.

El método sin restricciones puede ayudar en gran manera a la solución de ciertas clases de problemas complejos en el área de ingeniería causando un impacto significativo en la solución de ciertos Problemas.

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OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES

IMPORTANCIAUna buena técnica de optimización de variables es fundamental por al menos tres razones:• En muchos problemas las restricciones se pueden incluir dentro de la función objetivo, por lo que la dimensionalidad del problema se reduce a una variable.• Algunos problemas sin restricciones, inherentemente incluyen una única variable.• Las técnicas de optimización con y sin restricciones, generalmente incluyen pasos de búsqueda unidireccional en sus algoritmos.

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OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES

En optimización sin restricciones se minimiza una función objetivo que depende de variables reales sin restricciones sobre los valores de esas variables.

La formulación matemática es:

(OSR) = _minx

f(x) ∈IRn

Donde f es una función suficientemente regular.

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OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES

Ejemplo:Se intenta encontrar una curva que ajuste algunos datos experimentales, por ejemplo medidas y1, . . . , y m de una señal tomadas en los tiempost1, . . . , tm.Desde los datos y el conocimiento de la aplicación, se deduce que la señal tiene un comportamiento exponencial y oscilatorio, y se elige modelarlo por la función:Φ(t, x) = x1 + x2e−(x3−t)2/x4 + x5 cos(x6t)Los números reales xi, i = 1, . . . , 6 son los parámetros del modelo. Se desea seleccionarlos de manera que los valores del modelo Φ(tj, x) ajusten los datos observados yj tanto como sea posible. Para establecer el objetivo como un problema de optimización, se agrupan los parámetros xi en un vector de incógnitas (x1, . . . , x6)t y se definen los residuos

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OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES

rj(x) = yj − Φ(tj, x), j= 1, . . .,m

Que miden la discrepancia entre el modelo y los datos observados. La estimación de x se obtendrá resolviendo el problema:

(MC)=_minx∈IR6f(x) = r(x)tr(x)/2

Este es un problema de mínimos cuadrados no lineales, que es un caso especial de optimización sin restricciones. Si el numero de medidas es grande (por ejemplo 105), la evaluación de f o sus derivadas para un valor concreto del vector de parámetros x es bastante caro desde el punto de vista computacional.

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FUNCIÓN OBJETIVO DE UNA VARIABLE

Funciones objetivo de una variableSea la función: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) máximo(s) o mínimo(s) relativo(s) serán:1. Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0, dy0dx=02. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos. Esta condición es llamada “condición suficiente”. Si un punto critico es “a”, entonces:f′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativof′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativof′′(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las “derivadas sucesivas”:

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FUNCIÓN OBJETIVO DE UNA VARIABLE

Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando se evalúa un punto critico es una derivada de grado impar (tercer, quinto, etc.) la función es un punto de inflexión.Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando es evaluado en un punto crítico es una derivada de grado par, entonces la función es un extremo relativo en “a”. Si esta derivada tiene valor negativo entonces la función es cóncava en “a” (y por ende, es un máximo relativo). Caso contrario, la función es convexa y presenta un mínimo relativo en “a”.

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FUNCIÓN OBJETIVO DE UNA VARIABLE

Ejemplo:Obtener el extremo relativo de la siguiente función:f(x) = -7x2 + 126x - 23Solución.Calculando la primera derivada e igualándola a 0:f′(x)=-14x + 126 = 0x = 9 (valor critico)Tomando la segunda derivada y evaluando el valor critico:f′′(x) = -14, entonces f′′(9) = -14< 0 es cóncavo, máximo relativo.

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FUNCIÓN OBJETIVO DE DOS VARIABLES

Funciones objetivo de dos variablesPara que una función como z = f (x,y) tenga un mínimo o máximo relativo, tres condiciones deben ser satisfechas:1. Las derivadas parciales de primer orden deben

simultáneamente ser iguales a cero. Ello indica que en un punto dado (a,b) llamado “punto critico”, la función no esta creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes principales sino a una superficie relativa.

2. 2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son evaluadas en el punto critico (a,b) para un máximo relativo y positivas para un mínimo relativo. Ello asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo en relación a los ejes principales en el caso de un máximo relativo y la función es convexo y moviéndose hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de un mínimo relativo.

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FUNCIÓN OBJETIVO DE DOS VARIABLES

3. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto crítico deben exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas también evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar un punto de inflexión o punto de silla. En resumen:

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FUNCIÓN OBJETIVO DE DOS VARIABLES

En la situación que fxx fyy < (fxy)2, cuando fxx y fyy tienen el mismo signo, la función esta en un punto de inflexión. Caso contrario, la función estará en un punto de silla. Si fxx fyy = (fxy)2 entonces se requeriría mayor información.

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FUNCIÓN OBJETIVO DE DOS VARIABLES

Ejemplo:En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si éstos son máximos o mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:f(x, y) = 3x3 – 5y2 – 225x + 70y + 23

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FUNCIÓN OBJETIVO DE DOS VARIABLES

Solución.Calculando la primera derivada e igualándola a 0:fx = 9x2 – 225 = 0fy = -10y + 70 = 0Resulta: x = 5, ±y7=. Entonces los puntos críticos serán: (5,7) y (5,-7)Las segundas derivadas (sin evaluarlas o testearlas)fxx = 18 xfyy = -10fxy = fyx = 0Evaluando el punto crítico (5,7):fxx ( 5, 7 ) = 18 (5) = 90fyy ( 5, 7 ) = -10¿Cumple fxx ( 5, 7 ). fyy ( 5, 7 ) > [ fxy(5,7) ]2 ?90. (-10) < [ 0 ]2 (no cumple!)

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FUNCIÓN OBJETIVO DE DOS VARIABLES

Entonces este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que fxx y fyy (evaluadas en este punto crítico) tienen signo diferente, se concluye que este punto es un punto de silla.Evaluando el punto crítico (-5,7)fxx ( -5, 7 ) = 18 (-5) = -90fyy ( -5, 7 ) = -10¿Cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 ?-90. (-10) > 0 (Si cumple!)Dado que se cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 y además, fxx, fyy < 0 entonces el punto en análisis es un máximo.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Suponga que U es una función utilidad para la cual U(x,y,z) =xyz, donde x,y,z representan el numero de unidades de los articulos A,B y C, los cuales son consumidos a la semana por una persona en particular, además suponga que los precios unitarios de A,B y C son $2, $3 y $4 respectivamente y que el gasto total semanal para estos articulos se presupuestado en $90 ¿ cuantas unidades de articulos deben comprarse semanalmente para maximizar el indice de utilidad de la persona?

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Solución:2x +3y + 4z=90F(x,y,z)= xyz + (2x +3y + 4z - 90)Fx: yz + 2 = 0Fy: xz +3 = 0Fz: xy + 4 = 0F: 2x +3y + 4z - 90 = 0y= (2/3) x z = (½) xSustituyendo:2x +3(2/3)x + 4(½) x - 90 =0X = 15Calculando:Y =10 Z = 7.5U(15,10,7.5) = (15* 10*7.5) = 1125Como x,y,z están en el intervalo de (0, +(Por lo tanto este valor no puede ser un minimo porque existen muchos valores de U sujeta a la restricción dada que son menores de 1125.

EJERCICIOS PROPUESTOS

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Calcula las derivadas, en el punto P(0, 0), de la función f definida por:

EJERCICIOS PROPUESTOS

Solución:En este caso es más conveniente aplicar la definición de derivada en el punto P(0, 0). ya que si calculamos las derivadas parciales y en ellas sustituimos, nos encontramos con una indeterminación.

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EJERCICIOS PROPUESTOS