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UNIVERSIDAD DE ORIENTE

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

CENTRO DE ESTUDIO DE EFICIENCIA ENERGETICA

MACRO OPTIMIZACION DEL PROYECTO Y LA EXPLOTACION DE LAS

PEQUEÑAS CENTRALES HIDROELECTRICAS DE LAS REGIONES MONTAÑOSAS

Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Técnicas

Luis Jerónimo García Faure

Santiago de Cuba 2005

UNIVERSIDAD DE ORIENTE

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

CENTRO DE ESTUDIO DE EFICIENCIA ENERGETICA

MACRO OPTIMIZACION DEL PROYECTO Y LA EXPLOTACION DE LAS

PEQUEÑAS CENTRALES HIDROELECTRICAS DE LAS REGIONES MONTAÑOSAS

Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Técnicas

Autor: Luis Jerónimo García Faure Tutor: Dr. C. Luis Oscar Oliva Ruiz

Santiago de Cuba 2005

DEDICATORIA

Este trabajo, producto del conocimiento y la experiencia acumulada durante muchos años,

se lo dedico con cariño a mi esposa, hijos, hermanos y demás familiares y amigos, que me

han alentado a continuar en momentos de indecisión y han sabido comprender las causas

del poco tiempo que les he podido dedicar.

AGRADECIMIENTO

Hubiera sido imposible en estos últimos años, con las condiciones tan difíciles que ha vivido

nuestro país, haber podido realizar y culminado este trabajo sin la cooperación material y

espiritual de un número de instituciones y personas amigas a las cuales siempre les estaré muy

agradecido. No sería posible mencionarlos en este momento a todos, sin embargo, debo

referirme a algunos de ellos por sus decisivos aportes al trabajo:

A los colectivos de mini hidroeléctricas de las provincias de Guantánamo y Santiago de Cuba,

por la ayuda que me brindaron en cada momento y la valiosa información de la cual pude

disponer para la realización del trabajo.

A mi tutor, el Dr. Luis Oscar Oliva Ruiz, que sin ser especialista de la materia, me supo guiar

para que el trabajo se pudiera realizar con éxito.

A los compañeros Dr. Arnaldo Martínez Reyes y Guillermo Roca Alarcón por la revisión

crítica del trabajo y las oportunas sugerencias hechas.

Le dedico un agradecimiento especial a la licenciada Lina González Madlum, por su valiosa

ayuda en la revisión de estilo de la tesis.

Muchas gracias a todos

Luis J. García Faure

SINTESIS

En este trabajo se desarrolla un modelo matemático para determinar los parámetros relevantes

del proyecto de las pequeñas centrales hidroeléctricas: potencia a instalar, número de grupos

turbogeneradores, energía a generar y costo aproximado, a partir de la optimización del

caudal, dentro de las restricciones que imponen las curvas de caudales clasificados y el

comportamiento de la demanda, lo cual constituye un factor determinante en la toma de

decisiones en las primeras etapas del proyecto de la central.

Se aplica como criterio de optimización, minimizar el costo de la energía producida en

CUC/kW.h, y se introduce la Teoría Paramétrica para estimar de forma continua el costo a

partir de los parámetros relevantes.

Con las dimensiones y parámetros de operación obtenidos, junto con las limitaciones que

imponen las condiciones de operación, se desarrollan modelos para la optimización de los

parámetros dinámicos de la central y la distribución óptima de la demanda entre los grupos.

El estudio se realizó sobre una muestra del 36 % de las pequeñas centrales hidroeléctricas de

las provincias Santiago y Guantánamo, que son representativas de las existentes en el país.

La aplicación práctica del trabajo se lleva a cabo mediante un algoritmo elaborado al efecto y

el correspondiente software desarrollado en Excel. Los modelos fueron validados con una

muestra del 22 % de las P.C.H. en funcionamiento, corroborando la hipótesis, de que un alto

por ciento de ellas se encuentra sobredimensionada.

Con la macro optimización desarrollada se puede, desde las primeras etapas del proyecto,

adoptar la decisión de continuarlo o valorar otras alternativas de generación de electricidad, lo

cual es una ventaja significativa con respecto a otros métodos, por el ahorro de tiempo y

recursos financieros que representa.

INDICE Pág.

INTRODUCCION 1

CAPITULO 1 FUNDAMENTOS TEORICOS PARA EL PROYECTO Y LA

EXPLOTACION DE LAS PEQUEÑAS CENTRALES

HIDROELECTRICAS

11

1.1 Centrales hidroeléctricas. Generalidades 12

1.2 Centrales Aguas Fluentes 14

1.3 Parámetros determinantes del proceso de optimización de las

pequeñas centrales hidroeléctricas

15

1.3.1 Gasto o caudal de proyecto 20

1.3.2 Criterios utilizados para determinar el caudal de proyecto 22

1.4 Parámetros relevantes para la optimización integral de la central 25

1.4.1 Dinámica del sistema hidráulico 25

1.4.2 Comportamiento dinámico del grupo turbogenerador 28

1.4.3 Dinámica del sistema de regulación

33

1.5 Utilización de más de un grupo turbogenerador 36

1.5.1 Eficiencia de la central con más de un grupo turbogenerador 37

1.5.2 Condiciones necesarias para obtener máxima eficiencia 38

1.6 Determinación del costo de las pequeñas centrales hidroeléctricas 39

1.6.1 Ajuste de la ecuación de aprendizaje 42

1.6.2 Calibración y validación de los modelos de costo 43

Conclusiones del capítulo 1 43

CAPITULO 2 Modelos matemáticos para la optimización del proyecto y la

explotación de las pequeñas centrales hidroeléctricas

45

2.1 Características esenciales de la optimización 46

2.2 Optimización del proyecto de las P.C.H. 49

2.2.1 Modelo matemático para la optimización del proyecto 60

2.3 Optimización de los principales componentes del sistema

hidráulico

63

2.4 Optimización de los parámetros dinámicos de las P.C.H. 67

2.4.1 Modelo matemático para la optimización dinámica 74

2.5 Distribución óptima del gasto y la potencia entre los grupos

trabajando en paralelo 75

2.5.1 Modelo matemático para la distribución del gasto y la potencia

entre las máquinas

77

Conclusiones del Capítulo 2 77

CAPITULO 3 Diseño de los experimentos y análisis de resultados 79

3.1 Optimización del proyecto de las P.C.H. 80

3.1.1 Validación del modelo matemático de optimización del proyecto 93

3.2 Optimización de los sistemas dinámicos de las P.C.H. 94

3.3 Optimización del gasto y la potencia de los grupos

turbogeneradores trabajando en paralelo

97

Conclusiones del Capítulo 3 98

CONCLUSIONES 100

RECOMENDACIONES 102

BIBLIOGRAFIA 103

ANEXOS 109

Símbolos y abreviaturas

Símbolos a- velocidad de propagación del golpe de ariete a, b, c - exponentes A, B, C, D - coeficientes C, CT, Comc, CP, Ct, CU, Cf, – costo; total; de operación, mantenimiento y complementarios; total del proyecto; del metro de tubería; por unidad de potencia instalada; de las pérdidas de energía por rozamiento D - diámetro de tubería, equivalente para el momento de inercia E - energía Ef - pérdida de energía por rozamiento E - módulo de elasticidad del material e - espesor de tubería, energía dedicada al insumo de planta F – estadígrafo de Fisher FR, Fn, FU – factor de recuperación del capital; del número de máquinas; de utilización f – coeficiente de fricción g - aceleración de la gravedad G – peso del rotor de la turbina GD2/4G – momento de inercia del grupo HB, Hn, HU – salto bruto; neto; útil

fH∑ - sumatoria de las pérdidas de carga en la tubería

hf- pérdida de carga por rozamiento h*- aumento del salto hidráulico por el golpe de ariete I – ingresos netos; momento de inercia del grupo turbogenerador K modulo de elasticidad volumétrico del agua L - longitud de tubería Mn- momento normal en el eje de la turbina m- pendiente n- número de grupos turbogeneradores, revoluciones nn - número de revoluciones normales de trabajo nt - número de tuberías en paralelo P, PH, Pe, PP – potencia de la turbina; hidráulica; eléctrica; de proyecto Q, QP, QR – Gasto o caudal; de proyecto; real R, RS – fiabilidad de un elemento; fiabilidad del sistema r, r2 – coeficiente de correlación; de determinación T - tarifa eléctrica TH, TS, Ta, TC, T0 – Tiempo hidráulico; del primer ciclo del golpe de ariete; de aceleración; de cierre del regulador; de abertura del regulador t – estadígrafo de Student V – velocidad del agua por las tuberías V* - volumen turbinado (volumen de agua que pasa por la turbina en el año) W - peso del metro de tubería Griegos: α - significancia estadística (α=1-probabilidad) β - aumento de la altura del salto hidráulico por el golpe de ariete (%) φmax, φmin aumento temporal de la velocidad de la turbina; disminución temporal (%) γ - peso específico del agua; del material de la tubería η , Hη , condη , Vη , mecη - eficiencia; hidráulica; de la conductora; volumétrica; mecánica π - constante

∏ - símbolo del producto de factores

ρ - parámetro de Allievi σ - desviación estándar

ω - velocidad angular de la turbina ωn – velocidad angular normal de la turbina θ - parámetro de Allievi Abreviaturas: AFER – grupo de automatización de las fuentes renovables de energía. U. O. CER – relación de estimación del costo CUC – peso convertible cubano IC – índice de costo PCH – pequeña central hidroeléctrica Tep – tonelada equivalente de petróleo (12,1 MWh aproximadamente) Vocabulario poco frecuente: A filo de agua – central del tipo de derivación o de aguas fluentes (sin represamiento) Embalamiento – aceleración sin control de la turbina cuando se desconecta la carga Escurrimiento – caudal del río, generalmente en períodos largos de tiempo (m3/a, m3/mes) Estiaje – condición en la cual el río tiene su caudal mínimo

1

INTRODUCCION

En Cuba, la generación de electricidad mediante la energía hidráulica, tuvo sus inicios en la

primera década del siglo XX, con las construcciones de las pequeñas centrales hidroeléctricas

del ¨Guaso¨ en Guantánamo y de ¨Piloto¨ en Pinar del Río. Luego, con el desarrollo de las

plantas termoeléctricas y los grupos electrógenos, esta tecnología fue prácticamente

abandonada. Sólo algunas pequeñas centrales fueron construidas de forma aislada hasta el año

1959, en que hubo de concluirse la construcción de la central hidroeléctrica de Hanabanilla, la

mayor de Cuba, con una capacidad instalada de 42 MW. A partir de la década de los 80 del

siglo XX, esta tecnología fue redescubierta, como consecuencia de la escasez del petróleo y la

necesidad de preservar el medio ambiente.

La isla de Cuba se caracteriza por su forma larga y estrecha, con macizos montañosos de

importancia en las regiones oriental, central y en el extremo occidental del país. Dichas

disposiciones determinan las áreas de las cuencas de los ríos, sus recorridos y

desembocaduras, dividiendo físicamente el país en dos vertientes: Norte y Sur. Estas

circunstancias hacen que los ríos, en su inmensa mayoría, sean extremadamente cortos, de

pequeñas áreas de cuencas y de gran variabilidad del caudal a lo largo del año.

Las pequeñas centrales hidroeléctricas (P.C.H.) de las regiones montañosas, en su inmensa

mayoría trabajan de forma aislada, mediante el régimen de aguas fluentes a partir de pequeñas

obras de toma construidas en el cauce de los ríos. Para el caso de las P.C.H. que trabajan bajo

este régimen, normalmente se adoptan disposiciones típicas; sin embargo, la experiencia y los

estudios realizados demuestran que muchas de las P.C.H. presentan deficiencias del proyecto

que repercuten en la estabilidad, el control y la eficiencia [31, 50, 71].

2

Durante las primeras etapas del proyecto, se debe definir el caudal de diseño, que es el

parámetro fundamental en el ¨macro dimensionado¨ de la central. De él depende el monto de

la energía instantánea y global generada, costo total aproximado del proyecto, tipo y número

de máquinas a instalar y los parámetros de operación de las mismas. Del éxito que se logre en

esta etapa, dependerán en gran medida la rentabilidad, la eficiencia, la estabilidad y la

fiabilidad durante el funcionamiento de la P.C.H.

La Dirección Nacional de desarrollo hidroenergético, consciente de las dificultades que

presentan las P.C.H., organiza seminarios con el personal encargado del proyecto, la

explotación y el mantenimiento de las centrales enclavadas a lo largo de todo el país, para el

intercambio de experiencias, la unificación de criterios y la toma de decisiones. En estas

ocasiones, se han puesto de manifiesto los problemas más generales que enfrentan las P.C.H.

Muchos de ellos suelen ser casos aislados, que pueden tener solución mediante los

procedimientos normales de ingeniería; otros tienen características más complejas y han sido

menos estudiados, por lo que se requiere elaborar los métodos para su solución. En la tabla 1.1

se presenta la muestra de las principales deficiencias que motivaron la realización de este

trabajo, con sus correspondientes frecuencias estadísticas de aparición.

Se podrá apreciar, que los problemas relacionados con el proyecto y la explotación de las

P.C.H. están caracterizados por su naturaleza multifactorial y multidisciplinaria; la solución

final de los mismos es el resultado de la aplicación de diferentes ciencias. Resulta imposible

tratar de resolverlos mediante el análisis fraccionado. Se ha escogido las centrales del tipo

¨aguas fluentes¨ como objeto de estudio, por ser las más generalizadas y las que mayores

problemas presentan.

3

Tabla 1.1 Principales deficiencias detectadas en las P.C.H. analizadas

DEFICIENCIAS (% de la muestra)

I. Deficiencias relacionadas con el proyecto

P.C.H. sobredimensionadas 54,5

P.C.H. subdimensionadas 21,8

Excesiva relación L/H 86,4

Diámetro de tubería inadecuado 33,3

Varias tuberías con diferentes relaciones L/H (longitud/diámetro) 58,3

Momento de inercia inadecuado (GD2/4g) 66,6

II. Deficiencias relacionadas con la explotación

Pobre control de la frecuencia y la potencia 100

Deficiente distribución de la demanda (con más de un grupo) 100

Se demostrará en el trabajo que problemas derivados del proyecto, como son: excesiva

relación entre la longitud de la tubería de presión y la altura del salto hidráulico (L/H);

tuberías con varias relaciones L/H diferentes; momento de inercia inadecuado, etcétera,

inciden notablemente en los parámetros dinámicos y de explotación de la central.

Estado del Arte

La Energía Hidráulica fue, junto con la eólica, de las primeras formas de aprovechamiento de

energía utilizadas por el hombre. Durante siglos, la energía del agua se utilizó para la molida

de granos y otras aplicaciones de la transformación de la energía en trabajo mecánico.

A finales del siglo XIX, con el advenimiento de la electricidad, surgieron las primeras

centrales hidroeléctricas de pequeña potencia, las cuales tuvieron un desarrollo impetuoso

4

hasta las primeras décadas del siglo XX, en que fueron desplazadas paulatinamente por las

centrales térmicas y los grupos electrógenos con motores de combustión.

A partir de la década de los años 30 del siglo XX, motivado fundamentalmente por la

necesidad de regular y evitar inundaciones de grandes ríos, se comenzaron a construir grandes

centrales hidroeléctricas. La primera de ellas fue la Hoover, en el desierto de California,

E.U.A., con una potencia instalada de 2000 MW. La experiencia adquirida en su construcción

estimuló el desarrollo de grandes centrales en todo el mundo. Esto explica el alto nivel teórico

y práctico alcanzado por las grandes centrales hidroeléctricas, así como la publicación de

materiales científicos, sobre todo, hasta la década de los 80 del siglo XX, a partir de la cual,

como consecuencia de la escasez del petróleo y la necesidad de preservar el medio ambiente,

sobrevino una segunda etapa del desarrollo de la energía hidráulica. Comenzó a estimularse el

uso de las pequeñas centrales hidroeléctricas, por ser una forma de energía renovable y limpia,

que produce poco impacto sobre el medio ambiente [6, 13, 14, 16, 27, 60, 75]. Muchas de las

formas de actuación para las grandes centrales hidroeléctricas no eran aplicables a las P.C.H.

En la bibliografía comienza a aparecer con relativa frecuencia el término Pequeñas centrales

hidroeléctricas (P.C.H.). A partir de esa década surgen los primeros organismos y

organizaciones regionales encargados del estudio y desarrollo de esta forma de energía [26,

47, 49, 63]. Sin embargo, aún resulta insuficiente la cantidad de documentos científicos

dedicados a destacar las diferencias con las grandes centrales y al estudio de los problemas

específicos que ellas enfrentan.

Para poder enfrentar y resistir los embates competitivos de otras fuentes renovables y no

renovables de energía, ha sido necesario perfeccionar los proyectos y las formas de

explotación de las P.C.H. En este sentido, los trabajos fundamentales han estado encaminados

5

a la utilización de recursos hidráulicos de usos múltiples, tales como: el abasto de agua a

poblaciones, el regadío, la piscicultura, la optimización técnico-económica de los proyectos, el

aumento de las eficiencias, la disminución de los costos de explotación mediante la utilización

de plantas completamente automatizadas o teledirigidas, y otros avances. Esto ha motivado

que nuevas aplicaciones científicas tengan que intervenir para el perfeccionamiento de las

P.C.H. Ejemplos de ellas, son: La Teoría de la Optimización Matemática, la cual tiene en el

proyecto y la explotación de las P.C.H. un amplio campo aún sin investigar; las modernas

Teorías de la Estimación del Costo de los Proyectos; la utilización de la computación para el

proyecto, la explotación y la simulación de los problemas y otras ciencias.

Aunque la teoría de la optimización matemática es muy antigua, su utilización se circunscribía

a la solución de problemas lineales con un número muy limitado de variables y restricciones.

No fue hasta mediados de la década de los 90 del siglo XX, con la ampliación de la capacidad

de las computadoras personales, que se hizo posible la optimización de problemas en los que

están involucradas ecuaciones de grado superior con un número muy grande de variables y

restricciones [20]. La utilización de herramientas más poderosas, brinda la posibilidad de

resolver muchos problemas que hasta hace una década eran un sueño. Ejemplos de ellos son:

la determinación del caudal óptimo de proyecto y la estabilidad de la regulación mediante el

gasto de agua en las micro y minicentrales, para los cuales se requiere capacidades de

memoria libre superiores a 1 Gb. sólo superado después de 1994 [32, 35, 36].

La optimización mediante criterios técnicos y económicos para el dimensionado de las P.C.H.

puede significar un notable ahorro de tiempo y gastos durante las primeras etapas del

proyecto. Según el glosario de términos económicos de la AAEC (American Association of

6

Cost Engineering), ¨La optimización constituye una etapa superior para la toma de decisión

y validación de los proyectos¨ [1, 2, 3, 4, 46, 52].

La Teoría de la Estimación Paramétrica del Costo, muy utilizada en la actualidad en las

aplicaciones industriales, brinda la posibilidad de poder estimar de forma relativamente rápida

y con exactitud el costo de los proyectos de las P.C.H. [84].

La aplicación de la computación para el proyecto de los sistemas energéticos es una

herramienta de inestimable valor, las potencialidades de los software ha aumentado

considerablemente, sin embargo, muy pocos de ellos hacen énfasis en la simulación de las

centrales hidroeléctricas. J. Liddle y A.M. Gerrad sugieren que se utilice la computación para

el procesamiento de datos seguido de un proceso de correlación [54]. En la bibliografía

especializada, se reflejan los principales méritos y deficiencias de los software que más se

comercializan en el ámbito mundial para el proyecto de los sistemas energéticos [70].

Como resultado de la investigación realizada, se ha podido precisar que los métodos más

generalizados para la determinación del caudal de proyecto no están fundamentados sobre

bases teóricas sustentables, según se detalla en el epígrafe 1.3.1. Se ha podido precisar

también, que no existen evidencias de la aplicación de la Modelación y la Optimización

Matemática para el macro dimensionado de los proyectos a partir de criterios técnicos y

económicos. Tampoco existe evidencia de la aplicación de dicha teoría para la determinación

de los parámetros dinámicos y de explotación de las P.C.H.

Planteamiento del problema

Este trabajo parte de la consideración de que existen dos problemas fundamentales que inciden

en el proyecto y la explotación de las P.C.H.:

7

1. La necesidad de un método sustentable para determinar el caudal de proyecto.

El caudal es el factor decisivo en el dimensionado de la central. De él depende la potencia a

instalar, el diámetro de las tuberías, cámaras de carga y otros elementos del proyecto, así como

los parámetros de operación de las máquinas y del sistema de control. Se determina bajo

criterios rígidos sin tener en cuenta las características particulares de cada región. Los métodos

utilizados no dan la posibilidad de analizar la variación de la forma de la curva de caudales

clasificados al pasar de una región a otra, como podrá apreciarse en el epígrafe 1.3 [ 23, 26,

49, 63, 85].

2. La inestabilidad de los sistemas de control mediante el gasto de agua.

Es uno de los problemas que mayores dificultades ocasionan. Se ha tratado igualmente, de

extrapolar la teoría del control de las grandes centrales a las P.C.H., sin tener en cuenta que los

problemas son muy diferentes. En las grandes centrales, la preocupación siempre ha sido:

garantizar, por un lado, que el sistema de control tenga una respuesta rápida frente a la

desconexión completa o parcial de la carga que pueda producir el embalamiento de las

máquinas; y por otro lado, que el cierre no sea tan rápido que pueda provocar el golpe de

ariete [9, 12, 15, 48, 61, 85].

En las P.C.H., aunque se desea que no se produzcan el embalamiento y el golpe de ariete, que

de hecho deben ser controlados y existen los medios y dispositivos adecuados para regular el

tiempo de cierre hasta en los casos más críticos, el problema más difícil que debe garantizar el

sistema de control es poder compensar las variaciones de potencia en un tiempo tal, que la

depresión que se produce en el sistema hidráulico no lleve al ¨calado de la máquina¨, y al

mismo tiempo, garantizar que la frecuencia de la electricidad se encuentre dentro de la norma

establecida. Esta ha sido la causa fundamental que ha dificultado la utilización del control

8

mediante la regulación del gasto de agua en las micro y minicentrales, y la explicación del

porqué, un 100 % de las P.C.H. de Santiago de Cuba y Guantánamo no tengan instalados

sistemas de control automático mediante el gasto de agua.

Objetivo General del trabajo

Formular los modelos matemáticos necesarios para la optimización integral, a partir de

criterios técnicos y económicos de los principales elementos del proyecto y la explotación de

las Pequeñas centrales hidroeléctricas y su validación con datos de campo de centrales

instaladas en regiones montañosas de Cuba.

Objetivos específicos

1. Establecer una metodología para la optimización de la potencia a instalar, número de

unidades, dimensionado de las tuberías y cámaras de carga y la determinación del costo

aproximado del proyecto a partir de criterios técnicos y económicos, con auxilio de la

computación.

2. Establecer, dentro de un marco teórico, las condiciones necesarias para garantizar la

seguridad, la estabilidad y el control de las P.C.H. durante la operación.

3. Establecer una metodología que permita obtener máxima eficiencia global de la central,

mediante la adecuada distribución de la demanda y el gasto de agua entre las máquinas.

Hipótesis Planteada

Los objetivos fueron elaborados a partir de la siguiente hipótesis:

9

Es posible optimizar los parámetros relevantes del proyecto y la explotación de las Pequeñas

centrales hidroeléctricas mediante el desarrollo y solución de modelos matemáticos de

optimización, a partir de criterios técnicos y económicos.

Métodos de investigación

Como métodos de investigación se aplicarán fundamentalmente la Modelación Matemática de

los problemas; El método de Inducción-Deducción, que permite llegar, a partir de los

elementos teóricos básicos, a la formulación de los modelos matemáticos; y el Método

Científico Relacionista, término utilizado fundamentalmente en las Ciencias Sociales para

establecer la relación entre diferentes materias o áreas de estudio, pero que es válido para las

Ciencias Técnicas [87]. Como herramienta de trabajo se utilizará el programa de optimización

Solver, montado sobre hoja de cálculo de Excel, por la facilidad que brinda para la

demostración, interpretación y validación de los modelos matemáticos desarrollados.

Aspectos que serán analizados en el trabajo

El capítulo 1 de la tesis, se dedica al estudio de los fundamentos teóricos, la precisión y

definición de los parámetros fundamentales que intervienen en el proyecto y la explotación de

las P.C.H. Estos fundamentos son retomados en el capítulo 2, para el diseño de los modelos

matemáticos y los algoritmos que permitan llevar a cabo la optimización. En el capítulo 3, se

procede al diseño de los experimentos, así como la calibración y validación de las ecuaciones

desarrolladas y de los modelos de optimización.

Aportes novedosos de la investigación

Los principales aportes derivados de este trabajo son:

10

El diseño de un método flexible para la optimización a partir de criterios técnicos y

económicos del caudal de proyecto, de la potencia a instalar y de los principales elementos

de las P.C.H. del tipo aguas fluentes (a filo de agua). El método incluye un algoritmo para

el ajuste rápido y la interpolación de valores de las curvas de caudales clasificados y del

volumen turbinado para cada valor del caudal.

El diseño de un algoritmo y el correspondiente software de cómputo para la determinación

de los parámetros que garantizan la compatibilidad entre los sistemas dinámicos que

conforman las P.C.H.

El diseño de una metodología para la distribución del gasto y la potencia entre las

máquinas para lograr máxima eficiencia de la central. La metodología incluye un

algoritmo para el trazado de las curvas de potencia-gasto de las turbinas y sus derivadas a

partir de los datos de chapa de las máquinas y su corrección con el salto hidráulico.

Estos aportes están avalados por el registro en el Centro Nacional de Derecho de Autor

(CENDA) de los siguientes documentos:

• Optimización del caudal de proyecto de las pequeñas centrales hidroeléctricas (Resumen

del método y Software). Registro 1163-2004. Habana, Cuba

• Distribución del gasto y la potencia entre las máquinas que trabajan en paralelo para lograr

máxima eficiencia de las P.C.H (Resumen del método y Software). Registro 1164-2004.

Habana, Cuba

• Optimización de los parámetros dinámicos de las Pequeñas centrales hidroeléctricas

(Resumen del método y Software). Registro 1165-2004. Habana, Cuba

11

CAPITULO 1. FUNDAMENTOS TEORICOS PARA EL PROYECTO Y LA

EXPLOTACION DE LAS PEQUEÑAS CENTRALES HIDROELECTRICAS

12

CAPITULO 1. FUNDAMENTOS TEORICOS PARA EL PROYECTO Y LA

EXPLOTACION DE LAS PEQUEÑAS CENTRALES HIDROELECTRICAS

En este capítulo se hace una necesaria revisión de los aspectos teóricos fundamentales

recogidos en la bibliografía; se precisan y definen los parámetros relevantes del proyecto y la

explotación, que luego son utilizados durante el proceso de macro optimización de las

Pequeñas centrales hidroeléctricas.

1.1. Centrales hidroeléctricas. Generalidades

Las Centrales Hidroeléctricas son el conjunto de obras hidráulicas y equipamientos

electromecánicos construidos con el objetivo de transformar la energía almacenada por el agua

en forma potencial y cinética, en energía eléctrica.

Existen diversos criterios para clasificar las centrales hidroeléctricas. Estos pueden ser:

• Por la disposición general que presentan

• Por la forma de utilización de la energía generada

• Por la potencia instalada

• Otros criterios

Por la disposición general, las centrales hidroeléctricas se clasifican en centrales de

represamiento y centrales aguas fluentes. Al primer grupo pertenecen aquellas que disponen

de un embalse de dimensiones considerables que les permite acumular un gran volumen de

agua que luego es utilizada de forma conveniente, por lo que también se les suele llamar

centrales por regulación. En estas, la generación de electricidad puede ser la función principal

del embalse, pero en ocasiones el embalse cumple otras funciones, como son: el abasto de

agua para usos domésticos o para regadío, evitar inundaciones, navegación fluvial,

13

piscicultura, etc., entonces la generación de electricidad puede estar supeditada a otras

funciones más importantes.

Las centrales aguas fluentes son aquellas en las cuales el agua asignada a la central se toma

del río mediante una pequeña obra de captación y es llevada hasta la casa de máquinas

mediante diferentes tipos de conducciones, según la topografía del terreno y los medios

disponibles lo permitan. Si el agua a la salida de las máquinas es reintegrada al cauce original

del río, se denomina central en derivación, de lo contrario, se conoce como central de desvío.

Esta última disposición debe evitarse por su incidencia negativa sobre el medio ambiente.

Según la manera en que la energía es utilizada, las centrales hidroeléctricas pueden ser por

regulación o de uso continuo. Las centrales por represamiento, generalmente se utilizan en

centrales conectadas al sistema eléctrico nacional o regional, funcionando mediante el sistema

de regulación, generando un determinado número de horas al día a una potencia constante. En

función del escurrimiento del río, la capacidad útil del embalse y el salto hidráulico, resulta

relativamente fácil determinar la energía que se puede generar en un determinado período de

tiempo y la potencia optima a instalar.

Las centrales aguas fluentes que trabajan de forma aislada, generalmente lo hacen de manera

continua un mayor número de horas al año, con la potencia fluctuante, según la demanda o la

disponibilidad de agua del río, de ahí que sea tan difícil la determinación de la potencia a

instalar, según se verá en 1.3.1.

El término Pequeñas centrales hidroeléctricas es un concepto genérico. En función de la

potencia instalada, las pequeñas centrales se clasifican en: micro centrales, minicentrales,

pequeñas centrales y grandes centrales, algunos incluyen el término ″nanocentrales″ para

aquellas de potencias inferior a un kW. Existen algunas diferencias en los rangos que dan los

14

diferentes organismos regionales [26, 47, 49, 63]. En la tabla 1.2 se muestra, a modo de

ejemplos, algunos de ellos:

TABLA 1.2 Clasificación de las centrales hidroeléctricas en función de la potencia instalada

Organismo

Región

Micro C. Mini C. P.C.H. Grandes

OLADE América L. 0-50 kW 51-500 kW 500-5000 kW >5000 kWIDAE España 0-50 kW 51-500 kW 500-10000 kW >10000 kWHIC R.P. China 0-50 kW 51-500 kW 500-25000 kW >25000 kWBanco Mundial 0-100 kW 100 kW-1 MW 1 MW-20MW >20000 kW

OLADE- Organización Latinoamericana de la Energía IDAE- Instituto de Diversificación y Ahorro de la Energía. España HIC – Hanzhou International Center. República de China

1.2 Centrales aguas fluentes

Se hará un estudio más profundo de las centrales aguas fluentes o centrales a filo de agua,

como se les conoce en Cuba, por ser éstas el objeto de estudio del presente trabajo. En ellas,

los elementos fundamentales en el orden que aparecen en la instalación son: obra de toma,

canal, túnel o tubería de baja presión, cámara de carga o chimenea de equilibrio, tubería de

presión, casa de máquinas y canal de descarga. En esta disposición, el canal puede ser

sustituido por un túnel parcialmente lleno, construido en una montaña o una combinación de

ambos, según las características del terreno lo permitan. También puede utilizarse una tubería

en el primer tramo (tubería de aproximación), pero en este último caso, la cámara de carga se

sustituye por una chimenea de equilibrio. La disposición final que presente la central

dependerá de muchos factores, para lo cual en cada caso deberá hacerse un profundo estudio

técno-económico. En la bibliografía especializada, existe suficiente información teórica sobre

las funciones que realizan y datos para el proyecto de cada uno de los elementos que

conforman las P.C.H. [8, 26, 28, 33, 45, 47, 49, 63, 86]

15

Grupos turbina-generador.- Son las máquinas encargadas de la transformación de la energía

hidráulica en mecánica y luego en eléctrica. Existe una amplia bibliografía sobre el proceso de

transformación de la energía, clasificación, diseño y todos los aspectos teóricos referidos a las

turbinas hidráulicas [61, 69, 80, 85, 86]

En las centrales hidroeléctricas tradicionalmente se han utilizado generadores asíncronos por

poseer éstos la facilidad de adaptarse a los diferentes regímenes de carga y de velocidades de

las turbinas. Sin embargo, en los últimos años se han estado utilizando generadores

sincrónicos por ser más sencillos, económicos y resistentes. Cuando las centrales se conectan

al sistema eléctrico nacional o regional, los generadores sincrónicos trabajan como motor

cuando la potencia de las turbinas cae por debajo de la carga impuesta al sistema. En caso de

utilizar estos últimos, debe procederse con mayor rigor en la determinación de la característica

combinada de la turbina y el generador.

1.3 Parámetros determinantes en el proceso de optimización de las P.C.H.

El principio básico elemental del funcionamiento de las centrales hidroeléctricas es el de la

transformación de la energía potencial o cinética de una determinada masa de agua al actuar

sobre los elementos móviles de las turbinas. El volumen de esa masa de agua en la unidad de

tiempo se denomina gasto o caudal (Q). A la diferencia de cotas desde el nivel del agua en el

embalse o azud (o desde la cámara de carga o la chimenea, si existen) y el eje geométrico de la

toma de alimentación de las máquinas, se le denomina salto bruto (HB)

Debido a que el agua debe ser transportada a través de un sistema hidráulico en el cual hay

rozamiento en los tubos y cambios de dirección, ensanchamientos y contracciones en los

accesorios, se producen pérdidas de energía que hacen disminuir la energía hidráulica

16

disponible. También se producen pérdidas de energía en las máquinas por diferentes

conceptos: rozamiento hidráulico, rozamiento mecánico y recirculación interior de

determinado volumen de agua. Estos factores hacen que el gasto y el salto que realmente

realizan trabajo en las máquinas sean inferiores a sus valores teóricos. La eficiencia de la

conductora hidráulica está determinada por la relación entre el salto neto y el salto bruto y se

expresa en %.

B

fB

B

ncond H

HHHH ∑−

==η % (1.1)

En la cual: HB- Salto hidráulico bruto

∑ - suma de las pérdidas de carga por rozamiento y locales. fH

La eficiencia de la conductora disminuye con el aumento del cuadrado del gasto. En la figura

(1.1) se representan por separado las curvas de eficiencia de la turbina, del grupo turbina-

generador, y de la conductora y la curva de eficiencia de la central, como el producto de

aquellas, todas en función del gasto de agua. La eficiencia máxima (óptima) de la central está

determinada, por un lado, por la influencia competitiva de la eficiencia del grupo

turbogenerador, que aumenta con el cuadrado del gasto; y por otro, por la eficiencia de la

conductora, que disminuye con el gasto.

Las pérdidas que se producen en el interior de la máquina por rozamiento hidráulico, hacen

que el salto útil (Hu) que realmente se aproveche sea menor que el salto neto a la entrada de la

máquina. La relación entre el salto útil y el salto neto es la eficiencia hidráulica de la máquina:

n

uH H

H=η .100 % (1.2)

17

La pérdida de energía por recirculación de líquido en el interior de la máquina se evalúa

mediante la eficiencia volumétrica y está dada por la relación entre el gasto de líquido que

pasa por la máquina y el que teóricamente debería pasar si no hubiese recirculación.

QQR

V =η .100 % (1.3)

La eficiencia mecánica ( mη ) tiene en cuenta las pérdidas de energía por concepto del

rozamiento mecánico que se produce en los cojinetes, sellos, prensaestopas y otros elementos

en los cuales puede existir fricción. Normalmente se encuentra en el orden del 96 al 98%. La

eficiencia total de las turbinas hidráulicas se determina por:

mVHt ηηηη ⋅⋅= % (1.4)

En la transmisión de la potencia de la turbina al generador (si el acoplamiento no es directo) y

en el propio generador, también se producen pérdidas que hacen disminuir la eficiencia total

de la central.

La eficiencia de la transmisión ( transmη ) está en dependencia del tipo y número de escalones

que esta posea. Luego, la eficiencia del grupo turbina-generador está dada por:

gtransmt ηηηη ⋅⋅=tg % (1.5)

Y la eficiencia total de la central:

gtransmtcondcentral ηηηηη ⋅⋅⋅= % (1.6)

La eficiencia de la turbina y del generador aumenta desde cero, para potencia P=0 (Q=0)

hasta un valor máximo para la potencia de proyecto, para luego comenzar a disminuir a

medida que sigue aumentando la potencia.

La potencia eléctrica (en los bornes del generador) que se puede obtener a partir de un

determinado gasto y salto bruto se expresa mediante:

18

1000

centBHQP ηγ ⋅⋅⋅= kW (1.7)

Aquí, γ es el peso específico del agua, cuyo valor promedio se puede tomar =9800 N/m3.

Quedando finalmente:

centBHQP η⋅⋅⋅= 8,9 kW (1.8)

Se observa que la potencia útil que puede desarrollar la central depende de esos tres factores,

de ahí la importancia de cada uno de ellos, por lo que en los próximos epígrafes se someten a

una detallada discusión.

Eficiencia combinada

50

60

70

80

90

100

110

40 50 60 70 80 90 100Gasto (%)

Eficiencia (%)

Efic. Conduct. Efic. TurbinaEfic. Grupo Efic. Total

Figura 1.1 Eficiencia combinada

En las pequeñas centrales hidroeléctricas, cuando han sido bien proyectadas y funcionan

dentro de los parámetros de diseño, la eficiencia total de la central puede alcanzar valores

superiores al 82%. En las grandes centrales hidroeléctricas se pueden alcanzar eficiencias

superiores al 85%.

La energía que la central desarrolla en un determinado período de tiempo está dada por la

integración de la potencia instantánea a lo largo de ese tiempo. En la figura (1.2) se representa

19

la curva de potencia en función del tiempo. El área que queda debajo de la curva representa la

energía desarrollada. kW∫=

=t

t

dtPE0

. .h (1.9)

La energía desarrollada también puede determinarse a partir de la integración del gasto, es

decir, el volumen total de agua (V*) que pasa por las máquinas en el tiempo considerado

(volumen turbinado).

centB

t

tcentB

VHdtQH

E ηηγ

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

=∫= *0 8,9

1000 kW.h (1.10)

0

10

20

30

40

50

60

1 3 7 10 13 16 19 22Horas

kW

Figura 1.2 Gráfico de demanda diaria típico de una P.C.H. aislada

Otro parámetro importante de las centrales hidroeléctricas aguas fluentes (a filo de agua), que

puede tomarse como elemento para determinar su grado de efectividad, es el factor de

utilización, el cual se define por la relación entre la energía desarrollada por la central durante

el año y la energía calculada según el proyecto.

ahkWahkW

PE

proyectodeEnergíadadesarrollaEnergía

Fp

U //

8760 ⋅⋅

=⋅

== (1.11)

20

Siendo 8 760 el número de horas que tiene el año normal. También se puede expresar en %:

1008760

(%) ⋅⋅

=p

U PEF (%) (1.12)

1.3.1 Gasto o caudal de proyecto

Habiendo determinado el salto hidráulico bruto, las demás expresiones del salto se determinan

con relativa facilidad y éstos permanecen constantes (o prácticamente constantes), y sus

valores instantáneos se pueden determinar en cada momento, por lo que no constituyen grave

problema.

El gasto, sin embargo, en las centrales aguas fluentes se comporta de forma completamente

aleatoria. Este depende de todos los factores que determinan el escurrimiento de los ríos:

época del año, características hidrológicas, topográficas y morfológicas del terreno, área de la

cuenca, etc. Puede incluso haber variaciones en el comportamiento del escurrimiento de un

año a otro. Por estas razones, se suele recurrir a estudios estadísticos de una determinada serie

de años cuya extensión está en dependencia de la magnitud e importancia del proyecto,

pudiéndose, en el caso de las grandes centrales, tomar series milenarias para determinar las

curvas de comportamientos estadísticos con alto grado de fiabilidad. Para el caso de las

pequeñas centrales hidroeléctricas, se suelen tomar series que oscilan entre cinco y veinte años

[23, 24, 25, 26, 49, 85]. Al gráfico que se obtiene del comportamiento del escurrimiento en

función del tiempo, figura (1.3), se le denomina hidrógrafa o curva hidrográfica. Dentro de la

serie de años estudiados, pueden haber años clasificados como muy húmedos, húmedos,

medios o normales, secos y muy secos. En Cuba se utiliza para el cálculo del potencial

21

hidroenergético, la información de los años medio y seco, los cuales abarcan

aproximadamente desde el 50 % al 95 % de probabilidad de ocurrencia [23, 24, 42].

Normalmente se obtiene un segundo gráfico a partir de la curva hidrográfica, que recibe el

nombre de gráfico de caudales clasificados, el cual muestra la duración relativa de los

caudales clasificados. Mediante este gráfico, es posible obtener, para determinado valor del

caudal, el tiempo (días o las horas) dentro del año que como promedio ese valor puede ser

igualado o excedido, según se muestra en la figura (1.4), reflejando de forma integral el

potencial hídrico de la cuenca. Para la construcción del gráfico de caudales clasificados,

existen programas de cómputo que se encargan de calcular, a partir de las mediciones

realizadas del caudal, el número y tamaño de los intervalos de clases, así como la frecuencia

relativa por intervalo y las frecuencias acumuladas [36, 56, 69].

00.10.20.30.40.5

Ene Mar May Jul Sep Nov

Meses

m^3/s

Figura 1.3 Curva hidrográfica del río Sonador. Municipio Guamá

Hay un valor del gasto que es particularmente importante, porque de él depende la potencia

para la cual se proyecta la central, se conoce como gasto o caudal de proyecto. Si el gasto de

proyecto no es el óptimo, la central puede resultar sobre o subdimensionada y no ser

económicamente factible, como se podrá apreciar en el epígrafe 2.2 del capítulo 2. A

22

continuación, se exponen algunos de los criterios más generalizados para determinar el gasto

de proyecto y los defectos de los cuales ellos adolecen.

00.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.1

30 60 90 180 270 365d ía s

m^3/s

Figura 1.4 Curva de caudales clasificados río Sonador, Municipio Guamá

1.3.2 Criterios utilizados para determinar el gasto de proyecto

Existen tantos criterios como investigadores sobre este tema. El objetivo que se persigue es

determinar la potencia con que se proyecta la central y generar la mayor energía posible con el

menor costo. Quizás en algunos casos esto se logre, pero, en general, adolecen de dos defectos

fundamentales:

1. Ninguno de ellos garantiza que se pueda generalizar su aplicación a otras regiones con

diferentes características hidrológicas, meteorológicas, topográficas, etcétera.

2. No han sido desarrollados sobre bases teóricas sustentables.

A continuación, se exponen algunos de esos criterios y las debilidades que presentan.

Determinación del gasto de proyecto en función del tipo de turbina utilizada.

23

Este criterio tiene su fundamento en lo siguiente: Cada tipo de turbina tiene los mayores

valores del rendimiento para un determinado rango de variación del caudal, con respecto al

caudal de diseño. Las turbinas Pelton tienen alta eficiencia para un amplio rango de variación

del gasto, le siguen en orden la Michell, la Francis y la Kaplan. Luego, algunos autores

determinan el gasto de proyecto a partir del gasto mínimo (Qmin) tomado de la curva de

caudales clasificados, multiplicado por un coeficiente mayor que 1, que está en dependencia

del tipo de turbina utilizada [50, 85]. Es decir:

QP=Kmin.Qmin (1.13)

En la cual, el coeficiente Kmin se toma en función del tipo de turbina según la tabla 1.3

TABLA 1.3 Valores del coeficiente Kmin

TIPO DE TURBINA Valores de kmin

Pelton 10 Francis 2.5 Hélice (alabes fijos) 2.5 Ka plan (alabes regulables) 4

Este criterio no tiene en cuenta que la que forma de las curvas de caudales clasificados puede

variar al pasar de un lugar a otro, y con ella la ocurrencia de los gastos mínimo, medio y

máximo. En zonas montañosas, donde las características hidrológicas y topográficas

determinan una frecuencia muy alta de cumplimiento de los caudales mínimos y la turbina

indicada es la Pelton, la utilización de este criterio puede traer como resultado el

sobredimensionado de la central. En el caso de que el gasto mínimo sea poco frecuente y se

utilice una turbina Francis, Hélice o Kaplan, puede ocurrir lo contrario, es decir, la central

puede resultar subdimensionada.

24

Zoppetti [78], en su libro ¨Centrales Hidroeléctricas¨, expresa: ¨La experiencia ha

demostrado que en varios aprovechamientos hidroeléctricos en que ha sido estudiado este

problema, se ha llegado a la conclusión de que el equipo más adecuado corresponde a una

potencia cinco veces mayor, que la de estiaje. Es conveniente tener en cuenta este criterio, sin

embargo, no es conveniente adoptar esa experiencia como criterio generalizador

Determinación del gasto de proyecto en función de un coeficiente regional CQ

Este criterio, dado en el Manual de Mini Centrales Hidroeléctricas de ELETROBRAS [26] y

la Asociación Brasileña de Recursos Hidráulicos (ABRH), se fundamenta también en la

utilización de determinados coeficientes por los cuales se multiplica el caudal mínimo del río,

es decir: QP=CQ.Qmin (1.14)

En la cual: min

Q QQ

C %95= establece la relación entre el caudal correspondiente al 95 % de

probabilidad y el caudal mínimo de la curva de caudales clasificados.

En Brasil se han hecho estudios en 142 puntos hidrométricos, llegando a establecer el valor

del coeficiente CQ entre 1 y 1,4. Sin embargo, surge la siguiente pregunta: ¿Qué valores del

coeficiente CQ habría que tomar en regiones con otras características?. Para dar respuesta a

esta interrogante, se hace necesario realizar los estudios correspondientes para determinar en

cada caso el valor óptimo de CQ.

Determinación del gasto de proyecto directamente de la curva de caudales

clasificados.

25

Posiblemente, el método más generalizado consiste en tomar el gasto de diseño directamente

de la curva de caudales clasificados, trazada en función de la probabilidad de ocurrencia de

cada valor del caudal. El problema consiste en decidir qué frecuencia de ocurrencia tomar. Si

se analiza en detalles la curva de caudales clasificados, se podrá observar que a medida que

disminuyen los caudales, aumenta la probabilidad de ocurrencia. Luego, si se proyecta para

una probabilidad de ocurrencia muy alta, la central puede resultar subdimensionada al quedar

muchos valores del caudal que no podrán ser turbinados. En Cuba se determina el caudal de

proyecto para las P.C.H. considerando la curva de caudales clasificados para el año seco con

frecuencia de ocurrencia de alrededor del 85 % y de esa curva se obtiene el gasto que puede

ser mantenido durante 310 días del año, o sea el 85% del tiempo [23]. El Centro Internacional

de Pequeñas centrales hidroeléctricas en Hangzhou, R.P. China, recomienda tomar para el

proyecto una frecuencia de ocurrencia del 65 % o mayor [45]. Esta diferencia con respecto al

tomado en Cuba, explica de por sí sólo, por qué no es conveniente adoptar éste como criterio

de proyecto.

El método que se propone en el capítulo 2, se fundamenta en la determinación del gasto de la

curva de caudales clasificados, que optimiza técnica y económicamente el proyecto de la

central.

1.4 Parámetros relevantes para la optimización dinámica de la central

Los fundamentos teóricos para la optimización del proyecto y la explotación de las P.C.H.

desarrollados en este trabajo, asignan un primer nivel de prioridad a la necesaria relación

existente entre los sistemas dinámicos que conforman la central, es decir: el sistema

hidráulico, el sistema turbogenerador y el sistema de control.

26

1.4.1 Dinámica del sistema hidráulico

En régimen estacionario, la determinación del gasto de agua por la tubería no presenta

dificultad. La velocidad teórica que alcanza el agua por la tubería por efecto exclusivo de la

diferencia de alturas, se determina por la ecuación de Torricelli [78]:

Bt gHV 2= (1.15)

En realidad, la velocidad de régimen por las tuberías es mucho menor por el efecto del

rozamiento. De la Ecuación de Bernoulli, teniendo en cuenta el rozamiento, se tiene que:

( )KgHV B

+=

12

0 (1.16)

Siendo,: D

LfK .= >0 Resistencia hidráulica al flujo

Cada tubería, en dependencia de su diámetro (D), longitud (L) y material, deja pasar un gasto

máximo cuando sólo actúa el efecto de la gravedad. Esto puede ser apreciado en la ecuación

(1.16). Para los valores típicos de las tuberías de presión, la velocidad real (y por tanto, el

caudal), puede ser de cinco a 10 veces inferior al valor teórico. Se puede sacar como

conclusión, que la tubería produce un efecto regulador del gasto.

Tiempo necesario para compensar las variaciones del gasto de agua por la tubería

Un cambio en las condiciones de operación de las turbinas implica variación del gasto por la

tubería. Debido a la inercia del flujo y al rozamiento, se requiere de un determinado tiempo

para que el nuevo gasto alcance el equilibrio. Para llevar el agua desde el reposo hasta la

velocidad de régimen por efecto exclusivo de la gravedad, mediante el principio de impulso y

27

cantidad de movimiento aplicado a la masa de agua que debe ser acelerada por la tubería [15,

31, 61, 86], se demuestra que:

B

H HgVLt

⋅⋅

= (1.17)

Que recibe el nombre de constante de tiempo hidráulico o tiempo transitorio hidráulico.

Para una variación de la velocidad desde V1 hasta V2, el tiempo requerido está dado por:

B

H HgVLt

⋅∆⋅

= (1.18)

O en función del gasto: B

H HDgLQt

⋅⋅⋅∆⋅

= 2.4

π (1.19)

Debe observarse que el tiempo de aceleración (o desaceleración) del agua para alcanzar una

determinada velocidad depende de la relación L/HB. En el capítulo 2 se podrá apreciar la

importancia de esta relación durante la operación de las turbinas.

Velocidad de una onda de presión por las tuberías. Golpe de ariete

Cuando se cierra una válvula, la energía cinética del agua se transforma bruscamente en

presión, que se transmite en forma de onda de presión positiva aguas arriba a la velocidad del

sonido, comprimiendo el agua y dilatando la pared del conducto. Este fenómeno fue descrito

por primera vez en 1936 por el científico italiano Lorenzo Allievi [5], y aunque las ecuaciones

diferenciales que lo describen no se utilizan generalmente de forma directa, a partir de ellas se

obtienen en la actualidad los diferentes métodos prácticos para el análisis del fenómeno y el

cálculo de la elevación y disminución de la presión [15, 48, 61, 62, 86].

A partir de la segunda ley de Newton sobre el impulso y la cantidad de movimiento, se

determina la velocidad de la onda de presión. Se llega a:

28

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+

=

eED

Kg

a1

1γ

m/s (1.20)

En la cual: k – módulo de compresibilidad volumétrico del agua (Pa).

E - módulo de elasticidad del material de la tubería (Pa)

γ - peso específico del agua. (N/m3)

D, e – diámetro y espesor de la tubería (m)

Si el sistema está compuesto por varios tramos de tuberías de diferentes diámetros o

materiales, la velocidad de propagación de la presión se determina por:

∑

∑ ⋅=

++++⋅+⋅+⋅

=L

LaLLL

LaLaLaa...

...

321

332211 m/s (1.20 a)

El tiempo del primer ciclo del golpe de ariete está dado por:

TS = 2L / a s (1.21)

Estas ecuaciones, junto con la constante de cierre del distribuidor TC y la constante de

aceleración de la máquina Ta, que se definen a continuación, son básicas para la solución de

los problemas relacionados con el golpe de ariete y la garantía de la regulación.

El tiempo del primer ciclo de la onda de presión es el que mayor elevación de la presión

produce en la tubería. Pueden producirse tres situaciones durante el cierre del regulador de la

turbina:

a. Cierre rápido, cuando TC<TS Debe evitarse por todos los medios

b. Cierre crítico, cuando TC=TS

c. Cierre lento, cuando TC>TS

1.4.2 Comportamiento dinámico del grupo turbina-generador

29

Las características dinámicas de los grupos turbogeneradores dependen fundamentalmente del

tipo de turbina, sus dimensiones y la altura del salto hidráulico.

Características dinámicas según el tipo de turbina

En dependencia del tipo de máquina utilizada (de acción o impulso y de reacción), así será la

manera en que se produzca la transformación del salto útil en trabajo en la máquina. A partir

de los principios de la Mecánica de los Fluidos aplicados a las máquinas hidráulicas, se

deducen las expresiones teóricas para el momento, el salto útil y la potencia [78, 81]. Estas

ecuaciones son de suma importancia durante las etapas de proyecto de las turbinas. Para los

objetivos propuestos, resulta más práctico analizar el comportamiento de las turbinas a partir

de la expresión general (1.7). Teniendo en cuenta que a la entrada de la turbina se tiene el

valor correspondiente al salto neto y la potencia se encuentra afectada por la eficiencia de la

turbina, esta queda: TnT HQP η⋅⋅⋅= 8,9 kW (1.22)

Esta expresión muestra que la potencia es dependiente de tres variables: gasto, salto neto y

eficiencia total de la turbina.

La eficiencia es, a la vez, función del gasto. Si se dispone de los pares de valores de la

eficiencia en función del gasto, es posible obtener a partir de (1.22) la ecuación de la potencia

como una función parabólica, según se muestra en la figura 1.5. Esta característica es

aprovechada en el capítulo 2 para la construcción de las curvas de potencia vs. gasto de las

turbinas a partir de los datos de chapa de las máquinas y las propiedades de la parábola, para

la formulación del modelo matemático de optimización de la distribución del gasto y la

potencia entre las máquinas.

De las curvas de la figura 1.5, se observa que:

30

Para la eficiencia máxima se obtiene el valor de la potencia normal de la turbina, la cual

corresponde con la potencia de chapa (100 % de PT).

El gasto correspondiente a la eficiencia máxima es el gasto normal o de chapa (100 % de

Q).

La eficiencia de la turbina disminuye a ambos lados del gasto normal

00,20,40,60,8

11,21,4

0 5 10 15 Gasto (l/s)

P, n

Eficiencia Potencia

Figura 1.5 Características de PT y ηT vs Q

La potencia se ajusta con gran precisión al modelo matemático del tipo parabólico [33]:

P=A.Q2+B.Q+C (1.23)

En la que los coeficientes A, B y C dependen de múltiples factores, tales como:

Velocidad específica (tipo de turbina).

Altura del salto.

Momento de inercia del grupo turbogenerador.

La variación de estos factores viene acompañada de variación en las siguientes relaciones:

ηQQmax ;

ηPPmax ;

arr

max

QQ ; y

arr

max

PP en las cuales:

Qn, Pn - Caudal y potencia para máxima eficiencia.

Qmax, Pmax.- Caudal y potencia máximos.

31

Qarr, Parr - Caudal y potencia de arranque (inercia).

Las condiciones de máxima eficiencia son aquellas para las cuales se diseñan las turbinas y

cerca de las cuales debe procurarse que trabajen. Los parámetros que aparecen en las chapas

de las máquinas son los de máxima eficiencia para un determinado salto hidráulico (salto de

proyecto). Si se instala la máquina en otro lugar, con otro salto hidráulico, las condiciones de

máxima eficiencia pasan a ser otras, como se verá más adelante.

Los parámetros Pmax y Qmax se corresponden con el vértice de la parábola de la curva de

potencia vs caudal, siendo la rama izquierda la que presenta interés en el funcionamiento de la

turbina. En dependencia de la velocidad específica, la distancia focal se modifica y, por tanto,

la curva característica se hace más o menos cóncava hacia abajo. La relación Pmax/Parr tiene

gran influencia en la capacidad de adaptación de la turbina para aumentar su potencia por el

aumento del gasto durante la regulación. En la bibliografía, esta relación no recibe nombre

específico. Este trabajo le asigna gran importancia en el proceso de regulación, mediante el

gasto de agua y la denomina ¨Factor de adaptabilidad de la potencia de la turbina¨

expresándolo en % [34]. Para las turbinas de impulso, el factor de adaptabilidad tiene un valor

que puede oscilar entre (10-15%) para un aumento del (20-30%) del gasto, mientras que para

las turbinas de reacción, el factor de adaptabilidad aumenta a (20-30%) para un aumento del

gasto del (10-20%).

Influencia del salto hidráulico

Un mismo grupo turbogenerador funcionando en diferentes saltos hidráulicos, produce para

una misma eficiencia, diferentes potencias. Mediante las leyes de la semejanza hidrodinámica

32

se puede determinar con gran precisión las relaciones existentes entre los diferentes

parámetros de operación al cambiar el salto hidráulico.

Si en un salto hidráulico 1, el modelo matemático de P vs Q está dado por la relación (1.23),

se puede demostrar que para cualquier otro salto se obtiene una familia de curvas, en las

cuales los coeficientes A, B, C y D están afectados por las relaciones de semejanza

hidrodinámica [34]. Se tiene:

A(H2/H1).Q2+B(H2/H1)1/2.Q.+C(H2/H1)3/2.P+D=0 (1.24)

Que representa el modelo matemático corregido para el nuevo salto hidráulico.

Influencia del momento de inercia

El momento de inercia del grupo turbogenerador también ejerce una marcada influencia en la

forma que adopte la característica de P vs Q, sobre todo, en los valores de Parr y Qarr. El tiempo

de aceleración, tiempo transitorio o constante de tiempo del grupo turbina-generador, se define

como el tiempo necesario para llevar las masas rotatorias del grupo desde el reposo hasta la

velocidad de régimen a la potencia normal. Si se expresa la potencia normal del grupo en

función del momento y la velocidad angular:

nnn MP ω⋅= (1)

El momento aplicado en el eje de la turbina se puede determinar en función del momento de

inercia del grupo, de la velocidad angular normal y del tiempo necesario para alcanzar esa

velocidad angular:

a

nn T

IM ω⋅= (2)

Haciendo:60

2 nn

n⋅⋅=

πω ; gDGI

⋅⋅

=4

2

(momento de inercia de las masas rotatorias)

33

Se llega a: n

na Pg

nDGT⋅⋅

⋅⋅=

364755

22

s (1.25)

Que recibe el nombre de constante de aceleración o tiempo de aceleración de la máquina

Aquí: G- (N); n- (R.p.m.); P- (kW)

El momento de inercia y su influencia en el arranque del grupo turbogenerador en máquinas

de igual potencia está íntimamente relacionado con la velocidad específica.

Después de arrancada la máquina, el momento de inercia influye en la velocidad de respuesta

a los cambios de los parámetros de la turbina y con ese objetivo debe o no utilizarse volante

para garantizar el tiempo característico de aceleración en correspondencia con el sistema de

regulación empleado.

1.4.3 Dinámica del sistema de regulación

El sistema de regulación (o de control) es el encargado de garantizar que se produzca el

aumento o disminución de la potencia de la turbina, según aumente o disminuya la carga

impuesta sobre el generador. Considerando como ejemplo el caso de un aumento de la carga

en el generador, se produce una variación transitoria de la velocidad durante la cual la

potencia entregada por la turbina al eje del generador disminuye momentáneamente. La

diferencia de energía es suministrada por la inercia de las masas que están siendo

desaceleradas. En ese tiempo, el conjunto disminuye su velocidad, que debe ser llevada al

estado inicial mediante el sistema de control por el aumento de la potencia hidráulica, como

muestra la figura (1.6)

La desviación máxima a partir de la velocidad inicial se denomina φmin disminución o

incremento (φmax) temporal de la velocidad y se expresa en % de la velocidad normal. Las

34

normas establecen para la desconexión completa de la carga un incremento temporal de

velocidad máximo del (30-50%) para las P.C.H. [80, 86]. Durante el funcionamiento normal,

se establece el rango de variación de la velocidad en función de la variación máxima permitida

de la frecuencia. La caída final ( iδ ) - puede ser positiva o negativa – también se expresa en %

de la velocidad normal.

Existe pleno consenso entre diferentes autores en establecer la estrecha relación existente entre

las constantes de tiempo hidráulica TH, la constante de aceleración Ta, la constante del

regulador Tc y el incremento temporal de velocidad φmax. Mantienen plena vigencia las

expresiones deducidas a mediados del siglo XX, por Braun [61]:

( )ca

c

HHc

max TTTTTT

25,02

4,015,1

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=φ (1.26)

Y la fórmula simplificada de Necheleva [61]:

Ta

TT Hcmax 2

+=φ (1.27)

En la Figura 1.6 se muestra el comportamiento de la frecuencia eléctrica (existe

proporcionalidad entre frecuencia y velocidad de la turbina) al producirse un aumento

momentáneo de la carga del generador, experimento realizado por el grupo de Automatización

de las Fuentes Renovables de Energía de la Universidad de Oriente (AFER).

35

Dinámica del grupo turbogenerador

52

54

56

58

60

62

64

0.05 1.2 2.35 3.5 4.65 5.8 6.95 8.1 9.25

Tiempo (s)

(Hz)

Figura 1.6 Variación de la frecuencia eléctrica por un aumento momentáneo de la carga

En la bibliografía que trata el tema de la regulación de las turbinas hidráulicas aparecen

innumerables relaciones empíricas y semiempíricas que relacionan la elevación (o

disminución) de la presión β durante el primer ciclo de la onda de presión con el tiempo de

cierre del regulador, la velocidad de la onda de presión y la constante hidráulica de la tubería.

De estas ecuaciones, la más generalizada es la del notable científico italiano Lorenzo Allievi,

deducida en 1936, pero que mantiene plena vigencia. La utilización de criterios

adimensionales le dan más generalidad. Estos son:

Hg

VaTT

S

H

⋅⋅⋅

==2

ρ parámetro de la tubería (1.28)

LTa

TT C

S

C

⋅⋅

==2

θ parámetro del regulador (1.29)

La ecuación de segundo grado de Allievi para el cierre gradual, está dada por:

( ) 0211122 =⋅+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅+ ρ

θβρβ (1.30)

36

Donde: H

hH *±=β Es la elevación o disminución de la altura del salto hidráulico por el

golpe de ariete.

La solución positiva de la ecuación de Allievi resuelve el problema de la elevación de la

presión para cierre gradual del distribuidor.

Por la dificultad que presenta esta ecuación, en la cual están implicados tantos factores

variables, muchos autores han tenido que recurrir a métodos de solución gráficos. En el

capítulo 2 se establece la relación necesaria entre los parámetros dinámicos de las P.C.H. y se

procede al diseño del modelo matemático para la optimización del proceso de regulación.

1.5 Utilización de más de un grupo turbogenerador

La utilización de más de un grupo turbogenerador está determinada por múltiples factores:

- Características hidrográficas.

- Característica de la demanda (diaria, mensual, anual).

- Tipo de aprovechamiento (regulación, derivación).

En todos los casos, el número de máquinas seleccionado debe ser tal, que en cada momento se

pueda dar respuesta a la demanda (o al caudal disponible) con la máxima eficiencia global. Sin

embargo, debe tenerse presente que el costo relativo del equipamiento electromecánico

aumenta según demuestra la siguiente relación, deducida a partir de la teoría del escalado

económico o de las seis décimas [83]:

6,01

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nnFn (1.31)

En la cual: Fn – factor de costo según el número de máquinas

37

Es decir, para una máquina el factor de costo es la unidad, para dos máquinas que sumen igual

potencia, el factor de costo del equipamiento se eleva aproximadamente a 1,32 y a 1,55 para

tres máquinas.

Por otro lado, la fiabilidad o probabilidad de que no ocurrirán fallos de la planta en un tiempo

(t) aumenta con el número de máquinas [59, 77], según la siguiente relación:

(1.32) ( )(11)(11

tRtR i

m

S −Π−==

)

Si las máquinas tienen la misma fiabilidad R (Reliability), la fiabilidad de la planta está dada

por: (1.33) niS tRtR ))(1(1)( −−=

En la que: RS(t) – Fiabilidad del sistema en el tiempo t

Ri(t) - Fiabilidad de la máquina i en el tiempo t

n – número de máquinas instaladas

Por ejemplo, para una central con una máquina con el 90% de fiabilidad, la fiabilidad del

sistema es de: RS=1- (1-0,9)=0,9 es decir el 90%

Si la central posee dos máquinas con igual fiabilidad del 90%, entonces la fiabilidad del

sistema será: RS=1-(1-0,9)2=0,99 es decir, el 99%

La fiabilidad de una máquina en el tiempo t está dada por:

)0()(

1)0(

)()0()0()()(

ntn

ntnn

ntntR ffS

i −=−

== (1.34)

En la que: Ri(t) – Fiabilidad de la máquina

nS(t) – Número de máquinas que sobreviven al tiempo t

nf(t) – Número de máquinas que han fallado al cabo del tiempo t

n(0) – Número total de máquinas al comienzo del ensayo

38

El aumento de la fiabilidad con el aumento del número de máquinas implica aumento del

costo inicial y de mantenimiento (costo de la fiabilidad) según las relaciones dadas más

arriba.

1.5.1 Eficiencia de la central con más de un grupo turbogenerador

En las centrales hidroeléctricas con más de un grupo turbogenerador, aunque desde el punto de

vista teórico es posible la instalación de los generadores en serie, en la práctica sólo se utiliza

la conexión en paralelo. En este caso, la eficiencia combinada está dada por:

...

....

321

321

++++++

=HHH

eeecent PPP

PPPη

Donde: Pe1, Pe2, Pe3........... –Potencia eléctrica en los bornes de los generadores

PH1, PH2, PH3......... –Potencia hidráulica consumida por las turbinas

Como la eficiencia de cada grupo está dada por:

H

e

PP

=η → He PP .η=

Y; PH= HQ ..γ siendo: constanteH =.γ

La eficiencia energética de la central está dada por:

...

......

321

332211

++++++

=QQQ

QQQcent

ηηηη

Y de forma general: T

iicent Q

Q∑=.η

η (1.35)

1.5.2 Condiciones necesarias para obtener máxima eficiencia de la central

39

La relación (1.35) es en realidad, una función de tres variables, en la cual la variable

independiente (generalmente la potencia) se pone en función de las otras dos (el caudal y la

eficiencia), las cuales no son independientes entre sí. Estamos entonces en presencia de una

función de tres variables relacionadas mediante ecuaciones dadas. En este caso particular, el

problema consiste en determinar cómo han de distribuirse las cargas y los caudales entre los

grupos turbogeneradores, de forma que hagan máxima la función eficiencia total dada por la

relación (1.35):

Siendo: k

QP iiei

η.= (kW) Y:

Hk

.1000γ

=

De ahí: maxPQk

eiT

cent →= ∑η

Bajo la condición de que:

QT=Q1+Q2+Q3+......=QT

Se demuestra mediante el teorema de Lagrange [67] sobre el máximo de funciones de más de

dos variables con extremos condicionados, que para que la eficiencia global de la central sea

la máxima, debe cumplirse la siguiente condición:

ConstantedQdP

dQdP

dQdP

==== ...........3

3

2

2

1

1 (1.36)

Se puede concluir, que la condición necesaria implica que los puntos de operación de los

grupos (P y Q) deben encontrarse situados donde las tangentes a las curvas de P vs Q son

iguales. Debe cumplirse además, que: QT=Q1+Q2+Q3+.....

1.6 Determinación del costo de las Pequeñas centrales hidroeléctricas

40

La ingeniaría en la actualidad no se limita a la solución de problemas en sus

correspondientes campos del conocimiento, sino que toma en consideración todos los factores

que pueden afectar la aplicación de las soluciones y el desarrollo de los proyectos. Uno de

esos factores es el costo, el cual puede cambiar las decisiones a tomar o la forma en la que se

deben plantear las soluciones [52].

El costo capital de la instalación es un elemento fundamental para la determinación de la

rentabilidad y otros índices económicos que determinan el grado de optimización que se pueda

alcanzar en el proyecto.

Los diferentes componentes que determinan el costo de los proyectos están bien definidos, y la

determinación puntual del costo de un proyecto no debe presentar dificultades si se conocen

esos costos por separado y el cálculo se realiza con valores discretos. El problema se presenta

cuando existe la necesidad de establecer la relación entre el costo y los parámetros

fundamentales del proceso, es decir, mediante cálculos continuos del costo.

Existen diferentes métodos para la estimación del costo capital, entre los cuales se pueden

señalar: el método del escalado o método exponencial [83]; el método paramétrico [10, 52]; el

factor de costo, dado por la relación entre el costo total del proyecto y el costo del equipo más

relevante [66], y otros métodos que utilizan técnicas no paramétricas.

Método Exponencial

Se puede realizar rápidamente el cálculo del costo capital mediante la utilización del

exponente de relación de capacidad, basado en datos de costos existentes o mediante datos de

correlación publicados. Se fundamenta en lo siguiente: Si el costo de un equipo o planta de

41

capacidad K1 es C1, entonces, el costo de un equipo o planta similar de capacidad K2 puede ser

calculado por:

a

KK

CC ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

1

212 (1.37)

Donde, el exponente a representa la pendiente de la curva y depende del tipo de equipo o

planta.

A la relación (K2/K1)a se le denomina coeficiente de escala. Para un gran número de equipos y

plantas, el exponente a toma un valor muy próximo a 0,6, por lo que se le conoce con el

nombre de ¨exponente de las seis décimas¨ (six tenths factor) [75]. La ecuación (1.37) recibe

el nombre de fórmula de economía de escala. Como C1 y K1 son conocidos, esta toma una

forma más general:

(1.38) aT KAC ⋅=

En la cual A es el coeficiente característico, que depende también del tipo de equipo o planta

del cual se trate, y que a diferencias del exponente a (pendiente de la curva), está sujeto a

factores externos, como son: la tecnología aplicada y el índice de inflación del momento en

que se haga el cálculo.

Teoría paramétrica del costo

Hay varias definiciones de la estimación paramétrica. Una de las adoptadas formalmente es

como sigue: Una técnica que emplea una o más Relaciones de Estimación de Costo (CER) y

relaciones matemáticas y lógicas. La técnica es utilizada en Ingeniería para calcular y/o

estimar el costo relacionado con el desarrollo, la fabricación o modificación de un elemento

específico acabado. La estimación está basada en aspectos técnicos, físicos u otro elemento

42

característico. Esta definición establece el claro vínculo entre el costo y los parámetros

técnicos del producto terminado. Sin este vínculo, el costo no puede ser definido de forma

efectiva. Un sistema de estimación no paramétrica no establece la conexión entre lo técnico

(paramétrico) y los elementos del costo con suficiente precisión. La técnica es utilizada de

forma expedita para estimar el costo cuando las técnicas de estimación discreta requieren

exageradas cantidades de tiempo y recursos para producir resultados similares. Las técnicas

paramétricas hacen énfasis sobre las cuestiones controladoras del costo (drivers), como:

capacidad, potencia, temperatura máxima de trabajo, tamaño, etc., no sobre los detalles

irrelevantes.

Para el caso de las P.C.H., la capacidad de la planta se da en términos de la potencia instalada

P, la cual es a su vez función del gasto, que es el factor determinante en el proyecto. Otros

factores que pueden tener una determinada influencia en el costo son la altura del salto

hidráulico H y el número de unidades instaladas n. Mediante la Teoría Paramétrica del cálculo

del costo, se demuestra que cuando intervienen varios factores, el costo total se puede

expresar por un conjunto de relaciones de estimación del costo (CER) que tienen en cuenta la

influencia que ejerce cada una de las variables, es decir, un sistema paramétrico. La curva de

aprendizaje para sistemas paramétricos de este tipo puede ser expresada por:

(1.39) ∏=

⋅=n

i

miiT

iFAC1

Siendo: - Relaciones de estimación de costo (CER) imii FA ⋅

Fi- factores, i=1,2. 3....

mi -pendientes de los respectivos factores

43

En el capítulo 2 se establece una ecuación para la estimación del costo total, a partir de los

parámetros fundamentales que controlan el costo (drivers) de las P.C.H.

1.6.1 Ajustes de la ecuación de aprendizaje

La mayoría de los datos disponibles para ser utilizados en un proyecto están dados bajo

condiciones del pasado. Debido a que los costos cambian considerablemente con el tiempo

como consecuencia del cambio de las condiciones económicas, deben aplicarse determinados

métodos para convertir los costos del pasado a costos equivalentes actuales. Esto puede

llevarse a cabo mediante los índices de costo [19].

Un índice de costo es simplemente un número para un año dado, que representa el costo en

relación con un año que se toma como referencia y que se le asigna el valor de 100. Si el costo

es conocido en algún momento del pasado, puede determinarse el costo equivalente en la

actualidad mediante la siguiente relación:

originaltodelmomentoalíndicedelvaloractualíndicedelValororiginalCostotepreCosto

cossen = (1.40)

Al final de la bibliografía, aparece la relación de organismos internacionales que publican

anualmente los índices de los diferentes componentes del costo de los proyectos, y aunque no

se encuentran reflejados los índices correspondientes a Cuba, la variación de los índices de

costo en el ámbito mundial, repercuten en la misma proporción en los proyectos ejecutados en

Cuba.

1.6.2 Calibración y Validación de los modelos de costo

44

Se puede hacer una valoración de la exactitud del método de estimación del costo total

seleccionado, mediante un método alternativo y finalmente mediante la validación de los

resultados con datos de campo.

El método de comprobación más apropiado, por ser del que más información actualizada se

puede disponer en cada momento, es el del factor que relaciona el costo relativo de los equipos

de mayor monto con el costo total de la planta [79]. Las publicaciones especializadas sobre

costos de la P.C.H. [6, 47, 49, 63] dan la distribución relativa del costo de los diferentes

elementos que conforman la central, según muestra la figura (1.7).

Si se toma como referencia el costo del grupo turbina generador, a estos componentes le

corresponde de un 25% a un 30% del costo total, tomando el límite inferior si es de

producción nacional. Luego, si el costo total de la planta es el 100 %, una sencilla regla de tres

lleva a:

CeFCee

C CT ..%%100

== CUC (1.41)

Donde: e% - por ciento del costo total que representa el equipamiento considerado

Ce – costo del equipamiento considerado

Tomando como base de cálculo el grupo turbogenerador de fabricación nacional (25 % del

total), la ecuación (1.41) queda: CT=4.Ce CUC (1.42)

45

10%regulación y control

15 %

Equipos eléctricos

10%

Turbina-generador

25%

Obra civil 40 %

Ingeniería

Figura 1.7 Desglose del costo de las P.C.H.

CONCLUSIONES DEL CAPITULO

Se han precisado y definido los principales parámetros que intervienen en el proyecto y la

explotación de las P.C.H.

El gasto de agua determina la potencia a instalar, y en general, el dimensionado de las

máquinas y demás componentes, es decir, el gasto, determina las dimensiones y costo

aproximado del proyecto. De ahí la importancia que tiene desarrollar un método sustentable

para determinar el gasto óptimo a partir de criterios técnicos y económicos.

La utilización de una ecuación para la estimación continua del costo en función de los

parámetros relevantes, da la posibilidad de poder introducir criterios técnicos y económicos

para la determinación del gasto de proyecto.

Se pudo comprobar, también, que existe una estrecha interacción entre los parámetros

dinámicos que conforman la central. Para garantizar que el proceso de control se realice de

forma adecuada, las variables deben determinarse mediante la técnica de optimización,

teniendo en cuenta las condiciones y restricciones físicas que impone el proceso.

46

CAPITULO 2. MODELOS MATEMATICOS PARA LA OPTIMIZACION DEL

PROYECTO Y LA EXPLOTACION DE LAS PEQUEÑAS CENTRALES

HIDROELECTRICAS

47

CAPITULO 2. MODELOS MATEMATICOS PARA LA OPTIMIZACION DEL

PROYECTO Y LA EXPLOTACION DE LAS PEQUEÑAS CENTRALES

HIDROELECTRICAS

En este capítulo se desarrollan, a partir de los fundamentos teóricos básicos analizados en el

capítulo 1 y otros surgidos durante el proceso de investigación, los modelos matemáticos y

algoritmos que permiten llevar a cabo la optimización del proyecto y la explotación de las

Pequeñas Centrales Hidroeléctricas.

Un modelo matemático para optimización de un problema, en sentido general, está compuesto

por una función objetivo, que generalmente se enuncia en forma de ecuación, y que debe

tomar un valor deseado; las variables del problema, cuyo objetivo es evaluar continuamente la

función objetivo hasta que esta alcance el valor deseado; las restricciones del problema, que

limitan el entorno dentro del cual se pueden mover las variables y determinadas ecuaciones o

relaciones entre las variables, y las restricciones. Optimizar en esencia, consiste en resolver

ese modelo matemático.

2.1. Características esenciales de la optimización

Casi todo problema durante el diseño, operación, análisis de plantas y procesos industriales y

cualquier problema asociado con el esquema de producción, puede ser reducido en última

instancia a la determinación del valor óptimo de una función de varias variables. Optimizar

consiste en esencia en el proceso colectivo de determinación del conjunto de condiciones

requeridas para alcanzar el mejor resultado de una situación dada.

La optimización puede, en sentido general, cubrir un amplio rango de ejemplos y aplicaciones.

Algunas aplicaciones típicas pueden encontrarse en la determinación de:

48

- El diseño de una simple unidad o de una planta completa para una producción con un

costo mínimo.

- La operación de una unidad o planta cuyo comportamiento debe ser ajustado para la

máxima eficiencia.

- La planificación de estrategias para la mejor distribución del producto hacia los

consumidores.

En la mayoría de los aspectos de la vida industrial, el perfeccionamiento es una característica

importante. Esto es, se desea lograr la mayor producción de una materia prima, el mayor

beneficio de una inversión fija, y así por el estilo. La optimización es una presentación formal

de estas ideas.

El objetivo o función objetivo

En el proceso de optimización, el objetivo o la función objetivo puede variar de un problema a

otro. Para las aplicaciones industriales éste puede ser económico o técnico. Son comunes los

objetivos económicos, tales como: máxima ganancia o costos mínimos, mientras que los

posibles objetivos técnicos pueden incluir el consumo mínimo de material para un proyecto, la

mayor energía obtenida por unidad de potencia instalada, etc. Sin embargo, normalmente la

mayoría de las optimizaciones industriales llevan implícita la optimización económica.

Cuando el objetivo es puramente técnico, como ocurre en el control de calidad o en estándares

de mantenimiento, el costo o sus equivalentes económicos deben tomarse como restricciones

para evitar soluciones con resultados inviables.

49

Influencia competitiva

Un rasgo característico de muchos problemas (especialmente en el diseño y operación de

plantas) es la presencia de influencias competitivas u opuestas. Por ejemplo, un proceso puede

ser operado de forma manual (como ocurre en algunas plantas), lo cual produce energía de

baja calidad debido a la oscilación del voltaje y la frecuencia. La utilización de la

automatización puede aumentar la calidad de la regulación, pero esto introduce mayor carga al

mantenimiento. Este último costo debe, entonces, en unión con el costo manual y de la labor

de producción, generar un costo total que disminuye hacia un mínimo con el aumento del

grado de automatización y luego comienza a aumentar.

Restricciones

Aunque pueden requerirse los estudios de optimización para alcanzar los mejores resultados

de una situación dada, llamado el óptimo absoluto, estos pueden a menudo no ser alcanzados,

debido a la imposición de restricciones. Si el problema no tiene restricciones, se puede tener

entonces el mejor resultado absoluto. Cuando se imponen restricciones, se puede alcanzar un

óptimo, pero no necesariamente debe ser el óptimo absoluto, sólo uno relativo a las

restricciones impuestas. Un ejemplo que puede aclarar esto es la optimización del área lateral

de la cámara de carga o la chimenea de equilibrio de las P.C.H. Al optimizar las dimensiones

de estos elementos de la central, debe ponerse como restricciones la forma geométrica

deseada, y los límites máximos y mínimos dentro de los cuales pueden encontrarse las

relaciones entre las dimensiones fundamentales de las diferentes áreas (l/b, h/b, etc.) para

evitar soluciones que, aunque desde el punto de vista matemático pueden dar respuesta de

optimización, en la práctica resultan irrealizables.

50

2.2 Optimización del proyecto de las P.C.H.

Para llevar a cabo el proyecto de las P.C.H., debe tenerse como información los datos

imprescindibles para hacer un estimado previo de la factibilidad hidroenergética. Esta etapa

se denomina ¨perfil del proyecto¨, la cual se elabora a partir de informaciones existentes del

comportamiento del caudal y la altura del salto bruto, del juicio común y de la experiencia.

De no ser rechazado de inicio el proyecto, se procede a una segunda etapa llamada de

prefactibilidad, en la cual se precisan los datos hidrográficos y topográficos y se realizan

estudios sobre la demanda de electricidad, factibilidad económica y el impacto social y

medioambiental. Al culminar esta segunda etapa, puede ocurrir también que el proyecto sea

aceptado o rechazado para dar paso a otra variante energética que resulte más atractiva. De no

ser rechazado el proyecto en esta segunda etapa, o no existir otra variante que la supere, se

pasa al estudio de ¨factibilidad¨, la cual se elabora sobre la base de antecedentes precisos

obtenidos a través de fuentes primarias de información. Esta etapa constituye el paso final del

estudio preinversional, en ella, la mayor responsabilidad del proyectista es velar por la

optimización de los aspectos fundamentales que dependen de decisiones técnicas y

económicas, como son: la potencia y el número de grupos turbogeneradores a instalar, el costo

aproximado del proyecto y otros índices técnico-económicos, tales como: el factor de planta,

el costo relativo de la energía producida y la tasa de recuperación de la inversión. [68].

En lo adelante, para llevar a cabo el proceso de optimización técnico-económica, se

considera que fueron cumplidas las dos primeras etapas y que se tuvieron en cuenta los

efectos cualitativos de los factores sociales y medioambientales, los cuales normalmente no

entran en el modelo matemático como variables cuantitativas a optimizar.

51

Optimización de los parámetros relevantes del proyecto de las P.C.H. a partir de criterios

técnicos y económicos

Para una P.C.H., la optimización puede significar: aquella que mayores beneficios económicos

reporte, o su equivalente energético en toneladas, barriles de petróleo, etc. Puede ser, incluso,

la que menos gravite sobre la economía del estado si como consecuencia de los factores

sociales o medioambientales, necesariamente ha de presentar un saldo ingresos-costos

negativo.

La función objetivo:

En el caso de las P.C.H. que trabajan bajo el régimen de aguas fluentes, la determinación del

objetivo o función objetivo para la optimización se complica por dos razones fundamentales:

1. La distribución del caudal a lo largo del año.

2. La variación de la demanda de electricidad durante el día y a lo largo del año.

Si la central ha de conectarse a una red de servicio local o regional, estos factores pasan a

ocupar un lugar secundario en el proceso de optimización, pero si la central se proyecta para

funcionar de forma aislada, en la cual, para un determinado aprovechamiento aumenta la

potencia a instalar a medida que disminuye el factor de planta, estos factores entran en

contradicción. Por esta razón, las variables potencia a instalar y horas de utilización en el año,

deben ser consideradas restricciones del problema, sobre las cuales el proyectista tiene la

opción de establecer valores límites o de frontera en el proceso de optimización.

Para definir la función objetivo, se analizaron las siguientes posibilidades:

52

Maximizar la energía producida

Proyectar la central para la mayor producción de energía, significa hacerlo para la potencia del

mayor caudal dentro de los límites que establece la curva de caudales clasificados. Esta

solución puede llevar a que el costo del proyecto de lugar a una relación energía/costo, en

desventaja con otras fuentes de energía.

Maximizar la relación energía/potencia.

La relación entre la energía producida en el año y la potencia instalada (kW.h/kW), significa

las horas del año que la central trabajaría si lo hiciera con la potencia de proyecto. Para el caso

de las P.C.H. esto resulta ser un problema, pues en el proceso de optimización el valor

máximo de esa relación corresponde al de la potencia mínima instalada, que es la del caudal

mínimo de la curva de caudales clasificados.

Minimizar el costo del proyecto.

Este objetivo económico puro, llevaría a un resultado similar al anterior. Dentro del rango de

caudales clasificados, el costo mínimo se corresponde con el de la potencia mínima a instalar.

Se ha llegado a la conclusión, de que para que la función objetivo pueda ser sustentable, debe

quedar definida por una relación entre factores técnicos y económicos fundamentales del

proyecto, dentro del amplio campo de restricciones que imponen las P.C.H. Se propone la

siguiente función objetivo:

Maximizar:( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅

CUChkW

aCUCproducidaEnergíaladeCostoahkWañoelenproducidaEnergía//

(2.1)

Se pueden obtener otras equivalentes, que también se dan como respuesta en el trabajo:

53

Minimizar: ( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅ hkWCUC

EproducidaEnergíaCañoelentotalesCostos T (2.1 a)

Si se dispone del precio de venta de la energía producida o sus equivalentes térmicos, la

función objetivo puede expresarse por el conocido criterio de validación económica de

proyectos: la relación Ingresos/costos

Maximizar: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅

=CUCCUC

aCUCañoelenenergíaladeCostohkWCUCTarifaahkWEnergía

CostosIngresos

)/()/()/( (2.1 b)

Ambos términos deben estar en las mismas unidades, es decir, (CUC/a), (TEP/a)1, etc.

En estas expresiones, el coto total comprende el costo a descontar anualmente por el proyecto

y los costos de operación, mantenimiento y complementarios:

CT=CP+Comc (2.2)

En el caso de las centrales hidroeléctricas, el volumen de la producción (kW.h/a) no está

relacionado con el consumo de materia prima, combustible u otro elemento variable del costo,

por lo que, para un determinado proyecto, el costo global de producción puede considerarse

fijo dentro de un rango de producción.

Se observa que a medida que aumenta la potencia instalada, aumentan los costos de inversión

del proyecto (Cp) y los costos de operación, mantenimiento, de dirección y otros gastos de

taller y complementarios (Comc), pero también aumentan los beneficios (energía producida,

venta de electricidad, TEP, etc.). Por debajo de un determinado valor de la potencia instalada

(punto de equilibrio), los costos totales pueden superar a los ingresos (I) y entonces la P.C.H.

no ser rentable. Por encima de un determinado valor de la potencia instalada, los ingresos

pueden superar a los costos y la P.C.H. comienza a ser rentable. Para poder expresar la

1 TEP: Toneladas equivalentes de petróleo. Energía promedio que puede obtenerse por cada tonelada de petróleo (12,1.103 kW.h)

54

función objetivo en cualquiera de las formas anteriores en función de parámetros del

proyecto, en este trabajo se han introducido dos importantes aportes:

1. El desarrollo e introducción de una función continua que relaciona el volumen

turbinado con cada valor del gasto de agua, lo cual permite relacionar la energía

producida con la potencia instalada.

2. El desarrollo e introducción de una función continua que permite relacionar el costo

total del proyecto con los parámetros técnicos fundamentales.

Relación entre volumen turbinado y caudal de agua

Después de realizados los estudios topográficos, el salto hidráulico queda determinado entre

rangos muy estrechos y la variación que éste puede experimentar no influye notablemente en

la variación de la potencia; por tanto, el caudal resulta ser la variable de mayor importancia en

el proyecto de las P.C.H.

En el epígrafe 1.3.1 se hizo un análisis de algunos de los métodos más utilizados para

determinar el caudal de proyecto y las deficiencias que ellos presentan. El método que se

propone en este trabajo, parte, al igual que la mayoría de los métodos tradicionales, de la

curva de caudales clasificados, pero presenta un importante aporte: no se determina el caudal

de proyecto a partir de una probabilidad de ocurrencia fija como lo hacen esos métodos, sino

que toma de la curva de caudales clasificados el caudal que optimiza la función objetivo.

En las ecuaciones (1.8) y (1.10) del capítulo 1 se pudo apreciar que: para valores fijos del salto

hidráulico y la eficiencia, la potencia de proyecto es una función exclusiva del caudal de

proyecto, como la energía lo es del volumen de agua que pasa por las turbinas (volumen

turbinado).

55

Dadas las curvas de caudales clasificados, es posible obtener para cada valor del caudal, el

área de la curva que queda por debajo de ella, lo cual se corresponde con el volumen de agua

que se puede turbinar si se diseña con ese caudal. De esta manera, se obtiene una función

continua que relaciona cada valor del caudal (Q) con el correspondiente volumen de agua

turbinada (V*), ambos en las mismas unidades (m3/s) (volumen medio anual turbinado), como

se muestra en la figura (2.1).

Para no tener que recurrir a un planímetro, a papel cuadriculado o a un programa

especializado en el cálculo de áreas, en el Anexo A-1.1 se presenta un algoritmo desarrollado

mediante integración numérica por el método de los trapecios [82], que permite calcular el

volumen turbinado correspondiente a los valores más significativos de la curva de caudales

clasificados.

Los pares de valores de Q y V* son los que permiten relacionar de forma indirecta la potencia

instalada con la energía generada. Dicha curva está limitada por los volúmenes

correspondientes a los caudales máximo y mínimo de la curva de caudales clasificados.

Habrá entonces en ese intervalo un par de valores de V* y Q que aportan los mayores

beneficios. El caudal en exceso que queda por encima del caudal de proyecto puede ser

aliviado para que el volumen de la obra de toma no exceda del mínimo necesario.

56

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

0.143 0.129 0.165 0.272 0.55 1.63

Q (m^3/s)

V* (m^3/s)

Figura 2.1 Volumen turbinado vs Gasto

Relación entre caudal y costos

Los costos de las P.C.H. pueden ser de dos tipos: costos de la inversión del proyecto (Cp), que

deben ser descontados mediante tasas anuales e intereses bancarios; y costos de operación,

mantenimiento, de dirección de la empresa y complementarios (Comc).

Los costos se relacionan con el caudal de forma indirecta, a través de la potencia. Con el

aumento de la potencia instalada, aumenta el costo total. Aunque el costo del proyecto puede

variar de un país a otro por diversas razones, como son: posibilidades de fabricación de los

diferentes componentes, posesión de materiales de construcción, personal calificado para

llevar a cabo los proyectos, etc., el comportamiento relativo del costo con la potencia y el salto

hidráulico tiene una tendencia similar.

Para la determinación del costo de la inversión se pueden aplicar los principios de la Teoría

Paramétrica del costo, estudiada en 1.6, la cual expresa que el costo total se puede obtener

mediante una o más relaciones de estimación de costo (CER) y relaciones lógicas, que tienen

57

en cuenta los factores determinantes (drivers) del costo del proyecto particular del cual se

trate. La forma más común de expresarla es mediante la ecuación (1.39):

∏=

⋅=n

i

miiT FAC

1

Para determinar las Relaciones de Estimación del Costo (CER), que dan lugar a la ecuación de

aprendizaje, se plantea la siguiente hipótesis:

Los parámetros fundamentales que determinan el costo de las P.C.H. son: el caudal de

proyecto, la altura del salto hidráulico y el número de unidades instaladas.

Resulta más conveniente relacionar el costo capital de la central con la potencia de proyecto

en lugar del caudal, lo cual no altera la hipótesis planteada, pues la potencia es función

exclusiva del gasto para una altura de salto y eficiencia conocida. En este caso, se pueden

plantear las siguientes relaciones de estimación del costo:

∏ ; ⋅=1 1

aPA ∏ ⋅=2 2

bHA ; ∏ ⋅=3 3

cnA (2.3)

Que dan lugar a la ¨Ecuación de aprendizaje¨:

(2.4) cbaT nHPAC ⋅⋅⋅=

Los exponentes a, b y c representan las pendientes (intensidad de variación) de la potencia, del

salto hidráulico y del número de máquinas. Estos determinan la tendencia del costo con esos

tres factores respectivamente, por lo que después que son determinados, permanecen

invariables.

Resulta evidente que el aumento de la potencia instalada para una altura de salto hidráulico

fija, implica un aumento de los diferentes elementos del costo del equipamiento y de labor por

el aumento proporcional de las dimensiones de las máquinas, diámetros de tuberías y demás

elementos del sistema hidráulico, según un determinado exponente a.

58

Por otro lado, con el aumento del salto hidráulico, para una potencia fija, aumenta el costo de

tubería por el aumento de longitud y porque debe aumentarse su espesor, sin embargo, según

se demuestra mediante las leyes de la semejanza hidrodinámica [52, 66, 73, 78], con el

aumento del salto hidráulico se puede generar mayor potencia con una máquina más pequeña

(menor gasto de agua), según la relación: . Ambos efectos combinados

hacen que el costo experimente una disminución relativa con el aumento del salto hidráulico.

21212 )/( HHPP =

El número de máquinas a instalar, como se vio en el epígrafe 1.4 aumenta la fiabilidad y el

factor de planta, pero también aumenta el costo total de la planta (costo de la fiabilidad). El

aumento del costo con el número de grupos que sumen la potencia total está dado por la

relación (1.31): 4,06,01 n

nnFn =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Donde: n- número de grupos cuyas potencias suman la potencia de proyecto

El coeficiente A, sin embargo, depende de todos los factores externos del costo, como son: el

desarrollo tecnológico y los índices de costo por inflación del equipamiento, de construcción y

de labor, por lo que el coeficiente A varía de un país a otro y está influenciado por el factor

tiempo. Existen organismos internacionales que brindan información sobre los diferentes

índices de costo referidos a 1980, año para el cual se toma el IC=100 [19]. Aunque Cuba no se

encuentra reflejada en dichas tablas, está influenciada por los mismos factores de inflación que

afectan a esos países, especialmente en lo referente a los índices de costo del equipamiento.

En la figura (2.2) se muestra el comportamiento del costo para valores de los exponentes

a=0,7 y b=0,12 para un grupo turbogenerador (n=1) y el coeficiente A=8700, determinados

con datos preliminares. En estas curvas se observa la poca influencia que ejerce la altura del

salto en el costo total de la central, por lo que la eliminación de dicho factor de la ecuación

59

daría una curva intermedia con exponente próximo a 0,6, lo cual confirma la validez de la

teoría del escalado económico o del exponente 0,6 [75].

Figura 2.2 Tendencia del costo total de las P.C.H.

Para los efectos de la optimización, es preferible utilizar el costo unitario, es decir: el costo por

unidad de potencia instalada. En ese caso, debe dividirse la ecuación (2.4) por la potencia,

quedando de la siguiente manera:

ba

c

U HPnAC −− ⋅

⋅= 1 CUC/kW (2.5)

De la gráfica de esta ecuación, figura (2.3) se observa que el costo unitario presenta una

disminución relativa con el aumento de la potencia y con el aumento de la altura del salto.

Como los exponentes a, b y c están en correspondencia con la teoría paramétrica del costo de

proyecto, sólo hace falta precisar sus valores y el del coeficiente A para las condiciones

60

actuales. En el capítulo 3 se procede a la determinación de los exponentes a, b, c y el

coeficiente A, mediante datos de campo de las P.C.H. construidas en los últimos años.

0

500

1000

1500

2000

2500

0 500 1000 1500 2000kW

CUC/kW

50 m 100 m 200 m

Figura 2.3 Tendencia del costo específico de las P.C.H.

Otros factores a considerar

Para que el proceso de optimización sea lo más completo posible, debe tenerse en cuenta la

mayor cantidad de factores que puedan tener una determinada influencia y con los cuales el

proyectista puede interactuar para aproximar el proyecto al óptimo absoluto.

Factor de recuperación del capital anual FR [72].

Si el proyecto es financiado mediante un préstamo bancario, el pago de éste debe deducirse de

los ingresos mediante el factor de recuperación del capital (FR). El pago devuelto incluye el

capital y el interés, pero no incluye impuestos, pagos en reserva ni los gastos que algunas

veces se asocian con los préstamos [18, 68, 72]. El factor de recuperación anual para una tasa

61

de interés (i) en un período de años (n), y valor cero al final del período (VF=0), se determina

por: ( )( ) 11

1−+

+= n

n

R iiiF (2.6)

Estos elementos, junto con los flujos de caja que se obtienen a partir de los ingresos y los

gastos, sirven de base para la posterior validación alternativa mediante diferentes criterios

económicos y financieros, como el VAN (Valor actual neto), TIR (Tasa interna de retorno) y

el PAY-BACK (Período de retorno).

El costo anual de operación, mantenimiento y complementarios (Comc), también aumenta con

la potencia instalada. La forma más conveniente de estimar estos costos es mediante un índice

que relaciona la potencia de proyecto con la potencia total instalada en la empresa. Al

multiplicar dicho índice por el presupuesto dedicado por la empresa a operación,

mantenimiento y complementarios, se obtiene la parte correspondiente al de la central que se

proyecta. La Empresa de Hidroeléctricas del Instituto Nacional de Recursos Hidráulicos

dedica anualmente entre un 5-10 % del costo total de la potencia instalada para operación,

mantenimiento y complementarios.

2.2.1 Modelo matemático para la optimización del proyecto

Al tener en cuenta los factores anteriores, la función objetivo en la forma (2.1 b) queda:

Maximizar: )(

)(

omcRUnPT CFCFPTeE

CI

+⋅⋅−

= (2.7)

Y el modelo matemático para la optimización:

62

La función objetivo:

Maximizar: )(

)(

omcRUnPT CFCFPTeE

CI

+⋅⋅−

=

En la que: E=ϕ1(V*); PP=ϕ2(QP); V*=ϕ3(QP); CU=ϕ4(PP, H, n)

Las variables: PP , E, CU

Las restricciones: Qmax> QP > Qmin ; QP>0

En esta:

e - Insumo de energía (kW.h)/a; (TEP)/a; etc. ≈0

T – Tarifa (precio unitario de la energía producida) o el factor de conversión a TEP

CU – Costo unitario (específico) del proyecto (CUC/kW.h)

FR – Factor de recuperación anual de la inversión

Fn – Factor que tiene en cuenta el número de máquinas a instalar

Comc- Gastos a descontar por operación, mantenimiento y complementarios (CUC/a)

El proyectista tiene la posibilidad de fijar los caudales Qmin y Qmax, que determinan las

fronteras dentro de la cual se moverá el proceso de optimización. Para ello se puede tomar

como referencia las características del consumo actual de la zona a electrificar y el incremento

previsto para el futuro. En la figura 2.4 se muestra el comportamiento general de la ecuación

2.7.

63

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

0.20 0.60 1.00 1.40 1.80

Caudal (m^3/s)

Pesos

Ingresos

Costos

Beneficios

Figura 2.4 Beneficio económico de una P.C.H.

Programa para llevar a cabo el proceso de optimización

Resulta imposible llevar a cabo la optimización de este problema si no se dispone de un

software diseñado al efecto, porque el proceso consiste en ir variando el gasto hasta lograr el

valor que hace máxima la función objetivo y las ecuaciones involucradas en el problema son

de segundo orden y de orden superior. En otras palabras, la función objetivo es una función de

funciones con extremos condicionados.

Durante la realización de este trabajo, se ha podido comprobar que con la herramienta Solver

que viene instalada en el programa Excel de Microsoft se puede llevar a cabo la optimización

de manera relativamente fácil. En el Anexo A-1.3.1 se muestra el algoritmo de cálculo y en el

ANEXO A-1.3.2 se muestra una pantalla en la cual se destacan los elementos fundamentales

de la optimización: Un bloque de entrada de datos, otro bloque de resultados y un tercero

donde se programan la función objetivo y las restricciones

2.3. Optimización de los principales componentes del sistema hidráulico

64

Optimizados el gasto y la potencia de proyecto, la lógica indica que debe continuarse el

proceso con los elementos fundamentales de la instalación. Es más, algunas de las

consideraciones hechas para la optimización del gasto y la potencia y para la optimización de

las condiciones de explotación que serán analizadas más adelante, tienen como premisa que

los elementos de la central han sido proyectados bajo condiciones de optimización.

Optimización de las tuberías de presión

La bibliografía recoge una amplia gama de ecuaciones empíricas desarrolladas con el

propósito de calcular el diámetro óptimo que debe tener la tubería de presión [15, 81, 85, 86].

La mayoría de esas ecuaciones están dadas en función del caudal de proyecto, otras en función

del caudal de proyecto y el salto hidráulico, y algunas en función de la potencia y la altura del

salto hidráulico. El grado de precisión de dichas ecuaciones está limitado por las innumerables

consideraciones que se han tenido que hacer para su deducción. La mayoría de ellas son

válidas para un material de tubería específico, generalmente hierro fundido o acero, para una

velocidad, coeficiente de fricción y pérdida de carga por rozamiento fijas, etcétera.

El diámetro óptimo está dado por un lado, por la influencia competitiva del costo propio de la

tubería, el cual depende del material y aumenta con el peso y, por tanto, con el diámetro; y por

otro lado, por la pérdida de energía que se produce por concepto del rozamiento, el cual

disminuye con el aumento del diámetro y con el tipo de material. Por tanto, el diámetro óptimo

puede obtenerse al minimizar la siguiente función objetivo:

Minimizar: CT = Cf + Cm (2.8)

Siendo: Cf – costo de la energía que se pierde en el año (CUC/a)

Cm – costo de la tubería según el material (CUC/a)

65

Todos los factores que determinan el costo de la energía se pueden determinar. De la ecuación

de Darcy Weisbach se obtiene la pérdida de carga por rozamiento:

5

2

0827,0D

QLfhf⋅⋅

⋅= (2.9)

La pérdida de potencia por el rozamiento:

5

381,01000

8,9D

QLfhQP f

f⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=γ

kW (2.10)

La energía que se pierde por rozamiento en el año está dada por:

5

381,0D

FQLfE Uf

⋅⋅⋅⋅= kW.h/a (2.11)

El costo de anual de esa energía:

5

381,0D

TFQLfTEC Uff

⋅⋅⋅⋅⋅=⋅= CUC/a (2.12)

En el proceso de optimización del caudal de proyecto, se obtuvieron: el factor de utilización

(Fu), la tarifa de venta del kW.h (T) y el caudal de proyecto (QP); de este último se obtuvo el

volumen turbinado V*, el cual no es más que el volumen total de agua que pasa por las

turbinas dividido por los segundos que tiene el año normal, es decir, el gasto promedio anual

expresado en m3/s, y que resulta el valor del gasto más representativo para determinar el costo

de la energía.

El coeficiente de fricción f se determina en el proceso de iteración como una de las variables

del problema. Depende de la rugosidad relativa e/D, por lo que se puede utilizar la

comprobada ecuación modificada de Colebrook para régimen turbulento [ 81].

El costo de las tuberías aumenta de forma exponencial con el peso, en dependencia del

material de la misma. En la bibliografía especializada [53] se dan tablas con el peso de tubería

66

en función del diámetro nominal por metro de longitud, luego se puede expresar el costo por

concepto del material mediante la siguiente expresión:

Cm=Cu.W.L.FR CUC/a (2.13)

En la cual:

Cu – costo de la unidad de peso de tubería CUC/ton

γπ ⋅⋅⋅= eDW – peso del metro de tubería expresado en función del diámetro ton/m

e, γ -espesor y peso específico del material de la tubería

Para poder programar el proceso de optimización, debe tenerse la curva de costo de la tubería

en función del diámetro, o proceder al ajuste de la misma.

Por último, como el proyecto de la central da la posibilidad de utilizar más de un grupo

turbogenerador y éstos pueden estar alimentados por tuberías separadas, debe contemplarse

dicha posibilidad en el algoritmo para determinar el diámetro óptimo. Para ello, la ecuación

del costo de la energía debe tener dos modificaciones: Esta debe estar multiplicada por nt

(número de tubos) y el gasto debe estar dividido también por nt.

En la ecuación que determina el costo por concepto del material de la tubería, el factor de

recuperación del capital FR debe estar multiplicado por el factor que tiene en cuenta el

aumento del costo con el aumento de los componentes. En este caso: nt(1/nt)0,6.

Modelo matemático de optimización

El modelo matemático de optimización queda:

Función objetivo:

Minimizar: 5

3)/*(81,0D

TFnVLfnC UttT

⋅⋅⋅⋅⋅⋅= + nt(1/nt)0,6.Cu.W.L.FR

67

W=ϕ1(D); f=ϕ2(D/e)

♦ Variables: D, f, nt, CT

Restricciones: D>0; Dmax

En el ANEXO A-1.3.3 se muestra una pantalla con el programa de optimización realizado con

ayuda de la herramienta Solver.

Optimización de la cámara de carga

La cámara de carga es un importante elemento que enlaza el canal o el túnel, en dependencia

de cual sea el que se utilice, con la tubería de presión. Las funciones de la cámara de carga se

pueden resumir en: 1) garantizar el incremento de agua durante la arrancada o aumento de la

potencia de las máquinas; 2) acumular el agua rechazada en las paradas y disminuciones de la

potencia y 3) amortiguar los efectos del golpe de ariete.

En proyectos que se ejecutan con pocos recursos, muchas veces se prescinde de la cámara de

carga, con posteriores consecuencias desastrosas en la regulación durante la explotación.

El proyecto de la cámara de carga se fundamenta en determinar el volumen necesario que esta

debe tener, así como las alturas por encima y por debajo del nivel normal del agua para

cumplir con los requisitos de las arrancadas y paradas. Si se utiliza el algoritmo diseñado por

el profesor Brasileño Sulcy de Souza [86], sólo hace falta someterlo a un proceso de

optimización bajo el criterio económico de la menor área lateral que garantice el volumen

requerido, con las restricciones impuestas por el problema en cuanto a las alturas límites

mínima y máxima.

2.4. Optimización de los parámetros dinámicos de las P.C.H.

68

Los principios básicos de la regulación para las grandes centrales hidroeléctricas han sido

estudiados en detalles y existe una amplia bibliografía sobre esta temática [9, 15, 61, 85], que

aunque data de varios años, mantiene plena vigencia. Los cambios ocurridos en este sentido,

han estado dirigidos fundamentalmente a la introducción de elementos más sensibles y

eficaces para la detección, comparación y el enlace de las variables a controlar con los

dispositivos de mando. En las P.C.H. que trabajan de forma aislada, las variaciones de la

energía ocurren en períodos de tiempo cortos, segundos o fracciones de segundos, es decir, los

gradientes dE/dt son mucho mayores que en las grandes centrales hidroeléctricas, esto impone

al sistema de regulación condiciones diferentes para el cierre y la abertura de los reguladores

[7, 21, 22, 39, 43, 44].

En este trabajo se considera que en las P.C.H., el tiempo y la garantía de la regulación durante

el período de abertura es más difícil de lograr que el de cierre, y debe estudiarse a

profundidad. Ha sido precisamente, la imposibilidad de garantizar un proceso de regulación

seguro durante el período de aumento de la demanda, el que ha ocasionado que la mayoría de

los sistemas de control de las P.C.H. hayan fracasado, según se muestra en la tabla 1.1.

A continuación, se exponen las causas que dificultan el proceso de aumento de la potencia

mediante el aumento del gasto de agua y se propone, un modelo matemático para la

optimización de las variables.

Si la carga a la cual está sometido el generador de una turbina disminuye o aumenta

bruscamente, el sistema de control no actúa instantáneamente. Las razones son las siguientes:

1. El agua debe ser acelerada (o desacelerada) por la tubería hasta alcanzar el gasto

correspondiente a la nueva potencia.

69

2. Debe consumirse una energía adicional para acelerar (o desacelerar) las masas rotatorias

de la máquina.

3. El mecanismo necesita un cierto tiempo, debido a su propia inercia, desde que se detecta la

variación de la frecuencia hasta que el sistema de control empieza a actuar.

Para garantizar una respuesta rápida del sistema regulador, y al mismo tiempo evitar la

aparición del golpe de ariete por el cierre del distribuidor, debe cumplirse la siguiente

condición entre las constantes de tiempo hidráulica (TH), de cierre del regulador (TC) y del

sistema dinámico turbina-generador (Ta):

TH<TC<Ta (2.14)

Y durante la abertura del distribuidor para aumentar la potencia de la máquina y compensar el

aumento de la demanda, debe cumplirse que:

TH<Ta<To (2.15)

Si por algún motivo el tiempo hidráulico se hace mayor que el tiempo de abertura del

distribuidor, el lazo de control se hace ineficiente. El sistema de control detecta la diferencia

entre la potencia y la demanda, y comienza a actuar; pero si lo hace en menor tiempo que el

requerido, es decir, con mayor rapidez, la depresión que se produce en la tubería hace que la

potencia hidráulica disminuya y con ello el número de revoluciones del grupo, requiriendo de

un nuevo ajuste sin haber completado el anterior, lo cual lleva al sistema a una situación de

inestabilidad irreversible.

A continuación, se mencionan algunas de las causas que dificultan el control y la estabilidad

de las P.C.H.:

70

1. Altos valores del gradiente energía/tiempo, que imponen tiempos cortos de respuestas del

sistema de control, lo cual entra en contradicción con las constantes de tiempo hidráulica y

las constantes de aceleración.

2. Utilización de turbinas con curvas de potencia-gasto muy planas, es decir, con bajos

coeficientes de adaptabilidad de la potencia. En este caso, para una pequeña variación de

la potencia es necesario una variación muy grande del gasto y, por tanto, el tiempo

hidráulico puede superar el tiempo de inercia de la máquina. Al ocurrir esto, no funciona la

lógica del lazo de control, llegando incluso a producirse el calado de la turbina.2

3. Si además de tener una curva de gasto-potencia muy plana, el grupo presenta constante de

aceleración fuera del rango adecuado (mucho o poco volante), empeoran las condiciones

para la regulación. Un momento de inercia del grupo muy superior al requerido, implica

mayor potencia adicional para llevar las masas rotatorias a la velocidad de régimen. La

disminución del momento de inercia trae acompañado la falta de estabilidad frente a

pequeños cambios de la demanda. Dentro del proceso de optimización de los sistemas

dinámicos, se contempla la necesidad o no de volante y el dimensionado de éste si fuera

necesario.

4. La ausencia de cámara de carga o chimeneas de equilibrio en P.C.H. con tuberías de

presión con relaciones L/H muy grandes, propicia la aparición del golpe de ariete, o la

necesidad de recurrir a un cierre del regulador (TC) muy lento para garantizar TC>TH, con

lo que empeora la calidad de la regulación.

2 Se introduce el término ¨calado de la turbina¨ cuando ésta se detiene porque la demanda supera la potencia.

71

5. Si la tubería de presión posee tramos con diferentes relaciones de L/H, se presenta un

fenómeno cuya incidencia en la regulación y estabilidad ha sido observada en algunas de

las P.C.H. estudiadas (tabla 1.1). Haciendo referencia a la figura (2.5), si:

L1/H1>L2/H2>L3/H3 y los tres tramos de tubería poseen igual diámetro, al abrir el

distribuidor de la turbina para dar paso a un mayor gasto y aumentar la potencia, se

observa al aplicar la ecuación (1.17) que existen tres valores diferentes de la constante de

aceleración hidráulica: TH1>TH2>TH3. Es decir, por la tubería de mayor pendiente 3, se

produce una mayor aceleración del agua, provocando una disminución de la carga H en los

otros tramos.

Figura 2.5 Tuberías con diferentes pendientes

Por otro lado, cuando se produce un aumento de la demanda, momentáneamente disminuye la

velocidad de la turbina, el sistema de regulación debe abrir para dar paso a un mayor gasto y

compensar la diferencia de potencia y velocidad. Para garantizar que el agua alcance su

estabilidad por la tubería, el tiempo de abertura debe ser mayor que el tiempo hidráulico e

igual al tiempo necesario para acelerar las masas rotatorias hasta alcanzar las revoluciones

normales a la nueva potencia, en el supuesto caso de que la máquina disponga de la reserva de

potencia necesaria.

72

La mayor dificultad que presentan los métodos clásicos para analizar el proceso durante la

abertura del regulador, radica en la dificultad de poder introducir los parámetros caudal,

potencia y revoluciones de la máquina en cada momento. Sin embargo, si se conocen los

parámetros de la máquina antes de producirse el aumento de la carga y la disminución de

revoluciones como consecuencia del aumento de la carga, es posible determinar mediante las

leyes de la Semejanza Hidrodinámica con suficiente precisión, cuanto debe aumentarse el

gasto y la potencia para alcanzar las revoluciones normales. Es decir:

Si: nn, P1, Q1 son las condiciones antes de producirse el aumento de la carga y la disminución

de las revoluciones hasta n se produce con el gasto constante (antes de empezar a actuar el

regulador), por las leyes de la semejanza se tiene que:

2

12 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

n

n

nn

PP (2.16)

y la disminución de la potencia:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∆ −

2

121 1nn

nPP (2.17)

Cuando se abre el regulador, el aumento de potencia desde 2 hasta la nueva potencia 3 se

produce según la conocida ecuación:

( )

0

222

32 364755 TgnnGD

P n

⋅⋅

−=∆ − (2.18)

Con auxilio del gráfico de la figura (2.6) se puede explicar lo que realmente ocurre. Cada

curva en el gráfico representa una curva de potencia vs gasto a revoluciones constante.

Suponiendo que en un momento determinado la turbina estaba funcionando en el punto 1 con

P1, Q1 y nn, al producirse un aumento de la carga, el punto de operación se mueve hacia otro

73

punto de menor número de revoluciones y potencia en el eje, pero con el gasto constante

(porque no se ha variado aún la posición del regulador), según la relación (2.16), esto está

indicado en el gráfico por el punto 2, luego, cuando se abre el regulador, se produce el

aumento de la potencia hasta la curva de revoluciones normales según la ecuación (2.18). Al

producirse el aumento de la carga de la manera indicada, se observa que, además del aumento

de la potencia que representa la nueva demanda, hay un consumo adicional, por la inercia que

hay que vencer para igualar las revoluciones. A medida que aumenta la diferencia de las

revoluciones con respecto a las normales, mayor es el consumo adicional de potencia.

La explicación de la forma en que se lleva a cabo este proceso y el método para calcular la

potencia requerida en cada momento, representa un notable aporte teórico y metodológico

para los encargados de la operación manual de los grupos turbogeneradores y para el diseño de

los sistemas de control.

Figura 2.6 Cambio del punto de operación por aumento de la carga

74

Criterios que permiten establecer la relación entre las constantes de tiempo

Las condiciones dadas en 2.14 y 2.15 deben cumplirse necesariamente por las razones

expuestas. En este trabajo se ha diseñado el modelo matemático para la optimización dinámica

de las P.C.H. A continuación, se expone la metodología propuesta:

Durante el cierre del distribuidor:

1. Con los datos de la instalación se determinan la constante de tiempo hidráulica (TH), y el

tiempo del primer ciclo de la onda de presión (TS) ecuaciones (1.17) y (1.21):

B

H HgVLT

⋅⋅

= ; aLTS

2=

2. A partir del sistema de dos ecuaciones formado por la ecuación de segundo grado de

Allievi (1.30) y la fórmula de Braun (1.26) o la fórmula simplificada de Ncheleva (1.27) y

fijando como restricciones los valores límites de aumento temporal de velocidad (ϕmax) y

del aumento de presión (β), se determinan la constante de aceleración Ta y el tiempo de

cierre mínimo Tc.

3. Conocida la constante de aceleración, se determina el momento de inercia óptimo que

debe tener el grupo GD2/4g y de ser necesario se completa mediante la adición de un

volante.

Durante la abertura del distribuidor:

4. Con la disminución temporal máxima permitida de las revoluciones, que se obtienen a su

vez de la variación máxima permitida de la frecuencia, y con el aumento máximo

permitido de la demanda antes de que el sistema de control comience a actuar, se fijan las

condiciones de frontera.

75

100100100 ⋅−

=⋅⋅−

=⋅−

=∆n

n

n

n

n

n

fff

nnn

fω

ωω (%) (2.19)

y: 100⋅−

=∆i

if

PPP

P (%) (2.20)

La potencia necesaria para restablecer las revoluciones iniciales hasta el nuevo valor de la

demanda, se puede expresar mediante la ecuación (2.18), analizada anteriormente

Según la ley 1287 de 1975 del servicio eléctrico de la República de Cuba, el artículo 1

establece el valor de 60Hz ±1% para la frecuencia y la variación permitida del voltaje del 3%.

En relación con las P.C.H. aisladas no existen normativas. Se acostumbra tomar ±3% de la

frecuencia (Hz) y ±3% del aumento de la demanda respectivamente [22].

El incremento temporal de velocidad máximo permitido (ϕ) para pequeñas centrales durante el

cierre completo, es del 30 % al 50 %. [61, 80, 85]

2.4.1 Modelo matemático para la optimización dinámica de la central

El modelo matemático para la optimización queda de la siguiente manera:

76

Durante el cierre:

Función objetivo:

De la ecuación de Allievi

02125,0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + ++

S

H

C

SC

C

H

TT

TTT

HhH

TT

HhH

Restricciones:

De la ecuación de Braun

025,0

4,015,15,0 =−

⋅+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+

maxCa

C

HHC

TTTTTT

ϕ ; TC>TH; TC>TS; Ta>TC

Variables: Ta; TC; GD2

Durante la abertura:

Función objetivo:

( ) ( ) 01364755 13

2

10

222

=−−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−

⋅⋅

−PP

nnP

TgnnGD

n

n

Variable: To

Restricciones:

To>Ta>TH; Variación máxima de la frecuencia (∆f);

Variación máxima de la potencia (∆P)

En el Anexo A-2.1 se muestra el algoritmo de cálculo y en el Anexo A-2.2 las pantallas del

programa desarrolladas con la herramienta ¨Solver¨ para la Optimización Dinámica.

77

2.5 Distribución óptima del gasto y la potencia entre los grupos trabajando

en paralelo.

En el capítulo 1, epígrafe (1.5) se pudo apreciar, que para lograr la máxima eficiencia global

de la central cuando existe más de un grupo turbogenerador, deben cumplirse las siguientes

condiciones:

...3

3

2

2

1

1 ===dQdP

dQdP

dQdP

Y: Q1+Q2+Q3+.....=QT

La primera condición establece que los grupos deben operar en puntos de igual pendiente de

las curvas de potencia vs gasto, mientras que la segunda condición sirve de complemento al

establecer que la suma de los gastos consumidos por las máquinas debe ser igual al gasto total.

Un simple análisis del problema muestra que la solución del sistema de ecuaciones por

métodos analíticos resulta una tarea difícil. Unos pocos autores han propuesto métodos de

solución gráfica, pero poco prácticas, por lo que han servido más para ilustrar el problema que

para resolverlo [15, 78].

En este trabajo se ha diseñado un algoritmo para la distribución optimizada del gasto y la

potencia, teniendo como datos la demanda de potencia y los parámetros de operación

normales de las máquinas (Pn, Qn, n) [37]. Para esto, se aprovechan las propiedades de las

curvas de potencia y eficiencia versus gasto analizadas en el epígrafe 1.5.2 . El algoritmo

consta de los siguientes pasos:

A partir de los datos de chapa de las máquinas se determinan sus velocidades específicas.

78

Las velocidades específicas permiten las características de las máquina y las relaciones

n

max

n

max

QQ

PP ; , con las que se determinan los vértices de las curvas de potencia y de

eficiencia.

Con los puntos correspondientes a los datos de chapa y de máxima potencia y eficiencia,

se determinan las distancias focales y las ecuaciones de potencia y eficiencia en función

del gasto

En el proceso de optimización se determinan de forma continua las derivadas de las curvas

de potencia y se satisfacen las condiciones de la función objetivo y la restricción hasta

determinar los valores óptimos de las variables.

En el Anexo A-3.1 se muestra el algoritmo diseñado y en el Anexo A-3.2 se muestra una

pantalla con el bloque de entrada de datos.

2.5.1 Modelo matemático para la distribución del gasto y la potencia entre las máquinas

Función objetivo:

02

2

1

1=−

dQ

dP

dQ

dP

Restricciones:

0;0;0 2121 =−+≥≥ TPPPPP

Variables: TQQPP ηηη ;;;;;; 212121


79

En este capítulo se han desarrollado, bajo criterios técnicos y económicos, los modelos

matemáticos que permiten llevar a cabo la optimización de los parámetros más relevantes del

proyecto y la explotación de las P.C.H.

Se pudo comprobar que resulta prácticamente imposible desarrollar el modelo matemático de

optimización del proyecto a partir de criterios puramente técnicos o puramente económicos.

Esto se pudo lograr sólo por la relación entre factores técnicos y económicos, la introducción

de la variable costo y el desarrollo de adecuadas funciones continuas, formuladas para

determinar el caudal de proyecto, el volumen turbinado y estimar el costo total del proyecto.

Las dimensiones y parámetros de operación de las máquinas y del sistema hidráulico

obtenidos durante el proceso de optimización del proyecto son utilizadas posteriormente, junto

con criterios técnicos establecidos, para la optimización de los sistemas dinámicos de la

central y la distribución de la demanda y el caudal en los casos que se requiera.

La solución práctica de la optimización del proyecto, de los parámetros dinámicos y de

explotación, se lleva a cabo mediante los software desarrollados en un libro en hoja de cálculo

de Excel con la utilización de la herramienta Solver. Esto facilita su compresión,

generalización y actualización continua.

81

CAPITULO 3 DISEÑO DE LOS EXPERIMENTOS Y ANALISIS DE RESULTADOS

CAPITULO 3. DISEÑO DE LOS EXPERIMENTOS Y ANALISIS DE RESULTADOS

En este capítulo se procede al diseño de los experimentos que permitan dar respuesta a los

objetivos de la investigación; los modelos matemáticos deducidos para el proyecto y la

explotación de las Pequeñas Centrales Hidroeléctricas se someten a calibración y validación

mediante datos de campo y mediciones experimentales; se determina mediante procedimientos

estadísticos el nivel de confianza de los mismos y se procede al análisis de los resultados.

Se tuvo en cuenta las posibles fuentes de error que se pueden cometer durante el proceso de

validación.

82

Diseño de los experimentos

Para facilitar los análisis, se consideró conveniente hacerlo por separado para las tres partes

fundamentales que conforman el trabajo:

Optimización del proyecto de las P.C.H.

Optimización de los sistemas dinámicos de las P.C.H.

Optimización del gasto y la potencia de los grupos turbogeneradores trabajando en

paralelo

3.1 Optimización del proyecto de las P.C.H.

El modelo matemático para la optimización integral del proyecto de las Pequeñas Centrales

Hidroeléctricas fue diseñado para trabajar con variables continuas, la fiabilidad de los

resultados depende:

a) De las ecuaciones y métodos numéricos desarrollados para el modelo matemático:

Las ecuaciones de las curvas de caudales clasificados.

El método numérico desarrollado para determinar el volumen turbinado

La ecuación de estimación del costo total del proyecto de inversión.

b) De los parámetros: tolerancia, precisión y convergencia permitidos por la herramienta de

cálculo utilizada.

Tamaño de la muestra

Existen diferentes métodos y criterios para estimar el tamaño de la muestra en función del

tamaño de la población N y una estimación previa de la desviación estándar. El procedimiento

83

resulta un tanto complejo, por lo que, generalmente, se toma el tamaño de la muestra por la

experiencia de investigaciones realizadas con anterioridad o mediante ¨experimentos pilotos¨.

Luego, mediante el procedimiento de validación de los resultados, se determina si es necesario

ampliar el tamaño de la muestra [42, 76].

Para poblaciones pequeñas, se puede demostrar que con tamaños de muestra superiores al 20

% de la población, se obtienen resultados con elevado nivel de confianza [76].

Para la calibración y validación estadística de las curvas de caudales clasificados y de

volumen turbinado, se tomó una muestra aleatoria escogida al azar de 18 P.C.H que abarcan el

espectro de todas las instaladas en diferentes estaciones hidrométricas, nueve de ellas

correspondientes a la provincia Santiago de Cuba (40,9 %) y nueve correspondientes a la

provincia de Guantánamo (27 %) (Tablas 3.1 y 3.2). Para la calibración y validación de la

ecuación de estimación del costo total del proyecto de inversión se tomaron los costos del

equipamiento y total de las P.C.H. construidas en los últimos 10 años.

Tabla A-3.1 P. C H. estudiadas en la provincia Santiago de Cuba Parámetros de operación Generación MW-h/a

Nombre H (m)

Q (m3/s)

P (kW)

n(rpm)

L (m)

D (mm)

2000 2001 2002 2003

Avispero 160 0,04 55 1800 ** ** 36,4 30,3 33,2 34,3

Cueva 2 136 0,08 55 1800 1140 300 71,8 92,3 73,6 70,3

El Dian 150 0,09 125 900 * * 295,2 373,2 364 334

El Papayo 111 0,03 26 1200 1550 150 43,9 46 64,5 47,6

La Cachimba

70 0.032 70 1800 1535 200 37,9 42,5 13,8 15

Las Agujas 106 0,039 55 1800 *** *** 23 31,4 23,4 24,7

Oro Abajo 53 0,028 12 1200 779 200 7,2 10,9 8,5 10,6

84

Sonador 55 0,03 30 1800 1071 200 37,0 36,9 37,3 32,4

Uvero 170 0,150 250 1800 1920 400 621,1 605,6 573,5 561

* L1=1515 m doble de aluminio, D1=200 mm; L2=502 m acero, D2=500 mm ** L1=694 m, L2=100 m, L3=202 m, L4=561 m; D1=200 mm, D2=400 mm, D3=300 mm, D4=250 mm *** L1=875, D1=200 mm Aluminio; L2=114 m, D2=200 mm Acero

Tabla 3.2 P.C.H. estudiadas en la provincia Guantánamo Parámetros de operación Generación MW-h/a

Nombre H (m)

Q (m3/s)

P (kW)

rpm L (m)

D (m)

2000 2001 2002 2003

Guaso 183 1800 1470 0,7 3013 2862 4733 7013

Los Asientos 30 2,0 500 720 244 1,2 156 519 1321 382

Arroyo Blanco

17,1 0,58 52 1200 60 0,8 38,5 31,8 59,9 58,4

Santa Fe 9 0,078 5 1800 410 0,4 5 11,1 9,7 6,6

La Escondida

9 0,065 30 1800 510 0,5 60,9 44,3 58,9 92,5

Jobito 31 0,1 52 1200 250 0,3 15,9 16,5 28,6 24,3

Vega del Jobo

104 0,03 40 1800 1200 0,2 25,5 25 24,3 23,9

Arroyón 1 320 0,1 260 * * * * * * *

El Cuzco 60 0,3 145 * * * * * * *

* Se encuentran en construcción

Calibración y Validación estadística de las curvas de caudales clasificados

La curva de caudales clasificados puede ser expresada de forma aproximada mediante una

función logarítmica, potencia o una exponencial; sin embargo, se escogió el polinomio de

Taylor por las características especiales que tiene dicha función:

En las expresiones matemáticas para modelos sencillos que poseen un solo coeficiente,

como por ejemplo y=A*log(x), para cada par de valores de x e y se obtiene un valor del

coeficiente A, luego, solamente satisface con rigurosa exactitud un punto de la curva y el

resto lo hacen de forma aproximada. En el caso de funciones con más de un coeficiente,

por ejemplo Y=A+B*log(x) la función sólo satisface con rigurosa exactitud dos puntos de

85

la curva con los que fueron obtenidos los coeficientes A y B, el resto de los puntos se

satisfacen de forma aproximada.

En el caso de un polinomio de grado tres, para determinar los coeficientes A, B, C y D, es

necesario resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Si estos

coeficientes se obtienen mediante un proceso de optimización, la ecuación debe satisfacer

con rigurosa exactitud cuatro puntos de la curva.

El polinomio de Taylor puede considerarse como la suma de varias funciones, lo cual le

permite ajustarse mejor a cualquier situación.

Mediante el polinomio de Taylor se pueden expresar casi todas las funciones algebraicas y

trigonométricas conocidas. Ejemplos de ellas son:

Rxxxxx

RxxxxeRxxx

x

+−+−=+

+++++=

++−=

43

432

42

25,0333,05,0)1ln(0416,01666,05,01

0416,05,01cos

En las cuales, R es el residual (diferencia entre la función y el polinomio)

En la tabla 3.3 se muestran a modo de ejemplo, los caudales clasificados del río Sonador del

municipio Guamá en Santiago de Cuba y las ecuaciones ajustadas para el gasto y para el

volumen turbinado con sus correspondientes coeficientes de correlación. Se presentan también

el error de la ecuación con respecto a los valores tabulados y la desviación estándar del error.

La calibración (ajuste) de las ecuaciones de caudales clasificados y volumen turbinado se

llevó a cabo mediante un procedimiento de ajuste optimizado con la herramienta ¨Solver¨, de

manera que en cada caso, la curva pase con extrema precisión por puntos relevantes de dicha

curva (90, 180, 270 y 365 días). Para la validación se toman puntos adicionales intermedios

(230 y 315 días).

86

Tabla 3.3 Caudales clasificados río ¨Sonador¨ DIAS 1 10 30 60 90 180 230 270 355 365 P=media (m3/s) 5,404 0,568 0,191 0,098 0,068 0,032 0,023 0,017 0,006 0,004P=75 % (m3/s) 2,65 0,278 0,094 0,047 0,033 0,016 0,011 0,008 0,003 0,002P=85 % (m3/s) 1,767 0,185 0.062 0,032 0,022 0,011 0,007 0,005 0,002 0,001Ecuación para el 85 %: Q=-6,3956E-10*t3 + 6,540E-07*t2 – 0,0002625*t + 0,04080 Coef. de corr: r=0,98

Tabla 3.4 Error de la ecuación de caudales clasificados Días Q medido

(m3/s) Q calculado (m3/s)

Error (%)

Desviación estándar. del error

90 0.022 0,022 0,0 180 0.011 0,011 0,0 230 0.007 0,0067 4,0 270 0.005 0,005 0,0 310 0.002 0,002 0,0 365 0.001 0,001 0,0

σ=1,63 %

En el ANEXO A-1.2 se presentan, junto a las tablas de caudales clasificados de los ríos

seleccionados, sus ecuaciones y coeficientes de correlación. Para todas las centrales

seleccionadas el resultado fue similar. Se puede sacar la siguiente conclusión:

El polinomio de grado tres presenta alto grado de correlación y determinación (r>0.98 y

r2>0.96) y baja desviación estándar del error en las mediciones, por lo que se adopta como

modelo para el ajuste de las curvas de caudales clasificados de los ríos de las regiones

montañosas de las provincias Santiago y Guantánamo.

Validación estadística del método numérico y algoritmo para determinar el volumen

turbinado.

La determinación del volumen turbinado es un proceso de gran importancia, porque de él

depende el cálculo de la energía que se puede generar para un determinado gasto de proyecto.

87

Para cada valor del gasto existe un área debajo de la curva de caudales clasificados que

representa el volumen de agua que se puede turbinar para ese gasto. La fiabilidad del método

numérico propuesto para la determinación del volumen turbinado fue comprobada mediante la

comparación con los métodos del planímetro y del papel cuadriculado milimetrado.

En la tabla 3.5 se presentan los resultados del río Sonador y en el Anexo A-1.2, la de los otros

ríos estudiados.

Tabla 3.5 Volumen turbinado Hidroeléctrica ¨Sonador¨ Días 90 180 230 270 310 365 Gasto (m3/s) 0,022 0,011 0,007 0,005 0,002 0,001 Volumen (m3/s) 0,012 0,008 0,006 0,004 0,003 0,001

Ecuación de volumen turbinado vs gasto: V*=13,52411.Q3-19,9989.Q2+0,98472.Q-0,000040 Coef. corr: r=0,98

En la tabla 3.6 se presenta el error del método numérico para el cálculo del volumen turbinado

con respecto al método del papel cuadriculado milimetrado.

Tabla 3.6 Error de método numérico para el cálculo del volumen turbinado Q (m3/s) Días

Volumen turbinado (m3/s) Calculado Medido

Error (%)

Desviación estd. del error

90 0,022 0,012 0,0125 4,0 180 0,011 0,008 0,0083 3,75 230 0,007 0,0060 0,0065 8,3 270 0,005 0,004 0,0042 5,0 310 0,002 0,0030 0,0032 6,6 365 0,001 0.0010 0,001 0,00

σ=2,83 %

Al igual que las curvas de caudales clasificados, las de volumen turbinado se ajustan, con

elevada precisión, al modelo matemático correspondiente al polinomio de grado tres, con

coeficiente de correlación r>0,98 en todos los casos y con desviación estándar del error

σ<5%.

Calibración y validación del modelo de estimación del costo de proyecto de inversión.

88

En la ecuación propuesta para la estimación del costo total del proyecto de inversión de las

P.C.H. se estableció como hipótesis en 2.2, que el costo total está controlado por tres

parámetros fundamentales (drivers): la potencia (P), la altura del salto hidráulico (H) y el

número de grupos turbogeneradores (n), estando dado por la ecuación general (2.3):

CUC cbaT nHPAC ⋅⋅⋅=

Calibrar la ecuación de aprendizaje significa determinar los valores del coeficiente A y de los

exponentes a, b, y c para las condiciones particulares y en el tiempo.

Método utilizado para la calibración (ajuste) de la curva de aprendizaje.

Para determinar los exponentes a, b, c y el coeficiente A, se aplicó el método de Regresión

Lineal Múltiple. La solución de forma manual resulta una tarea prácticamente imposible.

Existen software profesionales para la calibración y validación estadística de las ecuaciones de

aprendizaje, ejemplos de ellas son: CURV 1 y ACEIT los cuales corren sobre Windows y

otros, como el Sistema Computarizado Integrado (CSI) [30], pero por la imposibilidad de

disponer de ellos en todo momento, en este trabajo se ha utilizado la función ESTIMACION

LINEAL en hoja de cálculo de Excel, para lo cual la ecuación de aprendizaje se transformó

momentáneamente a lineal mediante la aplicación de logaritmos naturales:

)ln()ln()ln()ln()ln( ncHbPaACT ⋅+⋅+⋅+=

Como se dispone de un determinado número de centrales construidas en los últimos años, los

conjuntos de valores de P, H, n y CT son puestos en columnas de la hoja de cálculo de Excel.

En las columnas adyacentes se determinan los valores de ln(CT), ln(P), ln(H) y ln(n), celdas a

89

las cuales se hace referencia luego para la Estimación Lineal. A continuación se fijan las

celdas de la matriz de resultados (en este caso cuatro columnas y cuatro hileras) en las cuales

deben aparecer los valores de los exponentes a, b, c y el ln(A). Aparecen además, el

coeficiente de determinación r2, los valores del error estándar de los exponentes a, b, c y de la

constante A, el error estándar para la estimación del costo total, el valor observado de F y los

grados de libertad.

El valor de A se obtiene despejando de: )ln(AX = .

La curva de aprendizaje dada en (2.6) para determinar el costo capital de proyecto, fue

calibrada (ajustada) mediante datos de campo obtenidos a partir del costo de las P.C.H.

construidas en el país en los últimos diez años. En la tabla 3.7 se presentan las centrales

escogidas, así como la información necesaria para el ajuste de dicha ecuación.

Tabla 3.7 Costo total de las P.C.H. en Cuba P.C.H. Provincia/

año Potencia

(kW) Salto H

(m) Número de maq.

Costo (CUC) Equipos Central

Arroyón 1 Gtmo. 2004

260 320 1 255400 842820

El Cuzco Gtmo. 2004

145 60 1 152700 503910

Los Asientos Gtmo. 1994

500 30 1 265000

700000

Oro Abajo S. de Cuba 1996

8 35 1 31 980

53 300

Carlos M. Céspedes

S. de Cuba 1998

3000 34 2 3744500

7 376000

La Cachimba

S. de Cuba 1999

30 134 1 88 020

146 700

Protesta de Baraguá

S. de Cuba 2005

1260 10,4 2 1 500 000

3 500000

Moa Holguin *

2000 46 2 2 500 000

4 500 000

El Corojo Granma *

2000 28 1 ** 3000000

Bueycito Granma *

1260 23 1 ** 1880000

90

Chambas C. de Avila 2003

1100 27 1 ** 1650000

Zaza S. Espíritus *

2000 14 2 ** 4050000

* Se encuentra en construcción ** No se dispone del costo del equipamiento por separado

En la TABLA 3.8 se da la matriz de resultados

Tabla 3.8 Ajuste y validación de la ecuación de estimación del costo total de proyecto Datos de entrada (P) (H) (n) Costo ln(P) ln(H) ln(n) ln (C) Validación Error (%) 260 320 1 842820 5.56 5.8 0 13.64 814283.45 3.39 145 60 1 503910 4.98 4.1 0 13.13 452798.766 10.14 500 30 1 1000000 6.21 3.4 0 13.82 1040110.63 -4.01 8 35 1 53300 2.08 3.6 0 10.88 52877.1503 0.79 3000 34 2 7376000 8.01 3.5 0.693 15.81 6564952.44 11.00 30 134 1 146700 3.40 4.9 0 11.90 155966.632 -6.32 1260 10.4 2 3500000 7.14 2.3 0.693 15.07 3138038.78 10.34 2000 46 2 4500000 7.60 3.8 0.693 15.32 5034635.81 -11.88 2000 28 1 3000000 7.60 3.3 0 14.91 2819188.94 6.03 1260 23 1 1880000 7.14 3.1 0 14.45 1981170.25 -5.38 1100 27 1 1650000 7.00 3.3 0 14.32 1822652.46 -10.46 2000 14 2 4050000 7.60 2.6 0.693 15.21 4507352.15 -11.29 c b a x 0.79 0.099 0.7215 9.024

91

Error = 0.11 0.039 0.0207 0.218 r2 = 0.996 0.102 #N/A #N/A F = 753.60 8 #N/A #N/A El coeficiente A: 9,02=ln (A) De ahí: A=8301,47 La ecuación ajustada queda:

(3.1) 79,0099,07215,047,8301 nHPCT ⋅⋅⋅=

Después de desarrollada la ecuación de estimación de costo, es sometida a un proceso de

validación, para demostrar que ésta predice con precisión historia pasada o experiencia

presente, que los datos utilizados son confiables y existe una fuerte relación entre ellos; los

resultados son lógicos y la ecuación es confiable para predecir el costo.

Para comprobar la habilidad de la ecuación de estimación del costo, se recurrió a una variedad

de pruebas de evaluación:

Un primer paso para tener un mejor conocimiento de la ecuación y su capacidad de predecir,

se llevó a cabo mediante el coeficiente de correlación (r), el correspondiente coeficiente de

determinación (r2) y la desviación estándar (σ)

Grado de correlación entre los factores

El análisis de correlación considera cuan cercano caen los puntos observados de la ecuación

de regresión desarrollada. La asunción es, que mientras más cercanos caigan los puntos

observados de la ecuación de regresión, mejor es su comportamiento, por tanto, mayor es el

grado de confianza que se puede tener en el comportamiento de la ecuación. Es importante

hacer notar, que el análisis de correlación sólo se refiere a las bondades del comportamiento.

El análisis de correlación no dice nada acerca de causa y efecto.

92

El coeficiente de determinación (r2) representa la proporción de la variación que ha

experimentado o acontecido en la variable dependiente mediante la línea de regresión. El valor

del coeficiente de determinación puede variar desde cero hasta uno. Un coeficiente de

determinación de cero indica que ninguna variación en Y ha sido expresada mediante la

ecuación, mientras que un coeficiente de determinación de uno, indica que el 100 por ciento

de la variación de Y ha sido expresada mediante la ecuación de regresión.

El valor obtenido para el coeficiente de determinación r2=0,996 indica una estrecha relación

entre las variables independientes y el costo total de la central.

La estadística F (o estadígrafo F)

Permite determinar si la relación observada con un valor de r2 tan alto entre las variables

dependientes e independientes ocurre aleatoriamente.

Existe una relación entre las variables si la estadística F observada es mayor que el valor

crítico de F. El valor crítico F se obtiene mediante la tabla de valores críticos de F en cualquier

manual de estadística. Para un nivel de significación de α=0,05, (95 % de confianza) y para

los grados de libertad v1=k = 3 y v2=n-(k+1) =12-(3+1)=8, donde k es el número de variables

en el análisis de regresión y n es el número de puntos de datos. El valor crítico F=4,07.

El valor F observado 753,60 es substancialmente mayor que el valor crítico F de 4,07. Por lo

tanto: la ecuación de regresión es útil en la predicción del costo total de las P.C.H.

Estadística de t (o estadígrafo t)

Mediante la prueba de t se puede determinar si cada parámetro es útil en la estimación del

costo total de las P.C.H. Los valores de t observados se obtienen dividiendo los valores de los

93

coeficientes de cada factor (a, b y c) entre sus correspondientes errores típicos. En la tabla 3.9

se dan los valores de t observados y los valores de t críticos para un nivel de significación de

α=0,01 y α=0.05 con 8 grados de libertad

Tabla 3.9 Prueba de t Factor t observado Grados de libertad t (α=0,05) t (α=0,01) Potencia (P) 0,72/0,0207 = 34,78 Salto (H) 0,099/0,039=2,54 No de máquinas 0,79/0,11=7.18

8

2,306

3,4995

Como los valores de t observados para la potencia y el número de máquinas son

sustancialmente mayores que los valores de t críticos y α=0.01, se puede afirmar que existe

relación altamente significativa entre la potencia y el número de máquinas con el costo total

de la P.C.H., no siendo así con la altura del salto hidráulico.

Este resultado nos lleva a la conclusión, de que el costo de la central está determinado

fundamentalmente por la potencia de proyecto y el número de grupos turbogeneradores. La

altura del salto hidráulico tiene una menor influencia y su eliminación de la ecuación no afecta

en gran medida los resultados.

3.1.1 Validación del modelo matemático de optimización del proyecto

Aplicando la metodología de optimización mediante el software construido en un libro en

hojas de cálculo de Excel, y tomando como ejemplo la mini hidroeléctrica ¨La Cachimbas

construida en 1999, se tienen los siguientes resultados:

1. En la hoja 1: Ecuación de la curva de caudales clasificados

Entrando con los caudales clasificados para 90, 180, 270 y 365 días se obtiene:

Ecuación para el 85 %:

94

Q=-7,16E-09.t3+6,34E-06.t2-0,00213.t+0,2896

Coef. de corr.: r=0,98

2. En la hoja 2: Ecuación para el volumen turbinado vs caudal:

Está vinculada con al hoja anterior. Se obtiene directamente los coeficientes de la ecuación de

volumen turbinado vs gasto

V*=16,48.Q3-6,3.Q2+1,13.Q+0,000675

Coef. de corr.: r=0,98

3. En la hoja 3: Utilizando la ecuación de estimación de costo (3.1) y los demás datos fijos

como altura de salto (H), número de máquinas, tasa de amortización, años de vida

estimados y precio de venta del kW-h, se tiene los resultados mostrados en la figura 3.1.

En la tabla 3.9 aparecen de forma similar los resultados de las P.C.H. tomadas como muestra,

si se hubiesen proyectado mediante el proceso de optimización. La comparación con los

resultados de la tabla 3.1 demuestra que algunas fueron sobredimensionadas (64%), mientras

que otras resultaron subdimensionadas (27 %), lo cual reafirma lo expuesto en la tabla 1.1, al

principio del trabajo.

Se puede apreciar también, que en todos los casos, las centrales proyectadas en condiciones

de optimización presentan un menor costo de la energía producida y es mayor el factor de

utilización que el de las centrales proyectadas por los métodos tradicionales.

95

Figura 3.1 Resultados de la optimización del proyecto de la P.C.H. ¨La Cachimba¨

Tabla 3.9 Proyecto optimizado de las P.C.H. de la provincia Santiago de Cuba.

P.C.H. Proyectos realizados por los métodos convencionales

Datos del proyecto optimizado

Qp (m3/s)

Pp (kW)

E MW.h/a

FU $/kWh Qp (m3/s)

Pp (kW)

E MW.h/a

FU $/kWh

Avispero 0,040 51 388 0.86 0.06 0.048 62 447 0.82 0.058Cueva 2 0,080 87 514 0.67 0.06 0.046 50 359 0.82 0.06 El Dian 0,090 99 720 0.83 0.05 0.083 99 720 0.83 0.05 El Papayo 0,030 26 130 0.56 0.105 0.011 10 72 0.81 0.09 La Cachimba

0,032 17.7 143 0.92 0.068 0.054 30 214 0.83 0.065

Las Agujas 0,039 30 170 0.59 0.09 0.016 14 99 0.84 0.08 Oro Abajo 0,020 12 60 0.58 0.12 0.018 5 35 0.81 0.11 Sonador 0,029 12.7 66 0.59 0.11 0.012 5.5 388 0.82 0.10 Uvero 0,150 204 1031 0.58 0.06 0.108 146 1065 0.83 0.046Arroyón 1 0,10 260 3141 0.68 0.05 0.05 132 1009 0.88 0.047El Cuzco 0,30 145 1111 0.88 0.04 0.33 160 1198 0.86 0.04

Tasa de interés anual 0.05 (5 % anual); Tiempo de vida estimado 20 años Tarifa considerada 0.09 CUC/kW-h

96

3.2 Optimización de los sistemas dinámicos de las Pequeñas Centrales Hidroeléctricas.

Fiabilidad del modelo matemático.

El modelo matemático fue formulado mediante transformaciones matemáticas, a partir de

principios físicos establecidos, como son: la ley de conservación de la energía y la ley

conservación de la masa, el segundo principio de Newton y otros. Se ha prescindido de la

utilización de coeficientes experimentales para los modelos matemáticos.

El tiempo mínimo necesario para garantizar el cierre seguro se determina dentro del rango que

imponen dos restricciones bien definidas: el tiempo del primer ciclo del golpe de ariete da el

límite inferior, y el tiempo para alcanzar la velocidad límite permitida del grupo

turbogenerador, fija el límite superior.

El tiempo mínimo necesario para la apertura del distribuidor y aumentar la potencia de las

máquinas para vencer la inercia tiene como límite inferior el tiempo necesario para pasar de

las revoluciones mínimas permitidas a las revoluciones normales. El tiempo superior para la

apertura está limitado por las exigencias de calidad del servicio prestado.

Por lo tanto, todos los factores constantes y variables que intervienen en el modelo matemático

pueden ser controlados con gran precisión.

Fiabilidad de la herramienta utilizada para resolver el modelo matemático.

La solución manual del algoritmo de optimización de los sistemas dinámicos es una tarea

prácticamente imposible, pues requiere de la solución simultánea de varias ecuaciones e

inecuaciones de grado superior. Para resolver el programa, se diseñó un algoritmo de cálculo

que puede implementarse en un software profesional de optimización. La herramienta Solver

garantiza para la solución de este algoritmo los siguientes índices de exactitud y fiabilidad en

97

los resultados: precisión=0.001; tolerancia=1%; convergencia=0.001. Valores todos muy

superiores a los exigidos normalmente.

Mediante esta herramienta se pueden hacer los estudios de comportamiento teóricos, con el

objetivo de proyectar o perfeccionar los sistemas dinámicos de las P.C.H. En la tabla 3.9 se

muestra, a modo de ejemplo, el comportamiento de los principales parámetros dinámicos en

función de la relación L/H, manteniendo constante la potencia de 160 kW; se representan en

la figura 3.2. La comparación de los valores de esta tabla con los obtenidos para otras

potencias, muestra la regularidad del comportamiento de las variables. En el Anexo 3 se

presentan las tablas correspondientes a 40 y 80 kW.

De la tabla 3.10 y las figuras 3.2, 3.3 y 3.4 se puede observar, que a potencia y revoluciones

constantes, los cuatro parámetros analizados aumentan de forma lineal con la relación L/H. Se

llega a la conclusión de que: para cada central, la relación óptima entre los parámetros

dinámicos depende de la relación L/H

TABLA 3.10 Parámetros dinámicos de las P.C.H. Potencia =160 kW; H=160m; n =900 rpm

L/H Tc Ta GD2 Tab 2 1.3 1.9 1366 1.3 3 2 2.9 2049 2.0 4 2.6 3.9 2732 2.4 5 3.3 4.8 3414 3.0 6 3.9 5.8 4097 4.0 7 4.6 6.8 4780 4.2

98

012345678

0 2 4 6 8L/H

Tc, Ta

Tc Ta

Figura 3.2 Tiempo de cierre y de aceleración

00.5

11.5

22.5

33.5

44.5

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

GD̂ 2/4G

Tc

Figura 3.3 Momento de inercia en función de L/H

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 1 2 3 4 5 6 7 8L/H

GD^2/4G

Figura 3.4 Tiempo de abertura en función de GD2

99

3.3 Optimización del gasto y la potencia de los grupos turbogeneradores en paralelo

Para validar la metodología de optimización del gasto y la potencia de los grupos

turbogeneradores trabajando en paralelo, se tuvo en cuenta:

La precisión, tolerancia y convergencia de los resultados de los cálculos a partir de los

datos suministrados.

La desviación estándar de los resultados obtenidos con la metodología con respecto a las

mediciones en corridas experimentales.

El algoritmo diseñado permite los siguientes valores: precisión=0,1; tolerancia=1% y

convergencia=0,01

Para determinar las ventajas de la metodología, esta fue aplicada en la P.C.H. ¨Uvero¨ del

municipio Guamá, la cual dispone de dos turbinas Pelton TP-15 de 80 kW de potencia y gasto

de 62 l/s de agua, para un salto hidráulico de 160 m. Se diseñó un experimento unifactorial,

con la eficiencia total de la central como variable dependiente de la demanda, con tres réplicas

correspondientes a igual número de días escogidos al azar, de doce corridas experimentales

para todo el rango de variación de la demanda, primero sin aplicar la metodología, según

muestra la tabla (3.1) del Anexo A-3 y luego se procedió a la distribución de la demanda

mediante la metodología, tabla A-3.2. La tabla A-3.3 del Anexo A-3 muestra la ganancia en

eficiencia y la disminución del gasto de agua.

La desviación de los resultados calculados mediante el algoritmo diseñado respecto a los

valores medidos de forma experimental se muestra en la tabla A-3.4. Se obtuvo una desviación

estándar del error de σ= 0,41 %

100


En este capítulo se han puesto en práctica los algoritmos y software desarrollados para el

proyecto y la explotación de las P.C.H.

Para el caso de las curvas de caudales clasificados y de volumen turbinado, se demostró la

conveniencia de utilizar como modelos matemático el polinomio de Taylor.

El calibrado de la ecuación paramétrica de estimación del costo y su posterior validación

mediante procedimientos estadísticos, reafirmó la hipótesis de que el costo de las P.C.H.

depende de la potencia, del número de unidades instaladas y, en menor grado, de la altura del

salto hidráulico, siendo altamente significativa la correlación con la potencia y el número de

unidades.

A partir de las dimensiones y parámetros obtenidos para el proyecto, fueron desarrollados los

modelos matemáticos y los algoritmos para la optimización dinámica y la explotación de la

central.

Se demuestra la influencia que ejercen la relación L/H en el tiempo de cierre y de abertura del

regulador y en el momento de inercia adecuado para el grupo turbogenerador, parámetros

fundamentales durante el funcionamiento para evitar el golpe de ariete y el embalamiento de

las máquinas.

La opción de más de un grupo turbogenerador aumenta el costo de proyecto, pero garantiza

posteriormente un mejor aprovechamiento en todo el rango del caudal. Cuando la demanda

sobrepasa el valor de la potencia de las máquinas por separadas y debe utilizarse más de un

grupo, la distribución adecuada de la potencia y el caudal entre estas, puede representar un

notable incremento de la eficiencia global.

101

El grado de precisión observado en todos los experimentos, permite afirmar que el tamaño de

la muestra tomada fue correcto.

CONCLUSIONES

1. Se demostró, que un reducido número de variables fundamentales puede controlar el

proceso de toma de decisión para el proyecto (QP, PP, n, CT) y la explotación (Ta, TC, GD2) de

las P.C.H.

2. Fueron desarrollados y validados los modelos matemáticos para el proyecto, la

determinación de los parámetros dinámicos y la distribución de la carga y el gasto entre las

máquinas cuando trabajan en paralelo.

3. Con las ecuaciones de caudales clasificados y volúmenes turbinados, ajustados con el

polinomio de Taylor, y la estimación del costo mediante la Teoría Paramétrica, conjuntamente

con el criterio técnico-económico seleccionado como función objetivo, además de adecuadas

relaciones matemáticas entre las variables (gasto, volumen turbinado, potencia, y costo), se

conformó el algoritmo que permite resolver la optimización del proyecto.

102

4. Al optimizar el proyecto, resultan predeterminados algunos parámetros dinámicos de

operación, como son: la constante hidráulica de la tubería TH, la velocidad de propagación y el

tiempo del primer ciclo del golpe de ariete, quedando por calcular solo las variables tiempos

de cierre y de abertura del regulador (TC y T0), tiempo de aceleración del grupo

turbogenerador (Ta) y momento de inercia del grupo (GD2/4g), sobre las que se debe actuar

para la optimización dinámica de la central.

5. El método seguido para la determinación de los parámetros dinámicos se diferencia

sustancialmente de los métodos tradicionales en que, en éstos deben fijarse los valores de la

constante de aceleración o del momento de inercia de las máquinas y –con uno de ellos-

determinar el tiempo de cierre del regulador. En cambio. En el método presentado en esta tesis

mediante el diseño de un modelo matemático de optimización, el sistema de ecuaciones e

inecuaciones permite determinar simultáneamente todas las variables tanto para el proceso de

cierre como de abertura del distribuidor: tiempo de cierre, tiempo de abertura, tiempo de

aceleración y momento de inercia de las máquinas. El algoritmo y el software diseñados para

la solución de los parámetros dinámicos, presenta además un inestimable valor demostrativo y

didáctico, pues pone de manifiesto la relación existente entre dichos parámetros, que de otra

manera resultaría sumamente difícil de demostrar.

6. El caudal y la potencia de proyecto determinan también, la posibilidad de lograr la máxima

eficiencia de la central, sobre todo, cuando se ha optado por la variante de más de un grupo

turbogenerador. A partir de esos parámetros y la demanda instantánea, se puede determinar la

adecuada distribución del gasto y la potencia entre los grupos.

7. La metodología y el software de cálculo desarrollados para la distribución de la carga y el

gasto entre los grupos turbogeneradores, fue aplicada con éxito en la mini hidroeléctrica de

103

Uvero, de la provincia Santiago de Cuba. Los resultados demuestran que se puede tener

aumento de la eficiencia global de la central de más de un 2 %.

RECOMENDACIONES

1. Se recomienda que, a partir del documento principal, se elabore una documentación más

práctica (manual de usuario), la cual debe ser clara, precisa y completa. El manual de usuario

debe incluir las especificaciones técnicas, funcional e informática, así como, debe incluirse

también la tarea de formación para los usuarios del modelo.

2. Periódicamente, la base de datos de los costos de las P.C.H. debe actualizarse para

garantizar la fiabilidad de los resultados, posibilidad que ofrece el programa propuesto en la

tesis para su mantenimiento.

104

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109

http//www.cubasolar/ http/www.aaecei.org./

http://www.statsoft.com.

Lenguages más utilizados para programar los modelos de optimización GAMS- http/www.gams.com AMPL- http/www.ampl.com AJMMS-http/www.aimms.com XPRESS-MP-http/www.co.uk

ANEXO 1 A-1.1

Algoritmo para determinar el volumen turbinado a partir de la curva de caudales

clasificados

El volumen turbinado V* (m3/s) correspondiente a 365 día se determina en la curva de

caudales clasificados, por el área que queda debajo de la curva Q(m3/s).t(s), dividida por el

total de segundos que tiene un año (figura A-1.1):

365365365365*

365 3600.24.3653600.24.365.

3600.24.365Q

QtQV ==

⋅⋅= (m3/s)

El volumen turbinado para 270 días se determina por:

365

))((21)( 270365365270270365270

*365

*270

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+⋅−+

=ttQQtQQV

V

Generalizando: ( ) ( )( )

36521

111*

1*

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+⋅−+

=++++ nnnnnnnn

n

ttQQtQQVV

110

La figura A-1.1 muestra la determinación de los volúmenes turbinados correspondientes a 365

y 270 días.

Figura A.1.1 Volúmenes turbinados para 270 y 365 días

ANEXO A-1.2

Ecuaciones de las curvas de caudales clasificados y volumen turbinado

Provincia Santiago de Cuba

Tabla A-1.2.1 Caudales clasificados Hidroeléctrica Avispero DIAS 10 30 60 90 180 230 270 315 365 Media 1,283 0,377 0,189 0,129 0,063 0,045 0,032 0,012 0,008 85 % 0,645 0,189 0,095 0,065 0,032 0,023 0,016 0,006 0,004 Ecuación para el 85 %: Q=-2,8044E-09.t3+2,5638E-06.t2-0,0008999.t+0,1272664 Coef. de corr.: R=0,98

Tabla A-1.2.2 Volumen turbinado Hidroeléctrica Avispero Días 90 180 230 270 310 365 Gasto (m3/s) 0,065 0,032 0,023 0,016 0,006 0,004 Volumen (m3/s) 0.036 0.024 0.018 0.014 0.011 0.004

Ecuación de volumen turbinado vs gasto: V*=75,844797.Q3-13,4065.Q2+1,114578.Q-0,000249 Cef. De corr: R=0,98 Tabla 1.2.3 Caudales clasificados Hidroeléctrica Cueva 2 DIAS 1 10 30 60 90 180 230 270 355 365

111

P=media 9,804 1,223 0,359 0,180 0,123 0,060 0,043 0,030 0,011 0,008P=75 % 0,683 0,829 0,243 0,122 0,084 0,041 0,029 0,021 0,008 0,005P=85 % 5,550 0,688 0,202 0,102 0,069 0,031 0,024 0,017 0,006 0,004Ecuación para el 85 %: Q=-5,0283E-09*t3 + 4,1986E-06*t2 – 0,001271*t + 0,1530537 Coef. de corr: R=0,99 Tabla 1.2.4 Volumen turbinado Hidroeléctrica Cueva 2

Días 90 180 230 270 310 365 Gasto (m3/s) 0,069 0,031 0,024 0,017 0,013 0,004 Volumen (m3/s) 0,038 0,024 0,019 0,015 0,012 0,004

Ecuación de volumen turbinado vs gasto: V*=90,340742.Q3-15,0467.Q2+1,164328.Q-0,000422 Coef. de corr: R=0,99 Tabla A-1.2.5 Caudales clasificados Hidroeléctrica El Dian DIAS 10 30 60 90 180 230 270 355 365 P=media 2,217 0,651 0,327 0,224 0,108 0,078 0,056 0,02 0,014 P=85 % 1,212 0,356 0,179 0,122 0,059 0,043 0,03 0,011 0,008

Ecuación para el 85 % Q=-5,872E-9*t3+5,276E-6*t2-0,001797*t+0,24499 Coef. corr: R=0,98 Tabla A-1.2.6 Volumen turbinado Hidroeléctrica El Dian


Ecuación de volumen turbinado vs gasto: V*=23,5030*Q3-7,5258*Q2+1,1311*Q-0,000579 Coef. de Corr: R=0,99 Tabla A-1.2.7 Caudales clasificados Hidroeléctrica El Papayo DIAS 10 30 60 90 180 230 270 355 365 Media 0,303 0,089 0,045 0,031 0,015 0,011 0,007 0,003 0,002 85 % 0,154 0,045 0,023 0,016 0,008 0,006 0,004 0,001 0,001 Ecuación para el 85 %: Q=-6,2253E-10*t3+5,769E-7*t2-0.0002082*t+0,030423 Coef. de Corr: R=0.985 Tabla A-1.2.8 Volumen turbinado Hidroeléctrica ¨El Papayo¨

Días 90 180 230 270 310 365 Gasto (m3/s) 0,016 0,008 0,005 0,004 0,003 0,001

112

Volumen (m3/s) 0,009 0,006 0,0046 0,0036 0,0026 0,001 Ecuación de volumen turbinado vs gasto: V*=23,0752*Q3-29,1110*Q2+1,01279*Q-2,596E-5 Coef. de Corr: R=0,99 Tabla A-1.2.9 Caudales clasificados Hidroeléctrica ¨Las Agujas¨ DIAS 10 30 60 90 180 230 270 355 365 P=media 0,432 0,127 0,064 0,044 0,021 0,015 0,011 0,004 0,003 P=85 % 0,213 0,062 0,031 0,022 0,010 0,008 0,005 0,002 0,001 Ecuación para el 85 %: Q=-1.2844E-09*t3 + 1,120E-06*t2 – 0,0003617*t + 0,04631815 Coef. de corr: R=0,99 Tabla A-1.2.10 Volumen turbinado Hidroeléctrica ¨Las Agujas¨

Días 90 180 230 270 310 365 Gasto (m3/s) 0.022 0.01 0.007 0.005 0.004 0.001 Volumen (m3/s) 0.0119 0.0075 0.0057 0.0045 0.0033 0.001

Ecuación de volumen turbinado vs gasto: V*=-112,9713*Q3-5,2735*Q2+0,70317*Q+0,0011365 Coef. de Corr: R=0,99 Tabla A-1.2.11 Caudales clasificados Hidroeléctrica La Cachimba DIAS 10 30 60 90 180 230 270 355 365 P=media 2,694 0,790 0,398 0,272 0,132 0,095 0,068 0,024 0,017 P=85 % 1,430 0,420 0,211 0,144 0,070 0,050 0,036 0,013 0,009 Ecuación para el 85 %: Q=-7,1395E-09.t3+6,324E-06.t2-0,00213.t+0,28923 Coef. de corr.: R=0,98 Tabla A-1.2.12 Volumen turbinado Hidroeléctrica La Cachimba


Ecuación de volumen turbinado vs gasto: V*=20,9206.Q3-7,4146.Q2+1,2094.Q-0,002297 Coef. de corr.: R=0,98 Tabla A-1.2.13 Caudales clasificados Hidroeléctrica ¨Oro Abajo¨ Días 10 30 60 90 180 230 270 355 365 P=85 % 0,206 0,061 0,030 0,021 0,010 0,007 0,005 0,001 0,001

113

Ecuación para el 85 %: Q=-1.0824E-09*t3 + 9.54878E-07*t2 - 0.00031867*t + 0.04273451 Coef de Corr: R=0,98 Tabla A-1.2.14 Volumen turbinado Hidroeléctrica ¨Oro Abajo¨


Ecuación de volumen turbinado vs gasto: V*=772,256.Q3-42,4367.Q2+1,1052.Q-6,35E-05 Coef. de corr.: R=0,98 Tabla A-1.2.15 Caudales clasificados Hidroeléctrica Uvero DIAS 1 10 30 60 90 180 230 270 355 365 P=media 23,28 2,887 0,848 0,426 0,291 0,141 0,102 0,073 0,026 0,018P=75 % 15,79 1,979 0,575 0,289 0,198 0,096 0,069 0,049 0,018 0,012P=85 % 13,09 1,624 0,477 0,239 0,164 0,079 0,057 0,04 0,015 0,01 Ecuación de caudales clasificados para el 85 %: Q=-8,0375E-09*t3 + 7,186E-06*t2 - 0,00243*t + 0,330456 Coef. corr.: R=0,99 Tabla A-1.2.16 Volumen turbinado Hidroeléctrica Uvero


Ecuación de Volumen turbinado vs Gasto: V*=12,89331*Q3-5,5503*.Q2+1,1242*Q-0,0007 Coef. corr.: R=0,98 Provincia Guantánamo: Tabla A-1.2.17 Caudales Clasificados Hidroeléctrica ¨Guaso¨

Días 10 30 60 90 180 270 355 Media 11.12 4.90 2.52 1.63 0.55 0.165 0.143

Ecuación para el año medio: Q=-7.65E-0.8*t3+8,42E-05*t2-0.03039*t+3,7395 Coef. de Corr: R=0.98

114

Tabla A-1.2.18 Volumen turbinado Hidroeléctrica ¨Guaso¨ Días 90 180 230 270 355 Gasto (m3/s) 1.63 0.55 0.272 0.165 0.143 Volumen (m3/s) 0.788 0.388 0.232 0.159 0.143

Ecuación de volumen turbinado vs gasto: V*=0.093589*Q3-0.3737*Q2+0.8237*Q+0.03255 Coef. de Corr: R=0,98 Tabla A-1.2.19 Caudales clasificados Hidroeléctrica Arroyón

Días 90 180 230 270 310 355 Media 0,135 0,069 0,051 0,041 0,032 0,016

Ecuación para el año medio: Q=-7,61E-09t3+6,5E-06-0,002t+0,273 Coef. de Corr. R=0,96 Tabla A-1.2.20 Volumen turbinado Hidroeléctrica ¨Arroyón¨


Ecuación del volumen turbinado vs gasto V*=22,276Q3-7,96Q2+1,274Q-0,00244 Coef. de Corr. R=0,98 Tabla A-1.2.21 Caudales Clasificados Hidroeléctrica El Cuzco

Días 90 180 230 270 310 360 Media 1,35 0,868 0,641 0,482 0,345 0,193

Ecuación para el año medio Q=2,96E-09t3+4,3E-06t2-0,0067t-1,915 Coef. de Corr. R=0,98 Tabla A-1.2.22 Volumen turbinado Hidroeléctrica El Cuzco


Ecuación de volumen turbinado vs gasto V*=0,079Q3-0,493Q2+1,167Q-0,0144 Coef. de Corr. R=0,99 Tabla A-1.2.23 Caudales Clasificados Río ¨Berraco¨

Días 90 180 230 270 310 355 Media 0,098 0,050 0,037 0,030 0,023 0,011

Ecuación para el año medio Q=-5,85E-09t3+4,9E-06t2-0,00152t+0,1996

115

Coef. de Corr. R=0,99 Tabla A-1.2.24 Volumen turbinado Río ¨Berraco¨


Ecuación de volumen turbinado vs gasto V*=41,054Q3-10,769Q2+1,2655Q-0,00167 Coef. de Corr. R=0,98 Tabla A-1.2.25 Caudales Clasificados Río ¨La Punta¨

Días 90 180 230 270 310 355 Media 0,120 0,052 0,031 0,020 0,013 0,006

Ecuación para el año medio Q=-3,95E-09t3+4,4E-0,6t2-0,0017t+0,241 Coef. de Corr. R=0,99 Tabla A-1.2.26 Volumen turbinado Río ¨La Punta¨


Ecuación de volumen turbinado vs gasto V*=27,708Q3-7,652Q2+1,104Q+4,426E-05 Coef. de corr. R=0,99 Tabla A-1.2.27 Caudales Clasificados Río ¨El Sitio¨

Días 90 180 230 270 310 355 Media 0,046 0,024 0,018 0,014 0,011 0,006

Ecuación para el año medio Q=-2,16E-09t3+1,9E-06t2-0,00064t+0,089 Coef. de Corr. R=0,99 Tabla A-1.2.28 Volumen turbinado Río ¨El Sitio¨


Ecuación de volumen turbinado vs gasto V*=186,52Q3-23,288Q2+1,28Q-0,00886

116

Coef. de Corr. R=0,99 Tabla A-1.2.29 Caudales Clasificados Río ¨Navas¨

Días 90 180 230 270 310 355 Media 0,040 0,020 0,015 0,012 0,01 0,005

Ecuación para el año medio Q=-2,37E-09t3+2E-06t2-0,00063t+0,082 Coef. de Corr. R=0,97 Tabla A-1.2.-30 Volumen turbinado Río ¨Navas¨


Ecuación de volumen turbinado vs gasto V*=284,97Q3-28,88Q2+1,304Q+0,00083 Coef. de Corr. R=0,97 Tabla A-1.2.31 Caudales Clasificados Río ¨San Andrés¨

Días 90 180 230 270 310 355 Media 0,430 0,250 0,193 0,160 0,134 0,1

Ecuación para el año medio Q=-1,3E-08t3+1,3E-05t2-0,00465t+0,7567 Coef. de Corr. R=0,99 Tabla A-1.2.32 Volumen turbinado Río ¨San Andrés¨


Ecuación de volumen turbinado vs gasto V*=2,645Q3-3,097Q2+1,537Q-0,025 Coef. de Corr. R=0,99 Tabla A-1.2.33 Caudales Clasificados Río ¨Santa Catalina¨

Días 90 180 230 270 310 355 Media 2,5 1,40 1,07 0,90 0,77 0,600

Ecuación para el año medio: Q=-8,76E-08t3+8,4E-05Q2-0.03Q+4.59 Coef. de Corr. R=0,99

117

Tabla A-1.2.34 Volumen turbinado Río ¨Santa Catalina¨


Ecuación de volumen turbinado vs gasto V*=0.0967Q3-0.611Q2+1.6188Q-0.1724 Coef. de Corr. R=0,99 Tabla A-1.2.35 Caudales Clasificados Río ¨Paso de Caña¨

Días 90 180 230 270 310 355 Media 0,2 0,1 0,084 0,08 0,077 0,06

Ecuación para el año medio: Q=-1,77E-08t3+1,5E-05t2-0,00402t+0,4575 Coef. de Corr. R=0,99 Tabla A-1.2.36 Volumen turbinado Río ¨Paso de Caña¨


Ecuación de volumen turbinado vs gasto V*=43,517Q3-18,339Q2+2,8253Q-0,0529 Coef. de Corr. R=0,99 Tabla A-1.2.37 Caudales Clasificados Río ¨Ojo de Agua¨

Días 90 180 230 270 310 355 Media 0,11 0,06 0,42 0,03 0,019 0,001

Ecuación para el año medio: Q=-3,94E-09t3+3,4E-06t2-0,0012397t+0,1972 Coef. de Corr. R=0,98 Tabla A-1.2.38 Volumen turbinado Río ¨Ojo de Agua¨


Ecuación de volumen turbinado vs gasto V*=13,1999Q3-5,65Q2+1,036Q-3,07E-05 Coef. de Corr. R=0,98

118

ANEXO A-1.3

119

A-1.3.1 Algoritmo para la optimización del proyecto de las P.C.H.

120

A-1.3.2 Pantalla principal del programa de optimización del proyecto de las P.C.H.

A-1.3.3 Pantalla principal del programa de optimización de la tubería

121

ANEXO A-2 Optimización dinámica de las P.C.H

Anexo A-2.1 Algoritmo para la optimización de los sistemas dinámicos

122

ANEXO A-2.2 Programa desarrollado para la Optimización Dinámica

Figura A-2.2.1 Bloque de entrada de datos

Figura A-2.2.2 Bloques de resultados e información necesaria para la optimización

123

Anexo A-2.3 parámetros dinámicos de las P.C.H.

Tabla A-2.3.1 P=40 kW, H=160 m, n=900 rpm L/H Tc Ta GD^2 To 2 1.3 2 351 1.2 3 2 3 526 1.8 4 2.7 4 702 2.5 5 3.3 5 877 3 6 4 6 1053 3.7 7 4.7 7 1228 4.3

Tabla A-2.3.2 P =80 kW, H=160 m, n=900 rpm L/H Tc Ta GD^2 To 2 1.4 2.6 719 1.3 3 2 3.1 1078 1.9 4 2.7 4.1 1437 2.5 5 3.4 5.1 1797 3.2 6 4.1 6.1 2156 3.8 7 4.4 7.1 2515 4.4

Tabla A-2.3.3 Potencia =160 kW; H=160 m; n=900 rpm L/H Tc Ta GD^2 To 2 1.3 1.9 1366 1.3 3 2 2.9 2049 1.8 4 2.6 3.9 2732 2.5 5 3.3 4.8 3414 3 6 3.9 5.8 4097 3.7 7 4.6 6.8 4780 4.2

124

Inercia requerida (GD^2)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

2 3 4 5 6 7L/H

GD^2 (NM^2)

P=40 kw

P=80 kw

Figura A-2.3.1 Influencia de la relación L/H en el momento de Inercia

Tiempo de abertura - momento de inercia para P=40 kw; 80 kw, 160 kw

00.5

11.5

22.5

33.5

44.5

5

351 877 1437 2515 2049 4097

GD^2

Tab (s)

Tab

Figura A-2.3.2 Influencia del momento de inercia en el tiempo de abertura del regulador

125

ANEXO A-3

Anexo A-3.1 Algoritmo para la optimización de la distribución de carga

126

A-3.2 Pantalla principal del programa de distribución de carga entre los grupos

127

ANEXO A-3.3

Corridas Experimentales con dos grupos en la Hidroeléctrica Uvero

Tabla A-3.3.1 Valores obtenidos en la P.C.H. Uvero sin aplicar la metodología P.C.H. Grupo número 1 Grupo número 2 Potencia (kW)

Gasto (l/s)

Eficiencia (%)

Potencia (kW)

Gasto (l/s)

Potencia (kW)

Gasto (l/s)

87 97,7 56,8 60 55,7 27 42,0 91 98,7 58,8 60 55,7 31 43,0 92 99,1 59,2 60 55,7 32 43,4 96 100,3 61,0 60 55,7 36 44,6 97 100,6 61,5 60 55,7 37 44,9 99 101,2 62,4 60 55,7 39 45,5 100 100,5 63.5 60 55,7 40 45,8 105 103,1 65,0 60 55,7 45 47,4 107 103,7 65,8 60 55,7 47 48,0 108 104,1 66,0 60 55,7 48 48,4 114 106,2 68,6 60 55,7 54 50,5 130 112,7 73,6 60 55,7 70 57,0

Tabla A-3.3.2 Valores obtenidos al aplicar la metodología de distribución de cargas y caudales P.C.H. Grupo número 1 Grupo número 2 Potencia (kW)

Gasto (l/s)

Eficiencia (%)

Potencia (kW)

Gasto (l/s)

Potencia (kW)

Gasto (l/s)

87 94,0 59,0 43,5 47,0 43,5 47,0 91 95,0 61,0 45,5 47,6 45,5 47,6 92 95,5 61,5 46,0 47,7 46,0 47,7 96 96,7 63,0 48,0 48,4 48,0 48,4 97 97,0 63,7 48,5 48,5 48,5 48,5 99 97,8 64,6 49,5 48,9 49,5 48,9 100 98,0 65,0 50,0 49,0 50,0 49,0 105 100,0 67,0 52,5 50,0 52,5 50,0 107 100,6 68,0 53,5 50,3 53,5 50,3 108 101,0 68,2 54,0 50,5 54,0 50,5 114 103,0 70,5 57,0 51,5 57,0 51,5 130 109,5 76,0 65,0 54,7 65,0 54,7

128

Tabla A-3.3.3 Resumen de resultados Sin la metodología Con la metodología Diferencia Potencia (kW)

Gasto (l/s)

Eficiencia(%)

Gasto (l/s)

Eficiencia(%)

Gasto (l/s)

Eficiencia(%)

87 97,7 56,8 94,0 59,0 3,7 2,2 91 98,7 58,8 95,0 61,0 3,7 2,2 92 99,1 59,2 95,5 61,5 3,6 2,3 96 100,3 61,0 96,7 63,0 3,6 2,0 97 100,6 61,5 97,0 63,7 3,6 2,2 99 101,2 62,4 97,8 64,6 3,4 2,2 100 100,5 63.5 98,0 65,0 2,5 1,5 105 103,1 65,0 100,0 67,0 3,1 2,0 107 103,7 65,8 100,6 68,0 3,1 2,2 108 104,1 66,0 101,0 68,2 3,1 2,2 114 106,2 68,6 103,0 70,5 3,2 1,9 130 112,7 73,6 109,5 76,0 3,2 2,4

Tabla A-3.3.4 Desviación del algoritmo de cálculo

Eficiencia total de la central Potencia (kW)

Valor medido (%)

Valor calculado(%)

Error (%)

Desviación estd. del error

87 58,6 59,0 0,67 91 60,4 61,0 0,67 92 61,0 61,5 0,81 96 62,0 63,0 1,61 97 62,8 63,7 1,40 99 64,0 64,6 0,90 100 65,0 65,0 0.0 105 67,4 67,0 0,6 107 68,7 68,0 1,0 108 68,6 68,2 0,58 114 71,0 70,5 0,70 130 76.8 76,0 1,0

σ=0,41 %

Metodología para la optimización del caudal de proyecto de ... · PDF...

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