MetodoDeElementosFinitos RECT

8/2/2019 MetodoDeElementosFinitos RECT

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMADE MXICO

INSTITUTO DE GEOFSICA

Y

GRUPO DE MODELACINMATEMATICA Y COMPUTACIONAL

Mtodo de Elementos Finitos

Antonio Carrillo LedesmaIsmael Herrera Revilla

Robert Yates Smith

http://www.mmc.igeofcu.unam.mx/

INSTITUTO DE GEOFSICA 2008UNAM


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ndice

1. Sistemas Continuos y sus Modelos 31.1. Los Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Fsica Microscpica y Fsica Macroscpica . . . . . . . . . 31.2. Cinemtica de los Modelos de Sistemas Continuos . . . . . . . . 4

1.2.1. Propiedades Intensivas y sus Representaciones . . . . . . 61.2.2. Propiedades Extensivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3. Balance de Propiedades Extensivas e Intensivas . . . . . . 9

1.3. Ejemplos de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Ecuaciones Diferenciales Parciales 152.1. Clasificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Condiciones Iniciales y de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Modelos Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Anlisis Funcional y Problemas Variacionales 213.1. Operador Lineal Elptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.1. Trazas de una Funcin en Hm () . . . . . . . . . . . . . . 253.2.2. Espacios Hm0 () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3. Formulas de Green y Problemas Adjuntos . . . . . . . . . . . . . 273.4. Adjuntos Formales para Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . 353.5. Problemas Variacionales con Valor en la Frontera . . . . . . . . . 39

4. Solucin de Grandes Sistemas de Ecuaciones 434.1. Mtodos Directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2. Mtodos Iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3. Gradiente Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4. Precondicionadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4.1. Gradiente Conjugado Precondicionado . . . . . . . . . . . 524.4.2. Precondicionador a Posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4.3. Precondicionador a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5. Mtodos de Solucin Aproximada para EDP 605.1. Mtodo Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2. El Mtodo de Residuos Pesados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3. Mtodo de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6. Mtodo de Elementos Finitos 686.1. Triangulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.2. Interpolacin para el Mtodo de Elementos Finitos . . . . . . . . 696.3. Mtodo de Elemento Finito Usando Discretizacin de Rectngulos 706.4. Mtodo de Elemento Finito Usando Discretizacin de Tringulos 746.5. Implementacin Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

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7. Apndice A 847.1. Nociones de Algebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.2. -Algebra y Espacios Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.3. Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.4. Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8. Bibliografa 91

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1. Sistemas Continuos y sus Modelos

Los fundamentos de la fsica macroscpica los proporciona la teora de losmedios continuos. En este captulo, con base en ella se introduce una formu-lacin clara, general y sencilla de los modelos matemticos de los sistemas con-tinuos. Esta formulacin es tan sencilla y tan general, que los modelos bsi-cos de sistemas tan complicados y diversos como la atmsfera, los ocanos, losyacimientos petroleros, o los geotrmicos, se derivan por medio de la aplicacinrepetida de una sola ecuacin diferencial: la ecuacin diferencial de balance.

Dicha formulacin tambin es muy clara, pues en el modelo general no hayninguna ambigedad; en particular, todas las variables y parmetros que in-tervienen en l, estn definidos de manera unvoca. En realidad, este modelogeneral de los sistemas continuos constituye una realizacin extraordinaria delos paradigmas del pensamiento matemtico. El descubrimiento del hecho de quelos modelos matemticos de los sistemas continuos, independientemente de su

naturaleza y propiedades intrnsecas, pueden formularse por medio de balances,cuya idea bsica no difiere mucho de los balances de la contabilidad financiera,fue el resultado de un largo proceso de perfeccionamiento en el que concurrieronuna multitud de mentes brillantes.

1.1. Los Modelos

Un modelo de un sistema es un sustituto de cuyo comportamiento es posiblederivar el correspondiente al sistema original. Los modelos matemticos, en laactualidad, son los utilizados con mayor frecuencia y tambin los ms verstiles.En las aplicaciones especficas estn constituidos por programas de cmputocuya aplicacin y adaptacin a cambios de las propiedades de los sistemas esrelativamente fcil. Tambin, sus bases y las metodologas que utilizan son degran generalidad, por lo que es posible construirlos para situaciones y sistemasmuy diversos.

Los modelos matemticos son entes en los que se integran los conocimien-tos cientficos y tecnolgicos, con los que se construyen programas de cmputoque se implementan con medios computacionales. En la actualidad, la simu-lacin numrica permite estudiar sistemas complejos y fenmenos naturales quesera muy costoso, peligroso o incluso imposible de estudiar por experimentacindirecta. En esta perspectiva la significacin de los modelos matemticos en cien-cias e ingeniera es clara, porqu la modelacin matemtica constituye el mtodoms efectivo de predecir el comportamiento de los diversos sistemas de inters.En nuestro pas, ellos son usados ampliamente en la industria petrolera, en lasciencias y la ingeniera del agua y en muchas otras.

1.1.1. Fsica Microscpica y Fsica Macroscpica

La materia, cuando se le observa en el mbito ultramicroscpico, est for-mada por molculas y tomos. Estos a su vez, por partculas an ms pequeascomo los protones, neutrones y electrones. La prediccin del comportamiento de

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estas partculas es el objeto de estudio de la mecnica cuntica y la fsica nucle-ar. Sin embargo, cuando deseamos predecir el comportamiento de sistemas tan

grandes como la atmsfera o un yacimiento petrolero, los cuales estn formadospor un nmero extraordinariamente grande de molculas y tomos, su estudioresulta inaccesible con esos mtodos y en cambio el enfoque macroscpico esapropiado.

Por eso en lo que sigue distinguiremos dos enfoques para el estudio de lamateria y su movimiento. El primero -el de las molculas, los tomos y laspartculas elementales- es el enfoque microscpico y el segundo es el enfoquemacroscpico. Al estudio de la materia con el enfoque macroscpico, se le llamafsica macroscpica y sus bases tericas las proporciona la mecnica de los medioscontinuos.

Cuando se estudia la materia con este ltimo enfoque, se considera que loscuerpos llenan el espacio que ocupan, es decir que no tienen huecos, que es la for-ma en que los vemos sin el auxilio de un microscopio. Por ejemplo, el agua llenatodo el espacio del recipiente donde est contenida. Este enfoque macroscpicoest presente en la fsica clsica. La ciencia ha avanzado y ahora sabemos que lamateria est llena de huecos, que nuestros sentidos no perciben y que la energatambin est cuantizada. A pesar de que estos dos enfoques para el anlisis delos sistemas fsicos, el microscpico y el macroscpico, parecen a primera vistaconceptualmente contradictorios, ambos son compatibles, y complementarios, yes posible establecer la relacin entre ellos utilizando a la mecnica estadstica.

1.2. Cinemtica de los Modelos de Sistemas Continuos

En la teora de los sistemas continuos, los cuerpos llenan todo el espacio queocupan. Y en cada punto del espacio fsico hay una y solamente una partcula.As, definimos como sistema continuo a un conjunto de partculas. An ms,dicho conjunto es un subconjunto del espacio Euclidiano tridimensional. Uncuerpo es un subconjunto de partculas que en cualquier instante dado ocupaun dominio, en el sentido matemtico, del espacio fsico; es decir, del espacioEuclidiano tridimensional. Denotaremos por B(t) a la regin ocupada por elcuerpo B, en el tiempo t, donde t puede ser cualquier nmero real.

Figura 1: Representacin del movimiento de partculas de un cuerpo B, para untiempo dado.

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Frecuentemente, sin embargo, nuestro inters de estudio se limitar a unintervalo finito de tiempo. Dado un cuerpo B, todo subdominio B

B, cons-

tituye a su vez otro cuerpo; en tal caso, se dice que B B es un subcuerpode B. De acuerdo con lo mencionado antes, una hiptesis bsica de la teorade los sistemas continuos es que en cualquier tiempo t (,) y en cadapunto x B de la regin ocupada por el cuerpo, hay una y slo una partculadel cuerpo. Como en nuestra revisin se incluye no solamente la esttica (esdecir, los cuerpos en reposo), sino tambin la dinmica (es decir, los cuerposen movimiento), un primer problema de la cinemtica de los sistemas continuosconsiste en establecer un procedimiento para identificar a las partculas cuandoestn en movimiento en el espacio fsico.

Sea X B, una partcula y p(X, t) el vector de la posicin que ocupa, en elespacio fsico, dicha partcula en el instante t. Una forma, pero no la nica, deidentificar la partcula X es asocindole la posicin que ocupa en un instantedeterminado. Tomaremos en particular el tiempo t = 0, en tal caso p(X, 0)

X.

A las coordenadas del vector X (x1, x2, x3), se les llama las coordenadasmateriales de la partcula. En este caso, las coordenadas materiales de unapartcula son las coordenadas del punto del espacio fsico que ocupaba la partcu-la en el tiempo inicial, t = 0. Desde luego, el tiempo inicial puede ser cualquierotro, si as se desea. Sea B el dominio ocupado por un cuerpo en el tiempoinicial, entonces X B si y solamente si la partcula X es del cuerpo. Es decir,B caracteriza al cuerpo. Sin embargo, debido al movimiento, la regin ocupadapor el mismo cambia con el tiempo y ser denotada por B(t).

Formalmente, para cualquier t (,), B(t) se define por

B(t) x R3 | X B tal que x = p(X, t) (1)el vector posicin p(X, t) es funcin del vector tridimensional X y del tiempo. Si

fijamos el tiempo t, p(X, t) define una transformacin del espacio Euclidiano R3

en si mismo y la Ec. (1) es equivalente a B(t) = p(B, t). Una notacin utilizadapara representar esta familia de funciones es p(, t). De acuerdo a la hiptesis delos sistemas continuos: En cualquier tiempo t (,) y en cada punto x Bde la regin ocupada por el cuerpo hay una y slo una partcula del cuerpo Bpara cada t fijo. Es decir, p(, t) es una funcin biunvoca, por lo que existe la

funcin inversa p1(, t).Si se fija la partcula X en la funcin p(X, t) y se vara el tiempo t, se obtiene

su trayectoria. Esto permite obtener la velocidad de cualquier partcula, la cuales un concepto central en la descripcin del movimiento. Ella se define como laderivada con respecto al tiempo de la posicin cuando la partcula se mantienefi ja. Es decir, es la derivada parcial con respecto al tiempo de la funcin de

posicin p(X, t). Por lo mismo, la velocidad como funcin de las coordenadasmateriales de las partculas, est dada por

V

(X, t) pt

(X, t). (2)

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1.2.1. Propiedades Intensivas y sus Representaciones

En lo que sigue consideraremos funciones definidas para cada tiempo, encada una de las partculas de un sistema continuo. A tales funciones se lesllama propiedades intensivas. Las propiedades intensivas pueden ser funcionesescalares o funciones vectoriales. Por ejemplo, la velocidad, definida por la Ec.(2), es una funcin vectorial que depende de la partcula X y del tiempo t.

Una propiedad intensiva con valores vectoriales es equivalente a tres es-calares, correspondientes a cada una de sus tres componentes. Hay dos formasde representar a las propiedades intensivas: la representacin Euleriana y la re-presentacin Lagrangiana. Los nombres son en honor a los matemticos LeonardEuler (1707-1783) y Joseph Louis Lagrange (1736-1813), respectivamente. Fre-cuentemente, el punto de vista Lagrangiano es utilizado en el estudio de losslidos, mientras que el Euleriano se usa ms en el estudio de los fluidos.

Considere una propiedad intensiva escalar, la cual en el tiempo t toma el

valor (X, t) en la partcula X. Entonces, de esta manera se define una funcin : B R1, para cada t (,) a la que se denomina representacinLagrangiana de la propiedad intensiva considerada. Ahora, sea (x, t) el valorque toma esa propiedad en la partcula que ocupa la posicin x, en el tiempo t.En este caso, para cada t (,) se define una funcin : B(t) R1 a lacual se denomina representacin Euleriana de la funcin considerada. Estas dosrepresentaciones de una misma propiedad estn relacionadas por la siguienteidentidad

(X, t) (p(X, t), t). (3)Ntese que, aunque ambas representaciones satisfacen la Ec. (3), las fun-

ciones (X, t) y (x, t) no son idnticas. Sus argumentos X y x son vectorestridimensionales (es decir, puntos de R3); sin embargo, si tomamos X = x, en

general

(X, t) 6= (X, t). (4)

La expresin de la velocidad de una partcula dada por la Ec. (2), define asu representacin Lagrangiana, por lo que utilizando la Ec. (3) es claro que

p

t(X, t) = V

(X, t) v

(p(X, t), t) (5)

donde v

(x, t) es la representacin Euleriana de la velocidad. Por lo mismo

v

(x, t) V

(p1(x, t), t). (6)

Esta ecuacin tiene la interpretacin de que la velocidad en el punto x del

espacio fsico, es igual a la velocidad de la partcula que pasa por dicho puntoen el instante t. La Ec. (6) es un caso particular de la relacin

(x, t) (p1(x, t), t)de validez general, la cual es otra forma de expresar la relacin de la Ec. (3) queexiste entre las dos representaciones de una misma propiedad intensiva.

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La derivada parcial con respecto al tiempo de la representacin Lagrangiana(X, t) de una propiedad intensiva, de acuerdo a la definicin de la derivada

parcial de una funcin, es la tasa de cambio con respecto al tiempo que ocurreen una partcula fija. Es decir, si nos montamos en una partcula y medimos a lapropiedad intensiva y luego los valores as obtenidos los derivamos con respecto

al tiempo, el resultado final es (X,t)t

. En cambio, si (x, t) es la representacin

Euleriana de esa misma propiedad, entonces (x,t)t

es simplemente la tasa decambio con respecto al tiempo que ocurre en un punto fijo en el espacio. Tieneinters evaluar la tasa de cambio con respecto al tiempo que ocurre en unapartcula fija, cuando se usa la representacin Euleriana. Derivando con respectoal tiempo a la identidad de la Ec. (3) y la regla de la cadena, se obtiene

(X, t)

t=

t(p(X, t), t) +

3

Xi=1

xi(p(X, t), t)

pit

(X, t). (7)

Se acostumbra definir el smbolo DDt

por

D

Dt=

t+

3Xi=1

vi

xi(8)

o, ms brevemente,D

Dt=

t+ v

(9)

utilizando esta notacin, se puede escribir

(X, t)

t

=D

Dt

(p(X, t)

t

+ v

(p(X, t), t). (10)

Por ejemplo, la aceleracin de una partcula se define como la derivada de lavelocidad cuando se mantiene a la partcula fija. Aplicando la Ec. (9) se tiene

Dv

Dt=

v

t+ v

v

(11)

una expresin ms transparente se obtiene aplicando la Ec. (9) a cada una delas componentes de la velocidad. As, se obtiene

DviDt

=vit

+ v

vi. (12)

Desde luego, la aceleracin, en representacin Lagrangiana es simplemente

tV

(X, t) =2

t2p(X, t). (13)

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1.2.2. Propiedades Extensivas

En la seccin anterior se consideraron funciones definidas en las partculas deun cuerpo, ms precisamente, funciones que hacen corresponder a cada partculay cada tiempo un nmero real, o un vector del espacio Euclidiano tridimensionalR3. En sta, en cambio, empezaremos por considerar funciones que a cada cuerpo

Bde un sistema continuo, y a cada tiempo t le asocia un nmero real o un vectorde R3. A una funcin de este tipo E(B, t) se le llama propiedad extensiva cuandoesta dada por una integral

E(B, t) ZB(t)

(x, t)dx

. (14)

Observe que, en tal caso, el integrando define una funcin (x, t) y por lomismo, una propiedad intensiva. En particular, la funcin (x, t) es la repre-

sentacin Euleriana de esa propiedad intensiva. Adems, la Ec. (14) estableceuna correspondencia biunvoca entre las propiedades extensivas y las intensi-vas, porqu dada la representacin Eulereana (x, t) de cualquier propiedadintensiva, su integral sobre el dominio ocupado por cualquier cuerpo, defineuna propiedad extensiva. Finalmente, la notacin empleada en la Ec. (14) esmuy explicita, pues ah se ha escrito E(B, t) para enfatizar que el valor de lapropiedad extensiva corresponde al cuerpo B. Sin embargo, en lo que sucesivo,se simplificara la notacin omitiendo el smbolo B es decir, se escribir E(t) envez de E(B, t).

Hay diferentes formas de definir a las propiedades intensivas. Como aqu lohemos hecho, es por unidad de volumen. Sin embargo, es frecuente que se ledefina por unidad de masa vase [16]. Es fcil ver que la propiedad intensivapor unidad de volumen es igual a la propiedad intensiva por unidad de masa

multiplicada por la densidad de masa (es decir, masa por unidad de volumen),por lo que es fcil pasar de un concepto al otro, utilizando la densidad de masa.

Sin embargo, una ventaja de utilizar a las propiedades intensivas por unidadde volumen, en lugar de las propiedades intensivas por unidad de masa, es que lacorrespondencia entre las propiedades extensivas y las intensivas es ms directa:dada una propiedad extensiva, la propiedad intensiva que le corresponde esla funcin que aparece como integrando, cuando aqulla se expresa como unaintegral de volumen. Adems, del clculo se sabe que

(x, t) lmV ol0

E(t)

V ol= lm

V ol0

RB(t)

(, t)d

V ol. (15)

La Ec. (15) proporciona un procedimiento efectivo para determinar las propie-

dades extensivas experimentalmente: se mide la propiedad extensiva en un volu-men pequeo del sistema continuo de que se trate, se le divide entre le volumen yel cociente que se obtiene es una buena aproximacin de la propiedad intensiva.

El uso que haremos del concepto de propiedad extensiva es, desde luego,lgicamente consistente. En particular, cualquier propiedad que satisface lascondiciones de la definicin de propiedad extensiva establecidas antes es, por

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ese hecho, una propiedad extensiva. Sin embargo, no todas las propiedades ex-tensivas que se pueden obtener de esta manera son de inters en la mecnica

de los medios continuos. Una razn bsica por la que ellas son importantes esporqu el modelo general de los sistemas continuos se formula en trminos deecuaciones de balance de propiedades extensivas, como se ver ms adelante.

1.2.3. Balance de Propiedades Extensivas e Intensivas

Los modelos matemticos de los sistemas continuos estn constituidos porbalances de propiedades extensivas. Por ejemplo, los modelos de transporte desolutos (los contaminantes transportados por corrientes superficiales o subte-rrneas, son un caso particular de estos procesos de transporte) se construyenhaciendo el balance de la masa de soluto que hay en cualquier dominio delespacio fsico. Aqu, el trmino balance se usa, esencialmente, en un sentidocontable. En la contabilidad que se realiza para fines financieros o fiscales, la

diferencia de las entradas menos las salidas nos da el aumento, o cambio, decapital. En forma similar, en la mecnica de los medios continuos se realiza, encada cuerpo del sistema continuo, un balance de las propiedades extensivas enque se basa el modelo.

Ecuacin de Balance Global Para realizar tales balances es necesario, enprimer lugar, identificar las causas por las que las propiedades extensivas puedencambiar. Tomemos como ejemplo de propiedad extensiva a las existencias demaz que hay en el pas. La primera pregunta es: qu causas pueden motivar suvariacin, o cambio, de esas existencias?. Un anlisis sencillo nos muestra quedicha variacin puede ser debida a que se produzca o se consuma. Tambin aque se importe o se exporte por los lmites del pas (fronteras o litorales). Y conesto se agotan las causas posibles; es decir, esta lista es exhaustiva. Producciny consumo son trminos similares, pero sus efectos tienen signos opuestos, quefcilmente se engloban en uno solo de esos conceptos. De hecho, si convenimosen que la produccin puede ser negativa, entonces el consumo es una produccinnegativa.

Una vez adoptada esta convencin, ya no es necesario ocuparnos separada-mente del consumo. En forma similar, la exportacin es una importacin ne-gativa. Entonces, el incremento en las existencias E en un perodo t quedadado por la ecuacin

E = P+ I (16)

donde a la produccin y a la importacin, ambas con signo, se les ha representadopor P y I respectivamente.

Similarmente, en la mecnica de los medios continuos, la lista exhaustiva

de las causas por las que una propiedad extensiva de cualquier cuerpo puedecambiar, contiene solamente dos motivos:

i) Por produccin en el interior del cuerpo; y

ii) Por importacin (es decir, transporte) a travs de la frontera.

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Esto conduce a la siguiente ecuacin de balance global, de gran generali-dad, para las propiedades extensivas

dE

dt(t) =

ZB(t)

g(x, t)dx +

ZB(t)

q(x, t)dx +

Z(t)

g(x, t)dx. (17)

Donde g(x, t) es la generacin en el interior del cuerpo, con signo, de lapropiedad extensiva correspondiente, por unidad de volumen, por unidad detiempo. Adems, en la Ec. (17) se ha tomado en cuenta la posibilidad de quehaya produccin concentrada en la superficie (t), la cual est dada en esaecuacin por la ltima integral, donde g(x, t) es la produccin por unidad derea. Por otra parte q(x, t) es lo que se importa o transporta hacia el interiordel cuerpo a travs de la frontera del cuerpo B(t), en otras palabras, es elflujo de la propiedad extensiva a travs de la frontera del cuerpo, por unidad derea, por unidad de tiempo. Puede demostrarse, con base en hiptesis vlidas

en condiciones muy generales, que para cada tiempo t existe un campo vectorial(x, t) tal que

q(x, t) (x, t) n(x, t) (18)donde n(x, t) es normal exterior a B(t). En vista de esta relacin, la Ec. (17)de balance se puede escribir como

dE

dt(t) =

ZB(t)

g(x, t)dx +

ZB(t)

(x, t) n(x, t)dx +

Z(t)

g(x, t)dx. (19)

La relacin (19) se le conoce con el nombre de ecuacin general de balanceglobal y es la ecuacin bsica de los balances de los sistemas continuos. A lafuncin g(x, t) se le denomina el generacin interna y al campo vectorial (x, t)el campo de flujo.

Condiciones de Balance Local Los modelos de los sistemas continuos estnconstituidos por las ecuaciones de balance correspondientes a una coleccin depropiedades extensivas. As, a cada sistema continuo le corresponde una familiade propiedades extensivas, tal que, el modelo matemtico del sistema est cons-tituido por las condiciones de balance de cada una de las propiedades extensivasde dicha familia.

Sin embargo, las propiedades extensivas mismas no se utilizan directamenteen la formulacin del modelo, en su lugar se usan las propiedades intensivasasociadas a cada una de ellas. Esto es posible porqu las ecuaciones de balanceglobal son equivalentes a las llamadas condiciones de balance local, las cualesse expresan en trminos de las propiedades intensivas correspondientes. Las

condiciones de balance local son de dos clases: las ecuaciones diferenciales debalance local y las condiciones de salto.

Las primeras son ecuaciones diferenciales parciales, que se deben satisfaceren cada punto del espacio ocupado por el sistema continuo, y las segundas sonecuaciones algebraicas que las discontinuidades deben satisfacer donde ocurren;es decir, en cada punto de . Cabe mencionar que las ecuaciones diferenciales

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de balance local son de uso mucho ms amplio que las condiciones de salto,pues estas ltimas solamente se aplican cuando y donde hay discontinuidades,

mientras que las primeras en todo punto del espacio ocupado por el sistemacontinuo.

Una vez establecidas las ecuaciones diferenciales y de salto del balance local,e incorporada la informacin cientfica y tecnolgica necesaria para completarel modelo (la cual por cierto se introduce a travs de las llamadas ecuacionesconstitutivas), el problema matemtico de desarrollar el modelo y derivar suspredicciones se transforma en uno correspondiente a la teora de la ecuacionesdiferenciales, generalmente parciales, y sus mtodos numricos.

Las Ecuaciones de Balance Local En lo que sigue se supone que laspropiedades intensivas pueden tener discontinuidades, de salto exclusivamente,a travs de la superficie (t). Se entiende por discontinuidad de salto, una en

que el lmite por ambos lados de

(t) existe, pero son diferentes.Se utilizar en lo que sigue los resultados matemticos que se dan a conti-nuacin, ver [8].

Teorema 1 Para cada t > 0, sea B(t) R3 el dominio ocupado por un cuerpo.Suponga que la propiedad intensiva (x, t) es de clase C1, excepto a travsde la superficie(t). Adems, sean las funciones v(x, t) y v(x, t) esta ltimadefinida para x (t) solamente, las velocidades de las partculas y la de(t),respectivamente. Entonces

d

dt

ZB(t)

dx ZB(t)

t+ (v)

dx +

Z

[(v v

) ] ndx. (20)

Teorema 2 Considere un sistema continuo, entonces, la ecuacin de balance

global (19) se satisface para todo cuerpo del sistema continuo si y solamente sise cumplen las condiciones siguientes:

i) La ecuacin diferencial

t+ (v) = + g (21)

vale en todo punto x R3, de la regin ocupada por el sistema.ii) La ecuacin

[ (v v) ] n = g (22)vale en todo punto x .A las ecuaciones (21) y (22), se les llama ecuacin diferencial de balance

local y condicin de salto, respectivamente.

Desde luego, el caso ms general que se estudiar se refiere a situacionesdinmicas; es decir, aqullas en que las propiedades intensivas cambian con eltiempo. Sin embargo, los estados estacionarios de los sistemas continuos son desumo inters. Por estado estacionario se entiende uno en que las propiedadesintensivas son independientes del tiempo. En los estados estacionarios, adems,

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las superficies de discontinuidad (t) se mantienen fijas (no se mueven). En estecaso

t= 0 y v

= 0. Por lo mismo, para los estados estacionarios, la ecuacin

de balance local y la condicin de salto se reducen a

(v) = + g (23)que vale en todo punto x R3 y

[v ] n = g (24)que se satisface en todo punto de la discontinuidad (t) respectivamente.

1.3. Ejemplos de Modelos

Una de las aplicaciones ms sencillas de las condiciones de balance locales para formular restricciones en el movimiento. Aqu ilustramos este tipo de

aplicaciones formulando condiciones que se deben cumplir localmente cuando unfluido es incompresible. La afirmacin de que un fluido es incompresible significaque todo cuerpo conserva el volumen de fluido en su movimiento. Entonces, seconsideraran dos casos: el de un fluido libre y el de un fluido en un medioporoso. En el primer caso, el fluido llena completamente el espacio fsico queocupa el cuerpo, por lo que el volumen del fluido es igual al volumen del dominioque ocupa el cuerpo, as

Vf(t) =

ZB(t)

dx (25)

aqu, Vf(t) es el volumen del fluido y B(t) es el dominio del espacio fsico (esdecir, de R3) ocupado por el cuerpo. Observe que una forma ms explicita deesta ecuacin es

Vf(t) =ZB(t)

1dx (26)

porqu en la integral que aparece en la Ec. (25) el integrando es la funcinidnticamente 1. Comparando esta ecuacin con la Ec. (14), vemos que el vo-lumen del fluido es una propiedad extensiva y que la propiedad intensiva que lecorresponde es = 1.

Adems, la hiptesis de incompresibilidad implica

dVfdt

(t) = 0 (27)

esta es el balance global de la Ec. (19), con g = g = 0 y = 0, el cual a su vezes equivalente a las Ecs. (21) y (22). Tomando en cuenta adems que = 1, laEc. (21) se reduce a

v = 0. (28)Esta es la bien conocida condicin de incompresibilidad para un fluido libre

Adems, aplicando la Ec. (22) donde haya discontinuidades, se obtiene [v]n = 0.Esto implica que si un fluido libre es incompresible, la velocidad de sus partculases necesariamente continua.

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El caso en que el fluido se encuentra en un medio poroso, es bastantediferente. Un medio poroso es un material slido que tiene huecos distribuidos

en toda su extensin, cuando los poros estn llenos de un fluido, se dice queel medio poroso esta saturado. Esta situacin es la de mayor inters en laprctica y es tambin la ms estudiada. En muchos de los casos que ocurrenen las aplicaciones el fluido es agua o petrleo. A la fraccin del volumen delsistema, constituido por la matriz slida y los huecos, se le llama porosidady se le representara por , as

(x, t) = l mV0

Volumen de huecos

Volumen total(29)

aqu hemos escrito (x, t) para enfatizar que la porosidad generalmente es fun-cin tanto de la posicin como del tiempo. Las variaciones con la posicin puedenser debidas, por ejemplo, a heterogeneidad del medio y los cambios con el tiem-

po a su elasticidad; es decir, los cambios de presin delfl

uido originan esfuerzosen los poros que los dilatan o los encogen.Cuando el medio esta saturado, el volumen del fluido Vf es igual al volumen

de los huecos del dominio del espacio fsico que ocupa, as

Vf(t) =

ZB(t)

(x, t)dx. (30)

En vista de esta ecuacin, la propiedad intensiva asociada al volumen defluido es la porosidad (x, t) por lo que la condicin de incomprensibilidad delfluido contenido en un medio poroso, esta dada por la ecuacin diferencial

t+ (v) = 0. (31)

Que la divergencia de la velocidad sea igual a cero en la Ec. (28) comocondicin para que un fluido en su movimiento libre conserve su volumen, esampliamente conocida. Sin embargo, este no es el caso de la Ec. (31), comocondicin para la conservacin del volumen de los cuerpos de fluido contenidos enun medio poroso. Finalmente, debe observarse que cualquier fluido incompresiblesatisface la Ec. (28) cuando se mueve en el espacio libre y la Ec. (31) cuando semueve en un medio poroso.

Cuando un fluido efecta un movimiento en el que conserva su volumen, almovimiento se le llama isocorico. Es oportuno mencionar que si bien cierto quecuando un fluido tiene la propiedad de ser incompresible, todos sus movimientosson isocoricos, lo inverso no es cierto: un fluido compresible en ocasiones puedeefectuar movimientos isocoricos.

Por otra parte, cuando un fluido conserva su volumen en su movimientosatisface las condiciones de salto de Ec. (22), las cuales para este caso son

[(v v)] n = 0. (32)En aplicaciones a geohidrologa y a ingeniera petrolera, las discontinuidades

de la porosidad estn asociadas a cambios en los estratos geolgicos y por esta

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razn estn fijas en el espacio; as, v

= 0 y la Ec. (32) se reduce a

[v] n = 0 (33)

o, de otra manera+vn+ = vn . (34)

Aqu, la componente normal de la velocidad es vn v n y los subndicesms y menos se utilizan para denotar los lmites por los lado ms y menos de, respectivamente. Al producto de la porosidad por la velocidad se le conocecon el nombre de velocidad de Darcy U, es decir

U = v (35)

utilizndola, las Ecs. (33) y (34) obtenemos

[U] n = 0 y Un+ = Un (36)

es decir, 1.La Ec. (34) es ampliamente utilizada en el estudio del agua subterrnea (geo-

hidrologa). Ah, es frecuente que la porosidad sea discontinua en la superficiede contacto entre dos estratos geolgicos diferentes, pues generalmente los va-lores que toma esta propiedad dependen de cada estrato. En tal caso, + 6= por lo que vn+ 6= vn necesariamente.

Para ms detalles de la forma y del desarrollo de algunos modelos usados enciencias de la tierra, vase [8], [16], [24] y [14].

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2. Ecuaciones Diferenciales Parciales

Cada una de las ecuaciones de balance da lugar a una ecuacin diferencialparcial u ordinaria (en el caso en que el modelo depende de una sola variableindependiente), la cual se complementa con las condiciones de salto, en el casode los modelos discontinuos. Por lo mismo, los modelos de los sistemas conti-nuos estn constituidos por sistemas de ecuaciones diferenciales cuyo nmero esigual al nmero de propiedades intensivas que intervienen en la formulacin delmodelo bsico.

Los sistemas de ecuaciones diferenciales se clasifican en elpticas, hiperblicasy parablicas. Es necesario aclarar que esta clasificacin no es exhaustiva; esdecir, existen sistemas de ecuaciones diferenciales que no pertenecen a ningunade estas categoras. Sin embargo, casi todos los modelos de sistemas continuos,en particular los que han recibido mayor atencin hasta ahora, si estn incluidosen alguna de estas categoras.

2.1. Clasificacin

Es importante clasificar a las ecuaciones diferenciales parciales y a los sis-temas de tales ecuaciones, porqu muchas de sus propiedades son comunes acada una de sus clases. As, su clasificacin es un instrumento para alcanzar elobjetivo de unidad conceptual. La forma ms general de abordar la clasificacinde tales ecuaciones, es estudiando la clasificacin de sistemas de ecuaciones.Sin embargo, aqu solamente abordaremos el caso de una ecuacin diferenciade segundo orden, pero utilizando un mtodo de anlisis que es adecuado paraextenderse a sistemas de ecuaciones.

La forma general de un operador diferencial cuasi-lineal de segundo ordendefinido en

R2 es

Lu a(x, y) 2u

x2+ b(x, y)

2u

xy+ c(x, y)

2u

y2= F(x,y,u,ux, uy) (37)

para una funcin u de variables independientes x e y. Nos restringiremos al casoen que a, b y c son funciones slo de x e y y no funciones de u.

Para la clasificacin de las ecuaciones de segundo orden consideraremos unasimplificacin de la ecuacin anterior en donde F(x,y,u,ux, uy) = 0 y los coe-ficientes a, b y c son funciones constantes, es decir

a2u

x2+ b

2u

xy+ c

2u

y2= 0 (38)

en la cual, examinaremos los diferentes tipos de solucin que se pueden obtenerpara diferentes elecciones de a, b y c. Entonces iniciando con una solucin de laforma

u(x, y) = f(mx + y) (39)

para una funcin f de clase C2 y para una constante m, que deben ser de-terminadas segn los requerimientos de la Ec. (38). Usando un apostrofe para

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denotar la derivada de f con respecto de su argumento, las requeridas derivadasparciales de segundo orden de la Ec. (38) son

2u

x2= m2f00,

2u

xy= mf00,

2u

y2= f00 (40)

sustituyendo la ecuacin anterior en la Ec. (38) obtenemosam2 + bm + c

f00 = 0 (41)

de la cual podemos concluir que f00 = 0 am2 + bm + c = 0 ambas. En el casode que f00 = 0 obtenemos la solucin f = f0 + mx + y, la cual es una funcinlineal de x e y y es expresada en trminos de dos constantes arbitrarias, f0 y m.En el otro caso obtenemos

am2 + bm + c = 0 (42)

resolviendo esta ecuacin cuadrtica para m obtenemos las dos soluciones

m1 =

b + 2b2 4ac2a

, m2 =

b 2b2 4ac2a

(43)

de donde es evidente la importancia de los coeficientes de la Ec. (38), ya que elsigno del discriminante

b2 4ac es crucial para determinar el nmero y tipo

de soluciones de la Ec. (42). As, tenemos tres casos a considerar:

Caso I.

b2 4ac > 0, Ecuacin Hiperblica.La Ec. (42) tiene dos soluciones reales distintas, m1 y m2. As cualquier

funcin de cualquiera de los dos argumentos m1x + y m2x + y resuelven a laEc. (38). Por lo tanto la solucin general de la Ec. (38) es

u(x, y) = F(m1x + y) + G(m2x + y) (44)

donde F y G son cualquier funcin de clase C2. Un ejemplo de este tipo deecuaciones es la ecuacin de onda, cuya ecuacin cannica es

2u

x2

2u

t2= 0. (45)

Caso II.

b2 4ac = 0, Ecuacin Parablica.Asumiendo que b 6= 0 y a 6= 0 (lo cual implica que c 6= 0). Entonces se tiene

una sola raz degenerada de la Ec. (42) con el valor de m1 =b2a

que resuelve ala Ec. (38). Por lo tanto la solucin general de la Ec. (38) es

u(x, y) = F(m1x + y) + yG(m1x + y) (46)

donde F y G son cualquier funcin de clase C2. Si b = 0 y a = 0, entonces lasolucin general es

u(x, y) = F(x) + yG(x) (47)

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la cual es anloga si b = 0 y c = 0. Un ejemplo de este tipo de ecuaciones es laecuacin de difusin o calor, cuya ecuacin cannica es

2u

x2 u

t= 0. (48)

Caso III.

b2 4ac < 0, Ecuacin Elptica.La Ec. (42) tiene dos soluciones complejas m1 y m2 las cuales satisfacen que

m2 es el conjugado complejo de m1, es decir, m2 = m1. La solucin general

puede ser escrita en la forma

u(x, y) = F(m1x + y) + G(m2x + y) (49)

donde F y G son cualquier funcin de clase C2. Un ejemplo de este tipo deecuaciones es la ecuacin de Laplace, cuya ecuacin cannica es

2u

x2+

2u

y2= 0. (50)

Consideremos ahora el caso de un operador diferencial lineal de segundoorden definido en Rn cuya forma general es

Lu =nXi=1

nXj=1

aij2u

xixj+

nXi=1

biu

xi+ cu (51)

y consideremos tambin la ecuacin homognea asociada a este operador

Lu = 0 (52)

adems, sea x un punto del espacio Euclidiano y V(x) una vecindad de esepunto. Sea una funcin u definida en V(x) con la propiedad de que exista unavariedad de dimensin n1 cerrada y orientada, tal que la funcin u satisfacela Ec. (52) en V(x)\. Se supone adems que existe un vector unitario n queapunta en la direccin positiva (nico) est definido en . Adems, la funcinu y sus derivadas de primer orden son continuas a travs de , mientras que loslmites de las segundas derivadas de u existen por ambos lados de . Sea x tal que

2u

xixj(x)

6= 0 (53)

para alguna pareja i, j = 1,...,n. Entonces decimos que la funcin u es unasolucin dbil de esta ecuacin en x.

Teorema 3 Una condicin necesaria para que existan soluciones dbiles de laecuacin homognea (52) en un punto x es que

nXi=1

nXj=1

aijninj = 0. (54)

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As, si definimos a la matriz A= (aij) y observamos que

n A n =nX

i=1

nXj=1

aijninj (55)

entonces podemos decir que:

I) Cuando todos los eigenvalores de la matriz A son distintos decero y adems del mismo signo, entonces se dice que el operador esElptico.

II) Cuando todos los eigenvalores de la matriz A son distintos decero y adems n 1 de ellos tienen el mismo signo, entonces se diceque el operador es Hiperblico.

III) Cuando uno y slo uno de los eigenvalores de la matriz A es

igual a cero, entonces se dice que el operador es Parablico.

Para el caso en que n = 2, esta forma de clasificacin coincide con la dadaanteriormente.

2.2. Condiciones Iniciales y de Frontera

Dado un problema concreto de ecuaciones en derivadas parciales sobre undominio , si la solucin existe, esta no es nica ya que generalmente este tieneun nmero infinito de soluciones. Para que el problema tenga una y slo unasolucin es necesario imponer condiciones auxiliares apropiadas y estas son lascondiciones iniciales y condiciones de frontera.

En esta seccin slo se enuncian de manera general las condiciones iniciales

y de frontera que son esenciales para defi

nir un problema de ecuaciones diferen-ciales:

A) Condiciones Iniciales

Las condiciones iniciales expresan el valor de la funcin al tiempoinicial t = 0 (t puede ser fi jada en cualquier valor)

u(x,y, 0) = (x, y). (56)

B) Condiciones de Frontera

Las condiciones de frontera especifican los valores que la funcinu(x, y, t) o u(x, y, t) tomarn en la frontera , siendo de trestipos posibles:

1) Condiciones tipo Dirichlet

Especifica los valores que la funcin u(x, y, t) toma en la frontera

u(x, y, t) = (x, y). (57)

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2) Condiciones tipo Neumann

Aqu se conoce el valor de la derivada de la funcin u(x, y, t) con respectoa la normal n a lo largo de la frontera

u(x, y, t) n = (x, y). (58)

3) Condiciones tipo Robin

Est condicin es una combinacin de las dos anteriores

(x, y)u(x,y,t) + (x, y)u(x, y, t) n = g(x, y) (59)

x, y .

En un problema dado se debe prescribir las condiciones iniciales al problema

y debe de existir alguno de los tipos de condiciones de frontera o combinacinde ellas en .

2.3. Modelos Completos

Los modelos de los sistemas continuos estn constituidos por:

Una coleccin de propiedades intensivas o lo que es lo mismo,extensivas.

El conjunto de ecuaciones de balance local correspondientes (dife-renciales y de salto).

Suficientes relaciones que liguen a las propiedades intensivas entres y que definan a g, y v en trminos de estas, las cuales se conocen

como leyes constitutivas.

Una vez que se han planteado las ecuaciones que gobiernan al problema,las condiciones iniciales, de frontera y mencionado los procesos que intervienende manera directa en el fenmeno estudiado, necesitamos que nuestro modelosea completo. Decimos que el modelo de un sistema es completo si define unproblema bien planteado. Un problema de valores iniciales y condiciones defrontera es bien planteado si cumple que:

i) Existe una y slo una solucin y,

ii) La solucin depende de manera continua de las condiciones iniciales y de

frontera del problema.

Es decir, un modelo completo es aqul en el cual se incorporan condicionesiniciales y de frontera que definen conjuntamente con las ecuaciones diferencialesun problema bien planteado.

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A las ecuaciones diferenciales definidas en Rn

u = 0 (60)2u

t2u = 0

u

tu = 0

se les conoce con los nombres de ecuacin de Laplace, ecuacin de onda yecuacin del calor, respectivamente. Cuando se considera la primera de estasecuaciones, se entiende que u es una funcin del vector x (x1,...,xn), mientrasque cuando se considera cualquiera de las otras dos, u es una funcin del vectorx (x1,...,xn, t). As, en estos ltimos casos el nmero de variables independi-entes es n + 1 y los conceptos relativos a la clasificacin y las dems nocionesdiscutidas con anterioridad deben aplicarse haciendo la sustitucin n

n + 1 e

identificando xn+1 = t.

Ecuacin de Laplace Para la ecuacin de Laplace consideraremos condi-ciones del tipo Robin. En particular, condiciones de Dirichlet y condicionesde Neumann. Sin embargo, en este ltimo caso, la solucin no es nica puescualquier funcin constante satisface la ecuacin de Laplace y tambin u

n= g

con g = 0.

Ecuacin de Onda Un problema general importante consiste en obtener lasolucin de la ecuacin de onda, en el dominio del espacio-tiempo [0, t], quesatisface para cada t (0, t] una condicin de frontera de Robin en y lascondiciones iniciales

u(x, 0) = u0(x) yut

(x, 0) = v0(x), x (61)

aquu0(x) y v0(x) son dos funciones prescritas. El hecho de que para la ecuacinde onda se prescriban los valores iniciales, de la funcin y su derivada con respec-to al tiempo, es reminiscente de que en la mecnica de partculas se necesitanlas posiciones y las velocidades iniciales para determinar el movimiento de unsistema de partculas.

Ecuacin de Calor Tambin para la ecuacin del calor un problema generalimportante consiste en obtener la solucin de la ecuacin de onda, en el dominiodel espacio-tiempo [0, t], que satisface para cada t (0, t] una condicin defrontera de Robin en y ciertas condiciones iniciales. Sin embargo, en este caso

en ellas slo se prescribe a la funcin

u(x, 0) = u0(x), x . (62)

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3. Anlisis Funcional y Problemas Variacionales

En esta seccin se detallan los conceptos bsicos de anlisis funcional yproblemas variacionales con nfasis en problemas elpticos de orden par 2m, paracomenzar detallaremos lo que entendemos por un operador diferencial parcialelptico de orden par 2m en n variables, para despus definir a los espacios deSobolev para poder tratar problemas variacionales con valor en la frontera.

En donde, restringindonos a problemas elpticos, contestaremos una cuestincentral en la teora de problemas elpticos con valores en la frontera, y est serelaciona con las condiciones bajo las cuales uno puede esperar que el problematenga solucin y esta es nica, as como conocer la regularidad de la solucin,para mayor referencia de estos resultados ver [13], [19] y [3].

3.1. Operador Lineal Elptico

Definicin 4 Entenderemos por un dominio al conjunto Rn que sea abier-to y conexo.

Para poder expresar de forma compacta derivadas parciales de orden m omenor, usaremos la definicin siguiente.

Definicin 5 Sea Zn+ el conjunto de todas las n-duplas de enteros no nega-tivos, un miembro de Zn+ se denota usualmente por (por ejemplo =(1, 2,...,n). Denotaremos por || la suma || = 1 + 2 + ... + n y por Dula derivada parcial

Du =||u

x11 x22 ...x

nn

(63)

as, si || = m, entonces Du denota la m-sima derivada parcial de u.

Sea L un operador diferencial parcial de orden par 2m en n variables y dela forma

Lu =X

||,||m(1)|| D a(x)Du , x Rn (64)

donde es un dominio en Rn. Los coeficientes a son funciones suaves realvaluadas de x.

El operador L es asumido que aparece dentro de una ecuacin diferencialparcial de la forma

Lu = f, (65)

donde f pertenece al rango del operador L.La clasificacin del operador L depende slo de los coeficientes de la derivada

ms alta, esto es, de la derivada de orden 2m, y a los trminos involucrados enesa derivada son llamados la parte principal del operador L denotado por L0 ypara el operador (64) es de la forma

L0 =X

||,||maD

+u. (66)

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Teorema 6 Sea un vector enRn, y sea = 1n ...nn , Z+n . Entonces

i) L es elptico en xo siX

||,||=m

a

xo

+ 6= 0 6= 0; (67)

ii) L es elptico si es elptico en todos los puntos de;iii) L es fuertemente elptico si existe un nmero > 0 tal que

X||,||=m

a

xo

+

||2m (68)

satisfacindose en todo punto xo , y para todo Rn. Aqu || =

21 + ... + 2n

12 .

Para el caso en el cual L es un operador de 2do orden (m = 1), la notacinse simplifica, tomando la forma

Lu = nX

i,j=1

xi

aij(x)

u

xj

+

nXj=1

aju

xj+ a0u = f (69)

en .Para coeficientes adecuados aij, aj y a0 la condicin para conocer si el oper-

ador es elptico, es examinado por la condicin

nXi,j=1

aij(x0)ij 6= 0 6= 0 (70)

y para conocer si el operador es fuertemente elptico, es examinado por la condi-cin

nXi,j=1

aij(x0)ij > ||2

. (71)

3.2. Espacios de Sobolev

En esta subseccin detallaremos algunos resultados de los espacios de Sobolevsobre el conjunto de nmeros reales, en estos espacios son sobre los cuales traba-

jaremos tanto para plantear el problema elptico como para encontrar la solucinal problema. Primeramente definiremos lo que entendemos por un espacio L2.

Definicin 7 Una funcin medible u(x) definida sobre Rn se dice que

pertenece al espacio L2() si Z

|u(x)|2 dx < (72)

es decir, es integrable.

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La definicin de los espacios medibles, espacios Lp, distribuciones y derivadasde distribuciones estn dados en el apndice, estos resultados son la base para

poder definir a los espacios de Sobolev.

Definicin 8 El espacio de Sobolev de ordenm, denotado porHm(), es definido

Hm() =

u | Du L2() tal que || m . (73)El producto escalar h, i de dos elementos u y v Hm() esta dado por

hu, viHm =

Z

X||m

(Du) (Dv) dx para u, v Hm () . (74)

Nota: Es comn que el espacio L2() sea denotado por H0().

Un espacio completo con producto interior es llamado un espacio de Hilbert,

un espacio normado y completo es llamado espacio de Banach. Y como todoproducto interior define una norma, entonces todo espacio de Hilbert es unespacio de Banach.

Definicin 9 La norma kkHm inducida a partir del producto interior h, iHmqueda definida por

kuk2Hm = hu, uiHm =

Z

X||m

(Du)2

dx. (75)

Ahora, con norma kkHm, el espacio Hm() es un espacio de Hilbert, esto

queda plasmado en el siguiente resultado.

Teorema 10 El espacio Hm() con la norma kkHm es un espacio de Hilbert.

Ya que algunas de las propiedades de los espacios de Sobolev slo son validascuando la frontera del dominio es suficientemente suave. Para describir al con-

junto donde los espacios de Sobolev estn definidos, es comn pedirle algunaspropiedades y as definimos lo siguiente.

Definicin 11 Una funcin f definida sobre un conjunto Rn es llamadaLipschitz continua si existe una constante L > 0 tal que

|f(x) f(y)| L |x y| x, y . (76)Notemos que una funcin Lipschitz continua es uniformemente continua.

Sea Rn (n 2) un dominio con frontera , sea x0 y cons-truyamos la bola abierta con centro en x0 y radio , i.e. B(x0, ), entoncesdefiniremos el sistema coordenado (1,...,n) tal que el segmento B(x0, )pueda expresarse como una funcin

n = f(1,...,n1) (77)

entonces definimos.

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Definicin 12 La frontera del dominio es llamada de Lipschitz si fdefinida como en la Ec. (77) es una funcin Lipschitz continua.

El siguiente teorema resume las propiedades ms importantes de los espaciosde Sobolev Hm () .

Teorema 13 Sea Hm() el espacio de Sobolev de orden m y sea Rn undominio acotado con frontera Lipschitz. Entonces

i) Hr() Hm() si r mii) Hm() es un espacio de Hilbert con respecto a la norma kkHmiii) Hm() es la cerradura con respecto a la normakkHm del espacio C

().

De la parte iii) del teorema anterior, se puede hacer una importante in-terpretacin: Para toda u Hm() es siempre posible encontrar una funcininfinitamente diferenciable f, tal que este arbitrariamente cerca de u en el sen-

tido queku fkHm < (78)

para algn > 0 dado.Cuando m = 0, se deduce la propiedad H0() = L2() a partir del teorema

anterior.

Corolario 14 El espacio L2() es la cerradura, con respecto a la norma L2,del espacio C().

Otra propiedad, se tiene al considerar a cualquier miembro de u Hm(),este puede ser identificado con una funcin en Cm(), despus de que posible-mente sean cambiados algunos valores sobre un conjunto de medida cero, estoqueda plasmado en los dos siguientes resultados.

Teorema 15 Sean X y Y dos espacios de Banach, con X Y. Seai : X Ytal que i (u) = u. Si el espacio X tiene definida la norma kkX y el espacio Ytiene definida la norma kkY , decimos que X est inmersa continuamente enY si

ki (u)kY = kukY KkukX (79)para alguna constante K > 0.

Teorema 16 (Inmersin de Sobolev)Sea Rn un dominio acotado con frontera de Lipschitz. Si (m k) >

n/2, entonces toda funcin enHm() pertenece aCk(), es decir, hay un miem-bro que pertenece a Ck(). Adems, la inmersin

Hm() Ck() (80)

es continua.

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3.2.1. Trazas de una Funcin en Hm () .

Una parte fundamental en los problemas con valores en la frontera definidossobre el dominio , es definir de forma nica los valores que tomar la funcinsobre la frontera , en este apartado veremos bajo que condiciones es posibletener definidos de forma nica los valores en la frontera tal que podamosdefinir un operador tr () continuo que actu en tal que tr (u) = u|.

El siguiente lema nos dice que el operador tr () es un operador lineal continuode C1

a C(), con respecto a las normas kkH1() y kkL2() .

Lema 17 Sea un dominio con frontera de Lipschitz. La estimacin

ktr (u)kL2() CkukH1() (81)

se satisface para toda funcin u C1 , para alguna constante C > 0.Ahora, para el caso tr () : H1 () L2 () , se tiene el siguiente teorema.

Teorema 18 Sea un dominio acotado enRn con frontera de Lipschitz.Entonces:

i) Existe un nico operador lineal acotado tr () : H1 () L2 () , tal que

ktr (u)kL2() CkukH1() , (82)

con la propiedad que si u C1 , entonces tr (u) = u | .ii) El rango de tr () es denso en L2 ().

El argumento anterior puede ser generalizado para los espacios Hm () , dehecho, cuando m > 1, entonces para toda u

Hm () tenemos que

Du H1 () para || m 1, (83)

por el teorema anterior, el valor de Du sobre la frontera est bien definido ypertenece a L2 () , es decir

tr (Du) L2 () , || m 1. (84)

Adems, si u es m-veces continuamente diferenciable, entonces Du es al menoscontinuamente diferenciable para || m 1 y

tr (Du) = (Du) | . (85)

3.2.2. Espacios Hm0 () .

Los espacio Hm0 () surgen comnmente al trabajar con problemas con valoren la frontera y sern aquellos espacios que se nulifiquen en la frontera deldominio, es decir

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Definicin 19 Definimos a los espacios Hm0 () como la cerradura, en la nor-ma de Sobolev kkHm , del espacio C

m0 () de funciones con derivadas continuas

del orden menor que m, todas las cuales tienen soporte compacto en, es de-cir Hm0 () es formado al tomar la unin de C

m0 () y de todos los lmites de

sucesiones de Cauchy en Cm0 () que no pertenecen a Cm0 () .

Las propiedades bsicas de estos espacios estn contenidas en el siguienteresultado.

Teorema 20 Sea un dominio acotado enRn con frontera suficientementesuave y sea Hm0 () la cerradura de C

0 () en la norma kkHm , entonces

a) Hm0 () es la cerradura de C0 () en la norma kkHm ;

b) Hm0 () Hm();c) Si u Hm() pertenece a Hm0 (), entonces

D

u = 0, sobre , || m 1. (86)Teorema 21 (Desigualdad de Poincar-Friedrichs)

Sea un dominio acotado enRn. Entonces existe una constante C > 0 talque Z

|u|2

dx CZ

|u|2 dx (87)

para toda u H10 () .

Introduciendo ahora una familia de semi-normas sobre Hm () (una semi-norma || satisface casi todos los axiomas de una norma excepto el de positivodefinido), de la siguiente forma:

Definicin 22 La semi-norma ||m sobre Hm () , se define como

|u|2m =X

||=m

Z

|Du|2 dx. (88)

Esta es una semi-norma, ya que |u|m = 0 implica que Du = 0 para || = m,

lo cual no implica que u = 0.

La relevancia de esta semi-norma est al aplicar la desigualdad de Poincar-Friedrichs ya que es posible demostrar que ||1 es de hecho una norma sobreH10 () .

Corolario 23 La semi-norma ||1 es una norma sobre H1

0 (

) , equivalente a lanorma estndar kkH1 .

Es posible extender el teorema anterior y su corolario a los espacios Hm0 ()para cualquier m 1, de la siguiente forma:

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Teorema 24 Sea un dominio acotado enRn. Entonces existe una constanteC > 0 tal que

kuk2L2 C|u|2m (89)para toda u Hm0 () , adems, ||m es una norma sobre Hm0 () equivalente ala norma estndar kkHm .

Definicin 25 Sea un dominio acotado enRn. Definimos porHm () al es-pacio de todas las funcionales lineales acotadas sobreHm0 () , es decir, H

m ()ser el espacio dual del espacio Hm0 () .

Teorema 26 q ser una distribucin de Hm () si y slo si q puede ser ex-presada en la forma

q =X

||


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Antes de poder ver las condiciones bajo las cuales se garantice la existenciay unicidad es necesario introducir el concepto de formula de Green asociada con

el operador L, para ello definimos:

Definicin 27 Con el operador dado como en la Ec. (92), denotaremos por L

al operador definido por

Lu =X

||m(1)|| D

X

||ma(x)D

u

(95)

y nos referiremos a L como el adjunto formal del operador L.

La importancia del adjunto formal es que si aplicamos el teorema de Green(83) a la integral

Z vLudx (96)

obtenemos Z

vLudx =

Z

uLvdx +Z

F(u, v)ds (97)

en la cual F(u, v) representa trminos de frontera que se nulifican al aplicar elteorema ya que la funcin v H10 (). Si L = L; i.e. a = a el operador esllamado de manera formal el auto-adjunto.

En el caso de problemas de segundo orden, dos sucesivas aplicaciones delteorema de Green (83) y obtenemos, para i y j fijos

Z

v

xi

aij

u

xj

dx =

Z

vaiju

xjnids +

Z

aiju

xj

v

xidx (98)

= Z

vaij u

xjni uaij v

xinj

ds

Z

u

xj

aij

v

xi

dx.

Pero sumando sobre i y j, obtenemos de la Ec. (97)

Lv = nX

i,j=1

xi

aji(x)

v

xj

(99)

y

F(u, v) = n

Xi,j=1

aij vu

xjni u v

xinj (100)

tal que L es formalmente el auto-ajunto si aji = aij.

Para hacer el tratamiento ms simple, restringiremos nuestra atencin alproblema homogneo, es decir, en el cual g0, g1,...,gm1 = 0 (esta no es una re-striccin real, ya que se puede demostrar que cualquier problema no-homogneo

28


30/93

con condiciones de frontera puede convertirse en uno con condiciones de fronterahomogneo de una manera sistemtica), asumiremos tambin que es suave y

la frontera de es de clase C.As, en lo que resta de la seccin, daremos los pasos necesarios para poder

conocer bajo que condiciones el problema elptico con valores en la frontera deltipo

Lu = f en Rn (101)Bou = 0B1u = 0

...Bm1u = 0

en

donde el operador L y Bj estan dados como en (92) y (93), con s 2m tienesolucin y esta es nica. Para ello, necesitamos adoptar el lenguaje de la teorade operadores lineales, algunos resultados clave de algebra lineal estn detalladosen el apndice.

Primeramente denotemos N(Bj) al espacio nulo del operador de fronteraBj : H

s () L2 () , entonces

N(Bj) = {u Hs () | Bju = 0 en } (102)

para j = 0, 1, 2,...,m 1.Adicionalmente definimos al dominio del operador L, como el espacio

D(L) = Hs () N(B0) ...N(Bm1) (103)= {u Hs () | Bju = 0 en , j = 0, 1, . . ,m 1} .

Entonces el problema elptico con valores en la frontera de la Ec. (101) cons 2m, puede reescribirse como, dado L : D(L) Hs2m () , hallar u quesatisfaga

Lu = f en . (104)

Lo primero que hay que determinar es el conjunto de funciones f en Hs2m ()

para las cuales la ecuacin anterior se satisface, i.e. debemos identificar el rangoR(L) del operador L. Pero como nos interesa conocer bajo que condiciones lasolucin u es nica, entonces podemos definir el ncleo N(L) del operador Lcomo sigue

N(L) = {u D(L) | Lu = 0} (105)= {u

Hs () | Lu = 0 en , B

ju = 0 en , j = 0, 1, . . ,m

1} .

Si el N(L) 6= {0} , entonces no hay una nica solucin, ya que si u0 es unasolucin, entonces u0 + w tambin es solucin para cualquier w N(L), ya que

L (u0 + w) = Lu0 + Lw = Lu0 = f. (106)

29


31/93

As, los elementos del ncleo N(L) de L debern ser excluidos del dominio D(L)del operador L, para poder asegurar la unicidad de la solucin u.

Si ahora, introducimos el complemento ortogonal N(L) del ncleo N(L)del operador L con respecto al producto interior L2, definindolo como

N(L) = {v D(L) | (v, w) = 0 w N(L)} . (107)

De esta forma tenemos que

D(L) = N(L)N(L) (108)

i.e. para toda u D(L), u se escribe como u = v + w donde v N(L) yw N(L). Adems N(L) N(L) = {0} .

De forma similar, podemos definir los espacios anteriores para el problema

adjunto

Lu = f en Rn (109)Bou = 0B1u = 0

...Bm1u = 0

en

y definimos

D(L) = Hs () N(B0) ...N(Bm1) (110)=

u Hs () | Bj u = 0 en , j = 0, 1, . . ,m 1

.

Entonces el problema elptico con valores en la frontera de la Ec. (101) cons 2m, puede reescribirse como, dado L : D(L) Hs2m () , hallar u quesatisfaga

Lu = f en . (111)

Definiendo para el operador L

N(L) = {u D(L) | Lu = 0} (112)=

u Hs () | Lu = 0 en , Bj u = 0 en , j = 0, 1, . . ,m 1

.

yN(L) = {v D(L) | (v, w)L2 = 0 w N(L)} . (113)

As, con estas definiciones, es posible ver una cuestin fundamental, esta es,conocer bajo que condiciones el problema elptico con valores en la frontera dela Ec. (101) con s 2m tiene solucin y esta es nica, esto queda resuelto en elsiguiente teorema cuya demostracin puede verse en [3] y [13].

30


32/93

Teorema 28 Considerando el problema elptico con valores en la frontera dela Ec. (101) con s

2m definido sobre un dominio acotado con frontera

suave. Entoncesi) Existe al menos una solucin si y slo si f N(L), esto es, si

(f, v)L2() = 0 v N(L). (114)

ii) Asumiendo que la solucin u existe, esta es nica siu N(L), esto es,si

(u, w)L2() = 0 w N(L). (115)iii) Si existe una nica solucin, entonces existe una nica constante C > 0,

independiente de u, tal que

kukHs CkfkHs2m . (116)

Observacin 29 i) El teorema afirma que el operadorL es un operador suprayec-tivo de D(L) sobre el subespacio de funciones en Hs2m que satisface (115).Adems el operador L es inyectivo si el dominio es restringido al espacio de

funciones que satisfagan a (114).ii) La parte (iii) del teorema puede interpretarse como un resultado de reg-

ularidad, en el sentido en que se muestra

u Hs2m () si f Hs () . (117)

As, formalmente podemos definir el adjunto formal de la siguiente manera

Definicin 30 Sea L un Operador Diferencial, decimos que un operador L

es su adjunto formal si satisface la siguiente condicin

wLu uLw = D (u, w) (3.1)

tal que las funciones u y w pertenecen a un espacio lineal. AquD(u, w) es unafuncional bilineal que representa trminos de frontera.

Ejemplos de Operadores Adjuntos Formales A continuacin se muestramediante ejemplos el uso de la definicin de operadores adjuntos formales y laparte correspondiente a trminos de frontera.

A) Operador de la derivada de orden cero

La derivada de orden cero de una funcin u es tal que

dnudxn

= u (118)

es decir, n = 0, sea el operador

Lu = u (119)

31


33/93

de la definicin de operador adjunto tenemos que

wLu = uLw + D (u, w) (120)entonces el trmino izquierdo es

wLu = wu (121)

de aquuLw = uw (122)

por lo tanto el operador adjunto formal es

Lw = w (123)

ntese que el operador es auto-adjunto.

B) Operador de la derivada de primer orden

La derivada de primer orden en trminos del operador es

Lu = cdu

dx(124)

de la definicin de operador adjunto tenemos

wLu = uLw + D (u, w) (125)

desarrollando el lado izquierdo

wLu = wc

du

dx (126)

=d (wcu)

dx u d (cw)

dx

=d (wcu)

dx uc dw

dx

por lo tanto, el operador adjunto formal es

Lw = c dwdx

(127)

y los trminos de frontera son

D (u, w) = wcu (128)

C) Operador Elptico

El operador elptico ms sencillo es el Laplaciano

Lu 4u = xi

u

xi

(129)

32


34/93

de la ecuacin del operador adjunto formal tenemos

wLu = w xi

uxi

(130)

= xi

w

u

xi

+

u

xi

w

xi

= xi

w

u

xi

+

xi

u

w

xi

u

xi

w

xi

=

xi

u

w

xiw u

xi

u

xi

w

xi

entonces, el operador adjunto formal es

Lw = u xi

w

xi (131)es decir, el operador es autoadjunto. Notemos que la funcin bilinealD(u, w) es

D (u, w) = uw

xi w u

xi. (132)

D) Consideremos el operador diferencial elptico ms general de segundo or-den

Lu = a u + (bu) + cu (133)de la definicin de operador adjunto formal tenemos que

wLu = uLw + D (u, w) (134)

desarrollando el lado derecho de la ecuacin anteriorwLu = w

a u + (bu) + cu (135)= w a u + w (bu) + wcu

aplicando la igualdad de divergencia a los dos primeros sumandos se tieneque la ecuacin anterior es

wLu = wa u + a u w + (wbu) (136)bu w + wcu

= wa u + uaw u a w + (wbu)bu w + wcu

=

a (uw wu) + (wbu) u a wbu w + wcu

reordenando trminos se tiene

wLu = u a w ub w + ucw + a (uw wu) + (wbu)(137)

33


35/93


Lw = a w b w + cw (138)y el trmino correspondiente a valores en la frontera es

D (u, w) = a (uw wu) + (wbu) . (139)

E) La ecuacin bi-armnica

Consideremos el operador diferencial bi-armnico

Lu = 2u (140)

entonces se tiene que

wLu = uLw + D (u, w) (141)desarrollemos el trmino del lado derecho

wLu = w2u (142)

= w (u)

utilizando la igualdad de divergencia

(sV) = s V + V s (143)

tal que s es funcin escalar y V vector, entonces sea w = s y u = V, se tiene

w (u) (144)= (wu)u w

ahora sea s = u y V = w, entonces tenemos

(wu)u w (145)= (wu) +u w (uw)= w u + (wuuw)

sea s = w y V = u, entonces tenemos

w u + (wuuw) (146)= (wu)u (w) + (wuuw)

= u (w) + (wu +wuuw)por ltimo sea s = u y V = (w) y obtenemos

u (w) + (wu +wuuw) (147)= u ( (w)) (u (w)) + (wu +wuuw)

34


36/93

reordenando trminos

wLu = u2

w + (wu +wuuw uw) (148)entonces se tiene que el operador adjunto formal es

Lw = 2w (149)


D (u, w) = wu +wuuw uw. (150)

3.4. Adjuntos Formales para Sistemas de Ecuaciones

En esta seccin trabajaremos con funciones vectoriales; para ello necesita-mos plantear la definicin de operadores adjuntos formales para este tipo de

funciones.Definicin 31 SeaL un operador diferencial, decimos que un operador L essu adjunto formal si satisface la siguiente condicin

w L u u Lw = D (u, w) (151)tal que las funciones u y w pertenecen a un espacio lineal. AquD(u, w) repre-senta trminos de frontera.

Por lo tanto se puede trabajar con funciones vectoriales utilizando operadoresmatriciales.

A) Operador diferencial vector-valuado con elasticidad esttica

L u = C : u (152)de la definicin de operador adjunto formal tenemos que

w L u = u Lw + D (u, w) (153)para hacer el desarrollo del trmino del lado derecho se utilizar notacinindicial, es decir, este vector wLu tiene los siguientes componentes

wi

xj

Cijpq

upxq

; i = 1, 2, 3 (154)

utilizando la igualdad de divergencia tenemos

wi xj Cijpqupxq

(155)

= Cijpqupxq

wixj

xj

wiCijpq

upxq

=

xj

uiCijpq

wixj

ui

xj

Cijpq

wixj

xj

wiCijpq

upxq

35


37/93

reordenado trminos tenemos que la ecuacin anterior es

xj

uiCijpq w

i

xj wiCijpq up

xq

ui

xj

Cijpq w

i

xj

(156)

en notacin simblica tenemos que

w L u = u

C : w

+

u C : w w C : u

(157)

por lo tanto el operador adjunto formal es

Lw =

C : w

(158)


D (u, w) = u C : w w C : u (159)

El operador de elasticidad es auto-adjunto formal.

B) Mtodos Mixtos a la Ecuacin de Laplace

Operador LaplacianoL u =u = f (160)

escrito en un sistema de ecuaciones se obtiene

L u =

1 -

0

pu =

0f (161)

consideraremos campos vectoriales de 4 dimensiones, estos son denotados por :

u p,u y w = q, w (162)ahora el operador diferencial vector-valuado es el siguiente

Lu =

1 0

pu

(163)

=

pu p

entonces

w L u = q

w

1 0 pu (164)

utilizando la definicin de operador adjunto

wLu = uLw + D (u, w) (165)

36


38/93

haciendo el desarrollo del trmino izquierdo se tiene que

wLu =

qw

1 0

pu

(166)

=

qw

pu p

= qp q u + w p

aqu se utiliza la igualdad de divergencia en los dos trminos del lado derecho yobtenemos

qp q u + w p (167)= qp + u q qup w + wp= p qw + u q+ wp uq

si se agrupa los dos primeros trminos en forma matricial, se tiene

p

qw + u q+ wp uq (168)=

pu

qw

w

+ wp uq

=

pu

1 0

qw

+ wp uq


Lw =

1 0

qw

(169)

=

qw q

y el trmino correspondiente a valores en la frontera es

D (u, w) = wp uq. (170)C) Problema de Stokes

El problema de Stokes es derivado de la ecuacin de Navier-Stokes, lacual es utilizada en dinmica de fluidos viscosos. En este caso estamossuponiendo que el fluido es estacionario, la fuerza gravitacional es nula yel fluido incompresible. Entonces el sistema de ecuaciones a ser consideradoes

u +p = f (171) u = 0

se considerar un campo vectorial de 4 dimensiones. Ellos sern denotadospor

U = {u, p} y W = {w, q} (172)

37


39/93

ahora el operador diferencial vector-valuado es el siguiente

LU = 0

up

(173)

el desarrollo se har en notacin indicial, entonces tenemos que

WLU =

wu + wpq u (174)

usando notacin indicial se obtiene

wi

X

j

2uix2j

+p

xi

= X

j

wi2uix2j

+ wip

xi(175)

=Xj

wi

xj

ui

x2jX

j

xj

wiu

ixj

p

wixi

+

xi(wip)

desarrollando la primera suma como la derivada de dos funciones se tiene

Xj

ui2wix2j

+Xj

xj

ui

wixj

(176)

Xj

xj

wi

uixj

p wi

xi+

xi(wip)

reordenando trminos tenemos

Xj

ui2wix2j

p wixi

+ (177)

Xj

xj

ui

wixj

wi uixj

+

xi(wip)

Ahora consideremos la ecuacin 2 en Ec. (174), tenemos

q u (178)

en notacin ndicial se tiene

qXi

uixi

= Xi

quixi

(179)

=Xi

uiq

xiXi

xi(qui)

38


40/93

en la ecuacin anterior se utiliz la igualdad de divergencia, entonces agru-pando las ecuaciones Ec. (177) y Ec. (179) se tiene

wi

X

j

2uix2j

+p

xi

qX

i

uixi

(180)

= Xj

ui2wix2j

p wixi

+

Xj

xj

ui

wixj

wi uixj

+

xi(wip) +

Xi

uiq

xiXi

xi(qui)

ordenando los trminos tenemos

Xj

ui2wix2j

+Xi

uiq

xip wi

xi(181)

+Xj

xj

ui

wixj

wi uixj

+

xi(wip)

Xi

xi(qui)

escribiendo la ecuacin anterior en notacin simblica, se obtiene

uw + uqp w + (uw wu + wp uq) (182)


LW = 0

wq

(183)

y el trmino de valores de frontera es

D (u, w) = uw wu + wp uq. (184)

3.5. Problemas Variacionales con Valor en la Frontera

Restringindonos ahora en problemas elpticos de orden 2 (problemas deorden mayor pueden ser tratados de forma similar), reescribiremos este en suforma variacional. La formulacin variacional es ms dbil que la formulacinconvencional ya que esta demanda menor suavidad de la solucin u, sin embar-

go cualquier problema variacional con valores en la frontera corresponde a unproblema con valor en la frontera y viceversa.

Adems, la formulacin variacional facilita el tratamiento de los problemasal usar mtodos numricos de ecuaciones diferenciales parciales, en esta seccinveremos algunos resultados clave como es la existencia y unicidad de la solucinde este tipo de problemas, para mayores detalles, ver [3] y [13].

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41/93

Si el operador L est definido por

Lu = a u + cu (185)con a una matriz positiva definida, simtrica y c 0, el problema queda escritocomo

a u + cu = f en (186)u = g en .

Si multiplicamos a la ecuacin a u + cu = f por v V = H10 (),obtenemos

v a u + cu = vf (187)aplicando el teorema de Green (83) obtenemos la Ec. (98), que podemos re-

escribir como Z

v a u + cuv dx = Z

vfdx. (188)

Definiendo el operador bilineal

a (u, v) =

Z

v a u + cuv dx (189)y la funcional lineal

l(v) = hf, vi =

Z

vfdx (190)

podemos reescribir el problema dado por la Ec. (91) de orden 2, haciendo usode la forma bilineal a (, ) y la funcional lineal l ().

Entonces entenderemos en el presente contexto un problema variacional convalores de frontera (VBVP) por uno de la forma: hallar una funcin u quepertenezca a un espacio de Hilbert V = H10 () y que satisfaga la ecuacin

a (u, v) = hf, vi (191)

para toda funcin v V donde a (, ) es una forma bilineal y l () es una funcionallineal.

Definicin 32 Sea V un espacio de Hilbert y sea kkV la norma asociada adicho espacio, decimos que una forma bilineal a (, ) es continua si existe unaconstante M > 0 tal que

|a (u, v)| MkukVkvkV u, v V (192)y es V-elptico si existe una constante > 0 tal que

a (v, v) kvk2V v V (193)donde kkV es la norma asociada al espacio V.

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Esto significa que una forma V elptico es una que siempre es no negativay toma el valor de 0 slo en el caso de que v = 0, i.e. es positiva definida.

Notemos que el problema (186) definido en V = H10 () reescrito como elproblema (191) genera una forma bilineal V-elptico cuyo producto interior sobreV es simtrico y positivo definido ya que

a (v, v) kvk2V > 0, v V, v 6= 0 (194)reescribindose el problema (191), en el cual debemos encontrar u V tal que

a (u, v) = hf, vi a (u0, v) (195)donde u0 = g en , para toda v V.

Entonces, la cuestin fundamental, es conocer bajo que condiciones el pro-blema anterior tiene solucin y esta es nica, el teorema de Lax-Milgram nos

da las condiciones bajo las cuales el problema (186) reescrito como el proble-ma (191) tiene solucin y esta es nica, esto queda plasmado en el siguienteresultado.

Teorema 33 (Lax-Milgram)Sea V un espacio de Hilbert y sea a (, ) : V V R una forma bilineal

continua V-elptico sobre V. Adems, sea l () : V R una funcional linealcontinua sobreV. Entonces

i) El VBVP de encontrar u V que satisfagaa (u, v) = hf, vi ,v V (196)

tiene una y slo una solucin;ii) La solucin depende continuamente de los datos, en el sentido de que

kukV1

klkV (197)

donde kkV es la norma en el espacio dual V de V y es la constante de la

definicin de V-elptico.

Ms especficamente, considerando ahora V un subespacio cerrado de Hm()las condiciones para la existencia, unicidad y la dependencia continua de losdatos queda de manifiesto en el siguiente resultado.

Teorema 34 SeaV un subespacio cerrado de Hm(), seaa (, ) : V V Runa forma bilineal continuaV-elptico sobreV y sea l () : V R una funcionallineal continua sobre V. SeaP un subespacio cerrado de V tal que

a (u +p,v +p) = a (u, v) u, v V y p, p P. (198)Tambin denotando por Q el subespacio de V consistente de las funciones or-togonales a P en la norma L2; tal que

Q =

v V |

Z

updx = 0 p P

, (199)

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y asumiendo que a (, ) es Q-elptico: existe una constante > 0 tal que

a (q, q) kqk2Q para q Q, (200)la norma sobre Q ser la misma que sobre V. Entonces

i) Existe una nica solucin al problema de encontrar u Q tal que

a (u, v) = hl, vi , v V (201)

si y slo si las condiciones de compatibilidad

hl, pi = 0 para p P (202)

se satisfacen.ii) La solucin u satisface

kukQ 1 klkQ (203)

(dependencia continua de los datos).

Otro aspecto importante es la regularidad de la solucin, si la solucin u alVBVP de orden 2m con f Hs2m() donde s 2m, entonces u pertenecera Hs() y esto queda de manifiesto en el siguiente resultado.

Teorema 35 Sea Rn un dominio suave y sea u V la solucin al VBVP

a (u, v) = hf, vi , v V (204)

donde V Hm(). Si f Hs2m() con s 2m, entonces u Hs() y laestimacin kukHs CkfkHs2m (205)se satisface.

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4. Solucin de Grandes Sistemas de Ecuaciones

Es este trabajo se mostr como proceder para transformar un problemade ecuaciones diferenciales parciales con valores en la frontera en un sistemaalgebraico de ecuaciones y as poder hallar la solucin resolviendo el sistema deecuaciones lineales que se pueden expresar en la forma matricial siguiente

Au = b (206)

donde la matriz A es bandada (muchos elementos son nulos) y en problemasreales tiene grandes dimensiones.

Los mtodos de resolucin del sistema algebraico de ecuaciones Au = b seclasifican en dos grandes grupos: los mtodos directos y los mtodos iterativos.

En los mtodos directos la solucin u se obtiene en un nmero fijo de pasos yslo estn sujetos a los errores de redondeo. En los mtodos iterativos, se realizan

iteraciones para aproximarse a la solucin u aprovechando las caractersticaspropias de la matriz A, tratando de usar un menor nmero de pasos que en unmtodo directo.

Los mtodos iterativos rara vez se usan para resolver sistemas lineales dedimensin pequea (el concepto de dimensin pequea es muy relativo), ya queel tiempo necesario para conseguir una exactitud satisfactoria rebasa el querequieren los mtodos directos. Sin embargo, en el caso de sistemas grandes conun alto porcentaje de elementos cero, son eficientes tanto en el almacenamientoen la computadora como en el tiempo que se invierte en su solucin. Por starazn al resolver stos sistemas algebraicos de ecuaciones es preferible aplicarmtodos iterativos tal como Gradiente Conjugado.

Cabe hacer mencin de que la mayora del tiempo de cmputo necesario pararesolver el problema de ecuaciones diferenciales parciales (EDP), es consumido

en la solucin del sistema algebraico de ecuaciones asociado a la discretizacin,por ello es determinante elegir aquel mtodo numrico que minimice el tiempoinvertido en este proceso.

4.1. Mtodos Directos

En estos mtodos, la solucin u se obtiene en un nmero fijo de pasos y sloestn sujetos a los errores de redondeo. Entre los mtodos ms importantes pode-mos encontrar: Eliminacin Gausiana, descomposicin LU, eliminacin bandaday descomposicin de Cholesky.

Los mtodos antes mencionados, se colocaron en orden descendente en cuan-to al consumo de recursos computacionales y ascendente en cuanto al aumentoen su eficiencia.

Eliminacin Gausiana Tal vez es el mtodo ms utilizado para encontrar lasolucin usando mtodos directos. Este algoritmo sin embargo no es eficiente,ya que en general, un sistema de N ecuaciones requiere para su almacenajeen memoria de N2 entradas para la matriz A, pero cerca de N3/3 + O(N2)

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multiplicaciones y N3/3 + O(N2) adiciones para encontrar la solucin siendomuy costoso computacionalmente.

La eliminacin Gausiana se basa en la aplicacin de operaciones elementalesa renglones o columnas de tal forma que es posible obtener matrices equivalentes.

Escribiendo el sistema de N ecuaciones lineales con N incgnitas como

NXj=1

a(0)ij xj = a

(0)i,n+1, i = 1, 2,...,N (207)

y si a(0)11 6= 0 y los pivotes a

(i1)ii , i = 2, 3,...,N de las dems filas, que se obtienen

en el curso de los clculos, son distintos de cero, entonces, el sistema linealanterior se reduce a la forma triangular superior (eliminacin hacia adelante)

xi +N

Xj=i+1

a(i)ij xj = a

(i)i,n+1, i = 1, 2,...,N (208)

donde

k = 1, 2,...,N; {j = k + 1,...,N{

a(k)kj =

a(k1)kj

a(k1)kk

;

i = k + 1,...,N+ 1{

a(k)ij = a

(k1)ij a(k)kj a(k1)ik }}}

y las incgnitas se calculan por sustitucin hacia atrs, usando las frmulas

xN = a(N)N,N+1; (209)

i = N 1, N 2,..., 1

xi = a(i)i,N+1

NXj=i+1

a(i)ij xj.

En algunos casos nos interesa conocer A1, por ello si la eliminacin se aplicaa la matriz aumentada A | I entonces la matriz A de la matriz aumentada se

convertir en la matriz I y la matriz I de la matriz aumentada ser A1. As,el sistema Au = b se transformar en u = A1b obteniendo la solucin de u.

Descomposicin LU Sea U una matriz triangular superior obtenida de A por

eliminacin bandada. Entonces U = L1

A, donde L es una matriz triangularinferior con unos en la diagonal. Las entradas de L1 pueden obtenerse delos coeficientes mij definidos en el mtodo anterior y pueden ser almacenadosestrictamente en las entradas de la diagonal inferior de A ya que estas ya fueroneliminadas. Esto proporciona una factorizacin LU de A en la misma matriz Aahorrando espacio de memoria.

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El problema original Au = b se escribe como LU u = b y se reduce a lasolucin sucesiva de los sistemas lineales triangulares

Ly = b y U u = y. (210)

La descomposicin LU requiere tambin N3/3 operaciones aritmticas para

la matriz llena, pero slo N b2 operaciones aritmticas para la matriz con unancho de banda de b siendo esto ms econmico computacionalmente.

Ntese que para una matriz no singular A, la eliminacin de Gausiana (sinredondear filas y columnas) es equivalente a la factorizacin LU.

Eliminacin Bandada Cuando se usa la ordenacin natural de los nodos,la matriz A que se genera es bandada, por ello se puede ahorrar considerableespacio de almacenamiento en ella. Este algoritmo consiste en triangular a lamatriz A por eliminacin hacia adelante operando slo sobre las entradas dentro

de la banda central no cero. As el rengln j es multiplicado por mij = aij/ajjy el resultado es restado al rengln i para i = j + 1, j + 2,....

El resultado es una matriz triangular superior U que tiene ceros abajo dela diagonal en cada columna. As, es posible resolver el sistema resultante alsustituir en forma inversa las incgnitas.

Descomposicin de Cholesky Cuando la matriz es simtrica y definida po-sitiva, se obtiene la descomposicin LU de la matriz A, asA = LDU = LDLT

donde D = diag(U) es la diagonal con entradas positivas. La mayor ventaja deesta descomposicin es que, en el caso en que es aplicable, el costo de cmputoes sustancialmente reducido, ya que requiere de N3/6 multiplicaciones y N3/6adiciones.

4.2. Mtodos IterativosEn estos mtodos se realizan iteraciones para aproximarse a la solucin u

aprovechando las caractersticas propias de la matriz A, tratando de usar unmenor nmero de pasos que en un mtodo directo, para ms informacin deestos y otros mtodos ver [16] y [25].

Un mtodo iterativo en el cual se resuelve el sistema lineal

Au = b (211)

comienza con una aproximacin inicial u0 a la solucin u y genera una sucesinde vectores

ukk=1

que converge a u. Los mtodos iterativos traen consigoun proceso que convierte el sistema Au = b en otro equivalente de la formau = T u + c para alguna matriz fija T y un vector c. Luego de seleccionar el

vector inicial u0 la sucesin de los vectores de la solucin aproximada se generacalculando

uk = T uk1 + c k = 1, 2, 3,... (212)La convergencia a la solucin la garantiza el siguiente teorema cuya solucinpuede verse en [26].

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Teorema 36 Si

T

< 1, entonces el sistema linealu = T u + c tiene una solu-

cin nicau y las iteracionesuk definidas por la frmulauk = T uk1+c

k =1, 2, 3,... convergen hacia la solucin exacta u para cualquier aproximacin li-neal u0.

Notemos que mientras menor sea la norma de la matriz T , ms rpida es la

convergencia, en el caso cuandoT es menor que uno, pero cercano a uno, la

convergencia es muy lenta y el nmero de iteraciones necesario para disminuirel error depende significativamente del error inicial. En este caso, es deseableproponer al vector inicial u0 de forma tal que se mnimo el error inicial. Sinembargo, la eleccin de dicho vector no tiene importancia si la

T es pequeaya que la convergencia es rpida.

Como es conocido, la velocidad de convergencia de los mtodos iterativosdependen de las propiedades espectrales de la matriz de coeficientes del sistemade ecuaciones, cuando el operador diferencial L de la ecuacin del problema a

resolver es auto-adjunto se obtiene una matriz simtrica y positivo definida y elnmero de condicionamiento de la matriz A, es por definicin

cond(A) =maxmn

1 (213)

donde max y mn es el mximo y mnimo de los eigenvalores de la matrizA. Si el nmero de condicionamiento es cercano a 1 los mtodos numricos alsolucionar el problema converger en pocas iteraciones, en caso contrario serequerirn muchas iteraciones. Frecuentemente al usar el mtodo de elementofinito se tiene una velocidad de convergencia de O

1h2

y en el caso de mtodos

de descomposicin de dominio se tiene una velocidad de convergencia

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