METODO MONTANTE

Fue denominado así debido a su descubridor , René Mario Montante en 1973. Es un algoritmo de algebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar

matrices inversas, matrices de adjuntos y determinantes.

Característica

La característica principal del Método Montante es que trabaja con enteros, lo cual hace que el resultado sea exacto aunque se resuelva con computadora, ya que evita que se redondeen los números.

METODO MONTANTE

Este método es reciente. Curiosamente este método no emplea las operaciones elementales de una matriz, para reducir el sistema a uno más simple.

El método consiste en ir "pivoteando" en la diagonal principal. Se comienza en el extremo superior izquierdo, la fila donde está el pivote va a ser la fila base de todo el sistema y la columna donde está el pivote va a ser la columna base. Con respecto a esa fila y esa columna, donde está el pivote, se forman determinantes de dos por dos, y siempre se trabaja con números enteros, si apareciera alguna fracción hay un error.

METODO MONTANTE

METODO MONTANTESea dado un SEL genérico Ax=b

a11 x1+ a12 x2 + …. +a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 +…. +a2n xn = b2

.

.an1 x1 + an2 x2 +….+ ann xn = bn

Se determinan los nuevos coeficientes de la matriz con:

 N.E: nuevo elemento, P:  Pivote,E.A: elemento actual, E.C.F.P : elemento correspondiente a la fila del pivote E.C.C.C: elemento correspondiente a la columna del pivote P.A: Pivote Anterior

METODO MONTANTELo explicaremos con un ejemplo:Dado el SEL:

10x1 – x2+ 2x3 =6- x1+11x2 - x3 +3x4 =25 2x1 – x2+ 10x3 – x4 =-11 3x2 – x3 + 8x4 =15Primero se escribe la matriz ampliada(con resultados)

A=

METODO MONTANTEUsamos una variable denominada PIVOTEANT, la cual se inicializa a 1.

Al igual que en los métodos anteriores iremos avanzando por la diagonal principal.

Cada elemento de la diagonal principal que consideremos será nuestro pivote.

En cada iteración, no tocaremos ni el renglón ni la columna que correspondan con la diagonal principal.

METODO MONTANTEEn la primera iteración no tocaremos ni la primera fila, ni la primera columna.

Cada elemento restante lo modificaremos de la siguiente manera:

Consideraremos que cada elemento es una esquina de un rectángulo, la otra es el pivote. Localicemos los otros 2 elemento tales que sean esquinas del rectángulo mencionado. Este rectángulo es una matriz de 2x2. El elemento a modificar se cambia por el cofactor de la matriz del rectángulo dividido entre PIVOTEANT.

METODO MONTANTE

El cofactor dividido entre PIVOTEANT a calcular es

METODO MONTANTEModificando

Para el segundo elemento a modificar el rectángulo es

METODO MONTANTEEl cofactor dividido entre PIVOTEANT a calcular es

Modificando:

METODO MONTANTEPara el tercer elemento a modificar tenemos

el cofactor dividido entre PIVOTEANT a calcular es

10 0Det -1 3 = 30 PIVOTEANT

METODO MONTANTEModificando

Para el cuarto elemento

METODO MONTANTEEl cofactor dividido entre PIVOTEANT a calcular es

10 6Det -1 25 = 256 PIVOTEANT

Modificando

METODO MONTANTELa matriz completa modificada es

METODO MONTANTEAnálogamente a los otros métodos vamos a hacer cero los elementos arriba y abajo del renglón pivote. En vez de sumar múltiplos del renglón pivote simplemente ponemos ceros arriba y abajo del renglón pivote.

METODO MONTANTEPasemos a la segunda etapa. Ahora PIVOTEANT tomar el valor del pivote anterior, es decir, 10. Permanecerán sin modificar el segundo renglón y segunda columna. Modifiquemos los demás elementos de la matriz usando los cofactores. Para el primer elemento a modificar tenemos

METODO MONTANTEel cofactor entre PIVOTEANT es

10 -1 0 109 =10*109-0*(-1) = 1090 = 109 10 10 10

Para el siguiente elemento tenemos:

METODO MONTANTE

Siguiente elemento:

METODO MONTANTETerminando el primer renglón:

La matriz completa es

METODO MONTANTEHaciendo 0 elementos arriba y abajo del pivote:

Pasemos al tercer elemento de la diagonal principal. PIVOTEANT vale 109. Haciendo cofactores

METODO MONTANTEHaciendo 0 elementos arriba y abajo del pivote:

Pasemos al cuarto elemento de la diagonal principal. PIVOTEANT vale 1040. Haciendo cofactores

METODO MONTANTEHaciendo 0 elementos arriba y abajo del pivote:

Se puede demostrar que la diagonal principal converge al determinante de la matriz. Por lo cual :

DET(A) = 7395

METODO MONTANTEPara hallar la solución dividimos la matriz entre el determinante. La matriz final es:

Por sustitución reversiva:

x1=1, x2=2, x3=-1, x4=1.

METODO MONTANTE

Se trabaja sólo con enteros, por lo tanto el error de redondeo es menor.

Si apareciera alguna fracción sabemos que hay un error. El resultado final puede dar en fracciones, pero todo el

tiempo se trabaja con enteros Este método da el determinante directamente. Puede calcular la matriz inversa.

Es importante hacer la aclaración que el PIVOTE no puede ser cero, si llegara a suceder que el pivote es cero, se deben intercambiar filas de manera que el pivote sea un valor diferente de cero.