MTODO DIFERENCIAL PARA EL ANLISIS DE FLUJO

MTODO DIFERENCIAL PARA EL ANLISIS DE FLUJO

Mecnica de Fluidos I Ing. Percy EstelaCONCEPTOS PRELIMINARES -Panorama del mtodo diferencial: Este mtodo es ms confiable y a diferencia de mtodo de integracin no produce dificultades especiales .Los mtodos diferenciales hacen uso de las ecuaciones de velocidad en la forma general

-Alternativas para formular las ecuaciones diferenciales: Es una forma alternativa en que dichas ecuaciones se escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los mtodos delde dimensin infinita.-Cinemtica de una partcula de fluido: La velocidad y la aceleracin son las dos principales magnitudes que describen cmo cambia la posicin en funcin del tiempo.La cinemtica de fluidos trata la descripcin del movimiento de los fluidos sin necesariamente considerar las fuerzas y movimientos que lo causan. Se explicara las cuatros propiedades cinemticas fundamentales del movimiento y deformacin de los flujos: razn de translacin, razn de rotacin, razn de deformacin lineal y razn de deformacin por esfuerzo cortante.

-Velocidad y aceleracin en coordenadas de lneas de corrientes: Es una lnea cuya tangente en cualquier punto del fluido en movimiento es paralela a la velocidad instantnea. Las trayectorias y las lneas de corriente generalmente no coinciden, excepto en el caso de flujo estacionario.Elestudiodel movimiento de los uidos por el mtodo de Euler nos lleva a asignar a cada punto del espacio ocupado por el uido un vector velocidad que es, en general, funcin delas coordenadas del punto y del tiempo.LA ECUACIN PRELIMINAR DE CONTINUIDAD.

Deduccin de la ecuacin diferencial de continuidadLa mecnica de fluidos es el estudio de los fluidos en movimiento o en reposo y los efectos subsecuentes del fluido sobre las fronteras que lo contienen El flujo de un fluido satisface leyes bsicas de la fsica Como se recordara la ecuacin integral de continuidad est dada por:La ecuacin diferencial de continuidad que no es ms que la ley de conservacin de la masa, en este caso se utiliza el teorema de Gauss para convertir la integral de superficie del primer miembro de la ecuacin de continuidad, en una integral de volumen.

Donde al sustituir se obtiene:

Llevando el segundo miembro de la ecuacin al primer miembro y permutando la derivada con la integral se obtiene:

Para que la integral sea cero, puesto que el volumen de control es arbitrario, necesariamente se debe cumplir que:

Esta ltima ecuacin, es la forma diferencial de la ecuacin de continuidad.

Para flujo permanente:

Y para flujo incompresible:

Dicha ecuacin tambin puede ser expresada en cualquier sistema de coordenadas. As por ejemplo, en coordenadas cartesianas:

ECUACIN DE CONSERVACIN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTOLa ecuacin de movimiento de un fluido expresa la Segunda Ley de Newton, esto es, que la tasa de cambio de la cantidad de movimiento de una dada porcin de fluido es igual a la resultante de las fuerzas que actan sobre esta porcin. Existen diferentes formas, todas equivalentes, de escribir esta Ley.Forma integral Lagrangiana (volumen material) Sea V un volumen material rodeado por una superficie (obviamente tambin material) S. La cantidad de movimiento contenida en V es

Su derivada total respecto del tiempo (derivada material) es

Donde usamos la ecuacin de conservacin de la masa para simplificar la expresin. Entonces, la derivada de la cantidad de movimiento contenida en el volumen V, es simplemente la suma de los productos de la masas dV por las aceleraciones (d dt/) de los elementos infinitesimales que integran el volumen material finito V.En general, sobre una porcin dada de fluido actan fuerzas de volumen y de superficie, cuya resultante debe ser igual a la derivada temporal de la cantidad de movimiento. Si indicamos con g la resultante de las fuerzas de volumen (por unidad de masa), tenemos,

Si transformamos el ltimo trmino en otra integral de volumen (por el Teorema de Green),

El balance de cantidad de movimiento se expresa como

La (4.5) es la forma integral Lagrangiana de la ecuacin de movimiento.Ecuacin de la energaSe puede adquirir una visin ms amplia del efecto de las fuerzas de superficie en el movimiento del fluido, considerando el balance de energa en un elemento material de volumen V limitado por la superficie (material) S. Las fuerzas de volumen y de superficie realizan trabajo sobre el fluido en V, y al mismo tiempo puede haber transferencia de calor a travs del contorno S. Parte de la ganancia neta de energa se manifiesta como un incremento de la energa cintica del fluido y, el resto, de acuerdo con la Primera Ley de la Termodinmica, aparece como un aumento de la energa interna del fluido.Por lo tanto

Donde E es la energa del elemento material, P es la potencia desarrollada por las fuerzas que actan sobre l, y dQ dt es el flujo neto de calor (por unidad de tiempo) que entra al elemento.Analizaremos este balance para deducir una ecuacin diferencial vlida en cada punto del fluido, que exprese el balance de energa para una dada masa de fluido. La potencia (trabajo por unidad de tiempo) desarrollada sobre V es la suma de la contribucin debida a la resultante de las fuerzas de volumen ms la contribucin debida a las fuerzas de superficie que actan sobre S:

Donde el ltimo trmino se puede escribir como

Debe quedar en claro que esta integral no se debe confundir con el trabajo efectuado por la resultante de las fuerzas de superficie sobre V.De (4.25) y (4.26) obtenemos la potencia neta por unidad de masa P desarrollada sobre un elemento material

El segundo trmino de (4.27) (que proviene del trabajo de las fuerzas de superficie) est relacionado con la pequea diferencia que hay entre los esfuerzos sobre las caras opuestas del elemento, y contribuye junto el primero (que proviene de las fuerzas de volumen) a la ganancia de energa cintica por unidad de masa de todo el volumen. En efecto, si usamos la ecuacin de movimiento general (4.6) tenemos que los primeros dos trminos del miembro derecho de la (4.27) se combinan para dar

Por lo tanto

El tercer trmino de la (4.27), esto es

Est relacionado con la pequea diferencia de velocidades que hay entre las caras opuestas del elemento, y proviene del trabajo realizado para deformar el elemento, sin cambiar su velocidad.Este trabajo de deformacin se manifiesta completamente como un aumento de la energa interna del fluido. Por otro lado, la energa interna del fluido tambin se ve afectada por la cantidad de calor neta que ingresa al elemento de volumen. Supondremos que el calor se transfiere por conduccin molecular. Entonces, la tasa de ganancia de calor por conduccin a travs de S es

Donde T es la temperatura local y k la conductividad trmica del fluido. Luego, el calor ganado por el elemento de fluido, por unidad de tiempo y de masa, es,

De esta manera, la tasa de variacin de la energa interna por unidad de masa, e, viene dada por

La expresin del primer trmino se puede simplificar si se descompone el tensor aui /axj en una parte simtrica y otra antisimtrica, pues el producto saturado de i j con la parte antisimtrica es idnticamente nulo. As obtenemos

Si ahora introducimos la expresin general (4.21) de ij que obtuvimos en la seccin anterior para fluidos Newtonianos en la ec. (4.34) para la tasa de variacin de la energa interna, y suponemos que el segundo coeficiente de viscosidad es nulo, encontramos

Para interpretar el primer trmino del miembro derechode la (4.35) podemos observar que en virtud de la ecuacin de continuidad tenemos que de modo que

Por lo tanto este trmino representa la potencia por unidad de masa desarrollada por la presin (istropa) en la expansin o compresin del elemento de volumen; es negativo (e disminuye) si hay expansin y positivo (e aumenta) si hay compresin.En cuanto al segundo trmino, conviene escribirlo en la forma

Que es una identidad pues ii= 3 y ii= .u. De esta manera vemos que este trmino es definido positivo, mostrando que cualquier deformacin del fluido est inevitablemente acompaada por una transformacin de la energa mecnica asociada con el movimiento en energa interna del fluido. En consecuencia podemos definir la tasa de disipacin de energa mecnica por unidad de masa, debida a la viscosidad como

Ntese que la disipacin de energa mecnica debida a la viscosidad es equivalente en sus efectos a una transferencia irreversible de calor.En resumen, el primer trmino de la expresin de la tasa de variacin de la energa interna por unidad de masade dt representa los cambios reversibles asociados con las deformaciones istropas, y el segundo trmino representa los cambios irreversibles asociados con las deformaciones purasSi tomamos en cuenta el trmino (. u) I del el tensor de los esfuerzos, podemos ver fcilmente que tambin las compresiones y expansiones puras dan lugar a una disipacin irreversible.En efecto, en este caso aparece un trmino adicional en de / dt que es proporcional a (.u) y por lo tanto es siempre positivo de modo que lleva a una aumento de e. Este efecto est ligado con el cambio de signo del trmino(.u) cuando se considera un volumen en expansin o en compresin, de resultas de lo cual en ambos casos el trabajo tiene el mismo signo (positivo).Resumiendo nuestros resultados, tenemos que la tasa de variacin de la energa por unidad de masa est dada por

Donde la tasa de variacin de la energa cintica por unidad de masa est dada por la ec. (4.29) y la tasa de variacin de la energa interna por unidad de masa est dada por la ec. (4.34)DINMICA DE UN FLUJO NO VISCOSOFlujo No Viscoso: Un flujo no viscoso es el flujo de un fluido ideal que se supone que no tienen viscosidad. En dinmica de fluidos hay problemas que se pueden resolver fcilmente mediante el supuesto simplificador de un flujo no viscoso.

El flujo de fluidos con valores bajos de viscosidad de acuerdo estrechamente con el flujo no viscoso en todas partes excepto cerca del lmite de fluido, donde la capa lmite juega un papel importante.

2. Ecuaciones de Euler:

Ecuacin del movimiento(de un elemento de volumen del fluido)

20

TEORA DEL FLUJO POTENCIALMuchos problemas de diseo en el rea de flujo de fluidos requieren un conocimiento exacto de las distribuciones de velocidad y presin, por ejemplo, el flujo sobre superficies curvas a lo largo de las alas de un aeroplano, a travs de los pasos en una bomba, en un compresor, o sobre la cresta de una compuerta. DINMICA DEL FLUJO SIN VISCOSIDAD E IRROTACIONAL:

Dinmica de Fluidos.-La dinmica de fluidos estudia los fluidos en movimiento y es una de las ramas ms complejas de la mecnica. Fluido no viscoso. Se desprecia la friccin interna entre las distintas partes del fluido.Fluido irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.

EL FLUJO IDEALPara que el fluido se considere ideal debe de cumplirse que ste sea:- Incompresible ( = constante).- No viscoso ( = 0).- Irrotacional.De acuerdo con lo expuesto por Prandtl, slo dentro de la capa lmite existen esfuerzos que no permiten la suposicin de fluido no viscoso. Sin embargo, si el flujo de un fluido ideal sobre un cuerpo se origina de un flujo irrotacional, como el caso de una corriente libre uniforme, el Teorema de Kelvin asegura que el flujo se mantendr irrotacional an cerca del propio cuerpo. Esto es, el vector vorticidad ser cero en cualquier punto del fluido. En situaciones de flujo incompresible, en donde la capa lmite es muy delgada, los resultados del fluido ideal pueden ser aplicados al caso de un flujo de fluido real, obtenindose un grado de aproximacin excelente. Supngase una partcula fluida sobre el plano xy (figura 4.1).

De esta forma, el valor promedio de la velocidad angular sera:

Es decir, que las 3 componentes de la vorticidad deben ser nulas. Cuando se trata de flujos bidimensionales el problema se restringe a

EL POTENCIAL DE VELOCIDADES Y LA FUNCION DE CORRIENTEPOTENCIAL DE VELOCIDADES.Se puede observar que, si el flujo es irrotacional (ecuacin 4.5), existe una funcin escalar () del espacio y del tiempo tal que su derivada en una direccin cualesquiera es la componente de la velocidad del fluido en esa direccin. Matemticamente, la funcin escalar, en flujo bidimensional, se define por las ecuaciones:

A la funcin se le llama velocidad potencial, y los campos de flujo que son irrotacionales se les llaman flujos potenciales. Un requisito fundamental del flujo irrotacional, es que los flujos potenciales cumplan con la ecuacin de Laplace o Laplaciano de la funcin

Es importante observar que cualquier funcin que satisfaga el Laplaciano es un posible caso de flujo irrotacional.Dado que es lineal (aparece a la primera potencia en cada trmino del Laplaciano), la suma de dos o ms soluciones cualesquiera tambin son solucin:

En la bibliografa especializada, a la lnea definida por cualquier funcin (x, y) = cte. se le llama lnea equipotencial.LA FUNCIN DE CORRIENTE.Dado que se deben cumplir las condiciones de irrotacional e incompresible, entonces se puede definir una funcin tal que satisfaga la ecuacin de continuidad

A cualquier funcin que satisfaga estos requisitos se le llamada funcin de corriente, y dada su definicin, esta funcin es vlida para todos los flujos bidimensionales, sean irrotacionales o rotacionales. Para cumplir con la condicin de irrotacional, un flujo bidimensional se puede modelar como

Que es una condicin necesaria y suficiente. A la lnea (x,y) = cte. se le conoce como lnea de corriente y es, en todos sus puntos, tangente al vector velocidad. Las lneas de corriente y las lneas equipotenciales son ortogonales, es decir, se cortan entre s en ngulos rectos, excepto en los puntos singulares.Mtodos para resolver problemas de flujo potencial Mtodos indirectos:Mtodo de las singularidades Movimiento plano potencial Mtodos de variable compleja (bidimensional)Transformacin conforme .transforme de Youkowski.Mtodos directos (sustituir el slido por una serie de condiciones /singularidades)Mtodos de singularidades distribuidas y paneles Teora potencial linealizada de Perfiles .mtodo de PanelesT Ala de Prandtl .mtodo de Vortex-LatticeMtodo de volmenes finitos (bidimensional o tridimensional)Mtodo grfico de redes de flujo Mtodo de analogas Movimiento Plano Potencial Potencial Complejo

SingularidadesHay un punto en el que no se cumplen las hiptesis hechas .Son movientes generados por puntos singulares.

Manantial De un punto Material sale fluido

Torbellino Se genera un movimiento alrededor de un punto cuya velocidad no est definida

Rincones y Esquinas

Otros sistemas de coordenadas

Movimientos potenciales

Superposicin de singularidades - Traslacin + Fuente Las lneas de corriente que salen del punto de remanso son lneas de separacin del flujo, hacen que no se junten las lneas de corriente de la traslacin con las lneas de corriente de la fuente. El fluido se comporta como si se encontrase con un slido con esta forma

-Traslacin + Doblete.

Superposicin de Singularidades

Traslacin + doblete: No genera sustentacin

Singularidades distribuidas:Mtodo de paneles (numrico)

INTRODUCCION A LA DINAMICA DE UN FLUJO VISCOSO Ecuaciones de Cauchy-RiemannLasecuaciones de Cauchy-Riemannson dosecuaciones diferenciales parcialesque son bsicas en elanlisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificacin constituye una condicin necesaria (aunque no suficiente) para la derivabilidad de este tipo de funciones.

Adems se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:

DEMOSTRACIONSeafuna funcin de:

yde

Ley de Stokes

Cuando un objeto esfrico se mueve en el seno de un fluido estacionario, o cuando un fluido ideal ( = 0) se mueve en torno a l, las lneas de corriente forma un modelo perfectamente simtrico entorno a la esfera, con la presin en cualquier punto de la superficie de la esfera situada contra corriente igual a la de cualquier punto de la superficie a favor de la corriente y la fuerza neta sobre la esfera es cero.

-Si el fluido es viscoso habr un arrastre sobre la esfera. Se puede demostrar que la fuerza viscosa viene dada en funcin de la viscosidad , el radio de la esfera r, y su velocidad respecto del fluido v, en la forma F = 6rv

Que fue derivada por primera vez por sir George Stokes en 1845 y se denomina Ley de Stokes.Se puede utilizar para determinar la viscosidad de un fluido viendo la velocidad lmite vL que alcanza una esfera que cae en su seno, momento en el cual la fuerza retardadora viscosa ms el empuje es igual al peso de la esfera. Si es la densidad de la esfera y la del fluido el peso de la esfera es

w = mg = V g = 43r3gy el empuje es E = 4/3r3g . Luego la condicin de velocidad lmite implica 6rvL + 4 /3 r3g = 4/3r3g o lo que es lo mismo vL = 2 9 r2g ( ) midiendo la velocidad lmite de la esfera, su radio y densidad y sabiendo la densidad del fluido se puede determinar la viscosidad del fluido.

Tambin conociendo la viscosidad se puede usar para determinar el radio de las partculas, como en el experimento de Millikan de la gota de aceite cargada en cada libre en el aire que se sirvi para determinar la carga del electrn.

- Los bilogos llaman a la velocidad lmite velocidad de sedimentacin y los experimentos con sedimentacin pueden suministrar informacin til relativa a partculas muy pequeas.GRACIAS POR SU ATENCION!53